EVALUACION DEL DESEMPEÑO DE MODELOSVaR USANDO LA TEORIA DE VALORES

EXTREMOS EN MERCADOS EMERGENTES YDESARROLLADOS

German Guerrero Chaparro

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias Economicas

Julio de 2008

1

Resumen

En este trabajo estudiamos las distribuciones de valores extremos (EVT) ysu utilidad en la implementación de medidas de riesgo �nanciero para índicesbursátiles de economías desarrolladas y emergentes. Encontramos un buenajuste de la distribución de extremos GPD para las colas de las distribucionesde todos los índices utilizados en el estudio y evidenciamos la presencia de efec-tos de asimetría en los extremos de los rendimientos negativos y positivos. Engeneral, son más riesgosas las colas negativas aunque dependiendo el quantilde análisis puede existir un cambio en el nivel de riesgo a quantiles mas al-tos entre las colas. Utilizando la distribución GPD calculamos las medidas deriesgo como el Value at Risk (VaR) y Expected Shortfall (ES). Para la llevar acabo la evaluación del desempeño relativo de los diferentes modelos VaR esti-mados, aplicamos la técnica del backtesting y calculamos un índice de violacióndel VaR. Obtuvimos un buen desempeño de los modelos VaR con distribucionesextremas, GPD y GPD condicionado a medida que aumentamos los quantilesde estimación para la mayoría de los índices bursátiles, aunque este efecto esmas claro en los países desarrollados.

Palabras Claves: Gestión del riesgo �nanciero, Teoria del valor extremo,Value at Risk -VaR-, Expected Shortfall, Riesgo de mercado, Backtesting, eval-uación del desempeño.

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Tabla de Contenido

1. Introducción2. Análisis exploratorio de los datos3. Teoría de Valores Extremos �EVT-

3.1 Generalized Extreme Value - GEV-3.2 Generalized Pareto Distribution �GPD-

4. Estimación GPD4.1 Selección threshold4.2 Estimación de rentabilidades con GPD

5. Modelando Value at Risk (VaR)5.1 Modelos de Varianza-Covarianza5.2 Simulación Histórica5.3 VaR con GPD5.4 Expected shortfall y EVT5.5 Estabilidad de las medidas de riesgo con EVT5.6 GPD condicionado y VaR

6. Desempeño relativo de los modelos VaR7. ConclusionesBibliografía

3

1 Introducción

La teoría �nanciera ha reconocido ampliamente la interacción entre rentabilidady riesgo. Entender la distribución de los retornos de los activos �nancieros esfundamental en la responsabilidad de la gestión del riesgo. Los trabajos pio-neros de teoría del portafolio [Markowitz (1952); Sharpe (1964); Litner (1965)y Ross (1976)] o valoración de opciones [Black y Scholes (1973)] asumen que ladistribución de los retornos de los activos es normal. Por simplicidad, conve-niencia y capacidad explicativa este mundo de normalidad es ideal y ello podríaexplicar en parte la "rápida" aplicación y aceptación de los modelos teóricos porparte de los practitioners. Sin embargo, la evidencia empírica muestra que lamayoría de series �nancieras de retornos se alejan del mundo de la normalidad.La consecuencia de la separación entre supuestos y el mundo real es directa.Los modelos de gestión del riesgo bajo normalidad pueden fallar. Son menosefectivos en la parte mas importante y determinante en la gestión de riesgo; losmovimientos extremos.Mandelbrot (1963) reconoció colas pesadas y presencia mas frecuente de

saltos en la mayoría de series temporales �nancieras. La implicación de estaevidencia tiene efectos importantísimos para los gestores de riesgo de cualquierinstitución �nanciera. La probabilidad de ocurrencia de un evento raro peroextremo es mayor en el mundo real que en el mundo de la normalidad. En estesentido, medidas de riesgo basadas en quantiles, como el VaR, (Value at Risk,por sus siglas en inglés) podrían hacer predicciones muy diferentes si fuerancalculadas con distribuciones con colas mas pesadas que la distribución normal.A partir de esta evidencia empírica son múltiples los trabajos propuestos

para modelizar distribuciones con colas más pesadas y de esta forma obtenermedidas de riesgo más e�caces en la gestión del mismo. En el caso particular deeste trabajo analizamos la Teoría del Valor Extremo (EVT Extreme Value The-ory, por sus siglas en inglés) como un modelo estadístico que complementa lasexigencias propias de la gestión del riesgo en un mundo �nanciero que presentaeventos raros y extremos.Embrechts (1998) resume en cuatro puntos los principales temas de la gestión

del riesgo y que son tratados por EVT.1. la gestión del riesgo esta interesada en estimar las probabilidades de las

colas y los quantiles de la distribución de pérdidas y ganancias.2. lo importante es lo extremo3. se quiere tener métodos para estimar probabilidades condicionales de los

eventos de las colas. En este sentido, por ejemplo, es fundamental conocer másacerca de la magnitud del exceso sobre el VaR.4. los datos �nancieros muestran colas pesadasEVT es una rama de la teoría de probabilidad que se enfoca explícitamente

en los valores extremos y proporciona una serie natural de modelos para eltratamiento de los mismos. Sus implementaciones prácticas provienen de laingeniería pero cada vez encuentran más usos en �nanzas y especí�camente enla gestión del riesgo.El propósito principal del presente trabajo de tesina es evaluar el desempeño

4

relativo de diferentes modelos VaR con énfasis, principalmente, en los modelosbasados en EVT. Buscamos analizar como contribuye la EVT a hacer más e�cazla gestión del riesgo. Comparamos una diversidad de modelos paramétricos y noparamétricos, así como de volatilidad condicionada y no condicionada mediantela utilización de diez índices bursátiles de economías desarrolladas y emergentescon el �n de determinar si existe alguna característica propia entre estos dostipos de mercados que permita un mayor e�cacia de alguno de los modelos VaRutilizados.El concepto de riesgo esta fuertemente relacionado con el de incertidumbre.

El riesgo de mercado se re�ere al riesgo de cambio en el valor de una posición�nanciera debido a cambios en el valor de los factores sobre los cuales dependela posición (Ej. precios de acciones o bonos, tasas de interés o de cambio, etc).La gestión de riesgo se enfoca principalmente en medir los efectos adversos quese puedan producir como consecuencia de cambios en los factores de riesgo.Los gerentes de riesgo están preocupados principalmente en la probabilidad degrandes pérdidas. La medición de esta probabilidad se encuentra en las colasde la distribución de pérdidas y ganancias de los rendimientos de los activos�nancieros.La medición del valor del riesgo (X) de una posición esencialmente consiste

en determinar la función de distribución Fx y estimar la probabilidad, para unhorizonte temporal, de que el valor del riesgo (X) sea menor o igual a un deter-minado valor x [Fx(x) = P (X 6 x)]. Lo anterior, requiere el mejor ajuste deuna distribución al comportamiento empírico de la variable aleatoria de pérdidasy ganancias de los rendimientos de los activos �nancieros.Existen diversos modelos para ajustar la distribución; sin embargo, lo que

hace interesante la estimación de modelos de riesgo basado en EVT es que estemétodo se enfoca en los eventos inesperados, anormales o extremos en la gestióndel riesgo sin tener en cuenta los eventos esperados, normales o promedios queson incluidos en los modelos tradicionales de riesgo. Los eventos raros y ex-tremos se comportan de manera diferente a la normalidad. Aunque la relaciónentre las medidas de riesgo y eventos extremos ha sido una preocupación, debastante tiempo atrás, ninguno de los modelos tradicionales había tratado ade-cuadamente la modelación de la distribución en las colas. Mediante el uso deEVT buscamos capturar las características propias de esta distribución.La evidencia empírica muestra un comportamiento asimétrico en algunas

de series de los retornos activos. La EVT también proporciona un esquema detrabajo conveniente para el tratamiento de las asimetrías en la distribución de lascolas. La asimetría es importante en la gestión del riesgo porque las decisiones�nancieras pueden ser bien diferentes dependiendo la posición �nanciera que seanalice.Este documento esta organizado de la siguiente manera. En la sección 2

presentamos un análisis no paramétrico de los índices bursátiles con el �n deenfocarnos en las características principales de nuestro interés; los movimientosextremos. En la sección 3 presentamos el marco teórico de la EVT. Explicamoslos dos modelos mas conocidos para ajustar distribuciones extremas; GEV yGPD (Generalized Extreme Value y Generalized Pareto Distribution, por sus

5

siglas en ingles). Posteriormente, en la sección 4 ajustamos la GPD a los exce-sos de los rendimientos de los diez índices bursátiles y analizamos sus ventajasen la gestión del riesgo. En la sección 5 calculamos el VaR con nueve mode-los para cada uno de los índices bursátiles a diferentes quantiles. Los modelosVaR se diferencian por los supuestos utilizados como por ejemplo el tipo devolatilidad (condicionada o no condicionada) o la distribución de los rendimien-tos (empírica, valores extremos, normal o t-student). En la sección 6 aplicamosun backtesting para evaluar el desempeño relativo de cada modelo VaR a difer-entes quantiles, para cada cola de la distribución y para cada índice bursátil.Finalmente, presentamos las conclusiones.

2 Análisis exploratorio de los datos

La primera tarea de todo trabajo empírico consiste en explorar los datos. Para elcaso especí�co de EVT esta labor es fundamental dado que la principal fuente deinformación corresponde a los datos de eventos raros generados tanto en períodosnormales como de crisis. EVT no hace más que extraer de forma e�cientey consistente información acerca de eventos extremos para hacer estimacionessobre los mismos. El análisis exploratorio de los datos permite tener un primeracercamiento sobre el comportamiento de las distribuciones de los índices en lascolas.Con el propósito de analizar el comportamiento dinámico entre riesgo y

rentabilidad e inferir alguna estructura diferente hemos seleccionado 10 índicesdiarios bursátiles de los cuales cinco corresponden a economías emergentes ycinco a economías desarrolladas.La Tabla 1 muestra la estadística descriptiva de los rendimientos diarios de

los diez índices. Los rendimientos diarios son de�nidos como:

ri;t = log

�xi;txt;t�1

�donde xi;t, es el valor de cierre diario del índice bursátil en el país i en el

tiempo t.

Estadisticas S&P FTSE N225 GDAXI IBEX MERV BVSP MXXHangSeng BVC

N 2850 2859 2782 2868 2843 2799 2799 2835 2816 1360Media 0.023% 0.014% ­0.012% 0.031% 0.036% 0.042% 0.081% 0.078% 0.023% 0.136%Desviación estándar 1.146% 1.157% 1.471% 1.564% 1.400% 2.218% 2.274% 1.592% 1.738% 1.616%Exceso de Curtosis 2.860 2.364 1.750 2.499 2.809 5.625 13.974 6.677 9.798 20.620Coeficiente de asimetría ­0.079 ­0.148 ­0.094 ­0.168 ­0.201 ­0.164 0.387 ­0.064 0.116 ­0.102Rango 12.68% 11.54% 14.89% 14.98% 14.56% 30.88% 46.04% 26.46% 31.98% 31.38%Mínimo ­7.11% ­5.64% ­7.23% ­7.43% ­7.84% ­14.76% ­17.21% ­14.31% ­14.73% ­13.25%Máximo 5.57% 5.90% 7.66% 7.55% 6.72% 16.12% 28.83% 12.15% 17.25% 18.13%

Tabla 1. Resumen estadística descriptiva rendimientos diarios

6

El periodo de la muestra para todos los índices excepto BVC es del02/01/97 al 30/04/08. La información corresponde a precios diarios decierre tomados de www.�nance.yahoo.com. S&P: Standard and Poors 500.Índice bolsa de valores Nueva York y NASDAQ (E.U); FTSE: FTSE100Índice bolsa de valores de Londres (Inglaterra).; NN225: NIKKEI 225Índice bolsa de Valores de Tokio; GDAXI: DAX30 Índice bolsa de val-ores de Frankfurt (Alemania); IBEX: IBEX-35 Índice bolsa de valores deMadrid (España); MERV: Indice Bolsa de Valores de Buenos Aires (Ar-gentina); BVSP: Indice Bolsa de Valores de Sao Paulo (Brasil); MXX:Indice Bolsa de Valores de Mexico; HangSeng: Indice Bolsa de Valoresde Hong Kong; BVC: Indice Bolsa de Valores de Colombia. (15/07/2002-08/02/2008)

Los mayores promedios diarios corresponden a los índices de Colombia (0.13%),Brasil (0.082%), México (0.078%) y Argentina (0.035%). Estos rendimientos di-arios implican un valor compuesto anualizado de 41%, 23%, 22% y 12% respec-tivamente. Igualmente, son los índices de economías emergentes quienes pre-sentan las mas altas desviaciones estándar; Brasil (2.26%), Argentina (2.21%) yHong Kong (1.73%). Solamente Japón presenta un promedio de retorno diarionegativo.De acuerdo con la muestra, todos los índices presentan excesos de curtosis,

lo cual sugiere que la distribución del rendimiento diario de los índices tienecolas pesadas. El exceso de curtosis es menor para los índices de los paísesdesarrollados siendo Japón el menor (1.8). Por el contrario, son los índicesde países emergentes donde existe mayor exceso de curtosis como el caso deColombia (20.6), Brasil (14.1) y Hong Kong (9.8). La Figura 1 presenta losgrá�cos de la PDF para los índices S&P y BVC comparando las distribucionesempírica, ajustada mediante la densidad de Kernel, y normal donde claramenteobservamos el comportamiento de exceso de curtosis y colas mas pesadas

­0.08 ­0.06 ­0.04 ­0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.080

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Distribucion Normal Vs EmpiricaSP

NormalEmpirica

a­0.15 ­0.1 ­0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

20

25

30

35

40

Distribuc ion Normal Vs EmpiricaBVC

NormalEmpirica

b

Figura 1. Distribución Normal Vs Empírica. Panel a: S&P; panel b: BVC. La

distribución empírica ha sido ajustada mediante la densidad de Kernel.

