guia fisica iii 2010 jtb
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES, PLANTEL SUR
SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE CIENCIAS EXPERIMENTALES
GUÍA DE ESTUDIO PARA PRESENTAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE
FÍSICA III ( PEA 1996, PROGRAMA 2004 )
RICARDO CERVANTES PEREZ, ROMAN LUIS PEREZ MONDRAGÓN, MARCO ANTONIO RODRIGUEZ CABELLO, JONATHAN TORRES BARRERA.
COORDINADOR: JONATHAN TORRES BARRERA
OCTUBRE DEL 2010.
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INDICE
PAGINA
UNIDAD UNO
SISTEMAS MECANICOS
0.- Magnitudes escalares y vectoriales.
1.- Centro de masa en coordenadas rectangulares y polares. 2.- Rapidez, velocidad y aceleración de traslación y de rotación
3.- Ecuación vectorial de movimiento: - F = Δp / Δt
- = ΔL / Δ t
4.- Momento de inercia de cuerpos sólidos geométricos
homogéneos 5.- Equilibrio: Traslacional y Rotacional 6.- Principio de conservación del ímpetu Lineal y Angular.
7.- Energía Potencial: Gravitacional y Elástica 8.- Energía Cinética: Traslacional y Rotacional
9.- Relación trabajo - energía: Sistema aislado ΔU = 0 , Sistema adiabático ΔU = W
Sistema abierto ΔU = W + Q 10.- Potencia
SEGUNDA UNIDAD SISTEMAS DE FLUIDOS
1.- Diferencia entre sólidos, líquidos y gases.
2.- Densidad, peso específico, presión. 3.- Conceptos de:
- Presión atmosférica, Presión hidrostática y presión
absoluta. - Características fundamentales de los líquidos:
- Tensión superficial - Viscosidad
5.- Principios de la hidrostática
- Principio de Pascal - Principio de Arquímedes
6.- Expresión matemática para el gasto y la continuidad. 7.- Tipos de flujos: Laminar y Turbulento 8.- Principios de conservación:
- Gasto masivo y volumétrico - Principio de Bernoulli
- Conservación de Energía (Cinética, Potencial y de Presión)
9.- Aplicaciones de los fluidos a situaciones reales
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INTRODUCCIÓN.
Esta guía ha sido elaborada de manera colegiada por un grupo amplio de profesores
de ambos turnos y cumple con los criterios del protocolo de equivalencias, está hecha para orientarte en la preparación del examen extraordinario de Física III basada en el
Plan de Estudios 1996, revisado y actualizado en julio del 2004, encontrarás un desarrollo mínimo de todos los contenidos del programa, en cada tema hay un problema resuelto y explicado que te servirá de base para resolver un cuestionario de
autoevaluación, para que te sirva de parámetro de tus aprendizajes y finalmente un listado de textos que te apoyarán en la búsqueda de información sobre la asignatura.
Los temas se exponen de manera resumida, destacando los conceptos fundamentales de cada unidad temática, además del manejo de las ecuaciones o fórmulas en la resolución de problemas de aplicación.
Recomendaciones.
Lee y estudia toda la guía, localiza las partes que te parezcan con mayor grado de dificultad y pide ayuda a tus compañeros o profesores del curso para aclarar esas partes.
Es importante que lleves a cabo todas las sugerencias que se indican, para tener los resultados deseados.
Las sugerencias de autoevaluación se han diseñado con la intención de que tengas una visión acerca de tu aprendizaje, comprensión y manejo de los temas del
programa, para que identifiques los que ya manejas y los que desconoces a fin de que pongas mayor atención en estos últimos.
Ten presente que el resolver la guía no es garantía de aprobar el examen, pero
sí aumenta tus probabilidades pues te proporciona elementos de seguridad y apoyo para conseguirlo, debido a que conocerás la temática y estructura del cuestionario.
Antecedentes académicos.
Para comenzar el estudio de los contenidos temáticos de esta asignatura, se sugiere que realices un repaso o recordatorio de los siguientes temas, que son básicos para su
comprensión:
* Movimiento Rectilíneo Uniforme..
* Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.
* Trabajo, energía y Potencia mecánicas.
* Cantidad de movimiento (ímpetu).
Deberás realizar las operaciones correspondientes para terminar manejando el Sistema Internacional de unidades (SI). Además, cuando se resuelvan los problemas numéricos se deberán comprobar los resultados con un análisis dimensional, para
asegurarse del buen manejo de las unidades de medición.
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Temario de Estudio.
Los contenidos temáticos se presentan de manera resumida, por lo que deberás utilizar los textos sugeridos para tener más información sobre ellos:
Actividades de aprendizaje.
Lo primero que debes hacer es leer toda la guía para tener una visión general del curso y cómo estudiar.
Estudia cada unidad temática de la guía destacando (puedes subrayar)
aquellos conceptos que son fundamentales en cada una de ellas. Puedes hacer una lista de conceptos con sus definiciones y ecuaciones, como si hicieras un
"acordeón".
Consulta en los textos, para ampliar la información, aquellos conceptos que se
destacaron.
Discute y analiza con otros compañeros el desarro llo de cada unidad temática. Responde las preguntas y problemas que aparecen en cada unidad.
Consulta con algún profesor de la asignatura las dudas que tengas al respecto.
Cuando consideres que has comprendido cada tema y sus conceptos
principales, resuelve el examen de autoevaluación que se sugiere al final de la guía.
Confronta tus respuestas con las que se dan para tal efecto.
No dejes a la suerte el resultado de tu examen extraordinario, de tu esfuerzo y del estudio depende el éxito del examen.
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PRIMERA UNIDAD SISTEMAS SÓLIDOS
1.- CENTRO DE MASA EN COORDENADAS RECTANGULARES Y POLARES MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Las magnitudes escalares son aquellas que se definen con sólo indicar su cantidad
expresada en números y la unidad de medida. Ejemplos de estas cantidades son la temperatura, la masa, el área, el volumen, etc.
Las magnitudes vectoriales son aquellas que se definen con su cantidad expresada en números, su unidad de medida, su dirección y el sentido en donde actúan. Ejemplos de
estas cantidades son la velocidad, la aceleración, el impulso mecánico, la cantidad de movimiento, la fuerza, etc.
Con respecto a las magnitudes vectoriales podemos sumarlas o restarlas con diferentes métodos entre los que tenemos los métodos gráficos tal como el del polígono y el del
paralelogramo, así como el método analítico de componentes. El método analítico hace uso de diversas expresiones matemáticas para su desarrollo,
tales expresiones se muestran a continuación:
cosMx
senMy
321 xxxXT
321 yyyYT
22
TTT YXM
T
TT
X
Y1tan
Donde:
M es la magnitud, y la posición de cada vector analizado
x es la componente de x del vector analizado
y es la componente de y del vector analizado
TX es la suma de todas las componentes en x de los vectores analizados
TY es la suma de todas las componentes en y de los vectores analizados
TM es la magnitud total o vector resultante de la suma o resta de vectores
T es el ángulo final donde se encuentra el vector resultante (dirección y sentido)
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Ejemplo:
Se tiene un sistema de 3 fuerzas como el mostrado en la figura. Calcule el vector
resultante de dicho sistema. Según la figura, tenemos los siguientes
datos
A = 95 N A = 0º
B = 110 N B = 180º - 40º = 140º
C = 80 N C = 360º - 72º = 288º
Usamos en orden cada una de las expresiones matemáticas teniendo
95º095 CosxA
0º095 SenyA
26.84º140110 CosxB
71.70º140110 SenyB
72.24º28880 CosxC
08.76º28880 SenyC
46.3572.2426.8495 TX
37.508.7671.700 TY
86.352485.128637.546.3522
TM N
º49.280º51.79º360º51.7946.35
37.5tan 1
T Esto es debido a la posición de
los vectores TX e TY que hacen que el vector resultante se encuentre en el cuarto
cuadrante.
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CENTRO DE MASA EN COORDENADAS RECTANGULARES Y POLARES
El centro de gravedad se llama también centro de masa, que es la posición promedio de
todas las partículas de masa que componen el objeto. Estos términos son equivalentes para casi todos los objetos que están sobre la superficie terrestre o cerca de ella.
Cuando tratamos el caso de un cuerpo finito, es decir, de un cuerpo que tiene forma y dimensión. A continuación se tienen dos figuras de una clavadista donde se observa un
movimiento traslacional y un movimiento rotacional.
movimientos rotatorio, vibratorio y de otros tipos con respecto al centro de masa.
A continuación se tienen las siguientes expresiones matemáticas para un determinado número de partículas, en las cuales se pueden determinar tanto en el plano horizontal
como en el plano vertical.
n
nnCM
mmm
xmxmxmX
21
2211 n
nnCM
mmm
ymymymY
21
2211
Para ( CMX ) y ( CMY ) es el vector de posición del centro de masa ( CM )de una partícula,
m1 y m2 son las masas o pesos que se tienen de cada partícula
x1, x2 o y1, y2 , son las distancias a las que se encuentra cada partícula o masa en el plano horizontal (x) y vertical (y)
x1 x2
xCM
m1 m2
x
y
El centro de masa de un sistema de dos
partículas queda en la línea que une a las dos masas
Las observaciones del movimiento de
los cuerpos indican que cuando un cuerpo gira, o cuando aparecen varios cuerpos que se mueven unos en
relación con otros, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que
seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuerza neta. A este punto se la llama Centro de masa (CM). El
movimiento general de un cuerpo finito, o sistema de cuerpos, se puede definir
como la suma del movimiento de traslación del centro de masa y los
El movimiento de una clavadista es traslación pura en (a), pero es de traslación y de rotación en (b).
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Ejemplo 1:
Tres partículas de igual masa m descansan a lo largo del eje x en los puntos mx 11 ,
mx 52 y mx 63 . Determinar la posición del centro de masa del sistema.
Solución: Utilizando la ecuación anterior con un tercer termino se tiene.
321
332211
mmm
xmxmxmXCM
Reduciéndose a la siguiente expresión debido a que las masas son iguales:
mmm
xmxmxmXCM
321
metros
m
m
mmm
mmmXCM 4
3
12651
Ejemplo 2: Se tienen 3 partículas con las siguientes características: m1 = 4 Kg en (1,2), m2 = 2 Kg
en (3,5) y m3 = 5 Kg en (6,4), las coordenadas están dadas en metros, calcule la posición del centro de masa del sistema.
Usaremos 321
332211
mmm
xmxmxmXCM
321
332211
mmm
ymymymYCM
kg
mkg
kg
mkgmkgmkg
kgkgkg
mkgmkgmkgXCM
11
40
11
3064
524
653214
mX CM 64.3
kg
mkg
kg
mkgmkgmkg
kgkgkg
mkgmkgmkgYCM
11
38
11
20108
524
455224
mYCM 45.3
Por lo que las coordenadas del centro de masa del sistema son:
45.3,64.3CM m.
Ejercicios: 1.- Se tienen 3 partículas con las siguientes características: m1 = 2 Kg en (-3,2), m2 = 5 Kg en (3,-4) y m3 = 4 Kg en (5, -2), las coordenadas están dadas en metros. Calcule la
posición del centro de masa del sistema.
2.- Se tienen 2 partículas con las siguientes características: m1 = 0.4 Kg en (4,-6) cm, m2 = 0.6 Kg en (-8,- 2) cm. Determina la posición del centro de masa del sistema.
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2.- RAPIDEZ, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE TRASLACIÓN Y DE ROTACIÓN
Velocidad y Rapidez
La velocidad y la rapidez por lo general se usan como sinónimo en forma equivocada; la rapidez es una cantidad escalar que indica el valor de la velocidad; y la velocidad es
una cantidad vectorial, pues para quedar bien definidas requiere que se señale, además de su magnitud, su dirección y sentido, y se define como la razón del desplazamiento resultante entre el tiempo empleado. Cuando un móvil sigue una trayectoria en línea
recta, recorriendo distancias iguales en cada unidad de tiempo, su rapidez y su velocidad permanecen constantes; en cambio, si en una trayectoria curva el móvil logra
conservar una rapidez constante aunque su magnitud, o rapidez, no varia, pero su sentido si se modifica, cambiando por tanto la velocidad.
En conclusión, cuando en física se habla de velocidad, no se refiere solo a la rapidez con que se mueve un cuerpo, sino también en que dirección y sentido lo hace.
La velocidad se define como el desplazamiento realizado por el cuerpo (partícula o móvil), dividido entre el tiempo que tarda en efectuarlo.
Velocidad = desplazamiento / tiempo
v = d / t CONCEPTO DE ACELERACIÓN.
Cuando la velocidad de un móvil no permanece constante, sino que varía decimos que
tiene una aceleración. Por definición, la aceleración es la variación de la velocidad de un móvil en cada unidad de tiempo.
Por lo tanto su expresión matemática es:
t
vva
if
a = aceleración del móvil en ( m / s2 o cm / s2 )
vf = velocidad final del móvil en ( m / s o cm / s ) vi = velocidad inicial del móvil en ( m / s o cm / s )
t = tiempo en que se produce el cambio de velocidad en segundos (s). La aceleración es una magnitud vectorial y su sentido será igual al que tenga la
variación de velocidad. Cuando la aceleración es positiva cuando el cambio indica un incremento en la velocidad, y si la aceleración es negativa indica una disminución de su
velocidad. Las ecuaciones más utilizadas para el movimiento uniformemente acelerado de
traslación: tavv if de la cual se tiene a la aceleración como:
t
vva
if
2
2tatvd i y, davv if 222
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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME, (MCU). Este movimiento se define como el que
efectúa un cuerpo que recorre una circunferencia con una velocidad lineal de módulo constante, es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales.
El desplazamiento angular que se expresa en grados, giros, vueltas, revoluciones,
radianes; es el arco descrito en un determinado tiempo en un movimiento circular.
Un radián es el ángulo que recorre en el centro del círculo, un arco igual a la longitud del radio.
Siendo
Las relaciones lineales y angulares de algunas variables que definen el movimiento son:
distancia velocidad
aceleración
1 rev/seg = 2 rad / s
1 rev = 360° = 2 radián
1 radián = 360°/ 2 = 57.3°
longitud de arco
el ángulo radianes =
radio
desplazamiento angular (rad) velocidad angular () =
tiempo (s)
( rad / seg ) = 2 rev /s = 2 f
variación de la velocidad angular
aceleración angular ( ) = =
tiempo t
f - i
= = radianes / s2
t
s = longitud de arco, en metros, cm
r = radio en metros cm v = velocidad lineal, en m/s, cm/s a = aceleración lineal, en m/seg2 , cm /s2
= desplazamiento angular, radianes
= velocidad angular , rad/s
= aceleración angular, m/s2
s = r
v = r
a = r
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Las ecuaciones del movimiento de rotación o circular uniformemente acelerado (MCUA) son análogas a las del movimiento lineal uniformemente acelerado, cuando el
móvil lleva velocidad inicial.
La velocidad lineal y angular
La distancia lineal y el ángulo desplazado
La velocidad lineal final, y la velocidad angular cuando el movimiento se inicia desde el reposo con.
la velocidad final se calcula por
la distancia o desplazamiento angular
la velocidad lineal y la angular
El vector velocidad tangencial de módulo es constante y tangencial a la
circunferencia, la dirección varía constantemente. El cambio continuo de dirección provoca que exista la aceleración centrípeta que se determina con:
Ejemplos de problemas:
1.-Calcula que distancia recorre un avión en 30 minutos si va con un valor de velocidad de 800 km /h
Vi = 0 m /s
(Vel. del cuerpo)2 v2 (r f )2
a = = = = f r
radio de la trayectoria circular r r
f = frecuencia angular rev/ s
= velocidad angular rad /s (r)2
a = = 2 r
r
Datos v= d / t d= (800km /h )(1 /2 h) = 400 km
d=? V= 800 km /h d= v t t= 30 min
Vf = vi + at f i + t
d = vi t + ½ at2
= i t + ½ t2
Vf 2 = Vi
2 + 2 a d f
= i2 + 2
Vf = a t f = t
d = ½ a t 2 = ½ t2
Vf 2 = 2 a d
f 2 = 2
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2.- Calcula la aceleración que debe aplicarse a un cuerpo para que su valor de velocidad sea de 90 m/s después de 20 s.
