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Guía MatemáticaPROBABILIDAD EXPERIMENTAL

tutora: Jacky Moreno

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1. Probabilidad experimental

Como ya hemos estudiado, hay eventos en donde su resultado es impredecible y por lo mismo nos esdifıcil encontrar una probabilidad matematica exacta que nos determine la ocurrencia de estos sucesos.Si bien con la probabilidad clasica vista anteriormente pudimos obtener la probabilidad de varios sucesosequiprobables sin la necesidad de realizar el experimento, no nos es suficiente para determinar la ocu-rrencia de un resultado proveniente de un experimento aleatorio en donde los sucesos de una variablealeatoria. Un ejemplo cotidiano es saber “¿cuanto tardara el bus en pasar por mi paradero?”

Es ası que, para determinados eventos aleatorios acudimos a la experimentacion para hallar un numeroque nos determine la probabilidad de ocurrencia de ese suceso en particular.

La probabilidad experimental o tambien conocida como probabilidad a posteriori o frecuencial, se basaen la reiteracion de un experimento para determinar la razon entre la ocurrencia de un suceso y el numerode veces que realizamos dicho experimento aleatorio. Ası, para calcular esta probabilidad hay que realizarel experimento y luego analizar los resultado obtenidos.

Si un experimento aleatorio tiene un numero finito de resultados conocidos, de los cuales todos tienenla misma posibilidad de ocurrir, entonces la probabilidad de que ocurra un suceso A es la razon entre elnumero de casos favorables y el numero de todos los casos posibles:

P (A) =Numero de veces que ocurre un evento

Numero de veces que se realiza el experimento

. Ejemplo

1. La siguiente tabla nos entrega informacion sobre los accidentes de transito sucedidos en Chile en elano 2011 de acuerdo a la hora y dıa de la semana:

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Hora Lunes Martes Miercoles Jueves Viernes Sabado Domingo Total

00:00 a 00:59 143 81 137 132 155 254 290 1.19201:00 a 01:59 109 81 83 107 102 217 247 94602:00 a 02:59 55 52 76 97 125 222 247 87403:00 a 03:59 50 45 57 73 103 250 245 82304:00 a 04:59 67 56 63 97 136 301 352 1.07205:00 a 05:59 80 50 48 58 82 348 435 1.10106:00 a 06:59 86 109 102 85 136 278 272 1.06807:00 a 07:59 434 498 496 495 505 319 262 3.00908:00 a 08:59 607 748 694 651 668 353 265 3.98609:00 a 09:59 451 444 433 405 492 350 226 2.80110:00 a 10:59 399 420 439 384 424 411 256 2.73311:00 a 11:59 436 430 418 438 522 465 279 2.98812:00 a 12:59 469 477 452 463 524 592 319 3.29613:00 a 13:59 508 537 510 489 663 632 375 3.71414:00 a 14:59 450 482 422 458 552 532 355 63.25115:00 a 15:59 451 508 484 458 523 535 402 3.36116:00 a 16:59 521 546 537 473 597 548 452 3.67417:00 a 17:59 584 564 541 579 652 502 448 3.87018:00 a 18:59 667 689 686 690 793 603 501 4.62919:00 a 19:59 649 600 640 595 664 584 488 4.22020:00 a 20:59 434 443 464 443 572 530 527 3.41321:00 a 21:59 329 322 350 356 438 525 451 2.77122:00 a 22:59 257 264 282 288 411 441 405 2.34823:00 a 23:59 192 167 171 198 310 359 297 1.694

Total 8.428 8.613 8.585 8.512 10.149 10.151 8.396 62.834

Fuente: Carabineros de Chile, Accidentes en el transito segun hora y dıa de la semana. 2011

De acuerdo a la esta informacion:

a) ¿Cual es la probabilidad de que, al escoger una persona al azar, esta haya tenido un accidenteantes de las 10:00?

b) ¿Cual es la probabilidad de que, al escoger una persona al azar, esta haya tenido un accidentede transito despues de las 19:59 si salio un dıa miercoles?

c) Si se selecciona una persona al azar, ¿Que dıa es mas probable que tenga un accidente detransito?