7

Igualmente, analizamos el QQ-plot y con�rmamos la presencia de distribu-ciones con colas mas pesadas que la distribución normal en ambas lados de ladistribución, siendo más notorio en el caso de los índices de los países emer-gentes.

­4 ­3 ­2 ­1 0 1 2 3 4­0.08

­0.06

­0.04

­0.02

0

0.02

0.04

0.06

quant iles de dis tribucion es tadar norm al

dist

ribuc

ion 

empi

rica 

(o)

Indice log­retornos diarios:SP

QQ­plot

a­4 ­3 ­2 ­1 0 1 2 3 4

­0.15

­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

quantiles  de dis tribucion estadar normal

dist

ribuc

ion 

empi

rica 

(o)

Indice log­retornos diarios :BVC

QQ­plot

b

Figura 2. QQ-plot. Panel a.: S&P; panel b: BVC

En cuanto a la asimetría también existe una clara diferencia en el com-portamiento de los retornos de los índices entre los dos tipos de economías.Mientras existe un comportamiento de asimetría negativa en todos los índicesde economías desarrolladas, indicando que los rendimientos se extienden máshacia los valores negativos que a los positivos, algunos índices de países emer-gentes presentan un comportamiento diferente con asimetrías positivas como elcaso de Brasil (0.39) y Hong Kong (0.12). Este elemento es importante porquelas medidas de riesgo deben tener en cuenta el comportamiento asimétrico enlas colas negativa y positiva de la distribución de los rendimientos de los índices.Los valores más extremos se encuentran en los índices de las economías

emergentes. BVSP presenta el rango más alto de valores (46%) al incluir losvalores máximo (28%) y mínimo (17%). BVC, Hang Seng y MERV tambiénincluyen valores máximo y mínimo extremos. Por su parte los índices de lospaíses desarrollados tienen los rangos mas pequeños y sus valores máximo ymínimo se encuentran alrededor de 7%.Usamos la herramienta box-whisker plot que permite hacer una rápida com-

paración entre los índices y llegamos a conclusiones similares. La Figura 3representa un box-whisker estándar. El box incluye el 50% de las observacionesde los índices. Los whisker están representados por las líneas que van desde el�nal del box. Esta magnitud representa 2 veces el interquartil de cada índice.Finalmente, se encuentran los outliers que son mostrados con cruces y corre-sponden a los rendimientos más allá, aproximadamente, del 95% de los retornosa cada lado de la distribución.

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­0.15 ­0.1 ­0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

SP

FTSE

N225

GDXAI

IBEX

MERV

BVSP

MXX

Hang Seng

BVC

log­retornos diarios

Indi

ces 

burs

atile

s

Box ­ Whisker plot para los log­retornos diarios de los indices

Figura 3. Box-Whisker rendimientos diarios

El grá�co sugiere que las distribuciones de los rendimientos de índices deeconomías emergentes presentan mayor dispersión y valores más extremos, tantopositivos como negativos. El número de outliers en las economías de paísesdesarrollados es menor en comparación con los de economías emergentes. Losoutliers constituyen la base de la información para la estimación de los modelosde valores extremos.Los índices de economías emergentes presentan las más altas caídas y alzas.

Los valores máximos corresponde a la cola positiva y algunos indices de paísesemergentes presentan asimetría positiva. Por el contrario, los índices de paísesindustrializados presentan asimetría negativa.Los anteriores elementos sugieren dos elementos importantes de análisis. En

primer lugar, parecen existir estructuras diferentes en las colas de las distribu-ciones entre los índices de economías desarrolladas y emergentes. En segundolugar, existe presencia de asimetría en las colas de las distribuciones siendo,por lo tanto, importante distinguir los comportamientos de las dos colas de ladistribución.

3 Teoría de los Valores Extremos �EVT-

En estadística un valor extremo corresponde a la más baja (mínima) o másalta observación (máxima) durante un período de tiempo. En los mercados�nancieros los movimientos extremos en los precios o retornos de los activospueden ser producidos por correcciones del mercado durante períodos de ne-gociación ordinarios; así como en períodos extraordinarios de alta volatilidadproducidos por crisis �nancieras (ej. crash en las bolsas de valores, mercadosde bonos, mercados de divisas, etc). Una medida de riesgo debe cubrir el com-portamiento de los rendimientos máximos (mínimos) de los activos en las dosclases de períodos de negociación.El comportamiento de eventos extraordinarios es la preocupación central de

EVT proporcionando unos aportes interesantes en la gestión del riesgo. Por

9

ejemplo, a través de EVT se ajusta una distribución de retornos extremos deforma independiente de los valores centrales de la distribución. Este resultadoes fundamental y diferente de las medidas de riesgo VaR tradicional dondese utiliza toda la distribución, lo cual puede sesgar los valores estimados enla medida en que los rendimientos de las colas pueden tener una estructuratotalmente diferente a los del resto de la distribución.Necfti (2000) describe tres razones que argumentan la utilidad de contar

con una teoría que proporcione una forma funcional para la distribución de loseventos extremos en la gestión del riesgo �nanciero.En primer lugar, los eventos extremos son por de�nición raros y se presentan

en las colas de las distribuciones. Esto implica que se cuenta con muy pocosdatos y, por lo tanto, las densidades empíricas no son adecuadas. Contar conuna forma funcional de la distribución de los extremos es de gran utilidad parapoder hacer análisis de sensibilidad con escenarios que incluyan rentabilidadesmás allá de las observadas empíricamente.En segundo lugar, la evidencia empírica demuestra que las distribuciones

de los rendimientos de los activos �nancieros no son Gaussianas y por tantotienen colas mas pesadas. Por ello, es conveniente usar un modelo que aproximeasintóticamente las colas de las distribuciones de acuerdo con su propio compor-tamiento y no asumiendo formas funcionales erróneas acerca de la distribucióncomo el caso del supuesto de normalidad.En tercer lugar, el comportamiento de los rendimientos en las colas puede

ser originado por la presencia, en los mercados, de mecanismos estructuralmentediferentes a los de periodos normales. En períodos extremos las formas tradi-cionales de gestión de carteras podrían no funcionar muy bien dado que lascaracterísticas de la distribución cambian. Ello hace útil y conveniente separarlas estimaciones de las colas del resto de la distribución, y esto es lo que interesaprincipalmente a la gestión de riesgo.Hay dos clases de distribuciones para ajustar valores extremos; GEV y GPD

(Generalized Extreme Value y Generalized Pareto Distribution, por sus siglasen ingles). Cada distribución tiene un método propio para extraer los valoresextremos. A continuación presentamos los aspectos teóricos de los dos modelosy describimos las expresiones analíticas que utilizamos en la estimación de ajustede las distribuciones de los valores extremos para los rendimientos de los diezíndices de la muestra.

3.1 Generalized Extreme Value - GEV-

Los modelos clásicos EVT se ocupan de los límites de las distribuciones quenormalizan máximos (y mínimos) de variables aleatorias independientes e idén-ticamente distribuidas (i.i.d). Este método se conoce con el nombre Block Max-ima porque los datos son divididos en m bloques con n observaciones corre-spondientes a n intervalos de negociación. Los valores extremos son de�nidoscomo los máximos de las n variables aleatorias X1; X2; :::; Xn y siendo Mn =max(X1; X2; :::; Xn) el máximo de los n intervalos de negociación.

10

La EVT busca ajustar una distribución límite para Mn � ((x � �)=�) queconverja a una distribución normalizada cuando n ! 1. Esta convergenciasigni�ca que existe una secuencia de constantes reales (dn) y (cn) tales que:

limn!1

P ((Mn � dn) =cn 6 x) = limn!1

Fn (cnx+ dn) = H(x)

La única distribución normalizada corresponde la familia de GEV. Si ladistribución de Block Maxima F converge en H�, entonces F pertenece alMDA (Maximun Domain of Atracction, por sus siglas en ingles) de H. (F 2MDA(H�)). La función de distribución para GEV es dada por [Jenkinson(1955)].

H�(x) =

�exp(�1 + �x)�1=�; � 6= 0

exp(�e�x); � = 0

�donde, 1 + �x > 0. Una distribución de tres parámetros es obtenida para

H�;�;�(x) := H� ((x� �) =�). Un parámetro location (es la media de los valoresmaximos) � 2 R, un parámetro de escala � > 0, y un parámetro shape �. Estadistribución es generalizada en el sentido que subsume tres tipos de distribu-ciones dependiendo el valor del parámetro �. Cuando � > 0, la distribución esFrechet ; cuando � = 0 la distribución es Gumbell ; y cuando � < 0 la distribu-ción esWeibull. La cola de la distribuciónWeibull es �nita (short-tail) mientraspara las distribuciones Gumbell y Frechet son in�nitas. La distribución Gum-bell declina exponencialmente mientras la Frechet sigue una función power ypor tanto declina más lentamente. La Figura 4 ilustra grá�camente la funciónde distribución y la densidad de probabilidad de GEV para cada una de los trescasos comentados anteriormente.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

5

10

15

20

25

30

35

40

45

rendimientos

PDF 

h(x)

PDF h(x) GEV Sigma = 0.01

Frechet. ksi= 0.45

Weibull. ksi= ­0.45

Gumbel. ksi=0

a0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rendimientos

Fun

cion

 de 

Dis

tribu

cion

 H(x

)

Funcion de Distribucion H(x) GEV. Sigma = 0.01

Frechet. ksi=­0.45

W eibul l. ksi=­0.45

Gumbel. ksi=0

b

Figura 4. Panel a. PDF h(x) GEV. Panel b. Función de distribución CFD H(x) GEV.

Ilustra los tres tipos de distribución: Frechet (�> 0.45); Weibull (� = - 0.45); Gumbell (� =0). En los tres casos � = 0.01.

Gnedenko (1943) dio las condiciones necesarias y su�cientes para que lafunción de distribución F (x) deMn pudiera ser asociada con uno de los tres tiposde distribución mencionados. Esencialmente todas las distribuciones continuasestán en MDA(H�) para algún valor de � y el comportamiento de las colas de

11

la distribución F (x) determina el tipo de distribución GEV al que converge losmáximos.La familia Frechet incluye las distribuciones de colas mas pesadas como

Pareto y t-Student, siendo por ello la distribución de mayor interés en �nanzasen el área de gestión del riesgo. Las distribuciones con colas livianas como lanormal o lognormal son recogidas por la familia Gumbell. Finalmente, la familiaWeibull al tener cola �nita es de menor interés aunque en los modelos de riesgode crédito tiene aplicaciones.La distribución GEV puede ser estimada a través de métodos paramétricos

y no paramétricos. Como método no paramétrico se encuentra el estimador deHill; sin embargo, este solo es valido si tenemos una distribución con colas pe-sadas (Distribución Frechet). La distribución GEV puede ser ajustada mediantemáxima verosimilitud mediante:

l (�; �; �;Mn1; :::;Mnm) =mXi=1

lnh�;�;� (Mni)

= �m ln� ��1 +

1

�

� mXi=1

ln

�1 + �

Mni � ��

��

mXi=1

ln

�1 + �

Mni � ��

��1=�Las restricciones de maximización son:

� > 0;

�1 + �

Mni � ��

�> 0

La determinación entre m y n (tamaño de los bloques) implica un trade-o¤ .De�nir un alto n permite una mejor y adecuada aproximación de Block Maximaa una distribución GEV y menor sesgamiento en la estimación de los parametros.De�nir un alto m proporciona más datos para la estimación a través de máximaverosimulitud con menor varianza de los parámetros estimados.Niveles de retornosLas distribuciones GEV pueden ser utilizadas para analizar las posibles pér-

didas principalmente de dos formas:1. Problema de estimación del nivel de retorno. En este modelo se de�ne la

frecuencia de ocurrencia del evento extraordinario y estimamos el nivel (rn;k)que esperamos sea excedido en un n-bloques para todos los k n-bloques enpromedio. A partir de la GEV podemos estimar rn:k mediante:

rn:k = H�1�;�;�

�1� 1

k

�= �+

�

�

�� ln

�1� 1

k

����� 1!

