1. SANTIAGO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRIDMXICO NUEVA YORK SAN JUAN SANTA FE DE BOGOT SO PAULOAUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TORONTOTEXTO PARA EL ESTUDIANTEaomedioAutoresL.A. Pavez F.Profesor de FsicaUniversidad Metropolitana de Ciencias de la EducacinJ. E. Jimnez C.Licenciado en FsicaPonticia Universidad Catlica de ChileE. Ramos M.Doctor en FsicaPonticia Universidad Catlica de ChilePreliminares Fisica 3M_OK.indd 1 21/7/10 16:59:46

2. Fsica 3 ao medioTEXTO PARA EL ESTUDIANTEAutoresLuis A. Pavez F.Javier E. Jimnez C.Esteban Ramos M.EditoraPaola GonzlezDiseo y diagramacinPamela MadridCorreccin de pruebaPatricia RomeroIlustracionesFaviel FerradaJacob BustamanteArchivo grcoBanco imgenes McGraw-HillNo est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisinde ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otromtodo sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.DERECHOS RESERVADOS 2009McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA.Carmencita 25, ocina 51, Las CondesTelfono 56-2-6613000Santiago de ChileLa materialidad y fabricacin de este texto est certificada por el IDIEM Universidad de Chile.ISBN: 978-956-278-220-3N de Inscripcin: 186.064Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile.Se termin de imprimir esta primera edicin de 137.162 ejemplares, en el mes de diciembre de 2009.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 2 21/7/10 16:59:47 3. PresentacinLa Fsica va ms all de las ecuaciones y los nmeros. Muchas cosasque suceden en nuestro alrededor tienen relacin con ella: los coloresdel arco iris, el brillo, la dureza del diamante son temas de la Fsica,asimismo, acciones como caminar, correr o andar en bicicleta invo-lucran los principios de esta ciencia. Por ello, se ha tenido especialcuidado en establecer la relacin entre los contenidos y aspectos de lavida diaria, como la tecnologa de uso comn, la salud, etc.Este libro pretende ser una herramienta til para todos los estudiantesque cursan el tercer ao medio. El objetivo es que, leyendo con aten-cin cada una de las secciones, puedas obtener en forma paulatina,progresiva y ordenada los conceptos bsicos necesarios para su forma-cin cientca.Los contenidos se han estructurado en dos grandes unidades didcti-cas: Mecnica y Fluidos, las que a su vez se han separado en captulosy secciones para entregarte una estructura ms dinmica y didctica.Todas las secciones te presentarn actividades de indagacin, ejemplos,contexto histrico, actividades de profundizacin, sntesis, preguntas yejercicios propuestos y evaluaciones.La Fsica es una actividad humana, una aventura excitante y en estecurso conocers el fruto de muchos hombres y mujeres que dedicaronsu vida a la investigacin para comprender nuestro mundo.3Preliminares Fisica 3M_OK.indd 3 21/7/10 16:59:47 4. Fsica 3 Ao Medio4Estructura grficaEl texto para el estudiante est ordenado siguiendo el siguiente esquema:Unidad 1. MecnicaCaptulo 1: Movimiento circular Seccin 1: Movimiento circular uniformeSeccin 2: Momento angular y su conservacinCaptulo 2: Energa mecnica Seccin 3: Energa y movimientoSeccin 4: Conservacin de la energa mecnicaUnidad 2. FluidosCaptulo 3: Hidrosttica Seccin 5: Presin y principio de PascalSeccin 6: El principio de ArqumedesCaptulo 4: Hidrodinmica Seccin 7: Fluidos en movimientoEntrada de Unidad presenta los aprendizajesesperados y las primeras interrogantesmotivadoras respecto a los temas a trabajar.Entrada de captulo con preguntasmotivadoras iniciales. Estas preguntastienen un sentido diagnstico, ya que,por una parte, aluden a conocimientosque se espera sean de dominio delestudiante y, por otra parte, aluden aconceptos relacionados con el contenidodel captulo.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 4 21/7/10 16:59:49 5. 5Preguntas y ejercicios:batera de ejerciciospropuestos que tienenpor objetivo que elestudiante aplique loscontenidos desarrolladosen la seccin.Indagacin, actividades que permitena los estudiantes incentivar lacuriosidad y desarrollar habilidades deinvestigacin cientca.Contexto histrico de la fsicada referencias de las personasque contribuyeron al desarrollodel conocimiento en el reade la fsica relacionada con laseccin.Actividad de profundizacin sirvepara consolidar el aprendizaje de laprimera parte de la seccin y desafa alos estudiantes a enfrentar un problemaen base al mtodo cientco.Evaluacinintermedia permiteevaluar el gradode avance en lacomprensin de loscontenidos.Sntesis, muestra unmapa conceptual quelleva a los estudiantesa ordenar y jerarquizarlos contenidos de laseccin.Evaluacin nal,pone a prueba losaprendizajes logradosen la seccin.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 5 21/7/10 16:59:52 6. Fsica 3 Ao Medio6ndiceUnidad 1. MecnicaCAPTULO 1: MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CAPTULO 2: ENERGA MECNICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Indagacin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Indagacin 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Indagacin 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Indagacin 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Seccin 1: Movimiento circular uniforme. . . . . . . . . . . 15 Seccin 3: Energa y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Trayectoria circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Sistema y entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59El perodo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61La frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Indagacin 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Indagacin 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Energa mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71La aceleracin centrpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Energa cintica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71La fuerza centrpeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Energa potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Algunos casos de la fuerza centrpeta. . . . . . . . . . . . . 25 Energa mecnica total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Contexto histrico de la fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Contexto histrico de la fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 32 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 81Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Indagacin 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Indagacin 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Indagacin 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Indagacin 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Seccin 2: Momento angular y su conservacin . . . . . . 37 Seccin 4: Conservacin de la energa mecnica . . . . . 86El momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas . . . . . . . . 86La inercia rotacional o momento de inercia . . . . . . . . 40 El principio de conservacin de la energa mecnica. 88Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Indagacin 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Indagacin 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Conservacin de la energa y roce . . . . . . . . . . . . . . 101Inercia y conservacin del momento angular. . . . . . . 48 Contexto histrico de la fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 53 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 109Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Preliminares Fisica 3M_OK.indd 6 21/7/10 16:59:53 7. 7Unidad 2. FluidosCAPTULO 3: HIDROSTTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 CAPTULO 4: HIDRODINMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Indagacin 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Indagacin 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Indagacin 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Indagacin 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Seccin 5: Presin y principio de Pascal . . . . . . . . . . . 117 Seccin 7: Fluidos en movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 161Lquidos y gases en el Universo . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Conceptos preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Lneas de ujo y ecuacin de continuidad . . . . . . . . 162Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 La ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Indagacin 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Presin hidrosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Indagacin 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli. . . . . . . . . 176Presin atmosfrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Viscosidad y velocidad lmite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 El ujo sanguneo en el cuerpo humano. . . . . . . . . . 182Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 136 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 185Indagacin 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Seccin 6: El principio de Arqumedes . . . . . . . . . . . . 140Por qu un objeto se hunde o ota? . . . . . . . . . . . . 142 Solucionario 188Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Indagacin 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Tensin supercial y capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . 147Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 155Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Preliminares Fisica 3M_OK.indd 7 21/7/10 16:59:53 8. Fsica 3 Ao Medio8Seguridad en el laboratorioEl laboratorio de ciencias es un lugar seguro para trabajar si eres cuidadoso y ests atento a las normas de seguridad.Debes ser responsable de tu seguridad y de la de los dems. Las reglas que aqu se proporcionan te protegern a ti ya los otros de sufrir daos. Mientras realices procedimientos en cualquiera de las actividades, presta atencin en losenunciados de precaucin.1 Siempre obtn el permiso de tu profesor o profesorapara comenzar la prctica.2 Estudia el procedimiento. Si tienes preguntas, plan-taselas a tu profesor(a). Asegrate de entender todaslas normas de seguridad sugeridas.3 Usaelequipodeseguridadqueseteproporcione.Cuandocualquier prctica requiera usar sustancias qumicas,debes usar lentes, delantal y guantes de seguridad.4 Cuando calientes un tubo de ensayo, siempre ladalo demodo que la boca apunte lejos de ti y de los dems.5 Nunca comas o bebas en el laboratorio. Nunca inhalesqumicos. No pruebes sustancias o introduzcas algnmaterial en tu boca.6 Si derramas algn qumico, reporta el derrame a tuprofesor(a) sin prdida de tiempo.7 Aprende la ubicacin y el uso adecuado del extintor deincendios, el botiqun de primeros auxilios y cualquierequipo de seguridad complementario.8 Mantn todos los materiales lejos de amas abiertas.Amrrate el cabello si lo tienes largo.Primeros auxilios en el laboratorioLesin Respuesta seguraQuemaduras Aplicar agua fra. Llamar de inmediato al profesor o profesora.Cortaduras y rasponesDetener cualquier sangrado mediante la aplicacin de presin directa. Cubrir los cortes con unpao limpio. Aplicar compresas fras a los raspones. Llamar de inmediato al profesor(a).DesmayoDejar que la persona se recueste. Aojar cualquier ropa apretada y alejar a las personas. Llamarde inmediato al profesor(a).Materia extraa en el ojo Lavar con mucha agua. Usar lavado ocular con botella o directamente bajo la llave.Envenenamiento Anotar el agente venenoso sospechoso y llamar de inmediato al profesor(a).Cualquier derrame en la piel Lavar con mucha agua. Llamar de inmediato al profesor(a).9 Si en el saln de clase se inicia un fuego o si tu ropase incendia, sofcalo con un abrigo o ponte bajo lallave del agua. NUNCA CORRAS.10 Reporta a tu profesor o profesora cualquier accidenteo lesin, sin importar lo pequeo que ste sea.Sigue estos procedimientos mientras limpias tu rea detrabajo.1 Cierra el agua y el gas. Desconecta los dispositivoselctricos.2 Regresa los materiales a sus lugares.3 Desecha las sustancias qumicas y otros materialesde acuerdo con las indicaciones de tu profesor(a).Coloca los vidrios rotos y las sustancias slidas en loscontenedores adecuados. Nunca deseches materialesen la caera.4 Limpia tu rea de trabajo.5 Lvate las manos a conciencia despus de trabajar enel laboratorio.