guias de laboratorio

GUA DE LABORATORIO 1

TEMA: MUESTREO PROBABILSTICO

2

Contenido terico:

Muestreo Aleatorio Simple

Muestreo Aleatorio Sistemtico

Muestreo Aleatorio Estratificado

Todas las aplicaciones se realizarn en base al archivo de datos Employee data.sav,

disponible en el archivo de instalacin del SPSS.

Muestreo Aleatorio Simple

Archivo de datos Employee data.sav :

Observe que en este archivo se han registrado 474 observaciones para un total de 10

variables.

Puede solicitar un reporte de frecuencias para alguna variable de inters, como por

ejemplo Categora laboral (catlab)

3

Ejercicio 1.

Seleccione una muestra aleatoria simple de 50 empleados

Para ello debe seguir los pasos siguientes:

Datos Seleccionar casos

Por defecto siempre estarn activos Todos los casos. Elija Muestra aleatoria de casos,

haga clik en el botn Ejemplo

4

Importante:

En la ventana anterior note que: por defecto se encuentra activa, en el

recuadro inferior de Resultado, la opcin: Descartar casos no seleccionados.

Esto permite realizar la seleccin sin eliminar el caso no seleccionado.

En seguida se muestra la siguiente ventana en la que usted puede solicitar al programa

seleccione aproximadamente cierto porcentaje de casos, conocidos tambin como

registros u observaciones, para la muestra.

Tambin puede solicitar al programa la seleccin de un nmero exacto de casos o

registros. Para nuestro caso utilizaremos esta opcin para solicitar que seleccione

exactamente 50 observaciones de los primeros 474 casos.

En esta seleccin se obtuvo una muestra en la que se ha seleccionado las observaciones

9, 10, 12 y otras. Observe que el programa tacha con una lnea oblicua la observacin

que NO ha sido seleccionada. Adems, ha generado una variable Filtro (filter_$) en la

ltima columna en la que ha asignado el cdigo 0 a las observaciones que no han sido

seleccionadas y 1 a las que s han sido seleccionadas.

5

Si usted vuelve a solicitar un reporte de frecuencias para la variable catlab, observar

que ahora solo son consideradas las 50 observaciones que han sido seleccionadas.

Observacin:

Cualquier anlisis que usted solicite se efectuar solamente sobre las 50

observaciones seleccionadas.

Las observaciones que no han sido seleccionadas no se han perdido,

simplemente por ahora no se encuentran disponibles.

Si desea reestablecer todo el archivo de datos debe hacer lo siguiente:

Datos Seleccionar casos Todos los casos

6

Observe que ahora ya no se encuentran tachados los nmeros correspondientes a cada

caso. Nuevamente tenemos disponibles TODOS los casos, a pesar que la variable

filter_$ permanezca.

Es muy frecuente observar que quienes se inician en el manejo de esta herramienta

olvidan reestablecer toda la data y luego obtienen resultados solo de la ltima muestra

seleccionada.

7

Muestreo Aleatorio Sistemtico

La aplicacin del muestreo sistemtico se har siempre sobre el mismo archivo de datos

Employee data.sav :

Ejercicio 2.

Seleccione una muestra aleatoria sistemtica de 50 empleados

Recuerde que para l aplicacin de un muestreo sistemtico debemos determinar el valor

de K correspondiente al salto sistemtico o perodo de seleccin.

948,950

474 K

n

NK

Luego, de los primeros 9 registros del archivo de datos seleccionaremos uno,

aplicando el mismo procedimiento del muestreo aleatorio simple, a este elemento

seleccionado se le conoce como punto de arranque que se le puede denotar como A.

Posteriormente debemos seleccionar a partir de A, incluyendo A, cada 9 registros uno

para la muestra hasta completar los 50 registros solicitados para la muestra.

Por ejemplo: si A = X7 este sera el primer elemento seleccionado.

Luego seleccionamos: X16 , X25 , X34 , , X439 , X448

Para lograr esto con ayuda del SPSS, se debe seguir los pasos siguientes:

Eleccin del Punto de Arranque. Aplicaremos un muestreo aleatorio simple para

seleccionar un caso de los primeros nueve registrados en el archivo de datos.

Datos Seleccionar casos Muestra aleatoria de casos

8

En nuestro caso se ha seleccionado como Punto de arranque el caso 7: A = X7

Ahora viene la parte ms importante para la seleccin automtica de los siguientes

elementos de la muestra.

Primero recuperamos la seleccin de Todos los casos

9

Luego elegimos la opcin condicional para la seleccin de casos.

10

Al hacer picar en el botn S la op se mostrar la siguiente ventana, que ofrece una

serie de funciones dentro del Grupo de funciones

11

Dentro del Grupo de funciones Aritmticas podemos encontrar la funcin Mod

(Mdulo) que como seala el cuadro explicativo permite determinar el resto o residuo

de dividir una expresin numrica entre el mdulo.

Para subir la funcin elegida picamos en la flecha

Luego debemos indicar para cada signo de interrogacin lo que mostramos en el

siguiente cuadro.

12

Tenga en cuenta que:

id: es el cdigo del empleado asignado en el archivo de datos

K = 9 : es el periodo de seleccin o salto sistemtico

A = 7 : es el punto de arranque

n = 50 : es el tamao de la muestra

13

Lo que se busca en la primera expresin es encontrar los registros cuya divisin con el

valor de K nos de residuo CERO. La segunda expresin busca establecer un tope hasta

donde se debe verificar estos cocientes. Dado que el valor de K, al ser redondeado al

menor entero, suele ocasionar que sobren casos para realizar ms selecciones, esta

segunda expresin evitar que se tomen ms observaciones que las establecidas para la

muestra.

Observe que:

Si id = 1 1 + (9 7) entre 9 no muestra resto CERO el registro 1 no ser

seleccionado

Si id = 7 7 + (9 7) entre 9 si muestra resto CERO el registro 7 si ser

seleccionado

Si id = 447 447 + (9 7) entre 9 no muestra resto CERO el registro 447 no ser

seleccionado

Si id = 448 448 + (9 7) entre 9 si muestra resto CERO el registro 448 si ser

seleccionado

Picamos en: Continuar Aceptar

14

Observe en el cuadro siguiente que el primer registro seleccionado corresponde al punto

de arranque A = X7 seguido del X7 + 9 = X16

Observe que los dos ltimos casos seleccionados son precisamente: X439 y X448

Muestreo Aleatorio Estratificado

Recuerde que para l aplicacin de esta tcnica de muestreo debemos separar la

poblacin en sub-poblaciones homogneas. En nuestro caso generaremos un archivo

15

para cada estrato. El archivo de datos ha utilizar sigue siendo Employee data.sav. No

olvide que primero debe observar que tenga todos los casos del archivo disponibles.

Ejercicio 3.

Seleccione una muestra aleatoria estratificada de 50 empleados con asignacin

proporcional a la categora laboral.

Dado que la muestra se desea asignar proporcionalmente a la categora laboral podemos

solicitar una tabla de frecuencias para esta variable y as conocer el tamao de cada

estrato

En seguida hacemos los clculos para la determinacin del tamao de muestra para cada

estrato (categora laboral)

Categora Laboral Frecuencia Proporcin ni = ( Ni / N ) * n

Administrativo 363 ,7658 38,3 38

Seguridad 27 ,0570 2,8 3

Directivo 84 ,1772 8,9 9

Total 474 1,0 50

Para la conformacin de los estratos hacemos uso de la seleccin condicional:

Datos Seleccionar casos Si se satisface la condicin Si la op

16

Seleccionamos la variable catlab y la igualamos a 1 esto permitir seleccionar todos

los casos cuya categora laboral sea Administrativo (1).

Algo muy importante con el Resultado, ahora solicitaremos que Copie los casos

seleccionados a un nuevo conjunto de datos que llamaremos Administrativo,

obteniendo de esta manera nuestro primer estrato.

17

El resultado ser un nuevo archivo de datos que considera solo los 363 casos

correspondientes a Administrativos.

Repetimos el procedimiento anterior para generar el segundo y tercer estrato que

llamaremos respectivamente: Seguridad (catlab = 2) y Directivo (catlab = 3)

19

Observe que hasta aqu se ha logrado conformar el estrato que llamaremos Seguridad

que cuenta con 27 casos registrados.

20

Tenemos el estrato llamado Directivo conformado por 84 casos.

Muestra por estrato. Ahora estamos en condicin de aplicar un muestreo aleatorio

simple por cada estrato, seleccionando el nmero de observaciones calculado al inicio.

