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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Álgebra

Curso de Extensión

PARTE B SESIONES 5 - 9

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Francísco Carrera, José Luis García.

MATERIAL EN REVISIÓN

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

ÁLGEBRA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL

DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007

SESIONES 5 - 9


SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007

SESIONES 14 - 16


1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Álgebra

Contenidos desarrollados por: Prof. Francisco Carrera Lic. José Luís García

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares”

Sesión 1: Preliminares ……………………. …..1 Problemas propuestos……………………… 22 Autoevaluación 1…………………………..... 24

Tema 2 “Operaciones notables” Sesión 2: Operaciones notables……….…. 26 Problemas propuestos……………………… 42 Autoevaluación 2……………………………. 43 Sesión 3: Operaciones notables………..… 45 Problemas propuestos……………………… 53 Autoevaluación 3…………………………… 54 Sesión 4: Operaciones notables………..… 57 Problemas propuestos……………………… 66 Autoevaluación 4…………………………… 67

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.


Tema 3 “Teorema del resto” Sesión 5: Teorema del resto………….…… 69 Problemas propuestos………………………78 Autoevaluación 5 …………………………...79 Sesión 6: Teorema del resto………….…… 83 Problemas propuestos………………………91 Autoevaluación 6 …………………………...92

Tema 4 “Factorización” Sesión 7: Factorización …………………….95 Problemas propuestos……………….……107 Autoevaluación 7………………………….108 Sesión 8: Factorización ………………….. 110 Problemas propuestos……………….…… 126 Autoevaluación 8…………………………. 127 Sesión 9: Factorización ………………….. 129 Problemas propuestos……………….…… 149 Autoevaluación 9…………………………. 150

Tema 5 “Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios”

Sesión 10: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios …………152 Problemas propuestos……………….…… 182

Autoevaluación 10……………………… 183 Tema 6 “Expresiones racionales”

Sesión 11: Expresiones racionales …..… 187 Problemas propuestos ……………….….. 203 Autoevaluación 11………………………… 205 Sesión 12: Expresiones racionales …..… 209 Problemas propuestos ……………….….. 215 Autoevaluación 12………………………… 217 Sesión 13: Expresiones racionales …..… 221 Problemas propuestos ……………….….. 228 Autoevaluación 13………………………… 230

Tema 7 “Ecuaciones”

Sesión 14: Ecuaciones ……………. …..… 234 Problemas propuestos ……………….….. 250 Autoevaluación 14………………………… 252

Sesión 15: Ecuaciones ……………. …..… 256 Problemas propuestos ……………….….. 263 Autoevaluación 15………………………… 265

Tema 8 “Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones”




Sesión 16: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 268 Problemas propuestos ……………….…. 280 Autoevaluación 16……………………….. 282 Sesión 17: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 286 Problemas propuestos ……………….…. 299 Autoevaluación 17……………………….. 301 Sesión 18: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...………... 305 Problemas propuestos ……………….….. 310 Autoevaluación 18……………………….. 312

Tema 9 “Números complejos”

Sesión 19: Números complejos………... 316 Problemas propuestos ……………….….. 323 Autoevaluación 19……………………….. 324




Introducción Álgebra es el área de la matemática que

estudia las cantidades en una forma abstracta, a

través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones

simbólicas que resumen operaciones aritméticas. Las asignaturas de

las carreras de ingeniería requieren dominar con destreza dichas

operaciones. Procurando cubrir esta necesidad, se ha elaborado el

curso de nivelación en Álgebra, dirigido a estudiantes de nuevo

ingreso de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.

Esencialmente orientado a la apropiación de los conceptos básicos

del Álgebra, el curso ofrece contenidos tales como: Operaciones

Notables, Teorema del Resto, Factorización, Máximo Común Divisor y

Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Expresiones Racionales,

Ecuaciones, Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones. Así

pues, se complementará la formación en el área, para lograr un

nivel adecuado que facilite el proceso de enseñanza-aprendizaje

de los estudiantes

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas del álgebra.

Objetivos específicos

Tema 1: Preliminares

Aplicar las propiedades de la potenciación, los productos y los cocientes notables en la solución de problemas.

Tema 2: Operaciones Notables

Resolver problemas relacionados con la división de polinomios. Emplear los teoremas del resto y del factor.

Tema 3: Teorema del Resto

Resolver problemas utilizando todos los productos de dos o tres factores.

Tema 4: Factorización

Utilizar los conceptos de divisor, múltiplos, máximo y mínimo común.




Tema 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de

Polinomios

Manejar expresiones racionales de todo tipo.

Tema 6: Expresiones Racionales

Resolver ecuaciones de primer grado.

Tema 7: Ecuaciones

Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones

Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando los principios básicos de matrices y determinantes y de hallar la inversa de una matriz.

Tema 9: Números Complejos

Reconocer y emplear los números complejos.

Estrategias Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo, voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta modalidad le permitirá.

1.- Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio. 2.- Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El

Computador, M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C. están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL CURSO:

− Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas, las

cuales abarcan todos los contenidos del curso.

− Sesiones: conformadas por temas que deben leerse, para

ser analizados e interpretados y por actividades que deben

realizarse en un tiempo determinado.

− Objetivos específicos por cada tema: muestran de manera

clara los aprendizajes que lograrán durante la interacción

con cada sesión.

− Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.




− Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que

deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y

aprendizaje de cada sesión. Como estudiante podrás

descargar y/o revisar los contenidos en formato PDF, repasar

los temas más importantes (críticos) a través de clases

interactivas, realizar ejercicios prácticos y, al finalizar, podrás

realizar una autoevaluación, la que te permitirá determinar el

nivel de aprendizaje obtenido en cada sesión.

− Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas

por el autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y

vocabulario empleado.

− Autoevaluaciones: contiene un enlace, al que se accede

después de finalizar las actividades de cada tema. Esta la

realizarás cuando te sientas preparado para presentar la

evaluación final.

− Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

− Respuestas a los ejercicios propuestos: al final de cada tema

se encuentran las respuestas a los ejercicios propuestos.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

- Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

- Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

- Leer pausadamente cada sesión de clase.

- Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada tema.

- Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases.

- No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

- Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.



69 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 3: Teorema del resto

Tema 3 / Sesión 5

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia


.

Sesión 5


* Aplicar las propiedades de la división de un polinomio entre un binomio en la solución de problemas

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 5 sobre “División de un polinomio entre un binomio”

* Visitar las páginas recomendadas * Realizar ejercicios resueltos * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la

sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 5: “División de un polinomio entre un binomio”

* Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 5

División de un polinomio entre un binomio

Este es un teorema que permite determinar el resto de dividir un

polinomio por un binomio (x ± a), basados en la regla de división de

polinomios, (ver sesión 1) y en el algoritmo de la división:

Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto

Un polinomio ordenado en una variable, por ejemplo, en la variable

x, suele expresarse mediante la notación P(x) y un binomio con la

misma variable se representa por x - a, en donde a es un número

real.

Cuando realizamos la división de un polinomio P(x) entre un binomio

x - a, el resto será una expresión constante, es decir, un polinomio de

grado cero. Esto ocurre según la regla de la división de polinomios: el

resto es un grado inferior al polinomio divisor.

Ejemplo 3.1

Determinar el resto de la división de entre x − 2. 8x5x3x 23 +−−

Efectuamos la división:


Tema 3 / Sesión 5



x3 − 3x2 − 5x + 8 x − 2

− x3 + 2x2 x2 − x − 7

− x2 − 5x + 8

x2 − 2x

− 7x + 8

7x − 14

− 6

.

Aquí vemos que el Resto es una constante (− 6), es decir, de grado

cero.

Si ahora, sustituimos el valor que anula el divisor, en nuestro caso

x = 2, y evaluamos el polinomio cociente en este valor P (2) se tiene:

P(2) = (2)3 − 3(2)2 − 5(2) + 8

= 8 − 12 − 10 + 8 = − 6

Y vemos que el resultado es igual al resto que se obtuvo de la

división simple.

Teorema del resto

Lo presentado en el resultado del ejemplo anterior, nos conduce al

Teorema del Resto o Residuo, el cual se expresa, como el resto o

residuo de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma

x - a, donde a es un número real, es igual al valor numérico de P(x)

en x = a, es decir, P(a).

Claramente vemos que el valor, en el cual evaluamos el polinomio P(x), es aquel que anula el binomio divisor.

Así, cuando dividimos por (x + a), el resto se obtiene sustituyendo el valor de x =-a. Este teorema puede ser generalizado al utilizar un binomio divisor de la forma (bx - a), en este caso, tendremos que operar con fracciones, ya que habremos de sustituir en el polinomio

el valor bax = .

Ejemplo 3.2

Determinar el resto de la división de x5 − 3x3 + 4x2 − 10x + 9 entre x+ 3,

utilizando el Teorema del Resto.

No realizamos la división, sino que sustituimos el valor x = −3 en el

polinomio:

P(x) = x5 − 3x3 + 4x2 − 10x + 9

= (−3)5 − 3(−3)3 + 4(−3)2 − 10(−3) + 9

= −243 + 81 + 36 + 30 + 9 = −87


Tema 3 / Sesión 5



Ejemplo 3.3

Determinar el resto de la división de x4 − 8x2 − 6x + 12 entre 2x − 5,

utilizando el Teorema del Resto.

El valor a sustituir será x = 25 , luego tendremos:

16223121550

1662512

256

258

25

25P

24

−=+−−=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

División sintética

La División Sintética, es una regla práctica para hallar el cociente y

el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio (x - a),

sin necesidad de realizar la operación de división. Esta regla es

también conocida como la Regla de Ruffini y se basa en utilizar

exclusivamente, los coeficientes del polinomio y el valor que anula el

binomio.

Regla de Ruffini

1. Colocar en una misma fila los coeficientes del polinomio,

comenzando de mayor a menor y colocando tantas

columnas como un grado mayor a la potencia del

polinomio. En caso de no existir una de las potencias de

la variable del polinomio, entonces se debe colocar cero

en la posición correspondiente.

2. Colocar el valor que anula el binomio divisor en un

recuadro, a la derecha de la fila anterior.

3. Dejar una fila en blanco con el mismo número de

columnas, para colocar el resultado de la operación

auxiliar que nos determinará los coeficientes del

polinomio cociente.

4. El coeficiente del primer término del dividendo se repite

para el polinomio cociente, es decir, será el primer

coeficiente de dicho polinomio.

5. El coeficiente de cualquier otro término del cociente, se

obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior

del cociente, por el valor que anula el binomio. Este

producto, se coloca en la fila dejada en blanco, debajo

del coeficiente del término siguiente del dividendo.

Luego, realizar la suma que determinará el valor del

coeficiente.

.


Tema 3 / Sesión 5



6. El residuo, es el resultado de la suma de la última

columna.

Ejemplo 3.4

Determinar el cociente y el resto, utilizando la Regla de Ruffini, de la

división del polinomio x5 − 4x4 + 6x2 − 2x + 5 entre x− 2.

Los coeficientes del polinomio dividendo son 1 en la posición x5, −4

en la posición x4, para la posición x3 no existe coeficiente, por lo

tanto colocamos 0, siguiendo en el orden tenemos que los

coeficientes son 6, −2 y 5. De la misma manera, el valor que anula el

binomio del divisor es 2.

Luego siguiendo la Regla de Ruffini:

Polinomio x5 -44 -6x2 -2x + 5

Coeficientes 1 -4 0 6 -2 5

Coeficientes

del 2 -4 -8 -4 -12 2

cociente 1 -2 -4 -2 -6 -7

Cociente

Resto o x4 -2x3 -4x2 -2x -6

Residuo -7

Notemos que al aplicar la regla, el cociente es un polinomio de

cuarto grado (uno menos que el grado del dividendo). El

coeficiente del mayor término (x4) es igual al coeficiente del mayor

término del dividendo, en este caso es 1. Colocamos en el recuadro

de la derecha el valor que anula el binomio divisor, es decir, 2.

El segundo coeficiente del cociente es -2, que se obtiene

multiplicando el valor que anula el binomio divisor 2 por el

coeficiente del primer término del cociente 1 y sumando este

producto (2).(1) = 2 con el coeficiente del dividendo -4, que ocupa

el mismo lugar del coeficiente que estamos buscando.

De esta forma, el coeficiente del segundo término es:

2 + (-4) =-2.

Así pues, podemos hallar, por ejemplo, el tercer término, en donde

hacemos el producto de (2).(-2) = -4 y luego le sumamos el valor de

0.En la tercera posición, el dividendo no tiene término de tercer

grado.

Por lo tanto, el coeficiente del tercer término es -4 + 0 = -4.

Sucesivamente hallamos los demás coeficientes.

El resto es -7, que se obtiene multiplicando el valor que anula el

binomio divisor 2 por el coeficiente del término del cociente en la

.


Tema 3 / Sesión 5



quinta posición (-6). Se sumará este producto (2).(-6) = -12 con el

coeficiente del dividendo 5, que ocupa el mismo lugar del

coeficiente que estamos buscando.

Ejemplo 3.5

Determinar el cociente y el resto, utilizando la Regla de Ruffini, de la

división del polinomio 2x3 − 5x − 4 entre 2x + 1.

Coeficientes 2 0 -5 -4

-1 1/2 9/4 -1/2

Coeficientes Cociente 2 -1 -9/2 -7/4

Cociente 2x2 – x – 29

Residuo -7/4

.


Tema 3 / Sesión 5




.

Sesión 5: Ejercicios Resueltos

Ejercicios: Teorema del residuo

Procedimiento 1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un

polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b".

Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma: ; CxA...xAxA 1nm

n1m

2m

1 ++++ +−−

Donde { } : coeficientes de : constante arbitraria n1 A,...,A,A C;xNota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a.

Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:

1. entre

2. 3)a5(−

Solución

33x133 a125a5)a5( −==− 3. 3)xy3(

Solución

333333 yx27yx3)xy3( ==

4. 22 )ba6−(

Solución

{puesto que el exponente es 2422x2222 ba36ba6)ba6( ==−par, el signo de la potencia es positivo}.

5. 332 )yx2(−

Solución 3x2x 2 +− 1x −

Solución

1a =

Sustituyendo la x, en el polinomio, por 1, se obtiene: 23213)1(212 =+−=+−

Respuesta: es resíduo de dividir entre 3x2x 2 +− 1x + es 8− .

{puesto que el exponente 963x32x33332 yx8yx2)yx2( −=−=−es impar, el signo de la potencia es negativo}.

6. 3432 )cba4(

Solución

12964x33x32x333432 cba64cba4)cba4( ==


Tema 3 / Sesión 5



7. 254 )yx6(− Solución

1085x24x22254 yx36yx6)yx6( ==−

.

Ejercicios: División sintética

Procedimiento Para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma x - a, se procede de la siguiente manera: 1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los términos del

dividendo (si el polinomio carece de alguna de las potencias se escribe allí 0) y, separada por una línea vertical, la a.