2. Problema de retorno de período. En este segundo modelo se de�ne eltamaño del evento extraordinario y estimamos la frecuencia de su ocurrenciakn;u mediante

kn;u = 1= �H�;�;�

12

3.2 Generalized Pareto Distribution �GPD-

El método Block Maxima para ajustar GEV tiene su principal de�ciencia enel desperdicio de muchos datos al tomar solo los máximos de cada bloque paraderivar la distribución. Igualmente existe di�cultad en determinar la longitudde los periodos de negociación que afectan la estimación.Por tal motivo son preferidas las distribuciones GPD (Generalized Pareto

Distribution) porque se centran en la magnitud de excedencias sobre un thresh-old y el número de veces que esta situación ocurre. De esta forma no se desperdi-cia información de los extremos. En este trabajo estimamos las distribucionesextremas de los rendimientos de los índices mediante GPD. La función de dis-tribución de GPD es dada por: [Balkema y Haan (1974) y Pickands (1975)]

G�;�(x) =

(1� (1 + �x

� )�1=�; � 6= 0

1� exp(�x� ); � = 0

)donde � > 0, y x � 0 cuando � � 0 y 0 � x � ��=� cuando � < 0. Los

parámetros � y � son llamados shape y escala, respectivamente. La distribuciónGPD es generalizada en el sentido de GEV porque subsume un número especialde casos dependiendo el valor del �. Cuando � > 0 entoces G�;� incluye dis-tribuciones con colas pesadas como Pareto (con � = 1=�yk = �=�) o t-student ysu cola declina mas lentamente como una función power. Cuando � = 0 incluyedistribuciones como la normal o lognormal y su cola declina de forma exponen-cial; y cuando � < 0 se tiene una distribución con cola �nita (short-tailed) comolas distribuciones uniforme o beta. La Figura 5 ilustra grá�camente la funciónde distribución y la densidad de probabilidad de GPD para cada una de los trescasos comentados anteriormente.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

rendimientos

PD

F g(

x)

PDF g(x) GPD sigma = 0.01

Pareto. ksi= 0.45

Pareto Tipo II. ksi= ­0.45

Exponencial. ksi=0

a0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rendimientos

Func

ion 

de D

istr

ibuc

ion 

G(x

)

Funcion de Distribucion H(x) GPD

Pareto. ksi= 0.45

Pareto Tipo II. ksi= ­0.45

Exponencial. ksi=0

b

Figura 5. Panel a. PDF h(x) GEV. Panel b. Función de distribución CFD H(x) GEV

. Ilustra los tres tipos de distribución: Pareto (� = 0:45); Pareto Tipo II (� = � 0:45);exponencial (� = 0). En los tres casos � = 0:01.

El papel de la distribución GPD es un modelo natural para la distribución deexcesos sobre un alto threshold. Si X es una variable aleatoria con una función

13

de distribución F , la distribución de los excedentes (Fu(x)) sobre un threshold(u) es la siguiente

Fu(x) = P (X � u 6 xjX > u) =F (x+ u)� F (u)

1� F (u)

para 0 6 x < xF � u, donde xF � 1 es el punto �nal de la derecha deF . Balkema y Haan (1974) y Pickands (1975) estudiaron el comportamientoasintótico de los excedentes y probaron para una gran clase de distribucionesde Fu(x) que la distribución limite en la medida que el threshold crece es unaGPD. Fu(x) describe la distribución del exceso de perdidas sobre un threshold(u), dado que u es excedido.

4 Estimación GPD

Dadas unas perdidas X1; :::; Xn de F , un numero aleatorio (Nu) excederá elthreshold (u). Renombramos estos datos ~X1;:::; ~XNu. Para cada uno de estosdatos calculamos la cantidad Yj = Xj � u que representa el exceso de pérdidas.Buscamos estimar los parámetros de GPD para encontrar la distribución de losNu excesos de perdida. Iniacialmente suponemos que los excesos se comportani.i.d; posteriormente analizamos el caso en que exista autocorrelación o hetero-cedasticidad. Utilizamos el método de máxima verosimilitud para la estimaciónde GPD. La función del logaritmo de la verosimilitud esta dado por:

lnL(�; �;Y1n :::; Yn) =

NuXj=1

ln g�;�(Yj)

= �Nu ln� ��1 +

1

�

� NuXj=1

ln

�1 + �

Yj�

�Las restricciones de maximización son:

� > 0;

�1 +

�Yj�

�> 0

4.1 Selección del threshold

Uno de los pasos fundamentales en la estimación de GPD es la determinacióndel threshold (u). Existe un trade-o¤ entre el sesgamiento de la distribucióny la varianza de los parámetros de la distribución. Escoger un threshold bajopodría sesgar la estimación y no ajustar una GPD. Por el contrario, seleccionarun threshold alto podría generar varianzas muy grandes para los parámetros dela distribución al reducir considerablemente el número de observaciones para laestimación.

14

Usamos el gra�co de la función de la media muestral como herramienta deanálisis en la determinación de u. La función esta determinada por:

en(u) =

Pni=1 (Xi � u) IfXi>ugPn

i=1 IfXi>ug

La función expresa la suma de los excesos sobre u dividido por el número deexcesos.Existen tres situaciones ideales en la forma del grá�co. En primer lugar,

tenemos una tendencia lineal positiva que indica una GPD con colas pesadasy con parámetro de � > 0. Si la tendencia es horizontal indica una GPDexponencial y con parámetro de � = 0. Finalmente, si la tendencia es linealnegativa indica una GPD de colas �nitas con � < 0.Sin embargo, estas situaciones ideales en todos los casos no son tan evidentes

y se requiere un poco de análisis para determinar un adecuado threshold. Enrealidad, en la práctica muchos de los grá�cos pueden verse muy alejados de lassituaciones ideales. Los datos en las colas pueden variar mucho y no podemosdeterminar a priori a partir de cual threshold encontraremos un ajuste paraGPD. De hecho, algunos de los valores más extremos pueden distorsionar elgra�co y por lo tanto a veces es mejor omitirlos con �nes de determinar unadecuado threshold. La Figura 6 presenta los grá�cos de la función de la mediamuestral de los excesos para los índices BVC, BVSP, S&P, DAX y N225.

15

0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.0550.015

0.02

0.025

0.03

Media muestral de   los excesos para retornos negat ivosBVC

Threshold

Med

ia E

xces

os

a0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

Media muestral de   los excesos  para retornos posit ivos

BVC

Threshold

Med

ia d

e ex

ceso

s

b

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.0550.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

Media muestral de los excesos para retornos negativosGDAXI

Threshold

Med

ia e

xces

os

c0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0.0095

0.01

0.0105

0.011

0.0115

0.012

0.0125

0.013

0.0135

0.014

Media muestral de los exceso para retornos positivosGDAXI

Threshold

Med

ia E

xces

os

d

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

Media muestral de excesos para retornos negativosSP

Threshold

Med

ia e

xces

os

e0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10x 10

­3

Media muestral excesos para retornos positivosSP

Threshold

Med

ia e

xces

os

f

0.018 0.02 0.022 0.024 0.026 0.028 0.03 0.032 0.034 0.036 0.0380.008

0.0085

0.009

0.0095

0.01

0.0105

0.011

0.0115

0.012

Media muestral excesos para retornos negativosN225

Thresho ld

Med

ia e

xces

os

g0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0.008

0.0085

0.009

0.0095

0.01

0.0105

0.011

0.0115

0.012

Media muestra excesos para retornos positivosN225

Threshold

Med

ia e

xces

os

h

0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

Media muestral  excesos para retornos negativosBVSP

Threshold

Med

ia e

xces

os

i0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

Media muestral excesos para retornos positivosBVSP

Threshold

Med

ia e

xces

os

j(1)

Figura 6. Gra�co de la función de la media muestral de los excesos. En el eje y se

encuentra la media de los excesos. En el eje x los threshold. Panel a. BVC excesos negativos.

Panel b. BVC excesos positivos. Panel c. DAX excesos negativos. Panel d. DAX excesos

positivos. Panel e. S&P excesos negativos. Panel f. S&P excesos positivos. Panel g. N225

excesos negativos. Panel h. N225 excesos positivos. Panel i. BVSP excesos negativos. Panel

j. BVSP excesos positivos.

16

En general, observamos diferencias en el comportamiento entre las colas pos-tivas y negativas de los índices. En algunos grá�cos parece iniciar una tendencialineal a determinados niveles la cual se revierte con threshold más altos y di-�cultan la selección. La tendencia lineal en los índices de países desarrolladosparece empezar a partir de quantiles mas altos que en los de países emergentes.Destacamos el comportamiento del índice Alemán en los excesos negativos

donde a partir de un threshold el gra�co empieza a mostrar una tendencia linealnegativa, sugiriendo con ello un parámetro � < 0 e indicando una distribución deextremos de cola �nita. Esta característica es con�rmada mas adelante cuandopresentemos los resultados de los parámetros de la estimación.Analizamos los resultados obtenidos y de�nimos los threshold para cada

índice. La Tabla 2 presenta los valores de seleccionados para cada unas de lascolas negativa y positiva, incluyendo los quantiles y el número de rendimientosque exceden el threshold.

quantil Threshold N quantil Threshold NSP 0.030 2.25% 85 0.965 2.12% 100FTSE 0.050 1.89% 143 0.965 2.18% 100N225 0.060 2.26% 167 0.955 2.43% 125DAXI 0.035 2.85% 100 0.965 2.81% 100IBEX 0.050 2.28% 142 0.975 2.95% 71MERV 0.051 3.41% 143 0.970 4.23% 84BVSP 0.050 3.44% 140 0.955 3.32% 126MXX 0.050 2.41% 142 0.955 2.55% 128HANG 0.030 3.42% 84 0.955 2.66% 127BVC 0.059 2.02% 80 0.944 2.02% 76

IndiceCola negativa Cola positiva

Tabla 2. Determinación de los Threshold para cada cola de la distribución. N corresponde

al número de rendimientos que exceden el Threshold en cada cola y se utilizan en el ajuste de

GPD

Ajustamos la GPD para cada uno de los índices. La Figura 7 presenta losgrá�cos de las distribuciones empíricas de los excesos y el ajuste GPD para lascolas negativa y positiva. En el eje X se encuentran los excesos de rendimientosdiarios sobre el threshold de�nido para cada índice. En el eje Y encontramosla CDF [G(x)]. En general, observamos que todos los índices presentan unadistribución de extremos negativa mas pesada que la de extremos positivos.Como excepción a este comportamiento encontramos los índices S&P, MXX yHang Seng, donde la distribución de excesos positivos es mas pesada que la deexcesos negativos.Las diferencias en el ajuste de GPD para cada cola de los excesos con�rman

el efecto de asimetría y la importancia de calcular medidas de riesgo de formaseparada de acuerdo con la distribución de cada cola.Otra característica interesante de las distribuciones extremas de algunos

índices corresponde a un cambio en el peso entre las distribuciones negativay positiva en los percentiles más altos. Por ejemplo, los índices de Colombia y

17

Brasil presentan colas en la distribución positiva mucho mas pesadas en los per-centiles superiores a 0.96. Lo anterior es importante para analizar las medidasde riesgo y su comportamiento a diferentes percentiles.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosBVC

Excesos

CDF 

Fu(x

­u)

GPD negativosempirica negativosGPD positivosempirica positivos

a0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosBVSP

Excesos

CDF F

u(x­u) GPD negativos

empirica negativosGPD positivosempirica positivos

b

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosFTSE

Excesos

CDF

 Fu(

x­u) GPD negativos

empirica negativosGPD positivosempirica positivos

c0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosSP

ExcesosCD

F Fu

(x­u)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

d

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosGDAXI

Excesos

CDF 

Fu(x

­u)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica posit ivos

e0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosMXX

Excesos

CDF 

Fu(x

­u)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

f

Figura 7. Ajuste distribuciones GPD y distribuciones empíricas para excesos de rendimien-

tos negativos y positivos. Eje x corresponde a los excesos de rendimientos. Eje y correspondea la función de distribución GPD [G(x)]. Línea y puntos rojos; GDP y distribución empírica

excesos negativos, respectivamente. Línea y cruces azules; GPD y distribución empírica exce-

sos positivos, respectivamente. Panel a. BVC; panel b. BVSP; panel c. FTSE; panel d. S&P;

panel e. DAX; panel f. MXX.

Las Tablas 3 y 4 presentan los valores estimados para los parámetros � y� con un intervalo de con�anza del 95%. Los valores obtenidos para � indicanla existencia de diferentes momentos para cada una de las distribuciones de lascolas negativa y positiva de los índices. Todos los índices tienen como mínimo losdos primeros momentos de la distribución dado que ningún valor � es superiora 0:5. Sin embargo, el índice de Colombia en las rentabilidades positivas podríano tener un segundo momento �nito dado que el valor del parámetro � es de0:492.

18

IntervaloInferior ξ

IntervaloSuperior

IntervaloInferior ξ

IntervaloSuperior

SP 0.047­ 0.189 0.426 0.250­ 0.047 0.345FTSE 0.241­ 0.053­ 0.136 0.218­ 0.006 0.230N225 0.148­ 0.025 0.197 0.110­ 0.085 0.280DAXI 0.478­ 0.294­ 0.111­ 0.144­ 0.133 0.409IBEX 0.066­ 0.136 0.337 0.244­ 0.090 0.423MERV 0.099­ 0.111 0.321 0.157­ 0.100 0.356BVSP 0.031 0.242 0.452 0.102 0.334 0.565MXX 0.001 0.189 0.376 0.067­ 0.125 0.316HANG 0.025 0.306 0.588 0.012 0.218 0.424BVC 0.028 0.354 0.679 0.133 0.492 0.850

Indice

Cola negativa Cola positiva

Tabla 3. Estimación del parámetro � de las distribuciones ajustadas GPD para los excesosde los rendimientos negativos y positivos de cada índice.