21

ADMINISTRATIVO

22

Ahora puede hacer uso de la tercera opcin de Resultados: Eliminar casos no

seleccionados

Es importante que est conciente que al elegir esta opcin los casos no seleccionados

sern eliminados sin posibilidad de volverles a recuperar.

23

Observe que el archivo correspondiente a la muestra seleccionada del estrato de

Administrativos cuenta con 38 casos.

SEGURIDAD

Del estrato Seguridad seleccionaremos con una muestra aleatoria simple de 3 de los 27

casos

No olvide elegir en Resultados la opcin de Eliminar casos no seleccionados. El

resultado debe ser un archivo correspondiente a Seguridad reducido a 3 casos.

24

DIRECTIVO

Si hacemos lo propio para el estrato de Directivos lograremos obtener este archivo

reducido a 9 casos de los 84 que muestra inicialmente.

Finalmente puede unir los tres archivos en uno solo teniendo la muestra total de 50

registros

25

Solicite un reporte de frecuencias para este ltimo archivo

26

Este resultado confirma que la muestra ha sido seleccionada conforme se ha solicitado,

respetando la asignacin proporcional a la categora laboral.


TEMA: INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPTESIS

26

Contenido Terico

Intervalo de Confianza y Prueba de Hiptesis para la media poblacional ()

cuando la varianza poblacional (2) es desconocida

Intervalo de Confianza y Prueba de Hiptesis para la diferencia de medias poblacionales (1- 2) de muestras independientes

Intervalo de Confianza y Prueba de Hiptesis para la diferencia de medias poblacionales (D) de muestras relacionadas

Introduccin

El SPSS facilita la obtencin de: intervalos de confianza, el valor calculado de la prueba

estadstica y p-valor para evaluar los siguientes parmetros:

Parmetro Intervalos de Confianza Pruebas de Hiptesis

Media poblacional ()

Razn de varianzas poblacionales

2221

Diferencia de medias poblacionales

de muestras independientes (1-2)

Diferencia de medias poblacionales

de muestras relacionadas (D)

Antes de iniciar el uso del programa para este tema, cabe indicar lo siguiente:

El SPSS asume siempre (ya sea para analizar uno o dos poblaciones) que las muestras provienen de poblaciones infinitas. Es decir, no considera en sus clculos

el factor de correccin de poblaciones finitas (f.c.p.f.).

Para el caso de una media poblacional y dos medias poblacionales solo analiza el caso cuando la varianza poblacional es desconocida. Es decir, siempre usa la

distribucin T tanto para obtener los estadsticos de prueba como los intervalos de

confianza.

Para el caso de pruebas de diferencia de medias poblacionales de muestras independientes o muestras relacionadas solo realiza la hiptesis cuando el valor

hipottico es igual a cero.

La prueba de hiptesis para la razn de varianzas poblacionales lo realiza mediante la prueba de Levene y no mediante la prueba F de Fisher.

El p-valor solo lo obtiene para pruebas de tipo bilateral, por lo que se debe tener mucho cuidado si se quiere utilizar estos valores en casos unilaterales.

27

Conceptos

El p valor (o sig)

Cuando se interpretan los reportes en pruebas de hiptesis, las conclusiones estn

basadas en una regla de decisin; sta se establece tendiendo en cuenta el riesgo que

asume el investigador de cometer un error de tipo I, siendo la probabilidad de este error

el nivel de significacin . Pero en algunas ocasiones, sin embargo, la decisin a tomar

puede realizarse con un nivel de significacin diferente, con lo cual seria til conocer

que tipo de decisin se puede adoptar segn el nivel de significacin real de una prueba

basndose en los datos observados. Este concepto actuar como contrapuesto al nivel de

significacin elegido antes de realizar la prueba.

p-valor: probabilidad que, bajo H0 el estadstico de contraste tome un valor al menos

tan alejado como el realmente obtenido.

Cuanto ms pequeo sea el p-valor mayor es la evidencia en contra de H0.

Intervalo de Confianza y Prueba de Hiptesis para la media

poblacional () cuando la varianza poblacional (2) es desconocida

El acceso se realiza mediante la siguiente secuencia

Analizar Comparar medias Prueba T para una muestra.

Ejemplo1

28

Los conductores metlicos o tubos huecos se usan en el cableado elctrico. En una

prueba de tubos de una pulgada, se obtuvieron los datos siguientes respecto del

dimetro exterior (en pulgadas).

1,281 1,288 1,292 1,289 1,291 1,293 1,293 1,291 1,289 1,288

1,287 1,291 1,290 1,286 1,289 1,286 1,295 1,296 1,291 1,286

Suponga que el dimetro exterior se distribuye normalmente.

a) Determine un intervalo del 90% de confianza para la media del dimetro exterior. Solucin:

Ingresamos a la opcin indicada anteriormente y pasamos la variable del recuadro

de la izquierda al de la derecha, utilizando el botn de la siguiente manera:

Como se puede apreciar el recuadro con el nombre Valor de prueba no se ha

considerado en este procedimiento, pues su utilidad es en las pruebas de hiptesis.

Dado que desea un intervalo al 90% de confianza se debe dar un clic en el botn

Opciones con lo cual aparecer la siguiente ventana

29

y all se debe indicar el nivel de confianza, posteriormente dar clic en Continuar para

volver a la ventana principal.

Al hacer clic en aceptar obtenemos:

Segn este resultado el intervalo de confianza para la media se encuentra en el rango de

1,288; 1,291

Tenemos un 90% de confianza de que el intervalo 1,288; 1,291 contenga al al

dimetro medio poblacional de los conductores metlicos usados en el cableado

elctrico

b) Pruebe la hiptesis de que la longitud media del dimetro exterior es de 1,29 pulgadas. Use un nivel de significacin de 0,05

Solucin:

Para probar la hiptesis de que la longitud media del dimetro exterior es de 1,29

procedemos de la misma manera que en la parte a)

Prueba para una muestra

1647.613 19 .000 1.289600 1.28825 1.29095Dimetro exterior

t gl Sig. (bilateral)

Diferencia

de medias Inf erior Superior

90% Intervalo de

conf ianza para la

diferencia

Valor de prueba = 0

Lmite inferior de confianza de la media

Lmite superior de confianza de la media

Estadsticos para una muestra

20 1.28960 .003500 .000783Dimetro exterior

N Media

Desviacin

tp.

Error tp. de

la media

Estimacin puntual de la media

30

Las hiptesis a contrastar son:

29,1:

29,1:

1

0

H

H

= 0,05.

Procedimiento:

Observe que en el recuadro Valor de prueba se ha digitado 1,29 es decir se ha

considerado el valor hipottico.

A pesar que nos indiquen que se utiliza un nivel de significacin de 0,05 este no es

ingresado en la ventana de Opciones como si ocurri en el intervalo de confianza.

Al hacer clic en el botn aceptar obtenemos:

Como 29,1:0 H frente a 29,1:1 H se trata por tanto de una prueba de hiptesis

de dos colas (bilateral), el estadstico de prueba toma el valor -0,511. En este caso no

podemos rechazar la hiptesis nula, el valor p de 0,615 es mayor que el nivel de

significacin de 0,10.

Estadsticos para una muestra

N Media Desviacin tp.

Error tp. de la

media

Dimetro exterior (en pulgadas) 20 1,28960 ,003500 ,000783

Prueba para una muestra

-.511 19 .615 -.000400 -.00175 .00095Dimetro exterior


Diferencia

de medias Inf erior Superior

90% Intervalo de

conf ianza para la

diferencia

Valor de prueba = 1.29

31

Bajo un nivel de significacin del 10% concluimos que la longitud media del dimetro

exterior de los tubos usados en el cableado elctrico es de 1,29 pulgadas

Observacin:

Puede calcularse el intervalo de confianza de la media sumando a la media hipottica los valores -0,00175 y 0,00095 de la tabla anterior y obtenemos el

mismo resultado que en la parte a)

Cuando la prueba de hiptesis es de una sola cola se debe observar el signo del tcalculado

Si el t calculado es negativo: El sig de una prueba unilateral izquierda es sig/2; y el sig de una prueba

unilateral derecha es 1-sig/2.

Si el t calculado es positivo: El sig de una prueba unilateral izquierda es 1-sig/2; y el sig de una prueba

unilateral derecha es sig/2.

