guia de estudio de f1v2 2014-15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

2014-2015

José Leandro de María González

GRADO EN MATEMÁTICAS

GRADO GUÍA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA

2ª PARTE | FUNCIONES DE UNA VARIABLE II

TÍTULO DE LA ASIGNATURA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2

GUIA DE ESTUDIO DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL II

PLAN DE TRABAJO Y ORIENTACIONES PARA SU DESARROLLO

Trabajaremos sobre las Unidades Didácticas de Análisis Matemático I de la UNED, y los

apartados harán referencia a dicho texto.

En la bibliografía aconsejada se encuentran libros o direcciones web donde el alumno encontrará

material complementario para preparar la asignatura.

En este cuatrimestre que consta de 15 semanas aproximadamente se estudiarán:

Unidad Didáctica 3.

Integral de Riemann (10 horas, Teóricos T-5h, Prácticos P-5h)

Teoremas Fundamentales del Cálculo (15 horas, T-6h, P-9h)

Funciones Logarítmicas y exponenciales (8 horas, T-3h, P-5h)

Funciones Trigonométricas (8 horas, T-4h, P-4h)

Cálculo de Primitivas (15 horas, T-5h, P-10h)

Cálculo de Primitivas (continuación) (15 horas, T-5h,P-10h)


Integrales Impropias (15 horas, T-5h, P-10h)

Funciones Eulerianas (5 horas, T-2h, P-3h)


Sucesiones de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)

Series de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)

Series de Potencias (15 horas, T-5h, P-10h)

Una semana correspondería a 10 horas de estudio, con la estimación que hemos hecho el

estudiante puede calcular cómo distribuirlo por semanas. Pero es bastante subjetivo, porque

puede haber partes con las que esté más familiarizado y otras que le resulten más novedosas

o difíciles.

Sobre el cálculo aproximado de 15 semanas el estudio debería de completar 150 horas de trabajo

que corresponden a los 6 créditos (ECTS) y a las 25 horas/crédito asignadas. No obstante

aconsejamos que las primeras semanas sean un poco más intensas para dejar algún tiempo para

repaso. Por tanto la programación que hacemos debería de incluir una distribución del tiempo para

que en los periodos de estudio pudiesen acumularse los últimos días de repaso.

SEMANA TEMA DEL TEXTO BASE

ACTIVIDADES OTRAS ACTIVIDADES

|Nombre y Apellidos


PRIMERA INTEGRAL DE

RIEMANN

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.

BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.

SEGUNDA TEOREMAS

FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


TERCERA TEOREMAS

FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO Y

FUNCIONES

LOGARÍTMICAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


CUARTA FUNCIONES

EXPONENCIALES

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


QUINTA FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


SEXTA,SÉPTIMA

Y OCTAVA

CÁLCULO DE

PRIMITIVAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


NOVENA INTEGRALES

IMPROPIAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO



DEL TEXTO BASE. VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.

DÉCIMA INTEGRALES

IMPROPIAS

FUNCIONES

EULERIANAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


UNDÉCIMA SUCESIONES DE FUNCIONES. SERIES DE FUNCIONES

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


DUODÉCIMA SERIES DE

FUNCIONES

SERIES DE

POTENCIAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


TRIGÉSIMA SERIES DE

POTENCIAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


DECIMOCUARTA SUCESIONES DE

FUNCIONES

SERIES DE

FUNCIONES

SERIES DE

POTENCIAS

PARTICIPACIÓN EN

LAS TUTORÍAS.

EJERCICIOS DE

AUTOEVALUACIÓN

DEL TEXTO BASE.


