MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 1MODULO DE ALGEBRAGrado 8DocenteHENRY PIERCE CUEROMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 2Las matemticas y el perfil del estudianteDesarrollar los conocimientos necesarios para proponer y utilizar clculos yprocedimientos en diferentes situaciones, as como la capacidad para solucionarproblemas que impliquen estos conocimientos.Desarrollar las capacidades para el razonamiento lgico, mediante el dominio de lossistemas numricos, geomtricos, mtricos, lgicos,analticos, de conjuntos, deoperaciones y de relaciones, as como su utilizacin en la interpretacin y solucin deproblemas de aplicabilidad cientifica o de la vida cotidiana.Construir sus propios argumentos acerca de hechos matemticos ycompartirlos consus compaeros en un ambiente de respeto y tolerancia.Reconocer regularidades y usarlas en la modelacin de hechos matemticosLas matemticasy el mbito familiar del estudianteEs importante que los padres y dems personas cercanas, estn en constanteseguimiento deleducando, en los procesos de aprendizaje que se siguen en el rea dematemticas.Por eso se hace necesaria una constante comunicacinaun mas si el estudiantepresenta dificultades en el aprendizaje de las matemticas, para de esta manera buscarsoluciones a tiempo y proponer alternativas que beneficien al educando.Es deber de los padre de familia apoyar el proceso que se hace con el educandoprestndole apoyo cuando sea necesario y solicitar la orientacin del docente, en lasacciones a tomar.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 3Perfil del docenteEl educador debe guiar al el estudiante al siguiente pensamientoResolver un problema es encontrar un camino, donde no se conoca previamentecamino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma desortear un obstculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de formainmediata, utilizando los medios adecuados. (G. Polya en Krulik y Reys 1980, P. 1)El docente nunca debe ser el protagonista del conocimiento mas bien unconstantemotivador de los procesos matemticos, haciendo uso de recursos con los que cuentaen su ambiente de trabajo y empleando la didctica en lo que le sea posibleJUSTIFICACIN DE CONTENIDOSPOR PERIODOSPeriodo 1Conocerlosdiferentestiposdenmerosconsuspropiedadesylostiposdeoperaciones que se pueden realizar con estos en cualquier contexto de la matemtica.Dadounnmero clasificarlosegnlautilidadydeesamismamanerasaberquecampodeaplicacinquetienen,comoeselcasodelosnmerosracionaleseirracionales Queseutilizanencasitodoslosprocesosmatemticos,enlageometrafsica etc.En la segunda parte del periodo se hace introduccin al lenguaje algebraico el cual nossirveparainterpretarsituacionesdelavidacotidianaaunlenguajematemticoestotiene gran importancia para resolver ecuaciones y para adentrarse al campo del algebraYa que se hace uso de constantes y variablesPeriodo 2MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 4Esta etapa es de gran importancia ya que se empieza a trabajar elalgebray manejar procesos matemticos diferentes de cmo se realizaban hasta elmomento.Ya que se emplean nmeros y letra combinados con todo tipo de operaciones.Lo que se pretende es dar una aplicacin prctica tal como es el clculo geomtricopara hallar permetros reas y volmenesEs tambin importante crear una cultura en dondeLas personas que razonan y piensananalticamente tienden a descubrir patrones, estructuras o regularidades en situacionesreales o en los objetos mismos de las matemticas; esas personas se preguntan si esospatrones son accidentales o si ocurren por una razn que tratan de identificar y deprobar.El desarrollo de las ideas, la exploracin de los fenmenos, la justificacin de losresultados yel uso de conjeturas matemticas ayudan a los estudiantes a ver que lasmatemticas y en especial el algebra tienen sentido.Periodo 3Enesteproceso sehacecontinuacindel algebradondesehaceintroduccin enlosmtodos de factorizacin empleando los casos mas importantes de dichosprocesosAligualqueenlosprocedimientosaplicados anteriormentese pretendeaplicarlafactorizacin alclculogeomtricodeunamaneramscomplejayaquehayquedeterminarmedianteunaexpresinalgebraica,comosepuededescomponerestaensus partes principales para poder de esta manera determinar sus lados y permetroTambintrabajaroperacionesconfraccionesalgebraicasquerequierenenestainstancia Conocimientosde factorizacin locual permite hacer unenlace entretemasya visto para que el proceso sea continuo.Periodo 4MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 5Ya en esta etapa del proceso acadmico disminuye la intensidad delosprocesosalgebraicosmasnoeliminndola,ylosestudiantesseencuentranencapacidaddetenermayorperspectivaencuantoalospatronesquesesiguenenlasmatemticas.Se retoman nuevamente las ecuaciones pero en forma fraccionaria combinndolasconfactorizacin y operaciones algebraicas, radicando su importancia en la interpretacin yaplicacin de los problemas cotidianosSehacetambinlaaplicacindelasrelacionesy funcionesprincipalmentela funcinlinealqueesunadelasmsimportantes,yaquemedianteellapodemosrepresentarrelaciones con proporcionalidad directaYparaconcluirsehaceusodelaestadsticadescriptivacuyoprincipalpropsitoesagrupar y clasificar datos para su posterior estudioINDICE DE CONTENIDOSGeneralidadesPeriodo 1Unidad 1Los nmeros realesExpresiones peridicas y no peridicas.Fraccin generatrizNmeros irracionales.Construccin de algunos nmeros irracionales.Ubicacin de nmeros irracionales en la recta.Relacin de igualdad con nmeros reales.Propiedad de los nmeros realesOperaciones con nmeros realesPotenciacin de nmeros reales.Radicacin de nmeros realesUnidad 2EcuacionesMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 6Lenguaje algebraicoSolucin de ecuacionesProblemas con ecuaciones.Periodo2Unidad 3Expresiones algebraicasExpresiones algebraicas.Evaluacin de expresiones algebraicas (valor numrico)Grado relativo y absolutoClasificacin de expresiones algebraicas (monomios, binomios, trinomios, polinomios)Unidad 4Operaciones con polinomiosAdicin y sustraccin de polinomios.Multiplicacin de polinomios.Productos notables.Divisin de polinomios.Cocientes notablesPeriodo 3Unidad 5FactorizacinFactor comn.Factorizacin por agrupacin.Factorizacin de trinomios cuadrados perfectos.Factorizacin de otros trinomios.Factorizacin de diferencia de cuadrados.Factorizacin de suma y diferencia de cubos perfectosFactorizacin combinando casos.Divisin sinttica.Unidad 6Fracciones algebraicas.Simplificaron de fraccionesMultiplicacin y divisin de fracciones algebraicas.Adicin y sustraccin de fracciones algebraicas.Ecuaciones y problemas con fracciones algebraicas.Periodo 4MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 7Unidad 7FuncinFunciones.Funcin lineal. Y afnOtras funciones..Unidad 8TringulosPropiedades de los tringulos.Lneas notables de un trianguloUnidad 9EstadsticaMedidas de tendencia central.Significado de las medidas de tendencia Central.Tcnicas de conteo.Indicadores y definicionesPeriodo1Conjetura a partir de varios ejemplos, para luego usarlos en la resolucin de ejercicios.Diferencia las representaciones de los nmeros para determinar cules son racionalesy cules son irracionales.Utiliza el proceso para hallar aproximaciones de races, indica el valor para unaadicin o sustraccin de un nmero irracional, posteriormente lo construye y localizaen la recta numrica.Comprende los algoritmos de adicin, sustraccin, multiplicacin, potenciacin,radicacin y logaritmacin de los nmeros reales.Utiliza un lenguaje algebraico para representar situaciones de la vida comnEncuentra el conjunto solucin de ecuaciones de primer grado con una incgnita.Trabaja con gran entusiasmo para demostrarse a s mismo que se pueden lograngrandes cosas.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 8Periodo2Clasifica las expresiones algebraicas e identifica el grado de un polinomio.Realiza operaciones de adicin y sustraccin de polinomios utilizando suspropiedades.Maneja adecuadamente los smbolos de agrupacin de trminos algebraicos.Realiza operaciones de multiplicacin y divisin de polinomios aplicndolos a uncontexto establecido.Identifica las frmulas de cocientes y productos notables de las expresionesalgebraicas.Utiliza el tringulo de Pascal para desarrollar las operaciones correspondientes.Periodo 3Analiza los casos de factorizacin y domina el concepto de cada uno de ellos.Resuelve ejercicios utilizando la factorizacin de expresiones algebraicas verificandoque el procedimiento empleado sea correctoInterpreta problemas propuestos en lenguaje algebraico y los resuelve utilizando losdiferentes casos de factorizacinAplica la factorizacin de forma correcta para resolver operaciones con fraccionesalgebraicas, analizando sus resultadosComprende como se resuelven fracciones algebraicas e identifica las operaciones quese indican y los procesos que se deben realizar.Utiliza los conceptos vistos para resolver problemas en los cuales se involucranfracciones algebraicas.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 9Periodo4Analiza problemas y plantea las ecuaciones algebraicas que de all se deducen.Plantea y resuelve problemas de la vida cotidiana referidos a ecuaciones con unaincgnitaDefine de forma correcta y utilizando un lenguaje apropiado, los conceptosgeomtricos establecidos y realiza el anlisis de los mismos.Traza la lneas notables en todo tipo de tringulos y establece las nuevas propiedadesAnaliza problemas donde haya la existencia de funciones lineales.Identifica las partes de una funcin lineal y grafica con base en esta informacinRecopila datos y plica la medidas de tendencia centralUNIDAD 1LOS NUMEROS REALESLogro:Caracterizar y fundamentar los nmeros Reales a partir de sus operaciones, relaciones,propiedades y su aplicacin en la resolucin y planteamiento de problemas.Competencias: Diferencia los nmeros Racionales de los irracionales a partir de la posibilidad detransformacin de una expresin decimal a fraccionaria. Identifica a un nmero irracional como una expresin decimal correspondiente aun nmero racional conmensurable e inconmensurable, realiza aproximaciones, construcciones, localizndolo en la recta numrica yoperaciones bsicasUNIDAD 2MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 10ECUACIONESLogros:Comprender la nocin y significado de la variable, los diversos estadios de la letra y suimportancia para la generalizacin y modelacin de situaciones problemas.Competencias: Traduce al lenguaje algebraico situaciones de la vida cotidiana Analiza problemas y plantea las ecuaciones para poder resolverlas Crea situaciones donde se apliquen las ecuacionesEvaluacin de diagnostico1)Resuelve las siguientes adiciones usando la propiedad asociativa:a) -3 + 4 + -8b) 6 + -5 + -2 + 9 c) -1 + 2 + -3 + -4 + 5 d) -10 + l5 + 34 + -28 + 602) Resuelve las siguientes sustracciones:a) 9 - 5 = -6 ( -4) = -2 - 7 = 5 (-1) =18 - 30 = -24 ( -19) =-89 -56 = 67 (-33) =234 (-500) = -538 - 700 = -800 ( -208) =600 - 209 = -10 (-8) (-15) = -7 - 3 (-10) - 15 =12 (-8) (-3) - 5 (-3)3) Calcula los siguientes productos:g) 1043521h) 2148758i) 41201231j) 653 = k) -1 4 = l) -2 -2 =4) Resuelve las siguientes divisiones.a) 65:43b) 34:1512c) 42:168MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 115) Resuelve las siguientes fracciones compuestas.