geometría trigonometría · / datos de catnlogación bibliográfica geometría y trigonometría...

Geometría y Trigonometría

Geometría . , y tri gonometr1 a

AITTURO AGUILAR MÁRQUEZ

F ABIÁN V AJ.APAI BRAVO V ÁZQUEZ

HERNIAN AuREuo GALLEGOS Ru1z

M IGUEL CERÓN VLLEGAS

RICARDO REYES FIGUEROA

REVISIÓN TÉCNICA

Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.) lng. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.)

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México

Prentice Hall

México • Argentina • Bra~il • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador Esparia • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela

/ Datos de catnlogación bibliográfica

Geometría y trigonometría Primera edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009

ISBN: 978-607 ·442-350· l

Área; Matemáticas

Formato: 20 X 25.5 cm Páginas: 320

Tocios los derechos reservados

Editores: Lilia Moreno Olvera e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Alejandro Gómez Ruiz Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villa1obos

PRIMERA EDICIÓN, 2009

D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C. V. Atlacomulco 500-5° Piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Estado ele México

Cámara Nacional dela Industria Editorial Mexicana. Reg. n6m. 1031

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ISBN: 97&-607-442-350-1

Prentice Hall es una marca de

PEARSON --Impreso en México. Printed in Mexico.

1234567 890-12111009

Para los que enseñan y para los que aprenden

ING. A RTURO SANTANA PINEDA

El poder de las matemáticas

El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende

actúa con lógica en la vida cotidiana, por lo tanto, domina al mundo.

ING. ARTURO SANTANA PINEDA

Prefacio

El Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido cursos de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda,

decidió plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos años y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por tanto actúa con lógica.

A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación oon el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va oonvencido de que es racil aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar alguna carrera afín.

De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos en el aula.

Enfoque

El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoria que se trata es lo más básica posible, sólo se abordan los oonceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoria analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor.

De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos oonvencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.

Estructura

El libro está formado por 1 7 capítulos, los cuales llevan un orden especifico tomando en cuenta siempre que el estudio de las matemáticas se va construyendo, es decir, cada capítulo siempre va ligado con los conocimientos adquiridos en los anteriores.

Cada capítulo está estructurado a base de teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son desarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver los ejercicios correspondientes. Las respuestas a los ejercicios se encuentran al final del libro, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvió correctamente y comprobar su aprendizaje. Por otro lado, en algunos capítulos aparece una sección de problemas de aplicación, la cual tiene como objetivo hacer una vinculación con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conocimientos adquiridos en cada tema.

Como recomendación se propone que se resuelvan los ejercicios preliminares de aritmética y álgebra que se encuentran al final del libro, para que el lector haga un diagnóstico de sus conocimientos en dichas áreas los cuales son fundamentales para poder iniciar el aprendizaje de la Geometria y la Trigonometria. De tener

VII

GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA

algún problema con dichos ejercicios se recomienda retomar los temas correspondientes y consultarlos en el libro de aritmética y álgebra publicado por la misma editorial.

En el primer capítulo se dan las definiciones básicas de Geometrla y algunas notaciones que se utilizarán en el desarrollo de los siguientes temas como son: recta, segmento de recta, arco, entre otros. En el segundo capítulo, se estudian los ángulos y sus generalidades.

El tercer capítulo estudia las rectas paralelas y perpendiculares, así como las rectas paralelas cortadas por una secante. En el capítulo cuatro, se estudian los triángulos y sus generalidades. Se continúa en el siguiente apartado con cuadriláteros, mientras que en el capítulo seis, se analizan los polígonos en forma general (ángulos interiores y exteriores, diagonales, etc.). El capítulo siete corresponde a transformaciones (escala, rotación, simetrla axial, simetrla central}.

la circunferencia, sus elementos, rectas notables y otras generalidades de ésta, se estudian en el capítulo ocho. En los capítulos nueve y 1 O se estudia el perimetro y área de figuras geométricas en el primero y volumen en el segundo.

En los capítulos 11 y 12 se comienza con el estudio de la Trigonometrla. Se dan los conceptos de funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo y valores para distintos ángulos, para estos capítulos se agregan las tablas de funciones trigonométricas que encontrará en la parte final del libro. En el capítulo 13 se analizan las gráficas de dichas funciones. Las distintas identidades trigonométricas se contemplan en ei capítulo 14.

En los dos capítulos siguientes, se estudia la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, respectivamente. La parte de Trigonometría termina en el capítulo 17 el cual corresponde a la forma trigonométrica de los números complejos.

VIII

Agradecimientos

Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional.

ARTURO SANTANA PINEDA

IJrREcroRGENERALDECONAMAT

A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Cherna e Hiram los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi fiunilia (Echevenia, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán.

ARTURO AGUILAR MÁRQllEZ

A mis padres Maria Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos (Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo yHerman.

F ABIÁN V ALAPAI BRAVO V ÁZQllEZ

Una vez mi padre me dijo que "un hombre triunrador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes", agradezco y dedico esta obra a la memoria de mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida.

HERMAN A. GALLEGOS RIJIZ

A toda mi ramilia muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir; a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado este sueño.

MIGUEL CERóN Vil.LEGAS

A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por hacer realidad nuestro sueño.

RICARDO REYES FiGllEROA

Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.

Los AUTORES

IX

Acerca de los autores

Arturo Aguilar Márquez. Llegó romo estudiante al Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de Actuaria en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT.

FabiánValapaiBravoVázquez. Desdemuytempranaedad,conlapreparacióndeprofesoresdeCONAMAT, participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo, estudió la carrera de Diseño Gráfioo en la Escuela Nacional de Artes Plásticas.

Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaria en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más de 15 años en el Colegio Nacional de Matemáticas.

Miguel Cerón Vtllegll$. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene más de 15 años de experiencia en docencia.

Ricanfo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente en la misma institución donde ha impartido las materias de Matemáticas y Fisica durante 19 años. Realizó sus estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.

XI

Anexo: Ejercicios preliminores, 285

Contenido

eometría y trigonometría

Prefacio VII

Agradecimientos IX

/laJrco de los autores XI

CAP1TuLO 1 C.Onceptos básicos Conceptos básicos 4.

CAP1TuLO 2 Ángulos Cefinición, 8. fvl.edidas, 8 . Sistema sexogesimol, 8. Sistema cíclico o circular, 10. Conversión de grodas o rodiones yde rodiones o grodos, JO. Operociones, 12. Closifiooción de ocuerdo con su medido, 14. Convexos, 14. Llono o de lodos colineoles, 15. Cóncovo o enfronte, 15. Perigonol o de vuelto entero, 15. Complementarios, 15. Suplementarios, 15. Conjugados, 16.

ÚPlTuLO 3 Rectas perpendiculares y paralelas Perpendiculoridod, 22. Porolelismo, 22. Ángulos opuestos por el vértice, 23. Ángulos oontiguos, 23. Ángulos odyocentes, 23. Rectos porolelos oortodas por uno recto seoonte, 23.

CAPITULO 4 Triángulos Cefinición, 30. Closifiooción de los triángulos, 30. Por sus lodos, 30. Por sus ángulos, 30. Rectos y puntos notobles, 31. Teoremos, 32. Triángulos oongruentes, 37. Teoremas de congruencia, 37. Proporciones, 44. Teoremas de proporciones, 45. Semejonzo, 46. Propiedades fundomentoles, 46. Teoremas de semejonzo, 47. Teorema de Toles, 49. eoremo de Pitógoras, 54. Noturolezo del triángulo o porlir del teorema de Pitágoros, 56. Teoremas de semejonzo en triángulos rectángulos, 57.

CAPITULO 5 Cuadriláteros Cefinición, 62. Closifiooción, 62. eoremo, 63. Propiedodes de los porolelogromos, 63. Demostraciones, 65. Porolelogromos especiales, 66. Propiedades de los trapecios, 68. Propiedades de los trapecios i5ósceles, 68.

CAP1TuLO 6 Polígonos Cefinición, 72. Clasifiooción, 72. Por sus lodos, 72. Por sus ángulos, 72. Sementas, 73. Número de diogonoles, 73. NJmero de diogonoles trozados desde un mismo vérlice, 73. Número de diagonales l::>loles, 73. Ángulos de un polígono, 75.

ÚPlTuLO 7 Transformaciones Escalo, 82. Figuras o escolo, 82. Tronsformociones de figuros en el pleno, 84. Trosloción, 84. Roloción, 87. Simetría axiol, 91. Simetrío central, 96.

XIII

GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA

CAPITULO 8 Grcunferencia y circulo Circunferencia, 102. Recios notables, 102. Porciones de un círculo, 102. Circunferencia y polígonos, 103. Ángulos notables, 103. 7eoremos, 107. Tangente o uno circunferencia, 112. longitud de uno tangente, 112. Propiedades de los tangentes, 112. Posiciones re lativos, 113.

CAPITULO 9 Perímetros y superficies l:efiniciones, 118. Perímetro y área de uno figura plano, 118. Fióngubs, 118. Coodril:reros, 119. Po#gonos ¡egubres, 121 . Orcooferencio yóro.ib, 122. Sector ysegmenb drcubr, 122. heo de figuras combinados, 125.

CAPITULO 10 Cuerpos geométricos, áreas y volúme nes Ángulo diedro, 132. Oosificoción, 132. Ángulo triedro, 132. Oosificoción, 133. Áng ulo poliedro, 134. Oosificoción, 134. Poliedro, 135. Bemenfos, 135. Clasificación, 135. Poliedros regulares, 136. Clasificación, 136. Desarrollo, 137. Áreo y volumen de un poliedro regular, 137. Prisma, 140 . Clasificación, 140. Área y volumen, 142. Pirámides, 144. Área y volumen, 145. Cuerpos con superficies no planos, 147. Cilindro circular, 148. Cono circular, 148. Esfera, 151. Figuras esféricos y zonas esféricos, 151. Área de figuras esféricos y volumen de cuerpos esféricos, 152.

CAPITULO 11 Funciones trigonométricas Funciones trigonométricos, 158. Definiciones, 158. Cofunciones, 159. Rango numérico, 160. Valor, 160. Signos de los funciones trigonométricos en el plano corlesiono, 162. Tablo de signos, 162. Funciones trigonométricos poro ángulos mayores que 90º, 164. Funciones trigonométricos de ángulos negativos, 166. \blores numéricos de los funciones trigonométricos circula res, 167.

CAPITULO 12 Funciones trigonométricas para ángulos notables \blor de los funciones trigonométricos de los ángulos de Oº, 90º, 180º, 270º y 360º, 172. Valor de los

funciones trigonométricos de los ángulos de 30º, 45º y 60º, 173. Aplicación de los valores trigonométricos ck los ángulos notables, 17 5.

CAPITULO 13 Representación gráfica de las funciones trigonométricas G ráficos de los funciones trigonométricos, 180. Gráfico de y= sen x, 180. Gráfico de y = cos x, 181. GráFico de y= fon x, 181 . Gráfico de y= dg x, 182. GráFico de y= sec x, 182. GráFico de y= ese x, 183. Resumen, 183. Amplitud, periodo y desplozomienfo de fose, 184. Gráficos de y = sen-1 x, y = cos-1 x, y= fon-1 x, 187.

CAPITULO 14 Identidades y ecuaciones trigonométricas Identidades trigonométricos, 192. Obtención de los identidades trigonométricos básicos, 192. l:emostrocián

de identidades trigonométricos, 193. O btención de los identidades trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de

ángulos, 198. Valor de uno función trigonométrico poro lo sumo y lo diferencio de ángulos, 200. Aplicación de los funciones trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de ángulos, 20 l. Funciones trigonométricos del

ángulo doble, 205. Seno del ángulo doble sen (2a}. 205. Coseno del ángulo doble cos (2a}. 205. Tangente ckl ángulo doble fon (2a). 206. Funciones trigonométricos de lo mitad de un ángulo, 207. Seno de lo

mitad de un ángulo: sen(~} 207. Coseno de lo mitad de un ángulo: cos( ~} 207. Tangente de lo mitad

de un ángulo: fon(~)· 207. Identidades trigonométricos poro transformar un producto en sumo o resto, 212.

Demostración de identidades, 214. Identidades poro transfo rmar sumos o restos de funciones trigonométricos en un producto, 216 . l:emosfroción de identidades, 219. Ecuaciones trigonométricos, 220.

XIV

CAPITuLO 15 Triángulos rectángulos Solución de triángulos redángulos, 226.

CAPITuLO 16 Triángulos oblicuángulos

Contenido

Solución de triángulos oblicuángulos, 236. ley de senos, 236. ley de cosenos, 238. ley de tangentes, 240.

ÚPÍlULO 17 Forma trigonométrica de los números complejos

Formo trigonométrico o polar, 250. Operaciones fundamentales, 251.

Solución o los ejercicios, 257

Anexo: Ejercicios preliminares, 285

lOblos de valores de los funciones trigonométricos, 297

XV

-CAPÍTULO 1

CONCEPTOS BÁSICOS

~ETREIN, ªMEDIR")

Los seis libYOs primeYOs de la geometrla de Euclides

mo de los matemáticos que se ocupo de los propiedades del es·

ocio. En su formo más elemen· tal, lo geometría se ocupo de problemas métricos como el cálculo del área y dió· metro de figuras pionas y de lo superfi· de y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de lo geometría son lo geometría analítico, geometría descriptivo, topología, geometría de espacios con 4 o más dimensiones, geometría fractal y geometría no euclídeo.

Geometria plana

Romo de lo geometría elemental que es· ludio los propiedades de superficies y figuras planos, como el triángulo o el círculo. Esto porte de lo geometría también se conoce como geometría euclídeo, en honor a l matemático griego Euclides, el primero en estudiarlo en el siglo IV o .C. Su extenso trotado Los seis libros primeros de lo geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta lo aparición de los llamados geometrías no Euclídeos en el siglo XIX.

1 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Conceptos básicos

Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos conceptos básicos:

Geometría. Rama ele las matemáticas que estudia las propiedades, las formas y las dimensiones ele figuras y

cuerpos geométricos.

Punto. Según Euclides: "Punto es lo que no tiene partes", para evitar confusiones al dar una definición más compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un lápiz sobre el papel, tan pequeña que carece ele dimensión.

linea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma:

A B

RectaAB

Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden se le llama semirrecta.

e

Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes .

• • A e D

Curva. Fs aquella línea que no tiene partes rectas.

D Semirrecta CD

B

Segmento CD

A

~B

Arco. Porción ele curva limitada por 2 puntos no coincidentes.

A Áii B

~ ArcoÁB

Figura geométrica. Extensión limitada por puntos, lfnea¡ y superficies.

o Cuerpo sólido. Fs todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y altura.

Proposición. Enunciado que nos propone algo y que por tanto se puede calificar como falso o verdadero.

CAPÍTULO 1 Conceptos b6sioos

Axioma. Proposición evidente que no requiere demostración.

Ejemplos

Dos puntos diferentes determinan una recta y sólo una. Sobre cualquier recta hay al menos 2 puntos diferentes.

Postulado. Proposición cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma se admite sin demostración.

Ejemplos

Dos rectas determinan un punto y sólo uno. Siempre es posible describir una circunferencia de centro y radio dado.

'Thorema. Proposición cuya verdad necesita demostración.

Ejemplos Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

La suma ele los ángulos interiores ele todo triángulo son 180°.

Corolario. Proposición que es consecuencia inmediata ele otra.

Ejemplo Del postulado de Euclides: "Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta". Se obtiene el siguiente corolario: "Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre si".

Lema. Proposición que sirve para facilitar la demostración ele un teorema.

Ejemplos Toda linea poligonal convexa es menor que cualquier otra linea envolvente que tenga los mismos extremos.

Un ángulo no nulo y no llano divide al plano en 2 regiones, ele tal suerte que en una y sólo una de las regiones, 2 puntos cualesquiera siempre pueden unirse por un segmento que oo interseca ninguna de las 2 semirrectas que forman el ángulo.

5

-CAPÍTULO 2

ANGULOS

SEXAGESIMAL o E -! ¡;;

LOfU.F.MINTOJ ,. '"'"n" ' "•••IO--::¡::C._.;:- -=-· :¡.,;,_.::::E...:=-:;.,. ·~~ ·==-....:~ . r=.-....., ... -:~-=-· -·- -----::, ·-- .. Es un sistema de numeración posi·

cionol que empleo lo base sesenta . Tuvo su origen en lo antiguo Babi·

lonio.

Definiciones de ángulos del libro A diferencio de lo mayoría de los demás l.oselementosdeEuclides sistemas de numeración, e l sexogesimol

no se uso mucho en lo computación general ni en lo lógico, pero sí en lo medición de ángulos y coordenados geométricos. Lo unidad estándar en sexogesimol es el grado. Uno circun· ferencio se d ivide en 360 grados. Los d ivisiones sucesivos del grado don lugar o los minutos de orco ( 1 / 60 de grado) y segundos de orco ( 1 / 60 de minuto).