3.- Después de 4 s calcula la magnitud de la velocidad de un cuerpo que cae libremente. (utiliza g= 9.8 m/ seg2 para la gravedad)
4.-Evalúa la aceleración de un móvil de 15 kg, al ser impulsado por una fuerza de 40 N.
5.- Calcula la masa que tiene un cuerpo que pesa 548.8 N el valor de la gravedad donde está es de 9.81 m / s2
Datos P= 548.8 N P= mg
g= 9.8 m / s2 m = P / g = 548.8 kg m / s2 / 9.8 m /s2
M= ? m = 56 kg
6.- Calcula el ―momentum o impetu‖ medio de una mujer que pesa 570 kg, y corre 400 m en 50 s.
Datos v2 - v 1 90 m/s - 0 V2 = 90 m /s a = = = 4.5 m / s2
V1 = 0 t 20 s t = 20 s
Datos V= ¿? V= gt = (9.81 m / s2) ( 4 s ) = 39.24 m / s
g= 9.81 m / s2 t= 4 s
Datos F = ma F = 40 N 40 N
m= 15 kg a = F / m = = 2.66 m / s2 a= ? 15 kg
Kg m Momentum = m v = ( 58.1 kgm ) ( 8 m/s) = 464.8
s
d 400 m v = = = 8 m/s
t 50 s
peso 570 kgfuerza masa = = = 58.1 kg masa
gravedad 9.81 m/s2
Datos d= 400 m
p= 570 kgf t= 50 s v= ¿?
m=¿ ?
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7.- Calcula el valor de la velocidad de retroceso de una metralla que dispara una ráfaga de 5 proyectiles en 3 s. El arma pesa 4.0 kg, cada ojiva es de 15 gr. = 0.015 kg y la magnitud de la velocidad de abandono del alma es decir, el cañón 350 m/s.
8.- Calcula la altura de un puente desde donde se lanza una piedra que golpea el agua
de un río que pasa abajo en 2.5 s. Calcula también la magnitud de la velocidad final de la piedra.
9.- Calcula la rapidez inicial de una luz de bengala que se dispara hacia arriba y estalla a los 25 m de altura. Si el recipiente cae, calcula la rapidez final. Y calcula el tiempo
total de vuelo.
Datos t= 3 s
Mbalas= 5( 0.015 kg) Marma = 4.0 kg Vbala = 350 m/s
varma = ¿?
mava = mbvb
mb vb (0.075 kg ) ( 350 m/s) Varma = ------------= ------------------------------ = 6.5625 m/s
ma 4 kg
Datos t = 2.5 s h=?
v2= ? g= 9.81 m/s
v1 = 0 m/s
V2 = g t =(9.81 m/s2) (2.5 s) = 24.525 m
h= ½ g t2 = ½ (9.81 m/s2 ) ( 2.5 s) (2.5 s) = 30.65 m
Datos h= 25m
v 1 = ¿? g = 9.81 m/s2
t total = ¿? V2 =?
V1 = 2 g h = ( 2) (9.81 m/s2 ) (25 m) = 22.147 m/s
La velocidad de ascenso inicial es la misma velocidad con que choca en el piso la
luz de bengala, la altura máxima es de 25 m , por lo que el tiempo de vuelo será, el tiempo de ascenso mas el descenso que son idénticos.
V ascenso positivo= V descenso negativo = 22.147 m/s
En la altura máxima la velocidad es cero.
t total = 4.5 s ascenso más descenso
v ( 22.147 m/s)
t = = = 2.25 s g 9.81 m/s2
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EJERCICIOS
1.- Se colocan 3 masas de 1 kg en un arreglo triangular cuyos vértices son (1,2)m,
(4,7)m y (8,3)m. Calcule la posición del centro de masa. a) ( 13, 12 ) m
b) ( 4.33, 4 ) m c) ( 32, 42 ) m d) ( 3, 4 ) m
e) ( 5, 10 ) m
2.- Cuatro partículas tienen las siguientes características: m1 = 0.003 Kg en (2,6) cm, m2 = 0.002 Kg en (4,8) cm, m3 = 5 Kg en (10,12) cm y m4 = 4 Kg en (6,4) cm. Determina su centro de masa.
a) ( 0, 0 ) cm b) ( 5.5, 7.5 ) cm
c) ( 1, 1 ) cm d) ( 4 114.29, 19 748.57 ) cm e) ( 6.29, 7.86 ) cm
3.- Determine la magnitud de la velocidad media de un objeto que lleva un valor de
velocidad inicial de 3 m/s y con valor de velocidad final de 4.2 m/s. a) 3.6 m/s b) 7.2 m/s
c) 0.278 m/s d) 1.2 m/s
e) 0 m/s 4.- Calcule la distancia en metros que recorrerá un motociclista durante 7 segundos, si
lleva una magnitud de velocidad media de 30 km/h a) 210 m
b) 23 m c) 58.33 m d) 7 m
e) 4.7 m
5.- Calcule el tiempo en horas en que un auto recorre una distancia de 3 km si lleva una magnitud de velocidad media de 50 km/h a) 47 h
b) 0.06 h c) 150 h
d) 50 h e)3 h
6.- Un auto alcanza una rapidez de 40 km/h en 4 segundos. ¿Cuál es su aceleración? a) 10 m / s2
b) 2.78 m / s2 c) 160 m / s2 d) 4 m / s2
e) 36 m / s2
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7.- Un ciclista lleva una rapidez inicial de 2 m/s; a los 3 segundos, su rapidez es de 6 m/s, Calcule su aceleración media. a) 1 m / s2
b) 2 m / s2 c) 1.33 m / s2
d) 0.67 m / s2 e) 0.75 m / s2
8.- Determine la rapidez que llevará un niño con su triciclo a los 5 segundos, si al bajar por una pendiente adquiere una aceleración de 1.5 m / s2 y parte con una rapidez inicial
de 3 m/s. a) 15 m/s b) 3 m/s
c) 5 m/s d) 7.5 m/s
e) 10.5 m/s 9.- Un auto lleva un valor de velocidad inicial de 20 km/h, a los cuatro segundos, su
nueva magnitud de velocidad es de 50 km/h. Calcule para el Sistema Internacional de Unidades su valor de desplazamiento en dicho tiempo.
a) 200 m b) 38.86 m c) 80 m
d) 16 m e) 1000 m
10.- Un auto lleva una rapidez de 80 km/h, aplica los frenos para detenerse en 5 segundos ante un semáforo, calcule la aceleración suponiendo que es constante.
a) – 40 m / s2 b) – 400 m / s2
c) – 4.44 m / s2 d) 3 m / s2 e) 2 m / s2
11.- Calcule la velocidad angular de una piedra atada a un hilo, si gira con un periodo
de 0.5 segundos a) 12.57 rad/s b) 4 rad/s
c) 3.14 rad/s d) 5 rad/s
e) 1 rad/s 12.- Una batidora incrementó su velocidad angular de 20 rad/s a 120 rad/s en 0.5
segundos. Para este cambio, ¿qué desplazamiento angular se tuvo? a) 10 rad
b) 25 rad c) 15 rad d) 35 rad
e) 200 rad
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13.- Calcule la velocidad angular de una rueda a los 0.1 minutos si tenía una velocidad angular inicial de 6 rad/s y tiene una aceleración angular de 5 rad / s2 a) 36 rad/s
b) 6 rad/s c) 5 rad/s
d) 30 rad/s e) 24 rad/s
14.- Una rueda que gira a 4 rev/s aumenta su frecuencia a 20 rev/s en 2 segundos. Calcule el valor de su aceleración angular.
a) 125.6 rad / s2 b) 25.12 rad / s2 c) 50.24 rad / s2
d) 20 rad / s2 e) 2 rad / s2
3.- ECUACIÓN VECTORIAL DE MOVIMIENTO.
INTRODUCCIÓN.
Una persona esta caminando por la orilla de una carretera y cuando va a cruzar, ve venir un camión. Inmediatamente corre para quitarse del camino. ¿Por qué el caminante
trata de evitar una colisión?; en primer lugar el camión tiene una velocidad, pero esta por si sola no hace que un objeto sea peligroso. Una mosca que vuele a la misma velocidad que el camión no haría que el caminante evitara la colisión. ¿Será entonces la
masa a la que teme? Tampoco, porque sí el camión estuviera parado, no lo lastimaría. Es la combinación de la velocidad y la masa la que tiene particular importancia.
Para Newton fue muy útil usar el producto de la masa de un objeto por su velocidad para medir su movimiento. A este producto lo llamo cantidad de movimiento y en la
actualidad se le conoce como momento lineal o ímpetu (p). El momento lineal es una cantidad vectorial cuya dirección y sentido, corresponde con los de la velocidad.
._ velocidadmasalinealmomento mvp
De lo anterior encontramos que el momento lineal se mide en ./ smkg
Ejemplo: Un deportista junto con su bicicleta, tienen como masa 70 kg; mientras que
otra persona con su motocicleta presenta 250 kg de masa. Si se conoce que ambos sistemas viajan con la misma cantidad de movimiento o momento lineal y que el ciclista viaja a 12 m/s. ¿qué valor de velocidad lleva el motociclista?
mc = 70 kg
vc = 12 m/s pc = ?
pc = pm mm = 250 kg vm = ?
Para el deportista con bici, el valor de su momento lineal es: skgmsmkgmvp /840)/12)(70(
Este es igual a la magnitud del momento de la otra persona con su
moto, así despejando, obtenemos el valor de la velocidad de éste: mvp despejando la v: smkgskgmmpv /36.3)250/()/840(/
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Isaac Newton, al enunciar la segunda ley del movimiento, no utilizó el concepto de aceleración sino que empleo el de momento lineal. Afirmó que la rapidez de cambio del momento lineal de un objeto es proporcional a la fuerza aplicada y que este cambio se
presenta en la dirección de la fuerza. La rapidez de cambio del momento lineal es el cambio dividido entre el intervalo del tiempo en que ocurre. La forma algebraica en que
Newton presentó esta ley fue:
.
t
mv
t
pF
El concepto de momento lineal es importante, ya que si la fuerza externa resultante ejercida sobre un sistema de partículas es cero, el momento lineal total del sistema se
conserva, es decir, permanece constante con el tiempo. Si la fuerza externa resultante ejercida sobre un sistema es igual a cero, la velocidad del
centro de masas del sistema es constante y el momento lineal o cantidad de movimiento total del sistema es también constante (se conserva).
La importancia de esta ley, es que se aplica a cualquier sistema aislado de sus alrededores, que por tanto, está exento de fuerzas exteriores; debido a que las fuerzas
internas ejercidas por una partícula del sistema sobre otra son frecuentemente no conservativas. Así, pueden hacer variar la energía mecánica total del sistema, pero
como estas fuerzas internas siempre se presentan por parejas, no pueden modificar la cantidad de movimiento total del sistema.
Por ello el momento lineal total es constante, teniéndose:
Momento lineal total antes de un evento = Momento lineal total después del evento
m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 +…+ mn vn = m1 v´1 + m2 v´2 + m3 v´3 +…+ mn v´n
Para el caso de sólo dos partículas o cuerpos:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Ejemplo: Un niño de 40.0 kg parado sobre un lago helado arroja una piedra de 0.500
kg hacia el este con rapidez de 5.0 m/s. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la velocidad de retroceso del niño.
m1 = 40.0 kg
v1 = 0 m2 = 0.5 kg v2 = 5 .0 m/s
v = ?
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
(40.0 kg)(0) + (0.5 kg)(0) = - (40.0 kg)(v) + (0.5 kg)(5.0 m/s) El signo menos en el ímpetu del niño es debido a que su velocidad es de sentido contrario.
0 + 0 = -(40.0 kg)(v) + (2.5 kg m/s) 0 = -(40.0 kg)(v) + (2.5 kg m/s)
(40.0 kg) (v) = (2.5 kg m/s) v = (2.5 kg m/s) / (40.0 kg) = 0.0625 m/s
Si retomamos la 2ª Ley de Newton:
.t
mv
t
pF
18
Y si la masa es constante:
t
vmF
puesto que
,t
va
en la ecuación anterior, .
t
v
puede ser sustituido por a
Por lo tanto, maF
Según esto maF constituye una expresión algebraica adecuada para la segunda ley
de Newton cuando la masa no cambia. A velocidades cercanas a la de la luz, cuando
tanto m como v son variables, la ley de Newton debe expresarse en términos de
momento y no de aceleración. La ley de Newton, tal como él la expresó es:
.
t
mvF
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por :t
.mvtF
En esta forma, la ecuación indica algunos hechos interesantes.
Suponga que golpea una pelota con un bat. Antes del impacto la pelota tiene un cierto momento y después del impacto tiene otro diferente. Hubo un cambio en el momento de
la pelota. En el miembro derecho de la ecuación. mv Representa este cambio. En el
miembro izquierdo F representa la fuerza del impacto y t es el tiempo durante el que
la pelota y el bat están en contacto. Este intervalo de tiempo es generalmente muy corto, pero cuanto mayor sea, mayor será el cambio en el momento. Por esta razón,
para lanzar más lejos la pelota, tanto un bateador como un golfista siguen el curso de la pelota al golpearla para que el tiempo de contacto sea el mayor posible.
Por su importancia en problemas relacionados con colisiones, el término tF recibe el
nombre especial de impulso.
Impulso = .mvtF {El impulso aplicado a una partícula o cuerpo, es igual a su
cambio en el momento lineal, o cantidad de movimiento.}
Al sustituir las unidades en la ecuación, encontramos que el impulso se mide en ./ sNsmkg Que son las unidades del momento.
Ejemplo. ¿Qué fuerza se necesita para detener en 20 segundos a un automóvil de
1000 kilogramos que viaja a una velocidad de 30 m/s?
Tenemos los siguientes
Usando la ecuación: ,21 vvmmvtF
19
datos: kgm 1000
st 20
smv /301
02 v
?F
Tenemos:
smkgFs /300100020
.105.1100.2
/100.3 34
Ns
smkgF
El signo negativo de la respuesta significa que la dirección de la fuerza es opuesta a la de la velocidad.
Otro concepto muy importante en el movimiento, es el de momento de una fuerza o
torca (), la cual se entiende como la tendencia a girar que recibe un cuerpo por la
aplicación de una fuerza; es decir aquello que provoca aceleración angular. Para las
siguientes figuras, se tiene la aplicación de dos fuerzas del mismo valor y dirección, pero de sentido contrario; por lo que la fuerza resultante es cero, pero se tienen efectos diferentes. En la figura (a) las fuerzas actúan sobre la misma línea de acción, por lo que
sus efectos se anulan, pero en la figura (b), aunque la suma de ellas sigue siendo cero, la rueda comienza a girar; esto es por el momento de la fuerza o torca, al tener un brazo
de palanca (distancia del centro de la esfera a la aplicación de la fuerza, cada una provoca una torca (aceleración angular) por lo que se suman sus efectos, girando más rápido este sistema.
Figura (a) Figura (b)
El momento de una fuerza o torca, es directamente proporcional a su brazo de palanca y a la fuerza aplicada y ( Fr
). El brazo de palanca es la distancia perpendicular de
la línea de acción de la fuerza al punto o eje de giro. Un ejemplo de esto es la facilidad del giro de una puerta al aplicar la fuerza de un punto
alejado de la línea de las bisagras.