+842173+1248710254855421836) Resuelve los siguientes problemas:1. 12,5 m. de alambre cuestan $ 32.025. Cunto cuestan 8 m? Y cul es el precio de 50 cm. del mismoalambre?2.Unapersonacamin10,8km.en3horas36minutos.Cuntocaminaraen443hrssinvariarsutranco?3.Aunavelocidadpromediode75km/hr.unvehculodemora9horasenirde unaciudadaotra.Cuntas horas tardara si aumentara el promedio de su velocidad en 15 km./hr?4.Dieztonelesigualescontienen800litrosdevinoCuntostonelessonnecesariosparaalmacenar36.000 litros de vino?5.Trabajando8horasdiariasdos carpinterosy,dosayudanteshanhechounaobraen14dasCuntosdas hubieran demorado si hubieran trabajado 10horas diarias?Unidad 1NUMEROS REALESNumeros racionalesLa siguiente actividad est encaminada a que los alumnos clasifiquen los nmerosRacionales en tres tipos, segn su representacin decimal.Dividiendo el numerador entre el denominador, calcula el numer decimalCorrespondiente a:Seguidamente, definiremos los tres tipos de nmeros decimales (racionales) que sepueden encontrar. Daremos pues, la nocin de decimal exactoMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 12Decimalfinito_5 / 3= 1.3333333o1.3decimal infinito peridicoTodo nmero racional se puede representar por una expansin decimal noPeridicafinita o por una expansin decimal infinita peridica (o simplemente por una expansindecimal peridica).Esta sesin la dedicaremos a pasar de: fraccin a decimal y de decimal a fraccin,mediante la fraccin generatriz. La idea es que el alumno, aprenda a pasar de unaexpresin a otraConversin de racionalesFraccin generatrizSe darn los procesos para calcular la fraccin generatriz:Todo nmero decimal peridico se puede escribir en forma fraccionaria siguiendo estosPasos:1. Decimal exacto:Convertir1.75x = 1, 75.Se multiplica por 100: 100x = 175,(se multiplica por 10ndonde n es el numero de cifras decimales )se despeja x y se Simplifica:MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 13Convertir 0.5X= 0.510 x = 5X = =Convertir 8.224X = 8.2241000x = 8224X = =2. Numero decimal peridico puro:Convertir2.3636 2. 36x = 2, 3636. .Se multiplica por 100 : 100x = 236, 3636. .se deja el numero x como esta x = 2, 3636Se restan ambas igualdades100x = 236, 3636.x = 2, 3636. ._______________99x = 234Luego se despejaX = se simplifica si es posibleMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 14Convertir0.33 0. 3X = 0.33310X = 3.333X = 0.333___________9x = 3X = =3. Numero decimal peridico mixto:Convertir 1.7555 1.75x = 1, 7555..Se multiplica por 100: 100x = 175. 555 . .tambin se multiplica por 10: 10x = 17. 555 . . ..Se restan ambas igualdades:100x = 175. 55510x = 17. 555_____________90X = 158Se despejaX = = x = 1, 7555 . . .MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 15Convertir 0.1666 0.126x = 0.12666Se multiplica por 1000: 1000x = 126. 666. .tambin se multiplica por 100 : 100x = 12.666 . ..Se restan ambas igualdades:1000x = 126. 666..100x = 12. 666_____________900X = 114Se despeja X = =A practicar.1. Un rectngulo mide 5, 2222 . . . cm de largo y 3, 5555 . . . cm de ancho.Expresa su rea en forma fraccionaria.DATOS HISTORICOS La regla de los signos de la multiplicacin:+ por + da +- por - da +- por + da -+ por - da -apareci por primera vez en un libro publicado en Francia en el siglo XV.Entre la ciencia del lenguaje y la ciencia de los nmeros hay cierta analoga: dos negacionesseguidas equivalen a una afirmacin.Introduccin a los nmeros irracionalesNmeros irracionales.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 16Un nmero irracional es un nmero que no se puede escribir enfraccin - el decimal sigue para siempre sin repetirse.Ejemplo: Pi es un nmero irracional. El valor de Pi es3,1415926535897932384626433832795 (y ms...)Los decimales no siguen ningn patrn, y no se puede escribir ninguna fraccin quetenga el valor Pi.Nmeros como22/7= 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.Historia de los nmeros irracionalesAparentemente Hipaso (un estudiante de Pitgoras) descubri los nmeros irracionalesintentando escribir la raz de 2 en forma de fraccin (se cree que usando geometra).Pero en su lugar demostr que no se puede escribir como fraccin, as que esirracional.Pero Pitgoras no poda aceptar que existieran nmeros irracionales, porque crea quetodos los nmeros tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "nmerosirracionales" de Hipaso no existan, tiraron a Hipaso por la borda y se ahog!Aproximacin y erroresAl terminar la sesin, pediremos a los alumnos que realicen un trabajo tratara sobre losnmeros , , La idea es que descubran por s mismos hasta que punto estosnmeros influyen en la Ciencia, la Naturaleza y elArte.En esta sesin veremos el concepto de numero irracional como un numero que no sePuede expresar como fraccin. Veremos ejemplos de nmeros irracionales como elnmero el numero e, y el numeroureo Estudiaremos lasaproximaciones y los errores.Investigar:Cuales el valorel valor de cada unode estos nmeros ycual es suaplicacionOperemos con estos nmerosMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 17= ? no hay un valor exacto pero si podemos aproximarlo lo masque queramos con tantas cifras como nos convenga.=1,41421 35623(1.4)2= 1,96(1.41)2= 1,9881(1.414)2= 1,999396(1.4142)2= 1,99996164(1.41421)2= 1,9999899241 cada vez se aproxima mas a 2 pero la verdad no loalcanzaraInvestigar en qu consiste la aproximacin por defecto y excesoOtra forma de entender como se presentan los nmeros irracionales es mediante elteorema de pitagorasTeorema de Pitgoras.En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos.Los nmeros irracionales aparecen en las construcciones geomtricas ms sencillas. Por ejemplo,en un cuadrado de lado igual a 1 aplicando el teorema de Pitgoras, la diagonal adopta comovalor , un nmero irracional.Reflexione sobre esta imposibilidad hasta comprender realmente.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 18proponemos las siguientes actividades de exploracion1) El numero e, bautizado por LeonardEuler, uno de los matemticos masInfluyentes del siglo XV III, del que se sabe, se pueden ir calculando aproximacionesDando valores a n (potencias de 10) en la expresinUtiliza la calculadora para encontrar algunas aproximaciones del numero e. Entre quenmeros enteros consecutivos crees que esta?Utiliza la calculadora para obtener un valor aproximado de e.2) El numero 0, 50500500050000 . . . es un numero racional? Crees que lopuedes clasificar en algn tipo de decimal?MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 193) Sabiendo que = 1, 414213562 . . ., di si las siguientesaproximacionesson por defecto o por exceso:a. 1, 41415 b. 1, 4142146c. 1, 414226 d. 1, 414213674)Escribe cuatro aproximaciones del numero , dos por defecto y dos porexceso. Utiliza la calculadora para hallar aproximado. Cuantas cifras exactas da lacalculadora?Aproxima y redondea a las dcimas,centsimasymilsimas.5) Sabiendo que 1, 5 < < 1, 9, calcula dos aproximaciones por defecto y dos porexceso de p3. Utiliza la calculadora.6) El numero aureo es un numero que maravillo a los antiguos griegos ya querepresentabala proporcionalidad perfecta. Se define el numero laureo comoHalla tres aproximaciones por defecto y tres por exceso.CONSTRUCCIN GRAFICA DE ALGUNOS IRRACIONALESComo ya vimos los nmeros irracionales no se pueden representar exactamentepero si lo podemos hacer geometricamenteQu punto le corresponde en la recta numrica a los nmerosirracionales .Para ubicar estos nmeros en la recta, se necesita regla y comps.1. Se traza una recta y se ubica en ella el punto cero y un segmentode longitud 1, conextremos O y 1,como muestra la figura.2. A partir del extremo 1, se dibuja un segmento de longitud 1, perpendicularal segmento entre O y1, con extremos 1 y P.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 203. Se forma un tringulo rectngulo trazando el segmento OP ohipotenusa. Los catetos del tringulo son los segmentos 01 y 1P.4. Hallamos la longitud de la hipotenusa mediante el teorema de Pitgoras:5. Ahora, con ayuda del comps, se traslada la longitud de la hipotenusa con medida. sobre la recta. Para ello, con centro en O y radio OP, se traza el arco decircunferencia, hasta tocar la recta en el punto Q.actividadAhora completa la grafica de las otras races irracionales hasta la raz de 11Ubicaciones de expresiones irracionales en la rectaDetermine sobre una misma recta real los puntos querepresentan a: 0, 1,MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 21luego se hace la traslacinEL CONJUNTO DE LOSNMEROS REALESLa unin del conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de los nmerosirracionales, recibe el nombrede conjunto de los nmeros reales y se denota con el smbolo R, simblicamenteescribimos:R= QU QOperaciones definidas en el conjunto de los nmeros realesEn el conjunto de los nmeros reales estn definidas dos operaciones, que llamaremosadicin y multiplicacin.Decir que la adicin y la multiplicacin son operaciones definidas en el conjunto de losnmeros reales significaque si dos nmeros reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones elresultado es un numero real.actividad2) En la tabla que sigue, siempre que sea posible ( pregunte en clase sobre lasimposibilidades ):* Marque a que conjunto/s pertenecen los nmeros de la primera columna.* Escriba el nmero como racional, de tres maneras distintas.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 22* Ordene todos los nmeros en forma creciente.* Marque, de ser posible, su ubicacin en la recta real.numero Signo Natural Entero Irracional Racional-58.34-10.3-280-Datos curiososEl origen de los signos + y - no se conoce con certeza. Hay varias opiniones. Una deellas supone que surgieron de las marcas hechas con tiza en las cajas de mercaderas,por los comerciantes alemanes del siglo XV, para indicar las diferencias de peso enms o en menos segn un patrn establecidoPropiedades de los nmeros realesSi a, b y c son nmeros reales entonces:Propiedad Operacin DefinicinclausurativaConmutativa Suma a+b = b+aMultiplicacin ab = baAsociativa Suma a+(b+c)=(a+b)+cMultiplicacin a(bc) = (ab)cDistributiva Suma respecto aMultiplicacina(b+c) = ab + acMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 23Exploracin: verifica porque muchas de estas propiedades no sonaplicables tanto para la resta como para la divisionPOTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NMEROS REALESpropiedades de la potenciacinLas siguientes propiedades se cumplen a, b, c R y n, m ZPropiedades de la potenciacinEjemplos:1. ,,54 33733646754 337334 241 5754 337334424 75754 33744 7332457 +++ Identidad Suma a + 0 = aMultiplicacin a x 1= aInversos Suma a + ( -a) = 0Multiplicacin1. a a 15.n manama+ 9. 0 ,11 aaa2. 0 , 10 a a 6.n manama3.,nbnanab 7.,n manma4.nbnanba ,_

