gt cuaderno de as 1eso

Recuperación de Matemáticas 1º ESO IES Maestro Domingo Cáceres

MMATEMÁTICASATEMÁTICAS 1 1ºº ESO ESO

CCUADERNOUADERNO DEDE R RECUPERACIÓNECUPERACIÓN

1


Tema.-1. Potencias y Raíces de Números Enteros

Elevar un número a un exponente natural es multiplicar el número por sí mismo tantas

veces como indique el exponente.

24=2·2 ·2 ·2=16

Al 2 le llamamos base y al 4 exponente. 1.- Calcular el valor de las siguientes potencias:

a) 52=

b) −24=

c) 103=

d) 35=

e) 210=

f) −76=

Si la base es 10, el resultado es la unidad seguida de tantos ceros como indique el

exponente. 106=1000000 2.- Calcular mentalmente las siguientes potencias de 10

a) 105=

b) 109=

c) 102=

d) 1011=

Un número elevado a la unidad es igual al mismo número. 51=5

Un número elevado a cero siempre es igual a la unidad. 50=1 3.- Calcular el valor de las siguientes potencias:

a) 51=

b) −20=

c) 100=

d) 31=

e) 20=

f) −71=

2


Operaciones con potencias:

a ·b n=an· bn 23·53=2 ·53=103=1000

a :b n=an: bn 85: 45=8: 4 5=25=32

a p · aq=a pq 32 ·34=324=36

a p :aq=a pq 56:52=56−2=54

a pq=a p · q 23 2=23 ·2=26

4.- Reduce a una única potencia, utilizando las propiedades que conoces:

a) 52 ·5 ·53=

b) 35: 32=

c) 103 :23=

d) 25 ·55=

e) 210 :27 ·22=

f) 63: 23 ·25=

g) 23 2 ·23 ·2=

h) 56: 5 ·522=

i) 108: 1032 :102=

j) 154:54 ·36: 35 2=

Un número a es la raíz cuadrada de otro número b si el cuadrado de a es b

b=a si a2=b

4=2 pues 22=4

5.- Calcula las siguientes raíces cuadradas:

==== 100)81)25)1) dcba

6.- La raíz cuadrada de un número es 12. ¿De qué número se trata?

7.- Completa la siguiente frase:

152=.................... ; por tanto ............=15

3


8.- Aplicando las propiedades de las potencias, calcula mentalmente las siguientes

operaciones:

a) 25 ·55=

b) 1203 :123=

c) 504 ·24=

d) 1254: 254 · 24=

9.- Aplicando las propiedades de las potencias, escribe las siguientes expresiones como

una única potencia:

a) 25 ·23 ·2=

b) 53· 56:54 =

c) 73 2:76=

d) 124 :122 5 : 12·124 =

e) 3 ·323: 34=

f) 2 ·22 5: 210 :253=

10.- Escribir las diez primeras potencias de 2, las cinco primeras potencias de 3 y las

tres primeras potencias de 5.

11.- Aplicando las propiedades de las potencias, reduce a una única potencia y

calcula:

a) 23 ·2 ·22=

b) 5· 56 :54 =

c) 310 :34 :33=

d) 104 :102 5: 10 ·104 =

e) 7 ·72 3 :75=

f) 11·112 5: 1110 :115 3=

12.- Opera y reduce a única potencia:

a) a8: a6 · a6 :a5 =

b) x3· x5 2: x2 · x4 2=

c) a2· a3 · a · a5:a3 3=

d) x322

: x4 : x5=

4


13.- Transforma las siguientes expresiones en potencias de la misma base y aplicando

sus propiedades reducir a una única potencia:

a) 34 · 153 :53 =

b) 43 ·25 :82=

c) 306 :106 ·9=

d) 16 ·23 4 : 42=

e) 54 · 24 2:108=

f) 8·32 ·16 ·2=

14.- Calcula el valor de los cuadrados de los quince primeros números naturales

15.- Teniendo en cuenta el ejercicio anterior obtén mentalmente las siguientes raíces

cuadradas

====

====

4900)121)1000000)196)

225)81)2500)169)

hgfe

dcba

16.- Calcula el valor de a en cada apartado:

a) a4=16

b) 33=a

c) a5=100000

d) 103=a

e) a=12

f) 121=a

17.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) )492-(162 =⋅⋅

b) 3 2)4-(69 2 =⋅+⋅

c) ( ) 12-16:122 23 =++

d) ( ) 3-5445:2326 223 =⋅++⋅−+

e) 7923:343-10 23 =+⋅++⋅

f) ( ) 6- 21213-2 - 75 22 =⋅++

5


Tema.-2. Números Enteros

Los números que tienen delante un signo menos (-) se llaman negativos y los que no

llevan signo o llevan delante el signo más (+) se llaman positivos ( +4 es lo mismo que 4).

1.- Completa:

Los números enteros se inventan para expresar situaciones como estas:

Tenía sólo 20 euros en una cuenta bancaria y llega un recibo de 35 euros. Entonces en la

cuenta lo que hay es una deuda de _____ euros. Antes se ponían números rojos y ahora

puede ponerse _____.

Si el garaje está un piso por debajo del nivel del suelo, en el ascensor debo darle al botón

______

El signo de un número será siempre el signo que está delante del número. Por ejemplo:

el -4 es ________, el 8 es positivo, el 2 es __________, el -5 es _______ y el 7 es

__________

Los números enteros se representan en una recta. La distancia entre un número y el

siguiente es siempre la misma.

2.- Completa:

Los números mayores están a la ____________ en la recta de números enteros.

−4−3 porque “deber 4” es peor que “deber 3”. También se verifica que: -7 ____ 2; -10

____ -2; 19 _____ 3 y -23 _____ -26.

El cero lo encontramos entre los números __________ y los ___________. Además, el

cero es menor que los números ____________ y mayor que los ___________

6


3.- Ordena de menor a mayor: 9 , -5 , -7 , 0 , 4 , -2 y represéntalos en la recta.

El valor absoluto de un número entero es el número sin signo, entonces es siempre

positivo: 7 = 7, 8− = 8

4.- Completa:

a) ∣5∣= ______

b) ∣−6∣= ______

c) ∣28∣= ______

d) ∣−77∣= ______

El opuesto de un número es otro número con el mismo valor absoluto pero con el signo contrario: El opuesto de 4 es -4 y el opuesto de -8 es 8

5.- Completa:

a) El opuesto de 7 es ___

b) El opuesto de −4 es ___

c) Opuesto de 5= .........

d) Opuesto de −3= .........

Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo del número que está dentro

del paréntesis. Por ejemplo: −4=−4 , – 5=−5 y −−3=3

Un signo más delante de un paréntesis deja el signo del número que está dentro del

paréntesis. 7=7 , 2=2 y −9=−9

6.- Completa:

a) 5= ____

b) −3= ____

c) −−6= ____

d) −23= ____

7


Restar, a partir de este momento, puede considerarse como una suma diciendo: Restar es sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. 5– 2 es lo mismo que 5−2

Para sumar y restar números enteros es útil el truco “los positivos son los policías y los

negativos los ladrones” (Cada policía atrapa sólo a un ladrón)

Si hay 8 ladrones y vienen 3 policías, se escapan 5 ladrones - 8 + 3 = - 5

Si hay 4 ladrones y vienen 6 policías, sobran 2 policías – 4 + 6 = + 2

Cuando los dos números son de distinto signo, se restan y de pone el signo del que

tenía mayor valor absoluto

Si hay 4 ladrones y vienen otros 3 ladrones, en total hay 7 ladrones - 4 – 3 = -7

Si hay 5 policías y vienen otros 6 policías, en total hay 11 policías + 5 + 6 = +11

Cuando los dos números son de igual signo, se suman y de pone el signo que tienen lo

dos.

Si hay 7 ladrones y llegan 7 policías, los atrapan a todos. - 7 + 7 = 0

7.- Realiza las siguientes operaciones.

a) −72= ___

b) 10 – 6= ___

c) −2−6= ___

d) 57= ___

e) −99= ___

f) 9 –10= ___

Para sumar y restar números que están en un paréntesis, primero se usa lo de que “un

signo menos delante de un paréntesis cambia el signo del número que está dentro del

paréntesis” y si lo que hay delante es un más, se queda como está dentro. Luego se resta o

se suma según sean los signos de los dos.

8−3=8−3=5 2 – 5=2 –5=−3

1−−3=13=4 −5−4=−5– 4=−9

8.- Realiza las siguientes operaciones:

a) 9 – 6= _________

b) 4 – 9= ________

c) 7 – −4= ________

d) −7−1= ___________

8


Para multiplicar y dividir se usa la regla de los signos +=−−−=+−−=−++=++

····

6 ·4=24 7 ·−80=−560

−5·6=−30 −15·−4=60

55:11=5 −12: −4=3


a) 3· 50= ___

b) 4 ·−9= ___

c) −8·7= ___

d) −8·−9= ___

e) 15: 3= ___

f) 2: −4= ___

g) −24 :6= ___

h) −18: −3= ___

Para hacer las operaciones combinadas hay que seguir unas reglas y escribir

correctamente el proceso:

No se pueden escribir dos signos de operación seguidos. Por ejemplo 8 : -4 está

mal escrito , para separar los signos se escribe el número negativo entre paréntesis: 8 : (-

4)

Las operaciones a ambos lados del signo “=” deben dar en mismo resultado.

Por ejemplo 5+3+4+7 = 8+4 = 12+7 = 19 está mal escrito. El alumno quiere decir que el

resultado de 5+3 es 8 y que si a eso se le suma 4 sale 12 y al sumar 7 el resultado final es

19. El resultado es correcto pero en el primer “=” a un lado sale 19 y al otro 12. Y en el

segundo”=” a un lado sale 12 y al otro 19. (Para que estuviera bien escrito debería haber

escrito también el 7 en el segundo paso)

Si hay operaciones dentro de paréntesis, se hacen primero las operaciones que estén

dentro de un paréntesis (o corchete)

5· −103=5·−7=−35

10.- Realiza las siguientes operaciones siguiendo los pasos:

a) 3 – −54= _______________

b) 12 :[−71·2 ]= ________________

9


Las líneas de fracción y de raíz sirven como paréntesis.

=+ 24

24 =624 4 =+ 169 =25 5


a) =+

+−52

216______ b) =182· ___________

Prioridad: potencias y raíces, multiplicación y división, sumas y restas.

5−4 ·=5−4 ·3=5−12=−7 −623·−3=−68 ·−3=−6 – 24=−30


a) −82 ·36= __________________ b) 52 –20 : −2= _________________

Si hay dos operaciones seguidas con la misma prioridad, se hace primero la que esté

primero.

24 : 2·3=12 ·3=36 8 –65=25=7


a) −40 :4 : 2= ___________ b) 7– 8– 2= _______________

Si sólo son sumas o sólo multiplicaciones puede usarse la propiedad asociativa.

398372=40037=437 3459 ·25·4=3459 ·100=345900


a) 481991= __________ b) 5·347 ·2= _______________

Si hay muchos números positivos y negativos, puede calcularse juntando todos los

positivos y todos los negativos.

−235– 7 –1 – 49=359– 2714=17– 14=3

15.- Realiza la siguientes operaciones:

−45−6−7−258 –3= __________________________________

10


16.- Calcula escribiendo ordenadamente el proceso

– 23· 6 – 5·2−22 ·8 –5 ·2−4=

17.- Calcula

a) 5· −7=

b) −12: −4=

c) 189=

d) −8· −9=

e) 54 :−6=

f) 118 –18=

g) 6 ·4=

h) −55: 11=

18.- Calcula

a) 3– 52=

b) 25−16=

19.- Calcula

a) −53=

b) −26=

c) −143=

d) −53=

e) −26=

f) −130=

20.- Completa:

Un signo menos delante de un paréntesis __________________________________

_________________________

Prioridad: ¿Cuál es el orden al hacer las operaciones combinadas?

11



a) 65·8– 4 ·24 –1 ·3=

b) 5· 6−4 ·73·25=

c) 50 – 23·6 – 5·2−82· 10 – 5·2=

d) −45 –6· 4−−3· 6 – 6 ·28=

22.- Completa

a) El opuesto de 9 es __________

b) El opuesto de -7 es _________

c) 13− = _______

d) 2− = ________

23.- Calcula

a) −158=

b) −10· −7=

c) −28 :4=

d) −1019=

e) 7 ·−9=

f) −56: −7=

12


g) −7– 9= h) −6 ·8=

24.- Calcula

a) 1– 62= b) =− 925

25.- Calcula

a) −34=

b) −136=

c) −43=

d) −34=

e) −143=

f) −43=

26.- Ordena de menor a mayor: 7 , -9 , -3 , 0 , 2 , -6


a) −77 ·3– 4 ·3−5– 1·3=

b) 2 ·4−3 ·73·5−7=

c) 90 – 23·7– 6 ·2−92·10 –5 ·2=

d) −63– 4·3−−4· 7– 7 ·28=

28.- Realiza correctamente los

cálculos siguientes. Representa los

resultados de forma que la decena sea

como la coordenada X y la unidad

como la coordenada Y.

Une los puntos por orden

alfabético.

A=– 3 – 4 ·5– 4·57=

13


=– 3– 4 ·5 – 207=– 3– 4· – 157= =– 3607=64

Se representa encima del 60 a la altura 4

B=– 4·35·43 ·2·27=

C=– 3 –5· 42−9−3 ·52·52=

D=52 ·3 ·5 – 262 ·−2·−2·2=

E=– 2 ·7 – 2·5·9– 10 – 2· 5– 6=

F=4 – 2 –5 ·[– 34·– 2]3 ·1– 4 ·0=

G=6 –5 ·2·5 – 2·8=

H=15·6 – 4 ·342=

I=27 ·8– 52·22=

29.- Asocia un número positivo o negativo a cada una de las siguientes acciones:

a) Luisa tiene en el banco 900 €.......................................................................................

14


b) Alicia debe 400 €...........................................................................................................

c) La temperatura ha subido desde 0 °C hasta 15 °C......................................................

d) El coche está aparcado en el tercer sótano.................................................................

30.- Ordena, de mayor a menor, las siguientes series de números enteros y

represéntalos en la recta numérica:

a) -6; +5; -4; +2; -1; +9

b) -8; +3; -2; +7; -5; +10

31.- Completa:

a) Opuesto de 5= .........

b) Opuesto de −3= .........

c) ∣8∣= ........

d) ∣−7∣= ........

32.- Resuelve escribiendo el proceso seguido paso a paso:

a) 138−4−79 – 10=

b) 12−6−89−35=

33.- Resuelve quitando los paréntesis:

a) 4−8−−32−−5=

b) −12−−728=

15


34.- Calcula los siguientes productos y cocientes de números enteros:

a) 7 ·−2·4= ____________

b) 5· −2 ·−11= ____________

c) −600 :−30= ____________

d) −72 :6= ____________

35.- Calcula atendiendo a la prioridad de las operaciones:

a) 18−−8·2= _______________

b) 15−5· −4= _______________

c) 24 : −4−−6= _______________

d) 22−−15:−3= ______________

36.- Resuelve escribiendo el proceso seguido paso a paso:

a) 15−6−2−82– 7=

b) −5·[ 52−46 –1]=

c) −4·2−[−3−5−−6] ·−4=

d) 10−[8−3 – 7]=

37.- Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la

temperatura había subido 8 grados, y hasta las cinco de la tarde subió 3 grados más. Desde

las cinco a medianoche bajó 5 grados, y de medianoche al alba, bajó 7 grados más.

a) ¿Qué temperatura hacía a las cinco de la tarde?

b) ¿A qué temperatura amaneció el segundo día?

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Tema.-3. Divisibilidad

Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen al multiplicar dicho número

por los números naturales. Por lo tanto, los múltiplos de un número son iguales o mayores

que él.

3 es múltiplo de 3 porque 3 · 1 = 3


1.- Escribe los múltiplos de 2 que sean menores que 50


4 es múltiplo de 2 porque 2 · =

6 es múltiplo de 2 porque

8 es múltiplo de 2 porque…

Los múltiplos de 2 son: 2, 4, 6, 8, …___________________________________________

2.- Calcula cuatro múltiplos de cada uno de los siguientes números naturales:

a) 4 ____________________________________

b) 7 ____________________________________

c) 10 ____________________________________

d) 6 ____________________________________

3.- Escribe los números que sean:

a) múltiplos de 3 y menores que 36

______________________________________________________________________

b) múltiplos de 5 y menores que 50

______________________________________________________________________

Los divisores de un número son los que dividen dicho número de forma exacta. Por lo

tanto, los divisores de un número son iguales o menores que él.

1 es divisor de 10 porque 10 : 1 = 10




17


4.- Escribe los divisores de 50


2 es divisor de 50 porque 50 : =

5 es divisor de 50 porque

10 es divisor de 50 porque….

Los divisores de 50 son: 1, 2, 5, 10, ..._________________________________________

5.- Obtén todos los divisores de los siguientes números naturales:

36 _____________________________________________________________

75 _____________________________________________________________

30 _____________________________________________________________

64 _____________________________________________________________

6.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y razona la respuesta:

3 es divisor de 15 __________________________________________________

4 es divisor de 22 __________________________________________________

6 es divisor de 16 __________________________________________________

5 es divisor de 20 __________________________________________________

7.- Indica porqué son ciertas las siguientes afirmaciones:

2 es divisor de 8 ________________________________________________________

8 es múltiplo de 2 __________________________________________________

6 es divisor de 12 __________________________________________________

12 es múltiplo de 6 __________________________________________________

¿Qué conclusión sacas de todo lo anterior?_______________________________

______________________________________________________________________

8.- En el grupo de 1º A de la ESO hay 24 alumnos. El profesor de Educación Plástica y

visual, quiere hacer una actividad en grupos. ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar

sin que sobre ningún alumno? ¿Cuántos alumnos forman cada grupo? Razona tus

respuestas.

18


Un número compuesto es aquel que tiene divisores distintos del 1 de él mismo.