DECIMOQUINTA REPASO REPASO DE LOS

PUNTOS

FUNDAMENTALES.


|Nombre y Apellidos


Un consejo: Cuando se sugiera un ejercicio para afianzar la teoría se está proponiendo que el

estudiante lea el enunciado y lo intente hacer por sus propios medios sin mirar la solución

directamente pues el aprendizaje no sólo viene del estudio si no de la reflexión sobre los problemas

y de la búsqueda de respuestas. Varios intentos de resolución, aún fallidos, son más importantes

que una solución correcta leída y aprendida de memoria. Este método de reflexión producirá una

interiorización de los conocimientos que no puede surgir de un estudio lineal del texto. El dicho

hindú “Un gramo de práctica vale más que una tonelada de teoría” es perfectamente aplicable al

estudio del análisis matemático. El estudiante no debe de conformarse con unos conocimientos

teóricos si no que debe apropiarse de lo que estudia sabiendo que el bagaje que adquiera va a ser

fundamental en el estudio de su carrera.

2. ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LA ASIGNATURA

Pasemos, pues, a pormenorizar tema por tema el esquema sugerido para el estudio.


Integral de Riemann (10 horas, Teóricos T-5h, Prácticos P-5h)

Este tema es la construcción de la integral de Riemann y conlleva la introducción de los

conceptos de partición de un intervalo y de las sumas de Darboux. A través de éstos se

define lo que es una integral en el apartado 1.2.1. El estudiante puede hacerse una idea de

que geométricamente la integral representa el área por debajo de la gráfica de la función

positiva entre los límites a y b y el eje OX. Si la función tuviese valores positivos y

negativos, la integral sería el área de la parte que está por encima menos el área de la parte

que está por debajo. En el curso virtual se harán unas notas para el estudio de la integral

como área una vez que se hayan estudiado los métodos de cálculo de primitivas.

Desatacamos la proposición 1.2.2. de carácter eminentemente teórico y las proposiciones

de 1.2.3. que demuestran que las funciones monótonas y continuas son integrables. En 1.3.

se demuestran las propiedades de la integral y de las funciones integrables.

Independientemente no nos olvidemos que en internet pueden encontrarse muchas ideas

gráficas, algunas se referenciarán en el curso virtual.

La parte práctica de este tema incluye ejercicios de autocomprobación con ejemplos como

el 3 y 4 que son históricamente importantes. Los ejercicios 8 y 9 son dos hechos

matemáticos de enorme trascendencia en los posteriores estudios del Análisis Matemático.

A estos ejercicios se dedicarán por lo menos 5 horas de trabajo porque su importancia es

mayor que algunas de las proposiciones teóricas.

Independientemente no nos olvidemos que en internet pueden encontrarse muchas ideas

gráficas, algunas se referenciarán en el curso virtual.

Teoremas Fundamentales del Cálculo (15 horas, T-6h, P-9h)

Este es el tema más importante de la asignatura.

Se desarrollan los descubrimientos y propiedades que tiene la integral de Riemann y bastaría con

que alguno no se cumpliese para que la herramienta intergral no tuviese la potencia e importancia

que tiene. Pero no es difícil y sus cálculos son sencillos, por tanto la parte teórica que se sugiere

debe sobre todo dedicarse a la reflexión sobre los enunciados, sobre sus consecuencias y

posibilidades.



Los teoremas fundamentales son:

1. Teorema del valor medio (2.1.1.) y teorema del valor medio ponderado

2. Primer Teorema Fundamental del Cálculo (2.2.2.)

3. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo o Regla de Barrow (2.2.3.)

4. Teorema del cambio de Variable (2.3.)

Los teoremas del valor medio son unos teoremas de existencia, que siempre son importantes en

Matemáticas. Obsérvese que se aplican a las funciones continuas.

El teorema fundamental del cálculo viene básicamente a asegurar que las funciones que vienen

definidas mediante la integral indefinida de una función integrable f(x) son continuas, y que

cuando las funciones del integrando son continuas entonces son derivables cuya derivada es

precisamente función es f(x). Por tanto este teorema asegura que las operaciones derivación e

integración son “inversas”. Esta idea es básica en todo el Análisis Matemático y fue la que inspiró

el desarrollo del cálculo diferencial e integral relacionando el concepto de tangente (derivada) con

el de área (integral). Desde Leibnitz hasta Cauchy se esatuvo estudiando esta relación y la intuición

de que era cierta motivó el desarrollo del cálculo en los siglos XVII y XVIII. Podría ser interesante

que el estudiante se diese una vuelta por la web buscando datos históricos de dicha relación.

