guía nº 4 trigonometría
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GUÍA Nº 4
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
BÁSICAS
CIENCIAS BÁSICAS INACAP Renca
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TRIGONOMETRÍA BÁSICA
Funciones Trigonométricas Básicas, Teorema del Seno y del Coseno Introducción a la Trigonometría
Rama de la matemática que estudia las relaciones métricas entre los lados y los ángulos de un triangulo, las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana (estudia figuras contenidas en un plano), y la trigonometría esférica, (estudia triángulos que forman parte de la superficie de una esfera).
Aplicaciones Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la tierra y la luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química, y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría Plana El concepto trigonométrico de un ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB de la figura, se consideran inicialmente coincidentes. El radio OB gira hasta una posición final, describiendo el ángulo α (Fig. A). Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj (Fig. B y Fig. C).
Sistemas Angulares Para operar con valores angulares, es preciso definir el sistema angular en el cual se está trabajando. Existen varios sistemas, de los cuales emplearemos tres: Sistema Sexagesimal. Asigna al ángulo completo 360 unidades llamadas grados sexagesimales. Subdivide al grado en 60 minutos sexagesimales y a cada minuto en 60 segundos sexagesimales. Sistema Radial o Circular. Asigna al ángulo completo π2 unidades, llamadas radianes. Un ángulo radián es aproximadamente igual a =57,29577951º 57º17'44'' . Sistema Centesimal. Asigna al ángulo completo 400 unidades llamadas grados centesimales. Subdivide al grado en 100 unidades llamadas minutos centesimales, y a cada minuto en 100 segundos centesimales.
Razones trigonométricas en el Triángulo Rectángulo Sea el triángulo rectángulo de la figura. Se definen las siguientes razones trigonométricas:
α α = = =cateto opuesto CO aSENO DE : senhipotenusa H c
α α = = =cateto adyacente CA bCOSENO DE : coshipotenusa H c
α α = α = = =cateto opuesto CO aTANGENTE DE : tg tancateto adyacente CA b
α α = α = = =cateto adyacente CA bCOTANGENTE DE : cotg cotancateto opuesto CO a
α α = = =hipotenusa H cSECANTE DE : sec
cateto adyacente CA b
α α = α = = =hipotenusa H cCOSECANTE DE csc cosec
cateto opuesto CO a
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Ejemplo 1. Dado el triángulo rectángulo, determinar las razones trigonométricas de los ángulos α βy . Sol.
α = =CO 12senH 13
β = =CO 5senH 13
α = =CA 5cosH 13
β = =CA 12cosH 13
α = =CO 12tgCA 5
β = =CO 5tgCA 12
α = =CA 5cotgCO 12
β = =CA 12cotgCO 5
α = =H 13secCO 5
β = =H 13secCO 12
α = =H 13cosecCA 12
β = =H 13cosecCA 5
Podemos verificar que α = = β12sen cos13
, y como α +β = ⇒β = −α90º 90º . En general tenemos que:
( )( )
( )
α = −α
α = −α
α = −α
sen cos 90º
tg cotg 90º
sec cosec 90º
Ejemplo 2. Dado α =sen 0,8 , determinar las demás razones trigonométricas del ángulo α . Sol.
Tenemos que α = =8sen 0,810
= =4 CO5 H
, por lo que podemos considerar que el cateto opuesto es un múltiplo de 4, es
decir =CO 4k , por lo tanto =H 5k . Para determinar el valor del cateto adyacente, aplicamos el Teorema de Pitágoras:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
+ =
= −
= −
= ⇒ =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
4k CA 5k
CA 5k 4k
CA 25k 16k
CA 9k CA 3k
Entonces, las razones restantes son:
α = =CA 3kcosH 5k
= =3 0,65
α = =CO 4ktgCA 3k
= =4 1,33
α = =CA 3kcotgCO 4k
= =3 0,754
α = =H 5ksecCO 4k
= =5 1,254
α = =H 5kcosecCA 3k
= =5 1,63
Además, podemos determinar el valor del ángulo α con cualquiera de las seis razones, aplicando función inversa como veremos a continuación (de todos modos, las más utilizadas son α α αsen , cos y tg , ya que aparecen en las calculadoras tradicionales):
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− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
α = = ⇒ α = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1a a 4 4arcsen sen arcsen sen 53,13ºc c 5 5
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞α = = ⇒ α = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 1b b 3 3arccos cos arccos cos 53,13º
c c 5 5
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞α = = ⇒ α = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 1a a 4 4arctg tg arctg tg 53,13º
b b 3 3
Etc.
