Electromagnetismo para Ingeniería

8va Práctica Calificada

Juan Diego Guizado Vásquez

20111240D

Profesor: Solano

Guías de onda

Introducción:

En electromagnetismo y telecomunicaciones, una guía de onda es cualquier estructura física que guía ondas electromagnéticas. Algunos sistemas de telecomunicaciones utilizan la propagación de ondas electromagnéticas en el espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante el confinamiento de estas ondas en cables o guías. En SHF, banda de frecuencia donde se encuentran las microondas, las líneas de transmisión y cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que introducen mucha perdida al voltaje y corriente de súper alta frecuencia que viaja por ellos, impidiendo que la microonda llegue a su destino con un nivel de potencia apropiado para que la información que transporta pueda ser extraída sin errores.

Mientras que en las líneas de transmisión (coaxiales por ejemplo) lo que viaja por ellos es un voltaje y una corriente de alta o muy alta frecuencia, por las guías de onda lo que viaja es un campo electromagnético cuya longitud de onda se encuentra en el orden de las microondas.

La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía, es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las líneas de transmisión en frecuencias más bajas, ya que se presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia.

Este nombre, se utiliza para designar los tubos de un material de sección rectangular, circular o elíptica, en los cuales la energía electromagnética ha de ser conducida principalmente a lo largo de la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la onda al interior por reflexión, debido a la ley de Snell en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación.

En las guías, los campos eléctricos y los campos magnéticos están confinados en el espacio que se encuentra en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia por radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos.

Primero se presentará un análisis del comportamiento general de las ondas electromagnéticas en una guía de ondas uniforme de sección transversal arbitraria. El punto de partida es la ecuación vectorial de Helmholtz para E y H. Veremos que, además de las ondas transversales electromagnéticas (TEM), que no tienen componentes del campo en la dirección de propagación, también pueden existir ondas transversales magnéticas(TM) con componente longitudinal del campo eléctrico y ondas transversales eléctricas(TE) con componente longitudinal del campo magnético.

Comportamiento general de las ondas en estructuras de guías uniformes:

Se examinaran algunas de las características generales de las ondas que se propagan a lo largo de estructuras de guías rectas con sección transversal uniforme. Se supondrá que las ondas se propagan en dirección +z con una constante de propagación γ=α+ jβ que aún queda por determinar, para el caso de la dependencia armónica con el tiempo con frecuencia angular ω , se puede describir la dependencia de z y t de todas las componentes del campo mediante el factor exponencial:

e−γz e jwt=e( jwt−γz )=e−αz e j (wt−βz)

Como ejemplo, si usamos una referencia coseno podemos escribir la expresión instantánea del campo E en coordenadas cartesianas como:

E ( x , y , z ; t )=Re [E0(x , y)e( jwt−γz)]

Donde E0(x , y) es un fasor vectorial bidimensional que solo depende de las coordenadas transversales. De hecho, al usar una representación fasorial en las ecuaciones que relacionan las cantidades de campo podemos reemplazar las derivadas parciales con respecto a t y z por productos con (jw) y (– γ), respectivamente; se puede eliminar el factor común e( jwt−γz ).

Ahora consideremos una guía de ondas recta constituida con un tubo metálico relleno con un dieléctrico, que tiene una sección transversal arbitraria y yace sobre el eje z, como se ilustra en la siguiente figura:

De acuerdo a las ecuaciones vectoriales homogéneas de Helmholtz, las intensidades de los campos eléctrico y magnético en la región dieléctrica interior libre de cargas satisfacen:

∇E+k2 E=0…(1)

y

∇H+k2H=0…(2)

Donde E y H son fasores vectoriales tridimensionales y k es el número de onda:

k=ω√ μϵ

El operador laplaciano tridimensional ∇2 puede separarse en dos partes: ∇u1u22 para las

coordenadas transversales y ∇z2 para la coordenada longitudinal. Para las guías de onda con

una sección transversal rectangular se usan coordenadas cartesianas:

∇2E=(∇xy2 +∇z

2 )E=(∇xy2 + d2

dz2)E

¿∇xy2 E+γ2 E

Al combinar las ecuaciones se obtienen:

∇xy2 E+( γ 2+k2 )E=0… (3)

∇xy2 H+( γ2+k 2) H=0…(4)

Estas 2 ecuaciones anteriores en realidad son tres ecuaciones en derivadas parciales de segundo grado, una para cada componente de E y H. La solución exacta de estas ecuaciones para las componentes depende de la geometría transversal y de las condiciones de frontera (condiciones de contorno).

