HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

La Matemática En Las Civilizaciones Mesopotamia Y Egipcia

G R U P O : 1

REINA ISABEL DIAZ MARTINEZ 2010 2000 541

VILMA CRISTINA ESCOTO RODRIGUEZ 2010 2001 634

FECHA: 2/FEB/2015

 

U N I V E R S I D A D N A C I O N A L A U T Ó N O M A D E H O N D U R A S

U N A H - C U

ÍNDICE

OBJETIVOS..............................................................................3

INTRODUCCIÓN.....................................................................4

ORIGEN DE LAS MATEMÁTICAS............................................5

SISTEMAS DE NÚMEROS.......................................................5

PRINCIPALES CIVILIZACIONES ANTIGUAS................................5HIPÓTESIS SOBRE EL INICIO DE LAS MATEMÁTICAS..............5SISTEMAS DE NÚMEROS.............................................................6COMPUTACIÓN PRIMITIVA..........................................................7

MATEMÁTICAS DE LAS CIVILIZACIONES ANTIGUAS...........8

BABILONIA (4500-600 A. C.).........................................................8ARITMÉTICA................................................................................10ÁLGEBRA......................................................................................11CÁLCULO DE RAÍCES CUADRADAS...........................................12GEOMETRÍA.................................................................................14TRIGONOMETRÍA........................................................................15

LA MATEMÁTICA EN LA CIVILIZACIÓN EGIPCIA................16

EL PAPIRO DE RHIND.......................................................................17SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO...................................................18ARITMÉTICA EGIPCIA.................................................................19REPARTOS PROPORCIONALES............................................................21GEOMETRÍA.................................................................................22TRIGONOMETRÍA........................................................................23

CONCLUSIONES...................................................................24

BIBLIOGRAFÍA......................................................................25

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OBJETIVOS

Conocer el aporte de los babilonios en la matemática.

Describir el sistema de numeración babilónica.

Revelar los conocimientos matemáticos del antiguo Egipto.

Dar a conocer las dos fuentes de matemática egipcia más importantes que se han encontrado.

Mostrar los diferentes campos matemáticos en los que se desarrolló la civilización egipcia.

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INTRODUCCIÓN

Para estudiar la evolución histórica de las Matemáticas, consideramos un marco de referencia, constituido por el tiempo y el espacio. El espacio es el mundo en que vivimos y el tiempo es desde alrededor del 4,000 A. C., hasta nuestros días, unos 6,000 años. Principalmente seguiremos la trayectoria de la civilización que hemos heredado, es decir, empezaremos en Medio Oriente con Babilonia y Egipto, después Europa, que inicia con los Griegos, la Edad Media, el Renacimiento y la transición al siglo XX.

Dentro de este marco de referencia, la fuente principal de información son los registros escritos que a su vez han sido una de las fuerzas más poderosas de desarrollo científico, complementado en las últimas décadas con registros orales y visuales que han propiciado el extraordinario avance de la época actual. Sin embargo, antes del presente siglo, los medios de comunicación evolucionaron muy lentamente: El alfabeto, que permite la comunicación oral y escrita ordenada, se inventó alrededor del año 850 A. C., la imprenta de caracteres móviles fue inventada hace poco más de 500 años y la producción industrial de papel se inició a partir de la segunda mitad del siglo pasado.

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ORIGEN DE LAS MATEMÁTICAS

SISTEMAS DE NÚMEROS.

PRINCIPALES CIVILIZACIONES ANTIGUAS.

Las siguientes son las civilizaciones del medio oriente más antiguas que nos proporcionan fuentes de información, a través de registros escritos:

a) BABILONIA. Empieza alrededor del año 4 500 A. C., en la región de la Mesopotamia, entre los ríos Tigris y Éufrates en el suroeste de Asia y actualmente corresponde a los países Irán, Irak y Kwait.

b) EGIPTO. Empieza alrededor del año 4 000 A. C., a lo largo del río Nilo, en el noreste de África.

Las otras civilizaciones importantes del Oriente antiguo con escasas fuentes de información son:

c) INDIA. Entre los ríos Indo y Ganges, en el sur centro de Asia.

d) CHINA. Entre los ríos Hoang-Ho (Rio Amarillo) y el Yang-Tse-Kiang, en el oriente de Asia. Las fuentes originales de esta civilización se perdieron cuando el Emperador Shi - Huang - Ti (213 A. C.) ordenó que se quemaran todos los libros para iniciar una nueva civilización que les permitiera defenderse de los ataques y saqueos de los Bárbaros.

