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7/24/2019 guia3 INTEGRALES

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Calculo Diferencial e Integral - Teorema Fundamental. Prof. Farith J. Briceno N.

Objetivos a cubrir Codigo : MAT-CDI.3

Segundo Teorema Fundamental del Calculo. Teorema del Valor Medio. Teorema sobre simetra.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1 : Calcular la siguiente integral 12

x3 8x 2 dx

Solucion : Por el Teorema Fundamental del Calculo se tiene que

ba

f(x) dx= F(b) F(a) ,

donde F es una primitiva de f, as , encontremos la familia de primitiva de la funcion f(x) = x3 8

x 2 , para ello manipulemos algebraicamentedicha funcion,

x3 8x 2

=(x 2) x

2 + 2x+ 4x 2

=x2 + 2x+ 4,

por lo tanto, x3 8

x 2 dx=

x2 + 2x+ 4

dx= x3

3 +x2 + 4x+C.

La integral definida es

12

x3 8x 2 dx=

x3

3 +x2 + 4x

1

2=

(1)3

3 + (1)2 + 4(1)

(2)33

(2)2 + 4 (2)

=

1

3+ 1 + 4

83

+ 4 8

=

16

3

203

= 12.

Luego

12

x3

8

x 2 dx= 12

Ejemplo 2 : Calcular la siguiente integral

6/20

dx3 2x2

Solucion : Por el Teorema Fundamental del Calculo se tiene que

ba

f(x) dx= F(b) F(a) ,

donde F es una primitiva de f. Busquemos la familia de primitiva de f(x) = 13 2x2.

Es conocido que 1

1 x2 dx= arcsen x+C

manipulando el integrando obtenemos

13 2x2 =

13

1 2x23

= 131

1 2x23

= 1

3

11

2x3

2 = 131

1

6 x3

2 ,

entonces 62

0

dx3 2x2 =

62

0

13

11

2x3

2dx=

13

62

0

dx1

2x3

2=

13

62

0

dx1

6 x3

2

1


2/7

hacemos el cambio de variable

u=

6 x

3 , du=

6

3 dx = 3

6du= dx =

6

2 du = dx

cambiamos el intervalo de integracion

Si x= 0, entonces u=

6 (0)3

= u= 0

Si x=

6

2 , entonces u=

6

6

2 3 =

62

3 = u= 1la integral queda 6/2

0

dx3 2x2 =

13

10

6

2 du

1 u2 = 1

3

6

2

10

du1 u2 =

2

2

arcsen u

1

0

=

2

2

arcsen (1) arcsen(0)

=

2

2 ( 0) =

2

2

Luego 6/20

dx3 2x2 =

2

2

Ejemplo 3 : Calcular la siguiente integral

80

x2 6x+ 8 dxSolucion : Por definicion de valor absoluto, se tiene que

x2 6x+ 8=

x2 6x+ 8 si x2 6x+ 8 0

x2 6x+ 8 si x2 6x+ 8 < 0resolvemos una de las dos desigualdades

x2 6x+ 8 0 o x2 6x+ 8 < 0

para obtener la ubicacion de cada expresion en la recta real. Resolvemos x2 6x+ 8 0

x2 6x+ 8 = (x 2) (x 4) 0,

de aqu,

(, 2) (2, 4) (4, )

x 2 + +

x 4 +

(x 2) (x 4) + +la definicion de valor absoluto nos queda

x2 6x+ 8=

x2 6x+ 8 si x (, 2) (4, )

x2 6x+ 8 si x (2, 4)con lo que,

2 4

x2 6x+ 8 x2 6x+ 8 x2 6x+ 8entonces, la integral a resolver la dividimos en tres integrales

80

x2 6x+ 8

dx=

20

x2 6x+ 8

dx+

42

x2 6x+ 8

dx+

84

x2 6x+ 8

dx

2


3/7

donde 20

x2 6x+ 8 dx= x3

3 3x2 + 8x

2

0

=

(2)3

3 3(2)2 + 8 (2)

(0)3

3 3(0)2 + 8 (0)

