historia de la matemática
TRANSCRIPT
HISTORIA DE LA MATEMÁTICA(LÍNEA DEL TIEMPO)
La matemática como elemento cultural de la humanidad(La matemática en la vida diaria)
La matemática está presente prácticamente en todo aspecto de nuestra vida diaria. El funcionamiento de casi cualquier artefacto que manipulamos en nuestra vida diaria puede ser descrito usando el lenguaje matemático; por ejemplo, la máquina que hace que se mueva cualquier vehículo que usamos para trasladarnos de un lugar a otro, funciona de acuerdo a ciertas leyes físicas que pueden ser escritas en forma de ecuaciones matemáticas. Cuando trabajamos, nuestro sueldo está determinado por la cantidad de horas que hemos trabajado, éste hecho se puede representar a través de una ecuación matemática; cuando vamos de compras, la cantidad de cosas que compramos depende de la cantidad de dinero de que disponemos. Pero también en aspectos que al parecer no guardan ninguna relación con la matemática, como el preparar la cena en una casa de familia, la cantidad de comida que se prepara depende del número de personas que allí viven (1 Kg ó ½ Kg de pasta, 3 ó 4 arepas, etc). Estas relaciones en donde una cantidad depende de otra cantidad, en matemáticas se conocen con el nombre de funciones, y nuestra vida está impregnada de relaciones funcionales. También vivimos rodeados de formas geométricas; cuadriláteros, triángulos y círculos de los más diversostamaños encontramos en los objetos a nuestro alrededor: puertas, ventanas, ruedas, arepas, galletas, etc.
LA PREHISTORIA (600000 – 2000 A.C)
Cuando el hombre de una cultura
primitiva comienza a contar, aunque sea
tan simplemente como distinguir entre
uno, dos y varios, nace la Matemática en
aquella cultura. En todas aquellas
civilizaciones que han dejado restos de
su existencia, los arqueólogos han
encontrado muestras de que en ella se
contaba, como son las cuerdas con
nudos y las piedras entrelazadas
(cuentas), que utilizaban, al menos, para
saber si en un conjunto (animales,
plantas, joyas) había más elementos que
en otro. Quizás en algunas de estas
culturas cada nudo o cada piedra se
designaba con una palabra y entonces
los hombres que tal hacían ya sabían
contar.
Hueso de Ishango
El hombre primitivo descubrió como crear y preservar el fuego, aprendió a cazar
animales y a construir tumbas para sus muertos. Entre sus primeras actividades
matemáticas se pueden mencionar, el cálculo de distancias con su cuerpo y sus
pasos, actos en los que se encuentran implícitos los conceptos básicos de la
matemática: número, medida y orden. El reparto de los alimentos se hacía de forma
igualitaria lo que significa que realizaban algún tipo de cálculo para determinar la
cantidad que correspondía a cada miembro del grupo.
La forma de comercio en la prehistoria era el trueque, actividad que está basada
en la idea de correspondencia o función, uno de los conceptos más importantes de la
matemática.
Los pueblos primitivos contaban marcando los signos sobre los
troncos de los árboles o en huesos disecados; hubo pueblos que
los marcaban por medio de nudos, en cuerdas especiales, o
usaban piedrecillas coleccionadas convenientemente.
El imperio Inca abarcaba los actuales territorios deBolivia y Perú, y el norte de Chile y Argentina. Estepueblo alcanzó un alto grado de civilización sin conocerla escritura. Ellos basaron su organización y desarrolloen un instrumento al que llamaban quipu. En lafigura se observa el instrumento conocido con elnombre quipu, que en lengua Quechua significa nudo.Este fue utilizado por los Incas para llevar censosactualizados, organizar la población en unidadesadministrativas de al menos 10 familias cada una, eincluso evaluar los impuestos que eran distribuidos enforma de trabajo.
Se piensa que la mayor parte de los pueblos salvajes usaban un sistema de numeración a
base del 5, el 10 ó el 20, del cual quedan en Europa algunos vestigios, como el score inglés
(score se traduce como muesca ó entalladura). Precisamente, con muescas marcaban los
pueblos prehistóricos, huesos, rocas y otros utensilios. Es evidente que las bases de estos
sistemas tienen relación con el número de dedos del hombre.
Roca hallada en la caverna de
Blombos en Sudáfrica, en los años
2001-2002. En ella se observan
formas talladas que parecen
patrones geométricos. Se cree que
fue tallada hace 70000 años.Ubicación de la caverna de Blombos
Tareas de excavación
Otro registro importante se encuentra en el Instituto Real de Ciencias Naturales
de Bélgica, situado en Bruselas. Se trata del hueso de Ishango, un “ábaco” de
hace 20000 años.
Este hueso es el peroné de un Babuino que tiene un pedazo de cuarzo
incrustado en uno de sus extremos. Data aproximadamente de 18000 a
20000 años A.C. Fue hallado por el belga Jean de Heinzelin de Braucourt en
1960, en el área africana de Ishango, cerca de donde nace el río Nilo, en el
Lago Eduardo, entre las fronteras de Uganda y la República Democrática del
Congo.
En el recuadro está la zona donde fue hallado el huesoFotografía del hueso de Ishango expuesto
en Bruselas
El hueso de Ishango contiene tres filas de incisiones, al agruparlas de esta manera,
o sea, en tres filas, el primer grupo tiene 11, 21, 19 y 9 incisiones; el segundo grupo
tiene 11, 13, 17 y 19 incisiones, y se cree que podría ser el registro más antiguo de
números primos. El tercer grupo tiene 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 y 7 incisiones. El
matemático Dirk Huylebrouck y otros especialistas notaron que el primer grupo
puede leerse como: 10+1, 20+1, 20-1 y 10-1; que el segundo está formado por
números primos, y que el tercero parece seguir más o menos alguna regla de
duplicación, este comienza con 3 muescas y luego duplica su número, ocurre lo
mismo con el 4, el cual se duplica a 8 muescas, pero luego se invierte el proceso
con el número 10 que es dividido por la mitad, colocando a continuación 5 muescas.
Estos hechos hacen pensar a los investigadores que estos números no pueden ser
arbitrarios, sino que son producto de algún tipo de cálculo en las que están
involucradas las operaciones de multiplicación y división por 2.
En los tiempos remotos el hombre utilizaba las cavernas para resguardarse de las inclemencias del
clima. En aquel hombre se manifestó el sentimiento artístico, el cual se extendió por Europa hace de
25000 a 40000 años. Ese es el período en el que el Hombre Moderno (Homo sapiens sapiens) sustituyó
a su predecesor, el Hombre de Neanderthal. Este arte prehistórico es llamado Arte Parietal o Arte
Rupestre, y es un invento del hombre moderno.
En la imagen se muestran, a modo de comparación, cráneos de lo que se
consideran predecesores del hombre moderno. Sin embargo en el mundo
científico aún hay fuertes controversias acerca de la validez de tales hipótesis.
Por ejemplo, hubo un tiempo en que se aceptó a australopitecus como antecesor
humano, el “eslabón perdido”. Ahora algunos científicos como el anatomista
Zuckerman, concuerdan en que su cráneo era “arrolladoramente símico (de
antropoide)… no humano”.
Las fotografías presentan dibujos de arte parietal hallados en
1905 por D. José Bullón Lobato en la llamada Cueva de la Pileta
en Benaoján en el sur de España.
El sentimiento religioso y artístico se reveló también
cuando comenzaron a adorar al Sol, que les daba
calor, y a la Luna, que los alumbraba de noche, y les
erigían monumentos de grandes piedras, lo mismo
que a los muertos, porque la muerte les producía
una sensación extraña e inexplicable.
En la fotografía se observa la construcción megalítica conocida
como Stonehenge, localizada a cien kilómetros al oeste de Londres,
en la llanura de Salisbury. Es un monumento milenario constituido
por rocas colosales, cuyos pesos varían de dos a treinta y cinco
toneladas. En el siglo XII al pueblo sajón les recordaba las vigas en
las cuales colgaban a los criminales, designándole Stonehenge (La
horca de piedra o la piedra del colgado). Investigaciones realizadas durante el siglo XX han mostrado que losDólmenes marcan las salidas y puestas de la Luna durante los solsticios deinvierno. En otras palabras, Stonehenge era un templo dedicado a losmovimientos del Sol y de la Luna construido por alguna civilizaciónpaleolítica de origen pre-céltico. Aunque Stonehenge aún presenta diversosmisterios, su finalidad más evidente es que fue un templo para adorar al Soly a la Luna, astros que rigen el ciclo de las estaciones. Un calendario queobservado cuidadosamente, permitiría predecir la llegada de las estacionespara las actividades del campo. Los pre-celtas, iniciaron su construcción haciael 2800 A.C; se dieron el tiempo para edificarlo, y posteriormente tambiénfue un sitio sagrado, lugar de ritos funerarios como lo confirman los restosdesenterrados en diversas partes del recinto. Finalmente, hacia el año 1100A.C, Stonehenge fue abandonado.
La sección principal constaba de un círculo de 30 columnas rectangulares
coronadas con dinteles. Este círculo de piedras tiene un diámetro de 29,6 metros.
Tres metros al interior existía un segundo anillo de 60 menhires, quedan 20, de
menos de dos metros de altura cada uno. Más al interior se encuentra una
formación en herradura con cinto trilitos de gran tamaño. El mayor es de 8 metros
de altura. Dentro de la formación de cinco trilitos se encuentra una herradura
interior de 19 menhires de no más de 3 metros y tallados a manera de obeliscos.
Finalmente en el centro se encuentra la piedra del altar de 4,8 metros de largo.
El astrónomo Norman Lockyer, en 1901, descubrió que una persona al pie de la
piedra del altar observando hacia la piedra Talón, en la base del círculo, podía
observar con gran exactitud el orto del Sol durante el solsticio de verano, el 21 de
Junio. Es decir, el centro de Stonehenge se alineaba con la piedra Talón, apuntando
al Sol, con un margen de error de 56 minutos de grado.
La Prehistoria la constituye el desarrollo de la vida del hombre primitivo
sobre la tierra; los únicos testimonios de su vida son los fósiles,
instrumentos, armas, objetos de piedra y hueso, hallados en las cavernas, y
algunos dibujos pintados en piedras y paredes, porque no hay ninguna
tradición ni documentos escritos. El hombre llegó después de muchos siglos a
una relativa civilización. Después del descubrimiento del fuego, el
conocimiento de los metales resultó de gran importancia en la evolución de la
cultura del hombre, y, durante la Edad del Hierro, apareció la escritura en
Caldea y Egipto, dando comienzo a la Historia.
Algunos investigadores sugieren que la escritura surge por la
necesidad de registrar las prácticas aritméticas que realizaban los
pueblos antiguos; si esto es verdad, entonces la matemática es aún
mas antigua que la escritura.
Venus de Willendorf
Los primeros acontecimientos históricos tuvieron lugar en Oriente,Grecia y Roma. La civilización oriental comprendió diferentes países ydistintas épocas, siendo Caldea, Egipto, China y la India las civilizacionesmás antiguas conocidas.
EGIPTO
La historia de Egipto comienza más decuarenta siglos A.C. Los antiguos lollamaban Potamia o Tierra Negra porque elterreno del valle del Nilo era negro encomparación con las arenas de los desiertoscircundantes.
Egipto es la zona cultural más antigua deAfrica. Está ubicada en el noreste delcontinente. Está limitada por los maresRojo y Mediterráneo, rodeado de desiertosde arena y a las frecuentes inundacionesprovocadas por el río Nilo debe suasombrosa fertilidad.
En el recuadro está EgiptoOcupa el mismo territorio desde la antiguedad
Los primeros habitantes de Egipto eran africanos. Porsu vecindad con los semitas asiáticos y con los nubiosse hizo un pueblo mestizo, que por la fuerza del sueloy el clima llegó a adquirir individualidad.
Las primeras organizaciones sociales fueron los clanes totémicosy cada uno tenía su dios o tótem. Los clanes tuvieron queagruparse formando así los nomos, los cuales tenían por centrouna aldea o ciudad. Cada nomo estaba gobernado por un Rey, queera delegado de los tótems. Desde los primeros tiempos de sucivilización, los egipcios demostraron tener gran talento para laingeniería; construyeron una red de canales para la irrigaciónartificial de los cultivos cuando el río Nilo bajaba de nivel.
Escena de cosecha
Tanto en tiempos antiguos como modernos, Egipto hadebido su existencia al río Nilo. Los nomos tuvieronque unirse para poder reglamentar la irrigación y estodió origen a dos imperios: el Alto Egipto y el BajoEgipto. El bajo Egipto comprendía la vasta región deldelta donde las aguas del Nilo se abren en abanicoantes de vaciarse en el mar Mediterráneo. Desde elpunto donde divergen las aguas del Nilo (en la regiónde El Cairo moderno) hasta la costa marítima, hayaproximadamente 160 Km. La antigua Heliópolis sehalla a poca distancia al norte de El Cairo, mientrasque a pocos kilómetros al sur de El Cairo está Menfis.Hacia el sur de Menfis empieza la región del AltoEgipto, que se extiende a lo largo de todo el valle hastala primera catarata del Nilo, en Asuán, a una distanciade aproximadamente 965 Km. Más allá de la primeracatarata estaba Nubia o Etiopía. El Alto Egipto tuvopor capital la ciudad de Nekhab. El Bajo Egipto, el paísdel Delta, tuvo por capital la ciudad de Buto. Estos dosreinos gobernaron por algún tiempo, prevaleciendosiempre el norte sobre el sur, pero el Rey Menes, delsur, conquistó el delta y lo unió al valle, formando asíel reino de los faraones. El primer faraón fue Menes,quien fundó la ciudad de Menfis, en la margenizquierda del Nilo, cerca del Delta. Esta ciudad fue elcentro político de Egipto durante muchos siglos.
Los faraones ejercían un gobierno despótico, eran los dueños de todo el suelo de Egipto.Eran adorados como dioses. Los egipcios los consideraban de origen divino; a su muertese les erigían templos y monumentales tumbas. Las imágenes de los faraones eranrepresentadas en las estatuas y en las pinturas como los símbolos de la divinidad: elhalcón, símbolo del dios Horus, o el disco solar entre dos cuernos como el dios sol Amon-Ra.
Menes (el primer faraón)
Máscara mortuoria de Tutankhamon(Hecha de oro puro)
La sociedad egipcia estaba dividida en clases: los sacerdotes y militares eran laclase privilegiada; los pastores, artesanos e industriales eran la clasetrabajadora o clase media; el resto eran esclavos.
Los egipcios adoraban distintas divinidades. Entresus dioses más importantes estaban: el dios Sol, quetenía distintos nombres según la región; en Menfisse llamaba Ptah; en Tebas, Amon; en Heliópolis, Ra;en Alydos, Osiris.
Imagen del dios Ra. Era la principal divinidad. Representa el sol.Se muestra la forma como se escribía su nombre con jeroglíficos.
Las creencias de los egipcios eran una mezcla de ideaselevadas: la inmortalidad del alma, la existencia deltribunal de los muertos presidido por Osiris, entreotras. Tenían el culto de los muertos, y como creíanen la inmortalidad del alma ponían gran empeño enconservar los cuerpos, esto lo obteníantransformándolos en momias. En cada ciudad habíaembalsamadores, que tenían precios para cada caso,según se tratara de ricos o de pobres. La momia seguardaba en un ataúd de madera, y se colocabadentro de un sarcófago de piedra. Las momias de losfaraones y de los nobles las guardaban en grandeshabitaciones funerarias que contenían los muebles,objetos y demás elementos que los personajes habíanusado; las paredes eran decoradas con escenas de lavida del difunto. Las tumbas más fabulosas fueron laspirámides, las mastabas, que eran tumbas en formade pirámide truncada, y los hipogeos, que erancavidades subterráneas que servían como habitación,lugares de culto o enterramiento. Sobre las momias secolocaba un ejemplar del Libro de lo Muertos, elcual contenía el alegato que debía pronunciar eldifunto ante el tribunal de Osiris para obtener suabsolución.
Embalsamadores trabajando
A los egipcios se debe la invención del primer
calendario, así como la escritura de los jeroglíficos. Para
la escritura empleaban rollos de una especie de papel
que obtenían del papiro. Trabajaron el oro, la plata y el
bronce; tallaron piedras finas; fabricaron vidrio y
porcelana y confeccionaron telas dibujadas.
La civilización y cultura de Egipto pasó a otros pueblos de Oriente y a Grecia, que los pueblos europeos aprovecharon en su beneficio.
Los egipcios fueron los primeros en fabricar vidrio
Escritura con jeroglíficos
El sistema de numeración utilizado por los egipcios era decimaladitivo, se componía de ocho signos jeroglíficos para indicar launidad y las primeras siete potencias de 10. En el contexto numéricose escribían de derecha a izquierda según las potencias decrecientes.
En Egipto, maravilloso pueblo de faraones y pirámides,encontramos los primeros vestigios del desarrollo de unaciencia matemática. Sus exigencias vitales, sujetas a lasperiódicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionarla Aritmética y la Geometría.
Gran Pirámide de Giza
Valor 1 10 100 1000 10000 1000001 millón
o infinito
Símbolo jeroglífico
Con estos símbolos se escribía cualquier cantidad. Por ejemplo, hay una piedra tallada en la que se lee el número 4622 escrito así
Fotografía de un trozo del Papiro de Rhind
en el British Museum
En el papiro de Rhind, debido al escriba Ahmes(1650 A.C), el más valioso y antiguo documentomatemático que existe, se presentan entremúltiples problemas, soluciones de ecuacionesde segundo grado.
La base de la civilización egipcia fue la agricultura. De laaplicación de los conocimientos geométricos a la medida dela tierra se deriva el nombre dado a esta parte de lamatemática. Geometría significa medida de la tierra.