8.n manma MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 2412348 9 4 34323 4371 335 643 67 2.3 236425 2362 4828536321 132151312612 1 325 3 1 26c abc ac bbcaacbcbacbac abc b a TallerResolver las siguientes potencias aplicando las propiedadesa. (-2)0+2 12121

,_

,_

=b. (-0,5)-6+(0,25)-3+ (0,125)-2=c. (0,75)-3:1 321311

,_

,_

=d. 23+ 62- 6323 (-2)3=e. 30 3-1+ 3-2 3 3=f. 2 2 23 1 0) 9 ( ) 9 ( 9) 9 ( 9 9g. (-0,3)-1+(-0,2)-3=2)Aplicando las propiedades de potencias de igual base resuelva:3 7 2 2 5 5 27 2 2 3 2 23 2 ) 2 3 ( ) 3 2 (3 2 3 ) 2 ( ) 3 (4 43 2 3 22 5 ) 5 3 (2 5 2 3 5 22 2 3 42 2 4 52 5 3 2 ) 3 7 (7 7 3 2 3 73 3 85 2 4 23 4 4 4 34 3 4 16 4 3 56 7 229 3b aa b aa aa aMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 25Datos historicosLos cinco poliedros regulares se conocan en el siglo VI a. J.C. por Pitgoras y susdiscpulos. Para ellos tenan un sentido simblico: el tetraedro representaba el fuego; elcubo, la Tierra; el octaedro, el aire; el icosaedro, el agua y el dodecaedro, el universo ensu integridad.Radicacin en los numeros realesPropiedades:Sean a y b nmeros reales positivos, m y n nmeros naturales mayores que1yp nmero entero, entonces:1 ) a annEjemplo: 17 17442 )na > 0Ejemplo: 0 2 1287 3 )nimpar na < 0Ejemplo: 0 9 729 3 4 ) a annMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 26Ejemplo: 8 8555 )nimpar a a n nEjemplo: 4 4 7 76 )npar a a n nEjemplo: 5 5 5 444 4 Observacin:a R 2a = | a |7 )n n nb a b a Ejemplos: 4 64 32 23 3 3 2 7 2 49 2 49 98 8 )nnnbabaEjemplos:33 332000 20001000 1022 14151961519615 9 )n m m n n ma a a MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 27Ejemplo: 2 8 83 3 Datos histricosEl signo = para las igualdades fue utilizado por primera vez por el ingls RobertRecorbe en 1557 apareciendo por primera vez en su libro "El aguzador del ingenio",siendo el primer tratado ingls de lgebra. Segn el autor, eligi ese smbolo porquedos cosas no pueden ser ms iguales que dos rectas paralelas.El smbolo se generaliz hacia finales del siglo XVII. Descartes utiliz unCONEXIN CON LAS MATEMATICASLA DESCENDENCIA DE UNA PAREJA DE HORMIGASCuando una especie animal encuentra dificultades para reproducirse, la Naturalezapone remedio y permite que sea inmenso el nmero de huevos o cras que van apermitir el correcto desarrollo de la especie.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 28Hagamos un pequeo clculo para demostrar de qu maneracrecera la descendencia de una hormiga y cmo lasdificultades que encuentran en el medio, aniquilanmillones de ellas.Supongamos que cada hormiga pone 100 huevos y que enel curso de un verano se alcancen seis generaciones dehormigas. En la primera generacin saldrn 100 hormigas, de ellas 50 hembras; deestas 50 hembras, en la segunda generacin salen 5000 hormigas, de las cuales 2500sern hembras ... y siguiendo el proceso, en la sexta generacin apareceran1 562 500 000 000 hormigasque puestas en fila, cubriran unas 20 veces la distancia entre la Tierra y la Luna. Estclaro que las cosas no suceden as. Son relativamente pocos huevos los que prosperany dan lugar a individuos adultos.Exploracin: cuantas hormigas se produciran en la cuarta generacin ysi sadahormiga tiene una longitud de 0.8cm quedistancia alcanzaran en fila (km)Unidad 2Introduccin al lenguaje algebraicoEn las matemticas, se usa un lenguaje que facilita la resolucin de problemas yoperaciones con una o varias cantidades desconocidas.Ejemplo:La herencia, el ambiente externo, la temperatura y el periodo de insolacin son factoresmuy importantes para el crecimiento, adems de la alimentacin. De los tres aos a laprepubertad (10 u 11 aos para las nias y 13 o 14 para los nios), el promedio decrecimiento es de 5 o 6 cm cada ao.En las vacaciones de verano, Guillermo creci 2 cm, y 1 cm en lo que va de este curso.Si su estatura actual es de 152 cm, cunto tena de altura al finalizar el curso anterior?Se puede resolver por medio de la siguiente expresin:MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 29Resolviendo: e + 3 = 152e = 149Resultado: Tena una estatura de 149 cm al finalizar el curso anterior.A la expresin de enunciados con letras que simbolizan cantidades desconocidas, seles llama expresiones algebraicas.Las siguientes, son expresiones escritas en lenguaje comn y en lenguaje algebraico.a) Un nmero aumentado en cuatro unidades: n + 4b) La diferencia de dos nmeros distintos: x yc) El producto de dos nmeros distintos: p qd) La mitad de un nmero:exploracin :expresa en lenguaje algebraico de una colonia de 20 ratones que seduplican cada mes y no sobreviven de cada 20 que nacenadems cuantos ratoneshabran en seis mesesMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 30TALLERLenguaje algebraico a lenguaje verbal1) Enuncia verbalmente las siguientes expresiones algebraicas:a. 1. x - 2 : "La diferencia entre un nmero y 2"a. 2xb. x + 3c. 2x + 5d. 2x3e. x - 3yf. x2g. 5xh. x + yi. 2x - 4yj. 2x - 3y2k. (2x)2l. (4x)3m. (x - 1)2n. (x + y)3o. 2(x - 5)2) Pasar del lenguaje verbal alalgebraicoa. Expresa algebraicamente los siguientes enunciados verbales:b. Un nmero cualquiera.c. El doble de un nmero cualquiera.d. Un nmero aumentado en 5.e. Un nmero disminudo en 3.f. Un nmero aumentado en su mitad.g. El antecesor de un nmero cualquiera.h. El sucesor de un nmero cualquiera.i. Un nmero par cualquiera.j. Un nmero impar cualquiera.k. Dos pares consecutivos cualesquiera.l. Tres impares consecutivos cualesquiera.m. El exceso de un nmero sobre 3.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUEROpag 31n. El exceso de un nmero cualquiera sobre otro nmerocualquiera.o. La quinta parte de un nmero.p. La centsima parte de un nmero.q. Las tres cuartas partes de un nmero cualquiera.r. El cuadrado de un nmero cualquiera.s. El cubo de un nmero cualquiera.3) indicar cual es la respuestacorrecta en cada caso1. la mitad de un nmeroA) x/2B) 2 xC) x2. el doble de un nmero ms tresA) 2x + 3B) 2 (x + 3)C) x/2 + 33. el triple de un nmero menos cuatroA) x - 3 4B) 3 4 - xC) 3x - 44. la mitad del cubo de un nmeroA) 3 x /2B) 3/2 xC) x3/25. siete menos un nmeroA) x - 7B) 7 - 3C) 7 - x6. el doble de la suma de dos nmerosA) m + n 2B) 2 m + nC) 2 (m + n)7. la edad de una persona hace cincoaosA) 5 - xB) 32 - 5C) x - 58. el cuadrado ms el triple de unnmeroA) 32+ 3 xB) x2+ 3 xC) x + 329. la quinta parte del triple de un nmeroA) 3 5 /xB) 3 x / 5C) x/3 5MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 32Ecuaciones de primer gradoPara resolver las ecuaciones:1 ) Quitar denominadores, si los tiene. Para ello se multiplica ambos lados de laigualdad por el mnimo comn mltiplo de los denominadores.2 ) Quitar parntesis, si los tiene.3 ) Pasa todos los trminos que contenga la incgnita a un lado de la igualdad y losdems al otro lado.Recordar que todo sumando de un lado de la igualdad pasa al otro con el signoopuesto. Se le suma en ambos lados el opuesto del nmero que queremos eliminar. Siest multiplicando, se elimina multiplicando ambos lados por el inverso del nmero quequeremos eliminar de ese lado.Ejemplo:3x -5 = 73x - 5 + 5 = 7 + 53x + 0 = 12(1/3) 3x = (1/3) 12x = 12/3 = 4Resumiendo, en una igualdad puede hacer lo que le convenga (sumar o multiplicar porun nmero, hacer una raz, etc) siempre que lo haga en ambos lados de ella.Para resolver una ecuacin de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales paraconseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Vemoslas para el ejercicio anterior:3x + 1 = x - 2.- Sumar o restar a los dos miembros un mismo nmero. En este caso restar 1 a los dosmiembros y restar x a los dos miembros:3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efectolo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo quesuma"- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo nmero. En este caso por 2:MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 332x/2= -3/2,queunavezsimplificadoquedax= -3/2comoyahabamosobtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otrolo que est multiplicando dividiendo o lo que est dividiendo multiplicando".TALLER1.Resuelve las siguientes ecuaciones:11 3 10 - 5 ) 3 12 12 4 ) h 9 7 3 5 2 )41 3 32 4 ) 5 8 6 7 ) e 7 25 8 15 )4 8 2 ) 5 30 13 7 ) b 13 5 5 )x x i x x x x x x gx x f x x x x dx c x x a + + + + ++ + + + + ++ + + + + +Soluciones: a) x=13b) x=15c) x=14d) x=25e) x=14f) x=9g) x=7h) x=12i) x=-22. Resuelve las siguientes ecuaciones:825) 1002) e 2052)28 7 ) 12 4 ) b 24 3 ) xfx xdx c x x aSoluciones: a) x=8b) x=3c) x=4d) x=50e) x=200f) x=16/54. Resuelve:312 )233 )53- 1 ) 4 2 )2521)231 ) + +x f x ex d -x cx b x a5. Resuelve:x x x x f x x x ex x d x x cx x b x x a2 3 7 3 2 1 ) 2 4 2 5 6 )4 6 2 - 1 ) 7 6 5 )2 8 5 - 8 ) 11 5 3 ) + + + + + ++ + +MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 34PROBLEMAS DE APLICACINUna de las aplicaciones ms importantes de las ecuaciones es la de resolver problemasde la vida cotidiana. Por ejemplo:Problema 1El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 aos ms que el segundoy este 3 ms que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 aosqu edad tiene cada hermano ?Para resolver estos problemas debemos elegir algn valor desconocido para llamarle"x". En este caso llamemos :x = edad del hermano menor.A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuacin) conellos: Ser:x + 3 : edad del hermano medianox+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayorEcuacin: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,Resolviendo la ecuacin se obtiene x = 10, luego la solucin del problema es:Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 aos.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 35Problema 2Dos ciudades A y B estn separadas por una distancia de 98 kilmetros. Un ciclista salede la ciudad A hasta la ciudad B a una cierta velocidad. A la misma hora que salio elciclista anterior, salio otro de la ciudad B con rumbo a la ciudad A, a una velocidad de 1kilmetro por hora mas aprisa que el primer ciclista. Si ambos se encuentran despusde 2 horas, determine la velocidad de cada uno.SolucinSea:d1: distancia recorrida por el ciclista que va de A a B, al cabo de 2 horas.d2: distancia recorrida por el ciclista que va de B a A, al cabo de 2 horas.x: Velocidad del ciclista que va de A a Bx + 1: Velocidad del ciclista que va de B a AEntonces: d1 = x 2 d2 =2 (x + 1) d1 + d2 = 98Por lo que:x 2 + (x + 1)2 = 98x 2 + (x + 1)2 = 982x + 2x + 2 = 984x = 98 - 24x = 96x =96 / 4x = 24Respuesta: La velocidad del ciclista que va de A a B es de 24Km/h y la velocidad delciclista que va de B a A es de 25Km/h.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 36UNIDAD3EXPRESIONESALGEBRAICASLogros:Reconocelos Polinomios identificando cada parte de ellos teniendo en cuenta surelacin con el conjunto de los nmeros reales y los clasifica segn su ordenCompetencias: Clasifica las expresiones algebraicas e identifica el grado de un polinomio. Realiza operaciones de adicin y sustraccin de polinomios utilizando suspropiedades Maneja adecuadamente los smbolos de agrupacin de trminos algebraicos.propiedades.UNIDAD 4OPERACIONESDE EXPRESIONES ALGEBRAICASLogros:Desarrolla, operaciones con polinomios utilizando, seleccionando los distintosprocedimientos de resolucin y a la vezCompetencias: Realiza operaciones de multiplicacin y divisin de polinomios aplicndolos a uncontexto establecido. Construye el triangulo de pascaly desarrollas binomiosa la n potencia Identifica las frmulas de cocientes y productos notables de las expresiones algebraicasMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 37UNIDAD3EXPRESIONESALGEBRAICASLGEBRAINTRODUCCINlgebra, rama de las matemticas en la que se usan letras para representar relacionesaritmticas. Al igual que en la aritmtica, las operaciones fundamentales del lgebra sonadicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y clculo de races. La aritmtica, sinembargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemticas, como el teorema dePitgoras, que dice que en un tringulo rectngulo el rea del cuadrado que tiene comolado la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados cuyos lados son loscatetos. La aritmtica slo da casos particulares de esta relacin (por ejemplo, 3, 4 y 5,ya que 32+ 42= 52). El lgebra, por el contrario, puede dar una generalizacin quecumple las condiciones del teorema: a2+ b2= c2.El lgebra clsica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez denmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichossmbolos. El lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner msatencin en las estructuras matemticas. Los matemticos consideran al lgebramoderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. As, ensu forma ms general, se dice que el lgebra es el idioma de las matemticas.HISTORIALa historia del lgebra comenz en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capacesde resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadrticas (ax2+ bx = c), as comoecuaciones indeterminadas como x2+ y2= z2, con varias incgnitas. Los antiguosbabilonios resolvan cualquier ecuacin cuadrtica empleando esencialmente losmismos mtodos que hoy se ensean.Los matemticos alejandrinos Hern y Diofante continuaron con la tradicin de Egipto yBabilonia,aunqueellibro Lasaritmticas deDiofanteesdebastantemsnivelypresentamuchassolucionessorprendentesparaecuacionesindeterminadasdifciles.Esta antigua sabidura sobre resolucin de ecuaciones encontr, a su vez, acogida enel mundo islmico, en donde se la llam ciencia de reduccin y equilibrio. (La palabraMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 38rabe al- abr que significa reduccin, es el origen de la palabra lgebra).En el siglo IX, el matemtico al-Jwarizmi escribi uno de los primeros libros rabes delgebra,unapresentacinsistemticadelateorafundamentaldeecuaciones,conejemplosydemostracionesincluidas.A finalesdelsigloIX,el matemtico egipcioAbuKamil enunci y demostr las leyes fundamentales e identidades del lgebra, y resolviproblemas tan complicados como encontrar las x, y, z queImportancia del algebraElalgebraesunlenguajeuniversalsusfundamentossonlosmismosenColombiahasta china.Practicatras prcticaeslonicoquegarantizaelxito.Elalgebraparabienserelacionaconmuchsimasreasdeconocimientode ahsuimportancia,laencuentraaplicadas en tu pasatiempo favorito.Ventajas del Algebra:- Es un lenguaje relativamente sencillo y fcil de aprender- Es muy productivo (Lo ocupas desde la cocina hasta la astronoma)- Es un lenguaje universal. (Funciona aqu y en todo el mundo)- Es muy divertido trabajar con el Algebra!Requisitos para Aprender Algebra- Deseos de querer aprender.Un buen libro para practicary comprobar otros procedimientos- Persistencia para practicar.