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 8 21/7/10 16:59:54 9. 9Smbolos de las medidas de seguridadSMBOLOSPELIGROBIOLGICOPRECAUCIN,SUSTANCIAINFLAMABLEPELIGRODE INCENDIORIESGO DEQUEMADURASPRECAUCIN,OBJETOSPUNZOCORTANTESPRECAUCIN,VAPORESPELIGROSOSPRECAUCIN,ELECTRICIDADSUSTANCIASIRRITANTESPRECAUCIN,VENENOPRODUCTOSQUMICOSPELIGROSOSDESECHAR CONPRECAUCINEJEMPLOS PRECAUCIN REMEDIOSe debe seguir unprocedimiento especial paradesechar los materiales.Algunos productos qumicos yorganismos vivos.No deseches estos materiales en eldrenaje o basurero.Desecha los residuos como loindique tu profesor(a).Organismos o materialbiolgico que puede causardao a los humanos.Bacterias, hongos, sangre,tejidos no conservados,materiales vegetales.Evita el contacto de estos materialescon tu piel. Utiliza una mascarilla yguantes.Avisa a tu profesor(a) sientras en contacto conmaterial biolgico. Lvate lasmanos minuciosamente.Objetos que pueden quemarla piel por estar muy fros omuy calientes.Lquidos hirviendo, parrillasde calentamiento, hielo seco,nitrgeno lquido.Utiliza proteccin indicada cuandotrabajes con estos objetos.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Uso de herramientas omaterial de vidrio quefcilmente pueden perforar ocortar la piel.Cuchillos cartoneros,herramientas con punta,agujas de diseccin, vidrioroto.Utiliza tu sentido comn cuandotrabajes con objetos punzocortantesy sigue las indicaciones pertinentescuando utilices herramientas.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Posible dao al tractorespiratorio por exposicindirecta a los vapores.Amoniaco, acetona,quitaesmalte, azufre caliente,pastillas contra las polillas.Asegrate de que haya una buenaventilacin. Nunca aspires losvapores directamente. Utiliza unamascarilla.Aljate del rea y avisa a tuprofesor(A) inmediatamente.Posible dao por choqueelctrico o quemadura.Conexiones mal hechas,derrame de lquidos,cortocircuitos, cablesexpuestos.Revisa dos veces el circuito con tuprofesor(a). Revisa las condiciones delos cables y los aparatos.No intentes arreglar losproblemas elctricos.Avisa a tu profesor(a)inmediatamente.Sustancias que pueden irritarla piel o las membranasmucosas del tractorespiratorio.Polen, pastillas contra laspolillas, lima de acero, fibrade vidrio, permanganato depotasio.Utiliza una mascarilla para polvoy guantes. Toma precaucionesextras cuando trabajes con estosmateriales.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Productos qumicos quepueden reaccionar y destruirtejido y otros materiales.Blanqueadores, como elperxido de hidrgeno; cidoscomo el cido clorhdrico;bases como el amoniaco y elhidrxido de sodio.Utiliza lentes de proteccin, guantesy un delantal.Enjuaga inmediatamente elrea con agua y avisa a tuprofesor(a).Sustancias que resultanvenenosas cuando se tocan,se inhalan o se ingieren.Mercurio, muchoscompuestos metlicos, yodo,algunas partes de la flor denochebuena.Sigue las instrucciones que te indiquetu profesor(a).Lava bien tus manos despusde utilizar estas sustancias.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Productos qumicos inflama-bles que pueden encendersedebido a la presencia defuego, chispas o calor.Alcohol, queroseno,permanganato de potasio.Cuando trabajes con sustanciasqumicas inflamables, evita utilizarmecheros y fuentes de calor.Avisa a tu profesor(a)inmediatamente. Si esposible, usa equipo deseguridad contra fuego.Los mecheros en uso puedenocasionar incendios.Cabello, ropa, papel,materiales sintticos.Amarra tu cabello y ropa holgada.Sigue las instrucciones que teindique tu profesor sobre incendiosy extintores.Avisa a tu profesor(a)inmediatamente. Si esposible, usa equipo deseguridad contra fuego.PELIGROPreliminares Fisica 3M_OK.indd 9 21/7/10 16:59:55 10. Aprendizajes esperadosAl completar la Unidad, alumnos y alumnas: reconocen la utilidad del lenguaje vectorial en la descripcin del movimiento; deducen y aplican con soltura las relaciones del movimiento circular uniformea una variada gama de situaciones (por ejemplo, la de un planeta que orbita entorno al Sol); reconocen experimentalmente la existencia de la fuerza centrpeta y explican suorigen en diferentes y variadas situaciones en que objetos se mueven en trayec-torias circulares y con rapidez constante; aplican la denicin de momento angular a objetos de formas simples que rotanen relacin a un eje y reconocen la conservacin de esta magnitud fsica tantoen valor como en direccin y las condiciones bajo las cuales ella se conserva; aprecian la utilidad predictiva de las leyes de conservacin del momento angulary de la energa mecnica; construyen y analizan grcos de las distintas energas mecnicas; reconocen en el roce cintico una forma en que habitualmente se disipa la energamecnica; conocen las situaciones en que es adecuado emplear la ley de conservacin dela energa mecnica y usan procedimientos adecuados en su aplicacin; reconocen en los fenmenos con movimiento circular y aquellos debidos a la accinde la fuerza de gravedad que suelen ocurrir en el entorno cotidiano, los conceptosms relevantes con los que se les describe y las leyes fsicas que los rigen; son capaces de argumentar en base a los conceptos bsicos de la fsica la expli-cacin de algn fenmeno fsico; pueden comunicar las ideas y principios fsicos que explican un determinadofenmeno de la naturaleza.FISICA_2010_OK.indd 10 21/7/10 17:02:14 11. 11En la competicin de atletismo conocida como lanzamiento del martillo, el martilloes en realidad una bola de metal (una masa de 4 kg para las mujeres o de 7,26 kg paralos hombres) unida a un cable que tiene un asa en el otro extremo. El atleta gira variasveces para impulsar la bola, cuidando de no salir de un crculo de 2,1 m de dimetro, ydespus la suelta. El ganador es el atleta que lanza la bola a mayor distancia. Cuntafuerza debe ejercer el atleta sobre el asa para hacer que el martillo gire en trayectoriacircular? Qu tipo de trayectoria sigue el martillo despus de ser lanzado?FISICA_2010_OK.indd 11 21/7/10 17:02:18 12. Fsica 3 Ao Medio12MecnicaAntes de empezar...1 Dnde puedes apreciar movi-mientos circulares en tu vidacotidiana?2 Cmo se calcula el rea y elpermetro de un crculo cuyoradio es R?3 En qu unidad se miden losngulos?4 Suponiendo que la Tierra orbitaal Sol en una rbita circular deradio R, cul es la relacin entrela rapidez angular () y la rapideztangencial (v) de la Tierra?5 Si un automvil realiza un mo-vimiento circular uniforme aldoblar en una curva, cambia suvelocidad?6 Cul crees que es la diferenciaentre el momento lineal y el mo-mento angular?7 Por qu una gimnasta de patinajeartstico gira ms rpido cuandojunta sus brazos al cuerpo?8 Cmo dos personas de distintopeso pueden mantener en equi-librio un balancn?9 Por qu crees que la mayora delas puertas tienen la manilla enel extremo y no en el medio?10 Qu duracin tendra el ao solarsi la distancia Tierra-Sol fuera lamitad de lo que es?11 Imagina dos cilindros de igualforma y masa, pero uno huecoy el otro macizo. Cul de loscilindros rueda ms rpido porun plano inclinado? Por qu?Con ninguna disposicin he encontrado simetra tan maravillosa,conexin tan armnica de los astros, como colocando la antorchadel mundo, el Sol, que gobierna las revoluciones circulares detoda la familia de los astros, sobre el trono en el magnco templode la naturaleza.Nicols Coprnico (1473 1543), sacerdote y astrnomo polaco.Captulo 1FISICA_2010_OK.indd 12 21/7/10 17:02:26 13. 13Captulo 1: Movimiento CircularIndagacin N1Cmosehaceunacurva?PARTE I: Trabajo personalSeguramente te has dado cuenta que muchos de los movimientos queobservamos a diario no son siempre rectilneos. Por ejemplo, el movi-miento de un automvil en una curva o el movimiento del t al revolverlocon una cuchara. Reexiona sobre las siguientes preguntas y respondeen tu cuaderno.a) Qu caractersticas tiene el movimiento circular uniforme? Qumagnitudes cambian en el tiempo y qu magnitudes se mantienenconstantes?b) Cmo es que los automviles pueden doblar en las curvas sin seguirde largo por el camino?PARTE II: Trabajo en equipoJunto a un compaero o una compaera, contrasten las respuestas dadasa las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas.A continuacin, elaboren una hiptesis en conjunto que d respuesta ala segunda pregunta.a) Registren la hiptesis en sus cuadernos e identiquen cules son lasvariables observables que pueden medir y/o controlar.b) Una vez planteada su hiptesis, diseen un procedimiento experimentalque les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicacinaceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con precisin, el procedimiento quesugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible derealizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materialesde fcil adquisicin o construccin y tiempos razonables para la obser-vacin y el anlisis de sus resultados.c) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indica-ciones que les d su profesor(a).Recuerden que una hiptesises una explicacin posibleque se supone cierta hastaque pueda ser contrastadaempricamente. Por estarazn, es fundamental quela hiptesis se reera a unnmero reducido de variablesobservables y de algn modomedibles, que eventualmentepueden ser controladas en unexperimento.FISICA_2010_OK.indd 13 21/7/10 17:02:31 14. Fsica 3 Ao Medio14MecnicaPARTE I: Trabajo personalCuando un objeto se deja caer libremente sobre la supercie terrestre, sigue una trayectoriarectilnea dirigida hacia el centro de la Tierra. En cambio, un objeto que es lanzado comoun proyectil con cierta velocidad inicial, realiza una trayectoria