UNIDAD 2: Gráficos estadísticos

Los gráficos muestran visualmente y de forma rápida la distribución de los datos y sus principales características, constituyen un importante complemento en la presentación de la información. Podemos emplear distintos gráficos estadísticos según el tipo de variable que representan, por el tipo de información que ofrece, o por el énfasis que quiera poner el informador en los datos. Los más habituales son los siguientes: Diagrama de barras, Histograma, Polígono de frecuencias, Diagrama lineal, Diagrama de sectores, Pictograma y Cartograma. Se describen a continuación cada uno de ellos:

2.1. Diagrama de tallo y hojas

El diagrama de tallo y hojas es una intersección entre una representación gráfica y una tabla de frecuencias. Es una variación de la tabla de frecuencias que ofrece información visual de la distribución de los datos conservando los datos originales y añadiendo una información adicional. Para construir un diagrama de tallo y hoja seguimos los siguientes pasos:

1. Examinar los datos para decidir cuantos dígitos van a formar el tallo. Todos los dígitos, salvo el último, forman el tronco de la observación, el último dígito es la hoja. El lugar de truncamiento, que podemos hacer con o sin redondeo, dependerá del tipo de datos.

2. Escribir la lista de posibles troncos ordenados de menor a mayor. El tallo se coloca a la izquierda de una línea vertical y los valores de las hojas a la derecha.

3. En la primera fila informar sobre la unidad utilizada y como están representados los valores sobre el diagrama. Si hay valores extremos, se representan en la fila siguiente, indicando si son superiores o inferiores.

La observación de un diagrama de tallo y hoja revela propiedades y características tales como, Rango de valores de los datos, así como concentración y simetría de los mismos. Valores que se separan marcadamente del resto, y valores poco observados o lagunas. A veces, cuando los dígitos correspondientes a las hojas son unidades, se originan diagramas con pocos troncos, pero si se toman décimas, aparecen demasiados. En estos casos, se puede dividir un tronco en dos partes.

Ejemplo.

Preguntamos la altura a los 100 alumnos del colegio anterior que vamos a representar mediante un gráfico de tallo y hojas:

135 140 145 146 146 147 147 149 149 149 150 150 150 150 150 151 152 152 153 155 155 155 156 156 156 157 157 157 158 159 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 162 162 162 162 163 163 163 163 163 163 164 164 164 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 168 168 169 170 170 170 170 170 170 172 172 173 174 174 175 175 176 176 176 177 178 179 180 182 185 190 192 192 195

Vamos a tomar 2 cifras significativas para formar el tallo, las centenas y las decenas, y con las unidades formamos las hojas, así el diagrama de tallo y hojas quedaría:

Con este gráfico podemos ver una cierta simetría y la presencia de valores extremos que más adelante se podrá confirmar, o no, con los cuartiles.

2.2. Diagrama de columnas

Para representar datos de variables cualitativas y cuantitativas discretas, y en general para distribuciones de frecuencias de datos sin agrupar, se utiliza el diagrama de columnas. Este diagrama representa los valores de la variable en el eje de abscisas levantando en cada punto una barra de longitud proporcional a la frecuencia de ese valor. El ancho de los rectángulos de las columnas ha de ser el mismo y las divisiones de la escala, equitativas. Es indiferente si se construyen con los valores de las frecuencias absolutas o relativas, pero si los usamos para comparar datos de diferentes conjuntos hay que utilizar las frecuencias relativas pues el total de datos puede influir de manera indirecta en la representación.

Ejemplo. Variable cualitativa

Preguntamos a los mismos alumnos del colegio por el empleo que hacen del tiempo libre con las siguientes opciones: A: deporte B: mantenimiento C: música D: cine E: lectura F: otros obteniendo los siguientes datos que representamos debajo medinte un diagrama de columnas: ACE C AC CE AC DE AB DEF AF F BCE CDF AF ACEF F ACD ABCF BDE ADF CF ACF AF E ACE ABF ACF ACD BE A CD D AB ABCDEF BC ADF ABCDEF F E ADE ABD DE AF AC E CEF ACF D ACF BCF AF BF AF C EF DE AC ACE DEF AB DF ACF AF CEF EF F F ABF A CE ACF AF CE BEF D ACF ACDF CD CDE AEF ACDE ABCDEF D AC CF BCE BDF AC AC ACD A CF CF CEF ACF EF CD

Al ser una pregunta de respuesta múltiple la suma de las frecuencias no da como resultado el número total de datos.

