guia practica de a

Universidad Cesar VallejoFacultad de Ciencias Empresariales Matemática Superior I

Primera Unidad Didáctica

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

ÍNDICE

1

GUIA DIDÁCTICA 1 - (1º PARTE )


Pág.

INTRODUCCIÓN 4

CAPACIDADES 5

DESARROLLO TEMÁTICO

1. Introducción al Algebra

1.1. Teoría de exponentes. 6

1.2. Productos notables. 14

1.3. Factorización. 17

2. Ecuaciones con una incógnita

2.1 Ecuaciones lineales 20

2.2 Ecuaciones cuadráticas 24

2.3 Métodos de resolución de ecuación cuadrática 25

2.2.1. Por factorización

2.2.2. Por complementación de cuadrados

2.2.3. Por la fórmula general

3. Ecuaciones lineales

3.1 Tipos de sistemas. 36

3.2 Ecuaciones lineales con dos y tres variables. 44

4. Ejercicios y problemas de aplicación.

4.1 Ejercicios 51

4.2 Problemas

5. Desigualdades

5.1 Inecuaciones de primer 55

5.2 Inecuaciones segundo grado 56

5.3 Métodos 58

5.3.1. Método del punto crítico

5.3.2. Uso de discriminantes.

5.4 Inecuaciones orden superior. 61

6. Problemas aplicativos. 63

6.1 Ejercicios y problemas 63

7. Introducción a la programación lineal. 65

7.1 Pasos para resolver 66

2


7.2 Ejercicios y problemas 76

8. Problemas de aplicación y programación. 79

8.1 Ejercicios

8.2 Problemas

9. Examen parcial Nº 01

BIBLIOGRAFÍA

ANEXOS

INTRODUCCIÓN

Estimado (a) estudiante:

3


La formación profesional del estudiante de administración requiere de los conocimientos y

habilidades matemáticas, para la búsqueda y solución de problemas que se presenten en su

mercado de trabajo. Esta primera unidad se presenta como una herramienta de apoyo al

estudiante que le proporcionará los conceptos y habilidades matemáticas fundamentales

para su aplicación en las asignaturas sustantivas de su perfil profesional.

Usted será capaz de platear y resolver problemas de ecuaciones, con la finalidad que utilice

estas técnicas en la solución de problemas de aplicación en las materias de los ciclos

sucesivos.

El conocimiento que obtenga de esta unidad y su activa participación en el desarrollo de ella,

le permitirá comprender la importancia de las matemáticas en el contexto laboral, además

de su aplicación por medio de modelos matemáticos en las PYMES de la comunidad.

No olvide que el aprendizaje se logra con la perseverancia en el estudio y nosotros sabemos

que usted es capaz de lograrlo, con dedicación, constancia y amor a su carrera logrará éxitos

en esta unidad.

¡Èxitos!

José Haro B.Maritza Luna V.Rocio López P.

4


CAPACIDADES

a) Opera correctamente valores en conjuntos de números naturales, enteros, racionales,

reales.

b) Realiza operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y factorización de expresiones algebraicas.

c) Modela y resuelve problemas de aplicación de los procesos de una empresa utilizando ecuaciones con una, dos y tres variables.

d) Resuelve problemas básicos aplicando inecuaciones lineales y cuadráticas con una variable.

e) Toma decisiones al plantear y resolver problemas aplicativos dentro de una empresa con programación lineal.

DESARROLLO TEMÁTICO

5


Sesión Nro 1:

1.1 TEORIA DE EXPONENTES

MOTIVACION: COMPRAS POR INTERNET

Actualmente los negocios están encontrando un aliado muy importante. Los clientes utilizan la Web para efectuar operaciones de compras sin asistir a las tiendas comerciales, pueden ver sus registros de precios actuales. Además, los costos por este medio son cada vez más bajos, lo que permite a los centros comerciales en línea reducir los costos a los clientes y darles mayores ofertas por su dinero. Para enero del año 2010 se estima que en el Perú existirán 20000 clientes que harán uso de este servicio y que el crecimiento mensual será de 2% para los siguientes años.

1. ¿Cuántos clientes de compras por Internet existirán en el mes de febrero de 2010?

2. ¿Cuántos clientes de compras por Internet existirán en el mes de junio de 2010?

3. ¿Cuántos clientes de compras por Internet existirán después de “t” meses a partir de enero de 2010?

Expresión algebraica.- Es el conjunto de letras y números interrelacionados entre si, mediante operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o por algunas combinaciones entre ellos. Ejemplos:

a) 5x4 b) 8x2+5x-4 c) 2√ x8

Término algebraico.- Es aquel conjunto de letras y números interrelacionados entre sí, mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación o por alguna combinación entre ellas. Ejemplos:

a) -4x3yz b) –x5 c) √ (100 )x

Partes de un término algebraico

-5x4

Valor absoluto y valor relativo.- El valor absoluto de un número es su valor sin considerar su signo; en tanto que su valor relativo, es su valor considerando su signo.

Ejemplos: 1) número = 4 ( VA = 4 y VR = 4 ) 2) número = - 4 ( VA = 4 y VR = -4 )

Suma algebraica

A) Términos de igual signo.- Se escribe el signo igual, seguido de la suma de los valores absolutos de los términos.

Ejemplos1) 4 + 6 = 10 2) – 6 – 8 = – 14

B) Términos de signos diferentes.- Se escribe el signo del mayor y se resta el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto.

1) – 4 + 6= 2 2) 6 – 10 = – 4 , observamos que la resta se hace siempre:10 – 6

6

Coeficiente

Parte LiteralSigno

Exponente


Valor numérico de expresiones algebraicas.- Es el resultado que se obtiene al reemplazar la parte literal de una expresión algebraica por los valores arbitrarios atribuidos a sus letras.

Ejemplo :

Determinar el valor numérico de X =√ p ( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) ; si a = 9; b = 4; c =16 y p =24.Solución.- Reemplazando valores:

X= = 24 (15) (20) (8) = 240Potenciación

Consideremos:

Conclusión En la potenciación en general podemos definir:

a · a · a · ... · a = se lee: “a” elevado a la n ( n veces). n es un número natural que se llama exponente. a es un número cualquiera que se llama base.

Lo anterior nos sugiere las siguientes propiedades:

7


Reglas de los Exponentes:

Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.

Ejemplo:

Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se

queda igual. Ejemplo: (x2)4=x2 x 4=x8

En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.

Ejemplo:

En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.

Reglas Básicas de Exponentes:

Regla: Ejemplo:

8

an


Radicales

Un radical es una expresión en la forma: n√b

Cada parte de un radical lleva su nombre,

El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.

Propiedades de los Radicales:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Variados:

9


p√ p√ p√. .. . ..p√am=

xp√am(x radicales)

x√ am

bn=

x√am

x√bn

√√√√. ..√a=a

1

2x

(x radicales)

am x√bn=x√amx bn

m√ n√ p√ax=mnp√ax

x√am bn=x√am x√bn

a√mb√n

c√ pd√q=

abcd√mbcd ncd pd q

Recordar:

Todo número elevado a cero es igual a la unidad: a0= 1

Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: a5. a 3= a8

Para dividir potencias de la misma base, se restan lo exponentes: a5/ a 3= a2

Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: (a5)3 = a15

Una potencia con exponente negativo será lo mismo que uno partido por la misma potencia con exponente positivo: a- 5= 1 / a5

Una potencia con exponente fraccionario, equivale a una raíz: a3/4=

1) 32x + 5= 37

10

ACTIVIDAD 1.1

Universidad Cesar VallejoFacultad de Ciencias Empresariales Matemática Superior I2) 5x + 3= 25

3) 21 + x= 42 - x

4) 2x2−1=8

5) 5x2−5 x+6=1

6) 3x. (32)x= 93

7) 10x/ 103=

8) 1000 . 10x=

9) 2 x−1√216=6

10) √a5−x=a3− x

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Determinar:

a)

7n+3−7n+1

7(7n−1 ) b*)

3m+3+5(3m+1 )5(3m+1 )−3m

12. Calcular:

a)

a−1+b−1

a−1b−1

b) (a-1 + b-1)(a + b)-1

c*)

ab−1+a−1 ba−2b−2

13. Determinar:

a)

(21)3 (45 )2

(35 )3(3 )7 b)

216 x 353 x 803

154 x149 x 302

c*)

103 x 1413 x155 x 212

66 x29 x 308 x 77

14. Hallar:

a*) √( 13 )

−3

+( 25 )

−2

+( 411 )

−1

b)

3√[( 15 )

2

+( 52 )

−2]−1

+[2−( 35 )

−1]−1

15. Calcular:

a)

2m+3 x 4m+2 n

8m−2 x16n+2

b*)

16−n(4 )3

222 (2−22 ) n

16. Determinar:

a) {(28/3 )7/2} 3 /7 b*) {(45/3)12/5} 7 /8

17. Determinar:

a*)

m+n√ xm y−n

x−n ym

b)

n+ 3√ an2+4 n

n+2√an2+2 n

18. Reducir:

a*) 4√k

12√k5 6√k2

b)ab√ xa−b

bc√x b-c ac√ xc−a

19. Simplificar:

a)

4√ x3

y3 3√ x

y

3√4√ yx

b*)

√x 3√ 5√ x

5√√ 3√ x5√ x3

11

ACTIVIDAD 1.1.1


1. Reducir :

b√ 6a . 16b . 3a+2 b

18a+b

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

2. Reducir : n2

√n n2

√n n2

√n .. . .. n veces n√n + n√n + n√n +. .. . n veces

n Z ; n 2

a) 1 b) n c) n-1 d) n√n e) nn

3. Simplificar :

y√[ x y ] y [ y2

√x y3 ]x y

a) xy b) x c) x-y d) y√x e) 1

4. Calcular el valor de:

C=[(12 )−3

+2( 0,2)−2+ 29 ( 1

3 )−3 ]

−0,5

a) 1/8 b) 1/4 c) 1/2d) 16 e) 8

5. Simplificar :

5(6 x)2x+3−2x+1−2x

a) 3 b) 1 c) 0

d) 3x e) 10

6. Simplificar :

n√ 5⋅22 n−2

4n−2+4n−1

a) 2n b) 2-n c) 22/n

d) n√1/2 e) 1

7. Reducir :

S=n√8n+1(3 n+3√2n+7 .

