matemáticas ii. cálculo integral. ron larson/bruce edwards

Matemticas IICLCULO INTEGRAL


LARSO

N ED

WA

RDS

Matemticas II CLCU

LO IN

TEGRAL

RON LARSONBRUCE EDWARDS

Matemticas II, Clculo integral es un libro de texto pedaggicamente preciso y entendible. En esta edicin ofrecemos algo totalmente nuevo: a un solo clic de distancia, el sitio web en LarsonCalculus.com contiene varias herramientas y recursos para complementar su aprendizaje. El acceso a estos es gratuito. Videos con explicaciones de conceptos o demostraciones del libro, ejemplos para explorar, revistas de grficas tridimensionales, descarga de artculos de revistas de matemticas... Todo esto y mucho ms, en las siguientes secciones:

Apertura de captulo. Aqu se resaltan aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios.

Ejemplos interactivos. stos acompaan los ejemplos del libro en LarsonCalculus.com.

Videos de demostraciones. Vea videos del coautor Bruce Edwards, donde l mismo explica las demostraciones para cada teorema.

Cmo lo ve? Este ejercicio es excelente para el anlisis en clase o la preparacin de un examen.

Comentario. Estos consejos y sugerencias refuerzan o amplan conceptos, le ayudan a aprender cmo estudiar matemticas, le advierten acerca de errores comunes, lo dirigen en casos especiales o le muestran los pasos alternativos o adicionales en la solucin de un ejemplo.

Conjuntos de ejercicios. Planeados cuidadosamente para reforzar habilidades, resolver problemas y dominar los conceptos, dando a los estudiantes la oportunidad de aplicarlos en situaciones de la vida real.

Apndices. Informacin complementaria para los temas desarrollados. Ideales para reforzar lo aprendido. Se presentan en ingls y formato de video (disponible en LarsonCalculus.com) y tambin textualmente (en ingls y con un costo adicional) en CengageBrain.com.

Cundo usar esto?. Aplicaciones relacionadas con una amplia gama de intereses: acontecimientos actuales, datos del mundo, tendencias de la industria, etc.; su objetivo, entender en qu situaciones puede aplicarse el conocimiento del clculo y fomentar una comprensin ms completa de los temas.

Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

ISBN-13: 978-607-522-900-3ISBN-10: 607-522-900-0

9 7 8 6 0 7 5 2 2 9 0 0 3


Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur

Ron LarsonThe Pennsylvania State UniversityThe Behrend College

Bruce EdwardsUniversity of Florida

TraduccinJavier Len CrdenasProfesor de Ciencias BsicasEscuela Superior de Ingeniera Qumica e Industrias ExtractivasInstituto Politcnico Nacional

Revisin tcnicaDra. Ana Elizabeth Garca HernndezProfesor visitante UAM-AzcapotzalcoAustralia

D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A.de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe nm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, Mxico, D.F.Cengage Learning es una marca registradausada bajo permiso.DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte deeste trabajo, amparado por la Ley Federal delDerecho de Autor, podr ser reproducida,transmitida, almacenada o utilizada encualquier forma o por cualquier medio, ya seagrfico, electrnico o mecnico, incluyendo,pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,reproduccin, escaneo, digitalizacin,grabacin en audio, distribucin en Internet,distribucin en redes de informacin oalmacenamiento y recopilacin en sistemasde informacin a excepcin de lo permitidoen el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federaldel Derecho de Autor, sin el consentimientopor escrito de la Editorial.

Traducido del libroCalculus, 10th EditionRon Larson/Bruce EdwardsPublicado en ingls por Brooks/Cole, una compaa de Cengage Learning2014ISBN: 978-1-285-05709-5

Datos para catalogacin bibliogrfica:Larson, Ron/Bruce EdwardsMatemticas II, Clculo integral ISBN 978-607-522-900-3

Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.com

Matemticas IIClculo integralRon Larson/Bruce Edwards

Presidente de Cengage LearningLatinoamricaFernando Valenzuela Migoya

Director Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para LatinoamricaRicardo H. Rodrguez

Editora de Adquisiciones para LatinoamricaClaudia C. Garay Castro

Gerente de Manufactura para LatinoamricaAntonio Mateos Martnez

Gerente Editorial de Contenidos en EspaolPilar Hernndez Santamarina

Gerente de Proyectos EspecialesLuciana Rabuffetti

Coordinador de ManufacturaRafael Prez Gonzlez

EditoresCinthia Chvez CeballosJuan Pablo Rodrguez

Diseo de portadaLuis . Arroyo Hernndez

Imagen de portadaShutterstock

Composicin tipogrficaEdiciones OVA

Impreso en Mxico1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16

Contenido

1 Integracin 11.1 Antiderivadas e integracin indefinida 21.2 rea 121.3 Sumas de Riemann e integrales definidas 241.4 Teorema fundamental del clculo 351.5 Integracin por sustitucin 501.6 Integracin numrica 63

Ejercicios de repaso 70 Solucin de problemas 73

2 Tcnica de integracin 752.1 Reglas bsicas de integracin 762.2 Integracin por partes 832.3 Integrales trigonomtricas 922.4 Sustitucin trigonomtrica 1012.5 Fracciones parciales 1102.6 Integracin por tablas y otras tcnicas

de integracin 119 Ejercicios de repaso 125 Solucin de problemas 127

3 Aplicaciones de la integral 1293.1 rea de una regin entre dos curvas 1303.2 Volumen: mtodo de los discos 1403.3 Volumen: mtodo de las capas 1513.4 Longitud de arco y superficies

de revolucin 1603.5 Trabajo 1713.6 Momentos, centros de masa y centroides 1803.7 Presin y fuerza de un fluido 1913.8 Integrales impropias 197

Ejercicios de repaso 208 Solucin de problemas 210

4 Series infinitas 2134.1 Sucesiones 2144.2 Series y convergencia 2254.3 Criterio de la integral y series p 2354.4 Comparacin de series 2424.5 Series alternantes 2494.6 El criterio del cociente y de la raz 2574.7 Polinomios de Taylor y aproximaciones 2664.8 Series de potencias 277

iii

iv Contenido

4.9 Representacin de funciones por series de potencias 287

4.10 Series de Taylor y Maclaurin 294 Ejercicios de repaso 306 Solucin de problemas 309

ApndicesApndice A Demostracin de teoremas seleccionados A-2Apndice B Tablas de integracin A-3Apndice C Repaso de preclculo (en lnea)

C.1 Nmeros reales y recta numricaC.2 El plano cartesianoC.3 Repaso de funciones trigonomtricas

Apndice D Rotacin y la ecuacin general de segundo grado (en lnea)

Apndice E Nmeros complejos (en lnea) Apndice F Negocios y aplicaciones econmicas (en lnea)

*Disponible en el sitio especifico del libro www.cengagebrain.com

Bienvenido a la primera edicin de Matemticas II, Clculo integral. Nos enorgullece ofrecerle una nueva versin revisada de nuestro libro de texto. Como con las otras ediciones, hemos incorporado muchas de las tiles sugerencias de usted, nuestro usuario. En esta edicin se han introducido algunas caractersticas nuevas y revisado otras. Encontrar lo que espera, un libro de texto pedaggico, matemticamente preciso y entendible.

Estamos contentos y emocionados de ofrecerle algo totalmente nuevo en esta edicin, un sitio web, en LarsonCalculus.com. Este sitio ofrece muchos recursos que le ayudarn en su estudio del clculo. Todos estos recursos estn a slo un clic de distancia.

Nuestro objetivo en todas las ediciones de este libro de texto es proporcionarle las herramientas necesarias para dominar el clculo. Esperamos que encuentre tiles los cambios de esta edicin, junto con LarsonCalculus.com, para lograrlo.

En cada conjunto de ejercicios, asegrese de anotar la referencia a CalcChat.com. En este sitio gratuito puede bajar una solucin paso a paso de cualquier ejercicio impar. Adems, puede hablar con un tutor, de forma gratuita, dentro del horario publicado en el sitio. Al paso de los aos, miles de estudiantes han visitado el sitio para obtener ayuda. Utilizamos toda esta informacin como ayuda para guiarlo en cada revisin de los ejercicios y soluciones.

Prefacio

Lo nuevo en esta edicin

NUEVO LarsonCalculus.com Este sitio web ofrece varias herramientas y recursos para complementar su aprendizaje. El acceso a estas herramientas es gratuito. Videos de explicaciones de conceptos o demostraciones del libro, ejemplos para explorar, vista de grficas tridimensionales, descarga de artculos de revistas de matemticas y mucho ms.

NUEVA Apertura de captuloEn cada apertura de captulo se resaltan aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios.

NUEVOS Ejemplos interactivosLos ejemplos del libro estn acompaados de ejemplos interactivos en LarsonCalculus.com. Estos ejemplos interactivos usan el reproductor CDF de Wolfram y permiten explorar el clculo manejando las funciones o grficas y observando los resultados.

NUEVOS Videos de demostracionesVea videos del coautor Bruce Edwards, donde explica las demostraciones de los teoremas de Clculo, dcima edicin, en LarsonCalculus.com.

v

NUEVO Cmo lo ve? La caracterstica Cmo lo ve? en cada seccin presenta un problema de la vida real que podr resolver mediante inspeccin visual utilizando los conceptos aprendidos en la leccin. Este ejercicio es excelente para el anlisis en clase o la preparacin de un examen.

Comentario Revisado Estos consejos y sugerencias refuerzan o amplan conceptos, le ayudan a aprender cmo estudiar matemticas, le advierten acerca de errores comunes, lo dirigen en casos especiales o le muestran los pasos alternativos o adicionales en la solucin de un ejemplo.

Conjuntos de ejercicios Revisados Los conjuntos de ejercicios han sido amplia y cuidadosamente examinados para asegurarnos que son rigurosos e importantes y que incluyen todos los temas que nuestros usuarios han sugerido. Se han reorganizado los ejercicios y titulado para que pueda ver mejor las conexiones entre los ejemplos y ejercicios. Los ejercicios de varios pasos son ejercicios de la vida real que refuerzan habilidades para resolver problemas y dominar los conceptos, dando a los estudiantes la oportunidad de aplicarlos en situaciones de la vida real.

Cambios en el contenidoEl apndice A (Demostracin de teoremas seleccionados) ahora se presenta en formato de video (en ingls) en LarsonCalculus.com. Las demostraciones tambin se presentan en forma de texto (en ingls y con costo adicional) en CengageBrain.com.