Las diversas componentes de E y H no son todas independientes y no es necesario resolver las seis ecuaciones en derivadas parciales de segundo grado para las seis componentes de E y H. Veamos la relación entre las seis componentes en coordenadas cartesianas desarrollando las 2 ecuaciones de rotacional libres de fuentes con J=0:

Todas las cantidades de las componentes de campo en las ecuaciones anteriores son fasores que dependen únicamente de x e y, de manera que se ha omitido el factor común e−γz correspondiente a la dependencia con z. Al manipular estas ecuaciones podemos expresar las

componentes de campo transversales H x0 , H y

0 ,E x0 y E y

0 en términos de las 2 componentes

longitudinales E z0 y H z

0. Por ejemplo, podemos combinar las ecuaciones (9-9a) y (9-10b) para

eliminar E y0 y obtener H x

0 en términos de E z0 y H z

0. Tenemos:

...(5)

El comportamiento de las ondas en una guía de ondas puede analizarse resolviendo las ecuaciones (3) y (4) para las componentes longitudinales E z

0 y H z0, respectivamente, teniendo

en cuenta las condiciones en la frontera requeridas, y usando las 4 ecuaciones anteriores para determinar las otras componentes.

Es conveniente clasificar en 3 tipos las ondas que se propagan en una guía de ondas uniforme, de acuerdo con la existencia de E z y H z.

1.- Ondas transversales electromagnéticas (TEM). Son ondas que no contienen E z ni H z.

2.- Ondas transversales magnéticas (TM). Ondas que contienen una E z distinta de cero pero H z=0.

3.- Ondas transversales eléctricas (TE). Ondas que contienen una H z distinta de cero pero E z=0.

Las características de propagación de los distintos tipos de ondas son diferentes; las analizaremos en las siguientes secciones:

a.- Ondas Transversales Electromagnéticas:

Puesto que E z=0 y H z=0 en las ondas transversales electromagnéticas (TEM) en una guía, las ondas transversales electromagnéticas únicamente existen cuando:

γTEM2 +k 2=0

o

γTEM❑ = j k❑= jω√ μϵ

que es exactamente la misma expresión para la constante de propagación de una onda plana uniforme en un medio ilimitado caracterizado por los parámetros constitutivos ϵ y μ. La velocidad de propagación (velocidad de fase) de una onda transversal electromagnética es:

Se puede obtener la relación entre E x0 y H y

0 a partir de las ecuaciones (9-9b) y (9-10a),

haciendo E z❑ y H z

❑ igual a cero. Esta relación se conoce como impedancia de la onda. Tenemos:

O también se expresa como:

Se observa que ZTEM es igual que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico. Las 2 ecuaciones anteriores establecen que la velocidad de fase y la impedancia de la onda de las ondas transversales electromagnéticas (TEM) son independientes de la frecuencia de las ondas.

Las guías de ondas de un solo conductor no pueden transportar ondas TEM. Pues las líneas de flujo magnético siempre se cierran sobre si mismas. Por lo tanto, si una onda TEM existiera en una guía de ondas, las líneas de campo B y H describirían trayectorias cerradas en un plano transversal. Sin embargo, la ley circuital generalizada de Ampere requiere que la integral de línea o circulación del campo magnético a lo largo de la trayectoria cerrada en un plano transversal sea igual a la suma de las corrientes de conducción y desplazamiento que atraviesan dicha trayectoria. Si no hay conductor interno, no habrá corriente de conducción longitudinal en la guía de ondas. Por definición, una onda transversal electromagnética no tiene componente E z; por lo tanto, no hay corriente de desplazamiento longitudinal. La ausencia total de una corriente longitudinal en la guía de ondas nos lleva a la conclusión de que no puede haber trayectorias cerradas de líneas de campo magnético en ningún plano

transversal. Por consiguiente, llegamos a la conclusión de que las ondas transversales electromagnéticas (TEM) no pueden existir en una guía de ondas de un solo conductor hueco (o relleno con un dieléctrico), cualquiera sea su forma.

b.- Ondas Transversales Magnéticas:

Las ondas transversales magnéticas (TM) no tienen componente del campo magnético en la dirección de propagación, H z=0. Podemos analizar el comportamiento de las ondas TM resolviendo la ecuación (3) para E z, sujeto a las condiciones en la frontera de la guía, para después usar las ecuaciones en (5) y determinar las otras componentes. Si escribimos la ecuación (3) para E z, tenemos:

∇xy2 E+( γ 2+k2 )E=0

o

…(6)

La ecuación anterior es una ecuación en derivadas parciales de segundo grado que puede resolverse para E z

0. Una vez determinado E z0, podemos hallar las otras componentes del

campo usando las ecuaciones de (5) con H z0=0. Es posible expresar la relación entre las

componentes transversales de la intensidad de campo magnético, H x0 y H y

0 , y las de la

intensidad de campo eléctrico, E x0 y E y

0 , en términos de la impedancia de onda, ZTM , para el modo transversal magnético.

…(7)

Es importante observar que ZTM no es igual a jωμγ , ya que γ para las ondas transversales

magnéticas no es igual a jω√ μϵ, como es el caso de γTEM .