Por ejemplo si se quieren hacer las siguientes hiptesis

0

1

: 1,29

: 1,29

H

H

Sig = 0,615/2 = 0,3075

y

0

1

: 1,29

: 1,29

H

H

Sig = 1- 0,615/2 = 0,6925

Valor de la estadstica

de prueba

El criterio de decisin se basa

en la comparacin de esta

probabilidad con el nivel de

significacin de la prueba

32

Intervalo de Confianza y Prueba de Hiptesis para la diferencia de

medias poblacionales (1- 2) cuando las varianzas poblacionales son

desconocidas y las muestras provienen de poblaciones independientes.


Analizar Comparar medias Prueba T para una muestras independientes

Ejemplo 2.

Se piensa que el rendimiento de combustible en un modelo especfico de automvil

sera ms alto si se utiliza gasolina sin plomo Premium que con la gasolina sin plomo

Normal. A fin de recopilar datos para sustentar esta afirmacin, se selecciona en forma

aleatoria 10 vehculos de una lnea de montaje y se prueban con una marca especifica de

gasolina Premium, adems de seleccionar al azar otros 10 y probarlos con la de gasolina

Normal. Las pruebas se realizan bajo condiciones controladas idnticas. Los datos

resultantes son los siguientes:

Premium 35,0 34,5 31,6 32,4 34,8 31,7 35,4 35,3 36,6 36,0

Normal 40,0 29,6 32,1 35,4 34,0 34,8 34,6 34,8 32,6 32,2

34.5

Suponga que el rendimiento de combustible se distribuye normalmente

33

a) Determine e interprete un intervalo del 99% de confianza para la diferencia promedio poblacional del rendimiento de la gasolina sin plomo Premium y de la

gasolina sin plomo Normal

Solucin:

Comenzamos introduciendo los datos en el editor Vista de datos del SPSS creando

dos variables (columnas): en la primera columna se deben ingresar todos los datos

de los rendimientos de los dos tipos de gasolinas y en la segunda columna se debe

ingresar cdigos que identifiquen el tipo de gasolina:

1: gasolina sin plomo Premium (deben existir tantos 1 como repeticiones tiene el

tipo de gasolina sin plomo Premium) y

2: gasolina sin plomo normal (deben existir tantos 2 como repeticiones tiene el tipo

de gasolina sin plomo Normal)

Ingresamos a la opcin indicada anteriormente y pasamos los datos de la columna 1

al recuadro de Variables para contrastar y los datos de la columna 2 al recuadro

de Variable de agrupacin, de la siguiente manera:

En Variable de agrupacin se debe definir los cdigos de los grupos que se desean

comparar. Para definir los cdigos se ingresa el al botn Definir grupos y

posteriormente se da un clic en el botn Continuar:

34

Como nos piden un intervalo del 99% de confianza dar un clic al botn Opciones

para definir ah el nivel de confianza.

Los resultados obtenidos se presentan a continuacin:

Podemos apreciar que el SPSS nos brinda los resultados para varianzas

desconocidas asumiendo varianzas iguales y diferentes.

Para determinar cual de los dos intervalos es el correcto debemos utilizar la Prueba

de Levene y comparar el Sig =0.535 de la Prueba de Levene con el . Como en este

caso el sig> asumimos los resultados obtenidos para varianzas homogneas

Estadsticos de grupo

10 34.370 1.8105 .5725

10 33.980 2.6720 .8450

Tipo_gas

Gasolina sin

plomo premium

Gasolina sin

plomo normal

Rend

N Media

Desviacin

tp.

Error tp. de

la media

Prueba de muestras independientes

.401 .535 .382 18 .707 .3900 1.0207 -2.5479 3.3279

.382 15.825 .707 .3900 1.0207 -2.5955 3.3755

Se han asumido

varianzas iguales

No se han asumido

varianzas iguales

Rend

F Sig.

Prueba de Lev ene

para la igualdad de

varianzas


Dif erencia

de medias

Error tp. de

la diferencia Inf erior Superior

99% Interv alo de

conf ianza para la

diferencia

Prueba T para la igualdad de medias

Lmite inferior de

confianza para la

diferencia de

medias asumiendo

varianzas iguales

0,535 >0,01: No se

rechaza la hiptesis

nula de varianzas

iguales

Lmite Superior de

confianza para la

diferencia de

medias asumiendo

varianzas iguales

35

La interpretacin para el intervalo sera la siguiente:

Existe un 99% de confianza de que el intervalo -2,5479; 3,3279 contenga la

diferencia media poblacional del rendimiento medio de la gasolina sin plomo

Premium y de la gasolina sin plomo Normal.

b) Realice una prueba de hiptesis para comparar la media de rendimiento de combustible con esas dos gasolinas. Use un nivel de significacin del 1%. Interprete

los resultados en el contexto del problema.

En este caso aprovechamos el reporte anterior para dar respuesta a la siguiente

hiptesis:

22

1

22

0

:

:

NP

NP

H

H

De igual manera que para intervalos de confianza, para determinar si las varianzas

son homogneas o no, debemos hacer uso del Sig =0.535 de la Prueba de Levene y

compararlo con el .

Como en este caso el sig> asumimos los resultados obtenidos para varianzas

homogneas

Para evaluar la hiptesis de inters

NP

NP

H

H

:

:

1

0

=0,01

Prueba de muestras independientes

.401 .535 .382 18 .707 .3900 1.0207 -2.5479 3.3279

.382 15.825 .707 .3900 1.0207 -2.5955 3.3755

Se han asumido

varianzas iguales

No se han asumido

varianzas iguales

Rend

F Sig.

Prueba de Lev ene

para la igualdad de

varianzas


Dif erencia

de medias

Error tp. de

la diferencia Inf erior Superior

99% Interv alo de

conf ianza para la

diferencia

Prueba T para la igualdad de medias

Valor del estadstico de

prueba cuando las

varianzas son similares

p = 0,707 >0,01: No se

rechaza la hiptesis nula

de medias iguales

36

Conclusin:

Bajo un nivel de significacin del 1% concluimos que los rendimientos medios de

ambos tipos de gasolinas no son diferentes.

Intervalo de Confianza y Prueba de Hiptesis para la diferencia de

medias poblacionales (D) de muestras relacionadas


Analizar Comparar medias Prueba T para una muestras relacionadas

Ejemplo 3.

Se realiz un estudio para determinar si el nivel de exportacin (en miles de $) de 10

exportadores de esprragos ha variado. Se recolect la siguiente informacin:

Ao Exportador

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2006 17,5 17,2 15,8 16,2 17,4 15,8 17,7 17,6 18,3 18.0

2007 19,2 17,4 16.0 18,1 17.0 16,3 18,3 16,4 18.0 19,2

Suponga que el nivel de exportacin se distribuye normalmente

a) Determine e interprete un intervalo del 95% de confianza para la diferencia promedio del nivel de exportacin en el periodo 2006-2007

37

Solucin:

Comenzamos introduciendo los datos de cada ao en dos columnas diferentes en el

editor Vista de datos del SPSS.

Ingresamos a la opcin indicada anteriormente y pasamos los datos de cada columna

en los recuadros con encabezado Variable1 y Variable2. Esta versin del SPSS

permite hacer varias comparaciones a la vez.

Si quiere hacer la diferencia del segundo grupo menos el primer grupo puede hacer

uso del botn

Los resultados obtenidos se presentan a continuacin:

Estadsticos de muestras relacionadas

Media N Desviacin tp.

Error tp. de la

media

Par 1 ao1 17,1300 10 ,90068 ,28482

ao2 17,5900 10 1,15993 ,36680

Correlaciones de muestras relacionadas

N Correlacin Sig.

Par 1 ao1 y ao2 10 ,590 ,073

38

Prueba de muestras relacionadas

Diferencias relacionadas

Media

Desviacin

tp.

Error tp. de la

media

95% Intervalo de confianza

para la diferencia

t gl

Sig.

(bilateral) Inferior Superior

Par 1 ao1 - ao2 -,46000 ,96171 ,30412 -1,14797 ,22797 -1,513 9 ,165

El intervalo del 95% confianza que va de [-1,14797; 0,22797] brinda un 95% de

confianza de contener a la diferencia de medias de los niveles de exportacin en el

periodo 2006-2007

c) Realice una prueba de hiptesis para comparar si el nivel de exportacin se ha mantenido igual. Use un nivel de significacin del 1%. Interprete los resultados en

el contexto del problema.

Para evaluar la hiptesis de inters

0

1

: 0

: 0

H D

H D

=0,01

sig = 0,165 > no se rechaza H0.