curva, pero igualmentecae al suelo.Sinembargo,laLunanocaeverticalmente.Porqunosecomportacomoelrestodelosobjetosque se mueven sobre la supercie de la Tierra? Cmo puedes explicar esta diferencia?Plantea una hiptesis que d respuesta a estas preguntas y regstrala en tu cuaderno.PARTE II: Observacin compartidaRenete con un compaero o compaera para compartir sus hiptesis obtenidas en la parte I.Comenten y argumenten a favor o en contra de ellas. Luego, sigan con atencin la demos-tracin que dirigir su profesor(a) y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas.a) Cmo es la trayectoria de la silla cuando se le da un tirn con el cordel?b) Cmo es la trayectoria de la silla cuando se le da un empujn y el cordel se tensa?c) Cul es la diferencia que dene las trayectorias que observaron?PARTE III: Trabajo en equipoEn esta parte de la actividad, junto a tu compaero(a) realizarn un sencillo experimento,para el cual solo necesitan una goma de borrar.Primero, uno(a) de ustedes deja caer libremente la goma de borrar desde la altura de su ca-beza, aproximadamente. El compaero o la compaera observa la trayectoria del objeto y ladibuja de manera aproximada en la imagen 1.1 (la del lanzador parado sobre la Tierra).A continuacin, realizan un nuevo lanzamiento, pero dando a la goma de borrar un pe-queo impulso horizontal. En el mismo esquema, dibujen la trayectoria del objeto.Repitan el experimento varias veces, pero con un impulso horizontal cada vez mayor,hasta que no puedan lanzar la goma ms lejos. En cada lanzamiento, dibujen aproxima-damente la trayectoria que sigue el objeto en el mismo esquema. Para nalizar, analicensus observaciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:a) Cmo cambia la trayectoria de la goma de borrar cuando se lanza con ms impulsohorizontal?b) Cmo se relacionan los movimientos de la silla en la segunda parte de la actividad,y de la goma de borrar en la tercera parte?c) De acuerdo a su anlisis anterior, cmo se relacionan los movimientos de la gomade borrar y de la Luna alrededor de la Tierra? Comparen su respuesta con la hiptesisinicial que cada uno plante.Indagacin N2PorqulaLunanocaedirectamentealaTierra?TierraTproyectilImagen 1.1FISICA_2010_OK.indd 14 21/7/10 17:02:40 15. 15Captulo 1: Movimiento CircularMovimiento circular uniforme (M.C.U.)La trayectoria circularUn mvil puede moverse describiendo cualquier tipo de trayectoria.Por ejemplo, en una carretera un automvil puede moverse descri-biendo una lnea recta, pero cuando llega a una curva pronunciada,generalmente su trayectoria es un arco de circunferencia.Para describir la distancia, la posicin o el desplazamiento enun movimiento rectilneo, utilizamos como unidad de medida elmetro [m]; en cambio, en la descripcin del movimiento circularusamos el metro como unidad de distancia o arco recorrido, ypara determinar la posicin y el desplazamiento utilizamos tambinuna unidad angular, conocida como radin [rad].Lo anterior se debe a que en el movimiento circular es fundamentalla relacin entre los tres elementos que se muestran en la Figura 1.1:el arco recorrido (s), el radio de curvatura (r) y el ngulo des-crito ().Figura 1.2. La trayectoria de un planetaen torno al Sol puede ser consideradacomo una trayectoria circular.Figura 1.3. Representacin geomtricade 1 rad.Un radin (1 rad) es la unidad para medirngulos o desplazamiento angular en elSistema Internacional de Unidades (S.I.).Corresponde al cuociente entre un arcode circunferencia (s), cuya longitudes igual al radio (s = r), y el valor delradio r: = = =srrrrad1 (1.1)1 radin mide, aproximadamente, 57,3y una vuelta o revolucin mide360 = 6,28 rad = 2 rad.El radin, al no tener dimensin, operacomo neutro multiplicativo, es decir:1rad 1m = 1m (1.2)1 radrlongitud = rrsmvileje de referenciaFigura 1.1. Movimiento circular de un automvil en una pista de carre-ras, r es el radio de curvatura, s es el arco recorrido y es el ngulodescrito.La posicin de un mvil en movimiento circular queda denidapor el ngulo descrito respecto a un eje de referencia. Este ngulose mide en radianes.1Seccin 1: Movimiento circular uniformeSeccin es la letra griega delta que utiliza-mos en fsica para indicar diferenciao cambio. es la letra griega thetaque utilizamos para indicar una medidaangular. Por lo tanto, indica unadiferencia angular.FISICA_2010_OK.indd 15 21/7/10 17:02:51 16. Fsica 3 Ao MedioMecnica16Cuando cambia la posicin del mvil, decimos que realiza undesplazamiento angular , desde un ngulo inicial i hasta unngulo final f: = f i (1.3)Como se muestra en la Figura 1.4, si el objeto en movimientodescribe un desplazamiento angular , expresado en radianes,hay un arco de circunferencia s asociado a este desplazamiento.Estos elementos se relacionan a travs del radio de curvatura, dela siguiente manera: = sr (1.4)De la ecuacin (1.4) se puede despejar el arco de circunferencia,quedando la relacin como sigue: = r s (1.5)La ecuacin (1.5) muestra que la distancia recorrida es direc-tamente proporcional al ngulo descrito por el mvil. Si ahorarelacionamos el cambio de posicin con el intervalo de tiempo(t) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente relacinfundamental: = =tr str vm m (1.6)En la ecuacin (1.6), m t= es la rapidez angular media yv stm = es la rapidez tangencial media. Es decir, la rapideztangencial media es directamente proporcional a la rapidezangular media.Cuando el movimiento del mvil es uniforme, entonces su rapidezangular y su rapidez tangencial permanecen constantes durante todoel proceso de movimiento. En este caso, se trata de un movimientocircular uniforme (M.C.U.).Cul es el desplazamiento angular del minutero de unreloj analgico cuando se mueve desde los 15 a los 45minutos?Figura 1.4. Cambio de posicin de unmvil en movimiento circular. La posicininicial del mvil es i y su posicin nales f, de modo que el desplazamientoangular es = f i.Los conceptos de rapidez angular mediay rapidez tangencial media se puedenexpresar, en el lmite, como medidasinstantneas de la rapidez angular y larapidez tangencial.Lo anterior se puede hacer considerandoque el intervalo de tiempo que transcurreentre dos posiciones sucesivas es muycercano a cero. Esta condicin se expresaa travs del concepto de lmite, de lasiguiente forma: = limt t0(1.7)v stt= lim0(1.8)Las ecuaciones (1.7) y (1.8) denen larapidez angular instantnea y la rapideztangencial instantnea, respectivamente.Con esta denicin, la ecuacin (1.6) sepuede expresar como: =r v (1.9)rifs es la letra griega omega.FISICA_2010_OK.indd 16 21/7/10 17:03:08 17. 17Captulo 1: Movimiento CircularEjemplo 1Elsegunderodeunrelojanalgicotieneunalongitudradialde20cmy describe un ngulo de 90 en un tiempo de 15 s.a) Cul es la medida del ngulo expresada en radianes?b) Cul es el valor de la rapidez angular media?c) Cul es el valor de la rapidez tangencial media?a: Una vuelta o revolucin corresponde a un ngulo de 360.Expresado en radianes, este ngulo corresponde a 2 rad,entonces podemos establecer la siguiente proporcin:3609022= = radradb: La rapidez angular media es, entonces: = == =tradsradsrads215300 1,c: De acuerdo al resultado anterior, y sabiendo que el radiodel segundero es 20 cm, la rapidez tangencial media es:v rv radsmv ms= = =0 1 0 20 02, ,,Donde hemos expresado el radio en metros.Cunto tiempo, expresado en segundos, se demorael puntero del horario de un reloj analgico en daruna vuelta?En la cinemtica del movimiento recti-lneo, aprendimos que la rapidez es elmdulo del vector velocidad.En el movimiento circular, tambin po-demos hablar de velocidad tangencial yvelocidad angular, que denen el sentidoy el plano de giro, respectivamente.De acuerdo a lo anterior, la rapideztangencial y la rapidez angular son losmdulos de los correspondientes vectoresvelocidad:v v== (1.10)De acuerdo a esto, la ecuacin (1.9) sepuede expresar vectorialmente comoun producto vectorial de la siguienteforma:v r = (1.11)En esta expresin, res el vector posi-cin del mvil.Figura 1.5. es perpendicular alplano del movimiento. ves siempretangencial a la trayectoria. La direccinde ambos vectores se relaciona a travsde la regla de la mano derecha: cuandoel pulgar se apunta en la direccin de, la mano, extendida tangencial-mente a la trayectoria, apunta en ladireccin de v.rvtrayectoriaSeccin 1: Movimiento circular uniformeFISICA_2010_OK.indd 17 21/7/10 17:03:24 18. Fsica 3 Ao MedioMecnica18El perodoCuando un movimiento es repetitivo, emplea un tiempo determi-nado para completar una vuelta o ciclo. Este tiempo se denominaperodo (T) y su unidad de medida es el segundo [s], en el S.I.As, cualquier objeto que se mueva en trayectoria circular realizauna vuelta o una revolucin en un tiempo T. Desde el punto devista de las unidades angulares, se puede decir tambin que en unperodo, el mvil describe un ngulo de 360 2 rad.Por otra parte, si un objeto realiza un movimiento circular uniforme,entonces su perodo de revolucin es constante, es decir, demoralo mismo en dar cada vuelta.Ejemplo 2Supongamos que nuestro planeta describe una rbita circularen torno al Sol, con movimiento circular uniforme.a) Cunto demora nuestro planeta en realizar una vuelta entorno al Sol? Expresa el resultado en segundos.a: Tenemos que calcular el perodo de revolucin de la Tierraen torno al Sol. Como sabemos, nuestro planeta demora unao en completar una traslacin, lo cual equivale a 365,25das. De esta manera:T = 365,25 dasT = 365,25 24 60 60sT = 3,16 107sLa frecuenciaEl concepto de frecuencia es una idea muy intuitiva y de sentidocomn. Por ejemplo, cuando preguntamos: Con qu frecuenciapasan los trenes?, una posible respuesta sera: Pasan 3 trenescada diez minutos. Otro ejemplo se da cuando preguntamos:Cuntas veces has ido al estadio este ao?. En este caso, larespuesta puede ser: 4 veces en el ao.En los ejemplos anteriores, se indica una cierta cantidad respectoa un intervalo de tiempo. En casos como estos usamos el conceptode frecuencia.Figura 1.6. El reloj analgico indica10 h: 15 min: 37 s. Cuando el mi-nutero avance hasta 45 min, ha-br efectuado un desplazamien-to angular = 180=rad.El valor negativo del desplazamientoaparece por la convencin de medir losngulos positivos en sentido antihorarioa partir de un eje de referencia. Estaconvencin permite distinguir haciadnde apunta el vector velocidad an-gular. En el caso del reloj analgico,el giro se realiza en sentido horario,por lo que apunta hacia dentro(entrando a la pgina). Esto lo pode-mos corroborar aplicando la regla dela mano derecha.La caracterstica ms importante delmovimiento circular uniforme es que elvector velocidad angular es constante.Esto quiere decir que tanto su magnitudo mdulo, como su direccin y sentidopermanecen invariantes. En consecuencia,el plano de giro es siempre el mismo.En particular, en un movimiento cir-cular uniforme, como definimos enlas ecuaciones (1.10), el mdulo de lavelocidad angular, es siempre positivoy constante: = =tradT2(1.12)hmsFISICA_2010_OK.indd 18 21/7/10 17:03:41 19. 