GRADIENTES

GRADIENTE ARITMÉTICO. GRADIENTE GEOMÉTRICO.

COMPETENCIAS:

CONCEPTUAL: Define la Renta Gradiente. Diferencia el gradiente Aritmético y gradiente Geométrico. Identifica los factores financieros para cálculos del Valor Presente y Valor futuro

en gradientes Aritméticos y gradientes Geométricos. . Diferencia “G” y “g” en las clases de gradientes.PROCEDIMENTAL: Analiza los factores que intervienen en el problema. Representa gráficamente, apoyándose en diagramas temporales. Aplica los Factores Financieros para dar solución a los problemas planteados. Resuelve los problemas planteados en las clases de gradientes tanto para “P”,

“S” y “R”. Evalúa los resultados obtenidos.ACTITUDINAL: Asume la solución del problema con seriedad. Comparte con sus compañeros conceptos previos y presentes. Asume el compromiso de seguir practicando dentro y fuera de clase. Valora la utilidad de los conocimientos adquiridos y lo aplica en casos reales.

GRADIENTE

DEFINICIÓN: Una Serie de gradientes es una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo y que aumentan o disminuyen de acuerdo a una serie establecidaLa cantidad constante de aumento o disminución recibe el nombre de gradiente y la cantidad usada como inicio de la serie recibe el nombre de base.CLASES DE GRADIENTES.1.- Gradiente Aritmético o Lineal.2.- Gradiente Geométrico.

GRADIENTE ARITMÉTICO.- Las anualidades cuyas rentas experimentan variaciones aritméticas pueden descomponerse en una anualidad de las cuotas bases y en una anualidad de los gradientes uniformes, siendo la cuota base igual a la primera renta.Sí G>0, es un gradiente lineal creciente.Sí G<0, es un gradiente lineal decreciente.

GRADIENTE GEOMÉTRICO.- Es una serie de gradientes geométricos los pagos varían en progresión geométrica esto es, cada pago es igual al anterior multiplicado por una constante g, llamada el gradiente geométrico. Si g>0 , la serie gradiente es creciente.Sí g<0, la serie gradiente será decreciente.

DETERMINACIÓN DEL GRADIENTE Y DEL ÚLTIMO TÉRMINO .-GRADIENTE ARITMÉTICO.-

CÁLCULO DE “G” ÚLTIMO TÉRMINO PARA “G”

11

nRR

G n GnRRn *11

GRADIENTE GEOMÉTRICO.-

CÁLCULO DE “g” ÚLTIMO TÉRMINO PARA “g”

100*11

n

n

RR

g 11 1* n

n gRR

G=??

G=??

Períodos de tiempo

TIPOS DE GRADIENTES:Las rentas pueden ser:1.- Gradiente Lineal Creciente.- Cuando varían en progresión aritmética; en este caso las gradientes son uniformes.

2.- Gradiente Lineal Decreciente.- Tener gradientes negativos, cuando los importes de Las rentas de la anualidad experimentan un decremento en el horizonte temporal.

Períodos de tiempo

0 120 240 600 480

TEA = 60%

360

625660

695 730765

1200 días

?????

GRÁFICO # 1

GRÁFICO # 2

0 1 2 3 4

a

14 n = 15 meses

820

2500TNA=50%m=C/20 días

3.- Gradiente Exponencial Creciente.- Al variar en progresión geométrica; en este caso, Los gradientes son no uniformes y G>0.

4.- Gradiente Exponencial Decreciente.- Al variar en progresión geométrica; en este caso. las gradientes son no uniformes y G<0.

g=??

g=??

Períodos de tiempo

Períodos de tiempo

0 15 30 45 60 75 90 105 días

1400

15121632.96

?????

?????

??????????TNM=4.95%.

m=c/ 20días

GRÄFIC0 # 3

0 1 2

TNM=5.25%;m=C/10 días

n= 10 meses

4500

9

2836.12

4275

GRÁFICO # 4

ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA.-En una anualidad cuyas rentas varían en progresión aritmética, los gradientes son uniformes, es decir, la diferencia entre una renta y la anterior es siempre la misma.