La Regla de Barrow, que en las U.D., denomina Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, es el

instrumento que hace posible el cálculo de integrales. Aunque aún no hemos realizado el estudio

de las primitivas el alumno tiene suficientes conocimientos y práctica para utilizarlo de los cursos

anteriores, por tanto no hay nada nuevo, pero sí es imprescindible que observe en toda su

generalidad el teorema. Su utilidad es máxima en el Análisis, las Ecuaciones Diferenciales,

Geometría Diferencial, Estadística, etc… Sin la Regla de Barrow no existiría el Análisis

Matemático, pues los cálculos sólo serían aproximados y muchas relaciones entre funciones no

podrían ser establecidas. El cálculo de una integral se reduce por tanto a la búsqueda de una

primitiva, tema que abordaremos más adelante.

El Cambio de variable es una técnica utilizada para trasformar integrales en otras más sencillas y

que así su cálculo sea posible.

Finaliza el tema con un método que permite hallar límites de sumas mediante la integral, ya que

ésta es un ínfimo de sumas Darboux, (véase la definición de integral), en ciertas condiciones se

puede establecer un método para hallar ciertas sumas calculando la integral. Si estudiamos con

detenimiento el apartado 2.4. veremos la técnica. El ejemplo de dicho aprtado es esclarecedor.

La parte práctica de los ejercicios de autoevaluación del texto base es fundamental y no sólo deben

hacerse sino a partir de ellos debe el alumno modificarlos y hacer otros similares. En el Curso

virtual aparecerán unos ejercicios corregidos y propuestos para que se realicen más prácticas. Todo

el tiempo que se dedique a este tema es tiempo ganado en fundamentar el conocimiento global de

la asignatura que será absolutamente útil en otras muchas del grado.

Funciones Logarítmicas y exponenciales (8 horas, T-3h, P-5h)

Este tema y el siguiente se dedican a fundamentar las funciones elementales que el alumno conoce

utilizando el teorema fundamental del cálculo. Aunque en diversos textos hay otras

aproximaciones a la materia en el texto base se elige comenzar con la función logarítmica

neperiana y a partir de ella ir obteniendo sucesivamente las exponenciales, las otras logarítmicas,

las potenciales y las funciones hiperbólicas. Aunque este tema no tiene grandes complicaciones

para un alumno con buena base sí debe de ser leído con interés pues en él se formalizan cuestiones

|Nombre y Apellidos


que en muchos casos se han dado por sabidas durante los años preuniversitarios y que deben en

algún momento ser formalizadas para no dejar una laguna de fundamentación.

La definición de función potencia (apartado 3.4.) es especialmente importante pues nuestra

experiencia docente demuestra que no queda clara en las ideas del alumno incluso en los cursos

superiores debido a la tendencia a considerar que siempre los exponentes son números naturales lo

que obviamente no es cierto. Dedique un tiempo a asegurarse que ha comprendido bien la

definición.

No tan conocidas son las funciones hiperbólicas que tienen una gran aplicación en las ecuaciones

diferenciales y en algunos tipos de geometrías por lo que deben ser estudiadas con detalle. Con

algún programa de cálculo simbólico como Maple, Derive…convendría que se hiciesen

representaciones gráficas de las funciones hiperbólicas y composiciones hasta familiarizarse con

ellas. Afortunadamente tenemos con cualquiera de estos programas la posibilidad de experimentar

con las funciones como en un laboratorio, aunque es aconsejable no sólo reducirlo a un pasivo ver

imágenes sino con una actitud más amplia y comprobar los resultados que los programas nos

ofrecen de forma automática.

