gráficos de control 2

Torreón, Coahuila Lunes 29 de julio de 2013

Introducción

La idea tradicional de inspeccionar el producto final y eliminar las unidades que no cumplen con las especificaciones una vez terminado el proceso, se reemplaza por una estrategia más económica de prevención antes y durante del proceso industrial con el fin de lograr que precisamente estos productos lleguen al consumidor sin defectos.Así las variaciones de calidad producidas antes y durante el proceso pueden ser detectadas y corregidas gracias al empleo masivo de Gráficas de Control.Según este nuevo enfoque, existen dos tipos de variabilidad. El primer tipo es una variabilidad aleatoria debido a "causas al azar" o también conocida como "causas comunes". El segundo tipo de variabilidad, en cambio, representa un cambio real en el proceso atribuible a "causas especiales", las cuales, por lo menos teóricamente, pueden ser identificadas y eliminadas.Los gráficos de control ayudan en la detección de modelos no naturales de variación en los datos que resultan de procesos repetitivos y dan criterios para detectar una falta de control estadístico. Un proceso se encuentra bajo control estadístico cuando la variabilidad se debe sólo a "causas comunes".Los gráficos de control de Shewart son básicamente de dos tipos; gráficos de control por variables y gráficos de control por atributos. Para cada uno de los gráficos de control, existen dos situaciones diferentes; a) cuando no existen valores especificados y b) cuando existen valores especificados.Se denominan "por variables" cuando las medidas pueden adoptar un intervalo continuo de valores; por ejemplo, la longitud, el peso, la concentración, etc. Se denomina "por atributos" cuando las medidas adoptadas no son continuas; ejemplo, tres tornillos defectuosos cada cien, 3 paradas en un mes en la fábrica, seis personas cada 300, etc.

Gráfico de control para variables

Gráfico x-r

Paso 1: Colectar los datos.

Variables a considerar.

La elección se basa en el propósito de reducir o impedir los rechazos, los costos, el desperdicio, el reproceso, etc.

Elegir algo que pueda ser medido y expresado en números: dimensiones, dureza, fragilidad, resistencia, peso, etc.

Elección del tamaño y la frecuencia de la obtención de los datos representativos.

Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser registrados y agrupados de la siguiente manera:

Se toma una muestra (subgrupo) de 2 a 10 piezas consecutivas (Shewhart sugiere 4) sin embargo es muy común utilizar 5 y se anotan los resultados de la medición. Durante un estudio inicial, los subgrupos pueden ser tomados consecutivamente o a intervalos cortos para detectar si el proceso puede cambiar o mostrar inconsistencia en breves periodos de tiempo. Algunos recomiendan que el intervalo sea de ½ a 2 hrs., ya que más frecuentemente puede representar demasiado tiempo invertido, y si es menos frecuente pueden perderse eventos importantes que sean poco usuales.

Elección de cuantos subgrupos tomar.

Mientras menor sea el número de subgrupos que tomemos, más pronto tendremos una idea para actuar, pero menor será la seguridad de que esta base sea confiable. Es conveniente tener al menos 25 subgrupos; la experiencia indica que las primeras muestras pueden no ser representativas de lo que se mide posteriormente.

Paso 2: Calcular el promedio y Ri para cada subgrupo

Paso 3: Calcular el promedio de rangos y el promedio de promedios.

Paso 4: Calcular los límites de control.

Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma:

Paso 5: Trazar la gráfica de control.

Una carta de control -R nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior es la de las medias y la grafica inferior es la de rangos R.

En el eje de las “x” se representa el número de subgrupos (se anotan los números cardinales que representan las muestras sucesivas).

En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó rangos según corresponda a la gráfica que estemos trazando.

Para la gráfica para las medias

La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea central CLx y límite de control superior UCLx. La línea central es el promedio de promedios y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.

Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor .

Para la gráfica de Rangos

La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea central CLRm y límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio de los rangos y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.

Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor Ri.

Gráfico de control para variables

Gráfico x-s

El procedimiento para realizar las cartas de control - s es similar al de las cartas de -R la diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso. La grafica monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias y la grafica s monitorea la variación en forma de desviación estándar.