2. Hallar el cociente Grado del cociente: el cociente será de un grado menor que el dividendo. Coeficiente del primer término: el primer término del cociente tendrá el mismo coeficiente que el primer término del dividendo. Demás coeficientes: los coeficientes de los otros términos del cociente se obtienen multiplicando el coeficiente del término anterior (previamente hallado) por la a y, seguidamente, sumando este producto con el coeficiente que sigue en el dividendo. 3. Obtención del residuo El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente (previamente hallado) por a y, sumando este producto con el término independiente del dividendo.

Nota: si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y, consecuentemente, se multiplican los coeficientes por a/b. Además, cada número debe dividirse por b antes de pasar a ser un coeficiente de un término del cociente. Explicación: para aplicar apropiadamente el método de la división sintética, en los casos en los que el divisor es de la forma bx - a,

debemos hacer que el divisor tome la forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda multiplicado por b. Para deshacer esta operación es por lo que se divide cada número, que está destinado a convertirse en coeficiente de un término del cociente, por b. Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes: 1. entre 5x7x 2 +− 3x −

Solución

3a = Aplicando el método de la división sintética, procedemos de la siguiente manera:

1 -7 5 3

3 -12 1 -4 -7

Respuesta: cociente x - 4, resíduo -7.

2. entre 1a5a2 +− 2a + Solución

2a −=

Aplicando el método de la división sintética, procedemos de la siguiente manera:


Tema 3 / Sesión 5



.

1 -5 1 -2 -2 14

1 -7 15 Respuesta: cociente x - 7, resíduo 15. 3. 2x2xx 23 −+− entre 1x +

Solución

1a −=


1 -1 2 -2 -1 -1 2 -4

1 -2 4 -6 Respuesta: cociente 4x2x 2 +− , resíduo -6. 4. 2xx2x 23 −+− entre 2x − .

Solución

3a =


1 -2 1 -2 2 2 0 2

1 0 1 0 Respuesta: cociente 1x2 + , residuo 0. 5. entre 6a3a 23 −− 3a +

Solución

3a −=


1 -3 0 -6 -3 -3 18 -54

1 -6 18 -60 Respuesta: cociente , residuo -60. 18a6a2 +− 6. entre 48n4n5n 34 −+− 2n +

Solución

2a −=



Tema 3 / Sesión 5



1 -5 0 4 -48 -2

.

-2 14 -28 48 1 -7 14 -24 0 Respuesta: cociente , residuo 0. 24n14n7n 23 −+− 7. entre 5x3x 4 +− 1x −

Solución

1a =


1 0 0 -3 5 1 1 1 1 -2

1 1 1 -2 3

Respuesta: cociente 2xxx 23 −++ , residuo 3.


Tema 3 / Sesión 5




Sesión 5: Ejercicios Propuestos

1. Efectuar la división de los siguientes polinomios:

a. 2x14x5x12x 23 +÷++−

b. 5x34x15x2x5 24 −÷−+−

c. x3418x6xx7x3 235 −÷−+−+

2. Determinar el resto de la división planteada en el ejercicio

anterior, pero utilizando el Teorema del Resto.

.


Tema 3 / Sesión 5




.

Sesión 5

Autoevaluación 5

Pregunta Nº 1 Determinar el resto de la división de entre 6a2a5a 234 −+− 3a + a. 144 b. 3 c. 9 d. 228 Pregunta Nº 2 Determinar el resto de la división de entre )4x4x2x3( 23 −−− 2x − a. Cociente = 4x4x3 4 −−

Resto = 4 b. Cociente = 4x4x3 2 ++

Resto = 4 c. Cociente = 4x4x3 2 +−

Resto = 4 d. Cociente = 4x4x3 4 ++

Resto = 4

Pregunta Nº 3 Determinar el cociente y el resto, utilizando la regla de Ruffini, de la división del polinomio 2x2xx 23 −+− entre 1x +

a. Cociente = 4x2x 2 +−

Resto = -6 b. Cociente = 4x2 +

Resto = -4 c. Cociente = 6x2x 2 −+

Resto = 18 d. Cociente = 4x2x 2 +−

Resto = 6

Pregunta Nº 4 Determinar el resto de la división de entre 322 +− xx 1−x a. 4 b. 2 c. -6 d. -3 Pregunta Nº 5 Determinar el cociente y el resto, utilizando la regla de Ruffini, de la división del polinomio 5x72x +− entre 3x −

a. Cociente = 7x −

Resto = -5 b. Ninguna de las anteriores c. Cociente = 3x −

Resto = 5 d. Cociente = 4x −


Tema 3 / Sesión 5



Resto = -7

.

Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.


Tema 3 / Sesión 5




.

Sesión 5

Respuestas de la Autoevaluación 5

Pregunta Nº 1 Determinar el resto de la división de entre 6a2a5a 234 −+− 3a + a. 144 b. 3 c. 9 d. 228 Correcto Pregunta Nº 2 Determinar el resto de la división de entre )4x4x2x3( 23 −−− 2x − a. Cociente = 4x4x3 4 −−

Resto = 4 b. Cociente = Correcto 4x4x3 2 ++

Resto = 4 c. Cociente = 4x4x3 2 +−

Resto = 4 d. Cociente = 4x4x3 4 ++

Resto = 4

Pregunta Nº 3 Determinar el cociente y el resto, utilizando la regla de Ruffini, de la división del polinomio 2x2xx 23 −+− entre 1x +

a. Cociente = 4x2x 2 +− Correcto

Resto = -6 b. Cociente = 4x2 +

Resto = -4 c. Cociente = 6x2x 2 −+

Resto = 18 d. Cociente = 4x2x 2 +−

Resto = 6

Pregunta Nº 4 Determinar el resto de la división de entre 13x2x 2 +− x − a. 4 b. 2 Correcto c. -6 d. -3 Pregunta Nº 5 Determinar el cociente y el resto, utilizando la regla de Ruffini, de la división del polinomio 5x72x +− entre 3x −

a. Cociente = 7x −

Resto = -5 b. Ninguna de las anteriores c. Cociente = 3x −

Resto = 5 d. Cociente = 4x − Correcto


Tema 3 / Sesión 5



Resto = -7

.


Tema 3 / Sesión 6




.

Sesión 6



Actividades

* Leer el contenido de la sesión 6 sobre “Corolarios del Teorema del Resto”


sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 6: “Corolarios del Teorema del Resto”


Corolarios del Teorema del Resto

En esta sección plantearemos algunas consecuencias directas del

Teorema del Residuo, las cuales no demostraremos pero

mostraremos su aplicación en los ejemplos.

1. Condición necesaria para la división entre un binomio

Como bien lo dice el título es una condición necesaria pero no

suficiente para que un polinomio en la variable x sea divisible

(ver definición 1.1), entre un binomio de la forma x - a, en donde a

es un número real.

Condición necesaria: Para que un polinomio P(x), sea divisible por un

binomio de la forma x - a, el término independiente del polinomio

debe ser múltiplo del término a del binomio, sin tener en cuenta los

signos.

Ejemplo 3.6

1. Determinar si es posible que x3 + 4x2 − x − 10 sea divisible por x − 2.

Al utilizar la condición vemos que el término independiente del

polinomio, en este caso 10, es múltiplo del término 2 del binomio.

http://mucutuy.ing.ula.ve/%7Eandreuz/ultima/seccion3.4.html






Tema 3 / Sesión 6



Luego si puede ser divisible, pero debemos certificar esto mediante

otra condición.

Utilizando el Teorema del Resto tendremos que el resto es:

.

P(2) = (2)3 + 4(2)2 − 2 − 10 = 8 + 16 −2 − 10 = 12

Como es diferente de cero, entonces no es divisible por el binomio

x – 2.

2. Determinar si es posible que x5 + 2x3 − 5x2 − 2x + 14 sea divisible

por x + 3.

Al utilizar la condición vemos que el término independiente del

polinomio, en este caso 14, no es múltiplo del término 3 del binomio.

Luego no es divisible.

2. Teorema del Factor

Una condición mayor para la divisibilidad de un polinomio entre el

factor x - a, donde a es un número real, nos dice que si el polinomio

se anula al sustituir la variable x por a entonces el polinomio es

divisible por dicho factor. Esta condición se conoce como el

Teorema del Factor y se expresa de la siguiente manera:

Dado un polinomio P(x) y el binomio x - a, donde a es un número

real, entonces:

a es una raíz de P(x) si y solo si P(x) = (x − a).C(x) (1)

Donde C(x) es el cociente de la división de P(x) entre(x - a), y

P(x) = (x − a).C(x) si y solo si P(x) es divisible por x − a (2)

Por la definición 1.2 (ver definición 1.2) se puede demostrar el

Teorema del Factor, para ambas afirmaciones (1) y (2), y en ambos

sentidos. Por ejemplo, si a es una raíz de P(x), entonces el resto de

dividir P(x) entre x - a es 0, por lo cual se puede escribir el polinomio

como P(x) = (x - a).C(x). En la otra dirección, es equivalente. Si P(x) =

(x - a).C(x), entonces el resto de dividir P(x) entre x - a es 0, por lo

cual a es una raíz de P(x).

Ejemplo 3.7

Determinar, sin realizar la división, si el polinomio P(x) = x3 − 5x2 + 2x −

10 es divisible por x − 5.

http://mucutuy.ing.ula.ve/%7Eandreuz/ultima/seccion1.3.2.3.html


Tema 3 / Sesión 6



Por el Teorema del Factor el polinomio P(x) será divisible sí x = 5 es

raíz, es decir, sí P(5) = 0, lo que es igual a decir que el resto es 0.

.

Así, hallamos:

P(5) = (5)3 − 5(5)2 + 2(5) − 10

= 125 − 125 + 10 − 10 = 0

por lo cual, el polinomio x3 − 5x2 + 2x − 10 si es divisible por x − 5.

Ejemplo 3.8

Sin realizar la división, mostrar que x + 1 es un factor de P(x) = x3 − 2x2

+ 2x + 5.

Al igual que el ejemplo anterior, debemos ver sí para x = -1 entonces

P(–1) = 0. En este caso:

P(−1) = (−1)3 − 2(−1)2 + 2(−1) + 5

= −1 − 2 − 2 + 5 = 0

Luego al descomponer el polinomio P(x) tendremos:

P(x) = x3 − 2x2 + 2x + 5 = (x + 1). C(x)

En donde (x + 1) es un factor y C(x) será el cociente de la división del

polinomio P(x) entre (x + 1).

Ejemplo 3.9

Comprobar que el polinomio xn − yn es divisible entre el binomio x - y,

utilizando las reglas correspondientes (ver sesión 3).

La fórmula (13) nos indica que:

1n2n3n223n2n1nnn

yxyyxyxyxxyxyx −−−−−− ++++++=

−−

LL

Ahora el valor que anula el binomio es x = y. Entonces, debemos

sustituir este valor en el polinomio P(x) = xn − yn y podemos certificar

que P(y) = 0, luego el polinomio es divisible por x − y, y podemos

escribir:

( )( )1n2n3n223n2n1nnn yxyyxyxyxxyxyx −−−−−− ++++++−=− LL


Tema 3 / Sesión 6



3. Raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros

El procedimiento que veremos nos permite encontrar (si existen), las

raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

La certificación de las posibles raíces la haremos por medio del

Teorema del Resto y la Regla de Ruffini (ver sesión 5).

En primer lugar enunciaremos el teorema, ver [3], en el cual se basa

todo el procedimiento:

.

3.1 Teorema

Sea el polinomio con

coeficientes enteros. Sí

011n

1nn

n axaxaxa)x(P ++++= −− L

qp es una raíz de P(x) tal que p y q no tienen

un factor primo común, entonces p es divisor de a0 y q de an .

Este teorema permite establecer un procedimiento, en el cual

podemos enumerar las posibles raíces racionales del polinomio P(x).

Un algoritmo que determina las posibles raíces es:

Posibles raíces racionales = n

0adedivisoresadedivisores (3)

Ejemplo 3.10

Encontrar todas las raíces racionales del polinomio P(x) = 2x3 + 5x2 −

x − 6.

Comenzamos aplicando el algoritmo (3) para hallar las posibles

raíces racionales:

Divisores de 6 = ±1, ±2, ±3, ±6

Divisores de 2 = ±1, ±2

Posibles Raíces Racionales = ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2

El procedimiento que veremos nos permite encontrar (si existen), las

raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

Utilizando el Teorema del Resto, vemos que -1 no es solución, ya que

P(-1) = -2, es decir, diferente de cero por lo que no será raíz.

Similarmente, y por ensayo y error, descubrimos que -2 es una raíz,

por lo tanto, (x + 2) es un factor de P(x).

Luego, utilizando la división sintética o regla de Ruffini continuamos

con el proceso:

2 5 -1 -6

-4 -2 6 -2

2 1 -3 (0)


Tema 3 / Sesión 6



Ahora las raíces restantes de P(x) deben ser ceros o raíces del factor

2x2 + x − 3, esto permite descartar la posible solución ±6, y el trabajo

de ensayo y error se reduce.

.

Continuando con el procedimiento vemos que 1 también es una

raíz.

2 1 -3

2 3 1

2 3 (0)

De esta forma el último factor es 2x + 3, por lo cual -3/2 será la última

raíz.

Por lo tanto, el polinomio P(x) = 2x3 + 5x2 − x − 6 tiene como raíces

−2, −3/2 y 1.

Ejemplo 3.11

Calcular el valor de k para que cada una de las siguientes divisiones

sea exacta:

1. P(x) = 14xkxx3 23 −−− ÷ 2x −

Utilizando la regla de Ruffini, se obtiene:

3 -k -1 -14

2 6 12 - 2k 22 - 4k

3 6 - k 11 - 2k 22 - 14 - 4k = 8 - 4k

Para que sea exacta, 8 – 4k = 0, y se obtiene k = 2.

2. 6x8x2)x(P 2 +−= ÷ kx +

Como – k es una raíz y de esa forma por el teorema del factor se

asegura la divisibilidad, entonces:

0)k(P =− y 06)k(8)k(2 2 =+−−−

06k8k2 2 =++

0)3k4k(2 2 =++

0)1k)(3k(2 =−−

Los posibles valores de k son, 3 y 1.

Ejemplo 3.12

Calcular el valor de m y n para que P(x)= sea

divisible por .

nxxmxx3 234 +−++

2xx3 2 −−


Tema 3 / Sesión 6



Si el polinomio P(x) es divisible entre , tambien es divisible

entre los 2 binomios que forman las raíces de , por lo cual,

se buscan las raíces de ese polinomios utilizando la regla de Ruffini,

posible raíces:

2xx3 4 −−

2xx3 2 −−

32,31,2,1 ±±±±

.

3 -1 -2

3 2 1

3 2 0

Es decir: = , entonces P(x) es divisible entre

estos 2 binomios, por lo tanto

2xx3 2 −− )2x3)(1x( +−

3 m 1 -1 n

3 3+m 4+m 3+m 1 (4)

3 3+m 4+m 3+m 3+m+n

3 m 1 -1 n

-2 3m2

34−

914m

94

− m278

2746

− 32− (5)

3 2m −3m2

37−

923m

94

− nm278

2746

+− nm278

2746

+−

Son los numeros (4) y (5) se identifican los restos de las dimensiones

del polinomio P(x) entre las raíces de , como es divisible

según el problema, dichas expresiones deben valer cero y se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones.