HIPÓTESIS SOBRE EL INICIO DE LAS MATEMÁTICAS.

La hipótesis más aceptada, establece que las matemáticas surgieron de las necesidades prácticas de desarrollo de las sociedades primitivas, la organización de la agricultura, control de siembras y ríos, sistemas de riego, construcciones y comercio. Otra hipótesis atribuye el origen de las Matemáticas a través de revelaciones místicas y rituales religiosos, pero esto es poco aceptado en el medio científico, donde se considera que el hombre

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inteligente busca los recursos necesarios para enfrentar el medio que lo rodea físicamente, socialmente, políticamente, etc.

Las fuentes de información más antiguas son las tabletas de arcilla cocida de los Babilonios y los papiros de Egipto. Las cortezas de árbol y bambú de China y la India son casi ininteligibles por la destrucción del tiempo.

SISTEMAS DE NÚMEROS.

Todos los sistemas de numeración que se han ideado en diferentes lugares y en diferentes épocas tienen un símbolo para la unidad simple 1 y una base b, cuyas potencias: 1, b, b2, b3, bn,..., son unidades de agrupación de orden 0,1, 2,, n, que permiten expresar los números en forma sintetizada por medio de símbolos llamados numerales.

Ejemplos de bases que se han utilizado para sistemas de números:

BASE 2 Pigmeos nómadas africanos hasta la actualidad.

BASE 3 Y 4 Tribus de Sudamérica.

BASE 5 a) Campesinos alemanes hasta 1 800.b) Tribus sudamericanas hasta la fecha.

BASE 10a) Sistemas de jeroglíficos egipcios, 3 400 A. C.b) Sistema Chino científico, 2 000 A. C.c) Sistema Hindú-arábigo, 250 A. C.

BASE 12 Desde la prehistoria hasta la fecha para contar meses del año, cantidades por docenas y gruesas, medidas por pies y pulgadas, el tiempo por horas, Parece ser que esta base fue motivada por el número de lunaciones completas de un año.

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BASE 20 Sistema Maya, conocido en el siglo XVI en Europa, empezó a usarse antes de la era cristiana y el cero aparece hacia el primer siglo de esta era.

BASE 60 Sistema Cuneiforme Babilonio, 3 500 A. C.

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COMPUTACIÓN PRIMITIVA.

Los cálculos numéricos en los sistemas de numeración previos al sistema hindú-arábigo que utilizamos actualmente, enfrentaban dificultades derivadas de las siguientes limitaciones:

a) Limitaciones mentales. por los idiomas deficientes, sin alfabeto y reglas gramaticales que ordenaran el lenguaje. Además, los sistemas de numeración también eran deficientes, aunque algunos consideran que es cuestión de práctica y familiaridad para computar eficientemente en cualquier sistema.

b) Limitaciones físicas. Los medios para expresarse por escrito eran escasos y difíciles de producir manualmente. Algunos de los principales recursos en las primeras civilizaciones, son los siguientes:

Tabletas de Arcilla Conocida. Los babilonios escribían sobre moldes de arcilla húmeda y suave que luego sometían al fuego.

Papiros. Los egipcios obtuvieron este material de la caña pappus cortada en tiraslongitudinales que acomodaban horizontalmente, cruzadas con trozos de 20 a 40 centímetros, presionándolas piedra sobre piedra, se ponían a secar pegándose con la goma que soltaban. Después se pulían con piedra.

Vitela. Tela obtenida limpiando y secando piel de vaca, especialmente de fetos debecerros.

Pergaminos. Obtenidos de la piel de animales, especialmente ovejas.

Pizarrones. Pizarrones de arena fueron usados desde la época de los griegos (700-200 A. C.) para cálculos numéricos y figuras geométricas. Tabletas de piedra se usaban para grabar registros importantes, desde las épocas prehistóricas. Hace unos 2000 años, los romanos utilizaron pequeños pizarrones con una delgada capa de cera, donde escribían con un estilete.