4 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2 y 4.

6 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2, 3 y 6.

9.- Encuentra los números compuestos entre 8, 9, 7, 13, 34, 22, 11. Razona tus

respuestas.

_____________________________________________________________________

10.- Indica cuáles son números primos y cuáles son compuestos. Razona tus

respuestas.

18 _________________________________________________________________

21 _________________________________________________________________

46 _________________________________________________________________

19 _________________________________________________________________

Un número primo es aquel que sólo tiene dos divisores, el 1 y él mismo.

2 es un número primo porque sus divisores son 1 y 2.



11.- Busca todos los números primos menores que 20

El 2 es un número primo porque sus divisores son 1 y 2.

El 3 es un número primo porque sus divisores son 1 y 3.

El 5 es un número primo porque sus divisores son...

Los números primos menores que 20 son: 2, 3, 5, ...______________________________

__________________________________________________________________________

12.- Encuentra los números primos entre 23, 15, 8, 9, 11, 45, 13. Razona tus

respuestas.

__________________________________________________________________________

19


Un número es divisible entre 2 si termina en cero o en cifra par.

Un número es divisible entre 3 si la suma de todas sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

Un número es divisible entre 5 si termina en cero o en cinco.

Un número es divisible entre 10 si termina en cero.

13.- Indica cuáles de los siguientes números son divisibles por 2, por 3, por 5 o por 10.

a) 30

El 30 es divisible entre 2 porque termina en cero.

El 30 es divisible entre 3 porque 1 + 5 = que es un múltiplo de 3.



b) 25

El 25 es divisible entre 5 porque ..._______________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

c) 36

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

d) 312

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

20


e) 375

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

14.- Completa la tabla indicando SI o NO.

Divisible entre 2 Divisible entre 3 Divisible entre 5 Divisible entre 10

1430

2301

4568

7362

2145 15.- En la clase de 1º B de un instituto, quieren formar grupos con los alumnos.

Sabiendo que

a) si se hacen grupos de 2, sobra un alumno

b) si se hacen grupos de 3, sobra un alumno

c) si se hacen grupos de 5, no sobra ningún alumno

¿Cuántos alumnos hay en la clase? ¿Cómo lo has sabido?

21


Para descomponer un número en factores primos, que también se llama factorizar, se divide el número entre sus divisores primos tantas veces como se pueda hasta obtener

en el cociente un 1.

6 2

3 3

1

Luego, 6 = 2 · 3 · 1

16.- Descompón en factores primos, o factoriza, los siguientes números enteros:

f) 24

24 2

12 2

6 2

3 3

1 1La descomposición en factores primos del 24 es: 24 = 2·2·2·3·1 = 23·3·1

g) 35

h) 12

22


i) 25

j) 256

k) 729

17.- ¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales?

a) 2·3·5·1 ________________________________________________________

b) 32·1 ________________________________________________________

c) 3·52·1 ________________________________________________________

d) 23·3·52·1 ________________________________________________________

23


Para calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de varios números:

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman todos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de

los exponentes con los que aparecen.

Vamos a calcular el mcm (15, 20)

15 = 3 · 5 · 1 mcm(15, 20) = 22 · 3 · 5 · 1 = 60

20 = 22 · 5 · 1

18.- Calcula:

a) mcm (12, 4)

b) mcm (30, 25)

c) mcm (15, 12)

24


d) mcm (8, 10)

19.- En una fábrica se tienen dos máquinas haciendo tornillos. Un empleado se

encarga de recoger los tornillos que se van haciendo y los van echando en un cubo. Para

no mezclar los tornillos de las dos máquinas, las horas impares recoge los tornillos de la

primera máquina y las horas pares recoge los tornillos de la segunda máquina. La primera

máquina hace 30 tornillos en una hora, mientras que la segunda sólo hace 25. Las dos

máquinas empiezan a funcionar a las 9 de la mañana.

a) ¿Habrá algún momento del día en el que los trabajadores tengan en sus cubos el

mismo número de tornillos?

b) ¿Cuántas horas han estado trabajando cada máquina para conseguir el mismo

número de tornillos?

Para calcular el máximo común divisor (MCD) de varios números:

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman todos los factores primos comunes elevados al menor de los

exponentes con los que aparecen.

Vamos a calcular el MCD (15, 20)

15 = 3 · 5 · 1 MCD(15, 20) = 5 · 1 = 5

20 = 22 · 5 · 1

25


20.- Calcula:

a) MCD (12, 4)

b) MCD (30, 25)

c) MCD (15, 12)

d) MCD (8, 10)

21.- Completa:

Si el máximo común divisor de varios números es el 1, se dice que esos números son

________ entre sí.

26


22.- Marcos tiene canicas de dos colores: blancas y negras. Quiere guardarlas en

cajitas en las que haya el mismo número de canicas. Además, quiere que en todas las

cajitas haya el mismo número de canicas blancas y negras. Si tiene 20 canicas blancas y 15

negras,

a) ¿Cuántas cajitas puede formar? ¿Porqué?

b) ¿Cuántas canicas de cada color habrá en las cajitas?

c) ¿Sobrarán canicas de algún color? ¿Porqué?

23.- Encuentra 10 múltiplos y todos los divisores de los siguientes números:

a) 9 ____________________________________________________________

b) 12 ____________________________________________________________

c) 6 ____________________________________________________________

d) 15 ____________________________________________________________

24.- En la clase de 1º C de un instituto, quieren formar grupos con los alumnos.

Sabiendo que

a) si se hacen grupos de 2, sobra un alumno

b) si se hacen grupos de 3, sobra dos alumnos

c) si se hacen grupos de 5, sobran cuatro alumnos

¿Cuántos alumnos hay en la clase? ¿Cómo lo has sabido?

27


25.- Luis va a celebrar su cumpleaños con sus amigos y les quiere regalar caramelos.

Como los quiere sorprender va a una tienda a comprar bolsitas de tela para meter los

caramelos. Las bolsitas son de tres tamaños, las pequeñas en las que caben 2 caramelos,

las medianas en las que caben 3 caramelos, y las grandes en las que caben 5 caramelos. Si

tiene un total de 30 caramelos,

a) ¿Habrá algún tamaño de bolsita que no pueda comprar? ¿Porqué?

b) Su madre le ha dicho que tiene que invitar a menos de 15 amigos. Si Luis quiere

invitar al mayor número de amigos, ¿qué tamaño de bolsita tendrá que comprar?. ¿A

cuántos amigos va a invitar Luis a la fiesta?

26.- Indica si los siguientes números son divisibles entre 2, 3 , 5 ó 10. Razona tus

respuestas.

15, 20, 345, 765, 1024, 2310

27.- Indica cuáles de los siguientes números son primos y cuáles compuestos y, dí

porqué:

35, 7, 15, 23, 40, 75

28


a) Factoriza los números que sean compuestos.

b) Calcula el MCM y el MCD de los números compuestos.

28.- Calcula el MCM y el MCD de los siguientes grupos de números:

a) 25, 30, 45

b) 15, 12, 22

c) 125, 215, 75

d) 90, 35, 46

29.- Dos autobuses urbanos salen, a la misma hora, de la misma parada. Si uno tarda

30 minutos en hacer su recorrido y el otro tarda 45 minutos en hacer el suyo, ¿volverán a

coincidir en alguna parada?. ¿Cuánto tiempo habrá pasado desde la primera vez que

coincidieron?

29


30.- A Ana le han regalado una bolsa llena de chicles de 3 sabores diferentes: fresa,

menta y melón. Para manejarlos mejor, quiere hacer paquetitos todos iguales. Si tiene 15

chicles de fresa, 6 de menta y 12 de melón,

a) ¿Cuántos paquetitos va a poder formar? ¿Porqué?

b) ¿Cuántos chicles de cada sabor habrá en cada paquetito? ¿Y en total?

31.- En la clase de 1º D de un instituto, hay 15 chicos y 10 chicas. El profesor de

matemáticas quiere hacer un juego en el que los alumnos tendrán que responder a una serie

de preguntas de matemáticas. Para ello, quiere formar grupos formados por chicos y chicas.

Además, quiere que todos los grupos sean iguales, es decir, tengan el mismo número de

chicos y de chicas.

a) ¿Cuántos grupos podrá formar? ¿Porqué?

b) ¿Cuántos chicos y chicas habrá en cada grupo? ¿Porqué?

30


32.- En cada grupo, los chicos responden a una serie de preguntas mientras que las

chicas responden otro. El juego termina cuando los chicos y las chicas responden

correctamente el mismo numero de preguntas. En un grupo, los chicos resuelven

correctamente 5 preguntas cada 10 minutos y las chicas resuelven bien 3 preguntas cada 5

minutos.

a) ¿Cuántas preguntas deben responder correctamente para poder ganar?

b) ¿Cuánto van a tardar en resolver todas las preguntas?

33.- Las estanterías: Tengo en mi habitación una pared que mide 3,1 m. de ancho.

Quiero colocar estanterías de madera y las más baratas se encuentran en una tienda de

bricolaje. Las hay de dos tipos: de 80 cm. y de 60 cm. de ancho y las dos tienen cuarenta

centímetros de fondo. La estantería de 80 cm. cuesta 50 € y la de 60 cm, 40 €. Si tengo un

presupuesto de 185 € entonces:

a) ¿Cuántas estanterías y de qué medidas compraré para llenar la máxima anchura de

pared? ¿Cuánto gastamos y qué anchura de pared cubriremos?

b) Si no tuviera problemas de presupuesto (pudiera gastar lo que quisiera) ¿Cómo sería

la respuesta a 1?

31


34.- Los dulces: En una pastelería van a componer cajas iguales de dulces surtidos.

En cada caja hay que poner dulces de tres tipos distintos, tipo A, tipo B y tipo C. La cantidad

de dulces de cada tipo que tienen que distribuir entre las cajas es: del A 225 unidades, del B

300 unidades y del C 375 unidades. Se quiere saber:

a) ¿Cuántas cajas tienen que hacer?

b) ¿Cuántos dulces de cada tipo deben poner en cada caja?

Si el costes de producción por unidad de cada tipo de dulce es: del A 0,2€; del B 0,3€ y

del C 0,4€ se pregunta:

c) ¿Cual es el coste de producción de todos los dulces?

d) ¿Cuál es el coste de producción de cada caja?

e) Para que la ganancia sea de un 30% ¿A qué precio hay que vender cada caja?

f) ¿Cuántos euros ganaremos en total cuando vendamos todas las cajas?

32


Tema.-4. Las Fracciones

Definición de fracción: Las fracciones son consecuencia de expresar cantidades en las

que los objetos están partidos en partes iguales.

Las Fracciones expresan parte de la unidad. Fijate en las siguientes figuras:

De siete partes

cojo cuatro

47

De quince partes

cojo siete

715

1.- Escribe en forma de fracción la parte de superficie que está coloreada en las

siguientes figuras:

Los elementos que forman la fracción son:

El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos.

El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a

cada unidad.

La raya de fracción. Es una raya horizontal que los separa.

2.- Fijate en las siguiente fracción: 59 , el numerador es el 5 y el denominador es el 9.

Ahora tu, indica en las siguientes fracciones cual es el numerador y cual es el denominador:

a) 38 el numerador es el ______ y el denominador es el _______

b) 17 el numerador es el ______ y el denominador es el _______

33


Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una división sin realizar. Para transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador entre el

denominador. Como por ejemplo:

25=2: 5=0,4 1

3 =1 : 3=0,3333....

3.- Pasa las siguientes fracciones a número decimal:

27 =__________=__________ 3

11 =__________=________

Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una

fracción deberíamos realizar esa división, no obstante podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador.

4.- Completa:

Su valor será más grande cuanto mayor tenga el ___________, y será más pequeño

cuanto mayor tenga el _____________.

Si el __________ es más pequeño que el __________, entonces la fracción vale menos

de 1.

Si el __________ es igual al ___________, entonces la fracción vale 1.

Si el __________ es mayor que el __________, entonces la fracción vale más de 1.

65 es mayor que 1 pues el numerador es mayor que el denominador

5.- Indica cual de las siguientes fracciones es menor que 1, igual a 1 y mayor que 1, sin

hacer la división.

810 ; 6

5 ; 28 ; 4

10 ; 02 ; 4

2 ; 35 ; 1

2 ; 010 ; 5

4 ; 93 y 3

10

34


Fracciones equivalentes son las que representan la misma cantidad.

6.- Completa:

Las fracciones equivalentes tienen _________ numerador y denominador, pero valen

_________.

Cada fracción tiene ________ otras fracciones equivalentes a ella.

Para obtener otra fracción equivalente a una dada nos basta con multiplicar o dividir sus términos por el mismo número.

Ejemplo: 25

·2=

410 hemos multiplicado por 2;

25

·3=

615 hemos multiplicado por 3

7.- Obtén fracciones equivalentes a las dadas:

a) 67 b) 10

20

c) 45 d) 15

8

8.- Completa:

a) Se llama amplificar una fracción a __________ el numerador y el denominador de

dicha fracción por un mismo número, obteniendo otra fracción ___________ a ella.

b) Se llama ___________ una fracción a dividir el numerador y el denominador de dicha

fracción por un mismo número, obteniendo otra fracción ___________ a ella

c) Si el numerador y el __________ de una fracción no tienen ningún divisor común, la

fracción no se puede simplificar y se dice que es un fracción __________

Una fracción se simplifica dividiendo el numerador y el denominador por el mismo

número y es irreducible si no se puede simplificar.

Ejemplo: 5060

: 2=

2530

:5=

56

1218

: 2=

69

: 3=

23

9.- Halla la fracción irreducible de cada una de estas fracciones:

a) 5139 b) 70

96

c) 1530 d) 20

30

35


Si dos fracciones son equivalentes, los productos cruzados son iguales.

Ejemplo: 12=

36 {1 ·6=6

2 · 3=6} ; 25=

615 {2 ·15=30

5 ·6=30 } 10.- Comprueba si son equivalentes los siguientes pares de fracciones:

a) 1713 y 51

39 b) 58 y 70

96

c) 45 y 15

8 d) 25 y 4

10

Para reducir a común denominador hay que calcular el m.c.m. de los denominadores,

ese será el denominador de las fracciones y los numeradores se obtienen dividiendo el

m.c.m. entre los denominadores y multiplicando el resultado por los numeradores de las

fracciones originales.

Ejemplo: 25 ; 2

3 ; 12 el m.c.m.(5, 3, 2)=30, 30 será el denominador de las

fracciones y las fracciones equivalentes las obtenemos de la siguiente manera:

{30 :5=66 ·2=12} 12

30; {30: 3=10

10 ·2=20} 2030

y {30 : 2=1515 ·1=15} 15

30.

11.- Reduce a común denominador:

a)65;

43;

32

b)53;

43;

32

c)2113;

74;

95

Para comparar las fracciones se reduce a común denominador con el m.c.m. y se

comparan los nuevos numeradores.

Ejemplo: 25 ; 2

3 ; 12 las fracciones equivalentes son 12

30 ; 2030 ; 15

30 . Entonces

25 1

223

36


12.- Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:

a)65;

43;

32

b)53;

43;

32

c)2113;

74;

95

Para sumar fracciones se reduce a común denominador con el mcm, opera los

nuevos numeradores y simplifica.

Ejemplo: 3011

30211220

3021

3012

3020

107

52

32 =−+=−+=−+ , fracción irreducible.

13.- Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones:

a)56

35

41 −+

b)25

733 +−

c)45

34

67 −−

Para multiplicar fracciones multiplica numerador con numerador y denominador

con denominador y simplifica.

Ejemplo: 103

206

4·53·2

43·

52 === simplificando.

14.- Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones:

a)8

15·54

=

b)9

13·6 =

c)1514·

75

=

d)920·

56

=

Para dividir fracciones multiplica la primera por la inversa de la segunda y simplifica.

Ejemplo: 53

: 76=5

3· 67=5 ·6

3 ·7=30

21=10

7 simplificando.

37


15.- Realiza las siguientes divisiones de fracciones:

a)34:

52

b)146:

715

c) 9:2518

d)2116:

3512

Para realizar operaciones combinadas primero opera los paréntesis, luego las

multiplicaciones y divisiones, más tarde las sumas y restas y, por último, simplifica.

Ejemplo: 151

302

15·22·1

152·

21

151820·

21

1518

1520·

21

56

34·

21 ====

−=

−=

−

simplificando. 16.- Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a)23:

35

35 +

b)

+

56·

38

54

c)

−

34

23·

43

d)65

410:

35

54·

23 ++

17.- En un concurso-oposición aprueban 15 candidatos y suspenden 35. Contesta:

1º. ¿Cual es el total de los alumnos que se presentan en el concurso-oposición?

_____________ Éste es el denominador de la fracción.

2º. ¿Cuantos alumnos del total han aprobado?_______________ Éste es el

numerador de la fracción.

3º. Una vez tengas la fracción simplifícala y obtendras la respuesta a ¿Qué fracción

de los opositores ha aprobado? _______________

38


18.- En un colegio hay 13 de los alumnos en refuerzo de lengua,

310 de los

alumnos en refuerzo de matemáticas y el 412 en informática.

1º. Ordena las fracciones de menor a mayor, pasa a común denominador.

2º. Responde ¿En qué asignatura hay más alumnos?

19.- Después de gastar14 del sueldo en la hipoteca, a Pedro le quedan 1125 €.

Contesta:

1º. ¿Qué fracción del sueldo le queda?..................................................................................

2º. Teniendo en cuenta la fracción anterior y el dinero que le queda cual es el total del

sueldo................................................................................................................................

20.- Escribe una fracción que indique la parte rayada de cada figura.