2xx3 2 −−

0nm

278

2746

0nm3

=+−

=++

Multiplicando la segunda ecuación por 27, se tienen las siguientes

ecuaciones:

0n27m846

0nm3=+−

=++

Utilizando el método de sustitución para resolver un sistema de

ecuaciones, se obtiene que:

n = -2 y m = -1


Tema 3 / Sesión 6




.

Sesión 6: Ejercicios Resueltos

Ejercicios: Corolario del Teorema del residuo

Procedimiento Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:

1. entre 6xx 2 −− 3x −

Solución

3x − tiene la forma ax − ; por lo tanto, 3x = .

6xx)x(P 2 −−= ,

633)3(P 2 −−=⇒ ;

.0)3(P =∴ Respuesta: Como 0)3(P = , el Corolario del Teorema del Residuo garantiza que la

división de entre 6xx 2 −− 3x − exacta.

2. entre 10xx4x 23 −−+ 2x +

Solución

2x + tiene la forma ax − ; por lo tanto, 2a −= 10xx4x)x(P 23 −−+=

; 10216810)2()2(4)2()2(P 23 −++−=−−−−+−=−⇒

0)2(P =−∴ Respuesta: Como 0)2(P =− , el Corolario del Teorema del Residuo garantiza que

la división de es exacta. 10xx4x 23 −−+

3. entre 3x9x7x5x2 234 +−+− 1x −

Solución

1x − tiene la forma ax − ; por lo tanto, 1a = 3x9x7x5x2)x(P 234 +−+−= ,

; 2397523)1(9)1(7)1(5)1(2)1(P 234 −=+−+−=+−+−=⇒

2)3(P −=∴Respuesta: La división es inexacta.


Tema 3 / Sesión 6



Sin efectuar la división, probar que:

.

4. 1 es factor de a + 5a2a2a 23 ++− Solución

Un número es factor de otro si lo divide exactamente; por lo tanto, para probar que )1a( es un factor de 5a2a2a 23 , basta con + ++−

mostrar que la división de entre 5a2a2a 23 ++− 1a + es exacta. Veamos:

1a + tiene la forma ax − , con 1a −= . 5a2a2a)a(P 23 ++−= ,

052215)1(2)1(2)1()1(P 23 =+−−−=+−+−−−=−⇒ ;

; 0)1(P =−∴

es divisible entre 15a2a2a 23 ++−∴ a + (Corolario del Teorema del Residuo).

es factor de , que era lo que se 1a +∴ 5a2a2a 23 ++−quería demostrar.

5. divide a 5x − 10x2x5x6x6x 2345 −+−+− Solución

tiene la forma 5x − ax − , con 5a =

10x2x5x6x6x)x(P 2345 −+−+−=

10101257503750312510)5(2)5(5)5(6)5(65)5(P 2345 −+−+−=−+−+−=⇒

; 0)5(P =∴

divide a 5x −∴ 10x2x5x6x6x 2345 −+−+−(Corolario del Teorema del Residuo).

Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:

6. entre 16a4a2a2 23 +−− 2a +

Solución

2a + tiene la forma ax − , con 2a −=


2 -2 -4 16 -2 -4 12 -16 2 -6 8 0 El residuo es cero; por lo tanto, la división es exacta. Los coeficientes del cociente son, respectivamente, 2, -6 y 8. El dividendo es de tercer grado, lo que indica que el cociente es de segundo grado. Respuesta: La división es exacta y el cociente es . 8a6a2 2 +−


Tema 3 / Sesión 6





1. Calcular el valor de k para que cada una de las siguientes

divisiones sea exacta:

a. 2x6x5kxx2 23 −÷−++

b. 3x216x8kx2kx 24 +÷+−−

c. kx6x7x2 2 +÷+−

2. Determinar el cociente y el resto de cada una de las siguientes

“divisiones”, utilizando la Regla de Ruffini:

a. 3x9x8x4x3x 245 −÷−+−+

b. 1x212x3x2 34 +÷−−

c. x49x12x3x 23 −÷+−−

3. Calcular el valor de m y n, para que p(x) =

mx4nxx 34 +−− , sea

divisible por 4x2 − .

.


Tema 3 / Sesión 6




.

Sesión 6

Autoevaluación 6

Pregunta Nº 1 Determinar si es posible que sea divisible entre 6xx 2 −− 3x − a. No es posible debido a que el resto es igual a cero b. Si es posible debido a que el resto es igual a cero c. Si es posible debido a que el resto es diferente de cero d. No es posible debido a que el resto es diferente de cero Pregunta Nº 2 Determinar si es posible que sea divisible 3x9x7x5x2 234 +−+−entre 1x − a. No es posible debido a que el resto es igual a cero b. Si es posible debido a que el resto es igual a cero c. Si es posible debido a que el resto es diferente de cero d. No es posible debido a que el resto es diferente de cero Pregunta Nº 3 Determinar si es posible que sea divisible entre 16a4a2a2 23 +−−

2a + y el cociente resultante

a. No es posible debido a que el resto es igual a cero y el cociente

es 8a6a2 2 +−b. Si es posible debido a que el resto es diferente de cero y el

cociente es 8a6a2 2 ++c. no es posible debido a que el resto es diferente de cero y el

cociente es 8a6a2 2 −−d. Si es posible debido a que el resto es igual a cero y el cociente

es 8a6a2 2 +−

Pregunta Nº 4 Encontrar todas las posibles raíces racionales del polinomio

1xx4x4) 23 −−+=x(P

a. ,2 4,4,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=−

41,4

1,21,2

1,1,1racionalraizposible −−−=

b. 4,4,2,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=

41,4

1,21,2

1,1racionalraizposible −−=

c. 4,4,2,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=−

21,2

1racionalraizposible −=

d. 4,4,2,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=−

nohayracionalraizposible = Pregunta Nº 5 Hallar si existen las raíces racionales del polinomio 6xx)x(P 3 −−=

a. No existen b. 1, -1 c. 1 d. 2


Tema 3 / Sesión 6



.



Tema 3 / Sesión 6



Unidad 3: Teorema del Resto

.

Sesión 6


Pregunta Nº 1 Determinar si es posible que sea divisible 3x9x7x5x2 234 +−+−entre 1x − a. No es posible debido a que el resto es igual a cero b. Si es posible debido a que el resto es igual a cero c. Si es posible debido a que el resto es diferente de cero d. No es posible debido a que el resto es diferente de cero

Correcto Pregunta Nº 2 Determinar si es posible que sea divisible entre 6xx 2 −− 3x −

a. No es posible debido a que el resto es igual a cero b. Si es posible debido a que el resto es igual a cero Correcto c. Si es posible debido a que el resto es diferente de cero d. No es posible debido a que el resto es diferente de cero Pregunta Nº 3 Encontrar todas las posibles raíces racionales del polinomio

1xx4x4)x(P 23 −−+=

a. 4,4,2,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=−

41,4

1,21,2

1,1,1racionalraizposible −−−= Correcto

b. 4,4,2,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=

41,4

1,21,2

1,1racionalraizposible −−=

c. 4,4,2,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=−

21,2

1racionalraizposible −=

d. 4,4,2,2,1,14dedivisores1,11dedivisores −−−=−=−

haynoracionalraizposible = Pregunta Nº 4 Determinar si es posible que sea divisible entre 16a4a2a2 23 +−−

2a +

a. No es posible debido a que el resto es igual a cero y el cociente es 8a6a2 2 +−

b. Si es posible debido a que el resto es diferente de cero y el cociente es 8a6a2 2 ++

c. no es posible debido a que el resto es diferente de cero y el cociente es 8a6a2 2 −−

d. Si es posible debido a que el resto es igual a cero y el cociente es Correcto 8a6a2 2 +−

Pregunta Nº 5

Hallar si existen las raíces racionales del polinomio 6xx)x(P 3 −−=

a. No existen b. 1, -1 c. 1 d. 2 Correcto

95 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 4: Factorización

Tema 4 /Sesión 7




.

Sesión 7



Actividades

* Leer el contenido de la sesión 7 sobre “Factor común”


sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 7: “Factor común” * Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 7

Factorización

Es el procedimiento matemático mediante el cual podemos

descomponer una expresión en factores. Se llama factores a los

elementos que, multiplicados entre sí, dan como resultado el término

original. De esta forma, podríamos decir que un número primo tiene

como factores el mismo número y la unidad.

Factor común

El Factor Común de un grupo de términos es el conjunto de

elementos que son comunes a todos los términos. La determinación

de estos elementos comunes nos conducen al proceso de

factorización dentro de una expresión algebraica.

Ejemplo 4.1

Determinar el factor común de los términos : a3,ab,2,a2 223

Podemos ver que "a" es común en todos los términos, luego es el

factor común.

Similarmente, si con los términos anteriores formásemos la expresión:



Tema 4 /Sesión 7



2a3 + a2 − ab2 + 3ª

Y teniendo en cuenta que “a” es el factor común, podemos decir

que:

2a3 + a2 − ab2 + 3a = a (2a2 + a − b2 + 3)

.

La cual es una factorización de la expresión original.

Nota

En una expresión algebraica no siempre es posible determinar un factor común y por ende, factorizarla, ya que al igual que los números primos, los únicos factores podrían ser ella misma y la unidad.

Factorización de un polinomio

En esta sesión, estudiaremos la forma de descomponer un polinomio

en dos o más factores diferentes de la unidad.

1. Factor común: monomio

Éste caso se presenta cuando todos los términos del polinomio

tienen como factor común un monomio, luego al factorizar el

polinomio tendremos el producto de un monomio por otro

polinomio.

En este caso el nuevo polinomio se obtiene de dividir cada uno de

los términos del polinomio inicial por el monomio respectivo.

Ejemplo 4.2

Factorizar x3 + 2x2 − 5x:

Todos los términos del polinomio tienen factor común “x”. Por lo

tanto, dividimos cada uno de los términos del polinomio y tenemos:

x3 + 2x2 − 5x = x (x2 + 2x − 5)

Luego los factores del polinomio x3 + 2x2 − 5x son x y x2 + 2x − 5.

Notemos la diferencia entre el factor común (x) de los términos del

polinomio y los factores (x y x2 + 2x − 5) en los que se puede

descomponer el polinomio. Por su puesto, el factor común es uno de

esos factores.

Ejemplo 4.3

1. Factorizar 2x3 + 6x2 − 12:


Tema 4 /Sesión 7



Aquí podemos ver que el factor

.

común no es una variable, sino un

valor constante, en este caso 2.

Luego:

x3 + 3x2 − 6)

2x3 + 6x2 − 12 = 2 (

2. Factorizar 3x3y − 6x2 y2 + 9xy − 12y:

ide a todos los términos y también lo hace la variable y.

or lo tanto:

3x3y − 6x2 y2 + 9xy − 12y = 3y (x3 − 2x2 y + 3x − 4)

Podemos ver en este caso, que hay más de un factor común. El

número 3 div

P

2. Factor común: polinomio

iene dos o más términos, es decir, es un

inomio o un polinomio.

n segundo lugar, cuando está

culto dentro del polinomio original.

.1. Factorización directa

ctamente cual es el polinomio que tomaremos como

factor común.

. Descomponer en factores 3x (y + 2) + 6 (y + 2):

ctivas divisiones de los términos por el factor

omún, tendremos:

Aquí, el factor común t

b

Estudiaremos dos casos, en primer lugar cuando el factor común

está explícitamente expresado y, e

o

2

El polinomio a factorizar está expresado de forma tal de poder

determinar dire

Ejemplo 4.4

1

Está determinado en forma explícita que el factor común es (y + 2),

al realizar las respe

c

( ) x32y

2yx3=

++ y

( ) 62y2y6

=++

Luego los factores serán: (y + 2) (3x + 6) ya

é

que cada uno de los

2. Descomponer en factores x (1 − y) + 1 − y:

t rminos del polinomio es divisible por (y + 2).

Aquí vemos que el factor común es (1 − y) y para poder extraer el


Tema 4 /Sesión 7



factor común, separamos el polinomio en dos términos x (1 − y) y (1 −

).

Luego, al realizar las divisiones, tenemos:

y

( ) xy1y1x

=−− y ( ) 1

y1y1

=−

.

−

Por lo tanto el polinomio queda factorizado como:

+ 1 − y = (1 − y) (x + 1) x (1 − y)

2.2. Factorización indirecta

E

vista no es posible determinar cuál es el polinomio factor común.

En este caso se tiene que realizar una agrup

l polinomio a factorizar está expresado de forma tal, que a simple

ación parcial de los

érminos, para identificar cuál es el polinomio común que permita

er en factores el polinomio original.

tor común es (x − 1).

Pero si realizamos una factorización parcial del término −x + 1,

tomando factor común (−1), podemos ver que:

t

descompon

Ejemplo 4.5

Descomponer en factores z (x − 1) − x + 1:

A primera vista no es posible decidir que el fac

z (x − 1) − x + 1 = z (x − 1) − (x − 1)

Y ahora si queda claro que el factor común es (x − 1), luego

factorizamos:

) = (x − 1) (z − 1) z (x − 1) − x + 1 = z (x − 1) − (x − 1

ctores serán (x − 1) y (z − 1).

aso, a diferencia del ejemplo anterior, está claro que no es

osible identificar cual es el polinomio factor común, por inspección

n primer lugar, tomaremos factores comunes parciales tanto para

la variable x como para la variable y.

Donde los fa

Ejemplo 4.6

Descomponer en factores ax + bx − ay − by:

En este c

p

directa.

E


Tema 4 /Sesión 7



ax + bx − ay − by = x (a + b) − y (a + b)

.

Ahor

(a + b) (x − y)

a podemos ver que el factor común es (a + b), luego:

ax + bx − ay − by = x (a + b) − y (a + b) =

De esta forma los factores son (a + b) y (x − y).

Ahora bien, la agrupación de los términos puede realizarse de otra

forma, por ejemplo tomando factores comunes parciales para las

const

− y) = (x − y) (a + b)

antes a y b:

ax + bx − ay − by = a (x − y) + b (x

Podemos realizar el

a. Escog

y) − z(1 − y)

= (1 − y) (x2 − z)

Y por su puesto el resultado es el mismo.

Ejemplo 4.7

1. Descomponer en factores x2 − z − yx2 + yz:

No se ve directamente cuáles son los factores.

proceso en dos formas diferentes:

emos como factores comunes x2 y z:

x2 − z − yx2 + yz = x2(1 − y) − (z − yz) = x2(1 −

b. Escogemos como factor común y entonces:

− yx2 + yz = x2 − z + y (z − x2) = x2 − z − y (x2 − z)

,

x2 − z

Aquí le cambiamo e ara poder tomar el

factor común:

s l signo a la expresión z − x2 p

x2 − z − y (x2 − z) = (x2 − z) (1 − y)

Luego obtenemos el mismo resultado de (a).

quí vemos que no hay un plan por donde empezar. Podríamos

comenzar tomando factor común en los términos que tienen x2, y

nos quedaría:

2. Descomponer en dos factores 4x − 2x2 − 8y + 4xy + x3 − 2yx2 :

A


Tema 4 /Sesión 7



−2x2 (1 + y) + 4x − 8y + 4xy + x3

.