Al parecer los egipcios se basaban en la representación de un
triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión
2
alturabaseArea
Los reyes de Egipto dividían las tierras en parcelas. Cuando elNilo inundaba parte de las tierras en sus crecidas periódicas,los agrimensores tenían que rehacer las divisiones y calcularcuánto debía pagar el dueño de la parcela por concepto deimpuesto, dado que este era proporcional a la superficiecultivada.
Los egipcios no estudiaron las matemáticas sólo paramedir las tierras, sus sacerdotes estudiaron la Geometríay la aplicaron a la construcción. Hace más de 20 siglos fueconstruida la Gran Pirámide. Un pueblo que llevó acabo una obra de tal magnitud, poseía sin lugar a dudas,extensos conocimientos de Geometría y de Astronomíapuesto que se ha comprobado, que además de laprecisión con que están determinadas sus dimensiones,la Gran Pirámide de Egipto está perfectamenteorientada.
La matemática egipcia la conocemos principalmente a través de lospapiros. Entre los problemas geométricos que aparecen resueltos en ellosse encuentran:
• - Area del triángulo isósceles
• - Area del trapecio isósceles
• - Area del círculo
Triángulo sagrado egipcio es el nombremoderno dado a un triángulo rectángulocuyos lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, osus medidas guardan estas proporciones. Eltriángulo rectángulo semejante de 15, 20 y 25codos egipcios, se empleó en el antiguoEgipto y fue llamado “Isíaco” (por la diosaIsis).
El sistema de numeración egipcio es decimal. Se conoce el uso defracciones y se resuelven problemas sobre ecuaciones lineales,progresiones aritméticas y geométricas.
En los papiros aparece un estudio sobre loscuadrados que sugiere que los egipcios conocíanalgunos casos particulares de la propiedad deltriángulo rectángulo (ternas pitagóricas). Conocen larelación pitagórica 52 = 42 + 32 y se supone que lautilizaban para el trazado de rectas perpendiculares.
El perfeccionamiento de las fórmulas para el cálculo de áreasconduce al cálculo de volúmenes hasta el punto que la fórmulapara el cálculo del volumen de un tronco de pirámide de basecuadrada es rigurosamente exacta. 22
3baba
hV
Utilizan como valor de π el número 4(8/9)2 que se aproxima
más a su verdadero valor que la aproximación π ≈ 3
babilónica.
2
9
84
Papiro de Moscú, llamado así debido a que fueadquirido por el museo de Bellas Artes de Moscú en1912. Data de 1890 a.C., mide aproximadamente 5metros de largo por 8 centímetros de ancho y al igualque el papiro de Rhind, es un papiro con contenidopuramente matemático, con 25 problemas planteados yresueltos. En dicho papiro se encuentran problemasrelacionados con áreas de triángulos y rectángulos,volúmenes de pirámides truncadas, cálculo del áreasuperficial de un cesto, ecuaciones lineales y fraccionesunitarias.
El ojo de HorusLos egipcios utilizaron un sistema muy Antiguo pararepresentar fracciones en medidas agrarias de superficiey volumen, basado en las divisiones entre dos, de ½. Lossignos de las fracciones mayores fueron tomados de laspartes que componían el jeroglífico del ojo de Horus.Cada fracción se representaba mediante una grafía deljeroglífico del ojo.
MESOPOTAMIA (BABILONIA)
Babilonia es un antiguo reino situado en la región de Mesopotamia, en torno al actual Iraq, fundada aprox. en
el año 2500 a.C. y que tuvo su final alrededor del año 550 a.C.
Mesopotamia era la región comprendidaentre los ríos Tigris y Eufrates, estuvoocupada por varios pueblos veinte siglosantes de Jesucristo. Los más antiguospobladores conocidos de Mesopotamiafueron los sumerios, que procedían delinterior de Asia; era un pueblo fuerte ypacífico, organizado en pequeñosestados; fueron agricultores, industrialesy comerciantes; cultivaron el trigo ycriaron ganado; construyeron canales,diques y desecaron los pantanos. Fueronlos primeros en usar los ríos como vías decomunicación. Se les atribuye laconstrucción del arco y la bóveda ytambién la escritura cuneiforme.
Mesopotamia fue conquistada despuéspor los semitas, llamados caldeos oacadios, que se instalaron al norte delpaís, en la ciudad de Acad, sometiendoa los sumerios y mezclándose con ellos.Los caldeos habían sido tribusnómadas que vivían en tiendasportátiles, las cuales instalabanalrededor de un manantial o en algúnlugar fértil, formando clanesgobernados por patriarcas. Cansados deesta vida se instalaron enMesopotamia. Era gente guerrera yconquistadora; hacían la guerra ysaqueaban los pueblos, mataban a loshabitantes e incendiaban los campos.Al contacto con los sumerios sehicieron agricultores, comerciantes, y asu vez influyeron en la cultura yreligión.
Parte de la escritura de la antigua Mesopotamia
Los acadios fundaron un poderoso imperio que conquistó
toda la Mesopotamia y Palestina y se puso en contacto con
Egipto. Después de largo tiempo, el imperio fue invadido
por nuevos semitas, que fundaron la ciudad de Babilonia, a
orillas del río Eufrates, y fue convertida en corte y capital
del nuevo imperio.
Alcanzó un alto grado de progreso. Sus reyes entre los
que se destacó Hammurabi, extendieron sus conquistas,
fundaron ciudades, construyeron grandes monumentos,
desarrollaron las ciencias y las artes. Hammurabi, con sus
dotes de legislador, convirtió el imperio en una gran
potencia, venció y sometió a las tribus indómitas, organizó
la seguridad del territorio, reglamentó el comercio,
construyó un gran canal desde el Eufrates hasta el Golfo
Pérsico. Fue el primer régimen político de la Historia
donde imperaron las ideas claras de Derecho y Economía.
El país fue invadido por tribus arias, que paralizaron la civilización ehicieron decaer la energía del pueblo. La postración de Babilonia fueaprovechada por los reyes de Asiria, quienes la conquistaron yformaron, junto con Caldea, Armenia, Media y Asiria, el Imperio Asirio,con Nínive de capital.
La estela de Naram-Sim conmemora la victoria del
monarca acadio contra el pueblo de los lullubi de
los montes Zagros. La imagen representa a un rey
casi mitológico, del doble del tamaño de sus
soldados.
La crueldad de los vencedores dio origen a unaalianza entre los medos y babilonios, quienesdestruyeron la ciudad de Nínive y los países queformaban el imperio asirio volvieron a serindependientes. Asiria quedó sometida aBabilonia por pocos años, hasta que el nobleasirio Teglatfalazar restableció su independenciay organizó un segundo imperio asirio, Nínive fuerestaurada y volvió a ser la capital. Los asirioscomenzaron de nuevo un periodo de grandesguerras, conquistando el Asia Menor, Palestina,Egipto y Siria, dominaron a Media y Babilonia eimpusieron fuertes tributos a los países vencidos.Protegieron las artes, que llegaron a su apogeo;construyeron monumentos y palacios. Fue laépoca de mayor esplendor del imperio. Lascontinuas guerras debilitaron al imperio, y el reyde Media y el gobernador de Babilonia sesublevaron y destruyeron completamente laciudad de Nínive, terminando así con el segundoimperio Asirio.
Con esta destrucción surgió Babilonia y junto con Asiria y Caldea, se formó el imperiocaldeobabilónico. Babilonia fue la capital, la cual, embellecida con suntuosos palacios y grandesmonumentos, llegó a ser la primera ciudad del mundo antiguo. Uno de sus emperadores,Nabucodonosor, se apoderó de Judea y Jerusalén y llevó a Babilonia diez mil hebreos cautivos.
Representación de la ciudad de Nínive
Las Ciencias y las Artes alcanzaron gran desarrollo, especialmente la astronomía, las
Matemáticas, la Medicina, la Gramática, la Arquitectura y la escultura. Sus templos y
palacios estaban adornados con esmaltes y pinturas. Tallaban la madera con
habilidad y gusto artístico. Sus estatuas y bajorrelieves representaban figuras
originales, como leones y toros alados con cabezas humanas.
Murallas del palacio de Nabucodonosor II.
Babilonia. Irak.Representación de la antigua Babilonia
LAS MATEMATICAS EN BABILONIA
En los textos cuneiformes sumerios se han hallado tablas demultiplicación, de recíprocos, de cuadrados y algunos cálculos.
Es destacable las habilidades de loscálculos babilonios mediante laconstrucción de tablas para ayudar acalcular. De las tablillas babilónicas,unas 300 se relacionan con lasmatemáticas, unas 200 son tablas devarios tipos: de multiplicar, derecíprocos, de cuadrados, de cubos,etc.
Los babilonios llevan a cabo la resolución de ecuaciones cuadráticas oreducibles a cuadráticas, utilizando la actual resolvente, a veces medianteel recurso de reducir el problema a la determinación de dos números delos cuales se conoce el producto y la suma.
Hasta la época babilónica el estudio de las matemáticas era de tipo
empírico, es decir, el estudio de éstas se realizaba con el fin de resolver
problemas prácticos que repercutían en el mejoramiento de la vida diaria
de las personas y la nación. No había un interés científico más elevado, ni
mucho menos la intención de estudiar la ciencia numérica por simple
placer o curiosidad.
Con la Geometría de los Griegos del siglo VI a.C se da inicio a la
época de la deducción:
• Inician las matemáticas formales
• Utilizan el método deductivo (razonamiento deductivo)
• El razonamiento deductivo se caracteriza por su formalidad
• Abstraen la experiencia práctica (EUCLIDES)
Heredamos de Euclides la
insistencia en la
demostración deductiva
Euclides
La contribución griega desde cerca del año 600
a.C, hasta aproximadamente el 300 d.C, fue la
mayor y mejor en los siglos IV y III a.C
Entre los filósofos griegos más conocidos está Tales de Mileto
(630 – 545 a.C).
Tales fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se
le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía
occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía. Fue el
primero de los Siete Sabios de Grecia y según una antigua
tradición, tuvo como protegido a Pitágoras. Fue además uno de los
más grandes matemáticos de su época.
Se atribuye a Tales el haber transportado de Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas
elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su
principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre,
es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es
un triángulo rectángulo.
Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales
habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines
prácticos de la navegación. Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la
geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un circulo lo dividiría en partes idénticas,
que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades
relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta
perpendicular.
Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus
terrenos. Mas, según los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia
mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su
geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.
Semicírculo que ilustra un
teorema de Tales.
Los
Pitagóricos
Los pitagóricos eran aquellos miembros seguidores de la escuela
pitagórica, una organización griega de astrónomos, músicos, matemáticos y
filósofos, que creían que todas las cosas son, en esencia, números. El grupo
mantuvo en secreto el descubrimiento de los números irracionales, y la
leyenda cuenta que un miembro fue ahogado por no mantener el secreto.
El pentagrama (estrella de cinco puntas) fue un importante símbolo religioso
usado por los pitagóricos, que lo denominaban "salud". Los pitagóricos deben
su nombre a la influencia que sobre ellos tuvo el filósofo presocrático
Pitágoras.
Busto de Pitágoras
Símbolo de los pitagóricos
El máximo representante de los pitagóricos fue Pitágoras de Samos (aprox. 570 a.C. – 500 a.C.)
De joven se instaló en Crotona y fundó su escuela.
Principales Aportes:
• Dividieron los números naturales en pares e impares
• Consideran la Aritmética como ciencia
• Inventan la denominación de números amigos y números perfectos
• Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las medias
aritméticas, geométricas y armónicas
Los Eleatas
En el siglo V a.C. Parménides fundó una escuela
de filosofía n Elea, colonia griega en la península
itálica. Parménides adoptó una actitud en la que
mantuvo que el universo se puede describir como
una esfera indivisible e inmutable y que toda
referencia a cambio o diversidad es por sí misma
contradictoria.
Zenón de Elea, discípulo de Parménides, intentó
probar la unidad del ser afirmando que la creencia
en la realidad del cambio, la diversidad y el
movimiento, conduce a paradojas lógicas.
Las aporías de Zenón llegaron a ser enigmas
intelectuales que filósofos y lógicos de todas las
épocas han intentado resolver. El interés de los
eleáticos por el problema de la consistencia
racional propició el desarrollo de la ciencia de la
Lógica.
Los aportes de Parménides
ayudaron bastante al
desarrollo de la matemática.
Zenón de Elea se caracterizó
por ser crítico de las
concepciones pitagóricas.
Ideó paradojas que iban
dirigidas a cuestionar dichas
concepdiones.
Paradojas de Zenón• Argumento dicotómico: El movimiento es imposible. En efecto,
para que un móvil pueda recorrer una distancia dada, antes deberá
haber recorrido la mitad de ella, y antes de recorrer dicha mitad
habrá tenido que atravesar la cuarta parte de la distancia dada, y
antes de cubrir dicha cuarta parte deberá haber atravesado la octava
parte de la distancia dada, etc. Entonces, retrocediendo de este
modo, el móvil nunca iniciará el movimiento.
• Paradoja de Aquiles y la tortuga: Aquiles el de los “pies ligeros”
nunca podrá dar alcance a una tortuga, aunque su velocidad sea
muy superior a la del animalito. Cuando Aquiles llegue al punto
desde donde partió la tortuga, ésta habrá avanzado una
determinada distancia, luego Aquiles recorre dicha distancia
mientras la tortuga –de nuevo- habrá tomado ventaja sobre él. Es
claro que este proceso puede repetirse “Ad infinitum”, con lo que
el rápido corredor nunca podrá alcanzar a la tortuga.
Parménides Zenón
Principales aportes de la escuela eleática:
• Suma de puntos
• El tiempo como suma de instantes
• Movimiento como suma de pasajes de un lugar a otro
• Aporte a la matemática recursos de orden lógico, metodológico y hasta
técnico
• Su proceso dicotómico se usa como recurso de demostración y el método de
reducción al absurdo, es una consecuencia del principio de contradicción,
eje de sus raciocinios
• Desecha la concepción monádica de los pitagóricos
Platón (427 a.C. – 347 a.C.)
• Platón fue un filósofo griego de familia noble y de la
alta aristocracia. Alumno de Sócrates y maestro de
Aristóteles, su influencia como autor y sistematizador ha
sido incalculable en toda la historia de la filosofía. En el
siglo IV a.C. fundó La Academia, una de las principales
escuelas de Atenas.
• En la entrada a la academia se leía: “Aquel que ignore
geometría no penetre bajo mi techo”.
• En los “Diálogos” de Platón aparecen consideraciones
matemáticas.
• Platón sintetiza su amor a la matemática con la frase:
“Dios geometriza constantemente”.
• La cosmología platónica influenciada de pitagorismo, se
fundamenta sobre las proporciones, los polígonos y los
poliedros regulares.
• Los poliedros eran conocidos como cuerpos platónicos.
• Con el desarrollo de su pensamiento contribuyó a
diferenciar el campo abstracto de los números y la
aplicación concreta de ellos.
Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.)
• Aristóteles fue un filósofo, lógico y científico de la
Antigua Grecia cuyas ideas han ejercido una gran
influencia sobre la historia actual de occidente por más de
2 mil años.
• Aristóteles escribió cerca de 200 tratados sobre una
enorme variedad de temas que incluyen lógica,
metafísica, filosofía de la ciencia, ética, filosofía política,
estética, retórica, física, astronomía y biología.
Transformó muchas de las áreas del conocimiento que
tocó.
• Es reconocido como el padre fundador de la lógica y la
biología, pues aunque existen escritos previos sobre
ambas materias, es en el trabajo de Aristóteles donde se
encuentran las primeras investigaciones sistemáticas al
respecto.
• La noción central del sistema lógico de Aristóteles es el
silogismo. Un silogismo es, según Aristóteles: “Un
discurso en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta
necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa
diferente”.
Ejemplo de silogismo:
1. Todos los hombres son mortales
2. Todos los griegos son hombres
3. Por lo tanto, todos los griegos
son mortales
Aportes de la Academia
Euclides atribuye a Platón las siguientes contribuciones:
• El método analítico (método de demostración)
• Una solución de la ecuación pitagórica (la relación entre los lados del
triángulo rectángulo-Teorema de Pitágoras)
• El problema de la duplicación del cubo
222 zyx
Las Matemáticas en el período HelenísticoEn esta etapa la matemática griega se caracterizó por su autonomía respecto a la
filosofía. Es la etapa en la que se llega a un máximo esplendor. Se crearon muchos
centros de investigación como los de Alejandría, Pérgamo y Rodas siendo sus
máximos representantes Euclides, Arquímedes y Apolonio.
En Alejandría se construyen bibliotecas y museos,
siendo su famosa biblioteca una de las más
reconocidas hasta la actualidad, donde centenares
de sabios y estudiosos enseñan, trabajan e
investigan. A su vez se levantan observatorios para
estudiar los fenómenos celestes. En este ambiente,
científicos de Alejandría se vinculan directa e
indirectamente, entre ellos las tres figuras máximas
de la matemática antigua: Euclides, Arquímedes y
Apolonio.
Imagen del legendario Faro de Alejandría. Una
de las siete maravillas del mundo antiguo
Los Elementos
Los Elementos, es un conjunto de libros que sistematiza una parte
de los conocimientos griegos acerca de la geometría. Recopila
aportes de culturas anteriores a la griega, como las de Babilonia y
Egipto, y sirve para las posteriores investigaciones en el campo de
la matemática, por ejemplo ha sido la base para la creación de una
serie de geometrías no euclidianas. De los trece libros que
componen Los Elementos, los seis primeros corresponden a lo
que se entiende como geometría elemental, donde se recogen las
técnicas geométricas empleadas por los pitagóricos para resolver
problemas referidos a ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen
también la teoría general de las proporciones atribuida a Eudoxo.
Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas
(Teoría de Números) y los tres restantes se ocupan de la
geometría de los sólidos, hasta terminar en la construcción de los
cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que ya habían
sido estudiadas porTeeteto.
Los Elementos
En Los Elementos se hace un estudio
deductivo científico de los conocimientos
matemáticos, los principios que se toman
como punto de partida son veintitrés
definiciones (llamadas términos), cinco
postulados y cinco axiomas (llamados
nociones comunes).
