grupo no 273

TRABAJO COLABORATIVO 1_ Final Nombre de curso: 100408 – Algebra Lineal Temáticas revisadas: UNIDAD 2

Algebra Lineal_100408_273

ELABORADO POR:

Yesenia Ruiz

COD: 1104129156

Emilce Villamizar

COD: 30188017

Laura Marlene Torres

COD: 63454871

Luz Kelly Martínez

COD: 1118816882

Jeniffer Johana Duarte

COD: 1098685421

Tutor: ALVARO ALBERTO HUERTAS CABRERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICA TECNOLOGIA E INGENIERIA

Barrancabermeja Noviembre 15 del 2011


INTRODUCCION

En el desarrollo de este trabajo apreciaremos ejercicios planteados por nuestro tuto y

director de grupo, basados en los temas de la unidad 2 la cual hace referencia y

explicación de temas como: Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos e

Introducción a los Espacios Vectoriales. Para resolver los ejercicios utilizamos

métodos como: la eliminación de Gauss – Jordán, la inversa y otros temas tales

como: ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta, ecuación general del plano y

los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales

para este proceso como el editor de ecuaciones Word. Estos ejercicios se realizaron

con la masiva participación de todos los integrantes de este grupo colaborativo,

mostrando dinamismo y armonía.


OBJETIVOS

Los objetivos propuestos son alcanzar los conocimientos básicos en esta área

de las matemáticas que nos servirán de base para afrontar este proceso de

aprendizaje y para lo sucesivo de nuestras vidas en el campo profesional y

personal.

Dotarnos de las herramientas provenientes de las matemáticas, en este caso

del algebra lineal, con la intención de utilizarlas en la exigencia actual en

campos de la ciencia, la tecnología y en nuestra vida cotidiana.


Solución:

Escribimos los coeficientes en una matriz aumentada y resolvemos:

f1 ÷ (-2)

f2 - 5 f

1

f2÷ (-17)

f3 + 8 f

1

f1 - 2 f

2

f3 - 17 f

2

f3÷ (-

)

f2 -

f

3

f1 -

f

3

La solución del sistema es


Solución:

Transformamos la matriz “A” en su forma escalonada reducida. Es decir :

f

1 ÷ 7

f2 - 8 f

1

f2 *

f1 +

f

2

La matriz “A” ya se encuentra en su forma escalonada

reducida, por lo que el método finaliza aquí.

Sistema resultante: x -

z -

w =

y +

z -

w =

Como “z” y “w” están presentes en las 2 ecuaciones, las llamaremos variables libres

los cuales le daremos valores arbitrarios para encontrar el vector que satisfaga las 2

ecuaciones.

Despejando “x” y “y” tenemos:

x =

z +

w -

; y = -

z +

w -

; z = z y w = w

Que escrito como vector fila seria:

(1) solución general

Como podemos asignarle a “z” y “w” (las variables libres) todos los valores que

deseemos, se trata de un caso de infinitas soluciones.


Veamos una solución particular, por ejemplo sea z = 0 y w= 0

entonces

Solución particular 1

sea z = 1 y w= 0

Solución particular 2

x – y - 7z = 1

5x – 8y - 2z = 5

-5x + y + z = -5

Encontremos el Determinante de A.

DetA =

= [-8 -10 -35] – [-280 -2 -5] = -53 + 287 = 234

f2 - 5 f

1

f3 + 5 f

1

f2÷ (-3)

f1 + f

2


f3 + 4 f

2

f3 ÷ (-78)

f1 + 18 f

3

f2 + 11 f

3

A-1 =

Luego, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación X = A-1b

Donde, b =

, Por tanto X =

*


X =

=

, Luego x = 1 ; y = 0 ; z = 0

Solución:

V = PQ = (-1 – 3)i + (5 + 1) j + (- 3 – 9) k = -4i + 6j - 12k

Por tanto a = -4 b = 6 c = -12

Ecuación parámetrica

x = x1 + ta x = 3 - 4t

y = y1 + tb Entonces y = -1 + 6t

z = z1 + tc z = 9 - 12t

Ecuaciones Simétricas

Entonces


Solución

P ( 5 , 3, -7) = ( x1 , y

1, z

1 )

a = 6 b = -4 z = 8

Ecuación parámetrica

x = x1 + ta x = 5 + 6t

y = y1 + tb Entonces y = 3 - 4t

z = z1 + tc z = -7 + 8t

Ecuaciones Simétricas

Entonces

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

Solución

Formamos los vectores PQ y PR ( o PQ QR )

PQ = (5 + 8)i + ( -4 -5 )j + (-3 - 0)k = 13i - 9j - 3k

PR = (-3 + 8) i + (-2 - 5) j + (-1 -0) k = 5i -7j - k


Encontremos el vector que sea perpendicular a PQ y PR simultáneamente

PQ * PR

=i

- j

+ k

= -12 i - 2 j - 46k

Utilizando cualquiera de los tres puntos (por ejemplo, R) tenemos que:

-12(x + 3) - 2 ( y + 2 ) - 46 (z + 1) = 0 -12 x - 36 -2y -4 -46z - 46= 0

-12x - 2y - 46z - 86 = 0

Entonces la Ecuación general del plano: 12x + 2y + 46z = - 86

Solución

Tenemos que :

- 5( x + 1) - 2(y + 8) + 6( z + 3) = 0 - 5x- 5 - 2y - 16 + 6z +18 = 0

Luego la ecuación general del plano es - 5x- 2y + 6z = 3

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

y

Solución:

Sabemos que dos planos se interceptan en una línea recta (salvo que ellos sean

paralelos, caso en el cual la intersección es Ф).


Se resuelve el sistema cuya matriz aumentada es

f

1 + f

2

f

2 ÷ (-8)

f1 + 5f

2

que es

la forma reducida escalonada.

La solución del sistema es

Podríamos ahora darle 2 valores a “z” para obtener dos puntos sobre la recta y

obtener así el vector director.

Pero si sabemos que “z” puede tomar cualquier valor, haciendo z = t se obtiene:

Que son las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección.

El vector director de esta recta es

(o si se quiere )

Un punto sobre la recta es


BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA

Método de eliminación Jordán-Gauss. Visto en Octubre 2.011, en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan Zúñiga G. Carlos Arturo. (2.010), Módulo académico Curso Algebra Lineal. (1ra ed.). Bogotá

D.C., Colombia: UNAD.

http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

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