Luego, podríamos orizando en parejas

s demás términos y aunque podemos hacerlos con 4x y 4xy :

buscar el término (1 + y) fact

lo

−2x2 (1 + y) + 4x (1 + y) − 8y + x3

Descubriríamos que no es posible conseguir el polinomio (1 + y) al

factorizar el otro término. Por lo tanto, no es un buen camino a

seguir. Así pues, podríamos intentar otros caminos y fracasar; sin

embargo, sí existe rminos 1º y 3º, 2º y

º, 5º y 6º, luego tenemos:

una vía y es factorizando los té

4

4(x − 2y) − 2x (x − 2y) + x2 (x − 2y)

Vemos ido el

olinomio (x – 2x), que nos permite realizar una factorización final:

que en cada factorización parcial hemos obten

p

4(x − 2y) − 2x (x − 2y) + x2 (x − 2y) = (x − 2y) (4 − 2x + x2)

3. Casos especiales

Consideraremos como casos especiales aquellos en donde

una regla, como es el cuadrado o el cubo

el caso de un polinomio, diremos que un

inomio cuadrado perfecto es el producto de dos binomios iguales.

Por ejemplo, el trinomio x + 2xy + y2 es un cuadrado perfecto

porque es el produc es decir, el

cuadrado de x + y, así:

podamos establecer

perfecto o aquellos en donde realizando una operación algebraica,

podemos determinar un caso conocido.

3.1. Cuadrado perfecto

Una expresión es un cuadrado perfecto cuando es el producto de

dos factores iguales. En

tr2

to del binomio x + y por si mismo,

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 (1)

¿Cómo podemos identificar que un trinomio es un cuadrado

perfecto? Para esto vamos a establecer una regla simple, pero

primero debemos saber determinar la raíz cuadrada de un

monomio.

Raíz cuadrada de un monomio: Para extraer la raíz cuadrada de un

monomio se extrae la raíz cuadrada del coeficiente y el exponente

de la es variabl s se divide entre dos (2).

Sin embargo, cuando hablamos de la raíz cuadrada del coeficiente


Tema 4 /Sesión 7



n

que

os referimos realmente a la raíz cuadrada positiva, ya que sabemos

.

24 ±= .

Lueg ecto

es la

Regla

Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando el primer y

gundo término es el doble

producto de dichas raíces.

sta regla es equivalente a la planteada para el cuadrado de la

. 9x2 − 6xy + y2

Podemos ver qu drados perfectos

:

Raíz cuadrada de 9x2 es 3x

cuadrada de y2 es y o, la regla para conocer si un trinomio es un cuadrado perf

siguiente:

tercer término son cuadrados perfectos, es decir, tienen

raíz cuadrada exacta, y el se

E

suma de un binomio (ver sesión 2).

Ejemplo 4.8

Determinar si los trinomios siguientes son un cuadrado perfecto:

a

e el primer y tercer término son cua

y

Raíz

De esta forma, el doble producto de las raíces es: 2 (3x) (y) = 6xy,

por lo tanto, sí es un cuadrado perfecto.

b. 4x2 + 10xy +

odemos ver que el primer y tercer término son cuadrados

Raíz cuadrada de 4x2 es 2x

25y2

P

perfectos y:

Raíz cuadrada de 25y2 es 5y

De esta forma, el doble producto de las raíces es: 2 (2x) (5y) = 20xy,

que no es igual al segundo término, por lo tanto, no es un cuadrado

. Factorizar el trinomio cuadrado perfect

lo

anto:

perfecto.

Ejemplo 4.9

1 o x2 + 6x + 9:

La raíz del primer término es x y la del tercer término es 3, por

t


Tema 4 /Sesión 7



x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

.

Ya que el signo del

2. Descomponer el trinomio cuadrado perfecto 36x2 − 36xy + 9y2:

o es 6x y la d l tercer término es 3y, por lo

36x2 − 36xy + 9y2 = (6x − 3y)2

segundo término es +.

La raíz del primer términ e

tanto:

Ya que el signo del segundo término es −.

3. Factorizar el trinomio 4

bxx ++

Podemos ver que si es un tr

b22 :

inomio cuadrado perfecto, porque la raíz

del primer término es x y la del tercer término es 2

y el doble b

roducto de estas raíces es 2 (x) p ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2b = bx, el cual es igual al

segundo término del trinomio.

Por lo tanto, cuando factorizamos tomando en cuenta el signo del

ino, nos queda:

,

segundo térm

222 bxbbxx ⎟

⎞⎜⎛ +=++ (2)

24 ⎠⎝

Ejemplo 4.10

D

un trinomio cuadrado

erfecto:

2x2 + 2x ( 2 − 8 8x + 16 = 4x2 − 16x + 16

escomponer el polinomio 2x2 + 2x (x − 4) − 8x + 16.

Ordenamos el polinomio para ver si es

p

x − 4) − 8x + 16 = 2x2 + 2x x −

ahora aplicamos la regla para factorizarlo:

2x

Raíz del tercer término: 4

Y

Raíz del primer término:

Doble Producto: 2 (2x) (4) = 16x

El doble producto es igual al segundo término del trinomio, por lo

anto es un cuadrado perfecto, luego:

8x + 16 = 4x2 − 16x + 16 = (2x − 4)2

t

2x2 + 2x (x − 4) −


Tema 4 /Sesión 7



.


Se is ón 7: Ejercicios Resueltos

Eje cicios: Factor común r

Procedimiento 1. Se identifica el factor común 2. e 3.

Se divid cada término del polinomio por el factor común Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un

aréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno spectivo signo)

pcon su re

Factorar o descomponer en dos factores:

1. aba2 +

Solución

3x − tiene la forma ax − ; por lo tanto, 3x = .

aba2 + El factor común es a

baabaaa2

=÷=÷

De tal manera que: )ba(aaba2 ÷=+

2bb + 2.

Solución

2bb +

El factor común es b 1bb =÷

bbb2 =÷ De tal manera que:

)b1(bbb 2 +=+

xx2 + 3. Solución

xx2 +

El factor común es x xxx =÷ 2

1xx =÷ De tal manera que:

)1x(xxx2 +=+

2 4. 3 aa3 − Solución

23 aa3 −

El factor común es a2 a3aa 23 =÷ 3

1aa 22 =÷


Tema 4 /Sesión 7



De tal manera que:

.

)1a3(aaa3 223 −=−

5. 3 4x4x − Solución

43 x4x −

El factor común es x3 1xx 33 =÷

x4xx4 34 =÷ De tal manera que:

)x41(xx4x 343 −=−

6. 2 1m5 + 3m5 Solución

32 m15m5 +

El factor común es 2m5 m3m5m 23 =÷ 15

1m5m5 22 =÷ De tal manera que:

)1m3(m5m15m5 232 +=+

7. bcab − Solución

bcab −

El actor común es b fabab =÷

cbbc =÷ De tal manera que:

)ca(bbcab −=−

z2 8. xyx 2 + Solución

zxyx 22 +

El fa tor común es x2 cyxyx 22 = ÷

zxz 22x =÷ De tal manera que:

)zy(xzxyx 222 +=+

22 ax6xa2 + 9. Solución

22 ax6xa2 +

El factor común es 2ax aax2xa2 2 =÷

x3ax2ax6 2 =÷ De tal manera que:

)x3a(ax2ax6xa2 22 +=+

mn12m8 2 − 10. Solución

mn12m8 2 −

El factor común es 4m


Tema 4 /Sesión 7



m2m4m8 2 =÷ n3m4mn12 =÷

.

De tal manera que:

)n3m2(m4mn12m8 2 −=−

11. xa9 3ax18− 23

Solución

323 ax18xa9 −

El factor mún es co 2ax9 2223 axxa9 =÷ a9x29ax18 23 =÷ ax

De tal manera que: )x2a(ax9ax18xa9 22323 −=−

12. 23dc15 32dc60+

Solución

3223 c60dc15 + d

El factor común es 22dc15 cdc15dc15 2223 =÷ d4dc15dc60 2232 =÷

De tal manera que: )d4c(dc15dc60dc15 223223 +=+

Ejercicios: Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación

Procedimiento

Re ordemos que "un polinomio entero y racional en x, que se anula cpar

l

Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la

imiento es menos laborioso que el e se presenta n el Álgebra de Baldor; pues, es más fácil calcular ) para varios v lores de x que realizar otras tantas divisiones

sint

a x = a, es divisible por x - a" (Corolario del Teorema del residuo) 1. Sacamos los divisores del término independiente 2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los

divisores hallados en el paso anterior 3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el poloinomio

se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores depolinomio; este factor es, x – a

4. "División sintética"

Nota: me parece que este procedqu eP(x a

éticas. Descomponer por evaluación: 1. 1xxx 23 −−+

Solución

El termino independiente es 1 Los ores de 1 son 1 y -1 divis

,1xxx)x(P 23 −−+=

;anulase:011111111)1(P 23 =−−+=−−+=⇒

);x(Padivide)1x( −∴

)x(Pdefactorunes)1x( −∴ Ah factor por médio de la ora, encontremos los coeficientes del otrodivisión sintética:

1 1 -1 -1 1 1 2 1


Tema 4 /Sesión 7



.

1 2 1 0

+∴ segundo fact r del polinomio y :1x2x2 + o22 )1x(1x2x +=++ {factorizando el trinomio cuadrado

perfec to} De tal manera que:

223 )1x)(1x(1xxx +−=−−+

2. 6xx4x 23 ++−

Solución El término independiente es 6 Los div ores de 6 son is 6y3,2,1 ±±±±

,6xx4x)x(P 23 ++−=

;anulase:061416)1()1(4)1()1(P 23 =+−−−=+−+−−−=−⇒

)1x( +∴ );x(Padivide

)x(Pdefatorunes)1x( +∴ Ahora, encontremos los coeficientes del otro factor por médio de la división sintética: -4 1 6 -1 1 -1 5 -6 6 0 -5 1

ndo factor del pol nomio y 65x 2 +−∴ : segu i65x 2 +− = factorizando el trinomio de la )2x)(3x( −− {

f cbxx 2 ++ } ormaDe tal manera que:

)2x)(3x)(1x(6xx4x 23 −−+=++−


Tema 4 /Sesión 7



.



1. Factorizar los siguientes polinomios:

a. 5346 x4x5x3x −++

b. 5

23

3

34

4

2

xba4

xba6

xba2

+−

c. 12

)x4(6

)x2(x63

)2x(2 2−−

−+

−

d. )x1(21x −+−

e. 3x3)1x)(1yx( 22 −−+−+

f. )x3(2x3)3x(a −−−+−

g. a6ax12x4x 2 −+−−

2

a. 222 a9yx4 − b. 42 y36x4 −

16x

94 2− c.

4

2

6

4

y9b4

xa25

− d.

. Factorizar cada uno de los siguientes binomios:


Tema 4 /Sesión 7



.


Sesión 7

Autoevaluación 7

Pregunta Nº 1 Fac 6torizar x 2 +− 8x a. )4x)(2x( ++ b. )8x)(6x( −− c. )(2x( + )4x − d. )4x)(2x( −− Pre º gunta N 2 Factorizar 37 xx + a. )2x(x 3 +

b. )1x(x 34 −

c. )1x(x 43 −

)1x(x 43 + d. Pre Ngunta º 3 Factorizar el trinomio cuadrado perfecto 9x6x 2 ++

a. )2x)(3x( ++ b. )1x)(9x( ++

c. 2)x( + 3

d. 2)3x( − Pre ºgunta N 4 Fac 5torizar 2 +− 49x70x2

a. 2)5x7( +

b. 2)7x5( −

c. 2)5x7( −

d. 2)7x5( + Pregunta Nº 5 Fac )3x(b)3x(a +++ torizar

a. )3x(ab − b. )3x(ab +


Tema 4 /Sesión 7



c. )ba)(3x( −− d. )ba)(3x( ++

.



Sesión 7


Pregunta Nº 1 Factorizar x 2 − 8x6 + a. )(2x( + )4x + b. )8x)(6x( −− c. )8x)(6x( ++ d. − )4x)(2x( − Correcto Pre º gunta N 2 Fa 37ctorizar xx +

a. )2x(x2 +

)1x(x 34 − b.

c. )2x(x 4 −

d. )1x(x 43 + Correcto Pregunta Nº 3 Factorizar e rinomio cuadrado perfectol t 9x6x 2 ++

a. +x)(x( )23 +b. + )1x)(9x( +

c. Correcto 2)3x( + d. 2)3x( − Pre ºgunta N 4 Factorizar x25 2 49x70 +−

a. )5x7( 2 +

b. 2)7x5( − Correcto

c. 2)5x7( −

d. 2)7x5( + Pregunta Nº 5

)3x(b)3x(a +++ Factorizar


Tema 4 /Sesión 7



a. )3x(ab − b. )3x(ab + Correcto c. )ba)(3x( −− d. )ba)(3x( ++


Tema 4 / Sesión 8




.

Sesión 8



Actividades

* Leer el contenido de la sesión 8 sobre “Diferencia de cuadrados”


sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 8: “Diferencia de cuadrados”


3.2. Diferencia de cuadrados

Es el procedimiento recíproco al producto de la suma por la

diferencia (ver sesión 2) Así:

x2 − y2 = (x + y) (x − y)

Podemos enunciar una regla práctica para factorizar una diferencia

de cuadrados.

Regla

Se extrae la raíz cuadrada a ambos términos y se

multiplica la suma de esas raíces por la diferencia de la

raíz del primer término, menos el segundo término.

Ejemplo 4.11

Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:

1. 4 − 9x2

Raíz del primer término: 2

Raíz del segundo término: 3x


Tema 4 / Sesión 8



Luego, la factorización será:

4 − 9x2 = (2 + 3x) (2 − 3x)

.

2. x2n − y2n

aíz del segundo término: yn


x2n − y2n = (xn + yn) (xn − yn)

Raíz del primer término: xn

R

3. x2 − (x −y)2

aíz del segundo término: x − y

Luego, factorización será:

x2 − (x

= (x + x − y) (x − x + y) = (2x −y) (y)

Raíz del primer término: x

R

la

−y)2 = [x + (x − y)] [x − (x − y)]

Ejemplo 4.12

escomponer el polinomio x2 + 2xy + y2 − 4.

er lugar tenemos un trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y2.

Luego:

x2 + 2xy + y2 − 4 = (x + y)2 − 4

D

En prim

Ahora nos queda una diferencia de cuadrados y, aplicando la

regla, t ndremos:

x2 + 2xy + y2 − y) + 2] [(x + y) − 2]

= (x + y + 2) (x + y − 2)

e

4 = (x + y)2 − 4 = [(x +

3.3. Conversión de un trinomio cuadrado perfecto

mino no cumple la condición para un

En este caso tenemos un trinomio que no es cuadrado perfecto, ya

que al determinar las raíces del primer y tercer término, el término

doble producto de la primera por la segunda raíz no coincide con el

segundo término del trinomio original. Por ejemplo, para el trinomio

x2 + xy + y2, el segundo tér


Tema 4 / Sesión 8



trinomio cuadrado perfecto.