Cuando se resuelve la ecuación (6), sujeta a las condiciones de frontera de una guía de ondas determinada, se descubrirá que las soluciones solo son posibles para valores discretos de h. Habrá una infinidad de estos valores discretos, pero las soluciones no son posibles para todos los valores de h. Los valores de h para los cuales existe una solución de la ecuación (6) se denominan valores característicos o valores propios del problema de condiciones de frontera. Cada uno de los valores característicos determina las propiedades características de un modo TM especifico de la guía de ondas dada.

A partir de la ecuación en (5) tenemos:

Se observan 2 intervalos distintos para los valores de la constante de propagación, con γ=0 como punto divisor, donde:

…(8)

La frecuencia, f c, donde γ=0 se denomina frecuencia de corte. El valor de f c para un modo específico en una guía de ondas depende del valor característico, h, del modo. Podemos escribir entonces:

Los 2 intervalos distintos de γ pueden definirse en términos de la razón ¿ comparada con la unidad.

a) ¿ >1 o f > f c. En este intervalo, ω2μϵ>h2 y γ es imaginaria. A partir de las ecuaciones anteriores tenemos:

El modo se propaga con constante de fase β :

La longitud de onda correspondiente en la guía es:

Dónde:

Es la longitud de onda de una onda plana de frecuencia f en un medio dieléctrico ilimitado que está caracterizado por μ y ϵ , y u=1/√μϵ es la velocidad de la luz en el medio. Podemos reagrupar las ecuaciones para obtener una relación sencilla entreλ, la longitud de onda en la guía λg, y la longitud de onda de corte, λc=u/ f c:

La velocidad de fase de la onda que se propaga en la guía es:

En la ecuación anterior podemos ver que la velocidad de fase en una guía de ondas siempre es mayor que en un medio ilimitado y que depende de la frecuencia. Por lo tanto, las guías de ondas de un solo conductor son sistemas de transmisión dispersivos, aunque un medio dieléctrico sin perdidas ilimitado sea no dispersivo. Al sustituir ecuaciones se obtiene:

Por consiguiente, la impedancia de la onda de los modos TM que se propagan en una guía de ondas con un dieléctrico sin perdidas es puramente resistiva y es siempre menor que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico.

b) ¿ < 1 o f < f c. Cuando la frecuencia del modo es menor que la frecuencia de corte, γes real y entonces podemos escribir:

que es, de hecho, una constante de atenuación. Todas las componentes del campo contienen el factor de propagación e−γz=e−αz, de manera que la onda disminuye rápidamente con z y se dice que es un evanescente. Por lo tanto, una guía de ondas exhibe la propiedad de un filtro pasa alto. Para un modo determinado, solo la onda con frecuencia superior a la de corte del

modo pueden propagarse en la guía. Al sustituir la ecuación anterior con la ecuación (7) se obtiene una impedancia de la onda imaginaria para los modos transversales magnéticos f <f c. Por consiguiente, la impedancia de la onda de los modos TM evanescentes a bajas frecuencias, inferiores a la de corte, es puramente reactiva, lo cual indica que no hay flujo de potencia asociado con las ondas evanescentes.

c.- Ondas Transversales Eléctricas:

Las ondas transversales eléctricas (TE) no tienen componente del campo eléctrico en la dirección de propagación E z=0. Podemos analizar el comportamiento de las ondas TE resolviendo primero la ecuación (4) para H z :

Hay que satisfacer las adecuadas condiciones en la frontera en las paredes de la guía. Las componentes transversales del campo se determinan después sustituyendo H z en las ecuaciones de (5) con E z=0.

Las componentes transversales de la intensidad de campo eléctrico, E x0 y E y

0 , están

relacionadas con las de la intensidad de campo magnético H x0 y H y

0 , a través de la impedancia de la onda. Tenemos:

Observar que ZTE en la ecuación anterior es bastante diferente de ZTM , ya que γde las ondas TE no es igual a jω√ μϵ, como sucede con γTEM . Como no se cambió la relación entre γ y h, las ecuaciones correspondientes a las ondas transversales magnéticas también se aplican a las ondas transversales eléctricas. Así mismo, hay también 2 intervalos distintos de γ que dependen de si la frecuencia del modo es mayor o menor que la frecuencia de corte, f c, expresada por la ecuación (8).

a) ¿ > 1 o f > f c. En este intervalo, γ es:

Por consiguiente, las fórmulas de β , λg yu p de las ecuaciones anteriores también son válidas para las ondas TE. Entonces de las ecuaciones anteriores tenemos:

que, como puede verse, es diferente de la expresión de ZTM . La ecuación anterior indica que la impedancia de la onda de los modos transversales eléctricos (TE) que se propagan en una guía de ondas con un dieléctrico sin perdidas es puramente resistiva y siempre es mayor que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico.

b) ¿ < 1 o f < f c. En este caso, γ es real y tenemos un modo evanescente o que no se propaga:

Puesto que γes puramente real en la ecuación anterior, la impedancia de la onda de los modos TE en la ecuación de ZTE con f <f c,

es puramente reactiva, lo que indica una vez más que no hay flujo de potencia asociado a las ondas evanescentes para f <f c .