IntervaloInferior β

IntervaloSuperior

IntervaloInferior β

IntervaloSuperior

SP 0.004 0.006 0.008 0.005 0.008 0.011FTSE 0.007 0.009 0.011 0.005 0.007 0.010N225 0.007 0.009 0.011 0.006 0.008 0.010DAXI 0.013 0.017 0.022 0.007 0.009 0.013IBEX 0.007 0.008 0.011 0.005 0.008 0.012MERV 0.013 0.017 0.022 0.012 0.017 0.024BVSP 0.010 0.013 0.017 0.009 0.012 0.016MXX 0.007 0.009 0.012 0.009 0.011 0.015HANG 0.007 0.010 0.014 0.009 0.012 0.015BVC 0.007 0.011 0.016 0.005 0.007 0.011

Indice

Cola negativa Cola positiva

Tabla 4. Estimación del parámetro � de las distribuciones ajustadas GPD para los excesosde los rendimientos negativos y positivos de cada índice.

Observamos que los parámetros � mas altos se encuentran en los índices demercados emergentes, tanto en las colas negativa como positiva, indicando queson estos mercados los que tienen mayor probabilidad de experimentar eventosextremos mas fuertes que los índices de países desarrollados.Los mayores valores de � se encuentran en las colas negativas de Colom-

bia (0.354), Hong Kong (0.306), y Brasil (0.242). En la mayoría de países elparámetro � es mas alto para la distribución de excesos negativos que para la dela positivos, indicando que son los eventos negativos más extremos y probables.Como excepción a este comportamiento se encuentran los índices de Colombiay Brasil en donde el parámetro � de los excesos positivos es mayor. Lo anteriorindica una mayor probabilidad de eventos más extremos en los rendimientospositivos. Este comportamiento es el esperado de acuerdo con el análisis noparamétrico realizado en la primera parte del trabajo.Destacamos el parámetro � < 0 del índice DAXI (�0:2904) en los excesos de

rendimientos negativos que indican una cola �nita (short-tail) en la GPD. Esteaspecto se observa en el grá�co de la función de la media muestral de los excesos

19

en donde los valores más extremos presentan una relación lineal negativa con elthreshold. Por su parte, los índices FTSE y N225, de acuerdo con el parámetro �,son los mercados menos riesgosos en ambas colas de la distribución. Sus valoresestan cercanos a cero indicando una distribución parecida a la exponencial. Encuanto al IBEX y MERV, presentan un riesgo similar en ambas colas aunqueun poco mayor en las distribuciones de excesos positivos.En conclusión, observamos que los índices de países emergentes tienen mayor

probabilidad de presencia de eventos extremos tanto en las colas negativa comopositiva. Los índices de países desarrollados en promedio tienen comportamien-tos menos extremos y en algunos casos sus colas parecen comportarse de formaexponencial o �nita (short tail). Igualmente, tienen un comportamiento massimétrico en las colas con excepción del S&P donde hay una importante difer-encia entre las colas negativa y positiva, siendo la primera mas riesgosa.

4.2 Estimación de rentabilidades con GPD

Una vez ajustada la distribución GPD, esta puede ser utilizada como apoyo enla gestión de carteras, dado que un gerente de un fondo de inversión no soloesta interesado en estimar el retorno esperado de un activo en condiciones �nor-males�de mercado sino también en estimar el retorno esperado en condiciones�extremas�. Mediante la GPD un gerente podría estimar el impacto sobre subalance si ocurriera un escenario de crisis, estimando las rentabilidades esper-adas en las colas para diferentes percentiles.La Tabla 5 presenta las estimaciones de la rentabilidad esperada al 99% para

los diez índices bursátiles en cada una de las colas negativa y positiva con unintervalo de con�anza del 95%. Suponiendo años con 252 días de negociacióneste percentil estimaría la ocurrencia de un valor superior a la rentabilidadesperada en aproximadamente 3 días cada año. Las estimaciones más altas derentabilidad esperada se encuentran en los índices de países emergentes.

IntervaloInferior

rentabilidadesperada

IntervaloSuperior

IntervaloInferior

rentabilidadesperada

IntervaloSuperior

SP 4.01% 6.53% 13.72% 3.58% 6.04% 14.39%FTSE 3.78% 5.30% 8.39% 3.72% 5.51% 10.04%N225 4.62% 6.60% 10.67% 4.58% 6.79% 11.87%DAXI 5.24% 7.06% 10.67% 5.02% 8.65% 20.42%IBEX 4.85% 7.64% 14.28% 4.43% 7.52% 20.09%MERV 8.25% 13.67% 26.87% 8.26% 14.24% 32.11%BVSP 8.35% 14.37% 29.62% 8.54% 16.22% 37.98%MXX 5.74% 9.18% 17.05% 6.03% 9.62% 17.85%HANG 6.80% 13.33% 36.39% 6.88% 11.91% 24.40%BVC 5.67% 14.64% 53.46% 5.13% 14.94% 66.12%

Indice

Cola negativa Cola positiva

Tabla 5. Rentabilidades esperadas de acuerdo con GPD para las rentabilidades negativas

y positivas con intervalo de con�anza de 95%.

Es importante destacar que la estimación de las rentabilidades esperadasde acuerdo con GPD depende de las características asociadas con su ajuste;

20

es decir los parámetros � y �. Por ejemplo, el índice DAXI parece tener unadistribución �nita en la cola negativa, indicando un límite en la rentabilidadesperada. Mientras en el percentil 0:95 la rentabilidades esperadas de las colasnegativa y positiva son muy parecidas (6:17% y 6:20) en el percentil 0:999 larentabilidad esperada para la cola positiva es mucha mas alta (13:21%) que ladel lado negativo (7:78%).También es importante analizar el comportamiento entre rentabilidades neg-

ativas y positivas a lo largo de la distribución porque este puede variar a difer-entes percentiles. La Figura 8 muestra el ajuste de GPD entre los percentiles másaltos para los índices de BVC, BVSP, IBEX, N225, DAX y S&P. Empezamosanalizando el IBEX, el cual presenta un comportamiento donde la GPD paraexcesos de rendimientos negativos es más pesada que para los excesos positivosindicando mayor riesgo en los movimientos negativos.Los índices de Colombia (BVC) y Brasil (BVSP) en los percentiles más al-

tos de las distribuciones presentan distribuciones mas pesadas en los excesospositivos. Aproximadamente, abajo del percentil 0:98 las distribuciones de losexcesos negativos indican movimientos más altos y probables en la parte nega-tiva.Una situación diferente ocurre con los índices S&P y DAXI donde abajo del

percentil 0:97 la distribución de excesos positivos es mas pesada; sin embargosuperado el limite el comportamiento de la distribución de los rendimientoscambia indicando que los rendimientos negativos se vuelven mas riesgosos frentea los positivos en los percentiles mas altos.El índice japones es el que presenta mayor simetría en el comportamiento

de los rendimientos negativos y positivos; aunque, por debajo del percentil 0.98son mayores los rendimientos negativos, pero con una diferencia menor. Pasadoel percentil 0:98 el comportamiento de los rendimientos es simétrico.

21

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160.85

0.9

0.95

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosBVC

Excesos

CDF F

u(x­u)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

a0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055

0.85

0.9

0.95

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosIBEX

Excesos

CDF F

u(x­u)

GPD negativos

empirica negativosGPD positivos

empirica positivos

b

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosBVSP

Excesos

CDF F

u(x­u)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

c0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosN225

Excesos

CDF 

Fu(x­

u)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

d

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450.85

0.9

0.95

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosSP

Excesos

CDF F

u(x­u)

GPD negativos

empirica negativosGPD positivosempirica positivos

e0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

0.85

0.9

0.95

1

CDF Ajuste GPD y distribucion empirica excesosGDAXI

Excesos

CDF F

u(x­u)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

f

Figura 8. Ajuste GPD y distribución empírica para excesos de rendimientos negativos y

positivos en los percentiles más altos. Panel a: BVC; panel b: IBEX; panel c: BVSP; panel

d: N225; panel e:S&P; panel f: DAXI.

Ajustar una distribución de valores extremos permite tener una mayor ca-pacidad de análisis sobre la rentabilidad y el riesgo de una cartera de inversionesdependiendo la posición que se asuma en cada momento. Es interesante saberque algunos índices presentan un comportamiento diferente en cada una de lascolas y que este puede variar dependiendo el percentil que se quiera analizar.En conclusión, a partir del ajuste de GPD encontramos que, en nuestra

muestra, los índices de países emergentes tienden a producir movimientos másextremos que los de países desarrollados. De otro lado, los eventos extremosnegativos tienden a ser mayores que los positivos; aunque en los percentiles másaltos la tendencia puede variar para algunos índices siendo por ello importante

22

analizar el comportamiento a lo largo de la distribución y no solo analizar unpercentil especí�co.

5 Modelando Value at Risk (VaR)

Value at Risk (VaR) tal vez es la mas conocida de�nición y medida de riesgo demercado en la industria �nanciera. VaR representa un punto de la distribuciónde pérdidas y ganancias que indica que la máxima pérdida de una cartera enun día normal no excederá, determinado valor con un nivel de probabilidad (�)y para un horizonte temporal.Tres elementos son necesarios para el cálculo del VaR; la probabilidad de la

estimación (�), el horizonte temporal (�) y la distribución de probabilidad delos rendimientos. De los tres elementos, la distribución de probabilidad es elmas difícil de estimar e importante en la modelación del riesgo. En la gestiónde riesgos los valores típicos de � son 0:95 o 0:99 y el horizonte temporal �usualmente es de 1 o 10 días.En términos probabilísticos, VaR es simplemente un quantil de la distribu-

ción de pérdidas.

V aR� = inffl 2 R : P (L > l) 6 1� �g = inffl 2 R : FL(l) > �g

Una de las limitaciones del VaR se encuentra en su propia de�nición. VaR adeterminado nivel de con�anza �, no proporciona ninguna información acercade la severidad de las perdidas que ocurren con una probabilidad menor que(1��). EVT proporciona un modelo paramétrico para modelar la distribuciónde los extremos de las colas.Existen diferentes modelos para calcular el VaR, cada uno de los cuales

tiene sus propios supuestos y por ende diferentes resultados. Los métodos us-ados para calcular el VaR pueden ser agrupados bajo dos categorías; los mod-elos paramétricos y los no paramétricos. En este trabajo principalmente anal-izamos y estudiamos la estimación del VaR mediante EVT, el cual es un modeloparamétrico. La ventaja de EVT es que, contrario a otros modelos paramétricos,solo se centra en la distribución muestral de las colas sin incluir la estructuradel resto de la distribución. En la medición del riesgo lo importante es el com-portamiento de las colas, el resto no es determinante.Comparamos diferentes modelos VaR a un día para diferentes quantiles.

Los modelos utilizados corresponden a varianza-covariaza condicionada y nocondicionada con distribuciones normal y t-student ; simulación histórica (HS);y GPD condicionado y no condicionado.A continuación presentamos las características generales de los modelos de

varianza-covarianza y simulación histórica y posteriormente nos concentramosen los modelos VaR estimados mediante GPD.

23

5.1 Modelos de Varianza-Covarianza

El método varianza-covarianza es sencillo de implementar para el calculo delVaR. Existen dos posibilidades; suponiendo una volatilidad no condicionada oestática; o, por el contrario, una volatilidad condicionada o dinámica. Dependi-endo cual de los métodos es usado para la estimación podemos clasi�car el VaRcomo estático o dinámico. Empezamos explicando el primer método.Asumiendo que los retornos diarios de los índices rt, siguen un proceso mar-

tingala

rt = �t + "t

donde "t tiene una función de distribución F con media cero y varianza �t.En el escenario no condicionado �t y �t pueden ser estimados como la media yvarianza muestral por

�t =1

n

nXi=1

ri

�2t =1

n� 1

nXi=1

(ri � �t)2

La estimación del VaR es igual a

V aR� = �+ ���1(�)

donde, � denota la función de distribución normal y ��1(�) es el �-quantil de�. Dado que calculamos el VaR para períodos cortos suponemos que � = 0. Eneste caso se conoce con el nombre de VaRmean. La limitación de este métodono condicionado es que subestima el VaR a quantiles muy altos debido a que notiene en cuenta la característica de las distribuciones empíricas de los retornosde los activos que presentan colas más pesadas que la distribución normal.La distribución de � también puede ser una t-student con v grados de liber-

tad. Esta distribución tiene colas más pesadas que la normal lo cual se acercamás a la evidencia empírica de la mayoría de series de rendimientos �nancieros.En este caso el VaR será igual a

V aR� = �+ �t�1v (�)

De otro lado, las series �nancieras presentan el fenómeno conocido comoclusters de volatilidad el cual indica que existen periodos de volatilidad ex-trema seguidos de periodos de relativa calma. Un modelo VaR estático, nomide adecuadamente el riesgo, al subestimar el VaR en periodos de volatilidadextrema y sobreestimarlo en periodos de relativa calma. La Figura 9 muestralos grá�cos de los índices y los rendimientos diarios de S&P, IBEX, Hang Sengy BVC, donde se observa el fenómeno de los clusters de volatilidad. Durante elperíodo muestral existen cambios en la volatilidad, pero claramente agrupadosen periodos de alta volatilidad y periodos de baja volatilidad.