3 n+3√4n−2)n−3

a) 2 b) 4 c) 16 d) 8n e) 2n

8. Simplificar :

ab√ (ba .a−b )−c

(ab )c−a .(ba )b−c

a) a/b b) b/a c) 1/ab d) ab e) 1

9. Simplificar :

[ [2−x0

√xx /2 ]xx−1

]x−x−1

a) x-2x b) x-x c) x2x

d) xx e) x4x

10. Resolver :

S=n√ xx+n+x x−n

xx+2 n+xx

a) x-x b) x c) xn d) xx e) 1/x

11. Si aa=4 . Calcular :

aaa+1

+(aa2 a+1)1 /8a) 242 b) 252 c) 262 d) 272 e) 282

12. El valor de “x” que satisface la ecuación exponencial

es :

12592 x−3

=5273−2 x

a) 3/2 b) 2/3 c) 7/5d) 5/7 e) 1

13. Resolver : 319=27

( 13)x

a) –1 b) –2 c) 1d) 2 e) 3

14. Resolver :

4√5−2x−1

=15

a) 2 b) 3 c) –1d) 1 e) 5

15. Hallar x de :

4√ 12

√ 18=

8√2x

2

a) 1/4 b) 3 c) 13d) 10 e) 2

16. Se al ecuación :

3x+5−2⋅3x+4=2x+6+2x+5−5⋅2x+4

el valor de x que la verifica es :

a) 0 b) 4 c) –4d) 1 e) 1/4

17. Hallar x si :

12


3( x+1)(x+1)( x+1 )( x+1 )⋰∞

=6a) √2+1 b) √2 c) 2√2

d) √2−1 e) √2√2

18. Resolver :

x=√3 x+√3 x+√3x+. .. . .. .. . .. .

a) 2 b) 8 c) 6d) 4 e) 16

19. Calcular :

3√x√2x

Si : xx−1=221

a) 8 b) 16 c) 4

d) √2 e) 4√2

20. Resolver : (2 x )x=232

e indicar el valor numérico de :

√ x+√2

a) 2+√2 b) √10 c) 3√2

d) 4+√4 e) 5√2

21. Calcular : E=x+1x+2

Si : xx+1x+1

=227

a) 81 b) 243 c) 9d) 27 e) 2

22. Resolver : ( x+2)(x+2)( x+2 )3

=3

a) 3√3+2 b)

3√3 c) 3√3−2

d) √3−2 e) √3+2

23. Hallar x de : x=√2 + ( x−√2 )2√2

a) √2 b) 2√2 c) 4 √2

d) √2√2 e) √2√2−1

1. Hallar:

a*)

41/2−271/3

2−2−3−1

b)( 125 )

−2−1

+( 181 )

−4−1

+( 127 )

−3−1

2. Calcular:

a*) 16−4−2−1

+25−8−3−1

b) 0 ,008−243−625−4−1

3. Simplificar:

a*) { m−1 [ m ( m3 )1/2 ]1/5 } −2b) 2

n√2n-4 n√4n+2

4. Computar:

a)3√84

5√322

b)

1210 x 185

85 x 546 ( 10,5 )

−4

5. Determinar:

a)

2m+3 x72m+1−2m+1 x72 m

2m+5 x72m−2m+1 x72m+1

b)

( 5√9 )3 15√3

3√93√3

5√27

6. Calcular:

a)

n√ anbn+ancn+bn cn

a−n+b−n+c−nb)

6√2 4√2 3√220√2

5√2

13

Autoevaluación

1.1 1


7. Simplificar:

a)

ab√ (ba ab )c

(ab )c−a(ba )b+c

b)

n√ 23 n+1

n+2√4√4n

8. Calcular:

a*)

1

1+ x p−q+ 1

1+xq−p

b*)

x+ y+z√300x 180y 450z

2x+ y 3 y+z 5x+z

9. Efectuar: ( a2 b2

c2 )÷{a4 bc8

÷a4 bc5 }

a) (ab−b+ba−b ) [a−(a+1)+b−(b+1) ]−1

10. Calcular:

a)

6 x22 n+2−4 x22 n

(10 x2n )2

b)

2n(0,5 )−2n−1(2 )22,5 x 2n x √2

11. Simplificar:

a)

a−b√ aa bb−bb−a

(ab )a−1

b)

n√ 33n+1+32n+1

32n+1+3n+1

12.

13.

14. 4x + 2x + 1 - 80 = 0

15. 2x + 3 + 4x + 1 = 320

16. 9x + 1 + 3x + 2- 810 = 0

17. 2x + 2y= 32 23x - 5y= 16

18. 3x = 3y

4x . 4y= 256

19. 5x = 5y. 625 2x. 2y= 256

20. Simplificar: a)

3√a2 b 6√ab2

12√a−2 b−4

b*) {( 1

27 )−2/3

+( 132 )

−4 /5}0,5

21. Calcular:

a)

3√{( 32 )

−2

+( 32 )

−3

−6−1+6−3}−2

b) √( 12 )

−3

+( 15 )

−3

+( 192 )

−1

22. Hallar “x” en:

a) 34x

=8116b) 3

22 x

=6561

*c) 8x 4

=424


a) 22+3x

= 2048 b) ( 9

4 )x

( 827 )

x−1

=23

*c) ( 34 )

x−1√ 43= 9

16


a) 2793+x

= 3√3 b) 33x +3

=279x−2

c)

25. . Señale verdadero (V) o falso (F)

I. Si (-2)x = -8, entonces x = 3 II. Si x5 = 35, entonces x = 3 III. Si x2 = 42, entonces x = 4

a) VVV b) FFV c) VVF d) VFV e) FVF

14

Universidad Cesar Vallejo Matemática Superior I

MOTIVACION - INTRODUCCIÓN:

01. BINOMIO AL CUADRADO. ( Trinomio Cuadrado Perfecto)

* (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 * (a - b)2 = a2 -2ab +b2

02. SUMA POR DIFERENCIA (Diferencia de Cuadrados )

* (a+b)(a-b) = a2 - b2

03. BINOMIO AL CUBO

* (a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 forma desarrollada* (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3ab2 - b3

* (a+b)3 = a3 + b3 +3ab(a +b) forma semidesarrollada* (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

04. BINOMIO POR TRINOMIO (Suma o Diferencia de cubos )

* (a+b) (a2 - ab +b2 ) = a3 +b3

* (a - b) (a2 +ab +b2) = a3 - b3

05. BINOMIO CON UN TERMINO COMUN

* (x+b)(x+d) = x2 + (b+d)x + bd

06. PRODUCTO DE BINOMIOS

* (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x +bd

07. TRINOMIO AL CUADRADO

* (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc forma desarrollada

* (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) forma semidesarrollada

15

1.2. PRODUCTOS NOTABLES

Productos Notables o Identidades Algebraicas: Son productos indicados que tienen una forma determinada de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación, llamadas también EQUIVALENCIAS NOTABLES.


08. TRINOMIO AL CUADRADO

* (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3a2b + 3a2c+3b2a+ 3b2c+3c2a+3c2b+6abc

* (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

Escribir el resultado de

1. ( p+3 )2

2. ( x2−1 )2

3. (ax 2+by 3 )2

4. (am+bn )2

5.

6.

7.

8. ( x+ y )( x− y )

9. (1+x2)(1−x2)

10. (ax 2+by 3 )(ax2−by3 )

11. (am+bn )(am−bn )

12. ( x+ y+z )( x− y+z )

13. ( x−3 )( x+3 )

14. (m+6 )(m−6 )

15. (ax+4 )(ax−4 )

16. (a2+b3 )( a2−b3 )

17. (√ x+√ y )(√x−√ y )

18. (a−1

2−a12 )(a

−12+a

12 )

16

ACTIVIDAD 1.2


1. Reducir :

( x+5)( x+4 )( x+1)( x+2 )−x2( x+6 )2−40

a) 0 b) 13 c) 13x (x+6)d) 91 e) x (x+6)

2. Calcular :

E=√3√4+2√23√4−2√2+( 4√2−√3)8+4√3

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 9

3. Calcular el valor numérico de :

E=16√2( x+ y )( x2+ y2)( x4+ y 4 )+ y8

Para : x = 8 ; y = 6

a) 2 b) 2√2 c) 4 √2

d) 8 e) 8√2

4. Si : x+ 1

x=4

; calcular :

E=√1+ 1

x √ x2+ 1x

a) 16 b) 2√2 c) 3√2

d) √2 e) 4

5. Si para : x+ y≠0 se verifica : 3√ x3+ y3+3 x+3 y−x= y

Entonces el equivalente de :

9√ xy2

es :

a) 1 b) 0 c) x

d) y e) 9√ y

6. Sabiendo que se verifica la relación :

(a+2 x+b )(a−2 x+b )=(a−b )2

Reducir : E=

( x+a)( x+b )a+2 x+b

a) 0 b) x c) x2

d) 2x e) abx

7. Calcular :

E=( xy−3x+ y ) x

y+ x( y+6

2 x+1 )

para x =√5+√2 y=√5- √2 a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

8. Sabiendo que : x+2=23√2xCalcular el valor numérico de :

E=√√ x+√2

(2x )1/8

a) 0 b) 4 c)√2 d)√3 e)√5

9. Si :

an

bn+ bn

an=7

; el valor de :

E= an+bn

√an⋅√bn es :

a)√3 b) 3 c) √2 d) 2 e) N. A.

10. Hallar el valor numérico de:

S=3√6 √3+10−3√6√3−10

a) 1 b)√2 c) 2 d) 2√2 e) 4

11. Si a y b verifican la relación :

(a+b)2+1=(a+1)(b+1)

Calcular :

R=a2(a−1)b2(b−1)

a) 1 b) -1 c) ½ d) -1/2 e) -2

12. Se cumple :

1x+ y

+ 1y+ z

= 4x+2 y+z

Calcular :

N= x2+x+z2−z( x+z )2

a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 1/4

13. Si : {m ;n ; p ;q }⊂N , tal que : x√mn+ x√ pq=6 . .. .. Ix√m2 n2−

x√ p2 q2=24 . . .. II

17

ACTIVIDAD 1.2.1


Calcular : x√mn−x√ pq

a) 3 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

14. Si : x=1+ 3√7 ; y=3√6−1

Calcular el valor numérico de :

E= y2+ y5− y3

+ x2−xx3−8

a) 1/3 b) 2/3 c) 3d) 4/3 e) 5/3

15. Si a y b verifican las ecuaciones

ab−1=3√10( 3√10−1 )(a2+b2−1 )3=10

Hallar : E=4√(a+b)4−(a−b )4−7

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

16. Calcular “p” para que la igualdad

P2=( x2+ y 2+z2+ p )2−( x+ y+z )2

( x2+ y2+z2 ) Se convierta en una identidad.

a) x+y+z b) 2(xy+xz+yz) c) x2+y2+z2

d) xy+xz+yz e) xyz

17. Si : a + b + c = 0 ; abc = 4 Calcular el valor numérico de :

E = ab(a + b)4 + ac(a + c)4 + bc(b + c)4

a) 32 b) 48 c) 52 d) 72 e) 36

18. Si : x2+1=3x

Calcular :

E=√20( x+x8 )( x3+x2 )13 x7

a) 5 b) 10 c) 1 d) 25 e) 4

19. Si se cumple que : x2 – 3x + 1 = 0

Calcular :