Solucion: Resolvamos cada pregunta por separado.

a) Basandonos en la informacion que nos entrega la tabla, la cantidad de personas que tuvieron unaccidente de transito corresponde a 62.834 y la cantidad de personas que tuvieron el accidenteantes de las 10:00, es decir entre las 00:00 y las 9:59 corresponde a 1.192 + 946 + 874 + 823 +1.072+1.101+1.068+3.009+3.986+2.801 = 16.872, por lo tanto la probabilidad experimentalde este suceso es:

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P (accidente antes de las 10:00) =16.872

62.834P (accidente antes de las 10:00) ≈ 0, 269

P (accidente antes de las 10:00) ≈ 27 %

Por lo tanto la probabilidad de tener un accidente antes de las 10:00 es de un 27 % aproxima-damente.

b) Basandonos en la informacion que nos entrega la tabla, la cantidad de personas que tuvieronun accidente de transito un dıa miercoles fue de 8.585 y la cantidad de personas que tuvieronun accidente despues de las 19:59, es decir entre las 20:00 y las 23:59 corresponde a 464+350+282 + 171 = 1.267, por lo tanto la probabilidad experimental de este suceso es:

P (accidente dıa miercoles despues de las 19:59) =1.267

8.585P (accidente dıa miercoles despues de las 19:59) ≈ 0, 148

P (accidente dıa miercoles despues de las 19:59) ≈ 15 %

Por lo tanto la probabilidad de tener un accidente un dıa miercoles despues de las 19:59 es deun 15 % aproximadamente.

c) Para calcular el dıa mas probable de tener un accidente de transito basta observa la ultima filade la tabla y ver cual es el dıa de la semana con mayor frecuencia absoluta, es decir, observar elnumero mas grande. En este caso corresponde al dıa sabado con un total de 10.151 accidentede un total de 62.834 accidentes producidos en la semana.

P (accidente dıa sabado) =10.151

62.834P (accidente dıa sabado) ≈ 0, 161

P (accidente dıa sabado) ≈ 16 %

De acuerdo a lo anterior, el dıa mas probable de que ocurran accidentes de transito son losdıas sabado con una probabilidad de un 16 % aproximadamente.

A traves de estos ejercicios nos podemos dar cuenta que la probabilidad experimental calculada co-rresponde a la frecuencia relativa de cada suceso. Recordemos que la frecuencia relativa correspondea la frecuencia absoluta (total de veces que ocurre un suceso) dividido en el total de datos (total deveces que se realiza el experimento).

1.1. Ley de los grandes numeros

Esta ley sostiene que al repetir un experimento aleatorio un numero determinado de veces, la frecuenciarelativa de cada resultado del espacio muestral tiende aproximarse a un numero fijo al cual denominamosla probabilidad del suceso.

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La probabilidad experimental tiende a la probabi-lidad teorica a medida que aumenta el numero derepeticiones del experimento.

Para entender como funciona esta ley analizaremos los siguientes graficos que nos muestran los resul-tados obtenidos al lanzar un dado 300, 600 y 900 veces seguidas por medio de una simulacion digital:

Resultados obtenidos al lanzar 300 veces un dado comun

Resultados obtenidos al lanzar 600 veces un dado comun

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Resultados obtenidos al lanzar 900 veces un dado comun

Al observar los graficos podemos darnos cuenta que a medida que realizamos mas repeticiones delexperimento las probabilidades experimentales de cada resultado se van acercando cada vez mas a laprobabilidad teorica

(16 = 0, 17 = 17 %

)que esta representada en cada grafico por una lınea punteada.

. Ejemplo

Calculemos la probabilidad de que al lanzar un dado comun obtenegamos un 1 basados en los graficosmostrados anteriormente.