Aplicaciones I. Cálculo de un lado. Para calcular el lado de un triángulo, se debe determinar la razón trigonométrica involucrada con los datos del problema. Ejemplo 1. Dado un triángulo, determinar el valor de x. Sol.
Entre 15 cm. y “x”, respecto de 40º, se forma la razón ( )( )
= ⇒ = ⇒ =15 cm 15 cm.sen 40º x x 23,34 cm.x sen 40º
Ejemplo 2. Hallar el valor de “x” en: Sol.
Aplicando la razón coseno, se tiene = ⇒ = ⋅ ⇒ =xcos54º x cos54º 23 cm. x 13,52 cm.
23 cm.
Ejemplo 3. Determinar el valor de “x”, en el siguiente triángulo: Sol.
Aplicando la tangente del ángulo 38º, se tiene ( )( )
= ⇒ = ⇒ =30 cm. 30 cm.tg 38º x x 38,4 cm.x tg 38º
II. Cálculo de un ángulo. Para determinar el valor de un ángulo, se debe determinar la razón trigonométrica involucrada con los datos, luego se aplica la inversa de la razón trigonométrica en cuestión. Ejemplo 1. Determinar el valor de α en el triángulo de la figura. Sol.
Aplicando la razón seno de α , se obtiene
− ⎛ ⎞α = ⇒ α = ⇒ α =⎜ ⎟
⎝ ⎠115 15sen sen 23,92º
37 37
Ejemplo 2. Determinar el valor de β en el siguiente triángulo.
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Sol.
Aplicando razón coseno, se tiene
− ⎛ ⎞β = ⇒β = ⇒β =⎜ ⎟
⎝ ⎠123 23cos cos 62º
49 49
Ejemplo 3. Hallar el valor del ángulo α en el siguiente triángulo. Sol. Aplicando razón tangente, se tiene
− ⎛ ⎞α = ⇒ α = ⇒ α =⎜ ⎟
⎝ ⎠145 45tg tg 37,81º
58 58
Aplicación de la tangente trigonométrica La tangente es aplicable a la resolución de problemas que involucren cálculos de distancias y alturas. Se define Ángulo de Elevación, a aquél que se describe al levantar la vista desde la horizontal. Ángulo de Depresión, es aquel que se describe al bajar la vista desde la horizontal.
Ejemplo 1. Se observa la parte alta de un edificio bajo un ángulo de elevación de 40º. La observación se realiza a 58 m. de la base de un edificio. Hallar su altura. Sol.
( ) ( )= ⇒ = ⋅ ⇒ =htg 40º h 58 m. tg 40º h 48,67 m.
58 m.
Ejemplo 2. Desde lo alto de un acantilado de 45 m., los ángulos de depresión de dos botes que yacen en el mar en forma alineada, son 15º y 75º. Calcular la distancia que los separa. Sol.
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( )( )
( )( )
( ) ( )
⎫= ⇒ + = ⎪+ ⎪
⎪= − =⎬
⎪⎪= ⇒ =⎪⎭
45 m. 45 m.tg 15º x yx y tg 15º
45 m. 45 m.x 155,88 m.tg 15º tg 75º
45 m. 45 m.tg 75º yy tg 75º
Completación de Triángulos
Todo triángulo posee seis elementos básicos medibles, tres ángulos y tres lados. Se entregarán algunos de ellos y se solicitarán los demás, dependiendo del tipo de triángulo, que puede ser rectángulo u oblicuángulo. Completación de Triángulos Rectángulos Para resolver o completar estos triángulos, bastan solo dos elementos, ya que si tenemos dos ángulos, podemos obtener el tercero mediante diferencia, y si tenemos dos lados, podemos aplicar el teorema de Pitágoras. Ejemplo 1. Completar el siguiente triángulo rectángulo.
En el triángulo se dan =⎧
⎪β =⎨⎪γ =⎩
a 35 cm.40º90º
Se solicitan b, c y α . Sol.