2.3. Diagrama de barras

El diagrama de barras es un gráfico idéntico al de columnas en el que los rectángulos se colocan horizontalmente. Se emplea para el mismo tipo de variables y su construcción es análoga. (En algunos textos llaman diagramas de barras tanto a las verticales como a las horizontales).

Ejemplo. Variable cuantitativa discreta

Usamos los datos de la edad de los alumnos cuya tabla de frecuencias construimos anteriormente y que reflejaba los siguientes datos:

Su representación mediante

un diagrama de barras es �

Edades de los alumnos entrevistados

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

12

13

14

15

16

17

18

edad

número de alumnos

Valores Frecuencia absoluta

12 9 13 25 14 27 15 16 16 12 17 8 18 3

TOTAL N=100

2.4. Diagrama de sectores

El diagrama de sectores consiste en dividir un círculo en tantas porciones como clases existan, de modo que a cada clase le corresponde un sector circular proporcional a su frecuencia absoluta o relativa. Se utiliza para cualquier tipo de variable, especialmente

cuando las frecuencias están expresadas en porcentajes. Siempre va acompañado de una leyenda. Para calcular la amplitud de los sectores supongamos que a la modalidad ix le corresponde una amplitud de iα grados. Como podemos emplear frecuencias absolutas o relativas, empleamos las relativas, entonces se tiene que: ii frc ⋅=α , siendo c la constante de proporcionalidad, por lo que:

1º360 ⋅=⋅=⋅== ∑∑∑ cfrcfrci

i

i

i

i

iα ⇒ ii fr⋅= º360α

Y de esta forma se calculan las correspondientes amplitudes de cada modalidad, en grados sexagesimales. Ejemplo. Variable cualitativa Se le pide a los alumnos cuál es la actividad preferida de entre sus actividades de ocio, obtenidendo los datos que vaciamos en la siguiente tabla de frecuencias:

Caculamos la amplitud de los sectores para cada uno de los valores de la variable con sus frecuencias dadas en forma porcentual:

ii fr⋅= º360α

Dividiendo la superficie circular en los sectores con la amplitud

Valores Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Deportes 51 0,5258 52,58% Mantenimiento 8 0,0825 8,25%

Música 17 0,1753 17,53% Cine 10 0,1031 10,31%

Lectura 6 0,0691 6,19% Otros 5 0,0515 5,15%

TOTAL N=97 1

100 %

Valores Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Ángulo correspondiente

Deportes 51 0,5258 º3,1895258,0º360 =⋅=deportesα

Mantenimiento 8 0,0825 º7,290825,0º360 =⋅=tomatenimienα

Música 17 0,1753 º1,631753,0º360 =⋅=músicaα

Cine 10 0,1031 º1,371031,0º360 =⋅=cineα

Lectura 6 0,0691 º9,240691,0º360 =⋅=lecturaα

Otros 5 0,0515 º5,180515,0º360 =⋅=otrosα

calculada obtenemos el siguiente gráfico circular.

2.5. Histograma

Es un gráfico similar a los diagramas de barras y se utilizan para representar distribuciones de variables cuantitativas continuas, es decir, agrupadas en intervalos. Consiste en dibujar rectángulos adosados, cuyas bases coinciden con la amplitud de los intervalos y sobre cada uno de estos intervalos se levanta un rectángulo de área igual o proporcional, a la frecuencia del mismo, que en principio puede ser absoluta o relativa. Para determinar la altura ih del rectángulo correspondiente al

intervalo ( ]ii aa ,1− de amplitud ic , para que su área coincida con las

frecuencias absolutas será tal que: iii hcf ⋅= ⇒ despejando obtenemos la expresión para el cáclulo de

las alturas ⇒ kic

fh

i

i

i ,....1, ==

Observemos que en un histograma, cuanto mayor es la amplitud del intervalo menor será la altura del rectángulo, pues el elemento del gráfico representativo es la superficie. De esta manera podemos obtener gráficos pocos estéticos, si fuera así, podemos usar alturas proporcionales que produzcan gráficos más armoniosos. En el caso particular de que todos los intervalos tuvieran la misma amplitud, las alturas pueden tomar el valor de las frecuencias.

Ejemplo.

Con los datos del peso y la altura de los alumnos hemos calculado el IMC (Índice de Masa Corporal) que están reflejados en la siguiente tabla de frecuencias:

Si los intervalos tuvieran igual amplitud podrías dibujar los rectángulos del histograma con la altura igual a la frecuencia absoluta, pero al no ser igual tenemos que calcular la altura de cada rectángulo para que tengan la superficie proporcional a la frecuencia.