21.- Copia y completa:

a) 58 de 1096=.......

b) 7

12 de 2196=......

c) Los 23 de ….. valen 40

d) Los 45 de ….. valen 20

22.- Ordena de menor a mayor:

34

45

57

78

310

39


23.- Escribe tres fracciones equivalentes en cada caso:

a) 4132

b) 48

c)26

d) 1218

24.- Simplifica:

a) 1014

b) 1822

c) 627

d) 1525

25.- Calcula el valor de x en cada caso:

a) 35= 9x

b) 7x= 2

6

c) 9x=18

8

d) x

10=15

50

26.- En una parcela de 800 metros cuadrados, se ha construido una casa que ocupa

25 de la superficie y el resto se ha ajardinado. ¿Qué superficie ocupa la casa? ¿Y el

fardín?

27.- Se han sembrado de alfalfa los 45 de la superficie de una finca, y aún quedan

600 metros cuadrados sin sembrar. ¿Cuál es la superficie total de la finca?

28.- Reduce a común denominador.

a)35 y

710

b)12 ,

34 y

58

29.- Ordena estas fracciones pasándolas a común denominador:

57

, 34

, 12

, 914

40


30.- Realiza estas sumas y restas:

a) 25 710

−1115

=

b) 85−113

15=

31.- Opera y simplifica:

a) 125· 712

=

b) 6· 512

=

c) 12: 45=

d) 45:8=

32.- Calcula:

a) 15·1213 =

b) 79:162

9=

33.- Calcula:

a) 910

– 25:121

6=

b) 2– 56:121

3 =

34.- Un agricultor ha cosechado un campo de trigo en tres días. En el primer día

recolectó 37 de la finca; en el segundo día, 1

4 , y en el tercero, el resto. ¿En cuál de los

tres días ha recolectado mayor cantidad de terreno?

41


35.- Ana, Loli y Mar ha comprado un queso por 32 €. Ana se queda con dos tercios;

Loli, con la cuarta parte, y Mar, con el resto.

a) ¿Qué fracción de queso se lleva Mar?

b) ¿Cuánto debe pagar Mar por su parte?

36.- Arancha abre una botella de aceite de 34

de litro y retira un vaso parar la receta

de un gazpacho. Si la capacidad del vaso es de 25

de litro, ¿Cuánto aceite queda en la

botella?

37.- Juan compró ayer una tarta y comió 25 . Hoy ha comido

13 del resto. Si el

trozo que queda pesa 600 gramos, ¿cuál era el peso de la tarta entera?

42


Tema.-5. Números Decimales 1.- Completa

En este tema se estudia la representación decimal de los números. Ya aprendiste a

operar con números __________ y con números __________ en temas anteriores. Te

habrás dado cuenta de que un mismo número se puede __________ de varias formas

distintas. Por ejemplo, el número dos cuando tienes que emplearlo como _______ puedes

ponerlo de todas estas formas y de muchas más: 42, 63, 84, 10

5, ......

En este tema se estudia otro modo de expresar los números. Los números __________

que ya conoces, y otros números no ____________ (como por ejemplo las raíces cuadradas

no exactas) se pueden poner en forma decimal. Algunos ejemplos de números

______________ son:

6,81 ; 5,322222... ; 94,54545454... ; 7,12112111211112....

En todo número decimal aparece una _______. A su izquierda aparecen unas cifras que

se llaman la parte _____ del número (ahí están las unidades, decenas, centenas,....).

A la derecha de la coma aparecen más cifras y todas ellas forman la parte _______. Los

nombres de las cifras de esta parte decimal son décima, centésima, milésima,....

En un número decimal el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa.

Indica el valor de la cifra 5 en cada uno de los números siguientes:

a) 2,25 b) 5,32 c) 90,235 d) 68,5833 e) 0,3285

Solución:

a) 5 centésimas. b) 5 unidades. c) 5 milésimas. d) 5 décimas. e) 5 diezmilésimas.

2.- Escribe cuál es el valor del 3 en cada uno de estos números:

a) 30,2 ________________________

b) 52,03 ________________________

c) 81,352 ________________________

d) 0,023 ________________________

e) 56,2683 ________________________

f) 40,25943 ________________________

43


3.- Escribe cinco números decimales, que en todos aparezca la cifra 7 pero en una

posición distinta. Indica para cada uno cuál es el valor del 7.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Leer un número decimal

Para leer un número decimal se lee la parte entera en unidades “y” la parte decimal en

unidades de la cifra de orden menor seguida del nombre de la unidad; o bien la parte entera

“coma” o “con” la parte decimal. Por ejemplo:

5'26 Cinco unidades y veintiséis centésimas.

65'038 Sesenta y cinco coma treinta y ocho milésimas.

752'659 Setecientas cincuenta y dos unidades y seiscientas cincuenta y nueve

milésimas.

0'0023 Cero coma veintitrés diezmilésimas.

4.- Nombra los siguientes números decimales:

a) 52,325 ________________________________________________________

b) 0,235 ________________________________________________________

c) 45,2365 ________________________________________________________

d) 651,1023 ________________________________________________________

e) 124,020303 ________________________________________________________

Esto lo tendremos en cuenta a la hora de escribir los números decimales:

a) Cinco unidades y siete diezmilésimas ............................................................. 5,0007

b) Tres mil unidades y treinta y dos centésimas................................................... 3000,32

c) Cuarenta con veintiséis......................................................................................... 40,26

5.- Escribe los números decimales:

a) Cincuenta y tres con cero cero dos .............................................................................

b) Tres unidades y trescientas cinco milésimas ...................................................................

c) Treinta mil doscientos tres con ciento veinte....................................................................

d) Cuatro mil coma treinta y dos ...........................................................................................

44


e) Setenta y cuatro unidades con cuarenta y ocho centésimas. .........................................

6.- Teniendo en cuenta la clasificación de números decimales completa:

Cuando la parte decimal del número “se acaba”, es decir tiene una cantidad finita de

cifras, el número se llama decimal _______. Cuando la parte decimal “no se acaba” pero

tiene un grupo de cifras que se repiten, el número se llama __________ y el grupo de cifras

que se repiten es el ________. Si este periodo comienza inmediatamente después de la

coma (toda la parte decimal es periódica) se dice que el número es periódico _____ y si hay

unas cuantas cifras decimales antes del periodo, se llama periódico _______. Finalmente, si

el número tiene infinitas cifras decimales pero no tiene un periodo, se llama decimal infinito

no periódico o número _________.

Para denotar los números decimales con infinitas cifras, se escriben las primeras y

después se ponen “puntos suspensivos” dando a entender que sigue indefinidamente.

Además, si es periódico, se suele marcar el periodo mediante el símbolo

Clasificación de los siguientes números decimales:

4,25 ................................................................................ Decimal exacto.

5,25235233523335 ........................................................ Irracional

4,42535353 .................................................................... Periódico mixto

6,2525 ............................................................................ Periódico puro

7.- Clasifica los siguientes números decimales

a) 23,6523 ..........................................................................................................

b) 25,3 ..................................................................................................................

c) 78,010010001... .................................................................................................

d) 52,852541 ......................................................................................................

e) 52,8542 .............................................................................................................

f) 54,2525... ..........................................................................................................

Ejemplos de los siguientes tipos de números decimales

Periódico mixto con periodo de tres cifras. ................... 5,23456

Decimal infinito no periódico. ......................................... 8,5252252225

45


Periódico puro con periodo de cuatro cifras. ................. 7,74627462

Decimal exacto con tres cifras decimales. .................... 85,213

8.- Escribe tres ejemplos de números decimales de cada uno de los siguientes tipos:

a) Decimal exacto con cuatro cifras decimales .......................................................

b) Decimal periódico mixto con periodo de dos cifras .............................................

c) Irracional ..............................................................................................................

d) Decimal periódico puro con periodo de cuatro cifras ..........................................

9.- Completa, para expresar fracciones en forma decimal:

Las fracciones se pueden expresar como números __________. Siempre son decimales

________ o decimales ___________ (nunca irracionales). Para expresar una fracción en

forma decimal, se divide el __________ entre el ___________. Si el resto no es cero, se

pone una coma en el cociente y se continúa la división bajando sucesivos _________.

La división acaba cuando el resto es _______, y entonces el número que resulta es

decimal ________, o bien cuando las cifras del cociente comienzan a repetirse y el número

que resulta es decimal __________

Las fracciones se pueden poner en forma decimal haciendo la división y se obtienen

distintos tipos de números decimales:56

= 0,8333··· (periódico)83

=2,666··· (periódico)

12

=0,5 (exacto)256


145

=2,8 (exacto)2411


10.- Expresa en forma decimal las fracciones siguientes y clasifica el número que

resulte.

a)72

b)38

46


c)25

d)14

e)173

f)4511

Para comparar dos números decimales hay que tener en cuenta el signo y además hay

que ir comparando cifra a cifra “comenzando por izquierda”. Si tenemos que ordenar de

menor a mayor los siguientes números.

12,123124 ; −21,03 ; −5,1222 ; −6,1 ; −6,128 ; 12,123123 ;· −21,3 ;

−5,11222 y 0,05

Quedarían de la siguiente forma:

−21,3−21,03−6,128−6,1−5,1222−5,112220,0512,12312312,123124

11.- Ordena de mayor a menor los siguientes números

a) -2,3 3,66 -15,2 -15,0202 54,2123 -15,25 -7,32 4,29029 4,2929 4,2929

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

b) 25,65 25,649 25.6491 -12,54 -12,544 -12,5444 -12,5444··· 12,1 12,09 12,099

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Entre dos números decimales distintos hay infinitos números decimales. Si queremos

escribir tres números entre cada par de los números dados:

51,4 y 51,5 51,451,4151,4251,4351,5

0,51 y 0,5 0,50,5010,5020,5030,51

0,3 y 0,31 0,30,3010,3020,3030,31

-7.12 y -7,12 −7.1212 ·−7,12111−7,1211−7,121−7,12

47


12.- Escribe tres números entre cada par de números dados. Ordena de menor a

mayor los cinco números resultantes

a) -102,4 y -102,45__________________________________________________

b) 7,49 y 7,5_______________________________________________________

c) -3,3 y -3,3001____________________________________________________

d) -8.9292·y -8,92___________________________________________________

13.- Completa:

En ocasiones nos encontramos con un número _________ que tiene una excesiva

cantidad de cifras y no es “manejable” para la situación que estamos tratando.

En esos casos se usa otro _______ decimal que es “aproximadamente igual”. Se dice

que el número que teníamos ha sido __________ por el nuevo, y a éste se le llama

aproximación por redondeo. Para ___________ te dirán la cantidad de cifras decimales que

debe de tener el número aproximación.

Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a

su ___________:

Si esta es mayor o igual a 5 le ________ 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su

________.

Si esta es _______ que 5, la cifra anterior no se altera.

En cada caso, consideramos iguales a ________ todas las cifras que están a la derecha

de la redondeada.

Veamos como se aproximan los siguientes números por redondeo, respectivamente

hasta las décimas, hasta las centésimas y hasta las milésimas.

0,459825 0,5 0,46 y 0,460

0,56456983 0,6 0,56 0,565

45,756526525 45,8 45,76 45,757

21,555 21,6 21,56 y 21,556

12,454581 12,5 12,45 12,455

48


14.- Escribe tres aproximaciones de cada uno de los siguientes número, redondeando

respectivamente hasta las décimas, hasta las centésimas y hasta las milésimas.

a) 5,74598 ________________________________________________________

b) 8,745864741 ____________________________________________________

c) 51,58215772 ____________________________________________________

d) 81,014444 ______________________________________________________

e) 49,42317581 ____________________________________________________

15.- Para cada uno de los siguientes números, escribe tres aproximaciones con una,

dos y tres cifras decimales respectivamente.

a) 32,58232 _______________________________________________________

b) 87,246205 ______________________________________________________

c) 98,126512 ______________________________________________________

d) 9,4751541 ______________________________________________________

e) 17,5017445 _____________________________________________________

f) 23,5183244 _____________________________________________________

Para la suma y la resta de dos números decimales se coloca uno encima de otro de

forma que coincidan las comas, se completa la parte decimal para que tengan el mismo

número de cifras decimales. Se realiza la operación como con los números enteros y se le

coloca la coma al resultado de forma que quede debajo de las otras comas.

16.- Realiza las siguientes operaciones

a) 5,2170,25301 _________________________________________________

b) 21,35−2,54 ____________________________________________________

c) 6,23−9,0215 ___________________________________________________

d) 45,2−5,2364 ___________________________________________________

e) 78,201−32,1 ___________________________________________________

f) 5,015,23 _____________________________________________________

g) 21,35−2,54 ____________________________________________________

h) 5,23−63,201 ___________________________________________________

49



a) 32,201+4,21_____________________________________________________

b) -52,326-85,4621__________________________________________________

c) 23,54-2351,6____________________________________________________

d) 85,20148+5,21301-9,32____________________________________________

e) 456+23,54-2351,6________________________________________________

f) 5,01+5,23-63,201_________________________________________________

g) -9,235+215,6-54,80269____________________________________________

h) 74,325-5,23+4,235+6,258·8,25______________________________________

Para multiplicar dos números decimales se opera como si se tratara de números

enteros y después se pone la coma de manera que el producto tenga tantas cifras

decimales como la suma de las cantidades de cifras decimales que tenían los factores.


a) -85,21·21,012 ___________________________________________________

b) 42,32·502,12 ____________________________________________________

c) 78,201-32,1·52,36 ________________________________________________

d) 4,21·51,26 ______________________________________________________

e) 0,24·(-6,21) _____________________________________________________

Para multiplicar un número decimal por una potencia de diez, (o lo que es lo mismo, por

la unidad seguida de ceros) se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como

indica el exponente (tantos lugares como ceros acompañen a la unidad).


a) 2,2365 ·1000= _________________________________________________

b) 7,325 ·100= ___________________________________________________

c) 45,65 ·10000= _________________________________________________

d) 21,325 ·10000= _________________________________________________

e) 69,0125·1000= _________________________________________________

50


La división es también semejante a la división entre enteros, pero antes de comenzar la

división se deben multiplicar dividendo y divisor por la misma potencia de diez que

transforme el divisor en un número entero (es decir se desplaza la coma hacia la derecha

tantos lugares como cifras decimales tenga el divisor).


a) 7,214: 54,2______________________________________________________

b) 63,21:1,25 ______________________________________________________

c) 45:52,31 _______________________________________________________

d) 74,25:0,481 _____________________________________________________

Por último, para dividir un número decimal por una potencia de diez (por la unidad

seguida de ceros) se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como indique el

exponente (tantos lugares como ceros acompañen a la unidad).


a) 521,23:100 _____________________________________________________

b) 58,239:1000 ____________________________________________________

c) 56025:100000 ___________________________________________________

En nuestro sistema métrico decimal cada unidad de un cierto orden está compuesta por

diez unidades del orden inmediatamente inferior. Así, para pasar de una cierta unidad a la

unidad inmediatamente inferior se multiplica por diez, y para pasar a la unidad

inmediatamente superior se divide por diez.

22.- Une cada unidad con la notación que le corresponda:

Km centímetro

Hm decámetro

Dm kilómetro.

m milímetro

dm hectómetro

cm decímetro

mm metro

51


Expresamos en metros y en centímetros las siguientes medidas de longitud:

23 Km 23000 m 2300000 cm

35,4 Hm. 3540 m 354000 cm

23.- Expresa en cm. y en mm. Las siguientes longitudes:

a) 542,2 m ________________________________________________________

b) 479,23 Hm ______________________________________________________

c) 3,215 Km _______________________________________________________

d) 78,01 Dm _______________________________________________________

e) 1452,32 dm _____________________________________________________

f) 2345.089 mm ___________________________________________________

24.- Une cada unidad con la notación que le corresponda:

Kg miligramo

Hg decagramo

Dg kilogramo

dg hectogramo

mg Decigramo

Expresamos en gramos y después en kilogramos las siguientes cantidades de masa

43,25 dg 4,325 g 0,004325 kg

78,23 Dg 782,3 g 0,7823 Kg

25.- Expresa en miligramos y después en decagramos las siguientes cantidades de

masa

a) 18,326 Dg ______________________________________________________

b) 78,3265 Hg _____________________________________________________

c) 847,235 mg _____________________________________________________

d) 42,32 g ________________________________________________________

52


26.- Expresa en litro y después en hectólitros las siguientes cantidades de capacidad

a) 58,32 Kl ________________________________________________________

b) 74052,2 cl ______________________________________________________

c) 78021,356 Dl ____________________________________________________

d) 54098,02 cl _____________________________________________________

e) 45821.8 ml _____________________________________________________

f) 54 Hl __________________________________________________________

No todo sistema de medida es decimal. Observa por ejemplo que la medida del tiempo

es un sistema en el cual cada unidad de un cierto orden contiene 60 unidades del orden

inferior. Así, cuando expresamos una cantidad de tiempo con el sistema decimal en un

cierto orden, para pasarla al orden anterior hay que multiplicar por 60. Otro sistema así es

el de medida sexagesimal de ángulos.

Expresa en horas minutos y segundos las siguientes cantidades

a) 4,5 h b) 0,25 h. c) 15428 min. d) 6,12 h. e) 145 min. f) 4578954 seg.

Solución:

a) observamos la cantidad entera de horas: 4. Ahora con la parte decimal calculamos la

cantidad de minutos que tiene (teniendo en cuenta que cada hora tiene 60 min.)

0,5·60=30min. Se ha obtenido un número entero, por tanto no hay segundos restantes. La

respuesta es pues: 4h. 30 min.

b) 0,25·60=15 min. Luego la respuesta es: 0 h. 15 min.

c) Para calcular la cantidad de horas enteras dividimos por 60 (minutos que tiene cada

hora). Obtenemos 257 y el resto es 8. La respuesta es pues: 257 h. 8 min.

d) 0,12·60=7,2 Así, 0,12horas son 7,2 minutos. Pasemos los 0,2 min. a segundos:

0,2min. =0,2·60=12 sg. La respuesta es pues: 6h. 7 min. 12 seg.

e) 145:60 = 2, resto 25. Luego la respuesta es 2h. 25 min.

f) 4578954:60=76315 resto 54. Ahora 76315:60= 1271 resto 55.

Así el resultado es 1271 h. 55 min. 54 seg.

