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TRABAJO COLABORATIVO 1_ Final Nombre de curso: 100408 – Algebra Lineal Temáticas revisadas: UNIDAD 2
Algebra Lineal_100408_273
ELABORADO POR:
Yesenia Ruiz
COD: 1104129156
Emilce Villamizar
COD: 30188017
Laura Marlene Torres
COD: 63454871
Luz Kelly Martínez
COD: 1118816882
Jeniffer Johana Duarte
COD: 1098685421
Tutor: ALVARO ALBERTO HUERTAS CABRERA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICA TECNOLOGIA E INGENIERIA
Barrancabermeja Noviembre 15 del 2011
TRABAJO COLABORATIVO 1_ Final Nombre de curso: 100408 – Algebra Lineal Temáticas revisadas: UNIDAD 2
INTRODUCCION
En el desarrollo de este trabajo apreciaremos ejercicios planteados por nuestro tuto y
director de grupo, basados en los temas de la unidad 2 la cual hace referencia y
explicación de temas como: Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos e
Introducción a los Espacios Vectoriales. Para resolver los ejercicios utilizamos
métodos como: la eliminación de Gauss – Jordán, la inversa y otros temas tales
como: ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta, ecuación general del plano y
los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales
para este proceso como el editor de ecuaciones Word. Estos ejercicios se realizaron
con la masiva participación de todos los integrantes de este grupo colaborativo,
mostrando dinamismo y armonía.
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OBJETIVOS
Los objetivos propuestos son alcanzar los conocimientos básicos en esta área
de las matemáticas que nos servirán de base para afrontar este proceso de
aprendizaje y para lo sucesivo de nuestras vidas en el campo profesional y
personal.
Dotarnos de las herramientas provenientes de las matemáticas, en este caso
del algebra lineal, con la intención de utilizarlas en la exigencia actual en
campos de la ciencia, la tecnología y en nuestra vida cotidiana.
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Solución:
Escribimos los coeficientes en una matriz aumentada y resolvemos:
f1 ÷ (-2)
f2 - 5 f
1
f2÷ (-17)
f3 + 8 f
1
f1 - 2 f
2
f3 - 17 f
2
f3÷ (-
)
f2 -
f
3
f1 -
f
3
La solución del sistema es
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Solución:
Transformamos la matriz “A” en su forma escalonada reducida. Es decir :
f
1 ÷ 7
f2 - 8 f
1
f2 *
f1 +
f
2
La matriz “A” ya se encuentra en su forma escalonada
reducida, por lo que el método finaliza aquí.
Sistema resultante: x -
z -
w =
y +
z -
w =
Como “z” y “w” están presentes en las 2 ecuaciones, las llamaremos variables libres
los cuales le daremos valores arbitrarios para encontrar el vector que satisfaga las 2
ecuaciones.
Despejando “x” y “y” tenemos:
x =
z +
w -
; y = -
z +
w -
; z = z y w = w
Que escrito como vector fila seria:
(1) solución general
Como podemos asignarle a “z” y “w” (las variables libres) todos los valores que
deseemos, se trata de un caso de infinitas soluciones.
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Veamos una solución particular, por ejemplo sea z = 0 y w= 0
entonces
Solución particular 1
sea z = 1 y w= 0
Solución particular 2
x – y - 7z = 1
5x – 8y - 2z = 5
-5x + y + z = -5
Encontremos el Determinante de A.
DetA =
= [-8 -10 -35] – [-280 -2 -5] = -53 + 287 = 234
f2 - 5 f
1
f3 + 5 f
1
f2÷ (-3)
f1 + f
2
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f3 + 4 f
2
f3 ÷ (-78)
f1 + 18 f
3
f2 + 11 f
3
A-1 =
Luego, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación X = A-1b
Donde, b =
, Por tanto X =
*
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X =
=
, Luego x = 1 ; y = 0 ; z = 0
Solución:
V = PQ = (-1 – 3)i + (5 + 1) j + (- 3 – 9) k = -4i + 6j - 12k
Por tanto a = -4 b = 6 c = -12
Ecuación parámetrica
x = x1 + ta x = 3 - 4t
y = y1 + tb Entonces y = -1 + 6t
z = z1 + tc z = 9 - 12t
Ecuaciones Simétricas
Entonces
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Solución
P ( 5 , 3, -7) = ( x1 , y
1, z
1 )
a = 6 b = -4 z = 8
Ecuación parámetrica
x = x1 + ta x = 5 + 6t
y = y1 + tb Entonces y = 3 - 4t
z = z1 + tc z = -7 + 8t
Ecuaciones Simétricas
Entonces
4. Encuentre la ecuación general del plano que:
Solución
Formamos los vectores PQ y PR ( o PQ QR )
PQ = (5 + 8)i + ( -4 -5 )j + (-3 - 0)k = 13i - 9j - 3k
PR = (-3 + 8) i + (-2 - 5) j + (-1 -0) k = 5i -7j - k
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Encontremos el vector que sea perpendicular a PQ y PR simultáneamente
PQ * PR
=i
- j
+ k
= -12 i - 2 j - 46k
Utilizando cualquiera de los tres puntos (por ejemplo, R) tenemos que:
-12(x + 3) - 2 ( y + 2 ) - 46 (z + 1) = 0 -12 x - 36 -2y -4 -46z - 46= 0
-12x - 2y - 46z - 86 = 0
Entonces la Ecuación general del plano: 12x + 2y + 46z = - 86
Solución
Tenemos que :
- 5( x + 1) - 2(y + 8) + 6( z + 3) = 0 - 5x- 5 - 2y - 16 + 6z +18 = 0
Luego la ecuación general del plano es - 5x- 2y + 6z = 3
5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:
y
Solución:
Sabemos que dos planos se interceptan en una línea recta (salvo que ellos sean
paralelos, caso en el cual la intersección es Ф).
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Se resuelve el sistema cuya matriz aumentada es
f
1 + f
2
f
2 ÷ (-8)
f1 + 5f
2
que es
la forma reducida escalonada.
La solución del sistema es
Podríamos ahora darle 2 valores a “z” para obtener dos puntos sobre la recta y
obtener así el vector director.
Pero si sabemos que “z” puede tomar cualquier valor, haciendo z = t se obtiene:
Que son las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección.
El vector director de esta recta es
(o si se quiere )
Un punto sobre la recta es
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BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA
Método de eliminación Jordán-Gauss. Visto en Octubre 2.011, en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan Zúñiga G. Carlos Arturo. (2.010), Módulo académico Curso Algebra Lineal. (1ra ed.). Bogotá
D.C., Colombia: UNAD.