E= x7−x5+x3

x5

a) 7 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

20. Calcular m para que el trinomio :

F(x,y) = mx2 + 3mxy + 9y2

Tenga raíz cuadrada exacta, e indicar el valor de : m√m2

a) 4 √2 b) 2 c) 8 d) 3√2 e) 12

21. Hallar el valor numérico de :

E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2

– a2b2]

Sabiendo que : a3=√2+1

b3=√2−1

a) 9 b)4 √2 c)6√2 d) 6 e) 1

22. Sabiendo que :

(a+b+c)2 – (a2+b2+c2) (ab+ac+bc) = 2

Hallar : a2 + b2 + c2 , siendo: ab+ac+bc 1

a) 2 b) 1 c) –1d) 1/2 e) –1/2

23. Si : {x ; y ; z} R tal que :

x2 + y2 + z2 + 14 = 2(x + 2y + 3z)

Hallar el valor de : S=

(x+ y+z )xyz

x3+ y3+z3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24. Si : x=3√4+ 3√2

Calcular : P=x ( x+√6 )(x−√6 )

a) 6 b) 9 c) 3 d) 2 e) 0

1. Escribir el resultado de :

1) (√ x+1 )2

2) (a−11)(a+10 )

3) (a−x )( x+a )

4) (1+3 x2)2

5) (1−2 xy )(1+2 xy )

6) (1−a)(1+a )

7)

8) ( y2−3 y )( y2+3 y )

9) (bx−2+c y−1 )2

10) (a7−2 )(a7+2)

11) (am−bn )( am+bn )

18

AUTOEVALUACIÓN 1.2


12) ( xm− yn )2

13) (2 a−b−c )(2 a+b+c )

2.Simplificar:

(x +1x )( x −

1x )(x2 +

1

x2 )3. Si : a+b=3 y ab=1. Hallar el valor de:

4. Si : x2 +2y2 = m+n y 2xy=m-n Hallar: x4 +4y4

5. Hallar el valor de:(a+b)2+(b+c )2+(a+c )2−(a+b+c )2

Si: a2+b2+c2=7

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

6. Efectuar:

3√m√m−√m3−n6 .

3√m√m+√m3−n6

a) m b) n c) m2 d) n

2 e) 1

7. Si: √ x+2 yz+√x−2 yz=8 yz

Calcular: √ x+2 yz−√x−2 yz

a) 3 b) 2 c) 1 b) 1/2e) 1/3

8. Si: ( x+1)2=(√3+2 )xCalcular:

F=( x2+1 )2

x4+1a) 2 b) 3 c) 4 d) – 2e) – 3

9. Si: 3√a+ 3√b+ 3√c=0

Calcular:

P= a3+b3+c3−27 abc( a+b )(a+c )(b+c )

a) 0 b) – 1 c) – 3 d) 3 e) 1

10. Efectuar:

( x−1)( x+4 )(x+2 )( x−3)+( x−2)( x+5 )(x+3 )( x−4 )

−2( x2+x−10 )2+56

a) 5x – 20 b) 3(x – 10) c) 1d) x2+3x-84 e) 0

11. Efectuar:

(a+b)( a2+b2 )(a3−b3 )( a2−ab+b2 )(a4−a2 b2+b4 )+b12

a) a12 b) – a12 c) 2b12 d) a24 e) 2a12

12. Si se cumple que:(a + b + c)2 = 3 (a2 + b2 + c2)donde : {a , b , c} R, hallar el valor de:

T=4 (5 a2+3 b2 )

2 a2−3 c2

a) 2 b) 4 c) 8 d) – 16 e) – 32

13. Si : a=6√2 ; b=3√2 ; c=√2 .

Calcular:

H=(a+b+c )3−(b+c−a)3−(c+a−b)3−(a+b−c )3

a) 12 b) 24 c) 48 d) 64 e) 128

19


.

01. FACTOR COMÚN

02. FACTOR POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

03. DIFERENCIA DE CUADRADOS.

04. BINOMIO CUADRADO PERFECTO

05. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

06. Generalizando

07. TRINOMIO DE LA FORMA .

Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

20

1.3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorizar un polinomio es el primer método para obtener las raíces o ceros de la expresión. Para factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad


Pasos:

En este ejercicio es fácil ver que los valores son: por lo tanto la

solución es: .

08. FACTORIZACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS.

con , , 09. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla

de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado edxcxbxax 234 tiene

cuatro raíces enteras, 1x , 2x , 3x y 4x se factoriza así:

4321234 xxxxxxxxaedxcxbxax

1. Factorizar:

1.1. a2+a

1.2. xy− yz

1.3. 3 m5−m3

1.4. 7 a2 x3−35 ax 2

1.5. m6+m3−3 m9

1.6. 9−6 m+m2

1.7.

4 (1+n )2−4 (1+n)(m−1 )+(m−1 )2

1.8.

r2

9+2 rs+9 s2

1.9. x2+2 x ( x+ y )+( x+ y )2

1.10. 4 u2−9 v2

1.11. 1−9u2 v6 w4

1.12.

´ 14−9 a4

1.13.

x6

49−4 a10

121

1.14. a4 n−225 b2 m

1.15.a4+a2+ 1

4

1.16. u8+6 u4 v2+9v4

1.17.

1.18. m2+3m−10

1.19. c2+7 c+6

1.20. y8+ y4−30

21

ACTIVIDAD 1.3


1.21. a4+4 b4

1.22.

1.23.

1. Indique el número de factores primos lineales de :

P(x;y) = x8y + 3x7y + 2x6y + 6x5y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 48

2. Indicar un factor primo de :

F(x;y) = x3 + x2 + x2y + y2 + 2xy

a) x2+y b) x2+y2+y c) x+y2

d) xy+x2+y2 e) x2+x+y

3. Indicar un factor primo de :

F(x;y) = (x+y) (x–y+z) – (x2–y2) – x – y

a) x-y b) x+y+1 c) z-x-yd) z-1 e) xy-z

4. Indicar la suma de factores primos de :

F(x;y) = x2 + x – y2 – y + x2y – xy2

a) 2x+2y+2 b) x+2y c) 2x+2d) 2x+y e) 2x-2y

5. Factorizar los polinomios :

F(x) = 9x2 – 25

G(x;y) = 8x3 – y3

R(x;y) = x9 + x6 – x3y2 – y2

6. P(x,y) como suma de factores primos tiene :

P(x ; y )=x4+64 y4

a) 2 x2+8 xy b) 2 x2+16 y2 c) 2 x2

d) 4 x2+8 y2 e) 4 x2

7. Indique un divisor del polinomio :

F(x;y) = (x+y)3 + 2xy (1-x-y) –1

a) x+y b) x-y+1

c) x2+y2-x+y+1 d) x2+y2-x-y+1

e) x2+y2 -x+y-1

8. Factorizar los polinomios :

F(x) = 15x2 + 14x – 8

G(x;y) = 21x2 – 31xy + 4y2

R(x) = 8x4 – 2x2 – 3

9. La expresión :

R(x) = 8x2 – mx – 15

Se factoriza : (8x + a) (bx – 5) Indique : “a + b + m”

a) 41 b) –33 c) –34d) 40 e) 39

10. Indicar el término independiente de uno de los factores primos del polinomio :

P(x) = 3x8 + (15a – 2b)x4 – 10ab

a) 5 b) 2a c) –b d) –2b e) 3a

11. Factorizar : P(x,y,z,w) = (w+x) (w+y) – (x+z) (y+z)

Indicar un factor primo. a) w+z b) x+y+z+w c) x-yd) x+y e) x-y+z-w

12. Al factorizar :

P(x) = (x+1)(2x+1)(3x+1)+(x+1)2+x+x2

Presenta un factor primo de la forma : (a+1)x +a Hallar la suma de los valores que toma “a”.

a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 8

13. Al factorizar :

R(x,y,z) = (6x+7y+18z) (x+3y+3z) + 3y2

Indique la mayor suma de coeficientes obtenida en algún factor primo. a) 20 b) 11 c) 21 d) 32 e) 17

22

ACTIVIDAD 1.3.1


14. Factorizar : P(x )=x4+2 x2+9 e Indicar la

suma de los términos independientes de los factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10

15. Factorizar e indicar un factor primo de:

a3+9 b3+3 (a2 b+ab2 )a)

(a2−3b )b)

(a2+3 b )c) (a+3 b ) d)

(a2−3 b2)e) (a−3 b )

16. Factorizar 30 x4−92 x2+32 e indicar un término independiente y el coef. principal de uno de ellos.

a) 10 y -8 b) 10 y 3 c) –8 y 3 d) 6 y 4 e) 11 y -12

17. Factorizar e indicar el término independiente de uno de los factores primos de grado “n” en :

P(x )=xm+2 n

+7 xm+n

+10 xm

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18. Factorizar :

A(x , y )=( x−3 )2−2( x−3)( y−2)−3( y−2 )2

Luego dar como respuesta la suma de los términos independientes de cada factor primo.

a) 5 b) -5 c) 2 d) -2 e) -8

19. Luego de sumar los factores primos de:

F( x ,a)=(x2−3 ax+a2)2+ax (2 x2−6 ax+2 a2 )

se obtiene :

a) 2( x−a)2 b) 2 x2+3 ax−a2

c) 2( x2−ax+a2 )d) x2−3ax+a2

e) x2−ax+a2

20. Un factor primo repetido en :P(x )= ( x+5 )( x+6)( x+7 )+( x+5 )( x+6 )+x+5 es :

a) (x+5) b) (x+6) c) (x+7) d) (x+8) e) (x+18)

21. Factorizar :

R(x ; y )=4 x4+15 x2 y2−54 y4

e indicar un factor primo lineal.

a) (x+6y) b) (2x+3y) c) (3x+2y)

d) (y+6x) e) 6x+y2

22. Factorizar : P(x )=x4+2x2+9 e Indicar la

suma de los términos independientes de los factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10

23. Factorizar : M

(x) = (ac-bdx)2 + x(bc+ad)2

Indique la suma de coeficientes de los factores primos obtenidos.

a) a2-b2-c2+d2 b) a2-b2+c2-d2

c) a2+b2-c2-d2 d) d2-c2+b2-a2

e) a2+b2+c2+d2

24. Factorizar

P(x ,a ,b )=x2+2ax+2b (x+a )+a2+b2

e indicar la multiplicidad de un factor primo.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

25. Señalar la suma de los factores primos de:

a4−2(b2+c2 )a2+(b2−c2 )2

a) a+b+c b) 2a+3b+4cc) a+b-c d) 4a e) 0

2. Factorizar las siguientes expresiones:

1) x5−ax4+bx4−abx3

2) p3 q5 r2−p2 q3 r3+ p5 q2 r2

3) m2−25

4) 25 x4+70 x2 y2+49 y4

5) x4+1+2x2

6) 9 u3+12u2v2−15 uv

7) a2b4 c6−256

8) 9 u2+25 v4−30 uv 2

9) a20−a16+a12−a8+a4−a2

23

AUTOEVALUACIÓN 1.3


10) a7−3a5+7 a3−11a4

11) u2−41 u+400

12) a7−3a5+7 a3−11a4

13)

a2

4−ab+b2

14) 3 a2 b+6ab−5 a3 b2+8 a2bx+4 ab2m

15)

2 a3 b4 c5+a2 b5 c5+a4 b3 c5+a3 b3 c5+a2 b4 c5

16) x4+x3− x2+5 x−30

17) 2 x2−x−3

18) a2(b−c )+b2(c−a)+c2 (a−b )

19) ( x− y )(x2−z2 )−( x−z )(x2− y2 )

20) ( x3+x2 )2−( x+ x4 )2

24


3. ¿Cuántos factores de primer grado admite la expresión:

a5−4a3+a2−44. ¿En cuántos factores se descomponen la expresión:

64 a7 b7−ab13

5. Proporcionar la suma de factores al factorizar la expresión

(a2−c2+b2+2ab+1)2−4 (a+b)2 en 4 factores.