α = − − ⇒ α =180º 90º 40º 50º
( )( )
= ⇒ = ⇒ =35 cm. 35 cm.sen 50º c c 45,69 cm.c sen 50º
( ) ( )= ⇒ = ⋅ ⇒ =btg 40º b 35 cm. tg 40º b 29,37 cm.
35 cm.
Ejemplo 2. Completar el triángulo.
En el triángulo se dan =⎧
⎪=⎨
⎪γ =⎩
a 22 cm.b 15 cm.
90º
Se piden α β, y c . Sol.
− ⎛ ⎞α = ⇒ α = ⇒ α =⎜ ⎟
⎝ ⎠122 cm. 22tg tg 55,71º
15 cm. 15
β = − − ⇒β =180º 90º 55,71º 34,29º
( )( )
= ⇒ = ⇒ =22 cm. 22 cm.sen 55,71º c c 26,63 cm.c sen 55,71º
Completación de Triángulos Oblicuángulos Debemos considerar que los siguientes teoremas también son útiles para resolver o completar triángulos rectángulos, pero para éstos últimos es más sencillo utilizar razones trigonométricas. En general, para completar triángulos que no sean rectángulos, (oblicuángulos), tenemos: Teorema del Seno Los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
= =α β γ
a b csen sen sen
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De donde surgen las siguientes proporciones, de acuerdo a lo que se requiera:
⎧=⎪ α β⎪
⎪=⎨
β γ⎪⎪
=⎪α γ⎩
a bsen senb c
sen sena c
sen sen
Teorema del Coseno En cualquier triangulo el cuadrado de una lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman dichos lados.
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α
= + − ⋅ ⋅ ⋅ β
= + − ⋅ ⋅ ⋅ γ
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2 b c cosb a c 2 a c cosc a b 2 a b cos
IMPORTANTE CONSIDERAR LO SIGUIENTE: Ambos teoremas son aplicables a cualquier tipo de triángulo, pero cuentan con una restricción de acuerdo a los datos con los que se cuenta en el problema:
Teorema del Coseno ⎧⎨⎩
Si se tienen dos lados y el ángulo comprendido ente ellos.Si se tienen tres lados.
Teorema del Seno ( )⎧⎪⎨⎪⎩
Dos lados y un ángulo NO el que comprenden .Dos ángulos y un lado.
Ejemplo 1. Completar el triangulo si =⎧
⎪β =⎨⎪γ =⎩
a 41cm.28º51º
Sol. α = − − ⇒ α =180º 28º 51º 101º
( ) ( )( )
( )⋅
= ⇒ = ⇒ =41cm. sen 28º41cm. b b b 19,61cm.
sen 101º sen 28º sen 101º
( ) ( )( )
( )⋅
= ⇒ = ⇒ =41cm. sen 51º41cm. c c c 32,46 cm.
sen 101º sen 51º sen 101º
Ejemplo 2. Completar el triángulo si =⎧
⎪=⎨
⎪α =⎩
a 525 cm.c 421cm.
131º
Sol.
( )( ) ( )−
⎛ ⎞⋅ ⋅= ⇒ γ = ⇒ γ = ⇒ γ =⎜ ⎟⎜ ⎟γ ⎝ ⎠
1421cm. sen 131º 421cm. sen 131º525 cm. 421cm. sen sen 37,24ºsen 131º sen 525 cm. 525 cm.
β = − − ⇒β =180º 131º 37,24º 11,76º
( ) ( )( )
( )⋅
= ⇒ = ⇒ =525 cm. sen 11,76ºb 525 cm. b b 141,78 cm.
sen 11,76º sen 131º sen 131º
Ejemplo 3. Completar el triángulo si =⎧
⎪=⎨
⎪γ =⎩
a 132 cm.b 224 cm.
29º
Sol.
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( ) ( ) ( )
( )
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⇒ =
2 22
2 2 2
c 132 cm. 224 cm. 2 132 cm. 224 cm. cos 29º
c 17424 cm. 50176 cm. 59136 cm. cos 29º c 126 cm.
Aplicando teorema del seno:
( )( ) ( )−
⎛ ⎞⋅ ⋅= ⇒ α = ⇒α = ⇒α =⎜ ⎟⎜ ⎟α ⎝ ⎠
1132 cm. sen 29º 132 cm. sen 29º126 cm. 132 cm. sen sen 30,52ºsen 29º sen 126 cm. 126 cm.