Ábacos. Para superar estas dificultades físicas y mentales, se inventaron los ábacos,empezando por el ábaco griego de arena, de piedra y de barro. Los ábacos aparecieron de diversas formas durante la edad media y constituyeron el primer dispositivo mecánico para cálculos numéricos utilizado por el hombre desde el período griego.

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Papel. Por medios manuales, fue producido primeramente por los chinos de las cortezas de los árboles Por medios mecánicos, se logró producirlo hasta 1850 y la imprenta de caracteres móviles fue inventada por Gütemberg en 1457. En China y Corea se realizaban impresiones mecánicas con linotipos de madera, desde el año 900. Los coreanos aseguran haber empleado moldes metálicos desde 1 240 D. C., pero casi no los usaron hasta alrededor de 1 450 D. C., cuando en Europa el alemán Gütemberg perfeccionaba la imprenta de caracteres móviles hechos de metal.

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MATEMÁTICAS DE LAS CIVILIZACIONES ANTIGUAS.

Como ya hemos observado, las civilizaciones antiguas que dejaron registros perdurables son Babilonia y Egipto. De estos registros históricos, se han seleccionado aquellos que corresponden a Matemáticas, es decir, que contienen números y figuras geométricas y que plantean y resuelven problemas.

Durante el cuarto milenio antes de nuestra era, aparecen casi simultáneamente en ambascivilizaciones, la escritura, el uso de la rueda y los metales, propiciando la necesidad de los números y las figuras geométricas para contar y medir. Es conveniente enfatizar que las Matemáticas de esta primera etapa son básicamente intuitivas y son impulsadas por necesidades prácticas. No se ha encontrado evidencia de demostraciones en las Matemáticas de estas civilizaciones, aún cuando encontraremos algunas fórmulas correctas ó aproximadas para resolver problemas.

BABILONIA (4500-600 A. C.)

Fuente principal. Desde la primera mitad del siglo XIX hasta la fecha, han sido desenterradas y clasificadas más de 500 000 tabletas de arcilla cocida, desde 5 x 5 hasta 40 x 40 centímetros. Las principales colecciones de estas tabletas se encuentran en los museos de París, Londres y Berlín y en las Universidades de Yale, Columbia y Pensilvanya. Algunas están escritas por un solo lado, otras por ambos lados y hasta por los bordes redondeados.

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Aproximadamente 300 son de Matemáticas, tablas de operaciones, cuadrados, cubos, inversos y exponenciales.

Interpretación. Clave descubierta por el inglés H. C. Rawlinson, en 1847, quien perfeccionó la clave anterior del alemán J. Gotefrend. Se han clasificado en 3 períodos:

a) Período Sumerio. Hasta 3200 A. C.b) Rey Hammurabi. Hasta 2500 A. C.c) Rey Nabucodònosor. Hasta 600 A. C.

Sistema Cuneiforme Babilonio. La antigua civilización Babilonia, alrededor del año 3000 A. C, empezó a registrar por medio de su escritura con caracteres en forma de cuñas, lo que consideraban importante.

Desde la segunda mitad del siglo pasado hasta la fecha se han desenterrado más de 500,000tabletas de arcilla cocida grabadas, de las cuales 300 son exclusivamente matemáticas. De acuerdo con esta fuente de información, inventaron un sistema de numeración posicional base 60 sin cero, combinado con agrupación simple base 10 para los numerales necesarios.

Los símbolos para los numerales del 1 al 59 eran los siguientes:

Ejemplos:

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ARITMÉTICA

Los babilonios usaban la siguiente fórmula para hacer la multiplicación más fácil, puesto que no tenían tablas de multiplicar.

ab = (a+b)2−a2−b2

2

Aún mejor es la fórmula:

ab = (a+b)2

4 - (a−b)

2

4

Un ejemplo numérico es:

2 * 4 = (2+4)2

4 - (2−4)

2

4

8 = 9 – 1

8 = 8

Los babilonios tenían una tabla en la que se hallaban escritos todos los cuadrados necesarios para multiplicar.

La división fue para los babilonios un proceso más difícil. No tuvieron un algoritmo para la división larga; se basaban en que

ab = a 1

b

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de modo que fue necesaria una tabla de números recíprocos.