Construyendo los rectángulos de base la amplitud de los intervalos y altura las calculadas obtenemos el siguiente histograma en el que el área de los rectángulos que lo forman es igual a las frecuencias absolutas de cada uno:

Valores Frecuencia absoluta

[14.5, 16) 4 [16, 18.5) 22 [18.5, 25) 61 [25, 30) 5 [30, 30.5) 1

N=93

Valores Amplitud Frecuencia absoluta

Altura

[14.5, 16)

1.5 4 67.25.1

41

==h

[16, 18.5)

2.5 22 8.85.2

222

==h

[18.5, 25)

6.5 61 4.95.6

613

==h

[25, 30) 5 5 15

54

==h

[30, 30.5)

0.5 1 25.0

12

==h

N=93

2.6. Polígonos de frecuencias

Este diagrama consiste en una serie de segmentos de recta que unen los puntos cuyas abscisas son los valores de la variable, o las marcas de clase, en el caso de variables continuas, y cuyas ordenadas son proporcionales a sus frecuencias respectivas. Este gráfico se puede construir tanto para variables no agrupadas como agrupadas en intervalos, y tanto con frecuencias absolutas como relativas. Muchas veces este tipo de gráfico se superpone a un diagrama de barras o a un histograma. Variables no agrupadas Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras de un diagrama de barras mediante segmentos. También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos. Variables agrupadas En el caso de variables agrupadas en intervalos para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un histograma.

Ejemplo. Variable discreta

Vamos a construir el polígono de frecuencias de la variable edad de los alumnos sobre el diagrama de barras construido en un ejercicio anterior.

Edades de los alumnos

entrevistados

0

5

10

15

20

25

30

12 13 14 15 16 17 18

Valores Frecuencia absoluta

12 9 13 25 14 27 15 16 16 12 17 8 18 3

TOTAL N=100

Ejemplo. Variable continua

Vamos a construir el polígono de frecuencias de la variable altura de los alumnos sobre el histograma. Al ser los intervalos de igual amplitud podemos establecer la altura de los rectángulos como el valor de la frecuencia, en este caso trabajaremos con la frecuencia relativa expresada en porcentajes.

Valores Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentajes

(134, 143] 2 0,0206 2,06% (143, 152] 16 0,1649 16,49% (152, 161] 25 0,2577 25,77% (161, 170] 34 0,3505 35,05% (170, 179] 13 0,1340 13,40% (179, 188] 3 0,0309 3,09% (188, 197] 4 0,0412 4,12%

Altura de los estudiantes de 12 a 18 años

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

(134, 143] (143, 152] (152, 161] (161, 170] (170, 179] (179, 188] (188, 197]

Para construir el polígono de frecuencias sobre el histograma seguimos los siguientes pasa:

- hallamos la marca de clase de cada intervalo - marcamos sobre el gráfico los puntos de intersección

de cada punto medio de clase con su frecuencia respectiva

- finalmente unimos con segmentos los puntos de intersección.

2.7. Otros gráficos

PICTOGRAMA

Son gráficos que utilizan dibujos que hacen referencia a la variable que se está estudiando. El tamaño o cantidad de cada dibujo es proporcional al valor de la frecuencia de cada modalidad.

Ejemplo.

La siguiente tabla muestra el número de horas semanales que pasan los alumnos del centro anterior viendo la televisión Con estos datos construimos un histograma sustituyendo los rectángulos por el dibujo de una televisión y conviertiendo así el gráfico en un pictograma

Valores Frecuencia absoluta

[0,4) 4 [4,8) 28 [8,12) 21 [12,16) 15 [16,20) 9 [20,24) 5 TOTAL N=82

Número de horas de televisión semanales

0

5

10

15

20

25

30

[0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24)

Horas de televisión

Número de alumnos

CARTOGRAMA

Es un gráfico que se utiliza cuando nos interesa conocer la distribución geográfica de una variable, por ello se construye sobre un mapa en el que las zonas aparecen coloreadas según los valores de la variable que se está estudiando. Va acompañado de una leyenda en la que, por colores, se indica la interpretación.

Ejemplo.

La siguiente tabla muestra la distribución de habitantes de Gran Canaria por municipios. Le acompaña un cartograma que refleja los datos. Siempre debes consultar la leyenda que acompaña al gráfico para su correcta interpretación.

Extraído de Canarias en Cifras 2008. Instituto Canario de Estadística