Conclusin

Existe suficiente evidencia estadstica a un nivel de significacin de 0,05 para no

rechazar H0.

Por lo tanto no podemos afirmar que los niveles de exportacin han variado.

39


TEMA: ANLISIS DE VARIANZA

40

ANLISIS DE VARIANZA DE UNA VA

DISEO COMPLETO AL AZAR

1) Un exceso de ozono en el aire es seal de contaminacin. Se tomaron seis muestras de aire en cada uno de cuatro sitios industriales y se determin el contenido de

ozono. Las concentraciones de ozono (en partes por milln) se presentan en la

siguiente tabla.

Sitios

N I II III IV

1 0,08 0,15 0,13 0,05

2 0,10 0,09 0,10 0,11

3 0,09 0,11 0,15 0,07

4 0,07 0,10 0,09 0,09

5 0,09 0,08 0,09 0,11

6 0,06 0,13 0,17 0,08

Creacin del archivo

En la ventana de Vista de variables: genere las variables: ozono y sitio. Los valores de

la variable sitio deben estar codificadas de la siguiente forma:

Digite los datos en Vista de

datos.

41

a) Los datos proporcionan prueba suficiente que indiquen diferencias en el

contenido medio de ozono entre los cuatro sitios? Use 05,0 .

En Dependientes: Ingrese la variable Ozono.

En Factor: Ingrese la variable Sitio.

42

b) Verifique el supuesto de homogeneidad de varianzas. Use 05,0 .

c) A partir de los resultados de (a), use las pruebas de Duncan y DMS para probar

diferencias en los contenidos de concentraciones de ozono de los diferentes

sitios. Use 05,0 .

Para ello, en la ventana de Post hoc, seleccione las pruebas solicitadas.

43

Los resultados obtenidos se muestran a continuacin:

ANOVA de un factor

Con relacin a la pregunta (b), verifique el supuesto de homogeneidad de varianzas.

Use 05,0 .

Las hiptesis a formular son:

H0: Las varianzas del contenido de ozono entre los cuatro sitios son iguales

H1: Al menos una varianza diferente al resto de los lugares.

Como sig =0,151 > 05,0 , entonces no se rechaza el supuesto de homogeneidad de

las varianzas.

Con relacin a la pregunta (a), los datos proporcionan prueba suficiente que indiquen

diferencias en el contenido medio de ozono entre los cuatro sitios? Use =0,05.

Las hiptesis a formular son:

H0: No hay diferencias en el contenido medio de ozono entre los cuatro sitios

H1: S hay diferencias en el contenido medio de ozono entre los cuatro sitios

Como sig =0.035 < 05,0 , entonces se concluye que s hay diferencias en el

contenido medio de ozono entre los cuatro sitios.

44

Pruebas post hoc

Subconjuntos homogneos Grfico de las medias

Una limitacin de esta forma de acceso a la prueba, es que no permite obtener

los residuos del modelo que se establece en el anlisis, en consecuencia no

podemos realizar la verificacin del supuesto de Normalidad de los errores. Por

ello mostraremos otra forma de ingreso a la prueba: Analizar Modelo lineal

general - Univariante

45

Seleccionamos la variable de Dependiente (Concentracin de ozono) y el Factor

(Sitio) lo ubicamos como Factor Fijo.

Luego en Post hoc, seleccionamos el Factor Sitio y lo trasladamos al campo de

Contrastes post hoc. Activamos las pruebas de DMS y Duncan

46

Continuamos y vamos a Guardar, en donde activaremos los Residuos

Estandarizados

Continuamos y vamos a Opciones, para solicitar la Prueba de homogeneidad.

Aqu encontramos el nivel de significacin para las pruebas de Duncan, as que

es importante observar con que nivel de significacin se est realizando el

estudio.

47

Los resultados que se obtienen son los siguientes:

Anlisis de varianza univariante

48

Pruebas post hoc

Sitio

Subconjuntos homogneos

49

Hasta aqu no se ha presentado ninguna salida que permita evaluar la

Normalidad de los Residuos, sin embargo en el archivo correspondiente a vista

de datos podemos observar que aparece una nueva columna denominada RES_1

que corresponden a los Residuos de la variable en estudio

Aplicamos la Prueba no paramtrica de K-S de una muestra

50

Seleccionamos la variable Residuo para Concentracin de ozono y la

tomamos como variable a contrastar

Obtenemos como resultado la tabla correspondiente a la Prueba de

Kolmogorov Smirnov para una muestra de la variable Residuo para

Concentracin.

51

DISEO FACTORIAL: ANOVA DE DOS VAS

Se condujo un experimento para determinar si la temperatura del fuego o la posicin en

el horno afectan la densidad de endurecimiento de un nodo de carbn. Los datos son

los siguientes:

Posicin

Temperatura (C)

800 825 850

1

570 1063 565

565 1080 510

583 1043 590

2

528 988 526

547 1026 538

521 1004 532

Analice los datos al nivel de significacin de 0.05.

Solicitando el anlisis para el diseo factorial

52

En Variable dependiente:

colocar densidad

En factores fijos:

posicin y temperatura

Dar click en Modelo

En modelo

Solicitar los grficos de perfil

53

En la primera pantalla, dar clic en Opciones y solicitar el anlisis para verificar la

homogeneidad de varianzas. Tambin solicite las estimaciones para las medias

marginales.

Para obtener las comparaciones mltiples, en la primera pantalla dar click en Post Hoc

y seleccionar DMS (en ingls LSD) y la prueba de Duncan.

54

Para estimar los residuales, siga el procedimiento siguiente:

55

Salidas


Factores inter-sujetos

800 C 6

825 C 6

850 C 6

Posicin 1 9

Posicin 2 9

800

825

850

Temperatura

1

2

Posicin

Etiqueta

del valor N

.ijy

.ijijk yy

56

Contraste de Levene sobre la igualdad de las varianzas errora

Variable dependiente: Densidad

2.572 5 12 .084

F gl1 gl2 Signif icacin

Contrasta la hiptesis nula de que la varianza error de la

variable dependiente es igual a lo largo de todos los grupos.

Diseo:

Interseccin+Temperatura+Posicin+Temperatura *

Posicin

a.

Pruebas de los efectos inter-sujetos


953320.278a 5 190664.056 426.012 .000

9072380.056 1 9072380.1 20270.958 .000

945342.111 2 472671.056 1056.117 .000

7160.056 1 7160.056 15.998 .002

818.111 2 409.056 .914 .427

5370.667 12 447.556

10031071.0 18

958690.944 17

FuenteModelo corregido

Interseccin

Temperatura

Posicin

Temperatura * Posicin

Error

Total

Total corregida

Suma de

cuadrados

tipo III gl

Media

cuadrtica F Signif icacin

R cuadrado = .994 (R cuadrado corregida = .992)a.

Medias marginales estimadas

1. Media global


709.944 4.986 699.080 720.809

Media Error tp. Lmite inferior Lmite superior

Intervalo de confianza al 95%.

2. Temperatura

Estimaciones


552.333 8.637 533.516 571.151

1034.000 8.637 1015.182 1052.818

543.500 8.637 524.682 562.318

Temperatura

800 C

825 C

850 C



57

Comparaciones por pares


-481.667* 12.214 .000 -508.279 -455.054

8.833 12.214 .483 -17.779 35.446

481.667* 12.214 .000 455.054 508.279

490.500* 12.214 .000 463.888 517.112

-8.833 12.214 .483 -35.446 17.779

-490.500* 12.214 .000 -517.112 -463.888

(J) Temperatura

825 C

850 C

800 C

850 C

800 C

825 C

(I) Temperatura

800 C

825 C

850 C

Diferencia entre

medias (I-J) Error tp. Significacina

Lmite inferior Lmite superior

Intervalo de confianza al 95 %

para la di ferenciaa

Basadas en las medias marginales estimadas.

La diferencia de las medias es significativa al nivel .05.*.

Ajuste para comparaciones mltiples: Diferencia menos significat iva (equivalente a la ausencia de ajuste).a.

Contrastes univariados


945342.111 2 472671.056 1056.117 .000

5370.667 12 447.556

Contraste

Error

Suma de

cuadrados gl

Media

cuadrtica F Significacin

Cada prueba F contrasta el efecto simple de Temperatura en cada combinacin de

niveles del resto de los efectos mostrados. Estos contrastes se basan en las

comparaciones por pares, linealmente independientes, ent re las medias marginales

estimadas.