Comentario a propósito: En los noventa empezaron a extenderse programas gráficos matemáticos

que permitían representar algunos conceptos matemáticos. La evolución como todo lo relacionado

con los ordenadores ha sido espectacular pudiendo visualizar objetos matemáticos y aproximarnos

a ellos de una forma heurística. Con lo cual las Matemáticas están más cerca que nunca de ser una

ciencia experimental. Esto exige en el usuario una actitud crítica y activa debiendo seguir los pasos

de dichas ciencias es decir, hacer hipótesis a partir de los hechos vistos, formular una tesis y

probarla. Esta es la actitud con los que las nuevas tecnologías pueden aportar a los conocimientos

matemáticos. Como anécdota, en los trabajos completos de Cauchy hay muchas páginas dedicadas

a hacer cálculos a mano acercándose a lo que posteriormente viene a conocerse como sucesión de

Cauchy (que el alumno ha estudiado en la asignatura de Funciones de una variable real I. Debemos

de hacer algo semejante lo que pasa es que el ordenador nos permite hacer los cálculos más

deprisa.

El apartado 3.6. muestra cómo aplicar las propiedades de las funciones al cálculo de límites.

Aunque como dijimos ya las hemos ido usando sin esperar a formalizarlas.

En la parte práctica los ejercicios de autoevaluación muestran cómo con las definiciones rigurosas

es posible hallar desigualdades nada obvias. Los ejercicios son prácticos y complicados por tanto

llévese su tiempo en realizarlos asegurándose de entender bien el contenido.

Funciones Trigonométricas (8 horas, T-4h, P-4h)

La idea de este tema es el mismo del anterior pero ahora con funciones más familiares, las

funciones trigonométricas. Al estudiar este tema se debe de tener en cuenta que no es si no una

formalización para fundamentar los conceptos de las funciones senos y cosenos, pero no vaya a

llegarse a la exageración de pensar que uno no conocía las funciones trigonométricas. En

Matemáticas hay varios niveles de conocimientos intuición, manejo, formalización, ampliación,

todos son necesarios pero evidentemente si hubiese que esperar a manejar la función seno hasta el

nivel que en este tema se expone entonces la ciencia no habría avanzado nada. Tómese pues como

un ejemplo de análisis y formalización pero no olvide nada de lo que ya sabe que es lo

fundamental.

Además, proposiciones de propiedades de las funciones seno y coseno (como la proposición 2.2.3.)

ya han sido probadas en cursos inferiores con técnicas geométricas, que si bien se sostenían en

intuiciones, eran más claras que las demostraciones puramente analíticas como las que se presentan

a lo largo del tema.

La parte de los ejercicios de autoevaluación que presenta el tema tienen interés porque se muestran

nuevos límites de funciones con funciones trigonométricas y algunas propiedades que muestran



cómo van tomando forma el cuerpo de estudio de las funciones de una variable real. (p.e. ejercicio

10).

Cálculo de Primitivas (15 horas, T-5h, P-10h)

Cálculo de Primitivas (continuación) (15 horas, T-5h,P-10h)

Si se observa que las horas asignadas a estos dos temas es un cuarto del curso y que además son

eminentemente prácticas se deducirá que estamos ante un bloque se materia a la cual le asignamos

una importancia absoluta.

El cálculo de primitivas es una de las habilidades imprescindibles en un matemático y en cualquier

científico que tenga que manejar funciones (que son todos).

El horario teórico aconsejado (10 horas) va dirigido a estudiar los métodos de integración y sus

demostraciones. Esto es necesario para ver la generalidad que nos dan y donde se pueden aplicar.

El horario práctico (el mayor de todo el curso) se aconseja para dominar los métodos. El trabajo

que se sugiere al estudiante es realizar los ejercicios de autoevaluación y los ejemplos del texto

base. Pero además es imprescindible que en los textos de problemas que pueda encontrar practique

tantas cuantas integrales pueda hacer. En la bibliografía hay un libro sobre integrales (Pastor

Varela) que nos parece especialmente útil porque es una presentación sistemática que ayuda mucho

a aprender. Pero hay muchísimos más. Una ojeada a una biblioteca que tenga libros matemáticos y

técnicos le descubrirá la cantidad de textos que contienen este tema. Hay libros muy sofisticados

con integrales que exigen ideas difíciles o extravagantes en algún caso. No es la intención de este

curso que aprendan métodos que sirven para pocas y en algún caso una sola integral, pero sí que

dentro de lo expuesto en el libro base sean capaces de manejar el cálculo de primitivas con eficacia

y rigor. La colección de Schaum también tiene varios libros sobre cálculo, uno de ellos

específicamente de cálculo diferencial e integral, que empiezan desde sencillo y van subiendo el

nivel. La ventaja de estos libros es que tienen utilidad en bastantes asignaturas de la carrera.