19Captulo 1: Movimiento CircularPara el caso del movimiento circular, no utilizaremos las expre-siones comunes como veces de ida al estadio o trenes quepasan por la estacin, sino que prestaremos nuestra atencinal nmero de vueltas o revoluciones que realizan los objetos enmovimiento.La frecuencia se puede obtener de dos maneras: 1) contando elnmero de vueltas en un determinado tiempo, 2) calculando el re-cproco del periodo, ya que en un periodo se efecta una vuelta:fT= 1 (1.13)La unidad de medida de la frecuencia en el sistema internacionales el hertz [Hz], cuyo signicado operacional es el siguiente:Hz vueltassrevolucioness s[ ]= = = 1(1.14)Ejemplo 3Nuevamente, supongamos que la Tierra describe una rbitacircular en torno al Sol, con movimiento uniforme.a) Cul es la frecuencia de revolucin de nuestro planeta entorno al Sol?a: De acuerdo a nuestra respuesta en el Ejemplo 2, el periodode traslacin de la Tierra alrededor del Sol es T = 3,16 107s.Entonces:fTfsf vueltass=== = 113 16 103 16 10 3 16 1078,, , 8HzEn conclusin, cuando preguntamos por la frecuencia, esta-mos preguntando por el nmero de vueltas en una unidad detiempo.Una unidad de uso comn en mquinas elctricas y mo-tores de todo tipo es rpm, que signica revoluciones porminuto. Qu concepto de los que has aprendido mideesta unidad? Por qu?Otra caracterstica del M.C.U. es que elmdulo de la velocidad tangencial vesconstante. Es decir, la rapidez instantneaes constante.De acuerdo a esto, no tiene sentido hablarde la rapidez tangencial media, ya quela rapidez es la misma en todo instantede tiempo.Por lo tanto, en el M.C.U. el mdulo dela velocidad instantnea coincide con larapidez tangencial media y no hacemosdistincin entre ellas. Por esta razn, enel ejemplo 1 usamos los smbolos y v,en vez de escribir m y vm.Figura 1.7. Obsrvese que si bien lavelocidad tangencial tiene siempre elmismo mdulo o magnitud, su sentido ydireccin cambian en todos los puntosde la trayectoria.Frecuencia y rapidez angular son con-ceptos totalmente distintos. De acuerdoa las ecuaciones (1.12), se relacionanentre s de la siguiente manera: = 2 f (1.15)vvvSeccin 1: Movimiento circular uniformeFISICA_2010_OK.indd 19 21/7/10 17:03:54 20. Fsica 3 Ao Medio20MecnicaActividad de profundizacinCmoserelacionalafrecuenciadepedaleodeunciclistaconlarapidezmediadesumovimiento?Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una bicicleta,una huincha de medir de al menos 1 metro y un reloj.Segn la disponibilidad de bicicletas en el curso, renete con algu-nos compaeros y compaeras (entre 2 y 5, idealmente) y formenun equipo de trabajo.a) Reexionen sobre esta pregunta: Cmo se relaciona la fre-cuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media desu movimiento? Como equipo, planteen una hiptesis pararesponder.A continuacin, realicen el siguiente experimento: un estudiante re-corre en bicicleta una trayectoria rectilnea de largo conocido. Puedenmarcar dos puntos en el patio del colegio y medir la distancia entreellos. Es muy importante que el ciclista no pase cambios, que realiceun pedaleo constante y que cuente el nmero de veces que pedale.El resto del equipo mide el tiempo que su compaero demora en irde un punto a otro y se asegura de que siga una trayectoria rectilneacon rapidez aproximadamente constante.Analicen el funcionamiento del sistema de transmisin de la bicicleta,que se puede observar en la imagen 1.2, y respondan:b) Cmo se relaciona la rapidez tangencial del plato (vplato) con larapidez tangencial del pin (vpin)? Expresen esta relacin mate-mticamente.c) Cmo se relaciona la rapidez angular del plato (plato) con la rapidezangular del pedaleo (pedaleo)? Expresen esta relacin matemtica-mente.d) Cmo se relaciona la rapidez angular del pin (pin) con larapidez angular de la rueda (rueda)? Expresen esta relacin mate-mticamente.e) Considerando estas relaciones y a partir de las medidas de los radiosdel pin (Rpin), del plato (Rplato) y de la rueda (Rrueda), usen la fre-cuencia de pedaleo medida para calcular la rapidez tangencial de larueda trasera de la bicicleta.f) Cmo se relaciona la rapidez tangencial de la rueda con la ra-pidez del ciclista? A partir de su respuesta, evalen la validez desu hiptesis.RplatoRpinImagen 1.2FISICA_2010_OK.indd 20 21/7/10 17:04:07 21. 21Captulo 1: Movimiento CircularEvaluacin intermediaPARTE I: Problema de planteamiento1 Apartir de la imagen de la actividad de profundizacin, determina la relacin matemtica entre la rapidezangular del pedaleo y la rapidez angular de las ruedas, en funcin de los radios del pin (Rpin) y delplato (Rplato).PARTE II: Anlisis2 A partir del problema anterior:a) Expresa la distancia recorrida en funcin del nmero de vueltas, Rplato, Rrueda y Rpin.b) Si el radio Rrueda = 6 Rplato y Rplato = 3 Rpin Qu distancia medida en unidades Rrueda recorre la bici-cleta en 20 pedaleos?Indagacin N3CmoseralatrayectoriadelaTierrasielSoldesapa-recierarepentinamente?Para responder la pregunta planteada en el ttulo de esta actividad,se propone la siguiente hiptesis:La trayectoria de la Tierra no cambia, sino que mantiene sumovimiento, aproximadamente, circular y uniforme.Cmo podemos poner a prueba esta hiptesis?a) Junto a un compaero o una compaera, diseen un procedi-miento experimental que les permita, a travs de un modelo,poner a prueba la hiptesis para evaluar si es una explicacinaceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con precisin, el procedimientoque sugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto seafactible de realizar en una hora de clases; es decir, que inclu-ya el uso de materiales de fcil adquisicin o construccin ytiempos razonables para la observacin y el anlisis de susresultados.b) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn lasindicaciones que les d su profesor(a).Seccin 1: Movimiento circular uniformeImagen 1.3Recuerda que un modelo es una representacinsimplicadadelfenmenoqueseintentaexplicar,que incorpora sus principales caractersticas y,en especial, las variables medibles.FISICA_2010_OK.indd 21 21/7/10 17:04:24 22. Fsica 3 Ao MedioMecnica22La aceleracin centrpetaEn un movimiento circular cualquiera, la aceleracin puede teneruna componente en direccin tangencial a la circunferencia y otracomponente en direccin radial y dirigida hacia el centro de latrayectoria. A la primera se le llama aceleracin tangencial y ala segunda, aceleracin centrpeta.La aceleracin tangencial se maniesta como un cambio en elmdulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleracincentrpeta aparece como un cambio en la direccin y sentido dela velocidad.En un movimiento circular uniforme, debido a que el mdulo dela velocidad tangencial es constante, solo existe una aceleracinque cambia la direccin y el sentido de la velocidad, es decir, laaceleracin centrpeta.El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el centrode curvatura, al igual que la aceleracin centrpeta ac( ).El vector aceleracin centrpeta y elcambio del vector velocidad tangencialse relacionan de la siguiente forma:a vtc = (1.16)La ecuacin (1.16) implica que el vectoraceleracin centrpeta tiene la mismadireccin y el mismo sentido que elcambio de velocidad.Figura 1.9. res el cambio de po-sicin de un mvil en M.C.U. en unintervalo de tiempo muy pequeo. vcorresponde al cambio de velocidaden el mismo intervalo.De acuerdo a la Figura 1.9, en el M.C.U.se cumplen las siguientes condiciones:r r rv v vi fi f = == =(1.17)Adems, r v en todo momento, por lotanto: AOB A O B (son tringulossemejantes).(Contina en la pgina 23)Figura 1.8. Si se considera el cambio de velocidad, = v v vf i , queexperimenta un mvil en un pequeo intervalo de tiempo ( )t , se ve queves radial y est dirigido hacia el centro curvatura. La aceleracin, porlo tanto, tambin tiene esa direccin y sentido, y por eso se denominaaceleracin centrpeta.rfrivivf-vivfvfvivfvivvirrfrFISICA_2010_OK.indd 22 21/7/10 17:04:45 23. 23Captulo 1: Movimiento CircularDe acuerdo a la ecuacin (1.26), para determinar la aceleracincentrpeta se puede utilizar la siguiente relacin:a vrc =2(1.18)Ahora, si recordamos que (1.9), podemos deducir que la aceleracincentrpeta tambin puede ser determinada como:a rc = 2 (1.19)La fuerza centrpetaEn la mecnica de Newton, los cambios en el movimiento sonexplicados por medio de fuerzas de interaccin. En particular,la segunda ley establece que la fuerza neta, es decir, la suma detodas las fuerzas que actan sobre un cuerpo, es proporcional a laaceleracin del cuerpo:F F maneta = = (1.20)Considerando solo el mdulo de los vectores, tambin podemosescribir la ecuacin (1.20) como:F maneta = (1.21)En un movimiento circular, la fuerza que permite este tipo detrayectoria es la fuerza que apunta hacia el centro de curvatura yla denominamos fuerza centrpeta.De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza centrpetaprovoca una aceleracin centrpeta y, por lo tanto, en trminos desus mdulos, la ley se puede expresar de la siguiente forma:F mac c= (1.22)Ejemplo 4En el contenido de fsica de 2 medio, aprendimos que el radioorbital medio de la Tierra alrededor del Sol es de 1,49 1011 my su masa es de 5,98 1024 Kg.a) Cul es la aceleracin centrpeta y la fuerza centrpetaque ejerce el Sol sobre la Tierra?b) De acuerdo a este resultado, nuestro planeta puede serconsiderado como un sistema inercial?(Continuacin)Dadas las condiciones geomtricas delas ecuaciones (1.17) en la Figura 1.9y la relacin de semejanza entre lostringulos AOB y A O B , pode-mos ver que:=vvrr (1.23)Al sustituir a vtc = , en la ecuacin(1.23), se obtiene:a tvrra r vr ta rtvra v vrvrcccc = = = = =2(1.24)Donde hemos simplicado la notacin,ya que:a ar rc c= = (1.25)Es decir, en trminos de magnitudespodemos escribir el mdulo de la ace-leracin centrpeta como:a vrc=2(1.26)Por lo tanto, la magnitud o mdulo dela aceleracin centrpeta es constanteen un M.C.U.Seccin 1: Movimiento circular uniforme es la letra griega sigma y se usapara representar una sumatoria.FISICA_2010_OK.indd 23 21/7/10 17:05:02 24. Fsica 3 Ao MedioMecnica24a: Para determinar la aceleracin centrpeta, necesitamos saberla rapidez angular o la rapidez tangencial de la Tierra conrespecto al Sol.Usando el resultado del Ejemplo 2 para el periodo detraslacin de nuestro planeta, se obtiene lo siguiente: = === tradTradsrad223 16 101 99 1077,,ssDe acuerdo a la ecuacin (1.19), la aceleracin centrpetaes:a ra radsmaccc= = ( ) =272111 99 10 1 49 105 9, ,, 10 32msCon este resultado podemos determinar el mdulo de lafuerza centrpeta:F maF kg msFc ccc== = 5 98 10 5 9 103 53 1024 322, ,, 22Nb: Observamos en el resultado anterior que la aceleracincentrpeta tiene un valor muy bajo con respecto a la ace-leracin de gravedad (9,8 m/s2) por ejemplo, de modo quela aceleracin experimentada por la Tierra en su traslacines prcticamente cero. Esta es la razn por la que nuestroplaneta puede ser considerado un sistema aproximadamenteinercial.En cambio, la fuerza centrpeta alcanza un valor muygrande, ya que se necesita una gran fuerza para mantenerel planeta en rbita.Si la fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es tan grande,por qu nuestro planeta se acelera tan poco?Figura 1.10. La fuerza de gravitacinacta sobre la Tierra como una fuerzacentrpeta y provoca su rbita alrededordel Sol. La intensidad de la fuerza esrelativamente grande, en cambio, laaceleracin que experimenta el planetaes pequea. La explicacin de estadiferencia se relaciona con la granmagnitud de la masa de la Tierra.FcFcFacAunque comnmente se menciona lafuerza centrfuga, en el contexto dela mecnica newtoniana esta fuerzano existe, ya que solo se trata de unefecto inercial.FISICA_2010_OK.indd 24 21/7/10 17:05:15 25. 