Ahora se deducirá una relación importante entre la torca, o momento dinámico, y el
momento cinético. En donde el momento cinético l
de una partícula respecto al origen
se define como:
.prl
Hemos visto que, para una partícula,
.t
pt
vmF
Tomemos el producto
vectorial de r
con ambos miembros de esta ecuación, obteniendo
.t
prFr
Pero Fr
es la torca, o momento de la fuerza, respecto al origen. Por lo tanto, podemos escribir
20
.t
pr
Por medio de un procedimiento matemático y usando la ecuación del momento cinético, obtenemos:
.t
l
Lo anterior indica que la rapidez de cambio del momento cinético de una partícula es
igual a la torca que actúa sobre ella.
Ejemplo: Una fuerza de 250 N se aplica como se muestra, en la rueda siguiente. Si el
valor de separación del centro a la fuerza (r) es de 0.08 m y el ángulo F entre ambos es de 70°. ¿Cuál la torca provocada?
r r sen
F
Solución: Primero el brazo de palanca es la línea azul perpendicular a la Fuerza, la cual aplicando trigonometría es:
r
= r sen
Por lo que la torca es:
= Fr
= (r sen) (F) = (0.08m) (sen 70°) (250 N) = 18.79 N m.
EJERCICIOS
15.- Exprese la segunda ley del movimiento de Newton, forma algebraica, en términos de momento,
a) .maF
b) .t
va
c) t
Fa
d) .taF
e) .t
pF
16.- ¿Cuál es la velocidad de un vehículo de 1500 kg si su momento es de 24 000
kgm/s?
a) sm /10150024 3
b) sm /16
c) sm /0625.0
d) sm /25500
e) sm /22500
21
17.- ¿Cuál es el momento de una pelota de 5.0 kg que rueda con velocidad de 3.0 m/s?
a) skgm /3
5
b) skgm /5
3
c) skgm /8
d) skgm /2
e) skgm /15
18.- Una persona de 80 kg y un joven de 40 kg están de pie y juntos en una pista de
hielo, con fricción despreciable. Si después de que se empujen uno al otro, el hombre se aleja con una velocidad de 0.25 m/s. ¿Con qué valor de velocidad se aleja el joven?
a) 0 b) 0.125 m/s c) 0.250 m/s
d) 0.500 m/s e) 2.250 m/s
19.- Una bala de 0.02 kg viaja de manera horizontal y uniforme a 250 m/s; se impacta y empotra en un bloque de madera de 0.40 kg que se encontraba en reposo, en una
superficie sin fricción. ¿Cuál es la velocidad final del sistema? a) 0
b) 5 m/s c) 10 m/s d) 11.90 m/s
e) 100 m/s
20.- Un muchacho batea una pelota con una fuerza de 50 N. Si el bat y la pelota están en contacto durante 0.40 segundos. ¿Cuál es el impulso? ¿Cuál es el cambio de momento de la pelota?
a) El impulso es 0.40 segundos y el momento 20 Ns. b) El impulso es 50 N y el momento 0.40 s. c) El impulso es 20Ns y el momento 20Ns
d) El impulso es 0.40 seg. el momento es 50N e) El impulso es 125Ns y el momento 20 Ns
21.- Un automóvil de 1500 kg, originalmente en reposo, se acelera a razón de 4.0 2/ sm
durante 5.0 s. ¿Cuál es su momento al cabo de ese tiempo? a) 30 000 Ns
b) 1 200 Ns
c) 75 Ns d) 0.01333 Ns
e) 1509 Ns
22
22.- Una bala de 6.0 gramos, que viaja a una velocidad de 300 m/s, atraviesa un bloque de madera y sale de él a 100 m/s. ¿Cuál es su cambio de momento?
a) 1 200 Ns
b) 1.2 Ns c) 2 400 Ns.
d) 2.4 Ns e) 600 Ns
23.- Si la bala del problema anterior atraviesa el bloque de madera en 3102.1
segundos. ¿Cuál fue la fuerza que ejerció la madera sobre la bala?
a) 1 000 000 N b) 1 000 N
c) 2 000 000 N d) 2 000 N e) 500 000
24.- ¿En cuál de las cinco posiciones se tendrá la mínima torca y por qué?
a) b) c)
d) e)
25.- ¿Porqué los autobuses y camiones pesados tienen volantes de dirección grandes? a) según el tamaño del vehículo, será el tamaño que debe tener el volante.
b) porque así va con la presencia de todo vehículo de gran tamaño. c) al tener mayor brazo de palanca es mejor su aceleración angular. d) porque los choferes de éstos vehículos son de grandes y fuertes brazos.
e) no se construyen volantes pequeños para los engranes de esta dirección.
23
4.- MOMENTO DE INERCIA DE CUERPOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS HOMOGÉNEOS.
Momento de inercia de una distribución de masas puntuales
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a verificar cambios
en su movimiento de rotación. Depende de la distribución de masa del objeto respecto a su eje de rotación. Es una propiedad del objeto y del eje de rotación, de igual modo que la masa m es una propiedad del objeto que mide su resistencia a cambiar su
movimiento de traslación. Para un número pequeño de partículas, el momento de inercia alrededor de un eje determinado, se determina con la ecuación siguiente. Pero
para un objeto continuo, se utiliza el cálculo integral. Para i partículas, tenemos que calcular la cantidad:
ii mxI 2 (1)
Donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación. A I se le llama la
inercia rotacional o momento de inercia del cuerpo respecto a dicho eje particular de rotación.
El momento de inercia, se relaciona con la torca, mediante la ecuación =
es el momento total o resultante que actúa sobre el cuerpo en ―N m‖
es el valor del momentode inercia en kg m2.
es la aceleración angular del cuerpo en rad/s2.
Nótese la similitud de esta ecuación, con la 2ª Ley de Newton (F=m a). Enunciándose: Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre causará una
aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo.
Ejemplo. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se
colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a ( 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 ) m. de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
Un extremo
De la segunda masa
Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es: IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
24
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e
IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC = 0.5 m y BC = 0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es: I = IC + Md2
IC es el momento de inercia del sistema respecto al eje que pasa en el centro de
masa I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa
A) Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la
varilla que pasa por el centro de masas. El momento de inercia de la varilla es
2
12
1MLIC
Aplicando el teorema de Steiner,
podemos calcular el momento de inercia de la vari lla respecto de un eje
perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
2
2
3
1
2ML
LMII C
25
B) Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al
plano del disco y que pasa por su centro. El momento de inercia del disco es:
2
2
1MRIC
C) Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia
de un cilindro sólido de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje. El momento de inercia del cilindro es:
2
2
1MRIC
D) Momento de inercia de una placa
rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia
de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje
que pasa por la placa. El momento de inercia de la placa rectangular es:
2
12
1MbIC
26
E) Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia
de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.
El momento de inercia del disco es:
2
4
1MRIC
F) Momento de inercia de una esfera (sólida)
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R
respecto de uno de sus diámetros El momento de inercia de la esfera , es la suma de los momentos de inercia de
todos los discos elementales:
2
5
2MRIC
G) Momento de inercia de un cilindro sólido
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y
longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro. El momento de inercia del cilindro es:
22
12
1
4
1MLMRIC
H) Momento de inercia de un paralelepípedo
Vamos a calcular el momento de inercia
de un paralelepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras. El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es:
22
12cb
MIC
27
Ejemplo: Se sabe que el momento de inercia respecto al extremo de una varilla es de 0,25kgm2. Calcular el momento de inercia respecto a un eje paralelo al mismo que pasa por el Centro de Masa sabiendo que la longitud de la varilla es de L=1,2m.
El momento de inercia de una varilla respecto al Centro de Masa es:
I = 1/3 M L2 = 0.25 kg m2 por lo que de allí se puede despejar el valor de la masa M
: M = 3 I / L2 = 3 (0.25 kg m2) /(1.2 m)2 = 0.521 kg
y aplicando el teorema de Steiner podemos correr el
momento de inercia a un eje paralelo. I = ICM + Md2 → IC M = I - Md2 = 0.25 kg m2 - 0.521
kg (0.60 m)2 = 0.062 kg m2 es decir, la inercia respecto al CM es 0,062kgm2
Verificando con la expresión del momento de inercia
respecto a un eje YCM y resulta
IC M = 1/12 ML2 = (0.521 kg)(1.2 m)2 / 12 = 0.062 kg m2
Ejemplo. Se enrolla una cuerda alrededor del borde de un disco uniforme de 1.5 kg,
inicialmente en reposo. Si él cual puede girar alrededor de un eje fijo que pasa por su centro y en ausencia de fricción al aplicar en el extremo de la cuerda una fuerza de 12 N. Conociendo que el radio del disco es de 20 cm. ¿Qué momento de inercia se tiene?,
¿de qué magnitud es la torca ejercida?, ¿cuál es su aceleración angular? y ¿qué velocidad angular tendrá después de 4 s?
Solución: El momento de Inercia de un disco uniforme de acuerdo a la tabla anterior es:
2
2
1MRI = ½ (1.5 kg) (0.20m)2 = 0.03 kg m2
Como el jalón de la cuerda es tangente al disco, el brazo de palanca es el radio del
mismo, así: = r F = (0.20m) (12 N) = 2.4 N m
Para evaluar la aceleración angular, empleamos: =
Despejando a / = 2.4 Nm / 0.03 kg m2 = 80 rad/s2
Como la aceleración angular es constante, se utiliza la ecuación de velocidad angular de un movimiento circular uniformemente acelerado: = i + t = 0 + (80 rad/s2 ) (4 s) = 320 rad/s
Ejemplo: Un disco de esmeril de 0.6 m de radio y 90 kg de masa, gira a 460 rpm. ¿Qué
fuerza de rozamiento aplicada tangencialmente a su borde logrará detenerlo en 20 s? Primero se evalúa el momento de inercia:
I = ½ MR2 = ½ (90 kg)(0.6m)2 = 16.2 kg m2 La velocidad angular se convierte a radianes en cada segundo:
= (2 P rad/1 rev) (460 re4v/1 min)(1 min/60 s) = 48.2 rad/s
28
La aceleración angular se obtiene con: = (f i )/ t = (0 - 48.2 rad/s) / 20 s = - 2.41 rad/s2
Aplicando las ecuaciones obtenidas de la 2ª Ley de Newton, para la Torca: = r F = I
De la cual, despejamos a la Fuerza:
F = I / r = (16.2 kg m2 )( - 2.41 rad/s2 ) / 0.6 m = - 65.0 N
El signo menos nos indica que la fuerza debe dirigirse en sentido contrario a la rotación
del disco.
Ejercicios
1.- Hallar el momento de inercia de una muela de esmeril en forma de disco uniforme, si tiene una masa de 2.4 Kg y un diámetro de 28 cm.
a) 0.01176 kg m2 b) 0.04704 kg m2
c) 0.084 kg m2 d) 0.168 kg m20 e) 0.18816 kg m2
2.- Hallar el momento de inercia de una varilla delgada y uniforme con una masa de 2.6
Kg y una longitud de 86 cm, que se hace girar sobre un eje en uno de sus extremos. a) 0.64098 kg m2 b) 0.74533 kg m2
c) 0.37266 kg m2 d) 1.118 kg m2
e) 2.236 kg m2
3.- Calcule el momento de inercia de un ci lindro macizo respecto al eje Z' sabiendo que
su masa es de 2kg, el radio R=20cm y el largo L=50cm.
a) 0.187 kg m2
4.- Se enrolla una cuerda alrededor del borde de un disco uniforme de 2.25 kg,
inicialmente en reposo. Si él cual puede girar alrededor de un eje fijo que pasa por su centro y en ausencia de fricción al aplicar en el extremo de la cuerda una fuerza de 15
N. Conociendo que el radio del disco es de 16 cm. ¿De qué magnitud es la torca ejercida?
5.- Para los datos del problema anterior, ¿Cuál es la velocidad angular después de 3 s?
29
6.- ¿La aplicación de un momento de una fuerza sobre todo cuerpo rígido, incrementa siempre su velocidad angular? ¿Por qué?
7.- Un objeto rígido, ¿puede tener más de un momento de inercia? Explica:
8.- Explica ¿Por qué para un animal de patas cortas, su Inercia rotacional es menor que
para otro de patas largas?
5.- EQUILIBRIO ROTACIONAL Y TRANSLACIONAL. INTRODUCCIÓN
Los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido pueden agruparse en forma conveniente como sigue:
TRASLACIÓN: Se dice que el movimiento es de traslación si cualquier línea
recta de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento. Puede observarse también que en una traslación todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias
son líneas rectas, se dice que el movimiento es una traslación rectilínea; si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea.
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: En este movimiento las partículas
que forman el cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación, interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el mismo eje tienen velocidad y
aceleración cero.
Como cada partícula se mueve en el plano dado se dice que la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo es un movimiento plano.
MOVIMIENTO EN EL PLANO GENERAL: Existen otros tipos de movimiento en
el plano, es decir, movimientos en que todas las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos. A cualquier movimiento plano que no es ni una rotación ni
una traslación se le llama movimiento en el plano en general.
MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN EJE FIJO: este es el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido con respecto a un punto fijo O. Un ejemplo de
movimiento con respecto a un eje fijo se encuentra el movimiento de un trompo
sobre una superficie rugosa.
30
MOVIMIENTO GENERAL: a cualquier movimiento de un cuerpo rígido que no se
contempla en ninguna de las categorías anteriores se le llama movimiento general.
Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal
como se muestra en la figura, las únicas fuerzas que actúan sobre él son su peso y la fuerza de contacto de la superficie. La fuerza ejercida por la superficie soporta el
bloque, manteniéndolo en reposo. Ya que la aceleración del bloque es cero, y esto significa que la fuerza de contacto es la fuerza normal N, porque tiene dirección perpendicular, o normal, a la superficie, así en la figura N = mg a fuerza normal,
reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque.
Si ahora, el plano está inclinado un ángulo , el bloque está en equilibrio en sentido
perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, m g cos
Por lo tanto; N = m g (cos Θ ) Fuerza de fricción estática.
Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza de fricción estática. En la siguiente figura aplicamos una fuerza F
que aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta a la fuerza de
fricción estática Fe, ejercida por la superficie.
APLICACIONES.
El conocimiento de las fuerzas que actúan en diferentes puntos permite elegir los
materiales de construcción apropiados. Quién se dedica al diseño de puentes o aviones necesita saber cómo vibra la estructura, aunque aquí se supondrá que es cuerpo es
rígido (para reducir el daño producido por un terremoto).
31
Mediante las condiciones de equilibrio un cuerpo permanece en reposo y estas condiciones son de gran importancia en la construcción de puentes y edificios para que conserven su estructura incluso cuando se ven sometidos a esfuerzos inusitados debido
a terremotos o a fuertes vientos. EJERCICIOS.
1.- Un semáforo que pesa 100 N, cuelga de un cable vertical unido a dos cables formando ángulos de 370 y 530. Calcular las tensiones en cada cable.
Solución.
ΣFx = T1 cos 530 – T2 cos 370 = 0 ΣFY = T1 sen 530 + T2 sen 370 - 100N = 0
T2 = T1 (0.799/0.602) = 1.33 T1
T1 = 100N – 39.9N = 60.1N T2 = 1.33 (60.1N) = 79.9N
2.- Un niño detiene un trineo que pesa 77 N. Hallar la fuerza normal y la fuerza que
ejerce el niño, el trineo forma un ángulo de 300. Solución.
ΣFx = T – (77N) (sen 300) = 0 T = 38.5N
ΣFy = n – (77N) (cos 300) = 0 n = 66.7N
3. - Una viga uniforme y horizontal de 300N, de 5m de largo, esta unida a una pared mediante una conexión de pernos. Su extremo lejano esta sostenido por un cable que
forma un ángulo de 530 con la horizontal. Si una persona de 600N esta de pie a 1.5m. Encontrar la tensión en el cable y sus componentes. Solución.