- Honestidad para no copiar ejercicios o tareas.- Humilde para reconocer errores.- Sencillo para compartir su conocimiento con lo que no entienden.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 391. EXPRESIONES ALGEBRAICASExpresin algebraica es la forma de las matemticas que escribimos con letras,nmeros, potencias y signos.Coeficiente3a2GradoParte literalAl nmero le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y alexponente le llamamos grado...Loshay de todas clasesClases de expresiones algebraicas:quede claro que losa expresiones se conforman de uno o varios terminosconsiderndose trminosaqullas expresiones que estn separadaspor signos+ , -1- Si una expresin algebraica est formada por un solo trmino se llama monomio. Ej:3x22- Toda expresin algebraica que est formada por dos trminos se llama binomio. Ej:2x2+ 3xy3- Toda expresin algebraica formada por tres trminos se llama trinomio.Ej: 5x2+ 4y5 6x2y4- Si la expresin algebraica tiene varios trminos se llama polinomio.Determinacin del grado de una expresin algebraicaPara determinar el grado de una expresinde un solo termino se deben sumar losexponentes de los literalesMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 40Cuando una expresin se compone de varios trminosel grado se determina con eltrmino de mayor gradocon respectoa una letra1)2 3 4x 18 x 21 x 6 + polinomio de 4 grado2) x 15 x 2 x2 3 + polinomio de3grado3) 21 m 11 m 22 + polinomio de2gradoValor numrico de las expresiones algebraicasP r o c e d i m i e n t o1. Se reemplaza cada letra por su valor numrico2. Se efectan las operaciones indicadasHallar el valor numrico de las expresiones siguientes para:Sia= 1 b = 2MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 41c)432aA ; si a = 3,2 m (A : rea de tringulo equiltero)Reduccin de trminos semejantesSe consideran trminos semejantes a aquellos trminos que tienen igual parteLiteral con su correspondiente grado.Para reducir los trminosse suman o se restan sus valoressegn sean los signos delos coeficientesy el resultado queda con la misma parte literalEjemplos:1. Sumar8m, 7m,17m =8m + 7m + 17m = 32m2.Sumar acon3/2 a=4/2 a= 2 a3.Sumar 8x, 7xycon9x, 2xy = 8x + 9 x + 7xy 2xy= x + 5xy4.Sumar4 mb, mb con 6 xz, 3/2 mb= 4mb mb 3/2 mb + 6xz=3mb 23mb + 6xz=23mb + 6 xzMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 42Recordemos el concepto de PERMETRO1 cmbUNIDAD 4OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICASSUMA DE POLINOMIOS1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente);y de tal forma, que los tminos semejantes queden en la misma columna3. Se reducen los trminos semejantes:2 cm3 cm4 cma abP = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 cmes decir ,permetro es la suma de todos sus ladosP = a + b + a + b, es decir,P = 2a + 2bMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 433. m m m m m m m m m m + + + +27 5 4262 26 5 , 42 ,xy y xxy y xxy xy y x y y x y x x6724122163 4241221213224122124121,32221. 4+ + ++ + + + + + +Datos histricosLa primera mujer de la que se tiene noticia que dedic su vida a las Matemticas esHypatia de Alenjandra (s.1V-V d.c.).que inicio sus actividades con Euclides y continuocon grandes matematicos como Arqumedes, Apolonio y Pappus. La obra de Hypatia secentro en los comentarios sobre las obras de los matemticos anteriormente citados yen el trabajos originales sobre curvas cnicas.RESTA DE POLINOMIOS1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuacin el sustraendo con signocambiado. O tambin, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cadatrmino con el signo cambiado; y, cada trmino en la misma columna que su semejante.3. Se reduce la expresin resultanteMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 44, ,, ,7 2 33327 322 382 35347 322 382 35347 322 382 3534 Re 3.s w s sws sw w s w s sws sw w s w s sws sw w s de w s sw star+ + + + + + +MULTIPLICACINEn esta seccin se mostrara como realizar la multiplicacin entre monomios,polinomiopor monomiosy entre polinomiosMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 45Se multiplica cada trmino monomio o del polinomiopor cada uno de los trminos delpolinomio, o del monomio el siguiente orden:a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"b. se multiplican los nmeros entre si.c. se multiplica la parte literalsumando entre si los exponentes que de los literalessemejantes entre si.Ejemploentre monomios:Ejemplos:Multiplicar, ,, ,, z b a b z a b a abz xw wz z xwy x y x x5 11483 7634 2 *6 314422 27 *5402538 . * Ejemplo, monomio por polinomio( aplicar la propiedad distributiva )Ejemplo polinomio por polinomioMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 46Calculo de areas y permetrosEs muy importante en todo proceso algebraico la aplicacin el los clculos geomtricostales como el calculo de reas volmenes, permetros. que nos permitirn hallarexpresiones que generalicen la expresin mas adecuada en cada caso.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 47Permetro = 2(2x+x) + 2(y+2y)area =se sumantodas las areas6x + 6y independientemente= 2xy + xy + 4xy + 2xy9xyDIVISIONen la divisin de polinomios se analizan la las diferentes situaciones y casos tale comola divisin entremonomios , polinomio entre monomio y entre polinomios :Para realizar dichas operacioneshay que dividir los coeficientes entre si y los literalesque sean iguales entre si, se les restan sus exponentesdivision entre monomiosMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 48Divisinpolinomio entre monomio (se aplica la propiedad distributiva )Datos curiososLa paradoja de Aquiles yla tortugaEn una carrera entre Aquiles y una tortuga, el rpido Aquiles no lograr nunca alanzara la lenta tortuga si sta goza de una ventaja inicial; en efecto, mientras l recorre ladistancia asignada, la tortuga habr obtenido una nueva ventaja, crendose otra vez lasituacin de partida, y as hasta el infinito. Es indudablemente cierto que la distanciaentre Aquiles y la tortuga ir disminuyendo cada vez ms, pero nunca quedarreducida a cero!Division entre polinomiosDivisin entre polinomios,este es un proceso un tanto complicado perose puedellegar a hacer siendo muy atento a cada proceso de su desarrollo.1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, steser el primer trmino del cociente-7a2b2MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 493. El primer trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminosdel divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo,y escribiendo cada trmino debajo de su semejante4. Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor, ste ser elsegundo trmino del cociente5. El segundo trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos deldivisor y el producto se resta del resto que qued en el dividendo, cambiando los signosy escribiendo cada trmino debajo de su semejante6. Se divide el primer trmino del segundo resto entre el primero del divisor y seefectan las operaciones anteriores...7. Se contina as sucesivamente hasta que el residuo sea cero.CONEXIN CON LAS MATEMATICAEL INVENTOR DEL AJEDREZMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 50El rey de Persia fascinado por el juego de ajedrez, quiso conocer y premiaral inventor. Se cuenta que el rey ofreci al matemticooriental el premio que solicitara.El matemtico contest:- Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilladel tablero, 2 por la segunda, cuatro por la tercera, ochopor la cuarta, y as doblando la cantidad hasta la casilla64 del tablero de ajedrez.Orden el rey a su visir que preparara el premiosolicitado, hizo los clculos y se dio cuenta que eraimposible cumplir la orden.Se necesitara la cantidad de:264granos de trigo = 183446 7442073 7091551 616 granosSabes leer ese nmero?:Diez y ocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatrobillones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un milseiscientos diecisis granos de trigo.En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que elresultado sera de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparan un depsito enforma de cubo de algo ms de 11'5 kilmetros de lado.Para producir tal cantidad de trigo se necesitara estar cultivando la Tierra (incluidos losmares), durante ocho aos.PRODUCTOS NOTABLEScuadrado de un binomioMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 511. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de laprimera cantidad, ms el doble producto de la primera cantidad por la segunda, ms elcuadrado de la segunda cantidad"2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primeracantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, ms elcuadrado de la segunda cantidad"3. Cada trmino, una vez desarrollados los parntesis, se desarrollapara obtener elresultado finalDesarrollar:CUBO DE UN BINOMIO1. Se desarrolla el parntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o ladiferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en elsegundo caso se aplica el enunciado del paso 3:MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 522. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primeracantidad ms el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el triplo de laprimera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de la segunda"3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidadmenos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el triplo de la primerapor el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y semultiplica el exponente de cada letra por 2.Escribir por simple inspeccin, el resultado de:3) (2a + 4b)3=23a3+ 3 (2a)2(4b) + 3 (2a) (4b)2+43b3=8a3+ 34a24b +32a 16b2+64b3=8a3+ 48a2b + 96ab2+64b3. R. ,33 2 2 33 3 a b a a b ab b + + + + ,33 2 2 33 3 a b a a b ab b + MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 53Construccin de un cuboProducto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)1. El desarrollo de los parntesis da un trinomio2. El primer trmino ser el cuadrado del primer trmino de los parntesis (igual enambos)3. El segundo trmino ser el producto de la suma de los trminos independientes porel primer trmino comn de los parntesis4. El tercer trmino ser el producto de los trminos inde pendientesMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 54Escribir por simple inspeccin, el resultado de:b) (x +5) (x-4)Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado delminuendo menos el cuadrado del sustraendo"2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y semultiplica el exponente de cada letra por 2.x4x- 45 x(x +5) (x +4)x2 +5x 4x 20x2+x - 20MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 55Escribir por simple inspeccin, el resultado de:MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 56Tringulo de pascalPara obtener los factores de los coeficientes en el desarrollo de un binomio.mediante el tringulo de Pascal, se procede de la siguiente manera:1. Se forma el triangulo de pascal hasta formar la fila cuyo segundo nmero es elexponente del binomio (aqu lo vamos a construir hasta la fila que nos muestra losfactores de los coeficientes para un exponente n = 9):a. En la primera fila se escribe 1b. En la segunda fila se escribe 1 y 1c. A partir de la tercera fila se comienza escribiendo 1 y luego se escriben losresultados de las sumas de dos nmeros consecutivos en la fila anterior2. A partir del Tringulo de Pascal, se toman los factores de los coeficientes de lostrminos en el desarrollo del binomio11 2 113311464 1(a+b)1= ab0+a0b= a+b(a+b)2= a2+2ab+b2(a b)3= a3 3 a2b + 3 a b2 b3(a + b )4=a4+4 a3b + 6a2b2+4 ab3+b4pues son los coeficientes de sus monomios. Este parecido no es casual y se generalizaa cualquier potencia del binomio 'a + bMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 57EJEMPLOS (a+2)6= a6+6 a5(2)+15 a4(2)2+20 a3(2)3+15 a2(2)4+6 a(2)5+26a6+12 a5+60 a4+ 160 a3+ 240 a2+192 a + 64 (3x32)4=(3x)44 (3x)3(32)+6 (3x)2(32)2 4(3x)(32)3+(32)4= 81 x43216x3+9216x2932x +8116EJERCICIOS1. (a 2b)62. (2 x2 3y2)43. (3 a3)54.42 2