6. La suma de los factores de:

x2 y2 z−x2 yz2−xy 3 z+xy 2 z2es :

7. Al factorizar el polinomio:

x2− y2+2 yz−z2−8 x+16La suma algebraica de los términos independientes de los factores primos es:

8. Al factorizarx5−x4−2 x3+2 x2+x−1se obtuvo una expresión de la forma:

( x−1)¿ ( x+1 )β Hallar +

9. La suma de los Factores de ( x2+x−1 )2+(2 x+1)2 al factorizar es:

10.¿Cuántos factores se obtienen al factorizar x6-m6 ?

Saber no es suficiente; tenemos que aplicarlo. Tener voluntad no es suficiente: tenemos que implementarla. (Tonatihu)

Sesion Nro. 02

25


MOTIVACIÓN

Milagros, una costurera, dice: “Gasté los 2/7 de lo que tenía en comprar telas y S/. 20 más en hilos, quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más.” ¿Cuánto tenía Milagros?

Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

El ingreso total de una cafetería con base en la venta de x cafés

especiales está dado por r = 2.25x y sus costos totales diarios

están dados por c = 0.75x + 300.

¿Cuántos cafés especiales se necesitan

vender cada día para obtener el punto de equilibrio? En otras

palabras ¿Cuándo el ingreso es igual a los costos?

Rpta. 200 cafés especiales.

1.1. ECUACIONES

1.1.1. DEFINICION

Una ecuación es una proposición que indica que dos

expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman

una ecuación son llamados sus lados o miembros, y están

separadas por el signo de igualdad.

2. ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita.

¿Qué es una ecuación?

DEFINICIONES

¿Qué solución planteas?

26


Ejemplo:Ejemplo de ecuaciones

a. x + 2 = 3b. x2 + 3 x + 2 = 0

c.

yy−4

=6

d. w = 7 - z

Cada ecuación contiene al menos una variable, que es un símbolo que puede ser

reemplazado por un número cualquiera de un conjunto de números diferentes: x, y,

z ....

Números y se conocen como constantes, ya que son números fijos: 2, 3, ....

Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de

la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ejemplo:La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones.

Ejemplo: 5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2 X2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma

de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, como: x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

1.2. ECUACIONES LINEALES

1.2.1. DEFINICION

Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que

puede escribirse en la forma:

ax + b = c

donde a, b y c son constantes y a 0

También se le conoce como ecuación de primer grado o

ecuación de grado uno, ya que la potencia más alta de la variable que aparece en la

ecuación es la primera.

Ejemplo:

27


Resolver

5x – 6 = 3x 2(p + 4) = 7p + 2

7 x+3

2−9 x−8

4=6

Para resolver una ecuación de primer grado se recomienda que las incógnitas estén

en un mismo miembro y las cantidades numéricas o conocidas en el otro y así se

podrá despejar más fácil.

Ejemplo:Resolver (a + c) x + x2 = (x + a) 2 para x

1.2.2. ECUACION COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES

Todo negocio, consiste básicamente en satisfacer necesidades

y deseos del cliente vendiéndole un producto o servicio por

más dinero de lo que cuesta fabricarlo.

La ventaja que se obtiene con el precio, se utiliza para cubrir

los costos y para obtener una utilidad.

La mayoría de los empresarios, principalmente

de pequeñas empresas definen sus precios de

venta a partir de los precios de sus

competidores, sin saber si ellos alcanzan a cubrir

los costos de sus empresas. La consecuencia

inmediata derivada de ésta situación es que los

negocios no prosperan. Conocer los costos de la

empresa es un elemento clave de la correcta

gestión empresarial, para que el esfuerzo y la

energía que se invierte en la empresa den los

frutos esperados.

Por otra parte, no existen decisiones empresariales que de alguna forma no influyan

en los costos de una empresa. Es por eso imperativo que las decisiones a tomarse

tengan la suficiente calidad, para garantizar el buen desenvolvimiento de las

mismas.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo:“Muebles IKASA” vende en su sede del centro de Lima muebles de oficina, en donde se tienen los siguientes costos de un modelo nuevo que se está ofreciendo en esta sede:

COSTOS FIJOS

28


Alquiler del local de ventasS/ 1,900

Sueldos y jornales vendedoraS/ 800

Energía eléctrica S/ 400 Teléfono S/ 100 Impuestos S/ 473 Honorarios Contador S/ 827

TOTALS/ 4,500

COSTOS VARIABLES Costo por unidad de cada juego de muebles S/ 1,500

Por otro lado, el juego de muebles se está vendiendo a S/. 2.000. En este primer mes la gerencia se ha propuesto una utilidad de S/. 20.000. Por lo tanto, ¿cuántos juegos de muebles debe vender para obtener la utilidad propuesta?

Solución:

¿Cuál es nuestra incógnita?........................................................................

Así, sea x:...............................................................................................

Por lo tanto, la inversión total para dicha cantidad de juegos de muebles es

Esta inversión se denomina Costo Total y tal como te has dado cuenta, si se produce ¨x¨ unidades entonces la inversión es igual a:

CTotal=.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .+.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ..

Por otro lado, teniendo en cuenta la venta de cada par de zapatos a:

Venta: Cada juego de muebles se vende a S/. 2,000 por lo cual si se venden un total de ¨x¨ muebles, se obtendrá un ingreso de:

Dicha cantidad se denomina Ingreso Total y por lo cual se dice que, si se vende ¨x¨ unidades entonces el ingreso total es igual a:

I Total=.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

Teniendo en cuenta ello, por los ¨x¨ juegos de mueble que produce y vende se obtendrá una ganancia de:

GTotal=. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

29


Por otro lado, la gerencia se ha propuesto obtener un ganancia total de S/. 20.000. Por lo tanto reemplazando:

GTotal=. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. ..=20 000

Así el nro. de juegos de muebles a producir y comprar es:.....................

EJEMPLOS DE APLICACIÓN:

1. El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple del número disminuido en 10. ¿Cuál es el número?

Resolución: Sea ”x” el número El exceso del doble del número sobre 18 es: 2x – 18 El triple del número disminuido en 10 es: 3(x – 10) Luego, según el enunciado

2x – 18 = 3(x – 10)Resolviendo:

2x – 18 = 3x – 30 . 12 = x .

Por tanto . El número es 12 .

2. Se tienen dos números, el mayor excede al menor en 15 unidades. Si al menor se le aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la mitad del mayor

Resolución:Recuerda que:Si A excede a B en 15, entonces:

. A + B = 15 . Sean los números:

# menor = x# mayor = x + 15

Según el enunciado

(¿ menor )⏟ + (sus34 )⏟

¿ ¿ mayor2⏟

x + 34

x ¿ x+152

Resolviendo 4x + 3x = 2(x + 15) 7x = 2x + 30 5x = 30 . x = 6 . Luego los número son:

.

# menor=6# mayor=6+15=21 .

ACTIVIDAD 2.1

Instrucciones. A continuación te presentamos algunos ejercicios de aplicación en cada uno de ellos tú mismo eres el protagonista.

30


1. 0.2x = 7

2. 3y = 0

3. 2x – 4x = -5

4. –5x = 10 – 15

5. 3 – 2x = 4

6. 5x – 3 = 9

7. √2x + 3 = 8

8. 7x + 7 = 2(x + 1)

9. 6z + 5z – 3 = 41

10. 2(p – 1) – 3(p –4) = 4p

11. t = 2 – 2[2t – 3(1 – t)]

12.

x5 = 2x – 6

13.

5 y7 –

67 = 2 – 4y

14. 7 +

4 x9 =

x2

15.

x3 – 4 =

x5

16. q =

32 q – 4

17.

x2 +

x3 = 7

18. 3x +

x5 – 5 =

15 + 5x

19.

x+34

− x−49

=12− x+1

4+2 x+1

9

20.

21.

3 x−85

− x−14

+ 7−x3

=4−x3

−8 x−510

22.

2x+1

= 3x−1

23.

132 x−3

−11x+3

=0

24.

3 x+23 x−1

− 6 x6 x−1

=0

25.

x−32

−43(1− 4+2 x

3)=1−x

26.

3x+2

+ 52=0

27.

72 x

− 83 x

+ 94 x

−13=31−7 x

6 x

28.

5x−3

2=3

x

29.

x+4x−3

−2x+52 x

=0

30.

18 x

+ 19 x

+ 112 x

+ 124 x

−1372

=0

31.

34 x

− 514

− 87 x

=1x+ 1

4−11

14 x

32.

30,8 x

− 51,6 x

=1,25

33.