En la actualidad aún se conservan estas tablas, con números recíprocos mayores que varios miles de millones. Las tablas en su notación numérica (que se han traducido a nuestra notación) tienen como base 60.

ÁLGEBRA

Hacia el año 2000 A. C. los Babilonios desarrollaron un Álgebra en prosa para resolverecuaciones de primer y segundo grado. Hay una tableta que contiene los cuadrados y los cubos de números naturales y su suma n3+ n2 de n = 1 a n = 30, que permite resolver ecuaciones cúbicas de la forma x3 + x2 = b, con x número natural, desde b = 2 hasta b = 27,900. Una tableta de Yale del 1600 A.C. contiene problemas no resueltos de ecuaciones simultáneas.

Por ejemplo:

Resolver x3 + 2x2 – 3136 = 0

Solución:

La idea crucial es hacer el cambio de variable x = 2n ; luego obtenemos

(2n)3 + 2(2n)2 = 31368n3 + 8n2 = 3136 ( Diviendo entre 8)

n3 + n2 = 392

Buscamos en la tabla el número que satisface la ecuación n3 + n2 = 392, n = 7Luego x = 2(7) = 14 es la solución cúbica dada.

n n2 n3 n3 + n2

1 1 1 22 4 8 123 9 27 364 16 64 805 25 125 1506 36 216 2527 49 343 3928 64 512 5769 81 729 810

10 100 1000 1100

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CÁLCULO DE RAÍCES CUADRADAS

En una tableta de 1600 A. C., en Yale, aparecen aproximaciones de raíces cuadradas quesugieren el uso de la fórmula.

¿Qué conocían los babilonios?

En una tablilla de la antigua Babilonia está registrado que ellos estudiaron √2 obteniendo el valor aproximado 1.414222 que consiguieron gracias a la buena tecnica que disponían. Veamos:

Sea b un número natural.Hallar √b . Veamos la idea del algoritmo que nos permite hallar tal valor aproximado.

Sea x = √b; luego x2 = b ; entonces se trata de hallar la longitud del lado del cuadrado cuya área es b.

Debemos ser concientes de que, en general, x es un número irreacional y hay que tener cuidado con la interpretación del gráfico adjunto.

Los matemáticos babilónicos eran hábiles creando algoritmos lo que rebela el buen nivel alcanzado como es el caso del cálculo de √b. Veamos como fue el camino seguido.

Sea a1 una primera aproximación para √b ; a partir de a1 se calcula

una segunda aproximación b1satisfaciendo b1= aa1

; es claro que si a1

es muy pequeño , b1 será muy grande y recíprocamente. Por esta

razón , la media aritmética a2 = a1+b12

será una mejor aproximación.

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Si a2 fuera aún muy grande, la siguiente aproximación b2= aa2

sería

muy pequeña y recíprocamente, leugo (nuevamente) el promedio a3

= a2+b22

sería uana mejor aproximación. Y así podemos continuar…

obteniéndose la regla:

an+1 = 12 (an +

ban

) n = 1,2,3,….

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La sucesión an se aproxima a √b .

Ejemplo : Aplicar el algoritmo babilónico para calcular √2 .

Notemos que b = 2.

Pongamos a1 = 1 , entonces

a2 = 12 1 +

21 =

32 = 1.5,

a3 = 12 32 +

232

= 1712

≅ 1.41666,

a4 = 12 1712

+ 21712

= 577408

≅ 1.41422.

Podríamos quedarnos en esta aproximación y concluir que √2 ≅ 1.414222.Es claro que a5 , a6 ,… se aproxima más y más a √2 .

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GEOMETRÍA

Los babilonios  conocían las normas generales para la medición de

áreas y volúmenes.

Se medía la circunferencia de un círculo como tres veces el

diámetro  lo que sería correcto si π fuese estimado como valor 3.

El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y la

altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una

pirámide cuadrada fue tomado incorrectamente como el producto

de la altura y la mitad de la suma de las bases.

El teorema de Pitágoras era también conocido por los babilonios.

Los babilonios también son conocidos por la milla babilónica, que

fue una medida de distancia igual a siete millas actuales.