β = − − ⇒β =180º 30,52º 29º 120,48º
Ejemplo 4. Completar el triángulo si =⎧
⎪=⎨
⎪ =⎩
a 33 cm.b 51,74 cm.c 46,25 cm.
Sol.
( ) ( ) ( )= + − ⋅ ⋅ ⋅ α ⇒2 2 233 cm. 51,47 cm. 46,25 cm. 2 51,47 cm. 46,25 cm. cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟α = ⇒ α = ⇒ α =⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
2 2 2 2 2 2
151,47 cm. 46,25 cm. 33 cm. 51,47 cm. 46,25 cm. 33 cm.cos cos 39,01º
2 51,47 cm. 46,25 cm. 2 51,47 cm. 46,25 cm.
( ) ( ) ( )= + − ⋅ ⋅ ⋅ β ⇒2 2 251,47 cm. 33 cm. 46,25 cm. 2 33 cm. 46,25 cm. cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟β = ⇒β = ⇒β =⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
2 2 2 2 2 2
133 cm. 46,25 cm. 51,47 cm. 33 cm. 46,25 cm. 51,47 cm.cos cos 79,07º
2 33 cm. 46,25 cm. 2 33 cm. 46,25 cm.
( ) ( ) ( )= + − ⋅ ⋅ ⋅ γ ⇒2 2 246,25 cm. 51,47 cm. 33 cm. 2 51,47 cm. 33 cm. cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟γ = ⇒ γ = ⇒ γ =⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
2 2 2 2 2 2
151,47 cm. 33 cm. 46,25 cm. 51,47 cm. 33 cm. 46,25 cm.cos cos 61,92º
2 51,47 cm. 33 cm. 2 51,47 cm. 33 cm.
Ejercicios Propuestos
1. Determinar las razones trigonométricas de , en el triángulo de la figura:
2. Hallar el valor de “x” en los siguientes triángulos rectángulos:
3. Calcular el valor de los ángulos:
Aplicaciones de la Tangente A. Representar, a través de bosquejos o en forma gráfica, los siguientes problemas, asociándolas a triángulos rectángulos
y determinando el (o los) resultados.
1. Un faro construido al nivel del mar tiene 180 pies de alto. Vista desde su cima, una boya tiene un ángulo de depresión de 24º. Hallar la distancia que hay entre la boya y el pie del faro.
R: 404,3 pies
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2. Hallar la altura de un edificio, si el teodolito que se encuentra a 5 pies del suelo horizontal, y a 200 pies del edificio
forma un ángulo de elevación de 21º. R: 81,8 pies
3. Se mira el tope de un monumento bajo un ángulo de elevación de 16º. Se considera que el piso es horizontal y que
el teodolito se halla a 5 pies de alto. Si el monumento tiene 86 pies de alto, hallar la distancia entre el observador y el monumento.
R: 282,5 pies
4. Determinar la altura de un poste que proyecta una sombra de 5 m. en el momento en que los rayos solares forman un ángulo de 59º con el suelo.
R: 8,32 m. 5. Desde la cumbre de una colina se observan en forma alineada dos objetos. Calcular la distancia que los separa si la
colina tiene un alto de 30 m. y los ángulos de depresión son 45º y 30º. R: 21,96 m.
6. Una chimenea tiene 30 m. más que otra cercana. Un observador que se encuentra a 100 m. de la más pequeña,
observa que sus cúspides se encuentran en línea recta con inclinación 27º respecto de la horizontal. Determinar sus alturas.
R: 50,95 m. y 80,95 m.
7. Una escalera de 4,7 m. de largo es apoyada en un muro a 2 m. del suelo. Hallar la distancia de la base de la escalera al muro y el ángulo de elevación.
R: 4,25 m. y α =25,2º
8. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30º. Acercándose 100 m. se tiene que el ángulo de elevación es de 60º. Encontrar la altura de la torre.
R: 86,6 m.
9. Desde la parte superior de un faro de 80 m. de alto, se observan dos rocas alineadas en la playa. Los ángulos de depresión son 30º y 15º. Determinar la distancia entre las rocas.
R: 160 m.
10. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación de la punta de un campanario, es de 45º. Desde la parte superior del poste que tiene 9 m. de alto, el ángulo de elevación es de 30º. Determinar la altura y la distancia del campanario al poste.
R: 21,29 m.