Caractersticas confiables

AplicacionesSe han elegido con cuidado ejercicios de aplicacin y ejemplos que se incluyen para dirigir el tema: Cundo usar esto?. Estas aplicaciones son tomadas de diversas fuentes, tales como acontecimientos actuales, datos del mundo, tendencias de la industria y, adems, estn relacionadas con una amplia gama de intereses, entendiendo dnde se est utilizando (o se puede utilizar) el clculo para fomentar una comprensin ms completa del material.

Desarrollo de conceptos Los ejercicios escritos al final de cada seccin estn diseados para poner a prueba su comprensin de los conceptos bsicos en cada seccin, motivndole a verbalizar y escribir las respuestas, y fomentando las habilidades de comunicacin tcnica que le sern invaluables en sus futuras carreras.

134 Captulo 3 Funciones vectoriales

40.

41.

42. r t 2 sen t i 2 cos t j 2 sen tk

r t sen t i 32 cos t12t j

12 cos t

32 k

r t t i 32 t2 j 12t

2 k

Pinselo En los ejercicios 43 y 44, use un sistema algebraico

vectorial r(t). Para cada u(t), haga una conjetura sobre la trans-t). Use un sistema alge-

43.(a)(b)(c)(d)(e)

44.(a)(b)(c)(d)(e) u t t i t 2j 12 t 3k

u t t i t2j 18t3ku t t i t2j 12t 3 4 ku t t2i t j 12t3ku t t i t 2 2 j 12t 3k

r t t i t2j 12t3ku t 6 cos t i 6 sen t j 12tku t 12t i 2 sen t j 2 cos tku t 2 cos t i 2 sen t j 12 t ku t 2 cos t i 2 sen t j 2tku t 2 cos t 1 i 2 sen t j 12tk

r t 2 cos t i 2 sen tj 12tk

Representar una grfica mediante una funcin vecto-rial En los ejercicios 45 a 52, represente la curva plana por me-dio de una funcin vectorial. (Hay muchas respuestas correctas.)

.64.54

.84.74

.05.94

.25.15 x2

9y 216 1

x216

y24 1

x 2 2 y2 4x2 y 2 25y 4 x2y x 2 22x 3y 5 0y x 5

Representar una grfica mediante una funcin vecto-rial En los ejercicios 53 a 60, dibuje la curva en el espacio

-presente la curva por una funcin vectorial utilizando el par-metro dado.

ParmetroSuperficies53.54.55.56.57.58.59.60. x t primer octantex 2 y 2 z 2 16, xy 4

x t primer octantex 2 z 2 4, y 2 z 2 4x 2 sen tx2 y 2 z 2 10, x y 4x 1 sen tx2 y 2 z 2 4, x z 2z t4x2 4y 2 z 2 16, x z2x 2 sen tx2 y 2 4, z x2x 2 cos tz x2 y 2, z 4x tz x2 y 2, x y 0

61. Dibujar una curva Demuestre que la funcin vectorial r(t) = ti + 2t cos tj + 2t sen tk se encuentra en el cono 4x2 = y2 + z2. Dibuje la curva.

62. Dibujar una curva Demuestre que la funcin vectorial r(t) = et cos ti + et sen tj + etk se encuentra en el cono z2 = x2 + y2. Dibuje la curva.

Determinar un lmite En los ejercicios 63 a 68, evale el l-mite (si existe).

63.

64.

65.

66.

67.

68. lmt

e t i 1t jt

t 2 1 k

lmt0

et i sen tt j et k

lmt1

t i ln tt 2 1 j1

t 1 k

lmt0

t 2 i 3t j 1 cos tt k

lmt2

3ti 2t2 1 j 1t k

lmt

t i cos t j sen tk

Continuidad de una funcin vectorial En los ejercicios 69 a 74, determine el (los) intervalo(s) en que la funcin vectorial es continua.

69.

70.71.72.

.47.37 r t 8, t, 3 tr t e t, t 2, tan tr t 2e t i e t j ln t 1 kr t t i arcsen t j t 1 kr t t i t 1 j

r t t i 1t j

DESARROLLO DE CONCEPTOS

Escribir una transformacin En los ejercicios 75 a 78, considere la funcin vectorial

r(t) = t2i + (t 3)j + tk.

D una funcin vectorial s(t) que sea la transformacin es-

75. Una traslacin vertical tres unidades hacia arriba.

76. Una traslacin vertical dos unidades hacia abajo.

77. Una traslacin horizontal dos unidades en direccin del eje x negativo.

78. Una traslacin horizontal cinco unidades en direccin del eje y positivo.

79. Continuidad de una funcin vectorial Escriba la

D un ejemplo de una funcin vectorial que est de-t = 2.

80. Comparar funciones -

(a)(b)(c)(d) r t 3 cos 2t 1 i 5 sen 2t 2 j 4k

r t 3 cos t 1 i 5 sen t 2 j 4kr t 4i 3 cos t 1 j 5 sen t 2 kr t 3 cos t 1 i 5 sen t 2 j 4k

CMO LO VE? vectorial r(t) para 0 t 2p y su derivada r(t) para diferentes valores de t.

12 32151

2

4

1

2

3

4

t = pi56

t = pi54

t = pi4

x

y

(a) -mine si cada componente es positiva o negativa.

(b) Es suave la curva en el intervalo [0, 2p]? Explique su razonamiento.

vi Prefacio

viiPrefacio

Teoremas Los teoremas proporcionan el marco conceptual del clculo. Los teoremas se enuncian claramente y estn separados del resto del libro mediante recuadros de referencia visual rpida. Las demostraciones importantes a menudo se ubican enseguida del teorema y se pueden encontrar en Larson Calculus.com.

Arco de St. LouisEl arco de entrada a San Luis, Missouri, fue diseado utili-zando la funcin coseno hiperblico. La ecuacin utilizada para la construccin del arco fue

299.2239 x 299.2239y 693.8597 68.7672 cosh 0.0100333x,

donde x y y se miden en pies. Las secciones transversales del arco son tringulos equilteros, y (x, y) traza la ruta de los centros de masa de los tringulos de la seccin transver-sal. Para cada valor de x, el rea del tringulo de la seccin transversal es

A 125.1406 cosh 0.0100333x.

(Fuente: Owner s Manual for the Gateway Arch, Saint Louis, MO, por William Thayer.)

(a) A qu altura sobre el suelo est el centro del tringulo ms alto? (A nivel del suelo, y = 0.)

(b) Cul es la altura del arco? (Sugerencia: Para un tringulo equiltero, , A 3c2donde c es la mitad de la base del tringulo, y el centro de masa del tringulo est situado a dos tercios de la altura del tringulo.)

(c) Qu tan ancho es el arco al nivel del suelo?

PROYECTO DE TRABAJO

Definicin de diferencial total

Si z = f(x, y), y x y y son los incrementos en x y en y, entonces laslas diferenciales de las variables independientes x y y son

y dy ydx x

y la diferencial total de la variable dependiente z es

dz zx dx z

y dy fx x, y dx fy x, y dy.

Definiciones Como con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente usando terminologa precisa, formal y estn separadas del texto mediante recuadros para una referencia visual rpida.

Exploraciones Las exploraciones proporcionan retos nicos para estudiar conceptos que an no se han cubierto formalmente en el libro. Le permiten aprender mediante el descubrimiento e introducir temas relacionados con los que est estudiando en ese momento. El explorar temas de esta manera le invita a pensar de manera ms amplia.

Notas histricas y biografas Las notas histricas le proporcionan informacin acerca de los fundamentos de clculo. Las biografas presentan a las personas que crearon y contribuyeron al clculo.

TecnologaA travs del libro, los recuadros de tecnologa le ensean a usar tecnologa para resolver problemas y explorar conceptos del clculo. Estas sugerencias tambin indican algunos obstculos del uso de la tecnologa.

Proyectos de trabajoLos proyectos de trabajo se presentan en algunas secciones y le invitan a explorar aplicaciones relacionadas con los temas que est estudiando. Proporcionan una forma interesante y atractiva para que usted y otros estudiantes trabajen e investiguen ideas de forma conjunta.

Desafos del examen Putnam Las preguntas del examen Putnam se presentan en algunas secciones. Estas preguntas de examen Putnam lo desafan y le amplan los lmites de su comprensin sobre el clculo.

viii

Recursos para el estudiante (Disponibles slo en ingls y con un costo adicional) Manual de soluciones del estudiante para Clculo de una variable

(Captulos P10 de Clculo): ISBN 1-285-08571-X

Manual de soluciones del estudiante para Clculo de varias variables(Captulos 1116 de Clculo): ISBN 1-285-08575-2

Estos manuales contienen soluciones para todos los ejercicios impares.

www.webassign.net

Tarjeta de acceso impresa: ISBN 0-538-73807-3Cdigo de acceso en lnea: ISBN 1-285-18421-1WebAssign mejorado est diseado para que pueda hacer su tarea en lnea. Este sistema probado y confiable utiliza pedagoga, y con el contenido de este libro per-mite ayudarle a aprender clculo ms eficazmente. La tarea que se califica en forma automtica le permite concentrarse en su aprendizaje y obtener asistencia interactiva en su estudio fuera de clase. WebAssign mejorado para Clculo, 10e, contiene el YouBook Cengage, un eBook interactivo que contiene clips de video, caractersti-cas de resaltado y toma de notas y mucho ms!

CourseMate es una herramienta de estudio perfecto para introducir conceptos a la vida con herramientas de aprendizaje interactivo, estudio y preparacin de exmenes que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate incluye: un eBook interactivo, videos, cuestionarios, tarjetas ilustradas y mucho ms!

CengageBrain.com Para tener acceso a los materiales adicionales incluidos en el CourseMate, visite www.cengagebrain.com. En la pgina de inicio de Cengage-Brain.com, busque el ISBN de su ttulo (en la contraportada del libro) utilizando el cuadro de bsqueda en la parte superior de la pgina. ste le llevar a la pgina del producto, donde podr encontrar estos recursos.

Recursos para el profesor (Disponibles slo en ingls)

www.webassign.net

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Miles de problemas de tarea que concuerdan con los ejercicios de fin de seccin de su libro de texto.

Oportunidades para que los estudiantes revisen habilidades de prerrequisitos y el contenido tanto al inicio del curso como al principio de cada seccin.