Quedan vestigios del sistema sexogesimol en lo medición del tiempo. Hoy 24 horas en un día, 60 minutos en uno hora y 60 segundos en un minuto. Los unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal.

-


Definición

Un ángulo es la abertura comprendida entre 2 semirrectas que tienen un punto en común, llamado vértice.

Fl ángulo se representa como LA, L BAC, a, o con letras del alfabeto griego. Si un ángulo se mide en sentido contrario al movimiento de la> manecilla> de un reloj, entonces es positivo, si se mide en el mismo sentido entonces será negativo.

Medidas

Los ángulos se miden en grados o radianes de acuerdo al sistema.

Sistema sexagesimal

Este sistema de medir ángulos es el que se emplea normalmente: la circunferencia se divide en 360 partes llamadas grados, el grado en 60 partes llamadas minutos y el minuto en 60 partes que reciben el nombre de segundos.

1º=60'; 1'=60"

Ejemplos

A continuación se dan 3 números en sistema sexagesimal: a) 45º b) 21° 36' e) 135º 28' 32"

Relación de conversión Es la relación que existe entre los grados, minutos y segundos de un ángulo expresado en sistema sexagesimal.

R>r3600

~~ Grados Minutos Segundos

::::-- Entre60___.-/ ...____ Entre60 ~ -----Entre3 600 -------

O: acuerdo con la gráfica, se establecen la> siguientes condiciones de conversión:

e Para convertir de una unidad mayor a una menor se multiplica por 60 o 3 600, según sea el caso. e Para convertir de una unidad menor a una mayor se divide entre 60 o 3 600, según sea el caso.

8

EJEMPLOS,------------~ 1 •••Convierte 19º 47' 23" a grados.

E Solución .L w Los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre 3 600:

CAPÍTULO 2 Ángulos

19º 47' 23" = 19º + ( ~ J +( 3~00 J = 19º + 0.7833° + 0.0063° = 19.7896°

Por tanto, 19º 47' 23" equivalen a 19.7897º.

2 •••Convierte 32º 12' IS' a minutos.

Solución

Los grados se multiplican por 60 y los segundos se dividen entre 60:

32° 12' 15" =(32)(60)' + 12' +(~~)' = 1920' + 12' +0.25' = 1932.25'

Por consiguiente 32º 12' IS' equivalen a 1 932.25'.

3 •••Convierte 45.5638° a grados, minutos y segundos.

Solución la parte decimal de 45.5638° se multiplica por 60 para convertir a minutos:

45.5638° = 45° + (.5638)(60') = 45° 33.828'

la parte decimal de los minutos se multiplica por 60 para obtener los segundos:

45°33.828' = 45° 33' + (.828)(60") = 45° 33'49.68"

EJERCICIO 1 Convíerte los siguíentes ángulos a grados:

l. 40° 10' 15"

2. 61° 42'21"

3. 1° 2' 3"

4. 73°40'40"

5. 9° 9' 9"

6. 98°22'45"

Convíerte los siguíentes ángulos a su equivalente en grados, mínutos y segundos:

7. 40.32° 9. 18.255° 11. 19.99º

8. 61.24° 10. 29.411° 12. 44.01°

t::) Verffi:a tus nsultados en la sección de soludone1 cOf'ftspondiente ••• •.•• ••••••••• •••.•

9


Sistema cíclico o circular

Este sistema utiliza como unidad fundamental al radián. El radián es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo. Se llama valor natural o valor circular de un ángulo.

~ Oº

Un radián (1 rad) equivale a 57.29º y rr radequivalen a 180°.

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados

Sea S un ángulo en sistema sexagesimal (grados) y R en el sistema cíclico (radianes), entonces para convertir:

Se multiplíca el número de grados por el factor

1;. y se simplifca, esto es:

Se multiplíca el número de radianes por el factor

180º . I"' -- y se somp nea, esto es: 1!

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~ ..... ~ 1 • • •Convierte 150° a radianes.

E Solución .ll.

2

Se multiplica 150° por el factor 1;.

R:>r consiguiente, 150° es equivalente a ~ 1! rad.

• •Convierte a grados 21! rad. 4

Solución

180° Se multiplica por el factor -- y se simplifica al máximo, obteniendo:

1!

2 1!=2 1!(180º)= 7(180º)1! - 7(180º) =315º 4 4 1! 41! 4

Finalmente, 21! rad equivalen a 315°. 4

10

3 • • · Convierte 12° 15' 36" a radiane$.

Solución

Se convierte a grados el ángulo:

12° 15' 36" = 12° + (!~ J +( 3:0 J = 12° + 0.25° + 0.01° = 12.26°

La conversión a grados se multiplica por el factor ~ y se simplifica a su mínima expresión: 180°

12.260(~) = 12.26ºit = 1226it = 613it rad 180° 180º 18 000 9 000

. 613it Por tanto, 12° 15' 36" eio eqwvalente a -- rad.

9000

4 • •· Exprei¡a un ángulo 6 que mide 3 radianes en grados, minutos y segundos.

Solución

(180º) Para convertir de radiane$ a grados se multiplica por el factor n

(180º ) 3 rad = 3 n = 171.8873°

La parte decimal se convierte en minutos,

171.8873°=171° + (0.8873)(60') = 171° 53.238'

El nuevo decimal se convierte en segundos, entonces:

171.8873° = 171o53' + (0.238)(60") = 171o53' 14.28"

EJERCICIO 2 • Transforma a radíanes los sigulenteS ángulos:

l. 210° 8. 330°

2. 300° 9. 120°

3. 225° 10. 135°

4. 450° 11. 45.23°

5. 72° 12. 128.30°

6. 100° 13. 150º 36' 40"

7. 30° 14. 420º O' 45"


e Verifica tus r .. ultados en la .. ccl6n da .00.clonu CO<ft_....nta a -----------== 11


EJ E~CICIO 3 Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos:

l. 2

4. 4

7. 13

- 11: - 11: - 11: 3 3 5

10. 4.7124 rad 13. 6.2832 rad

2. 11

5. 111: 8. 1

-11: -11: 6 12

11. 0.1683 rad 14. 0.5 rad

3. 3

6. 1

9. 1.5708 rad - 11: -11: 4 9

12. 1.1201 rad

e Ylriflca tusr .. ultaclos en la -cl6n do soluc:lonH oon .. pondionte • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Operaciones

A continuación se presentan las operaciones básicas con ángulos: suma, resta, multiplicación y división.

~EMPLOS~~~~~~~~~~~~~--. .. ...2 1 • • •Ffectúa la suma ele los siguientes ángulos: 29º 38' 22"; 18° 47' 52" ; 36° 42' 37'' a. E

L!-Solución Se acomodan en forma vertical ele acuerdo a su orden:

l\!ro 111" = 1' 51"

y 128' = 2° 08'

29º 38' 72:' + 18° 47' 52"

36° 42' 37"

83° 127' 111"

83° 127' 111" = 83° 127' + 1' 51" = 83° 128' 51"

83° 128' 51" = 83° + 2° 08' 51" = 85° 08' 51"

R>r tanto, el resultado es: 85° 08' 51".

2 •••Realiza lo que se indica: Resta 24º 42' 18" de 138º 29' 17''

Solución Se acomodan en forma vertical:

138° 29' 17" - 24º 42' 18"

Dacio que 42' > 29' y 18'' > 17'', entonces 138° 29' 17'' se transforman en

Y se realiza la resta,

138° 29' 17'' = 137° 89' 17'' = 137° 88' 77''

137° 88' 77" - 24º 42' 18"

113º 46' 59"

Finalmente, se concluye que el resultado es 113° 46' 59".

12

3 • • •Multiplica 73 º 16' 32" por 29.

Solución 73° 16' 32"

X 29

2 117° 464' 928"

FJ resultado que se obtiene se simplifica, al transformar los segundos a minutos:

2 117° 464' 928" = 2 117° 464' + 15' 28" = 2 117° 479' 28''

Y después minutos a grados:

2 117° 479' 28" =2 117° + 7° 59' 28" =2124° 59' 28"

Por tanto, el resultado es: 2 124° 59' 28".

4 • • · Encuentra la novena parte de 165° 48' 29".

Solución

Se dividen los grados entre 9:

FJ residuo se transforma a minutos y se suma con 48',

18°

91165° 48' 29" 3º

18°

91165° 48' 29" 3º=180'

228'

Ahora 228' se divide entre 9 y el residuo se transforma a segundos,

Finalmente, 209" se divide entre 9:

13

18° 25'

91165º 48' 29" 3° = 180'

228' 29" 3' = 180"

209"

18° 25' 23"

91165º 48' 29" 3º = 180'

228' 29" 3'=180"

209" 2"



EJERCICIO 4 . Efectúa las síguíentes operaciones:

l. 40° 30' 18" 8. 35° 28" + 15° 16' 32" X 25

2. 25º 30" 9. 25° 35' 25.4" + 15° 12' 45" X 15

3. 36° 42' 28" 10. 25º 13' 42'' + 10° 23' 40" X 9

2° 13' 25''

4. 180° 11. 261118° 23' - 120° 40' 15"

5. 213° 25' 13" 12. 8 1125° 30' 25" -105° 17' 25"

6. 90º 13. 12 1 40° 20' 16''

- 14° 15' 38''

7. 14°30' 15" 14. 141185° 34' 12" X 17

e Ylriflca tus .. sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a-----------=--= Clasificación de acuerdo con su medida

La magnitud de un ángulo depende ele su abertura comprendida entre los lados y no de la longitud de éstos. De acuerdo con su magnitud, se clasifican en:

Convexos

Son los que mielen más de Oº y menos de 180º, a su vez se clasifican en:

Agudo. Es aquel que miele más ele Oº y menos ele 90º.

Recto. Es aquel cuya magnitud es ele 90°.

14

Obtuso. F.s aquel que miele más ele 90º y menos ele 180º.

Uano o de lados colineales

Fs el que miele 180º.

Cóncavo o entrante

Fs aquel que miele más ele 180° y menos ele 360°.

Perigonal o de vuelta entera

Fs el que miele 360°.

Complementarios

Son aquellos cuya suma e> igual a un ángulo recto (90°).

Suplementarios

180°

La+ Lb =90º

Son aquellos cuya suma e> igual a dos ángulos rectos (180°).

La+Lb=180º

.. 15



Conjugados

Son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos (360°).

La+ Lb=360º

• • • D:termina el complemento del ángulo de 38° 40'.

Solución

Por definición, 2 ángulos son complementarios si suman 90º, entonces:

38° 40' + X = 90º

X = 89° 60' - 38° 40'

X = 51° 20'

Rlr consiguiente, el complemento de 38° 40' es 51° 20'.

2 • •· D:termina el ángulo que es el triple de su complemento.

Solución

pero 90º = 89° 60'

Sea x el complemento, entonces 3x es el ángulo, al aplicar la definición de ángulos complementarios:

Ángulo+ Complemento= 90º

R>r tanto, el ángulo es de 67.5º = 67º 30'.

3x+ x=90º

4x=90º

90º x=4 x= 22.5°

3 • • •Fncuentrael valor de los ángulos que se muestran en la siguiente figura:

Solución

Los ángulos L AOB, L BOC y L COD son suplementarios, entonces:

LAOB=x - 10°

LBOC=3x

L COD = 2x - 20°

16

(r - 10°) + 3x + (2x - 20°) = 180°

fu: - 30° = 180°

6x = 210°

X =35°

Entonces:

LAOB = x-10° = 35°-10° = 25°

L BOC = 3x = 3{35°) = 105°

L COD = 2x-20° = 2(35°)- 20° = 70° - 20° = 50°

4 ••· Determina el valor de los ángulos de la siguiente figura:

Solución

Fn la ti gura,

N

Q

1 1 1 LMON= 2x+20º, LNOP= ¡x + 10º y LPOQ= Jx +20º

Los ángulos L MON, LNOP y L POQ forman un ángulo llano, entonces:

1 1 1 - x+20º+ - x + 10º+ - x +20º=180° 2 4 3

Donde x = 120º, ¡x>r consiguiente,

LMON=80º,LNOP=40º y LPOQ=flJº

EJERCICIO 5 . lndíca sí los pares de ángulos síguíentes son complementarios, suplementarios o conjugados:

l. 37°y 143° 6. 34° 48' y 55°12'

2. 42ºy 48° 7. 22° y 158°

3. 135ºy225º 8. 10° y 80°

4. 21ºy 339° 9. 270° y 90º

5. 132° y228º 10. 179º y 1°

Efectúa lo síguíente:

11. Determina el complemento de 80°.

12. Encuentra el suplemento de 123°.

13. Encuentra el conjugado de 280°.

14. Si el complemento de un ángulo mes 2m, ¿cuál es el valor del ángulo?

15. ¿Cuál es el ángulo cuyo complemento es 4 veces mayor que él?

16. Si el suplemento de un ángulo es 8 veces el ángulo, ¿cuánto vale éste?

17. Un ángulo y su complemento están en la razón 2:3. ¿Cuál es la medida del ángulo?

17



18. ¿Qué ángulo es igual al doble ele su suplemento?

19. Determina el valor ele los ángulos que se muestran en las siguientes figuras:

a) e b)

B

B

o A A

e) d) B

A

e) fJ A O D .......... //0(-g--~~~~-j---..

e

g) h)

1x + 16º

A ,,,.,,.&z B

e Vlrlfk• tus nsultaclos •n 1.e Mec16n de soluciones cornisponclent• . ----------~=~

18


------------------ PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Los ángulos se encuentran en tocio aquello que tenga intersecciones de líneas, bordes, planos, etcétera. La esquina de una cuadra, el cruce de los cables de luz, al abrir un libro, la esquina de un cuarto, la abertura formada por las manecillas de un reloj, la unión de una viga y una columna, son algunos ejemplos de ángulos, 6>tos tienen aplicación en la aviación, la navegación, la topograffa y la trigonometría, entre otros.

e Ángulo vertical

Sirve para definir el grado de inclinación del alineamiento sobre un terreno. Si se toma como referencia la línea

horizontal, al ángulo vertical se le conoce como pendiente de una línea, el cual es positivo (de elevación) o negativo (de depresión).

e Ángulo horizontal

9: Ángulo de elevación

a: Ángulo de depresión

Lo forman 2 líneas rectas situadas en un plano horizontal. El valor del ángulo horizontal se utiliza para definir la drección de un alineamiento a partir de una línea que se toma como referencia, y por lo regular son los puntos cardinales: norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).

N

Fn la figura se muestran las direcciones de los puntos A y B respecto al punto P.

Ilrección de A respecto a P N25º0 o 065ºN

Ilrección de B respecto a P ElOºS o S80º E

1 Un barco sale de un puerto con dirección 040°50' N, mientras que una segunda embarcación sale del mismo muelle con dirección E24º30' N. ¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos buques?

Solución Al establecer las direcciones de los dos barcos, se observa que el ángulo 8 que forman es:

8 = J 80" - ( 40° 50' + 24° 30')

8= 180° -65° 20'

8= J 14° 40'

Por tanto el ángulo que forman mide 114º 40'.

19

o

N

E

s


2 ¿Cuál es el ángulo agudo formado por el horario y el minutero si el reloj marca las 18:20 hr?

Solución

En un reloj de manecillas cuando el minutero recorre una vuelta (360•), el horario sólo avanza 30•, esto significa que el horario avanza la doceava parte de lo qie recorre el minutero por vuelta, a partir de las 12:00 hr, luego, a las 18:20 hr,

el minutero avanzó 120• y está ubicado en el número 4 mientras que el horario 1

avanzó 12

(120•) = 10• y está entre las 6 y las 7 horas, por tanto, el ángulo agudo

es de 10•.

120•

10•

EJERCICIO 6 • Resuelve los siguientes problemas:

1. Un barco sale de un puerto con dirección norte y una segunda embarcación sale del mismo muelle con dirección sureste. Determina el ángulo que forman las direcciones de los dos buques.

2. Dos aviones parten de una ciudad con direcciones S32•Ey E s1•N, ¿cuál es el ángulo que forman sus direcciones?

3. El ángulo que forman las direcciones de 2 personas es 125•, Determina los ángulos 6y así la primera persona tiene drección OfJN, la segunda EaNy fJequivale a los cinco sextos dea.

4. Desde un punto P se observan dos edificios, el primero de ellos tiene una dirección NS• 39'0. Si el ángulo que forman las direcciones de estos edificios es de 144• 39', determina la dirección del segundo edificio si se encuentra en el plano oeste-sur.

5. ¿Cuál es el ángulo agudo formado por las manecillas del reloj cuando marcan las 14: 15 hr?

6. Determina el número de grados en el ángulo formado por las manecillas del reloj a las 10: 1 O hr.

7. Encuentra el número de grados en el ángulo mayor formado por las manecillas del reloj a las 5 ¡. 8. ¿A qué hora entre las 12:00 y las 13:00, las manecillas del reloj formarán un ángulo de 165•?

9. ¿Cuántos radianes girará el minutero de un reloj en un día completo?