3. Posicin

Estimaciones


729.889 7.052 714.524 745.254

690.000 7.052 674.635 705.365

Posicin

Posicin 1

Posicin 2



Comparaciones por pares


39.889* 9.973 .002 18.160 61.618

-39.889* 9.973 .002 -61.618 -18.160

(J) P osicin

Posicin 2

Posicin 1

(I) P osicin

Posicin 1

Posicin 2

Diferencia ent re

medias (I-J) Error tp. Significacina

Lmite inferior Lmite superior

Intervalo de confianza al 95 %

para la di ferenciaa

Basadas en las medias marginales estimadas.

La diferencia de las medias es signi ficativa al nivel .05.*.

Ajuste para comparaciones mltiples: Diferencia menos significativa (equivalente a la ausencia de ajuste).a.

58

Contrastes univariados


7160.056 1 7160.056 15.998 .002

5370.667 12 447.556

Contraste

Error

Suma de

cuadrados gl

Media

cuadrtica F Significacin

Cada prueba F contrasta el efecto simple de Posicin en cada combinacin de niveles

del resto de los efectos mostrados. Estos contrastes se basan en las comparaciones por

pares, linealmente independientes, entre las medias marginales estimadas.

4. Temperatura * Posicin


572.667 12.214 546.054 599.279

532.000 12.214 505.388 558.612

1062.000 12.214 1035.388 1088.612

1006.000 12.214 979.388 1032.612

555.000 12.214 528.388 581.612

532.000 12.214 505.388 558.612

Posicin

Posicin 1

Posicin 2

Posicin 1

Posicin 2

Posicin 1

Posicin 2

Temperatura

800 C

825 C

850 C



Pruebas post hoc

Temperatura

Comparaciones mltiples


-481.67* 12.214 .000 -508.28 -455.05

8.83 12.214 .483 -17.78 35.45

481.67* 12.214 .000 455.05 508.28

490.50* 12.214 .000 463.89 517.11

-8.83 12.214 .483 -35.45 17.78

-490.50* 12.214 .000 -517.11 -463.89

(J) Temperatura

825 C

850 C

800 C

850 C

800 C

825 C

(I) Temperatura

800 C

825 C

850 C

DMS

Diferencia ent re

medias (I-J) Error tp. Significacin Lmite inferior Lmite superior


Basado en las medias observadas.

La diferencia de medias es significativa al nivel .05.*.

59


Densidad

6 543.50

6 552.33

6 1034.00

.483 1.000

Temperatura

850 C

800 C

825 C

Significacin

Duncana,bN 1 2

Subconjunto

Se muestran las medias para los grupos en subconjuntos homogneos.

Basado en la suma de cuadrados tipo I

El trmino error es la Media cuadrtica (Error) = 447.556.

Usa el tamao muestral de la media armnica = 6.000a.

Alfa = .05.b.

Grficos de perfil

850 C825 C800 C

Temperatura

1100

1000

900

800

700

600

500

Med

ias m

arg

inale

s e

sti

mad

as

Posicin 2

Posicin 1

Posicin

Medias marginales estimadas de Densidad

Posicin 2Posicin 1

Posicin

1100

1000

900

800

700

600

500

Media

s m

arg

inale

s e

stim

adas 850 C

825 C

800 C

Temperatura

Medias marginales estimadas de Densidad

60

DISEO BLOQUES COMPLETOS ALEATORIOS

2) Un ingeniero industrial prueba cuatro distribuciones diferentes para el piso de una tienda; encarga a cada una de seis cuadrillas construir una subdivisin y mide los

tiempos de construccin (en minutos) como sigue:

Distribucin 1 Distribucin 2 Distribucin 3 Distribucin 4

Cuadrilla A 48.2 53.1 51.2 58.6

Cuadrilla B 49.5 52.9 50.0 60.1

Cuadrilla C 50.7 56.8 19.9 62.4

Cuadrilla D 48.6 50.6 47.5 57.5

Cuadrilla E 47.1 51.8 49.1 55.3

Cuadrilla F 52.4 57.2 53.5 61.7

Pruebe en el nivel de significacin 0,01 si las cuatro distribuciones del piso

producen tiempos de construccin diferentes y si algunas de las cuadrillas de

trabajo son consistentemente ms rpidas al construir la subdivisin que las otras.

Anlisis de varianza utilizando: ANOVA de dos factores

62

Los resultados obtenidos son:


63

Pruebas post hoc

Distribucin


64

Cuadrilla

65


Grficos de perfil

66

Anlisis de Normalidad de los Residuos

67

Ejecutamos la prueba de K-S para los Residuos

68

Anlisis de Homogeneidad de varianzas para el Factor Distribucin. Observe

que en esta ocasin ya no consideramos al bloque (Cuadrilla) como un Factor

fijo.

69

Continuar y Aceptar

70


TEMA: PRUEBAS CHI CUADRADO

71

Contenido Terico:

Prueba de Independencia

Prueba de Homogeneidad

Prueba de Bondad de ajuste

Introduccin

Una de las mayores utilidades de la distribucin Ji-Cuadrado est en que permite

comparar frecuencias observadas (frecuencias obtenidas en un experimento o

muestreo) con frecuencias esperadas segn un modelo supuesto (hiptesis nula).

Esta caracterstica de la distribucin Ji-cuadrado permite efectuar las siguientes

pruebas:

Prueba de independencia.

Prueba de homogeneidad de subpoblaciones.

Pruebas de bondad de ajuste a una distribucin de probabilidades.

La metodologa en cada uno de los tres casos es muy similar. La diferencia principal

est en la forma en que se calculan las frecuencias esperadas, ya que estas

dependern de la hiptesis nula en cuestin.

I. PRUEBA DE INDEPENDENCIA Y DE HOMOGENEIDAD

Caso1. Cuando cada fila de la BD representa varios casos.

Los grandes almacenes Premium vende vales de regalo durante la temporada de

Navidad. El gerente de ventas, Leo Marinni, quiere determinar si el valor de un

vale tiene alguna relacin con lo que el cliente compra con dicho vale. Los datos

recogidos de una muestra de clientes que asistieron durante el ltimo mes son:

Departamento

Frecuencias observadas

Valor del vale

$10 $50 $100+

Electrodomsticos 22 26 54

Ropa 33 31 22

Herramientas 41 43 19

Pruebe si el valor del vale se relaciona con lo que el cliente compra. Use = 0,05.

1 Digitar la siguiente base de datos:

72

2 Ponderar los casos.

Ponderar los casos por la variable N clientes (frecuencia)

73

3 Finalmente correr el programa para tablas de contingencia.

Dar clic en Estadsticos para seleccionar la opcin de prueba chi-cuadrado

Para obtener las frecuencias esperadas y los porcentajes fila, columna y total,

ingresar a Casillas y marcar lo que se necesite analizar:

74

Ho: Existe independencia entre variables (departamento y valor del vale)

H1: No existe independencia entre variables

A la vista de los resultados el Valor-P = 0.000 es menor que nuestro nivel de

significacin 5% por lo que se rechaza la hiptesis nula.

Por lo tanto, con un nivel de significacin del 5% no podemos afirmar que exista

independencia entre las variables sujetas a evaluacin.

Caso 2. Cuando cada fila de la BD representa un solo caso.

Para la explicacin del tema tomaremos las variables cualitativas nivel de educacin y

regin de nacimiento de la base de datos encuesta.sav.

Los 300 datos se presentan de la siguiente manera:

75

Luego, en la opcin: estadsticos marcar chi-cuadrado

76

Los resultados que se obtienen se muestran a continuacin:

Ho: Existe independencia entre variables (Regin de nacimiento y nivel educativo)

H1: No existe independencia entre variables

A la vista de los resultados el Valor-P = 0.722 es mayor que nuestro nivel de

significacin 5% por lo que no se rechaza la hiptesis nula.

Por lo tanto, con un nivel de significacin del 5% podemos afirmar que existe

independencia entre las variables sujetas a evaluacin.

77

NOTA: Cabe recordar que la prueba chi-cuadrado propone como condicin que las frecuencias esperadas sean mayores que 5. En el ltimo reporte del SPSS se indica que

el 48% de las casillas tienen frecuencia esperada inferior a 5 por lo que ser necesario

juntar columnas (en este caso).

II. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

SPSS nos permite realizar pruebas de bondad de ajuste. Es decir, contrastar si las

frecuencias observadas en cada una de las clases de una variable categrica varan de

forma significativa de las frecuencias que se esperara encontrar si la muestra hubiese

sido extrada de una poblacin con una determinada distribucin de frecuencias.