Solucion: Calcularemos la probabilidad experimental de acuerdo a los datos entregados por el simuladorde los lanzamientos:

Probabilidad de obtener un 1 de acuerdo a los datos entregados por el primer grafico:

P (obtener un uno) =59

300P (obtener un uno) ≈ 0, 197

P (obtener un uno) ≈ 20 %

Probabilidad teorica de obtener un 1 al lanzar un dado es de un1

6≈ 0, 167 = 17 %, por lo tanto

difieren con la probabilidad experimental en un 2 % aproximadamente.

Probabilidad de obtener un 1 de acuerdo a los datos entregados por el segundo grafico:

P (obtener un uno) =108

600P (obtener un uno) = 0, 18

P (obtener un uno) = 18 %

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Como dijimos anteriormente la probabilidad teorica de este suceso es de un 17 %, por lo tantodifieren con la probabilidad experimental en un 1 % aproximadamente.

Probabilidad de obtener un 1 de acuerdo a los datos entregados por el tercer grafico:

P (obtener un uno) =158

900P (obtener un uno) ≈ 0, 175

P (obtener un uno) ≈ 18 %

Como dijimos anteriormente la probabilidad teorica de este suceso es de un 17 %, por lo tantodifieren con la probabilidad experimental en un 1 % aproximadamente.

Desafıo I

Mediante un simulador se han obtenido los resultados de 4.000 lanzamientos de undado. La siguiente tabla muestra los resultados agrupados de 400 en 400 lanzamientos:

Cara 1 Cara 2 Cara 3 Cara 4 Cara 5 Cara 635 94 120 52 47 5248 115 104 43 54 3636 100 111 47 57 4945 102 121 45 43 4445 95 113 52 47 4845 103 117 50 39 4642 95 133 45 40 4554 107 95 51 42 5142 106 119 49 37 4748 103 107 47 40 55

¿Que sucede con las probabilidades de los resultados del experimento a medida que

aumenta el numero de lanzamientos? Justifica tu respuesta a traves de un grafico.

(Te puedes ayudar a traves de un programa computacional como Excel) Respuesta

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- Ejercicios 1

1. La tabla que se muestra a continuacion nos entrega informacion sobre los resultados de una votacionrealizada a ninos, ninas y adolescentes sobre los derechos que son menos respetados en la RegionMetropolitana.

1. Derecho a vivir con mi familia2. Derecho a que me respeten sin importar mi color de piel, condicion fısica, ni el lugar donde vivo.3. Derecho a estar en la Escuela y recibir buena educacion.4. Derecho a ver a mi mama o papa, si es que no vivo con ellos.5. Derecho a ser bien tratado/a fısica y psicologicamente.6. Derecho a que sean satisfechas mis necesidades de alimentacion, comida, vestuario y casa donde vivir.7. Derecho a que se escuche mi opinion en asuntos que me afectan.8. Derecho a vivir en un medio ambiente limpio y sin contaminacion.9. Derecho a tener una buena atencion de salud.10. Derecho a la recreacion.

Derecho Hombre Mujer Total

1 384 369 753

2 3.265 3.877 7.142

3 850 752 1.602

4 649 664 1.313

5 1.394 1.374 2.768

6 609 497 1.106

7 1.285 1.208 2.493

8 2.221 2.435 4.656

9 593 41 1.134

10 1.077 947 2.024

Fuente: SENAME, Informe 4 consulta nacional “Mi opinion cuenta”, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informacion entregada responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cual es la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, esta vote el derecho 5 como elmenos respetado en la Region Metropolitana?

b) ¿Cual es la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, esta vote el derecho 3 como elmenos respetado en la Region Metropolitana?

c) ¿Cual es la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, esta vote el derecho 8 como elmenos respetado en la Region Metropolitana?

d) Estima que es mas probable al escoger una persona al azar: que vote el derecho 1 como elmenos respetado en la Region Metropolitana o que vote el derecho 6 como el menos respetadoen la Region Metropolitana.

e) Al escoger una persona al azar, ¿Que derecho es el mas probable que vote como el menosrespetado en la Region Metropolitana?