Aplicación 1.-Dibuje una serie de flujos de caja para la empresa Norsur, que introdujo un nuevo producto al mercado, cuyas ventas mensuales se proyectan en S/. 1000, por la evolución de su posicionamiento en el mercado, espera que al término del sexto mes las ventas mensuales alcanzan a S/. 12 500 y los incrementos se distribuyen de manera uniforme durante dicho período.

Anualidad con rentas que varían en progresión aritmética.

GRADIENTE ARITMÉTICO.-

0 1 2 3 4 5 n

R+G

R

R+2G

R+3G

R+4G R+(n-1)*G

Renta Uniforme

Períodos de tiempo

Datos:Cuota Base = 1000Cuota 6to mes = 1250n= 6 meses

50016

1000012500

1

n

VariaciónGradiente

meses

niG

n

n

G

nn

n

G

FASGGP

i

nii

iGP

i

n

ii

ii

GP

;.

1

111

11

111

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DE GRADIENTES UNIFORMES CONVENCIONALES.-

FASG i;n = Factor de actualización de la serie de gradientes uniformes y se lee: “El FASGa una tasa i por períodos de gradientes uniformes transforma una anualidad compuestapor gradientes uniformes convencionales G en un valor presente PG”.

VALOR PRESENTE DE LAS RENTAS TOTALES:

GUNIFORMESRENTASTOTALRENTA PPP

Aplicación 1:En la siguiente gráfica de gradientes aritméticos, considere una TEM=2%¿Calcular el Valor Presente?

DATOS:G= 500R=10000n=6 periodos c/mesTEM=2%

niUNIFORMESRENTAS

n

n

G

niG

FASRP

i

nii

iGP

FASGGP

;

,

*

1

111

*

FÓRMULA:

meses

niniTotal FASGGFASRP ,, **

3089.56014

60143089.5*10000%2

)%)21(1(*10000

*100006

6%,2

P

P

P

FASPEl Valor Presente de Rentas Uniformes:

El Valor Presente Total= P G + P Rentas Uniformes PTOTAL = 6840.06 + 56014.31PTOTAL = S/. 62854.37

Cálculos:

06.6840

)327828293.5601430891.5(*50*500

%21

6%2%211

%21

*500 6

6

G

G

G

P

P

P

Valor Presente de Gradientes:

Aplicación 2:Se requiere calcular el valor presente de los gradientes uniformes convencionales de unaAnualidad en cuyo horizonte temporal semestral se realizan 6 cuotas mensuales crecientes aritméticamente, cuya cuota base es S/. 1000 y su gradiente uniforme es S/. 100. Para esta Operación utilice un TEM de 1.5%.

0 1 2 3 4 5 6 meses

RENTA UNIFORME

10001100

1200

13001400

1500

GUNIFORMESRENTASTOTALRENTA PPP

Datos:G= 100n=6 periodos mensualesTEM=1.5%PG=¿?????

niUNIFORMESRENTAS

n

n

G

FASRP

i

nii

iGP

;*

1

111

RENTAS TOTALES:PG= G*FASG 1.5%,6 = 100*(1/1.5%*((1-(1+1.5%)^-6)/1.5%-6/(1+1.5%)^6))PG= 100*13.9956007

niUNIFORMESRENTAS

G

FASRP

P

;

6

6

*

%5.11

6%5.1%5.111

%5.11

*100

75.7096

56.139919.5697

19.5697

69718717.5*1000

*1000

Re

Re

6%,5.1Re

TOTAL

TOTAL

Uniformesntas

Uniformesntas

Uniformesntas

P

P

P

P

FASP

EL VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE.-

niG

n

G

FCSGGS

nii

iGS

;*

111*

FSCG i;n = Factor de Capitalización de la Serie de Gradientes Uniformes, que se lee“ El FSCG i;n a una tasa i por período durante n períodos de gradientes capitaliza unaAnualidad compuesta por gradientes uniformes convencionales G”Aplicación 1:

En la siguiente gráfica de gradientes aritméticos, considere una TEM=2%¿Calcular el Valor Futuro?