Paso 1: Colectar los datos

En este paso se siguen las mismas consideraciones que en la construcción de los gráficos, solo que aquí el tamaño de muestra n es recomendable que sea mayor a 9.

Paso 2: Calcular el promedio y la desviación estándar (si) para cada subgrupo.

Paso 3: Calcular la desviación estándar promedio y el promedio de promedios.

Paso 4: Calcular los límites de control.


Una carta de control -s nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior es la de las medias y la grafica inferior es la de las desviaciones estándar.


En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó desviaciones estándar según corresponda a la gráfica que estemos trazando.

Para la gráfica para las medias

La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea central CLx y límite de control superior UCLx. La línea central es el promedio de promedios y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.

Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor .

Para la gráfica de desviaciones estándar

La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLs, línea central CLs y límite de control superior UCLs. La línea central es el promedio de los rangos y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.

Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor si.

Gráfico de control x-rm

En muchas situaciones el tamaño de la muestra para monitorear el proceso es n=1; es decir la muestra consta de una unidad individual. Algunos ejemplos de estas situaciones son:

Las mediciones repetidas del proceso difieren únicamente por el error de laboratorio o de análisis, como en muchos procesos químicos. En otras palabras cuando la característica a medir es relativamente homogénea.

El principal objetivo de este tipo de grafico es estimar la variabilidad debida a causas especiales cuando se presentan lecturas individuales que constituyen tendencias.

Procedimiento para la construcción del gráfico.

Paso 1: Colectar los datos

Paso 2: Calcular el promedio de los datos.

Paso 3: Calcular los rangos móviles.

Paso 4: Calcular el promedio de los rangos móviles.

Paso 5: Calcular los límites de control


La gráfica superior es la de observaciones individuales y la grafica inferior es la de rangos móviles Rm.


En el eje de las “y” se representan los valores individuales ó rangos móviles según corresponda a la gráfica que estemos trazando.

Para la gráfica de valores individuales

La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea central CLx y límite de control superior UCLx. La línea central es el promedio de las mediciones individuales y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.

Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor Xi .

Para la gráfica de Rangos móviles

La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea central CLRm y límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio de los rangos móviles y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar.

Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor Rmi . (Nota: solo tomamos desde el valor del segundo lote o tanda ya que el primero no genera rango móvil).

Gráfico de control para atributos

Gráfico “p” o fracción disconforme con tamaño de muestra igual y variable. Gráfico “np” o unidades defectuosas. Gráficos estandarizados. Gráfico “c” o número de defectos. Gráfico “u” o número promedio de defectos. Gráficos estandarizados. Otros gráficos de control de número de defectos.

Cuando no es fácil medir un producto o una parte, o cuando la calidad se puede obtener como un atributo conforme o no con unas especificaciones de calidad, se puede usar una gráfica de control de características. Estas técnicas analizan tanto las características buenas como malas, sin hacer referencia al grado. Entonces, se acepta o se rechaza contando cuántas unidades tienen o no el defecto, o comprobando el número de tales eventos que ocurren en la unidad, grupo o área, y comparando con el criterio de aceptación establecido. Se acepta o rechaza la pieza o el lote sin asociar un valor concreto. El atributo a controlar se suele elegir de forma que sea fácilmente observable y por tanto económico de controlar.

Antes de seguir conviene definir los términos siguientes:

a) Defecto: cualquier característica individual que no esté de acuerdo con los requisitos de calidad establecidos.

b) Defectuoso: cualquier unidad que tiene uno o más defectos.

Los tipos de gráficos de control por atributos que se estudian son:

i) Gráfico p o de fracción de unidades defectuosas.

ii) Gráfico np o de número de unidades defectuosas por muestra.

iii) Gráfico c o de número de defectos por muestra.

iv) Gráfico U o de número de defectos por unidad. GRÁFICO p

Es frecuente que la magnitud observada y utilizada como variable de control sea una proporción. Una proporción p que se estima por medio de la proporción muestral, obtenida con una muestra de tamaño n

Tiene un valor esperado o medio que es

precisamente p y una desviación típica .