ΣFx = Rx -T cos 530 = 0 ΣFY = Ry + T cos 530 -600N – 300N = 0
ΣΤ = 4mt – 700N*m – 900N*m T = 1650 N*m/ 4m = 412.5N Rx = 412.5N (0.601) = 248N
Ry = 900N – 330N = 570N
32
4.- Una persona sostiene un peso de 50N en la mano con el antebrazo horizontal. El bíceps esta unido a 0.030m de la articulación, y el peso esta a 0.350m de la articulación. Encuentre la fuerza hacia arriba ejercida por antebrazo y la fuerza hacia
abajo. Solución. ΣFY = F – R -50N = 0
Τ = F (0.030m) – (50N) (0.350m) = 0 F = 583N sustituyendo
R = 583N – 50N = 533N
6.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL ÍMPETU.
INTRODUCCIÓN.
Las colisiones rigen nuestra vida cotidiana y son generalmente en dos o tres dimensiones, por ejemplo cuando dos imanes interactúan, o cuando jugamos bi llar
(colisión elástica) en dos dimensiones, o cuando se produce un choque en la ciudad, un accidente aéreo.
Todos los cuerpos que presentan un movimiento, tienen la característica de presentar un ímpetu, o momento, cuando un cuerpo se encuentra acelerado, es por que hay una
fuerza externa que ha provocado una aceleración, es por ello que podemos decir que el cuerpo ha sido impulsado. El impulso corresponde a la fuerza que se aplica a un cierto
cuerpo para que este se desplazase, por lo que podemos decir que el impulso es una magnitud vectorial, la cuál esta dada por:
I = F*Δt
El momento, ímpetu o cantidad de movimiento, es una magnitud vectorial, al igual que
el impulso, y esta dado por: F = m*a a= v2-v1/t
F = m( v2-v1)/t
F = ΔP/t ΔP cantidad de movimiento lineal = mΔv
τ = ΔL/t ΔL cantidad de movimiento angular = I w
Definición de Conceptos.
Colisión. Movimiento en el cuál las partículas interactúan entre si e intercambian
energía. Colisión Inelástica. Movimiento en el cuál se conserva solo la cantidad de
movimiento. Colisión Elástica. Movimiento en el cuál se conservan tanto la cantidad de movimiento
como la energía. Impulso. Es resultado del producto de la fuerza por un intervalo de tiempo.
33
Aplicaciones.
Las leyes de conservación de la energía y la cantidad de movimiento tienen grandes aplicaciones en la vida cotidiana como por ejemplo una prueba de automóviles
parachoques, lanzamiento de objetos como la bala de un rifle, la propulsión de cohetes.
También tiene aplicaciones en los deportes como: el boliche, el béisbol, el golf y el boxeo.
Ejemplos.
i) Un jugador de golf le pega a una pelota de golf de cierta masa y con un aumento de
velocidad, la cantidad de movimiento se calcula como: ∆p = m∆v
ii) Un auto con cierta masa que se mueve con cierta velocidad y tiene un intervalo de
tiempo, la fuerza se calcula obteniendo primero la cantidad de movimiento: ∆p = m∆v
F = ∆p/∆t
Ejercicios.
1.- Una pelota de golf de 50 g se golpea con un palo, la fuerza varía desde cero a algún valor, la pelota sale con una rapidez de 44 m/s. Cual es la cantidad de movimiento.
∆p = m∆v ∆p = 0.005 kg * 44 m/s = 2.2 kg m/s
2.- Un jugador de béisbol lanza una pelota de 0.2 kg y aumenta su rapidez de 0 a 70 m/s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento y la fuerza aplicada si 0.0012s?
∆p = 0.2 kg * 70 m/s = 14 kg m/s F = 14kg m/s /0.0012s = 11 700 N
3.- Un rifle de 3.4kg, dispara una bala de 11.7g a una velocidad de 800 m/s. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del rifle?
p1 = p2 m1v1 = m2v2
v2 = m1v1 / m2 = 0.00117kg*800 m/s /3.4kg = 2.8 m/s
4.- Un disco de 3kg tiene una rapidez inicial de 10 m/s. Un segundo disco de 5kg tiene
una rapidez desconocida v2.Calcular esa magnitud. p1 = p2
m1v1 = m2v2
v2 = m1v1 / m2 = 3kg*10 m/s /5kg = 6 m/s
5.- Un disco con momento de inercia de 4kg*m2 gira libremente a 3 rad/s. Un segundo disco con momento de inercia de 2kg*m2 se desliza abajo del eje y giran juntos. ¿Cuál es la velocidad angular de la combinación?
LF = Li IFωF = Iiωi
ωF = Iiωi / IF = 4kg*m2 * 3 rad/s / 2kg*m2 = 6 rad/s
34
6.- Un hombre de 80kg corre con un valor de velocidad de 4m/s a lo largo de una banqueta a una plataforma circular de 160kg y radio de 2m ¿Cuál es la velocidad angular?
LF = Li mvR = (I/2MR2 + MR2) ωi
ωi = Mv / (I/2M + m)R = 80kg*4m/s/ 160kg * 2m = 1 rad/s
7.- ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA Y ELÁSTICA.
Podemos decir que la energía es la capacidad para realizar un trabajo, su unidad es el
Joule. A continuación describiremos tanto a la energía potencial, como la energía cinética. Energía Potencial:
Es la energía almacenada y está disponible para convertirse en trabajo o en
alguna otra forma de energía. Así tenemos a la Energía Potencial Gravitacional que depende de la altura.
hgmEPgrav
Sabemos que gmpeso por lo que podemos escribir:
hpesoEPgrav
Donde:
La energía potencial gravitacional debe calcularse tomando en cuenta un nivel de
referencia específico. Ejemplo:
1. ¿A qué altura se encuentra un cachorro de 2700 gr. si su energía potencial gravitacional es de 529.74 Joules? ( )
a) 0.02 m b) 14031.22 m c) 20 m d) 1924.72 m e) 50 m Datos:
h = ? m = 2700 gr. = 2.7 Kg Recuerde convertir los gramos a Kg, dividiendo
entre 1000 EPgrav = 529.74 Joules
Fórmula: hgmEPgrav
gravEP
= Energía potencial gravitacional (Joules)
M = Masa (kilogramos)
G = Aceleración de la gravedad = 9.81 2sm en
la Tierra H = Altura (metros)
W = Peso (Newtons)
35
Despejamos la altura h: gm
EPh
grav
m
smkg
Jh 20
81.97.2
74.5292
La respuesta es la opción C
Ejercicios propuestos:
1. ¿Qué masa tendrá un objeto colocado a 7 m de altura si su energía potencial gravitacional es de 1716.75 Joules? ( )
a) 1225 kg b) 25 kg c) 0.04 kg d) 245.25 kg e) 175 kg
2. ¿Cuál será la energía potencial de un gato de 1300 gramos de masa que se encuentra durmiendo a 17 metros de altura? ( )
a) 76.47 J b) 4.61 J c) 7.79 J d) 216801 J e) 216.8 J También tenemos a la Energía Potencial Elástica, que es la energía almacenada en
un resorte ya sea estirándolo o comprimiéndolo.
2
2xkEP
elástica
Donde:
En este caso se cumple que: xkF
Donde:
Sabemos que la energía mecánica total es la suma de las energías potencial y cinética. Por lo que una expresión válida de trabajo es la siguiente:
12
2
1
2
1
2
2
2
2
2222EE
xkvmxkvmT
Si el trabajo es positivo, la energía mecánica aumenta, si el trabajo es negativo la energía mecánica disminuye, si el trabajo es cero la energía mecánica se conserva, en
este último caso se cumple
2222
2
2
2
2
2
1
2
1 xkvmxkvm
elásticaEP
= Energía potencial elástica (Joules)
K = Constante del resorte mN
X = Estiramiento o compresión del
resorte ( m )
F = Fuerza (N)
k = Constante del resorte ( N/m )
x = Estiramiento o compresión del resorte ( m )
36
Donde: T = Trabajo (Joules) m = Masa (Kg)
k = Constante del resorte ( N/m ) x1 = Estiramiento o compresión inicial del
resorte ( m ) x2 = Estiramiento o compresión final del
resorte ( m )
v1 = Velocidad inicial de la masa unida al resorte (m/s)
v2 = Velocidad final de la masa unida al resorte (m/s)
E1 = Energía mecánica total inicial (Joules)
E2 = Energía mecánica total final (Joules) Ejemplo 1: Si la constante de recuperación k de cierto resorte vale 35 N/m y la masa
del cuerpo es 6 Kg. ( véase la figura). El cuerpo esta inicialmente en reposo y el resorte tensado mide 60 cm., después el cuerpo se suelta y retrocede hacia su posición de
equilibrio ¿Cuál será su velocidad cuando el resorte tiene un alargamiento de 20 cm? Suponga que el cuerpo descansa sobre una superficie sin rozamiento.
Datos: k = 35 N/m m = 6 Kg v1 = 0 Reposo
x1 = 60 cm = 0.6 m Recuerda convertir los cm a metros v2 = ?
x2 = 20 cm = 0.2 m
Fórmula:
2222
2
2
2
2
2
1
2
1 xkvmxkvm
Despejamos v2:
m
xkxkvmv
2
2
2
1
2
1
2
Sustituyendo los datos tenemos:
sm
kg
mmNmmNsmkgv 366.1
6
2.0/356.0/35/06222
2
Ejemplo 2: Se cuelga una masa de 12 kg. al extremo libre de un resorte lográndose un
alargamiento de 8 cm. Calcule la constante del resorte y la energía potencial elástica
del resorte en ese momento. Datos: m = 12 Kg.
x = 8 cm = 0.08 m Recuerda convertir los cm. a metros
k = ? EP elástica = ?
1
2
1
2
37
Fórmulas: xkF
pesoF
xkgm
x
gmk
2
2xkEPelástica
mNm
smkgk 5.1471
08.0
81.912 2
JoulesmmN
EPelástica 7088.42
08.05.14712
Ejercicios propuestos:
1. Se cuelga una masa de 53 Kg. al extremo libre de un resorte lográndose un
alargamiento de 17 cm. Calcule la constante del resorte y la energía potencial elástica del resorte en ese momento. ( )
a) 30.58 N/m
4418.81 J
b) 3058.41 N/m
44.19 J
c) 3.12 N/m
450.84 J
d) 335.29 N/m
4.84 J
e) 311.76 N/m
4.5 J
2. Si la constante de recuperación k de cierto resorte vale 302 N/m y la masa del cuerpo es 150g. El cuerpo esta inicialmente en reposo y el resorte tensado mide 35 cm., después el cuerpo se suelta y retrocede hacia su posición de equilibrio ¿Cuál será su
velocidad cuando el resorte tiene un alargamiento de 2 cm.? Suponga que el cuerpo descansa sobre una superficie sin rozamiento.( )
a) 49.58 m/s b) 2458.28 m/s c) 245.83 m/s d) 15.68 m/s e) 40.48 m/s
38
8.- ENERGÍA CINÉTICA: TRASLACIONAL Y ROTACIONAL
Una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una velocidad lineal que se
determina con: v= R
Si consideramos que la partícula tiene una masa m, tendrá una energía cinética que se encuentra como:
Ek = ½ m v2 = ½ m R
Un cuerpo rígido esta formado por muchas partículas de diferente masa localizadas a diversas distancias del eje de rotación. Entonces, la energía c9inética total del cuerpo, será la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma al cuerpo. Así:
Ek = ½ m r
Puesto que ½ y la velocidad angular son las mismas para todas las partículas, podemos escribir la expresión anterior como: Ek = ½( m r )
La cantidad entre paréntesis m r, tiene el mismo valor para un cuerpo dado
independientemente de su estado de movimiento; y se le llama momento de inercia y
se representa por I. Su unidad en el S. I. es el kg m2.
I = m r
Utilizando esta definición, se puede expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia I (en kg m2) y de su velocidad angular (en
rad/seg):
Ek = ½ I
Esta expresión es muy similar a la expresión para evaluar la energía cinética de un movimiento lineal:
Ek = ½ m v2
La energía cinética traslacional (en Joules ), depende de la masa (en kg )y de la
velocidad o rapidez lineal (en m/s).
Solo que un cuerpo rígido no tiene un solo momento de inercia, en general tiene un valor distinto de momento de inercia para cada eje de rotación posible. A continuación se muestra una tabla de algunos momentos de inercia para diferentes objetos:
Esquema Objeto Eje Momento de inercia I
Barra uniforme Por el centro 12
2M
39
Barra uniforme Por un extremo 3
2M
Cilindro macizo Un diámetro por el
centro de masa
34
22 h
RM
Esfera uniforme Un diámetro 5
2 2RM
Ejemplo 1: Un carro de 1500 Kg viaja en línea recta con una rapidez de 144 Km/h,
calcula su energía cinética traslacional. Datos:
m = 1500 Kg v = 144 Km/h = 40 m/s Recuerda convertir los Km/h a m/s
EC = ?
Fórmula: 2
2vmEC altraslacion
Joules
smKgEC altraslacion 0002001
2
/4015002
Ejemplo 2: Calcule la energía cinética rotacional de una barra uniforme de 20 cm. de
longitud que gira por uno de sus extremos, si su masa es de 8 Kg y su velocidad angular es de 45 RPM
Datos m = 8 Kg
= 45 RPM = seg
rad
segrev
radrev71238898.4
60
min1
1
2
min1
45
= 4.71 rad/s
L = 20 cm = 0.20 m
EC = ?
40
Para el caso de una barra uniforme girando por un extremo, el momento de inercia I
será: 3
2M
Y usaremos la fórmula2
2IEC rotacional , en este caso la fórmula se convierte en
2
3
2
2
M
EC rotacional
Joules
sradmKg
EC rotacional 18.12
71.43
20.08 2
2
Ejemplo 3:
Calcula el momento de inercia para el sistema ilustrado. El peso de la barras que unen las masas es despreciable
y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/s . ¿Cuál es la energía cinética rotacional? (Considera que las masas están concentradas en un punto). Solución: Partiendo de la ecuación del momento de inercia:
I = m r
I =m1 r1m2 r2
m3 r3
m4 r4
Sustituyendo los datos:
I = (2 kg)(0.5 m)2 + (4 kg)(0.2 m)2 + (2 kg)(0.5 m)2 + (4 kg)(0.2 m)2
= (0.50 + 0.16 + 0.50 + 0.16)kg • m 2 = 1.32 kg • m2
La energía cinética rotacional está dada por: Ek = ½ I = (1.32 kg • m2)(6 rad/s)2
Ek = 23.8 J Ejercicios propuestos:
1. Un auto de 1370 Kg. Viaja en línea recta a 114.3 Km/h, calcule su energía cinética. a) 8949175.65 J b) 13426 J c) 690522.81 J d) 21748.75 J e) 78295.5 J
2. Calcule la masa de un objeto cuya rapidez es de 108 Km/h y su energía cinética traslacional es 12000 J ( )
a) 2.058 Kg b) 0.0133 Kg c) 450 Kg d) 13.33 Kg e) 26.67 Kg
41
3. Calcule la energía cinética rotacional de una barra uniforme de 2 Kg de masa cuyo eje de giro pasa por la mitad de la barra y tiene una velocidad de 50 rad/seg, su longitud es de 35 cm. ( )
a) 25.52 Joules b) 255208.33 Joules
c) 1020833.33 Joules d) 87500 Joules e) 3500 Joules
9.- RELACIÓN TRABAJO - ENERGÍA
Trabajo hecho por una Fuerza constante
Cuando el movimiento de la partícula se efectúa en la misma dirección en que se aplica la Fuerza (F), el trabajo hecho por ésta lo determinamos como su producto escalar con
la distancia (d): W = F · d
Cuando la Fuerza no es colineal con el desplazamiento, forman entre ellos un cierto ángulo (Ө), y entonces el trabajo será:
W = F cos Ө · d
Es importante hacer notar, que la Fuerza F indicada en las 2 expresiones anteriores, debe ser la Resultante de todas las fuerzas que pudieran estar involucradas en el
movimiento de la partícula, dígase fricción, gravedad (peso), etc.; o una fuerza
determinada o particular, cuando las demás no interesen.