Lea estas pginas del eBook, Vea los videos, Tutoriales para dominar y Platique acerca de los vnculos.

Un YouBook Cengage adaptable para resaltar, tomar notas y buscar notas, ade-ms de vnculos a recursos multimedia.

Planes de estudio personales (basados en cuestionarios de diagnstico) que identifi-can los temas de captulo que los estudiantes podrn necesitar para tener el dominio.

Recursos adicionales

ix Recursos adicionales

Un evaluador de respuestas de WebAssign que reconoce y acepta respuestas matemticas equivalentes y tambin califica las tareas.

Una caracterstica de Presentacin de mi trabajo que les da la opcin a los estudiantes de ver videos de soluciones detalladas.

Clases, videos y mucho ms!

YouBook Cengage adaptable Su Youbook es un eBook interactivo y adaptable! Un libro que contiene todo el contenido de Clculo, 10e. Las caractersticas de edicin de textos del YouBook le permiten modificar la narrativa del libro de texto cuando sea necesario. Con YouBook rpidamente puede volver a ordenar los cap-tulos y secciones completas u ocultar cualquier contenido que usted no ensee para crear un eBook que se ajuste perfectamente con su plan de estudios. Se puede adap-tar el libro de texto agregando videos creados por el profesor o vnculos a videos de YouTube. Otras ventajas de los medios incluyen: videoclips, resaltado y toma de notas y mucho ms! YouBook est disponible en WebAssign mejorado.

Soluciones completas del Manual para clculo de una sola variable, tomo 1 (Captulos P6 de Clculo): ISBN 1-285-08576-0

Soluciones completas del Manual para clculo de una sola variable, tomo 2 (Captulos 710 de Clculo): ISBN 1-285-08577-9

Soluciones completas del Manual para clculo de varias variables (Captulos 1116 de Clculo): ISBN 1-285-08580-9

Los Manuales de soluciones completas contienen soluciones para todos los ejerci-cios en el libro.

Constructor de soluciones (www.cengage.com/solutionbuilder) Esta base de datos en lnea para el profesor ofrece soluciones completas para todos los ejercicios en el libro, lo que le permite crear soluciones personalizadas e impresiones de las soluciones (en formato PDF) que coinciden exactamente con los problemas que se asignan en clase.

PowerLecture (ISBN 1-285-08583-3) Este DVD completo para el profesor incluye recursos como una versin electrnica de la Gua de recursos del profesor completa, clases preconstruidas de PowerPoint, todas las imgenes del libro en formatos jpeg y PowerPoint y el software algortmico de exmenes computarizados ExamView.

ExamView exmenes computarizados Crea, entrega y adapta los exmenes en forma-to impreso y en lnea con ExamView, un software tutorial y de evaluacin fcil de usar. ExamView para Clculo, 10e, contiene cientos de algoritmos de preguntas de opcin mltiple y de respuesta corta. ExamView est disponible en el DVD PowerLecture.

Gua de recursos para el profesor (ISBN 1-285-09074-8) Este poderoso manual contiene varios recursos importantes del libro de texto por captulo y seccin, inclu-yendo resmenes del captulo y estrategias de enseanza. Una versin electrnica de la Gua de recursos del profesor est disponible en el DVD de PowerLecture.

CourseMate es una herramienta de estudio ideal para estudiantes y no requiere que lo configure. CourseMate incorpora conceptos del curso a la vida con aprendizaje interactivo, estudio y herramientas de preparacin de examen que apoyan el libro impreso. CourseMate para Clculo, 10e, incluye: un eBook interactivo, videos, cuestionarios, tarjetas ilustradas y ms! Para los profesores, CourseMate incluye un seguidor de participaciones, una herramienta, primera en su tipo, que supervisa la participacin de los estudiantes.

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xQueremos dar las gracias a muchas personas que nos han ayudado en las diferentes etapas de Clculo en los ltimos 39 aos. Su estmulo, crticas y sugerencias han sido invaluables.

Revisores de la dcima edicin Denis Bell, University of Northern Florida; Abraham Biggs, Broward Community Colle-ge; Jesse Blosser, Eastern Mennonite School; Mark Brittenham, University of Nebraska; Mingxiang Chen, North Carolina A & T State University; Marcia Kleinz, Atlantic Cape Community College; Maxine Lifshitz, Friends Academy; Bill Meisel, Florida State Co-llege en Jacksonville; Martha Nega, Georgia Perimeter College; Laura Ritter, Southern Polytechnic State University; Chia-Lin Wu, Richard Stockton College of New Jersey

Revisores de las ediciones anterioresStan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio Universi-ty; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington Uni-versity; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P. S. Crooke, Vanderbilt University; Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts en Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Ca-rolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Communi-ty College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas en Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College.

Muchas gracias a Robert Hostetler, The Behrend College, The Pennsylvania State University, y David Heyd, The Behrend College, The Pennsylvania State University, por sus importantes contribuciones a las ediciones anteriores de este libro.

Tambin nos gustara dar las gracias al personal de Larson Texts, Inc., que nos ayu-d a preparar el manuscrito, a presentar las imgenes, componer y corregir las pginas y suplementos.

A nivel personal, estamos muy agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Adems, una nota de agra-decimiento especial para R. Scott ONeil.

Si tiene sugerencias para mejorar este libro, por favor no dude en escribirnos. Con los aos hemos recibido muchos comentarios tiles de los profesores y estudiantes, y los valoramos mucho.

Ron Larson

Bruce Edwards

Agradecimientos

Opciones del libro de texto de Clculo El curso tradicional de clculo est disponible en diversas presentaciones del libro de texto para considerar las diferentes maneras de enseanza de los profesores, y que

los estudiantes toman, en sus clases. El libro se puede adaptar para satisfacer sus necesidades individuales y est disponible en CengageBrain.com.

Your Course. A su manera

xi

1Topografa (Ejercicio 39, p. 69)

1.1 Antiderivadas e integracin indefinida 1.2 rea 1.3 Sumas de Riemann e integrales definidas 1.4 Teorema fundamental del clculo 1.5 Integracin por sustitucin 1.6 Integracin numrica

Varios productos qumicos fluyendo

en un tanque (Ejemplo 9, p. 44)

1

De izquierda a derecha, Molodec/Shutterstock.com; Henryk Sadura/Shutterstock.com; Christian Lagerek/Shutterstock.com; Josemaria Toscano/Shutterstock.com; Lukich/Shutterstock.com.

Electricidad (Ejercicio 84, p. 61)

Velocidad del sonido (Ejemplo 5, p. 40)

Integracin

Gran Can (Ejercicio 58, p. 10)

2 Captulo 1 Integracin

1.1 Antiderivadas e integracin indefinida

Escribir la solucin general de una ecuacin diferencial y usar la notacin de integral indefinida para antiderivadas.

Utilizar las reglas de la integracin bsicas para encontrar antiderivadas. Encontrar una solucin particular de una ecuacin diferencial.

AntiderivadasPara encontrar una funcin F cuya derivada es f(x) = 3x2, podra usar lo que sabe de derivadas, para concluir que

F(x) = x2 ya que ddx x3 3x2.

La funcin F es una antiderivada de f.

Definicin de una antiderivada

Se dice que una funcin F es una antiderivada de f, en un intervalo I, si F (x) = f(x) para todo x en I.

Note que F se llama una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para en-tender por qu, observe que

y F3 x x3 97F2 x x3 5F1 x x3,son todas antiderivadas de f(x) = 3x2. De hecho, para cualquier constante C, la funcin dada por F(x) = x3 + C es una antiderivada de f.

TEOREMA 1.1 Representacin de antiderivadas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y slo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en I, donde C es una constante.

Demostracin La demostracin del teorema 1.1 en un sentido es directa. Esto es, si G(x) = F(x) + C, F(x) = f (x) y C es constante, entonces

G x ddx F x C F x 0 f x .

Para demostrar este teorema en otro sentido, suponga que G es una antiderivada de f. Defina una funcin H tal que

H x G(x F x .

Para cualesquiera dos puntos a y b (a < b) en el intervalo, H es continua sobre [a, b] y derivable dentro de (a, b). Por el teorema del valor medio,

H c H b H ab a

para algn c en (a, b). Sin embargo, H(c) = 0, por consiguiente H(a) = H(b). Dado que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, usted sabe que H es una funcin constante C. As, G(x) F(x) = C y por esto G(x) = F(x) + C.Consulte LarsonCalculus.com para ver el video de Bruce Edwards de esta demostracin.

ExploracinDeterminacin de antiderivadas Para cada derivada describa la funcin original F.

a.

b.c.

d.

e.

f. F x cos x

F x 1x3

F x 1x2

F x x2F x xF x 2x

Qu estrategia us para determinar F?

3 1.1 Antiderivadas e integracin indefinida

Si utiliza el teorema 1.1, puede representar la familia completa de antiderivadas de una funcin agregando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, sabien-do que

Dx x2 2x

puede representar la familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x por

G(x) = x2 + C. Familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x

donde C es constante. La constante C recibe el nombre de constante de integracin. La familia de funciones representadas por G es la antiderivada general de f, y G(x) =x2 + C es la solucin general de la ecuacin diferencial.

G(x) = 2x Ecuacin diferencial

Una ecuacin diferencial en x y y es una ecuacin que incluye a x, y y a las deriva-das de y. Por ejemplo,

y = 3x y y = x2 + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales.

EJEMPLO 1 Solucin de una ecuacin diferencial

Determine la solucin general de la ecuacin diferencial y = 2.

Solucin Para empezar, determine una funcin cuya derivada es 2. Una funcin con esta caracterstica es

y = 2x. 2x es una antiderivada de 2.

Ahora bien, utilice el teorema 1.1 para concluir que la solucin general de la ecuacin diferencial es

y = 2x + C. Solucin general

En la figura 1.1 se muestran las grficas de varias funciones de la forma y = 2x + C.

Cuando resuelva una ecuacin diferencial de la forma

dydx f x

es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente

dy = f(x) dx.

La operacin para determinar todas las soluciones de esta ecuacin se denomina an-tiderivacin (o integracin indefinida) y se denota mediante un signo integral . La solucin se denota mediante

y f x dx F x C.

Variable de integracin

Antiderivada de f(x)

Constante de integracin

Integrando

La expresin f x dx se lee como la antiderivada de f respecto a x. De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integracin. El trmino integral indefinida es sinnimo de antiderivada.

x

1

2

2

2

1

1

C = 2

C = 0

C = 1

y

Funciones de la forma y = 2x + C.Figura 1.1

COMENTARIO En este texto, la notacin f x dx = F(x) + C significa que F es una antiderivada de f en un intervalo.