10. ¿A qué hora entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj forman un ángulo de 130•7

e:> lllrlflca tus r .. ultados en la Mecl6n do soluclonu --diento • ------------~

20

-CAPÍTULO 3

RECTAS PERPENDICUlARES Y PARALElAS

HISTÓRICA o

I C

5t &

AXIOMA DE PARALELISMO V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.)

Si 2 rectas distintas 1 y r. a:>planares cortadas por una secante ten puttos distittos, foanan con ella en d semiplano IL 2 ángulos itteriores, de tal 1111llera que la suma de sus medidas sea menor que 180°, entonces las 2 rectas se coitan en algún punto del semiplano II,.

El quitto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene un enunciado equivaleme, llamado el postulado de la paralela única de Playfuir, el cual dice: "por un pumo exterior a una = pasa una paralela a la =y sólo una".

E 1 quinto postulado (axioma de paralelismo de Euclides) causó un trastorno conside·

rabie desde la época de los griegos. Muchos geómetras pensaron q.¡e tal vez podría deducirse como leorema a partir de los restantes axiomas o postulados. Eucl ides mismo trató de evitarlo mientras pudo, pues no lo utilizó en sus demostraciones sino hasta que llegó a la proposición 120. Durante más de 2 000 años fueron ofre· cidas diferentes •demostraciones• del postulado, pero cada una se basaba en una suposición equiva· lente al mismo. La independencia

del postulado de las paralelas quedó establecida cuando fue demostrada la compatib ilidad de los otros geómetras donde el V Postulado se nega· bao cambiaba par otro. Cualquier geometría cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclides, es llamada no euclidiana. La primera de ellas que se inventó fue la geometría Lobachevsquiana. Gauss ( 1777· 1855) en Alemania, Bolya i ( 1802·1860) en Hungría y Lobachevsky ( 1793· 1856) en Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair ( 1748·1819) del postulado, considerando 3 pasibilidades: par un punto exterior a una recta pueden trazarse más de una, únicamente una o ninguna paralela a la recta .


Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si, al cortarse, forman 4 ángulos rectos. Para denotar que una recta es perpendicular a ttra se utiliza el símbolo l..

c Si AB .L CD, entonces LAOC = LCOB = LBOD = LDOA = 90º

A o B

D

e Tuorema L Si por un punto exterior a una recta se traza una perpendicular y varias oblicuas, se verifica:

A

~ B C D

a) El segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta es menor que cualquier segmento de las oblicuas.

Si AC .L BD, entonces AC < AB y AC <AD

b) De 2 segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es mayor aquel que dista más.

Si BC <CD, entonces AB <AD

e) Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan al pie de la perpendicular, son iguales.

Si BC =CD, entonces AB =AD

e Tuorema 2. Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si no tienen un punto en común y guardan siempre una misma distancia.

A---------B

C D

e Tuorema L Dos rec~ en el plano, parale~ a una tercera, son paralelas entre sí.

A---------------- B C D E F

22

CAPÍTULO 3 Rectos perpendiculares y paralelos

e 'I\!orema 2. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella.

p C~~~~ ...... ~~~- D

A B

e 'Ieorema 3. Si una recta ( 1 es perpendicular a €,, también es perpendicular a tocia paralela a la recta €,.

Ángulos opuestos por el vértice

Son aquellos que tienen el vértice común, y los lacios de uno de los ángulos son la prolongación de los del otro.

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales: La=Lc y Lb=Ld

Ángulos contiguos

Son aquellos que tienen un lacio y un vértice en común. L AOB es contiguo a L BOC, entonces:

LAOB + LBOC = LAOC

Ángulos adyacentes

Son ángulos contiguos cuyos ángulos no comunes están alineaclos, esto es, suman 180°.

L AOB es aclyacente a L BOC, entonces:

L AOB + LBOC = 180º

Rectas poralelas cortadas por una recta secante

A

Dadas l~ rectas, RR'll rr' y SS' una recta secante, se forman los siguientes ángulos:

s

S'

& tos ángulos reciben los siguientes nombres:

e

º~' ¿__' o e

Ángulos alternos internos. Ángulos internos no aclyacentes situados en distinto lacio de la secante; son iguales.

L 3 = L 5; L 4 = L 6

23


Ángulos alternos externos. Ángulos externos no adyacentes situados en distinto lacio de la secante; son iguales.

L 1 = L 1; L 2 = L 8

Ángulos correspondientes. Dos ángulos no adyacentes situados en un mismo lacio de la secante; son iguales.

L 1 = L 5; L 4 = L 8; L 2 = L 6; L 3 = L 7

Ángulos colaterales internos (suplementarios). Dos ángulos internos no adyacentes y situados del mismo lado de la secante; suman 180°.

L4+ L 5=180º; L3+ L6= 180º

Ángulos colaterales externos (suplementarios). Ángulos externos no adyacentes situados del mismo lacio de la s:cante; suman 180º.

L 1+L8= 180°; L2+ L1=180º

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-. ... ..S! 1 • • ·Si t, 11 t 2 , calcula el valor de los ángulos a, b, e, d, e,f, x, y 2x - 15º, de la siguiente figura: a.. E i!-

Solución

Los ángulos x y 2x- 15° son colaterales externos, entonces:

X+ (2x-15") = 180°

Los ángulos a y x son ángulos suplementarios:

a+x= 180°

3x-15º = 180°

3x= 180°+15°

3x = ¡95•

¡95• x=--

3

x=65•

a=l80º-x

a= 180º -65º

a= 115° Para obtener los valores de los ángulos restantes, únicamente se torna la posición de cada par de ángulos:

L d =La por ser correspondientes, entonces L d = 115° Lc=La por ser opuestos por el vértice, en consecuencia Le = 115°

L e = L x por ser correspondientes, se determina que Le = 65° L f = Le por ser opuestos por el vértice, por tanto L f = 65 •

Luego, los valores de los ángulos son:

La=l15º Ld=ll5º

Le= 115°

L2x-15º = 115°

24

Lx=65º Lb=65º

Le= 65° Lf =65º


2 • • •Si t 111 t,. obtén los valores de x y de yen la siguiente figura:

Solución

Los ángulos 110° y 2y son suplementarios:

2y + 110° = 180° donde 180°-110 ° 70°

y= --=35° 2 2

Los ángulos x - y y 110º son alternos internos, entonces,

x - y = llOº donde

Finalmente, las soluciones son:

x -35°=110°

X= 110° + 35°

X= 145°

x= 145°; y= 35°

EJERCICIO 7 . Calcula el valor de cada uno de los ángulos que se indican en las figuras siguíentes:

l. 2. Si L, 11 L2

A B

3. Si L, 11 L, 4.

a D L1

d

2x A

25

e

B


5. Si L1 11 L,. encuentra el valor el: los ángulos

7. Si L, 11 L,. determina el valor ele x, a y b

6. Si L, 11 L,. halla el valor de x

8. En la siguiente figura: A 11 B, C 11 D y el L 3 = 110º. Determina la medida ele los ángulos L 4, L 7, L 1, L 1 O, Ll3yL16

e

4 ~~-<--1-1--~~~---+-+-;>--~-A

8

11 15

En los ejercidos del 9 al 11 determina el valor de x y y

9. Si AB 11 CD 10. Si AB 11 CD

12. Si AB 11 CD, encuentra la medida del ángulo R

26


En las síguientes f¡guras encuentra la medida de los ángulos que se forman:

13. Si L. 11 L, 14. Si L. 11 L,

15. Si L. 11 L, 16. Si L. 11 L,

Resuelve los síguientes e_íercicíos:

17. Con ba5e en el croquis que se muestra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Av. Cuauhtémoc

Av. Xola

José Maria Vértiz

a) La calle de Uxmal es paralela a la ele Tajín

b) La avenida X ola es perpendicular a la calle ele Xochicalco

e) La avenida Diagonal de San Antonio es paralela a la avenida Xola

Av. Diagonal de San Antonio

d) El ángulo que forman la calle Petén y la avenida Diagonal de San Antonio es de 35° 20'

e) Las avenidas Xola y José María Vértiz son paralelas

f) Las avenidas Cuauhtémoc y José María Vértiz son paralelas

g) Las avenidas Diagonal de San Antonio y José María Vértiz son perpendiculares

e:> V.riflca tus ,...,atados en la sección de soludotlos con .. ponchnte • -----------~

27

-

hnagen de Pitágoras obtenida del Diccionario de Autores, perteneciente a la obra 8/ustrium lmagi· nes de Ful vio Orsini, publicada en IS70.

conocido como pitagorismo.

Teoria de los números

CAPÍTULO 4 TRIÁNGULOS

Pitógoras (c. 582-c. 500 a C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido

en la isla de Somos, Pítógoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios: Tales de M ileto, Anaximandro y Anaxí· menes. Se dice que Pítógoras fue condenado a exiliarse de Somos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a .C. se instaló en Crotona, una colonia gñega al sur de Ita lia , donde fundó un movimiento con propósitos relig iosos, políticos y filosóficos,

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóri· cos se encuentran sus estudios de los números pores e impores, y de los números primos y de los cuadrados, esencia les en la teoría de los números. Desde el punto de vista aritmético cultivaron el concepto de número, que llegó a ser poro e llos el pñncipio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A pomr de estos estudios establecieron una base óentífica poro las matemáticas. En geometría el gran descubñmiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitó· goras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados.


Defin ición

Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices.

l¡

A, B y C: vértices

AB, BC y AC: lacios

Clasificación de los tr iángulos

Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lacios o la magnitud de sus ángulos.

Por sus lados

Triángulo equilátero Sus lacios son iguales

B

6 A C

AB = AC = BC

Por sus ángulos

Triángulo rectángulo n ene un ángulo recto

e

LA = 90º

B

'Iriángulo isósceles llene 2 laclos iguales

B

6 A C

AB = BC" AC

'Iriángulo acutángulo Sus 3 ángulos son agudos

B

D A C

LA <90º, LB <90º y L C <90º

30

'Iriángulo escaleno Sus lacios son diferentes

B

AB " BC "AC

'Iriángulo obtusángulo Fs el que tiene un ángulo obtuso

B

LA>90º

e

CAPÍTULO 4 Trióngulos

Rectas y puntos notables

Son rectas y puntos con características especiales dentro de un triángulo y son:

Altura. Fs el segmento perpendicular tmzado desde un vértice al lado opuesto.

Ortocentro. Se define así al punto donde se intersecan las alturas.

Mediana. Así se denomina al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Baricentro. Fs el punto donde se intersecan las medianas.

Bisectm. Recta que divide en 2 ángulos iguales a un ángulo interior ele un triángulo.

lncentro. Fs el punto donde se intersecan las bisectrices.

Mediatriz. Recta perpendicular al lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de este mismo lado.

Circuncentro. Fs el punto donde se intersecan las mediatrices.

A

e

e

O: Ortocen tro

e

/ ot _.,. PmBC

'é:: .... .... ,.. .,.... I '

¡ ' O:Baricentro

PmAB B

e

O: lncentro

AL-----..,...:.J~~---~B / ,_ ,

/ Pml AB ',

31

/ 1 ' 1


Teoremas

A continuación se mencionan y demuestran algunos teoremas importantes sobre triángulos.

e Tuorema L La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A

LA+ LB+ LC = 180°

Demostración: Por ángulos suplementarios,

L 1+LA+L2=180°

La recta que pasa por el vértice A es paralela a BC y por ángulos alternos internos entre paralelas:

Ll=LB;L2=LC

Al sustituir en L 1 + LA+ L 2 = 180~ se obtiene:

LB+LA +LC= 180°

e Tuorema 2. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los 2 interiores no adyacentes a él.

A B

Demostración: En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180°.

LB+LA+LC=180º

Los ángulos A y M son suplementarios:

LA+ L M= 1800 Al igualar:

LB+LA+LC=LA+LM

LB+LC=LA - LA+LM

LB+LC=LM

Rita L N y L P s: reali2'.a el mismo procedimiento.

32

L M= LB+LC LP = LA+LB

LN = LA+LC

CAPÍTULO 4

e 'I\!orema 3. UI suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360".

L M + L N + L P = 360°

Demostración: Los ángulos M, P y N son ángulos exteriores, entonces al aplicar el teorema 2.

Por tanto, L M + L N + L P = 360°

LM=LB+LC

+ LP=LA+LB

LN=LA+LC

L M + L N + L P = 2L A + 2L B + 2L C

LM+LN+LP=2(LA+LB+Lq

L M + L N + L P = 2(180°) = 360°

e Thorema 4. En tocio triángulo la longitud del segmento que une los puntos medios de dos lacios es pamlela e igual a un medio de la longitud del lacio restante.

e

Trióngulos

DEllAB y

- 1-DE= - AB

2 6 A B

e 'I\!orema S. Úl suma de dos lacios cualesquiera de un triángulo es mayor que el lacio restante, mientras que su diferencia es menor.

e Thorema 6. Si 2 lacios de un triángulo son distintos, al mayor lacio se opone mayor ángulo.

e Thorema 7. Rita 2 ángulos distintos de un triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado.

33

e

A6BAB<AC+BC

e

,6. e

6 A B

Si BC > AC

entonces LA>LB

Si LA>LB

entonces

BC > AC

4 CAPÍTULO GfoNmíA Y TOOONONf'TlllA

EJEMPl.os~~~~~~~~~~~~~----e

"'o l • • Calcula el valor de los llngulos del siguiente triángulo: o..

l

Solución

Por definición, los ángulos interiores de un triángulo suman 1800

x+ 2.r+ 3x = 180° donde

Si x = 30°, entonces:

fu,= 180°

180° x= --=30º

6

L A =x = 30º, L C= 2x = 2(30°) = 60° y LB= 3x= 3(30°) = 90°

l\:Jr consiguiente: L A = 30°, L C = 60° y L B = 90º

2 • •Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

Solución l\:Jr ángulos exteriores:

L e+ 53º = 135º donde L C= 135° -53° = 82°

l\:Jr ángulos suplemenlarios,

L B+ 135º= 180º

L A+53º= 180°

L C+L D=l80º

Por tanto, L A = 127º, L B = 45°, L C = 82º y L D = 98º

34

LB= 180° -135° = 45°

LA= 180° -53° = 127°

L D = 180° - L C= 180° -82° =98°

CAPÍTULO 4

3 ••· Determina el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

Solución

La suma de los ángulos interiores es 180°

2x+ X+ (2x-5") = 180°

Por ser ángulos suplementarios:

LA+x= 180°

LB+2x-5º=180°

L C + 2x = 180°

Por consiguiente:

LA= 143°

Lx= 37°

5x-5º = 180° 1 &5º

x= -- = 37º 5

LA= 180°-x = 180°-37º= 143°

LB= 180°-2x + 5° = 180°-74°+ 5° = 111°

LC= 180º-2x= 180°-74º=106°

LB=lllº

L 2x-5º=69º

L C= 106°

L 2x=74º

Trióngulos

4 •••La medida de los ángulos interiores de un triángulo es equivalente a 3 nómeros pares consecutivos, ¿cuál es la medida de cada ángulo?

Solución

Sean los ángulos 2x, 2x + 2°, 2x+ 4°, si aplicas el teorema 1 de los triángulos:

2x+2x+2º +2x+4º = 180°

Por tanto, el valor de cada uno de los ángulos es:

58°, 60° y62º

& + 6°=180°

&= 174°

X =29°

35


EJERCICIO 8 . Resuelve los siguíentes problemas:

1. Calcula el valor ele los ángulos exteriores del siguiente triángulo:

3. En un triángulo isósceles, un ángulo ele la base es el cuádruplo del ángulo diferente. ¿Cuánto mide cada ángulo?

5. Encuentra los ángulos interiores cielos siguientes triángulos:

112°

7. Determina el valor de los ángulos interiores del triángulo ABC.

2. Uno de los ángulos agudos ele un triángulo rectángulo es 8 veces el otro. ¿Cuánto vale cada ángulo?

4. Uno de los ángulos interiores de un triángulo miele 84° y la diferencia ele los otros 2es ele 14°. ¿Cuánto mielen los ángulos restantes?

A

B

6. Determina los valores de {3 y 8. Si AC biseca al ángulo

DCBy DC IAB

8. En la siguiente figura el lado AC es bisectriz del ángulo L BAD. Determina los ángulos interiores ele los t;. ABC y

ACD sabiendo que L BAC = y+ 8~ L CAD= x + 13°, 10

LABC=3x-6ºyLACD= -y +7º 3

A

~ .. ,. B C D E

e -..rlftca tus NSUltac:los en la MCdón de soluciones COfft5piOnclente • -----------~

36


Triángulos congruentes

Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño.

Si 2 triángulos son congruentes entonces:

a) Sus lacios homólogos son iguales. ó) Sus ángulos homólogos son iguales.

A A'

e 2 B C' 2

Los triángulos ABC y A 'B'C' son congruentes, porque tienen iguales tanto sus lados como sus ángula>, es decir, existe igualdad entre los 3 pares de lacios y los 3 pares de ángulos.