Los Axiomas de Euclides
• Por cualquier punto se puede trazar una recta que pasa por otro punto cualquiera
•Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección
• Con un centro dado y un radio dado se puede trazar un círculo
•Todos los ángulos rectos son iguales entre sí
• Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores
que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado con que
están los ángulos menores que dos rectos
TeoremasLos teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna.
Por citar algunos de los más conocidos:
• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º
• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
En los librosVII,VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad.
Arquímedes pensativoÓleo sobre tela del pintor Domenico Fetti (1620)
Arquímedes fue un matemático griego, físico, ingeniero,
inventor y astrónomo, hijo del astrónomo y matemático
Fidias. De su padre aprendió cuestiones de ciencia, más
adelante trabajando en Alejandría obtiene
perfeccionamiento en sus conocimientos en
colaboración con otros grandes matemáticos. Es
reconocido por haber diseñado armas innovadoras,
incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes.
Es considerado uno de los más grandes matemáticos de
la historia. Uso el método de exhausción para calcular el
área bajo una parábola con la suma de una serie infinita y
dio una aproximación bastante precisa del número Pi.
Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214 –
212 a.C.), al ser asesinado por un soldado romano, a
pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese
ningún daño.
Contribuciones de Arquímedes a la Matemática pura y aplicada
• Inventó métodos generales para encontrar las áreas de figuras planas curvilíneas y
los volúmenes limitados por superficies curvas, y aplicó estos métodos a muchos
casos especiales, incluyendo el círculo, la esfera, segmentos de una parábola, el área
limitada entre dos radios y dos pasos sucesivos de una espiral, segmentos de esferas y
segmentos de superficies engendradas por la revolución de rectángulos (cilindros),
triángulos (conos), parábolas (paraboloides), hipérbolas (hiperboloides) y elipses
(esferoides), alrededor de sus ejes principales.
• Ideó un método para calcular la razón de la circunferencia de un círculo a su
diámetro, y fijó el valor entre y
• Encontró métodos para hallar las raíces cuadradas aproximadas, con lo cual se
anticipó a la invención hecha por los hindúes, respecto a las fracciones continuas
periódicas.
• En Aritmética sobrepaso la incapacidad del método no científico griego de
simbolizar los números al escribir o escribir incluso grandes números, e inventó un
sistema de numeración capaz de tratar números tan grandes como se deseara.
143,3371 141,33
7110
Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A
través de la reducción al absurdo (reductio ad absurdum), era capaz de contestar problemas mediante
aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se
encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método de exhausción, y fue el
sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular
inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la
circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las
áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la
diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados
cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 310/71 (aproximadamente
3,1408) y 31/7 (aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π. También
demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo. En
su obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, sumada a sí misma
suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es
conocido como la propiedad arquimediana de los números reales.
Arquímedes utilizó el método de
exhausción para conseguir el
valor aproximado del número π.
En su obra sobre La cuadratura de la Parábola,
Arquímedes probó que el área definida por una
parábola y una línea recta equivalía exactamente a 4/3
el área del correspondiente triángulo inscrito, tal y
como se puede observar en la figura de al lado. Para
obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica
infinita con una razón común de 1/4:
El primer término de esta suma equivale al área del
triángulo, el segundo sería la suma de las áreas de los
dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por
el triángulo y la parábola, y así sucesivamente. Esta
prueba utiliza una variación de la serie infinita 1/4 +1/16 + 1/64 + 1/256 + ..., cuya suma se demuestra que
equivale a 1/3.
0
321
3
444414
n
n
Arquímedes demostró que
el área del segmento
parabólico de la figura es
igual a 4/3 de la del
triángulo inscrito
APOLONIO de Pérgamo (262 a.C. – 190 a.C.)
Apolonio nació en Pérgamo alrededor
del año 262 a.C. y falleció en el 190
a.C. Estudió en Alejandría siguiendo la
tradición de Euclides y escribió ocho
libros, de los cuales los primeros
cuatro abarcan la Teoría General de las
Cónicas y sus propiedades más
importantes; son los únicos
sobrevivientes del texto original. En
cambio los otros cuatro se refieren a
propiedades especiales y pueden
considerarse como monografías.
• Apolonio en sus obras sobre las cónicas introduce los nombres parábola, hipérbola y elipse para las
secciones del cono. También se le atribuye la invención del reloj solar y es uno de los precursores de los
descubrimientos astronómicos.
• Además de las cónicas (su obra máxima), se le atribuyen otros escritos científicos:
• Tangencias, propuso y resolvió el problema de hallar la circunferencia tangente a tres elementos
cualesquiera elegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema es conocido
como Problema de Apolonio). El problema aparece en su obra (hoy perdida), Las tangencias o Los
Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría.
• Reparto Rapido, obra en la que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una
aproximación de π.
• Secciones en una Razón dada, trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por
un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos que estén en una razón dada (este
problema es equivalente a resolver la ecuación ).
• Secciones en un Área dada, problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos
determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro (este problema es
equivalente a resolver ).
• Secciones Determinadas, dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto
P, tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo
construido sobre BP y DP.
• Lugares Planos, los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las
circunferencias, lugares sólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas.
• Inclinaciones, trataba el problema de trazar, en una circunferencia dada, una cuerda de longitud
dada pasando por un punto dado.
bcxax 2
bcxax 2
Problema de Apolonio: Dadas dos circunferencias y un punto, construir
una circunferencia que contenga al punto (PCC).
Caso 1. Cuando el punto P es exterior a ambas circunferencias.
1. Hallar los centros de homotecia directo e inverso. (Directo H, inverso K)
2. Trazar el segmento C1C2 (Que une los centros de las circunferencias dadas)
3. Hallar las intersecciones del segmento C1C2 con las circunferencias dadas.
4. Trazar la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P.
5. Trazar el segmento PH. (Une el punto P con el centro de homotecia H).
6. Hallar la intersección entre el segmento PH y la circunferencia ABP. (Punto M).
7. Ocultar las rectas tangentes, el segmento C1C2, los puntos A, B, H y K.
8. Construir la circunferencia que pasa por P y M, tangente a la circunferencia
C1. Resultan dos circunferencias -rojas- que son las circunferencias pedidas.
9. Se pueden obtener dos circunferencias más, repitiendo los pasos anteriores para
el centro de homotecia inverso K.
Problema de Apolonio: Dadas dos circunferencias y un punto, construir
una circunferencia que contenga al punto (PCC).
Caso 2. Cuando el punto P pertenece a una de las circunferencias.
Hallar los centros de homotecia directo e inverso (Directo H, inverso K).Trazar la recta PH (Del
punto P al centro de homotecia H). Hallar la intersección de la recta PH con la circunferencia C1
(punto Q). P y Q son los puntos de tangencia para una de las circunferencias buscadas.Trazar las
semirrectas C1Q y C2P. Hallar la intersección entre las rectas C1Q y C2P. (PuntoT1, este es el centro
de una de las circunferencias buscadas).Trazar la circunferencia de centroT1 y radioT1P
(Circunferencia roja).Ahora, trazar la recta PK (Del punto P al centro de homotecia inverso K).
Hallar la intersección entre la recta PK y la circunferencia C1 (Punto R). P y R son los puntos de
tangencia para otra de las circunferencias buscadas.Trazar las semirrectas C1R y C2P. Hallar la
intersección entre las rectas C1R y C2P. (PuntoT2, este es el centro de otra de las circunferencias
buscadas).Trazar la circunferencia de centroT2 y radioT2P. (Circunferencia roja)
Fue en Grecia, donde se hizo popular la creación de escuelas, en donde los grandes pensadores de
la época daban resolución a los problemas más populares de geometría, álgebra, y trigonometría.
Los aportes de esta cultura a las matemáticas son de enorme magnitud. Por ejemplo en el campo
de la geometría, se dio la demostración del teorema de Pitágoras, además que fue hallado el
método para conseguir la sucesión indefinida de ternas de números pitagóricos, que satisfacen la
ecuación . Incluso se trabajó enormemente en la resolución y demostración de distintos
problemas, como en la trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por una curva.
Esto conllevó a al avance en él calculo del número π y a la creación del método de exhausción
(predecesor del cálculo de límites), creado por Eudoxo. El avance que obtuvieron los griegos en
cuanto al álgebra y la geometría, los llevó a la constricción de una nueva rama de las matemáticas,
llamada, álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión
de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, y
la expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia
circunscrita. En Grecia, no se hicieron esperar los problemas que implicaban la construcción de
límites, por lo que en su época, Demócrito y otros grandes pensadores intentan darles respuesta
con la unificación de las matemáticas y la teoría filosófica atomicista. Considerando de esta forma
la primera concepción del método del límite. El interés que produjeron las matemáticas en
Grecia, hace que se considere como la cuna de esta ciencia. Por lo cual se bautizó a la época
comprendida de los años 300 a.C. a 200 a.C., como la edad de oro de las matemáticas. Después de
esta época, Grecia deja de ser el centro evolutivo de las matemáticas, conflictos sociales y políticos
que se vivían en esa época alejan a Grecia de esta ciencia. Por esta situación otro imperio toma las
riendas de los avances matemáticos.
Aportes de la Cultura Griega
222 cba
Período posterior a los Griegos.
Edad Media. La Cultura
Árabe. India y China
(aprox. 900 a.C. – 1600 d.C.) Muhammad ibn Mūsā al-Kwārizmī(Al-Juarismi)
ROMASegún la tradición romana, la ciudadde Roma fue fundada en el año 753a.C. por los gemelos Rómulo y Remo alas orillas del Tíber, esta pequeñaciudad floreció y se desarrolló hastallegar a ser considerada durante laépoca previa a la República, superior asus vecinos, haciéndose cada vez másfuerte a medida que se apoderaba demas territorios. Ya en la República,alrededor del año 270 a.C. Romadominaba toda la península Itálica yseguía su expansión. Este imperio quea partir del s. I a.C. sería gobernadopor emperadores, creció y absorbióciudades y territorios que hoy en díacomprenden mas de 40 países con5.000 Km., de un extremo a otro.
Ingeniería RomanaLos romanos no contribuyeron en granmedida a la ciencia básica; su contribuciónse hace en otra área, en el dominio de laorganización, como la formación de unservicio médico público, la construcción decarreteras y acueductos, la introducción alcalendario juliano y la promulgación delderecho romano que regulaba susorganizaciones. Desde muy pronto, losromanos estuvieron en contacto con losgriegos de Sicilia y del sur de Italia, y dadoque sojuzgaron las dinastías que habíansurgido del imperio de Alejandro Magno enel siglo segundo antes de Cristo, se dieroncada vez mas cuenta de la superioridad dela cultura Griega.
Obreros completando el pretil de un gran puente de piedra.
Las Matemáticas en RomaSe podría decir que el aporte conocido quehicieron los romanos a las matemáticas fuesu sistema de numeración, de utilidad másbien estética, utilizado hasta hoy en algunasocasiones. Esas cifras que aún hoy vemos enmuchos de nuestros monumentos, no es unabuena herramienta para el cálculo. Utilizaletras del alfabeto para representar losnúmeros y no es posicional, es decir, cadasímbolo vale siempre lo mismo, no importadonde esté colocado. Las cifras que utilizabanson: I, V, X, L, C, D, M.El sistema se basa en la suma de lossímbolos. Salvo en el caso en que un signonumérico menor precede a uno mayor, porejemplo:
1336 se escribe MCCCXXXVI
2894 se escribe MMDCCCXCIV
Boecio (480 – 524/525). Fue un filósofo romano. Elhistoriador francés Étienne Gilson (1884 – 1978)afirma que Boecio fue, para la escolásticatradicional, por sus traducciones, comentarios yescritos, la principal autoridad en lógica de la EdadMedia hasta que, en el siglo XIII, fue traducido allatín y comentado directamente el Organoncompleto de Aristóteles.
Edad Media (siglo V al siglo XV)Las Matemáticas en la India(900 a.C. – 1400 d.C.)Las matemáticas védicas comenzaron en la Edad del Hierro, con el Shatápatha-bráhmana (texto religioso hinduistas sánscrito en prosa que describe los ritualesvédicos) hacia el siglo IX a.C., donde se aproxima el valor de π con dos decimales.También se tiene el Sulba Sutras (800 – 500 a.C.), que se compone de textos degeometría que usaban números irracionales, números primos, regla de tres y raícescúbicas, cálculo de la raíz cuadrada de 2 con dos decimales, un método paracuadrar el círculo, resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, desarrolloalgebraico de ternas pitagóricas y enunciado y demostración numérica del teoremade Pitágoras.Pānini (siglo IV a.C.) fue el más eminente de todos los gramáticos sánscritos de laIndia. Formuló las reglas gramaticales para el sánscrito. Su notación fue similar ala notación matemática moderna y usaba “metarreglas”, transformaciones yrecursiones con tal sofisticación que su gramática tenía el poder de cálculoequivalente a una Máquina de Turing. Pingala fue un matemático indio autor delChanda-shastra, un libro escrito en sánscrito acerca de las métricas o sílabaslargas. Presentó la primera descripción conocida de un sistema de numeraciónbinario. Describió dicho sistema en relación con la lista de métricas védicas y lassílabas cortas y largas.
El análisis que hizo Pingala sobre lacombinatoria de métricas musicalescorresponde al teorema binomial. La obra dePingala también contiene ideas básicas sobrelos números de Fibonacci. Entre el 400 a.C. yel 200 a.C. comienzan el estudio de lasmatemáticas para el exclusivo propósito delas matemáticas. Fueron los primeros endesarrollar los números transfinitos, la teoríade conjuntos, los logaritmos, leyesfundamentales de los índices, ecuacionescúbicas y cuárticas, sucesiones yprogresiones, permutaciones ycombinaciones, cuadrados y extracción de laraíz cuadrada y potencias finitas e infinitas.
El manuscrito Bakhshali, escrito entre el 200 a.C. y el 200 d.C., incluíasoluciones de ecuaciones lineales con más de cinco incognitas, la solución dela ecuación cuadrática, progresiones aritméticas y geométricas, seriescompuestas, ecuaciones cuadráticas indeterminadas, ecuacionessimultáneas y el uso del cero y los números negativos. También pudieronencontrarse cálculos exactos de números irracionales, que incluían raícescuadradas de números tan grandes como un millón y con once decimales.
Aryabhata (476 – 550 ), quien fue el primer granmatemático y astrónomo de la era clásica india,en 499, introdujo la función verseno, que es unafunción trigonométrica que se define con laecuación
Produjo las primeras tablas trigonométricas delseno, desarrolló técnicas y algoritmos de álgebra,infinitesimales, ecuaciones diferenciales y obtuvola solución completa de ecuaciones lineales porun método equivalente al actual, además decálculos astronómicos basados en un sistemaheliocéntrico de gravitación. Desde el siglo VIIIestuvo disponible una traducción al árabe de suAryabhatiya, seguida de una traducción al latínen el siglo XIII. También calculó el valor de π cononce decimales (3,14159265359).
22cos1sin 2
senver
Aryabhata
En el siglo VII Brahmagupta (598 – 660), quien fue unmatemático y astrónomo indio, identificó la identidadde Brahmagupta, la cual enuncia que el producto de dosnúmeros, cada uno de los cuales es la suma de doscuadrados, también es la suma de dos cuadrados:
La identidad es cierta en cualquier anillo conmutativo,pero tiene su mayor utilidad en el anillo de los enteros.También planteó la Fórmula de Brahmagupta, la cualencuentra el área de cualquier cuadrilátero dadas laslongitudes de los lados y algunos de los ángulos.Forma básica de la Fórmula de BrahmaguptaDa el área de un cuadrilátero cuyos lados tienenlongitudes a, b, c, d:
22
222222
bcadbdac
bcadbdacdcba
.2
:,
dcbas
asítrosemiperímeelessdonde
dscsbsasA
Brahmagupta también explicó por primera vez los dos usos del númerocero (0): como un símbolo para rellenar un hueco en el sistema posicionaly como una cifra y explicó el sistema de numeración hindo-arábigo. Fue araíz de una traducción de su texto: Brahma-sphuta-siddhanta, hacia el año770, cuando las matemáticas islámicas tuvieron acceso a este sistema denumeración, que posteriormente adaptaron usando los numeralesarábigos.
Bhaskara (1114 – 1185) fue un matemático yastrónomo indio. Representa el pico delconocimiento matemático y astronómico enel siglo XII. Alcanzó un conocimiento deCálculo, Astronomía, los Sistemas deNumeración y la resolución de ecuaciones,que no había sido alcanzado en ningunaparte del mundo durante varios siglos. Susprincipales trabajos fueron: el Lilavati(sobre aritmética), Bijaganita (Álgebra) ySiddhanta Shiromani (escrito en 1150) queconsta de dos partes: Goladhyaya (esfera) yGrahaganita (matemática de los planetas). Bhaskara
122 nyx
En el siglo XII, Bhaskara concibió por primera vez el Cálculo Diferencial, juntocon conceptos como derivada, coeficiente diferencial y diferenciación. Tambiénestableció el Teorema de Rolle, estudió la ecuación de Pell
donde n es un número entero que no es cuadrado perfecto.También investigó la derivada de la función seno.Desde al siglo XIVMadhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala (fue unaescuela de matemática y astronomía fundada porMadhava en Kerala, provincia alsur de la India), ampliaron las ideas Bhaskara: desarrollaron el concepto deAnálisis Matemático y Números de Punto Flotante y conceptos fundamentalespara el desarrollo global del Cálculo, incluyendo el Teorema del Valor Medio y laintegración término a término; las relaciones entre el área bajo una curva y suantiderivada o integral; el test integral para la convergencia; métodos iterativospara la resolución de ecuaciones no lineales y un buen número de series infinitas,series de potencias, series de Taylor y series trigonométricas.En el siglo XVI Jyeshtadeva consolidó la mayoría de los desarrollos y teoremas dela Escuela de Kerala en el Yuktibhasa, el primer texto en la historia sobre alcálculo diferencial, donde también se incluían conceptos de cálculo integral.El progreso matemático en la India se estancó a partir de finales del siglo XVIdebido a conflictos políticos.