Reglas bsicas de integracinLa naturaleza inversa de la integracin y la derivacin puede comprobarse sustituyendo F(x) por f(x) en la definicin de integracin indefinida para obtener

La integracin es la inversa de la derivacin. F x dx F x C.

Adems, si f x dx F x C, entonces

La derivacin es la inversa de la integracin. ddx f x dx f x .

Estas dos ecuaciones le permiten obtener directamente frmulas de integracin a partir de frmulas de derivacin, como se muestra en el siguiente resumen.

Observe que la regla de la potencia para la integracin tiene la restriccin n 1. La evaluacin de

1x dx

ddx csc x csc x cot x

ddx cot x csc

2 x

ddx sec x sec x tan x

ddx tan x sec

2 x

ddx cos x sen x

ddx sen x cos x

ddx x

n nxn 1

ddx f x g x f x g x

ddx kf x k f x

ddx kx k

ddx C 0

Regla de la potencia

csc x cot x dx csc x C

csc2 x dx cot x C

sec x tan x dx sec x C

sec2 x dx tan x C

sen x dx cos x C

cos x dx sen x C

n 1xn dx xn 1

n 1 C,

f x g x dx f x dx g x dx

kf x dx k f x dx

k dx kx C

0 dx C

Reglas bsicas de integracinFrmula de derivacin Frmula de integracin


EJEMPLO 2 Describir antiderivadas

Regla del mltiplo constante

Reescriba x como x1.

Regla de potencia (n = 1)

Simplifique. 32 x

2 C

3 x2

2 C

3 x1 dx

3x dx 3 x dx

Las antiderivadas de 3x son la forma 32x2 C, donde C es cualquier constante.

Cuando se evalan integrales indefinidas, una aplicacin estricta de las reglas bsi-cas de integracin tiende a producir complicadas constantes de integracin. En el caso del ejemplo 2, la solucin se podra haber escrito

3x dx 3 x dx 3 x2

2 C32x

2 3C.

Sin embargo, como C representa cualquier constante, es problemtico e innecesario escribir 3C como la constante de integracin. Por tanto, 32 x

2 3C se escribe en la forma ms simple, 32x

2 C.

EJEMPLO 3 Reescribir antes de integrar

Consulte LarsonCalculus.com para una versin interactiva de este tipo de ejemplo.

a.

b.

c. 2 cos x C2 cos x C2 sen x dx2 sen x dx

23x

3 2 Cx3 2

3 2 Cx1 2

dxx dx

12x2 C

x 2

2 Cx3 dx1

x3 dx

Integral original Reescriba Integre Simplifique

EJEMPLO 4 Integrar funciones polinomiales

a. Se entiende que el integrando es uno.

Integre.

b.

Integre.

C C1 C2 x2

2 2x C

x2

2 C1 2x C2

x 2 dx x dx 2 dx

x C

dx 1 dx

La segunda lnea en la solucin suele omitirse.

c.

35x

5 53x

3 12x

2 C

3x4 5x2 x dx 3 x5

5 5x3

3x2

2 C

COMENTARIO En el ejemplo 2, advierta que el patrn general de integracin es similar al de la derivacin.

Simplifique

Integre

Reescriba

Integral original

TECNOLOGA Algunos programas de software, como Maple y Mathematica, son capaces de efectuar simblica-mente la integracin. Si tiene acceso a estas herramientas de integracin simblica, utilce-las para calcular las integrales indefinidas del ejemplo 3.

COMENTARIO Las reglas de integracin bsicas le permi-ten integrar cualquier funcin polinomial.



Reescriba como dos fracciones.

Reescriba con exponentes fraccionarios.

Integre.

Simplifique.

23 x x 3 C

23x

3 2 2x1 2 C

x3 2

3 2x1 2

1 2 C

x1 2 x 1 2 dx

x 1x

dx xx

1x

dx

Cuando integre cocientes, no debe integrar numerador y denominador por separa-do. Esto es incorrecto tanto en la integracin como en la derivacin. Al respecto, obser-ve el ejemplo 5, cercirese de entender que

x 1x

dx 23 x x 3 C

no es lo mismo que

x 1 dxx dx

12 x2 x C1

23 x x C2

.


Reescriba como un producto.

Reescriba utilizando identidadestrigonomtricas.Integre. sec x C

sec x tan x dx

sen x

cos2 x dx 1

cos x

sen x

cos x dx


Integral original Reescriba Integre Simplifique

a.

b.

c.

d. 37x7 3 3x4 3 Cx

7 3

7 3 4x4 3

4 3 Cx4 3 4x1 3 dx3 x x 4 dx

12x

2 3x

Cx2

2 3x 1

1 Cx 3x2

dxx3 3

x2 dx

15 t

5 23 t

3 t Ct5

5 2t3

3 t Ct4 2t2 1 dtt2 1 2 dt

4x1 2 C2 x1 2

1 2 C2 x1 2

dx2x dx

Al hacer los ejercicios, tenga en cuenta que puede comprobar su respuesta a un problema de antiderivacin, derivando. Por ejemplo, en el ejemplo 7(a), puede compro-bar que 4x1 2 C es la antiderivada correcta derivando la respuesta para obtener

Utilice la derivacin para comprobar la antiderivada.Dx 4x1 2 C 412 x

1 2 2x.

COMENTARIO Antes de comenzar la serie de ejercicios, asegrese de realizar uno de los pasos ms importantes en la integracin que es reescribir el integrando en una forma que se ajuste a una de las reglas bsicas de integracin.


Condiciones iniciales y soluciones particularesHa visto que la ecuacin y f x dx tiene muchas soluciones (cada una difiere de las otras en una constante). Eso significa que las grficas de cualesquiera dos antiderivadas de f son traslaciones verticales una de otra. Por ejemplo, la figura 1.2 muestra las grfi-cas de varias de las antiderivadas de la forma

Solucin generaly 3x2 1 dx x3 x C

para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas es una solucin de la ecuacin diferencial

dydx 3x

2 1.

En muchas aplicaciones de la integracin, se le da suficiente informacin para de-terminar una solucin particular. Para hacer esto, slo necesita conocer el valor de y = F(x) para un valor de x. Esta informacin recibe el nombre de condicin inicial. Por ejemplo, en la figura 1.2, slo una de las curvas pasa por el punto (2, 4). Para encontrar esta curva, utilice la solucin general

Solucin generalF x x3 x C

y la condicin inicial

Condicin inicialF 2 4.

Utilizando la condicin inicial en la solucin general, puede determinar que

F 2 8 2 C 4

lo que implica que C = 2 . Por tanto obtiene

Solucin particularF x x3 x 2.

EJEMPLO 8 Determinar una solucin particular

Encuentre la solucin general de

x > 0F x 1x2

,

y determine la solucin particular que satisface la condicin inicial F(1) = 0.

Solucin Para encontrar la solucin general, integre para obtener

Reescriba como una potencia.

Integre.

Solucin general 1x

C, x > 0.

x 1

1 C

x 2 dx

F x F x dx F x 1x2

dx

Utilizando la condicin inicial F(1) = 0, resuelva para C de la manera siguiente.

C 1F 1 11 C 0

Por tanto, la solucin particular, como se muestra en la figura 1.3, es

Solucin particularx > 0.F x 1x

1,

x

1

2

3

4

2

2

3

4

2

1

1C = 0

C = 1

C = 2

C = 3

C = 4

C = 1

C = 2

C = 3

C = 4

(2, 4)

F(x) = x3 x + C

y

La solucin particular que satisface la condicin inicial F(2) = 4 es F(x) = x3 x 2.Figura 1.2

x

1

2

3

2

3

2

1

1C = 0

C = 1

C = 2

C = 3

C = 4

C = 1

C = 2

C = 3

(1, 0)

F(x) = + C1x

y

La solucin particular que satisface la condicin inicial F(1) = 0 es

x > 0.F x 1 x 1,Figura 1.3


Hasta ahora, en esta seccin ha utilizado x como variable de integracin. En las aplicaciones, a menudo es conveniente utilizar una variable distinta. As, en el siguiente ejemplo, la variable de integracin es el tiempo t.

EJEMPLO 9 Solucionar un problema de movimiento vertical

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies.

a. Encuentre la funcin posicin que expresa la altura s en una funcin del tiempo t.

b. Cundo llegar la pelota al suelo?

Solucin

a. Considere que t = 0 representa el tiempo inicial. Las dos condiciones iniciales indicadas pueden escribirse de la siguiente manera.

La altura inicial es 80 pies.

La velocidad inicial es de 64 pies por segundo.s 0 64 s 0 80

Utilizando 32 pies/s2 como la aceleracin de la gravedad, puede escribir

s t s t dt 32dt 32t C1.

s t 32

Empleando la velocidad inicial obtiene s 0 64 32 0 C1, lo cual implica que C1 = 64. Despus, integrando s(t), obtiene

s t s t dt 32t 64 dt 16 t2 64 t C2.

Al utilizar la altura inicial, encuentra que

s 0 80 16 02 64 0 C2

lo que implica que C2 = 80. De ese modo, la funcin posicin es

Vea la figura 1.4.s t 16t2 64t 80.

b. Utilizando la funcin posicin que encontr en el inciso (a), es posible determinar el tiempo en que la pelota golpea el suelo al resolver la ecuacin s(t) = 0.

t 1, 5 16 t 1 t 5 0 16t2 64t 80 0

Como t debe ser positivo, puede concluir que la pelota golpea el suelo 5 segundos despus de haber sido lanzada.

En el ejemplo 9, observe que la funcin posicin tiene la forma

s t

12gt

2 v0t s0

donde g = 32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura inicial.El ejemplo 9 muestra cmo utilizar el clculo para analizar problemas de movi-

miento vertical en los que la aceleracin es determinada por una fuerza de gravedad. Puede utilizar una estrategia similar para analizar otros problemas de movimiento recti-lneo (vertical u horizontal) en los que la aceleracin (o desaceleracin) es el resultado de alguna otra fuerza, como ver en los ejercicios 61-68.

s

t102030405060708090

100110120130140150

1 2 3 4 5

t = 0

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

t = 5

Tiempo (en segundos)

Altu

ra (e

n pies

)

s(t) = 16t2 + 64t + 80

Altura de una pelota en el tiempo t.Figura 1.4


Integrar y derivar En los ejercicios 1 y 2, compruebe la ex-presin demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo.

