Grupo de Informática Gráfica AvanzadaUniversidad de Zaragoza

Polígonos

Diego Gutiérrez

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Indice

DefiniciónRepresentaciónTriangulación (Gouraud, Phong)Modelado poligonal

Diego Gutiérrez

Con lo que habíamos visto hastaahora...

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Definición

La mayoría de renderizadores trabajan sobre polígonosLa mayoría de los objetos se representan como polígonosLa mayoría de los algoritmos están pensados para polígonosLos aceleradores gráficos trabajan sobre polígonos

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Definición

¿Qué es un polígono? Un polígono es una región 2D de un plano limitada por segmentos de línea llamados ladosLados adyacentes no pueden ser colinealesUn vértice es el punto de los límites del polígono donde dos ladosintersectanDos lados pueden intersectar sólo en un vérticeUn polígono simple es uno sin agujeros

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Definición

Teorema de Jordan: un polígono divide el plano en una zona interior, una exterior y un límite

El polígono abarca la interior y el límite

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Definición

Otra propiedad interesante: convexidad

Convex hull: mínima área convexa que contiene todos los puntos de un conjunto

Diego Gutiérrez

Representación

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Representación

¿Cómo los representamos?

Esquema 1:Para cada polígono, construir el conjunto de vértices en orden arbitrarioRepresentar cada vértice con un par de números reales (coordenadasdefinidas respecto a un sistema de referencia común)Construir una lista con esas parejas de reales

Sintácticamente correcto. Semánticamente?

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Representación

Sintácticamente correcto. Semánticamente?

El esquema anterior es ambiguo o incompleto

Diego Gutiérrez

Representación

Esquema 2: restringir el esquema anterior a polígonos convexosEl convex hull de un polígono es único: esquema no ambiguo

Problema: hay puntos que no se definen como vértices, por lo que quedan fuera de nuestra representación

El esquema 2 es inválido

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Representación

Esquema 3: redefinimos las reglasVértices listados en orden consecutivo, siguiendo los lados del polígono

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Representación

Más esquemas?

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Representación

Más esquemas?

Sólo para polígonos convexos

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Representación

En resumen. Necesitamos:Un dominio. Qué objetos son representables?Validez. Puedo al menos representar un objeto?No ambigüedad. La representación corresponde a un único objeto?

Es también conveniente:Unicidad. Puede un objeto ser representado de varias formas?Concisión. Es le representación muy farragosa?Adaptabilidad a las aplicaciones. Para qué hago la representación?

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Representación

A veces el problema se simplifica mediante primitivas

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Representación

Baja resolución vs. Alta resolución

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Representación

Baja resolución vs. Alta resolución

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Triangularización

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Triangulación

¿Qué polígono sería más interesante?

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Triangulación

El triángulo es el más sencillo: menor representación, todos susvértices se conectan, siempre convexoAlgoritmos de sombreado basados en scanline, para determinar la intensidad de un punto P interior

Diego Gutiérrez

Sombreado de polígonos

¿Puede verse un modelo con apariencia suave si lo hacemos a partir de polígonos?

Diego Gutiérrez

Sombreado de polígonos

Los modelos de iluminación en IG calculan la intensidad de la luzen un punto aislado de la superficie¿Cómo lo calculamos para todo el polígono?

Diferentes enfoques:Repetimos el cálculo para todos los puntos del polígono (innecesario, poco práctico, nada inteligente)Flat shading: calculamos en un punto del polígono (generalmente el centroide) y con el valor obtenido pintamos todo el polígonoGouraud y Phong: calculamos en puntos clave del polígono (vértices) e interpolamos

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Flat shading (sombreado constante)

En inglés, a.k.a constant shadingEl método más rápido y sencillo

El método menos realistaNo pain, no gain

Diego Gutiérrez

Flat shading (sombreado constante)

En realidad, para fuentes puntuales, la dirección de la fuente de luz no es constantesobre todo el polígonoPara reflejos especulares, la dirección del ojotampocoEsto hace que la estructura poligonal interna se haga evidentePodemos refinar más la malla para disimularla un poco

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Mach banding

Además, aparece el problema del Mach bandingEl sistema visual es muy bueno detectando aristas... aunque éstas no existan!Discontinuidades C1Esto hace que las diferencias de sombreado entre polígonos parezcantodavía mayoresY aunque usáramos el horriblemente ineficiente método de calcular en cada punto del polígono, el resultado sería pobre