Sistema de numeración HindúLos hindúes hicieron grandes y valiosos aportes enmatemáticas a la humanidad. Los sacerdotes hindúesinventaron los números que usamos, llamadosarábigos por ser los árabes quienes los divulgaron. Loscontactos comerciales entre la India y el imperioconstruido por los árabes favorecieron que éstosúltimos adoptaran tanto el sistema de numeraciónhindú como sus signos numerales, contribuyendoluego decisivamente a difundirlos en occidente.Además, los hindúes inventaron el valor de la cifracero (0) (en el siglo IX el cero era ya de uso común enlos textos hindúes), muchas nociones sobre decimales,nuestra forma de valorar un número según el valor queocupa en el conjunto de varias cifras y los fundamentosdel álgebra y la trigonometría. También en la Indiasurgió el método de expresar cada número posibleutilizando un conjunto de diez símbolos, cada uno deellos con un valor en su posición y un valor absoluto.Su simplicidad subyace en el modo en que facilitó loscálculos aritméticos.
Números hindúes en distintas épocas
Matemáticas en China(500 a.C. – 1300 d.C.)En China, el emperador Qin Shi Huang ordenó en 212 a.C.que todos los libros de fuera del estado de Qin fueranquemados, como consecuencia de esto se conoce muy pocode la matemática de la China Ancestral. De la Dinastía Zhou,que reinó desde 1050 a.C. hasta 256 a.C., el libro dematemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el IChing, que usa trigramas (tres líneas trazadas sobre un papela las que se asocia un determinado significado) y hexagramas(los hexagramas chinos son combinaciones de trigramas),para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estosobjetos matemáticos están compuestos de líneas enteras odivididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino),respectivamente.La obra más antigua sobre geometría en China viene decanon filosófico mohista hacia el 330 a.C., recopilado por losacólitos de Mozi (470 – 390 a.C. fundador del mohismo yconsiderado la primera figura importante de la filosofíachina). El Mo Jing describió varios aspectos de muchoscampos relacionados con la física y también proporcionó unapequeña dosis de matemáticas.
Los 64 hexagramas contenidosen el I Ching
Después de la quema de libros, la dinastía Han (202a.C. – 220 d.C.) produjo obras matemáticas quepresumiblemente abundaban en trabajos que sehabían perdido. La más importante de estas es Lasnueve lecciones sobre arte matemático, cuyo títulocompleto apareció hacia el 179 d.C., peo existíaanteriormente en parte bajo otros títulos. La obraconsiste en 246 problemas en palabras que involucranagricultura, negocios, usos geométricos para establecerlas dimensiones de las pagodas (edificio de variosniveles), ingeniería, agrimensura y nociones sobretriángulos rectángulos y π. También se usa el Principiode Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes deque el propio Cavalieri lo formulara en occidente. Secrearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y unaformulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui (220 – 280), matemático chino, hizoun comentario de la obra hacia el siglo III d.C.
El cálculo de pi fue una atracción para losmatemáticos expertos de todas las culturas. Hacia120, el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fueuno de los primeros en usar la aproximación, quededujo de la razón entre el volumen de un cubo yla respectiva esfera inscrita. Un siglo después, elastrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45(3,155555), aunque se desconoce el métodoempleado. Pocos años después, hacia 263, elmatemático Liu Hiu fue el primero en sugerir que3,14 era una buena aproximación, usando unpolígono de 96 o 192 lados. Posteriormente estimóπ como 3,14159 empleando un polígono de 3.072lados. A finales del siglo V, el matemático yastrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de πen 3,1415926 al que llamó «valor por defecto» y3,1415927 «valor por exceso», y dio dosaproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113muy conocidas ambas, siendo la últimaaproximación tan buena y precisa que no fueigualada hasta más de nueve siglos después, en elsiglo XV.
Método de aproximación de Liu Hui
Las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng(78 – 139), también contienen una formulación para π, la cual difierede los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de π paraencontrar volúmenes esféricos.También estaban los trabajos escritos del matemático y teórico de lamúsica Jing Fang (78 – 37 a.C.); mediante el uso de la comapitagórica (intervalo musical que resulta de la diferencia entre docequintas perfectas y siete octavas; su expresión numérica es ),Jing observó que 53 quintas juntas se aproximan a 31 octavas. Estollevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual quedivide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculadocon tante precisión hasta que el siglo XVII lo hiciese el alemánNicholas Mercator.Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorioscomplejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico,descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui(1238 – 1298).
1223
Un cuadrado mágico esuna tabla donde se disponede una serie de númerosenteros en un cuadrado omatriz de forma tal que lasuma de los números porcolumnas, filas ydiagonales principales seala misma, la constantemágica.
Zhang Heng
Zu Chongzhi (429 - 500). Fue un matemático y astrónomo chino que vivió yestuvo al servicio de las dinastías de Qi (dinastías del sur). Su familia estuvohistóricamente unida a la investigación astronómica y desde su niñez mantuvocontacto con matemáticos y astrónomos. Desde joven se hizo muy famoso por sutalento. Entre sus descubrimientos destacan:• El calendario Daming, introducido en 465.• Dos aproximaciones π; sostuvo el record de la aproximación más precisadurante novecientos años. Su mejor aproximación cae entre 3.1415926 y3.1415927, la aproximación racional 355/113 ( 密率 , Milü, aproximacióndetallada) y 22/7 (约率, Yuelü, aproximación cruda).• Dedujo que el volumen de una esfera es , donde r es el radio; aunque esteresultado ya había sido descubierto por Arquímedes.
34 3r
Zu Chongzhi
Matemáticas de los Árabes (800 – 1500)
El imperio islámico, establecido a lo largo del Oriente Medio, AsiaCentral, África del Norte, Iberia y parte de la India, hizo aportessignificativos en matemáticas en el siglo VIII. Aunque la mayorparte de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos enárabe, no todos fueron escritos por árabes, dado que, así como elgriego era usado en el mundo helenístico, el árabe era usado comoel lenguaje escrito de los intelectuales no árabes a lo largo delmundo islámico en aquella época. Junto con los árabes, muchosotros importantes matemáticos islámicos fueron persas.Al-Juarismi (780 – 850), matemático, astrónomo y geógrafo persamusulmán chií, es considerado como el padre del álgebra y como elintroductor de nuestro sistema de numeración. Hacia el año 815 al-Mamun, séptimo califa Abásida, fundó en Bagdad la Casa de laSabiduría (Bayt al-Hikma), una institución de investigación ytraducción que es comparada con la Biblioteca de Alejandría. Enella tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas eindias. Contaba también con observatorios astronómicos. En esteambiente científico y multicultural se educó y trabajó al-Juarismijunto con otros científicos. Dos de sus obras, sus tratados de álgebray astronomía, están dedicados al propio califa.
Texto islámico de Álgebra
En el siglo, IX Al-Juarismi escribió varios libros importantessobre los números arábigos y sobre los métodos de resoluciónde ecuaciones. Su libro Sobre los cálculos con númerosarábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo deAl-Kindi (801 – 873. Trabajó en filosofía, astrología,astronomía, cosmología, química, lógica, matemática, música,medicina, física, psicología y meteorología), fueroninstrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y losnúmeros arábigos en occidente. La palabra algoritmo se derivade la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebradel título de uno de sus trabajos: Al-Kitab al-mukhtasar fihisab al-gabr wa’l-mugabala (Compendio sobre el cálculo decomplemento y equilibrio). Al-Juarismi realizó importantescontribuciones al álgebra, entre ellas: aportó una exhaustivaexplicación a la solución de ecuaciones de segundo grado conraíces positivas, y fue el primero en enseñar el álgebra en susformas más elementales. También introdujo el métodofundamental de “reducción” y “balance”, refiriéndose a lacolocación de los términos restados al otro lado de unaecuación, es decir, la cancelación de términos iguales que seencuentran en lados opuestos de una ecuación.
Al-Kindi
El posterior desarrollo del álgebra vino de la mano de Al-Karaji (953– 1029). Al-Karaji fue un matemático e ingeniero persa. Vivió ytrabajó la mayor parte de su vida en Bagdad, que era la capitalcientífica y comercial del mundo islámico. Contribuciones. Al-Karaji era ingeniero y matemático del más alto nivel. Aunqueescribió apoyándose en el trabajo de matemáticos anteriores, es elprimero que libera el álgebra de las operaciones geométricas, queeran fruto de la aritmética griega, para sustituirlas por el tipo deoperaciones que constituyen la base del álgebra moderna. En sustrabajos sobre álgebra, dio las reglas de las operaciones aritméticascon polinomios. Se cree que es el primero que introdujo la teoría delcálculo algebraico. Al-Karaji investigó sobre los llamados coeficientesbinomiales y el triángulo de Pascal. También hizo uso del método deinducción para probar sus resultados. Sus contribuciones al campode las matemáticas y de la ingeniería todavía se reconocen hoy porsus trabajos sobre la tabla de coeficientes binomiales, su ley deformación:
y la expansión
para el número entero n.Esto es una hipótesis, históricamente se le atribuye a Sir IsaacNewton.
m
n
m
n
m
n 1
1
1
n
k
knknba
k
nba
0
Al-Karaji
En el siglo X, Abu’l-Wafa (940 – 998) matemático yastrónomo persa, tradujo las obras de Diofanto alárabe y desarrolló la función tangente. Sucontribución a las matemáticas está enfocadaprincipalmente en el campo de la trigonometría.Mejoró los métodos de calcular las tablas de latrigonometría, ideó un método nuevo de calcular lastablas del seno. Sus tablas trigonométricas son exactashasta 8 lugares decimales, y desarrolló maneras desolucionar algunos problemas de triángulos esféricos.Abu’l-Wafa estableció las identidades trigonométricas:
Y descubrió la fórmula del seno para la geometríaesférica (que es similar a la ley de los senos):
Escribió una gran cantidad de libros, la mayor partede ellos se ha perdido.
aaa
aa
bababa
cossin22sin
sin212cos
sincossinsinsin
2
c
C
b
B
a
A
sin
sin
sin
sin
sin
sin
Abu’l-Wafa
Ibn al-Haytham, conocido en occidente como Alhacén (965 –1040). Fue un matemático, físico y astrónomo musulmán querealizó importantes contribuciones a los principios de la óptica y ala concepción de los experimentos científicos. Es consideradocreador del método científico y padre de la óptica por sus trabajosy experimentos con lentes, espejos, reflexión y refracción. Escribióel primer tratado amplio sobre lentes, donde describe la imagenformada en la retina humana debido al cristalino. Alhacén esconsiderado uno de los físicos más importantes de la Edad Media.Sus trabajos fundamentales se refirieron a la óptica geométrica,campo en el que, al contrario que Ptolomeo, defendía la hipótesisde que la luz procedía del Sol, y que los objetos que no poseen luzpropia lo único que hacían es reflejarla gracias a lo cual es posibleverlos. Llevó a cabo también diversos estudios referidos a lareflexión y la refracción de la luz, al origen del arco iris y al empleode las lentes (construyendo la llamada cámara oscura). Asimismo,defendió la idea de la finitud del espesor de la atmósfera terrestre.Fue el primer matemático en deducir la fórmula general de lasuma de cualquier potencia entera. Desarrolló una integraciónpara calcular el volumen de un paraboloide y fue capaz degeneralizar sus resultados para las integrales de polinomios másallá de cuarto grado. Incluso se acercó bastante a la fórmulageneral de la integral de polinomios, aunque no estaba interesadoen polinomios de grado mayor que cuatro.
Alhacén
Omar Khayyam (1048 – 1131). Matemático, astrónomo y poeta persa.En las postrimerías del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusionessobre las dificultades en Euclides, un libro sobre los defectos en losElementos de Euclides, especialmente el postulado de las paralelas yestableció los fundamentos de la geometría analítica y la geometría noeuclidea. También fue el primero en encontrar la solución geométrica ala ecuación cúbica. También influyó en la reforma del calendario. En suTesis sobre demostraciones de álgebra y comparación desarrolla elprimer procedimiento de solución de las ecuaciones cuadráticas ycúbicas a partir de las secciones cónicas, que permite encontrarles unaraíz positiva, y asimismo logra demostrar que tienen al menos unasegunda raíz. Fue el primero que describió el desarrollo de la potenciade un binomio con exponente natural, y estableció, por primera vez en lahistoria de las matemáticas, la idea de que las fracciones podíanconstituir un ampo numérico con propiedades más amplias que elcampo de los números naturales, único conocido entonces, y que databade la época de los griegos. Estos conceptos teóricos se contaron entre lasmatemáticas de punta durante todo el renacimiento europeo. En 1070escribió su famoso trabajo de álgebra: Tratado sobre demostraciones deproblemas de álgebra, el cual contiene una completa clasificación deecuaciones cúbicas resueltas geométricamente, mediante la intersecciónde secciones cónicas. Y es que intentó clasificar ecuaciones cuadráticascon éxito, aunque no pudo encontrar la solución para todas lasecuaciones cúbicas, a pesar de estar seguro de que era posible hacerlo yaque en algunos casos halló soluciones geométricas.
Omar Khayyam
Cálculo Diferencial e Integral (Siglos XVII – XVIII)
El Cálculo Diferencial e Integral, también llamado Cálculo Infinitesimalo simplemente Cálculo, constituye una parte muy importante de lamatemática moderna. El cálculo, como algoritmo desarrollado en elcampo de la matemática, incluye el estudio de los límites, derivadas,integrales y series infinitas. Más concretamente, el Cálculo es el estudiodel cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio delespacio.El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y laingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebrapor sí sola es insuficiente. Este se construye con base en el álgebra, latrigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales,Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, los cuales están relacionados por elTeorema Fundamental del Cálculo. En matemática más avanzada, elcálculo es llamado Análisis matemático, y está definido como el estudiode las funciones.
Los Pioneros del Cálculo Moderno.En el siglo XVII, los matemáticos europeos IsaacBarrow, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis yotros, discutieron la idea de una derivada. Enparticular, en sus publicaciones Methodus addisquirendan maximam et minima y De tangentibuslinearum curvarum, Fermat desarrolló su métodoadequality para la determinación de máximos,mínimos y tangentes a varias curvas, que fueequivalente a la diferenciación. Isaac Newton mástarde escribió que sus primeras ideas propias acercadel Cálculo vinieron directamente de la “Forma enque Fermat dibujaba las tangentes”. A Fermat tambiénse le atribuye un truco ingenioso para evaluardirectamente la integral de cualquier potencia deuna función. En su Tratado sobre la Cuadratura (1659),Fermat escribió la primera prueba conocida delcálculo del área bajo una parábola. Fermat tambiénobtuvo una técnica para encontrar centros degravedad de varias figuras planas y sólidas con locual influenció posteriormente el trabajo encuadraturas.
Pierre de Fermat
Los Pioneros del Cálculo Moderno.James Gregory (1638 – 1675). Fue un matemático yastrónomo escocés. Describió uno de los primerosdiseños prácticos del Telescopio Reflector (construidocon una combinación de espejos curvos que reflejanla luz y forman la imagen). Hizo avances entrigonometría, descubriendo representaciones enseries infinitas para varias funcionestrigonométricas. Influenciado por las contribucionesde Fermat a la tangencia y a la cuadratura, fue capazde probar una versión restringida del SegundoTeorema Fundamental del Cálculo, a mediados del sigloXVII. La primera prueba completa del TeoremaFundamental del Cálculo fue dada por Isaac Barrow(1630 – 1677), teólogo cristiano y matemático inglés.El trabajo de Barrow se centró en las propiedades dela tangente. Fue el primero en calcular las tangentesde la curva Kappa: en geometría la curva Kappa esuna curva bidimensional parecida a la letra griega κ
(kappa). En el sistema de coordenadas cartesianaspuede ser expresada como
James Gregory
22222 yayxx Isaac Barrow
Los Pioneros del Cálculo Moderno.En lo concerniente a integral, Cavalieri (1598 – 1647),matemático italiano, desarrolló su método deindivisibles en los años 1630’s – 40’s, proporcionandouna forma más moderna del antiguo método deexhausción griego. Además, estableció la fórmula decuadratura de Cavalieri:
y generalizaciones de la misma, y la utilizó para elcálculo de áreas bajo curvas de la forma , congrado superior, lo cual había sido previamentecalculado únicamente para la parábola, porArquímedes.Evangelista Torricelli (1608 – 1647), fue un físico ymatemático italiano, mejor conocido por ser elinventor del barómetro (instrumento científicoutilizado en meteorología para medir la presiónatmosférica). Torricelli extendió el trabajo deCavalieri a otras curvas como la cicloide, luego lafórmula fue generalizada a potencias fracionarias ynegativas por Wallis (matemático ingles, 1616 – 1703)
Torricelli
Wallis
0,1
11
0
nadxx n
n
an
nx
Cavalieri
Los Pioneros del Cálculo Moderno.La primera prueba del Teorema de Rolle fue dadapor Michel Rolle (1652 – 1719), matemático francés, en1691 usando métodos desarrollados por elmatemático danés Johannes van Waveren Hudde (1628– 1704). El Teorema del Valor Medio, en su formamoderna fue establecida por Bernard Bolzano (1781 –1848), matemático, lógico, filósofo, teólogo ysacerdote católico alemán; y por Agustin LouisCauchy (1789 – 1857), también después delestablecimiento del cálculo moderno. Contribucionesimportantes también fueron hechas por Descartes(1596 – 1650), Huygens (1629 – 1695), y muchos otros.