50,6 x

+ 73=16

1,5 x

1. Resolver : 4 - [2 – x - (4-2x)-5] = x + (-5 + 2x)

a) 15 b) 16 c) 4 d) 3 e) 8

2. Hallar “x” de :

ACTIVIDAD 2.1.1

31


2 x−7 {(2 x+4 )−3( x+2 )}=3 x−(−(−x ))+8a) -7/5 b) 22/7 c) –6/7 d) -6/11 e) 6/11

3. Si al resolver :

4x – (2x+3) (3x-5) = 49 – (6x-1) (x+2)

se obtiene la fracción irreductible x = a/b entonces “a + b” es :

a) 12 b) 15 c) 10 d) 14 e) 13

4. Calcular “x” de: 3(x - 4) + (x+3).(x-7) = (x+5)2 – 3

e indicar el valor numérico de:

E=x+1x+7

a) 16 b) -4 c) -5 d) 6 e) 9

5. Hallar “x” de :

2 x3+ x+1

6−7 x

15= x−2

4− x+3

5

a) –12/19 b) –76/25 c) –4/19 d) –4 e) -2

6. Resolver :

12( x−1 )+2

3x+ 1

4 ( x−23 )=x−1

a) 4/3 b) –4/3 c) –2/3 d) –1/9 e) 1/9

7. Hallar “x” de la ecuación :

133 ( x−1

26 )+172 ( x+3

51 )+ 5 x6=0

a) –2/7 b) 4/7 c) –6/7 d) –7/2 e) –4/7

8. Hallar “x” que verifique la ecuación:

(2x–3).(x2 + x –2) = 2x(x.x) – x(x– 5) + 6

a) 1/12 b) 12 c) 0 d) –1 e) 1

9. Resolver para “x” :

( a−1

a+ 1

2 ) x=3a−2

a) a b) a/2 c) 2a d) -a e) 3a

10. Resolver :

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

11. Resolver la ecuación se reduce a 1er grado en “x”.

ax2 + 2x + a = 5x2 – 3ax + 4 ; (a R)

a) – 1 b) – 16 c) – 15/17 d) – 1/17 e) – 1/9 12. En la ecuación : x2 + 6x – m = 0

Hallar “m”, si una raíz es -2.

a) -2 b) -6 c) -8 d) -4 e) 4

13. Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una de las raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a”.

a) -5 b) 5 c) -4/3 d) 4/7 e) -4/7

14.Resolver para “x” :

(a+x )2−a(a−1)=x2+a2

a)

a+12 b)

a−12 c) a d) a-1 e)

1−a2

15.Resolver para “x” : a(x-a) + 2bx = b.( b+2a+x )

a) a+2ab+b b) a+b c) a2+b2

c) ab e) a2+b2+2

16.Hallar “x” :

x (3 a−2b )−a2=x (2a−3 b )−b2

a) a+b b) a-b c) ab

d) a2+b2

e)

a2+b2

a+b


x+a−ba

− x+b−ab

=b2−a2

ab

a) 1 b) ab c) a-b d) 2(a-b) e) 2(a+b)

18.Resolver en “x” :

aax−1

+ abx−1

=0

a)

2a+b b)

2 aa−b c)

32 a+b

d)

ba+2b e)

1a+b


x−ax−b

+ 2a+2 ba+b

=ba+2

a) a+b b) a-b c) 1 d) a2−b2

e)

a+ba−b

20.Hallar “x” de :

1x+a

+ x2

a ( x+a)= x+a

a

32


a)

1−a2 b)

a+12 c)

a2

d)

a−1a+1 e)

aa+1

21.Para que valor de “x” en términos de “a” y “b” se obtiene A = B donde :

A=2 [a( x+b )+b( x+a )]B=( x+a)( x+b )−x2

a)− ab

a+b b) −3 ab

a+b c)

3aba−b

d)

3 aba+b e)

aba+b

22.Indicar el valor de “x” que haya posible la igualdad :

23( x−1 )− x+2

4= x

2−2

5( x−5 )

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

23.Despejar el valor de “x” para que verifique :

x+1x+2

+ 42 x+1

=35+ 8

4 x+2

a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/5 e) 5/2


a(a−x )b

−b(b+x )

a=x

a) a+b b) a-b c) a d) b e) ab

25.Resolver :

1+ 112+

112+

1x

=2

a) 1/3 b) 3 c) 2/3 d) -3 e) -1


axa+b

+2 ab= bxa−b

+a2−b2

a) a2+b2 b) a

2−b2 c) 2 a2+b2

d) a2+2 b2 e) 2 a2−b2

27.Resolver la ecuación :

2√x=√3 x+6+√xe indicar el valor numérico de :

E=( x−3 )2−√x

a) 12 b) –1 c) 33d) 9 e) Dos anteriores son correctas

28.Resolver la ecuación :

√9 x+√x=3 √x+ 1

7

a) 1/7 b) √7 c) 1/49 d)

1

√7 e) 49 29.Indique el valor de “x” que verifique la

igualdad :

( x2+3 x+5)( x2+3 x+3 )−x=( x2+3 x+4 )2+xa) 0 b) 1 c) ½ d) –1/2 e) 2


1+2x

3−4

2x−3

=3− 4

x+7+2 x

3−4

x+7

;x=¿0 ¿

a) 6 b) 4 c) 9 d) 12 e) 10

31.Hallar “x” para obtener A = B donde :

A=x+7

2−32 x−3

+x+5

2−5x−4

B=x+3

2−32 x−3

+x+9

2−5x−4

a) -3/7 b) –7/3 c) 3/7 d) 7/3 e) 10

32.Si una de las soluciones de la ecuación dada

es “ab” :

x+ba+1

+ x+ab+1

=2x

lo correcto es :

a) ab(a+b) = 1 b)

aba+b

=2 c) ab(a+b) =√2

d) ab(a+b) = 2 e) ab+a+b = 2

33.En la ecuación :

2 [a( x+b )+b( x+a )]=( x+a)( x+b )−x2

Se obtiene para “x” el valor :

a)

4aba−b b)

3aba−b c)

−3 aba+b

d)

5 aba+b e)

− aba+b

33


34.Hallar “x” si :

(a -1) (x+a) –2a(a-1) = 2a(x-a)

a) a b) -a c) 2a d) a + 1 e) a – 1


(a+x )2−a(a−1)=x2+a2

a)

a+12 b)

a−12 c) a

d) a - 1 e)

1−a2

36.Hallar la solución de la ecuación :

x+ax+1

= 3 xax+1

si esta se reduce a una ecuación lineal.

a) 7/5 b) 7/3 c) –3/7d) –2/3 e) 1/7

ACTIVIDAD 2.2


1. La edad de Juan aumentada en 8 es 27 ¿Cuál es la edad de Juan?

2. El doble del dinero que tengo disminuido en 70 es 48. ¿Cuánto es el dinero que tengo?

3. El triple de la suma de un número de empleados de una empresa con 6 es 48 ¿Cuál es el número de empleados?

4. El número de hombres es 5 veces el número de mujeres, si en total hay 42 personas, entre hombres y mujeres ¿Cuántas mujeres hay?

5. El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres, si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿Cuántos hombres hay?

6. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”

7. El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45 ¿Cuánto tengo?

8. Hallar un número, tal que al agregarle 432 obte Al retirarse 14 personas de

una reunión se observa que ésta queda disminuida en sus

29 partes.

¿Cuántas quedaron?

9. A Gildder le preguntan la hora y responde: “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas”. ¿Qué hora es?

10. Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

11. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre

los

35 del número y sexta parte del mismo?

12. Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?

34


AUTOEVALUACIÓN 2.1

1. El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P (x)en miles de soles., está relacionado con el número de asistentes que esténinteresados en su adquisición, a través de la siguiente expresión:P (x) = 5x+ 50 si 0 ≤ x ≤ 10.¿Si el precio es de 95 mil soles cual es el numero de asistentes?

2. Doce es excedido por 18 en la misma medida que el número es excedido por su triple. Hallar el exceso de 20 sobre el número.

3. Tenía S/. 85, gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gasté ¿Cuánto gasté?

4. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el miércoles el doble de lo que gané el martes, el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes S/. 30 menos que el jueves y el sábado S/. 10 más que el viernes. Si en los 6 días he ganado S/. 911 ¿Cuánto gané el miércoles?

5. Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da 6 pasos más que subiendo de cinco en cinco. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera.?

6. Compré el cuádruple del número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas mas tendría el triple de número de caballos que el de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré?

7. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?

8. Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres?

9. Calcular cuatro números consecutivos tales que la tercera parte de la suma de los mayores sea 10 unidades menos que la suma de los dos primeros.

10. La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

2.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

MOTIVACIÓN

En una frutería se venden un promedio de 55 kilogramos por día cuando el precio es de S/ 9 por kilogramo. Las ventas aumentan 4 kilogramos diarios por cada S/. 0.50 que se disminuye en el precio.

35


Encontrando un ecuación para el ingreso

X número de disminuciones

Soles

Ingreso

0 55(9)=4951 (55 + 4x1)(9 - 0.50x1) = 501.52 (55 + 4x2)(9 - 0.50x2) = 504⋮ ⋮x (55 + 4x)(9 - 0.50x)=

−2 x2+8 .5 x+495

Así la ecuación par el ingreso sería: ingreso=−2 x2+8 . 5 x+495 . ¿Cuánto le ingresa si el precio llegó un día a S/. 5.5?. ¿Cuánto fue el precio, un día en que hubo un ingreso de S/ 490?

Llamadas también ecuaciones CUADRÁTICAS, son aquellas ecuaciones que

presentan la siguiente forma general:

a x2 + b x + c =0 . . . . . . . . . . . (1)

∀ a ≠ 0 y a , b , c ⊂ Rdonde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos (1).

El coeficiente “a” se llama coeficiente cuadrático o de segundo grado.

El coeficiente “b” se llama coeficiente lineal o de primer grado y

El coeficiente “c” se llama término lineal.

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.

¿Qué es un ecuación cuadrática?

36


Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuación de segundo grado se

llama completa y si b ó c o ambos, son ceros, la ecuación de segundo grado se

llama incompleta.

Así dado: a , b y c ≠ 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación de segundo

grado completa.

Toda ecuación de segundo grado presenta dos raíces o soluciones, llamémoslas, x1

y x2.

Estas raíces se pueden obtener mediante dos métodos:

1.2.3. METODOS DE SOLUCION:

1.2.3.1. METODO DE LA FORMULA GENERAL:

De la ecuación a x2 + b x + c =0 se deduce la formulación clásica que despeja la

variable:

x =−b ± √b2− 4 ac

2 a . . . . . . . . . . . (2)

siendo:x1 =

−b + √b2− 4 ac2 a

. . . . . . . . . . . (3)

x2=−b− √b2− 4 ac

2 a . . . . . . . . . . .(4)

Se define la cantidad subradical: b2 – 4ac como el discriminante (invariante

Característico) de la ecuación cuadrática y se le denota por :”Δ”, luego:

Δ = b2−4 ac . . . . . . . . . . . . . . . . .(5)

1.2.3.2. METODO DE FACTORIZACION:

Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 siempre y

cuando se pueda.

Los pasos de este método son los siguientes:

Se trasladan todos los términos a un sólo miembro dejando el otro miembro

igual a cero.

Se factoriza este miembro por el método del aspa simple.

Para obtener las raíces de la ecuación, se iguala cada factor a cero.

Discusión de las raíces de una ecuación de segundo grado.

37


Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, ∀ a≠0

dependen de la discriminante Δ dado por (5) así:

Primer caso:

Si Δ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y desiguales.

Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones:

a) si Δ es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales.

b) si Δ no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas.

Segundo caso:

Si Δ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde:

x1 = x2 =− b2a . . . . . . . . . . . . . . . .(6)

Tercer caso:

Si Δ < 0 entonces las raíces x1 y x2 son complejos y conjugados.

1.2.4. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO.

Sea la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, a≠0 y sus raíces x1 y x2

tendremos las siguientes propiedades:

a) Suma de raíces:

x1 + x2 =−ba . . . . . . . . . . . . . . . .(7)

b) Producto de raíces:

x1 .x2 =ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(8)

c) Diferencia de raíces:

|x1 − x2|=√b2− 4 ac

a . . . . . . . . . . . .(9)

d) Suma de cuadrados de las raíces:

x12 + x

22 =b2− 2 ac

a2 . . . . . . . . . . . .(10)

e) Identidad de Legendre aplicada a las raíces:

38


( x1 + x2 )2− ( x1−x2 )

2 = 4 x1 . x2 . . . . .(11)

CONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

CONOCIENDO SUS RAÍCES:

Conociendo las dos raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado ,esta se

construye empleando la suma y el producto de dichas raíces.