Esto se representa á ABC: á A 'B'C' y se lee: "El triángulo ABCes congruente con el triángulo A'B'C' ".

Teoremas de congruencia

e 'Ieorema I (lado, lado, lado). Dos triángulos son congruentes si tienen sus lacios iguales.

L L E F E' F'

DE= D' E', EF=E F' y DF=D' F'

e 'Ieorema U (ángulo, lado, ángulo). Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y el lado adyacente a ellos respectivamente iguales.

H J H' ]'

LH=LH', HJ = H'J' y LJ=LJ'

e 'Ieorema m (lado, ángulo, lado). Dos triángulos son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales a sus homólogos del otro.

K K'

66 L M L' M '

KL=K'U, LL=LL' y LM=L'M'

37


• ••Fn la siguiente figura MOllPN. Determina si los siguientes triángulos son congruentes y encuentra los valores de xy y.

N

Solución Se construye una tabla en la que se dan las afirmaciones y las razones que nos lleven a la demostración que se pide.

EJERCICIO 9

1. MO•PN 2. L MON• L PNO

3. ON• NO 4. a MON : .ó. PNO S. y•SSº

1. Datos

2. Datos 3. Por ser lado común a los triángulos MON y PNO 4. Por el teorema: lado, ángulo, lado S. los ángulos homólogos de triángulos congruentes son

íguales 6. En el triángulo OMN:

L MON+ L ONM+ L NM0• 180" 76º + x + ss•. 180"

x • 180"- 76º -ss• - "9°

En cada uno de los síguientes casos indica por qué son congruentes los triángulos y determina los valores de x y y.

1. 2. E

J

3. Si NR =QO

o

M p

N

e \flrlfk• tus nsultaclos •n 1.e sección de soluciones contisponclent• • . •• • • • .. .. ..•... . . •..

38


Aplicación de los teoremas de congruencia Dacios dos triánguloo, establece loo criterioo por loo que son congruentes.

EJEMPLOS,-------------~ 1 • • · Si ABIJDF, ACIJEF y CB=DE, demostrar que t!. ABC= ti. FDE

E i!-

\: E ~ Solución Demostraci6n:

1. L C : L E

2. CB : DE 3. L B :LD

4. 1!. ABC : 1!. FDE

C F

1. los lados AC y EF son paralelos y CE es la recta secante, por tanto. los ángulos C y E son alternos internos

2 Datos

l Los lados AB y DFson paralelos y CE es la recta secante, en c.onsecuencía, los ángulos B y O son alternos íntemos

4. Por el teorema: ángulo, lado, ángulo

2 • • •Si AB es bisectriz de L CAD y AC ;;, AD. Demuestra que BE es billectriz de L CBD.

Solución

1. AC : JlD 2. L CAB :LDAB 3. AB : AB 4. I!. CAB : I!. DAB 5. L CBA : L OBA

6. L CBE : L DBE

7. BE es bisectriz del ánguloL CBD

A

e E

1. Datos

2 Definición de bisectriz 3 Por ser lado c.omún a los triángulos CAB y DAB

4 Por el teorema: lado, ángulo, lado 5 los ángulos homólogos en triángulos congruentes son

iguales 6. L EBA• L ABE --+LCBA+ L CBE• L DBA+ L DBE,

peroL CBA • L DBA. entonces L CBE • L DBE 7. Definición de bisectriz:

L CBE• L DBE

39


--3 • • •Si L DCB = 111° y DB l.AC, demuestra que los triángulos DBC y ACB son congruentes y determina los valores dex yy.

A

Solución

1. LCEB•90º 1. Datos 2. L DBC•45° 2. Datos 3. L DCB• 111° 3. Datos 4. LECB•45° 4. En el triángulo EBC:

L CEB+ L EBC+ L ECB •100°, 9QO + 45°+ LECB • 100°

L ECB • 100°-135º L ECB • 45°

5. L AEC • 100° 5. Por ser ángulo llano

6. L AEB • 9QO 6. L AEC• L CEB+ L AEB 100° • 90° + L AEB 90º• L AEB

7. L ABE•66º 7. En el triángulo ABE: L AEB+ L EAB+ L ABE• 100°

<;()• + 24°+ L ABE• 100° L ABE• 100°-114° L ABE• 66º

8. LCBA• 111º 8. LCBA•LCBE+ LABE L CBA• 45°+ 66º L CBA• 111°

9. LDBC:LACB 9. Por las aflnnacíones 2 y 4, sí L ACB • L ECB

10. CB: BC 10. Por ser lado común a los tríángulos DBC y ACB

11. L DCB : L ABC 11. Por las aflnnacíones 3 y 8, sí L ABC • L CBA

12. a DBC: a ACB 12. Por el teorema: lado, ángulo, lado 13. x• 12, y• 24° 13. los lados y ángulos homólogos de tríángulos congruentes

son íguales

4 •• Fn la figura, 0Q = PQ , (;Ji = QR , U es el punto medio de QS, Tes el punto medio de QR , L OQR = L PQS. Demuestra que OU = PT.

p

o

40


Solución Para comprobar que OU = PT, es necesario demostrar que los triángulos TQP y UQO son congruentes, entonces:

1. 05: CR

2. ar -: ou

3. L OOR: LPQS

4. LCúR-: LOOS+ LSOR

5. L POS-: ¿ POR+ L ROS

6. L OOS-: ¿ POR

7. CO-: PQ

8. 6 TOP : 6 UOO

9. aJ : PT

1. Datos

2 Los puntos Uy T divíden en 2 segmentos

iguales a los lados OS y QR

l Datos

4. Ángulos contiguos

S. Ángulos contiguos

6. De 3 se tiene que: L OQR -: L POS, entonces: L OQS +L SQR : L PQR+ L RQS, pero L SOR -: L ROS, por tanto:L OQS -: L POR

7. Datos

8. Por el teorema: lado, ángulo, lado

9. Los lados homólogos en triángulos congruentes son iguales

EJERCICIO 10 . Demuestra cada uno de los siguientes e_íercicios:

l. En la figura, los puntos P. Q y R son colineales, S, Q y T son colineales y U. Q y V son colineales. Si SQ E QT y UQ E QV , demuestra que á PUQ E á RVQ

p U T

>K S V R

2. En la tiguraMED, con AE:DE y AB:CD. Demuestra queL CBE: L BCE

E

3. En la figura, L CDH E L CEH, FH E GH , DH E EH , AC E BC y DC E EC. Demuestra queá ADG E á BEF

e

4 1


4. En la figura, L ABC;;; L ACB; BF;;; CF y L BFD;;; L CFE. Demuestra que BE;;; CD

A

5. En la figura, AD s BC , AC s BD, AE s BF y AG s BH . Demuestra que EG s FH

D

6. Enlafigura, PS:QT, RS:RT. Demuestraque PT:QS

R

p

e

Q

7. EolafigurasetieneeláABCcoo DF .LAC, EF .LBC, AD:BE y DF:EF.DemuestraqueáABCesisósceles.

e

8. De esta figura realiza lo que se indica.

R

p

a) EneláPQR, PR :QR y L7 = L3,demuestraque RS s RT

ó) En el á PQR, L RPQ;;; L RQP y L 6;;; L 4, comprueba que PS ;;; QT

e Elt• ejercicio no 1ion• ooluclonu .. &al del libro, por ... clemostreclonu . ••• •••• •••••• •.•• • • ••

42

Relación entre ángulos y lados homólogos de dos triángulos congruentes Sean los triángulos congruentes ABCy A'B'C':

A

B e B' e· Entonces se verifica que sus lacios y ángulos homólogos son iguales:


LA=LA',LB=LB',LC=LC', AB = A'B', BC = B'C' yAC = A'C'

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--... ~ 1 ••· Determina los valores de las incógnitas en los siguientes triángulos congruentes:

E i!-

Solución

Dado que los triángulos son congruentes, sólo basta con igualar los ángulos y lacios homólogos para determinar los valores tanto de xcomo de y, entonces:

Paray

Parax

X 3y + 15° es homólogo a 48º y ''.x + 4" es homólogo a " - + 6"

2

3y+ 15° =48° --+ 3y = 48° -15° --+ 3y= 33•

y= 11•

! +6=x+4 2

--+ 6-4=x- ~ 2

--+ 2= ! 2

x=4 En consecuencia, los valores de x y y son: 4 y 11 •

43


EJE~CICIO 11 En las síguientes figuras los triángulos 1 y 11 son congruentes. Determína el valor de las Incógnitas.

l. B

A D D E

Si AB = 2y-5, BC =5x+ 10

AD =x+30, EC=3x

3. 4. B

e D

x+3

A D

2y

A B e

5.

B

e

e:> Ytriflca t\lt ,...,lt.dos en la -cl6n de solucionu oon..,,pocu:llont• •• ••••• •••••••••• ••••

Proporciones

La razón es la comparación ele dos cantidades.

Una proporción es una igualdad ele 2 razones. a e - = -b d

Y se lee: aes a b como e es a d.

44

a r=-

b

o a:b=c:d

e


Teoremas de proporciones

e Tuorema l. En tocia proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Si a:b = c:d, entonces ad= be

e Thorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer términos, y se obtiene una proporción cierta.

Si a:b = c:d, entonces a:c = b:d

e Tuorema 3. En una proporción pueden invertiJSe las razones.

Si a:b = c:d, entonces b:a = d:c

~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-..

~ X 3 ...2 1 • • •Encuentra el valor de x en la proporción - = -~ 20 5 E Solución

&!- Se despeja la incógnita x, X 3 - =- donde x= 3(20) = 60 =12

5 5 20 5 Por consiguiente, x = 12

2 • • •Determina el valor dex en la proporción ~ = ~ X 5

Solución

Se despeja la incógnita:

Fioalme 15

nte:x= -2

3 2

X 5 donde

3 • •Determina el valor de x en la proporción x: 2x -3 = 3: 5

Solución Se establece en forma de cociente la proporción:

X 3 --=-2x-3 5

3(5) 15 x= -- = -

2 2

Ahora de la igualdad se realiza un producto cruzado y se resuelve para x:

5x= 3(2x - 3)

De acuerdo con lo anterior, x = 9

4 • • •Determina el valordexenlasiguiente proporción 32 =~ X 2

Solución Se realiza un producto cruzado y se resuelve para x,

32 X -=- donde X 2

45

5x=6x - 9 5x - 6x= - 9

- x= - 9 x=9

x(x) = (2) (32)

x2= 64

X= ±M x= ± 8


EJE~CICIO 12 Precisa el valor de x en las siguíentes proporciones:

l. x:4=6:8 2. 3:5=x:12 3. 3:x=x:27 4. X; 5 = 2x; (X+ 3) 5. (x-2):4=7:(x+2)

6. (2x + 8): (x + 2) = (2x + 5): (x + 1) 7. X: 2y = 18y : X

8. (x + 4): 3 = 3: (x-4) 9. (x-1) :3 = 5: (x+l)

JO. 2x:(x+7) =3:5

e -.rfflc. tul NSUltados •n la MCC'6n de soluckHtes cornsportdliente • • • • • • • • • • • • • • •

Semejanza

Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.

Lados homólogos. Son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales.

a con a', b ron b', e oon e'

e b A C' b' A'

Para indicar que 2 triángulos son semejantes se escribe ti. ABC - ti. A' B'C', donde el símbolo ( - ) se lee: es semejante.

Propiedades fundamentales

l. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales.

LA = LA', L B =L B' y L C =L C'

2. Dos triángulos son semejantes si la razón de cada par de lados homólogos es constante, es decir, si sus lados

son respectivamente proporcionales. a b e -=-=-a' b' e'

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.

~ l ••· SitJ.ABC-1!.A'B'C',encuentraelvalordebyc. E B

.L

9

b

Solución

:·~5 C' U A'

4

La proporcionalidad entre los lados se establece como 2. = !!. = ~ , de la cual se obtiene: 3 4 5

e 9 - = -5 3

b 9 4 3

-+

-+

46

9(5) c= -- =15

3

b = 4<9) = 12 3


Teoremas de semejanza

e Tuorema l. Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos homólogos.

B

Si L C=L C' y LA= L A'entonces,.6 ABC - .dA'B'C'

e Tuorema 2 . Dos triángulos son semejantes si sus 3 lacios son proporcionales.

B

e b A

B'~c' a'~

C' b' A'

Si !!.. =!.=.E.. entonces,llABC-llA'B'C' a' b' e'

e Tuorema 3. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que los forman son proporcionales.

H

h

Si L K = L K'y .K..= .!!. ,entonces ll GHK - ll G'H'K' g' h'

~EMPLOS.-~~~~~~~~~~~____.,.

6 G• K'

h'

S l • • •Los siguientes triángulos son semejantes, determina la longitud del lado a en el triángulo a ABC

~ e i!-

A

Solución Se establece la proporción entre los lados homólogos:

Se sustituyen los valores respectivos y se despeja para a,

a 24 -=-

Por tanto, el valor de a = 16 4 6

47

B

a e - = -a' e'

donde 4(24)

a= -- = 16 6


2 • •· Fncuentra la longitud de los lados b' y e:

e

··~ B e A

Solución

C'

a '=~ ~

B' c'=6 A'

Fn los triángulos LA= LA', L C = L C' entonces, t:.ABC - 11A'B'C' por lo que se establece la proporcionalidad

entre los lados homólogos.

~ esta relación se obtiene:

12 24 4 b'

12 e - =-4 6

Entonoes se deduce que, b ' = 8 y e = 18

EJ E~CICIO 13

12 24 e - = - = -4 b' 6

b'= (4)(24) =8 12

e= (12)(6) = 18 4

En cada uno de los síguientes ejercicios se dan tríángulos semejantes y las medídas de alguno de sus lados. Encuentra

las medídas de los lados restantes y los valores de las íncógnítas.

l.

8

6 a '

2.

~ ~12

3.

20 10

4.

5.

6.

8

12

15

6~ ~1

e 'lllriflca tuu .. ultados • n la sección de &oluclonu correspondiente ••• •• • •• ••••• •••••••••

.48


Teorema de Tales

Cuando en un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lacios, el triángulo que se forma es semejante al primero.

e

EJEMPLOS·-------------S 1 •••Fn el siguiente triángulo determina el valor dex, si DE 11 BC o. E Solución ;!- Por semejanza de triángulos, la proporcionalidad se establece como:

12 14 --=-x+12 42

Se realiza un producto cruzado y se resuelve la ecuación para x:

(12)(42) = (14)(x+ 12)

504 = 14x + 168 504- 168 = 14x

Por tanto x = 24

A

49

Si A'B'jjAB,entonces

11ABC - 11 A'B'C'


EJERCICIO 14 . Calcula el valor de x en las síguientes figuras:

t. Si RTllQS 2. Si QRllSP

T

Q

R

3. 4.

12

5. Si TPllRS 6. Si TWllVR

7. Si DEllCB 8. Si OTllRQ

e Q

A R

9. Si RSl!OP 10. Si EGl!DH

T

e Ylriflca tusr .. ultaclosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a ----------~

50



1 Para encontrar la longitud ele la base ele un cerro, se construyó una pareja de triángulos rectángulos semejantes como

se muestra en la figura, en la cual PA = 180m, CD = 150 m y PC = 50m. ¿Cuánto mide la longitud del cerro?

Solución Por semejanza de triángulos:

AB PA === CD PC

Se sustituyen los valores dados, AB 180

150 50 Donde,

AB= 150(180) = 27000 = 540 50 50

Por tanto, AB = 540 m p

2 ¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de 16 m, al mismo tiempo que un observador de 1.80 m de

estatura proyecta una sombra de 1.20 m?

A

l ' ' ' H

1

' A' ' TL ' ' h '

1 '' B' c B s C' ...,_S-t

Solución

De acuerdo con el problema, la relación entre los ángulos es la siguiente:

L CAB = L C'A'B' y L ABC = L A'B'C'

Por tanto,~ ABC- ~ A'B'C y la proporcionalidad se establece como:

H S

Donde h s

h = l.80m, S= 16 mys = l.20m

Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:

H 16 - =-Entonces, se resuelve para H:

1.80 1.20

H = (16)(1 .80) = 28.8 = 24 m 1.20 1.20

Finalmente, resulta que la altura del poste es de 24 m.

51


3 A cierta hora del día un edificio de flJ ft de altura proyecta una sombra de 42 ft. ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta un semáforo de 10 ft de altura a la misma hora?

Solución ~la figura,

¡ 00(

A

000 000 000 00 0 000 000 000 000

e

l 10ft

E B

42ft

L C4.B = L EDB, por ser ángulos correspondientes.

L ABC = L DBE, por ser ángulo común.

Rir tanto, los triángulos son semejantes:

flABC - 6. DBE

Y la proporcionalidad se establece como:

AC CB === DE EB

Donde,

AC =fl:Jft, DE= IOfty CB =42ft

Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:

Y al despejar EB,

60 42 - = = 10 EB

- 42(10) EB= -- =7ft

60

Rir consiguiente, la sombra que proyecta el semáforo es de 7 ft.