Cuando Ө = 0º, y el coseno de 0º = 1, entonces F y d son colineales, por lo que se usa la ecuación: W = F · d
Cuando Ө = 90º, F y d son perpendiculares, y el cos 90º = 0; ello quiere decir, que el
componente vectorial de la fuerza es nulo (FcosӨ = 0) y por lo tanto la Fuerza, aunque se manifieste sobre el cuerpo, no desarrolla ningún trabajo sobre el mismo: W = (Fcos 90) d = ((F ) (0)) d = 0
El caso anterior, por ejemplo, se da cuando se sostiene un cuerpo y caminas
uniformemente con él; no hay trabajo, aún cuando existe fuerza y desplazamiento. Otro ejemplo de ello, es la Fuerza Centrípeta, la cual no realiza trabajo alguno sobre el
cuerpo en movimiento, por actuar ésta en forma perpendicular.
Algo que se puede observar es que cuando multiplicamos dos vectores, fuerza y desplazamiento el resultado no es otro vector, lo que resulta, es un escalar, por lo tanto
42
concluimos que el trabajo es una cantidad que no tiene dirección ni sentido, solo magnitud.
Trabajo hecho por una Fuerza no constante o variable
En este caso, la velocidad o la posición de la partícula no se pueden determinar con la
aplicación de las ecuaciones expresadas en el apartado anterior, puesto que la aceleración no es constante; entonces, el trabajo, también resulta variable. Si la fuerza varía solo en su magnitud, pero no en su dirección En la dirección de un x desplazamiento, la fuerza F estará dada en función de la
posición, que podemos indicar como F(x); y al trabajo, como el resultado de una
aproximación diferencial, que podemos expresar, como: W = F d
donde el incremento de x es d = x2 – x1 , y la fuerza F se aplica en el punto x1.
Ejemplo de cálculo de trabajo en la Ley de Hooke, para calcular el esfuerzo (W) que
realizará un resorte fijo a la pared (x0), cuando es estirado a una cierta distancia (x), por una cierta fuerza: - F = k Δx
donde, el valor de la fuerza F toma siempre un valor contrario (-) al desplazamiento Δx = x1 – x0, y k es una propiedad constante (elongación) para cada resorte.
fijando la posición inicial x1 = 0,: - F = k x
Siguiendo los mismos pasos para determinar el trabajo hecho por una fuerza, precedentes, tendremos que al estirar el resorte:
W = F d = k x Δx = ½ kx22 – ½ kx1
2
si fijamos la posición inicial x1 = 0, tendremos: W = F d = k d = ½ kx2
Si la fuerza varía tanto en su magnitud, como en su dirección
Como la partícula se moverá acelerada en una trayectoria curva, el trabajo se podrá estimar determinando el ángulo Ө entre la fuerza F y el corrimiento ds en cada punto de
la trayectoria, entonces: W = F · d = F cos Ө · d
Una aplicación de este caso, se presenta en el péndulo simple, donde el trabajo hecho en el corrimiento ds, por una fuerza es:
W = (mg tan Ө) (cos Ө) (ds) = mg sen Ө ds
Como se puede observar de estos casos últimos, para resolver problemas donde la fuerza es variable, se requiere del uso del cálculo diferencial e integral, casos en los
que no se profundizará más, por requerir de mayor saber en esta materia. Unidad del Trabajo
En el Sistema Internacional de medidas (SI): 1 Newton · 1 metro = 1N m = 1 joule = 1 J
43
Relación Trabajo – Energía. Consideremos la aplicación de una fuerza constante F, sobre un cuerpo cuya masa es
m y que se mueve con la velocidad vi, provocándole un desplazamiento d, además de una nueva velocidad vf. Se puede decir entonces, que la fuerza F realiza un trabajo W,
el cual se obtiene como: W = F · d
Pero la fuerza, causa una aceleración, la que en términos de la distancia, se encuentra como: a = ( vf
2 - vi2 ) / 2d
Así, de la 2ª. Ley de Newton (F = m a), y de la fórmula anterior de aceleración,
obtenemos: W = F · d = ( m a ) d = m ( ( vf
2 - vi2 ) / 2d ) d = ½ m vf
2 - ½ m vi
2
Y como: Ek = ½ m v2
Entonces: W = Ek = Ekf - Eki “trabajo igual al cambio en la energía cinética”
Por lo que siempre que se realiza un trabajo sobre un cuerpo, se provoca un cambio en su energía cinética, o si se tiene una variación en algún cuerpo de su energía cinética, significa que se ha realizado un trabajo mecánico.
Al igual que la energía cinética, para levantar un cuerpo se debe de aplicar una fuerza F
en un desplazamiento vertical d; lo cual trae como consecuencia que se modifique la
altura que presenta el cuerpo, modificándose con ello su energía potencial gravitatoria. Concluyéndose entonces, siempre que se realice un Trabajo mecánico, se tendrá un cambio en alguna forma de energía del cuerpo en cuestión (ya sea esta
cinético o potencial).
Energía interna.
Se entiende por energía interna de un cuerpo, a la suma de las energías cinética y
potencial de todas las partículas que lo forman y de la energía nuclear de sus átomos. No se puede calcular la energía interna de un cuerpo o de un sistema de cuerpos, pero si su variación.
Basándose en la Ley de la conservación de la energía, se puede afirmar que la
transformación de la energía interna de un cuerpo siempre esta relacionada íntimamente con su interacción con otros cuerpos y con el medio circundante.
En unos casos, el conocer que cantidad de energía pierden o reciben durante la interacción estos cuerpos y el medio circundante, determina la variación de la energía
interna del cuerpo. En otros al revés, según la variación de la energía interna del cuerpo, se calcula la cantidad de energía recibida por el medio circundante y otros cuerpos que tomaron parte en la interacción.
Uno de los más importantes tipos de intercambio de la energía entre los cuerpos y el
medio circundante es el intercambio de calor.
44
(El calor es la energía que se transmite de un cuerpo o sistema que se encuentra a mayor temperatura a otro(s) que tiene(n) temperatura(s) menor(es). Esto se puede llevar a cabo entre sólidos (por la conducción), en los fluidos (por la convección) o a
través del aire o del espacio vacío (por radiación).
Todos los cuerpos poseen energía interna, y cuando reciben “calor” por parte de otro cuerpo, aumenta su valor de energía interna, notándose esto por el incremento en su temperatura.
Por ello se dice que el calor es la energía que se le transmite a un cuerpo,
modificándole su energía interna y trayendo con esto un cambio en su temperatura. El calor y la energía interna, en el Sistema Internacional, se miden en Joules, mientras
que la temperatura tiene como unidad al Kelvin).
Este cambio de energía esta determinado por gran cantidad de interacciones separadas entre las moléculas. Por ejemplo, el enfriamiento del agua al aire libre, se explica por el intercambio de energía al chocar las moléculas del agua con las del aire. Con esto, el
calentamiento del aire y el enfriamiento del agua, se deben a que las moléculas de agua ceden su energía y las del aire la reciben. Esto ocurre hasta que se llega a la
nivelación de la temperatura; no teniéndose ya ninguna transmisión de energ ía. Incremento de la energía interna.
Examinemos unos ejemplos que ilustran que la energía interna de un cuerpo aumenta no solamente por el intercambio térmico, sino también al realizarse trabajo mecánico:
a) al serrar la leña con una sierra, ésta se calienta; b) al taladrar una pieza metálica, ésta junto con la broca se calientan mucho; c) la cuchilla de un torno se calienta al maquinar las piezas; etc.
Todos estos ejemplos demuestran que cuando se realiza un trabajo mecánico W,
destinado a vencer el rozamiento o destruir un material, los cuerpos se calientan, es decir aumentan su energía interna, análogamente a como se efectuaba esto al recibir los cuerpos cierta cantidad de calor Q. Por ello se dice que se produce la
transformación del trabajo en calor; es decir tiene lugar la transformación de la energía mecánica de los cuerpos en energía interna, elevándose la temperatura de los cuerpos.
Por otra parte sabemos que la energía mecánica solo se conserva al no existir fuerzas disipativas. La acción del rozamiento ocasiona la disminución de la energía mecánica.
Así después de parar el motor de un auto, éste pierde paulatinamente su energía cinética y se detiene; después de resbalar por una pendiente, las avalanchas pierden su
velocidad; etc. Esta claro que la desaparición de la energía sin dejar huellas, es aparente.
Investigaciones escrupulosas demostraron que con ello siempre se desprende cierta cantidad de calor, es decir, los cuerpos en rozamiento se calientan (frotando nuestras
manos, por ejemplo), y esto significa el aumento de su energía interna. De tal modo, durante el rozamiento, y, en general, durante cualquier oposición al movimiento, se produce la transformación de la energía mecánica en energía interna.
45
Los experimentos de Joule demostraron: que Trabajo (W) y Calor (Q) son directamente proporcionales uno al otro, y se miden en la misma unidad, el Joule (J).
Por tanto, la suma de las energías mecánica e interna de todos los cuerpos que constituyen un sistema cerrado, es constante. Conservación de la Energía
Este principio establece que la energía total de un sistema abierto permanece
constante, aun cuando un tipo de energía se transforme en otra u otras. ΔK + Σ ΔU + Q + Σ ΔR = 0
donde: ΔK = Cambio en la Energía cinética Σ ΔU = Cambios en las Energías potenciales
Q = Calor. Cuando Q = 0, se conoce como sistema adiabático Σ ΔR = Cambios en otras formas de Energía
Fuerzas Conservativas
El principio de la Conservación de la Energía, se cumple siempre y cuando la resultante de las fuerzas que intervienen en el sistema, sea de las llamadas
conservativas.
La fuerza de gravitación y la de restauración de un resorte, son ejemplos de conservativas; las de fricción, de no conservativas.
Una fuerza conservativa, desde el enfoque, del Teorema Trabajo-Energía
Una fuerza es conservativa, si el trabajo hecho por la fuerza al mover un cuerpo, en un viaje redondo cualquiera es nulo; en caso contrario es no conservativa.
Podemos entender mejor lo anterior, cuando lanzamos una pelota hacia arriba verticalmente; su velocidad y energía cinética disminuyen constantemente hasta
anularse en el punto más alto, luego, la pelota caerá aumentando constantemente su velocidad y energía cinética, hasta la posición original donde tendrán la misma magnitud pero dirección contraria. Entonces, la energía se conserva y decimos que la
fuerza de gravitación es una fuerza conservativa.
Otra forma de expresarlo es, que la energía cinética de un cuerpo en movimiento, es igual, al trabajo que pueda hacer éste, antes de quedar en reposo.
Análogamente, si hubiera un cambio en la energía cinética, el trabajo hecho por una fuerza resultante no es cero, como en el caso de la fricción, donde esta fuerza se opone
al movimiento de la pelota, de subida o bajada, haciendo un trabajo negativo sobre ella, de ida y vuelta, disminuyendo por consiguiente su energía cinética. Entonces decimos que la fuerza de fricción no es conservativa
Todo lo anterior quiere decir, que si no hay cambio en la Energía cinética de un cuerpo,
el trabajo hecho sobre el, por una fuerza resultante, debe ser cero. Éste se conoce como sistema aislado: W = ΔK = 0
46
10.- Potencia
Muchas veces nos importa más, la rapidez con que se hace un trabajo, que la magnitud del propio trabajo; a ello se le denomina Potencia (P).
Si ésta es constante: Se divide el trabajo (W) medido en Joule, entre el tiempo (t) en segundo. P = W /
t
O en términos de la velocidad (v) en m/s, se multiplica ésta por la fuerza (F): P = F v
Las unidades de la potencia en el SI: joules / segundo = J/s = watt = w
En el FPS: pie-libra / segundo = ft-lb / s
y sus equivalencias: 550 ft-lb / s = 1 horse power = 1 hp 1 hp = 745.8 wt ≈ ¾ Kw
EJEMPLO
Un caballo jala una carreta con una fuerza de 596.8 N en forma horizontal, recorriendo 25 m en un tiempo de 20 segundos. Evalúa el Trabajo y la Potencia del caballo. DATOS
F = 596.8 N Como: W = F d d = 25 m Entonces: W = ( 596.8 N)(25 m) = 14 920 J
t = 20 s Por ello: P = W / t = 14920 J / 20 s = 746 watt
EJEMPLO
¿ Cuántos HP desarrolla una bomba, que aplica una fuerza de 466.25 N, con una velocidad media de 4 m/s ?
DATOS De: P = F v P = ? en HP Se obtiene: P = (466.25 N)(4 m/s) = 1 865 N m/s F = 466.25 N P = 1 865 J/s = 1 865 W
v = 4 m/s Para expresar la Potencia en HP, se realiza una conversión: P = 1 865 w (1 HP / 746 w) = 2.5 HP
EJEMPLO Un motor de 2 HP, en 12 segundos. ¿Cuánto Trabajo realiza?
DATOS Como la Potencia esta expresada en HP, primero se convierten los 2 HP a
P = 2 HP watt, de la manera siguiente: t = 12 s P = 2 HP ( 746 w / 1 HP) = 1 492 w W = ? Y de P = W / t, se despeja a W:
W = P t = ( 1492 w) (12 s) = 17 904 J
47
EJERCICIOS: 1.- Una bomba realiza un trabajo de 7 200 000 J en 2 minutos. ¿Cuál es el valor de su potencia en HP?
2.- Con un motor de ¾ HP, se realiza trabajo mecánico con una velocidad media de 2.5 m/s. ¿Qué valor de fuerza media está aplicando este motor?
3.- ¿En qué tiempo se logra realizar un trabajo de 820 000 J, con un motor cuya
potencia es de 1.5 HP?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Trabajo.
1.- Utilizando una rampa inclinada de 5 m sobre la plataforma de un camión, que está a una altura vertical de 3 m, una persona empuja un sillón que pesa 50 Kg, y desea
conocer el trabajo que desarrollará.
Consideraciones:
a) La fuerza que aplicará la persona será paralela al plano inclinado (rampa) b) La fricción sobre la rampa es nula (Ff = 0)
c) El objeto se moverá con una aceleración constante d) El peso del sillón indicado, se refiere a la masa del mismo.
Un esquema del problema, puede representarse:
Solución:
i) la distancia de la rampa desde el piso al camión, la podemos obtener por
teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 b = (c2 – a2)1/2 b = (25m2 – 9m2)1/2 = 4 m
ii) La Fuerza necesaria para subir el si llón, debe ser igual a la componente de su peso.
F = mg sen Ө = 50 Kg (9.8 m/s2) (3/5) F = 490 N (0.6) = 270 N iii) Por lo tanto, el trabajo es: W = F · d = 270 N (5 m) = 1350 J
2.- Se pretende determinar la velocidad que puede desarrollar un auto compacto cuyas
especificaciones de fábrica, son de 100 hp a una fuerza impulsora de 2800 N.
5 m
3 m
b =?m
48
Consideraciones:
a) La fuerza impulsora trabaja en forma colineal al movimiento del auto. b) La velocidad por estimar será uniforme a las condiciones de especificación.
Solución:
1) Si: P = W / t = F d / t = F v entonces: v = P / F
2) v = 100 hp / 2800 N = 100 hp (745.8 wt /1 hp)( 1 nt m/s /1 wt ) / 2800 N
= 26.643 m / s = 26.643 m / s (1 Km /1000 m)(3600 s/1 h) v = 95.9 Km / h Energía Cinética
3.- En un máquina para acelerar partículas subatómicas, se midió la velocidad de un neutrón en 3.313 x 104 m / s. ¿Cuál es su Energía cinética? Consideraciones:
a) La masa de un neutrón es de 1.7 x 10-27 Kg
b) 1 joule equivale a 6.25 x 1018 eV
Solución:
1) K = ½ mv2
2) K = ½ ( 1.75 x 10-27 Kg)(3.313 x 104 m/s)2(6.25 x 1018 J) K = 6 eV
Compresión de un resorte
4.- Un resorte, cuya constante de elongación es k=5 N/m, recibe un tambor que rueda
horizontalmente con una velocidad de 0.891 m/s, y cuyo peso es de 50 N ¿Cuál será su compresión?