,_

y x5.,32 +xa6.5243

,_

m7.4331

,_

y x8.,62 33 2 y x 9.,323 5 a 10.,72 a 11.43 23221

,_

b aMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 58APLICACIONES DEL ALGEBRABiologa:El ancho del abdomen de cierto tipo de polilla hembra es til para aproximar el nmerode huevos que puede cargar.El nmero promedio de huevos se aproxima en14 x3 17 x 2 16 x + 34, donde x es el ancho del abdomen en milmetros.Finanzas:1. El pago mensual de una casa se puede determinarevaluando la expresin:, [pagos. de total nmero el es n) 12 anual (tasa mensual inters de tasa la es iinicial, pago el menos casa la de precio el es Amensual, pago el es P1 1+ niiA P2. Se puede calcular el pago mensual de un apartamento que tenga un precio de$120.000.000, con un 30% de cuota inicial a un inters anual de 25% por unperodo de 15 aos.3. El saldo actual de un prstamo de auto se puede calcular evaluando laexpresin:, [mensuales pagos de total nmero nabonados pagos de nmero kmensual inters de tasa rmensual Pago P1 1

,_

+

rn krPSe puede calcular el saldo actual de un prstamo con P = $450.000,r = 0.01 k= 24 yn = 60GeometraSe puede hallar el reade un jardn de forma rectangular que mide ( 4x + 2) unidadesde largoy4xunidades de ancho.A de un rectngulo= base . alturaMATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 59UNIDAD 5DESCOMPOSICIN FACTORIALLogro:IdentificasatisfactoriamenteelconceptodeFactorizacin,yloasociapormediodeprocesos lgicos a su cotidianidad permitiendo la construccinexpresiones algebraicasaplicndolas al calculo geomtrico.Competencias: Analiza los casos de factorizacin y domina el concepto de cada unode ellos. Resuelve ejercicios utilizando la factorizacin de expresionesalgebraicas verificando que el procedimiento empleado sea correcto Interpreta problemas propuestos en lenguaje algebraico y los resuelveutilizando los diferentes casos de factorizacinUNIDAD 6FRACCIONESALGEBRAICASLogro:IdentificasatisfactoriamentelasFraccionesalgebraicascomounaaplicacindelafactorizacin,identificandolosaspectosprincipalesdelasmismasyresolviendolasoperaciones bsica de los polinomios.Competencias : Aplica la factorizacin de forma correcta para resolver operaciones confracciones algebraicas, analizando sus resultados Comprende como se resuelven fracciones algebraicas e identifica lasoperaciones que se indican y los procesos que se deben realizar. Utiliza los conceptos vistos para resolver problemas en los cuales seinvolucran fracciones algebraicas.MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 60UNIDAD 5DESCOMPOSICIN FACTORIALLa factorizacin esmuyimportanteenellgebra.Noslolaaprendemosparaexpresarunpolinomiocomounproductodefactorestambinla utilizamospara:simplificarexpresionesracionales,efectuaroperaciones(suma,resta,multiplicacinydivisin)deexpresionesracionalesyresolverecuacionesquecontienenexpresionesracionales, ecuaciones e inecuaciones cuadrticas.En la factorizacin se analizaran los diferentes casos entre ellos los mas importantestales como:Factor comn monomio polinomio por agrupacin de trminosTrinomio cuadrado perfecto (T C P)Diferencia de cuadrados(D C)Trinomio de la forma x2+ bx + cTrinomio de la formaax2+ bx + cSuma y diferencias de cubos perfectosDescomposicin factorial por la regla de Rufinni (divisin sinttica)Factoresla idea que nos dan los factoreses la deconvertir una expresin en forma de variosproductos (factores)MATEMATICASGRADO 8HENRY PIERCE CUERO pag 61FACTOR COMNP r o c e d i m i e n t o1. Se identifica el factor comn2. Se divide cada trmino del polinomio por el factor comn3. Se escribe el factor comn y a continuacin, dentro de un parntesis, los cocientes hallados en elpaso anterior (cada uno con su respectivo signo)Factor comn polinomioEste caso es cuando el factor comn esta representado por un polinomioy se efecta teniendo encuenta los criterios de caso anteriorHenrypiercecueroFactor comn por agrupacin de trminos1. Se agrupan los trminos convenientemente, utilizando parntesis2. Se saca factor comn de cada uno de los parntesis3. Se realiza una segunda factorizacin (el factor comn ser, en este caso, el parntesisFactorar o descomponer en dos factores:HenrypiercecueroHenrypiercecueroDiferencia de cuadrados perfectos1. Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo2. Se abren dos parntesis3. En el primer parntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de lasraces halladas en el paso 1.Factorar o descomponer en dos factores:2) hallar el area de una figura simiolar a la sombreadaHenrypiercecueroTrinomio cuadrado perfectoDefinicin : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del productode dos factores iguales.1. Se ordena el trinomio2. Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos3. Se halla el doble producto de las races obtenidas en el paso anterior4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo trmino del trinomio ysi el primero y tercer trminos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadradoperfecto y se factoriza como tal.5. Se escribe dentro de un parntesis las races cuadradas del primer y tercer trminos,separadas por el signo del segundo trmino, y el parntesis elevado al cuadrado.Factorar o descomponer en dos factores:HenrypiercecueroEjercicios 2.51) b2- 12b + 36 =2) 25x2+ 70xy + 49y2=3) m2- 2m + 1 =4) x2+ 10x + 25 =5) 16m2- 40mn + 25n2=6) 49x2- 14x + 1 =7) 36x2- 84xy + 49y2=8) 4a2+ 4a + 1 =9) 1 + 6 + 9a2=10)25m2- 70 mn + 49n2=11)25a2c2+ 20acd + 4d2=12)289a2+ 68abc + 4b2c2=13)16x6y8- 8 x3y4z7+ z14=Factorizacin por cuadrado perfecto ,, 4 4 ) 43 3625251) 3144 24 ) 225 70 49 ) 12 22 44 4 2 2 24 2 2 3 6m n m m n mx xx m x am an a n am m + + ++ ++ TRINOMIO DE LA FORMAx2+ bx + c1. Se ordena el trinomio2. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un binomio3. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primertrmino de cada uno de los parntesis4. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo signo deltrinomio5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercertrminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del segundo parntesis6. Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al coeficientedel segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio7. Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual alcoeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trminodel trinomioHenrypiercecueroFactorar o descomponer en dos factores:TRINOMIO DE LA FORMAax2+ bx + cPara factor izar esta clase de trinomios se lleva a la formaEste trinomio se diferencia del anterior por tener un coeficiente diferente de 1 en suprimertrmino. Y para resolverlose deben seguir las siguientes indicacionesHenrypiercecuero1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer trmino, esto es por a2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2+ bx+ c)3. Se factorizan los parntesis que tengan factor comn4. Se simplificaNota: siempre es posible eliminar el denominador.Factorar o descomponer en dos factores:suma o diferencia de cubos perfectosHenrypiercecuero1. Se abren dos parntesis2. En el primer parntesis se escribe la suma o la diferencia, segn el caso, de lasraces cbicas de los dos trminos3. En el segundo parntesis se escribe el cuadrado de la primera raz, menos (si esuna suma de cubos) o ms (si es una diferencia de cubos) el producto de la primeraraz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raza3+ b3= ( a + b ) (a2 ab + b2)a3- b3= ( a - b ) (a2+ ab + b2)Descomponer en dos factores:Ejercicio 2.71) 64 x3=2) 8a3b3+ 27 =3) 27m3+ 6n6=4) x6 y6=5)278813+ x =6)6413 x =HenrypiercecueroSuma o diferencia de dos potencias igualesSe aplican los siguientes criterios:Factorar:Dependiendo del numero de trminosCONEXIN CON LAS MATEMATICAS LOS DOBLECES DE UNA HOJA DEPAPELHenrypiercecueroSi doblamos un folio por la mitad, setienen dos cuartillas y cuatro pginas. Sivolvemos a doblar se forman 8 pginas,doblando una tercera vez se obtienen16, la siguiente vez, se formar uncuadernillo de 32 pginas...Si dispusiramos de una hoja de papelsuficientemente grande (como la de unperidico), no podramos doblarla por lamitad muchas veces, llegara unmomento en que el grosor delcuadernillo formado sera tan grandeque costara mucho trabajo.Como estamos en la seccin de"Nmeros muy grandes" veamosalgunos ejemplos:Supongamos una hoja de papel muyfino, papel de seda, de un grosor de tansolo 1 milsima de centmetro:Si la doblaras 10 veces; el grosor delcuadernillo formado sera:210= 1024 milsimas de cm = 1 cmaproximadamente.Si el nmero de dobleces fueran 17:217= 131 072 milsimas de cm = 1'3metrosSi pudiramos doblarla 27 veces:227= 134 217 728 milsimas de cm =1342 metros.Y puestos a imaginar, si pudiramoshacerle 50 dobleces a la hoja de papelde seda, la pila de papel obtenidaalcanzara una altura sorprendente:250= 1 125 899 906 842 624 milsimasde cm = 11 258 999 068 metros. Ms de 11 millones de Km. !POLINOMIOS: REGLADE RUFFINIEnalgunoscasos es conveniente factorizar lospolinomiosmediantedivisionessintticas(regladeRuffini).Estareglaseaplicaenpolinomioscuyosfactoressondelaforma (x a)Estareglanosdicequeunpolinomiotieneporfactor(xa)sialreemplazarelvalorxporaenelpolinomio,elresultadoescero.Elvalordeadelosposiblesfactoresdelaexpresin,esundivisordeltrminoindependiente del polinomio.Ejemplo: x4+6x3+x2-24x+16El posible valor de adeber ser divisordel trminoindependienteesestecaso1616tienepordivisor1,2,3,4,8,16.cualquieradeellospuedeserelquehaga cero la expresinPara dividir en forma sinttica, tomamosloscoeficientesdelpolinomioydividimos para los divisores de 16.HenrypiercecueroProbamos con 2: Six4+6x3+x2-24x+16, Suscoeficientesenorden son:1 6 1 -24 1622 16 34 201 8 17 10 36NO1 6 1 -24 16 -4-4 -8 28 -161 2 -7 4 0SICoeficientes resultantes(x3+2x2-7x+4) (x+4)Volvemos a dividir:1 2 -7 4 11 3 -41 3 -4 0 SI(x2+3x-4) (x-1) (x+4)(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)= (x+4)2(x-1)2Comprobacincomonosdiocerocuandoa=-4reemplazamosenelpolinomio original.