22/03/2016

1

Escribe un polinomio que cumpla las siguientes

condiciones:

A)Se llama P(x, y)

B)Tiene 5 términos

C)Es de grado seis

D)No tiene término independiente

EJERCICIOS

Escribe un polinomio que cumpla las siguientes

condiciones:

A)Se llama R(x)

B)Tiene 3 términos

C)Es de grado 5

D)Sus coeficientes suman 1

EJERCICIOS

Dado el polinomio: :

Escribe:

1.Un nombre para él:

2.El grado del primer término:

3.El grado del segundo término:

4.El grado del tercer término:

5.El coeficiente del término de mayor grado:

6.El coeficiente del término independiente:

6x5 -3x3 + 4x2 +2x- 7

EJERCICIOS

Dado el polinomio: :

Calcula:

1.Q(3,-1)

2.Q(0, -2)

3.Q(-2, 2)

Q(x, t) = -2x2t3 - xt2 +6

EJERCICIOS

Dados los polinomios:

Calcula:

Q(x) = -2x3 -3x+ 2

P(x) = -x4 +3x2 - 5

R(x) = 5x4 - 2x3 + 3x

S(x) = 2x-1

Q(x)-2 × P(x) =

Q(x) ×S(x)- R(x) =

R(x)-2[Q(x)-2P(x)]=

EJERCICIOS División de polinomios

• Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el

divisor), dividir P entre D es encontrar dos

polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales

que P = Q . D + R

• Siendo grado(R) < grado(D)

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2

resto

–(– 3x2 – 2x + 4) Se resta (–1) . D

cociente

Cociente de los términos de mayor grado

Cociente de los términos de mayor grado

x3

Algoritmo de la división

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

– (3x5 + 2x4 –4x3)

6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6

PRIMER PASO

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3 – (3x5 + 2x4 –4x3)

6x4 +4x3 – 11x2 – 3x + 6

SEGUNDO PASO

– (6x4+ 4x3 – 8x2)

– 3x2 – 3x + 6

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3 + 2x2 – (3x5 + 2x4 –4x3)

6x4+ 4x3 – 11x2 – 3x + 6

– (6x4+ 4x3 – 8x2)

– 3x2 – 3x + 6

TERCER PASO

– x + 2

Se resta x3 . D

Se resta 2x2 . D

+ 2x2

Cociente de los términos de mayor grado

– 1

*Pág. 95 ejercicio 8

-10

EJERCICIO

EJERCICIO EJERCICIO

EJERCICIO

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini nos permite realizar

la división entre dos polinomios

utilizando un método más sencillo,

siempre y cuando se cumplan las

siguientes condiciones:

•El divisor debe tener la forma: x-a

•a debe ser un número real.

Regla de Ruffini

• Ejercicio: ¿Cuáles de las siguientes divisiones se pueden

realizar por Ruffini?

 

(x3 -2x + 3) : (x +2)

 

(2x3 - x + 4) : (x -1)

 

(x4 - x2 + 3x) : (-x2 -1)

 

(2x5 -1

2x + 3) : (x -

1

2)

Sí

 

(x - (-2))

Sí

NO

Sí

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3

Regla de Ruffini

r

se suma

Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12

a 2

Se opera: 2 – 6 – 4 12

2

2

4

–2

– 4

–8

– 16

– 4

Hemos obtenido que: P = 2x3 – 6x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)

se multiplica por a

( 2x3 – 6x2 – 4x + 12) :(x – 2) Divide usando la regla de ruffini.

EJERCICIO

EJERCICIO

Ejercicio: Halla el valor de m para que la división siguiente

sea exacta:

Si hacemos la división por ruffini tenemos que:

1 -5 -2 m

4

1

4

-1 -4

-6

-24

m-24

Por tanto la división será exacta si m=24

 

(x3 -5x2 -2x+ m) : (x - 4)

EJERCICIO

Realiza estas operaciones usando la regla de Ruffini y

escribe el cociente y el resto.