Consideraciones:
a) Deberemos despreciar la fuerza de fricción (fuerza no conservativa)
b) El tambor realizará un trabajo sobre el resorte, que lo hará comprimirse una distancia d en la trayectoria del movimiento c) La energía cinética será igual al trabajo que pudiera hacer el tambor antes de detenerse (K=W). Solución:
1) Si la energía cinética del tambor, es K = ½ mv2 2) El peso del tambor es w = m g → m = w/g 3) Y el trabajo necesario para que el resorte se comprima W = ½ kx2
4) Igualando las expresiones ½ kx2 = ½ mv2 kx2 = (w/g) v2
5) Despejando x (la compresión) x = [(w/g) (v2/k)]1/2 x= [(50 nt / 9.807 nt /Kg)(0.891 m/s)2 / 5nt /m]1/2 = 0.9 m
49
Energía Potencial
5.- Un elevador asciende desde la planta baja hasta el piso 33 del hotel de México. Si su carga total es de 800 Kg ¿Cuál será el cambio en su Energía Potencial? Consideraciones:
a) La altura promedio entre pisos es de 3.09 m aproximadamente. b) La carga total indicada incluye la del elevador y la gente en él. Solución:
1) La Energía potencial debido a la gravedad, es U = m g h
2) El cambio en la energía potencial, será: ΔU = U2 – U1 = m g (h2-h1)
ΔU = 800 Kg ( 9.807 N/Kg)(33)(3.09m) ΔU = 800,000 J
EJERCICIOS DE AUTO-EVALUACIÓN 1) Cuantas calorías consumirá un bateador para que en 12 segundos, una pelota
con masa de 200 g, recorra una distancia en línea recta de 125 m.
2) ¿Qué altura deberá tener una presa, para que cada 10 toneladas de agua
generen 2 Kwatt-hr de energía eléctrica?
3) Un caballo jala un automóvil con una fuerza de 178 N, formando la cuerda con la
horizontal, un ángulo de 30º. Si se mueve a una velocidad de 9.66 km/hr, ¿cuál será la potencia desarrollada por el caballo y cuanto el trabajo, después de 10 min?
4) El resorte de un rifle de municiones tiene una constante de elongación k= 700
N/m, el cual se comprime para colocarle una munición que pesa 0.134 N. ¿Con qué velocidad saldrá el perdigón al ser disparado el rifle?
BIBLIOGRAFÍA
PRIMERA UNIDAD. SISTEMAS SÓLIDOS. Bueche, F. Fundamentos de Física, 5ª edición, Mc Graw Hill, México, 1998.
Cromer, A. H. Física para las ciencias de la vida, Reverté, México, 1996.
Hecht, E. Física. Álgebra y Trigonometría I, International Thomson Editores, México, 2000.
Lea, S. Física: La naturaleza de las cosas , International Thopmson Editores, Argentina, 1999. Serway, R. Física, Pearson Educación, México, 2001.
Tippens, P. Física y sus aplicaciones, 6ª edición, Mc Graw Hill, México, 2003. Wilson, J. D., Buffa A. J. Física, Pearson Educación, México, 2003.
Zitzewitz, P. W. Neff, R. y Davis M. Física. Principios y problemas, Mc Graw Hill, México, 2002.
50
SEGUNDA UNIDAD SISTEMAS FLUIDOS.
INTRODUCCIÓN
En la n atura lez a la s us ta nc ia se pres ent a en general en tr e s estados de agregación, sólidos, líquidos y gases, en particular una sustancia sólida puede que tenga a su vez dif er en te s es tru ctu ra s fases, hay también sustan cias con propi edad es inter med ias en-
tre sól id os y líquidos como pueden s er los g ele s, o entr e gases y líquidos, como las espumas.
Una de las c ara ct er ís t ic a s pr in ci pa le s de la materia es la de poder flu ir, la de poder deformarse continuamente para adquirir la forma del recipiente que la contenga. A la mater ia que se comporta así la llamamos f luido. En e sta se c ció n e st ud iar e mo s las
cara cter íst ic as y pr op ie da de s de los fluidos, así como los pr in ci pi os que r igen el movimiento de los fluidos,
11,- DIFERENCIAS ENTRE SÓLIDOS, LÍQUIDOS Y GASES.
Estructura de sólidos, líquidos y gases
Si la materia tiene forma y volumen definido en un tiempo entonces es sólido, si tiene solamente defi nido el volumen, entonces es un líquido.
Hay sólidos amorfos y cristales que mantienen su estructura hasta cierto
límite, los lí q ui d o s no ma ntie nen una e st ru ct ur a ordenada. Las int era c cio ne s entre los átomos de un f lu i do e st abl e un gas o un liq uid o son d é bi le s comparadas con las de
un sólido. Son f lu id os los líquidos, los gases y los s óli do s cu and o están como partículas
muy finas, la etimología de fluir se refiere a una enorme capacidad de resbalar, de
escurrirse, ejemplos de f luidos son: el agua, la sangre, el aceite, el gas doméstico, el oxigeno, el C02 gas pro du ci do por la co mb usti ón y otros.
Hay casos en los que es más complejo el d if ere nc iar entre las fases de la materia (los estados de la materia) porque no solo son tres, por lo que para una primera comprensión de f lu i do s d ire mo s que son los que no son sólidos (ya s ea rígidos o
elást ico s), e st a se cc ión se ocupará de los f lu id os en reposo. Concepto de fluido
Un f lu ido es una s u st an ci a que se deforma co nti nu a men te cu an do se aplica un esfu erz o (fuerza por unidad de s up erfi cie) en la dir ec ci ón ta nge nte a su s up erfi ci e.
Cuando el fenómeno de aplicar un esfuerzo tangencial a un material se realiza sobre un s ólid o, e ste su fre una deformación que sólo permanece mientras no se
su p er e el límite e lástico del material y es te no se deforme permanentemente, un ejemplo de e llo se muestra en la figura siguiente :
Sólido deformado
por un esfuerzo tangencial F a su
superficie superior
51
Cuando se aplica un esfuerzo t ang enci al a un f l u id o e ste se deforma permanentemente, es como una pila de hojas de papel a la cua l se aplica un esf uer zo tange nci al
sobre la pr i mera hoja de la pila, e st a provoca un jalón permanente que va pasando de hoja en hoja de las que están abajo, est e fenómeno se ejemplif ica en la f igura s ig ui en te:
Otro ejemplo que muestra el comportamiento de un fluido es cuando se inyecta tinta a un f luido en flujo.
El flujo del fluido se da debido a una diferencia de presión en los extremos del
condu cto por donde fluye de una mayor presión a una menor, hay mayor ve locid ad del
f lu ido en el ce ntro del conducto, la vel oci dad del flujo es nula en las paredes del con-ducto, esta difer enci a de velo cidad es es la que provoca que del centro del cond ucto
hacia s us paredes, el flujo mismo se ejerza el esfuerzo cor tan te que da lugar a una d e-formación p er ma ne nt e del f lu ido. La t i nta se e spar cirá en el f lu ido a razón de la defor-mación permanente del fluido, como muestra la figura siguiente:
P1 P2
Corte de una tubería con fluido al que se le
inyecta tinta la cual va ampliando su perfi l
debido a que el fluido se deforma continuamente al fluir
de una mayor a una menor presión entre
los extremos del tubo.
Modelo de fluido en capas, se deforma
cont inuamente al aplicar un esfuerzo tangencial a la superficie
indicada
tinta
fluido
P Presión
52
11.- CONCEPTO DE DENSIDAD, PESO ESPECÍFICO Y PRESIÓN.
LA DENSIDAD. Además de ser una propiedad de todo cuerpo sea fluido o sólido, es
una propiedad característica, dado que es diferente para cada tipo de sustancia, por lo que la densidad nos permite distinguir a cada sustancia en muchos casos aunque no
siempre.
La expresión matemática para la densidad es V
m donde a la densidad se le
simboliza con la letra del alfabeto griego la que se pronuncia ―ró‖, la masa se
simboliza con la letra ―m‖, y se mide por ejemplo con, gramos (g.), Kilogramos (Kg.),
Toneladas (Tons.), u otras unidades de masa y el volumen con la letra mayúscula ―V‖; utiliza como unidades por ejemplo: al centímetro cúbico (cm3), metro cúbico (m3), mililitros (mL) u otras medidas de volumen. En forma esquemática la fórmula es:
para cualquier sustancia (sólida o fluida, homogénea o
no homogénea)
su densidad es igual a
volumensu
masasu
Valores típicos de densidades de algunos fluidos, unos son substancias mas o menos puras, otros son mezclas aproximadamente homogéneas
sustancia (líquidos)
densidad en Kg/m
3
sustancia (gases) densidad en Kg/m
3 a 0° C de temperatura y
a la presión de 1 Atm
Agua 1 X 103
Aire 1.29
Agua de mar 1.025 X 103 Helio 0.179
Sangre 1.05 X 103 Bióxido de carbono 1.98
Mercurio 13.6 X 103 Hidrógeno 0.090
Gasolina 0.68 X 103 Oxigeno 1.43
Presión
En el e stu di o de los f lu idos, result a nec es ar io conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las su per fi cie s o la fuerza que se ejerce por unidad de superfi cie.
Una pers ona acostada o parada s obre una colc honet a aplica la misma fuerza en
ambos casos (su peso). Sin embargo, la col choneta se hunde más cuando se concentra la
fuerza sobre la pequeña superficie de los pies que cuando la persona se halla acostada sobre esta. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la super fic ie de contacto:
cuan to menor sea esta sup erfic ie, más fuerza corre sp ond erá a cada punto. Se define la presión ejercida por una fuerza sobre una superficie como el co-
ciente entre el módulo de la fuerza e jercida perpendicularmente a una sup erfic ie:
53
A
FP
Donde P es la Presión, F es la fuerza ejercida y A es el Área de
contacto de la fuerza.
Las unidades de presión que se utilizan normalmente son:
Sistema Unidad Nombre
M.K.S. N/m² Pascal ( 21
11
m
NPa )
TÉCNICO Kg/m² ---
C.G.S. dina/cm² Baría
Otra unidad para medir la presión comúnmente empleada es:
La Atmósfera ―atm‖ esta es: 1 atm = 1.01325 x 105 Pa P = F /A
12.- CONCEPTO DE PRESIÓN ATMOSFÉRICA, HIDROSTÁTICA Y ABSOLUTA.
PRESIÓN ATMOSFÉRICA.
Nuestra atmósfera ejerce una presión sobre todos los cuerpos situados en su interior, para medir la presión atmosférica se emplea el barómetro. Se cuentan con
muchos aparatos para este fin, pero el barómetro con mercurio es el más usado. Se supone que la presión atmosférica estándar barométrica es
1.01325 X 10 5 Pa La presión en un fluido (La presión hidrostática).
La presión hidrostática que ejerce una columna de altura h de un determinado fluido de densidad es: hgP
54
La presión total o absoluta en un nivel dentro de un liquido que esta dentro de un
recipiente y al aire libre es: ghPP 0 (ecuación fundamental de la hidrostática) la
presión atmosférica más la presión de la columna de líquido que está arriba del nivel de profundidad.
La presión en un punto del líquido tiene el mismo valor en todos los puntos que se encuentren a la misma profundidad.
La forma del recipiente no afecta a la presión que existe en todos los niveles de un
líquido.
13.- CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LOS LÍQUIDOS
TENSIÓN SUPERFICIAL, Y CAPILARIDAD.
Las moléculas de gas están separadas por distancias relativamente grandes, y
se da poca interacción entre las moléculas, salvo las colisiones, En cambio, en un 1iquido, existen fuerzas eléctricas de atracción en las moléculas bastante cercanas
entre sí. Dentro del cuerpo de un l íquido, una molécula es atraída en todas direcciones por las moléculas vecinas que la rodean.
Sin embargo, una molécula cercana a la superficie o en una superficie lib re presenta una menor fuerza de atracción en esa dirección. En otras palabras, existe una fuerza neta que actúa sobre la molécula impulsándola al interior del líquido.
Todo sistema tiende a alcanzar una condición de equilibrio estable donde su energía potencial sea mínima. A causa de la fuerza neta que actúa sobre las moléculas en la superficie libre o cerca de ellas, el l íquido ajustará su forma hasta que sean mínimas su área superficial y energía potencial. Por ejemplo, una gota de l íqui do sobre el cual no operan otras fuerzas adopta una forma esférica, puesto que la esfera es la forma geométrica que contiene la menor área superficial de determinado volumen. Esto se observa en el caso de las gotas de agua que se acumulan en un automóvil recién encerado.
Al cambiar la forma, la superficie realiza trabajo y ésta se estira o bien, se ha l la en un estado de tensión; de ahí el nombre de tensión superficial. Debido a la tensión superficial, una hoja de rasurar o una aguja pueden flotar en una superficie l íquida y ciertos mosquitos, deslizarse sobre la superficie de una piscina,
La atracción molecular entre moléculas semejantes de un l íq ui do recibe el
nombre de fuerza cohesiva. Esta fuerza da origen a la cohesión, o sea a la tendencia de un l íquida a permanecer" como un conjunto o enjambre de partículas. La falta de fuerzas cohesivas entre las moléculas de un gas le permite llenar todo el espacio
donde se encuentra confinado. La fuerza de atracción entre las moléculas de un l íquido y las de una frontera de un recipiente se l lama fuerza adhesiva, la cual produce adhesión. Un l íqui do que humedece a un sólido posee mayor adhesión que cohesión.
55
La tensión superficial y las fuerzas de adhesión dan origen a la acción capilar, o sea al ascenso y descenso de un l i quido dentro de un capila r de calibre pequeño. Si un líquido humedece la superficie de un capilar (la adhesión es mayor que la cohesión), en
este caso la acción de la tensión superficial hace que el l íqui do se eleve verticalmente en el tubo. El humedecimiento adhesivo y la contracción de la superficie por la tensión
superficial "atrae" o "eleva" el liquido del tubo hasta que la fuerza de ascenso queda equi li brada por el peso de la columna.
La forma hemisférica de la superficie de la columna liquida recibe el nombre de menisco. En el caso de ascenso capilar, el menisco es cóncavo. En los l íquidos que no humedecen si tubo (la cohesión es mayor que la adhesión), la tensión superficial hace que el l íquido dentro del tubo se deprima, y el menisco es convexo en este caso. El mercurio presenta depresión capilar.
VISCOSIDAD.
El jarabe y la miel constituyen ejemplos de fluidos muy viscosos. Fluyen lentamente cuando se vierten. En cambio el agua y el alcohol son mucho menos viscosos. Se caracteriza la naturaleza de movimiento lento de los líquidos por la viscosidad.
Al moverse una parte de un fluido respecto a otra surgen unas fuerzas que
frenan este movimiento y que se llaman fuerzas de rozamiento interno o fuerzas de viscosidad. Así pues, por viscosidad se entiende la propiedad del medio que se caracteriza por la acción en él de las fuerzas de rozamiento interno al moverse una parte del medio con relación a otra. Observemos que las fuerzas de rozamiento interno tra tan de iguala r las ve locidades del movimiento en todas las partes del medio.
PROBLEMAS DE DENSIDAD Y PRESIÓN.
1.- Calcula la presión de una columna de agua de 76 mm de altura. Los datos son convertidos a unidades MKS Densidad del agua = 1 X 103 Kg/m3
Altura h = 76.0 mm = 76.0 X 10-3 m = 0.076 m
Fórmula que expresa la presión que depende de la columna de un fluido hgP
Sustitución
)1076()8.9
()101
( 3
23
3
mXs
m
m
KgXP = )()1010()768.9(
22
33
sm
mKgXX )
finalmente PaP )8.744(
2.- Se desea saber la fuerza que ejerce el aire del interior de una habitación sobre una
ventana de 40 cm X 80 cm, a nivel del mar. Si la presión del aire al nivel del mar es de 1 X 105 Pa.