52


l. Para encontrar la anchura AB de un río se construyeron 2

triángulos semejantes, como se muestra en la figura. Y al medirse encontró que: AC = 17 m, CD= 5 m, DE= 20 m. ¿Cuál es la anchura del río?

2. Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes

triángulos semejantes, en los cuales se tiene que: AC = 215 m,

A' C = 50 m, A' B' = 112 m. ¿Cuál es la longitud del lago?

3. Para medir laanchuradeunríoseforman los siguientes triángulos, en los que: AO = 32 m, CD = 30 m, OD = 6 m. Encuentra AB.

4. Un árbol proyecta una sombra de 5 mala misma hora en que un poste de 2 m de altura, muy próximo al árbol, proyecta una

2 sombra de 3 m. Determina la altura hdel árbol, si tanto éste como el poste son perpendiculares al terreno.

5. Un árbol de 14 m dealtura próximo a una torre, proyecta una sombra de 24 m a la misma hora. Determina:

a) La altura de la torre, si su sombra es de 48 m

b) La sombra que refleja la torre, si su altura es de 70 m


B

c

I~ B 5m c

,... ,... .... .... .... .... .... .... .... t-=-=-= 24m - - - -::.. ...

e Verifica tul r .. ult..io. en fa H«f6n de soludonH con'H.pondlent• • -----------~

53


Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

A

e: hipotenusa

a, b: ca te tos

c2=á1+b2

Demostraci6n: Se traza la altura sobre la hipotenusa:

A

Los triángulos Ji ABC - a CBD por ser L ABC = L CBD y LCAB = L DCB entonces,

e a -== a BD

donde c·BD= a2

Los triángulos Ji ABC - Ji ACD por ser L CAB = L DAC y L ABC = L ACD entonces,

e b -== b AD

donde - 2

C· AD=b

Al sumar e· BD = a2 y e· AD= b2. se obtiene,

- - 2 2 e· BD+c· AD= a +b

e (BD + AD)= a2+b2

l\!ro BD + AD = e, por tanto:

c2 =a2+b2

54


Ejemplo Determina el valor de la hipotenusa del triángulo que se muestra, según los datos proporcionados en cada uno de los siguientes incisos:

a) b = 12, a= 9

Soluciones a) a= 12, b = 9

é2=a2+b2

é2 = (9)2 + (12)2

é2 = 81+144

é2 = 225

e= Es= 15

b) a=3,b=6 e) a=3,b=1

~a

b) a= 3, b =6

c2=a2+b2

c2 = (3)2 + (6)2

c2 =9+36

c2 = 45

b

c=.f45=3J5

e) a=3,b=1

c2 = (3)2 + (7)2

c2 =9+49

c2 =58

e= ./58

Obtención de los catetos. Fn todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto.

Ejemplo Utiliza la figura para determinar el cateto que se pide en cada inciso:

a) a = 24, e = 25 b)b=6,c=8 e) a=4J3,c=8

e

Soluciones

a) a = 24, e = 25 b)b=6,c=8 e) a= 4 J3, e= 8

b2=é2-a2 a2=c2-b2 b2=c2-a2

b2 = (25)2 - (24 )2 a2 = (8)2- (6)2 b2 = (8)2- ( 4J3)'

b2 = 625-576 a2=64-36 b2=64-48

b2 = 49 a2 =28 b2 = 16

b= J49 =7 a= .J2s = 2..J7 b= Jf6 =4

55


Naturaleza del triángulo a partir del teorema de Pitógoras

Sea el triángulo ABC, cuyo lacio mayor es el lacio e, éste será un triángulo: rectángulo, acutángulo u obtusángulo, si al aplicar el teorema de Pitágoras se cumple que:

l. Si c2 = a2 + b2, el triángulo es rectángulo

{

c2 < a2 + b2, el triángulo es acutángulo 2. Si c2 * a2 + b2

, entonces c2 > a2 + b2, el triángulo es obtusángulo

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-4

~ 1 • • •Sea un triángulo cuyos lacios miden 3, 4 y 5 unidades. Comprueba si es un triángulo rectángulo.

E Solución i!-

Se toma el valor mayor como la hipotenusa:

R>r tanto, el triángulo es rectángulo.

(5)2 = (3)2 + (4)2

25 = 9 + 16

25 = 25

2 •••Sea el triángulo cuyos lacios miden 7, 9 y 12 unidades. Determina qué tipo de triángulo es:

Solución Se toma el mayor de los lacios como e, entonces:

(12)2 = (9)2 + (7)2 144 = 81 + 49

144" 130

Dacio que 144 > 130, el triángulo es obtusángulo.

3 •· O:termina la naturaleza de un triángulo cuyos lacios miden 6, 4 y 5 unidades.

Solución Al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene:

(6)2 = (4)2 + (5)2 36 = 16 + 25 36•41

Pues to que 36 < 41, el triángulo es acutángulo.

56


Teoremas de semejanza en triángulos rectángulos

e Tuorema L La altum trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo dacio, y a su vez semejantes entre ellos.

e

t!.ACD - t!.BAD

t!.OtB -t!.CDA

t!. CAB - t!.ADB

e 'Ieorema 2. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la medida de los segmentos de la hipotenusa.

e

e Tuorema 3. Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y la medida del segmento de la hipotenusa interceptado por la altura, y el lacio que es adyacente a ese cateto.

- 2 --AB = CB·DB

e

57


EJERCICIO 16 . Sí a y bson los catetos de un triángulo y csu hipotenusa, determina el lado que falta:

1. a = 15, b = 20 5. a = 12, e = 20

2. a= 5,b= 4 6. b=6,c =8

3. a= S. b = 4 7. b = 15, e = 17

4. a= 7, b = 7 8. a=5Ji,c=10

Determina la naturaleza de los siguientes triángulos, cuyos lados miden:

13. 4, 5 y7 cm 16. 7, 24y25cm

14. S, 12 y 13 cm 17. 6, 8y IOmm

15. 7, 9y 11 cm 18. 1, Ji y2cm

9. a=6myb= 3

10. a= 12myc = 13m

11. a= 14 cm y b = 15 cm

12. b=15dmyc=20dm

1 J3 19 - - ylcm . 2. 2

20. 0.5, 0.7y0.8m

21. x,x-ly hx2 -2x+l

22. Fn el triángulo rectángulo PQR, con Q el ángulo recto y QS como altura trazada mcia la hipotenusa:

a) Determina QS si PS = 12 y SR= 5

b) Encuentra QR si PR = 25 y RS = 13

c) Halla QR si PS=6, PQ=2M y RS=4

d) Encuentra PQ si PS = 21 y RS = 15

e) Determina PQ si RS = 6, RQ = 10 y QS = 8

f) Determina QS si PQ = 13 y QR = 7

g) Encuentra RS si PQ = 17 y QS = 13

e ,.rffka h.IS NIUltadOS en la MCC'6n de soluckHtel COfftsportclente • -----------~

58



1 Determina la longitud de la diagonal de un cuadrado de ladoxcm.

Solución

Al tra7.ar la diagonal en un cuadrado, se forman 2 triángulos rectángulos, entonces:

(hip )2 = (cat)2 + (cat)2 i=r+r i=2x2 y= M =x·..fi.

Por tanto, la diagonal es x .J2. xcm

2 Al abrir una escalera de pintor, se forma un triángulo isósceles, la distancia entre las bases es de 1 m y los lacios

iguales miden 1.40 m. Determina la altura de la escalera.

Solución

La altura de un triángulo isósceles divide a la base en 2 partes iguales, formándose 2 triángulos rectángulos:

lí1 = (1.4)2-(0.5)2 lí1=1.96-0.25

lí1 = 1.71

h = .J1Ti h = 1.3 m

Por consiguiente, la altura de la escalera es de 1.3 m.

0.5m

3 Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2.5 mis y pasa por debajo de un puente peatonal. Determina a

los 12 s, ladistanciaentreel automóvil y el punto ubicado exactamente arriba del paso del mismo, si la altura del puente es de 6 m.

Solución

La altura del puente es de 6 m y a los 12 sel automóvil recorre 12(2.5) = 30 m, entonces:

d1- = (6)2 + (30)2 d1- = 36 + 900

d1- = 936

d= J9'36 d=30.5m

Fn consecuencia, la distancia es de 30.5 m.

59



1. Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 300 y 800 m.¿Qué cantidad de malla se

necesita para cercarlo?

d

2. Con una escalera de 6 m se desea subir al extremo de una barcia de 4 m de altura. ¿A qué

cistancia se necesita colocar la ba.5e de la escalera para que el otro extremo coincida con

la punta de la torre?

3. Calcula la altura de un triángulo isósceles si su ba.5e mide 60 cm y cada uno de sus lados mide 50 cm. 4. Calcula la altura de un triángulo equilátero que de lado mide JO cm. 5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m? 6. ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo en un muro vertical, si su

¡:ie está a 3 m del muro?

7. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal mide 5.J2 cm? 8. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm,¿cuánto mide su apotema?

9. Una persona camina 7 kilómetros hacia el sur, 3 hacia el oeste, 2 hacia el sur y 6 más hacia el oeste. ¿Cuál es la cistancia entre el punto de partida y su destino?

N

E

s 10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. Encuentra la longitud de los catetos.

11. Fn un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a m y la mediana de uno de los ángulos agudos es igual a

mJ3. Determina la magnitud de los catetos. 3

12. En un triángulo rectángulo, m y n representan la longitud de las medianas tra7.adas a los catetos. Obtén la longitud el: éstos y la hipotenusa en función de m y n.

e Ylriflca tus .. sultadosen la -cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a------------~

60

-CAPÍTULO 5 CUADRllÁ TEROS

Estaba destinado al oficio religioso, pero lo impresión que le produjo lo lectura de los Elementos de Euclides le llevó hacia los motemó·

ticos. Se interesó por lo mecánico, por el incipiente cálculo infinitesimal y por lo geometría .

Teorema de Varignon Pierre Varignon (1654-1722)

Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, el polígono que determinan los puntos medios (E, F, G, H) de sus lodos es un poro· lelogromo, y el áreo de éste es lo mitad de lo del cuadrilátero inicial.

1 ÁrcO.UCB = - Árt::a.MCI>

2 A

B


Defin ición

Fl cuadrilátero es tocio polígono de 4 lacios.

Clasificación

Los cuadriláteros se dividen en:

Paralelogramo. & el cuadrilátero cuyos lacios opuestos son paralelos.

Cuadrado. & el paralelogramo que tiene tocios sus lacios iguales y sus ángulos son rectos.

Rectángulo. & el paralelogramo que tiene sus lacios contiguos desigualei> y los 4 ángulos rectos.

Rombo. & el paralelogramo que tiene los lacios iguales y ángulos contiguos desiguales.

Romboide. & el paralelogramo que tiene los lacios contiguos desiguales y ángulos oblicuos.

'frapecio. & el cuadrilátero que sólo tiene 2 ele sus lacios paralelos.

'frapecio rectángulo. & el que tiene 2 de sus ángulos rectos.

Thapecio isósceles. & el que tiene 2 lacios no paralelos iguales.

'frapecio escaleno. & aquel que tiene sus lacios no paralelos diferentes.

'frapezoide. & el cuadrilátero que no tiene ningún lacio paralelo a su opuesto.

D CJ o LJ Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

o D Q d Trapecio Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapezoide

Diagonal. Fs el segmento de recta que une 2 vérticei> ele un cuadrilátero no adyacentes.

AC y BD son diagonales

62

Teorema

la suma ele los ángulos interiores ele un cuadrilátero es igual a 360°.

Demostración: Dacio el cuadrilátero ABCD, se traza una ele sus diagonales:

B

D

Se observa que se forman dos triángulos !J. ABC y !J. ACD. la suma ele los ángulos interiores de los triángulos es igual a 180°.

L BAC+ LABC+ L ACB= 180°

L CAD+ LADC+ LACD= 180°

Al sumar ambas expresiones, se obtiene:

L BAC+ L ll4C+ L ABC+ LADC+ LACB + LACD=360º

pero L BAC+ L ll4C= L BADy L ACB+ LACD = L BCD

Al sustituir estas igualdades en la expresión anterior:

(L BAC+ L DAC)+ L ABC+ LADC+(L ACB + L ACD)=360º

L BAD + L ABC + L ADC + L BCD = 360°

Por consiguiente, queda demostrado el teorema.

Propiedades de las paralelogramos

l. Los lacios opuestos son iguales.

AB=CD Y AC=BD

2. Los ángulos opuestos son iguales.

LA=LDyLB=LC

3. Los ángulos adyacentes a un mismo lacio son suplementarios.

LA + L B = 180°, L C + L D = 180°

LA+ L C= 180°, LB+ L D = 180°

4. Las diagonales se bisecan mutuamente.

5. La diagonal lo divide en 2 triángulos congruentes.

~ABD:~CDA

63

c

CAPÍTULO 5 Cuodnl6teros

B


EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-4

a 1 • •. ~termina los ángulos interiores del siguiente paralelogramo: D.

! Solución

En tocio paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios, entonces:

LP+LM=180º --+ x+3x-12º=180º --+

Luego, los ángulos opuestos son iguales, por tanto:

LN=LP=48º

L O= L M = 3{48°)- 12° = 144° - 12° = 132°

EJE~CICIO 18 Encuentra los datos que se píden en cada uno de los siguíentes paralelogramos:

l. Determina L A, L By L C 5. Halla el valor de x y y

o· D C

4x = 180º + 12º

4x= 192º

192° x= -- =48°

4

2. Encuentra L DCA, L OID, L DAB, L DCB, L D y L B 6. Calcula la medida de los ángulos y y z

\Z A B

3. Encuentra L A, L B, L C y L ADC 7. Precisa el valor de x y la medida de los ángulos y y z

l \ E D C

4. Determina el valor x, Ly y Lz 8. Halla el valor de x y la medida de los ángulos y y z

e:> 'lllriflca tusr.,ultados en la sección de &oluclonu correspondiente • •• ••• •••••. ••• •••..

64


Demostraciones

Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo se debe probar que 2 de sus lados son iguales y paralelos.

EJEMPLOS,-------------~ 1 •••Sea el triángulo ABC cuyos puntos medios ele los lados AB, BC y AC son D, E y F respectivamente, demostrar que E DFCEes un paralelogramo. A

.2. ...,,

Solución

2 CF =EC, DFllEC

3. DFCE es paralelogramo

e

1. En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo e ígual a la mítad del tercer lado.

- 1- 1(- -) 1( ;:;;'\ -DE =-AC = - AF+FC = - 2FC¡ =FC 2 2 2

2. En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo e ígual a la mítad del tercer lado.

DF = .!ec =.!(BE +EC) = .!(2ec) = EC 2 2 2

3. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son íguales y paralelos, es un paralelogramo.

2 • • •SeaPQRSlos vértices de un paralelogramo, Te! punto medio de PS y U el punto mediocleRQ, demuestra que TQUS es un paralelogramo.

Solución

1. PT=TS

2. - -ou=uR

3. PS =OR y PSJIOR

4. - -TS =au

s. TSJIOU

6. TOUS es paralelogramo

1. Tes el punto medio del segmento PS

2. U es el punto medio del segmento OR

3. En un paralelogramo los lados opuestos son íguales y paralelos.

4. De la afrmacíón 3, se tiene que PS = OR, entonces: 'PT + TS = au+ ~--+ 2TS = 2au--+ TS = au

S. Son segmentos de PS y OR, bs que a su vez son paralelos.

6. Dos lados opuestos TS y OU son paralelos e iguales.

65


EJE~CICIO 19 Realiza las siguíentes demostracíones:

l. SeaABCD los vértices de un paralelogramo, Py Q dos puntos sobre la diagonal AC, de modo que PA es congruente

con QC, demuestra que PBQD e> paralelogramo.

2. Sea ABCD los vértices de un paralelogramo, E y F son puntos sobre la diagonal AC, de tal manera que DF biseca al L ADC y BE biseca al L ABC, demuestra que DEBF es paralelogramo.

3. Sea RSTU un paralelogramo, V y W puntos sobre la diagonal TR de modo que UW y SV son perpeocliculare$ a TR,

demue>tra que UWSVes un paralelogramo.

4. SeaABCDlosvértice¡deun paralelogramo, Q,R,S, T,puntossobreloslaclos AB, BC, CD, DArespectivameote,detal

manera que AQ = es y BR = ro. demuestra que QRST e> pamlelogmmo.

5. Sea PQRS los vértices de un trapecio, SR e> paralelo a PQ y PS=SR, demuestra que RP biseca L P.

6. Demue>tra que la suma de los cuadrados de I~ diagonales de un paralelogramo, e> igual al doble producto dela suma

del cuadrado de sus lados adyacentes.

e Esta •Jordclo no tiene ool\ldonu .. &al dolllbro por ... dom0S1racloclu ....... ...... ..... ... . .