53


27.- Expresa en horas minutos y segundos las siguientes cantidades

a) 452,136 min ____________________________________________________

b) 45,32 h ________________________________________________________

c) 458653 seg _____________________________________________________

d) 578,35 min _____________________________________________________

e) 5,23 h _________________________________________________________

f) 32,236 min _____________________________________________________

28.- Clasifica los siguientes números decimales. A los que tengan infinitas cifras

decimales, agrégales las siguientes cuatro cifras.

a) 5,325555 _______________________________________________________

b) 75,25 __________________________________________________________

c) 78,123112233111222333 __________________________________________

d) 0,3256868 ______________________________________________________

e) 758,356 ________________________________________________________

29.- Realiza las siguientes operaciones entre cantidades con medidas de longitud,

expresando previamente cada cantidad en la unidad menor de las que intervienen en las

operaciones (en cada apartado). Expresa después el resultado final en la unidad mayor de

las que intervienen.

a) (4,5 m+12 cm)· 7,25 dm ___________________________________________

b) 78,05 Km.+ 123,69 Hm·236,55 Dm ___________________________________

c) (52,37 cm-28,19 mm) ·(45,23 cm+ 35,05 mm) __________________________

d) (78,25 cm+ 16,15 mm)·(52,67 dm - 54,2 mm) ___________________________

30.- Realiza las siguientes divisiones y redondea el cociente a las centésimas

a) 17 : 20 _________________________________________________________

b) 25 : 0,15 _______________________________________________________

c) 5,32 : 2,15 ______________________________________________________

d) 18 : 13 _________________________________________________________

54


e) 6,4 : 0,26 _______________________________________________________

f) 0,3 : 7 _________________________________________________________

g) 74,25 : 6,75 ____________________________________________________

h) 78,94 : 4,56 _____________________________________________________

i) 54 : 8,6 ________________________________________________________

j) 9 : 4 ___________________________________________________________

k) 95,1 : 3 ________________________________________________________

l) 4,5 : 2 _________________________________________________________

31.- Expresa en cada apartado en las unidades que se pide, expresando cantidades

enteras de cada unidad

a) doce kilos y medio en kilogramos y gramos ____________________________

b) tres mil decilitros en litros y mililitros __________________________________

c) 3,7 horas en horas y minutos _______________________________________

d) 8,25 Km. En kilómetros y metros ____________________________________

e) tres cuartos de horas en horas y minutos ______________________________

32.- Realiza las siguientes operaciones y redondea el resultados a las centésimas y

después a las milésimas.

a) 45,6250,32 __________________________________________________

b) 65,12 ·5,16 ____________________________________________________

c) 8,4265·5,5 ____________________________________________________

d) 0,54839,125 __________________________________________________

e) 87,25·34,6 ____________________________________________________

33.- Hemos comprado en el mercado dos kilos y tres cuartos de carne, cuyo precio es

9€ el kilo. También cuatro kilos y medio de patatas, a 0,80 € el kilo. Finalmente, 410 gramos

de pimentón, que vale a 1€ cada 100g. Calcula cuánto hemos pagado por cada artículo y

cuánto en total. Si pagamos con un billete de 50€ ¿Cuánto nos devuelven?

55


34.- El partido de futbol Cerro de Reyes - Badajoz comenzó a las seis y cuarto de la

tarde. El partido de baloncesto entre el Badajoz y el Mérida dio comienzo a las 7 de la tarde.

Ambos partidos tiene dos tiempos separados por 10 minutos de descanso.

Para el futbol, a los 45 min. reglamentarios se añadieron dos minutos en la primera parte

y 4 minutos en la segunda, como tiempo de prolongación.

Para el baloncesto, la primera parte duró 33 min. y la segunda parte 36 min.

Calcula, para cada partido, la hora en que finalizó el primer tiempo, la hora de comienzo

del segundo tiempo y la hora en que finalizó el encuentro.

35.- Vamos a realizar un viaje de estudios con desplazamiento en autobuses.

Participarán 540 alumnos, cada autobús dispone de 60 plazas y cuesta 315 €. Calcula la

cantidad de dinero que ha de pagar cada alumno. También el dinero que cuesta en total la

excursión.

36.- Cada paso de María mide 80 cm y cada paso de Rafael 95 cm. Ambos dan dos

pasos por segundo, han comenzado a caminar juntos y han recorrido 12 Km. Calcula:

a) Los paso que han dado cada uno.

b) Los metros de ventaja que sacó Rafael a María en el recorrido.

c) El tiempo que esperó Rafael a María.

56


Tema.-6. Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras mediante las

operaciones matemáticas.

Ejemplo: 2·x, 2·a + 3, m·(n - 3), ....

Usamos las expresiones algebraicas para expresar en el lenguaje de las matemáticas

enunciados en los que aparecen datos desconocidos. Este lenguaje se denomina lenguaje algebraico. Por ejemplo, si queremos expresar mediante lenguaje algebraico el doble de

un número, escribiremos: 2 · n , siendo n un número cualquiera.

Para expresar un número en el lenguaje algebraico se puede usar cualquier letra.

1.- Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) Un número cualquiera._____________________________________________

b) El doble de un número cualquiera.____________________________________

c) Un número aumentado en 5.________________________________________

d) Un número disminuido en 3.________________________________________

e) Un número aumentado en su mitad.__________________________________

f) El anterior a un número entero.______________________________________

g) El siguiente de un número cualquiera._________________________________

h) Un número par cualquiera.__________________________________________

i) Un número impar cualquiera ________________________________________

j) Un número aumentado en 3 unidades.________________________________

k) La suma de dos números.__________________________________________

l) La quinta parte de un número._______________________________________

m) La centésima parte de un número.____________________________________

n) Las tres cuartas partes de un número._________________________________

o) El cuadrado de un número cualquiera.________________________________

p) El cubo de un número cualquiera.____________________________________

q) El doble de un número aumentado en 4._______________________________

r) El triple de un número disminuido en 5.________________________________

57


s) El doble del cubo de un número._____________________________________

t) El cubo del cuádruplo de un número.__________________________________

u) El cubo de la diferencia entre dos números cualesquiera.__________________

v) El triple del cuadrado de la diferencia entre un número y 13._______________

w) La cuarta parte de la suma entre un número y 3.________________________

2.- Enuncia verbalmente las siguientes expresiones algebraicas:

a) x – 2 __________________________________________________________

b) 2x ____________________________________________________________

c) x + 3 _________________________________________________________

d) 2x + 5 ________________________________________________________

e) 2x3 ____________________________________________________________

f) x - 3y _________________________________________________________

g) x2 _____________________________________________________________

h) 5x ____________________________________________________________

i) x + y _________________________________________________________

j) 2x - 4y ________________________________________________________

k) 2x - 3y2 _______________________________________________________

l) (2x)2 __________________________________________________________

m) (4x)3 ___________________________________________________________

n) (x - 1)2 ________________________________________________________

o) (x + y)3 ________________________________________________________

p) 2(x - 5) ________________________________________________________

q) 2(x - y) ________________________________________________________

r) 5x + 2y ________________________________________________________

s) 2x + 8 ________________________________________________________

t) 2(x + 8) _______________________________________________________

58


El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir

las letras por números y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo: Hallar el valor numérico de la expresión a2 + 3a + 3 para a = 2

22 + 3·2 + 3 = 4 + 6 + 3 = 10 + 3 = 13

3.- Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores

indicados de las letras:

a) 2x + 1 si x = 2

b) 3x + 5 si x = 5

c) 3a2 - 5a si a = 3

d) 2( x - 2) si x = 9

e) 5x - 3s si x = 3 y s = 2

f) m3 + 2m si m = 3

g) m3 - m2 si m = 2

h) 2x + 5 si x = - 4

i) 2s - 3u si s = 3 y u = 5

j) 5x2 - 3x + 4 si x = 3

59


Un monomio es una expresión algebraica formada por la multiplicación de un número y

una o varias letras.

En un monomio distinguimos dos partes, la parte numérica, que es el número que

multiplica a las letras y la parte literal, formada por las letras y sus exponentes.

4.- Indica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los siguientes monomios:

a) −7x2 y

b)53x4

c) 7x3 y6 z

d) −x2

Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, se dice que son monomios

semejantes

5x3 y 2x3 son monomios semejantes, ya que su parte literal (x3) es la misma.

5.- Di cuáles de los siguientes monomios son semejantes:

a) −7x2=

b)53x=

c) 12x

2

=

d) −6x= e) 7x3=

f)53x2=

g)23x ·4x2=

Para poder sumar o restar monomios, deben ser semejantes. El resultado de sumar o

restar monomios, es otro monomio cuya parte numérica es la suma o resta de las partes

numéricas y su parte literal es la misma.

Ejemplo: 5x3 + 2x3 = (5 + 2) x3 = 7 x3

60


6.- Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios

a) 3x2 + 2x2 = b) 6x - 9x =

c) 9x + 12x = d) -5x2 + 9x2 =

e) - 8x – 4x = f) 5x2 + 2x2 =

g) x – 8x = h) 4x + x =

i) 9x3 – 5x3 = j) 8x3 – 3x3 =

k) 10x2 - 3x2 = l) 6t3 + 5t3 =

7.- Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios

m) 5b + 7a = n) 5x - 2x + x =

o) -12s + 8s + 4s = p) 4x2 + 9x2 =

q) 5a + 7a + 4a = r) 4x + 5x - 2x + x =

s) -12a - 8a + 4a + a = t) 9y - 8y + 5y – 2y =

u) 14e - e – 17e + 4e – e = v) 7x2 + 4x2 + 5x2 + 9x2 =

w) 9x + 5y - 2x = x) 10x - 2x - 7y - y +23x + 9y =

Para multiplicar un número por un monomio, multiplicamos dicho número por la parte

numérica del monomio y mantenemos la misma parte literal:

2 · ( 7 z2 ) = ( 2 · 7 ) z2 = 14 z2

Para multiplicar un número por una expresión algebraica, debemos multiplicar dicho

número por todos los términos de la expresión algebraica. Esta operación se denomina

propiedad distributiva respecto de la suma.

5 · ( 2x2 + 3x + 2) = 5 · 2x2 + 5 · 3x + 5 · 2 = 10x2 + 15x + 10

Si el número es negativo, debes tener cuidado y recordar siempre lo criterios de signos

de las operaciones con números enteros:

(- 5) · ( 2x2 - 3x + 2) = (- 5) · 2x2 + (- 5) · (- 3x) + (- 5) · 2 = - 10x2 + 15x - 10

Ejemplo: Desarrolla y agrupa la siguiente expresión algebraica

7x - 2 · ( 2x - 3) = 7x - 2 · 2x - 2 · (- 3) = 7x - 4x + 6 = 3x + 6

61


8.- Realiza las siguientes operaciones con expresiones algebraicas:

a) 5 · (3x - 2)= b) 2 · (2v + 4)=

c) 6 · (5l - 6)= d) 3 · (7s - 5)=

e) 8 · (4t + 7)= f) 4 · (2x - 4)=

g) 4x + 2 · (2x - 3)= h) 12 + 2·(x - 4)=

i) 6x - 2 · (x + 2) j) 8 - (4 - x)=

k) 2x + 3 · ( 5 - x)= l) 3 · (x + 4) - 6 =

m) 5x - 3x - (x - 5)= n) 12 + 5x - 3 · (x - 3)=

o) 4 · (x + 5) - 2 ( 2x - 10)= p) 5x - ( x + 3)=

9.- Realiza las siguientes operaciones con expresiones algebraicas:

a) x - (x - 2)= b) 12x - 4 · (2x - 3)=

c) 6 - 3 · (x - 2)= d) 5 · (x - 3) - 5=

e) 2x - 2 · (2 - x)= f) 2 · (3x + 8) - 12=

g) 18 - 2 · ( x + 7)= h) 6 · ( 3 - x) + 10x=

i) 2 · ( x + 5) - (x + 6)= j) 2 · ( 3x - 4) + 2 · (6 - x)=

k) 4 · (x - 3) + (3 + 2x)= l) 15 + 3x - 2 · (x + 5)=

62


m) 3 · (x + 1) + (x - 2)= n) 3 · (4 + 2x) + 3 · (2 - x)=

o) 6 · (x - 2) + 2 · (8 - 2x)= p) 2 · (3x - 4) + 3 (x + 3)=

Identidad: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para

cualquier valor que le asignemos a las letra (indeterminadas) que aparecen en ella.

Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para un

solo valor de la letra (incógnita) que aparece en la ecuación.

Ejemplos: 5x - 3x = 2x es una identidad, pues:

Si x = 1 → 5 · 1 - 3 · 1 = 2 · 1 → 5 - 3 = 2 → 2 = 2

Si x = 3 → 5 · 3 - 3 · 3 = 2 · 3 → 15 - 9 = 6 → 6 = 6

x - 3 = 2 es una ecuación, pues sólo se verifica cuando x = 5

si x = 5 → 5 - 3 = 2 → 2 = 2

Si elegimos cualquier otro valor para la letra x, la igualdad no es cierta.

10.- Define los siguientes elementos de una ecuación:

Incógnita:_________________________________________________________

Miembros:_________________________________________________________

Términos:_________________________________________________________

11.- Completa:

Resolver una ecuación es encontrar el ________ de la incógnita que hace que la

igualdad se verifique.

Para aprender a resolver ecuaciones debemos tener en cuenta sus propiedades de

_____________.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma __________.

63


12.- Busca en tu libro y completa las siguientes propiedades de equivalencia.

- Primera propiedad de equivalencia:

Si __________ o ____________ la misma cantidad a ambos miembros de una ecuación,

la ecuación resultante es _____________ a la primera.

Sea la ecuación x + 2 = 5, cuya solución es x = 3

Sumamos 4 a los dos miembros de la ecuación: x + 2 + 4 = 5 + 4

Obtenemos la ecuación _______________, que también tiene como solución x = 3. Por

tanto x + 2 = 5 y x + 6 = 9 son equivalentes.

Ahora restando 2 a la ecuación: x + 2 - 2 = 5 - 2

Obtenemos la ecuación _______________, que también tiene como solución x = 3.

Por tanto x + 2 = 5 y x = 3 son equivalentes.

- Segunda propiedad de equivalencia:

Si ________________ los dos miembros de una ecuación por la misma cantidad, la

ecuación resultante es ____________ a la primera.

Sea la ecuación x + 2 = 5, cuya solución es x = 3

Multiplicamos por 2 los dos miembros de la ecuación: 2 · ( x + 2 ) = 2 · 5

Obtenemos la ecuación_______________, que también tiene como solución x = 3.

Por tanto x + 2 = 5 y 2x + 4 = 10 son equivalentes.

Para resolver una ecuación, aplicaremos las propiedades de equivalencia con el objetivo

de quedar la incógnita sola en uno de los miembros de la ecuación, y en el otro un número

que corresponderá a la solución.

Ejemplo: 3x + 5 = 8

Paso 1.- Aplicamos la primera propiedad de equivalencia para quitar el 5 del primer

miembro: 3x + 5 - 5 = 8 - 5 → 3x = 3

Paso 2.- Aplicamos la segunda propiedad de equivalencia para quedar la x sola en el

primer miembro de la ecuación. Para ello dividimos los dos miembros por el número que

acompaña a la incógnita, en este caso, 3:

3x3 =

33 → x = 1 es la solución de la ecuación.

64


13.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3 + x = 4 b) -3 + x = -13

c) 6 + x = -4 d) 2 + x = -6

e) -1 + x = 6 f) 7x + 3 = 38

g) 6 x - 7 = 5 h) 3x + 1 = 20

i) 7x – 5 = -33 j) 7x + 7 = 0

k) 8 + x = 3 l) 2 + x = 10


a) 2 + x = 0 b) -4 + x = -1

c) 5 + x = 14 d) -3x - 1 = 23

e) -5x - 1 = 34 f) 6x - 7 = -1

g) -3x - 7 = -28 h) 6x – 6 = 30

i) 8x - 7 = 17 j) 5x + 4 = 44

Cuando la ecuación tiene paréntesis, los pasos a seguir son los siguientes:

2 ( x + 3) = 10

Paso 1.- Aplicamos la propiedad distributiva para quitar los paréntesis:

2(x + 3) = 10 → 2x + 6 = 10


65


miembro:

2x + 6 - 6 = 10 - 6 → 2x = 4



acompaña a la incógnita, en este caso 2:

2x2 =



a) 3( 4 + x ) = 15 b) 2( x - 2 ) = 20

c) 5( - 6 + x ) = -5 d) 2( -1 + x ) = 10

e) 4( 2 + x ) = - 4 f) 2( 10 + x ) = 40

g) 4( -2 + x ) = -32 h) 5( 3 + x ) = 20


a) 7( -3 + x ) = 84 b) 3( 5 + x ) = 9

c) 2( 8 + x ) = 8 d) 6( 5 + x ) = - 6

e) 8( - 3 + x ) = 8 f) 10( -4 + x ) = -10

g) 2( - 4 + x ) = -16 h) 8( x – 7 ) = -9

Cuando la ecuación tiene varios términos que son semejantes, los pasos a seguir son

los siguientes:

4x + 2 - 2x = 8 + 4

Paso 1.- Agrupamos términos semejantes aplicando lo que hemos aprendido:

66


4x + 2 - 2x = 8 + 4 → 2x + 2 = 12 y ahora procedemos como en los casos

anteriores.


miembro:

2x + 2 - 2 = 12 - 2 → 2x = 10




2x2 =


Cuando hay incógnitas en los dos miembros de la ecuación, procedemos de la siguiente

forma:

5x - 5 = 2x + 10

Paso 1.- Aplicamos la primera propiedad de equivalencia para agrupar los términos con

incógnitas en un miembro de la igualdad y los términos sin incógnitas en otro:

5x - 2x - 5 = 2x - 2x + 10 → 3x - 5 = 10 → 3x - 5 + 5 = 10 + 5 → 3x = 15




3x3 =


En esta ecuación hemos combinado todos los casos anteriores, para resolverla

correctamente seguiremos los siguientes pasos:

3(x + 5) - 9 = x + 12

Paso 1.- Aplicamos la propiedad distributiva para quitar paréntesis:

3(x + 5) - 9 = x + 12 → 3x + 15 - 9 = x + 12

Paso 2.- Agrupamos términos semejantes:

3x + 15 - 9 = x + 12 → 3x + 6 = x + 12

67


Paso 3.- Aplicamos la primera propiedad de equivalencia para agrupar los términos con

incógnitas en un miembro de la igualdad y los términos sin incógnitas en otro:

3x + 6 = x + 12 → 3x - x + 6 = x - x + 12 → 2x + 6 = 12 → 2x + 6 - 6 =

12 - 6 → 2x = 6




2x2 =


OBSERVA QUE EN TODOS LOS EJEMPLOS, DESPUÉS DE APLICAR LA PRIMERA

PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA, TODOS LOS TÉRMINOS QUE QUITAMOS DE UN

MIEMBRO DE LA ECUACIÓN APARECEN EN EL OTRO CAMBIADO DE SIGNO.