Michel Rolle Bernard Bolzano
Johannes Hudde
Agustin L. Cauchy
Newton y LeibnizAntes de Newton y Leibniz, la palabra cálculo era un término general usado
para referirse a cualquier tema de las matemáticas, pero en los años subsecuentes,cálculo se convirtió en un término conocido para un campo de las matemáticas conidentidad propia. A mediados del siglo XVII, los matemáticos europeos han cambiadosu repositorio de conocimientos. A diferencia que en el último siglo en el cual lasMatemáticas Helenísticas se mantenían como el punto de partida de las investigaciones,Newton, Leibniz y sus contemporáneos, cada vez más, miraron hacia los trabajos delos pensadores más modernos. Europa se había convertido en el hogar de unacreciente comunidad matemática, y con el advenimiento de una mejora institucional ybase organizacional, se logró un nuevo nivel de organización e integración académica.Sin embargo, la comunidad carecía de formalismo, consistía de una masa desordenadade métodos, técnicas, notaciones, teorías y paradojas.
Newton llegó al cálculo como parte de sus investigaciones en la física y lageometría. Él vio el cálculo como la descripción científica de la generación demovimiento y magnitudes. En comparación, Leibniz se centró en el problema de latangente y llegó a creer que el cálculo era una explicación metafísica del cambio. Estasdiferencias en el enfoque no deben ser subestimadas. Es importante destacar que elnúcleo de su visión fue la formalización de las propiedades opuestas entre la integral yla diferencial. Esta idea había sido anticipada por sus predecesores, pero ellos fueron losprimeros en concebir el cálculo como una sistema en el que una nueva retórica y unaterminología descriptiva fue creada. Sus descubrimientos únicos no solo radican en suimaginación, sino también en su habilidad para sintetizar los puntos de vista a sualrededor en un proceso algorítmico universal, formando de esta manera un nuevosistema matemático.
Newton. Sir Isaac Newton (Diciembre 25,
1642 – Marzo 20, 1727). Fue un físico, matemático,astrónomo, filósofo natural, alquimista y teólogoinglés. Fue profesor de matemáticas en Cambridge yluego jefe de la casa de la moneda en Londres. Susprincipales ideas fueron desarrolladas en el período1664-1666 cuando estaba recluido en su casa natalde la aldea Woolsthorpe, ya que el Trinity College deCambridge, donde Newton era estudiante, estuvocerrado por la epidémia de la peste. Allí desarrollósus ideas de la gravitación universal, de la teoría delos colores y sobre la serie del binomio y el cálculode fluxiones.
De naturaleza tímida, era reacio a publicarsus resultados, para así evitar las posibles críticas ycontroversias de sus contemporáneos. En Octubrede 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669De Analysi, un tratado sobre series infinitas quecirculó en forma de manuscrito entre los miembrosde la Royal Society. Hay otro tratado sobre fluxionesy series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadraturade curvas de 1693.
Isaac Newton
Newton.Sin embargo, esos tratados fueron publicados hastabien tarde y algunos solo lo fueron después de sumuerte. De Analysi fue publicado en 1771, y eltratado sobre cuadratura de curvas, De QuadraturaCurvarum de 1693, apareció como un apéndice de suOpticks en 1704. Su obra más famosa, donde exponesu teoría de la gravitación universal, los Principia,fue publicada en 1687, pero sus argumentos sonmuy geométricos y sólo dan una idea de susmétodos del cálculo infinitesimal. En el trabajomatemático de Newton, se pueden distinguiralgunos temas centrales. Estos son los desarrollos enseries de potencias, en especial el desarrollo delbinomio, algoritmos para hallar raíces de ecuacionesy de inversión de series, relación inversa entrediferenciación e integración y el concepto defluentes y fluxiones como variables que cambian enel tiempo. Newton también estuvo muy interesadoen óptica, dinámica, alquimia, cronología de lahistoria y en la interpretación de las sagradasescrituras.
Isaac Newton
Newton. El Teorema del BinomioLa serie del binomio fue descubierta por Newton en el inviernode 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epístola Prior deJunio de 1676, y la Epístola Posterior de Octubre de 1676, quemandó al secretario de la Royal Society of London, HenryOldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:“La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este teorema
donde A, B, C, … son los términos inmediatos que les preceden en eldesarrollo”.Expresado de esta forma es poco familiar. Newton quiere decirque toma
y así sucesivamente.
Isaac Newton
DQn
nmCQ
n
nmBQ
n
nmAQ
n
mPPQP n
mn
m
4
3
3
2
2
2
2
2.3
21
3
2
2
1
22
,,
QPn
m
n
m
n
m
CQn
nmD
QPn
m
n
m
QQPn
m
n
nmBQ
n
nmC
QPn
mAQ
n
mBPA
nm
nm
nm
nm
nm
De esta manera, luego de sustituir yreducir adecuadamente queda la forma
que es la expresión más familiar queusamos hoy.
22
3.2
21
2
1
11 Qn
m
n
m
n
m
Qn
m
n
m
Qn
mQ n
m
Newton. Newton abordó el desarrollo del cálculo
a partir de la geometría analítica, desarrollando unenfoque geométrico y analítico de las derivadasmatemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través deecuaciones. Durante su aislamiento inducido por la plagalogró la primera concepción del Cálculo de Fluxiones, estetrabajo se registró en el inédito De Analysi per AequationesNumero Terminorum Infinitas. En este escrito, Newtondeterminó el área bajo una curva calculando en primerlugar, una tasa momentánea de cámbio y luegoextrapolándola al área toral. El comenzó su razonamientosobre un triángulo infinitamente pequeño cuya área esfunción de x y y. A continuación razonó que elincremento infinitesimal en la abscisa creará una nuevafórmula donde x = x + o (o es la letra, no el número 0).Entonces recalculó el área con la ayuda del teoremabinomial, removió todas las cantidades que contenían laletra o y reformuló una expresión algebraica para el área.De modo significativo, Newton entonces “borró” lascantidades que contenían o, porque los términosmultiplicados por o no serán nada con respecto a losdemás.
Newton. En este punto Newton había comenzado a
darse cuenta de la propiedad central de inversión. Ha creadouna expresión para el área bajo una curva considerando unincremento momentáneo en un punto. En efecto, el TeoremaFundamental del Cálculo fue incluido en sus cálculos. Mientrassu nueva formulación ofrecía un potencial increíble, Newtonera consciente de sus limitaciones lógicas en ese momento. Eladmite que “los errores, en matemáticas, no deben ser ignorados,por pequeños que sean”, y que lo que había logrado era “pocoexplicativo más que demostrado con precisión”. En un esfuerzopor dar al cálculo un marco y una explicación más rigurosa,Newton compiló en 1671 el Methodus Fluxionum et SerierumInfinitarum. En este libro, el empirismo estricto de Newtonformará y definirá su Cálculo de Fluxiones. Explotó,informalmente, sus ideas sobre el movimiento instantáneo ylos infinitesimales. Usó la matemática como una herramientametodológica para explicar el mundo físico. La idea decontinuidad se convirtió en el pilar del cálculo revisado deNewton; como tal redefinió sus cálculos en términos demovimiento fluido continuo. Para Newton, las magnitudesvariables no son agregados de elementos infinitesimales,pero son generadas por hechos indisputables de movimiento.
Teorema Fundamental del Cálculo en su
forma actual
Newton. Newton trató de evitar el uso de los
infinitesimales mediante la formulación de cálculos basadosen las relaciones de los cambios. En el Methodus Fluxionum éldefinió la tasa de cambio generada como una fluxión, la cualrepresentaba por una letra con un punto encima, y lacantidad generada la definió como un fluido. Por ejemplo, six y y son fluidos, entonces y representan sus respectivasfluxiones. Este cálculo de relaciones continuas, fue establecidocon madurez en el texto de 1676 De Quadratura Curvarum,donde Newton llegó a definir la derivada que estudiamos hoy,como la razón última de cambio, la cual definió como larelación entre incrementos evanescentes (la proporción defluxiones) puramente en el momento en cuestión.Esencialmente, la razón última es la razón de que losincrementos se desvanezcan en la nada. Es importantedestacar que, Newton explicó la existencia de la relaciónúltima apelando al movimiento: “Por velocidad máxima seentiende que es aquella con la que el cuerpo se mueve, no antes dellegar a su último lugar, cuando el movimiento cesa, ni después,pero en el mismo instante en que llega… la razón última decantidades evanescentes ha de entenderse como la relación decantidades, no antes de que desaparezcan, y no después, pero con laque desaparecen”. Newton desarrolló su Cálculo de Fluxiones en un
intento de evadir el uso informal de infinitesimales en sus cálculos.
Definición de la Derivada de primer orden en su forma
actualx
y
Leibniz. Gottfried Wilhelm Leibniz (Julio 1, 1646 –
Noviembre 14, 1716). Fue un filósofo, matemático jurista,bibliotecario y político alemán. Fue uno de los grandespensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como“El Último Genio Universal”. Realizó profundas e importantescontribuciones en las áreas de metafísica, epistemología,lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática,física, geología, jurisprudencia e historia.
Matemática. Aunque la noción matemática de
“función” estaba implícita en la trigonometría y las tablaslogarítmicas , las cuales ya existían en su tiempo, Leibniz fueel primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente paradenotar alguno de los varios conceptos geométricosderivados de una curva, tales como abscisa, ordenada,tangente, cuerda y perpendicular. En el siglo XVIII, elconcepto de “función” perdió estas asociaciones meramentegeométricas. También, Leibniz fue el primero en ver que loscoeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían serorganizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, elcual podía ser manipulado para encontrar la solución delsistema, si la hubiera. Este método se conoció mas tardecomo Eliminación Gaussiana. Leibniz también hizo aportes enel campo del álgebra booleana y la lógica simbólica.
Gottfried Leibniz
Leibniz. Mientras que Newton comenzó el desarrollo
de su Cálculo de Fluxiones en 1665-1666, sus resultados nofueron ampliamente divulgados hasta más tarde. En elintervalo de esos años, Leibniz también se esforzó por crearsu Cálculo. En comparación con Newton, quien llegó a lasmatemáticas a una temprana edad, Leibniz comenzó suestudio riguroso de las matemáticas a una edad madura. En1672 Leibniz conoció al matemático holandés Huygens quienlo convenció de dedicar una cantidad significante de tiempoal estudio de la matemática. Por el año 1673, Leibniz habíaprogresado hasta la lectura del escrito de Pascal (1623 – 1662),Traité des Sinus du Quarte Cercle. Leibniz, al igual queNewton, vio la tangente como una razón, pero la declaró demanera más sencilla, como la razón entre las ordenadas y lasabscisas. El continuó argumentando que la integral era, dehecho, la suma de las ordenadas de intervalos infinitesimalesen las abscisas, en efecto, una suma de un número infinito derectángulos. De estas definiciones, la relación inversa quedaclara y Leibniz rápidamente tuvo el potencial para formar unsistema matemático completamente nuevo. Donde Newtonrehuyó el uso de infinitesimales, Leibniz los convirtió en lapiedra angular de su notación y cálculo.
Gottfried Leibniz
Leibniz. En el manuscrito del 25 de Octubre al 11 de
Noviembre de 1675, Leibniz registró sus descubrimientos yexperimentos con varias formas de notación. El está muyconsciente de los términos de notación usados en sus planesanteriores para formar un simbolismo lógico y preciso.Eventualmente, Leibniz denota los incrementosinfinitesimales de las abscisas y las ordenadas con lossímbolos dx y dy, respectivamente, y la suma deinfinitamente muchos rectángulos infinitesimales, con una salargada, la cual se convirtió en el actual símbolo integral ∫.De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de Noviembrede 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese díaempleó por primera vez el cálculo integral para encontrar enárea bajo la curva de una función y = f(x). Esa ingeniosa ysugerente notación para el cálculo, de Leibniz, esprobablemente su legado matemático más perdurable.Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684. Laregla del producto del cálculo diferencial es aún denominada“Regla de Leibniz para la derivación de un producto”. Además, elteorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolointegral, se llama la “Regla de Leibniz para la derivación de unaaintegral”.
Gottfried Leibniz
Símbolo para la integral ideado por Leibniz
A lo largo del siglo XIX, las matemáticas se vanhaciendo cada vez más abstractas. En el siglo XIX vivióCarl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Matemático,astrónomo y físico alemán. Contribuyósignificativamente en muchos campos, incluida la teoríade números, el análisis matemático, la geometríadiferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica.Considerado el Príncipe de las Matemáticas y elmatemático más grande desde la antigüedad, Gauss hatenido una influencia notable en muchos campos de lamatemática y de la ciencia, y es considerado uno de losmatemáticos que más imfluencia ha tenido en lahistoria. Fue de los primeros en extender el concepto dedivisibilidad a otros conjuntos. Completo su MagnumOpus, Disquisitiones Arithmeticae a los 21 años (1798),aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo quefue fundamental para que la teoría de los números seconsolidara y ha moldeado esta área hasta los díaspresentes. En matemáticas puras Gauss hizo un trabajorevolucionario sobre funciones de variable compleja, engeometría, y sobre la convergencia de series. Dio laprimera demostración satisfactoria del TeoremaFundamental del Algebra y a la Ley de ReciprocidadCuadrática.
Es célebre la siguiente anécdota: Tenía Gauss 10años cuando un día en la escuela el profesor manda asumar los 100 primeros números naturales, transcurridosunos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tenerla solución, los cien primeros números naturales suman 5050.Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Puesmentalmente el niño se dio cuenta de que la suma delprimer número con el último, la del segundo con elpenúltimo, y así sucesivamente, era constante:
1+100 = 2+99 = 3+98 = … = 50+51 = 101Con los 100 números se pueden formar 50 pares, deforma que la solución final viene dada por el producto101x50 = 5050. Gauss había deducido la fórmula que dala suma de n términos de una progresión aritmética de laque se conocen el primero y el último término:
Donde es el primer término, el último y n es elnúmero de términos de la progresión.
Fue el primero en probar rigurosamente elTeorema Fundamental del Algebra (disertación para su tesisdoctoral en 1799), aunque una prueba casi completa dedicho teorema había sido hecha por Jean Le Rond d’Alembert.
2
1 naaS n
n
1a na
En 1801 publicó el libro DisquisitionesAritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría denúmeros, dándole a esta rama de la matemática unaestructura sistematizada. En la última sección del libroexpone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbitadel asteroide Ceres aproximando parámetros por elmétodo de mínimos cuadrados, un procedimientoutilizado en todas las ciencias hasta el día de hoy paraminimizar los efectos del error de medición.
En 1809 publicó Theoria Motus CorporumCoelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientumdescribiendo cómo calcular la órbita de un planeta ycómo refinarla posteriormente. Profundizó sobreecuaciones diferenciales y secciones cónicas.
Quizás Gauss haya sido la primera persona enintuir la independencia del postulado de las paralelas deEuclides y de esta manera anticipar una geometría noeuclideana.
En 1823 publica Theoria combinationisobservationum erroribus minimis obnoxiae, dedicado a laestadística, concretamente a la distribución normal cuyacurva característica, denominada como Campana deGauss, es muy usada en disciplinas no matemáticasdonde los datos son susceptibles de estar afectados porerrores sistemáticos y casuales como por ejemplo lapsicología diferencial. Hay que aclarar que Gauss no fueel primero en hacer referencia a la distribución normal.
Mostró un gran interés en geometría diferencialy su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curvapublicado en 1828 fue el más reconocido en este campo.En dicha obra expone el famoso Teorema Egregium. Deesta obra se deriva el término curvatura gaussiana.
En 1831 se asocia al físico Wilhelm Weberdurante seis fructíferos años en los que realizaninvestigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff,publicaciones sobre magnetismo y construyen untelégrafo eléctrico primitivo.
El siglo XIX vio el desarrollo de
dos formas de geometría no euclidiana, donde el postulado de las paralelas de lageometría de Euclides ya no es válido. El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue lahiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant (1724 – 1804), filósofo alemán, yformalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIXtales como Carl F. Gauss, Nikolái Lovachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard. Losdesarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo deconstruir modelos explícitos en los que no se cumpliera el Quinto Postulado de Euclides. Lageometría Euclideana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en laobra Los Elementos. En su primera obra publicada, Pensamiento sobre la verdadera estimaciónde las fuerzas vivas (1746), Immanuel Kant considera espacios de más de tres dimensiones yafirma: “Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevadaque un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría... Si es posible que existanextensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a laexistencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces”. Esas posiblesque Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías euclidianas de dimensión mayorque 3. Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del librode Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas nose cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tantoabstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de losotros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al absurdo,suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos dellegar a un absurdo se encontró que existían geometrías coherentes diferentes de laeuclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en concreto el primerejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).
A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), Bolyai y Schweickard lograron construir la geometría hiperbólica, a partir del intentode negar el quinto postulado de Euclides y tratar de obtener una contradicción. En lugarde obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que lostres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometríaeuclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º). Lanaturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami (1835– 1900), matemático italiano, demostró que la geometría hiperbólica coincide con lageometría intrínseca de cierta superficie y Felix Klein (1849 - 1925), matemático alemán, diola interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica. Ambos resultados prueban que estan consistente como la geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva aalguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).
Nikolái Ivánovich Lobachevski (en caracteres cirílicos: Никола́й Ива́нович Лобаче ́вский) (1792 – 1856). Fue un matemático ruso del siglo XIX. Entre sus principales logros se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con el cálculo tensorial aplicado a vectores en el espacio de Hilbert. Fue uno de los primeros matemáticos que aplicó un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de la geometría euclidiana.
János Bolyai fue un matemático húngaro (1802 – 1860). Su padre, Farkas Bolyai, también era matemático y amigo de Gauss.
La geometría elíptica (llamada a veces riemanniana) es un modelo de geometría noeuclídea de curvatura constante que satisface sólo los cuatro primeros postulados deEuclides pero no el quinto. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de losteoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría elíptica, no sesatisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometríaeuclideana y la geometría hiperbólica es un modelo de geometría de curvatura constante,siendo la diferencia entre estos tres modelos el valor de la curvatura: La Geometría Euclidianasatisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. La Geometría Hiperbólica satisfacesólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. La Geometría Elípticasatisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866). Fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la Función Zeta, la Integral de Riemann, el Lema de Riemann, las Variedades de Riemann, las Superficies de Riemann y la Geometría de Riemann.