25Captulo 1: Movimiento CircularAlgunos casos de fuerza centrpetaUNA CURVA CON ROCECuando un automovilista se encuentra en la carretera con unacurva, seales reectantes en la orilla del camino le adviertensobre el peligro que signica exceder la velocidad lmite impuestapor las leyes del trnsito. Exceder la velocidad lmite signicarasalir derrapando en la direccin tangente al camino, ya que hayuna velocidad sobre la cual se pierde el soporte fsico que generael rozamiento entre los neumticos y la carretera.Como se muestra en la Figura 1.12, en este tipo de curvas la fuer-za de roce acta como fuerza centrpeta, es decir, F Fc r = , por loque de acuerdo a la 2a ley de Newton, la ecuacin (1.22) se puedeescribir como:F maF m vrr cr==2 (1.27)Por otra parte, sabemos que el mdulo de la fuerza de roce mximaes proporcional a la fuerza normal:F Nr = (1.28)Donde es el coeciente de roce esttico entre los neumticos yel suelo. Relacionando las ecuaciones (1.27) y (1.28), tenemos:m vrNm vrmgv gr22===(1.29)Para obtener las ecuaciones (1.29), hemos usado N = mg, dado elequilibrio en la direccin vertical de las fuerzas que actan sobreel automvil, el peso y la fuerza normal.El resultado anterior corresponde a una velocidad lmite a la cual elvehculo puede efectuar el movimiento circular, para un coecientede roce dado, y que depende del radio de curvatura. Mientras mscerrada es la curva (menor radio) menor ser la velocidad lmitepermitida y mayor el riesgo.Figura 1.11. El peligro de superarla velocidad mxima permitida enuna curva se relaciona con la fuerzade roce necesaria para realizar latrayectoria.Figura 1.12. En la curva, la fuerza deroce acta como fuerza centrpeta ymantiene al vehculo en movimientocircular. En la direccin vertical, actansobre el automvil el peso P( ) y lafuerza normal N( ). En la direccinhorizontal, acta la fuerza de roce Fr( )entre los neumticos y el suelo.vPNFrrvv50Seccin 1: Movimiento circular uniforme es la letra griega mi o mu.FrFISICA_2010_OK.indd 25 21/7/10 17:05:33 26. Fsica 3 Ao MedioMecnica26Ejemplo 5Un automvil tiene una masa de 1 600 kg y toma una curva enuna pista plana y sin pendiente de 40 m de radio. El coecientede roce esttico entre los neumticos y la pista es = 0,5a) Cul es la velocidad mxima permitida que debera apa-recer en la sealizacin de advertencia?a: Para resolver, simplemente evaluamos la ltima de lasecuaciones (1.29)v grv msm ms== =0 5 10 40 14 142, ,Donde hemos usado g ms= 10 2 para simplicar el clculo.El resultado indica que la velocidad mxima permitida debeser de 14 m/s (50,4 km/h), aproximadamente. Cualquiervelocidad superior a esta causara un deslizamiento o de-rrapamiento del vehculo, por lo que saldra patinandoen direccin tangente a la trayectoria.FUERZA CENTRPETA EN EL SISTEMA PLANETARIOUna manera interesante de relacionar la fuerza centrpeta con elSistema Solar es a partir de la ley de gravitacin universal, en lacual se establece que el mdulo de la fuerza con la que se atraendos objetos de masas m1 y m2 es directamente proporcional alproducto de las masas e inversamente proporcional al cuadradode la distancia que las separa, r. Es decir:F Gm mrG =1 22(1.30)Donde G es la constante de gravitacin universal cuyo valor esde G x NmKg= 6 67 10 1122,En el caso de los planetas, la fuerza de gravitacin acta sobreellos como una fuerza centrpeta y provoca su rbita alrededordel Sol. Por ahora, de manera aproximada podemos suponer queel movimiento planetario es circular y uniforme.FISICA_2010_OK.indd 26 21/7/10 17:05:47 27. 27Captulo 1: Movimiento CircularFigura 1.13. Al igual que los planetas interactan gravitacionalmentecon el Sol, la Luna tambin experimenta la atraccin gravitacional de laTierra. Sin embargo, de acuerdo con la ley de accin y reaccin, si laTierra atrae a la Luna con una fuerza FG , el satlite tambin atrae alplaneta con una fuerza igual, pero de sentido opuesto, FG .En el caso del sistema Tierra-Luna, la fuerza de gravitacin actacomo fuerza centrpeta sobre la Luna debido a la accin a distanciade la Tierra.En el caso de un planeta cualquiera y el Sol, suponiendo una rbitacircular, podemos establecer la siguiente relacin, de acuerdo alas ecuaciones (1.22) y (1.30)Gm mrm vrGmrvmsol planeta planetasolsol===222vvGr2(1.31)Este resultado implica que podemos conocer la masa del Sol co-nociendo la velocidad tangencial del planeta y su radio orbital.Por ejemplo, ya que sabemos la velocidad angular de la Tierra yel radio de su rbita, podemos obtener su velocidad tangencial deun modo muy sencillo, haciendo uso de la ecuacin (1.9) y conese resultado, usar las ecuaciones (1.31) para calcular la masadel Sol.Si el radio medio de la rbita terrestre es de 1,49 1011 m,cul es la masa del Sol?Figura 1.14. Masas y radios orbitalesmedios de los planetas del SistemaSolar, relativos a los valores de laTierra. La masa de la Tierra es de5,9736 1024 kg y una UnidadAstron-mica (UA) corresponde aproximada-mente a su distancia media al Sol, esdecir, 1UA = 149 597 870 km.Figura 1.15. La atraccin gravitacionaldel Sol sobre la Tierra acta como unafuerza centrpeta y provoca la rbitacurvilnea del planeta.FGFcFcFSeccin 1: Movimiento circular uniformeMercurioVenusTierraMarteJpiterSaturnoUranoNeptuno-FGvPlaneta MasaRadioorbital(UA)0,06 0,380,82 0,721,00 1,000,11 1,52318 5,2095 9,5414,6 19,2217,2 30,06FISICA_2010_OK.indd 27 21/7/10 17:06:00 28. Fsica 3 Ao MedioMecnica28LAS BOLEADORASUna boleadora es un arma manual muy antigua que consiste en unproyectil sujeto en el extremo de una bolsa atada a una cuerda, laque se hace girar en torno a la cabeza con el n de provocar unagran velocidad tangencial para el lanzamiento del proyectil.En este caso, la fuerza mecnica que opera sobre el proyectil esla fuerza de tensin de la cuerda y una de sus componentes actacomo fuerza centrpeta.Figura 1.17. Ejemplo de boleadorausada por habitantes de pueblossudamericanos originarios.Figura 1.18. Un antiguo habitante dela Patagonia usa una boleadora paraatacar un puma.masatrayectoria circularFCPrTFigura 1.16. En la gura se muestra esquematizado el movimiento deuna boleadora y las fuerzas que actan sobre la masa en el extremodel cordel. La imagen muestra que una parte de la tensin acta comofuerza centrpeta.En la Figura 1.16, se puede observar que la componente de latensin que acta como fuerza centrpeta es:F Tc = sen (1.32)Por lo tanto, de acuerdo a la ecuacin (1.22), en trminos delmdulo de la tensin, podemos escribir:T mvr =sen2(1.33)Por otra parte, el equilibrio de las fuerzas que actan sobre la masaen la direccin vertical implica que:T mg =cos (1.34)FISICA_2010_OK.indd 28 21/7/10 17:06:18 29. 29Captulo 1: Movimiento CircularDividiendo entre s las ecuaciones (1.33) y (1.34), se puede obtenerlo siguiente:tan =vr g2(1.35)Este resultado indica que mientras ms grande es el ngulo dela fuerza de tensin respecto a la vertical, mayor es la velocidadtangencial con la que puede ser liberado el proyectil.De manera inversa, se puede ver que la velocidad de lanzamien-to del proyectil depende de la fuerza de tensin que ejerza lapersona que hace girar la boleadora. As, mientras mayor es lafuerza, mayor es el ngulo de elevacin mencionado y mayor esla velocidad de disparo.Ejemplo 6Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremode un hilo. La masa de la goma es de 0,03 kg. Mientras la gomagira con M.C.U., el estudiante mide un ngulo de 60 del hilocon respecto a la vertical, y un radio de giro de 0,5 m.a) Cuando el estudiante suelta el hilo, cul es la velocidadtangencial de salida del proyectil?b) Cul es la tensin ejercida sobre el proyectil a travs dela cuerda?a: Para determinar la velocidad, utilizamos la ecuacin(1.35):tantan, , tan ,== = =vr gv r gv mms220 5 9 8 60 2 991msb: Para obtener la fuerza de tensin, podemos reemplazar elresultado anterior en la ecuacin (1.33) o usar la ecuacin(1.35):T mgTmgkgms == ==coscos, ,cos,0 03 9 8600 5882NNSeccin 1: Movimiento circular uniformePara dividir las ecuaciones 1.33 y 1.34procedemos de la siguiente manera:T mvrT m g = = sen2cosDividiendo miembro a miembro estesistema de ecuaciones, tenemos:TTmvrm gvr g==sensencoscos22(1.36)La raznsencoscorresponde a lafuncin tangente del ngulo:tan =vr g2FISICA_2010_OK.indd 29 21/7/10 17:06:44 30. Fsica 3 Ao Medio30MecnicaContexto histrico de la fsicaHasta Coprnico el movimiento de los cuerpos celestesse explicaba mediante el sistema de Ptolomeo. Se su-pona que los cuerpos celestes se encontraban situadosen esferas huecas concntricas a la Tierra, que girabancon distintas velocidades alrededor de la Tierra.Coprnico se plante que, en vez de ser las esferaslas que giraban alrededor de la Tierra, podra ocurrirque la Tierra girara alrededor de su eje una vez al da.Sin embargo, el verdadero aporte de Coprnico fueel proponer que la Tierra no era el centro del mun-do, sino que la Tierra y todos los dems planetas semovan describiendo crculos alrededor del Sol. Estenuevo modelo permita explicar fcilmente el aparentemovimiento de avance y retroceso que describen losplanetas en el rmamento.Aunque en nuestros das se acepta la tesis copernicana,sta ha sido corregida. Las rbitas de los planetas no soncirculares, sino elpticas, como mostr Johannes Kepler(1571 1630), gracias al enorme y riguroso trabajo deobservacin que haba realizado Tycho Brahe (1546 1601). Asimismo, el Sol, como los dems astros delrmamento, tambin se mueve.Este hombre fue un revolu-cionario. Naci en Torun,Polonia, el 19 de febrero de1473 y muri el da 24 demayo de 1543. En el ao1507, present su primeraexposicin de un sistemaastronmico donde ubicabaal Sol en su centro y laTierra y los dems planetasgirando en torno a l.Fue criticado por lsofos y parte de la Iglesia, debidoa que negar que nuestro planeta fuera el centro delSistema Solar tena consecuencias no solo cient-cas, sino tambin sociales y teolgicas. Antes, el serhumano era el centro del Universo, de la creacin.La teora de Coprnico desechaba esta opinin, porlo menos desde un punto de vista astronmico.Muy pocos creyeron en sus teoras, pero quieneslo siguieron fueron los fundadores de la cienciamoderna: Johannes Kepler, Galileo Galilei e IsaacNewton, entre otros.La historia de las ideas es imbricada y compleja. El24 de febrero de 1616, una comisin de telogosconsultores de la Inquisicin censur la teora helio-cntrica de Coprnico, rearmando la inmovilidadde la Tierra.El proceso empez el 19 de febrero con la propuestade censura de una comisin de expertos, entre quienesno haba ningn astrnomo. Luego, en una reuninde la Congregacin del Santo Ocio y por orden delpapa Paulo V, se inici la amonestacin a Galileo(1564 1642), por la que se le exige que abandonela opinin de que la Tierra se mueve.En marzo del mismo ao, la Congregacin del n-dice prohbe una serie de libros relacionados con elheliocentrismo y su validez desde un punto de vistateolgico, y se suspende la obra copernicana Sobreel movimiento de las esferas celestiales hasta quesea corregida. As, la obra maestra de Coprni-co permanecera en el ndice de libros prohibidoshasta 1835.Aos ms tarde, el 22 de junio de 1633, a pesar de laproteccin de la poderosa familia Medici, Galileo serformalmente condenado por la Inquisicin y forzadoa abjurar, de rodillas y bajo amenaza de torturas, dela teora de Coprnico, calicada de hertica.As le deca Kepler a Galileo: ... Dadme las navesy adaptadme las velas al viento celeste; habr genteque no tendr miedo ni siquiera de cara a aquellainmensidad. Y para estos descendientes que ya den-tro de muy poco se aventurarn por estos caminospreparemos, oh Galileo, yo una astronoma lunar yt una joviana.FISICA_2010_OK.indd 30 21/7/10 17:06:51 31. 