3x + 5 - 5 = 8 - 5 → 3x = 8 - 5 → 3x = 3

En adelante realizaremos la aplicación de la primera propiedad de equivalencia

mentalmente, teniendo en cuenta este detalle.

Ejemplo: 3x + 5 = 11

Paso 1.- 3x = 11 - 5 → 3x = 6

Paso 2.- 3x3 =

63 → x = 2


a) 3x – 3 = 2x - 27 b) 5x -7 = -2x +14

c) 5x - 9 = 2x + 18 d) 3x - 8 = 2x - 58

e) 4x + 8 = 2x + 24 f) 9x - 6 = 3x + 6

g) 10x + 7 = 4x + 13 h) 10x - 10 = 8x + 4

i) 11x - 10 = 9x + 20 j) 3x - 1 = -1x - 11

68



a) 1x - 9 = -2x + 18 b) 5x - 5 = 2x - 28

c) -2x + 9 = 6x - 7 d) 2x - 7 = x + 7

e) 2x - 1 = -2x + 7 f) 7x + 3 = x + 11

g) 3x - 6 = x + 7 h) 2x + 3 = -5x - 32

i) 5x - 1 = 2x + 44 j) 4x - 6 = 2x + 54

k) 6x - 9 = 12 + 3x l) 15x + 8 = 16x - 13


a) 3x – (6 - 2x) + 5 = 4(x - 3) + 5

b) 4x - 2(3 - x) = 8 + 2(x - 4) + 6

c) 4x + 10 = 3 - (2 - x)

d) 4x - 3(x - 2) = 2(3 - x)

e) 3 - 4(x - 5) + 2x = 5 + 3(x + 1)

f) 3(x + 5) + 2x = 4(x - 3)

g) 2(4 + 2x) + 6 = 3(x + 2)

h) 4(x + 4) + 6(x + 5) = 66

i) x – (3 – x) = 7 – (x – 2)

69



a) 3x – (1 + 5x) = 9 – (2x + 7) – x

b) (2x – 5) – (5x + 1) = 8x – (2 + 7x)

c) 9x + (x – 7) = (5x + 4) – (8 – 3x)

d) 10x – (4x – 1) = 5 · (x – 1) + 7

e) 2(x + 5) = 16

f) 5 = 3 · (1 – 2x)

g) 5(x – 1) = 3x – 4

h) 5x – 3 = 3 – 2(x – 4)

i) 6(x – 2) – x = 5(x – 1)

j) 7(x – 1) – 4x – 4(x – 2) = 2

k) 3(3x – 2) – 7x = 6(2x – 1) – 10x

l) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2)

70


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para poder resolver un problema mediante planteamiento de ecuaciones, es importante

saber traducir al lenguaje algebraico. Mediante esta traducción plantearemos la ecuación

que nos llevará a resolver el problema.

Ejemplo:

Si al triple de un número se le resta 8, el resultado es 18. ¿Cuál es ese número?

Vemos cómo plantearíamos la ecuación correspondiente a este enunciado:

En la pregunta se encuentra la incógnita. En este caso al número buscado le asociamos

la letra x (puede ser cualquier letra)

Si al triple de un número se le resta 9 el resultado es 18.

3 · x - 9 = 18

La ecuación que tendremos que resolver para encontrar la solución del problema es: 3x

- 9 = 18

Resolvemos: 3x = 18 + 9 → 3x = 27 → 3x3 = 27

3 → x = 9

9 es el número buscado. Comprobamos el resultado:

El triple de 9 es 3·9 = 27, si a 27 le restamos 9, el resultado es 27 - 9 = 18 como

indicaba el enunciado del problema, por tanto lo hemos resuelto correctamente.

Resolver los siguientes problemas: (plantea las ecuaciones y resuélvelas para dar la respuesta del problema)

21.- El doble de un número más 5 da como resultado 19. ¿Cuál es el número?

22.- El cuádruple de un número menos 12 da como resultado 12. ¿Cuál es el número?

23.- El triple de un número menos su doble da como resultado 4. ¿Cuál es el número?

71


24.- La suma del doble de un número y 3da como resultado 9. ¿Cuál es el número?

25.- El doble de un número más el cuádruple de dicho número da como resultado 6.

¿Cuál es el número?

26.- La suma de dos números naturales consecutivos es 17. ¿Cuáles son dichos

números?

27.- Lorena tiene el doble de años que su hermana, si entre las dos suman 21 años.

¿Cuántos años tiene cada una?

28.- La edad de Alba hace 17 años era 15 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

29.- La edad de Samuel dentro de 22 años será 34. Cuántos años tiene actualmente?

30.- En la primera parada que hace un autobús, bajan 17 pasajeros. S quedan en el

autobús 32 pasajeros, ¿cuántos había al principio?

31.- Sabiendo que la edad de Jorge dentro de 56 años será el quíntuple que la actual.

¿Cuántos años tiene Jorge actualmente?

72


32.- Dos hermanos se reparten 300€. Sabiendo que el primero se lleva el doble que el

segundo. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

33.- En un rectángulo, la base mide 10 cm más que la altura. Sabiendo que su

perímetro es 30 cm, ¿cuánto mide cada lado?

34.- El padre de María tiene 25 años más que ella. Si dentro de 5 años, el padre le

duplica la edad a María, ¿cuántos años tiene María?

35.- Entre Paloma y Paula tienen 200 €, y Paloma tiene el triple que Paula. ¿Cuánto

dinero tiene cada una?

36.- Los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos. Si el perímetro

mide 33c m, ¿cuánto mide cada lado?

37.- Elisa tiene 25 cromos más que Isabel, si entre las dos tienen 70 cromos, ¿cuántos

cromos tiene cada una?

73


38.- La suma de tres números consecutivos es 63. ¿Cuáles son los números?

39.- Carlos ha pagado 35€ por dos camisetas y un pantalón. Si las camisetas cuestan

5€ menos que los pantalones. ¿Cuánto cuesta cada camiseta y el pantalón?

40.- Entre Lara, Manuel y Sara tienen 108€. Si Lara tiene el doble de dinero que

Manuel y Sara el triple que Lara, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

41.- Celia pagó 87€ por un libro, un traje y una pulsera. La pulsera costo 5€ más que

el libro y 20€ menos que el traje. ¿Cuánto pagó Celia por cada cosa?

42.- Juan tiene 30 años, dentro de dos años, tendrá 8 veces la edad de su hija.

¿Cuántos años tiene la hija de Juan?

74


Tema.-7. Proporcionalidad directa 1.- Completa la siguiente definición

Se llama razón entre dos cantidades a ____________________________ que existe

entre ellas expresada en _________________________________.

Si “a “y “b” son las cantidades, la razón se escribe ––––– y se lee

“____________________________” o bien “___________________________”

Ejemplo: En una clase hay 13 chicos y 7 chicas. La relación entre el nº de chicas y el

de chicos es 713

y se lee “7 chicas de cada 13 chicos”.

2.- En el ejemplo anterior la relación entre el nº de chicos y el de chicas es –––––– y se

lee “______________________________________________________”

3.- En un partido de fútbol Luís ha tirado 5 veces a puerta y ha marcado 2 goles.

La relación entre goles y tiros a puerta es –––– y se lee

“_____________________________”

4.- Escribe dos números “a” y “b” cuya razón sea

a) 3

b) 2.5

5.- Completa la siguiente definición.

Se llama tanto por uno a la ____________________________ de una razón y expresa

––––––––––––––––––––––––––––––una cantidad respecto a la _____________.

Ejemplo: Sea 45

la razón entre dos cantidades 45=0.8 y 0.8 es el tanto por uno. La

razón indica 4 de cada 5 y el tanto por uno 0.8 de cada 1 6.- Un tarro de helado de fresa de 3 litros contiene 1.8 litros de crema. Halla la cantidad

de crema por cada litro de helado.

Como nos piden la crema por cada unidad (por cada litro) nos están pidiendo el tanto por

uno, luego, establezco la razón y hallo su expresión decimal

= _______ de crema por cada litro de helado.

75


El tanto por uno nos sirve para comparar situaciones

7.- Una fabrica A produce 5 tornillos defectuosos por cada 200 no defectuosos que

fabrica.

Otra fábrica B produce 4 tornillos defectuosos por cada 156 no defectuoso que fabrica.

Determina cual de las dos fábricas es más eficaz.

Para comprobar la eficacia de ambas fabricas, expresamos con una razón y en tantos por

uno la relación entre tornillos no defectuosos y defectuosos.

Las razones y tantos por uno pedidos son:

Fabrica A: ––––––– = _______, produce _____ tornillos no defectuosos por cada uno

defectuoso

Fabrica B: –––––––– = _______, produce _____ tornillos no defectuosos por cada uno

defectuoso

Luego es más eficaz la fábrica _______ porque

_________________________________________.

8.- Un refresco de 5 litros contiene dos litros de zumo de naranja. Otra marca fabrica

botellas de 3 litros cuyo contenido en zumo de naranja es de 1.2 litros. ¿Qué marca utiliza

más zumo de naranja?

La relación entre zumo de naranja y cantidad del primer refresco es ––––––

La misma relación en el segundo refresco es –––––––

La expresión decimal o tanto por uno en cada caso es: 1º refresco –––––––– 2º refresco

––––––

Compara ambos resultados y decide ________________________________

__________________

9.- Luís ha tirado 8 veces a puerta y ha marcado 5 goles. Juan ha tirado 15 veces y ha

marcado 8 goles. ¿Quién ha sido más eficaz?

76


10.- Completa el siguiente recuadro

Dos razones ab

y cd

forman una proporción cuando ___________________________.

Se lee “ a es a ____ como ________________________________.

Los términos a, d se llaman ________________.

Los términos b, c se llaman ________________.

En las proporciones se cumple que “ el producto de –––––––––––––––––– es

–––––––––––– al producto de _____________________.Ejemplos

■ Comprueba que 4 es a 6 como 10 es a 15.

Nos piden que comprobemos si 46

= 1015

Para ello tenemos que comprobar si en producto

de los extremos coincide con el producto de los medios.

Producto de extremos 4·15 = 60

Producto de medios 6·10 = 60

Como ambos productos coinciden la proporción es correcta.

■ Calcula el término “N” para que las siguientes razones formen una proporción 23

y 20N

Basta considerar que se tiene que cumplir producto de extremos igual a producto de

medios y despejar N

Producto extremos: 2·N

Producto de medios:3·20 = 60

Como ambos productos tienen que coincidir 2·N = 60 → N = 602

= 30

11.- Sabemos que con 8 Kg. de harina puedo elaborar 10 bizcochos. Si dispongo de

12 k.o. de harina ¿Cuántos bizcochos del mismo tamaño puedo elaborar?

La razón entre la cantidad de harina y el número de bizcochos en ambos casos tiene que

ser la misma:

8 Kg de harina10 bizcochos

= Kg de harina

bizcochos1 2

Ν donde N es el nº de bizcochos que haré con 12Kg de

77


harina

Por se una proporción _____ · _____ = ______ · ______

Despejando N tenemos que N = ––––––– =

Luego, con 12 k.o. de harina puedo fabricar ______________.

12.- Una caja de 3 k.o. de galletas cuesta 14 €. Calcula cuanto debo de pagar por otra

caja de galletas iguales a las anteriores de 5.5Kg de peso

Llamo _____ a la cantidad que debo de pagar por la caja grande.

Establece en ambos casos la razón entre peso de las galletas y precio y después aplica la

propiedad de las proporciones.

Despeja tu incógnita y tendrás resuelto el problema.

13.- Un plano está hecho a escala 1:120. Calcula la medida real de una bañera que

sobre el plano mide 1.5 cm.

14.- Completa la siguiente definición

Dos magnitudes son directamente proporcionales si ___________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

__________________________________________________________________Ejemplos

■ El número de entradas que compro para el cine y el dinero que pago por ellas son

magnitudes directamente proporcionales: si una entrada cuesta 5 €, dos cuestan 10€, tres

18 €,……..

■ Sean A y B dos magnitudes que toman los valores que se indican en la tabla:

Para comprobar si A y B son directamente proporcionales debe de ocurrir que

23

= 69

= 1218

, luego son directamente proporcionales.

78

A 2 6 12

B 3 9 18


15.- En una pastelería venden 4 pasteles por 6 €. Sabiendo que la relación entre el

número de pasteles y el precio es directamente proporcional, completa razonando la tabla:

16.- En una papelería tienen la siguiente tabla de precios:

Observa que al aumentar el número de copias aumenta el

precio.

¿Son directamente proporcionales? Razona la respuesta.

17.- Razona si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales:

a) Velocidad de un coche y tiempo que tarda en recorrer una distancia determinada.

b) Nº de socios de un club y dinero que éste recauda.

c) Nº de hojas de un libro y grosor del mismo.

d) Nº de hojas de un libro y su precio.

Cuando tenemos dos magnitudes directamente proporcionales y hemos de averiguar el

valor que corresponde a un valor conocido en la otra magnitud. Lo primero será comprobar

si son directamente proporcionales. Pueden resolverse por dos métodos.

Ejemplo:

■ Compré 3 k.o. de galletas por 14.10 € ¿Cuánto debo de pagar por un paquete de 5Kg

de las mismas galletas?

Nuestra incógnita es el precio del segundo paquete de galletas.

Lo primero es comprobar que son directamente proporcionales: el peso de un producto y

su precio lo son.

79

Nº pasteles 2 4 6 8

Precio € 6

Nº copias 10 20 30 40

Precio € 1 2 2.5 3


Podemos resolver de dos formas:

– Reducción a la unidad:

Calculamos el precio de un k.o. de galletas: 14´1 : 3 = 4´7 € el k.o. de galletas.

Calculamos el precio de 5 k.o.: 4´7 · 5 = 23´5 €

Luego 5 k.o. de galletas cuestas 23´5 €

– Regla de tres:

Consiste en plantear una proporción y aplicar la propiedad de las proporciones:

3Kg de galletas ––––––––––––––––––14´1 €

5Kg de galletas –––––––––––––––––– N €

Kg de galletas5Kg de galletas3

= 14 1 €

N €′

→ 3·N = 14´1 ·5 → N= 14 13′ ⋅ 5 = 23´5 €

18.- Una máquina produce 145 piezas en 3 horas. ¿Cuántas producirá en 5 horas?

Indica las magnitudes que intervienen:_________________________________________

¿Son directamente proporcionales?___________________________________________

_______________________________________________________________________

Método de reducir a la unidad:

Piezas que produce en una hora:_____________________________________________

_______________________________________________________________________

Si produce _______ piezas en una hora, en 5___________________________________

_______________________________________________________________________

Regla de tres:

Establece la proporción:

3 horas –––––––––––––––––––– piezas

5 horas –––––––––––––––––––– piezas

Establece la proporción: ___________________________________________________

Propiedad de las proporciones:_____________________________________________

______________________________________________________________________

Despeja la incógnita:______________________________________________________

80


19.- En un centro escolar de 210 alumnos se han consumido 630 churros en un

desayuno. Como la experiencia ha resultado muy agradable deciden repetirlo, esta vez

invitando a los padres. Calcula cuantos churros debemos comprar si se desea repartir el

mismo número por persona que en el primer desayuno y 120 padres han confirmado la

asistencia.

Resolver por dos métodos distintos.

20.- Completa el recuadro siguiente

Un porcentaje o tanto por ciento expresa_____________________________

_______________

Se expresa con el símbolo __________.

Si tenemos una razón y un tanto por uno basta multiplicar por 100 para tener el tanto

por ciento.Ejemplos

■ El 40% de los alumnos son rubios significa que 40 alumnos de cada 100 son rubios

■ En una oficina de cada 5 empleados 3 son mujeres. Indica el porcentaje de mujeres.

21.- En una clase de 30 alumnos, 18 van de excursión. Expresa el porcentaje que

representan los que van de excursión.

81

Razón Tanto por uno Tanto por ciento

35

= 0.8= 80% → 80 de cada 100 empleados son mujeres

Multiplicamos por 100


22.- Completa

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad ___________________ dicha

cantidad por el tanto y dividimos por _________.Ejemplo

■ Calcula el 20% de 150

Multiplicamos 150 por 20 → 150·20 = 3000

Dividimos el resultado entre 100 → 3000 : 100 = 30

30 es el 20 % de 150

23.- Calcula el 35% de 1500

35 · 1500100

= 100

= ______

24.- Calcula el 40% de 1327

·100

= ––––––––––=

25.- El 80% de los alumnos de un centro escolar están a favor de construir una rampa.

En el centro hay 240 alumnos. Determina los que están a favor de tal iniciativa.

Cálculo de una cantidad conocido un tanto por ciento suyo.Ejemplo

Sea N una cantidad de la que solo conocemos que su 15% vale 150. Con este resultado

pretendemos averiguar el valor de N.

15% de N = 150 → ·100

1 5 Ν

= 150 → 15 · N = 150 · 100 → 15 · N = 15000 → N= 15000 1 5

N = 1000

82


26.- Completa

Como vemos, multiplicamos ________________________________ por 100 y

dividimos por el ___________.