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2. La siguiente tabla nos entrega informacion sobre los hombres y mujeres que fueron participes dealguna forma en el proceso de admision 2013, ya sea inscribiendose para la PSU, rindiendo la pruebay/o postulando para ser seleccionado en alguna de las 33 universidades del Consejo de Rectores yAdscritas.

Proceso de admision 2013 Hombre Mujer

Inscritos 129.574 143.092

Rindieron 109.893 123.409

Pueden postular 77.240 80.508

Postulan 52.421 58.000

Postulan con ptje. anterior 4.028 3.759

Fuente: DEMRE, 2013.

De acuerdo a la informacion entregada responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cual es la probabilidad de que, al elegir una persona de la muestra, este sea un hombre quehaya rendido la prueba de admision para el ano 2013?

b) ¿Cual es la probabilidad de que, al elegir una persona de la muestra, este sea una mujer quepostula con el puntaje del ano anterior al proceso de admision 2013?

c) ¿Que es mas probable al elegir una persona de la muestra, que sea una mujer que postula a lasuniversidades o que sea un hombre que puede postular a las universidades?

3. La siguiente tabla nos entrega informacion sobre el nivel de aprobacion y rechazo del aborto te-rapeutico segun situacion socio-economica. Estos datos fueron recogidos a partir de la pregunta“¿Usted esta a favor de la despenalizacion del aborto terapeutico?” realizada a un grupo de chile-nos.

Situacion socio-economica Acuerdo Desacuerdo NS-NR

Alta 19 12 7

Media Alta 91 39 5

Media 162 63 11

Media Baja 119 39 6

Baja 31 15 5

NS-NR 1 2 3

Fuente: Instituto de Polıtica Liberal. Encuesta sobre percepcion de temas valoricos, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informacion entregada responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cual es la probabilidad de que, escogiendo una persona al azar, este sea de la clase mediabaja y este a favor del aborto terapeutico?

b) ¿En cual de los niveles socio-economicos es mayor la probabilidad de que se este en contra delaborto terapeutico? ¿Y que se este a favor?

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c) Estima cuanto mas o menos probable es que la persona elegida al azar sea de clase alta encontra del aborto terapeutico con respecto a que sea una persona de clase baja que este encontra del aborto terapeutico.

4. El siguiente grafico nos entrega informacion sobre el nivel de aprobacion y rechazo de la adopcionde ninos por parejas del mismo sexo. Estos datos fueron recogidos a partir de la pregunta “¿Ustedesta de acuerdo que parejas del mismo sexo adopten ninos?” realizada a un grupo de chilenos.

Nivel de aprobacion y rechazo adopcion de ninos por parejas del mismo sexo

Fuente: Instituto de Polıtica Liberal. Encuesta sobre percepcion de temas valoricos, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informacion entregada responde las siguientes preguntas:

a) ¿En que rango de edad es mayor la probabilidad de que se este a favor de la adopcion de ninospor parejas del mismo sexo? ¿En que rango de edad es menor la probabilidad?

b) ¿Cuanto mas o menos probable es que una persona entre 46-60 anos este en contra de laadopcion de ninos por parte de parejas del mismo sexo en comparacion con una persona entrelos 18 anos y 30 anos?

c) ¿Que deberıa ocurrir si el numero de encuestados se duplica, manteniendo las mimas carac-terısticas del grupo inicialmente encuestado?

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5. El siguiente grafico nos entrega informacion sobre el nivel de aprobacion y rechazo a la despenali-zacion del auto-cultivo de marihuana segun ideologıa polıtica. Estos datos fueron recogidos a partirde la pregunta “¿Usted esta de acuerdo con la despenalizacion del auto-cultivo de Marihuana?”realizada a un grupo de chilenos.