= 8

3 12 + 16 = 20

3 ,

mientras que,

4

2

x2 6x+ 8 dx = x3

3

3x2 + 8x4

2

= (4)3

3

3(4)2 + 8(4) (2)3

3

3(2)2 + 8(2)=

64

3 48 + 32

8

3 12 + 16

=

16

3 20

3

=

4

3,

y por ultimo, 84

x2 6x+ 8 dx= x3

3 3x2 + 8x

8

4

=

(8)3

3 3(8)2 + 8 (8)

(4)3

3 3(4)2 + 8 (4)

=

512

3 192 + 64

64

3 48 + 32

=

128

3 16

3 =

112

3 ,

Luego 80

x2 6x+ 8

dx= 20

3 +

4

3+

112

3 =

136

3

Ejemplo 4 : Encuentre todos los valores de x que satisfacen el Teorema de Valor Medio para integrales de la

funcion f(x) =

2x+ 1 en el intervalo [1, 4]

Solucion : Observemos que la funcion f es continua en el intervalo [1, 4], entonces el Teorema del Valor Medio para integrales garantizala existencia de, al menos, un numero x= c en [1, 4], tal que se cumple

f(c) = 1

4 1

41

2x+ 1 dx =

1

3

41

2x+ 1 dx,

calculamos la integral haciendo un cambio de variable

u= 2x+ 1, du= 2 dx = du

2 =dx

de aqu,

Si x= 1 entonces, u= 2(1) + 1 = u= 3

Si x= 4 entonces, u= 2(4) + 1 = u= 9y la integral nos queda 4

1

2x+ 1 dx =

93

u

du

2 =

1

2

93

u1/2 du= 1

2

2

3 u3/2

93

= 1

3

93/2 33/2

= 1

3

27 3

3

= 9

3,

entonces

f(c) = 1

3

9 3 = f(c) = 3

3

3

como f(c) =

2c+ 1, tenemos

2c+ 1 = 3

3

3 = 2c+ 1 =

3

3

3

2= 2c+ 1 = 9 2

3 +

1

3

= 2c= 8 23 + 13

= 2c= 253

2

3 = c= 256

3,

es decir,

c= 25

6

3

3


4/7

Ejemplo 5 : Encuentre los numeros b tales que el valor promedio de f(x) = 2 + 6x 3x2 en el intervalocerrado [0, b] sea igual a3.

Solucion : Es conocido que el valor promedio de una funcion fen el intervalo [a, b] se define como

fprom= 1

b a

ba

f(x) dx

as,

3 =fprom= 1

b 0 b

0 2 + 6x 3x2

dx,

observemos que b = 0, Por que?. Calculamos la integral, b0

2 + 6x 3x2 dx=

2x+ 3x2 x3

b

0

= 2b+ 3b2 b3

con lo que obtenemos

3 = 1

b

2b+ 3b2 b3 = 3 = 2 + 3b b2 = b2 3b+ 1 = 0,

las races reales del polinomio de segundo grado son los valores de b, las cuales son

b= 3 +

5

2 y b=

3 52

Ejemplo 6 : Calcule la integral 3

1

sen 3(x 2)(x 2)2 dx

Solucion : Hacemos el cambio de variableu= x 2, du= dx

de aqu,

Si x= 1 entonces, u= (1) 2 = u= 1

Si x= 3 entonces, u= (3) 2 = u= 1la integral nos queda 3

1

sen 3

(x 2)(x 2)2 dx=

11

sen 3

u

u2 du,

en vista que estamos integrando sobre un intervalo simetrico, estudiemos la paridad de la funcion

f(u) = sen

3(u)

(u)2 = sen

3u

u2 = sen

3

u

u2 = f(u) ,

es decir, la funcion es impar, luego la integral es igual a cero, 31

sen 3

(x 2)(x 2)2 dx= 0

Ejercicios

1. Calcule las siguientes integrales

1. 4

0dx 2.

21 3 dx 3.

1

3 2 dx 4. 3/2

1/2 dx 5.

31

x dx 6. 2

0x3 dx

7.

21

x4 dx 8.

41

1

w2 dw 9.

40

t dt 10.

21

2

t3 dt 11.