EJERCICIO *Pág. 96. Ej. 16

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4

Teoremas del resto y del factor

• El teorema del resto permite conocer el resto de una

división de un polinomio entre otro de la forma x-a, sin

necesidad de realizarla

El resto R de la división de un polinomio P(x)

entre x-a es igual al valor numérico del

polinomio en x=a, es decir: R=P(a)

Demostración del teorema del resto

El teorema se puede deducir con facilidad partiendo de la

definición de división.

 

P(x) = (x - a)× C(x) + R

 

P(x) = d(x)× C(x) + R

Si calculamos P(a)

 

P(a) = (a- a)× C(a) + R

 

P(a) = RComo queríamos demostrar

0

 

x3 + 7x2 +12x +10 = (x+5)× C(x) + R

 

P(x) = d(x)× C(x) + R

 

P(-5) = (-5+5)× C(-5) + R

 

P(-5) = R

 

P(x) = x3 + 7x2 +12x +10

¿Cuál es el resto de dividir P(x) entre d(x)?

 

d(x) = x +5

¿Es de la forma x-a? ¿x-5=x-a?

Sí para a=-5 x-a=x-(-5)=x+5

Si calculamos P(-5)

 

P(-5) = (-5)3 + 7× (-5)2 +12× (-5) +10 = 0

 

R= 0

Teorema del factor

• El teorema del factor nos permite conocer los factores de

la forma x-a de un polinomio.

• Este teorema es consecuencia directa del teorema del

resto.

Si el valor numérico del polinomio P(x) en x=a

es 0, entonces P(x) tiene como factor x-a y por

tanto P(x) puede escribirse de la forma

P(x)=(x-a)C(x)

Dado el polinomio P(x), si se cumple que P(a)=0, sabemos por el

teorema del resto que el resto de dividir P(x) entre x-a es 0:

 

P(x) = (x - a)× C(x) + R

 

P(a) = 0 Resto de dividir P(x) entre x-a es 0 (R=0)

 

P(x) = (x - a)× C(x)

0

Es decir P(x) puede expresarse como un

producto de factores. Uno de los cuales es

(x-a)

Estudia cuáles de las siguientes divisiones son exactas, sin

realizar la división:

EJERCICIO

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5

Calcula el resto de esta división sin realizarla

Usando el teorema del resto podemos asegurar que el resto de la

división es: P(1)=3

EJERCICIO

Utiliza el teorema del resto para calcularlo en estas

divisiones:

EJERCICIO

La división de

entre x-3 da resto 0 ¿Cuánto vale k?

 

P(x) = x3 +2x2 + k

 

(-3)3 +2(-3)2 + k = 0

 

P(-3) = 0

 

k = -(-3)3 -2(-3)2 = -27 -18 = -45

EJERCICIO

Comprueba si x+1 es un factor de estos polinomios

A(x) = 3x4 -2x2 + x

 

B(x) = -2x2 + 3x

 

C(x) = x7 +1

 

D(x) = 2x3 - 3x +1

 

A(-1) = 0 SÍ

 

B(-1) = -5

 

C(-1) = 0

D(-1) = 2

NO

SÍ

NO

Por el teorema del resto sabemos que

P(a) nos dará el resto de la división de

P(x) entre x-a

EJERCICIO

Encuentra entre los siguientes factores los del polinomio

 

P(x) = x3 - 3x2 -6x +8

 

x - 3b)

 

x -1a)

 

x +1c)

 

x +2d)

EJERCICIO

Raíces de un polinomio

• Las raíces o ceros del polinomio P(x) son los valores

que lo hacen cero, es decir las soluciones de la ecuación

P(x)=0

Compruebas que las raíces del polinomio P(x)=x2-4x+3

son x=1 y x=3

• x=1->P(1)=(+1)2-4(+1)+3=0

• x=3->P(3)=(3)2-4(3)+3=0

EJEMPLO

Número de raíces de un polinomio

• Número de raíces de un polinomio: “Un polinomio de

grado n tiene, como máximo, n raíces reales.”

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6

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

37

EJERCICIO

38

EJERCICIO

39 EJERCICIO

Factorización de polinomios

• Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más

polinomios de menor grado, de forma que su producto

sea el polinomio dado.

• Cuando un polinomio no se puede descomponer en

factores se dice que es un polinomio irreducible.