GUNIFORMESRENTASTOTAL

niniTOTAL

SSS

FCSGGFCSRS

;; **

meses

Aplicación 3:Cierta empresa pide prestada una cierta cantidad de dinero y firma un contrato Mediante un pagaré el cual estipula la obligación de pagar S/. 7 500 cada final de mes , durante un año aumentando los pagos sucesivos en S/.500 cada mes. Sí la tasa de interés es del 32% anual capitalizable cada mes. ¿Encuentre la cantidad de dinero que la empresa pidió prestada?

Datos: Fórmula:

Solución:

RPTA:

PGRADIENTE= 26336PRENTA UNIFORME= 76162PTOTAL = 102499

Datos:R=10000G=500TEM=2%n= 6 meses

GUNIFORMESRENTASTOTAL

niniTOTAL

nn

TOTAL

SSS

FCSGGFCSRS

nii

iG

ii

RS

;; **

111*

11*

Fórmulas:

Cálculos:

23.70784

02408.77032096.63081

6%2

1%21%21

*500%2

1%21*10000

66

TOTAL

TOTAL

TOTAL

S

S

S

El Monto equivalente es : S/. 70 784.23

Aplicación 2:

Se requiere calcular el Valor Futuro de los gradientes uniformes convencionales de unaAnualidad en cuyo horizonte temporal semestral se realizan 6 cuotas mensuales crecientes aritméticamente, cuya cuota base es S/. 1000 y su gradiente uniforme es S/. 100. Para esta operación utilice un TEM de 1.5%.

Datos: Fórmula

Cálculos:

RPTA:SRentas Uniformes 6229.55SGRADIENTES 1530.34STOTAL 7759.89

CONVERSIÓN DE UNA ANUALIDAD DE GRADIENTES ARITMÉTICOS EN UNA ANUALIDAD DE RENTAS UNIFORMES.-¿Cómo puede transformarse una anualidad compuesta por gradientes uniformes convencionales debido a que la gradiente se inicia en la segunda cuota, en una anualidad simple equivalente cuyas rentas sean uniformes?.

niG

nG

FRCGGR

i

ni

GR

,*

11

1*

FRCGi;n = Factor de gradientes uniformes el FRCGi;n a una tasa i por período durante nPeríodos de gradientes transforma una anualidad compuesta por gradientes convencionales G en una serie de rentas uniformes equivalentes.

Aplicación 1:Una anualidad con horizonte temporal de 2 años se compone de 8 rentas trimestrales que se distribuyen uniformemente en este plazo. La primera cuota base es de S/. 500 y las demás se incrementan en S/. 50 en cada trimestre. Si se requiere preparar una alternativa que considere todas las cuotas uniformes. ¿Cuál sería la cuota uniforme equivalente que reemplace la anualidad de gradientes de S/. 50?. Para estos efectos . Utilice una TET=2%.

GRADIENTESUNIFORMESRENTASEEQUIVALENT RRR

Interpretación: La anualidad de gradientes uniformes es equivalente a otra renta Uniforme ascendente a 169.80 um cada una. Este importe sumando la cuota base

89.669

80.169500

UNIFORMEEEQUIVALENT

EEQUIVALENT

GRADIENTESUNIFORMESRENTASEEQUIVALENT

R

R

RRR

Datos:G= 50N=8 trimestresTET= 2%

niG

nG

FRCGGR

i

ni

GR

,*

11

1*

Fórmula:

80.169

1%21

8

%2

1*50 8

G

G

R

R

Cálculos:

Aplicación 2:Se desea comprar un terreno que tiene precio de contado de $ 95000. Si ofrece pagar un enganche de $ 15500 y el resto lo va a pagar mediante una amortización mensualdurante 8 años. ¿Cuál debe ser el valor de la primera renta base si cada uno de los Siguientes pagos puede ser incrementado en $48.?. La tasa de interés es el 27.6% capitalizable c/ mes.

Datos:PC= 95 000CI=15500P=80000n= 96 mesesG= 48TNA=27.6%m=Capitalizable C/ mesR=¿???? (Primera renta base)

Fórmulas:

niUNIFORMESRENTAS

n

n

G

FASRP

i

nii

iGP

;*

1

111

96%,3.296%,3.2 *48*80000 FASGFASR RPTA: R=$572.05

Aplicación 3:La compañía ABC tiene los siguiente flujos de caja mensuales proyectados:Meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Flujo de Caja 0 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Utilizando una TEM=4%. ¿Calcule:a.- La renta uniforme de los gradientes.b.- La renta uniforme equivalente.Datos: Fórmula

Cálculos:

RPTA:

RG 74.78

RRenta uniforme Equivalente 174.78

Aplicación 4:

Una empresa musical desea comprar un equipo de sonido, cuyo precio de contado es de$4000. Lo que puede adquirir sin enganche a 6 meses de plazo. Si la tasa de interés es de 33% capitalizable cada mes. ¿Cuál debe ser el valor de su primera mensualidad, si cada Uno de los siguientes pagos se incrementarán en $ 95?.