Nivel de aprobacion y rechazo despenalizacion del auto-cultivo de marihuana

Fuente: Instituto de Polıtica Liberal. Encuesta sobre percepcion de temas valoricos, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informacion entregada responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cual es la probabilidad de que, escogiendo una persona al azar, este sea una persona declaradoizquierdista y que este en contra de la despenalizacion del auto-cultivo de marihuana? ¿Yque este a favor?

b) ¿Cual es la probabilidad de que, escogiendo una persona al azar, este sea una persona con ideo-logıa polıtica centralista y que este a favor de la despenalizacion del auto-cultivo de marihuana?¿Y que no responda?

c) ¿En que ideologıa polıtica es menos probable que se este en contra de la despenalizacion alauto-cultivo de marihuana?

d) ¿Cual es la diferencia porcentual entre la probabilidad de que una persona de izquierda apruebela despenalizacion del auto-cultivo de marihuana y una persona de derecha lo apruebe tambien?

e) ¿Que deberıa ocurrir si el numero de encuestados se duplica, manteniendo las mismas carac-terısticas del grupo inicialmente encuestado?

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Desafıos resueltos

3 Desafıo I: La tabla nos muestra los resultados obtenidos con el simulador al lanzar un dado 4.000veces seguidas. Para poder saber que pasa con las probabilidades de dichos resultados al ir aumen-tando los lanzamientos debemos determinar la frecuencia relativa acumulada. La siguiente tablamuestra la frecuencia relativa acumulada de los datos entregados por la tabla del desafıo:

Cara 1 Cara 2 Cara 3 Cara 4 Cara 5 Cara 6

0,088 0,235 0,300 0,130 0,118 0,130

0,104 0,261 0,280 0,119 0,126 0,110

0,099 0,258 0,279 0,118 0,132 0,114

0,103 0,257 0,285 0,117 0,126 0,113

0,105 0,253 0,285 0,120 0,124 0,115

0,106 0,254 0,286 0,120 0,120 0,115

0,106 0,251 0,293 0,119 0,117 0,114

0,109 0,253 0,286 0,120 0,115 0,116

0,109 0,255 0,287 0,121 0,113 0,116

0,110 0,255 0,285 0,120 0,112 0,118

¿Que significan los numeros de la tabla?Al observa la primera fila y la primera columna, el numero 0, 088 corresponde a la probabilidadde obtener un 1 al lanzar un dado 400 veces, si seguimos bajando el numero 0, 104 correspondea la probabilidad de obtener un 1 al lanzar el dado 800 veces, el numero 0, 099 corresponde a laprobabilidad de obtener un 1 al lanzar el dado 1.200 veces y ası sucesivamente. Por lo tanto calcularla frecuencia relativa acumulada es de gran utilidad para ver como al aumentar los lanzamientos deldado la probabilidad de cada resultado se van estabilizando alrededor de un valor.Al representar de manera grafica los valores de la tabla mostrada anteriormente tenemos lo siguiente:

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Aca podemos notar que todas las lıneas de colores, que corresponden a los 6 resultados distintos delexperimento, al avanzar en los lanzamientos se van haciendo cada vez mas rectas, es decir, se vanaproximando a un valor en especıfico.Cabe acotar al observar el grafico que el dado lanzado no corresponde a un dado comun sino masbien un dado cargado al numero 2 y 3 ya que estos numeros tienen una probabilidad mucho mayorde suceder que los otros 4 resultados restantes. Volver

Bibliografıa

[1 ] Manual de preparacion PSU Matematica, Quinta Edicion,Oscar Tapıa Rojas, Miguel Ormazabal Dıaz-Munoz, David Lopez, Jorge Olivares Sepulveda.

[2 ] Desarrollo del pensamiento matematico, Introduccion a la Porbabilidad, No 18,Julio 2007,Martın Andonegui Zabala.

[3 ] Introduccion a la Estadıstica, Segunda Edicion, 2007,Sheldom M.Ross.

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