Áreas de triángulos rectángulos e isósceles. Trapecios con un lado perpendicular a los lados paralelos:

A= 12 ( a + b) c

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TRIGONOMETRÍA

PLIMPTON 322. Tableta de la colección G. A. Plimpton, en la Universidad de Columbia, de 1900 A. C. descrita por Neugebauer en 1945. Está parcialmente destruida a derecha e izquierda, pero se aprecian claramente 3 columnas y la existencia de una 4- semiborrada a la izquierda, todas ellas de números en el sistema sexagesimal. Las primeras 4 columnas son las que aparecen en la tableta y han sido completadas para encontrar una lista de 15 ternas pitagóricas correspondientes a ángulos B de un triángulo rectángulo del 45° al 31°.

Si se interpretan los números que aparecen en la segunda y tercera columna (de izquierda a derecha) como los lados a y c de un triángulo rectángulo ABC (C=90 grados), respectivamente, entonces la primera columna, indica en cada caso el cuadrado de la razón de c y b (c^2/b^2). Así pues, la columna del extremo izquierdo consiste en la tabla de valores de sec^2(A), aunque esto no suponga naturalmente que los babilonios conocieran nuestro concepto de secante de un ángulo.

Por otra parte, Si sustituimos la primera coma de los números de la primera columna por un punto y coma, es evidente que los números de esta columna van disminuyendo de una manera continua de arriba abajo. Además, el primer número es muy aproximadamente sec^2(45) y el último sec^2(31) mientras que los números intermedios se aproximan a los valores de sec^2(A) para valores de A que van disminuyendo grado a grado desde 45 a 31.

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LA MATEMÁTICA EN LA CIVILIZACIÓN EGIPCIA

Según la opinión de los historiadores, Egipto nace alrededor del año 4000 A.C. y su máximo esplendor se dio alrededor del año 2 500 a.C. Al igual que con Mesopotamia, la civilización siguió un curso que se vería drásticamente alterado solo hasta la conquista macedonia.

La matemática egipcia es ante todo empírica, o al menos es la única conclusión a la que podemos llegar después de analizar las fuentes. No existen demostraciones de los métodos que se emplean, ni siquiera conocemos el origen de las fórmulas. Lo más que podemos ver son comprobaciones, pero nunca una demostración.

Las principales referencias que tenemos en relación con las matemáticas egipcias son documentos escritos sobre papiro, un material frágil, por lo que realmente se tiene muy poca base para una descripción precisa de la naturaleza y los límites de la cultura y las matemáticas de esta civilización.

El papiro de Moscú

Es el texto matemático más antiguo descubierto hasta ahora. Es un papiro del Imperio Medio egipcio, con cinco metros de longitud y tan sólo ocho centímetros de anchura consta de 25 problemas matemáticos, aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados.

Al igual que muchos antiguos textos matemáticos, se compone de lo que hoy se

denomina "problemas de palabra" o "problemas historia", destinados, al parecer, al entretenimiento.

El problema número 14, es considerado de particular importancia porque da un método para encontrar el volumen de un tronco de pirámide:

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"Sea un tronco de pirámide de 6 de altura por 4 de base y por 2 en la parte superior. Hallas el cuadrado de 4, da 16. Hallas el doble de 4, da 8.

Hallas el cuadrado de 2, da 4. Sumas 16, 8 y 4, da 28. Tomas un tercio de 6, da 2. Tomas el doble de 28, da 56. Ves, es 56. Lo has calculado correctamente."

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EL PAPIRO DE RHIND

Es otro de los grandes textos matemáticos de Egipto. Es un papiro de unos seis metros de longitud y 33 cm de anchura, en un buen estado de conservación, con escritura hierática y contenidos matemáticos: un manual de instrucciones sobre aritmética y geometría. Contiene 87 problemas matemáticos en los que

aparecen fórmulas de áreas y volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, trigonometría básica. También encontramos como trabajar con fracciones unitarias (las inversas de los números naturales: 1/n), números primos y compuestos; media aritmética, geométrica y armónica; interpretaciones sencillas de la Criba de Eratóstenes y de la teoría del número perfecto (del número 6). Muestra la forma de resolver ecuaciones lineales de primer grado, así como las series aritméticas y geométricas. Además, tres elementos geométricos que figuran en el papiro Rhind sugieren el más simple de los fundamentos de la geometría analítica:

1. Cómo obtener una aproximación de Π con un error de menos del 1%.

2. Un antiguo intento de la cuadratura del círculo.3. El primer uso conocido de un tipo de cotangente.

Ciertamente sobre la base de los 2 papiros más importantes de matemáticas no podemos sacar unas conclusiones claras de los conocimientos reales de los escribas egipcios en cuestiones de cálculo.  Ya que los papiros tenían una intención puramente pedagógica muy básica. Estaban básicamente destinados a la enseñanza de contabilidad y cálculo a los funcionarios del estado, y no es para nada una obra de conocimientos matemáticos.