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Mach banding

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Sombreado de Gouraud

Gouraud shading se basa en interpolar las intensidades obtenidasen cada vérticePrimero calculamos esa intensidad en A,B,C

Necesitamos calcular la normal en cada vérticeLa aproximamos promediando la normal a la superficie en los polígonos que comparten ese vértice

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Sombreado de Gouraud

Equivale a hallar la normal a la superficie real que aproximan los polígonos, asumiendo que éstos son una aproximación piecewise de la superficie real (C0)Las normales proporcionan información sobre el plano tangente a la superficie en cada punto (C1)Las normales en los vértices se usan sólo para iluminación (no backfaceculling u otros cálculos geométricos)

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Sombreado de Gouraud

Luego calculamos la intensidad en Q y R (intersección del scan-line con el polígono)Y luego interpolamos entre IQ e IR para obtener Ip

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Sombreado de Gouraud

Las discontinuidades entre polígonos adyacentes desaparecen (la intensidad “al final de un polígono” a la que llegamos interpolandoserá la intensidad “al comienzo del polígono siguiente”

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Sombreado de Gouraud

Problemas de Gouraud:Las aristas tienden a desaparecerLos reflejos especulares pueden perderse si caen dentro de un solo polígonoComo hemos visto, las bandas de Mach no se eliminan del todo

Para “recuperar” una arista que queremos que sea visible, calculamos dos normales al vértice, una para cada lado. Cada normal se halla promediando las normales a la superficie de los polígonos del lado correspondiente

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Sombreado de Phong

No confundir con el modelo de iluminación de PhongInterpolamos linealmente las normales de la superficie a lo largo del polígono (no las intensidades como Gouraud)Aparte de eso, el concepto es similar:

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Sombreado de Phong

Una vez interpoladas las normales, se aplica el modelo de iluminación con la normal interpolada, para hallar la intesidad de luz en el punto requerido

Apariencia más real. Los reflejos especulares se capturan mejor. Las bandas de Mach se reducenRequiere más cálculos (un cálculo de iluminación completo por cada interpolación)

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Triangulación

La clave, entonces, parece ser reducir los polígonos a triángulos

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Triangulación

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Triangulación

Wikipedia: In computational geometry, polygon triangulation isthe decomposition of a polygon into a set of triangles.A triangulation of a polygon P is its partition into non-overlappingtriangles whose union is P. In the strictest sense, these trianglesmay have vertices only at the vertices of P. In a less strict sense, points can be added anywhere on or inside the polygon to serveas vertices of triangles.

Reduce formas complejas a formas simples. Es el primer paso en muchos algoritmos más complejos

Robótica, situación 3D de puntos, generación de mallas...

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Triangulación

Todo polígono es triangularizableLa triangularización de un polígono de n-lados da como resultadon-2 triángulosEjemplo: 13 lados, 11 triángulos

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Triangulación

El problema de la galería de arte:

?

Diego Gutiérrez

Triangulación

El problema de la galería de arte:Cada guardia está fijo en un sitioTiene visión de 360ºNo ve a través de las paredes

Problema planteado en 1973, y resuelto ese mismo año mediantecomplejas formulacionesDesde entonces, se han propuestosoluciones mucho más sencillasbasadas en triangulación

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Triangulación

Teorema final: un polígono de n-lados puede ser “vigilado” con n/3 guardias en los vértices

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Triangulación

Primeros algoritmos: O(n4)En seguida reducidos a O(n2)Primer algoritmo no-trivial O(nlog n): 19781991: Chazelle publica un algoritmo O(n) extremadamentecomplejoActualmente se suele trabajar con O(nlog n)

Diego Gutiérrez

Triangulación

Algoritmo:Barrer el plano con una scanlineEn cada vértice, trazar una línea vertical (horizontal) hasta chocarcon un lado del polígono

El resultado es una serie de trapezoides, que son trivialmentedescompuestos en triángulosO(nlog n)

Diego Gutiérrez

Modelado poligonal

Ahora que ya tenemos un montón de polígonos (triángulos), cómo trabajamos con ellos?

Diego Gutiérrez

Modelado poligonal

Ahora que ya tenemos un montón de polígonos (triángulos), cómo trabajamos con ellos?

Diego Gutiérrez

Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

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Modelado poligonal

Cubic tragedy: http://www.youtube.com/watch?v=-fBcjHq9rv0SIGGRAPH 2005, Electronic Theater