24

0 500 1000 1500 2000 2500 3000600

800

1000

1200

1400

1600

Indice

SP

Indi

ce

tiempo (dias)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000­0.08

­0.06

­0.04

­0.02

0

0.02

0.04

0.06

log­retornos diarios

SP

Indi

ce: l

og­re

torn

os d

iario

s

Tiempo (dias)

a

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10

4

Indice

IBEX

Indi

ce

t iempo (d ias)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

log­retornos diarios

IBEX

log­

reto

rnos

 dia

rios

Tiempo (dias)

b

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

Indice

HA NG SENG

Indi

ce

tiempo (dias)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000­0.15

­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

log­retornos diarios

HA NG SENG

log­

reto

rnos

 dia

rios

Tiempo  (dias)

c

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

200

400

600

800

1000

1200

Indice

BVC

Indi

cetiempo (dias)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400­0.15

­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

log­retornos diarios

BVC

log­

reto

rnos

 dia

rios

Tiempo (dias)

d

Figura 9. Índice y log-rendimientos diarios. En la parte superior de cada panel se gra�ca

el índice y en la inferior los log-rendimientos diarios. En el grá�co se observa para cada índice

el fenómeno de clusters o agrupamiento de la volatilidad. Panel a: S&P; panel b: IBEX;

panel c: Hang Seng; panel d:BVC.

Todas las series de rendimientos diarios presentan una estructura con pocao inexistente autocorrelación, pero con dependencia. Esta última característicase evidencia con la autocorrelación del cuadrado de los rendimientos diarios. LaFigura 10 muestra este comportamiento para los índices S&P, IBEX, Hang Sengy BVC a través de los grá�cos de la función de autocorrelación de los rendimien-tos diarios y su cuadrado con retardos hasta de 30 días. Los rendimientos delos índices de países emergentes tienden a mostrar una baja autocorrelación,mientras los de países desarrollados prácticamente en ninguno existe autocor-relación.

25

0 5 10 15 20 25 30­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:Indice retornos diariosSP

0 5 10 15 20 25 30­0.1

0

0.1

0.2

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF: Indice cuadrado log­retornos diariosSP

a

0 5 10 15 20 25 30­0.1

0

0.1

0.2

0.3

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:Indice retornos diariosIBEX

0 5 10 15 20 25 30­0.1

0

0.1

0.2

0.3

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF: Indice cuadrado log­retornos diariosIBEX

b

0 5 10 15 20 25 30­0.1

0

0.1

0.2

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:Indice retornos diariosHANG SENG

0 5 10 15 20 25 30­0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF: Indice cuadrado log­retornos diariosHANG SENG

c

0 5 10 15 20 25 30­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:Indice retornos diariosBVC

0 5 10 15 20 25 30­0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF: Indice cuadrado log­retornos diariosBVC

d

Figura 10. Autocorrelación de los rendimientos diarios y su cuadrado. En la parte superior

de cada panel esta la autocorrelación de los rendimientos y en la inferior la autocorrelación de

su cuadrado. Los intervalos de con�anza corresponden al 95% y están representados por las

líneas azules horizontales. Panel a: S&P; panel b: IBEX; panel c: Hang Seng; panel d:BVC.

Surge entonces la idea de un VaR dinámico mediante la estimación mod-elos de volatilidad condicionada o dinámica que capture este comportamientoempírico.Para ello, usamos modelos correspondientes a la familia GARCH (General-

ized Autoregressive Conditionally Heterocedastic, por sus siglas en ingles) prop-uestos por Bollerslev (1986). Si rt sigue un modelo GARCH(p,q) sera iguala

rt = �tpht

donde �t puede ser una variable aleatoria con distribución estandarizadanormal o t-student ; y ht es igual a

ht = �0 + �1(Xt�1 � �t)2 + ��2t�1Esta función puede ser interpretada como la varianza de rt ponderada por

tres componentes:� Una constante o varianza no condicionada (�0)� La varianza proyectada de ayer �2t�1; y� Las innovaciones de ayer Xt�1 � �tComo ventaja de los modelos GARCH encontramos que tienden a generar

los comportamiento de las series �nancieras llamados cluster de volatilidad;tienen excesos de curtosis y por lo tanto presentan colas mas pesadas que unadistribución normal; y �nalmente, generan una función paramétrica que puedeser usada para el calculo de un VaR dinámico al describir la evolución de lavolatilidad.

26

De otro lado, teniendo en cuenta los efectos de asimetría que existen entrelos rendimientos negativos y positivos de los índices utilizamos una extensióndel modelo GARCH propuesto por Nelson (1991) y conocido como un GARCHexponencial (EGARCH). En este modelo las asimetrías se tienen en cuentamediante una ponderación de las innovaciones de la siguiente manera

g(�t) =

�(� + )�t � E(j�tj)si; �t > 0(� � )�t � E(j�tj)si; �t < 0

donde � y 2 R: �t al igual que en los modelos GARCH puede ser unavariable aleatoria con distribución estandarizada normal o t-student.También podemos generar una volatilidad condicionada sin especi�car un

modelo exacto paramétrico, basados en la clásica técnica de suavización ex-ponencial. Este método se conoce con el nombre de EWMA (ExponentialylWeighted Moving Average, por sus siglas en ingles) y es implementado en elconocido modelo Riskmetrics de J.P. Morgan. A través de EWMA podemosproyectar de forma recursiva la volatilidad mediante:

ht = ��2t�1 + (1� �)(Xt�1 � �t)2

donde, = 0:94.La Figura 11 muestra las volatilidades (desviación estándar) condicionadas

que se han estimado para los índices S&P y BVC con los modelos EWMA,GARCH y EGARCH. Aparece una volatilidad que varia en el tiempo.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Vol

atili

dad 

(Des

viac

ion 

esta

ndar

)

dias

Indice log­retornos diarios: desviacion estardar

SP

EWMA

GARCH

EGARCH

std no condicionada

a

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Vol

atili

dad 

(Des

viac

ion 

esta

ndar

)

dias

Indice log­retornos diarios: desviacion estardar

BVC

EWMA

GARCH

EGARCH

std no condicionada

b

Figura 11. Estimación de volatilidades condicionadas. Utilizamos tres modelos EWMA,

GARCH y EGARCH. La línea punteada azul horizontal muestra la desviación estándar no

condicionada. Panel a: S&P; panel b: BVC.

Las innovaciones de los rendimientos diarios y su cuadrado estandarizadospor la volatilidad condicionada estimada de cada modelo no presentan autocor-relación. La Figura 12 muestra el grá�co de la función de autocorrelación dela innovaciones y su cuadrado estandarizados por la volatilidades condicionadasde los modelos GARCH para los índices de S&P y BVC. En general los modelos

27

GARCH eliminan la autocorrelación del cuadrado pero con el modelo EWMAen algunos índices principalmente de países emergentes continua presentándoseautocorrelación en los primeros retardos.

0 5 10 15 20 25 30­0.08

­0.06

­0.04

­0.02

0

0.02

0.04

0.06

lags (days)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

EWMA log­restornos estandarizadosSP

0 5 10 15 20 25 30­0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

restardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

EWMA cuadrado log­retornos estandarizadosSP

a

0 5 10 15 20 25 30

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

0.3

lags (days)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

EWMA log­retornos estandarizados

BVC

0 5 10 15 20 25 30

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

0.3

restardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

EWMA cuadrado log­retornos estandarizados

BVC

b

0 5 10 15 20 25 30­0.08

­0.06

­0.04

­0.02

0

0.02

0.04

0.06

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

GARCH (1, 1) log­retornos estandarizados

0 5 10 15 20 25 30­0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

cuadrado GARCH (1, 1) log­retornos estandarizados

c

0 5 10 15 20 25 30­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

GARCH (1, 1) log­retornos estandarizados BVC

0 5 10 15 20 25 30­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

cuadrado GARCH (1, 1) log­retornos estandarizados

d

0 5 10 15 20 25 30

­0.05

0

0.05

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

E­GARCH (1, 1) log­retornos estandarizados

0 5 10 15 20 25 30

0

0.1

0.2

0.3

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

cuadrado EGARCH (1, 1) log­retornos estandarizados

e

0 5 10 15 20 25 30­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

E­GARCH (1, 1) log­retornos estandarizados BVC

0 5 10 15 20 25 30­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

cuadrado EGARCH (1, 1) log­retornos estandarizados

f

Figura 12. Función de autocorrelación de las innovaciones y su cuadrado estandariza-

dos. Intervalo de con�anza 95%. Panel a: S&P modelo EWMA. Panel b: BVC modelo

EWMA. Panel c: S&P modelo GARCH. Panel d: BVC modelo GARCH. Panel e: S&P

modelo EGARCH. Panel f: BVC modelo EGARCH.

En este trabajo usamos los modelos GARCH(1,1) y EGARCH(1,1) con dis-tribuciones estandarizadas normal y t student para las innovaciones; y el modeloEWMA en la estimación del VaR dinámico para los diez índices de la siguienteforma

V aR� = �t+1q�(Z)

donde, �t+1 corresponde a la volatilidad condicionada y es calculada a travésde los modelos GARCH, EGARCH o EWMA y q�(Z) puede corresponder alquantil de las distribuciones estandarizadas normal o t-student.

28

5.2 Simulación Histórica

Este método estima el VaR como un quantil de la distribución empírica de losrendimientos de los índices. De esta forma, podemos decir que la simulaciónhistórica es un método no paramétrico y estático.El VaR puede calcularse mediante la estimación de un quantil empírico. Para

ello, primero debemos ordenar de menor a mayor la serie de rendimientos diariosde cada índice. Un posible estimador del VaR es r[n(1 � �)], donde [n(1 � �)]denota el mas grande entero no excedido por n(1��). Por ejemplo, si n = 1000y � = 0:99, estimamos el VaR tomando el décimo mas grande rendimiento diariode la serie ordenada.Este método puede ajustar muy bien cuando � no es muy alto, por ser un

método no paramétrico; sin embargo, no es posible estimar quantiles arriba delos observados limitando la estimación del VaR únicamente al comportamientohistórico de la serie.

5.3 VaR con GPD

A partir del ajuste de GPD podemos utilizar los parámetros estimados de � y �para calcular el VaR. Bajo el supuesto que Fu(x) = G�;�(x) para 0 6 x < xF�uy � 2 R;� > 0 tenemos que para x > u :

�F (x) = P (X > u)P (X > xjX > u)

= �F (u)P (X � u > x� ujX > u)

= �F (u) �Fu(x� u)

= �F (u)

�1 + �

x� u�

��1=�con lo cual si conocemos �F (u) tenemos una formula para la probabilidad de

las colas. Esta formula puede ser invertida para obtener un quantil alto de ladistribucion que puede ser interpretada como un VaR. Para � � F (u) tenemosque el VaR es igual a:

V aR� = q�(F ) = u+�

�

�1� ��F (u)

���� 1!

La estimación se requiere �F (u) y para ello utilizamos un estimador empíricoigual a Nu=n. Lo anterior implica asumir que hay su�ciente número de obser-vaciones de rendimientos (Nu) que exceden el threshold para estimar F (u) deforma con�able.La Tabla 6 muestra las estimaciones del VaR al 99.9% a un día mediante

GPD para cada una de las colas negativa y positiva con un intervalo de con�anzadel 95%.

29

IC inferior VaRGPD IC superior IC inferior VaRGPD IC superiorSP 3.58% 5.02% 8.34% 3.37% 5.06% 9.71%FTSE 3.63% 5.01% 7.75% 3.49% 4.74% 7.46%N225 4.44% 6.10% 9.32% 4.28% 5.91% 9.26%DAXI 5.05% 6.53% 9.22% 4.64% 6.99% 13.15%IBEX 4.51% 6.60% 11.10% 4.14% 5.94% 11.22%MERV 7.68% 11.83% 20.98% 7.47% 11.17% 20.06%BVSP 7.57% 11.87% 21.58% 7.45% 12.38% 24.39%MXX 5.23% 7.75% 12.97% 5.51% 8.10% 13.42%HANG 5.87% 9.27% 18.41% 6.13% 9.58% 17.14%BVC 5.22% 11.95% 37.18% 4.62% 11.35% 40.60%

Cola valores positivosIndice

Cola valores negativos

Tabla 6. Estimación VaRGPD al 99.9% a un día para cada una de las colas negativa y

positiva con un intervalo de con�anza del 95%.

Los valores mas altos del VaRGPD se producen en los índices de países emer-gentes en las dos colas, como en el caso de BVC con un VaR de 11.95% y 11.35%y un intervalo que superior que alcanza el 40.6% en la cola positiva de la dis-tribución.La Figura 13 muestra los grá�cos de algunos índices de la muestra donde se

estima el VaR al quantil 99.9% con intervalos de con�anza del 95%. Las líneasverticales muestran el VaRGPD al 99.9% para las colas negativa y positiva decada índice. Los límites de los intervalos del VaRGPD son señalados con lospuntos de intersección en la línea horizontal punteada que visualiza el intervalode con�anza al 95% para cada cola de la distribución. Por ejemplo el índiceN225 estima un VaRGPDal 99.9% con intervalos de con�anza de 95% de 6.10%y [4:44%; 9:32%].