Este problema se resuelve mediante la adición de un término

múltiplo del segundo término del trinomio original que lo convierta

en un trinomio cuadrado perfecto. Sin embargo, para que esta

suma no altere el trinomio original, se tiene que restar el mismo

término. De est

.

a forma, la expresión resultante será una diferencia

e cuadrados.

jemplo 4.13

escomponer el polinomio x4 + x2y2 + y4.

ara que el trinomio no se altere, también hay que restarle la misma:

x4 + x2y + x2y2 − x − x2y2

xy]

= (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 − xy)

d

E

D

Como sabemos no es un trinomio cuadrado perfecto. Para que lo

sea hay que lograr que el segundo término x2y2 se convierta en 2x2y2,

para que sea el doble producto de las raíces del primer y tercer

término. Esto se consigue sumando x2y2 al polinomio original, pero

p

2 + y4 2y2 = x4 + 2x2y2 + y4

= (x2 + y2)2 − x2y2

= [(x2 + y2) + xy] [(x2 + y2) −

Ejemplo 4.14

escomponer el polinomio x4 − 45x2 + 100:

o perfecto, por lo cual tenemos que sumarle en este caso

5x2. Así:

x4 − 45x2 + 100 − 25x2

= (x2 − 10)2 − 25x2 = (x2 − 10 + 5x) (x2 − 10 − 5x)

D

Las raíces son x2 y 10, luego el doble producto de la primera por la

segunda raíz será 20x2. Esto nos indica que el trinomio no es

cuadrad

2

= x4 − 45x2 + 100 + 25x2

= x4 − 20x2 + 100 − 25x2

Podemos tener un caso especial, en el cual el polinomio original no

es un trinomio sino una suma de cuadrados. En general, una suma

de cuadrados no tiene factorización, pero hay algunos casos en

que sumándole y restándole una misma cantidad, puede llevarse a

ste caso y luego descomponerse.

jemplo 4.15

Desco poner el polinomio x4 + 4y4.

n en

e

E

m

En este caso las raíces son x2 y 2y2. Para convertir esta expresió


Tema 4 / Sesión 8



un cuadrado perfecto tenemos que sumarle 4x2y2 y tendremos:

x4 + 4y4 x2y2. = x4 + 4x2y2 + 4y4 − 4x2y2.

xy]

= (x2 + 2y2 + 2xy) (x2 + 2y2 − 2xy)

= x4 + 4y4 + 4x2y2 − 4

= (x2 + 2y2)2 − 4x2y2

= [(x2 + 2y2) + 2xy] [(x2 + 2y2) − 2

.

3.4. Trinomio de la forma x2 + bx + c

enen que ver con la obtención de las raíces del trinomio.

iones

e Seg

R a

puesto

3. Los números seleccionados serán las raíces del trinomio.

ecir que el procedimiento es buscar dos

úmeros x1 y x2 tal que:

x1 x2 = c y x1 + x2 = −b

Este trinomio no tiene las características de un cuadrado perfecto y,

en algunos casos, tampoco puede ser convertido en uno de ese

tipo. Para factorizarlo, hay dos formas prácticas de hacerlo que

ti

Una de ellas la veremos en la unidad 7 sesión 15 de las Ecuac

d undo Grado (ver sesión 7) y la otra regla es la siguiente:

egl

Hallar pares de números cuyo producto sea igual

1. al tercer

término (c), también llamado término independiente.

Seleccionar el par de números cuya suma 2. sea igual al o

del coeficiente del segundo término (– b).

En general podemos d

n

Los números x1 y x2 son las raíces del trinomio x2 + bx + c y podemos

actorizarlo como:

x2 + bx + c = (x − x1 ) (x − x2 )

f

Ejemplo 4.16

1. Factorizar el trinomio x2 + 4x − 12

omenzamos buscando los pares de números cuyo producto es −12.

os pares son: 1 y −12, −1 y 12, 2 y −6, −2 y 6, 3 y −4, −3 y 4.

ple esa condición es: 2 y −6, ya

ue 2 + (−6) = −4, el opuesto de 4.

C

L

De esos seis pares debemos seleccionar el que cumpla la segunda

condición, es decir, que su suma sea igual al opuesto del segundo

término. Así, el único par que cum

q


Tema 4 / Sesión 8




6)] = (x − 2)(x + 6)

x2 + 4x − 12 = (x − 2)[x − (−

2

.

. Factorizar el trinomio x2 − 10x + 21

omenzamos buscando los pares de números cuyo producto es 21.

Los pares son: 1 y 21, −1 y −21, 3 y 7, −3 y −7.

ón es: 3 y 7, ya que 3 + 7 =

0, el opuesto del segundo término −10.

uego, la factorización será:

x2 − 10x + 21 = (x − 3)(x − 7)

C

El único par que cumple la otra condici

1

L

Este proceso puede ser generalizado para los trinomios de la forma

ax2 + bx + c, en el cual el primer término presenta un coeficiente

asocia

R a

omio

en donde b1 = b y c1, = ac.

3. Aplicar la Regla anterior.

. Factorizar el trinomio 3x2 + 7x − 6

r multiplicamos y dividimos por el coeficiente del

primer término:

3x2 + 7x − 6 =

do (a). Para factorizar este caso tendremos la siguiente regla:

egl

Multiplicar y

1. dividir todo el trinomio por el coeficiente del primer

término (a).

Hacer el cambio de variable ax = t, para obtener un trin2.

de la forma t2 + b1 t + c1 ,

Ejemplo 4.17

1

En primer luga

( ) ( ) ( )3

18x37x33

6x7x33 22 −+=

−+

Ahora, hacemos el cambio de variable 3x = t y obtenemos:

( ) ( ) ( )18t7t31

318x37x3 2

2−+=

−+ (3)

Luego, aplicamos la primera Regla al polinomio t2 + 7t − 18 y

uscamos los pares de números cuyo producto es −18. b

Los pares son: 1 y −18, −1 y 18, 2 y −9, −2 y 9, 3 y −6, −6 y 3.


Tema 4 / Sesión 8



El par que cumple la segunda condición es: 2 y −9, ya que

2 + −9) = −7, el opuesto del segundo término (7).

e esta forma la factorización del trinomio t2 + 7t − 18 es:

t2 + 7t − 18 = (t − 2)[t − (−9)] = (t − 2)(t + 9)

.

(

D

Al regresar a la variable original (x), en la igualdad (3), tendremos la

escomposición:

3x2 + 7x − 6 =

d

( ) ( ) ( )18t7t31

318x37x3 2

2−+=

−+

= 31 (t − 2)(t + 9) =

31 (3x − 2)(3x + 9)

= (3x − 2)(x + 3)

Esta es la factorización final, que resulta al multiplicar el número (1/3)

r ificar los coeficientes.

. Factorizar el trinomio 5x2 − 13x − 6

multiplicamos y dividimos por el coeficiente del

rimer término:

po el factor (3x + 9), para poder simpl

2

En primer lugar

p

5x2 − 13x − 6 = ( ) ( ) ( )5

30x513x55

6x13x55 22 −−=

−−

Ahora, hacemos el cambio de variable 5x = t y obtenemos:

5x2 − 13x − 6 = ( ) ( ) ( )30t13t51

530x513x5 2

2−−=

−− (4)

Luego, aplicamos la primera Regla al polinomio t2 − 13t − 30 y

buscamos los pares de números cuyo producto es −30.

Vemos que el único par que cumple con la segunda condición es −2

y 15, ya que su suma (−2) + 15 = 13 es el opuesto del segundo

término −13.

De esta forma la factorización del trinomio t2 − 13t − 30 es:

t2 − 13t − 30 = [t − (−2)] (t − 15) = (t + 2)(t − 15)

Ahora, sustituyendo esta factorización en la igualdad (4), tendremos:

5x2 − 13x − 6 = ( )30t13t51 2 −− =

51 (t + 2)(t − 15)


Tema 4 / Sesión 8



Y regresando a la variable original, se tiene:

5x2 − 13x − 6 = 51 (5x + 2)(5x − 15) = (5x + 2)(x − 3)

.

Cuando veamos la fórmula cuadrática en el Capítulo 8, veremos

otro procedimiento para conseguir la factorización de esta clase de

trinomios.

Ahora veremos unos casos especiales, en donde podremos

resolverlos haciendo un cambio de variable y utilizando el mismo

procedimiento anterior.

Ejemplo 4.18

1. Factorizar el trinomio 12 − 7x −10x2

Primero ordenamos el trinomio por su potencia de mayor a menor.

Así:

−10x2 − 7x + 12

Luego vemos que su diferencia con los casos anteriores está en el

signo negativo del coeficiente del primer término.

Por lo tanto, debemos ahora evitar ese signo, tomando factor

común el valor (−1) y obtendremos un trinomio similar a los ya

estudiados:

−10x2 − 7x + 12 = − (10x2 + 7x − 12)

Ahora, al nuevo trinomio lo multiplicamos y dividimos por 10:

− (10x2 + 7x − 12) = ( ) ( ) ( )10

120x107x1010

12x7x1010 22 −+−=

−+−

Después hacemos el cambio de variable t = 10x y luego aplicamos

la Regla 1 para factorizar, así:

− (10x2 + 7x − 12) = ( ) ( ) ( )120t7t101

10120x107x10 2

2−+−=

−+−

= − 101 (t + 15)(t − 8) = −

101 (10x + 15)(10x − 8)

= − 51 (10x + 15)

21 (10x − 8) = − (2x + 3)(5x − 4)


Tema 4 / Sesión 8



2. Factorizar el trinomio 6x4 + 5x2 − 6.

En este caso, la primera potencia del trinomio no es cuadrada, pero

con un cambio de variable (x2 = t) podemos formar otro polinomio

equivalente de potencia cuadrada. Así:

6x4 + 5x2 − 6 = 6t2 + 5t − 6

.

Ahora procedemos como en los casos anteriores

6t2 +5t− 6 = ( ) ( ) ( ) ( )36w5w61

636t65t6

66t5t66 2

22−+=

−+=

−+

= 61 (w + 9)(w − 4) =

61 (6t + 9)(6t − 4) = (2t + 3)(3t − 2)

Y regresando al cambio de variable inicial nos queda:

6x4 + 5x2 − 6 = (2x2 + 3)(3x2 − 2)


Tema 4 / Sesión 8




.

Sesión 8: Ejercicios resueltos

Ejercicios: Diferencia de cuadrados perfectos

Procedimiento 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la

diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. Factorar o descomponer en dos factores: 1. 22 yx −

Solución

22 yx −

x: raíz cuadrada del minuendo y: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que: )yx)(yx(yx 22 −+=−

2. 1 a2 −

Solución

1a2 −

x: raíz cuadrada del minuendo 1: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que:

)1a)(1a(1a2 −+=−

3. 4a2 − Solución

4a2 −

x: raíz cuadrada del minuendo 2: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que: )2a)(2a(4a2 −+=−

4. 2b9 −

Solución

2b9 −

3: raíz cuadrada del minuendo b: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que: )b3)(b3(b9 2 −+=−

2m415. −

Solución

22 )m2(1m41 −=−

1: raíz cuadrada del minuendo 2m: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que: )m21)(m21(m41 2 −+=−


Tema 4 / Sesión 8



6. 2n16 − Solución

.

2n16 −

4: raíz cuadrada del minuendo n: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que: )n4)(n4(n16 2 −+=−

7. 25a2 −

Solución

25a2 −

a: raíz cuadrada del minuendo 5: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que: ) 5a)(5a(25a2 −+=−

8. 2y1−

Solución

2y1−

1: raíz cuadrada del minuendo y: raíz cuadrada del sustraendo

De tal manera que: )y1)(y1(y1 2 −+=−

Ejercicios: Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos)

Procedimiento 1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) 2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto 3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante 4. Se reduce, si es el caso

Factorizar o descomponer en dos factores:

1. 222 xbab2a −++

Solución

222222 x)bab2a(xbab2a −++=−++

{agrupando convenientemente}, 22222 x)ba(xbab2a −+=−++⇒

{factorizando el trinomio cuadrado perfecto}; )xba)(xba(xbab2a 222 −+++=−++∴{factorizando la diferencia de cuadrados}

2. 222 myxy2x −+−

Solución

222222 m)yxy2x(myxy2x −+−=−+−

{agrupando convenientemente}, 2−−=−+−⇒ 2222 m)yx(myxy2x

{factorizando el trinomio cuadrado perfecto};

)myx)(myx(2m2yxy22x −−+−=−+−∴ {factorizando la diferencia de cuadrados}


Tema 4 / Sesión 8



3. 1 nmn2m 22 −++ Solución

1)nmn2m(1nmn2m 2222 −++=−++ {agrupando convenientemente},

1)nm(1nmn2m 222

.

−+=−++⇒ {factorizando el trinomio cuadrado perfecto};

)1nm)(1nm(1nmn2m 22 −+++=−++∴ {factorizando la diferencia de cuadrados}

4. 22 b1a2a −+−

Solución

2222 b)1a2a(b1a2a −+−=−+−

{agrupando convenientemente}, 2222 b)1a(b1a2a −−=−+−⇒

{factorizando el trinomio cuadrado perfecto}; )b1a)(b1a(b1a2a 22 −−+−=−+−⇒

{factorizando la diferencia de cuadrados}; )1ba)(1ba(b1a2a 22 −−−+=−+−∴{ordenado}

5. 22 c9n6n −++

Solución

2222 c)9n6n(c9n6n −++=−++

{agrupando convenientemente}, 2222 c)3n(c9n6n −+=−++⇒

{factorizando el trinomio cuadrado perfecto};

)c3n)(c3n(c9n6n 22 −+++=−++⇒ {factorizando la diferencia de cuadrados};

)3cn)(3cn(c9n6n +−++=−++⇒ 22 {ordenado}

6. 4ax2xa 22 −++

Solución

4)xax2a(4ax2xa 2222 −++=−++

{ordenado y agrupando convenientemente}, 4)xa(4ax2xa −+=−++⇒ 222

{factorizando el trinomio cuadrado perfecto}; )2xa)(2xa(4ax2xa 22 −+++=−++∴

{factorizando la diferencia de cuadrados}

7. 22 b9a44a −−+ Solución

2222 b9)4a4a(b9a44a −+−=−−+

{ordenado y agrupando convenientemente}, 2222 b9)2a(b9a44a −−=−−+⇒

{factorizando el trinomio cuadrado perfecto}; )b32a)(b32a(b9a44a 22 −−+−=−−+⇒

{factorizando la diferencia de cuadrados} )2b3a)(2b3a(b9a44a 22 −−−+=−−+∴{ordenado}


Tema 4 / Sesión 8



Ejercicios: Trinomio de la forma cbxx 2 ++

.