De ellos no podemos extraer más que conocimientos básicos de matemáticas. No sabemos si realmente los egipcios conocían sistemas más avanzados de cálculo, pero sí que la base de sus matemáticas era bastante árida. Como veremos, los métodos empleados para el cálculo de sumas de fracciones o multiplicaciones básicas no eran para nada sencillos. No se puede afirmar que los conocimientos matemáticos egipcios se cerrasen

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con lo que aparece en el papiro Rhind,  pero tampoco tenemos pruebas de que fuesen más allá ni de que existiesen otros sistemas, si bien es cierto que posiblemente los arquitectos y personal especializado si utilizasen métodos diferentes.

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SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO

Es un sistema de agrupación simple, base10, cuyos numerales para las unidades de diferentes órdenes son los siguientes jeroglíficos y su significado:

Ejemplos:

Los egipcios escribían de derecha a izquierda y consideraron números positivos y negativos utilizando los símbolos:

Las fracciones unitarias 1ncon n en los naturales, las representaban

como:

Por ejemplo:

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Las fracciones con numerador mayor que 1, las expresaban como sumas de fracciones unitarias.

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ARITMÉTICA EGIPCIA

Las operaciones básicas de suma y resta se limitaban a una combinación o cancelación de símbolos. La adición era la base del conocimiento matemático, puesto que las operaciones de multiplicación y división se basaban en adiciones.Para sumar simplemente se añadían los símbolos correspondientes. Como los símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces, si se excedía de 9 se eliminaban todos y se añadía el siguiente. Así:

Al obtener 11 símbolos de debemos eliminar 10 y añadir el

equivalente y obtenemos

Como se ve el sistema es bastante trivial. Para la resta sencillamente se eliminaban los símbolos a restar.Los egipcios no tenían necesidad de saberse las tablas de multiplicar, ya que su método se basa solo en sumas. Por ejemplo: 24×12.

Para realizar la multiplicación, escriben dos columnas. Una comienza con 24 y la otra con 1. El proceso consiste en ir doblando el número de cada columna hasta que la que comenzó con 1, supere al segundo factor:

24 148 296 4192 8

No es necesario hacer más filas porque 8+8=16 ya es mayor que 12.  Buscamos ahora en la segunda columna los números que, sumados, den el segundo factor. En este caso son el 8 y el 4 (8+4=12). Sumando los números correspondientes de la primera columna (192 y 96) obtenemos el resultado de la multiplicación: 192+96 = 24×12 = 288.

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Para la división 389÷1919 138 276 4152 8304 16608 32

Luego se pregunta uno qué números de la primera columna es posible sumar de abajo hacia arriba sin sobrepasar el 389, en este caso 304 + 76. La suma de 304 y 152 daría más de 389, lo mismo que si a 304+76 se agregaran el 38 o el 19. Entonces, el resultado de la división es la suma de los correspondientes elementos de la columna derecha, en este caso 16 + 4 = 20. Además, como 304+76 da 380, sabemos que el residuo es 9, es decir 389 entre 19 es igual a 20 y deja un residuo de 9.

ÁLGEBRA

En los papiros que se conservan con problemas matemáticos existe un grupo que podríamos incluir dentro del concepto de álgebra actual.

El egipcio no distinguía entre problemas meramente aritméticos y estos en los que se pide resolver ecuaciones lineales de la forma x + ax = b ó x + ax + bx = c.

Para él todo eran matemáticas y se limitaba a seguir procedimientos aritméticos. Por supuesto no se empleaba esta notación que usamos nosotros sino que se pedía por ejemplo buscar un número, que ellos llamaban "aha" o "montón" tal que...