27.- En un parque hay 200 pinos, lo cual representa el 20% de los árboles que hay en

dicho parque. Determina el total de árboles que hay plantados.

Desconocemos la cantidad de árboles N, pero conocemos el resultado de un porcentaje

suyo:

20% de N = 200 → 100

= 200 → ______ · N = 200 · 100 → N = 20

=

Luego en el bosque hay plantados __________ árboles

Conocida una cantidad y un tanto por ciento suyo , calcular el tanto.Ejemplo

De los 150 alumnos de un colegio, 90 son chicas. Calcula el tanto por ciento que

representan las chicas.

Las chicas suponen el X % de los alumnos del centro

X % de 150 = 90 → X ·150100

= 90 → X · 150 =90 · 100 → X = 9000

150 → X = 60

Luego las chicas suponen el 60 % del total de alumnos del centro.

28.- Unos pantalones están marcados en 30 €. Al pasar por caja me dicen que están

rebajados y que su precio es de 25.50 €. Calcula qué tanto por ciento de descuento me

están aplicando.

Conocemos una cantidad 30 y el resultado de aplicarle un tanto por ciento : 25.50

83


29.- Termina de completar el ejemplo

En un grupo A de 25 alumnos 14 aprueban un examen de matemáticas. En otro grupo B

de 30 alumnos aprueban 18. ¿Qué grupo obtiene mejores resultados?

Como las clases tienen distinto numero de alumnos, una forma de comparar los datos

obtenidos es expresar los resultados en forma de porcentajes.

Grupo A: 1425

= 0.56 → 56 %

Grupo B: = → %

Como el porcentaje de aprobados es mayor en el grupo _______, dicho grupo es el que

obtiene mejores resultados.

30.- Un equipo de baloncesto necesita fichar a un jugador. Tiene duda entre dos

jugadores y decide hacer un seguimiento de los mismos en varios partidos. El primer jugador

ha encestado 45 canastas de 62 intentos y el segundo 52 canastas de 77 intentos. ¿Qué

jugador resulta más rentable?

■ Disminución porcentual. Consiste en disminuir una cantidad dada en un determinado

tanto por ciento suyo. Existen dos procedimientos.

31.- Completa el siguiente resultado

Método 1: Calculamos la disminución y se _____________ a la cantidad inicial.

Método 2: Se aplica a la cantidad inicial el 100% ___________ el porcentaje dado.

32.- De una piscina de 1200 m3 de agua se ha sacado el 15 %. Calcula la cantidad de

agua que queda en la piscina.

Método 1 :

Calcula el 15% de 1200

Resta a 1200 el resultado de la operación anterior

84


Luego en la piscina quedan _____________ de agua.

Método 2:

Como sacamos el 15 % , en la piscina queda 100 % – 15% =_________ %

Calcula ese tanto por ciento a 1200

En la piscina quedan ____________ de agua.

33.- Por pagar un ordenador al contado me hacen un 10 % de descuento. Si el

ordenador está marcado en 940 €, calcula cuanto debo de pagar.

Resuelve el problema aplicando ambos métodos.

■ Aumento porcentual. Consiste en aumentar una cantidad dada en un determinado

porcentaje suyo. Al igual que en la disminución porcentual podemos usar dos métodos

34.- Completa el siguiente resultado

Método 1: Calculamos el aumento y se ____________ a la cantidad inicial.

Método 2: Aplicamos a la cantidad inicial el __________________________________

35.- Un embalse contiene 2500 millones de m3 de agua. Con las lluvias del invierno ha

aumentado esa cantidad en un 12 %. Calcula la cantidad de agua que tiene ahora.

Método 1:

Calcula el 12% de 2500

Suma a 2500 el resultado anterior y tendrás el agua que hay en el embalse.

Método 2:

Como se añade un 12 % de agua, en el embalse hay 100% + 12 % = ___________

Calcula a 2500 el tanto por ciento anterior y tendrás el resultado.

85


36.- Un CD de música cuesta sin IVA 15€, calcula el precio final si hay que aplicarle

un IVA del 16% Resuelve aplicando los dos métodos.

37.- Expresa en forma de razón y de tanto por uno la relación de cada apartado:

a) En el mes de enero ha llovido durante 8 días y ha hecho sol 6 días. ¿ Qué relación

hay entre los días soleados y lluviosos?

b) En unas oposiciones se ofertan 25 plazas y se presentan 2500 opositores. Relación

entre el nº de opositores y las plazas

c) Para hacer un bizcocho de 10 raciones necesito 1.5 k.o. de harina. Relación entre

raciones y cantidad de harina.

38.- Un coche mide de largo 2.5 metros y queremos hacer una maqueta de él en la

que mida 25 cm. ¿Cuántas veces es más grande el coche real?

39.- En una empresa de alquiler de vehículos hay 3 furgonetas y 8 coches.

a) ¿Cuántos coches hay por cada furgoneta?

b) ¿Cuántas furgonetas hay por cada coche?

c) Razón que representa el número de coches por el total de vehículos que tiene la

empresa.

86


40.- Quiero ampliar una foto que mide tres cm. de ancha por 5 de alta para ponerla en

un portarretrato que mide 12 cm. de ancho. Calcula el alto que debe de tener el portarretrato.

41.- De las siguientes parejas de razones, indica las que forman una proporción:

a)54 y

158 b)

0,20,5 y

1,64

42.- Obtén el valor de N para que las fracciones determinen una proporción

a) 205

=

4N b) 3

N = 15

10

43.- Completa la siguiente frase:

a) 5 es a 8 como 15 es a ______________

b) _____ es a 0.3 como 1.8 es a 9

44.- Una empresa lanza al mercado un champú de miel y hierbas que resulta ser todo

un éxito. El producto lo comercializan en botes de 350 Mª y de 750ml. Si para el bote

pequeño necesitan 30 gramos de miel, calcula la miel que precisan para el bote grande.

45.- Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes son directamente

proporcionales:

A 12 8 3

B 14.4 12 6 46.- Razona si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales:

a) Estatura de una persona y su peso

b) Estatura de una persona y su edad

c) Edad de una persona y nº de zapatos

87


d) Paquetes de gusanitos y precio que pago por ellos

47.- En un roscón de reyes se meten 6 habas por cada 5 Kg. de harina utilizado. Si se

han empleado 700 Kg. de harina, calcula el nº de habas.

48.- Un transportista llenaba su depósito de 470 litros de gasoil por 190 €. Cuando va

a repostar observa que el gasoil ha subido 2 céntimos. ¿Cuántos litros puede echar si solo

lleva 190€?

49.- Un cartón de 20 huevos cuesta 3 €. Calcula cuánto vale una docena.

50.- Por 5.27 Kg. de naranjas he pagado 7 €. Calcula el precio de una malla de dos

Kilos

51.- Si la escala numérica de un plano es 1:500 calcula la altura real de un edificio

que en el plano mide 7 cm.

52.- Sabemos que la distancia en línea recta entre dos pueblos es de 12 Km. Quiero

hacer un plano a escala 1:50000 para mandarlo a un amigo. Calcula la distancia a la que

debo situar en el mapa ambos pueblos

88


53.- Un coche recorre 300 Km. en dos horas y media. Calcula el tiempo que tarda en

recorrer 280Km si va a la misma velocidad.

54.- Expresa en tantos por ciento los siguientes datos:

a) 2 / 3

b) 5 / 4

c) Dos de cada 5 flores son claveles

d) 1 de cada 10 niños es hiperactivo

55.- Calcula

a) 35 % de 150

b) 0.8% de 800

56.- Calcula el valor de N:

a) El 50 % de N es 45

b) El 32% de N es 127

57.- Una compañía telefónica me ofrece 10 € de descuento por cada 80 € de

consumo. Otra compañía me ofrece 13€ de descuento por cada 110 de consumo. Averigua

cual me resulta más rentable.

89


58.- Calcula cuánto tiene que pagar Antonio si por el retraso en el pago de una factura

de 225 € le han incrementado un 15 %.

59.- Por efecto de la dilatación una barra que media 2.35 metros, mide 2.47 metros.

Calcula el porcentaje que ha aumentado.

60.- En una oposición se reservan 7 plazas para minusválidos, que representan el 5

% del total. Calcula cuántas plazas se ofertan.

61.- Un país centroamericano tiene una población aproximada de 12 millones de

habitantes de los que el 64 % son indígenas. Calcula cuanta población es indígena.

62.- Juan quiere comprar un mueble para su dormitorio que está marcado en 1250 €.

Si paga al contado le hacen un descuento del 4%.

a) ¿Cuánto dinero se ahorra?

b) ¿Cuánto tiene que pagar?

90


63.- De un depósito de combustible para calefacción de 150.000 litros se extrae el 35

%. ¿Cuánto combustible queda?

64.- Una blusa que valía 35 € me cuesta en rebajas 7 € menos. ¿Qué tanto por ciento

me han descontado?

65.- Mis padres deciden hacer un crucero por el Mediterráneo. El precio por persona

es de 2500 €. Si contratan ahora les hacen un descuento del 15% en cada pasaje y además

el 60 % por el primer hijo y el 40 % por el segundo hijo. Calcula cuánto deben de pagar si

lleva un IVA no incluido del 7%

66.- La compra: Estoy ayudando a mi padre a hacer la compra en un supermercado.

Yo me encargo de comprar tres clases de artículos: A, B y C. Del artículo A he de comprar 5

unidades. El precio inicial es de 15€ por unidad pero ahora está rebajado un 10% . Del

artículo B necesitamos 2,5 Kg. y el precio por Kg. es 3,5€. De C cojo 9 unidades, el precio

por unidad es de 10€ pero ahora hay una oferta por la que, si te llevas tres, pagas dos.

Entonces:

a) ¿Cuanto pagamos por cada tipo de artículo? ¿Y en total por los tres?

b) ¿Cuanto dinero nos ahorramos en A por la rebaja?

c) ¿En qué porcentaje se rebaja el precio por unidad de C acogiendose a la oferta?

d) Cuántos artículos C tendríamos que comprar para ahorrar 66,6€ respecto al precio

inicial?

91


Tema.-8. Funciones y Gráficas 1.- Representación de puntos.

Sabiendo que Calcula las

coordenadas de los

puntos:A= ( 2, 3)

B= ( 4,-1)

C= (-4,-1) J=

D= (-1, 5) K=

Y en los ejes L=

E= ( 0, 3) M=

F= ( 2, 0) N=

G= ( 0,-1) O=

H= (-3, 0) P=

y el centro de

coordenadas

I= ( 0, 0)

2.- Definición de función. Complétala usando el libro de texto:

Una función es una relación o correspondencia entre los valores de dos variables de

forma que a cada valor de una de ellas, llamada v i , le corresponde

un único valor de la otra, llamada v d

3.- Si cada bolígrafo cuesta 0'50 euros, el dinero que me gaste en bolígrafos estará en

función del número de bolígrafos que compre. Completa la tabla y la representación de los

puntos.

Número de

bolígrafo

Euros

gastados

1 0'50

2 0'50·2 = 1

3 0'50·3 =1'50

4 0`50·4 = 2

5 0'50·5 =3'50

x 0'50·x

92


4.- Completa:

_______________ Conjunto de todos los individuos a los que se refiere un estudio

estadístico.

_______________ Parte representativa de la población a la que realmente se hace el

estudio estadístico.

F A de un valor o modalidad es el número de veces que se repite ese valor o modalidad entre los datos recogidos.

5.- Se ha preguntado a los alumnos de una clase cual es su color favorito y las

respuestas han sido:

Verde; azul; rosa; rojo; verde; rosa;

morado; azul; rojo; morado; rosa; verde; azul;

azul; rojo; azul ; morado; rojo; morado;

rosa; rosa; azul; azul; rosa; rojo; verde;

morado; rosa; morado

Cuenta el número de veces que se repite

cada color y completa la tabla.

x fazul 7rojo 5rosaverde

morado29

Si se suman todas las frecuencias se obtiene el total de respuestas.

F R de un valor o modalidad es la proporción de

veces que se repite ese valor o modalidad respecto al total de los datos recogidos.

Cada frecuencia relativa se calcula dividiendo su frecuencia absoluta entre el número total de datos.

93


6.- Se ha preguntado a los alumnos de una clase cuántos hermanos tienen y las

respuestas han sido:

1; 1; 3; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 5; 2; 1; 1; 1;

0; 0; 1; 0; 2; 1; 0; 0; 1; 1; 2; 2

Cuenta el número de veces que se

repite cada respuesta y completa la tabla.

Comprueba que:

La suma de todas las frecuencias relativas siempre sale 1.

x f f relativa0 61 16235

28

1628

=0 ' 5714

2828

=1

628

=0 ' 2143

La frecuencia relativa de un valor o modalidad se puede expresar también en forma de

porcentaje. Para ello se multiplica la frecuencia relativa por 100 y se le añade el símbolo

%.

7.- Se ha preguntado a los alumnos en que otro país han estado y las respuestas han

sido:

Portugal; Portugal; Francia; Portugal;

Inglaterra; Portugal; Italia; Portugal; Portugal;

China; Portugal; Francia; Portugal; Portugal;

Portugal; Portugal; Francia; Portugal; Italia;

Inglaterra; Portugal; Portugal; Portugal;

Francia; Francia

Cuenta el número de veces que se repite

cada respuesta y completa la tabla.

Comprueba que:

La suma de todos los porcentajes siempre sale 100%.

fi / N (fi/N)*100%x f f relativa %

Portugal 15 15/25 =0'6 60%Francia 5

Inglaterra 2 2/25 = 0`08 8%ItaliaChina

25 25/25=1 100%

Para representar un estudio estadístico con un diagrama de sectores , se calcula el

porcentaje de cada valor o modalidad y se calcula la proporción de los 360º que le

corresponde.. Para ello se multiplica la frecuencia relativa por 360

94


8.- Se ha preguntado a los alumnos que mascota prefieren y las respuestas han sido:

perro; gato; perro; pájaros; perro;

peces; ninguna; gato; gato; gato; ninguna;

perro; peces; ninguna; peces; perro;

pájaros; peces; perro; pájaros; gato; perro;

pájaros; pájaros; peces; pájaros;

perro; peces; pájaros; gato

Cuenta el número de veces que se

repite cada respuesta y completa la tabla.

Comprueba que:

La suma de todos los ángulos siempre sale 360º.

fi / N (fi/N)*100% (fi/N)*360º

x f f relativa % ÁnguloPerro 8 8/30 =0'2667 26'67% 96ºGato 6 6/30 = 0'2 20% 72º

Pájaros 7Peces

Ninguna

30 30/30 = 1 100% 360º

27%

20%23%

20%

10%

PerroGatoPájarosPecesNinguna

9.- Realiza las siguientes actividades

a) Representa en los ejes de

coordenadas los puntos: A(-2,5)

B(0,-4) C(5,-3) D(6,0) E (0,2)

b) Sitúa y completa:

• Tercer cuadrante

• Cuarto cuadrante

• Eje de ordenadas

• Eje de ordenadas

• Origen o centro de coordenadas

95


10.- Completa:

La función es creciente de __________________________________, es decreciente de

________________________ y de 3 a 5 y de 14 a 18 ______________________

__________________________

11.- La gráfica relaciona el peso y el precio de unas bolsas de chucherías.

a) El peso y el precio son las

v_________

b) ¿Cuáles tienen el mismo

peso?_________

c) ¿Cuál pesa más?________

d) ¿Cuál es la más barata?

____________

e) ¿Cuál es la más cara?

_________

Precio

Peso

12.- Define y pon un ejemplo:

a) Variable cualitativa:

b) Variable cuantitativa:

c) Frecuencia absoluta:

d) Muestra:

e) Población:

13.- Responde:

a) ¿Cómo se calculan las frecuencias relativas?

b) ¿Cómo se calculan los porcentajes?

96


c) ¿Cómo se calcula el ángulo para dibujar el diagrama de sectores?

d) ¿Cuánto suman todas las frecuencias relativas de un estudio estadístico?

e) ¿Cuánto suman todos los porcentajes de un estudio estadístico?

f) ¿Cuánto suman todos los ángulos en un diagrama de sectores?

14.- En un grupo se preguntó si preferían hamburguesa, pizza, tortilla o carne. Las

respuestas fueron:

H; T; P; C; P; P; C; H; H; H; T; H; T; C; T; P; H; P; H; P; H; H; T; T; T; C; P; P

Completa la tabla y dibuja un diagrama de barras.

Comida Frecuencia Frec. Relativa Porcentaje

Total:

Saca dos o tres decimales en las divisiones.

15.- Completa con la frecuencia relativa, el porcentaje y el ángulo y representa el

diagrama de sectores.

Pelo Frecuencia Frec. Relativa Porcentaje ÁnguloRubio 5

Negro 11

Castaño 10

97


16.- Caminando: La siguiente gráfica representa el desplazamiento realizado por Juán

desde su casa hasta el supermercado, donde compró siete artículos y después volvió a su

casa.

Se pregunta:

a) ¿A qué distancia de su casa está el supermercado?

b) ¿Cuánto tardó en llegar desde su casa hasta el supermercado?

c) ¿Cuánto tiempo estuvo en el supermercado?

d) ¿Cuánto tiempo tardó en regresar desde el supermercado hasta su casa?

98


17.- Deportes y videojuegos: Para conocer algo sobre los hábitos de los estudiantes

de primero de ESO de una ciudad, se ha preguntado a 30 chicos y chicas por el número de

horas semanales que dedican a practicar deporte y el número de horas semanales que

dedican a jugar con videojuegos. Teniendo en cuenta que al menos dos horas de educación

física ya practican en el instituto, el resultado ha sido el siguiente:

Horas semanales dedicadas a practicar deporte:

2, 5, 6, 7, 4, 4, 2, 6, 2, 5, 7, 2, 5, 3, 2, 5, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 7, 3, 2.