1.

2. 8x3 12x 2 dx 2x4 1

2x C

6x4

dx 2x3

C

Resolver una ecuacin diferencial En los ejercicios 3 a 6, encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial y com-pruebe el resultado mediante derivacin.

.4.3

.6.5 dydx 2x3dy

dx x3 2

dydt 5

dydt 9t

2

Reescribir antes de integrar En los ejercicios 7 a 10, com-plete la tabla para encontrar la integral indefinida.

Integral original Reescribir Integrar Simplificar

7.

8.

9.

10. 13x 2 dx

1x x

dx

14x2 dx

3 x dx

Encontrar una integral indefinida En los ejercicios 11 a 32, encuentre la integral indefinida y compruebe el resultado me-diante derivacin.

.21.11

.41.31

.61.51

.81.71

.02.91

.22.12

.42.32

.62.52

.82.72

.03.92 sec y tan y sec y dysec2 sen d

2 sec2 d1 csc t cot t dt

t2 cos t dt5 cos x 4 sen x dx

4t2 3 2 dtx 1 3x 2 dx

x4 3x2 5x 4

dxx 6x

dx

3x7

dx1x5

dx

4 x3 1 dx3 x2 dx

x1

2 x dxx3 2 2x 1 dx

8x3 9x2 4 dxx5 1 dx

13 x dxx 7 dx

.23.13 4x csc2 x dxtan2 y 1 dy

Dibujar una grfica En los ejercicios 33 y 34 se presenta la grfica de la derivada de una funcin. Dibuje las grficas de dos funciones que tengan la derivada sealada. (Hay ms de una respuesta correcta.) Para imprimir una copia ampliada de la grfica, visite MathGraphs.com.

.43.33

x

1

1 2

2

2

2 1

f

y

x

2

6

2 42

4 2

f

y

Encontrar una solucin particular En los ejercicios 35 a 42, encuentre la solucin particular que satisface la ecuacin diferencial y las condiciones iniciales.

35.36.37.38.39.40.41.42. f x sen x, f 0 1, f 0 6

f x x 3 2, f 4 2, f 0 0f x x2, f 0 8, f 0 4f x 2, f 2 5, f 2 10f s 10s 12s3, f 3 2h t 8t3 5, h 1 4g x 4x2, g 1 3f x 6x, f 0 8

Campos direccionales En los ejercicios 43 y 44 se dan una ecuacin diferencial, un punto y un campo direccional. Un cam-po de pendientes (o campo de direcciones) est compuesto por segmentos de recta con pendientes dadas por la ecuacin dife-rencial. Estos segmentos de recta proporcionan una perspectiva visual de las pendientes de las soluciones de la ecuacin dife-rencial. (a) Dibuje dos soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial en el campo de pendientes, una de las cuales pasa por el punto indicado. (Para imprimir una copia ampliada de la grfica, visite MathGraphs.com.) (b) Utilice la integracin para determinar la solucin particular de la ecuacin diferencial y use una herramienta de graficacin para representar la solu-cin. Compare el resultado con los dibujos del inciso (a).

.44.34

x

y

1

432

4321

7x

y

3

3

3

3

dydx

1x2

, x > 0, 1, 3dydx x2 1, 1, 3

1.1 Ejercicios Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeracin impar.


Campos direccionales En los ejercicios 45 y 46, (a) utilice una herramienta de graficacin para representar un campo direccional para la ecuacin diferencial, (b) utilice la integra-cin y el punto indicado para determinar la solucin particular de ecuacin diferencial y (c) trace la grfica de la solucin y el campo direccional.

.64.54 dydx 2 x, 4, 12dydx 2x, 2, 2


47. Antiderivadas e integrales indefinidas Cul es la diferencia, si existe, entre encontrar la antiderivada de f(x) y evaluar la integral

f x dx?48. Comparar funciones Considere f(x) = tan2 x y g(x)

=sec2 x. Qu nota acerca de las derivadas de f (x) y g(x)? Qu puede concluir acerca de la relacin entre f (x) y g(x)?

49. Dibujar una grfica Las grficas de f y f pasan a tra-vs del origen. Use la grfica de f mostrada en la figura para bosquejar la grfica de f y f. Para imprimir una copia ampliada de la grfica, visite MathGraphs.com

x

2

2

4

424

4

2

f

y

50. CMO LO VE? Use la grfica de f que se mues-tra en la figura para responder lo siguiente.

x

23

3 5 721

45

82

f

y

(a) Aproxime la pendiente de f en x = 4. Explique. (b) Es posible que f(2) = 1? Explique. (c) Es f(5) f(4)> 0? Explique. (d) Aproxime el valor de x donde f es mxima. Explique. (e) Aproxime cualquier intervalo en el que la grfica de f

es cncava hacia arriba y cualquier intervalo abierto en el cual es cncava hacia abajo. Aproxime la coordena-da x a cualquier punto de inflexin.

Josemaria Toscano/Shutterstock.com

51. Crecimiento de rboles Un vivero de plantas verdes sue-le vender cierto arbusto despus de 6 aos de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 aos es, aproximadamente, dh/dt = 1.5t + 5, donde t es el tiempo en aos y h es la altura en centmetros. Las plantas de semillero miden 12 centmetros de altura cuando se plantan (t = 0).

(a) Determine la altura despus de t aos.

(b) Qu altura tienen los arbustos cuando se venden?

52. Crecimiento poblacional La tasa de crecimiento dP/dt de una poblacin de bacterias es proporcional a la raz cuadra-da de t, donde P es el tamao de la poblacin y t es el tiempo en das 0 t 10 . Esto es,

dPdt k t.

El tamao inicial de la poblacin es igual a 500. Despus de un da la poblacin ha crecido hasta 600. Calcule el tamao de la poblacin despus de 7 das.

Movimiento vertical En los ejercicios 53 a 55, utilice a(t) = 32 pies por segundo por segundo igual a la aceleracin debida a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.)

53. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 6 pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo Qu altura alcanzar la pelota?

54. Con qu velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para alcanzar la parte superior del monumento a Washington (aproximadamente 550 pies)?

55. Un globo aerosttico, que asciende verticalmente con una ve-locidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena en el instante en el que est a 64 pies sobre el suelo.

(a) En cuntos segundos llegar la bolsa al suelo?

(b) A qu velocidad har contacto con el suelo?

Movimiento vertical En los ejercicios 56 a 58, utilice a(t) = 9.8 metros por segundo por segundo igual a la aceleracin de-bida a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.)

56. Una pelota de bisbol es lanzada hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 10 metros por segun-do. Determine su altura mxima.

57. A qu velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arri-ba (desde una altura de 2 metros) para que alcance una altura mxima de 200 metros?

58. Gran Can

El Gran Can tiene una profundidad de 1800 metros en su punto ms profundo. Se deja caer una roca desde el borde sobre ese punto. Escriba la altura de la roca como una funcin del tiempo t en segundos. Cunto tardar la roca en llegar al suelo del can?

3Energa de las mareas (Seccin de proyectos, p. 180)

3.1 rea de una regin entre dos curvas 3.2 Volumen: Mtodo de los discos 3.3 Volumen: Mtodo de las capas 3.4 Longitud de arco y superficies de revolucin 3.5 Trabajo 3.6 Momentos, centros de masa y centroides 3.7 Presin y fuerza de un fluido 3.8 Integrales impropias

Torre de agua (Ejercicio 66, p. 150)

129

De izquierda a derecha, AFP Creative/Getty Images; Andrew J. Martnez/Photo Researchers, Inc; Paul Brennan/Shutterstock.com; jl661227/Shutterstock.com; NASA

Poner un mdulo espacial en rbita (Ejemplo 3, p. 175)

Saturno (Seccin de proyectos, p. 160)

Aplicaciones de la integral

Diseo de edificaciones (Ejercicio 79, p. 139)

130 Captulo 3 Aplicaciones de la integral

Encontrar el rea de una regin entre dos curvas utilizando la integracin. Encontrar el rea de una regin entre las curvas de interseccin utilizando

la integracin. Describir la integracin como un proceso de acumulacin.

rea de una regin entre dos curvasCon algunas modificaciones, se puede extender la aplicacin de las integrales definidas del rea de una regin bajo una curva al rea de una regin entre dos curvas. Considere-mos dos funciones f y g que son continuas en el intervalo [a, b]. Adems, las grficas de f y g se encuentran por encima del eje x, y la grfica de g se encuentra por debajo de la grfica de f como se muestra en la figura 3.1. Puede interpretar geomtricamente el rea de la regin entre las grficas como el rea de la regin bajo la grfica de g restada del rea de la regin bajo la grfica de f como se muestra en la figura 3.2.

Figura 3.2

b

a

g x dxb

a

f x dxb

a

f x g x dx

rea de la regin bajo g

rea de la regin bajo f

rea de la reginentre f yg

xa b

f

g

y

xa b

f

g

y

xa b

f

g

y

Para verificar la razonabilidad del resultado que se muestra en la figura 3.2, se puede dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho x. Entonces, como se muestra en la figura 3.3, el dibujo de un rectngulo representativo de ancho x y alto f (xi) g(xi), donde xi se encuentra en el i-simo subintervalo. El rea de este rectn-gulo representativo es

Ai alto ancho f xi g xi x.Mediante la suma de las reas de los n rectngulos y tomando el lmite cuando n , 0 se obtiene

lmn

i 1f xi g xi x.

Debido a que f y g son continuas en [a, b], f g tambin es continua en [a, b] y existe el lmite. Por lo que el rea de la regin es

b

a

f x g x dx.

rea lmn

n

i 1f xi g xi x

3.1 rea de una regin entre dos curvas

x

g

f

Regin entre dos curvas

x = bx = a

y

Figura 3.1

xa bxi

f

gy

f (xi)

g(xi)

x

Rectngulo representativo Alto: f (xi) g(xi)Ancho: x

Figura 3.3COMENTARIO Recuerde de la seccin 1.3 que es la norma de la particin. En una particin normal, los enuncia-dos y n son equivalentes.

131 3.1 rea de una regin entre dos curvas

rea de una regin entre dos curvas

Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) f (x) para toda x en [a, b], entonces el rea de la regin acotada por las grficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es

Ab

a

f x g x dx.