0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

VaR­GPD 99.9% Intervalo de Confianza 95%N225

rendimientos

CDF F

(X)

GPD negativosempirica negativosGPD positivosempirica positivos95%VaR negativosIntervalo VaR negativosVaR positivosIntervalo VaR positivos

a0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

VaR­GPD 99.9% Intervalo de Confianza 95%

IBEX

rendimientos

CDF 

F(X)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

95%

VaR negativos

Intervalo VaR negativos

VaR positivos

Intervalo VaR positivos

b

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

VaR­GPD 99.9% Intervalo de Confianza 95%BVSP

rendimientos

CD

F F(

X)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

95%

VaR negativos

Intervalo VaR negativos

VaR positivos

Intervalo VaR positivos

c0.05 0.1 0.15

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

VaR­GPD 99.9% Intervalo de Confianza 95%MXX

rendimientos

CD

F F(

X)

GPD negativos

empirica negativos

GPD positivos

empirica positivos

95%

VaR negativos

Intervalo VaR negativos

VaR positivos

Intervalo VaR positivos

d

30

La Figura 13 muestra los grá�cos de algunos índices de la muestra donde se estima el

VaR al quantil 99.9% con intervalos de con�anza del 95%. Las líneas verticales roja y azul

muestran el VaRGPD al 99.9% para las colas negativa y positiva, respectivamente; de cada

índice. Los límites de los intervalos del VaRGPD son señalados con los puntos de intersección

en la línea horizontal punteada que visualiza el intervalo de con�anza al 95% para cada cola

de la distribución. Paneal a: N225; panel b: IBEX; panel c: BVSP; panel d: MXX.

La mayoría de intervalos superiores para los VaRGPD al 99.9%, estimanvalores superiores a los rendimientos diarios máximos observados durante elperiodo muestral tanto en las colas negativa como positiva. Como excepción a loanterior se encuentran tres índices de países emergentes; Brasil (BVSP), Mexico(MXX) y Hong Kong (Hang Seng). , donde se han observado rendimientosdiarios superiores al intervalo estimado por el VaRGPD . Para el caso de losíndices BVSP y Hang Seng corresponde a los rendimientos positivos y para elíndice MXX a los rendimientos negativos.De otro lado, los intervalos de con�anza de los índices de países emergentes

son más amplios que los de países desarrollados debido a la mayor volatilidadde los parámetros estimados de GPD.

5.4 Expected shortfall y EVT

Expected Shortfall (ES) es una medida de riesgo relacionada con el VaR. Estamedida esta siendo preferida al VaR por muchos gerentes de riesgo debido a quesupera el problema de subaditividad y proporciona más información acerca dela distribución mas allá del valor estimado por el VaR.En vez de �jar un determinado nivel de con�anza � se promedia el VaR

sobre todos los niveles mayores de � y, de esta forma, analizamos la medida deriesgo dentro de la cola de la distribución. Obviamente, ES� depende solamentede la distribución de las colas y por lo tanto ES� > V aR�.Expected Shortfall una vez el limite del VaR es alcanzado o violado esta dado

por

ES� = V aR� + E[X � V aR�jX > V aR�]

El segundo término de ES puede ser interpretado como la perdida esperadaen un evento una vez que el VaR� es excedido. Calcular ES con GPD es posiblebajo el supuesto que una vez superado el threshold, todas las distribuciones deexcesos que superen este límite también serán GPD con el mismo parámetro� pero con diferente parámetro �. Un importante colorario de esta clase demodelos es:

FV aR�(y) = G�;�+�(V aR��u)(y)

Este resultado permite estimar las características de las pérdidas más alládel VaR. ESGPD se estima como:

ES� =V aR�

1� � +� � �u1� �

31

La Tabla 7 presenta las estimaciones del ESGPD al 99% con sus respectivosintervalos de con�anza al 95% para los diez índices en los rendimientos negativosy positivos. ES aporta mayores herramientas de análisis en la gestión del riesgoal estimar la perdida esperada una vez el VaR es violado.

IC inferior ESGPD IC superior IC inferior ESGPD IC superiorSP 3.08% 3.84% 5.58% 3.00% 3.95% 6.38%FTSE 3.18% 4.02% 5.56% 3.09% 3.80% 5.24%N225 3.85% 4.85% 6.66% 3.71% 4.63% 6.44%DAXI 4.54% 5.49% 7.08% 4.04% 5.31% 8.56%IBEX 3.81% 4.99% 7.42% 3.73% 4.67% 7.37%MERV 6.40% 8.77% 13.71% 6.36% 8.34% 12.94%BVSP 6.16% 8.50% 13.81% 5.92% 8.55% 15.47%MXX 4.29% 5.69% 8.50% 4.56% 6.01% 8.86%HANG 4.91% 6.66% 11.93% 4.93% 6.81% 10.88%BVC 4.17% 7.86% 24.14% 3.67% 7.39% 38.27%

IndiceCola valores negativos Cola valores positivos

Tabla 7. Estimación ESGPD al 99% con sus respectivos intervalos de con�anza al 95%.

Las pérdidas esperadas, una vez violado el VaR, son más altas en los índicesde países emergentes. El índice MERV tiene el ESGPD mas alto e indica que elpromedio de la perdida esperada al 99% del índice es de 8.77% una vez se hasuperado el VaRGPD que a ese quantil es de 6.4%.Igualmente, al utilizar la distribución GPD para la estimación de ES podemos

suponer mas e�cacia y con�abilidad que si utilizaramos la distribución normal.Las colas negativa y positiva de la distribución de valores extremos son más pe-sadas que la normal. La Figura 14 muestra los grá�cos de los índices de FTSEy MERV donde podemos observar que la GPD, en primer lugar, se ajusta mejora los datos extremos y, en segundo lugar, presenta colas mas pesadas que ladistribución normal en los quantiles mas altos.

0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

CDF para distribuciones GPD y Normal

MERV

excesos rendimientos

CD

F Fu

(x­u

)

GPD negativos

GPD positivos

Normal negativos

Normal positivos

a0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

CDF para distribuciones GPD y Normal

FTSE

excesos rendimientos

CD

F F

u(x­

u)

GPD negativos

GPD positivos

Normal negativos

Normal positivos

b

Figura 14. Funciones de Distribución GPD y Normal. Las líneas rojas continua y pun-

teada corresponden a las distribuciones GPD y Normal, respectivamente; para los excesos

32

negativos. Las líneas azules continua y punteada corresponden a las distribuciones GPD y

Normal, respectivamente; para los excesos positivos. Panel a: MERV; panel b: MERV.

5.5 Estabilidad de las medidas de riesgo con EVT

Dada la importancia del parámetro � en la determinación del tipo de distribu-ción de los extremos y su in�uencia en la estimación posterior de las medidasde riesgo, simulamos para todos los retornos de los índices el parámetro � adiferentes threshold con el �n de evaluar la robustez del ajuste. La Figura 15presenta los grá�cos para los índices de BVC, S&P, BVSP y FTSE. Se incluyenlos intervalos de con�anza al 95%. Observamos que existe estabilidad en laestimación del parámetro � a diferentes niveles del threshold. A medida que au-mentamos el threshold el intervalo de con�anza parece ampliarse y el parámetro� presenta una mayor volatilidad debido a la menor precisión ocasionada en elmenor número de rendimientos que superen el threshold.

0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028­0.8

­0.6

­0.4

­0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Threshold

Param

etro 

KSI

Simulacion parametro KSI a diferentes threshold para retornos negativosIntervalo de confianza 95%

SP

a0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024

­0.8

­0.6

­0.4

­0.2

0

0.2

0.4

Threshold

Param

etro 

KSI

Simulacion Parametro KSI a diferentes threshold para retornos positivosIntervalo de confianza 95%

SP

b

0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028­0.5

­0.4

­0.3

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

0.3

Threshold

Par

amet

ro K

SI

Simulacion parametro KSI a diferentes  threshold para retornos negativosIntervalo de confianza 95%

FTSE

c0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028

­0.6

­0.4

­0.2

0

0.2

0.4

0.6

Threshold

Par

amet

ro K

SI

Simulacion Parametro KSI a diferentes threshold para retornos positivosIntervalo de confianza 95%

FTSE

d

0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065­0.8

­0.6

­0.4

­0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Threshold

Par

amet

ro K

SI

Simulacion parametro KSI a diferentes threshold para retornos negativosIntervalo de confianza 95%

BVSP

e0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06

­0.5

0

0.5

1

1.5

Threshold

Param

etro 

KSI

Simulacion Parametro KSI a diferentes threshold para retornos positivosIntervalo de confianza 95%

BVSP

f

0.02 0.025 0.03 0.035­0.8

­0.6

­0.4

­0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Threshold

Par

amet

ro K

SI

S imulac ion parametro KSI a d iferentes threshold para retornos negativosIntervalo de confianza 95%

BVC

g0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03

­0.5

0

0.5

1

1.5

Threshold

Para

met

ro K

SI

Simulacion Parametro KSI a diferentes threshold para retornos positivosIntervalo de confianza 95%

BVC

h

33

Figura 15. Estimación � para diferentes threshold. Se incluye el intervalo de con�anzaal 95%. Panel a: S&P excesos negativos; panel b: S&P excesos positivos; Panel c: FTSE

excesos negativos; panel d: FTSE excesos positivos; Panel e: BVSP excesos negativos; panel

f: BVSP excesos positivos; Panel g: BVC excesos negativos; panel h: BVC excesos positivos.Para algunos índices el parámetro � es muy estable a pesar del incremento

del threshold. Tal es el caso de la cola negativa del S&P donde el parámetro � seubica alrededor del 0:18 y solo empieza a ser muy volátil después de un thresholdbastante alto. Sin embargo, su cola positiva parece ser un poco más volátil yse re�eja en el comportamiento del parámetro �. En general, existe estabilidaden el parámetro � y ello nos permite con�rmar la robustez en las estimacionesGPD.Analizamos la sensibilidad del VaRGPD y ESGPD para varios threshold es-

perando cierta robustez entre la estimación de medidas de riesgo y el threshold.La Figura 16 presenta los grá�cos para las medidas de riesgo en los rendimien-tos negativos y positivos del índice de Brasil (BVSP). Observamos que al 99%las medidas de riesgo a diferentes threshold no presentan grandes diferencias ensus resultados. Las medidas VaRGPD y ESGPD son estables aunque la segundapresenta mayor variabilidad. La situación cambia un poco cuando estimamoslas medidas de riesgo al 99.9%. Aunque el VaRGPD aumenta su variabilidadtiende a centrase en un valor, el ESGPD incrementa fuertemente su volatilidadhaciéndose menos estable a medida que el threshold se incrementa.

0.018 0.02 0.022 0.024 0.026 0.028 0.03 0.0320.028

0.03

0.032

0.034

0.036

0.038

0.04

0.042

Threshold

Por

cent

aje 

de p

erdi

das

Simulacion VaR y  ES (99%) a diferentes  thresholdFTSE

VaR negativosES negativosVaR pos itivosES posit ivos

a0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026 0.028 0.03 0.032

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

Threshold

Por

cent

aje 

de p

erdi

das

Simulacion VaR y ES (99.9%) a diferentes thresholdFTSE

VaR negativosES negativosVaR positivosES positivos

b

0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.060.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

Threshold

Porc

enta

je d

e pe

rdid

as

Simulacion VaR y ES (99%) a diferentes thresholdBVSP

VaR negativosES negativosVaR positivosES positivos

c0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

Threshold

Por

cent

aje 

de p

erdid

as

Simulacion VaR y ES (99.9%) a diferentes thresholdBVSP

VaR negativosES negativosVaR positivosES positivos

d

0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Threshold

Por

cent

aje 

de p

erdi

das

Simulacion VaR y  ES (99%) a diferentes thresholdBVC

VaR negat ivosES negativosVaR pos itivosES posit ivos

e0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Threshold

Por

cent

aje 

de p

erdi

das

Simulacion VaR y ES (99.9%) a diferentes  thresholdBVC

VaR negativosES negat ivosVaR posit ivos

ES pos itivos

f

Figura 16. Estimación VaRGPD y ESGPD a diferentes Threshold. Las líneas rojas

continua y punteada corresponden al VaRGPD y ESGPD excesos negativos, respectivamente.

Las líneas azules continua y punteada corresponden al VaRGPD y ESGPD excesos positivos,

respectivamente. Panel a: FTSE (99%); panel b: FTSE (99.9%); panel c: BVSP (99%); panel

d: BVSP (99.9%); panel e: BVC (99%); panel f: BVC (99.9%)

34

5.6 GPD condicionado y VaR

Hasta ahora hemos supuesto que los excesos de los rendimientos se comportancomo variables distribuidas idéntica e independientemente (i.i.d); por ello elajuste GPD ha sido esencialmente un método no condicionado para estimar lasmedidas de riesgo. Es decir, hemos estimado un VaRGDP estático.Sin embargo, los excesos de rendimientos de algunos índices exhiben auto-

correlación y dependencia alejándose del supuesto i.i.d. La Figura 17 presentalos grá�cos de las funciones de autocorrelación para los excesos de rendimientosnegativos y positivos así como de su cuadrado. Observamos autocorrelación ydependencia en los excesos negativos más que en los positivos. Algunos índicesno presentan autocorrelación para los excesos ni para su cuadrado acercándosemás al supuesto i.i.d.