El problema más conocido del papiro Rhind sobre estas cuestiones es el número 24 en el que se pide calcular el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19. Este tipo de problemas aparecen resueltos con unas someras instrucciones que llevan al resultado buscado, sin dar ninguna explicación sobre por qué usar el procedimiento.

La resolución de estos problemas se efectúa por el método que hoy conocemos como "regla de la falsa posición" o "regula falsi". Este método consiste en presuponer un valor para el aha y efectuar las operaciones de la ecuación. A menos que tengas mucha suerte no acertarás con el valor del aha a la primera, pero tampoco importa, porque una vez efectuadas las operaciones se compara el resultado con el que debería obtenerse y con el uso de proporciones se halla el valor correcto.

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REPARTOS PROPORCIONALES

Además de los problemas sobre aritmética básica y ecuaciones lineales, existe una serie de problemas referidos a repartos proporcionales.

El método para resolver repartos proporcionales está basado en las propiedades de las proporciones numéricas. Estos cálculos eran muy importantes a la hora de distribuir las raciones, por ejemplo, en los templos, donde no todo el mundo recibía la misma cantidad de comida y bebida.

En el papiro estaba este método. Para distribuir una cantidad N en partes proporcionales n1, n2, n3 y n4:

1.- Se suman las partes proporcionales n1+n2+n3+n4 obteniendo C 2.- Se divide 1 / C = D 3.- Se multiplica este valor D por N obteniendo el numero d 4.- Se aplica el número d a cada una de las partes

En el papiro Rhind se problema 63 hay que repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 2/3, 1/2, 1/3 y 1/4.

Solución:

1.- Se calcula la suma C

C = 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 1/2 + 1/4

2.- Se calcula D = 1/C

1 1 + 1/2 + 1/41/2 1/2 + 1/4 +

1/8

D = 1/C = 1 / (1 + 1/2 + 1/4) = 1/2 + 1/14

Considerando 1/2, el resultado de la división es 1/2 + 1/4 + 1/8 con una diferencia de 1/8. Entonces ahora debe determinarse qué cantidad hay que multiplicar por 1 + 1/2 + 1/4 para obtener 1/8. Toma 8 como número rojo. Entonces tenemos:

8*(1+1/2+1/4) = 14 8*1/8 = 1

por lo que la cantidad buscada es 1/14 entonces 1 / (1 + 1/2 + 1/4) = 1/2 + 1/14.

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3.- Se multiplica este resultado por 700 y resulta un valor de d = 400, por lo que el reparto será: 

1 7001/2 3501/4 50

700 *(1/2 + 1/14) = 350 + 50 = 400, y este es el número buscado. Ahora solo queda repartir.

4.- Multiplica cada uno de los repartos por 400 obteniendo el resultado solicitado:

400 * 2/3 = 266 + 2/3 400 * 1/2 = 200 400 * 1/3 = 133 + 1/3 400 * 1/4 = 100

GEOMETRÍA

La geometría es quizás la aplicación más importante de la matemática egipcia, debido a la necesidad de los agrimensores o "tensadores de cuerda", para recalcular las limites de los campos tras la inundación anual del Nilo. Después de ver las grandes construcciones que llevaron a cabo los egipcios deberíamos esperar una geometría muy avanzada. Pero desgraciadamente no es así, y las únicas fuentes que podemos analizar son el papiro de Rhind y el papiro de Moscú.

Con los datos que tenemos en estos 2 papiros no descubrimos aspectos especiales de la geometría y lo único que nos aportan son algunos datos para el  cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas muy básicas. Los cálculos, aunque no correctos, si son lo suficientemente aproximados para cubrir las necesidades de la vida cotidiana. Además no existe distinción entre los cálculos exactos y los aproximados por lo que no sabemos si pensar que consideraban todos como exactos o sencillamente que no se planteaban el error cometido, pero quizá fuese el hecho de haber aprendido cómo hacer los cálculos, sin demostración de ningún tipo y sin plantearse si estaban bien o mal, lo que les llevaba a cometer estos errores.

Llama la atención el hecho de haber encontrado inscripciones en las que se calcula el área de figuras cuadrangulares, pertenecientes a campos de cultivo, en las que el método empleado

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es muy erróneo, y únicamente aproximado en el caso de campos que se tienden a formas rectangulares.