31Captulo 1: Movimiento CircularApartir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapaconceptual de la gura.Conceptos Relevantes (CR) Frases Conectoras (FC)A Radio I Mantiene constante suB Crculo II Se realiza en una trayectoriaC Frecuencia III DenenD Velocidad Tangencial IV Que corresponde al mdulodel vectorE Fuerza Centrpeta V Y en cada punto de ella existeunaF Aceleracin Centrpeta VI Que, junto a unSntesisRapidez Tangencial Rapidez AngularPeriodo de revolucin5El cual dene unangulo de 27Velocidad Angular8Que corresponde almdulo del vector3Cuya variacin en eltiempo dene11Que corresponde alefecto de la 4Circunferencial910TangenteQue esperpendicular al2La cual dene un16Movimiento CircularUniformeDesafoCuando hayas terminado estaactividad, vuelve a leer el textode la seccin, con mucha aten-cin, y genera tu propio mapaconceptual.Seccin 1: Movimiento circular uniforme12 32. Fsica 3 Ao Medio32MecnicaPreguntas y ejercicios propuestos1 En tus palabras, qu relacin se puede hacer entreel movimiento circular, Coprnico y la posicindel ser humano en el Universo?2 Desde un punto de vista fsico, cul es la prin-cipal caracterstica de un movimiento circular?3 Existe ms de un tipo de velocidad en el movi-miento circular uniforme? Por qu?4 Qu son perodo y frecuencia en el movimientocircular?5 Por qu una piedra que gira atada a una cuerdasale disparada tangencialmente y no radialmenteal soltarse la cuerda?6 Si un automvil realiza un movimiento circularuniforme al doblar en una curva, cambia suvelocidad? Explica.7 El segundero de un reloj analgico tiene unalongitud radial de 10 cm y describe un ngulo de45 en un tiempo de 7,5 s. (a) Cul es la medidadel ngulo expresada en radianes? (b) Cul esla rapidez angular del segundero? (c) Cul esla rapidez lineal de su extremo?8 Cul es la frecuencia de rotacin de la Tierrasobre su propio eje?9 El ventilador de un secador de pelo gira a3 000 rpm. (a) Cul es la frecuencia de rotacin,expresada en Hz? (b) Cul es su rapidez angular?(c) Cul es el periodo de giro del ventilador?10 Un satlite gira en una rbita circular alrededorde la Tierra a una altitud de 600 km sobre el ni-vel del mar, completando una vuelta respecto alcentro de la tierra en 70 minutos. Cunto vale laaceleracin del satlite? (considera que el radiode la Tierra es de 6 400 km).11 Un planeta orbita segn la trayectoria punteadaen la Figura 1.19 y en el sentido de la velocidadangular indicado. Dibuja la direccin y el sentidode los siguientes vectores, suponiendo que elmovimiento es uniforme: (a) Velocidad tangen-cial y aceleracin centrpeta en A. (b) Velocidadtangencial y aceleracin centrpeta en B.AB12 En un movimiento circular uniforme, cmo serelaciona la frecuencia (f) con la rapidez angular() del movimiento?13 El reloj de la Figura 1.20 muestra tres punterosque corresponden a la hora (H), los minutos (M)y los segundos (S). Cul es la rapidez angularde cada uno de estos elementos?Figura 1.2014 Una matraca gira con un movimiento uniforme,alrededor de un eje que pasa por el punto O,como se muestra en la Figura 1.21. Efecta dosrevoluciones por segundo. Para los puntosAy Bde la barra, situados a las distancias rA = 0,2 m yrB = 0,3 m del eje de rotacin, calcula las siguientesmagnitudes (considera = 3,14): (a) El perodode revolucin. (b) La rapidez angular de cada unoFigura 1.19FISICA_2010_OK.indd 32 21/7/10 17:07:45 33. 33Captulo 1: Movimiento Circular(A y B). (c) La rapidez tangencial de cada uno(vA y vB). (d) La aceleracin centrpeta de cadauno (acAy acB).BA0 vAvB15 De acuerdo al esquema de la Figura 1.22, dondese muestra el sistema de transmisin de unabicicleta, Rpin < Rplato. Es correcto decir quela velocidad angular del plato es igual a la delpin? Por qu?Figura 1.2216 Si el sistema de transmisin de la bicicleta quese muestra en la Figura 1.22 es impulsado por unciclista que pedalea con rapidez angular constan-te y a una frecuencia de 3 vueltas por segundo.Considerando que Rplato = 10 cm y Rpin = 4 cm,(a) cul es la rapidez tangencial del pin? (b)Cul es la rapidez angular del pin? (c) Si elradio de las ruedas es de 50 cm, cul es la rapidezdel ciclista?17 Cul es la velocidad tangencial de una personaparada sobre el ecuador de la Tierra a nivel delmar?18 Suponiendo que la trayectoria de la Tierra alrede-dor del Sol es circunferencial, demuestra que elmdulo de la velocidad tangencial de traslacin delplaneta es: v GMRrs= . Donde G es la constantede gravitacin universal, Ms es la masa del Sol yR es la distancia entre la Tierra y el Sol.19 Una bola de 0,5 kg. de masa unida al extremode una cuerda cuya longitud es de 1 m se hacegirar cada vez ms rpido, como una boleadora.Si la cuerda puede soportar una tensin mximade 50 newton, cul es la mxima rpidez quepuede alcanzar la bola antes de que la cuerda serompa?20 Un automvil de 1 000 kg, da vuelta en una es-quina circular, a 25 km/h. Si el radio de giro esde 10 m, (a) cul es el valor de la aceleracincentrpeta? (b) Qu fuerza horizontal debe ejercerel roce del pavimento con los neumticos paramantener el vehculo en trayectoria circunferen-cial? (c) Cul es el coeciente de roce mnimoentre las ruedas y el pavimento necesario paraque el auto no se deslice?21 Una camioneta cargada tiene una masa de 2 500 kgy toma una curva circular en una pista plana ysin pendiente de 50 m de radio. El coeciente deroce entre los neumticos y la pista es = 0,5.Cul es la mxima rapidez a la que la camionetapodra dar el giro sin resbalar?22 Un estudiante hace girar una goma de borrar atadaal extremo de un hilo. La masa de la goma es de0,02 kg. Mientras la goma gira con movimientocircular uniforme, el estudiante mide un ngulode 60 del hilo con respecto a la vertical y unradio de giro de 0,4 m. (a) En estas condiciones,cul es la tensin ejercida sobre la goma a travsde la cuerda? (b) Si el estudiante suelta el hilo,cul es la velocidad tangencial con que la gomade borrar sale disparada?Figura 1.21RpinRplatoSeccin 1: Movimiento circular uniformeFISICA_2010_OK.indd 33 21/7/10 17:07:59 34. Fsica 3 Ao Medio34MecnicaEvaluacin nal de la seccinPARTE I: Anota en el recuadro el nmero de la magnitud que corresponde a la descripcin o denicindada.Magnitud Descripcin o denicin1 ngulo descrito Cambio angular en el transcurso del tiempo.2 Arco recorrido Se mide en radianes en el S.I.3 Perodo de revolucin Tiempo empleado en realizar una vuelta.4 Frecuencia Se mide en m en el S.I.5 Rapidez angular Es el recproco del perodo.PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justicacin de tusrespuestas.V o F1 Si un auto recorre una curva pronunciada de la carretera a una velocidad superior a la mximapermitida, entonces derrapar.2 Un movimiento circular es uniforme si su aceleracin y fuerza centrpetas permanecen cons-tantes.3 El planeta Tierra puede ser considerado un sistema inercial debido a que no acelera.4 Si el Sol desapareciera la Tierra continuara con movimiento circular y uniforme por siempre.5 La direccin de la aceleracin en un movimiento circular uniforme es siempre paralela a lafuerza centrpeta.PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta.1 Un aspa se mueve con M.C.U., una aceleracincentrpeta a0 y un perodo T0. Si se cambia elmotor al ventilador, aumentando su perodo a 2T0,Cmo cambia su aceleracin centrpeta?a) Aumenta al doble de su magnitud.b) Disminuye a un medio de su magnitud.c) Aumenta al cudruple de su magnitud.d) Disminuye a un cuarto de su magnitud.2 Cul de los siguientes movimientos puede sermodelado como movimiento circular?a) Traslacin de un planeta en torno al Sol.b) Una piedra que se lanz horizontalmentedesde la cima de un cerro.c) Un atleta corriendo los 100 m planos.d) El aterrizaje de un avin.3 En cul de los siguientes movimientos laaceleracin es constante?a) Movimiento circular uniforme (M.C.U.).b) Movimiento rectilneo uniforme (M.R.U.).c) Movimiento uniformemente acelerado(M.U.A.).d) Movimiento circular acelerado (M.C.A.).4 Un automvil est diseado para moverse auna rapidez ja v0. Si cambia de una curvacircular de radio R a una de radio 2R, Cmose ha modicado su aceleracin centrpeta alpasar de una curva a la otra?a) Aumenta al doble.b) Disminuye a la mitad.c) Aumenta al cudruple.d) Disminuye a la cuarta parte.FISICA_2010_OK.indd 34 21/7/10 17:08:05 35. 