Luego la ecuación que dio origen a x1 y x2 es :

x2 −( x1+x2 )x + ( x1 . x2 )= 0 . . . . . . .(12)

llamada también : forma canónica de la ecuación de segundo grado.

O bien :

x2 −Sx + P= 0

siendo: S =x1 + x2 y

P= x1 . x2

1.2.5. PROPIEDADES ADICIONALES DE LAS RAÍCES:

* La ecuación de segundo grado: : ax2 + bx + c = 0, ∀ a≠0 tiene raíces simétricas

(raíces de igual valor pero de signo contrario) si y solo si :

x1 =−x2 de allí que : x1 + x2= 0

entonces b= 0 . . . . . . . . . . . . . . . (13)

* La ecuación de segundo grado: : ax2 + bx + c = 0, ∀ a≠0 tiene raíces recíprocas

(una de las raíces es la inversa de la otra) si y solo si:

x1=1x2 de allí que :

x1 . x2=1 entonces a = c . . . . . . . . . . . . . . .(14)

RAÍZ NULA:

Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, ∀ a≠0, si esta presenta una

raíz nula (x=0) entonces:

c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15)

39


RAÍZ UNIDAD:

Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, ∀ a≠0, si esta presenta una

raíz unidad (x=1) entonces :

a + b + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . .(16)

Soluciones de una ecuación cuadrática

1.2.6 Solución por completación de cuadrados.

Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática.

Se supone que la ecuación: ,con a 0 ,es equivalente a la ecuación cuadrática:

(1).

Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:

ó

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene

sentido solo si ), se obtiene:

,de donde (2).

La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación

cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación : .

Casos especiales

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos : :

1er. Caso: ax2 + bx = 0 2do. Caso: ax2 + c = 0

Para resolver la ecuación cuadrática, puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

40


Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.

En el primer caso, ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0 (hemos factorizado)

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax+b=0.

Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 → 3x+5=0 ó x = 0, despejando x concluimos que las soluciones son: x = 0 y x = – 5/3.

En el segundo caso, ax2 + c = 0 → ax2 = – c → x2 = – c/a →

Por ejemplo: 3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17 →

Tipos de soluciones: Reales e imaginarias

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:

Dos raíces reales distintas Una raíz real (o dos raíces iguales) Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:

D = b2 - 4.a.c

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.

Ejemplos de verificación de las soluciones

A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.

1.- Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x - x2 = 9

3.- Resolver: -6x + 13 = - x2

Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

1. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

41


Supóngase que:

x = ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que:

x + 3 = largo de la sala. // El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:

x. (x + 3 ) = área de la sala. Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la sala

x + 5 = nuevo largo de la sala

(x + 3 ).(x + 5) = nueva área de la sala

La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación:

(x + 3 ).(x + 5) = 2 . x. (x + 3 )

Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x

Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0

Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver. Se aplica la resolvente y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros. Mirando las condiciones iniciales, se deduce que el largo es: x + 3 = 8 metros. Así que el área original era 8m.5m = 40 m2.

2. Halle el área y perímetro de una tienda comercial de forma de un tríángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos; se plantea entonces la ecuación:

(x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2

Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x2 + 2.3.x + 32 + x2 - 2.4.x + 42 = (2x)2 - 2.(2x).5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25

Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0

42


Finalmente: -2 x2 + 18x = 0 Esta es la ecuación a resolver

Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2 = 30 m2. El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

3. La empresa Nail S.A. que se dedica a la producción de zapatos, tiene un costo fijo mensual de S/. 300 y un costo variable por unidad producida de S/. 10. Además, se sabe que su ingreso está dado por:

I ( x )=−0,1 x2+100 x

donde x es el número de artículos que produce y vende la empresa mensualmente.

(Recordemos que U ( x )=I ( x )−C ( x ) )

a) Determinar la utilidad mensual de la empresa en función de x .

b) Hallar la utilidad que obtendrá la empresa si produce y vende 200 artículos.

4. Usted de solución a lo siguiente

En un comercio se pueden encargar espejos enmarcados a medida. El precio es de 3 000 soles por m2 de espejo y 500 soles por m. lineal de marco. Calcula las dimensiones del espejo que se puede comprar por 2280 soles.

c)d)

ACTIVIDAD 2.2

1. Resolver:

a) (x + 2)(x – 1) = 0


43


b) (2x + 1)(4 –3x) = 0

c) 10x2 – x – 3 = 0

d) 5x2 – 7x + 2 = 0

e)

f) 6x2 – 11x – 7 = 0

g) 3x2 + 8x – 6 = 0

h) -x2 – 11x = 0

i) 2x2 –

12 x = 0

j) (x + 3)2 = (x – 1)2 + 28

k) x+√ x2−20=10

l) √ x2−4 x+8+4=x

m) √4 x2+3 x+√ x2+3 x−2=2 x+1

n)

1. Resolver la ecuación :

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2. Resolver :

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

3. Resolver :

A) 12 B) 14 C) 16 D) 12 E) 20

4. Hallar la menor solución de:

A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5

5. Si: x2 – nx +36 = 0, admite como raíces a: x1

x2, tal que :

1x1

+ 1x2

= 512

encontrar el valor

de “n” .

a) 25 b) 18 c) 12 d) 24 e) 15

6. Resolver: 3x2 + 5x – 12 = 0 indicar una de las soluciones:

a) 1/3 b) 2/3 c) 5/3 d) 4/3 e) N.A.

7. Resolver : 4x2 – 13x + 3 = 0 e indicar la mayor solución:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/4

8. En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces : x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x – 4

a) -2 b) -3 c) -4 d) -5 e) 4

ACTIVIDAD 2.2.1

44


9. Calcular “m” en la ecuación: (m + 1)x2 - (m + 8)x + 10 = 0

Para que la suma de raíces sea 9/2.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Resolver la ecuación: x2 – 7x + 12 = 0 y dar como respuesta el producto de las

raíces dividido entre la suma de las raíces.

a)

712 b)

127 c)

− 712 d)

−127 e) 1

11. Calcular “a” en la ecuación:(a + 4)x2 - (a + 3)x + 10 = 0

Para que la suma de raíces sea 6/7.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones presenta como raíces a:

x1=√3 ; x2=−√3 ?

a) x2 + 3x + 1 = 0 d) x2 + 3x + 3 = 0

b) x2 + 9 = 0 e) x2+√3=0

c) x2 – 3 = 0

13. Resolver :

x4= −1

x+5 . Indicar la mayor raíz:

a) 1 b) -1 c) -4 d) 4 e) 5

14. Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una de las raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a”.

a) -5 b) 5 c) -4/3 d) 4/7 e) -4/7

15. En la ecuación: x2 – (m + n)x + 2m + 2 = 0tiene por raíces a : x1 = 2 y x2 = 3Hallar: “m - n”

a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3

16.Resolver : 29x 625 . Dar una raíz.

A) 3/5 B) 5/3 C) 25/3 D) -25/4 E) N.A.

17.Resolver : 23x 7x

Indicando la menor de sus raíces.

A) 0 B) 1 C) 7/3 D) -7/3 E) N.A.

18.Indica una raíz de: 2(3x 4) 64

A) 3 B) -4 C) 1 D) -2 E) N.A.

19.Resolver e indicar la menor raíz:

2x 8x 4 0.

A) 4 2 3 B) 4 2 3 C) 4 2 3

D) 4 3 E) N.A.

20.Resolver indicando la mayor raíz:

2x(x 1) 5 3x

A)

1 41

2

B)

1 41

4

C) 1 41

4

D) 1 41 E) N.A.


2. El taller artesanal “La pastorcita S.A.” está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes de madera. Los costos de fabricación, C(x) en soles, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la siguiente expresión:

C ( x )=10 x2+2000 x+250000

El precio de venta de cada juguete es de 8000 soles.

a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta delos juguetes producidos.

b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entreingresos y costos de fabricación.

c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para tener 650 000 de beneficios?

3. El costo total para un fabricante esta conformado por costos indirectos fijos de $ 20 mas costos de producción de $ 50 por unidad. Si en el presente mes el fabricante ha tenido por costos totales la suma de $200200, cuál ha sido el numero de unidades fabricadas?

45


4. La empresa “El Porvenir. S.A.” ha estimado que los ingresos y los gastos anuales (en soles) que genera la fabricación y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones:

{ I ( x )=28 x2+36000 xC ( x )=44 x2+12000 x+700000

Determina, justificando las respuestas:a) la función que define el beneficio anual.b) el número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea300000.

5. Alguien regala US$ 525 para repartirlos entre los niños de Comas del cuarto

año del nivel primario de un centro educativo. Como 25 niños estaban ausentes, cada uno de los niños presentes obtuvo US 0,50 más. ¿De cuántos niños se componía el cuarto año del nivel primario?

6. Dámaris compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró Dámaris?

7. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.

8. Francisco tiene dos años mas que Augusto y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades.

9. Se quiere hacer una caja de 50 cm3

de volumen con una cartulina cuadrada. Para hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de 2 cm de lado. ¿Cuánto mide el lado de la cartulina cuadrada?

AUTOEVALUACIÓN 2.2

1. A tiene 3 años más que Juan y el cuadrado de la edad de Alberto aumentado en el cuadrado de la edad de Juan equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

2. Hallar el mayor de cinco números enteros consecutivos; sabiendo que el exceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es 28.

3. Para cerrar la finca “El Majeño” que tiene forma rectangular de 4.2 m2

se han utilizado 260 m de alambre. Halla las dos dimensiones del rectángulo.

4. La producción de alcachofas en un invernadero, Q(x) en kg., dependede la temperatura, x en ºC, según la expresión:

Q(x) = (x + 1)2

(32 − x)

Calcular cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero para tener una producción de 5324 kg.

5. La entidad financiera “Crecer” lanza al mercado un plan de inversión cuya

46


rentabilidad, R(x) en miles de soles., viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en miles de soles., por medio de la siguiente

expresión: R(x) = −0.001x2

+ 0.5x + 2.5.

Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan si la rentabilidad es de 65 mil soles.

6. Gerardo, un granjero, obtiene un beneficio de x soles. por cada (x + 5) huevos que pone su gallina. Si su beneficio fue de 84 soles, determina el número de huevos que puso su gallina.

7. El área de una parcela rectangular mide 37.500 m2. Si la base de la parcela mide 100m más que su altura, ¿cuáles son sus dimensiones?

8. Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 13 m de diámetro para hacer una piscina rectangular que tenga un lado 7 m más que el otro y la diagonal del rectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles serán las dimensiones de la piscina?

9. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número?

Cualquier cosa que valga la pena tener merece que se trabaje por ella.