En los muros del templo de Edfú aparece este método, que consistía en obtener el área de la figura multiplicando entre sí las semisumas de las longitudes de lados opuestos. Se dice que para calcular el área de un campo de lados a, b, c y d siendo a, b y c, d los lados opuestos se siga la regla A = (a+b)/2 * (c+d)/2, lógicamente esta fórmula es exacta para figuras rectangulares, pero cuanto más irregular sea la figura más error se comete.El problema 52 del mismo papiro trata sobre el área de un trapecio isósceles de base mayor 6, base menor 4 y distancia 20. Para resolverlo toma la semisuma de las bases "de forma que se transforme en un rectángulo" y lo multiplica por la distancia 20.Es quizá el cálculo del área del círculo la parte de la geometría egipcia de la que más se ha escrito, sin duda por el misterio que rodea al número pi. Según el papiro Rhind  (problema número 50) Ahmes acepta que el área de un círculo de diámetro 9 es la misma que la de un cuadrado de lado 8. Esto nos lleva a aceptar un valor para   de 3.1605

Posiblemente mayor importancia que la buena aproximación de   tenga la afirmación egipcia de las relaciones entre área y perímetro del círculo y el cuadrado. Según los egipcios la relación entre el área de un círculo y su circunferencia es la misma que la razón entre el área y el perímetro del cuadrado circunscrito. Sin duda esta afirmación es mucho más importante geométricamente hablando que la aproximación de , si bien es cierto que muchos autores han destacado esta aproximación de   para afirmar que los egipcios conocían una matemática "oculta" mucho más desarrollada que la que actualmente aceptamos de las escasa fuentes que poseemos.

En muchas ocasiones se ha tratado de crear leyendas en torno a las relaciones geométricas de la gran pirámide. Quizá la más llamativa y conocida es la que afirma que el perímetro de la base se planeó de manera que coincidiese con la circunferencia cuyo radio es la altura de la pirámide. Esta relación es efectivamente cierta, con una muy buena aproximación, para un valor de   de 3.14

TRIGONOMETRÍA

Aunque no se puede hablar de una trigonometría en un ámbito general de la matemática egipcia, queremos, en este capítulo, dar a conocer lo que podría denominarse una trigonometría rudimentaria

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y una pequeña teoría de triángulos semejantes que aparece en el papiro Rhind. Así como en lo relativo  a la aritmética o la geometría tenemos diferentes fuentes, aunque sean escasas, de trigonometría sólo disponemos del problema 56 del papiro Rhind.Si nos planteamos las grandes edificaciones que llevaron a cabo los egipcios, fundamentalmente la construcción de pirámides, hay que tener en cuenta que, tal y como están construidas, era necesario disponer de algún mecanismo trigonométrico para resolver ciertos problemas de construcción. Un problema esencial en la construcción de estas era el de mantener la pendiente uniforme en cada una de las caras, y a su vez la misma en las 4 caras. Quizás esta necesidad es lo que llevó a los egipcios a emplear lo que denominaron "seqt", equivalente a lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada.

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CONCLUSIONES

Es de gran importancia el aporte de los babilonios en la diferentes áreas de la matemática ya contribuyen en gran parte al análisis en la forma como ellos se planteaban de manera lógica los procedimientos.

La usencia del cero no imposibilita la aplicación del método de numeración de los babilonios.

Las matemáticas en el Antiguo Egipto constituyeron la rama de la ciencia que más se desarrolló, y podemos estudiarlas a partir del papiro Rhind.

La civilización egipcia, fue el pueblo que más perfectamente aplicó las leyes matemáticas al mundo real, y fue así, aprovechando estas leyes, como consiguieron alzar las pirámides, de una manera perfecta, ya que es la única de las siete maravillas del mundo que aún se conserva, y muchas veces, las mentes más avanzadas de hoy en día, han intentado emular sin lograr éxito alguno.

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BIBLIOGRAFÍA

Boyer, Carl B. “Historia de la Matemática” Alianza Editorial, 1987.

Collete, Jean- Paul : “Historia de las Matemática” Vol. I Siglo XXI 1986.

Eves ,Haward : “An Introduction to the History of Mathematic” , Holt Rinahart and Winston 1969.

Histria Matemática ING. Eldio Sáenz.

Historia y Filosofía Matemática Angel Ruiz.

http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas

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