20 horas de prácticas de cálculo de primitivas son muchas y dan la importancia que queremos

resaltar en el curso porque esta técnica es imprescindible en el conocimiento matemático y en los

problemas técnicos y aplicados. En este caso en el curso virtual habrá una colección de ejercicios

algunos resueltos y otros propuestos, para que se pueda practicar.

No se conforme y busque en los libros, en la web (en el curso virtual se pondrán algunas

direcciones actualizadas). Hay multitud de libros y documentos especializados en cálculo de

primitivas y todo lo que sea practicar le vendrá bien.


Integrales Impropias (15 horas, T-5h, P-10h)

Uno de los inconvenientes de la integral de Riemann es que se aplica a funciones acotadas en

intervalos cerrados y acotados (intervalos compactos), lo que a veces restringe su utilidad para las

aplicaciones que trabajan con funciones no acotadas en intervalos no acotados o no cerrados.

Conviene por tanto tener un método que basándose en todo lo anteriormente expuesto poder

trabajar en dichos casos. Por esto se introducen las integrales impropias.

Hay un enorme paralelismo entre la teoría de las integrales impropias y la teoría de las series

numéricas, por lo que sería interesante repasar esta última teoría antes de empezar el estudio de las

integrales impropias.

El tema desarrolla las integrales de primera especie que son aquellas en las que el intervalo de

integración es el cerrado [a, +inf) ó (-inf,a]. La definición es simple y son imprescindibles los

ejemplos del apartado 1.1. Los criterios de comparación y del cociente merecen un estudio que se

relacione con los de las series numéricas.

Aparece en el apartado 1.3. un concepto de convergencia absoluta análoga al de las series. Hay una

observación en el apartado importantísima que debe de ser tenida en cuenta relacionada con la

|Nombre y Apellidos


función sen(x)/x. Esta función marca una diferencia entre la integral de Riemann y la integral de

Lebesgue que es muy estudiada en la Matemática. (Cuando lleguen a cuarto curso se lo

recordarán).

Se finaliza el tema con una exposición paralela de las integrales de segunda especie.

En la parte práctica, el cálculo de primitivas tendrá mucha importancia junto con el concepto de

límite. Los ejemplos intercalados en el texto base son muy instructivos y los ejercicios de

autoevaluación. Los mismos consejos respecto a bibliografía que dimos en el cálculo de primitivas

se aplican aquí y los textos aconsejados también.

Funciones Eulerianas (5 horas, T-2h, P-3h)

Las funciones eulerianas Gamma y Beta son un tipo de funciones que vienen definidas a través de

integrales impropias y que tienen como característica facilitar los cálculos de otras integrales que

se convierten en ellas mediante cambios de variable. La función Gamma es una extensión del

factorial de un número natural n!. La función tiene una expresión en forma trigonométrica con

gran utilidad para el cálculo de volúmenes entre otras materias, y que se estudian en las Funciones

de varias variables II. Hay que poner especial atención al apartado 2.3. con las dos propiedades que

se exponen.


Sucesiones de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)

Este tema exige que se repasen los temas del primer cuatrimestre de sucesiones de números reales

pues muchos conceptos se repiten y en nuestro caso son sucesiones de funciones, o sea en lugar de

una colección de números reales ( ) son sucesiones de funciones ( ). Por tanto, puede haber

distintos tipos de convergencia la puntual y la uniforme que se definen en 1.1. (ver los ejemplos de

dicho apartado pues se exponen una sucesión de funciones con convergencia uniforme, que

implica la puntual, y una sucesión con convergencia puntual no uniforme.

En el apartado 1.2. se relaciona la convergencia uniforme de una sucesión de funciones continuas

que implica necesariamente la continuidad de la función límite. Lo inverso no es cierto, es decir, en

la convergencia puntual no implica que si la sucesión está formada por funciones continuas el

límite tenga que ser una función continua.