35Captulo 1: Movimiento CircularIndagacin N4Cmogirarmsrpido?PARTE I. Trabajo personalEn las fotografas del movimiento de la patinadora (imagen 2.1), se puedever una secuencia de varios giros en los cuales ella mueve continuamentepartes de su cuerpo y adopta diferentes formas. Seguramente has obser-vado secuencias como esta, y has notado que la bailarina puede alcanzaruna alta rapidez de rotacin.a) Qu magnitud fsica aumenta durante su movimiento y qu magnituddisminuye?b) Qu hace la bailarina para girar ms rpido?PARTE II. Trabajo en equipoJunto a un compaero o una compaera, contrasten las respuestas dadasa las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas.A continuacin, elaboren una hiptesis en conjunto que d respuesta ala segunda pregunta.Recuerden que una hiptesis es una explicacin posible que se suponecierta hasta que pueda ser contrastada empricamente. Por esta razn, esfundamental que la hiptesis se reera a un nmero reducido de variablesobservables y de algn modo medibles, que eventualmente pueden sercontroladas en un experimento.a) Registren la hiptesis en sus cuadernos e identiquen cules son lasvariables observables que pueden medir y/o controlar.b) Una vez planteada su hiptesis, diseen un procedimiento experimentalque les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicacinaceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con precisin, el procedimiento quesugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible derealizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materialesde fcil adquisicin o construccin y tiempos razonables para la obser-vacin y el anlisis de sus resultados.c) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indica-ciones que les d su profesor(a).Imagen 2.1FISICA_2010_OK.indd 35 21/7/10 17:08:15 36. Fsica 3 Ao Medio36MecnicaIndagacin N5Ruedahuecaoruedamaciza?Culganalacarrera?PARTE I. Trabajo personalImagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno es hueco y el otro es macizo (esdecir, relleno) como en la imagen 2.2. Cul de los cilindros rueda ms rpido por unplano inclinado?a) Responde la pregunta anterior y plantea una hiptesis que explique el resultado deuna carrera entre los dos cilindros.PARTE II. Dilogo con argumentosa) Renete con un compaero o compaera para compartir sus hiptesis obtenidas en la parte I. Idealmente,procura que tu compaero(a) haya respondido a la pregunta al contrario que t. Comenten sus hiptesis yargumenten a favor o en contra de ellas.A continuacin, necesitan los siguientes materiales: un cilindro de cartn, como el tubo vaco de un rollo depapel higinico; 6 barras de plasticina; un trozo rectangular de cartn rgido o de madera (1 m de largo y por 10cm de ancho, aproximadamente) que servir como plano inclinado; una regla de 30 cm; 2,5 m de hilo y un relojcon cronmetro.PARTE III. Trabajo en equipoCorten el tubo de cartn en tres cilindros iguales. Luego, usen el hilo para confeccionar un riel por el cual sepuedan desplazar los cilindros por el plano inclinado. El hilo debe evitar que al rodar, los cilindros se desven.Para esto, ajusten dos lneas de hilo paralelas al plano inclinado a unos 2 cm de altura y separadas por unadistancia igual al ancho de los cilindros, de manera que estos rueden entre ellas.A continuacin, distribuyan equitativamente las 6 barras de plasticina adhierindola en las dos bases de uno delos cilindros por el interior, como en el caso 1 de la imagen 2.2. No deben quedar restos sueltos de plasticina.Luego, dejen rodar el cilindro por el plano inclinado y midan la distancia que recorre. Realicen 5 lanzamientos,registrando el tiempo que demora en recorrer la distancia medida y contando el nmero de vueltas que ejecutadurante el movimiento. Para poder contar las vueltas del cilindro es imprescindible que la inclinacin del planosea mnima (ajusten la pendiente hasta que puedan realizar la observacin). Anoten estos datos en una tabla ycalculen un promedio para el tiempo y el nmero de vueltas.Repitan exactamente el mismo procedimiento anterior, pero cambiando la distribucin de la plasticina en el interiordel cilindro de manera que ahora la plasticina se adhiera a la pared, es decir, a su manto como en el caso 2 de laimagen 2.2. En esta parte, es importante reutilizar la misma plasticina para no cambiar la masa del objeto.Para nalizar, analicen sus mediciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:a) Cul es la diferencia de tiempo en el recorrido del cilindro entre los dos casos?b) Cul es la diferencia en el nmero de vueltas?c) Cmo inuye la distribucin de masa del cilindro en su comportamiento rotacional?d) Comparen su respuesta anterior con sus hiptesis iniciales. Con cul de los dos casos se puede compararel movimiento de un cilindro macizo y el de un cilindro hueco? Cul rodara ms rpido?Caso 1 Caso 2plasticinaImagen 2.2FISICA_2010_OK.indd 36 21/7/10 17:08:21 37. 37Captulo 1: Movimiento CircularMomento angular y su conservacinEl momento angularEn cursos anteriores ya has estudiado el concepto de momentolineal ( p), expresin latina que en espaol signica cantidad demovimiento lineal.El momento lineal de un objeto es una medida de su inercia demovimiento, que es la propiedad que lo mantiene en movimientohasta que algo lo detiene o cambia su velocidad, y se puede calcularcomo el producto de la masa del objeto y su velocidad.Los objetos que giran tambin experimentan una inercia derotacin que los mantiene girando hasta que algo los detieneo cambia su velocidad. Una medida de esta propiedad es lo quellamamos cantidad de movimiento angular o, simplemente, mo-mento angular ( L).Por ejemplo, una lata de bebida que rueda por una calle con pen-diente, la rueda de una bicicleta o una estrella alrededor del centrode la galaxia siguen girando hasta que algo las detenga. En estesentido, todos estos objetos tienen momento angular.El mdulo del momento angular de un objeto en movimientocircular se relaciona con los mdulos de su momento lineal y delradio de curvatura r de la trayectoria, de la siguiente forma:L r p= (2.1)Sin embargo, considerando el mdulo del momento lineal:p m v= (2.2)De acuerdo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), tenemos:L r m v= (2.3)La ecuacin (2.3) tambin se puede escribir en trminos de larapidez angular:L m r= 2 (2.4)Es decir, el momento angular depende directamente de la masa delobjeto que gira, de su radio de giro y de su velocidad angular.Figura 2.1. Una lata de bebida querueda por una calle con pendiente, giray aumenta su momento angular.Figura 2.2. Las estrellas se mantienenen rbita alrededor del centro galcticoy tienen momento angular.2Seccin 2: Momento angular y su conservacinSeccinFISICA_2010_OK.indd 37 21/7/10 17:08:42 38. Fsica 3 Ao MedioMecnica38Dos ventiladores idnticos se hacen girar simultneamente.Si la rapidez angular que uno de ellos alcanza es el dobleque la del otro, cul tiene mayor momento angular?Es necesario destacar que las cantidadesinvolucradas en la denicin del momentoangular tienen naturaleza vectorial.Es decir, el momento angular se puedeexpresar como un producto vectorial dela siguiente forma:L r p = (2.5)Como se muestra en la Figura 2.4, elmomento angular de un objeto es unvector perpendicular al plano de latrayectoria.Figura 2.3. Al girar, un CD tiene momento angular, al igual que las aspasque rotan en un ventilador. La direccin y sentido del vector momentoangular se puede determinar por medio de la regla de la mano derecha:el pulgar apunta en la direccin de L( de ), cuando los dedos dela mano apuntan en el sentido de giro. Aqu se muestran los vectores ry pde un punto de masa en el borde del CD y de otro punto de masacasi en el extremo de las aspas del ventilador.Ejemplo 7Una piedra de 0,2 kg gira en una boleadora con un radio de50 cm y una velocidad angular de 2 rad/s.a) Cul es el mdulo del momento angular de la piedra?a: Para resolver usamos la ecuacin (2.4):L m rL kg mradsLkg ms= = ( ) =2220 2 0 5 20 1, ,,Apartir de este resultado, vemos que el momento angular se mideen unidades dekg ms2 en el Sistema Internacional de Unidades.Esta unidad de medida no recibe un nombre especial.LprtrayectoriaLvrFigura 2.4. Les perpendicular alplano del movimiento, por lo tanto,mantiene la misma direccin que lavelocidad angular . La direccin deambos vectores se obtiene usando laregla de la mano derecha.LprrA Sentido del giropFISICA_2010_OK.indd 38 21/7/10 17:09:03 39. 39Captulo 1: Movimiento CircularEjemplo 8En el ensayo de su baile, una bailarina hace girar dos boleadorassimultneamente, como se muestra en la Figura 2.5. Ambasboleadoras giran con igual velocidad angular, cuyo mdulo es = 2rads, constante.a) Cul es el mdulo del momento angular del sistema deboleadoras?Figura 2.5. La bailarina hace girar simultneamente dos bole-doras. Las lneas punteadas representan las trayectorias de lasmasas. El plano del movimiento de ambas masas es el mismo yse ha pintado para evitar la ambigedad debida a la perspectiva.En un sistema de varias masas en rotacin, se puede calcularel momento angular total, sumando los momentos angularesindividuales.a: Como se trata de dos masas que rotan con igual velocidadangular, podemos calcular el mdulo del momento angu-lar total del sistema compuesto por las dos masas, de lasiguiente forma:L L LL m r m rLtotaltotaltotal= += + =1 21 122 22 (( ), , ,m r m rL kg m ktotal1 122 2220 2 0 5 0 3 + = ( ) +gg mradsLkg mstotal( )( )=0 6 20 315622,,Este desarrollo permite observar la aparicin de una cantidadimportante en el estudio de las rotaciones, el producto de la masade un objeto en rotacin y el cuadrado de su radio de giro. Estacantidad se denomina momento de inercia.El ejemplo 8 sirve para denir el momentoangular de un conjunto de partculas quegiran con igual velocidad angular.La generalizacin de L para n partculasque cumplen esa condicin, se expresaas:L m r m r m rn n= + + + 1 122 22 2 Escrita con la simbologa de sumatoria,esta expresin queda asL m ri iin= ( ) = 21 (2.6)L I= (2.7)El trmino I m ri iin= ( )= 21se denominainercia rotacional o momento de inerciade un sistema de n partculas.0,6 m0,3 kg0,5 m 0,2 kgSeccin 2: Momento angular y su conservacinFISICA_2010_OK.indd 39 21/7/10 17:09:23 40. Fsica 3 Ao MedioMecnica40Recuerda el modelo atmico de Bohr, en el que los electronesgiran en rbitas alrededor del ncleo. De acuerdo a estemodelo, tienen momento angular los electrones en untomo? Por qu?La inercia rotacional o momentode inerciaCuando se analiza un movimiento traslacional y rectilneo seconsidera a la masa del objeto como una medida de su inercia.Como ejemplo, si se aplica la misma fuerza a un camin y luegoa un auto, observamos que el auto acelera ms que el camin. Eneste caso, decimos que el auto cambia su estado de movimientocon mayor facilidad ante la fuerza aplicada. En trminos tcnicos,el auto tiene menos inercia que el camin.Por lo tanto, la masa es una medida de la inercia de un cuerpo y es eneste sentido, una medida de su resistencia al cambio de velocidad.Anlogamente, al hacer que un objeto slido rote o se mueva entrayectoria curva, se observa una resistencia al cambio del movimientorotacional. Esta oposicin del objeto al cambio de su rotacin seconoce como inercia rotacional o momento de inercia. En otraspalabras, en el movimiento circular el momento de inercia cumpleel mismo rol que la masa juega en el movimiento rectilneo.El momento de inercia lo encontramos en dos tipos posibles desistemas:SISTEMAS DE OBJETOSSe trata de objetos fsicos que modelamos como si se tratara departculas que tienen toda su masa concentrada en un punto y quegiran con la misma velocidad angular a cierta distancia de un ejede giro. Este es el tipo de sistema que consideramos cuando el ejede giro no atraviesa el objeto.Por ejemplo, aunque para nosotros los planetas son enormes cuerposmasivos, su tamao en relacin al tamao del Sistema Solar esen la prctica muy pequeo y por esta razn podemos modelar elmovimiento de los planetas como si se tratara de partculas cuyamasa se concentra en un punto.Modelar a los planetas como partculas es una simplicacin fsicaimportante, pero podemos lograr una muy buena aproximacin asus movimientos de esta manera.Figura 2.6. Un equilibrista utiliza unavarilla de masa m para equilibrarse.Mientras ms longitud tiene la varilla,mayor es su inercia rotacional y mscuesta hacerla rotar.Figura 2.7. En un mvil giratorio debeb podemos modelar el giro delos objetos alrededor del eje centralcomo si se tratara de partculas. Sinembargo, los objetos tambin giransobre s mismos, alrededor de un ejeque los atraviesa. En esta rotacin nopodemos considerarlos como partculas,sino como cuerpos extensos.FISICA_2010_OK.indd 40 21/7/10 17:09:36 41. 