= x4+ 6x3+ x2- 24x + 16= (-4)4+ 6(-4) + (-4)2- 24(-4) + 16= 256-384+16+96+16= 0 es lo que debe sucederEjemplo2. x3-3x-21 0 -3 -2 11 1 -21 1 -2 -4 NO1 0 -3 -2 -1-1 +1 +21 -1 -1 0 SI(x2-x-2) (X-1) Eltrinomio es de la 2da. Forma(x-2) (x+1) (x-1)Comprobacin:= x3-3x-2= (-1)3 3(-1) 2= -1 + 3 -2= 01.Bajaselprimercocienteymultiplicas por el divisor. Ubicasbajoel2do.cocienteparasumaro restar segn sea el caso2.Multiplicasporeldivisoryubicasbajoel3er.coeficienteyasisucesivamentehastaterminartodos los coeficientes3.Compruebas que la operacinconelultimocoeficientetedecerocaso contrariobuscaotrodivisor y vuelve a intentar4.Siobtienesceroentoncesesedivisoreselvalordelavariabley para que sea cero el factor sercon el signo contrarioEnnuestrocasonossali para-4 entonces el factor es (x+4)5.Elpolinomiosefactoraentonces disminuyendo un gradoalpolinomioinicialtomandoloscoeficientes resultantes.Debescuidarlosespacioscorrespondientesdelosexponentes en este caso no existex2en su lugar ponemos ceroHenrypiercecuero= (+5)3 8(+5)2+ 16(+5) -5= 125-200+80-5= 0 es lo que debe darnos1) y3-4y2+6+yDatos historicosEulerLeonard Euler (1707-1783), matemticosuizo, simboliz en 1777 la razcuadrada de -1 con la letra i (inicial deimaginario). Ese mismo ao naca CarlFriedrich Gauss (1777-1855), que diouna interpretacin geomtrica a losnmeros complejos Casualidad?. (v.Recta de Euler). Demostr el teoremade Fermat (v.) para n=3, pero cometiun grave errorUNIDAD6FRACCIONES ALGEBRAICASSimplificacin de fracciones1. Se transforma el numerador ydenominador con el propsito deidentificar los factores comunes2. Se cancelan los factores comunes ennumerador y denominadorSimplificar o reducir a su ms simpleexpresin:Simplificacin de fracciones cuyostrminos sean polinomios1. Se factor izan los polinomios en elnumerador y denominador2. Se simplifican las expresiones,suprimiendo los factores comunes en elnumerador y denominadorSimplificar o reducir a su ms simpleexpresin:HenrypiercecueroEjercicio 3.1Operaciones con fraccionesSuma de fraccionesPara sumar fracciones se procede de lasiguiente manera:1. Se simplifican las fracciones2. Se halla el mnimo comndenominador (m.c.d.)3. Se divide el m.c.d. por cadadenominador, y el cociente obtenido semultiplica por el numerador respectivo4. Se expresa la suma de los productosobtenidos en el paso anterior en un slonumerador5. El denominador de la fraccinresultante es el m.c.d.6. Se reducen los trminos semejantesen el numerador7. Se simplificaSimplificar:Ejercicios 1.2HenrypiercecueroCalcula las siguientes sumas o restas ysimplifica cuando proceda:1)x32x55x9+ 2)3x52x7x62 +3)5m1 - 3m8m2 - m+ 4)12x5 2x8x6 x ++5)1 m52 m+ 6) 1 a3 - 2a7+ +7)2 - a - a3a1 - a22 2+ 8)xy2xy - x2xy2y - xx2+ 9)9 d) 1 d ( 63 dd3 - d1 d2++++10)12 x x5 x 4x - 3x - 18924 10x x22 2 2 ++ ++ +11)8 p 2 p66 p 5 p1 p2 1 p p17 p2 2 2 + +++ +12)2 d 5 d 312 d 6d71 d 2d3d2 2 2+ ++ ++ +Multiplicacin de fracciones1. Se factorizan las expresiones en losnumeradores y denominadores2. Se simplifica, cancelando los factorescomunes en numeradores ydenominadores3. Se multiplican entre s lasexpresiones ubicadas en losnumeradores, el resultado ser elnumerador de la fraccin producto;asimismo, se multiplican entre s lasexpresiones escritas en losdenominadores, este producto ser eldenominador de la fraccin resultado.Consejo: Para realizar los ejerciciossiguientes es indispensable dominar porcompleto la factorizacin, por lo cualrecomiendo que se estudie primero,concienzudamente,S i m p l i f i c a r :Divisinde fraccionesPara efectuar la divisin de fraccionesse procede de la siguiente forma:Henrypiercecuero1. Se invierte el divisor (el numerador secoloca en el denominador y, viceversa,el denominador se ubica en elnumerador) y, se procede a multiplicar eldividendo por este divisor invertido2. Las fracciones se multiplicansiguiendo los pasos siguientes:a) Se factorizan las expresionesb) Se simplifica, suprimiendo losfactores comunes en los numeradores ydenominadoresc) Se multiplican entre s lasexpresiones que quedan en losnumeradores; lo propio se hacecon las expresiones que quedan en losdenominadores; luego, para elresultado, se ubica en el numerador elproducto de los numeradores y en eldenominador el producto de losdenominadoresConsejo: Para realizar los ejerciciossiguientes es indispensable dominar porcompleto la factorizacin, por lo cualrecomiendo que se estudie primeroconcienzudamente los 10 casos defactorizacin (Ejercicios 89 a 110).S i m p l i f i c a r :Ecuaciones fraccionarias yalgebraicasLlamaremos ecuacionesfraccionarias aaquellas ecuaciones donde aparezcanfracciones yLlamaremos ecuaciones enteras aaquellas donde no aparezcan fracciones(excepto tal vezen algunos cocientes ).Como sabemos resolver ecuacionesenteras, la estrategia para resolverecuaciones fraccionarias serconvertirlasen ecuaciones enteras.Cmo lograremos eso?MultiplicandoambosMiembros de la ecuacin por un mnimocomn mltiplo (MCM) de losdenominadoresQue aparezcan.El mcm de3 , 8 y 624HenrypiercecueroDenominadores PolinomiosFactorizando los denominadores tenemosEntonces el mcm esHenrypiercecueroLgica con la matemticaLa botella de vinoSi nos dicen que una botella de vino vale 10 euros y que el vino que contiene cuesta 9euros ms que el envase, cuanto cuestan el vino y el envase por separado?.Llenar la piscina:Para llenar de agua una piscina hay tres surtidores. El primer surtidor tarda 30 horas enllenarla, el segundo tarda 40 horas y el tercero tarda cinco das. Si los tres surtidores seconectan juntos, cuanto tiempo tardar la piscina en llenarse?.En el bar:Tres amigos van a tomar caf. Piden la cuenta y el camarero les dice que son 25pesetas por los tres cafs. Cada uno pone 10 pesetas, en total 30. Con las 5 quesobran, se queda cada uno 1 peseta, y las otras 2 para el bote del bar. Es decir, cadauno paga 9 pesetas, que por los tres seran 27, ms las 2 de la propina, 29. Dondeest la peseta que falta?Mara y Juan:Mara tiene un hermano llamado Juan. Juan tiene tantos hermanos como hermanas.Mara tiene el doble de hermanos que de hermanas. Cuantos chicos y chicas hay en lafamilia?El vagabundo:Un vagabundo se hace un pitillo con cada siete colillas que encuentra en el suelo.Cuantos pitillos podr fumarse si encuentra 49 colillas?Juan y Pedro:Juan le dice a dice a Pedro: "si me das una oveja tengo yo el doble que tu" Pedro lecontesta: " no seas tan listo, dmela tu a mi, y a si tenemos los dos igual" Cuantasovejas tiene cada uno?.El to y el sobrino:HenrypiercecueroUn to le dice a su sobrino: " Yo tengo el triple de la edad que t tenas cuando yo tenala edad que t tienes. Cuando t tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de las dosedades ser de 70 aos". Qu edad tienen ahora ambos?UNIDAD6UNIDAD 7RELACIONES Y FUNCIONESLogro:Establece funciones y relaciones determinando sus propiedades propone funcioneslineales y las grafica apropiadamente en el plano cartesiano.Competencias: Diferencia cuando una relacin es una funcin Describe diferentes situaciones mediante el uso de la funcin lineal, graficandode diversas manera una funcin lineal Interpreta y grafica otras funcionesUNIDAD 8LINEAS NOTABLES DE UN TRIANGULOLogro:Reconoce de forma clara, los conceptos de geometra y aplica el pensamiento geomtrico paraestablecer comparaciones y relaciones entre los aspectos de la vida cotidiana.Competencias: Aplica los teoremas de los tringulos Establece propiedades de los tringulos Demuestra grficamente los teoremasUNIDAD 9ESTADISTICA DESCRIPTIVALogro:utiliza conceptos bsicos de estadstica para plantear y resolver problemas cotidianoscompetencias:Henrypiercecuero recopila datos y los organiza en tablas, grficos aplica medidas de tendencia centralUnidad 7RELACIONES Y FUNCIONESUno de los aspectos ms importantes en la ciencia es establecer relaciones entre variostipos defenmenos. Una vez que se conoce la relacin es posible hacer predicciones.Por ejemplo, a un economista le gustara ser capaz de predecir las tasas de inters, uningenieropuede usar una frmula para predecir las desviaciones de una viga sujeta a diferentescargas.Veamos particularmente qu ocurre con la matemtica.Considere el conjunto la representacin grfica del producto A xAse llama Producto Cartesianoy se lee " A cruz A " se hace mediante un diagrama cartesiano, como se ve en la figura:HenrypiercecueroSuponga que de todos los puntos de Ax A slo necesitamos a aquellos que cumplen lasiguiente condicin:en lenguaje matemtico decimos: "La suma de sus componentes es 8 o mayor que8 "Representacin GrficaGeneralmente una relacin se representa por el Mtodo de la flecha, en forma de tabla,comoconjunto de pares ordenados, en forma grfica o en forma de Ecuacin.HenrypiercecueroEl primero como su nombre lo dice se traza una flecha del dominio al Codominio.Enforma de tabla se escribe el dominio en la primera columna y el Codominio en lasegunda.Como conjunto de pares ordenados de nmeros reales, se escribe el conjunto depuntos separados por unacoma.Y en forma grfica, se marcan los correspondientes puntos del conjunto en el planocartesiano sta recibe el nombre de grfica de la relacin.ejemplo: Forma de FlechasEsta forma de diagrama indica que la Relacin es una Correspondencia de A en A.Una relacin de un conjunto A sobre el conjuntoA tambin se puede escribir como:Suponga otra relacin que va de un conjunto a un conjunto , como el siguiente ejemplo:Henrypiercecueroy los pares que la forman son:El conjunto A se llama de PARTIDAEl conjunto B se llama de LLEGADASe llama DOMINIO de la relacin al conjunto de los elementos de A que estnrelacionados conlos de B, son los del par ordenadoEn la relacin el Dominio es el conjunto de los. primeros elemento:Se llama RECORRIDO de la relacin al conjunto de aquellos elementos de B con losque sehan relacionados los elementos de A, son los del par ordenado. segundos elementosdetermine el dominio y recorridoHenrypiercecueroPlano cartesianoEl Plano Cartesiano est formado por dos rectas perpendiculares entre s llamada cadauna Eje, y y ejexque se intersecan en un par comn llamado Origen, el cul es(0, 0)Cada par de coordenadas (x, y ) se llama Punto .Funcin linealUna variable es un smbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.En general se representan las variables con las ltimas letras del alfabeto:u, v, w, x, y, z.Una constante es un smbolo al que se le puede asignar un solo valor.En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c.Llamaremos funcin lineal a una ecuacin del tipoy = mx +bpendienteGrafiquemos en un par de ejes cartesianos una funcin linealm =y2 y1X2 x1Henrypiercecuerotrazamos una lnea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Asquedar determinado un tringulo rectngulo. Al punto ms alejado del centro lollamaremos (x1; y1); al otro lo llamaremos (xo; yo). Completemos segn las