Procedimiento

1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá

un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz

será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el

segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del

segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis

6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis

9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8

Factorar o descomponer en dos factores:

1. 10x7x 2 ++

Solución

10x7x 2 ++

x: raíz cuadrada del primer término del trinomio +: signo del segundo término del trinomio

+ por + da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 5+2 = 7: coeficiente del segundo término del trinomio 5x2 = 10: coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que: )2x)(5x(10x7x2 ++=++

2. 6x5x 2 +−

Solución

6x5x 2 +−

x : raíz cuadrada del primer término del trinomio - : signo del segundo término del trinomio - por + da - : aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 3+2 = 5: coeficiente del segundo término del trinomio 3x2 = 6: coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que: )2x)(3x(6x5x2 −−=+−

3. 10x3x 2 −+

Solución

10x3x2 −+

x : raíz cuadrada del primer término del trinomio + : signo del segundo término del trinomio + por - da - : aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 5-2 = 3: coeficiente del segundo término del trinomio 5x2 = 10: coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que:


Tema 4 / Sesión 8



)2x)(5x(10x3x2 −+=−+

.

4. 2xx2 −+ Solución

2xx2 −+

x : raíz cuadrada del primer término del trinomio +: signo del segundo término del trinomio + por - da - : aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 2-1 = 1: coeficiente del segundo término del trinomio 2x1 = 2: coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que: )1x)(2x(2xx2 −+=−+

5. 3a4a2 ++

Solución

3a4a2 ++ a : raíz cuadrada del primer término del trinomio +: signo del segundo término del trinomio + por + da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 3+1 = 4: coeficiente del segundo término del trinomio 3x1 = 3: coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que: )1a)(3a(3a4a2 ++=++

6. 14m5m2 −+

Solución

14m5m2 −+

m : raíz cuadrada del primer término del trinomio +: signo del segundo término del trinomio + por - da - : aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 7-2 = 5: coeficiente del segundo término del trinomio 7x2 = 14: coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que: )2m)(7m(14m5m2 −+=−+

7. 20y9y2 +−

Solución

20y9y2 +−

y : raíz cuadrada del primer término del trinomio - : signo del segundo término del trinomio - por + da - : aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 5+4 = 9: coeficiente del segundo término del trinomio 5x4 = 20: coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que: )4y)(5y(20y9y2 −−=+−

8. 432a42a2 ++ Solución

432a42a2 ++ a : raíz cuadrada del primer término del trinomio +: signo del segundo término del trinomio + por + da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 24+18 = 42: coeficiente del 2do término del trinomio 24x18 = 432: coeficiente del tercer término del trinomio


Tema 4 / Sesión 8



432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1

.

De tal manera que:

)18a)(24a(432a42a2 ++=++ 9. 675m30m2 −−

Solución:

675m30m2 −−

m : raíz cuadrada del primer término del trinomio - : signo del segundo término del trinomio - por - da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 45-15 = 30: coeficiente del segundo término del trinomio 45x15 = 675: coeficiente del tercer término del trinomio

675 3 225 3 75 3 25 5 5 5 1

De tal manera que: )15m)(45m(675m30m2 +−=−−

10. 336y50y2 ++ Solución:

336y50y2 ++ y : raíz cuadrada del primer término del trinomio +: signo del segundo término del trinomio + por + da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 42+8 = 50: coeficiente del segundo término del trinomio 42x8 = 336: coeficiente del tercer término del trinomio

336 2 168 2 84 2 42 2 21 3 7 7 1

De tal manera que:

)8y)(42y(336y50y2 ++=++ 11. 528x2x 2 −−

Solución:

528x2x 2 −−

x : raíz cuadrada del primer término del trinomio - : signo del segundo término del trinomio - por - da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 24-22= 2: coeficiente del segundo término del trinomio 24x22 = 528: coeficiente del tercer término del trinomio


Tema 4 / Sesión 8



.

528 2 264 2 132 2 66 2 33 3 11 11 1

De tal manera que:

)22m)(24m(528x2x2 +−=−−

12. 432n43n2 ++ Solución

432n43n2 ++

n : raíz cuadrada del primer término del trinomio +: signo del segundo término del trinomio + por + da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 27+16= 43: coeficiente del segundo término del trinomio 27x16 = 432: coeficiente del tercer término del trinomio

432 2

216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1

De tal manera que:

)16n)(27n(432n43n2 ++=++

13. 320c4c2 −−

Solución

320c4c2 −−

c : raíz cuadrada del primer término del trinomio - : signo del segundo término del trinomio - por - da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 20-16= 4: coeficiente del segundo término del trinomio 20x16 = 320: coeficiente del tercer término del trinomio

320 2

160 2 80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1

De tal manera que:

)16c)(20c(320c4c2 +−=−−

14. 1008m8m2 −−

Solución

1008m8m2 −− m : raíz cuadrada del primer término del trinomio - : signo del segundo término del trinomio - por - da +: aplicamos la “Ley de los Signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos


Tema 4 / Sesión 8



36-28= 4: coeficiente del segundo término del trinomio

.

36x28 = 1008: coeficiente del tercer término del trinomio

1008 2 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 7 7 1

De tal manera que:

)28m)(36m(1008m8m2 +−=−−


Tema 4 / Sesión 8




.


1. Factorizar cada uno de los siguientes trinomios:

a. x4x4 2 −+ b. xx6 2 −− c. 60x17x 2 −− d. 24x2x 24 −− e. 22 xax2a15 −+ f. 42x52x16 2 ++


Tema 4 / Sesión 8




.

Sesión 8

Autoevaluación 8

Pregunta Nº 1 Factorizar la siguiente diferencia de cuadrado )b1636( − a. )b46)(b46( −−b. )b46)(b46( ++c. )b41)(b436( +−d. )b46)(b46( −+ Pregunta Nº 2 Factorizar el trinomio 862 ++ xx a. )4x)(2x( +−b. )2x)(4x( ++c. )3x)(2x( −−d. )3x)(2x( ++

Pregunta Nº 3 Factorizar la siguiente diferencia de cuadrado 22 z)tw( −+

([ ) ] ( )[ ]ztwztw +++a. +

b. ( )[ ] ( )[ ]ztwztw −−−+ c. ( )[ ] ( )[ ]ztwztw −−+− d. ( )[ ] ( )[ ]ztwztw −−++ Pregunta Nº 4 Factorizar el trinomio 5.1x5.0x 2 −−

a. )1x)(5.1x( +− b. )1x)(5.0x( −+ c. )1x)(5.1x( −+ d. )1x)(5.0x( +− Pregunta Nº 5 Descomponer el polinomio 4224 yyxx ++

a. ) xyyx)(xyyx( 2222 −+++

b. ) xyyx)(xyyx( 2222 −−++

c. )xyyx)(xyyx( 2222 −−−−

d. )xyyx)(xyyx( 2222 ++++ Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.


Tema 4 / Sesión 8




.

Sesión 8


Pregunta Nº 1 Factorizar la siguiente diferencia de cuadrado )b1636( − a. )b46)(b46( −−b. )b46)(b46( ++c. Correcto )b46)(b46( −+d. )b41)(b436( +− Pregunta Nº 2 Factorizar el trinomio 862 ++ xx a. )4x)(2x( +−b. Correcto )2x)(4x( ++c. )3x)(2x( −−d. )3x)(2x( ++

Pregunta Nº 3 Factorizar la siguiente diferencia de cuadrado 22 z)tw( −+

([ ) ] ( )[ ztwztw +++ ] Correcto a. +

b. ( )[ ] ( )[ ]ztwztw −−−+ c. ( )[ ] ( )[ ]ztwztw −−+− d. ( )[ ] ( )[ ]ztwztw −−++ Pregunta Nº 4 Factorizar el trinomio 5.1x5.0x 2 −−

a. )1x)(5.1x( −+ b. )1x)(5.0x( −+ c. )1x)(5.1x( +− Correcto d. )1x)(5.0x( +− Pregunta Nº 5 Descomponer el polinomio 4224 yyxx ++

a. ) xyyx)(xyyx( 2222 −−++

b. )xyyx)(xyyx( 2222 −−−−

c. ) Correcto xyyx)(xyyx( 2222 −+++

d. )xyyx)(xyyx( 2222 ++++


Tema 4 / Sesión 9




.

Sesión 9



Actividades

* Leer el contenido de la sesión 9 sobre “Cubo Perfecto”


sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 9: “Cubo perfecto” * Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 9

3.5. Cubo perfecto

La factorización como el cubo perfecto de un binomio, es el

proceso inverso del cubo de un binomio (ver sesión 2), en el cual

utilizamos los algoritmos:

(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 (5)

(x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3x y2 − y3 (6)

Luego, para identificar si un polinomio es el cubo perfecto de un

binomio, debemos tener presente varios elementos, entre ellos ¿qué

es la raíz cúbica de un monomio?

Raíz cúbica de un monomio: Para extraer la raíz cúbica de un

monomio se extrae la raíz cúbica del coeficiente y el exponente de

las variables se divide por tres (3).

Por ejemplo, la raíz cúbica de 64x21y6 es 4x7y2, ya que:

(4x7y2)3 = (43x(7)(3) y(2)(3) ) = 64x21y6

Ahora, ¿cuál es la regla para determinar el cubo perfecto?


Tema 4 / Sesión 9



La regla para conocer si un polinomio es un cubo perfecto, es la

siguiente:

.

Regla

1. Debe tener cuatro términos.

2. El primer y último término deben ser el cubo perfecto

de un monomio.

3. El segundo término debe ser el triple del producto del

cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la

raíz cúbica del último término.

4. El tercer término debe ser el triple del producto de la

raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la

raíz cúbica del último término.

Si todos los términos del polinomio son positivos, tendremos el cubo

de la suma (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 y si los términos tienen

signos alternos, tendremos el cubo de la resta (x − y)3 = x3 − 3x2 y +

3x y2 − y3.

Ejemplo 4.19

1. Determinar si el polinomio 8x3 + 36x2y + 54x y2 + 27y3 es un cubo

perfecto. Para comprobarlo veamos que cumple los cuatro

pasos de la regla:

Raíz cúbica del primer término 8x3: 2x

Raíz cúbica del último término 27y3: 3y

Luego, el segundo término será: , y el tercer

término será:

yx36)y3()x2(3 22 =

22 xy54)y3)(x2(3 =

De esta forma vemos que la factorización del polinomio sí es un

cubo perfecto:

8x3 + 36x2y + 54x y2 + 27y3 = (2x + 3y)3

2. Factorizar el polinomio 1 + 12x4y2 − 6x2y − 8x6y3:

Comenzamos buscando las raíces cúbicas y aplicamos la regla:

Raíz cúbica del primer término 1 : 1

Raíz cúbica del último término 8x6y3: 2x2y

El segundo término será: 3(1)2(2x2y) = 6x2 y

El tercer término será: 3(1)(2x2y)2 = 12x4y2

Por lo tanto, si ordenamos un poco el polinomio 1 + 12x4y2 − 6x2y −

8x6y3, obtendremos 1 − 6x2y + 12x4y2 − 8x6y3, el cual tiene el segundo

y tercer término buscado.


Tema 4 / Sesión 9



Luego la factorización, tomando en cuenta la alternabilidad de los

signos será:

1 + 12x4y2 − 6x2y − 8x6y3 = 1 − 6x2y + 12x4y2 − 8x6y3 = (1 − 2x2y)3

.

3.6. Suma o diferencia de potencias iguales

La factorización de la suma o diferencia de potencias iguales, tiene

que ver con el procedimiento inverso de los procesos estudiados

anteriormente (ver sesión 3), en el cual vimos los siguientes casos:

1. es divisible por x − y siendo n par o impar nn yx −

2. es divisible por x + y cuando n es par nn yx −

3. es divisible por x + y siendo n impar nn yx +

4. nunca es divisible por x − y nn yx +

Luego, en los casos (1) al (3), el término (x + y) o (x - y), según fuere

el caso, es un factor de la correspondiente suma o diferencia de

potencias iguales. Utilizando algoritmos, iguales o similares al (13) de

la (sesión 2), podremos desarrollar la factorización del polinomio.

Ejemplo 4.20

1. Factorizar 8x3 + y3:

Según el caso (4), sólo podrá factorizarse por (2x + y) según el caso

(3), y su factorización, utilizando el algoritmo (13) (ver sesión 2) será:

8x3 + y3 = (2x + y) [(2x)2 − 2xy +( y)2] = (2x + y) (4x2 − 2xy + y2)

2. Factorizar 81x4 − 16:

Como es una diferencia de potencias pares, según los casos (1) y

(2), tendremos dos formas de factorizarlo (ver sesión 2):

a. Por (3x - 2). En este caso utilizaremos:

81x4 − 16 = (3x − 2)[(3x) 3 + (3x)2 (2) + (3x)(2)2 + (2)3]

= (3x − 2)(27x 3 + 18x2 + 12x + 8)

b. Por (3x + 2). En este caso utilizaremos:

81x4 − 16 = (3x + 2)[(3x) 3 − (3x)2 (2) + (3x)(2)2 − (2)3]

= (3x − 2)(27x 3 − 18x2 + 12x − 8)


Tema 4 / Sesión 9



3. Factorizar (x + y)3 − (x − y)3:

Este caso puede ser factorizado utilizando lo visto anteriormente,

aunque cada término elevado a la potencia cúbica sea un

binomio. Para ello, consideraremos cada binomio como un solo

término y utilizaremos lo antes visto, así:

(x + y)3 − (x − y)3. = [(x + y) − (x − y)][(x + y)2 +(x + y)(x − y) + (x − y)2]

= [x + y − x + y][x2 + 2xy + y2 + x2− y2 + x2 − 2xy + y2]

= [2y] [3x2 + y2]

.

4. Descomposición en más de dos factores

La factorización de un polinomio en más de dos factores no se

puede expresar mediante una regla en particular, pero su

descomposición está sustentada en el Teorema Fundamental del

Álgebra y sus corolarios.

Teorema fundamental del álgebra

Todo polinomio P(x) de grado positivo n, tiene

por lo menos una raíz compleja.

La demostración de este teorema, ver [4], no está en los objetivos de

este curso, ya que se necesitan conocimientos de matemáticas algo

más avanzados. Sin embargo, sus corolarios o consecuencias,

aunque tampoco las demostraremos, son de gran importancia para

la factorización de un polinomio con coeficientes reales.

Teorema sobre una raíz real

Todo polinomio P(x) de grado positivo n impar,

tiene por lo menos una raíz real.

Teorema sobre los factores

Todo polinomio con coeficientes reales y grado positivo n,

se puede expresar como un producto de polinomios

lineales y cuadráticos, con coeficientes reales tal que los

factores cuadráticos sean irreductibles.

En general, decimos que los factores son primos, ya que no es

posible descomponerlos en polinomios de grado menor. De esta

forma, ambos teoremas garantizan el proceso de factorización, pero

no dicen como se realiza este proceso. Aunque, como dijimos no

existe una regla determinada, siempre es importante comenzar

sacando algún factor común, si lo hay, y luego continuar el proceso


Tema 4 / Sesión 9



aplicando la Regla de Ruffini o División Sintética.

Ejemplo 4.21

1. Factorizar 2x2 − 8:

Comenzamos sacando factor común el coeficiente 2:

.