A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría.En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (porejemplo, en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio se conoce hoy en díacomo Geometrías Riemannianas. Estas geometrías resultan en general no-homogéneas:algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular elvalor de la curvatura. Para el estudio de estas geometrías, Riemann introdujo elformalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea, la geometríahiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemannianas,caracterizadas por valores constantes del tensor de curvatura. En una geometríariemanniana general, el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo dediferentes puntos de dicha geometría. Eso hace que la geometría no sea homogénea, ypermite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en la teoría de la relatividadgeneral, ya que en principio es posible hacer experimentos de medición de distancias yángulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especificannumerosos experimentos mentales imaginados por Einstein y otros en los que unexperimentador encerrado en una caja puede realizar experimentos para decidir lanaturaleza del espacio-tiempo que le rodea. Finalmente un aspecto interesante de lageometría riemanniana es que si la curvatura no es constante entonces el grupo deisometría del espacio tiene dimensión estrictamente menor, que siendo la dimensión delespacio. En concreto según la relatividad general un espacio-tiempo con una distribuciónmuy irregular de la materia podría tener un grupo de isometría trivial de dimensión 0.
El siglo XIX vio el comienzo de una gran cantidad de álgebra
abstracta. William Rowan Hamilton (1805 – 1865), en Irlanda desarrolla el álgebra noconmutativa. El matemático británico George Boole (1779 – 1848), ideó un álgebra que prontose convirtió en lo que ahora se denomina álgebra booleana, en la que los únicos númerosson 0 y 1 con su famoso 1 + 1 = 10. El álgebra booleana es el punto de partida de la lógicamatemática y tiene importantes aplicaciones en ciencias de la computación. Agustin LouisCauchy (1789 – 1857), Bernhard Riemann (1826 – 1866) y Karl Weierstrass (1815 – 1897),reformularon el cálculo de una forma más rigurosa. Además, por primera vez, se estudiaronlos límites de las matemáticas. El noruego Niels Henrik Abel (1802 – 1829) y el francés EvaristeGalois (1811 – 1832), demostraron que no hay ningún método algebraico general pararesolver ecuaciones polinómicas de grado superior a cuatro. Otros matemáticos del sigloXIX utilizaron ésto para demostrar que no se puede trisecccionar un ángulo arbitrario conregla y compás, ni construir el lado de un cubo cuyo volumen es el doble del volumen de uncubo dado, ni construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado. Losmatemáticos habían tratado de resolver, en vano, todos estos problemas desde la época delos antiguos griegos.
Las investigaciones de Abel y Galois sobre las soluciones de
ciertas ecuaciones polinómicas, sentaron las bases para el posterior desarrollo de lateoría de grupos, y de los campos de álgebra abstracta asociados. En el siglo XX losfísicos y otros científicos han visto la teoría de grupos como la forma ideal paraestudiar la simetría. Más entrado el siglo XIX, Georg Cantor (1845 – 1918), inventó lateoría de conjuntos, lo que permitió el tratamiento riguroso de la noción de infinito yse ha convertido en el lenguaje común de casi toda la matemática. La teoría deconjuntos de Cantor, y el surgimiento de la lógica matemática de las manos de Peano(1858 – 1932), Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 – 1966), David Hilbert (1862 – 1943),Bertrand Russell (1872 – 1970), y A.N. Whitehead (1861 – 1947), iniciaron un largo debatesobre los fundamentos de las matemáticas. El siglo XIX vio la fundación de una seriede sociedades nacionales de matemáticas: The London Mathematical Society en 1865, laSociété Mathématique de Francia en 1872, el Mathematico Circolo di Palermo en 1884, laSociedad Matemática de Edimburgo en 1883, y la Sociedad Americana de Matemáticas en1888.
Siglo XXNacimiento de la Teoría de Conjuntos
Dirección Principal que Toma la Matemática
Las Matemáticas en el Siglo XXEl siglo XX vio como las matemáticas se convierten en una profesión
importante. Cada año, se concedían miles de nuevos doctorados enmatemáticas, y había puestos de trabajo disponibles en la enseñanza y laindustria. En siglos anteriores, hubo pocos matemáticos creativos en el mundo.En su mayor parte, fueron matemáticos de familias adineradas, como Napier, oapoyados por ricos mecenas, como Gauss. Unos pocos, como Fourier, conescasos medios de subsistencia se ganaban la vida con la enseñanza en lasuniversidades. Niels Henrik Abel, incapaz de obtener una posición, murió en lapobreza, de desnutrición y tuberculosis a la edad de veintiséis.
Durante el siglo XX, el grueso de las matemáticas conocida creció a unritmo exponencial, de modo que en esta sección se mencionaran sólo algunos delos descubrimientos más importantes. En 1900 en un discurso ante el CongresoInternacional de Matemáticos, David Hilbert estableció una lista de 23problemas sin resolver en matemáticas. Estos problemas, que abarcan muchasáreas de las matemáticas, fueron el centro de atención de muchos matemáticosdurante gran parte del siglo XX. Hoy en día, 10 de ellos se han resuelto, 7 estánparcialmente resueltos, y 2 aún están abiertos. Los 4 restantes estan demasiadovagamente formulados para ser considerados como resueltos o no.
Fin del siglo XIX. Georg Cantor. Teoría de Conjuntos y el Infinito.Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 – Halle, 6de Enero de 1918). Fue un matemático alemán, inventor junto con Dedekind (1831 –1916) y Frege (1848 – 1925) de la teoría de conjuntos, que es la base de la matemáticamoderna. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue elprimero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los númerostransfinitos (cardinales y ordinales). Cantor vivió aquejado por episodios de depresión,atribuidos originalmente a las críticas recibidas y sus fallidos intentos de demostración dela Hipótesis del Continuo, aunque actualmente se cree que poseía algún tipo de“depresión ciclo-maníaca”. Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamentesu trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.
Hipótesis del Continuo. En teoría de conjuntos, la hipótesisdel continuo (abreviada HC), es una hipótesis, debida a GeorgCantor, sobre la cardinalidad (número de elementos) delconjunto de los números reales (denominado continuo por larecta real). Cantor introdujo el concepto de número cardinalpara comparar el tamaño de conjuntos infinitos, demostrandoen 1874 que el cardinal del conjunto de los enteros esestrictamente inferior al de los números reales. Lo siguiente apreguntarse es si existen conjuntos cuyo cardinal esté incluidoestrictamente entre los cardinales de ambos conjuntos. Lahipótesis del continuo viene a decir: No existen conjuntos cuyotamaño esté comprendido estrictamente entre el de losenteros y el de los números reales.
Matemáticamente hablando, si el cardinal de los enteros es (aleph cero) y el cardinal de los números reales es , la hipótesis del continuo afirma que:
, donde indica el cardinal de A. Admitiendo el axioma de elección, existe un número cardinal
(aleph uno),el inmediato superior a , , siendo la hipótesis del continuoequivalente a la igualdad
0
02
0
0: 2A A
A
1
0
0
12
Fin del siglo XIX. Georg Cantor. Teoría de Conjuntos y el Infinito.Los estudios universitarios de Georg Cantor iniciaron en Zúrich, en 1862. Pero pasó a laUniversidad de Berlín al siguiente año, después de la muerte de su padre. En Berlín seespecializó en matemáticas, filosofía y física. El interés de joven recayó en las dosprimeras. Tuvo como profesores en el campo de matemáticas a Ernst Kummer (1810 –1893), Karl Weierstrass (1815 – 1897) y Leopold Kronecker (1823 – 1891). El trabajo deCantor en teoría de conjuntos fue motivado por el estudio de las series trigonométricas.Hay que señalar que el estudio de las series de Fourier contribuyó a esclarecer elconcepto de función, integral y conjunto. Así vemos como un tema matemáticoespecífico y los problemas asociados al mismo puede impulsar el desarrollo de ideasfundamentales y básicas.
Sin duda la noción de cardinal es la más importante.Además de su propio trabajo sobre seriestrigonométricas se debe señalar la influencia en lacreación de la teoría de conjuntos de la obra deWeierstrass, quien en relación con su trabajo defunciones analíticas demostró el Teorema de Bolzano-Weierstrass en el cual el concepto de conjunto infinitode puntos es la hipótesis central. La clasificación de lassingularidades realizada por Hurwitz (1859 – 1919),matemático alemán, de una función de variablecompleja fue un temprano éxito de la teoría deconjuntos.
Teorema de Bolzano-Weierstrass. En el análisis real, el teorema de Bolzano-Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos secuencialmente compactos. Es un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeodimensionalmente finito El teorema establece que Cada sucesión acotadaen tiene una subsu--cesión convergente.
n
n
Fin del siglo XIX. Georg Cantor. Teoría de Conjuntos y el Infinito.Para Cantor un conjunto es “cualquier colección constituida por objetos separados denuestra intuición o pensamiento”. Esta definición no alcanza el rigor que se desarrolló enla matemática (geometría y análisis) durante el siglo XIX, impulsado por Cauchy,Weierstrass, Hilbert, Pfaff, Riemann y Frege entre otros. Es una definición que recuerdalas definiciones que aparecen en los Elementos de Euclides. Euclides decía que punto eslo que “no tiene partes”, es decir, lo atómico, lo que compone el resto de las cosas. Sinduda es una definición que apela a la intuición, a lo visual, a lo geométrico; pero no esuna definición rigurosa. Pasa lo mismo con la definición de conjunto que da Cantor. Erasolo el punto de partida para el trabajo que sobre cardinalidad y el infinito iba adesarrollar.
Contar y la idea de biyección. La idea de contarestá asociada a la idea de biyección, decimosque dos conjuntos A y B tienen la mismacantidad de elementos o cardinal, si existe unabiyección f : A→B. Así, los conjuntos A = {1, 2,3}, B = {a, b, c}, tienen el mismo cardinal,pudiendo ser la biyección f(1) = a, f(2) = b, f(3) =c, aunque existen otras posibilidades. Es decir,establecer una biyección entre dos conjuntospermite establecer que ambos conjuntos tienenalgo en común: el mismo cardinal o número deelementos.
El concepto de Infinito según Cantor y DedekindYa Galileo (1564 – 1642), había notado queexisten tantos números naturales comocuadrados. Esto le pareció paradójico y descartóel uso del infinito en matemática. Cantor yDedekind (1831 – 1916) tuvieron una ideabrillante. La propiedad de existir una biyecciónentre el conjunto y una parte de él es lo quecaracteriza a un conjunto infinito.Definición. Decimos que un conjunto A esinfinito, si y sólo si, existe una biyección f : A→B,B A.Observemos, retomando el ejemplo de Galileo,que f definida como f : N → C, ,es una biyección, donde N son los númerosnaturales y C = {0, 1, 4, 9, …}, es el conjunto detodos los cuadrados.
2f n n
Fin del siglo XIX. Georg Cantor. Teoría de Conjuntos y el Infinito.Entonces, un conjunto es infinito si se puede poner en correspondencia biunívoca conuna parte propia. Esta es la caracterización que dan Dedekind y Cantor, de conjuntoinfinito. De esta manera la aparente propiedad paradójica de los conjuntos infinitos depoder establecer una biyección con una parte propia sirve para definir de manerarigurosa el concepto de infinito.
Posteriormente, Cantor examina la noción de conjunto numerable que apareceen su trabajo sobre las series trigonométricas. De alguna manera lo numerable es elprimer escalón dentro de la larga escalera del infinito. Demuestra un resultadosorprendente: que el conjunto de los número racionales, que es denso en la recta, esnumerable. Un conjunto A es numerable si se puede establecer una biyección entre A ylos naturales.
La Numerabilidad de los Racionales . Esto fue unhallazgo sorprendente: existen tantos naturales comoracionales, aunque entre dos cualesquiera ¡existeninfinitos racionales! El dibujo es una manera de visualizareste hecho. En la primera columna se colocan lasfracciones con denominador 1, en la siguiente columnalas que tienen denominador 2, y así sucesivamente. Alfinal obtendremos todas las fracciones positivas en algúnlugar del arreglo. Después se recorre el arreglo tal comoindica la línea roja dando una numeración de losracionales. La demostración es ingeniosa y gráfica.
Fin del siglo XIX. Georg Cantor. Teoría de Conjuntos y el Infinito.Después de su hallazgo de la numerabilidad de los números racionales, Cantor secuestiona: ¿acaso lo numerable equivale a lo infinito? La respuesta es negativa yconstituye un gran hallazgo, aunque Bolzano lo había previsto. En 1873 Cantordemuestra que los números reales no son un conjunto numerable mediante su célebreargumento diagonal. El argumento diagonal y la no numerabilidad de los reales.
Otra sorpresa aguardaba a Cantor y Dedekind. Los númerosreales no son numerables. La demostración de este hecho esuna de las pruebas matemáticas más hermosas que algunavez se han realizado. Cantor realiza su demostraciónmediante el método de reducción al absurdo. Supongamosque los reales pudiesen ser numerados, es decir, existe unabiyección de los naturales en los reales . En lugar detrabajar con todo se trabaja con el intervalo [0,1]. Cantordescribe tal biyección mediante una matriz infinita, como lamostrada a la izquierda. Observemos la diagonal de la mismay construyamos un número entre 0 y 1 cuyo primer decimalsea distinto de 1, su segundo decimal distinto de 8, su tercerdecimal distinto de 1, etc. Tal número puede ser construidosin problema pero, ¿dónde está el mismo? ¿Qué posiciónocupa en la tabla? Debe estar en algún lugar porque unabiyección debe ser sobreyectiva. Supongamos que está en lafila 1234. ¡Veamos su decimal 1234! Debe diferir del decimalde este elemento y por tanto el número no puede estar enposición alguna. Los números reales no son numerables.
Fin del siglo XIX. Georg Cantor. Teoría de Conjuntos y el Infinito.La no numerabilidad de los números reales planteaba un problema muy serio e
importante, ¿existirá algún cardinal intermedio entre el cardinal de los número reales y elde los naturales? Cantor pensaba que no y esto constituye su Hipótesis del Continuo.
Pronto Cantor se dio cuenta de que existían cardinales infinitos cada vezmayores. La operación clave era tomar el conjunto de partes de un conjunto dado. Es unresultado elemental que si A es un conjunto finito y P(A) es el conjunto de partes (todoslos subconjuntos de A) entonces P(A) tiene elementos si A tiene n elementos, ladesigualdad se verifica para cada natural n. Cantor generalizó este resultado aconjuntos infinitos.
2n
2n n
El Toerema de Cantor sobre el Conjunto de Partes. Supongamosque A es un conjunto, veamos que es imposible establecer unaaplicación sobreyectiva desde A hasta P(A). El argumento esesencialmente “diagonal”, supongamos que f : A → P(A) essobreyectiva. Formemos el conjunto . ¿Puedehaber un a que pertenece a A tal que f(a) = B? En ese casopodríamos examinar si a pertenece a B o no. Si a pertenece a B,entonces , esto es absurdo. Pero sientonces, por definición de , tendríamos que
, de nuevo una contradicción. Esto demuestra que esimposible la biyección entre A y P(A). Luego si A es infinito elcardinal de P(A) es estrictamente mayor que el de A. Esteresultado fue publicado en 1891 con el título Über eineelementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre.
: ( )B x A x f x
( )a f a B ( )a B f a
: ( )B x A x f x
a B
Cantor estableció una aritmética de los cardinales infinitos y sus propiedades principales, de tal manera que el infinito actual adquirió nacionalidad matemática. Cantor y Dedekind cerraron el camino que los filósofos griegos como Zenón empezaron. Sin embargo, la naturaleza intuitiva del trabajo de Cantor tenía fisuras por las cuales el peligroso concepto de infinito trató de escapar. Las paradojas aparecieron, algunas de las cuales el propio Cantor descubrió. Se debe al trabajo de Zermelo, Fraenkel y Von Neumannel alcanzar una axiomática sobre la cual derivar toda la teoría de conjuntos.
Fin del siglo XIX.
Las Paradojas en la Teoría de ConjuntosBertrand Russell (1872 – 1970). Fue un filósofo, matemático
y escritor británico. Russell tuvo una gran influencia en la lógicamatemática moderna.
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 – 1925). Fue unmatemático, lógico y filósofo alemán, padre de la lógica matemática yla filosofía analítica. Frege es ampliamente reconocido como el mayorlógico desde Aristóteles.En 1879, Frege publicó su revolucionaria obra titulada Conceptografía(Begriffsschrift), en la que sentó las bases de la lógica matemáticamoderna, iniciando una nueva era en esta disciplina que habíapermanecido prácticamente inalterada desde Aristóteles. Mediante laintroducción de una nueva sintaxis, con la inclusión de los llamadoscuantificadores («para todo» o «para al menos un»), permitióformalizar una enorme cantidad de nuevos argumentos. También fue elprimero en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de sucontenido semántico. Una vez fijados los principios axiomáticos de lalógica, acometió la tarea de edificar la aritmética sobre la base deaquélla. Un problema en las revolucionarias obras de Frege es lacantidad de espacio impreso que requiere su notación; no fuerealmente hasta la publicación de los Principia Mathematica de AlfredNorth Whitehead y Bertrand Russell cuando el poder de la lógicaformal, en una notación menos extensa (pero que requiere muchossignos de agrupación) fue apreciable.
Frege
Russell
Fin del siglo XIX.