Horas semanales dedicadas a jugar con videojuegos:

4, 5, 3, 0, 5, 8, 2, 7, 5, 4, 8, 1, 6, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 4, 7, 5, 6, 0, 3, 4.

Se pide:

a) Completa la siguiente tabla para que recoja, con cada actividad, el número de horas

y el número de alumnos que le dedican esas horas.

b) Realiza un diagrama de barras para cada actividad.

c) ¿Cual es el valor que más se repite en cada caso?

d) ¿Qué porcentaje de chicos dedican menos de cuatro horas semanales a hacer

deporte?

e) ¿Qué porcentaje de chicos dedican más de cuatro horas a jugar a videojuegos?

DEPORTES

(Horas semanales) xi

Nº DE ALUMNOS/AS

fi

VIDEOJUEGOS

(Horas semanales) xi

Nº DE ALUMNOS/AS

fi

2 8 0 2

3 1

3

6 3

3 5

Total: 30 6

8 2

Total: 30

99


Tema.-9. Polígonos

Clasificación:

• Según el número de lados: Triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5

lados), hexágono (6 lados),…..

• Según la amplitud de sus ángulos: Convexo ( Todos sus ángulos interiores son

menores de 180º), cóncavo ( alguno de sus ángulos interiores es mayor de 180º)

1.- Clasifica los siguientes polígonos según sus lados y sus ángulos:

2.- Dibuja los polígonos que se indica:

a) Hexágono convexo.

b) Pentágono cóncavo

c) Cuadrilátero cóncavo.

100


Polígonos regulares

Son aquellos que tienen los lados y los ángulos iguales

Elementos de un polígono regular:

• Centro: Punto donde se cortan sus diagonales

• Radio: segmento que une el centro con un vértice del polígono

• Apotema: Segmento que une el centro con el punto medio de un lado del

polígono

• Ángulo central: El ángulo comprendido entre dos radios

• Ángulo interior: El ángulo comprendido entre dos lados ( es el suplementario del

ángulo central)

3.- Indica cuáles de los siguientes polígonos son regulares y escribe su nombre:

4.- En cada uno de los siguientes polígonos regulares dibuja su radio y apotema. Marca y

calcula su ángulo central e interior.

101


5.- Dibuja a partir de su ángulo central y utilizando su circunferencia circunscrita, un

cuadrado y un hexágono regular.

Los ángulos interiores de un polígono cualquiera de n lados suman:

180º·(n – 2) 6.- Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:

a) Triángulo.

b) Cuadrilátero.

c) Hexágono.

d) Dodecágono.

7.- Calcula el ángulo que falta en cada polígono:

102


Cuadriláteros

Son polígonos de cuatro lados. A su vez se clasifican en:

• Paralelogramos: Tienen los lados opuestos paralelos dos a dos

Cuadrado ( lados iguales y ángulos rectos)

Rombo ( lados iguales y ángulos opuestos iguales)

Rectángulo ( lados iguales dos a dos y ángulos rectos)

Romboide (todos los demás)

• Trapecios: Tienen sólo dos lados opuestos paralelos y los otros no

Trapecio isósceles (los lados no paralelos son iguales)

Trapecio rectángulo ( tiene un ángulo recto)

• Trapezoides: No tienen ningún lado paralelo a otro

8.- Clasifica los siguientes cuadriláteros en paralelogramos o no, indicando su nombre

9.- Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones en un paralelogramo:

a) Los lados opuestos son iguales.

b) Las diagonales son iguales.

c) Las diagonales se cortan en el punto medio.

d) Los lados son iguales.

e) Los lados son iguales dos a dos.

103


10.- Entre las siguientes características subraya aquellas que, necesariamente, posee

un paralelogramo:

a) Tiene diagonales perpendiculares.

b) Solo presenta dos lados paralelos.

c) Todos los lados son iguales.

d) Los lados opuestos son paralelos.

e) Todos los ángulos son iguales.

f) Los ángulos opuestos son iguales.

g) Los ángulos consecutivos son suplementarios.

11.- Verdadero o falso:

a) El romboide tiene las diagonales perpendiculares.

b) El rombo tiene las diagonales iguales.

c) El rectángulo tiene las diagonales iguales.

d) El rombo tiene las diagonales perpendiculares.

e) El cuadrado tiene las diagonales perpendiculares e iguales.

f) El rectángulo tiene las diagonales perpendiculares.

12.- Si uno de los ángulos de un rombo mide 40º ¿cuánto mide el resto?

13.- Calcula la medida de los ángulos A,B y C de este paralelogramo.

104


Clasificación de los triángulos según sus lados

• El triángulo escaleno tiene los tres lados desiguales

• El triángulo isósceles tiene dos lados iguales

• El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales

14.- Clasifica los siguientes triángulos según sus lados.

A) B)C)

Clasificación de los triángulos según sus ángulos

• El triángulo acutángulo tiene los tres ángulos agudos (menos de 90º)

• El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (mide 90º)

• El triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º)

15.- Clasifica los siguientes triángulos según sus ángulos

A) B) C)

105


La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º

Si de los tres ángulos de un triángulo A , B y C , conocemos dos de ellos,

A=46º y B=62º , ¿cuánto mide el ángulo C ?

46º + 62º + C = 180º ⇒ 108º + C =180º ⇒ C = 180º – 108º = 72º

El ángulo C mide 72º.

16.- Calcula el ángulo que falta en los siguientes triángulos:

a) A=35º , B=40º

b) B=80º , C=54º

c) A=110º , C=25º

Mediatriz de un lado es la línea recta que lo corta perpendicularmente por su punto

medio.

Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto que se llama

circuncentro

17.- Construye las mediatrices del siguiente triángulo e indica dónde está el

circuncentro.

Bisectriz de un ángulo es la línea recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama

incentro

106


18.- Construye las bisectrices del siguiente triángulo e indica dónde está el incentro.

Altura de un triángulo respecto a un vértice es el segmento que une ese vértice con el

lado opuesto (o su prolongación) y es perpendicular a este último.

Las rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se

llama ortocentro

19.- Construye las alturas del siguiente triángulo e indica dónde está el ortocentro.

Mediana es la línea recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las medianas de los lados de un triángulo se cortan en un punto que se llama

baricentro

20.- Construye las medianas del siguiente triángulo e indica dónde está el baricentro.

107


Triángulo rectángulo:

• Tiene un ángulo recto (mide 90º)

• Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos. Se denotan con las

letras b y c.

• El lado mayor se llama hipotenusa y es mayor que los catetos. Se denota con la

letra a.

21.- Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm. Nómbra cada

uno de los lados que forman el triángulo.

22.- Responde:

a) ¿Cómo se llama el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo?

b) ¿Cómo se llaman cada uno de los lados que forman el ángulo recto?

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2

Dados los tres lados de un triángulo, sabemos que es rectángulo si los lados verifican el

Teorema de Pitágoras.

Si los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, vamos a ver si se trata de un

triángulo rectángulo o no.

- Como el lado mayor mide 5 cm, vamos a suponer que éste es la hipotenusa.

- Los catetos miden 3 cm y 4 cm cada uno.

- Veamos, ahora, se se verifica el Teorema de Pitágoras o no.

a2 = b2 + c2

a2 = 52 = 25

b2 + c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

108


Luego, como se verifica el Teorema de Pitágoras, el triángulo formado por los lados

es rectángulo.

23.- Averigua si los siguientes triángulo son rectángulos o no:

a) a = 26 cm, b = 10 cm y c = 24 cm

b) a = 10 cm, b = 8 cm y c = 6 cm

c) a = 10 cm, b = 8 cm y c = 7 cm

Para calcular la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuando conocemos los catetos

se hace de la forma:

a=b2c2

24.- Calcula la hipotenusa en los siguientes triángulos rectángulos:

12cm

3cm a 9cm a

4 cm

24 dm

a 8' 3cm 20 dm

15' 6cm a

Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo cuando conocemos la hipotenusa y

uno de los catetos se hace de la forma:

b=a2−c2

109


25.- Calcula el cateto que falta en cada triángulo rectángulo:

b 12 ' 4cm

15 ' 6cm

6 ' 8cm

9 ' 2cm c

30dm 30 ' 5cm

b18 ' cm

34dm c 26.- Calcula en cada triángulo el lado que falta:

29 cm

16m a b 36 cm

12m

39dm 15dm

c

27.- Clasifica los siguientes triángulos según sus lados y sus ángulos y construye los

elementos que se indican en cada caso.

a) Bisectrices e incentro

110


b) Mediatrices y circuncentro

c) Alturas y ortocentro

28.- Determina el tercer ángulo de los siguientes triángulos:

a) A=40º , B=90º

b) B=115º , C=50º

29.- Comprueba, utilizando el Teorema de Pitágoras, si los siguientes triángulos son

rectángulos o no:

a) a = 13 cm, b = 12 cm, c = 5 cm

b) a = 20 cm, b = 10 cm, c = 10 cm

c) a = 15 cm, b = 6 cm, c = 7 cm

d) a = 10cm, b = 7 cm, c = 6 cm

111


30.- Si los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 15 cm y 8 cm cada uno,

¿cuánto mide la hipotenusa?

31.- Si en un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 18 cm y un cateto mide 15 cm,

¿cuánto mide le otro cateto?

32.- Si los lados de un rectángulo miden 5 cm y 3 cm, ¿cuánto mide su diagonal?

33.- En un triángulo equilátero de lado 10 cm se dibuja una altura

a) ¿En qué tipo de triángulos queda descompuesto?

b) Halla la medida de los lados de los triángulos obtenidos.

34.- Calcula la diagonal de un cuadrado de 30 cm de lado.

35.- Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 13 dm y tiene 5 dm de

base.

36.- La diagonal mayor de un rombo mide 16 cm, y la diagonal menor mide 15 cm.

Calcula la medida de los lados del rombo.

37.- Tenemos una bolsa rectangular de 22 cm de ancho y 50 cm de largo. Queremos

introducir una varilla de 55 cm, ¿podremos cerrar la bolsa?. ¿Cuánto puede medir, como

máximo, lo que se introduzca en la bolsa?

38.- Una escalera de 13 cm está apoyada contra una pared a una altura de 5 cm. ¿A

qué distancia de la pared se encuentra su pie?

112


Tema.-10. Áreas y Perímetros

La unidad de superficie es el metro cuadrado. Se escribe m2 . Un metro cuadrado es

la superficie de un cuadrado que tiene de lado 1 metro. 1.- Une mediante flechas:

Nombre Símbolo Equivalencia

Kilómetro cuadrado mm2 10.000 m2

Hectómetro cuadrado dam2 Unidad principal

Decámetro cuadrado cm2 1.000.000 m2

Metro cuadrado Km2 0,0001 m2

Decímetro cuadrado dm2 0,000001 m2

Centímetro cuadrado m2 0,01 m2

Milímetro cuadrado hm2 100 m2

Para transformar una unidad de superficie a otra utilizamos la escalera de unidades.

Cada escalón subido o bajado equivale a dividir o multiplicar por la unidad seguida de dos

ceros.

Para medir campos o superficies se emplean otras unidades de superficie llamadas

unidades agrarias. Estas unidades son: el área ( a ), la hectárea ( ha ) y centiárea ( ca ). La

siguiente tabla muestra la equivalencia con las unidades de superficie:

Unidades Hectárea ( ha ) Área ( a ) Centiárea (ca )

Equivalencia 1 ha =1 hm2 1 a =1 Dm2 1 ca =1 m2

Equivalencia en m2 1 ha =1 hm2 =10.000 m2 1 a =1 Dm2 =100 m2

113


2.- Expresa en la unidad que se indica:

a) 5 km2 = m2

b) 8 hm2 = km2

c) 60 Dm2 = hm2

d) 389 dm2 = dam2

e) 4567 mm2 = dm2

f) 1000000 mm2= m2


a) 9,8 km2 , 100 hm2 en m2

b) 5 hm2,7 dam2 500 m2 en dm2

c) 98,7 dam2 , 900 dm2 , 40000 cm2 en m2


2 km2 = ha

3 ha = km2

170 a = ha

97 0 ca = a

114



a) 78 km2 5 áreas en áreas

b) 76 dam2, 6 ha en áreas

c) 20000 m2 , 8 00dam2 en ha

5.- Una finca de 9000 áreas se divide en tres partes ¿ Cuántos metros cuadrados mide

cada trozo ?

115


6.- Un viñedo de forma rectangular mide 500m de largo y 80m de ancho. ¿ Cuántos

m2 tiene de superficie ?. Expresa el resultado en hectáreas y áreas.

7.- Rubén y Rocío están ayudando a plantar tomates en una finca. Rubén tiene que

plantar una superficie de 5 Dm2 y Rocío una de 48.000 dm2. ¿ Quién tiene más trabajo?

8.- ¿Cuántas personas caben en una discoteca de 500 m2 si cada persona ocupa una

superficie de 20 dm2?

116


9.- Juan ha comprado una parcela de 3500 m2. Si el metro cuadrado de terreno cuesta

350 € ¿Cuánto dinero se ha gastado?

10.- El ayuntamiento del pueblo ha decido plantar de césped los tres jardines. En el

primero planta una superficie de 350 m2 , en el segundo 3 Dm2 y en el tercero 0,075

Hm2 ¿ Qué superficie de césped tienen entre los tres jardines ?.

117


El perímetro de una figura plana es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

11.- Busca en tu libro y completa las formulas de los perímetros de las siguientes

figuras:

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo EscalenoP= · l P= · l P=

Cuadrado Rectángulo Rombo

P= · l P= ·b P= · l

Romboide Hexágono regular Pentágono regular

P= ·a P= · l P= · l

Polígono regular

P=n· , n es el número de lados

Área de una figura es la medida de la región o superficie encerrada por una figura

118


geométrica plana.

12.- Busca en tu libro y completa las formulas de las áreas de las siguientes figuras:

Triángulo Cuadrado Rectángulo:

A=·2 A=2 A=·

Rombo Romboide Trapecio

A=·2 A=· A= h·

2

Polígono regular

A=·2

Para calcular el área de un polígono cualquiera, se divide el polígono en figuras

conocidas, calculando sus áreas y después sumándolas.

A=A1A2A3

13.- Calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras planas:

119


14.- Calcula:

a) El lado de un cuadrado cuya área es 169 cm2.

b) La base de un rectángulo que tiene 52 dm2 de área y su altura mide 4 dm.

c) El área de un rombo que tiene 5 cm de lado y 6 cm de diagonal menor.

120


15.- Un campo de fútbol tiene 120m de largo y 80 de ancho. Calcular:

a) Su superficie en m2 y en hectáreas.

b) El perímetro del campo

16.- Cuál es el área de la parte coloreada si el área del hexágono es de 96 m2

17.- El perímetro de un triángulo equilátero mide 1,2 dm y su altura 26 cm. Calcula su

área.

18.- Las casillas de un tablero de ajedrez miden 5 cm de lado. ¿Cuál es el perímetro

121


del tablero?¿Cuál es su área?

19.- Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras por descomposición en las

figuras planas fundamentales:

A)

B)

20.- Los polígonos: Tenemos cuatro trozos de cuerda, iguales, de 12 cm. de longitud.

122


Con el primer trozo, uniendo sus dos extremos y ayudado por chinchetas, hemos construido

un rectángulo cuyos lados miden 2 cm. y 4 cm. Del mismo modo, con otro trozo hemos

construido un cuadrado, con otro un triángulo equilátero y con el último un triángulo

rectángulo. Entonces

a) Dibuja cada una de las figuras.

b) Los cuatro polígonos son distintos pero ¿Tienen algo en común? (en caso afirmativo

dí qué es y cuánto vale)

c) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿y su área?

d) ¿Cuál es el área del rectángulo?

e) La hipotenusa del triángulo rectángulo mide 5 cm. entonces cuál de las dos

afirmaciones a) o b) es correcta: a) los catetos miden 2 cm. y 5 cm. o b) los catetos

miden 3 cm. y 4 cm.

¿Cuánto vale el área del triángulo rectángulo?

123


Tema.-11. Círculo y circunferencia. 1.- Rellena los huecos con los siguientes términos:

línea - radio – centro – superficie - circunferencia – círculo – compás

Una ____________ se define como una línea en el que la distancia de sus puntos a otro

punto exterior, llamado ________, es siempre constante. A esa constante se le llama

_______. Fíjate que el centro es un punto que no pertenece a la circunferencia, por eso

decimos que es exterior, pero es necesario para definirla.

Es muy fácil dibujar una circunferencia mediante un ________. Donde se pincha será el

centro de la circunferencia y lo abierto que esté será el radio. Como ves si conoces el centro

(dónde pinchar) y el radio (cuánto abrir) la circunferencia queda dibujada, es decir, queda

perfectamente definida.

El __________ se define como el polígono delimitado por una circunferencia. Con otras

palabras, la circunferencia es la _________ que rodea al círculo, y el círculo es la

_________ que encierra una circunferencia. Todo lo que esté dentro de la circunferencia

(incluída) pertenece al círculo. Por eso ahora, el centro sí que es un punto del círculo.

2.- Realiza y contesta a las cuestiones.

a) Dibuja con compás una circunferencia de radio 5 cm y que el centro esté a 7 cm del

borde superior del folio y a 6 cm del borde derecho.

b) Investiga si sería posible dibujar una circunferencia con el mismo centro, pero de radio

7 cm. ¿Y de 6 cm? Piensa cuál sería el radio mínimo posible.

c) ¿Sería posible dibujar una circunferencia de radio 7 cm, con otro centro distinto?

¿Y 8 cm? Analiza cuál sería radio máximo posible en tu folio.

124


Imagina que pintamos una circunferencia en el suelo, nos metemos dentro y de pie

sobre el centro, dejamos caer una moneda. ¿Cuáles son las posibilidades? A eso llamamos

posiciones relativas entre punto y círculo. Como ves, depende de lo lejos que caiga la

moneda del centro.

3.- Etiqueta correctamente cada posibilidad (interior, exterior o frontera ) y la distancia

que quedaría del centro (menor, mayor o igual que el radio de la circunferencia).