2x2 − 8 = 2(x2 − 4)

En donde el factor x2 − 4 es una diferencia de cuadrados (ver sesión

8), la descomposición será:

2x2 − 8 = 2(x2 − 4) = 2(x − 2)(x + 2)

2. Descomponer 3x4 − 3:

Mediante el mismo procedimiento tendremos:

3x4 − 3 = 3(x4 − 1) = 3(x2 + 1)(x2 − 1) = 3(x2 + 1)(x − 1)(x + 1)

Ejemplo 4.22

1. Factorizar x3 − 4x2 + x + 6:

Aplicando el Teorema de la sección 3.4.3 a P(x) = x3 − 4x2 + x + 6,

vemos que las posibles raíces racionales son ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

Luego utilizando el Teorema del Resto en P(x), comprobamos cuales

de las posibles son realmente raíces

P(1) = 4 entonces x = 1 no es raíz

P(−1) = 0 entonces x = −1 es raíz

De esta forma sabemos que:

x3 − 4x2 + x + 6 = (x + 1)Q(x)

En donde Q(x) es un polinomio de un grado menos que el polinomio

P(x), luego utilizando la División Sintética podemos hallar dicho

polinomio.

1 -4 1 6

-1 5 -6 -1

Q(x) 1 -5 6 0

Así, el polinomio Q(x) = x2 − 5x + 6.

Ahora, para hallar las otras raíces podemos continuar con el


Tema 4 / Sesión 9



Teorema del Resto (ver sesión 8) o la División Sintética.

a. Usando el Teorema del Resto vemos que las posibles raíces

racionales para el polinomio Q(x) son ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 y por lo tanto,

tendremos:

Q(1) = 2, Q(−1) = 12, Q(2) = 0, Q(−2) = 20, Q(3) = 0

.

Detenemos el proceso porque hemos hallado las dos raíces 2 y 3,

luego, la factorización será:

x3 − 4x2 + x + 6 = (x + 1)Q(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)

b. Para aplicar el procedimiento (ver sesión 8) debemos hallar dos

números cuyo producto sea 6 y su suma sea 5. Claramente los

números son los hallados (2 y 3), y la factorización, la determinada

anteriormente.

c. Usando la División Sintética en Q(x) = x2 − 5x + 6 tendremos:

1 -5 6

2 -6 2

1 -3 0

En donde claramente las raíces faltantes serán 2 y 3, y la

factorización, la determinada anteriormente.

2. Descomponer en factores el polinomio P(x) = 2x4 + 3x3 − 2x − 3

Comenzamos buscando las posibles raíces racionales de P(x), las

cuales sabemos que son los divisores de 3 sobre los divisores de 2, así

los divisores son: ± 1, ± 3, ± 1/2, ± 3/2. Luego al aplicar el Teorema del

Resto, tenemos:

P(−1) = −2, P(1) = 0

De esta forma vemos que 1 es una raíz y ahora por la Regla de

Ruffini:

2 3 0 -2 -3

2 5 5 3 1

2 5 5 3 0

Así tendremos:

P(x) = 2x4 + 3x3 − 2x − 3 = (x − 1)Q(x)


Tema 4 / Sesión 9



En donde Q(x) = 2x3 + 5x2 + 5x + 3.

Ahora, por el Teorema sobre una Raíz Real, vemos que el grado de

Q(x) es impar, por lo tanto, tiene una raíz real. Luego utilizando el

proceso que se quiera, podemos determinar dicha raíz. Nosotros

utilizaremos la Regla de Ruffini para Q(x) y los divisores serán: ± 1, ± 3,

± 1/2, ± 3/2.

.

Probando con algún divisor negativo; ya que los positivos no darían

resto 0, tendremos:

2 5 5 3

-2 -3 -2 1

2 3 2 1

Luego, para x = -1, el resto no será 0, por lo cual no es raíz. Siguiendo

el proceso, tenemos para x = -3/2.

2 5 5 3

-3 -3 -3 -3/2

2 2 2 0

Ahora, si continuamos el proceso con el polinomio R(x) = 2x2 + 2x + 2

vemos que los únicos posibles divisores son ± 1 y para ellos, utilizando

el Teorema del Resto, R (1) = 6 y R (-1) = 2. Esto implica que no existe

otra raíz real.

De esta forma, la factorización será:

P(x) = 2x4 + 3x3 − 2x − 3 = (x − 1)Q(x)

= (x − 1)( 2x3 + 5x2 + 5x + 3) = (x − 1)(x + 3/2)R(x)

= (x − 1)(x + 3/2)(2x2 + 2x + 2)

= 2(x − 1)(x + 3/2)(x2 + x + 1)

= (x − 1)(2x + 3)(x2 + x + 1)

Notemos que al polinomio R(x) = 2x2 + 2x + 2 se le tomó como factor

común el coeficiente 2:

P(x) = 2x4 + 3x3 − 2x − 3 = 2(x − 1)(x + 3/2)(x2 + x + 1)

Luego, ese valor se multiplicó por el término (x + 3/2), quedando la

descomposición indicada:

P(x) = 2x4 + 3x3 − 2x − 3 = (x − 1)(2x + 3)(x2 + x + 1)


Tema 4 / Sesión 9




.

Sesión 9: Ejercicios resueltos

Ejercicios: Suma o diferencia de cubos perfectos

Procedimiento 1. Se abren dos paréntesis 2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según

el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos 3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera

raíz, menos (si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz

)baba)(ba(ba 2233 +−+=+ )baba)(ba(ba 2233 ++−=−

Descomponer en dos factores: 1. 3a1+

Solución

333 a1a1 +=+ {tiene la forma 3 } 3 ba +

1: raíz cúbica del primer término a: raíz cúbica del segundo término

De tal manera que: );aa11)(a1(a1 223 +×−+=+

)aa1)(a1(a1 23 +−+=+∴

2.

Solución

333 a1a1 −=− {tiene la forma } 33 ba −

1: raiz cúbica del primer término a: raiz cúbica del segundo término

De tal manera que: );aa11)(a1(a1 223 +×+−=+

)aa1)(a1(a1 23 ++−=+∴

3. 33 yx + Solución

33 yx + {tiene la forma } 33 ba +

x: raíz cúbica del primer término y: raíz cúbica del segundo término

De tal manera que: );yyxx)(yx(yx 2233 +×−+=+

)yxyx)(yx(yx 2233 +−+=+∴

33 nm −

Solución

4.

33 nm − {tiene la forma } 33 ba −

m : raíz cúbica del primer término n : raíz cúbica del segundo término

De tal manera que: );nnmm)(nm(nm 2233 +×+−=−

3a1− )nmnm)(nm(nm 2233 ++−=−∴


Tema 4 / Sesión 9



.

5. 1 a3 − Solución

333 1a1a −=− {tiene la forma } 33 ba −

a: raíz cúbica del primer término 1: raíz cúbica del segundo término

De tal manera que: );11aa)(1a(1a 223 +×+−=−

)1aa)(1a(1a 23 ++−=−∴

6. 729a64 3 −

Solución:

333 9)a4(729a64 −=− {tiene la forma } 33 ba −

4a: raíz cúbica del primer término 9: raíz cúbica del segundo término

De tal manera que: ( )[ ];99a4a4)9a4(729a64 223 +×+−=−

[ ]81a36a16)9a4(729a64 23 ++−=−∴

7. 633 xba − Solución:

323633 )x()ab(xba −=− {tiene la forma } 33 ba −

ab : raíz cúbica del primer término 2x : raíz cúbica del segundo término

De tal manera que:

( )[ ] ;)x(xxabab)xab(xba 22222633 ++−=−

[ ]42222633 xabxba)xab(xba ++−=−∴

8. 96 34327 nm + Solución

333296 7334327 )()( nmnm +=+ {tiene la forma } 33 ba +

23m : raíz cúbica del primer término 37n : raíz cúbica del segundo término

De tal manera que:

( ) ;)()( ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +×++=+ 2332223296 77337334327 nnmmnmnm

[ ]63243296 n49nm21m9)n7m3(n343m27 +−+=+∴

9. 12216 x− Solución

34312 6216 )(xx −=− {tiene la forma } 33 ba −

6: raíz cúbica del primer término 4x : raíz cúbica del segundo término

De tal manera que: [ ] ;)()( 2442412 666216 xxxx +×+−=−

[ ]84412 xx636)x6(x216 ++−=−

Ejercicios: Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades


Tema 4 / Sesión 9



Procedimiento

.

Criterios de divisibilidad

Criterio 1: la diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

1m2m2m1mmm

bab...baababa −−−− ++++=

−−

Criterio 2: la diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

1m2m2m1mmm

bab...baababa −−−− −++−=

+−

Criterio 3: la suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

1m2m3m22m1m

mmbabba...baa

baba −−−−− +−++−=

++

Criterio 4 : a. La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma:

exactossonno:paresmdonde,baba mm

±+

b. La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la

forma:

exactossonno:imparesmdonde,baba mm

+−

Nota: se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero. Hallar, por simple inspección, el cociente de:

1. yxyx 44

−−

Solución

3223

44yxyyxx

yxyx

+++=−− {criterio 1}

2. nmnm 55

++

Solución

432234

55nmnnmnmm

nmnm

+−+−=++ {criterio 3}

3. nana 55

−−

Solución


Tema 4 / Sesión 9



43223455

nannanaanana

++++=−− {criterio 1}

.

4. yxyx 66

+−

Solución

5432234566

yxyyxyxyxxyxyx

−+−+−=+− {criterio 2}

5. baba 66

−−

Solución

54322345

66babbababaa

baba

+++++=−− {criterio 1}

6. yxyx 77

++

Solución

6542332456

77yxyyxyxyxyxx

yxyx

+−+−+−=++ {criterio 3}

7. mama 77

−−

Solución

654233245677

mammamamamaamama

++++++=−− {criterio 1}

8. baba 88

+−

Solución

765243342567

88babbababababaa

baba

−+−+−+−=+− {criterio 2}

Ejercicios: Miscelánea sobre los diez casos de descomposición en factores Descomponer en factores: 1. aa5 2 +

Solución

aa5 2 +

El factor común es a. Así: )1a5(aaa5 2 +=+

22 2 xmxm +2. +

Solución

22 xmx2m ++

La raíz cuadrada del primer término es x; la raíz cuadrada del tercer término es x. Y el doble producto de estas raíces es 2mx, el segundo


Tema 4 / Sesión 9



termino. Además, el primero y el tercer términos tienen el mismo signo. Por lo tanto el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal:

222 )xm(xmx2m +=++

.

3. babaa2 −−+

Solución

babaa2 −−+

)ba()aba(babaa 22 −+−=−−+⇒ {asociando convenientemente}

)ba()ba(ababaa2 −+−=−−+⇒ {factorizando el primer paréntesis por a}

) 1a)(ba(babaa +−=−−+∴ 2

{factorizando por (a-b)}

4. 36x 2 − Solución

222 6x36x −=−

)6x)(6x(36x2 −+=−∴{factorizando la diferencia de cuadrados}

5. 22 yxy6x9 +− Solución

22 xmx2m ++ La raíz cuadrada del primer termino es 3x; la raíz cuadrada del tercer

termino es y. Y el doble producto de estas raíces es 6xy, el segundo termino. Además, el primero y el tercer términos tienen el mismo signo. Por lo tanto el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal:

222 )yx3(yxy6x9 −=+−

6. 4x3x 2 −− Solución

4x3x 2 −−

El trinomio es de la forma cbxx ++2

La raíz cuadrada del primer término es x El signo del segundo término es – El producto de los signos del segundo y tercer término del trinomio es + Como los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea 3 y cuyo producto sea 4. De tal manera que:

)1x)(4x(4x3x2 +−=−−

7. 2xx6 2 −−

Solución

2xx6 2 −− Multiplicamos el trinomio por 6 y lo escribimos de una forma adecuada

( ) ( ) 12)x6(x62xx66 22 −−=−− Factorizamos la expresión resultante

12)x6()x6( 2 −− x6 : raíz cuadrada del primer término del trinomio


Tema 4 / Sesión 9



– : signo del segundo término del trinomio

.

– por – da + : aplicamos la “Ley de los signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 4 – 3 = 1: coeficiente del segundo término del trinomio (valor absoluto) 4 x 3 = 12: coeficiente del tercer término del trinomio (valor absoluto) De tal manera que:

)1x2)(2x3(6)1x2(3)2x3(2)3x6)(4x6(12)x6()x6( 2 +−=+−=+−=−− Dividimos la factorización obtenida en el paso anterior por 6 y, simplificamos:

);1x2)(2x3(6

)1x2)(2x3(66

12)x6()x6( 2+−=

+−=

−−

)1x2)(2x3(2xx6 2 +−=−−∴

8. 3x1+ Solución

:x1x1 333 +=+ suma de cubos perfectos,

);xxx11)(x1(x1 223 +−+=+⇒

)xx1)(x1(x1 23 +−+=+∴

9. 1a27 3 − Solución

333 1)a3(1a27 −=− : diferencia de cubos perfectos,

[ ]223 11xa3)a3()1a3(1a27 ++−=−⇒

[ ]1a3a9)1a3(1a27 23 ++−=−∴

10.

Solución

55 mx + es divisible por )mx( + {Criterios de divisibilidad: “ es divisible por a+b nn ba +siendo n impar”}

)mxmxmmxx)(mx()mx( 43223455 +−+−+÷+

)mxmxmmxx)(mx()mx( 43223455 +−+−++∴ =

11. 22 ab5ba3a +−3

Solución

)b5ab3a(aab5ba3a 22223 +−=+−

{sacando factor común a}

12. z3xzy6xy2 −+− Solución

)z3xz()y6xy2(z3xzy6xy2 −+−=−+−

{asociando convenientemente}, )3x(z)3x(y2z3xzy6xy2 −+−=−+−⇒

{extrayendo factor común}, ) zy2)(3x(z3xzy6xy2 +−=−+−⇒

{extrayendo factor común}

13. 2b4b41 +−

Solución

2b4b41 +− 55 mx +


Tema 4 / Sesión 9



La raíz cuadrada del primer termino es 1; la raíz cuadrada del tercer termino es 2b. Y el doble producto de estas raíces es 4b, el segundo termino. Además, el primero y el tercer términos tienen el mismo signo. Por lo tanto, el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal:

.

22 21441 )( bbb −=+−

14. 4224 yyx34 ++x

Solución

2242242242244224 yx)yyx4x4(yxyyx4x4yyx3x4 −++=−++=++ {sumando y restando }, 22yx

22224224 )xy()yx2(yyx3x4 −+=++⇒ {factorizando el trinomio cuadrado perfecto},

)xyyx2)(xyyx2(yyx3x4 −+++=++⇒ 22224224 {factorizando la diferencia de cuadrados};

)+−++=++∴ yxyx2)(yxyx2(yyx3x4 22224224

{ordenando}.

15. 8448 yyx6x +−

Solución

4484488448 yx4)yyx2x(yyx6x −+−=+− { }, 4444844 426 yxyxyyx +=+

2222448448 )yx2()yx(yyx6x −−=+−⇒ {factorizando el trinomio cuadrado perfecto},

)yx2yx)(yx2yx(yyx6x 2−−+−=+−⇒ 24422448448 {factorizando la diferencia de cuadrados};

)yyx2x)(yyx2x(yyx6x 422442248448 −−−+=+−⇒ {ordenando}.