(Andrew Carnegie)

Sesion Nro. 03

Sistema de Ecuaciones

Roxana invirtió en total de 20 000 soles en tres inversiones, al 6%, 8% y 10%. La ganancia total anual fue de 1 624 soles. Si se sabe que la ganancia de la inversión al 10% fue el doble de la ganancia de la inversión al 6%, ¿cuánto invirtió Roxana en cada tipo de inversión?

1. INTRODUCCIÓN

Era el final del verano de 1949. El profesor de Harvard Wassily Leonief, estaba

introduciendo cuidadosamente la última de sus tarjetas perforadas en el

computador MarkII de la universidad. Las tarjetas contenían información sobre la

economía de los Estados Unidos de Norteamérica y representaban un total de


MOTIVACIÓN

47


250,000 piezas de información producidas por las agencias de Estadísticas del

Trabajo de E.U.A. tras dos años de intensa labor. Leontief había dividido la

economía Norteamérica en 500 sectores, tales como la industria del carbón, la

industria automovilística, comunicaciones y así sucesivamente.

Para cada sector, había escrito una ecuación lineal que describía de cómo este

distribuía su salida hacia otros sectores de la economía. Debido a que Mark II,

uno de los computadores más grandes de aquella época, no podía manejar los

sistemas resultantes de 500 ecuaciones con 500 incógnitas, Leontief destiló el

problema a un sistema de 42 ecuaciones con 42 incógnitas.

Programar el computador Mark II para las ecuaciones de Leontief había

requerido varios meses de esfuerzo y él estaba ansioso por ver cuánto llevaría

al computador resolver el problema. El Mark II zumbó y parpadeó durante 56

horas antes de producir finalmente una solución.

Leontief, quien obtuvo el precio nóbel de economía en 1973, abrió una puerta a

una nueva era de modelos matemáticos en economía. Sus esfuerzos en

Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos significativos del uso de

las computadoras para analizar lo que en entonces era un modelo matemático

a gran escala.

Debido a la gran cantidad masiva de datos implicados, los modelos son

generalmente lineales, es decir se escriben como sistemas de ecuaciones

lineales.

Los científicos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho más complejos

que los que se podían imaginar hace algunas décadas. Hoy el álgebra lineal

tiene un valor potencial para los estudiantes en muchos campos científicos y de

negocios que cualquier otra materia de las matemáticas y en este texto se dará

las bases para un trabajo posterior en muchas áreas importantes.

2.

Una ecuación lineal con las variables x1, x2,...,xn es una ecuación que puede

escribirse de la forma

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b (1)

donde b y los coeficientes a1, a2,..., an son números reales o complejos.

En los ejercicios de este texto, n normalmente está entre 2 y 5. En los

problemas de la vida real, n puede ser 50 ó 5000 ó incluso mayor.

CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

El subíndice n puede ser cualquier entero positivo.

48


Más en general un Sistema de m ecuaciones con n incógnitas, o simplemente

un sistema lineal, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una con n

incógnitas y se puede denotar como:

(2)

Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z,

t..

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número

de incógnitas.

3x – 2y + z – t = 2

y + z + 2t = 1

x + y – 3z + t = 0

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2,1,-

1.

El término independiente de la misma es el 2.

En un sistema de ecuaciones de 2 variables con 2 incógnitas podemos tener

geométricamente las siguientes posibles soluciones.

(a) (b) (c)

tenemos:

(a) Única solución (b) ninguna solución (c) infinitas soluciones

Es decir:Un sistema de ecuaciones lineales tiene ya sea:

Ninguna solución, o

Exactamente una solución, o

Un número finito de soluciones

49


Decimos que un sistema lineal es “consistente” si tiene una solución o bien un

número infinito de soluciones; un sistema es “inconsistente” si no tiene ninguna

solución.

3.

Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:

1. Incompatible: No tiene solución.

2. Compatible: Tiene solución

a. Compatible determinado: Única solución

b. Compatible indeterminado: Infinitas soluciones.

Ejemplos: verificar que;

x + y = 3

2x + 2y = 8

x + y = 3

x - y = 1

x + y = 3

2x + 2y = 6

Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de

tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible

o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o

indeterminado.

4.

Los conocimientos adquiridos sobre matrices facilitan la escritura de un sistema de

ecuaciones lineales de manera más reducida.

Consideremos un sistema como el (1), escrito en forma clásica.

En él se pueden considerar las siguientes matrices:

A = (a11 a12 . .. a1n

a21 a22 . .. a2n

.. . . .. . .. . . .am1 am2 . .. amn

)

X = (x1

x2

. . .xn

)

C = (c1

c2

.. .cn

)

Incompatible. No tiene solución

Compatible determinado. Única solución

Compatible indeterminado. Infinitas soluciones

TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS

TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS

50


El sistema (1) se puede escribir en forma matricial, así: A . X = C (3)

Si en el sistema [1] consideramos las siguientes matrices:

A1 = (a11

a21

.. .an 1

) A2 = (a12

a22

.. .an2

) ...

An = (a1 n

a2 n

.. .amn

) C = (c1

c2

.. .cn

)El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:

A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn = C (4)

Consideremos el sistema :

2 x− y+z=6x+4 y−2 z=03 x−5 y−2 z=4

se tiene que

A = (2 −1 11 4 −23 −5 1 ) B = (2 −1 1

1 4 −23 −5 1

604 )

A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de

orden 3x4.

El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

Forma matricial: (2 −1 11 4 −23 −5 1 ) ( x

yz ) = (604)

Forma Vectorial: ( 2

13 ) x + (−1

4−5 ) y + ( 1

−21 ) z = ( 6

04 )

Observemos que en el sistema:

3x + 2y – 3z + t = -8

x + y + 2z – t = 4

x + y + z + 2t= 7

el elemento S=(1,1,13,2) es solución, ya que se verifica

(311 ) (−1 ) + (211) (1 ) + (−3

21 ) (3 ) + ( 1

−12 ) (2 ) = (−8

47 ) . Compruébese

SISTEMAS EQUIVALENTES

51


5.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es

solución del segundo y viceversa (No es necesario que tengan el mismo número

de ecuaciones).

Los sistemas son equivalentes

x + 3y = 6

2x - y = 5 y x + 3y = 6

x - y = 2 3x – 2y = 7

Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1

Nos vamos a referir a un sistema de ecuaciones especialmente fáciles de

resolver, a las que luego reduciremos todos los demás sistemas: todo

sistema de ecuaciones lineales resultará ser equivalente a algunos de los

sistemas escalonados de este modo surge:

Ejemplo 1 Solución única.

Resolver el sistema

x+ y−z=12 x+3 y+z=35 x− y+2 z=2

Solución

para resolver escribiremos el sistema como una matriz aumentada.

(1 1 −1 12 3 1 35 −1 2 2 )

entonces se obtiene sucesivamente

(1 1 −12 3 15 −1 2

132 ) F2→F2−2 F1

F3→F3−5 F1

(1 1 −10 1 30 −6 7

11−3) F3→F3+6 F1

(1 1 −10 1 30 0 25

113)

F3→1

25F3 (1 1 −1

0 1 30 0 1

11

3/25)F1→F1+F3

F2→F2−3 F3(1 1 00 1 00 0 1

28 /2516 /253/25 )F1→F1−F2

(1 0 00 1 00 0 1

12/2516 /253/25 )

METODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-

JORDAN

52


Entonces tendríamos que:

z = 325

, y = 1625

, x = 1225

Se trata de un sistema compatible determinado, es decir posee una única

solución.

Ejemplo 2 Número infinito de soluciones.

Resolver el sistema:

x+2 y+3 z=94 x+5 y+6 z=242 x+7 y+12 z=30

Solución

A fin de resolver escribiremos el sistema como una matriz aumentada.

(1 2 3 94 5 6 242 7 12 30 )

entonces se obtiene sucesivamente.

(1 2 3 94 5 6 242 7 12 30 )F2→F2−4 F1

F3→F3−2 F1(1 2 3 90 −3 −6 −120 3 6 12 )

F3→F3+F2 (1 2 3 90 −3 −6 −120 0 0 0 )

F1→F1−2 F2

F2→−13

F2 (1 0 −1 10 1 2 40 0 0 0 )

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

x−z=1y+2 z=4 esto es:

x=1+zy=4−2 z esta será una solución sea cual sea el

valor de z

estas soluciones se escriben como:

(1+z ,4−2 z , z ) z∈ℜLas soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro z .

Esto es un sistema compatible indeterminado.

Ejemplo 3. Sistema inconsistente.

Resolver el sistema:

− y+z=1x+2 y+4 z=32 x+4 y+8 z=1

Solución

La matriz ampliada del sistema es:

53


(0 −1 11 2 42 4 8

−231 )

haciendo operaciones elementales se tiene:

(0 −1 11 2 42 4 8

−231 )

F1 ↔ F2 (1 2 40 −1 12 4 8

3−21 )

F3→F3−2 F1 (1 2 40 −1 10 0 0

3−2−5)

Observemos que la última ecuación es: 0 x+0 y+0 z=−5 , lo cual es imposible

porque 0≠−5

Se observa que el sistema es incompatible o inconsistente.

Ejemplo 4. Resuelve e interpreta geométricamente el sistema:

3262

54

43

zyx

yx

zyx

Solución:

En primer lugar, lo resolvemos mediante el método de Gauss:

11000

97

43

11000

9170

4131

3262

5041

4131

aa

aa

a

123

12

1

zyx

zy

zyx

La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible. Geométricamente, el sistema representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres.

Ejemplo 5.

En una reunión hay 22 personas, entre contadores, administradores y secretarias. El doble del número de administradores más el triple del número de secretarias, es igual al doble del número de contadores.

a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de contadores que hay?

54


b) Si, además, se sabe que el número de contadores es el doble del de administradores, ¿cuántos contadores, administradores y secretarias hay?

Solución:

a) Llamemos x al número de contadores, y al de administradores y z al de secretarias.

Como hay 22 personas, tenemos que: x+y+z = 22

Con el otro dato, planteamos otra ecuación: 2y + 3z = 2x

Solo con estos datos no podemos saber el número de contadores (ni el de administradores, ni el de secretarias) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incógnitas, para que pueda ser compatible determinado, necesitamos otra ecuación.

b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el sistema:

12

66611

41822

09662

322

032

223

2

0322

22

x

yy

z

yy

yz

zy

zy

yx

zyx

zyx

Por tanto, hay 12 contadores, 6 administradores y 4 secretarias.