Esta prueba Chi-cuadrado se obtiene a partir del men Pruebas no paramtricas

dentro del men principal Analizar. En el cuadro de dilogo debemos introducir la

variable categrica que queremos analizar y posteriormente las frecuencias esperadas

bajo la hiptesis que queremos contrastar.

En el apartado de valores esperados debemos elegir, bien la opcin de homogeneidad

a lo largo de todas las clases, o bien debemos introducir, en el mismo orden en el que

aparecen en el archivo de datos, las frecuencias esperadas.

Debe recordarse que la suma de los valores observados en la muestra debe ser igual a la

suma de valores esperados.

CASO 1. FRECUENCIAS ESPERADAS IGUALES

Tomaremos los datos del archivo: encuesta.sav

78

Seleccionaremos la variable NIVEDUC (Nivel educativo) para determinar, inicialmente

si el porcentaje de personas para cada categora de nivel educativo es el mismo.

La opcin que aparece marcada por defecto en Rango esperado, es decir obtener de

los datos, implica que cada valor de la variable ser considerado una categora.

La opcin que aparece marcada por defecto en Valores esperados, es decir todas las

categoras iguales, implica que la distribucin de probabilidades es uniforme para

todas las categoras consideradas (para nuestro ejemplo 296 datos entre 5 categoras).

Los resultados obtenidos son:

79

Ho: La distribucin de nivel educativo es la misma para las 5 categoras

H1: La distribucin de nivel educativo no es la misma para las 5 categoras



CASO 2. FRECUENCIAS ESPERADAS DESIGUALES

Alternativamente tenemos la opcin de especificar las frecuencias esperadas

porcentuales para cada categora de la variable categrica. El orden en que se

especifiquen los datos corresponde a los valores de la variable en orden ascendente.

Recordemos previamente que la codificacin asignada a esta variable es la siguiente:

80

Asumamos que lo que se propone como hiptesis estipula que el porcentaje de la

categora Primaria es 20%, Secundaria 50%, Preparatoria10%, Universidad 15%,

Especializacin 5%.

En la opcin Valores esperados marcamos valores luego ingresamos cada porcentaje y

pulsamos aadir. Luego aceptar:

Los resultados obtenidos se muestran a continuacin:

81



82


TEMA: REGRESIN LINEAL Y NO LINEAL

83

Contenido Terico:

Matriz de correlaciones.

Regresin lineal simple.

Regresin curvilineal.

Introduccin

En el anlisis estadstico se tienen mtodos que nos permiten determinar si dos o ms

variables se relacionan. La relacin entre variables nos permite disponer de los

elementos suficientes para, en base a una muestra de pares de datos de las variables,

realizar estimaciones de las proyecciones para uno o ms datos de una de las variables

involucradas.

En esta oportunidad nos ocuparemos de la correlacin y la regresin entre los datos de

dos variables numricas utilizando SPSS para el anlisis correspondiente.

A continuacin se muestra la base de datos con la que se explicar los procedimientos

involucrados al realizar un anlisis de regresin lineal simple.

Los datos corresponden a las ventas totales por ao de cada una de 11 regiones en las

que una compaa opera. Dicha compaa se dedica a la venta de repuestos para

automviles. Se pretende estimar el valor de las ventas futuras conociendo el nmero de

distribuidoras establecidas en cada regin y el nmero de automviles vendidos para

cada regin.

84

MATRIZ DE CORRELACIONES

El primer paso que daremos consiste en revisar si existe correlacin entre las variables

de esta base de datos, con este fin realizaremos la matriz de correlaciones. Analizando

esta matriz se podr determinar cul de las variables independientes: Regin, N de

distribuidoras o N de autos vendidos, est ms correlacionada con la variable

dependiente Ventas.

Para realizar la matriz de correlaciones:

Men Analizar >> Correlaciones >> Bivariadas:

En el cuadro dialogo de Correlaciones Bivariadas:

Elige las variables Ventas, Nro_Distrib y Nro_Autos. Utiliza el

Mouse y la tecla Ctrl.

Arrastra y suelta las variables en el panel en blanco Variables.

Revise que este activado Pearson en Coeficiente de correlacin.

85

Clic en aceptar.

Obtenemos el siguiente resultado:

Se observa que la variable ventas est ms correlacionada con la variable Nmero de

distribuidoras (correlacin 0.739) por lo que un primer paso ser realizar un anlisis de

regresin lineal simple con esta variable independiente.

REGRESION LINEAL SIMPLE ENTRE LA VARIABLE

INDEPENDIENTE MS CORRELACIONADA CON Y

La secuencia es:

86

Analizar >> Regresin >> Lineal, se mostrar el siguiente cuadro de dilogo:

En el cuadro dialogo que se habre:

Arrastre la Variable Ventas a la casilla de

Dependientes.

Arrastre la variable Nro_distrb a la casilla de

Independiente.

Clic en Aceptar.

87

Por el momento slo se proceder a obtener la ecuacin del modelo as como algunos

valores representativos para la validacin de dicho modelo.

Un anlisis ms riguroso del modelo y su validacin se har para el caso de regresin

lineal mltiple.

Resultados obtenidos:

Resumen del modelo

.739a .546 .496 9.7718

Modelo

1

R R cuadrado

R cuadrado

corregida

Error tp. de la

estimacin

Variables predictoras: (Constante), Nro distribuidorasa.

El coeficiente de determinacin, denotado por R2 (0.546) implica que el 54.6% de

variacin en las ventas pueden ser explicadas por el modelo de regresin.

ANOVAb

1033.836 1 1033.836 10.827 .009a

859.393 9 95.488

1893.229 10

Regresin

Residual

Total

Modelo

1

Suma de

cuadrados gl

Media

cuadrtica F Sig.

Variables predictoras: (Constante), Nro distribuidorasa.

Variable dependiente: Ventas (mills $)b.

La tabla de Anlisis de Varianza permite realizar la prueba de significacin global del

modelo, se propone las siguientes hiptesis:

modeloelparaivasignificatesvariableunamenoslAH

modelolancontribuye no variables lasconjuntaformaEnH

i

o

0:

0:

1

1

Analizando el P-Valor (0.009) (Sig), el cual es inferior al 5% (nivel de significacin

propuesto usualmente para la prueba), se decide que se debe rechazar la hiptesis nula

con lo cual concluimos que la variable Nmero de distribuidoras s contribuye

significativamente al modelo.

Coeficientesa

10.881 6.409 1.698 .124

.012 .004 .739 3.290 .009

(Constante)

Nro distribuidoras

Modelo

1

B Error tp.

Coef icientes no

estandarizados

Beta

Coef icientes

estandarizad

os

t Sig.

Variable dependiente: Ventas (mills $)a.

88

El modelo estimado para el presente caso ser:

)(012.0881.10 orasdistribuiddeNroentasV

Adems de la prueba de verificacin global se puede realizar la prueba de verificacin

individual de la variable independiente.

modeloelparaivasignificatesvariableLaH

modeloelparaivasignificatesnovariableLaH

i

io

0:

0:

1

Para el caso desarrollado (regresin lineal simple), esta prueba es anloga a la prueba de

verificacin global.

Una forma grfica de verificar la relacin lineal entre Y con X es realizar un grfico de

dispersin, el cul muestra la posible tendencia y/o relacin posible entre variable

dependiente e independiente.

La secuencia para obtener dicho grfico es la siguiente:

89

En este cuadro dialogo se

elige Dispersin simple.

En el cuadro de dilogo (Dispersin simple) se ingresar la informacin de la siguiente

manera:

El resultado que se obtiene es el siguiente:

90

REGRESIN NO LINEAL / CURVILINEAL

En el anlisis de regresin no todas las relaciones de variables se comportan de manera

lineal, en algunos casos la relacin se da de manera curvilnea. Se puede determinar este

tipo de relacin con el anlisis del diagrama de dispersin.

Analizaremos los diferentes modelos curvilneos que puedan formarse para determinar

cul de ellos es el mejor. Los datos se muestran a continuacin:

La secuencia para realizar una regresin curvilnea es la siguiente:

Men Analizar >> Regresin >> Estimacin Curvilnea. . .

Arrastre la variable Salario a Dependientes

Arrastre la variable Experiencia a

Independientes

Verifique que este activados los Modelos

de regresin.

Aceptar

91

Como se muestra, tenemos la posibilidad de elegir entre varios modelos. Para

desarrollar nuestro ejemplo hallaremos los coeficientes estimados y la tabla de anlisis

de varianza de los modelos: Lineal, Cuadrtico, Potencia y Exponencial.

