grupo nº 2
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Extensión San Felipe
Integrantes:
Luis Serradas CI 24.942.343
Wiston Mendoza CI 24.557.593
Ronald Zambrano CI 23.413.231
Víctor Alvarado CI 19.265.461
Esc 70
Prof. Marienny Arrieche
Junio 2015
Función de transferencia y
Respuesta en Frecuencia
Función transferencia
Es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta
de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también
modelada).
El cociente formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal
de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que
representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se
iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya
sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario
llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.
Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un
tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro
tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de
convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el
sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un
intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que
observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución
entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción
externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de
contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución,
se logra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la
matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el
comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso
complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada
por un producto de una vector o matriz fija respecto de una matriz o vector
móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.
Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a
través de su transformación matemática. Por definición una función de
transferencia se puede determinar según la expresión:
Donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s)
es la transformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de
Laplace de la señal de entrada.
La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de
un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
Y(s) = {G(s)} {U(s)} \,\!
y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace
inversa de Y(s):
y(t) = L^{-1}[Y(s)] \,\!
Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una
serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el
comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode de un filtro paso bajo Butterworth de primer orden (con un
polo)
Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para
caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de
dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función
y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo
desarrolló, Hendrik Wade Bode.
Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica,
siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores.
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de
transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la
frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de
señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante
en el tiempo.
El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia
en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se
puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase
de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia
determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema
y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En
este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este
desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos
muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -
90° y 90°.
La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo
general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica
cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos
que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se
puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.
Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de
Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones
asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de
sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la
gráfica).
Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las
frecuencias de corte
Elaboración de diagramas de bodeEl diagrama de Bode es un tipo de representación gráfica de funciones
complejas (en nuestro caso, funciones de transferencia) dependientes de una
variable real (la frecuencia angular o lineal) En un diagrama de Bode se
representa por un lado el módulo de la función ( H(ω) ) y por otro la fase
(ϕ(ω) ). La figura muestra como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro paso
baja de primer orden, cuya función de transferencia es
A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho
de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es
una escala logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas se emplean
cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios órdenes de
magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia varía entre
1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo
apreciaríamos bien los datos correspondientes a las frecuencias mayores
mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se
Diagrama de Bode (módulo) representarían en la centésima parte del eje de
abscisas. Esto se muestra, como ejemplo,
Ejemplo
En este ejemplo se muestra un filtro Butterworth de orden 4 con frecuencia de
corte en 1000Hz. La implementación se basa en células Sallen-Key. En la
siguiente figura se muestra el circuito eléctrico:
Análisis de sistemas lineales. Diagramas
de Bode
Esta técnica de análisis de estabilidad es completamente diferente a la de los
dos apartados anteriores. También se la conoce como análisis de frecuencia.
Se basa en que cuando se introduce una señal sinusoidal en un sistema lineal
se obtiene, tras un periodo transitorio, una respuesta sinusoidal de la misma
frecuencia pero de amplitud diferente y desfasada. El análisis armónico estudia
el desfase y la razón de amplitudes entre la entrada y la salida. Para un
sistema de control por retroalimentación la razón de amplitudes (RA) nunca
debe ser mayor de 1 ya que entonces se amplificaría la señal y el sistema se
volvería inestable al retroalimentar la salida. El estudio del desfase es importnte
ya que de cierta manera
se puede considerar que da los mismos problemas que un retraso.
Para un sistema de primer orden con una entrada sinusoidal la razón de
amplitudes será:
Debido a la importancia de conocer RA se ha desarrollado una técnica
matemática para determinarlo a partir de la función de transferencia sin
necesidad de tener que obtener la respuesta del sistema en tiempo real. Hay
que sustituir s por iω, ya que se trata de un número complejo, para poder
expresar la función de transferencia como un número complejo del tipo x + i y:
Para eliminar separar la parte real de la compleja —eliminar el número
complejo i del denominado ha sido necesario multiplicar y dividir por el
conjugado del denominador. Cualquier número complejo W puede ser
expresado, además de la manera habitual x + i y, como un módulo r y un
argumento ϕ:
Por tanto, la función de transferencia se puede expresar en función de r y ϕ
como:
Donde Kp 1 + ω2 τp 2 ! es la razón de amplitudes y ϕ es el desfase. De esta
manera se logra obtener el desfase y la razón de amplitudes sin tener que
obtener la respuesta en tiempo real para una entrada sinusoidal de amplitud M
y frecuencia angular ω.