81

3

t dt

12.

/20

cos t dt 13.

/2/6

2sen t dt 14.

/2/4

csc2 t dt 15.

21

4t3 + 7

dt

16.

42

t2 +

1

t3

dt 17.

10

x4/3 2x1/3

dx 18.

/20

(2x+ sen x) dx

4


5/7

19.

10

4

x5 + 5

4

dx 20.

8aa

a1/3 x1/3

dx 21.

21

3x2 2x+ 3 dx

22.

/20

(4t+ 3 + cos t) dt 23.

10

2t4 3t2 + 5 dt 24.

14

1 t42t2

dt

25.

41

x5 x3x3

dx 26.

41

s4 8s2

ds 27.

11

x+x3 +x5

1 +x2 +x4 dx 28.

10

t2 + 2t

2dt

2. Calcular las siguientes integrales usando un cambio de variable apropiado

1.

31

dt

(t+ 2)2 2.

20

x dx

(x2 + 1)2 3.

10

z dz

(z2 + 1)3 4.

102

y 1 dy

5.

11

dt6 x2 6.

20

dt3 5x2 7.

63

0

dz

3z2 + 2 8.

31

dx

x2 + 3

9.

85

3x+ 1 dx 10.

10

2x

x2 + 110

dx 11.

71

dt2t+ 2

12.

31

dt7 2t

13. 3

1

t2 + 1t3 + 3t dt 14.

/20

cos2 x sen x dx 15. /2

0sen2 3x cos3x dx

16.

41

dtt

t+ 13 17.

20

sen3 x dx 18.

1/20

arcsen t1 t2 dt 19.

/2/2

x2 dx

1 +x6

20.

/3/3

sen5 d 21.

30

x3 dxx2 + 9

22.

33

t

7 +t2 dt 23.

40

x

16 3x dx

24.

01

3x2

x3 + 1 dx 25.

40

x+

2x+ 1

dx

3. Calcular las siguientes integrales

1.

12

|x| dx 2. 1

2

x3 dx 3. 2

1(x 2 |x|) dx 4.

40|x 2| dx

5.

20

|sen t| dt 6. 3

0|2x 3| dx 7.

32

x2 1 dx 8. 1

1

t3 +t3 dt

9.

20

x2 |x 1| dx 10.

x5 + |sen x| dx 11.

50

7x 2x2 3 dx

12.

40

x2 4x+ 3

dx 13.

3

3

3 |t| dt 14.

1

1

|t| t dt

4. Si f(1) = 12, f continua y 4

1f (x) dx= 17, cual es el valor de f(4)?

5. Si f es continua sobre R, demuestre que ba

f(x) dx=b

af(x) dx

6. Si f es continua sobre R, demuestre que ba

f(x+c) dx=

b+ca+c

f(x) dx

5


6/7

7. Si a y b son numeros positivos, demuestre que 10

xa (1 x)b dx= 1

0xb (1 x)a dx

8. Use la sustitucion u= x para demostrar que

0xf(sen x) dx=

2

0

f(sen x) dx

9. Suponga que f es integrable y |f (x)| M, para todo x. Demuestre que|f(x)| |f(a)| +M |b a|

10. Encuentre una funcion f y un valor de la constante a, t al que: 2

xa

f(t) dt= 2 sen x 1

11. Si f es continua en [a, b], demuestre que: 2 b

af(x) f (x) dx= [f(b)]2 [f(a)]2

12. Encontrar el valorc que satisface el Teorema del Valor Medio para integrales si

1.

21

x3 dx 2.

10

x (1 x) dx 3. 4

1

x2 + 4x+ 5

dx 4.

10

x2 +x 6 dx

5.

1

2x4 dx 6.

2

0

x+ 1 dx 7.

0cos2x dx 8.

2

2

x3 + 1

dx

13. Si fes una funcion continua en [a, b] y

ba

f(x) dx= 0. Demuestre que existe, al menos, un numeroc

en [a, b], tal que f(c) = 0.

14. Si fes una funcion continua en [1, 3] y

31

f(x) dx= 8. Demuestre queftoma el valor 4 por lo menos

una vez sobre el intervalo [1, 3].