Las Paradojas en la Teoría de ConjuntosBertrand Russell planteó una pregunta aparentemente ingenua enrelación al trabajo de Frege. Dividamos los conjuntos en dos tipos: losque se pertenecen a sí mismos y los que no lo hacen. Por ejemplo elconjunto de las ideas se pertenece a sí mismo como elemento ya quees, sin duda, una idea. Por otro lado si consideramos el conjunto detodas las personas, este no se pertenece a sí mismo como elemento yaque no es una persona. Sea A el conjunto de todos los conjuntos queno se pertenecen a sí mismos como elementos, en símbolos:
Russell se preguntó ¿es cierto o no que ? Si , por ladefinición de A, se debe tener , una contradicción. Por otro lado,si afirmamos que , de nuevo aplicando la definición de A, .Estamos en una encrucijada. Frege estaba tratando de deducir toda lamatemática a partir de los conceptos de Cantor y la lógica. Cuandorecibió la carta de Russell que contenía su paradoja dijo: “con nada másindeseable puede enfrentarse un científico que con deshacerse de susfundamentos después de terminar su obra. Me ha puesto en estasituación una carta de Mr. Bertrand Russell cuando estaba a punto demandar mi obra a la imprenta”. La obra se titulaba Leyesfundamentales de la Aritmética.
Sin embargo, el trabajo de Cantor se podía poner en unabase firme y de él se deriva la matemática moderna con su tendencia ala abstracción y al formalismo.
Frege
Russell
B A B B A A A A
A A
A A A A
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. David Hilbert (1862 – 1943). Fue un matemático alemán, reconocido como
uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación comogran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como lateoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert,uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaronpartes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica yla relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógicamatemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendióvivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famosode su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto deproblemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática delsiglo XX. El Toerema de Finitud. El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le
llevó en 1888 a la demostración de su famoso teorema de finitud. Veinte años antes,Paul Gordan (1837 – 1912), había demostrado el teorema de la finitud de generadorespara formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos degeneralizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enormedificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguirun camino completamente diferente. Como resultado, demostró el TeoremaFundamental de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores,para las invariantes cuánticas en cualquier número de variables, pero de formaabstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de formaalgorítmica sino mediante un teorema de existencia.
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. Teorema de la base de Hilbert. En matemática, el Teorema
Fundamental de Hilbert toma su nombre de David Hilbert que fue el primero enprobarlo en 1888. Enunciado:
Sea A un anillo conmutativo con elemento identidad igual a 1 (puede ser0). Se dice que A es Noetheriano si todo ideal de A está finitamente generado. Esfácil probar que son equivalentes:1. A es Noetheriano.2. Todo conjunto no vacío de ideales de A admite un elemento maximal.3. A cumple la condición de cadena ascendente (ACC o CCA):
Si
es una cadena de ideales, entonces existe N tal que
Teorema Fundamental de Hilbert
Si A es Noetheriano, entonces A[X] es Noetheriano.
0 1 nI I I
1 2N N NI I I
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. Axiomatización de la Geometría. El texto Grundlagen der Geometrie
(Fundamentos de la geometría) que Hilbert publicó en 1899 sustituye los axiomas deEuclides tradicionales por un conjunto formal de 21 axiomas. Evitan las debilidadesidentificadas en los de Euclides, cuyos trabajos seguían siendo usados como libro de textoen aquél momento. El estudiante estadounidense de 19 años Robert Lee Moore (1882 –1974), publicó de forma independiente y contemporánea un conjunto equivalente deaxiomas. Algunos de ellos coinciden, mientras que algunos de los axiomas del sistema deMoore son teoremas en el de Hilbert, y viceversa. El enfoque de Hilbert marcó el cambio alsistema axiomático moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. Lageometría puede tratar de cosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no esnecesario asignar un significado explícito a los conceptos indefinidos. Como dice Hilbert,los elementos tales como el punto la recta, el plano y otros, se pueden sustituir con mesas,sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute son sus relaciones definidas.
Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definición: punto, recta,plano, incidencia (una relación entre puntos y planos), estar entre,congruencia de pares de puntos y congruencia de angulos. Los axiomasunifican la geometría plana y la sólida de Euclides en un único sistema.
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. Los 23 Problemas. Hilbert propuso una lista muy influyente de 23
problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Sereconoce de forma general que ésta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa yde profunda consideración producida nunca por un único matemático. Tras reescribir losfundamentos de la geometría clásica, Hilbert podía haberlo extrapolado al resto de lasmatemáticas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posteriores 'fundacionalistas'Russel-Whitehead o el 'enciclopedista' Nicolas Bourbaki, y de su contemporáneo GiuseppePeano. La comunidad matemática al completo podría embarcarse en problemas que élidentificó como aspectos cruciales en las áreas de la matemática que él considero comoclaves. Lanzó el conjunto de problemas en la conferencia "Los problemas de lamatemática" presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional deMatemáticos celebrado en París. Ésta es la introducción a la conferencia de Hilbert:
¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que seesconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y
los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cual será elobjetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras dematemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevosiglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueronpublicados en las actas. Extendió el panorama en una publicaciónposterior, y con ella llegó la formulación canónica actual de los 23Problemas de Hilbert.
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. Los 23 Problemas. Los 23 problemas o planteamiento que hizo Hilbert son
los siguientes:1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, etc.8. El problema de la distribución de los números primos.9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. Los 23 Problemas. Los 23 problemas o planteamiento que hizo Hilbert son
los siguientes:19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.
Aunque se han producido intentos de repetir el éxito de la lista de Hilbert, ningún otro conjuntotan variado de problemas o conjeturas ha tenido un efecto comparable en el desarrollo del temay obtenido una fracción importante de su celebridad. La matemática de aquel tiempo era aúndiscursiva: la tendencia a sustituir palabras por símbolos y apelaciones a la intuición y conceptosmediante axiomática pura seguía subyugada, aunque se volvería fuerte durante la siguientegeneración. En 1900, Hilbert no pudo acudir a la teoría axiomática de conjuntos, la integral deLebesgue, los espacios topológicos o la tesis de Church, que cambiarían sus respectivos camposde forma permanente. El análisis funcional, fundado en cierto modo por el propio Hilbert comonoción central de los espacios de Hilbert, no se había diferenciado aún del cálculo de variaciones;hay en la lista dos problemas de matemática variacional, pero nada, como podría asumirseinocentemente, sobre teoría espectral. La lista no fue predictiva en ese sentido: no consiguióplasmar o anticipar el fulgurante ascenso que experimentarían la topología, la teoría de grupos yla teoría de la medida en el siglo XX, así como no previó la manera en que iba a avanzar la lógicamatemática. Por tanto, su valor documental es el de ensayo: una visión parcial, personal. Sugierealgunos programas de investigación y algunas direcciones por seguir sin fin concreto.
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. El Programa de Hilbert. En 1920 Hilbert propuso de forma explícita un
proyecto de investigación (en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendoconocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unasbases sólidas y completamente lógicas. Creía que, en principio, esto podía lograrse,mostrando que:1. toda la matemática se sigue de un sistema finito de axiomas escogidos correctamente; y2. que tal sistema axiomático se puede probar consistente.El programa sigue siendo reconocible en la filosofía de la matemática más popular, dondese le llama normalmente formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptó una versiónselectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos:(a) escribir trabajos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte al sistema axiomáticocomo herramienta de investigación. Este enfoque ha tenido éxito e influencia en relacióncon el trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional, pero no ha conseguido cuajarigual con sus intereses en física y lógica.
El programa fue una solución propuesta ante la crisis fundacional de las matemáticas, enépocas en que, en los primeros intentos por clarificar los fundamentos de la matemática,estos contenían paradojas e inconsistencias. Como solución, Hilbert propuso basarse entodas las teorías existentes para formar un conjunto de axiomas finito y completo, yproveer prueba de que esos axiomas eran consistentes. El alemán propuso que laconsistencia de sistemas más complicados, como el análisis real, podría ser probada entérminos de sistemas más simples. Últimamente, la consistencia de toda la matemáticapuede ser reducida a aritmática básica.
Siglo XX. David Hilbert, sus 23 problemas y su programalogicista. Afirmación del Programa de Hilbert.
El principal objetivo del programa de Hilbert era dotar de fundamentospara todas las matemáticas. En particular esto debía incluir:1. Una formalización de todas las matemáticas. En otras palabras, todas
las afirmaciones matemáticas deberían ser escritas en un lenguajepreciso y formal, y manipuladas de acuerdo a reglas bien definidas.
2. Integridad. Una prueba de que todas las afirmaciones matemáticaspueden ser probadas en el formalismo.
3. Consistencia. Una prueba de que ninguna contradicción puede serobtenida en el formalismo de las matemáticas. Esta prueba deconsistencia debería preferentemente usar sólo razonamiento finitistaacerca de los objetos matemáticos finitos.
4. Conservación. Una prueba de que ningún resultado acerca de "objetosreales" obtenido usando razonamientos sobre "objetos ideales" (comolos conjuntos incontables) puede ser probado sin usar objetos ideales.
5. Decidibilidad. Debería haber un algoritmo para decidir la verdad ofalsedad de cualquier afirmación matemática.
Siglo XX. La crisis de los fundamentos de las matemáticas:Gödel. Kurt Gödel (1906 – 1978). Fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-
estodounidense). Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, eltrabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX.Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russel, A. N. Whitehead y David Hilbert, intentóemplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödelse le conoce mejor por sus dos Teoremas de Incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad,un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
Hilbert y los matemáticos de talento que trabajaron con él en la empresa de axiomatizar toda lamatemática, estaban dedicados al proyecto. Su intento de dar soporte a la matemática axiomatizadacon principios definidos, que eliminaría las incertidumbres teóricas, iba sin embargo a acabar enderrota. Gödel demostró que no se podía demostrar la completitud de ningún sistema formal nocontradictorio que fuera suficientemente amplio para incluir al menos la aritmética, sólo mediante sus
propios axiomas. En 1931 su Teorema de la Incompletitud mostró que el ambiciosoplan de Hilbert era imposible tal como se planteaba. El segundo requisito no podíacombinarse con el primero de forma razonable, mientras el sistema axiomático seagenuinamente finito. Sin embargo, el Teorema de Completitud no dice nada alrespecto de la demostración de la completitud de la matemática mediante unsistema formal diferente. Los logros posteriores de la teoría de la demostracióncomo mínimo, clarificaron la relación de la consistencia con las teorías de interésprincipal para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había empezado lógico en sucamino a la clarificación; la necesidad de entender el trabajo de Gödel llevóentonces al desarrollo de la Teoría de la Computabilidad y después de la LógicaMatemática como disciplina autónoma en la década de 1930-1940. De este 'debate'
nació directamente la base para la Informática Teórica de Alonzo Church y Alan Turing.
Siglo XX. La crisis de los fundamentos de las matemáticas:Gödel. Los Teoremas de Incompletitud de Gödel. Gödel demostró que la
mayoría de los objetivos del programa de Hilbert eran imposibles de alcanzar, porlo menos si eran interpretados en la forma más obvia. Su segundo teorema deincompletitud afirmó que cualquier teoría lo suficientemente consistente comopara cifrar la suma y multiplicación de enteros, no puede probar su propiaconsistencia. Esto acaba con la mayor parte del programa de Hilbert:1. No es posible formalizar toda la matemática, ya que cualquier intento dentro
del formalismo omitirá ciertas afirmaciones matemáticas verdaderas.2. Una simple consecuencia del teorema de incompletitud de Gödel es que no hay
una extensión completa consistente incluso de la aritmética de Peano con unconjunto recursivamente enumerable de axiomas, por lo tanto, en particular, lamayoría de las teorías matemáticas interesantes no están completas.
3. Una teoría como la de axiomas de Peano no puede siquiera probar su propiaconsistencia, de modo que un subconjunto limitado finitista del mismoseguramente no puede probar la consistencia de teorías más poderosas, comola teoría de conjuntos.
4. No existe algoritmo para decidir la veracidad (o probabilidad) de afirmacionesen ninguna extensión consistente del teorema de Peano. (Estrictamentehablando este resultado apareció recién unos años después de los teoremas deGödel, ya que por esa época la definición de un algoritmo no era exacta.)
Siglo XX. La crisis de los fundamentos de las matemáticas:Gödel. El Programa de Hilbert luego de Gödel. Muchas de las líneas actuales de
investigación sobre lógica matemática, teoría de la demostración y matemáticainversa pueden ser vistas como continuaciones naturales del programa original deHilbert. Gran parte de él puede ser salvado cambiando sus objetivos ligeramente, ycon las siguientes modificaciones cierta parte pudo ser exitosamente completada:1. Si bien no es posible formalizar toda la matemática, sí es posible formalizar
esencialmente toda matemática que cualquiera usa. En particular la teoría deconjuntos de Zermelo y Fraenkel, combinada con lógica de primer orden,resulta en un formalismo satisfactorio y generalmente aceptado para,esencialmente, toda matemática actual.
2. Aunque no es posible probar la integridad en sistemas tan poderosos como laaritmética de Peano, al menos (si tienen un conjunto computable de axiomas),es posible probar formas de integridad en muchos sistemas interesantes. Elprimer gran éxito fue del mismo Gödel (antes había probado los teoremas deincompletitud), quien probó el teorema de completitud para lógica de primerorden, demostrando que cualquier consecuencia lógica de una serie deaxiomas es demostrable. Un ejemplo de una teoría no trivial para la cual lacompletitud ha sido probada es la teoría de los cuerpos algebraicamentecerrados de una característica dada.
Siglo XX. La crisis de los fundamentos de las matemáticas:Gödel. El Programa de Hilbert luego de Gödel.
3. La pregunta de si hay pruebas de consistencia finitistas para teorías fuertes, esdifícil de responder. Principalmente porque no hay, generalmente, unadefinición convenida para la "prueba finitista". La mayor parte de losmatemáticos en la teoría de la demostración parecen considerar a lasmatemáticas finitistas como contenidas dentro de la aritmética de Peano, y eneste caso no es posible dar pruebas finitistas de teorías razonablementefuertes. Por otro lado, el mismo Gödel sugirió la posibilidad de dar pruebas deconsistencia finitistas usando métodos del mismo estilo, que no pueden serformalizados en la aritmética de Peano, por lo tanto él parece haber tenidouna mirada más liberal acerca de qué métodos finitistas podrían serpermitidos. Pocos años después, Gerhard Gentzen (1909 – 1945), matemáticoalemán, dio una prueba de consistencia para los axiomas de Peano, cuya únicaparte que no era claramente finitista era una cierta inducción transfinita hastael ordinal ε0. Si esta inducción transfinita es aceptada como método finitista,entonces se puede asegurar que existe prueba finitista de la consistencia de laaritmética de Peano.
Siglo XX. La crisis de los fundamentos de las matemáticas:Gödel. El Programa de Hilbert luego de Gödel.
4. Aunque no hay algoritmo para decidir la veracidad de las afirmaciones de lospostulados de Peano, hay muchas teorías interesantes y no triviales para lascuales dichos algoritmos sí han sido encontrados. Por ejemplo, el matemáticopolaco Alfred Tarski (1902 – 1983) encontró un algoritmo que puede decidir laveracidad de cualquier afirmación dentro de la geometría analítica (másprecisamente, Tarski probó que la teoría de cuerpos algebraicamente cerradoses decidible). Dado el axioma Cantor-Dedekind, este algoritmo puede ser vistocomo un algoritmo para decidir la veracidad de cualquier afirmación dentrode la geometría euclideana. Esto es importante ya que pocas personasconsiderarían a la geometría euclidiana una teoría trivial.
Siglo XX. Nicolás BourbakiNicolas Bourbaki ha sido uno de los matemáticos más famoso e influyente del sigloXX. A él se deben, entre otras aportaciones, una reestructuración de losfundamentos matemáticos y una polémica reforma de la enseñanza de lasmatemáticas. Entre los numerosos libros que escribió destacamos Elementos delas Matemáticas con más de 7.000 páginas en varios volúmenes, el primervolumen apareció en 1939 y el último volumen, en 1998. El propósito de estamagna obra era poner en cierto orden el mundo de las matemáticas estableciendoun lenguaje claro y unificado, un método riguroso, unas reglas de juego lógico y endefinitiva sentar las bases de la matemática moderna. Su modelo de rigor ha sidouniversalmente aceptado, todos los textos matemáticos a partir de los años 60 seescriben siguiendo sus pautas. Partiendo del concepto de conjunto y mediante elmétodo axiomático construirían las bases donde sustentar todo el edificiomatemático. Bourbaki decía de sus libros que no eran libros de texto sino que eranuna especie de "caja de herramientas" para el investigador matemático. Puesbien, Nicolás Bourbaki nunca existió, tras este nombre se encuentra un grupo debrillantes matemáticos franceses, que se unieron con el fin de unificar criteriosentorno a las matemáticas, que se renovaban periódicamente, ninguno de susmiembros podía pertenecer al grupo a partir de los 40 años.
Siglo XX. Nicolás BourbakiDesde el principio trataron de mantener la simpática ficción de que NicolásBourbaki era un matemático «poldavo». Firmaban sus obras como “profesor N.Bourbaki de la Real Academia de Poldavia y Universidad de Nancago (Nancy yChicago). La razón principal para esta combinación de nombres es que uno de lospatriarcas fundadores André Weil (1906 – 1998), pertenecía al cuerpo docente dela Universidad de Chicago. Fue fundado en Nancy en 1935 por Henri Cartan (1904 –
2008) y André Weil. En este grupo figuran entre otros JeanDieudonné (1906 – 1992), Szolem Mandelbrojt (1899 –1983), tío de Benoit Mandelbrot (1924 – 2010) creador de losfractales, Claude Chevalley (1909 – 1984), Jean Coulomb(1904 – 1999), …y en él han aportado sus ideas los másgrandes matemáticos franceses del siglo XX, que bajo el gritode guerra "todos deben interesarse en todo", se propusieronredactar textos nuevos para sus clases.