11. Para conocer el ancho de un río, se toma como referencia un árbol que yace en la ribera opuesta, cuyo ángulo de elevación a su cúspide es de 55º. Alejándose 50 m. alineadamente, al observar nuevamente se tiene un ángulo de elevación de 40º. Hallar el ancho del río y el alto del árbol.
R: 71,22 m. y 101,72 m.
12. Dos edificios de la misma altura, situados frente a frente, se encuentran unidos por una pasarela ubicada a 24 m. de altura. Un individuo que yace entre los edificios, más cerca de uno de ellos, observa que el ángulo de elevación a la cima de éste es de 60º, y sobre la pasarela, a la misma distancia del edificio, observa que los ángulos de elevación son 45º y 30º. Hallar la altura del edificio y el ancho de la calle.
R: 56,78 m. y 89,56 m.
13. Un individuo colocado en la azotea de un edificio que tiene un alto de 1248 pies, observa la azotea del otro edificio de 752 pies de alto, bajo un ángulo de depresión de 22,27º. Si los dos edificios están sobre el mismo nivel horizontal, calcular la distancia que los separa.
R: 1212 pies
14. Desde la punta de un faro de 61,5 m. sobre el nivel del mar, se observa que el ángulo de depresión de una boya es de 29,23º en marea baja y de 28,2º en marea alta. ¿Cuál es la elevación de las aguas?
R: 2,56 m. B. Completar los siguientes triángulos rectángulos:
α = = β = =
α = = α = =
α = = β = =
a) 20º; c 80 cm. b) 51º; c 250 cm.c) 36º; c 1cm. d) 25º; a 30 cm.e) 10º; b 30 cm. f) 55º; b 10 m.
C. Completar los siguientes triángulos oblicuángulos:
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α = = = = β = γ =
α = β = = = = γ =
= = = α = β = γ =
α = = = = β = γ =
a) 30º; b 12 cm.; c 24 cm. R : a 14,87 cm.; 23,8º; 126,2ºb) 75º; 30º; b 8 cm. R : a 15,45 cm.; c 15,45 cm.; 75ºc) a 7 cm.; b 9 cm.; c 15 cm. R : 17,9º; 23,2º; 138,9ºd) 133º; a 19,26 cm.; c 11cm. R : b 10 cm.; 22,3º; 24,α = γ = = = = β =
= = β = = α = γ =
= = α = = β = γ =
= = α = = β = γ =
7ºe) 105º; 60º; b 4 cm. R : a 14,93 cm.; c 13,4 cm.; 15ºf ) a 4 cm.; c 5 cm.; 120º R : b 7,81cm.; 26,33º; 33,67ºg) a 40 cm.; b 30 cm.; 75º R : c 35,34 cm.; 46,42º; 58,52ºh) a 12 cm.; b 15 cm.; 52º R : c 11,3 cm.; 80,6º;
β = γ =
= = = α = β = γ =
= = α = = β = γ =
α = = = = ; 52,17º; 80,53º
k) a 7 m.; b 3 m.; c 5 m. R : 120º; 21,78º; 38,22º
47,9ºi) a 120 cm.; b 80 cm.; 60º R : c 138 cm.; 35,26º; 84,73ºj) 47º; b 8 m.; c 10 m. R : a 7,41m.
D. Aplicar Teorema del Seno y del Coseno para resolver los siguientes problemas.
1. Un tren que viaja de una estación A a otra B a 50 Km. / h., demora 5 horas. De la estación B se dirige hacia C a 60 Km. / h., demorando 6 horas. Ambos trayectos forman un ángulo de 65º. Determinar la distancia entre las estaciones A y C.
R: 340,6 Km.
2. Desde un punto A, ubicado en el interior de un fundo, se observa un móvil en el punto B, sobre una carretera recta. El ángulo entre la vista y la carretera es de 40º, y la distancia, 15 Km. El móvil llega a un punto C sobre la carretera, distante de A 12 Km. Determinar
a) Ángulo entre la carretera y la vista AC b) Velocidad del móvil, si demora 956,57 segundos en recorrer BC
R: 53,46º y 70 Km. / h.
3. Para determinar la distancia de un lugar B a una posición enemiga A, se han medido una base BC y los ángulos ABC y BCA. Si dichas medidas son 1006 m., 44º y 70º respectivamente, hallar la distancia AB.
R: 1035 m.