ACTIVIDAD 3.1

I.- Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resuelve los sistemas:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8){2 x− y−z=4 ¿ {3x+4 y−2 z=11 ¿ ¿¿¿

55


9){x+2 y+4 z=31 ¿ {5x+ y+2 z=29 ¿ ¿¿¿

10){2 x− y−z=4 ¿ {3x+4 y−2 z=11 ¿ ¿¿¿

11){x+3 y−z=0 ¿ {3 x−4 y+z=2¿ ¿¿¿

12)

13){2 x+2 y−z=2¿ {x−3 y−2 z=2 ¿ ¿¿¿

14) {x+5 y+4 z=1 ¿ {2x−5 y+3 z=−3 ¿ ¿¿¿

15){3 x+2 y+z=5 ¿ {x+ y−z=0 ¿ ¿¿¿

Resolver los siguientes problemas

1) Elmer, alumno de la UCV, obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas.

b) Resolver el sistema.

2) En el hotel “La Bella Durmiente” tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

3) Sergio, un oficinista, compra 30 objetos entre lápices y bolígrafos con un costo de 1.24 soles. Si los lápices cuestan 25 soles y los bolígrafos 60 soles ¿Cuánto bolígrafos y lápices compró Sergio?

La clave del éxito depende sólo de lo que podamos hacer de la mejor manera posible.

-H.W. Longfellow

56


1. Resolver el sistema :

{ 7 x−4 y=5 ¿ ¿¿¿

. Indique : y – x

a) 2 b) 1/4 c) 4 d) 1/2 e) 8


{ 6 x−18 y=−85 ¿¿¿¿

. Indique : y.x –1

a) 1/2 b) 1/6 c) 4 d) 1/9 e) 6


{ 3 x−2 y=5 ¿ ¿¿¿

. Indique : y x

a) 1/2 b) 9 c) 4 d) 8 e) 6

4. Dado el sistema :

{4 x−3 y=1 .. . .. .. . ..(1 )¿ ¿¿¿ . Hallar : “x +

y”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Al resolver el sistema :5x – 4y = -142x + 3y = K

Se halla que “y” es el triple de “x” , entonces “K” es :

a) 15 b) 2 c) 22 d) 18 e) 21

6. Halle el valor de √ xy del sistema :

2√x+3√ y=14 ............... (1)4x – 9y = -56 ................ (2)

a) 12 b) 5,2 c) 7,5 d) 8 e) 4,5

7. Resolver el siguiente sistema :

x + y = m 3√ xy ................. ()

x3 + y3 = nxy ................. ()

Y dar como respuesta 3√ xy en función de “m” y

“n”

a)

m3−n3m b)

m3

n c)

n−m3

3 d) 1 e) 0

8. Halla “x.y” en : 4x - 5y + 5 = 2x - 8y + 9 3x + 8y - 6 = 2y - 2x + 1

a) -1/2 b) 6 c) -2 d) -6 e) 2/3

9. Halla “x” en : 2(x + 3) + 3(y + 2) = 18 3(x + 4) + 4(y + 3) = 36

a) -12 b) 12 c) -6 d) 0 e) 6

10. Hallar : “x + y” en :

{x3 y5

−xy=2 . .. .. .. . ..(1 )

¿¿¿¿

a) 88

19 b)

8869 c)

8789 d)

8889 e)

88

11. Dado el sistema : {5 xy=12( x+ y ) ¿ {5 yz=18( y+z ) ¿ ¿¿¿

Hallar : “x + y + z”

a) 2 b) 19 c) 4 d) 20 e) 8

12. Dar como respuesta “xy” al resolver :

{√ x+ y+5−√20 x+20 y=0 ¿ ¿¿¿

a) 16 b) 15

19 c)

169 d) 4 e)

2

ACTIVIDAD 3.1.1

57


13. Resolver:

2√x+5−3√ y−2=3

3√ x+5−4 √ y−2=5 . Indique :

y x

a) 81 b) 4 c) 9 d) 1 e) 25

14. Resolver el sistema: 2x – 3y + z = 11 5x – y – 2z = -10 . Hallar : “ xyz ” 2y + 3z = 6

a) 3 b) 4 c) 12 d) 24 e) -24

15. Sea el sistema compatible determinado:

(3m + 1)x + my = 212x + 3y = 1 . Indicar lo correcto:

a) m ≠ 2 b) m ≠ 1c) m ≠ 3

d) m ≠ -1 e) m ≠ -2

16. Sea el sistema indeterminado:

(a + 1)x + (b + 2)y = 122x + 3y = 4 . Indicar: “a + b”

a) 2 b) 5 c) 7 d) 12 e) 3

17. Determine el valor de “k” para que el sistema :

(k + 1)x + y = 3 2x + (k - 1)y = 1 sea incompatible.

a)√2 b)√3 c) -√3

d) -√2 e) Hay dos correctas

18. Resolver :

3√ x+3−√ y+2=44 √x+3+2√ y+2=12 . Indicar: “x - y”

a) 1 b) -1 c) 0 d) -2 e) 2

19. Halla “x.y” en :

5x + 8y - 3 = 3x + 5y + 5 3x + 7y - 8 = 2y - x + 6

a) 2 b) 8 c) 20 d) 6 e) 10

20. Determine “a + p” de modo que el sistema :

(a - 1) x + 4y = 10 2x + (p + 1) y = 5

tenga infinitas soluciones.

a) 5 b) 7 c) 6 d) 3 e) 9

21. Si :

xyx+ y

=a ;

xzx+z

=b ;

yzy+ z

=c

donde : a, b, c 0. Entonces el valor de “x” es :

a) abc (ab+ac+bc )−1 b) 2 abc (ab+ac+bc )−1

c) 2 abc (ab+ac−bc )−1 d) 2 abc (bc+ac−ab )−1

e) abc(ab – bc - ac)

22. ¿Cómo debe ser la dependencia entre “a” y “b” para

que el sistema : x + y = 3 ax + by = 5b 5x – 3y = 7

tenga solución única? a) 3a=5b b) a=b c)

b=2a d) 3b=5a e) a=2b

23. Indicar el valor de “x” al resolver :

x+2√x+ y+z=ay+2√x+ y+z=bz+2√x+ y+z=c Si : a + b+ c

=16

a) a-10 b) a+16 c) a-4 d) a-8 e) a+12

24. Después de resolver :

√ x+ y+√5 x+25 y=√5+25√ x+5 y−√5 x+5 y=5√5−5

Señale el valor de “xy” .

a) 249 b) -750 c) – 285 d) 432 e) 125

25. El valor que debe dársele a “k” en el sistema:

13k - ky = 29 7k + kx = 51

para que “x”e “y” sean iguales es:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

26. Hallar el valor de “c” en el sistema:3x - 2y = c2x + 3y = c

sabiendo que el valor de “x” excede en 12 al de “y”.

a) 25 b) 36 c) 37 d) 39 e) 40

27. Para qué valores de “a” y “b” el sistema :

(a + b)x + (a - b) y = 15 (2a-3b)x + (2a-5b)y = 2b

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tiene por solución : x = 3 , y = - 7Indicar : “ b/a ”

a) 6 b) 10 c) 20 d) 203

28. Para qué valor de “k” el sistema :

(2k + 1) x + 5y = 7 (k + 2) x + 4y = 8 es

incompatible.

a) 2 b) 3/2 c) 3 d) -3/2 e) ½

Sesión Nro. 04

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) En La tienda “El Recuerdo” donde venden antigüedades hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?

2) Ernesto invirtió en total de 20 000 soles en tres inversiones, al 6%, 8% y 10%. La utilidad total anual fue de 1 624 soles. Si se sabe que la utilidad de la inversión al 10% fue el doble de la utilidad de la inversión al 6%, ¿cuánto se invirtió en cada tipo de inversión?

3) El número de pasajeros de una línea de ómnibus es de 1 000. Si el pasaje de niño cuesta S/. 0.50, el de adulto S/. 1.20 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es S/. 1 042.5, ¿cuántos niños y cuántos adultos utilizaron dicha línea de ómnibus?

4) En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.

b)Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.

5) Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de papas, manzanas y naranjas a un precio de 1.00, 1.20 y 1.50 soles/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 11.60 soles. El peso total de la misma 9 kg. Además, compró 1 kg. más de naranjas que de manzanas.

a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.b) Resolver el problema.

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6) Una compañía mezcla 4 tipos de maíz para abastecer sus pedidos. En la siguiente tabla se muestran las características de cada tipo de maíz:

TIPO DE MAIZ KG. POR SACO MATERIAL DAÑADO(KG. POR SACO)

I 50 3II 40 2,5III 40 3IV 30 2

¿Cuántos sacos de cada tipo deben mezclarse para abastecer un pedido de 20 sacos de maíz que contenga 900 Kg. Y 56 de materiales dañados, si se desea tener el mayor número posible de sacos del tipo IV?

7) Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C.

¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?

8) Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

Sugerencia. Considera el siguiente cuadro.

AUTOEVALUACIÓN 4

1) En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.00 soles. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.00 soles:a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de

cada tipo.b) Resolver el problema.

2) El precio de entrada a cierta exposición es de 2.00 soles. para los niños, 5.00 para los adultos y 2.50 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposición fué visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a 73.500 soles.

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a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y jubilados visitaron la exposición ese día.

b) Resolver el problema.

3) Un carpintero fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan 12 minutos para lijar una mesa para café, ocho para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12 para pintarla y 18 para barnizarla. La mesa de lijado está disponible 16 horas a la semana, la mesa de pintura 11 horas a la semana y la mesa de barnizado 18 horas ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo se ocupen todo el tiempo disponible?

4) Una cafetería estudiantil tiene 24 mesas, x mesas con 4 asientos cada una, y mesas con 6 asientos cada una y z mesas con 10 asientos cada una. La capacidad total de asientos de la cafetería es de 148. Con motivo de una reunión estudiantil especial, se emplearán la mitad de las x mesas, un cuarto

de las y mesas y una tercera parte de las z mesas, para un total de 9 mesas.

Hallar x , y y z .

5) Un comerciante compró dos relojes distintos por $ 3.000 y los vendió por $ 3.225 ¿Cuánto pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo perdió un 5%?

6) Un ejercicio realizado en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada cuestión no contestada o mal contestada. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en el ejercicio, ¿cuántas cuestiones ha contestado correctamente?

7) La Twins Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempos empleados por unidad en cada una de estas plantas se muestra en la siguiente tabla:

Modelo Planta Planta de ensamblaje

1 30 minutos 0,5 horas

2 12 minutos 2 horas

3 36 minutos 2 horas

Tiempo total empleado en un mes en cada planta

116 horas 370 horas

¿Cuántas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad, respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción. Resolver los siguientes problemas, empleando el método de eliminación gaussiana.

8) Un Administrador debe seguir una dieta con base a tres tipos de alimentos. Los porcentajes de requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro contenidos en cada gramo de tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla:

Alimento 1 Alimento 2 Alimento 3

Porcentaje 10 6 8

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de proteínas

Porcentaje de

carbohidratos

10 12 6

Porcentaje de hierro

5 4 12

Indique cuántos gramos de cada tipo de alimento debe incluir el nutricionista en la comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro (100% de cada uno).

La persona que realmente quiere hacer algo encuentra la forma de hacerlo. Los demás encuentran razones y excusas.

62

guia practica de a

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