16. 30aa2 −−

Solución

30aa2 −−

a : raíz cuadrada del primer término del trinomio – : signo del segundo término del trinomio – por – da + : aplicamos la “Ley de los signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 6 – 5 = 1: coeficiente del segundo término del trinomio (valor absoluto) 6 x 5 = 30: coeficiente del tercer termino del trinomio (valor absoluto) De tal manera que:

) 5a)(6a(30aa2 +−=−− 17. 141115 2 −+ mm

Solución

141115 2 −+ mm

Multiplicamos el trinomio por 15 y lo escribimos de una forma adecuada

21015111514111515 22 −+=−+ )()()( mmmm Factorizamos la expresión resultante

210151115 2 −+ )()( mm 15m: raíz cuadrada del primer término del trinomio + : signo del segundo término del trinomio + por – da – : aplicamos la “Ley de los signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos


Tema 4 / Sesión 9



21 – 10 = 11: coeficiente del segundo término del trinomio (valor absoluto)

.

21x10 = 210: coeficiente del tercer termino del trinomio (valor absoluto)

210 2 105 3 35 5 7 7 1

De tal manera que:

))(()()( 10152115210151115 2 −+=−+ mmmm ))(()()( 237515235753 −+=−+= mmmm

Dividimos la factorización obtenida en el paso anterior por 15 y, simplificamos:

)2m3)(7m5(15

)2m3)(7m5(1515

210)m15(11)m15( 2−+=

−+=

−+

)2m3)(7m5(210)m15(11)m15( 2 −+=−+∴ 18. 1a6 +

Solución

3326 1)a(1a +=+ {suma de cubos prefectos},

[ ]222226 1)1(a)a()1a(1a +−+=+⇒ ;

[ ]1aa)1a(1a 2426 +−+=+∴

19. 63 y278 −m

Solución

32363 )y3()m2(y27m8 −=− {diferencia de cubos perfectos},

[ ]2222263 )y3()y3)(m2()m2()y3m2(y27m8 ++−=−⇒ ;

[ ]422263 y9my6m4)y3m2(y27m8 ++−=−∴

20. 22 b9ab24a16 +−

Solución

22 b9ab24a16 +− La raíz cuadrada del primer término es 4a; la raíz cuadrada del tercer término es 3b. Y el doble producto de estas raíces es 24ab, el segundo término. Además, el primero y tercer términos tienen el mismo signo. Por lo tanto el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal:

222 )b3a4(b9ab24a16 −=+−

21. 7a1+

Solución

71 a+ es divisible por (1+a) {Criterio de divisibilidad: “ es divisible por a+b nn ba +siendo n impar”}

65423324567 a)a(1a1a1a1a11)a1()a1( +−+−+−=+÷+ ; 654327 111 aaaaaaaa +−+−+−=++∴ )()( ÷

22. 1a6a12a8 23 −+−

Solución


Tema 4 / Sesión 9



32323 1)a2(3)a2(3)a2(1a6a12a8 −+−=−+− {es el desarrollo del cubo de un binomio: }; 3)( ba −

.

323 )1a2(1a6a12a8 −=−+−⇒

23. 2m1−

Solución

222 m1m1 −=− ; )m1)(m1(m1 2 +−=−∴

{factorizando la diferencia de cuadrados}

24. 21x4x 22 −+

Solución

21x4x 22 −+ 2x : raíz cuadrada del primer término del trinomio

+ : signo del segundo término del trinomio + por – da – : aplicamos la “Ley de los signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 7 – 3 = 4: coeficiente del segundo término del trinomio (valor absoluto) 7 x 3 = 21: coeficiente del tercer termino del trinomio (valor absoluto) De tal manera que:

)3x)(7x(21x4x 2222 −+=−+ 25. 1 125 6 +a

Solución

3326 151125 +=+ )( aa {suma de cubos perfectos},

[ ]1a5)a5()1a5(1a125 22226 +−+=+⇒ ;

[ ]1a5a25)1a5(1a125 2426 +−+=+∴ 26. 222 m.bab2a −++

Solución

222222 m)bab2a(m.bab2a −++=−++ {asociando apropiadamente}

22222 m)ba(m.bab2a −+=−++⇒ {factorizando el trinomio cuadrado perfecto};

)mba)(mba(m.bab2a −+++=−++∴ 222

{factorizando la diferencia de cuadrados} 27. 2232 ba24ba16ba8 −+

Solución

) 5 {factor común } b3a21(ba8ba24ba16ba8 22232 −+=−+ ba8 2

28. 1xxx 45 −+−

Solución

)1x()xx(1xxx 4545 −+−=−+−

{asociando convenientemente} )1x()1x(x1xxx −+−=−+−⇒ 445

{factor común del primer paréntesis } 4x )1x)(1x(1xxx 45 +−=−+−∴ 4


Tema 4 / Sesión 9



2 20196 2 −+ xx 9.

.

Solución

20x19x6 2 −+

Multiplicamos el trinomio por 6 y lo escribimos de una forma adecuada

120)x6(19)x6()20x19x6(6 22 +=−+ − Factorizamo a s l expresión resultante

1206196 2 −+ )()( xx x6 : raíz cuadrada del primer término del trinomio

+ : signo del segundo término del trinomio + por – da – : aplicamos la “Ley de los signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 24 – 5 = 19: coeficiente del segundo término del trinomio (valor absoluto) 24 x 5 = 120: coeficiente del tercer termino del trinomio (valor absoluto)

120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

De tal manera que:

))(())(()()( 5646562461206196 2 −−=−+=−+ xxxxxx Dividimos la factorización obtenida en el paso anterior por 6 y, simplificamos:

)5x6)(4x(6

)5x6)(4x(66

120)x6(19)x6( 2−+=

−+=

−+ ;

)5x6)(4x(120)x6(19)2

3 24 y81x25 − 0.

Solución

)y9x5)(y9x5()y9()x5(y81x25 2222224 −+=−=− {factorizando la diferencia de cuadrados}

3 3m1− 1.

Solución

333 m1m1 −=− ia de cubos perfectos}, {diferenc)mm1)(m1(m1 23 ++−=− ⇒

{factorizando la diferencia de cubos}

2. 2222 bab2yxy2ax −+++− 3

Solución

)bab2a()yxy2x(bab2yxy2 222 ++=−+++ax 22222 −+−+− {asociando convenientemente},

ax 222 +−−−⇒ )bab2a()yxy2x(bab2yxy2 22222 ++=−+++{factorizando por -1 el segundo ()},

2 ax −⇒ 22222 )ba()yx(bab2yxy2 −−+=−+++ {factorizando los trinomios cuadrados perfectos},

[ ] yx()ba(yxbab2yxy2a 222 +−++=−+++− )]ba(x2 −−⇒ {factorizando la diferencia de cuadrados};

]bayx][bayx[bab2yxy2a 222 =−+++−x 2 +−+−++ {destruyendo parénte is} s

x6( −+=−+∴ 3. nm7nm7nm7nm21 233245 −+− 3


Tema 4 / Sesión 9



37. a36+

.

Solución

)1mnnmm3(nm7nm7nm7nm7nm21 3245 +− 223223 −+−=− {factor común nm27 }

34. )1x(c)1x(b)1x(a +++−+

Solución )cba)(1x()1)1x(b)1x(a x(c +−+=+ ++−+

{factor común )( 1+x }

35. 2)yx()yx(44 −+−+

Solución

244 )()( yxyx −+−+ La raíz cuadrada del primer término es 2; la raíz cuadrada del tercer término es (x – y). Y el doble producto de estas raíces es 4(x – y), el segundo término. Además, el primero y tercer términos tienen el mismo signo. Por lo tanto el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal:

22 )yx2()yx()yx(44 + −+=−+−

36. 42ba1−

Solución 2242 )ab(1ba1 −=− ;

)ab1)(ab1(ba1 2242 −+=− ∴{facto iz ndo la diferencia de cuadrados} r a

22 ab12b +

Solución: La raíz cuadrada del primer término es b; la raíz cuadrada del tercer término es 6a. Y el doble producto de estas raíces es 12ab, el segundo término. Además, el primero y tercer términos tienen el mismo signo. Por lo tanto el polinomio es un trinomio cuadrado perf tecto y se fac oriza como tal:

2222 )ba6()a6b(a36ab12b +=+=++ 38. 774 36 −+ xx

Solución

77x4x 36 −+ 3x : raíz cuadrada del primer término del trinomio

+ : signo del segundo término del trinomio + por – da – : aplicamos la “Ley de los signos” al producto de los signos del segundo y tercer términos 11 – 7 = 4: coeficiente del segundo término del trinomio (valor absoluto) 11 x 7 = 77: coeficiente del tercer termino del trinomio (valor absoluto) D al manera que: e t

)7x)(11x(77x4x 3336 −+=−+ 39. 2 − 41715 4 − xx

Solución


Tema 4 / Sesión 9



15417151541715

2424 )( −−

=−−xxxx

.

{multiplicando y dividiendo por el coeficiente de 4x },

15

60)x15(17)x15(4x17x15 24 −−222 −−

=⇒

{escribiendo los productos en el numerador en una forma adecuada},

15

)3x15)(20x15(4x17x1522

24 +−=−−⇒

{factorizando el numerador},

15

)1x5(3)4x3(5422 +−

=⇒ x17x15 24 −−

{sacando factor común de los paréntesis en el numerador};

+−=−−∴ {simplificando} )1x5)(4x3(4x17x15 2224

40. 3)b3a(1 −+ Solución

])b3a()b3a(1)][b3a(1[)b3a(1 3 +−−−+=−+ 2− {factorizando la diferencia de cubos};

]][[( 22 96313131 bababababa +−++−−+=−+∴ )3

{suprimiendo paréntesis} 41. 1ab14ba49 22 +−

Solución

1ab14ba49 22 +− ab7 : raíz cuadrada del primer término del trinomio

1 : signo del segundo término del trinomio 2(7ab)(1)=14ab : segundo término del trinomio Por lo tanto, se trat

co cmo tal (se es riben las raíces cua radas del primero y tercer dt rminos dent un paréntesis, y separados por el signo del é ro desegundo término):

222 )1ab7(1ab14ba149 −=+− 42. +1a)1a(x2 −−

Solución

)1a()1a(x21a)1a(x2 −−−=+−−

{factorizando por -1 los dos últimos términos}; )1x2)(1a(1a)1a(x2 −−=+−−∴

{sacando factor común}

43. )nm(n3)nm)(nm( +−+ − Solución

)n3nm)(nm()nm(n3)nm)(nm( ++−=−+−+

{sacando factor común}; )n4m)(nm()nm(n3)nm)(nm( +−=−+−+∴

{red ciendo} u

91x

32x 2 +−44.

Solución

x : raíz cuadrada del primer término del trinomio

31 : raíz cuadra mio da del tercer término del trino

a de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza


Tema 4 / Sesión 9



:x32

31x)2( =× segundo término del trinomio

Por lo tanto, e tr

.

s ata de un trinomio cuadrado perfecto, y se factoriza como tal (se escriben las raíces cuadradas del primero y tercer término dentro de un parént sis, y separados por el signo del esegundo término):

2

2

31x

91x

32x ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=+−


Tema 4 / Sesión 9



.

T me a 4: Factorización

Se ión 9: Ejercicios Propuestos s

1. Factorizar cada una de los siguientes expresiones: a. 3223 axa3ax3x +++ b. 3223 y27xy54yx36x8 −+− c. 27x 3 − d. 33 a64x8 + e. 33 )3x()1x( +−− f. 33 )yx()yx( ++− g. x4ba44x 222 −−+ 2.

a. x 611x6x 23 +++ b. − 8x24x2x6 23 −+ c. 1x5x4 24 +− d. 4224 axa2x +− e. 25xx25x 235 −+− f. 144x18x41x 246 −+−

Descomponer cada una de las expresiones utilizando la regla de Ruffini:


Tema 4 / Sesión 9



.


Sesión 9

Autoevaluación 9

Pregunta Nº 1 Factorizar, si es posible, la siguiente expresión:

3322 ybyaxb3y ++ 223 xba3x +3a a. posible factorizar No es b. + )ba()byax( 2 +

c. 3)byax( +

d. xab( + 3)y Pregunta Nº 2 Factorizar 55 nm +

a. )nmnnmnmm)(nm( 432234 +−+−+

b. )nmnnmnmm)(nm( 432234 +−+++

c )nmnnmnmm)(nm( 432234 +−+−− .

d. m)(nm( 4 +− )nmnnmnm 43223 +−+ Pregun a Nº 3 t De 3x2x3x2)x(p 34 −−+= scomponer

a. )1xx)(3x2)(1x( 2 +−−+

b. + )2x2x2)(3x2)(1x( 2 ++−

c. )3x2)(1x( +− )1xx( 2 ++

d. )1xx)(3x2)(1x( 2 ++−+ Pregun a Nº 4 t Fac 777 2x128x −=− torizar

a. )2x)(2x2x2x2x2x2x2x( 60514233241506 +++++++

b. )3x)(2x2x2x2x2x2x2x( 60514233241506 −++++++

c. 2x2x( 1506 + )3x)(2x2x2x2x2x 6051423324 ++++++

d. )2x)(2x2x2x2x2x2x2x( 60514233241506 −++++++ Pre Ngun a º 5 t

Fac guiente expresión:torizar, si ble, la sies posi 642 xx6x128 +−−

a. 3)x2( −


Tema 4 / Sesión 9



b )x2()x2( 2 −+ .

.

c. )x2()x2( 2 +− d. No es posible factorizar Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.


Sesión 9


Pregunta Nº 1 Factorizar, si es posible, la siguiente expresión:

33222233 yaxb3yxba3a +++ yb x a. i s ble factorizar No es pob. )ba( + )byax( 2+

c. 3)byax( +

d. 3)xyab( + Correcto Pre

Fac 55 nm + torizar a. )nmnnmnmm)(nm( 432234 +−+−+ Correcto

b. )nmnnmnmm)(nm( 432234 +−+++

c )nmnnmnmm)(nm( 432234 +−+−− .

d. m)(nm( 4 +− )nmnnmnm 43223 +−+ Pregunta Nº 3 De 3x23xx2)x(p 34 −−+= scomponer

a. )1xx)(3x2)(1x( 2 +−−+

b. + )2x2x2)(3x2)(1x( 2 ++−

c. )3x2)(1x( +− )1xx( 2 ++ Correcto

)1xx)(3x2)(1x( 2 ++−+ d. Pregunta Nº 4 Fac 777 2x128x −=− torizar

a. )2x)(2x2x2x2x2x2x2x( 60514233241506 +++++++

b. )3x)(2x2x2x2x2x2x2x( 60514233241506 −++++++

c. 2x2x( 1506 + )3x)(2x2x2x2x2x 6051423324 ++++++

d. Correcto )2x)(2x2x2x2x2x2x2x( 60514233241506 −++++++ Pre Ngun a º 5 t

Fa 642 xx6x128 +−− ctorizar, si ble, la siguiente expresión:es posigunta Nº 2


Tema 4 / Sesión 9



a. 3)x2( −

b. )x2()x2( 2 −+

c. )x2()x2( 2 +− d. No es posible factorizar Correcto

.

guía didáctica: Álgebra - ula.ve · grado cero. esto ocurre según la regla de la división de...

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