41Captulo 1: Movimiento CircularPara este tipo de sistema usamos la ecuacin (2.7), que dene elmomento de inercia de un sistema de n partculas como:I m riin= = 121(2.8)Donde mi son las masas de las diferentes partculas que forman elsistema y ri son sus radios de giro alrededor de un eje comn. Estarelacin indica que si varios objetos puntuales componen un sistema,el momento de inercia del sistema es la suma de los momentos deinercia de cada partcula respecto al mismo eje de rotacin:I m r m r m r m r= + + + +1 122 223 324 42... (2.9)Si el sistema est compuesto de una nica partcula que giraalrededor de un eje externo, entonces su momento de inercia sereduce a:I m r= 2 (2.10)La ecuacin (2.10) indica que el momento de inercia de un objetopuntual de masa m depende directamente del cuadrado de su radiode giro r. De esta manera, mientras ms alejada del eje est lamasa, ms esfuerzo se requiere para hacerla girar con la mismarapidez angular.En la Figura 2.8 se muestran dos sistemas de masasunidas a los extremos de fsforos de distinto largo. Silas cuatro pequeas esferas de plasticina tienen igualmasa, qu sistema tiene mayor inercia rotacional? Porqu? De qu depende esto?Figura 2.8. Las esferas de plasticina tienen la misma masa. Se usandos fsforos de distinto tamao para confeccionar los sistemas con dosmasas. Los posibles ejes de rotacin de cada sistema son innitos.Figura 2.9. Las masas en este meca-nismo pueden ser modeladas comopartculas que giran alrededor deun eje comn. En cul de las dossituaciones el momento de inercia delsistema compuesto por las dos masases mayor? Por qu?Seccin 2: Momento angular y su conservacinFISICA_2010_OK.indd 41 21/7/10 17:10:02 42. Fsica 3 Ao MedioMecnica42OBJETOS EXTENSOSSe trata de objetos slidos y rgidos que giran sobre un eje queatraviesa sus contornos. Son objetos rgidos aquellos que no ex-perimentan deformaciones.Ejemplos de objetos extensos en rotacin hay muchos a nuestroalrededor. El caso ms directo, aunque tal vez no el ms evidente,es la propia rotacin de la Tierra alrededor del eje imaginario quela atraviesa de polo a polo. Si lanzas un martillo al aire o hacesgirar un trompo, vers tambin cuerpos rgidos en rotacin.Para calcular el momento de inercia de un objeto rgido no esposible usar la ecuacin (2.8) directamente, ya que este tipo decuerpo distribuye su masa en toda su extensin de distinta manera,de acuerdo a la geometra que posee.As, por ejemplo, un cilindro slido tiene mayor momento de inerciaque una esfera slida del mismo radio y de igual masa.En general, cada cuerpo geomtrico, regular o irregular, tiene supropia inercia rotacional. La tcnica matemtica para calcular lainercia de objetos slidos y extensos pertenece al rea del clculodiferencial e integral. Para evitar este tipo clculos, tenemos laFigura 2.11, que muestra algunos cuerpos geomtricos comunesy sus respectivos momentos de inercia.Figura 2.10. Un gato es deformable,y por lo tanto, no es un cuerpo rgido.Cuando cae de espalda realiza con-torsiones en el aire modicando lainercia rotacional de su cuerpo hastaalcanzar una posicin cmoda y segurade cada.EjeEjeEjeEjeEjeEjeEje EjeFigura 2.11. Momentos de inercia de algunos cuerpos geomtricosrespecto a diferentes ejes de rotacin.FISICA_2010_OK.indd 42 21/7/10 17:10:16 43. 43Captulo 1: Movimiento CircularActividad de profundizacinQu sucede con el momento angular si hay varioscuerposquerotanjuntos?Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una ruedade bicicleta y una silla que pueda rotar sobre su eje.Segn la disponibilidad de sillas giratorias y ruedas de bicicletaen el curso, renete con algunos compaeros y compaeras (entre4 y 6, idealmente) y formen un equipo de trabajo.a) Reexionen sobre esta pregunta: Qu sucede con el mo-mento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos? Comoequipo, planteen una hiptesis para responder.A continuacin, realicen el siguiente experimento: el estudiantems liviano se sienta en la silla y sostiene la rueda de la bicicletaverticalmente, con ambas manos puestas en el eje de la rueda(imagen 2.3). Dos compaeros(as) pueden sujetar la base de lasilla para que no se traslade, mientras otro estudiante da impulsoa la rueda para que gire. Luego, respondan:b) En qu direccin y sentido est dirigido el momento angularde la rueda? Dibuja en tu cuaderno un esquema del movi-miento, indicando el vector momento angular de la rueda.A continuacin, con la rueda en movimiento, el estudianteque est sentado debe inclinar el eje de rotacin de la rueda,lentamente hasta que quede horizontal.c) Describe en tu cuaderno qu observas.d) En qu direccin y sentido est dirigido el momento an-gular de la rueda? En qu direccin y sentido est dirigidoel momento angular de la silla? Dibuja un esquema de lasituacin.e) Qu ocurre si la rueda se inclina hacia el otro lado? Dibujaun esquema de la situacin.f) Exploren las posibilidades del experimento. Qu ocurre sien vez de hacer girar la rueda, se empieza por hacer girar lasilla?g) Discutan sus respuestas y comprenlas con la hiptesis queplantearon.Para nalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajosegn las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a suscompaeros(as) cules fueron sus hallazgos.Seccin 2: Momento angular y su conservacinImagen 2.3FISICA_2010_OK.indd 43 21/7/10 17:10:37 44. Fsica 3 Ao Medio44MecnicaEvaluacin intermediaIndagacin N6Por qu las manillas de las puertas estn ubicadas enelextremo?Para responder la pregunta planteada en el ttulo de esta actividad, sepropone la siguiente hiptesis:Para abrir las puertas, se necesita menos fuerza cuando esta se aplicams lejos del eje de rotacin.Cmo podemos poner a prueba esta hiptesis?a) Junto a un compaero o una compaera, diseen un procedimientoexperimental que les permita, a travs de un modelo, poner a pruebala hiptesis para evaluar si es una explicacin aceptable o debe serdescartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente,pero con precisin, el procedimiento que sugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factiblede realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso demateriales de fcil adquisicin o construccin y tiempos razonablespara la observacin y el anlisis de sus resultados.b) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indica-ciones que les d su profesor(a).2 m 1,5 mNio A: 30 kg Nio B: 40 kgRecuerda que un modelo es unarepresentacin simplificada delfenmeno que se intenta explicar,que incorpora sus principalescaractersticas y, en especial, lasvariables medibles.PARTE I. Problema de planteamiento1 Observa la siguiente imagen. Ella corresponde aun balancn giratorio.a) Encuentra los momentos de inercia de cadanio y compralos entre s.b) Si el nio B gira con una rapidez tangencialde 4,5 m/s Cul es la rapidez angular delnio A?c) Considerando los valores obtenidos anterior-mente, cul es el mdulo del momento an-gular total? (Sin considerar el travesao)PARTE II. Anlisis2 De qu manera inuye el largo distinto de cadabrazo del balancn en el equilibrio rotacional delos nios de distinta masa?FISICA_2010_OK.indd 44 21/7/10 17:10:56 45. 45Captulo 1: Movimiento CircularTorqueEl torque mecnico () es un concepto fsico muy simple con el quenos encontramos frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo,al abrir una puerta, usar las pinzas, cortar con una tijera o usarun alicate, al mover los pedales de la bicicleta, y en cualquiermovimiento de nuestros brazos, ya que nuestro propio sistemalocomotor hace uso de variadas aplicaciones de torque.El concepto de torque se compone de las tres magnitudes que semuestran en la Figura 2.12: la fuerza aplicada ( F), el radio vector( r) y el ngulo entre estos vectores ( ).Figura 2.13. Las aplicaciones deltorque en la vida cotidiana son muyfrecuentes.rLnea de accinFigura 2.12. La fuerza Faplica un torque sobre la llave inglesa y provocala rotacin que permite soltar la tuerca. Solo la componente perpendicularal radio (F F seny= ) hace que el sistema gire, la componente paralelano contribuye al torque.Cuando se ejerce fuerza sobre un cuerpo rgido que puede giraralrededor de un cierto eje gracias a un pivote o punto de rotacin,y siempre que la lnea de accin de la fuerza no pase por el pivote,entonces el cuerpo tiende a girar alrededor de ese eje. El torque es unamedida de la capacidad de una fuerza para provocar esta rotacin.Si la fuerza y el radio vector son perpendiculares entre s ( = 90),entonces se aplica un torque mximo. Este es el caso cuando seabre una puerta aplicando una fuerza perpendicular al plano de lapuerta.Adems, este ejemplo es til para comprender la inuenciadel radio vector en el torque. A qu distancia del eje de rotacinde la puerta conviene aplicar la fuerza para realizar el menoresfuerzo al abrirla?Seccin 2: Momento angular y su conservacinFxFyF es la letra griega tau.El ngulo entre ry Fse mide desdela direccin de rhasta F, en sentidopositivo segn la convencin matemtica:los ngulos son positivos al medirlos ensentido anti-horario.rFISICA_2010_OK.indd 45 21/7/10 17:11:13 46. Fsica 3 Ao MedioMecnica46De acuerdo a nuestra experiencia, mientras ms lejos del eje derotacin se aplica la fuerza, menor es el esfuerzo que implica abriruna puerta. Por eso, en general, las manillas se colocan en el ladoopuesto a las bisagras, para que el mdulo del radio vector seamximo y, de esta manera, aumentar el torque.El mdulo del torque de una fuerza (F) se puede determinar porla siguiente relacin: = r F sen (2.11)De acuerdo a la ecuacin (2.11) el torque se expresa en la uni-dad [N m].TORQUEY MOMENTO ANGULARComo aprendiste en segundo medio, la fuerza neta que acta sobre uncuerpo es equivalente al cambio de momento lineal en un intervalode tiempo. En trminos de los mdulos de los vectores involucrados,podemos expresar esta relacin del siguiente modo:Fpt=(2.12)Si reemplazamos esta denicin en la ecuacin (2.11), tenemos: = = ( )= rptrp ptr pf ifsensensen rr pti sen (2.13)Pero, al considerar la ecuacin 2.5, el mdulo del momento angularse puede expresar como:L r p= sen (2.14)De modo que las ecuaciones (2.13) indican que: ==L LtLtf i(2.15)Es decir, el torque produce un cambio o variacin en el momentoangular del sistema mecnico, sea este un conjunto de partculaso un objeto rgido.Es necesario considerar que las cantidadesinvolucradas en la denicin del torquetienen naturaleza vectorial. Es decir,en la ecuacin (2.11) hemos usado losmdulos del radio vector ( r) y de lafuerza ( F), de modo que:r rF F==De acuerdo esto, la ecuacin (2.11) expre-sa el mdulo del torque, cuya expresinvectorial corresponde a un producto dela sig