0 5 10 15 20 25 30

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

0.3

retardos (dias)

Sam

ple

 Auto

corr

ela

tion

ACF:Excesos negativos retornos diariosFTSE

0 5 10 15 20 25 30

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

0.3

retardos (dias)

Sam

ple

 Auto

corr

ela

tion

ACF:cuadrado excesos negativos retornos diarios diariosFTSE

a

0 5 10 15 20 25 30

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:Exceso retornos positivos diarios

FTSE

0 5 10 15 20 25 30

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:  cuadrado exceso retornos positivos

FTSE

b

0 5 10 15 20 25 30­0.5

0

0.5

1

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:Excesos retornos negativos diariosBVC

0 5 10 15 20 25 30­0.5

0

0.5

1

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF: cuadrado Excesos retornos negativos  diariosBVC

c

0 5 10 15 20 25 30­0.5

0

0.5

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF:Indice retornos diariosBVC

0 5 10 15 20 25 30­0.5

0

0.5

retardos (dias)

Sam

ple 

Aut

ocor

rela

tion

ACF: Indice cuadrado log­retornos diariosBVC

d

Figura 17. Gra�cos funcion de autocorrelación para los excesos de rendimientos

negativos y positivos. Panel a: FTSE excesos negativos; panel b: FTSE excesos positivos;

panel c: BVC excesos negativos; panel d: BVC excesos positivos.

Dadas las características no i.i.d de los rendimientos diarios de los índicesseguimos la propuesta de McNeil y Frey (2000), para adaptar el modelo GPDy así obtener medidas de riesgo condicionadas o dinámicas. En la adaptaciónpropuesta necesitamos utilizar los modelos GARCH anteriormente expuestos.Para calcular el VaRGPD dinámico realizamos los siguientes pasos:� Ajustamos un modelo AR(1)-GARCH(1,1) para los rendimientos diar-

ios de los índices. Extraemos las innovaciones estandarizadas (Z) y proyectamosla volatilidad condicionada a un día (�t+1).� Ajustamos una GPD a las innovaciones estandarizadas y usamos los

parámetros estimados � y � para calcular el VaRGPD(Z)

35

� Calculamos el VaRGPD_COND mediante la siguiente formula:

V aR�(GPD_cond) = �t+1V aR�(Z)

6 Desempeño relativo de los modelos VaR

Hemos considerado nueve modelos para estimar el VaR a un día en ambas colasde las diez distribuciones de los índices bursátiles. Estos modelos correspondena:1. HS: Simulación Histórica2. Normal: Método estándar de varianza no condicionada3. EWMA: Método de varianza condicionada mediante la técnica de

suavización exponencial.4. GARCH11: Método de varianza condicionada mediante la estimación

de un modelo AR(1)-GARCH(1,1) con distribución normal de las innovaciones.5. GARCH11-t: Método de varianza condicionada mediante la estimación

de un modelo AR(1)-GARCH(1,1) con distribución t-student de las innova-ciones.6. EGARCH11: Método de varianza condicionada mediante la estimación

de un modelo AR(1)-EGARCH(1,1) con distribución normal de las innovaciones.7. EGARCH11-t: Método de varianza condicionada mediante la esti-

mación de un modelo AR(1)-EGARCH(1,1) con distribución t-student de lasinnovaciones.8. GPD: Método de distribuciones extremas no condicionada9. GPD-cond: Método de distribuciones extremas condicionadasLa Tabla 8 muestra los cálculos del VaR al 99.9% a un día para los ocho

modelos tomando el total del periodo de la muestra para cada uno de los índices.Aunque el concepto del VaR es el mismo los valores di�eren entre cada modelodebido a los supuestos que cada uno realiza.

Modelo VaR SP FTSE N225 DAXI IBEX MERV BVSP MXX HANG BVCHS 5.67% 5.02% 5.92% 6.48% 7.09% 11.28% 10.69% 7.61% 9.23% 11.62%EWMA 3.78% 3.73% 5.33% 3.99% 4.33% 3.98% 6.61% 3.97% 5.03% 7.03%GARCH 3.57% 3.00% 4.73% 3.50% 3.82% 4.75% 8.23% 3.80% 4.59% 5.07%GARCH T 5.53% 3.66% 5.85% 5.46% 5.18% 12.43% 15.34% 6.67% 7.71% 8.91%EGARCH 2.87% 2.85% 4.17% 3.47% 3.96% 5.13% 5.72% 4.54% 4.40% 5.22%EGARCH ­ T 3.89% 3.26% 5.48% 4.15% 5.18% 9.73% 7.30% 6.45% 6.91% 8.73%GDP negativo 5.00% 5.01% 6.10% 6.53% 6.60% 11.83% 11.87% 7.75% 9.27% 10.79%GDP positivo 5.06% 4.74% 5.91% 6.99% 5.94% 11.17% 12.38% 8.10% 9.58% 10.19%GPD cond negativo 5.02% 3.56% 6.15% 4.54% 5.00% 6.45% 10.43% 5.51% 7.21% 6.75%GPD cond positivo 3.53% 2.87% 5.47% 3.51% 3.85% 5.90% 8.90% 4.27% 5.14% 5.56%

Tabla 8. Estimación VaR al 99.9%

En esta sección buscamos evaluar el desempeño relativo de cada unos de losmodelos VaR con el �n de determinar si alguno de ellos, consistentemente, tieneun mejor resultado ya sea por nivel de con�abilidad o tipo de país.

36

Varios test y métodos han sido sugeridos para evaluar el desempeño de difer-entes medidas de riesgo. En el presente trabajo usamos un proceso de backtestingy comparamos el desempeño mediante el índice de violación.Cuando se pronostica el VaR a determinado quantil (�) se espera que el

retorno realizado sea mas alto con probabilidad (1��). La misma probabilidaddebe tener el índice de violación. Obtener un índice por encima o debajo deeste valor implica que la medida de riesgo esta sub o sobre estimando el nivelde riesgo.No necesariamente una medida de riesgo con el menor índice de violación

indica mejor desempeño. Es muy importante conocer el que punto de vistadesde donde se analiza la medida de riesgo. Para un regulador un índice bajopuede ser bueno como una medida dado su carácter conservador, pero para unainstitución �nanciera signi�ca sobrecostos, si el VaR es usado para establecerlos requerimientos de capital.Para hacer el backtesting utilizamos ventanas móviles de 1000 días , lo cual

permite evaluar los índices en más de 1800 días. La di�cultad de este procesose encuentra en la de�nición de criterios para la estimación, los cuales debenser constantes y equitativos para todos los modelos VaR con el �n de no sesgarla evaluación. La principal complejidad en la estimación de los modelos EVTconsiste en la de�nición del threshold dado que este puede ir cambiando en eltiempo. De�nimos como criterio para la �jación del threshold en cada cola unquantil �jo, el cual en todos los casos fue superior a 0:94.Una violación ocurre cuando el rendimiento diario realizado es mayor que el

VaR estimado para ese día. La Figura 18 presenta los grá�cos del backtestingpara los índices S&P y MERV. Vemos la diferencia entre los modelos VaR es-tático y dinámico. Mientras los primeros permanecen relativamente constantesen el tiempo, los segundos siguen más de cerca el comportamiento del índice. Deacuerdo con los resultados que presentamos mas adelante observamos un mejordesempeño de los modelos dinámicos sobre los estáticos. Los modelos estáticostienden a sobrevalorar el riesgo en periodos de menor volatilidad y subvalorarloen periodos de mayor volatilidad.

37

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000­0.08

­0.06

­0.04

­0.02

0

0.02

0.04

0.06

Backtest ing Modelos  VaR 99.9% estaticosSP

tiempo (dias)

reto

rnos

 dia

rios

IndiceGPDNormalHS

a0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

­0.15

­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

Backtesting Modelos VaR 99.9% dinamicosSP

tiempo (dias)

reto

rnos

 dia

rios

IndiceGPD­condEGARCH­TEWMA

b

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

­0.3

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

0.3

Backtes ting Modelos VaR 99.9% estaticosMERV

tiempo (d ias)

reto

rnos

 dia

rios

Indice

GPD

Normal

HS

c0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

­0.3

­0.2

­0.1

0

0.1

0.2

0.3

Backtesting Modelos VaR 99.9% dinamicosMERV

tiempo (d ias)

reto

rnos

 dia

rios

Indice

GPD­cond

EGARCH­T

EW MA

d

Figura 18. Backtesting VaR al 99.9%. Panel a:S&P VaR estáticos; panel b:S&P VaR

dinámicos; panel c:MERV VaR estáticos; panel d:MERV VaR dinámicos

Consideramos el siguiente indicador de violaciones:

I(h)t+h := IfL(h)t+h>

[V aRt;h

� g

El proceso de (It)t2Z es un proceso Bernoulli de variables i.i.d con probabil-idad de exito (ej. violacion) (1��): El numero de violaciones sobre m períodosde tiempo debe ser una distribución binomial con valor esperado de m(1 � �).Calculamos el índice de violación para cada uno de los modelos VaR a difer-entes niveles de con�anza o quantiles (�) tanto para las colas negativas comopositivas. Posteriormente, seleccionamos el modelo VaR con mejor desempeñopara cada índice en cada quantil y cola. Utilizamos dos criterios para selec-cionar el mejor modelo VaR. En cada caso buscamos el índice de violación máscercano al esperado (1��). El primer criterio consiste en determinar la menorsubestimación del índice de violación sin exceder el índice esperado. Si todoslos modelos VaR superan el índice esperado (1��) se selecciona el modelo máscercano. El segundo criterio no tiene en cuenta si se ha superado el índice, loimportante es aquel modelo con el índice de violación mas cercano al esperadoya sea desde la sub o sobre valoración.Para ilustrar el procedimiento utilizamos como ejemplo el índice FTSE. La

Tabla 9 muestra el número de violaciones de cada modelo VaR durante el back-testing (1859 días). En la �la superior observamos el número de violacionesesperadas a cada nivel de con�anza.

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90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%Violaciones Esperadas 186 93 37 18 9 4 2HS 185 97 58 41 24 19 11Normal 154 87 60 48 35 27 21EWMA 178 91 44 19 8 3 0GARCH 11 180 107 52 34 24 17 8GARCH 11 T 173 98 46 26 13 7 4EGARCH 197 125 58 34 22 16 8EGARCH T 196 124 57 32 21 16 8GDP 188 73 34 21 18 10 6GDP cond 157 87 38 20 9 4 2

Niveles de ConfianzaNumero de Violaciones cola rendimientos diarios negativos FTSE m=1859 dias

Modelos VaR

a

90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%Violaciones Esperadas 186 93 37 18 9 4 2HS 172 99 53 31 22 17 7Normal 141 97 50 36 29 24 20EWMA 191 75 16 4 1 0 0GARCH 11 183 82 24 8 3 1 1GARCH 11 T 167 71 16 5 2 1 0EGARCH 189 86 21 11 5 1 1EGARCH T 189 85 21 12 7 1 1GDP 133 77 42 22 10 9 6GDP cond 173 93 31 13 4 2 1

Modelos VaR Niveles de ConfianzaNumero de Violaciones cola rendimientos diarios positivos FTSE m=1859 dias

b

Tabla 9. Numero de violaciones del VaR para diferentes quantiles. Panel a: cola negativa;

panel b: cola positiva.

La Tabla 10 corresponde a la aplicación del primer criterio donde solo setienen en cuenta los modelos que no superan el índice de violación esperado encada quantil. En su orden se presentan los índices de violaciones para las colasde rendimientos negativos, positivos y promedio.

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Modelo VaR 90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%

HS 10.0% Excede Excede Excede Excede Excede ExcedeNormal 8.3% 4.7% Excede Excede Excede Excede ExcedeEWMA 9.6% 4.9% Excede Excede 0.4% 0.2% 0.0%GARCH 11 9.7% Excede Excede Excede Excede Excede ExcedeGARCH 11 T 9.3% Excede Excede Excede Excede Excede ExcedeEGARCH Excede Excede Excede Excede Excede Excede ExcedeEGARCH T Excede Excede Excede Excede Excede Excede ExcedeGDP Excede 3.9% 1.8% Excede Excede Excede ExcedeGDP cond 8.4% 4.7% Excede Excede 0.5% 0.2% 0.1%

Indice de Violacion cola rendimientos diarios negativos FTSE m= 1859 dias

a

Modelos VaR 90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%

HS 9.3% Excede Excede Excede Excede Excede ExcedeNormal 7.6% Excede Excede Excede Excede Excede ExcedeEWMA Excede 4.0% 0.9% 0.2% 0.1% 0.0% 0.0%GARCH 11 9.8% 4.4% 1.3% 0.4% 0.2% 0.1% 0.1%GARCH 11 T 9.0% 3.8% 0.9% 0.3% 0.1% 0.1% 0.0%EGARCH Excede 4.6% 1.1% 0.6% 0.3% 0.1% 0.1%EGARCH T Excede 4.6% 1.1% 0.6% 0.4% 0.1% 0.1%GDP 7.2% 4.1% Excede Excede Excede Excede ExcedeGDP cond 9.3% 5.0% 1.7% 0.7% 0.2% 0.1% 0.1%

Indice de Violacion cola rendimientos diarios positivos FTSE m=1859 dias

b

Modelos VaR 90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%PromedioNiveles deconfianza

HS 9.60% Excede Excede Excede Excede Excede Excede 1.37%Normal 7.93% 4.68% Excede Excede Excede Excede Excede 1.80%EWMA 9.58% 4.46% 0.43% 0.11% 0.24% 0.08% 0.00% 2.1%GARCH 11 9.76% 2.21% 0.65% 0.22% 0.16% 0.05% 0.05% 1.87%GARCH 11 T 9.14% 1.91% 0.43% 0.13% 0.11% 0.05% 0.00% 1.68%EGARCH Excede 2.31% 0.56% 0.30% 0.27% 0.05% 0.05% 0.51%EGARCH T Excede 2.29% 0.56% 0.32% 0.38% 0.05% 0.05% 0.52%GDP 3.58% 4.03% 0.91% Excede Excede Excede Excede 1.22%GDP cond 8.88% 4.84% 0.83% 0.35% 0.35% 0.16% 0.08% 2.21%

Indice de Violacion promedio rendimientos diarios negativos y positivos FTSE

c

Tabla 10. Evaluación backtesting menor subestimación para el VaR 99.9% al índice FTSE.