Los resultados que obtenemos en la tercera tabla son los siguientes:

Resumen del modelo y estimaciones de los parmetros

Variable dependiente: Salario (miles US$) Ecuacin Resumen del modelo Estimaciones de los parmetros

R

cuadrado F gl1 gl2 Sig. Constante b1 b2

Lineal ,757 56,218 1 18 ,000 26,270 1,334

Logartmica ,850 102,140 1 18 ,000 18,034 10,768

Inversa ,626 30,149 1 18 ,000 45,516 -34,376

Cuadrtico ,876 60,189 2 17 ,000 19,126 3,363 -,087

Potencia ,800 71,854 1 18 ,000 20,614 ,309

Exponencial ,645 32,662 1 18 ,000 26,521 ,036

La variable independiente es: Aos de experiencia.

Se puede apreciar que los Valores P (Sig) son inferiores a = 0.05, por tanto en todos

los casos existe correlacin.

Si estudiamos los valores de R2 (Rcuadrado) nos podemos percatar de que el modelo

cuadrtico es el modelo ms eficiente (ms cercano a 1). Mientras que el modelo

logartmico es el segundo.

Para decidir realizamos nuevamente el anlisis con los modelos con mayor eficiencia

(mayor R2)

92

Logartmica

Resumen del modelo

R R cuadrado R cuadrado

corregida

Error tpico de

la estimacin

,922 ,850 ,842 4,018

La variable independiente es Aos de experiencia.

ANOVA

Suma de

cuadrados

gl Media

cuadrtica

F Sig.

Regresin 1648,640 1 1648,640 102,140 ,000

Residual 290,538 18 16,141

Total 1939,178 19

La variable independiente es: Aos de experiencia.

Coeficientes

Coeficientes no estandarizados Coeficientes

estandarizados

t Sig.

B Error tpico Beta

ln(Aos de experiencia) 10,768 1,065 ,922 10,106 ,000

(Constante) 18,034 2,099 8,590 ,000

En este caso el valor P para el coeficiente de la variable independiente (aos de experiencia) es menor que

= 0.05, por tanto se puede decir que es significativa para el modelo.

93

Cuadrtico

Resumen del modelo


corregida

Error tpico de la

estimacin

,936 ,876 ,862 3,757


ANOVA

Suma de

cuadrados

gl Media

cuadrtica

F Sig.

Regresin 1699,211 2 849,606 60,189 ,000

Residual 239,967 17 14,116

Total 1939,178 19


Coeficientes


estandarizados

t Sig.

B Error tpico Beta

Aos de experiencia 3,363 ,519 2,194 6,480 ,000

Aos de experiencia ** 2 -,087 ,022 -1,367 -4,040 ,001

(Constante) 19,126 2,232 8,568 ,000

En este caso el valor P para los coeficientes de la variable independiente (aos de experiencia) son

menores que = 0.05, por tanto se puede decir que son significativas para el modelo.

94

Cbico

Resumen del modelo


corregida

Error tpico de la

estimacin

,936 ,876 ,853 3,872

La variable independiente esAos de experiencia.

ANOVA

Suma de

cuadrados

gl Media

cuadrtica

F Sig.

Regresin 1699,253 3 566,418 37,773 ,000

Residual 239,925 16 14,995

Total 1939,178 19


Coeficientes


estandarizados

t Sig.

B Error tpico Beta

Aos de experiencia 3,300 1,303 2,153 2,532 ,022

Aos de experiencia ** 2 -,081 ,134 -1,259 -,602 ,556

Aos de experiencia ** 3 ,000 ,004 -,070 -,053 ,959

(Constante) 19,255 3,356 5,737 ,000

En este caso el modelo que mejor se ajusta es el cuadrtico.

En este caso el valor P para los coeficientes de grado 2 y 3 de la variable independiente (aos de

experiencia) son mayores que = 0.05, por tanto se puede decir que no son significativas para el modelo.

95

Entonces para la relacin Experiencia Salario el modelo que mejor se ajusta es el

cuadrtico con una eficiencia de 0.876 (R2).

96


TEMA: REGRESIN LINEAL MLTIPLE

97

Contenido:

Correlacin entre las variables del modelo.

Anlisis de Multicolinealidad

Mtodo de seleccin de variables: Hacia delante.

Modelo final.

Supuestos: Normalidad de los errores y homocedasticidad.

Para la explicacin de los procedimientos relacionados con el anlisis de regresin

mltiple, se usar el siguiente caso:

Estudios financieros han mostrado que el precio de una accin (P) est en razn directa del nivel

de endeudamiento de la empresa emisora (D) y con el dividendo (DR), pero en razn inversa del

nmero de acciones en circulacin (SO). Los datos indicados en la tabla estn en dlares para P,

en cientos de dlares para D, en dlares para DR y en millares de acciones en circulacin para

SO.

Correlacin entre las variables del modelo

En un problema de regresin lineal mltiple, en muchos de los casos las variables

independientes, estn en cierto grado correlacionadas unas con otras. Siempre que sea

posible, debe evitarse incluir variables independientes que estn fuertemente

correlacionadas.

Se realizar el anlisis de las correlaciones entre las variables involucradas en el estudio

Precio de una

accin (P)

Nivel de

endeudamiento (D)

Dividendo

(DR)

Nmero de acciones

en circulacin(SO)

52,50 12,00 2,10 100

14,25 3,40 0,69 37

35,21 7,10 1,70 68

45,21 10,40 1,81 90

17,54 4,00 0,70 32

22,00 5,10 0,88 45

37,10 8,50 1,50 78

29,12 6,70 1,20 60

46,32 10,65 1,85 95

49,30 11,34 2,00 99

98

Se considera las variables independientes: Nivel de endeudamiento de la empresa emisora

(D), Dividendo, nmero de acciones en circulacin

Definimos las variables en SPSS e introducimos los datos:

Para determinar la tabla de correlacin entre las variables involucradas en el modelo realizamos

lo siguiente:

Analizar >> Correlaciones >> Bivariadas

Elija las variables y arrstrelas al cuadro Variables

Verifique que este activado Pearson en Coeficientes de correlacin.

Aceptar.

99

Aqu seleccionamos las variables de inters, para obtener el siguiente resultado:

Correlaciones

Precio de

una accin (Y) (US$)

Nivel de endeudamiento (X1) (x100

US$)

Dividendo (X2) (US$)

Nmero de acciones en circulacin (X3) (miles)

Precio de una accin (Y) (US$)

Correlacin de Pearson

1 ,995** ,985

** ,991

**

Sig. (bilateral) ,000 ,000 ,000

N 10 10 10 10

Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$)


,995** 1 ,965

** ,991

**

Sig. (bilateral) ,000 ,000 ,000

N 10 10 10 10

Dividendo (X2) (US$)


,985** ,965

** 1 ,975

**

Sig. (bilateral) ,000 ,000 ,000

N 10 10 10 10



,991** ,991

** ,975

** 1

Sig. (bilateral) ,000 ,000 ,000

N 10 10 10 10

**. La correlacin es significativa al nivel 0,01 (bilateral).

Podemos observar que existe una alta correlacin entre la variable dependiente (precio

de una accin) y independientes, pero tambin la correlacin es alta entre las variables

independientes.

Correlacin entre las variables del modelo

El problema de multicolinealidad se presenta cuando existe una alta correlacin entre

variables independientes, como es el caso: Nivel de endeudamiento y el Nmero de

acciones en circulacin.0,991. Adems se comprueba la multicolinealidad siguiendo el

criterio propuesto en clase:

Menor correlacin entre Y y las Xs 0,985.

Existe correlacin entre X1 y X3 (entre Nivel de endeudamiento y el Nmero de

acciones en circulacin con un valor de 0,991 mayor que 0,985)

An en la presencia detectada de multicolinealidad estimaremos el modelo para

determinar lo adecuado que puede ser su uso para la prediccin:

Seguimos la siguiente secuencia:

Men Analizar >> Regresin >> Lineales

100

Traslade la variable Precio de una Accin

(P) a la casilla de

Dependientes.

Traslade las variables restantes a la

casilla de

Independientes.

Aceptar

Obtenemos los resultados siguientes:

Resumen del modelo

Modelo R R cuadrado R cuadrado

corregida

Error tp. de la

estimacin

1 1,000a 1,000 ,999 ,36223

a. Variables predictoras: (Constante), Nmero de acciones en circulacin

(X3) (miles), Dividendo (X2) (US$), Nivel de endeudamiento (X1) (x100

US$)

El porcentaje de variacin que es explicado por la ecuacin de regresin es del 100%.