Paralelogramos especiales

Se les denomina así al rectángulo, al rombo y al cuadrado, los cuales pertenecen al conjunto de los paralelogramos y se definen de la siguiente manera:

Rectángulo. Bs el paralelogramo que tiene sus ángulos iguale>, también se le conoce como paralelogramo equiángulo.

Rombo. Rlralelogramo que tiene sus lados iguales, también recibe el nombre de paralelogramo equilátero.

MN = NO = OP = PM

Cuadrado. Se define como el paralelogramo equiángulo y equilátero, esto e>, un cuadrado es un rectángulo y a la vez UD rombo.

LR=LS=L T=L U=90º; RS = ST =TU= UR

Propiedades l. Los rectángulos tienen sus ángulos rectos.

L A = LB = L C = L D = 90º

2. Las diagonale> de un rectángulo son iguales.

3. Las diagonale> de UD rectángulo forman 2 pare> de triángulos congruentes.

66

4. l..a5 diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se bisecan mutua

mente, esto es, una diagonal es mediatriz de la otra.

AC l. BD, AE = EC, BE= ED


B

5. Las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos formados por los A~..,,----~-----;~ e \értices que unen.

L1=L~L3=L~L5=L6yL1=L8 D

6. Las diagonales de un rombo forman 4 triángulos congruentes.

t.AED st.BEC st.AEB st.CED

Los cuadrados por ser rectángulos y rombos a la vez, cumplen con las propiedades anteriores.

• • •Determina la longitud de los lados del siguiente rombo:

Solución

En un rombo, los lados son iguales, entonces:

3x+4=2x+5 3x-2x=5-4 x=I

Luego, sustituyendo x = 1 en cualquiera de los lacios, se obtiene:

3x + 4 = 3{1) + 4 = 7

Por tanto, los lados del rombo miden 7u.

2 • • •Encuentra la longitud del lado AD ene! siguiente rectángulo, si AC = 13, DB = 3x + 4 y AD =x + 2

Solución

En todo rectángulo, las diagonales son iguales, esto es:

AC = DB 13=3x+4 9=3x x=3

Luego, AD = x + 2, por tanto, AD = 3 + 2 = 5u.

J • • •En el romboABCD,determinael valordeL ABC si L BAC=6xy L ll4C= 4x + 10°

Solución

En el rombo, la diagonal AC biseca al ángulo BAD,esto es:

L BAC= LDAC 6x=4x+ 10° 2x = 10° D

Por otro lado, en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y como AC es diagonal, se deduce que

L BAC = L BCA = 30°, luego, en el triángulo BAC:

L ABC + L BAC + LBCA = 180°

Por tanto, el ángulo ABC mide 120°.

67

L ABC = 180° -(L BAC + L BCA)

L ABC= 180° -60°

LABC= 120°


Propiedades de los trapecios

l. En un trapecio la longitud de la línea media (paralela media) es

igual a la semisuma de las bases del trapecio.

2. Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado lateral del trapecio son perpendiculares y el punto de intersección se encuentra

en su línea media.

Propiedades de los trapecios isósceles

l. Los ángulos de la base son iguales.

L D =LC

2. Sus diagonales son iguales.

DB=AC

PV 1-TV

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~ ......

b' b. = l:isectriccs

~ 1 ••· Determina la longitud de las bases AB y DC del siguiente trapecio si E y F son puntos medios y EF mide 14 cm.

E &!- A 3x + 4

D 8x + 2 e

Solución

En todo trapecio la longitud de la paralela media es igual a la semisuma de las bases:

Al sustituir, se tiene:

EF = AB+DC 2

14= (3x+4)+(8x+2) --+ 28 =11x+6 --+ 22=11x --+ x=2 2

Rlr consiguiente, las longitudes de las bases son:

AB ='.h'+4=3(2) +4= 10 DC = 8x + 2 = 8(2) + 2 = 18

68


2 • • •Determina la longitud de la diagonal AD en el siguiente trapecio, si CD IAF, By E son los puntos medios de AC y DF respectivamente.

A

Solución De la figura se tiene que BE = Ci5 + AF , entonces:

2

x+ 1+2x+1 = IO+y 2

y

2(3x + 2) = 10 +y

Fn el triángulo ADF, por proporcionalidad, se establece que:

2x+l x+5 2x+l --=-- -- = -y 2x+10 y 2

Se sustituye y= &- 6:

4x+2=6x-6 2x= 8

Por tanto, AD = 2x + IO = 2(4) + 10= 8+ 10 = 18cm

p

3 • • •Determina el valor de los ángulos de la base del siguiente trapecio isósceles:

D

Solución

Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales:

3x + IOº =X+ 50° 3x-x=50º-10º

Fn consecuencia, los ángulos de la base miden:

3(20°) + 10° = 60° + 10° = 70°

69

y=fu'-6

4x+2=y

x=4

2x=40º

x=20º



1. Encuentra el valor de x en el rectángulo ABCD, si AC = 24 cm y BD = Sx + 4

2. Determina la longitud de los lados del rectánguloABCD, si AO = 2J5 y AB = 2BC

3. En el rombo MNOP, determina el valor de los lados si MN = 6x + 5 y MP =1x-I

4. Determina el ángulo NPO, si L PON= 132" y NP es bisectriz del ángulo P y N

5. Halla el valor dex y yen el rombo PRST, si L TRP = 2x + 10°, L RTS = x + 30° y

L TSR=y+ 12°

6. En la figura, cy_D son puntos mediosdeAE y BF. Encuentra el valor de AB. si

AB =x+ 1, CD =x+2y EF = 13 cm

7. En la figura, R y O son puntos medios de MQ y NP. Determina la longitud de MN,

si OS = 3x + 1, RS = 14 y QP = 9x + 1

8. En la figura, los lados Al y BJ están divididos en 4 partes iguales. Encuentra la - - - 3a+b - a+b

longitud de AB e U,si CD= -- y EF = --4 2

9. En~ figura, C J...!J son puntos medios de AE y BF. Determina la longitud de AE,

si AB =x+ 1, CP =y, PD =2y+2, EF = 11, AC = CE = x

70

o

rA~n E~F

·ffi· N R O s

Q p

-~A B C D • F

G H 1 J

-

Una de las aplicaciones de los poJgonos es el attiguo juego llamado 111ngram chino "tt>la de la sabiduóa~, que se confonna de 7 piezas lamadas Taos y son:

C> Cinco triángulos de diversos tamaños

C> Un cuadrado C> Un paralelogramo romboide

Cl>n ellas se pueden formar figuras cvradascomo:

CAPÍTULO 6 POÚGONOS

La palabra polígono procede del griego pofy, muchos, y gwnos, ángulos.

Cada polígono recibe un nombre de acuerdo al número de lados que lo conforman; para saber cómo se llama un polígono de menos de cien lados se realiza la lectura del número de lados de acuerdo con la siguiente tabla.

1 1• · 1, 11r . ,. l'll n .r~J:T:~J-ll " 20 teosa- -/caí- 1 -Hen1>o -gono 30 Triaconta- 2 -Dí-40 Tetraconta- 3 -Trí-50 Pentaconta- 4 -Tetra-60 Hexaconta- 5 -Penta-70 Heptaconta- 6 -Hexa-80 Octaconta- 7 -Hepta-90 Eneaconta- 8 -Octa-

100 Hecta- 9 -Enea-

Se cuenta el número de lados que tiene el polígono y se pone el prefijo conveniente, como en el siguiente ejemplo, y se agrega la terminación •gano·.

El polígono de 78 lados recibe el nombre de:

•Heptacontakaioctágono•

....


Definición

Se llama polígono a aquella figura plana cerrada, delimitada por segmentos ele recta. Se clasifican de acuerdo con la medida de sus lacios o sus ángulos.

Clasificación

Los polígonos se clasifican ele acuerdo con sus lacios o la magnitud de sus ángulos interiores.

Por sus lados

Regulares. n enen todos sus lacios iguales.

Irregulares. n enen la medida de sus lacios diferentes.

Por sus ángulos

C.Onvexo. Los ángulos interiores son tocios menores que 180°.

E

A

B

Tocios los ángulos son menores que 180º

Cóncavo. Uno ele sus ángulos interi= es mayor que 180º.

t ,z C B

LA> 180°

e Por su número de lados. Los polígonos reciben un nombre según su número de lados, como se muestra a continuación:

1 . . ~ . ·h .... .. ........ 1

3 Tríángulo 12 Dodecágono

4 Cuadrilátero 13 Trídecágono

5 Pentágono 14 Tetradecágono

6 Hexágono 15 Pentadecágono

7 Heptágono 16 Hexadecágono

8 Octágono 17 Heptadecágono

9 Nonágono 18 Octadecágono

10 Decágono 19 Nonadecágono

11 Undecágono 20 lcoságono

72

CAPÍTULO 6 Polígonos

Elementos

Tocio polígono está formado por los siguientes elementos:

\\?rtice. Fs el punto donde concurren 2 lados.

Ángulo interior. Fs el que se forma con 2 lados adyacentes de un polígono.

Ángulo exterior. Aquel que se forma entre la prolongación de uno de los lados y su lado adyacente.

Diagonal. Fs el segmento de recta que une 2 vértices no adyacentes.

Bementos:

A: rertice

L BAF: ángulo interior

F e L DEG: ángulo exterior

EB:diagonal

A B

Un polígono tiene el mismo número de lados que de ángulos interiores, así como exteriores.

Número de diagonales

El número de diagonales en un polígono se obtendrá en función del número de lados.

Número de diagonales trozadas desde un mismo vértice

En un polígono de n lados se pueden trazar (n - 3) diagonales desde un solo vértice, entonces la fórmula es:

d=n-3 Donde:

d =diagonales trazadas desde un solo vértice.

n =número de lados.

Número de diagonales totales

El número total de diagonales que se pueden trazar desde tocios los vértices está dado por la fórmula:

Donde:

D=n(n-3) 2

D =diagonales totales del polígono.

n = número de lados.

73


~EMPLos~~~~~~~~~~~~--

s 1 • • •Calcula el número ele diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice en un hexágono. i5..

! Solución En un hexágono n = 6, al sustituir en la fórmula se obtiene:

Fórmula

d= n - 3

F e Sustitución

d=6 - 3=3

A B

Rlr consiguiente, se pueden trazar 3 diagonales desde un solo vértice.

2 • • •Calcula el número ele diagonales totales que se pueden trazar en un octágono.

Solución

En un octágono n = 8, por lo que al sustituir en la fórmula se obtiene:

F D = n(n-3)

2

donde

D= 8(8-3) = 8(5) = 40 =20 2 2 2

B

Rlr tanto, en un octágono se pueden trazar 20 diagonales en total.

3 • •¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 65 diagonales?

Solución

O: acuerdo con el problema, D = 65; entonces, al sustituir en la fórmula y resolver la ecuación, se determina que:

D = n(n-3) 2

65 = n(n-3)

2 130=n2 -3n

n2 -3n-130=0

(n-13)(n+t0)=0

n - 13=0; n+l0=0

n = 13; n = - 10 Fn consecuencia, el polígono es ele 13 lados, esto es, un triclecágono.

74



l. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un unclecágono?

2. Determina el polígono en el que se pueden trazar 17 diagonales desde un solo vértice.

3. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un decágono.

4. Determina cuál es el polígono en el que se pueden trazar 9 diagonales desde un vértice.

5. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 6 diagonales desde un vértice?

6. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en cada uno delos siguientes polígonos:

a) lcoságono

b) Dodecágono

e) Nonágono

d) Hexágono

e) ~ntadecágono

f) Heptágono

7. ¿En qué polígono se pueden trazar 14 diagonales en total?

8. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 104 diagonales?

9. Determina el polígono en el cual se pueden trazar 119 diagonales en total.

10. Precisa en qué polígono se pueden trazar en total 152 diagonales.

g) Hexaclecágono

h) O::taclecágono

i) Undecágono

11. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales en total es el doble que su número de lacios?

12. ¿En qué polígono el número de lacios es la cuarta parte de su número de diagonales en total?

13. Determina el polígono en el cual el número de lacios equivale al número de diagonales en total.

14. Precisa el polígono cuyo número de lacios es ~ del número de diagonales en total.

15. Determina el polígono en que el número de diagonales en total son los ~ del número de lacios.

16. Encuentra el polígono cuyo número de diagonales en total, equivale al número de lacios del polígono en el que se pueden trazar 170 diagonales.

17. ¿En cuál polígono el número de diagonales trazadas desde un vértice es 1 ~ <hl número de diagonales en total?

<:) Verifica has Nsultados en Ja sección de soludorles cornspondliente • ----------~=

Ángulos de un polígono

La magnitud de los diferentes ángulos de un polígono se obtiene con las fórmulas siguientes:

Suma de ángulos interiores de cualquier polígono

S1= 180º (n -2)

Suma de ángulos exteriores de cualquier polígono

s, = 360°

Donde n = número de lacios.

75

Ángulo interior de un polígono regular

. JSOº(n-2) 1-=---

n

Ángulo exterior de un polígono regular

360° e =--

n

6 CAPÍTULO Gt<:wmíA Y TillGONovmiA

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--

..2 1 • • CUatro ángulos interiores de un polígono de 5 lados miden respectivamente: 120°, 90°, 75° y 135º. ¿Cuánto mide el

t quinto ángulo?

.5- Solución

En un pentágono n = 5, entollQCS la suma de sus ángulos interiores es:

S1 = 180" (n - 2) s,= 1soo (5 -2) = 1800 (3) = 540º

Luego, el quinto ángulo se obtiene así:

5400 -(120" + 90" + 75° + 135°) = 540" -420" = 120"

RJr tanto, el quinto ángulo mide 120".

2 • • ·¿Cuál es el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1 440º7

Solución

U: acuerdo con el problema S1= 1 440°, entonces:

s, = l 80º(11 - 2) donde

R>r consiguiente, el polígono es un decágono.

3 • • •¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 120°7

Solución

180º(n - 2) = 1 440º

1440° n-2 = 180°

n=8+2= 10

En este caso i = 120", al sustituir en la fónnula y resolver la ecuación, se obtiene:

. 180º(n-2) 1=

n -+

l 20" = ISOº(n -2) n

Fmalmente, resulta que el polígono es un hexágono.

76

120° n = 180" n -360

360° = 180" n - 120" n

360° = 60" n

6=n

4 • • ·¿En cuál polígono regular el ángulo exterior mide 20º?

Solución Fn este caso e = 20°, al sustituir en la fórmula y resolver la ecuación, resulta que:

360° e=-

n

360° 20º=-

n

Entonce>, el polígono del que se trata es un octadecágono.

5 • • •Determina los ángulos interiore> del siguiente polígono:

Solución

20° n=360º

360º n= 20°

n = 18


En un pentágono la suma de los ángulos interiores es igual a 540°, entonce> se calcula el valor de x para encontrar

los ángulos:

(3x + 31°) + (4x- 8°) + (7x-23º) + (3x + 5°) + (4x + 10°) = 540°

2lx + 15° = 540°

Fn consecuencia, los valore> de los ángulos son:

LA= 4x + 10° = 4(25) + 10 = 110°

L B=3x+ 31° = 3(25) + 31=106°

L C=4x-8º = 4(25) -8 =92º

L D = 7x - 23° = 7(25) - 23 = 152°

LE= 3x+ 5° = 3(25) + 5 = 80°

77

21x= 525° 525°

x= -- =25º 21


EJERCICIO 22 . l. Calcula la medida de un ángulo interior de los siguientes polígonos:

a) Hexágono

b) Octágono

e) Dodecágono

d) Polígono de 20 lados

e) Polígono de 18 lados

f) Polígono de 42 lados

2. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:

a) Un pentágono

b) Un decágono

e) Un pentadecágono

d) Un octágono

e) Un tridecágono

f) Un polígono de 37 lados

3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1 2tí0º?

4. Precisa en cuál polígono el total desus ángulos interiores suma 900º.

5. Determinaen cuál polígono la suma de sus ángulos interiores es 2 520°.

6. ¿En cuál polígono el total de sus ángulos interiores suma 1 620º?

7. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 720º?

8. Determina el polígono regular cuyo ángulo interior mide 157.5º.

9. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 140°?

10. Determina en cuál polígono regular el ángulo exterior mide ~ rad.

11. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 135°?

12. Determina en cuál polígono regular el ángulo interior mide 60°.

13. Precisa en cuál polígono regulare! ángulo exterior es de 60°.

14. Determina el polígono cuyo ángulo interior equivale a ~ de su ángulo exterior.

15. ¿En cuál polígono el ángulo exterior es ~ de su ángulo interior? 7

16. Determina el polígono en el cual la suma de ángulos interiores equivale a ~ de su ángulo exterior.

17. Calcula el valor de los ángulos interiores de un pentágono si su magnitud es respectivamente: x, 1; x ,

2.4x, 2x y 2.2x.

18. Calculael valor de cada uno delos ángulos de un pentágono si valen, respectivamente: x,x - 10º,x +5°,x + 25° yx- 30°.