En la figura 3.1, las grficas de f y g se muestran por encima del eje x. Sin embargo, esto no es necesario. El mismo integrando f x g x se puede utilizar mientras f y g sean continuas y g x f x para toda x en el intervalo [a, b]. Esto se resume grfica-mente en la figura 3.4. Observe en la figura 3.4 que la altura de un rectngulo represen-tativo es f x g x) independientemente de la posicin relativa del eje x.

Figura 3.4

x

f(x) g(x)

(x, g(x))

(x, f(x))a b

f

g

y

x

f(x) g(x)

(x, g(x))

(x, f(x))

a b

f

g

y

Los rectngulos representativos se utilizan a lo largo de este captulo en diversas aplicaciones de la integral. Un rectngulo vertical (de ancho x) implica la integracin respecto a x, mientras que un rectngulo horizontal (de ancho y) implica la integracin respecto a y.

EJEMPLO 1 Encontrar el rea de una regin entre dos curvas

Encuentre el rea de la regin acotada por las grficas de y = x2 + 2, y = x, x = 0 y x = 1.

Solucin Sea g(x) = x y f (x) = x2 + 2. Entonces g(x) f (x) para toda x en [0, 1] como se muestra en la figura 3.5. Por lo que el rea del rectngulo representativo es

x2 2 x x A f x g x x

y el rea de la regin es

176

.

13

12 2

x3

3x2

2 2x1

0

1

0x2 2 x dx

Ab

a

f x g x dx

x

3

3

1

1

1

21

(x, f(x))

(x, g(x))

f(x) = x2 + 2

g(x) = x

y

Regin acotada por la grfica de f, la grfica Figura 3.5

x 1.x 0g, y


rea de la regin de la interseccin entre las curvas En el ejemplo 1, las grficas de f(x) = x2 + 2 y g(x) = x no se intersecan y los valores de a y b estn dados en forma explcita. Un problema muy comn implica el rea de una regin acotada por dos grficas que se intersecan, donde se deben calcular los valores de a y b.

EJEMPLO 2 Regin entre dos grficas que se intersecan

Encuentre el rea de la regin acotada por las grficas de f (x) = 2 x2 y g(x) = x

Solucin En la figura 3.6, observe que las grficas de f y g tienen dos puntos de in-terseccin. Para encontrar las coordenadas x de estos puntos, iguale f(x) y g(x) y despeje a x.

Iguale f(x) y g(x).Escriba en forma general.

Factorice.

Resuelva para x x 2 o 1 x 2 x 1 0

x2 x 2 0 2 x2 x

Por lo tanto, a = 2 y b = 1. Como g(x) f (x) para toda x en el intervalo [2, 1], el rectngulo representativo tiene una superficie de

2 x2 x xA f x g x xy el rea de la regin es

92.

x3

3x2

2 2x1

2

A1

2 2 x2 x dx

EJEMPLO 3 Regin entre dos grficas que se intersecan

Las curvas de seno y coseno se cruzan un nmero infinito de veces, delimitando regio-nes de reas iguales, como se muestra en la figura 3.7. Encuentre el rea de una de estas regiones.

Solucin Sea g(x) = cos x y f (x) = sen x. Entonces g(x) f (x) para toda x en el intervalo correspondiente a la regin sombreada en la figura 3.7. Para encontrar los dos puntos de interseccin en este intervalo, iguale f (x) y g(x) y resuelva para x.

Iguale f(x) y g(x).

Divida cada lado entre cos x.

Identidad trigonomtrica

Resuelva para x. 0 x 2 x 4 o54 ,

nat x 1

sen x

cos x1

ens x cos x

Por lo tanto, a = p4 y b = 5p4. Ya que sen x cos x para toda x en el intervalo [p4, 5p4], el rea de la regin es

2 2.

cos x sen x5 4

4

A5 4

4 sen x cos x dx

x

1

1

2

2

1

1

(x, g(x))

(x, f(x)) g(x) = x

f(x) = 2 x2

y

Regin acotada por la grfica de f y la grfica de g.Figura 3.6

x

1

1

pipi2

pi2

3

(x, g(x))

(x, f(x))

g(x) = cos x

f(x) = sen x

y

Una de las regiones delimitadas por las grficas de las funciones seno y coseno. Figura 3.7

133

Para encontrar el rea de la regin entre dos curvas que se intersecan en ms de dos puntos, en primer lugar determine todos los puntos de interseccin. Despus, com-pruebe que la curva est por encima de la otra en cada intervalo determinado por estos puntos, como se muestra en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4 Curvas que se intersecan en ms de dos puntos

Consulte LarsonCalculus.com para una versin interactiva de este tipo de ejemplo.

Encuentre el rea de la regin entre las grficas de

y g x x2 2x. f x 3x3 x2 10xSolucin Comience igualando f (x) y g(x) y despeje a x. Esto produce los valores en todos los puntos de interseccin de las dos grficas.

Iguale f(x) y g(x). Escriba la forma general.

Factorice.

Despeje x. x 2, 0, 2 3x x 2 x 2 0

3x3 12x 0 3x3 x2 10x x2 2x

As, las dos grficas se intersecan cuando x = 2, 0 y 2. En la figura 3.8, observe que g(x) f (x) en el intervalo [2, 0]. Sin embargo, las dos grficas cambian en el ori-gen, y f(x) g(x) en el intervalo [0, 2]. Por lo tanto, necesita dos integrales, una para el intervalo [2, 0] y otra para el intervalo [0, 2].

24 12 24 12 24

3x44 6x

20

2

3x44 6x

22

0

0

2 3x3 12x dx

2

0 3x3 12x dx

A0

2 f x g x dx

2

0 g x f x dx

Cuando la grfica de una funcin de y es una frontera de una regin, a menudo es conveniente utilizar rectngulos representativos horizontales y encontrar el rea me-diante la integracin respecto a y. En general, para determinar el rea entre dos curvas, se puede utilizar

Rectngulos verticales

en la variable x

o

Rectngulos horizontales

en la variable y

Ay2

y1

curva derecha curva izquierda dy

Ax2

x1

curva superior curva inferior dx

donde (x1, y1) y (x2, y2) son puntos adyacentes de interseccin de las dos curvas implica-das o puntos en las lneas frontera especificadas.

x

y

4

6

4

1

6

8

10

1

(0, 0)(2, 0)

(2, 8)g(x) = x2 + 2x

f(x) = 3x3 x2 10x

f(x) g(x)g(x) f(x)

En y en

Figura 3.8 f x g x .

0, 2 ,g x f x ,2, 0 ,

COMENTARIO En el ejemplo 4, observe que obtiene un resultado incorrecto cuando integra de 2 a 2. Dicha integracin produce

0.

2

2 f x g x dx

2

2 3x3 12x dx



EJEMPLO 5 Rectngulos representativos horizontales

Encuentre el rea de la regin acotada por las grficas de x = 3 y2 y x = y + 1.

Solucin Considere

g(y) = 3 y2 y f (y) = y + 1

Estas dos curvas se intersecan cuando y = 2 y y = 1, como se muestra en la figura 3.9. Como f (y) g(y) en este intervalo, tiene

3 y2 y 1 y. A g y f y yPor tanto, el rea es

92.

13

12 2

83 2 4

y3

3y2

2 2y1

2

1

2 y2 y 2 dy

A1

2 3 y2 y 1 dy

Rectngulos horizontales (integracin respecto a y).

01.3 arugiF9.3 arugiF

x

y

1

1

2

1

1(2, 1)

(1, 2)

y = x 1

x

x

y = 3 x

y = 3 x

x

1

1

2

1

1

2

(2, 1)

(1, 2)

f(y) = y + 1

g(y) = 3 y2

y

y

Rectngulos verticales (integracin respecto a x).

En el ejemplo 5, observe que mediante la integracin respecto a y, necesita slo una integral. Para integrar respecto a x, necesitara dos integrales porque los lmites superio-res cambian en x = 2, como se muestra en la figura 3.10.

92

2 2 2312 1

163 2 0 2

23

x2

2 x3 x 3 2

3 22

12 3 x

3 2

3 23

2

2

1

x 1 3 x 1 2 dx 23

2

3 x 1 2 dx

A2

1 x 1 3 x dx

3

2 3 x 3 x dx

135

La integracin como un proceso de acumulacinEn esta seccin, la frmula de integracin para el rea entre dos curvas se desarroll mediante el uso de un rectngulo como elemento representativo. Para cada nueva apli-cacin en las secciones restantes de este captulo, un elemento representativo apropiado ser construido usando las frmulas de preclculo que ya conoce. Entonces, cada frmu-la de integracin ser obtenida sumando o acumulando estos elementos representativos.

Nueva frmula de integracin

Elemento representativo

Frmula de preclculo conocida

Por ejemplo, en esta seccin se desarroll la frmula del rea como sigue.

Ab

a

f x g x dx A f x g x x A alto ancho

EJEMPLO 6 Integrar como un proceso de acumulacin

Encuentre el rea de la regin acotada por la grfica de y = 4 x2 y el eje x. Describa la integracin como un proceso de acumulacin.

Solucin El rea de la regin es

A2

2

4 x2 dx.

Se puede pensar en la integracin como una acumulacin de las reas de los rectngu-los formados cuando el rectngulo representativo se desliza de x = 2 a x = 2, como se muestra en la figura 3.11.

Figura 3.11

A2

2 4 x2 dx 323A

1

2 4 x2 dx 9

x

1 2 3 3 2 1 1

1

2

3

5

y

x

1 2 3 3 2 1 1

1

2

3

5

y

A0

2 4 x2 dx 163A

1

2 4 x2 dx 53A

2

2

4 x2 dx 0

x

1 2 3 3 2 1 1

1

2

3

5

y

x

1 2 3 3 2 1 1

1

2

3

5

y

x

1 2 3 3 2 1 1

1

2

3

5

y



Escribir una integral definida En los ejercicios 1 a 6, en-cuentre la integral definida que da a la zona de la regin.

.2.1

.4.3

.6.5

x

1

1

1 2

yy1 y2

x

1

1

1 1

y

y1

y2

y2 x 1y2 0y1 x 1 3y1 3 x3 x

x

1

1

y

y1y2

x

2

1

1 1 4

4

5

3

y

y1y2

y2 x3y2 x2 2x 3y1 x2y1 x2 4x 3

x

2 4 2

2

4

6

8

y

y1

y2x

2

4

6

8

2 4 8

y1

y2

y

y2 2x 5y2 0y1 x2 2x 1y1 x2 6x

Encontrar una regin En los ejercicios 7 a 12, el integrando de la integral definida es una diferencia de dos funciones. Dibu-je la grfica de cada funcin y sombree la regin cuya rea est representada por la integral.