En este apartado aparece el Teorema de Dini que en condiciones muy restrictivas asegura que la

convergencia puntual de una sucesión de funciones continuas es una convergencia uniforme. Debe

de dedicarse una especial atención a este importante teorema, pues de los pocos teoremas con un

resultado tan sorprendente.

El apartado 1.3. relaciona la convergencia uniforme y la integrabilidad, mientras que 1.4. lo hace

entre la convergencia uniforme y la derivabilidad, en este caso hay una proposición más

complicada que permite mantener la derivabilidad, no deje de estudiarla.

Dedique las horas prácticas a hacerlos ejemplos que están intercalados en el texto y los ejercicios

de autoevaluación y a contrastar los resultados con la teoría.

Este tema es nuevo con respecto a cursos inferiores preuniversitarios y por tanto exige un especial

cuidado como los dos siguientes.

Series de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)

Es imprescindible repasar los temas concernientes a series numéricas del cuatrimestre anterior.

El tema comienza con la definición de serie de funciones, y con dos criterios de Cauchy para la

convergencia puntual y uniforme. También con las propiedades de las series de funciones respecto

de la continuidad, integrabilidad y derivabilidad, como consecuencias inmediatas de las

propiedades de las sucesiones de funciones de tema anterior.



A continuación, en los apartados 2.2. y 2.3. Se dan criterios de convergencia (de Weierstrass, Abel

y Dirichlet ) para la convergencia absoluta y uniforme de series de funciones.

Otra vez avisamos que el tema es nuevo para la mayoría de los alumnos y parte de su trabajo

práctico debe de consistir en hacer los ejercicios y ejemplos del texto básico con cuidado y

atención. En los libros aconsejados en la bibliografía encontrarán más ejemplos que se deberán de

elaborar. En el curso virtual aparecerán ejercicios resueltos y propuestos

Series de Potencias (15 horas, T-5h, P-10h)

Son un caso especial e importantísimo de las series de funciones. Aparece el concepto de radio y

dominio de convergencia y los desarrollos en series de potencias de ciertas funciones.

Durante mucho tiempo se consideró que las funciones tenían un desarrollo en series de potencias,

pero se probó que dicha suposición era falsa. No obstante, la mayor parte de las funciones

importante sí lo tienen. Las series de potencias son muy útiles para estudiar el comportamiento de

ciertas funciones. Con ellas se pueden probar fórmulas algunas de las cuales aparecen en los

ejercicios de autoevaluación. De nuevo con las 10 horas prácticas de este tema, y de los dos

anteriores, se espera que el estudiante no se conforme con el texto base sino que trabaje en los

textos aconsejados o en otros a los que tenga acceso, así como que siga indicaciones del curso

virtual.

3. ORIENTACIONES PARA LA REALIZACION DEL PLAN DE ACTIVIDADES

La evaluación consistirá en

1. Prueba Presencial en el centro de la UNED en la fecha y hora fijada por la Universidad. Se

puntuará sobre 10 puntos(NotaPP) y consistirá en tres o cuatro cuestiones de contenido teórico o

práctico con un nivel análogo a los de los ejercicios de autoevaluación y los resultados teóricos del

texto base. Las cuestiones podrán tener subapartados.

2. Un test de 5 cuestiones vía curso virtual que se realizará un día concreto. Se anunciará en el

curso virtual a principios de curso. Se calificará sobre 10 puntos (Notatest).

La Nota Final (Notafinal) será:

Notafinal = 0.9* NotaPP + 0.1*NotaTest . Si el alumno se ha presentado al test.

Notafinal = NotaPP . Si el alumno no se ha presentado al test.