ANOVAa

Modelo Suma de

cuadrados

gl Media

cuadrtica

F Sig.

1

Regresin 1685,572 3 561,857 4282,036 ,000b

Residual ,787 6 ,131

Total 1686,359 9

a. Variable dependiente: Precio de una accin (Y) (US$)

b. Variables predictoras: (Constante), Nmero de acciones en circulacin (X3) (miles), Dividendo

(X2) (US$), Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$)

101

En forma conjunta las variables son significativas para el modelo, considerando un nivel

de significacin del 5% (P-Valor = 0,000). Las hiptesis que se proponen son las

siguientes:

H0 : i = 0

H1 : i 0

El siguiente cuadro permite analizar la contribucin individual de cada variable

regresora al modelo propuesto:

Coeficientesa

Modelo

Coeficientes no estandarizados

Coeficientes tipificados

t Sig.

B Error tp. Beta

1

(Constante) -,480 ,374 -1,283 ,247

Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$)

3,371 ,294 ,771 11,452 ,000

Dividendo (X2) (US$) 10,727 1,022 ,422 10,493 ,000


-,097 ,042 -,185 -2,297 ,061


En forma individual, slo el trmino constante no es significativo para el modelo pues

su P-Valor (0,247) es mayor al nivel de significacin usual (5%). Las tres variables

contribuyen significativamente al modelo.

H0 : i = 0 La variable i no es significativa para el modelo

H1 : i 0 La variable i es significativa para el modelo

Mtodo de seleccin de variables: Hacia delante.

Se ha determinado hasta el momento que el modelo presenta deficiencias puesto que se

ha detectado un problema de multicolinealidad. Recuerde que se ha observado una alta

correlacin entre las variables: Nivel de endeudamiento (X1) y el Nmero de acciones

en circulacin (X3). La correlacin entre estas dos variables es ms alta que la

correlacin entre el precio de una accin y los dividendos.

El siguiente paso consiste en retirar las variables que presentan multicolinealidad y

analizar el nuevo modelo resultante.

Lo propuesto se puede realizar en la opcin: Mtodo. Al seleccionar Introducir, el

programa ir ingresando variables al modelo y a la vez verificar su contribucin.

102

Procedimiento:

Men Analizar >>

Regresin >>

Lineales . . .

En el cuadro dialogo slo se debe

elegir Adelante en

Mtodo.

Aceptar

Obtenemos el siguiente resultado:

Resumen del modelo

Model

o

R R

cuadrado

R cuadrado

corregida

Error tp. de

la estimacin

1 ,995a ,990 ,988 1,47901

2 1,000b ,999 ,999 ,45976

a. Variables predictoras: (Constante), Nivel de endeudamiento (X1)

(x100 US$)

b. Variables predictoras: (Constante), Nivel de endeudamiento (X1)

(x100 US$), Dividendo (X2) (US$)

ANOVAa

Modelo Suma de

cuadrados

gl Media

cuadrtica

F Sig.

1

Regresin 1668,859 1 1668,859 762,918 ,000b

Residual 17,500 8 2,187

Total 1686,359 9

2

Regresin 1684,879 2 842,440 3985,359 ,000c

Residual 1,480 7 ,211

Total 1686,359 9


b. Variables predictoras: (Constante), Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$)

c. Variables predictoras: (Constante), Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$), Dividendo (X2)

(US$)

103

Coeficientesa

Modelo Coeficientes no

estandarizados

Coeficientes

tipificados

t Sig.

B Error tp. Beta

1

(Constante) ,407 1,332 ,306 ,768

Nivel de endeudamiento

(X1) (x100 US$)

4,350 ,157 ,995 27,621 ,000

2

(Constante) -,814 ,437 -1,862 ,105

Nivel de endeudamiento

(X1) (x100 US$)

2,785 ,186 ,637 14,943 ,000

Dividendo (X2) (US$) 9,437 1,084 ,371 8,706 ,000


Variables excluidasa

Modelo Beta dentro t Sig. Correlacin

parcial

Estadsticos de

colinealidad

Tolerancia

1

Dividendo (X2) (US$) ,371b 8,706 ,000 ,957 ,069

Nmero de acciones en

circulacin (X3) (miles)

,279b 1,020 ,342 ,360 ,017

2 Nmero de acciones en

circulacin (X3) (miles)

-,185c -2,297 ,061 -,684 ,012


b. Variables predictoras en el modelo: (Constante), Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$)

c. Variables predictoras en el modelo: (Constante), Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$), Dividendo (X2) (US$)

Modelo final.

Luego, el programa nos entrega el mejor modelo. En este caso las variables de

prediccin seleccionadas son Nivel de endeudamiento (X1) y Dividendos(X2), observe

que X1 y X3 no deberan de estar juntos en el modelo. Aqu se descart la variable X3.

Ntese que se ha seleccionado el modelo con las variables X1 y X3 puesto que en la

tabla Resumen del modelo, el valor de R cuadrado es mayor que si se eligiera el modelo

con solo la variable X1 (0,990 contra 0,999)

104

Resumen del modelo

Modelo R R cuadrado

R cuadrado

corregida

Error tp. de la

estimacin

1 1,000a ,999 ,999 ,45976

a. Variables predictoras: (Constante), Dividendo (X2), Nivel de

endeudamiento (X1)

ANOVAb

Modelo

Suma de

cuadrados gl Media cuadrtica F Sig.

1 Regresin 1684,879 2 842,440 3985,359 ,000a

Residual 1,480 7 ,211

Total 1686,359 9

a. Variables predictoras: (Constante), Dividendo (X2), Nivel de endeudamiento (X1)

b. Variable dependiente: Precio de una accin (y)

Coeficientesa

Modelo

Coeficientes no estandarizados

Coeficientes tipificados

t Sig.

B Error tp. Beta

1 (Constante) ,407 1,332 ,306 ,768

Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$) 4,350 ,157 ,995 27,621 ,000

2

(Constante) -,814 ,437 -1,862 ,105

Nivel de endeudamiento (X1) (x100 US$) 2,785 ,186 ,637 14,943 ,000

Dividendo (X2) (US$) 9,437 1,084 ,371 8,706 ,000


Tenemos entonces que:

Precio de una accin = - 0,814 + 2,785 Nivel de endeudamiento + 9,437 Dividendo

Interpretacin: b0: No tiene sentido b1: Para un dividendo constante, por cada $100

adicionales en el Nivel de endeudamiento, el Precio de una accin aumenta en $2,785.

b2: Para un Nivel de endeudamiento constante, por cada dlar adicional en los

dividendos, el Precio de una accin aumenta en $9,437.

105

Supuestos de la regresin lineal mltiple

El modelo de regresin lineal mltiple tiene como supuestos la normalidad de los

errores y la homocedasticidad (igualdad de varianzas a lo largo de la distribucin). Una

forma de diagnostico de estos supuestos se realiza mediante la observacin de la nube

de puntos de la relacion entre los valores predichos (pronosticados) y los errores. La

grfica debe realizarse colocando en el eje Y (eje vertical) los valores de los errores y en

el eje X (eje horizontal) los valores predichos, se espera que los puntos se distribuyan

alrededor del valor de error 0. Si los errores estn ms distribuidos en la zona superior

(errores mayores que cero) o en la zona inferior (errores menores que cero) es seal de

falta de normalidad de los errores. Si la distribucin de los errores tiene forma de

embudo es indicativo de heterocidad y si los errores tienen forma curva indican falta de

linealidad. Otra forma de verificar la normalidad de los errores es la siguiente:

Supuesto de normalidad.

Otro supuesto del modelo es la

normalidad que presentan los

errores. Para verificar este supuesto

podemos realizar el grfico de

probabilidad normal.

Lo primero que se debe hacer es

seleccionar la opcin guardar y en el cuadro de dilogo que se

muestra marcar las pociones:

Residuos: No tipificados y Valores Pronosticados: No

tipificados . Los valores de los residuos se generaran

automticamente y se guardaran en dos columnas adicionales en nuestra base de datos.

106

El siguiente paso es ingresar a la opcin grficos y marcar la opcin de grfico de

probabilidad normal.

107

Supuesto de homocedasticidad

Analizar/Regresin/lineales en grficos , se selecciona y se transfiere al eje Y la variable ZRESISD , se selecciona y se transfiere al eje X la variable ZPRED ,

Continuar/ Aceptar.

guias de laboratorio

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