.8.7

.01.9

11.

12.4

0

2 y y dy

1

2

2 y y2 dy

4

4

sec2 x cos x dx3

2

x3

3 xx

3 dx

1

1

2 x2 x2 dx4

0 x 1 x2 dx

Pinselo En los ejercicios 13 y 14, determine qu valores aproximan mejor el rea de la regin acotada por las grficas de f y g. (Haga su seleccin con base en un trazo de la regin y no mediante la realizacin de los clculos.)

13.(a) (b) 2 (c) 10 (d) 4 (e) 8

14.(a) 1 (b) 6 (c) (d) 3 (e) 43

g x 2 xf x 2 12 x,2

g x x 1 2f x x 1,

Comparar mtodos En los ejercicios 15 y 16, encuentre el rea de la regin mediante la integracin de (a) respecto a x, y (b) respecto a y. (c) Compare los resultados. Qu mtodo es ms sencillo? En general, este mtodo ser siempre ms senci-llo que el otro? Por qu si o por qu no?

.61.51

2 4 6 2 4 6 2

4

68

10

x

y

x

y

2 4 6 4 6

4

6

4

6

y 6 xx y 2y x2x 4 y2

Encontrar el rea de una regin En los ejercicios 17 a 30, dibuje la regin acotada por las grficas de las ecuaciones y encuentre el rea de la regin.

17.18.19.20.21.

22.

23.24.25.26.27.

28.

29.

30. g x 42 x , y 4, x 0

f x 10x

, x 0, y 2, y 10

f y y16 y 2

, g y 0, y 3

f y y 2 1, g y 0, y 1, y 2f y y 2 y , g y yf y y 2, g y y 2

g x x 1f x 3 x 1,g x 12x 3f (x) x 3,

x 4x 1,y 0,y 4x3

,

y 0y 2 x,y x,y x 1y x2 3x 1,

g x x 2f x x2 2x,x 1x 1,y x 3,y x3 2,

x 1x 0,y x 2,y x2 1,

3.1 Ejercicios Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con umeracin impar.

137

Encontrar el rea de una regin En los ejercicios 31 a 36, (a) utilice una herramienta de graficacin para trazar la regin acotada por las grficas de las ecuaciones, (b) encuentre el rea de la regin de forma analtica, y (c) use las capacidades de integracin de la herramienta de graficacin para verificar sus resultados.

31.32.33.34.

35.

36. f x 6xx2 1, y 0, 0 x 3

g x12x

2f x 11 x2,

f x x4 9x2, g x x3 9x f x x4 4x2, g x x2 4y x4 2x2, y 2x2 f x x x2 3x 3 , g x x2

Encontrar el rea de una regin En los ejercicios 37 a 42, dibuje la regin acotada por las grficas de las funciones y en-cuentre el rea de la regin.

37.

38.

39.

40.

41.

42. f x 2x, g x 32x 1

f x xe x2, y 0, 0 x 1

f x sec x4 tan x

4 , g x 2 4 x 4, x 0

f x 2 sen x, g x tan x, 3 x 3

f x sen x, g x cos 2x, 2 x 6

f x cos x, g x 2 cos x, 0 x 2

Encontrar el rea de una regin En los ejercicios 43 a 46, (a) utilice una herramienta de graficacin para trazar la regin acotada por las grficas de las ecuaciones, (b) encuentre el rea de la regin, y (c) use las capacidades de integracin de la he-rramienta de graficacin para verificar sus resultados.

43.44.

45.

46. g x 4 ln xx

, y 0, x 5

f x 1x2

e1 x, y 0, 1 x 3

f x 2 sen x cos 2x, y 0, 0 < x f x 2 sen x sen 2x, y 0, 0 x

Encontrar el rea de una regin En los ejercicios 47 a 50, (a) utilice una herramienta de graficacin para trazar la regin acotada por las grficas de las ecuaciones, (b) explique por qu es difcil encontrar a mano el rea de la regin, y (c) utilice las capacidades de integracin de la herramienta de graficacin para aproximar el rea a cuatro decimales.

47.

48.49.50. y x2, y 3 x

y x2, y 4 cos xy x ex, y 0, x 0, x 1

yx3

4 x , y 0, x 3

Integrar como un proceso de acumulacin En los ejerci-cios 51 a 54, hallar la funcin de acumulacin F. Despus evale cada valor de la variable independiente y muestre grficamente el rea determinada por cada valor de F.

51. (a) (b) (c)

52. (a) (b) (c)

53. (a) (b) (c)

54. (a) (b) (c) F 4F 0F 1F yy

1

4e x 2 dx

F 12F 0F 1F 1 cos 2 d

F 6F 4F 0F xx

0

12 t

2 2 dt

F 6F 2F 0F xx

0

12 t 1 dt

Calcular el rea de una figura En los ejercicios 55 a 58, utilice la integracin para encontrar el rea de la figura que tiene los vrtices dados.

55.56.57.58. 0, 0 , 1, 2 , 3, 2 , 1, 3

0, 2 , 4, 2 , 0, 2 , 4, 24, 36, 0 ,0, 0 ,

2, 3 , 4, 6 , 6, 1

59. Integracin numrica Calcule la superficie del green del campo de golf usando (a) la regla del trapecio y (b) la regla de Simpson.

6 pies

14 p

ies

12 p

ies

12 p

ies

15 p

ies

20 p

ies

23 p

ies

25 p

ies

26 p

ies

14 p

ies

60. Integracin numrica Calcule la superficie del derrame de petrleo usando (a) la regla del trapecio y (b) la regla de Simpson.

11 m

i

13.5

mi

14.2

mi

14 m

i

14.2

mi

15 m

i

13.5

mi

4 mi

Utilizar una recta tangente En los ejercicios 61 a 64, configure y calcule la integral definida que da el rea de la regin acotada por la grfica de la funcin y la recta tangente a la grfica en el punto dado.

61.62.

63.

64. y 21 4x2, 12, 1

f x 1x2 1 , 1,

12

y x3 2x, 1, 1f x x3, 1, 1



68. CMO LO VE? Una legislatura estatal est debatiendo dos propuestas para la eliminacin de los dficits presupuestarios anuales despus de 10 aos. La tasa de disminucin de los dficits para cada propuesta se muestra en la figura.

605040302010

2 4 6 8 10

Propuesta 1

Propuesta 2

Df

icit

)en

mile

s de

mill

ones

de

dla

res

(

Ao

t

D

(a) Qu representa el rea entre las dos curvas? (b) Desde el punto de vista de minimizar el dficit estatal

acumulado, cul es la mejor propuesta? Explique.

Dividir una regin En los ejercicios 69 y 70, encuentre b tal que la recta y = b divida la regin acotada por las grficas de las dos ecuaciones en dos regiones de igual rea.

.07.96 y 9 x , y 0y 9 x2, y 0


65. rea entre curvas Las grficas de y = 1 x2 y y = x4 2x2 + 1 se intersecan en tres puntos. Sin embargo, el rea entre las curvas se puede encontrar con una sola in-tegral. Explique por qu esto es as, y escriba una integral para esta rea.

66. Usar simetra El rea de la regin acotada por las grficas de y = x3 y y = x no se puede encontrar con la integral simple 1 1 x

3 x dx. Explique por qu esto es as. Utilice la simetra para escribir una sola integral que s represente el rea.

67. Interpretar integrales Dos automviles con veloci-dades v1 y v2 (en metros por segundo) se prueban en una carretera recta. Considere lo siguiente.

30

20 v1 t v2 t dt 5

10

0 v1 t v2 t dt 30

5

0 v1 t v2 t dt 10

(a) Escriba una interpretacin verbal de cada integral.

(b) Es posible determinar la distancia entre los dos ve-hculos cuando t = 5 segundos? Por qu s o por qu no?

(c) Suponga que los dos automviles comienzan en el mismo momento y lugar. Qu automvil est por delante cuando t = 10 segundos? A qu distancia est el vehculo?

(d) Suponga que el vehculo 1 tiene velocidad v1 y est por delante del vehculo 2 por 13 metros cuando t = 20 segundos. A qu distancia por delante o por detrs est el automvil 1 cuando t = 30 segundos?

Dividir una regin En los ejercicios 71 y 72, encuentre a tal que la recta x = a divida la regin acotada por las grficas de las ecuaciones en dos regiones de igual rea.

.27.17 y2 4 x, x 0y x, y 4, x 0

Lmites e integrales En los ejercicios 73 y 74, evale el l-mite y trace la grfica de la regin cuya rea est representada por el lmite.

73. donde y

74. donde y x 4n

xi 24in

lm0

n

i 14 xi2 x,

x1n

xiin

lm0

n

i 1xi xi

2 x,

Ingresos En los ejercicios 75 y 76, se dan dos modelos R1 y R2 para los ingresos (en miles de millones de dlares) para una gran corporacin. Ambos modelos son estimaciones de los ingresos desde 2015 hasta el 2020, con t = 15 correspondiente a 2015. Qu modelo proyecta el mayor ingreso? Qu modelo proyecta ms ingresos totales en el periodo de seis aos?

75.

76.R2 7.21 0.1t 0.01t2R1 7.21 0.26t 0.02t2R2 7.21 0.45tR1 7.21 0.58t

77. Curva de Lorenz Los economistas utilizan curvas de Lo-renz para ilustrar la distribucin del ingreso en un pas. Una curva de Lorenz, y = f (x), representa la distribucin del in-greso real en el pas. En este modelo, x representa porcentajes de familias en el pas y y representa los porcentajes de los ingresos totales. El modelo y = x representa a un pas en el que cada familia tiene el mismo ingreso. El rea entre estos dos modelos, donde 0 x 100, indica la desigualdad de ingre-sos de un pas. La tabla muestra los porcentajes de ingresos y para los porcentajes seleccionados de familias x en un pas.

x 60 70 80 90

y 28.03 39.77 55.28 75.12

x 10 20 30 40 50

y 3.35 6.07 9.17 13.39 19.45

(a) Utilice una herramienta de graficacin para encontrar un modelo cuadrtico para la curva de Lorenz.