Se puede observar que dichos límites dependen del tamaño de la muestra utilizada. Así pues, si todas las muestras son del mismo tamaño entonces los límites de control serán fijos, pero si los tamaños muestrales varían, resulta que dichos límites son variables. Para paliar esta situación se suele tomar una de estas cuatro soluciones:

1. Poner un valor de n igual a un promedio de los tamaños de muestra utilizados; este promedio suele ser la media aritmética (sustituyendo n por la media de los tamaños de muestra ni). La solución así adoptada suele dar buenos resultados siempre que los

2. tamaños muestrales no sean muy dispares entre sí.

Así, los límites de control son:

Utilizar una gráfica estandarizada, para lo cual se representan las magnitudes Zi dadas por, donde ni es el tamaño de muestra utilizado en el período de tiempo pésimo, la proporción estimada en dicho período de tiempo y la proporción en condiciones de estabilidad. En este caso los límites de control para los valores de Zise establecen en ±3.

3. Usar el gráfico con límites individualizados donde cada observación tendrá unos límites distintos dados por:

Se tiene que , donde el numerador representa la suma de todas las disconformes o defectuosos.

4. Regla del 40%. Hacemos los límites de control del apartado 1, salvo para las observaciones que no cumplen la regla del 40%; esto es, se calcula el intervalo = (m1, m2). Calcularemos los límites individuales cuando ni – m2 > 0 o ni – m1 < 0.

Gráfico np

En ocasiones resulta más cómodo representar directamente la cantidad de unidades defectuosas en la muestra en vez de su proporción, en este caso el gráfico de control correspondiente se denomina np puesto que en ordenadas se representa esa magnitud. Este tipo de gráfico resulta cómodo cuando el tamaño de muestra es constante. El número de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución teórica binomial de parámetros n y p, cuya media es np y su varianza es npq.

Gráfico c

En el control por número de defectos, utilizando un gráfico c, lo que se contabiliza es el total de defectos en la muestra. Se supone para los mismos una distribución

de Poisson. Tiene una media y varianza iguales

Gráfico u

En este tipo de gráficos se representa la cantidad de defectos por unidad de medida. La hipótesis de trabajo es que el número de defectos tiene una distribución de Poisson. La línea central y los límites de control vienen dados por:

Al igual que para los gráficos p, si los límites de control son variables se puede construir el gráfico U de manera similar a la mencionada anteriormente, por cualesquiera de las 4 opciones

Gráfico de sumas acumuladas

Los gráficos de control que hemos visto hasta ahora se conocen como gráficos de Shewhart. Un punto débil de los gráficos de Shewhart es que solo se utiliza la

información contenida en la última muestra representada e ignora la información dada por el conjunto de muestras. Es cierto que la incorporación de límites de

atención y el estudio de pautas trata de mejorar la sensibilidad del gráfico Shewhart utilizando más el conjunto de la información pero a costa de complicar

algo el gráfico reduciendo la sencillez de la Interpretación

El gráfico de sumas acumuladas (CUSUM) se presenta como una alternativa al grafico de Shewhart. Incorpora directamente toda la información representando las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto de un valor objetivo. Por ejemplo, supongamos que se toman muestras de tamaño igual

o mayor que 1, siendo la media muestral de la muestra i.

Si suponemos que o es el objetivo para la media del proceso, el gráfico de sumas

acumuladas se formará representando la cantidad respecto al número de orden (m) de la muestra.

Por combinar la información de varias muestras, los gráficos de sumas acumuladas son más efectivos que los gráficos de Shewhart para detectar

pequeños cambios. Son particularmente eficaces cuando el tamaño de muestra es n = 1 y, por consiguiente, adecuados para su utilización cuando la tecnología

permite inspeccionar y medir cada unidad producida usando a la vez un microordenador en el puesto de trabajo.

Si el proceso se mantiene bajo control en el objetivo o , la suma acumulable

variará aleatoriamente respecto del valor cero. Sin embargo, si la media asciende a 1 > o se apreciará una tendencia ascendente en la suma

acumulada Sm. Por el contrario, si la media se desplaza a 2 < o se apreciara una tendencia decreciente en Sm. Por consiguiente, una tendencia determinada

(positiva o negativa) se considerará como una evidencia de que la media del proceso se ha desplazado debido a la presencia de alguna causa asignable que

hay que investigar y eliminar.