Los modelos resaltados indican que es el mejor a ese quantil. Panel a: Cola negativa; panel

b: cola positiva; panel c: promedio de las colas.

Observamos que la mayoría de modelos VaR superan el índice de violaciónesperado para la cola de rendimientos negativos a excepción de los modelosEWMA y GPD-cond. En cada Tabla resaltamos el modelo por quantil quemejor desempeñó tiene de acuerdo con el primer criterio. Cuando dos modelosen el mismo quantil tienen el mismo índice se selecciona aquel que en la colaopuesta tiene mejor desempeño. Cuando esto ocurre para el promedio del índicede violación se selecciona el modelo con menor desviación estándar entre losíndices de las colas negativa y positiva.

40

Las Tabla 11 presenta los resultados de la aplicación de este primer criteriopara cada una de las colas de rendimientos negativos, positivos y promedio. Engeneral observamos que los modelos VaR con distribuciones extremas (GPD-cond y GPD) tienen una destacada presencia entre los quantiles más altos ymucho mas si solo analizamos los índices bursátiles de países desarrollados. Laúltima columna de la Tabla 11 presenta el mejor modelo VaR teniendo en cuentasu desempeño en todos los quantiles para las dos colas. Observamos que de los10 índices 8 tienen como mejor modelo VaR los que incluyen distribucionesextremas.

90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%SP HS HS EWMA GARCH­T GARCH­T GPD­cond GARCH­TFTSE HS EWMA GPD EWMA GPD­cond GPD­cond GPD­condN225 GARCH Normal EWMA EWMA GDP EWMA EWMADAXI GARCH­T Normal GPD GARCH­T GPD­cond EWMA GPD­condIBEX EGARCH­T EGARCH­T EWMA GPD GPD GPD GPDMERV GPD­cond EGARCH Normal EWMA HS HS HSBVSP EWMA EWMA HS Normal Normal GPD­cond GPDMXX GPD­cond EGARCH­T HS GPD EWMA EWMA GPDHANG EWMA GARCH EWMA EWMA EWMA GPD­cond GPD­condBVC GARCH Normal GARCH­T GARCH­T GARCH­T GARCH­T GARCH­T

IndiceNivel de Confianza

Modelos VaR con menor subestimacion del Indice de Violacion Cola rendimientos negativos

a

90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%SP EGARCH­T EGARCH GPD­cond GPD GPD EGARCH GPD­condFTSE GARCH GPD­cond GPD­cond GPD­cond EGARCH­T GPD­cond GPD­condN225 EWMA EGARCH­T HS HS HS EGARCH­T EGARCH­TDAXI EGARCH­T GARCH GPD­cond EGARCH GPD­cond GARCH GPD­condIBEX EGARCH EGARCH GPD­cond EGARCH­T GPD GPD GARCHMERV EWMA EWMA GARCH GARCH EGARCH HS HSBVSP EWMA GARCH GARCH GPD­cond Normal GPD­cond GPDMXX EWMA GARCH Normal EGARCH GPD GPD­cond GPDHANG GPD­cond GARCH HS EGARCH GARCH GPD­cond HSBVC Normal EWMA GARCH­T GARCH­T EWMA EWMA GPD

IndiceNivel de Confianza

Modelos VaR con menor subestimacion del Indice de Violacon Cola Rendimientos postivos

b

90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%SP HS HS GPD­cond GPD GPD GPD­cond EGARCH­T GPD­condFTSE GARCH GPD­cond GPD GPD­cond GPD­cond GPD­cond GPD­cond GPD­condN225 GARCH Normal GPD GPD GPD­cond GPD GPD GPDDAXI GARCH Normal GPD GPD­cond GPD­cond EWMA GPD­cond GPD­condIBEX EGARCH EGARCH GPD­cond GPD GPD GPD GPD GPDMERV GPD EWMA Normal GPD EGARCH HS HS GPDBVSP EWMA EWMA HS Normal Normal GPD­cond GPD EWMAMXX EWMA EGARCH­T HS GPD HS HS GPD GPDHANG EWMA GARCH GARCH EWMA EWMA GPD­cond GPD­cond GPD­condBVC GARCH GARCH­T GARCH­T GARCH­T EWMA EWMA GPD GARCH­T

PromedioNiveles deconfianza

Modelos VaR con menor subestimacion del Indice de Violacon Cola promedio rendimientos positivos y negativos

Indice

Nivel de Confianza

c

Tabla 11. Resultados mejor modelo VaR por quantil. Aplicación del primer criterio de

menor subestimación del índice de violación. Se resaltan lo modelos VaR de distribuciones

extremas. Panel a: cola negativa; panel b: cola positiva; panel c: promedio de las colas.

Entre los dos modelos de distribuciones extremas hay un mejor desempeñodel GPD condicionado. Los modelos EWMA a quantiles altos, muestran unbuen resultado principalmente para índices de países emergentes. En cuantoa los VaR estáticos (HS y Normal) vemos que no tienen un buen desempeñogeneralizado en todos los índices y mucho menos en quantiles altos. Sin embargo,

41

el modelo HS tiene un buen desempeño en dos índices de países emergentes;Argentina (MERV) y México (MXX).La Tabla 12 presenta los resultados de la aplicación del segundo criterio,

donde se tiene en cuenta el índice de violación más cercano sin importar si se hasobrepasado el índice esperado. Los resultados cambian un poco y observamosun incremento en la presencia de los VaR con distribuciones extremas en quan-tiles más bajos, indicando que aunque existe un mayor número de violacioneseste es más cercano al esperado que los modelos que no superan este valor.Igualmente, observamos que entre los dos modelos de distribuciones extremasel GPD condicionado gana mayor presencia que el GPD no condicionado.

90% 95% 98% 99% 99.50% 99.75% 99.90%SP EGARCH­T GARCH GPD­cond GPD GPD GPD­cond GPD­cond GPD­condFTSE GARCH GPD­cond GPD­cond GPD GPD­cond GPD­cond GPD­cond GPD­condN225 GPD­cond GPD­cond HS HS GPD­cond GPD GPD EWMADAXI EWMA GPD­cond GPD GPD GPD­cond EWMA GPD­cond GPD­condIBEX EGARCH EGARCH GPD­cond GPD­cond GPD GPD GPD GPD­condMERV GPD­cond EWMA Normal EWMA HS HS HS HSBVSP EWMA GPD­cond GPD­cond Normal Normal GPD­cond GPD GPD­condMXX EWMA EGARCH­T GPD­cond GPD GPD GPD­cond GPD GPDHANG EWMA GARCH GARCH  EGARCH­T EWMA GPD­cond GPD­cond GPD­condBVC GPD Normal GARCH­T GARCH­T EWMA EWMA GARCH­T GARCH­T

Modelos VaR con menor diferencia absoluta en el Indice de Violacion. Promedio cola rendimientos positivos ynegativos

Indice

Nivel de Confianza PromedioNiveles deconfianza

Tabla 12. Resultados mejor modelo VaR por quantil. Aplicación del segundo criterio

de menor diferencia con el índice de violación esperado. Se resaltan los modelos VaR de

distribuciones extremas.

Nuevamente destacamos el buen desempeño del modelo HS en el índice deArgentina (MERV) en los quantiles mas altos, lo cual indica que la distribuciónempírica ajusta muy bien una medida de riesgo como el VaR.

7 Conclusiones

En este trabajo estudiamos las distribuciones de valores extremos (EVT) y suutilidad en la implementación de medidas de riesgo �nanciero para índicesbursátiles de economías desarrolladas y emergentes. Encontramos un buenajuste de la distribución de extremos GPD para las colas de las distribucionesde todos los índices utilizados en el estudio y evidenciamos la presencia de efec-tos de asimetría en los extremos de los rendimientos negativos y positivos. Engeneral, son más riesgosas las colas negativas aunque dependiendo el quantil deanálisis puede existir un cambio en el nivel de riesgo a quantiles mas altos entrelas colas.Al ajustar una GPD a las colas de la distribución tenemos más y mejor

información sobre el comportamiento de los valores extremos para la gestión de

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carteras. Es posible analizar escenarios extremos y su impacto sobre el balancede una inversión al contar con las ventajas de un modelo paramétrico propiopara eventos extremos y no bajo el supuesto de normalidad; mas aun, cuandoencontramos que la mayoría de distribuciones de rendimientos extremos son maspesadas que la distribución normal.Utilizando la distribución GPD podemos calcular las medidas de riesgo como

el Value at Risk (VaR) y Expected Shortfall (ES). De otro lado, encontramosun mejor resultado de los VaR dinámicos calculados a través de modelos devolatilidad condicionada como el GARCH o EWMA. Combinamos dos modelos:el de Valores Extremos y el de volatilidad condicionada para implementar unGPD condicionado obteniendo resultados positivos.Para la llevar a cabo la evaluación del desempeño relativo de los diferentes

modelos VaR estimados, aplicamos la técnica del backtesting y calculamos uníndice de violación del VaR. Obtuvimos un buen desempeño de los modelosVaR con distribuciones extremas, GPD y GPD condicionado a medida queaumentamos los quantiles de estimación para la mayoría de los índices bursátiles,aunque este efecto es mas claro en los países desarrollados.La ventaja de los VaR dinámicos sobre los estáticos también se re�eja en los

modelos de distribuciones extremas. El modelo GPD condicionado muestra unmejor desempeño relativo frente al no condicionado.Aunque, la incorporación de la teoría de valores extremos (EVT) en la

gestión del riesgo evidencia un aporte importante en la cuanti�cación del mismo,algunos de los criterios necesarios para su estimación implican diferentes gradosde incertidumbre y allí se encuentra la complejidad y retos de esta área. En estetrabajo hemos evaluado que el modelo GPD tiene un buen desempeño pero estono debe confundirse con que se puede realizar una predicción con certidumbre.EVT proporciona un modelo paramétrico que permite estimar niveles de pér-

dida mucho más allá de los observados; sin embargo, en ocasiones puede ser muydifícil aceptar los criterios necesarios para estas estimaciones desde un punto devista económico y/o �nanciero, máximo cuando estos criterios pueden ser muylejanos o improbables desde nuestra experiencia empírica. McNeil (1998) en unejemplo de utilización a posteriori de la EVT para analizar el crash del S&P el19 de Octubre de 1987, estima con información al día anterior del crash, unaperdida esperada de 7% con un intervalo de con�anza al 95% de [4.7, 22.2]. Lacaída del �lunes negro�fue de 20.5%, la cual se encuentra dentro del intervalo decon�anza estimado por EVT. Sin embargo; los supuestos que implican proyec-tar tal caída requieren que se estime un nivel de retorno a 50 años (cuando lamáxima información era de 28 años) o un periodo de retorno esperado de 2100años. Cualquiera de estos dos supuestos debía ser de�nido antes de la caída el19 de Octubre por el gerente de riesgos para poder prever tal caída.Es importante llamar la atención sobre este punto porque ha sido gran parte

de la di�cultad y complejidad del presente trabajo y al que en el día a díase enfrentan los gestores de riesgo. Existe incertidumbre en la selección dealgunos criterios que pueden afectar los resultados. Por ejemplo, en el caso dela distribución GEV aunque desde el punto de vista estadístico esta muy biensustentado el ajuste de la distribución, la determinación del tamaño de los blocks

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podría parecer algo arbitrario y por lo tanto es aqui donde la experiencia y loscriterios económicos y �nancieros son fundamentales.Finalmente, la integración de los mercados �nancieros genera algunas direc-

ciones interesantes de ampliación del presente trabajo. Al ser los mercados emer-gentes una opción de inversión de gestores de fondos de inversión internacionalse podrían llevar a cabo dos análisis. Por un lado, convertir los índices en unamisma moneda con �nes de comparación de estructuras de riesgo-rentabilidaden las distribuciones de rendimientos de índices bursátiles. En segundo lugar,pensando en el análisis de portafolios internacionales con participación de in-versiones en economías emergentes podría extenderse el trabajo a series multi-variantes.

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