Datos La presión en la ventana originada por el aire interior establece una fuerza normal a la ventana (normal quiere decir perpendicular) Pa = 1 X 105 N/m2
56
El área es A = 40 cm X 80 cm = 3200 cm2 = 0.32 m2 La fórmula para el cálculo de la presión es P = F/A, al despejar de ella a F obtenemos
F = P A = (1 X 105 N/m2) (0.32 m2) = (0.32 x 105) (2
2
m
mN) = 0.32 x 105 N
3.- Se desea conocer la densidad de un cierto fluido líquido, para ello se vierte parte de él en el brazo derecho de un tubo pequeño transparente en forma de U, en el brazo izquierdo se vierte mercurio para que vaya bajando la superficie que hay entre los dos y
que los separa sin que se mezclen hasta que esta superficie quede en el punto más bajo de la U, en tales condiciones de equilibrio de presiones el aceite tiene una altura
de 1.2 cm y el fluido desconocido 5.4 cm. Datos Densidad del mercurio = 13.6 gr/cm3
La gravedad (que es una aceleración) en la superficie de la tierra es g = 9.8 m/s2 La anchura del tubo no afecta en la presión de una columna de fluido en reposo
La fórmula par el cálculo de la presión en la parte inferior originada por una columna de fluido es hgP .
La presión atmosférica no cuenta pues se ejerce igual en las superficies de las dos columnas de líquidos.
Al producir que se igualen las presiones originadas por las dos columnas de líquidos tenemos que: Pmercurio = Pf luido desconocido ahora sustituimos las Presiones en la fórmula
para el cálculo de la presión de una columna de fluido
odesconocidfluidoodesconocidfluidomercuriomercurio hghg
Se puede simplificar pues la ―g‖ aparece multiplicando en ambos lados de la igualdad,
por lo que la eliminamos y resulta
odesconocidfluidoodesconocidfluidomercuriomercurio hh
Sustitución
)4.5)(()2.1)(6.13
(3
cmcmcm
grodesconocidfluido
)4.5)(()32.16
(3
cmcm
cmgrodesconocidfluido Despejando a la densidad del fluido desconocido
33
2
022.34.5
32.16
1
4.5
32.16
)((cm
gr
cm
gr
cmcm
gr
odesconocidfluido
Si revisamos una tabla de densidades observamos que para ser líquido está muy denso y quizá es una mezcla homogénea.
4.-La presión ejercida por un cuerpo, depende de manera inversamente proporcional a su:
a) área de contacto b) fuerza ejercida c) masa del cuerpo d)peso del objeto Respuesta: a) área de contacto.
57
5.- Para que un cuerpo de cualquier forma, flote en un líquido, requiere que su densidad, comparada con la del líquido, sea: a) negativa b) menor c) igual d) mayor
Respuesta: b) menor.
6.- ¿Bajo qué propiedad se logra que algunos mosquitos puedan caminar por la superficie del agua? a) Adhesión b) Capilaridad c) Viscosidad d) Tensión
superficial Respuesta: d) Tensión superficial.
14.- PRINCIPIOS DE LA HIDROSTÁTICA
EL PRINCIPIO DE PASCAL En las figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el líquido contenido en un recipiente mediante un émbolo; en la segunda, se empuja un bloque sólido.
¿Cuál es el efecto de estas acciones? ¿Qué diferencia un caso de otro?
La característica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan presiones, a diferencia de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten fuerzas. Este comportamiento fue descubierto por el físico francés Blaise Pascal (1623-1662) , quien estableció el
siguiente principio: Un cambio de presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente se
transmite sin alteración a través de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen.
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas:
la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras. La Prensa Hidráulica
Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos
permite prensar, levantar pesos o estampar metales ejerciendo fuerzas muy pequeñas. Veamos cómo lo
hace.
58
El recipiente lleno de líquido de la figura consta de dos cuellos de diferente sección cerrados con sendos tapones ajustados y capaces de resbalar libremente dentro de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (f) sobre el pistón pequeño, la presión e jercida
se transmite, tal como lo observó Pascal, a todos los puntos del fluido dentro del recinto y produce fuerzas perpendiculares a las paredes. En particular, la porción de pared
representada por el pistón grande (A) siente una fuerza (F) de manera que mientras el pistón chico baja, el grande sube. La presión sobre los pistones es la misma, No así la fuerza.
Como P1 = P2 (porque la presión interna es la misma para todos lo puntos)
Entonces: F / A = f / a
Por lo que despejando un término se tiene que:
F = f (A / a)
Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruplo de la del chico, entonces el módulo de la fuerza obtenida en él será el cuádruplo de la fuerza ejercida en el pequeño.
También se puede expresar la igualdad de presiones en términos de los diámetros:
F / D2 = f / d2
La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no multiplica la
energía. El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño se distribuye en una capa delgada en el pistón grande, de modo que el producto de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas ramas. ¡El dentista debe accionar
muchas veces el pedal del sillón para lograr levantar lo suficiente al paciente!
PROBLEMAS: 7.- Un auto de 6000 kg de masa, es levantado con una prensa hidráulica en su émbolo mayor de 40 cm de diámetro; si el diámetro menor es de 2.5 cm ¿cuál es la fuerza
aplicada en el émbolo menor?
f
a
f
d D
F
A
F
59
DATOS La fuerza en el lado mayor es el peso del auto, es decir: m = 6000 kg F = peso = m g = (6000 kg) (9.8 m/s2 ) = 58 800 N g = 9.8 m/s2 De la ecuación de las prensas hidráulicas, se despeja a la fuerza
menor f: D = 40 cm F / D2 = f / d2 , quedando su despeje:
d = 2.5 cm f = d2 F / D2 = (2.5 cm)2 ( 58 800 N) / (40 cm)2 = 229.6875N 8.- Se aplica una fuerza de 80 N en el pedal de freno de un automóvil que tiene un área
transversal de 0.6 cm2; con ello se detienen sus llantas, si el área de contacto en los rines de las llantas es de 180 cm2 ¿de qué magnitud es la fuerza que detiene al auto?
DATOS f = 80 N De la ecuación de las prensas hidráulicas, se despeja a la fuerza mayor F:
a = 0.6 cm2 f / a = F / A , quedando su despeje: F = A f / a A = 180 cm2 F = (180 cm2 ) ( 80 N) / 0.6 cm2 = 24 000 N
F = ? 9.- La presión se transmite con la misma intensidad en todas direcciones y sentidos,
esto lo afirma el Principio de: a) Torricelli b) Pascal c) Arquímedes d) Bernoulli
Respuesta: b) Pascal <revisar el enunciado del principio de Pascal comentado e n este tema.>
10.- En una prensa hidráulica se aplican fuerzas pequeñas para: a) que no se canse uno al aplicar fuerza
b) levantar cuerpos pesados en su otro extremo c) no causar movimientos en ningún extremo d) obtener diferentes presiones en sus extremos
Respuesta: b) levantar cuerpos pesados en su otro extremo. <Este tipo de máquina se utiliza en los servicios de lavado y engrasado de vehículos, por lo que se emplean para
levantar grandes pesos>
15. EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es
empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen
de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad? Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos
también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del
líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él.
60
Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido
Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de
la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección
vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la
superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.
¿Cuál es el valor de dicho empuje?
Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada
por arriba de la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2 corresponde al peso de la columna que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la diferencia
de peso entre estas dos columnas, es decir el peso de una columna de líquido idéntica en volumen al cubo sumergido. Concluimos entonces que el módulo del empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo sumergido.
Con un ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para un
cuerpo cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en reposo dentro de una pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al fondo de la pileta bajo la acción de su propio peso? Evidentemente su entorno la está sosteniendo
ejerciéndole una fuerza equilibrante hacia arriba igual a su propio peso (el empuje).
Ahora imaginemos que ―sacamos‖ nuestra porción de agua para hacerle lugar a un cuerpo sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha modificado en absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la misma fuerza
que recibía la porción de agua desalojada. Es decir:
61
Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desplazado.
Empuje e = Peso del líquido desplazado = líq. . g . Vliq desplazado
¿Cómo hace un barco para flotar?
Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no
macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera
consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave. PROBLEMAS.
11.- Una persona tiene un peso de 784 N, pero al sumergirse completamente dentro
del agua solo pesa 524 N. ¿Qué empuje recibe por parte del agua y qué volumen tiene la persona? DATOS Todo cuerpo al sumergirlo en un fluido recibe un empuje
pesoreal = 784 N ascendente, que reduce el valor de su peso real, por ello
pesoaparente = 524 N podemos escribir: agua = 1000 kg / m3 e = pesoreal - pesoaparente = 784 N - 524 N = 260 N
g = 9.8 m/s2 Y de la ecuación de empuje, despejamos al volumen: e = ? e = g V , es decir: V = e / g
V = ? V = 260 N / ( 1000 kg / m3 ) (9.8 m/s2 ) = 0.0265 m3 12.- Un submarino funciona de acuerdo al Principio de:
a) Torricelli b) Pascal c) Arquímedes d) Bernoulli Respuesta: c)Arquimedes. <Todo cuerpo flota o se hunde en función de la diferencia de
peso y volumen, un submarino tiene volumen definido, así recibe empuje definido, pero lleva un tanque que puede dejar vacío (teniéndose entonces menor peso) saliendo a flote, o bien llenarlo de agua (mucho peso) hundiéndose; logrando con estas
variaciones ascender o descender en el mar>.
E
Pcuerpo
Es importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no
su peso, lo que determina el empuje cuando está
totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran empuje;
un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.
62
13.- ¿Por qué se puede nadar más fácilmente en los océanos que en los lugares de ―agua dulce‖? a) la densidad en ellos es menor
b) la densidad en ellos es mayor c) el agua se encuentra en movimiento
d) existe una gran cantidad de agua Respuesta: b) la densidad de ellos es mayor. <Como el empuje depende directamente de la densidad, si ésta aumenta entonces también el empuje aumenta, facilitando con
ello la flotación de una persona>.
16.- EXPRESION MATEMÁTICA PARA EL GASTO Y LA CONTINUIDAD
Fluidos ideales
El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las
siguientes: 1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido.
2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo. 3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo. 4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del
fluido, respecto de cualquier punto. Ecuación de la continuidad
Consideremos una porción de fluido denotado por el intervalo S1 a S2 en la figura, el instante inicial t y
en el instante t+t.
En un intervalo de tiempo t la sección A1 que
limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha x1=v1t. La masa de fluido
desplazada hacia la derecha es: m1 = r·A1 x1 = r A1 v1 t.
Análogamente, la sección A2 que limita a la porción de fluido considerada en la tubería
superior se mueve hacia la derecha x2=v2 t. En el intervalo de tiempo t. La masa de
fluido desplazada es m2 = r A2 v2 t. Debido a que el flujo es estacionario la masa que
atraviesa la sección A1 en el tiempo t, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la
sección A2 en el mismo intervalo de tiempo.
Luego:
v1 A1 = v2 A2
Esta relación se denomina ecuación de continuidad. Pero la relación de la velocidad con el área se conoce como gasto por lo que se define como sigue:
G = v A
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En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.
Ejemplos:
14.- El agua Fluye a través de una manguera de hule de 2 cm de diámetro a una velocidad de 4 m/s. a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro si el agua sale a 20 m/s? b)
¿Cuál es el gasto en centímetros cúbicos por segundo? a) Como el gasto es constante tenemos que:
v1 A1 = v2 A2 Como el área es proporcional a los diámetros tenemos que:
d12 v1 = d2
2 v2 o bien d22 = (v1/ v2) d1
2 d2
2 = (4 m/s/20 m/s) (2cm)2
Sacando raíz cuadrada al termino tenemos que d2 = 0.894 cm
b) Para calcular el gasto, primero debemos determinar el área de la manguera de 2 cm de diámetro.
A1 = π r12 = π (1 cm)2 = π (1 x10-2 m)2 = 3.14159 x 10-4 m2.
G = v A = (4 m/s) (3.14159 x 10-4 m2) = 12.5663 x 10-4 m3 / s
15.- Un nivel elevado de colesterol en la sangre puede hacer que se formen depósitos
grasos llamados placas en las paredes de los vasos sanguíneos. Supongamos que una placa reduce el radio eficaz de una arteria en 25%. ¿Cómo afectará este bloqueo parcial la rapidez con la que fluye por la arteria?
Razonamiento: Usamos la ecuación de continuidad, pero observamos que no nos dan
valores ni para el área ni velocidad. Esto indica que debemos usar razones. Solución: Si el radio de la arteria no taponada es r1, podemos decir que la placa reduce
el radio eficaz a r2.
Dado r2 = 0.75 r1, reducción del 25% Hallar v2
Escribimos las ecuaciones en términos de los radios, A1 v1 = A2 v2
π r12 v1 = π r2
2 v2 Entonces v2 = (r1 / r2)2 v1
(r1 / r2) = (1 / 0.75), por lo que v2 = (1 / 0.75) 2 v1 = 1.8 v1
16.- Se utiliza una manguera de radio 1 cm para llenar una cubeta de 20 litros. Si toma 1 minuto llenar la cubeta. ¿Cuál es la rapidez v, con la que sale de la manguera?
Sabemos que 1 litros equivale a 1000 cm3.
El área de la sección transversal de la manguera es: A = π r2 = π (1 cm)2 = π cm2
20 litros = 20000 cm3 y 1 minuto = 60 segundos
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Entonces el gasto encontramos que la velocidad es G / A = v = (20000 cm3) / ( π cm2*60 s)
v = 106 cm/s
17. TIPOS DE FLUJO, LAMINAR Y TURBULENTO.
Un flujo es laminar cuando considerando en ella capas fluidas, estas se deslizan unas respecto a otras con diferente velocidad. Este flujo se forma a velocidades bajas. Aquí
no existen movimientos transversales ni torbellinos.
El flujo es turbulento, cuando en el seno del fluido se forman remolinos. Esta turbulencia se puede formar de diferentes formas, ya sea por contacto con sólidos (turbulencia en pared o por contacto con otras capas de fluidos (turbulencia libre).
El flujo turbulento consiste en un conjunto de torbellinos de diferentes tamaños que
coexisten en la corriente del fluido. Continuamente se forman torbellinos grandes que se rompen en otros más pequeños. El tiempo máximo del torbellino es del mismo orden que la dimensión mínima de la corriente turbulenta.
Un torbellino cualquiera posee una cantidad definida de energía mecánica como si se
tratase de una peonza. La energía de los torbellinos mayores procede de la energía potencial del flujo global del fluido. Desde un punto de vista energético la turbulencia es un proceso de transferencia, en el cual los torbellinos grandes, formados a partir del
flujo global, trasporta la energía de rotación a lo largo de una serie continúa de torbellinos más pequeños. Por tanto estamos ante una consecuencia del teorema
trabajo-energía. En una interfase sólido-líquido la velocidad del fluido es cero y las velocidades cerca de
la superficie son necesariamente pequeñas. El flujo en esta parte de la capa límite muy próximo a la superficie es laminar. A mayor distancia de la superficie, las velocidades
del fluido pueden ser relativamente grandes y en esta parte puede llegar hacerse turbulento.
Imagen Flujo Laminar
Imagen Flujo Turbulento
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18.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN. APLICACIONES DE LOS FLUIDOS A
SITUACIONES REALES.
A continuación estudiaremos la circulación de fluidos incompresibles, de manera que podremos explicar fenómenos tan distintos como el vuelo de un avión o la circulación del humo por una chimenea. El estudio de la dinámica de los fluidos fue bautizada
hidrodinámica por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la relación fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El teorema de
Bernoulli demuestra que estas variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía mecánica del sistema.
Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como la que muestra la figura.
Concentremos nuestra atención en una pequeña porción de fluido V (coloreada con
celeste): al cabo de cierto intervalo de tiempo t (delta t), el fluido ocupará una
nueva posición (coloreada con rojo) dentro de la Al cañería. ¿Cuál es la fuerza
―exterior‖ a la porción V que la impulsa por la cañería?