4. Glosario de términos

La Integral de Riemann 273

Particiones de un intervalo. Sumas inferiores y superiores. …………... 277

Funciones integrables………………………………………………….. 281

Propiedades de las funciones integrables y de la integral. ……………. 286

Ejercicios. …………….……………………………………………….. 295

Teoremas Fundamentales del cálculo 305

Teoremas del valor medio. …………………………………………… 309

Teoremas fundamentales del cálculo. ………………………………… 311

Cambio de variable. …………………………………………………… 315

|Nombre y Apellidos


La integral como límite de sumas. ……………………………………. 316

Ejercicios. ……………………………………………………………. 321

Funciones logarítmicas y exponenciales 331

La función logaritmo neperiano. ………………………………………. 335

La función exponencial natural. ………………………………………… 338

Otras funciones exponenciales y logarítmicas. ………………………… 342

Función potencia. ……………………………………………………… 345

Funciones hiperbólicas. ……………………………………………….. 346

Cálculo de límites. …………………………………………………… . 350

Ejercicios. ……………………………………………………………. 355

Funciones trigonométricas 367

Funciones periódicas. ………………………………………………….. 371

El número π y algunas funciones auxiliares. ………………………….. 373

Las funciones coseno y seno. ……………………………………… ... 377

Las funciones tangente y cotangente………………………………….. 384

Las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente. ……………….. 386

Cálculo de primitivas (I) 397

Primitivas de una función en un intervalo. ……………………………. 401

Integración por partes. ………………………………………………… 403

Integración por cambio de variable. ………………………………….. 406

Primitivas de las funciones racionales. ……………………………….. 408

Ejercicios. ……………………………………………………………. 417

Cálculo de primitivas (II) 425

Primitivas de algunas funciones trigonométricas. ……………………. 429

Integrales de la forma . ………………………………… 432 Primitivas de algunas funciones irracionales. ………………………... 433

Ejercicios. …………………………………………………………… 441

SEGUNDO VOLUMEN

Integrales impropias

Integrales impropias de primera especie……………………….……… 5

Criterios de comparación. ……………………………………………… 9

Convergencia absoluta. ……………………………………………….. 12

Integrales impropias de segunda especie. …………………………….. 14

Ejercicios. ……………..………………………………………………… 19



Las funciones eulerianas

La función gamma de Euler. ………………………………………..….. 29

La función beta de Euler. ………………………………………………. 30

Algunas fórmulas notables. ……………………………………………. 31

Ejercicios. …..…………………………………………………………... 33

Límites superior e inferior de una sucesión de números reales

Subsucesiones. ………..………………………………………………… 39

Puntos de aglomeración. ……………………….……………………….. 41

Límites superior e inferior. …………………………………………….. 42

Ejercicios. …………………………………………………..…………… 47

Series de números reales (I)

Series de números reales. …………….…………………………………..57

Series alternadas. …………………….………………………………….. 59

Series de términos no negativos…………………………………………. 60

Ejercicios……………………………………………………….………... 67

Series de números reales (II)

Convergencia absoluta y condicional .…………………………… …………… 79

Criterios de Dirichlet y de Abel. ……...………………………………………. 80

Reordenación de series. ………………………………………………………… 82

Producto de Cauchy de dos series. ……………………………………………… 85

Ejercicios. ….……………………………………………………………………. 89

Unidad Didáctica V

97

Sucesiones de funciones Convergencia uniforme……...………………………………………………….101

Convergencia uniforme y continuidad. ……………………………………….. 105

Convergencia uniforme e integrabilidad ……………………… ……………... 106

Convergencia uniforme y derivabilidad. ………….………………………….. 109

Ejercicios. ………………………………..…………………………………… 115

Series de funciones Series de funciones. ……..…………………………………………………….. 127

Criterio de Weierstrass. ………………..…………………………………….. 129

Criterios de Dirichlet y de Abel. ………………..……………………………. 131

Ejercicios. …………………………………………………………………….. 133

|Nombre y Apellidos


Series de potencias

Series de potencias. …..……………………………………………………….. 143

Convergencia uniforme, derivación e integración de una serie de potencias. … 145

El teorema del límite de Abel. …….…………………………………………. 149

Desarrollos en serie de potencias. ..…………………………………………… 150

Agradezco a la profesora Maria Jose Muñoz Bouzo la generosa realización de este índice y su

préstamo.

guia de estudio de f1v2 2014-15

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