¿A qué debemos atender para factorizar un

polinomio?

1 Extraer factor común

Buscar factores comunes entre los términos

del polinomio

2 Usar las identidades notables

Comprobar si el polinomio es el resultado de

desarrollar alguna identidad notable:

(a+b)2, (a-b)2, (a-b)(a+b)

3 Buscar las raíces enteras

Probamos mediante ruffini con aquellos

candidatos a raíces enteras del polinomio.

Que como sabemos, son aquellos valores

enteros divisores del término independiente.

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7

1 Extraer factor común

Buscar factores comunes entre los términos

del polinomio

2 Buscar las raíces enteras

Probamos mediante ruffini con aquellos

candidatos a raíces enteras del polinomio.

Que como sabemos, son aquellos valores

enteros divisores del término independiente.

3 Usar las identidades notables

Comprobar si el polinomio es el resultado de

desarrollar alguna identidad notable:

(a+b)2, (a-b)2, (a-b)(a+b)

Ejercicio: Factoriza P(x) = 2x4 -14x3 +30x2 -18x

P(x) = 2x×(x3 - 7x2 +15x-9)

1 -7 +15 -9

1

1 -6 +9 0

1 -6 9

(x2 -6x+ 9) = (x-3)2

P(x) = 2x×(x-1)(x-3)(x-3)

P(x) = 3x5 -24x4 +69x3 -84x2 +36x

P(x) = 3x× (x4 -8x3 +23x2 -28x+12)

(x2 - 4x+ 4)= (x-2)2

P(x) = 3x× (x-1)(x-3)(x-2)2

1 -8 +23 -28 +12 +3

1 -5 +8 -4 0

3 -15 +24 -12

+1

1 -4 +4 0

1 -4 +4

EJERCICIO Factoriza:

2x

2x

3x

1228572)( 234 xxxxxS

Raíces enteras

Descomposición

2 4 2

2 1 0

simple raíz 3

simple raíz 2

simple raíz 2

x

x

x

12322)( xxxxxQ

entera no simple raíz 21/x

1249)( 24 xxxxxP

1249

0

24 xxx

simpleRaízx

1 0 -9 4 12

-1 -1 1 8 -12

1 -1 -8 12 0

2 2 2 -12

1 1 -6 0

1 x

2 x

Raíces

descomposición

simple raíz 3

doble raíz 2

simple raíz 1

simple raíz 0

x

x

x

x

321)(2

xxxxxP

2

2

6

1 3 0 2 x

-3

-3

1 0 3 x

DESCOMPOSICIÓN POLINOMIOS DESCOMPOSICIÓN

doble raíz 3

doble raíz 3

simple raíz 2

x

x

x

simple raíz 5x

simple raíz 2

simple raíz 3/2

doble raíz 0

x

x

x

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8

41 EJERCICIO 41 EJERCICIO

42 EJERCICIO

Escribe en cada apartado un polinomio que cumpla:

1) Tenga grado 2 y como factor (x-5)

2) Tenga una raíz doble y grado 3

EJERCICIO

Escribe un polinomio P(x) con las siguientes características:

 

x -1Es factor de P(x)

Tiene una raíz doble

Tiene grado 3

Término independiente 12

 

x -1( ) x -1( ) = x2 - 2x +1

 

Þ (x2 -2x +1)× (x+1) = x3 - x2 - x +1

 

Þ12 x3 - x2 - x +1( ) =12x3 -12x2 -12x +12

Hacemos que (x-1) sea factor y que

tenga una solución doble.

Grado 3

Si multiplicamos por 12, el polinomio es diferente

pero tiene las mismas soluciones .

EJERCICIO 43 EJERCICIO

45 EJERCICIO

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9

49 EJERCICIO 50 EJERCICIO

52 EJERCICIO 53 EJERCICIO

54 EJERCICIO 55 EJERCICIO

22/03/2016

10

k = -3

k = 6

k = -7

61 EJERCICIO 62 EJERCICIO

63 EJERCICIO 64 EJERCICIO

69 EJERCICIO 73 EJERCICIO

22/03/2016

11

75 EJERCICIO