Datos: Fórmulas:

Solución:

RPTA:R=$502.30 (Renta Equivalente Uniforme)

GRADIENTES UNIFORMES DESFASADOS:

Una anualidad con gradientes uniformes desfasados es aquella cuyos períodos de rentas Son uniformes, pero el primer gradiente no nulo aparece luego de la segunda renta.Por ejemplo:El primer gradiente no nulo aparece al finalizar el quinto período:

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DE GRADIENTES UNIFORMES DESFASADOS

kn

n

Gii

nii

iGP

1

1*

1

111*

0 1 2 3 4 5

K= períodos desfasados de la renta de gradientes aritméticos

Aplicación 1:

En el siguiente diagrama de flujo de caja mensual:

a.- ¿Calcular el valor presente de la anualidad de gradientes uniformes desfasados?

b.- ¿Calcular el valor presente de toda la anualidad?Para ambos casos utilice una tasa efectiva TEM= 3%.

0 1 2 3 4 5 6

44.1650

94.140351.246

94.1403

10119692119.7*200

%3%311

*200

*200

51.246

)942595909.(*)02490554.5417191444.5(3333333.33*20

%31

1*

%31

6%3%311

%31

*2

8

8%,3

26

6

TOTAL

TOTAL

UNIFORMESRENTAS

UNIFORMESRENTAS

UNIFORMESRENTAS

UNIFORMESRENTAS

G

G

G

P

P

P

P

P

FASP

P

OP

OP

GRADIENTE NEGATIVO:En una anualidad con gradientes uniformes negativos convencionales, la primerarenta es el flujo mayor de la serie, la misma que disminuye en una cantidad constante.anteriormente , la única diferencia es que G es negativo.

niniTOTAL

n

nn

P

nn

nn

TOTAL

FASGGFASRP

i

nii

iG

ii

R

i

n

ii

ii

Gii

RP

TOTAL

,, **

1

111*

11*

11

111)*(

11*

0 1 2 3 4 5 6 meses

750800

700650 600

550

RPTA: 3679.94

Aplicación 1:En el siguiente esquema de flujos de caja mensual, utilizando un TEM=3%. ¿CalculeEl Valor Presente?

Datos:

Fórmula

n

n

niTOTALi

nii

iGFASRP

1

111* ,

PRentas uniformes 4333.75

PRenta Gradientes -653.80984

Prentas Totales 3679.94

ANUALIDADES CON RENTAS QUE VARÍAN EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:

R=Cuota Base(1+g) = Razón de crecimiento geométrico.

0 1 2 3 4 n-1 n

R R*(1+g)R*(1+g)2

R*(1+g)3

R*(1+g)4

R*(1+g)n-2R*(1+g)n-1

5

niG

nG

FRCGGR

i

ni

GR

,*

11

1*

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO g≠i

n

n

n

n

i

gR

i

gR

i

gR

i

gRi

RP

1

1

1

1......

1

1.

1

1.1

1

1

2

3

2

2

La obtención de la fórmula de valor presente cuando g≠ i

igig

i

RP

ig

ig

iR

P

nn

n

n

11

1

111

111

1

Aplicación 1:¿Calcular el valor presente de un Préstamo que devenga a una tasa de interésTNA= 11.88196086% capitalizable C/30 días otorgado para amortizar en el lapso de 6 años con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500 que se irán incrementandoen un 5% C/ cuota con relación a la anterior?.

Datos:n= 24 cuotas trimestralesTET= 3%R= 500g= 5%

Fórmulas:

)(11

1 igig

i

RP

nn

n

Aplicación:

39.14663

%3%5%31%51

%31

500 2424

24

P

P

Aplicación 2:En el siguiente esquema, aplicando una TEM= 4%. ¿Calcular el valor Presente con rentas geométricas?