15. Si fprom[a, b] denota el valor promedio de f en el intervalo [a, b] y a < x < b, demuestre que

fprom[a, b] = c ab a fprom[a, c] +

b cb a fprom[c, b]

16. Demuestre que si fes una funcion par, entonces aa

f(x) dx= 2

a0

f(x) dx

17. Demuestre que si fes una funcion impar, entonces aa

f(x) dx= 0

18. Sea funa funcion impar y g una funcion par y suponga que 10|f(x)| dx=

10

g(x) dx= 3

Utilice un razonamiento geometrico para calcular cada una de las siguientes integrales

1.

11

f(x) dx 2.

11

g(x) dx 3.

11

|f(x)| dx 4. 1

1(g(x)) dx

5.

11

xg(x) dx 6.

11

f2 (x) g(x) dx

6


7/7

19. Demuestre que 11

x5 6x9 + sen x

(1 +x4)4

dx= 0

20. Demuestre que si fes una funcion periodica con perodo p, entonces

b+pa+p

f(x) dx=

ba

f(x) dx

21. Demuestre que si fes una funcion periodica con perodo p, entonces

a+pa

f(x) dx=

a0

f(x) dx

22. Calcular

1.

40

|cos x| dx 2. 4

0|sen x| dx 3.

40

|sen2x| dx 4. 100

0|sen x| dx

23. Calcular

1. 1+

1 |sen x| dx 2. 2+/2

2 |sen2x| dx 3. 1+

1 |cos x| dxRespuestas: Ejercicios

1.1. 4; 1.2. 9; 1.3. 4; 1.4. ; 1.5. 4; 1.6. 4; 1.7. 335

; 1.8. 34

; 1.9. 163

; 1.10. 34

;

1.11. 454

; 1.12. 1; 1.13.

3; 1.14. 1; 1.15. 22; 1.16. 180196

; 1.17. 1514

; 1.18. 14

2 + 1;

1.19. 5

4 + 49

; 1.20. 174

a4

3 ; 1.21. 15; 1.22. 32

+ 12

2 + 1; 1.23. 225

; 1.24. 818

; 1.25. 274

;

1.26. 15; 1.27. 0; 1.28. 3815

; 2.1. 45

; 2.2. 25

; 2.3. 316

; 2.4. 523

; 2.5. 2 arcsen

66

;

2.6.

55

arcsen 2

153

; 2.7.

624

; 2.8. 5

336

; 2.9. 1229

; 2.10. 204711

; 2.11. 2; 2.12.

5

1; 2.13. 8

3;

2.14. 13

; 2.15. 19

; 2.16. 536

; 2.17. 0; 2.18. 172

2; 2.19. 23

arctan 3

8 ; 2.20. 0; 2.21. 18 92;

2.22. 0; 2.23. 3008135

; 2.24. 23

; 2.25. 14; 3.1. 52

; 3.2. 174

; 3.3. 72

; 3.4. 4; 3.5. 4;

3.6. 92

; 3.7. 283

; 3.8. 12

; 3.9. 53

; 3.10. 4; 3.11. 854

; 3.12. 4; 3.13. 4

3; 3.14. 43

2;

4. 0; 10. y = cos x, a= 6

; 12.1. c= 3

154

; 12.2. c= 12

3

6 , c= 1

2+

3

6 ; 12.3. c=

21 2;

12.4. c=

396

12

; 12.5. c= 4

113

; 12.6. c= 11581

; 12.7. c= 4

; 12.8. c= 3

134

; 18.1. 0; 18.2. 0;

18.3. 6; 18.4. 6; 18.5. 0; 18.6. 0; 22.1. 8; 22.2. 8; 22.3. 8; 22.4. 200; 23.1. 2;

23.2. 1; 23.3. 2;

Bibliografa

1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Calculo. Novena Edicion. PEARSON Prentice Hall.

2. Stewart, J.: Calculo. Grupo Editorial Iberoamericano.

Calculo Diferencial e Integral - Teorema Fundamental. Prof. Farith Briceno

Ultima actualizacon: Enero 2010 e-mail : farith [email protected]

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