coordenadasque elegidas:Marquemos el ngulo que forma la recta con el ejex.Qu operacin matemtica realizamos paracalcularlos ?, hemos restado. La resta (diferencia) serepresenta por el smbolo ; de all que al restar xobtuvimos x (se lee diferencial x). Al restar Yobtendremos y ( diferencial y ). As el catetoadyacente. y el cateto opuesto estn representados porx y por y respectivamente.Qu funcin trigonomtrica relaciona x y y con el ngulo del tringulo?, latangente.Recuerde que:son paralelas si y solo si:son perpendiculares si y solo si:Grafica de funciones linealesPara graficar todo tipo de grficos lineales es necesario determinar los valores para xlos cuales Estn dentro del dominio de los racionalesy luego se reemplazan en laecuacin lineal de tipoy = mx + bEj :graficar la funcion y = 2x + 3Se establecen los valores paraxDominio: {-2, 2 }x -2 -1 0 1 2y -1 1 3 5 6Y = 2 ( -2 ) + 3 = - 4 + 3 = - 1Y=2 ( -1 ) + 3 = - 2 + 3 = 1HenrypiercecueroY=2 ( 0 )+ 3 = 0 + 3 = 3( punto de corte en y )Y=2 ( 1 )+ 3 = 2 + 3 = 5Y=2 ( 2 )+ 3 = 4 + 3 = 7Graficary = (- 1 / 2 ) x + 4Dominio { - 4 , 4 } paresx -4 -2 0 2 4y 6 5 4 3 2Y= (- 1 / 2 ) ( - 4 )+ 4 = 2 + 4 = 6Y= (- 1 / 2 ) ( - 2 ) + 4= 1 + 4 = 5Y= (- 1 / 2 ) ( 0 ) + 4= 0+ 4 = 4Y= (- 1 / 2 ) ( 2 ) + 4= - 1 + 4 = 3Y= (- 1 / 2 ) ( 4 ) + 4 = - 2 + 4= 2HenrypiercecueroAplicaciones de la lnea rectaI. Ejemplo:1. Existe una funcin que relaciona el volumen de sangre de unindividuo con su peso, la cual esta dada por: y = 1/ 4 (x)donde x es el peso delindividuo, medido en kilos, y f(x) es la cantidad de sangre en el cuerpo, medido en litros.a) Grafique la funcin.b) Cuntos litros de sangre tienen los siguientes pacientes, si sus pesos respectivosson: 58, 46 y 62.solucin:a) La grfica de esta funcin corresponde a una recta, cuyapendiente es1/14 (es decir, por cada 14 kilos hay un litro desangre) y pasa por el origen.Henrypiercecuerob) Evaluando en la funcin el respectivo peso, se tiene:CONEXIN CON LAS MATEMATICASLEONARD DAVINCI Y LAS PROPORCIONESLeonardo era un bromista empedernido, cosa por otro lado muypropia de la gente del Renacimiento. Uno de sus innumerableschistes: Le preguntaron a un pintor por qu, siendo tan buenassus pinturas, que eran cosa muerta, haca los hijos tan feos; a locual replic que las pinturas las haca de da y los hijos de noche.HenrypiercecueroEl Hombre de Vitrubio es uno de los dibujos de los libros de apuntes de Leonardo daVinci. En cualquier persona la longitud de una estructura (brazos) vara en relacin conla de cualquier otra estructura (la altura total del cuerpo) en las diferentes etapas deldesarrollo. Los brazos de un beb son ms cortos en relacin con la altura del cuerpoque los brazos de un hombre. Si en las dimensiones de una persona particular, y = f(t),designa la longitud de los brazos y x = g(t) la altura de la misma, en funcin del tiempo,el cociente f(t)/g(t) = y/x se aproxima hacia 1.En las primeras etapas del crecimiento esta relacin es aproximadamente 1,2. Esteresultado es una caracterstica de la anatoma humana ampliamente reconocida desdeque Leonardo da Vinci la representa en su famoso Hombre de Vitrubio.OTRAS FUNCIONESFuncin cuadrticaLa funcin es de la formay = ax2+ bx + c la cual da como grafica una parabolaAqi tenemos un ejemplo con vrtice positivo y negativoHenrypiercecueroejercicios1)Graficar las siguientes funcionesa.y = = x2 1b.y= 2x2+2c. Y = x2+ 6x + 7d. y = x2 10x + 5e. y =2x2- 3x - 42 )investiga sobre las funciones, con sus correspondientes graficasa . Funcin constanteb. funcin inversac. funcin exponencialy logartmicad. funcin trigonomtricasUnidad 8Lneas Notables En Un TringuloSon cuatro y siempre es posible dibujar tres en cualquier tringulo.Alturas: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ngulo opuesto,el punto donde se cruzan estas tres alturas se llama ortocentro.HenrypiercecueroMedianas: son los segmentos que van desde un vrtice a la mitad del lado opuesto, elpunto donde se cruzan se llama baricentro.Mediatrices: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde el puntomedio, el punto donde se cruzan se llama circuncentro, este punto es el centro de unacircunferencia que se circunscribe al tringulo.Bisectrices: Las bisectrices de un tringulo son segmentos que dividen cada ngulo endos partes iguales, las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, este punto esel centro de una circunferencia inscrita.demostracin puntos y rectas notables en eltrianguloAltura, mediana y bisectrizSean A, B y C los vrtices de un triangulo de lados opuestos a, b y c,respectivamente.HenrypiercecueroA las distancias de los vrtices a sus lados opuestos las llamaremos las alturasdel triangulo. A las alturas las denotaremos con ha, hb, hc, y a sus puntos deInterseccin con los lados con Ha, Hb, Hc, respectivamente.Designaremos con ma, mb y mc las tres medianas, llamando as a lasDistancias de cada vrtice A, B y C al punto medio Ma, Mb y Mc del ladoOpuesto.Finalmente, denotaremos con va, vb y vc, a los segmentos de bisectriz delos ngulosA,B , C comprendidos entre dichos vrtices y su respectivasIntersecciones Va, Vb y Vc con los respectivos lados opuestos.Circunferencia circunscritaHemos visto que tres puntos no colineales A, B y C, determinan una circunferencia quelos contiene y cuyo centro O esta en la interseccion de las mediatrices de lossegmentos que estospuntos determinan. De modo que En todo triangulo lasmediatrices de sus lados se cortan en un punto alque llamaremos circuncentro, por sereste centro de la circunferencia llamadacirncunscrita al triangulo.Circunferencia inscritaTeoremaLas tres bisectrices internas de un triangulo se cortan en unPuntoEn efecto las bisectrices de los ngulos A yB se cortan porque forman con la secantecomn AB ngulos cuya suma es menor que uno llano (Euclides). El punto I deHenrypiercecuerointerseccinde estas rectas equidista de los lados adyacentes a los ngulos Ay B,esto es, de los tres lados. Se sigueque la tercera bisecriz ha de cortar a las anterioresen el mismo punto. El punto de interseccin se llama incetro del triangulo.Baricentro de un trianguloLas tres medianasde un triangulo ABC concurren enun punto G. El segmento demedianacomprendido entre el punto medio del lado y el el punto G es un tercio dela misma.MaG = GP = PA y MbG = GQ = QB.Finalmente la otra mediana debe pasar por G puesto que debe dividir aLas otras dos de la misma manera. Al punto G lo llamaremos baricentro delTriangulo.Triangulo orticoLas alturas de todo triangulo acutngulo ABC son bisectrices interiores del trianguloHa HbHc, cuyos vrtices son las intersecciones de dichas alturas con el triangulodado.HenrypiercecueroUnidad 9UNIDAD DEESTADISTICALa estadstica seocupaderecopilardatos,organizarlosentablasygrficosyanalizarlos con un determinado objetivo.Laestadsticapuedeserdescriptivaoinferencial.La estadsticadescriptiva tabula,representa y describe una serie de datos que pueden ser cuantitativos o cualitativos, sinsacar conclusiones. La estadstica inferencial infiere propiedades de gran nmero dedatos recogidos de una muestra tomada de la poblacin.Nosotrossloestudiaremosla estadsticadescriptiva.Enelladebemostenerencuenta las siguientes etapas:a) Recoleccin de datosb) Organizacin de datos(1) Tabulacin(2) Graficacinc) Anlisis y medicin de datosa) Recoleccin de datosPara esta etapa tomaremos los siguientes conceptos bsicos: Poblacin: conjunto de observaciones efectuadas Individuo: cada elemento de la poblacin. Atributo: caracterstica investigada en la observacin. Estos pueden ser cualitativos(sexo,religin,nacionalidad)o cuantitativos (estatura,peso,rea estossoncontinuos,semidenennmerosreales-;nmerodehijos,nmerodegoles discretos, se miden en nmeros enteros-)Por ejemplo: si se desea realizar un estudio estadstico de las estaturas de los alumnosde tercer ao, Poblacin: conjunto de estaturas Individuo: cada estatura Atributo: la estatura Teniendo presente la clasificacin, clasifica los siguientes atributosHenrypiercecuero1. Afiliacin poltica de los habitantes de la Capital de Chile.2. Cantidad de ganado vacuno en las provincias de la Ro Bueno y La Unin.3. Religin de los padres de familia de la comunidad educativa Santa Cruz.4. Ingresos de los obreros.5. CantidaddealumnosdelasdiferentescarrerasdelaFacultaddeCienciasExacta en la U.L.A.6. Sexo de los alumnos de una escuela.7. Estado civil de los habitantes de la ciudad de Ro Bueno.8. Cantidad de pelculas nacionales estrenadas durante un ao.9. Color de cabellos de los alumnos de un curso.10. Puntaje obtenido por los alumnos que ingresan a la carrera de Medicina.b) Organizacin de los datos(1)Tabulacin:puedeseratravsdeuna seriesimple,conlapresentacindelosdatos recogidos en forma de tabla ordenada, o a travs de la agrupacin de datos, estemtodo se utiliza cuando el nmero de observaciones es muy grande.Ejemplo:Enuncursode40alumnos,sedeseaestudiarelcomportamientodelavariable estatura, registrndose los siguientes valores:1,52 1,64 1,54 1,64 1,73 1,55 1,56 1,57 1,58 1,581,59 1,53 1,60 1,60 1,61 1,61 1,65 1,63 1,79 1,631,62 1,60 1,64 1,54 1,65 1,62 1,66 1,76 1,70 1,691,71 1,72 1,72 1,55 1,73 1,73 1,75 1,67 1,78 1,63i. Serie simple: Completa los cuadros siguientes, ordenando los datos obtenidos.Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla1 1,52 11 21 312 1,53 12 22 323 1,54 13 23 334 1,54 14 24 345 1,55 15 25 356 1,55 16 26 367 1,56 17 27 378 1,57 18 28 389 1,58 19 29 3910 1,58 20 30 40ii. Agrupacindedatosporserieodistribucindefrecuencias:seregistralafrecuencia de cada valor de la variable. La frecuencia puede ser absoluta (f), nmeroqueindicalacantidaddevecesquelavariabletomaunciertovalor, relativa (fr),cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor de la variable y el nmero total deobservaciones; relativaporcentual queeselporcentajedelafr;frecuenciaAcumulada la suma de la fi y la acumulada porcentual, que el la suma de fr% . Volviendo al ejemplo anterior, completa la tabla de serie de frecuencias.Henrypiercecuerox (tallas) AbsolutafiRelativafr = f/nR.Porcentual(100.fr) %AcumuladaFaAc.PorcentualFa %1,52 1 1/40 = 0,025 2,5 % 1 2,5%1,53 1 1/40 = 0,025 2,5% 2 5%1,54 2 2/40 = 0,05 5% 4 10%1,551,56..1,79 Acuntoesigualeltotaldelacolumnadefrecuenciasabsolutas?Porqu?............................................................................................................................. ...... A cunto es igual el total de la columna de frecuencias relativas? Por qu?................................................................................................................................... Y el total de la columna de porcentajes?............................................................................................................................. ......Agrupacin de datos por intervalos de clase: intervalos iguales en los que se divideel nmero total de observaciones. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuandose tiene un gran nmero de datos de una variable continua.Cmo saber cuntos intervalos considerar? Cmo determinar su amplitud?Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre elmayor y el menor de los valores obtenidos.Rango = xmx xmn Calcula el rango de los datos de nuestro ejemplo............................................................................................................................... ......Luego debemos establecer el nmero de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) delos mismos.A = rango / N (N tu lo eliges, pero es conveniente que no sea muypequeo) Si queremos trabajar con 10 intervalos, cul es, para nuestro caso, la amplitud decada uno de ellos? De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado......................................................................................................................................HenrypiercecueroSiendoelprimerintervalo[1,52;1.55)completalatablacontodoslosrestantes.Observaqueelextremoizquierdodelintervaloseusauncorchete[, loqueindicaquetomamosestevalor,encambioenelderechousamos)quenosindicaqueelintervaloesabierto,osea,nosetomaestevalor.La Marcadeclase eselpromedioaritmtico de los extremos del intervalo.Tallas Marca declase (MC)fi fr fr% Fa Fa%[1,52 ; 1.55) 1,535[1,55 ; 1,58) 1,565[1,58 ; 1,61) 1,595Totales Investigasobreelnmerodehermanosdecadaalumno detucursoydisponelosdatos obtenidos en una serie o distribucin de frecuencias. Estassonlasnotasobtenidasporlos100candidatosquesepresentaronaunconcurso:38 51 32 65 25 28 34 12 29 4371 62 50 37 8 24 19 47 81 5316 62 50 37 4 17 75 94 6 2555 38 46 16 72 64 61 33 59 2113 92 37 43 58 52 88 27 74 6663 28 36 19 56 84 38 6 42 5098 51 62 3 17 43 47 54 58 2612 42 34 68 77 45 60 31 72 2318 22 70 34 5 59 20 68 55 4933 52 14 40 38 54 50 11 41 76Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase. En unaciertaciudaddelaprovinciadeValdivia,seregistraelnmerodenacimientosocurridosporsemanadurantelas52semanasdelao,siendolossiguientes los datos obtenidos:6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 912 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 103 11 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 117 8 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8HenrypiercecueroConfecciona una tabla de intervalos de clase. Las edades de veinte chicos son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11,13, 12, 11, 13, 12, 10 y15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias. Qu porcentaje de chicos tienen 12 aos? Cuntos chicos tienen menos de 14 aos? Encadadadelmesdeenero,enelcampingIglhubolasiguientecantidaddeturistas: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32,34,38,40,43,41,45,50,53,58.Construyeunatabladefrecuenciasparaestosdatos.(3)Grficos:larecopilacindedatosylatabulacinpuedentraducirsegrficamentemedianterepresentacionesconvenientementeelegidas:barras,sectorescirculares,mapas curvas, etc.Los grficos permiten visualizar e interpretar el fenmeno que se estudia, en forma msclara.Las barras seutilizangeneralmentepararepresentaratributoscualitativosocuantitativos discreto. La longitud es igual a la frecuencia de cada observacin. Puedenser barras simples o mltiples, segn se trate de representar uno o ms atributos.Las barras pueden ser horizontales o verticales.0 10 20 30 40 50 60Grf. de barras: Evaluacin del gobierno XneutranegativapositivaHenrypiercecueroGrfico de barras compuesto: Remuneraciones medias (ao Z)Los grficoscirculares o grficosdetorta sontilesparacomparardatospues,engeneral, trabajan con porcentuales. El rea de cada sector representa el porcentaje quecorrespondealafrecuenciadeunciertovalordelavariable.Estarepresentacinesconvenientecuandoelnmerodesectoresespequeoysusreasestnbiendiferenciadas.Evaluacin del gobierno XEl histograma seutilizapararepresentarunatabladefrecuenciasdeintervalosdeclase.Sobre el eje horizontal se representan los intervalos de clase y sobre el eje vertical, lasfrecuencias de los intervalos.El grfico consiste en un conjunto de rectngulos adyacentes cuya base representa unintervalo de clase y cuya altura representa la frecuencia del intervalo.El polgonodefrecuencias seconstruyeuniendolospuntosmediosdelosladosopuestos de las bases de cada rectngulo. Si se quiere cerrar el rectngulo, se agregandos intervalos: uno anterior y otro posterior al ltimo y se prolonga el polgono hasta lospuntos medios de estos intervalos.positivanegativaneutrapositiva negativaneutra0100200300400500600Enero Febrero MarzoIndustrialBancarioAdm. PblicaEducativoComercioHenrypiercecueroLas curvas seutilizangeneralmentepararepresentarlavariacindeunavariableatravs del tiempo (aos, meses, horas, etc.). Sobre el eje horizontal figuran los perodosde tiempo.Variacin del valor de las importaciones y exportaciones de la Argentina enmillones de dlaresEstas son slo algunas de las formas posibles de graficacin y las que encontrars conms frecuencia. Construyeelhistogramayelpolgonodefrecuenciasparalatabladelejerciciodeintervalos de clase, de la pgina 3, de las tallas...c) Anlisis y medicin de datosParadescribirunconjuntodedatos,secalculanalgunasmedidasqueresumenlainformacin y que permiten realizar comparaciones.Medidasdeposicin:seutilizanparaencontrarunvalorquerepresenteatodoslosdatos. Las ms importantes son: la media aritmtica, la moda y la mediana. La mediaaritmtica o promedio ( x ) devariosnmerossecalculacomoelcocienteentrela sumadetodosesosnmerosylacantidaddenmerosquesumamos. La moda (Mo) es el valor que ms se repite. Puede suceder que haya ms de unamoda o ninguna (si todos los valores tienen igual frecuencia). La mediana(Me) esel valorqueocupaellugarcentralalordenarlosdatosdemenor a mayor. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre losdos valores centrales.020040060080010001200140016001800importacin dela Argentinaexportacin dela ArgentinaHenrypiercecuero Lossueldosdecincoempleadosdeunaempresason:$400000,$500000,$450000, $600000 y $3500000. Calcula el sueldo medio, la moda, si es que existe, yla mediana e indica cul representa mejor a los datos. El entrenador de un equipo de natacin debe elegir a uno de sus integrantes para laprxima competencia de estilo libre. Segn los tiempos en segundos que obtuvieronlos postulantes de las cinco ltimas carreras de 100 m de estilo libre, qu nadadorle conviene elegir?Diego 61,7 61,7 62,3 62,9 63,1Toms 61,5 62,9 62,9 63,7 63,7Sergio 60,7 62,4 62,7 62,7 63,2Para poder decidir, calcula las medidas de posicin de cada uno.promedio moda medianaDiego 62,34 61,7 62,3TomsSergioEnpromedio,losnadadoresmsrpidosson................................y................................., pero esto no significa que hayan tenido el mismo rendimiento; poresonecesitamoslasotrasmedidasdeposicin:deellosdos,tantolamodacomolamedianaindicanque................................fuemsveloz.Sinembargo,paraelegirelnadadoradecuado,nobastaconconsiderarlasmedidasdeposicin,yaquetambinesnecesarioquesurendimiento seaparejo,esdecir,quelostiemposde sus100mlibres no tengan mucha dispersin.Medidasdedispersin:nosinformancmoestndistribuidoslosdatos.Lamsimportanteesel desviacinestndar(), quemide ladispersindelosdatosconrespecto al promedio. Cuanto menor es el desvo estndar, menos dispersos estn losdatos con respecto al promedio.Para calcular el desvo estndar, seguimos los siguientes pasos: Calculamos la diferencia entre cada uno y el promedio. Elevamos al cuadrado cada una de las diferencias anteriores. Sumamos todos los valores hallados en el paso anterior y dividimos el resultado porla cantidad de datos. As obtenemos la varianza. Calculamos el desviacin estndar () como la raz cuadrada de la varianza. ,nx xnii 12 n: nmero de datos Diegoy Sergio,dosdelosnadadoresdelejercicioanterior,obtuvieronelmismopromedio y sin embargo sus tiempos estn distribuidos de manera diferente.HenrypiercecueroCalcula los desvos estndares de los tiempos de los nadadores:Tiempos de Diegoxi(xi x) (xi x)261,7 -0,6461,7 -0,6462,3 -0,0462,9 0,5663,1 0,76totalEntonces:Podemosverqueeldesvoestndarde...................................esmenorqueelde.................................,locualindicaqueelpromediorepresentamejorlosdatosde................................., porque sus tiempos fueron menos dispersos.Entonces,aunquecincodatossonmuypocosparahacerestadstica,siconesainformacinhayqueelegirunnadadordeeseequipoparalaprximacompetencia,conviene que sea .......................................CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOSSi los datos estn agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos declase,debemosutilizaruncriteriodiferente paracalcularlosdistintosestadgrafos.Analicemos el siguiente ejemplo:Consideremos la siguiente distribucin de frecuencias que corresponden a los puntajesde50 alumnos en una prueba.Intervalos M.C.(x)fi fx Fa[60 65) 62,5 5 312.5 5[65 70) 67,5 5 337.5 10[70 75) 72,5 8 580 18[75 80) 77,5 12 930 30 Intervalo mediano[80 85) 82,5 16 1320 46 Intervalo modal[85 90) 87,5 4 350 50TOTALE 50 3830 5Diego SergioTiempos de Sergioxi(xi x) (xi x)2totalHenrypiercecueroSLa Media Aritmtica:fx fx6 . 76503830 xptos. 77 ptos.Para calcular La Mediana necesitamos la siguiente frmula:iafA FnL M e2

,_

+ en el ejemplo, la cantidad de datos es 50, luego 50 : 2 = 25, y la Fa 25 se encuentra enel intervalo [75 80) ya que el 25 esta aqu, en cambio en la anterior (18) no esta.Luego el intervalo mediano es[75 80)Entonces: L = 75 (lmite inferior)fi= 8A = 5 (80 75 = 5)Fa= 18 (frecuencia acumulada del intervalo anterior)375 . 79 375 . 4 7585 77585 1825075 + +

,_

+ M e 79 ptos.y finalmente, paracalcular la Moda en datos agrupados,utilizamos la siguientefrmula, teniendo presente que la clase modal es la que tiene mayor frecuencia, y estaes la Frecuencia Modal.Ad ddL M o 2 11++ L = 80 (intervalo modal[80 85), ya que la frecuencia es 16, que