Datos:R= 100g= 5%TEM= 4%n= 6 meses

)(

11

1 ig

ig

i

RP

nn

n

Fórmulas:

0 1 2 3 4 5

105

100

110.25

115.78121.55 127.63

6 meses

RPTA:590.97

Aplicación 3:

¿Calcular el importe neto de una deuda que es pagadera en 3 años a la tasa del48% efectivo anual y del siguiente modo:Durante este plazo las cuotas son trimestrales comienzan con S/. 1000 y crece en un 5% con relación al inmediato anterior?

Datos: Fórmulas:

Aplicación:

RPTA:

P= =1000/(1+10.2974%)^12*((1+5%)^12-(1+10.2974%)^12)/(5%-10.2974%)P= 8419.74

ig

igRS

nn 11*

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Aplicación 1:El alquiler de un local comercial es S/. 5000, anuales, pago que debe depositarse al final de cada año, si los alquileres se incrementan de acuerdo a la inflación, que es 3% anual. Si los depósitos están colocados a una TEA del 8%. ¿Calcule el monto obtenido después de 15 años?

S=5000*((1+3%)^15-(1+8%)^15)/(3%-8%)S=S/. 161 420.17

RPTA:

Datos:R= S/. 5 000g= 3% c/ añoTEA=8%n = 15 años

Aplicación 2:¿Calcular el valor Futuro de un Préstamo que devenga a una tasa de interésTNA= 11.88196086% capitalizable C/30 días otorgado para amortizar en el lapso de 6 años con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500 que se irán incrementandoen un 5% C/ cuota con relación a la anterior?.

Datos: Fórmula:n= 24 cuotas trimestralesTET= 3%R= 500g= 5%

S=500*((1+5%)^24-(1+3%)^24)/(5%-3%)S=S/. 29807.65

RPTA:

ig

igRS

nn 11*

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN ENPROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO g=i

)1( gnR

P

Aplicación 1:

Para un proyecto que tiene una vida útil de 5 años se ha estimado que el primer Flujo de caja anual es de S/. 30000 y los siguiente flujos anuales experimentanUna razón de crecimiento geométrico de 20% cada año. ¿Calcule el valor presente de estos Flujos de caja considerando el costo de oportunidad de capital es del 20%?

125000

%)201(

30000*5

P

P

Cálculo de la cuota base de una anualidad con rentas que varían mediante Una progresión geométrica. Cuando g≠ i

nn

n

ig

igiPR

11*1*

Aplicación 1:

Un banco le presta a un cliente $560 000 con un interés del 35% capitalizable cada mes. El deudor tiene un plazo de 5 años para amortizar la deuda.Sí el primer pago vence dentro de un mes y de ahí en adelante cada pago se Reajusta en un 2% más cada mes . ¿Cuál debe ser el valor del primer pago mensual?Datos:P=560000n= 60 períodos mensuales.g= 2%TEM=2.9167%

03.12358

%9167.21%21

%9167.2%2*%9167.21*560000 6060

60

R

R

nn

n

ig

igiPR

11*1*

Fórmula:

Cálculos:

Aplicación 2:¿Calcule la primera cuota de la anualidad creciente geométricamente cuyoValor presente es de S/. 5000. Siendo 20 cuotas trimestrales con un crecimiento Geométricamente de 4% cada trimestre y la TEM= 1.639635681%

Datos: Fórmulas:

Solución:

RPTA: S/. 287.04

CÁLCULO DE LA CUOTA BASE DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO g=i

ngP

R)1(*

Aplicación 1:Con los siguiente datos:TEM= 1%g= 1%n= 24 cuotas de C/ 30 díasPg = 30 000

137524

%11*30000

R

R

ELABORACIÓN DE TABLAS DE AMORTIZACIÓN:

P= 10000TET= 5%g= 3%n= 6 trimestres

R= =10000*(1+5%)^6*((3%-5%)/((1+3%)^6-(1+5%)^6))R= 1835.20

# de pagos

Renta con Gradiente

Geométrico INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO DEUDOR

0 100001 1835.20 500.00 1335.20 8664.802 1890.26 433.24 1457.02 7207.783 1946.96 360.39 1586.57 5621.214 2005.37 281.06 1724.31 3896.905 2065.53 194.84 1870.69 2026.216 2127.50 101.31 2026.19 0.0

Aplicación1:

ELABORAR LA TABLA DE AMORTIZACIÓN PARA LIQUIDAR LA DEUDA

¿Calcular un Préstamo Bancario que devenga a una tasa de interés TNA= 11.88196086% capitalizable C/30 días otorgado para amortizar en el lapso de 6 años con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500 que se irán incrementando en un 5% C/ cuota con relación a la anterior?.