Existen dos criterios para establecer formalmente que el proceso está fuera de control. Uno de ellos es un procedimiento gráfico: La máscara V propuesta por

Barnhard en 1959 y otro es un procedimiento numérico muy adecuado para establecer en conjunción con un microordenador. Aquí veremos este segundo

procedimiento.

En cada toma de muestra hay que calcular los 2 valores siguientes :

donde:

es la media muestral en la toma i-ésima.

o es el valor objetivo (media centrada)

F es un parámetro de la carta de control que normalmente vale o/2 siendo o el cambio que queremos detectar con prontitud.

, siendo normalmente f = 0,5 ya que queremos detectar

normalmente cambios del orden de (n es el tamaño muestral).Como veremos más adelante, F se puede seleccionar también en algún juego de cartas ARL.

Cuando algún valor Si ó Ti cumple que Si > H ó Ti < -H (H elegido de acuerdo a la curva

ARL que nos interese siendo h normalmente 5) el proceso se considera fuera de control. Si Si se hace negativo o se pone a 0, de igual forma si Ti se hace positivo o se

pone a 0.

Una vez corregido el proceso los contadores Si y Ti se pondrían a 0.

Las curvas ARL de los gráficos CUSUM, se calculan a partir de los parámetros del grafico, h y f (y del tamaño de la muestra, que está implícito en el desplazamiento) utilizando

cadenas de Markov.

En la tabla 2.3 se dan valores de h y f más comunes en función del desplazamiento de la media a detectar y sus curvas ARL.

Ejemplo CUSUM

Consideremos el peso de cartuchos de certa fabricación sigue siendo una distribución Normal (ver ejemplo anterior) de media 1,3917 y desviación típica 0,005. Valores que

resultaban cuando el proceso estaba bajo control.

Si utilizamos las muestras de tamaño 5 del ejemplo anterior y queremos detectar

desplazamientos de la medía del orden de , elejimos h = 5 y f = 0,5 con lo que obtenemos

F = 0,5 x 0,0022 = 0,0011 ; H = 5 x 0,0022 = 0,01

En el sexto subgrupo Ti <-0,01 por lo tanto es un punto fuera de control y deberíamos corregir el proceso.

Para controlar la variabilidad dentro de las muestras se pueden utilizar los gráficos de Shewart del recorrido o de la desviación típica, en conjunción con el CUSUM

de medias.

No obstante también es posible diseñar una carta de control CUSUM específicamente por los gráficos de recorridos o de desviaciones típicas. La forma de realizarlos es muy similar al CUSUM de medias. Los parámetros h y f con sus

curvas ARL del CUSUM para recorridos o desviaciones típicas están recogidos en la norma británica BS 5703.

TABLA 2.3

Valores de h y f recomendados para detectar un desplazamiento de la media de

magnitud (*)

Capacidad del proceso

Capacidad de análisis determina si un proceso se entregará un producto que cumpla con las especificaciones de los clientes (USL / LSL) y lo bien que se centra entre los límites de especificación.

No Capaz Capaz No es capaz de centrado y capaz

Cp <1, Cpk <1 Cp>= 1, Cpk>= 1

El QI Macros histograma macro y plantillas calcular varias estadísticas de análisis de capacidad de proceso. A continuación se describen las descripciones y fórmulas para estos indicadores.

Cp y Cpk métricas de capacidad de proceso Cp mide qué tan bien los datos se ajusta a los límites de especificación (USL, LSL) Cpk mide cómo centrada en los datos está entre los límites de especificaciones. Un valor de Cpk de 1,33 se considera que es en 4-Sigma. Use Cp cuando se tiene una muestra, no a la población, y está probando la capacidad potencial de un proceso para satisfacer las necesidades del cliente. Cp y Cpk uso Sigma estimador.

Sigma estimador de Fórmula

d2 es una constante en función del tamaño del subgrupo c4 es una constante basada en subgrupos tamaño RBAR = Promedio (Ri) (Promedio de los rangos en las muestras) SBAR = Σ (σi) / n

Cp, Cpk Fórmula

(Cpk> 1,33 es deseable)

Cr Fórmula

El Coeficiente de Capacidad (Cr) indica qué proporción de la tolerancia está ocupada por los datos.