19. Calcula el valor de los ángulos interiores de un heptágono cuyos valores son: x, 2x, 3x, 4x, 5x, 7x y !U'.

78


20. Encuentra los ángulos exteriores del siguiente polígono:

21. Determina los ángulos exteriores del siguiente polígono:

e Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlent• a -----------===-

79

-CAPÍTULO 7

TRANSFORMACIONES

~LA ESCALA 4".-----------. ~ ::::1

1! ~ un ejemplo del uso de lo escalo son los

.!! fotografías, en los que podemos reco-0 nocer personas, objetos y lugares, yo

que guardan semejanza con los reales. Hoy fotogra fías que agrandan miles o millones de

Imagen del libro matemticas veces seres u objetos del mundo real gracias al simplificadasenlaescala l:S uso de lo tecnología, mientras que en otros, se

ven reducidos en varios decenos de veces, lo real idod representado .

Los planos de cosos, muebles, aparatos u objetos en general también se elaboran o escalo, y de su lectura podemos especificar los dimensiones reales que éstos poseen y captor sus formas.

Oro uso importante de los escalos se encuentro en lo elaboración de mapas, el cual es lo representación convencional de lo configuración su· perficiol de lo tierra, con uno relación de similitud proporcionado, o lo que se llamo escalo.

Lo tecnología nos auxilio con algunos instrumentos poro poder llevar o cabo estos representaciones y que en nuestro vida cotidiano los hemos utilizado seguramente más de uno doceno de veces; ejemplo de ello son: lo cámaro digital, lo fotocopiadora, lo televisión, entre otros.

-


2 •.

Escala

Es la razón que existe entre dos cantidades o magnitudes. Las escalas pueden ser numéricas, analíticas y gráficas. Las escalas numéricas se definen como la razón entre la magnitud dibujada y la longitud real.

LD - oLD:l.R l.R

Las escalas numéricas pueden ser de ampliación o de reducción.

Ejemplos &:alas de reducción 1:10, 1:100, 1:1000 ...

Escalas de ampliación 10:1, 100:1, 1000:1 ... 1 Una escala de 1: 10 significa que cada unidad dibujada es

10 parte de la unidad real, y una escala de 100:1 repre-

senta que una unidad dibujada es 100 veces mayor que la unidad real.

Figuras a escala Un cuerpo está a ~ala de otro si tiene la misma forma y sus dimensiones están en la misma razón.

Hgi raA

""" """ ""' Pigu raB

""" La figura B se encuentra a escala 1:3 de la figum A, esto significa que la longitud de los lados de la figura B son una

tercera parte de la longitud de los lados de la figum A.

Pigu raB

F gura :0.

/ 1

""" / """ 1/

""" La figura B se encuentra a escala 2: 1 con respecto a la figura A, es decir, cada longitud de la figura B es el doble de la figura A.

82

CAPÍTULO 7 Tronsformociones

EJERCICIO 23 •

Reproduce cada una de las figuras en la escala indicada.

l. 5.

""' 1:3 21

2. 6.

1""-' / I"" '""' 1/

""' ""-. '-

""" """' \ / 1:2 \ /

3 l

3. 7.

1/ / -/

23 5:2

4. 8.

/ / """ 1/ 1/ I""'

1

32

1 1

3:4 . e V.riflca tus ..... atados •n la sección de soludotlos con .. ponchnt• • - ---------

83


Transformaciones de figuras en el plano

Cuando a una figura dacia se le aplica una traooformación, se obtiene otra a la que se llama imagen bajo la traooforimción.

Traslación

Esta traooformación consiste en desplazar cada uno de los puntos de una figura en una misma dirección y la misma clstancia.

Para poder realizar la traslación se necesita especificar la dirección y distancia en base a una directriz.

Thaslación de un punto. Para trasladar un punto en la dirección de la directriz, se traza un segmento paralelo a la drectriz y de la misma longitud, así se obtiene la imagen del punto.

Ejemplos li'aslacla los puntos indicados de acuerdo con la directriz:

• A

' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A' '•

Imagen de A= A'

Q ,' •

, , , ,

, ,

, , , ,

Imagen de Q = Q'

'fraslación de un segmento. Se determina la imagen de los extremos del segmento en la dirección de la directriz.

Ejemplos

D:termioa la imagen de los siguientes segmentos:

A

Directriz

Imagen de AB = A'B'

B'

Para realizar los trazos es necesario auxiliarse de I~ escuadras.

84

R _______ s

R'

Imagen de RS = R'S'


Thaslación de una figura. Se traslada cada uno de los lacios de la figura para obtener la imagen.

Ejemplos Fncuentra la imagen de las figuras.

A

B

Imagen de ABCD =A' B' C' D'

Directriz

Imagen de ABCDE = A'B'C'D' E'

85

B'

' '


EJE~CICIO 24 Determina la imagen de los siguientes puntos. segmentos y figuras.

1. Q 6. 10 R •

' p

s .

T

7. B

2.A~ • ii'1'

<V-.seP

e 11.

e

3. • R A

~ " "

Directriz .... A

~· 8.

E

A e 4. B l ~ D

12. E D

9. B

5. R

s

e .. rffkl tul resuftados en la MCC'6n de sol.udonll cornisponchnte • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

86


Rotación

&ta transformación se realiza alrededor de un punto fijo y con respecto a un ángulo dado. Para realizar una transforrmción se debe proporcionar el centro de la rotación, el ángulo que se va a rotar la figura y el sentido del giro.

Si el ángulo es positivo, el sentido del giro es opuesto al de las manecillas del reloj, si el ángulo es negativo, el giro es en el sentido del giro de las manecillas del reloj.

Rotación de un punto. Para obtener la imagen de un punto al rotarlocon respecto a otro punto, se traza un segmento que una ambos puntos, después, con ayuda delco~ se hace girar al segmento de acuerdo con la medida del ángulo d: rotación.

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

Rota los siguientes puntos de acuerdo a las indicaciones. s "iS.. E i!- 1 • • · Punto A, ángulo de rotación de 80° con respecto al punto O.

2 • • · Punto R, ángulo de-150° con respecto a C.

A', ~ -------,,

' ' \ ', A

\ ... • ' 80° , ·~ _, ' , , .-o

, ,

R •, ' ' ' ' '

'

c~) -1so 'j ' ' ' ' ' .. 'R' '

87


Rotación de un segmento. Se obtiene rotando los puntos extremos del segmento según lo indique el ángulo de rotación.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.

~ Rota los siguientes segmentos.

~ 1 • • •Segmento AB, ángulo de 120° con respecto al punto O.

' '

B'

' ' ' '

, '

, , , ,'

--- -- ------

o

Imagen de AB = A'B'

2 • • · Segmentos RS, ángulo de -100° con respecto a C.

\ -100° )' --\ , , _,. .. _,. ~,

·.:: -' -100° e , .. ,

' ' '

'

Imagen de RS = /( S'

88

'

R'

' ' ' '


Rotación de una figura. Se debe realizar la rotación de cada segmento que forma a la figura, para obtener su imagen.

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~--

~ Obtén la imagen de cada 6 gura.

E .l. 1 • • · Fl triánguloABC, ángulo de 60º con respecto al punto O. w

B'

... -------- .. _

' 1

' '

... --- - ---/ .. ... {'

e

, '

B

",A'\ I I I

'--.\, 60º ,~',/,,'A ,\ , .... ~,o•

\ )"\ ___ I¡ I ,.. ...

' \ 60°1 / I ... - ......... - e \\ J¡I _ _. ... ,~, _.,-,, ,,, _ .. ---'v: -- ..... -o

Imagen de ABC =A' B' C'

2 • • · El pentágonoABCDE, ángulo de -90º con respecto al punto O.

B

' ' ' '' ' ~ ' '

e

, ,

------- --

... - - .... - -...

o

, '

' ';' .. ' ' , '

\

Imagen de ABCDE = A'B'C'D' E'

89

C'


EJE~CICIO 25 Determina las irnagenes de los puntos, segmentos y figuras al hacerlos rotar.

l. Punto P, ángulo ele 45° con respecto a O.

p •

• o

2. Punto R, ángulo ele 210° con respecto a O.

•o

R •

3. Punto W, ángulo de --90º con respecto a O.

o •

• w 4. Punto A, ángulo ele-300° con respecto a O.

o •

A •

5. Segmento AB , ángulo ele 80° con respecto a O.

A

~. • o

6. Segmento PQ ,ángulo de 225° con respecto a O.

o •

p

90

7. Segmento RS , ángulo ele -110° con respecto a O.

./' • o

8. Segmento TW, ángulo de -150° con respecto a O .

r------ w

• o

9. Triángulo ABC, ángulo ele 45° con respecto a O .

A

• o

JO. Cuadrilátero ABCD, ángulo de 120° con respecto a O.

• o

A

B

e

D


11. PoligonoABCDE,ángulo de-270° con respecto a O.

e

12. PoligonoABCDEF, ángulo de240º con respecto a O.

• O

B

D

B ~C~ __ _,D

• o

A

F

e Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlente • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Simetría axial

E

En esta tramformación se refleja a las figuras del plano sobre una recta conocida como eje de simetría, razón por la

cual a la imagen se le conoce como su simétrico.

Simétrico de un punto. Conocido un punto y el eje de simetría, la imagen del punto se determina trazando un segmento perpendicular desde el punto hacia el eje de simetría.

La imagen se encuentra del lado opuesto al eje y a la misma distancia que el punto.

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~--

~ Determina los simétricos de los siguientes puntos .

. i 1 • • · Punto P, eje de simetría AB . w

2 • • · Punto Q,eje de simetría ST.

p •,

A

' '

B

P' es simétrico de P.

s : p T

---~~~~~~~~~· PQ=PQ'

Q' es simétrico de Q .

• Q'

91


Simétrico de un segmento. Para obtener la imagen o simétrico del segmento, se determinan los simétricos de los puntos extremos.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--.. ~ O:termina los simétricos de cada uno de los segmentos con respecto al eje de simetría indicado.

E 1 i!- • • •Segmento AB , eje de simetría PQ •

2 • • · Segmento PQ, eje de simetría RS.

Q

B

Q

AO = A'O

BO'= B'O'

p

---

B'

A'B' es simétrico de AB

p

s

OP =OP'

O'Q =O'Q'

R

P'Q' es simétrico de PQ

92

--- ---- - - A'

P'

Q'

2


Simétrico de una figura. Para determinar la imagen, se determinan los simétricos ele cada lado. Para determinar el simétrico de los lados de un polígono, se puede emplear el compás como lo ilustran los si

guientes ejemplos.

Fncuentra los simétricos ele los siguientes polígonos.

• ••El cuadrilátero ABCD con respecto al eje de simetría PQ .

A

' '

' '

' --· '':. ........ '

p

----=--:

----"Q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A'

A' B'C' D' es simétrico de ABCD

_B'

Se trazan los segmentos perpendiculares al eje PQ , luego se apoya el cotnpá5 en el punto P y se abre a cada uno ele los \értices del polígono, se trazan los arcos y en los puntos donde se intersecan con sus respectivos segmentos se ubican las imágenes de los puntos, que posteriormente se unen.

• •El polígonoABCDEF con respecto al eje de simetría XY.

, '

X

,' , , ,

,, ,, ,, ,, ,, , , ,, " ,,

~' ... ,,, ...... ,,

F'

_,' A

y

A'B'C'D'E'F' es simétrico deABCDEF

93

>

' '

E


EJERCICIO 26 . Obtén el simétrico de los siguientes puntos, segmentos y figuras con respecto al e_íe de simetria indicado.

- -1. Punto A, eje ele simetría PQ. 5. Segmento RS, eje de simetría XY.

X R

2. Punto Q,ejeele simetríaAB. s

• Q y

A -------- B 6. Segmento PQ, eje de simetría AB.

3. Punto P,eje de simetría AB.

A '\ Q

A

• p

B

7. FiguraABC,ejeele simetría PQ. - -

4. Segmento AB, eje ele simetría PQ.

A

------8 A\

si----e p

P---------Q

Q

94


8. Triángulo ABC, eje de simetría PQ. B

p

A

e

Q 9. PentágonoABCDE,ejede simetría XY.

e

X B

D

E

10. FiguraABCDEF,ejede simetría PQ.

B

A

Q

F

p

e V.riflca tus ..... atados en la sección de soludonos con .. ponchnt• . -----------~

95


Simetría central

Fste tipo ele simetría es con respecto a un punto conocido también como centro. A la imagen de una figura bajo esta transformación se le conoce también como simétrico.

Simétrico con respecto de un punto. Rlra obtener la imagen ele un punto se traza un segmento que pase por el punto y centro. La imagen se ubica al otro lacio del punto sobre el segmento y a la misma distancia Para realizar este ¡rocedimiento, se puede utifu.ar el compás para marcar ele manera precisa la distancia; el compás se coloca en el centro y con una abertura igual a la distancia del centro al punto, se traza el arco que corta a la recta en el lado opuesto cbl punto, éste será la imagen.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~ .... S Fncuentra el simétrico de los siguientes puntos. a. .i 1 • • •PuntoA,centro O.

2 • • · Punto P,centro O.

A' o -- -- -- - '! A _ _ ... ...... - • --- 1 ·---... .. .

'

' ' '

, ' ' ' '

'

-----AO = A'O

A' es simétrico ele A

OP =OP'

P' es simétrico de P

96

, , , ' ,


Simétrico de un segmento. Para obtener la imagen o simétrico de un segmento, se trazan los simétricos de sus puntos extremos y se unen.

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-. ... ~ Determina el simétrico de los siguientes segmentos:

! 1 • • •Segmento AB con respecto al centro O.

---- .... -AO = A'O

BO = B'O

A'B' es simétrico de AB

2 • • ·Segmento PQ con respecto al centro O.

' ,

' '

, ,

, ,

, ,

,~,, o ,

' ' ' ' '

' , ' ,

~,; N ' ' ~ ...... -

OP= OP'

OQ =OQ'

Q

' ' ' ' '

' ' '

P' Q' = es simétrico de PQ

97

' ' ' '


Simétrico de una figura. Se determinan los simétricos de sus vértices.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~--

~ D:termina los simétricos de las siguientes figuras.

E .L 1 • • •TriánguloABCcon respecto al centro O .

A

I

I

I

I

' '

... ------_B ______ _

' ' .. ~ ... ---- ...

' ' - _-_ ... __ ...... \

e ---------' o

' ' ' ' '

' ' '

. ............ \ -~-::...":.":.:.-

' '

'

2 • • · Cuadrilátero ABCD con respecto al centro O.

B e

' '

' '

' ' ' '

' •

B'

'

'C'

' '

' '

.... '::~ o ,.. ... : ---... ------:.,e-:-... ----...

A

' •

' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' '

' D ', ' '

' ' ' '

,_

, ' -'

-...... ___ _

' '

--------

... -- ...... ~ _______ .. --- ... _______ _

98

' '

' ' ' •

' '

, I

I

A'

A' B'C' es simétrico de ABC

IY

I I

I I

,,"' ," I

I

/ B' / '

' I

' I

' '

A'

A'B'C' D' es simétrico de ABCD


EJERCICIO 27 . Obtén el simétrico de los síguientes puntos. segmentos y figuras con respecto al centro dado.

l. Punto W con respecto al centro O.

o • w

• 2. Punto P con respecto al centro O.

p • o •

3. Punto A con re> pecto al centro O.

A o • •

4. Segmento AB con re>pecto al centro O.

A

B

5. Segmento PQ con respecto al centro O.

p Q

• o

6. Figura ABCD con respecto al centro O.

e

7. Triángulo ABC con re>pecto al centro O .

e

A

8. Cuadrilátero ABCD con respecto al centro O.

B

e

o • A

9. Polígono ABCDEcon respecto al centro O.

B

A

o •

E

1 O. Polígono ABCDEF con respecto al centro O.

B C

~' A F

o • e Verfflca tul resultados en la SIOC'6n de soh.ldones corresponcllinte • ------------~

99

D

-CAPÍTULO 8

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

DE MILETO ~ .g

Geómetra griego y uno de los siete sabios de Grecia. Fue el primer matemático griego que inició el desarrollo racional de lo

geometría. Se le atribuyen 5 teoremas de lo geometría elemental :

TulesdeMileto 1. Los ángulos de lo base de un triángulo isósceles (640- 560 a. C.) son iguales.

2. Un círculo es bisecado por a lgún diámetro.

3. Los ángulos entre 2 líneos rectos que se cortan son iguales.

4. Dos triángulos son congruentes si ellos tienen 2 ángulos y un lodo igual.

5. Todo ángulo inscrito en uno semicircunferencia es recto.


Circunferencia

Circunferencia. Fs el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro y su longitud representa el perímetro del círculo.

Círculo, Se define como la superficie limitada por una circunferencia.

Arco. Nombre que recibe una parte de la circunferencia y se representa con el símbolo ,.,-...

Semicircunferencia. Fs un arco igual a la mitad de la circunferencia.