Sobre el extremo inferior de esa porción, el fluido ―que viene de atrás‖ ejerce una fuerza que, en términos de la presiónp1, puede expresarse como P1 . A1, y está aplicada en el
sentido del flujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido ―que está adelante‖ ejerce una fuerza sobre la porción V que puede expresarse como P2 . A2, y está aplicada en sentido contrario al flujo. Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no
conservativas que están actuando sobre la porción de fluido puede expresarse en la forma:
T=F1 x1- F2. x2 = p1. A1. x1-p2. A2. Ax2
Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo t (delta t) es el mismo que pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo
(conservación de caudal). Por lo tanto:
V=A1 x1= A2. x2 entonces T= P1 V - p2. V
El trabajo del fluido sobre esta porción particular se ―invierte‖ en cambiar la velocidad del fluido y en levantar el agua en contra de la fuerza gravitatoria. En otras palabras, el
trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre la porción del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que:
T = Ecinética + Epotencial = (Ec2 — Ec1) + (Ep2 — Ep1)
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P1 . V — P2 . V = (1/2 .m . V2² — 1/2 . m. V1²) + (m . g . h2 — m . g . h1) Considerando que la densidad del fluido está dada por = m / V podemos
acomodar la expresión anterior para demostrar que: P1 + 1/2 . V1² + . g h1 = P2 + 1/2 . . V2² + g . h2
Noten que, como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera dentro de la tubería,
Bernoulli pudo demostrar que la presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula varían siempre manteniendo una cierta cantidad constante, dada por:
P + ½
Así, de un punto a otro se tiene:
P1 1² + Δ g h1 = P2 2² + Δ g h2
Veremos la cantidad de aplicaciones que pueden explicarse gracias a este teorema.
19.- APLICACIONES DE LOS FLUIDOS A SITUACIONES REALES
Fluido humano. Una multitud de espectadores pretende salir de una gran sala de
proyecciones al término de la función de cine. El salón es muy ancho, pero tiene abierta al fondo sólo una pequeña puerta que franquea el paso a una galería estrecha que
conduce hasta la calle. La gente, impaciente dentro de la sala, se aglomera contra la puerta, abriéndose paso a empujones y codazos. La velocidad con que avanza este
―fluido humano‖ antes de cruzar la puerta es pequeña y la presión es grande. Cuando las personas acceden a la galería, el tránsito se hace más rápido y la presión se alivia. Si bien este fluido no es ideal, puesto que es compresible y viscoso (incluso podría ser
turbulento), constituye un buen modelo de circulación dentro de un tubo que se estrecha. Observamos que en la zona angosta la velocidad de la corriente es mayor y la
presión es menor. Ejemplo 17: Una aplicación simple de la ecuación de Bernoulli se da en la figura .
Supóngase que un gran tanque de agua tiene un gri fo. Calcule la rapidez con que el agua fluye del gri fo.
Razonamiento Por ser muy pequeño el grifo, la rapidez de salida del agua v2 resulta mucho mayor que la rapidez v1 con que cae la superficie superior del agua. Por
consiguiente, puede aproximarse como cero v1. La ecuación de Bernoulli puede escribirse entonces en los siguientes términos:
P1 + g h1 = P2 + ½ v22 + g h2
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Este es el teorema de Torricelli. Nótese que la rapidez de salida del agua es la
misma que la de una pelota que cae desde la altura hl — h2. Esto significa que, cuando el agua fluye de un gri fo, es como si la misma cantidad de agua se hubiera tomado de la parte superior del tanque y se hubiera dejado caer al nivel del gri fo. El
nivel superior del tanque es un poco más bajo, y la energía potencial gravitacional perdida se ha convertido en energía cinética en el agua que sale. Si la espita hubiera
apuntado hacia arriba, esa energía cinética habría permitido que el agua expulsada llegara a la altura de la parte superior del agua en el tanque, an tes de detenerse. En la práctica las pérdidas de energía viscosa modificarán un poco el resultado.
Ejemplo 18: El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión
o las hélices de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión
proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la
diferencia de presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión.
Asimismo se aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados tubos venturi, que miden la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo
de entrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.
FIGURA El teorema de Torricelli nos
indica la rapidez con que se desplaza un líquido al salir de la espita.
Dado que P1 y P2 son casi iguales a la presión atmosférica, podemos considerarlas iguales. Al despejar v2 se obtiene:
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Ejemplo 19: EL GOL OLIMPICO A: Una pelota que rota sobre si misma arrastra consigo una fina capa de aire por efecto
del rozamiento.
A B
B: Cuando una pelota se traslada, el flujo de aire es en sentido contrario al movimiento
de la pelota. C: Si la pelota, a la vez que avanza en el sentido del lanzamiento, gira sobre sí misma,
se superponen los mapas de las situaciones A y B. El mapa de líneas de corrientes resulta de sumar en cada punto los vectores VA ~i VB. En consecuencia, a un lado de
la pelota, los módulos de las velocidades se suman y, al otro, se restan. La velocidad del aire respecto de la pelota es mayor de un lado que del otro.
C D
D: En la región de mayor velocidad, la presión (de acuerdo con el teorema de Bernoulli)
resulta menor que la que hay en la región de menor velocidad. Por consiguiente, aparece una fuerza de una zona hacia la otra, que desvía la pe lota de su trayectoria.
Éste es el secreto del gol olímpico.
Ejemplo 20: PISTOLAS PARA PINTURA
Las pistolas pulverizadores de pintura funcionan con aire
comprimido. Se dispara aire a gran velocidad por un tubo fino, justo por encima de otro tubito sumergido en un
depósito de pintura. De acuerdo con el teorema de Bernoulli, se crea una zona de baja presión sobre el tubo de suministro de pintura y, en consecuencia, sube un
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chorro que se fragmenta en pequeñas gotas en forma de fina niebla. EFECTO VENTURI.
Es una consecuencia del teorema de Bernuilli, que consiste en que los estrechamientos de una tubería se produce un aumento de la velocidad del líquido y como consecuencia
una disminución de presión. TUBO DE PITOT.
Sirve para medir la velocidad de corriente de un líquido, introduciendo en el tubo un pequeño tubo de vidrio doblado y en el que se puede efectuar una medida de las
distancias entre los niveles superiores del líquido en sus dos ramas. Este dispositivo se emplea en el estudio de velocidades de aviones etc. Un dispositivo muy parecido a el es la Sonda de Prandtl.
Imagen Tubo de Pitot
FUERZA SUSTENTADORA DE UN AVIÓN O EFECTO MAGNUS.
En su avance por el aire el avión produce unas líneas de corriente, que se aproximan entre sí por la parte superior del ala más de lo que están en la parte inferior. Dicho de otra forma, las líneas de corriente se distribuirán ahora de forma que la velocidad de las
capas superiores es superior a la de las capas inferiores y la presión, por tanto, en la parte inferior será superior. En el caso del avión, la fuerza debida a la presión en la
zona inferior (hacia arriba) es mayor que en la parte superior (hacia abajo) originándose una fuerza sustentadora que compensa el peso.
VISCOSÍMETRO. Son aparatos cuya finalidad es medir viscosidades relativas. Él más importante es el
viscosímetro de Ostwald que mide la viscosidad a partir del tiempo que tarda en fluir una cierta cantidad de líquido a través de los enrases de un aparato diseñado para este fin. Su fundamento está en la ecuación de Poiseuille. El valor de referencia en estos
aparatos es la densidad del agua.
Problema 21. El agua circula por un sistema de calefacción de una casa. Si el agua se bombea con una velocidad de 0.6 m/s a través de un tubo de 5 cm de diámetro desde el sótano, a una presión de 2.5 atm. ( 1 atm = 1 x 105 Pa) ¿Cuáles serán la velocidad
del flujo y la presión en un tubo de 7 cm de diámetro en un primer piso a 4 m de altura? La densidad del agua es: = 1 x 103 kg / m3
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Solución: primero se calcula la velocidad del flujo en el segundo piso ( v2) mediante la
ecuación de continuidad. Puesto que las áreas son proporcionales a los diámetros
cuadrados ( A = d2 ) tomando al sótano como el punto 1, obtenemos:
Para calcular la presión se usa la ecuación de Bernoulli:
P1 + ½ V1² + g h1 = P2 + ½ V2² + g h2
Acomodando términos: P1 + ½ V1² - ½ V2² + g h1 - g h2 = P2
P2 = P1 + ½ V1² - V2² ) + g ( h1 - h2 )
P2 =2.5x105 Pa +(0.5x103 kg/m3(0.6 m/s)²-m/s)²> + (1x 103 kg/m3
m/s(4 m)
P2 = 2.5 x 105 Pa + 0.00133 x 105 Pa - 0.0392 x 105 Pa
P2 = 2.462 x 105 Pa Pregunta 22. En función del principio de Bernoulli, ¿qué ocurrirá si en un tubo cilíndrico
horizontal observamos que el fluido reduce su velocidad? a) que la presión a que esta sometido el fluido ha aumentado.
b) que ha aumentado la temperatura del fluido. c) que la presión a la que esta sometido el fluido ha disminuido. d) que ha disminuido la temperatura del fluido.
Respuesta: a) la presión aumenta.
Ejemplo 23.- Una hendidura en un recipiente de agua tiene una área de sección transversal de 10-4 m2. ¿con que velocidad fluye el agua del tanque si el nivel de agua en el mismo esta a 4 metros por encima de la abertura?
En este caso la velocidad esta dada por el Teorema de Torricelli:
Y usando la ecuación del gasto: G = A (2 g h)1/2 = (10-4 m2) ( (2)(9.1 m/s2)(4m) ) 1/2 = 8.85 x 10-4 m3/s
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN. UNIDAD 2. SISTEMAS FLUIDOS.
1.- Calcule la presión que ejerce en su parte inferior una columna de mercurio de 76 cm de altura:
a) 760 Pa b) 101 293 Pa c) 10 336 Pa d) 744.8 Pa
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2.- ¿Cuánto volumen ocupa 0.08 kg de sangre? ( sangre = 1.05 X 103 Kg/m3 )
a) 0.084 X 103 m3 b) 0.084 X 10 -3 m3 c) 0.0761 X 10 -3 m3 d) 13.125 X 103 m3
3.-La presión ejercida por un cuerpo, depende de manera inversamente proporcional a: a) área de contacto b) fuerza ejercida c) masa del cuerpo d) peso del objeto
4.- La presión hidrostática aumenta conforme se aumente la
a) gravedad b) profundidad c) masa d) salinidad 5.- ¿Bajo qué propiedad se logra que las gotas de lluvia se acumulen en un automóvil
recién encerado? a) Tensión superficial b) Capilaridad c) Viscosidad d) Adhesión
6.- Un cuerpo de 7200 gramos, se apoya sobre cierta superficie, provocando una presión de 8100 Pa. ¿Qué cantidad de área de contacto se presenta?
a) 0.888 m2 b) 8.711 m2 c) 114.79 m2 d) 0.0087 m2
7.- Un prensa hidráulica funciona de acuerdo al Principio de: a) Torricelli b) Pascal c) Arquímedes d) Bernoulli
8.- Todo cuerpo sumergido en un líquido, recibe un empuje ascendente igual al peso de líquido desalojado, esto lo afirma el Principio de:
a) Torricelli b) Pascal c) Arquímedes d) Bernoulli 9.- En los extremos de un gato hidráulico, se tienen: a) áreas iguales b) presiones iguales c) presiones diferentes d) fuerzas iguales
10.- Una persona sentada en un bote que flota en una pequeña laguna tira un ancla muy pesada por la borda. ¿Qué le sucederá al nivel del agua de la laguna?
a) bajará b) no se puede saber c) permanece igual d) subirá
11.- Un camión de bomberos transporta un tanque de agua, así como al personal que pretende cruzar un puente, el cual no soportaría su peso total. El jefe sugiere que algunos de la cuadrilla se introduzca al tanque, ya que considera que así el peso será
menor. ¿esto es buena idea o no? a) no, ya que el peso total no cambia.
b) podría funcionar, si se quitan su pesada indumentaria. c) si, ya que esta aplicando el Principio de Arquímedes. d) si, ya que al flotar en el agua pesarán menos.
12.- Un globo lleno de aire cae a la Tierra, pero uno lleno de helio se eleva. ¿Por qué?
a) la densidad del helio es menor b) la densidad del helio es mayor c) el helio es más frío que el aire
d) existe una gran cantidad de agua
13.- Una prensa hidráulica tiene diámetros de 12 cm y 4 cm, respectivamente. Si en el émbolo menor se ejerce una fuerza de 80 N. ¿Qué fuerza se obtiene en el lado mayor? a) 240 N b) 720 N c) 27 N d) 960 N
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14.- En una prensa hidráulica se ejerce una fuerza de 200 N en su émbolo menor, para levantar un auto de 32 000N de peso. Si el área menor es de 0.004 m2. ¿Qué área se tiene en el lado mayor?
a) 1.5625 m2 b) 40 000 m2 c) 0.000025 m2 d) 0.64 m2
15.- ¿Cuál es el empuje que recibe un cuerpo al sumergirlo completamente en alcohol, sabiendo que desaloja de él un volumen de 0.0008 m3? ( alcohol = 890 kg / m3 ) a) 0.712 N b) 0.00784 N c) 72.65 N d) 6.9776 N
16.- Un cuerpo pesa en el aire 134 N, al colocarlo dentro del agua ¿cuánto pesará?, si
desaloja 0.005 m3 de agua. a) 134 N b) 0.67 N c) 49 N d) 85 N
17.- En cierta tubería se hace pasar alcohol, que se bombea con una velocidad de 0.5 m/s a través de un tubo de 3 cm de diámetro desde el sótano, a una presión de 4 atm.
( 1 atm = 1 x 105 Pa) ¿Cuál es serán la presión en un tubo de 2 cm de diámetro en un primer piso a 2.5 m de altura? La densidad del alcohol es: = 0.79 x 103 kg / m3
a) 1.25 Pa b) -1.036875 x 105 Pa c) 4 x 105 Pa d) 2.769575
x 105 Pa
18.- ¿Se puede tener el mismo gasto en una tubería donde fluye agua, que en otra de igual diámetro que conduzca aceite, en el mismo tiempo?
19.- ¿Cómo es el valor de la energía total del agua en los puntos A, B y C de un tubo
de Venturi? a) Diferente en los tres. b) Igual en ―A‖ y ―C‖, pero menor en ―B‖.
c) Igual en los tres. d) Mayor en ―B‖, pero menor en ―A‖ y ―C‖
20.- Un avión se sostiene en el aire, gracias a una diferencia de presiones entre la parte superior e inferior de sus alas, esto lo establece el principio de:
a) Arquímedes b) Bernoulli c) Torricelli d) Pascal
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RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE LA AUTOEVALUACION. ( 2ª UNIDAD )
1.- b) 6.- d) 11.- a) 16.- c)
2.- c) 7.- b) 12.- a) 17.- d)
3.- a) 8.- c) 13.- b) 18.- c)
4.- b) 9.- b) 14.- d) 19.- c)
5.- a) 10.- c) 15.- d) 20.- b)
BILBLIOGRAFIA
SEGUNDA UNIDAD. SISTEMAS FLUIDOS.
Bueche, F. Fundamentos de Física, 5ª edición, Mc Graw Hill, México, 1998 Cromer, A. H. Física para las ciencias de la vida, Reverté, México, 1996. Hecht, E. Física. Álgebra y Trigonometría I, International Thompson Editores, México,
2000 Lea, S. Física: La naturaleza de las cosas , International Thompson Editores, Argentina, 1999
Serway, R. Física, Pearson Educación, México, 2001 Tippens, P. Física y sus aplicaciones, 6ª edición, Mc Graw Hill, México, 2003
Wilson, J. D., Buffa Anthony J. Física, Pearson Educación, México, 2003 Zitzewitz, P. W., Neff, R. y Davis, M. Física. Principios y problemas, Mc Graw Hill, México, 2002.