Cr = 1/Cp Cp = 1.33 ~ Cr = 0,75 (datos de ajuste del 75% de tolerancia)

Cpm Fórmula

Cpm = (USL-LSL) / (6 √ (Sigma2 + (Xbarra-Arco) 2)) (Cpm se puede utilizar cuando se tiene un valor objetivo.)

Las especificaciones de un solo lado o límites de especificaciones unilaterales

Uso de la CPU (USL) o CPL (LSL) para Cpk.

Pp, Ppk Process Performance Metrics

Utilice Pp cuando se tiene la población total y está probando el rendimiento de un sistema para satisfacer las necesidades del cliente. Pp, Ppk usar la desviación estándar.

Pp, Ppk fórmulas

(PPK> 1,33 es deseable)

σ = STDEV (Xi)

Cp, Cpk vs Pp, Ppk

Use Cp, Cpk cuando se tiene una muestra y está probando la capacidad potencial de un proceso para satisfacer las necesidades del cliente.

Utilice Pp, Ppk cuando se tiene la población total y está probando el rendimiento de un proceso para satisfacer las necesidades del cliente.

Por ejemplo, si se prueba una muestra de 10 widgets de un lote de 100 aparatos:

Use Cp, Cpk para evaluar la capacidad del proceso a corto plazo.

Utilice Pp, Ppk para evaluar la capacidad del proceso a largo plazo.

Cuando Cp> 1.5 * Pp o Cpk> 1.5 * Ppk, el proceso es, probablemente, fuera de control y no se puede determinar la capacidad. Estabilizar el proceso y vuelva a realizar el estudio de capacidad.

Proceso de Sigma

Proceso de sigma (también referido como el nivel sigma) es una medida de la capacidad del proceso: cuanto mayor es el proceso de Sigma, el más capaz es el proceso. Un proceso Six Sigma tiene un corto proceso de sigma de 6, y un largo plazoproceso sigma de 4,5 (ver por qué no 4.5 sigma? ). La tasa de defectos teórico para un Six Sigma proceso es de 3,4 defectos por millón (DPM).

En pocas palabras, el proceso de sigma indica el número de desviaciones estándar ("sigmas") puede caber dentro de la brecha entre el promedio del proceso y el límite de especificación más cercana:

Tenga en cuenta que el ejemplo anterior muestra un histograma para un particular, CTQ , por lo que el proceso de sigma de 4,5 se aplica a la CTQ específico que está siendo estudiado. Si una tasa global de defecto a largo plazo está disponible para todos los defectos, es posible indicar el proceso de Sigma para todo el proceso (todo CTQs y sus defectos asociados) mediante la localización de la tasa de defectos en la Tabla de conversión de Sigma y la búsqueda de la correspondiente sigma- nivel. Normalmente, sin embargo, un proyecto Six Sigma será lo suficientemente estrecha para centrarse en uno o dos de CTQ, que será evaluado por separado para sus niveles sigma de proceso.

En los casos en que existen límites de especificación inferior y superior tanto y el proceso no es capaz de cualquier lado de la distribución, el proceso de sigma puede ser calculado mediante la adición de los teóricos DPM niveles en cada lado de la distribución (utilizando la Tabla de conversión Sigma) y luego encontrar el correspondiente proceso de Sigma para el nivel combinado de DPM.

Una medida más común de la capacidad del proceso es C pk , que es igual al proceso de sigma dividido por 3. Así que un proceso de Six Sigma tiene una C pk de 2,0.

¿Cuáles son los niveles de defectos asociados con diferentes niveles sigma de proceso?

Una tabla de conversión Sigma ofrece las tasas teóricas de defectos asociados con diferentes niveles de sigma. La tabla de conversión supone que los datos subyacente es continua y normalmente distribuido, como en el histograma anteriormente.

Los datos a largo plazo frente a corto plazo

Observe que el cuadro anterior incluye columnas para los niveles sigma de proceso a largo plazo y corto plazo, dependiendo de qué tan extensa nuestro conjunto de datos de la muestra es. Utilice la columna a corto plazo si los datos han sido recogidos durante un período de tiempo limitado, y la columna a largo plazo si los datos son extensos y probablemente incluye todas las fuentes de variación que pueden influir en el CTQ en el largo plazo.

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gráficos de control 2

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