(b) Represente grficamente los datos y grafique el modelo.

(c) Represente grficamente el modelo y = x. Cmo se compara este modelo con el modelo del inciso (a)?

(d) Utilice las capacidades de integracin de una herramienta de graficacin para aproximar la desigualdad de los in-gresos.

78. Utilidad El director financiero de una empresa informa que las ganancias para el ao fiscal pasado fueron $15.9 millones. El funcionario predice que las utilidades para los prximos 5 aos crecern a una tasa anual continua en algn lugar entre 312% y 5%. Calcule la diferencia acumulada en la utilidad total durante los 5 aos en funcin del rango previsto de las tasas de crecimiento.

139

80. Diseo mecnico La superficie de una pieza de la mqui-na es la regin entre las grficas de y1 = x y y2 = 0.08x2 + k (vea la figura).

x

y1

y2

y

(a) Determine k donde la parbola es tangente a la grfica de y1.

(b) Encuentre el rea de la superficie de la pieza de la m-quina.

81. rea Calcule el rea entre la grfica de y = sen x y el seg-mento de recta que une los puntos (0, 0) y 7

6 , 12 ,

como se

muestra en la figura.

1

6pi

3pi

pi76

12,

(0, 0)4

x

y

12

))

79. Diseo de edificaciones

Las secciones de concreto para un nuevo edificio tienen las dimensiones (en metros) y la forma que se muestra en la figura.

x

( 5.5, 0)2 m

(5.5, 0)

2

1

6 5

4 3

2 1 1 2 3 4 5 6

y

13y = 5 x

13y = 5 + x

(a) Encuentre el rea de la cara de la seccin superpuesta en el sistema de coordenadas rectangulares.

(b) Encuentre el volumen de concreto en una de las seccio-nes multiplicando el rea en el inciso (a) por 2 metros.

(c) Un metro cbico de concreto pesa 5000 libras. En-cuentre el peso de la seccin.

82. rea Sea a 0 y b 0. Demuestre que el rea de la elipse x2

a2y2

b2 1 es pab (vea la figura).

ab

= 1+x2

a2y2

b2

x

y

Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qu o d un ejemplo que demuestre que es falso.

83. Si el rea de la regin acotada por las grficas de f y g es 1, entonces el rea de la regin acotada por las grficas de h(x) = f (x) + C y k(x) = g(x) + C tambin es 1.

84. Si

b

a

f x g x dx A

entonces b

a

g x f x dx A.

85. Si las grficas de f y g se intersecan a medio camino entre x = a y x = b, entonces

b

a

f x g x dx 0.

86. La recta

y 1 3 0.5 x

divide la regin bajo la curva

f x x 1 x

en [0, 1] en dos regiones de rea igual.

DESAFOS DEL EXAMEN PUTNAM

87. La lnea horizontal corta a la curva y = 2x 3x3 en el pri-mer cuadrante como se muestra en la figura. Encuentre c de manera que las reas de las dos regiones sombreadas sean iguales.

x

y

y = 2x 3x3

y = c

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Compe-

tition. The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.


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Encontrar el volumen de un slido de revolucin utilizando el mtodo de los discos.

Encontrar el volumen de un slido de revolucin utilizando el mtodo de la arandela.

Encontrar el volumen de un slido con secciones transversales conocidas.

Mtodo de los discosYa ha aprendido que el rea es slo una de las muchas aplicaciones de la integral defi-nida. Otra aplicacin importante es encontrar el volumen de un slido tridimensional. En esta seccin se estudiar un tipo particular de slido de tres dimensiones, uno cuyas secciones transversales son similares. Los slidos de revolucin son de uso comn en la ingeniera y la fabricacin. Algunos ejemplos son ejes, embudos, pldoras, botellas y pistones, como se muestra en la figura 3.12.

Slidos de revolucin.Figura 3.12

Cuando se gira una regin plana alrededor de una recta, el slido resultante es un slido de revolucin, y la recta recibe el nombre de eje de revolucin. El slido ms sencillo es un cilindro circular recto o disco, que est formado por un rectngulo que gira alrededor de un eje adyacente a un lado del rectngulo, como se muestra en la figura 3.13. El volumen de un disco de este tipo es

Volumen del disco = (rea del disco)(ancho del disco) = pR2w

donde R es el radio del disco y w es el ancho.Para ver cmo usar el volumen de un disco para encontrar el volumen de un slido

general de revolucin, considere un slido de revolucin formado al girar la regin plana en la figura 3.14 alrededor del eje indicado. Para determinar el volumen de este slido, considere un rectngulo representativo en la regin plana. Cuando este rectngulo se hace girar alrededor del eje de revolucin, se genera un disco representativo cuyo vo-lumen es

V = pR2x.

Aproximando el volumen del slido por n de estos discos de ancho x y radio R(xi) se obtiene

n

i 1

R xi 2 x.

Volumen del slido n

i 1R xi 2 x

3.2 Volumen: mtodo de los discos

R

Rectngulo

Eje de revolucin

w

R

Disco

w

Volumen de un disco:Figura 3.13

R2 w.

141 3.2 Volumen: mtodo de los discos

Mtodo de los discos.Figura 3.14

Slido de revolucin

Eje de revolucin

x

Aproximacin por n discos

Disco representativo

R

xx = bx = a

Regin plana

Rectngulo representativo

Esta aproximacin parece mejorar a medida que n . 0 Por lo que se puede definir el volumen del slido como

Volumen del slido lm0

n

i 1R xi 2 x

b

a

R x 2 dx.

Esquemticamente, el mtodo de disco se parece a esto.

Frmula de preclculo conocida

Slido de revolucin

Vb

a

R x 2 dx

V R xi 2 x Volumen del disco

V R2w

Elemento representativo Nueva frmula de integracin

Una frmula similar se puede deducir cuando el eje de revolucin es vertical.

MTODO DE LOS DISCOSPara encontrar el volumen de un slido de revolucin con el mtodo de los discos, utilice una de las siguientes frmulas. (Vea la figura 3.15.)

Eje horizontal de revolucin Eje vertical de revolucin

Volumen Vd

c

R y 2 dyVolumen Vb

a

R x 2 dx

Eje horizontal de revolucin. Eje vertical de revolucin. Figura 3.15

R(y)c

d

y

c

dV = pi [R(y)]2 dy

R(x)

a b

x

aV = pi [R(x)]2 dxbCOMENTARIO En la

figura 3.15, observe que puede determinar la variable de inte-gracin mediante la colocacin de un rectngulo representativo en la regin plana perpen-dicular al eje de revolucin. Cuando el ancho del rectngulo es x se integra respecto a x, y cuando el ancho del rectngulo es y se integra respecto a y.


La aplicacin ms sencilla del mtodo de los discos implica una regin plana aco-tada por la grfica de f y el eje x. Cuando el eje de revolucin es el eje x, el radio R(x) es simplemente f(x).

EJEMPLO 1 Usar el mtodo de los discos

Encuentre el volumen del slido formado al girar la regin acotada por la grfica de

f x sen xy el eje x (0 x ) en el eje x.

Solucin Del rectngulo representativo en la grfica superior en la figura 3.16, se puede ver que el radio de este slido es

sen x.

R x f x

Por lo tanto, el volumen del slido de revolucin es

Aplique el mtodo de los discos.

Sustituya para

Simplifique

Integre.

2 . 1 1

cos x0

0 sen x dx

R x .sen x 0

sen x2dx

Vb

a

R x 2 dx

EJEMPLO 2 Usar una recta que no es un eje coordenado


f x 2 x2y g(x) = 1 respecto a la recta y = 1, como se muestra en la figura 3.17.

Solucin Al igualar f(x) y g(x) puede determinar que los dos grficos se intersecan cuando x = 1. Para encontrar el radio, reste g(x) de f(x).

1 x2 2 x2 1

R x f x g x

Para encontrar el volumen, integre entre 1 y 1.

Aplique el mtodo de los discos.

Sustituya para

Simplifique.

Integre.

1615

x2x33

x5

51

1

1

1 1 2x2 x4 dx

R x .1 x2 1

1

1 x2 2 dx

Vb

a

R x 2 dx

x

1

1

pipi2

x

R(x)

f(x) = sen x

Regin plana

y

x

1

1

pi

Eje de revoluciny

Figura 3.16

x

R(x)

g(x)

f(x) = 2 x2

1 1

Eje derevolucin

Regin plana 2

x f(x)

y

g(x) = 1

x

1 1

2

Slido de revolucin

y

Figura 3.17

143

Mtodo de la arandela El mtodo de los discos se puede extender para cubrir slidos de revolucin con aguje-ros mediante la sustitucin del disco representativo con una arandela representativa. La arandela est formada por un rectngulo que gira alrededor de un eje, como se muestra en la figura 3.18. Si r y R son los radios interior y exterior de la arandela y w es el ancho de la arandela, entonces el volumen es

Volumen de la arandela R2 r2 w.

Para ver cmo se puede utilizar este concepto para encontrar el volumen de un sli-do de revolucin, considere una regin delimitada por un radio exterior R(x) y un radio interior r(x) como se muestra en la figura 3.19. Si la regin se hace girar alrededor de su eje de revolucin, entonces el volumen del slido resultante es

Mtodo de la arandela Vb

a

R x 2 r x 2 dx.

Observe que la integral que implica el radio interior representa el volumen del agujero y se resta de la integral que implica el radio exterior.

Figura 3.19

Slido de revolucin agujerado

R(x) r(x)

Regin planaa b

EJEMPLO 3 Usar el mtodo de la arandela


y y x2y x

en el eje x, como se muestra en la figura 3.20.

Solucin En la figura 3.20, puede ver que los radios exterior e interior son los si-guientes.

Radio exterior

Radio interior r x x2 R x x

Integrando entre 0 y 1 obtiene

Aplique el mtodo de la arandela.

Sustituya para y para

Simplifique.

Integre.

310

.

x2

2x5

51

0

1

0 x x4 dx

r x .x2R xx 1

0

x2

x2 2 dx

Vb

a

R x 2 r x 2 dx

Eje de revolucin

R

r

w

r

R

Disco

Slido de revolucin

w

Figura 3.18

y = x2

y = x

r = x2

R = x

x

1

1

x

(0, 0)

(1, 1)

Regin plana

y

1

1

1

Slido de revolucin

x

y

Slido de revolucin.Figura 3.20

3.2 Volumen: mtodo de los discos



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