Aplicación 2:

TNA= 11.88196086%m= C/ 30 díasTET= 3%n= 24 trimestresR= 500g= 5%P= =500/(1+3%)^24*((1+5%)^24-(1+3%)^24)/(5%-3%)P= 14663.39

ELABORAR LA TABLA DE AMORTIZACIÓN PARA LIQUIDAR LA DEUDA

# de pagos

Renta con Gradiente

Geométrico INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO DEUDOR

0 14663.391 500.00 439.90 60.10 14603.292 525.00 438.10 86.90 14516.393 551.25 435.49 115.76 14400.634 578.81 432.02 146.79 14253.845 607.75 427.62 180.14 14073.706 638.14 422.21 215.93 13857.777 670.05 415.73 254.31 13603.468 703.55 408.10 295.45 13308.019 738.73 399.24 339.49 12968.52

10 775.66 389.06 386.61 12581.9111 814.45 377.46 436.99 12144.9212 855.17 364.35 490.82 11654.1013 897.93 349.62 548.31 11105.8014 942.82 333.17 609.65 10496.1515 989.97 314.88 675.08 9821.0616 1039.46 294.63 744.83 9076.2317 1091.44 272.29 819.15 8257.0818 1146.01 247.71 898.30 7358.7919 1203.31 220.76 982.55 6376.2420 1263.48 191.29 1072.19 5304.0521 1326.65 159.12 1167.53 4136.5222 1392.98 124.10 1268.89 2867.6423 1462.63 86.03 1376.60 1491.0424 1535.76 44.73 1491.03 0.0

Aplicación 3:

RPTA:PRentas Uniformes 76162.44

PG= 26336.49

PTOTAL 102498.93

# de pagos

Renta con Gradiente Aritmético INTERÉS AMORTIZACIÓN

SALDO DEUDOR

0 102498.931 75002 80003 85004 90005 95006 100007 105008 110009 11500

10 1200011 1250012 13000 0.00

Cierta empresa pide prestada una cierta cantidad de dinero y firma un contrato Mediante un Pagaré el cual estipula la obligación de pagar S/. 7500 cada final De mes, durante un año aumentando los pagos sucesivos en S/. 500 cada mes.Sí la tasa de interés es de 32% capitalizable cada mes. a.- ¿Calcule cuanto prestó la Empresa?.b.- Elabore la Tabla de Amortización?.

TEA=40%

0 1 2 3 8 9 10 meses

1200

2 865Gradiente Aritmético

niUNIFORMESRENTAS

n

n

G

niG

FASRP

i

nii

iGP

FASGGP

;

,

*

1

111

*

En la gráfica #1:

a.- ¿Calcular G?.b.- ¿Cuál es el Principal o Valor Actual?.c.- ¿Cuál es el Monto o Capital Final?.d.-Elabore la Tabla de Amortización.

8 9 10 meses

niUNIFORMESRENTAS

n

n

G

niG

FASRP

i

nii

iGP

FASGGP

;

,

*

1

111

*

GUNIFORMESRENTASTOTALRENTA PPP GUNIFORMESRENTASTOTAL SSS

0 1 2 3 5 6 7 meses

650

TNA = 40%m=C/ 30 días 728

???????

En la gráfica:

a.- ¿Calcular la última renta?.b.- ¿Cuál es el valor actual o Principal?.c.- ¿Cuál es el valor Futuro o Monto?.d.- Elabore la Tabla de Amortización.

Aplica las fórmulas de Gradientes Aritméticos y Geométricos. Resuelve problemas de Gradientes , asociando los factores financieros.

Logros obtenidos