Siglo XX. Nicolás BourbakiEl grupo se organizó siguiendo una serie de normas y costumbres, entre las queestaban organizar el trabajo en reuniones, una vez al año, hechas en general enverano, de una o dos semanas en algún lugar agradable de la campiña francesapara determinar las decisiones estratégicas de mayor importancia.Una de las cosas que atrajeron estudiantes a Bourbaki desde el comienzo fue queBourbaki presentó el primer tratamiento sistemático de algunos temas (porejemplo, topología general y álgebra multilineal) que no estaban a disposición delpúblico en ninguna otra parte en forma de libro. Bourbaki fue pionero en la obrade reducir de forma ordenada una gran masa de artículos que habían aparecido alo largo de varias décadas en muchas revistas y en idiomas diferentes.
Los Elementos de las Matemáticas. Nicolás BourbakiEl sistema de trabajo consistía en reuniones anuales, en verano,
denominadas Congreso. En ellas se escogía y discutía sobre el próximo trabajo aser publicado. Usualmente una persona era asignada para escribir los capítulos delsiguiente libro durante un período de un año. Al año siguiente el manuscrito erarepartido al resto de los miembros quienes usualmente lo criticaban hastadestruirlo, el autor, resignado, debía empezar prácticamente desde cero. Setrataba de seguir ciertas pautas que le daban a Bourbaki un estilo característico yuniforme independientemente de quien escriba el texto.
Siglo XX. Nicolás BourbakiLos Elementos de las Matemáticas. Nicolás Bourbaki
En la elección de Bourbaki para el desarrollo de su obra matemática seplantean varias cosas:1. Uso del lenguaje de la teoría de conjuntos, de hecho el primer volumen iba a
ser sobre conjuntos y fue publicado en 1939.2. Uso del método axiomático que Hilbert y su escuela impusieron.3. Una presentación completa de las principales estructuras matemáticas.
El lenguaje fue muy cuidado en la obra de Bourbaki, dado que sometíanlos trabajos a una minuciosa revisión. Uno de los puntos importantes del uso dellenguaje en Bourbaki es la presentación de un lenguaje unificado que se manteníaen las diversas obras.
Debemos señalar una diferencia entre el trabajo en la axiomática deHilbert en Geometría y lo que pretendía Bourbaki. Hilbert en su Grundlagen derGeometrie axiomatiza una teoría específica, en este caso la Geometría. Bourbakiquería axiomatizar las grandes teorías unificadoras de la Matemática. Esaunificación se lograba a través del concepto de Estructura. Era el concepto deestructura lo que quería atrapar Bourbaki. Bourbaki define tres tipos deestructuras básicas: Algebraicas, de Orden, Topológicas.
Siglo XX. Nicolás BourbakiLos Elementos de las Matemáticas. Nicolás Bourbaki
Las estructuras algebraicas se entienden claramente considerando unaestructura madre: la estructura de Grupo. Una estructura madre o básica esaquella de la cual derivan, o está incluida en la formulación de, estructuras máscomplejas. Recordemos que en la formulación del concepto de Anillo, Cuerpo oEspacio Vectorial, el concepto de Grupo aparece inmerso. En las estructurasalgebraicas tenemos entonces un conjunto dotado de leyes de composición(externas o internas) que verifican ciertas propiedades o axiomas.
Las estructuras de orden son fáciles de entender al recordar el conceptode orden parcial. La estructura básica o fundamental es la de Reticulado.
Reticulados. Decimos que L es un reticulado si: L es un conjunto con un orden
parcial ≤ para el cual si tenemos dos elementos cualesquiera x, y existe el máx{x,y}y el mín{x,y} que verifican:1. x ≤ máx{x,y}, y ≤ máx{x,y} y máx{x,y} es el menor elemento de L con esta
propiedad.2. mín{x,y} ≤ x, mín{x,y} ≤ y y mín{x,y} es el mayor elemento de L con esta
propiedad. Ejemplos de reticulado son la recta real con el orden usual o el conjunto de partesde un conjunto dado, donde la relación de orden es la inclusión. También dentrode la teoría de Grupos podemos dar como ejemplo de reticulado el conjunto detodos los subgrupos de un grupo dado, con el orden natural de la inclusión.
Siglo XX. Nicolás BourbakiLos Elementos de las Matemáticas. Nicolás Bourbaki
El último tipo de estructura considerada es la estructura topológica. Eneste caso queremos unificar las partes de la matemática donde las nociones decontinuidad y convergencia son estudiadas. Esto es realmente un desarrollomatemático propio del siglo XX ya que alrededor de los años 20, estos conceptosson clarificados y enunciados de manera definitiva. Antecedentes de los conceptosque van a surgir son la Teoría de los Espacios de Hilbert desarrollada por Schmidten 1906 y la Teoría de Espacios Métricos desarrollada por Frechet el mismo año.Por cierto que el concepto de Espacio Métrico engloba varias estructuras: Espaciosde Hilbert, Espacio Normado, etc. Vamos a describir lo que es un Espacio Métricodonde el concepto fundamental es el de distancia.Espacios Métricos.Un Espacio Métrico E es un conjunto (los elementos de E se llaman puntos) dotadode una distancia d entre los puntos de E que satisface los siguientes axiomas:1. La distancia d en E asocia a cada par de puntos un número real, es
decir como función d : ExE → R.2. La distancia es simétrica, es decir, para cada par de puntos x, y en E se tiene
d(x,y) = d(y,x).3. La distancia siempre es positiva, esto es, para cada par de puntos x, y en E se
tiene d(x,y) ≥ 0. Aún más, d(x,y) = 0 ↔ x = y.
,x y E
Siglo XX. Nicolás BourbakiLos Elementos de las Matemáticas. Nicolás Bourbaki4. La distancia verifica la desigualdad triangular, es decir para cada terna de
puntos x,y,z en E se tiene d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
Unos comentarios sobre los axiomas. El axioma 2 indica que la distancia entre elpunto y el punto es la misma que entre el punto y el punto .El axioma 3 es muy natural, diciéndonos que la distancia es siempre una cantidadpositiva y que solo es nula en el caso que los puntos coincidan. El axioma 4 es muyimportante, probablemente el más importante. Indica que siempre el camino máscorto es ir directamente de un punto al otro. Se debe señalar que estos axiomas noson independientes entre sí.
El concepto de Espacio Métrico evolucionó a un importante hito en lamatemática del siglo XX: el concepto de Espacio Topológico, debido a Hausdorffquien en 1914 publica Grundzüge der Mengenlehre. Este trabajo abarcaba lateoría de los Espacios Métricos y la de los Espacios Topológicos.
x E y E y E x E
Felix Hausdorff (1868 – 1942). Matemático de origen judío. Nació enBreslau que ahora es parte de Polonia. Destaca su obra en la Teoría deConjuntos y en la formulación de la Teoría de Espacios Topológicos. A raíz dela llegada de los nazis padece el infortunio de ser judío. El y su esposacometen suicidio en Bonn en el año 1942, cuando era inevitable que loenviasen a un campo de concentración.
Siglo XX. Nicolás BourbakiLos Elementos de las Matemáticas. Nicolás Bourbaki
Una cosa que hay que señalar, común a todos estos desarrollos del sigloXX y al enfoque Bourbaki es el creciente grado de abstracción de la matemática.Pero como señala Bourbaki, no es una búsqueda de los abstracto como equivalentede lo separado de la realidad. Las estructuras matemáticas que estudia Bourbakison concebidas como estructuras relevantes y preñadas de posibilidades. Son elalma del cuerpo de la matemática y unifican la misma. Por supuesto que estasestructuras se combinan entre ellas dando lugar a la Geometría Analítica.
Por ejemplo, de la estructura algebraica de los Espacios Vectoriales y latopología de los Espacios Topológicos surge la Teoría de los Espacios VectorialesTopológicos. De la Teoría de Espacios Vectoriales Topológicos surge, por ejemplo, laTeoría de Distribuciones de Laurent Schwartz con aplicaciones en FísicaMatemática, Ecuaciones en Derivadas Parciales, etc. Por cierto, Laurent Schwartz(1915 – 2002) fue un miembro destacado de Bourbaki que gano la medalla Fieldsen el año 1950.
Siglo XX. Nicolás BourbakiLos Elementos de las Matemáticas. Nicolás Bourbaki
El grupo Bourbaki marco una tendencia en la matemática del siglo XX,dominada por un enfoque abstracto donde lo axiomático era omnipresente. El sigloXX vio el desarrollo de la Lógica Matemática y la Teoría de Conjuntos a una alturano sospechada por Cantor ni Russell. Los matemáticos también formularon laTeoría de Categorías y Funtores que era un nuevo paso hacia una mayorabstracción en Matemática. Bourbaki no dio ese paso y se mantuvo dentro delesquema derivado de la Teoría de Conjuntos y su axiomática, fue una eleccióndeliberada. Quizás temían que esto solo llevase a un proceso muerto donde lamatemática se alejara de sus fuentes vitales. No querían lo abstracto por loabstracto. Siempre se preocuparon por mantener es sus libros una matemáticarelevante. Su obra es una piedra fundamental de lo que entendemos pormatemática en el siglo XX.
Se ha hablado de la influencia de la matemática de Bourbaki en laenseñanza de la matemática a nivel medio y primario. Sus miembros destacadoscomo Dieudonné alertaron que ellos no habían propuesto nada al respecto. Sinembargo con una obra escrita tan importante, han influenciado el currículouniversitario y en algunas universidades como la de Sao Paulo sus libros fueronusados como libros de texto.
•MatemáticaV, J. Giménez Romero, Ediciones ENEVACaracas, Segunda Edición 1986.•Quinto y SextoGrado Enciclopédico, Asia Medina de Dam,Tomo I, segunda edición, editorial AMDAM.•Gran EnciclopediaUniversal, Tomo 8, Ediciones Educacionales S.A, 1979.•CRONICAS DELCOSMOS,Curiosidades deAstronomía yAstrofísica, Nelson FalcónVeloz, 2006.•La vida ¿cómo se presentó aquí? ¿Por evolución, o por creación?, Editores WATCHTOWER BIBLE AND TRACTSOCIETYOF NEWYORK, INC., 1985.•http://cabmec1.cnea.gov.ar/~padrac/divulgacion/prehist.pdf•http://es.wikipedia.org/wiki/Cuneiforme•http://www.elestrecho.com/arte-sur/paleo.htm•http://www.avizora.com/publicaciones/colaboradores/textos_francisca_martin_cano_abreu/0003_interpretacion_arte_prehistorico.htm•http://www.hechohistorico.com.ar/Archivos/Culturas_Antiguas/POA/cuneiforme.html•http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/fcmatematicas/1.html•http://delta.cs.cinvestav.mx/~ccoello/librohistoria/ishango.html•http://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto•http://www.elinformadordegalicia.com/jms/egipto/•http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto•http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_en_el_Antiguo_Egipto•http://www.egiptologia.org/fuentes/papiros/rhind/•http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_sagrado_egipcio•http://www.google.co.ve/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_RJ1GL9CAxSc/SZvs1qEZfVI/AAAAAAAAAXI/UukvgPQHYe8/s320/egipto%2B013.jpg&imgrefurl=http://masdehistoria.blogspot.com/2009/02/los-egipcios-y-las-fracciones.html&usg=__m5lrfAcah8G2fz8R3j79blDFmqM=&h=320&w=233&sz=16&hl=es&start=2&itbs=1&tbnid=PwMpYx_uJxwvkM:&tbnh=118&tbnw=86&prev=/images%3Fq%3Dcalculo%2Bde%2Bareas%2Ben%2Begipto%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1
•http://es.wikipedia.org/wiki/Ojo_de_Horus•http://www.ehu.es/aba/div/paseo-06-07.pdf•http://perso.wanadoo.es/amiris/trigonometria/documentos/lecturatrigo.html•http://www.google.com/imgres?imgurl=http://www.proyectopv.org/ASTRO%2520ARQ%2520PROV/fig007.gif&imgrefurl=http://www.proyectopv.org/2-verdad/civilizacionrepentina4.htm&usg=__88EFW1CM3raKjvAurEFMdmgb5kk=&h=503&w=400&sz=29&hl=es&start=0&zoom=1&tbnid=pKzJeWwERWhFuM:&tbnh=139&tbnw=111&ei=wyWOTcibMMXZgQeBxqm6DQ&prev=/images%3Fq%3Dacadios%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26sa%3DN%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26channel%3Ds%26biw%3D1360%26bih%3D578%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=431&vpy=211&dur=3531&hovh=252&hovw=200&tx=84&ty=112&oei=wyWOTcibMMXZgQeBxqm6DQ&page=1&ndsp=23&ved=1t:429,r:10,s:0•http://www.proyectopv.org/2-verdad/civilizacionrepentina4.htm•http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_Mesopotamia•http://www.google.com/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_mqztikd9L0E/TQAI8kHsKII/AAAAAAAAAl4/zgHhcgIt85A/s1600/babilonia.jpg&imgrefurl=http://ministeriounidosxisrael.blogspot.com/2010/12/reflexionbabilonia-en-el-escenario.html&usg=__ylDREK9HA9RDmC8Kjd46TqKsBDo=&h=319&w=500&sz=106&hl=es&start=21&zoom=1&tbnid=0zG9e-9G-pB6nM:&tbnh=124&tbnw=172&ei=9HOTTZTJK4GdgQe1l5kZ&prev=/images%3Fq%3Dbabilonia%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26channel%3Dnp%26biw%3D1360%26bih%3D585%26tbs%3Disch:10%2C485&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=115&vpy=97&dur=3744&hovh=179&hovw=281&tx=186&ty=110&oei=LHGTTZTmFIT4gAfrv-gZ&page=2&ndsp=22&ved=1t:429,r:0,s:21&biw=1360&bih=585•http://es.wikipedia.org/wiki/Hexagrama
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://www.profesorenlinea.cl/imagenmatematica/babilonia01.jpg&imgrefurl=http://www.profesorenlinea.cl/matematica/MatematicaBabilonia.html&usg=__OXIxiGlAb3qq0VfIgD3x3xTgJ0g=&h=388&w=620&sz=94&hl=es&start=0&zoom=1&tbnid=FcijWaU6IL4yFM:&tbnh=129&tbnw=206&ei=X-mYTeqnOM_pgAfb29G_CA&prev=/images%3Fq%3Dmatematicas%2Ben%2Bbabilonia%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26sa%3DN%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26channel%3Ds%26biw%3D1360%26bih%3D585%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=776&vpy=92&dur=285&hovh=177&hovw=284&tx=190&ty=103&oei=X-mYTeqnOM_pgAfb29G_CA&page=1&ndsp=21&ved=1t:429,r:4,s:0http://jose-chamorro.blogspot.com/2011/01/el-teorema-de-pitagoras-en-babilonia.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Parm%C3%A9nides_de_Eleahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://7maravillasmundo.webcindario.com/faro.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://www.google.co.ve/imgres?q=axiomas+de+euclides&um=1&hl=es&sa=N&tbm=isch&tbnid=L1TKhtNpclBF6M:&imgrefurl=http://www.emiliosilveravazquez.com/blog/2011/07/18/alejandria-i/&docid=l_KzlibGx9bEdM&w=245&h=346&ei=ClI3TojkFoWugQeum9mvAg&zoom=1&iact=hc&vpx=492&vpy=110&dur=695&hovh=267&hovw=189&tx=87&ty=143&page=2&tbnh=170&tbnw=120&start=30&ndsp=21&ved=1t:429,r:9,s:30&biw=1360&bih=675http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_Pergehttp://igweb.euita.upm.es/?p=1647http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1ticahttp://www.enllave.es/actualidad/noticias/2009/11/16/los-ingenieros-romanos/http://es.wikipedia.org/wiki/Boeciohttp://enciclopedia.us.es/index.php/Historia_de_las_Matem%C3%A1ticas
http://www.diarioelpeso.com/anteriores/2010/14032010/ACT_140310_MisteriosoDiaPi.phphttp://www.euskalnet.net/pasku/cuadrado.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhihttp://www.conocereisdeverdad.org/website/index.php?id=2870http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Karajihttp://es.wikipedia.org/wiki/Abul_Wafahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ibn_al-Haythamhttp://es.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayyamhttp://en.wikipedia.org/wiki/History_of_calculushttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermathttp://en.wikipedia.org/wiki/James_Gregory_%28astronomer_and_mathematician%29http://es.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalierihttp://en.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricellihttp://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_quadrature_formulahttp://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttp://es.wikipedia.org/wiki/John_Wallishttp://en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzanohttp://www.educared.org/global/premiointernacional/finalistas/710/biograf/Brolle.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Johann_van_Waveren_Huddehttp://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchyhttp://www.taller54.com/newton.htmhttp://bvpb.mcu.es/es/consulta/registro.cmd?id=449512http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2010/11/solucion-numerica-de-la-ecuacion-de.htmlhttp://scientia1.wordpress.com/2011/05/19/la-guerra-del-calculo-matematico-newton-contra-leibniz/http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
http://es.wikibooks.org/wiki/Lista_de_derivadas_y_su_deducci%C3%B3nhttp://maralboran.org/wikipedia/index.php/Gausshttp://maralboran.org/wikipedia/index.php/Las_matem%C3%A1ticas_en_el_siglo_XIXhttp://sinmasporhoy.blogspot.com/2010/12/planeta-enano-ceres.htmlhttp://www.matetam.com/glosario/definicion/quinto-postulado-euclideshttp://www.abciencia.com.ar/matematicas/distribucion-normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_euclidianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nikol%C3%A1i_Lobachevskihttp://es.wikipedia.org/wiki/J%C3%A1nos_Bolyaihttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_el%C3%ADpticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://www.emiliosilveravazquez.com/blog/2009/04/10/riemann/http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuohttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://maralboran.org/wikipedia/index.php/Las_matem%C3%A1ticas_en_el_siglo_XXhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bolzano-Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/wiki/Julius_Wilhelm_Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_Base_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarskihttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttp://es.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
http://revistasacitametam.blogspot.com/2008/09/nicolas-bourbaki-1935-1998.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Jean_Dieudonn%C3%A9http://www.datuopinion.com/henri-cartanhttp://jerome.hubert1.perso.sfr.fr/Go/Histoire/Fr/go_en_france65-78.htm