1ª posibilidad: La moneda sale rodando y se para

fuera del círculo.

El punto es _____________ y la distancia al centro

es _____________que el radio.

2ª posibilidad: La monedad cae justo sobre la

circunferencia.



3ª posibilidad: La moneda cae dentro de la

circunferencia.



Ahora imagina que dejamos caer una barra sobre una circunferencia pintada en el suelo.

A las distintas posibilidades las llamaremos posiciones relativas entre recta y círculo. Va a

depender otra vez de lo lejos que caiga la barra del centro. Pero ¿cómo se mide la distancia

del punto central a una recta?

Suponte que estás haciendo una carrera por el campo y, después de 45 minutos

corriendo, ves a lo lejos la señal de meta. ¿No irías hacia allí de la forma más recta

posible? Eso se consigue yendo perpendicular desde donde estás a la señal de meta. De

esta forma garantizamos que la separación sea la mínima posible. A eso le llamamos

distancia de un punto a una recta.

125


4.- De la siguientes rutas, A,B,C, elige la más corta para llegar a la meta. ¿Con qué

ángulo entrarías en meta?

5.- Etiqueta correctamente cada posibilidad (secante, exterior o tangente ) y la distancia

que quedaría del centro (menor, mayor o igual que el radio de la circunferencia).

1ª posibilidad: La barra se para justo en el

borde del círculo.

La recta es _____________ y la distancia al

centro es _____________que el radio.

2ª posibilidad: La barra se va fuera del círculo

y no lo corta.

La recta es _____________ y la distancia al


3ª posibilidad: La barra corta a la

circunferencia o la cortaría si la alargaramos un

poco más.

El recta es _____________ y la distancia al


Para acabar el estudio de las posiciones relativas, vamos a imaginar que estamos

jugando con dos aros, uno más grande que otro. De nuevo nos preguntamos, ¿de cuántas

formas distintas pueden situarse? Como antes, va a depender de una distancia: la que

haya entre los centros de los círculos.

126


6.- Vamos a analizar las posibilidades dibujando dos círculos: uno de radio R=5 cm y otro

menor de radio r=3 cm. Comienza por dibujar el círculo mayor de 5 cm. Señala bien el centro

de la circunferencia con rotulador. Ahora vas a dibujar el círculo pequeño. Abre el compás 3

cm ...

a) si pinchas el compás en el mismo centro, salen circunferencias concéntricas.

b) si pinchas a 2 cm del centro, salen circunferencias interiores. (Los 2 cm resultan de

restar los radios)

c) si pinchas el compás entre 2 cm y 8 cm del centro, obtendrás circunferencias

tangentes interiores. (Los 8 cm salen de sumar los radios)

d) si pinchas justo a 8 cm del centro, obtendrás circunferencias tangentes exteriores.

e) si pinchas el compás a más de 8 cm del centro, salen circunferencias exteriores.

7.- Dibuja y di que posición relativa tienen dos círculos de 6 cm y 4 cm en cada caso:

a) Los centros están a 10 cm

127


b) Los centros están a 8 cm

c) Los centros están a 2 cm

8.- Tenemos dos círculos, uno de 2 cm y otro de 3 cm. Indica a qué distancia deben estar

los centros para que sean, en cada caso: interiores, secantes, tangentes exteriores,

tangentes interiores, concéntricas.

9.- ¿Sabrías etiquetar correctamente los círculos del dibujo diciendo cuál es su posición

respecto al circulo central de mayor tamaño?

128


10.- ¿Sabrías emparejarlos? (Solución: En el dibujo que viene luego)

a) Radio 1) Segmento de recta, del centro a un punto de la

circunferencia.

b) Diámetro 2) Segmento de circunferencia, entre dos puntos de la

misma.

c) Cuerda 3) Segmento de recta, entre dos puntos de la

circunferencia.

d) Arco 4) Segmento de recta, entre los puntos medios de

arco y cuerda.

e) Flecha 5) Segmento de recta, entre dos puntos de la

circunferencia, pasando por el centro

Centro = O

Radio = O-P1

Diámetro = P1-P8

Cuerda= P3-P5 (en línea recta)

Arco = P3-P5 (en línea curva)

Flecha = Q-P4

11.- Entre los elementos de un círculo se dan muchas relaciones. Ayudándote del

dibujo anterior, di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Un diámetro mide siempre el doble que el radio....................................................

b) Una cuerda que pasase por el centro sería un diámetro.......................................

c) Hay cuerdas que miden más que un diámetro.......................................................

d) De una misma cuerda salen dos arcos..................................................................

e) La flecha a veces no es perpendicular a su cuerda...............................................

f) Los arcos que forman un diámetro son semicircunferencias.................................

129


Vamos a relacionar tres elementos: radio, cuerda

y flecha. Con la fórmula del teorema de Pitágoras si

conocemos dos elementos, podemos deducir la

longitud del tercero.

El polígono ABC es un triángulo rectángulo.

12.- Conocemos radio = 5 cm y cuerda = 8 cm. Calculamos la distancia del centro a la

cuerda y la longitud de la flecha.

a) Abre el compás 5 cm y traza una circunferencia con esa abertura.

b) Abre el compás 8 cm, pincha sobre un punto de la circunferencia y marca con el

extremo del compás sobre la circunferencia otro punto. Une ambos y tienes una

cuerda de 8 cm. Compruébalo, mídelo con una regla y marca la mitad de la cuerda.

c) Une el centro del círculo con el punto medio y prolonga formando un radio.

d) Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la distancia del centro al punto medio

(recuerda que esa es también la distancia del centro a la cuerda).

e) Deduce la longitud de la flecha.

130


13.- Conocemos radio = 6,5 cm y flecha = 0,5 cm. Deducimos la distancia del centro a

la cuerda correspondiente y la longitud de dicha cuerda.

a) Abre el compás 6,5 cm y traza una circunferencia con esa abertura.

b) Traza un radio. Mídelo poniendo el 0 en el centro. Sale 6,5 cm. Marca 6 cm (que es

claramente la distancia del centro a la cuerda).

c) Traza una cuerda que pase por la marca de 6 cm y que sea perpendicular al radio.

d) Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la mitad de la cuerda.

e) Deduce la longitud de la cuerda.

14.- Conocemos cuerda=6 cm y distancia del centro a la cuerda = 4 cm. Calculamos la

longitud del radio y la flecha.

a) Dibuja una línea recta horizontal de 6 cm. Marca la mitad.

b) Traza otra recta perpendicular que pase por la marca de mitad.

c) Mide 4 cm desde el cruce y marca ese punto que será el centro.

d) Une el centro con un extremo de la cuerda. Eso es un radio. Usa el compás para

trazar la circunferencia.

e) Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la longitud del radio y deducir después la

longitud de la flecha.

131


15.- ¿Cuál es cuál? Estudia las descripciones que te dan y fijándote en el dibujo, trata

de descubrir cuál es cada uno de los siguientes ángulos. Otra pista: mira dónde se

encuentra el vértice.

central – interior – inscrito – exterior

a) Tiene el vértice en la circunferencia y

sus lados son cuerdas = ángulo

__________

b) El vértice es un punto exterior y sus

lados son rectas secantes que cortan a

la circunferencia en dos parejas de

puntos = ángulo __________________

c) El vértice está en el centro y sus lados

son radios = ángulo _______________

d) Su vértice no es el centro pero es

interior, sus lados son rectas que cortan

a la circunferencia en dos puntos =

ángulo _________________

Para medir ángulos se utiliza el arco de un ángulo central. Es decir, el ángulo central es

la referencia, y a partir de él podemos deducir los demás.

¿Recuerdas cómo se medía el ángulo central? Había dos sistemas: con grados y con

radianes. Con ellos se mide la amplitud del arco que se genera al girar un radio hasta

llegar al otro.

16.- Grados y radianes.

De pie, extiende un brazo y gira lentamente hasta dar una vuelta completa. Fíjate que al

volver al punto de partida, con el brazo habrás descrito una circunferencia. Como resulta que

una circunferencia tiene 360 grados y también 2· radianes, tenemos las igualdades

1 vuelta completa = 360 grados = 2· radianes

a) Pasa a radianes: 180 grados - 45 grados - 20 grados

b) Pasa a grados: /3 radianes - /6 radianes - 5 radianes

132


Para medir ángulos en el círculo sigue las siguientes reglas y así resolverás todos los

que te proponemos a continuación.

Regla 1 Si dos ángulos del mismo tipo abarcan el mismo arco, miden igual.

Regla 2 Un ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo central con el mismo arco.

Regla 3 Un ángulo interior mide la mitad de la suma de los ángulos centrales con el

mismo arco.

Regla 4 Un ángulo exterior mide la mitad de la diferencia de los ángulos centrales con

el mismo arco.

17.- Medida de ángulos en el círculo

a) Ángulo en G y en J (regla 1 y 2)

b) Ángulo en K (regla 2)

c) Ángulo en N (regla 4)

d) Ángulo en S (regla 3)

e) Ángulo en A (regla 2)

f) Ángulo en C (regla 3)

133


18.- ¿Circunscrita o inscrita? Etiqueta C (circunscrita) o I (inscrita) a las siguientes

características:

a) Es una circunferencia que está dentro del polígono.

b) Su centro está a la misma distancia de todos los vértices del polígono.

c) El polígono está dentro de esta circunferencia.

d) Es la mayor circunferencia que se puede dibujar sin salirse del polígono.

e) Es la menor circunferencia en la que cabe el polígono

19.- Circunferencia circunscrita de un triángulo.

a) Traza un segmento de 7 cm con la regla.

b) Abre el compás 5 cm y pínchalo en un extremo del segmento. Marca un arco.

c) Abre el compás 4 cm y pínchalo en el otro extremo. Marca otro arco hasta que corte

con el arco anterior.

d) Coge la regla y une cada extremo del segmento de 7 cm con el punto donde se cortan

los arcos. ¡Ya tenemos el triángulo! Ahora las mediatrices.

e) Fíjate en un lado y abre el compás más de la mitad de ese lado. Traza una

circunferencia pinchando en un extremo del lado y lo mismo en el otro extremo.

Donde se cortan las dos circunferencias, lo unes y ya tienes una mediatriz.

f) Repite el apartado anterior, con otro lado.

g) ¿No se cortan las mediatrices? Prolonga hasta que lo hagan. Ese punto es el centro

de la circunferencia circunscrita (se le llama circuncentro).

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h) Pincha el compás en el centro y abre el compás hasta llegar a un vértice del triángulo.

Ya puedes dibujar la circunferencia, que pasará por los otros dos vértices.

20.- Circunferencia inscrita de un triángulo.

a) Siguiendo los cuatro primeros pasos del ejercicio 17, dibuja un triángulo de lados 6

cm, 5 cm y 5 cm. ¿Tienes ya el triángulo? Vamos con las bisectrices.

b) Fíjate en un vértice del triángulo. Pincha el compás en ese vértice, abre menos de la

mitad y dibuja una circunferencia.

c) Los puntos donde corte esa circunferencia a los dos lados, señálalos con rotulador.

d) Pincha en uno de los puntos del rotulador y abre un poco para trazar un arco dentro

del triángulo. Ahora con la misma abertura, pincha en el otro punto de rotulador.

e) Donde se corten los arcos lo unes con el vértice y ya tienes una bisectriz.

f) Repite el apartado anterior con otro vértice.

g) ¿No se cortan las bisectrices? Prolonga hasta que lo hagan. Ese punto es el centro

de la circunferencia inscrita (se le llama incentro).

h) Pincha el compás en el centro y abre el compás hasta llegar a un lado del triángulo.

Ya puedes dibujar la circunferencia, que pasará tocando los otros dos lados.

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21.- Tres familias viven en una urbanización y planean construir un pozo comunitario.

Como se van a repartir de los gastos por igual, quieren que el pozo esté a la misma

distancia. ¿Puedes ayudarles? Ellos lo que quieren es saber a qué distancia estaría el pozo

de las familias, sabiendo que las casas ocupan los vértices de un triángulo, cuyos lados

miden 500 m. 250 m y 400 m .

Pista: Dibuja un triángulo de lados 5cm, 2,5 cm y 4 cm, encuentra el circuncentro y mide

la distancia del circuncentro a un vértice con la regla.

22.- Una persona quiere hacerse un traje de carnaval que lleva grandes parches

circulares de color rojo. En las tiendas solo ha podido encontrar con este color parches en

forma de triángulo equilátero de 5 cm de lado. Como no hay otra cosa, los compra, y ahora

debe recortarlos para sacar círculos. ¿Cuánto mide el radio del círculo más grande que

puede sacar?

Pista: Dibuja un triángulo equilátero de 5 cm de lado, encuentra su incentro y mide la

distancia del incentro a un vértice con la regla.

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Cuando el polígono no es un triángulo, y tenemos más de tres vértices, la circunferencia

circunscrita e inscrita no están garantizadas. A veces se podrán dibujar, y otras veces no.

Piensa en el siguiente ejercicio.

23.- Investiga si habrá una circunferencia que pase por los cuatros vértices de los

siguientes cuadriláteros: un cuadrado, un rombo, un rectángulo, un trapecio isósceles, un

romboide.

Hay un caso especial en el que las

circunferencias incrita y circunscrita siempre

están garantizadas: cuando se trata de un

polígono regular. Recuerda que la

característica esencial de un polígono regular

es que tiene tantos ejes de simetría como

vértices. Por ejemplo, el polígono regular de

cuatro lados es el cuadrado porque es el

único cuadrilátero con 4 ejes de simetría; el

polígono regular de 5 lados, es el pentágono

regular; el de 6, el hexágono regular, etc.

24.- Circunferencia inscrita y circunscrita de un octógono regular.

a) Dibuja una circunferencia. ¡Ya tienes la circunferencia circunscrita! Ahora el octógono.

b) Como sabes la circunferencia tiene infinitos ejes de simetría (todos sus diámetros),

dibuja uno cualquiera, por ejemplo un diámetro horizontal.

c) Calcula 360º:8 = 45º (entre 8 porque hay 8 lados).

d) Coloca el transportador sobre el centro y el 0 en un extremo del diámetro.

e) Marca los 45º sobre la circunferencia y abre el compás ese arco de circunferencia.

f) Ahora pincha en la marca de 45º y haz otra marca (la de 90º). Y así sucesivamente

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recorriendo la circunferencia hasta llegar al principio.

g) Une las marcas consecutivamente y ya tienes el octógono regular.

h) Para trazar la circunferencia inscrita, pincha en el centro de la circunferencia y abre el

compás hasta llegar a la mitad de un lado. Y ya está todo.

25.- Traza la circunferencia circunscrita e inscrita de un polígono regular de 9 lados.

26.- Las fórmulas del número . Etiqueta L (longitud) o A (área) a cada una de las

siguientes fórmulas:

a) (r + r)·

b) (r · r)·

c) 2 · r

d) diámetro

e) radio al cuadrado

Pista: Si sumas dos longitudes tienes una longitud, si multiplicas dos longitudes obtienes

un área.

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139


27.- Halla el área y el perímetro (longitud) de un círculo de 4 cm de radio. Realiza los

mismos cálculos con el doble de radio. Compara los resultados de ambos círculos.

¿Cúantas veces es mayor el perímetro del círculo grande que el perímetro del círculo

pequeño? ¿Y el área?

28.- Halla la superficie y perímetro de una moneda de 1 euro.

29.- Si el área de un círculo mide 50,24 metros cuadrados, ¿cuánto mide su radio? ¿Y

la longitud de la circunferencia?

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30.- Si el perímetro de un círculo mide 62,8 metros, ¿cuánto mide su radio? ¿Y el

área del círculo?

31.- Si mides el radio de la rueda de tu bici, verás que mide unos 35 cm. Si vas a

Talavera y vuelves, que está de Badajoz a unos 18 km, ¿cuántas vueltas han dado las

ruedas de tu bici?

32.- Halla el área comprendida entre un cuadrado y su círculo inscrito, sabiendo que el

radio del círculo mide 2 cm

33.- ¿Cuántos vasos de 5 cm de diámetro podemos colocar en una bandeja de 36 cm

ancho por 48 cm de largo?

34.- El radio de la Tierra mide 6371 km. Para dar la vuelta al mundo, calcula cuántos

kilómetros, como mínimo, habría que hacer.

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35.- Suponte que tienes que recortar todos los círculos posibles con un radio de 3 cm

usando una hoja de tu cuaderno. ¿Cuántos círculos se pueden hacer? ¿cuánto mediría el

área de los trocitos sobrantes?

36.- Un hombre de negocios se ha comprado una vivienda con una piscina circular de

15 m de radio. Al acabar el verano quiere evitar caídas, pero no sabe si taparla con una lona

que vale 2 euros el metro cuadrado, o rodear la piscina con una valla, a razón de 15 euros

el metro. ¿Tú que le aconsejas?, ¿qué le sale más económico?

37.- En el antiguo Egipto para construir las pirámides, los esclavos tranportaban

grandes losas de piedras montadas sobre rodillos desde el Nilo hasta la zona del desierto

donde se levantaba el monumento. Si los rodillos medían aproximadamente medio metro de

radio, ¿cuánto se avanzaba a cada vuelta de rodillo? Sabiendo que la distancia que había

era de unos 4 km, ¿cuántas vueltas de rodillo había que dar?

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38.- Ayudándote del dibujo que viene a continuación, trata de etiquetar correctamente,

las regiones circulares con sus definiciones:

1.- Superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

2.- Área limitada por una cuerda y su arco correspondiente.

3.- Superficie limitada por dos radios y el arco correspondiente.

4.- Superficie de una corona circular comprendida entre dos radios.

5.- Área limitada por dos cuerdas paralelas.

SECTOR CIRCULAR – número..........

SEGMENTO CIRCULAR – número..........

ZONA CIRCULAR – número.........

CORONA CIRCULAR– número..........

TRAPECIO CIRCULAR – número......

143


Tema.-12.

144

gt cuaderno de as 1eso

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