Rectas notables

Radio. Así se nombra al segmento de recta unido por el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.

Cuerda. Se denomina así al segmento de recta que une 2 puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Diámetro. Se nombra así a la cuerda ~ grande que une 2 puntos opuestos de la circunferencia y pasa por el centro.

Secante. Aquella recta que pasa por 2 puntos de la circunferencia.

Thngente. Así se llama a la línea recta que tiene sólo un punto en común con la circunferencia.

Flecha o sagita. Fs la perpendicular trazada de un punto de la circunferencia al punto medio de una cuerda.

H

Porciones de un círculo

O: Centro A:E: Arro íiii: Semicircunferencia

OA: Radio

DE: Diámetro

Be: Secante

iit: Tungente

FG: Cuerda

KJ: Sagita o flecha T: Punto de tangencia

Son las superficies limitadas por un arco y ciertas rectas notables, las cuales generan:

Sector circular. Porción de círculo comprendida entre 2 radios.

Segmento circular. Porción de círculo comprendida entre el arco y su cuerda.

Semicirculo. Porción de círculo entre la semicircunferencia y su diámetro, es decir, es la mitad de un círculo.

102

e e

CAPÍTULO 8 Circunferencio y círculo

Circunferencia y polígonos

Cuando los lacios de un polígono son tangentes a la circunferencia o cuerces, se genera la circunferencia inscrita o circunscrita.

Circunferencia inscrita. Aquella circunferencia que es tangente a los lacios de un polígono.

Polígono cireunscrito. Cuando los lados del poi ígono son tangentes a la circunferencia.

Circunferencia cireunscrita. & la circunferencia que pasa por los vértia:s de un polígono.

Polígono inscrito. Cuando los lados del polígono son cuerdas ele la circunferencia.

Ángulos notables

B

Son aquellos que forman la.5 rectas notables y se clasifican de la siguiente manera:

A

e

p

Ángulo central. & aquel ángulo que forman 2 radios, o bien por un diámetro y un radio, y tiene su vértice en el centro.

La medida ele un ángulo central es igual al arco comprendido entre sus lados.

o LAOB =Afi'

Ángulo inscrito. n ene su vértice en un punto de la circunferencia y lo forma un par ele cuerdas.

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

B

103

r--. LABC = AC

2


Ángulosemünscr ito. 'llene su vértice en un punto ele la circunferencia y lo forman una cuerda y una tangente.

La medida ele un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

A

B

,,...___ AC

LACB= -2

Ángulo interior. Su vértice se encuentra en un punto interior ele la circunferencia y lo forman 2 cuerda5 que se cortan.

La medida ele un ángulo interior es igual a la semisuma ele los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones.

LABC= 'Á2'+M 2

Ángulo exterior. n ene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y lo forman 2 secantes.

La medida ele un ángulo exterior es la semicliferencia ele los arcos comprendidos entre sus lados.

B

íJE-Ac LABC= ---

2

Ángulo circunscrito. Se denomina así al ángulo que forman 2 tangentes trazadas desde un punto exterior a la circunfi:rencia.

La medida ele un ángulo circunscrito es igual a la semicliferencia ele los arcos comprendidos entre sus lados.

E

104

/""°'. /""°'. LABC= AEC-AGC

2

CAPÍTULO 8 Circunferencia y círculo

EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 • • ·Si AB = 35°, determina los valores ele L AOB y L BOC. Q.. E

&!-Solución FJ ángulo LAOBescentral, entonces:

LAOB= AB=35°

De la figura,

L AOB + L BOC= 180°

Al despejar L BOC, se obtiene:

L BOC= 180° -L AOB = 180° -35° = 145°

Por tanto, L AOB = 35° y L BOC = 145°

2 • • •Encuentra el valor del ángulo L ABC formado por las secantes, si AC = 63º y DE = TIº.

Solución

FJ ángulo L ABC es exterior, entonces:

LABC= AC-DE 2

Al sustituir los valores de AC = 63º y DE = Tlº,se obtiene:

LABC= 63º-Tlº 36º =18º 2 2

Por lo que se deduce que, L ABC = 18º

J • •Determina la medida del ángulo L AOB si AB = 1600 y CD = 500.

Solución

FJ ángulo L ABC es interior, entonces:

L AOB-AB+él5 2

Y al sustituir los valores de AB = 160° y CD = 500 , se obtiene:

LAOB = 160º+50º 210º = 105º 2 2

Por consiguiente, L AO B = 105°.

B

A

4 • • •Si TST' = 240" , determina el valor del ángulo que forman las rectas tangentes AF y Ar. Solución

FJ ángulo L TAT' es externo, entonces:

L TAT' = fST•-fS"i' 2

De la figura fST·+m'= 3600. donde m' =120º

Al sustituir TST' = 240° y m· = 120°, se obtiene:

L TAT' = 240º-120º = 120º =60º 2 2

Porconsiguiente, LTAT' =600

105

B

s


EJERCICIO 28 . Resuelve los siguíentes ejercicios:

1. En la siguiente figura, AC = 00", BC = 104° y BD = 80°. Encuentra los valores de L ABC, L AOC, L BOC y AD.

2. Fn esta figura AD= 100º y BC = 150". Determina los valores de La, Lb, Le, Ld, LeyLf

3. Fn la siguiente figura, AC = 70° y DE = 15°. Precisa el valor de L ABC.

4. De esta figura, DE = 50° y AC = 120°. Fncuentra los valores de L ABC y LDBA.

5. Fncuentra el valor de los 4 ángulos internos del siguiente cuadrilátero si

AB = 60°, BC =110°, CD= 100° y AD= 90º.

6. Si !J. ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, halla:

a) LAsia= 150°y c = 150º

b) LA siAB .1 BC y a= 100"

106

B

~D E

A

e

7. Si L e= so•, L BFC = 65~ CD= 120•, AE =X y AB =X+ 10•, encuentra el valor ele los ángulos restantes.

8. En la figura, AB y AC son secantes que se cortan en A, determina:

a) LAsic=90º,a=60º b) LAsic-a=80º e) LA si e= a+ 60º

d) asic=135°,LA=50º e) csia=60ºyLA=30º fJ e -a si LA= 70º

g) a si e = 2a y L A = 35º h) asic=5ayLA=80º

9. En la siguiente figura halla el valor ele L 1~ L ·~ L x, L y y L z.

10. Si AB = 130ºy CD= 50°,encuentraL a.Lb, L c. L d. Le. Lf. L g. Lhy L i.


B

d

600

e Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlent• a ---- -------

Teoremas

e 'Ieorema L Si 2 ángulos centrales del mismo círculo o ele círculos congruentes son congruentes, entonces sus arcos intersecados son congruentes.

AB =CD

e 'Ieorema 2. En una circunferencia ele cuerdas iguales se subtienden arcos iguales y viceversa.

Si AB = CD si y sólo si AB = CD

107

® C D

A


e Tuorema 3. Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

e Tuorema 4. Una recta que pasa por el centro de un círculo y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco.

Si NO .L AB entonces, AM = MB y AÑ = ÑB

e Tuorema S. Una recta tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia.

AB .L (Y[' ,OT = r

e Tuorema 6. Dos cuerdas tmzaclas en un círculo y que equidistan del centro, son congruentes.

Si OE=OF entonces AB :CD

e Tuorema 7. Las tangentes tmzaclas desde un punto fuera del círculo son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el centro y dicho punto.

AC:AByLl = L2

e Tuorema 8. Si 2 cuer~ se intersecan dentro de un círculo, el producto de las mecidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos re la otra.

AE·EC=BE· ED

e Tuorema 9. Si desde un punto exterior a un círculo se traza una tangente y una secante, la medida de la tangente es media proporcional entre la medida de la secante y su segmento externo.

108

D

PéR Pi<:\ A(Y

A

B


e 'I\!orema 10. Si desde un punto exterior a un círculo se trazan 2 secantes, el producto ele la medida de una secante por la medida de su segmento exterior e> igual al producto de la medida de la otra secante por su segmento exterior.

AC·BC=EC·DC

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-

"'o 1 • • •Si L KOLE L MON, demuestra que arco KM E arco IN. Q.

i ·@: Solución

I· . 1. LKOL:LMON

2. Arco KL;;; arco MN

3. Arco KM;;; arco LN

1. Dato

2. De la figura: LKO. .i(t yLMON•MN,pero L KOL;;; L MON, por tanto, arco KL;;; arco MN

3. KM'-'Kt+ íM. fN-fM +f;!N pero MN -1<1::, entonces KM: fÑ

2 O• • Fn la siguiente figura SR = QP, demuestra que: SQ = RP.

Solución 1 .... ~,

1. SR:OP

2. LSRP:LPOS

3. Arco SR ;;; arco OP

4. LROS:LORP

s. LSRO;;;LROP

6. RO;;;RO

7. ~SRO;;; ~POR

I:••• o L1

1. Dato = = 2. LSRP• s; ,LPOS - s; 3. Cuerclas íguales( SR: OP)subtíenden

arcos íguales(Sih Ófl') SR- 6P

4. LROS• 2 ,LORP-2 ,pero

S°R'• 6P, por tanto L ROS;;; L ORP S. LSRO•LSRP+LORP y

LROP •LROS +LPOS, pero

6.

7.

LSRP• LPOSyLROS•LORP, por tanto L SRO;;; L ROP Por ser lado común a los tríángulos SROy POR Por el teorema lado, ángulo, lado

1

8. RP:SO 8. Por ser lados homólogos en tríángulos congruentes

109

1


EJERCICIO 29 . Resuelve los siguíentes ejercicios:

l. De la siguiente figura:

a) Encuentra PT si TQ = 5, RT =9 y 1S = 6

ó) Halla 1S si PT=ll, RT=7 y TQ=5

- - -e) Determina TR si PQ=22, TQ=5 y TS=9

2. De esta figura:

a) Determina AC si AD= 6 y BD = 11

ó) Encuentra AB si AD = 5 y AC = 9

e) Halla AC si DB =10 y AB =23

Realiza las siguientes demostraciones.

3. Si el Afi = éi5, demuestra que AC _ BD.

4. Si SU .L OT. SV .L OR y SU : SV, comprueba que fS = SR.

5. Si RO .L LN. OQ .L

LORQ E LOQR. MPYIN _ MP, demuestraque:

6. Si PR es un diámetro y L PRS - L PRQ, comprueba que; QR _ SR .

11 o

p

L

s

7. Si L OOA : L OGD, ~muestra que AC : BD.

8. Si AC _ BD, comprueba que L OOA : L OGD.

9. PT y PT' son tangentes al círculo en los puntos Q y R, respectivamente. Demuestra que OP liseca a la cuerda QR.

10. PTy PT'son tangentes al círculo en los puntos Q y R, respectivamente, ysi se unen Q y R, comprueba que: L PRS =< L PQS.

11. Sea MN tangente común a las circunferencias con centro en O y P. Si se unen los centros OP, interseca a la tangente en Q. Demuestra que: LMOQ : LNPQ.

12. Comprueba que la suma de las medidas de un par de lacios opuestos de un cuadrilátero circunscrito, es igual a la suma de las medidas del otro par.

13. PQ y QR son segmentos tangentes a la circunferencia. Demuestra que LQPR : LQRP.

111


D

r·

R

Q


14. En la figura AB, BD y BC son tangentes.

Comprueba que: AB = BD = BC.

= 'lllriflca tu11 .. ultados on la sección do soluclonu corrospondlont• • ----------~=~

Tangente a una circunferencia

Se le denomina tangente a tocia recta que tiene un punto en común con la circunferencia.

AB: recta tangente

B

A

Longitud de una tangente

Fs el segmento trazado desde un punto exterior al punto de tangencia.

AP, : longitud de la tangente A

Propiedades de las tangentes

l. Tuda tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.

A

112

2. Si una recta es perpendicular a una recta tangente en el punto ele tangencia, ésta pasa por el centro ele la circunferencia.

3. ÚIS tangentes trazadas desde un punto exterior a la circunferencia son iguales.

AB = AC

4. La recta que une un punto exterior y el centro ele una circunferencia, es bisectriz del ángulo formado por las tangentes trazadas del punto a la

circunferencia.

AO es bisectriz del ángulo BAC

Posiciones relativas


A

A

e

Circunferencias concéntricas. Son aquellas que tienen el mismo centro y distinto radio.

B

Circunferencias exteriores. Son aquellas que no tienen puntos en común y cada una está en una región exterior a la ttra. La distancia entre los centros de estas circunferencias es mayor que la suma de sus radios.

d>R+ r

Circunferencia interior. Fs aquella en la cual tocios sus puntos son interiores a otra circunferencia.

d<R - r

113


Circunferencias tangentes exteriores. Se les llama así a la.5 que tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

d=R+ r

Circunferencias tangenles interiores. Son circunferencias que tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

d= R - r

Circunferencias secanles. Son aquellas que se intersecan en 2 puntos. La distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.

d<R+ r

Circunferencias ortogonales. Cuando se intersecan 2 circunferencias los radios forman un ángulo de 90", esto significa que son perpendiculares en los puntos de intersección.

R .L r

114


~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~__...

s 1 • • •Desde un punto exterior se trazó una recta tangente, cuya longitudes ele 10 cm ye! segmento que une dicho punto con o.. i el centro ele la circunterencia es ele 12 cm, determina el radio ele la circunferencia.

¡¡:¡ Solución

FJ radio es perpendicular a una recta tangente en el punto de tangencia, esto significa que se forma un triángulo rectángulo, del cual se tiene:

(12)2 = (10)2 + r2 al despejar r:

r = ,/144-100

r=fli =2.Jit

Luego, el radio ele la circunferencia es de 2 Jll cm.

2 •••Los radios ele 2 circunferencias son R y r, si las circunferencias son tangentes exteriores, expresa la distancia entre los

oentros en términos ele r, si r = !, R . 3

Solución

Por ser circunferencias tangentes exteriores, la distancia entre los centros se define como:

al despejar R de r = !. R y sustituir, se obtiene: 3

dcc =R+r 1

3 5 d=-r+r=-r

2 2

En conclusión, la distancia entre los oentros es de 1 r . 2

e

3 ••·Dos circunferencias ortogonales de radio 5 cm y 9 cm, determina la distancia entre sus centros.

Solución Si 2 circunferencias son ortogonales, sus radios son perpendiculares, entonoes, por el teorema ele Pitágoras:

(ccS =<s>' +(9)2 :

Por consiguiente, la distancia entre los centros es fi06 cm.

115


EJERCICIO 30 . Determina las posiciones de 2 circunferencias, cuyos centros distan 24 u y sus radios miden:

l. R=l5u,r=8u

2. R=13u,r=11 u

3. R=42u,r=13 u

4. R= 28 u, r = 20 u

5. R = 35 u, r = 11 u

6. R=20 u, r =4 u

Resuelve los siguientes problemas:

7. Se tienen 3 circunferencias tangentes entre sí ele radio r, determina el perímetro del triángulo formado por los puntos ele tangencia ele las circunferencias.

8. Desde un punto exterior A se traza una recta tangente a la circunferencia de diámetro 4'13 u, si la longitud del segmento que une el centro de la circunferencia con el punto A mide 4 u, ¿cuál es la longitud ele la tangente?

9. La distancia entre los centros ele 2 circunfere·ncias secantes es 2 J5 u, determina el radio ele e 1 si el radio ele e2 es 2../2 u.

10. De un punto A se traza una recta tangente a la circunferencia con centro en el' la longitud ele la tangente es J3 an y el segmento Ae1 = 2.fi cm, determina el radio ele la circunferencia

11. La circunferencia e2 es tangente interior a e1 en P, la circunferencia e3 es tangente interior a e2 en P, determina la5 dis

tancias ele los centros ele e1 a e2 ycle e1 a e; ysi los diámetros de el' e2 y e3 son: R, ~R y ~R. respectivamente.

12. Se tienen 3 circunferencias con centros en e1, e2 y e3 ele manera que e,e2 .l e,e, , determina el radio ele la circun

ferencia en <; si el radio ele la circunferencia en e1 y en e3 son: .:!.. r y .:!.. r, respectivamente y e,e 3 = J6i r. 4 2 4

13. Se tienen 3 circunferencias que son tangentes entre sí. El radio ele la circunferencia e1 y e2 es R, nientras que el ele

la circunferencia e3 es .:!.. R , determina la distancia entre el centro ele S y el punto ele tangencia entre e 1 y <;. 2

e 'lllriflca hit r .. ultadot •n la -cl6n do toluclonu --diento . -----------==-

116

-CAPÍTULO 9

PERÍMETROS Y SUPERFICIES

M atemático griego, precursor de Euclides. Entre los mayores logros de Hipócrates está el haber demostrado que las áreas

de 2 círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus d iámetros. Esto es equivalente a haber descubierto que el área de un círculo

es m 2, sin determinar e l valor de 1t. Es posib le que llegara a esta conclusión a l considerar a l círculo como el límite de un polígono regular.

Uno de los problemas más importantes poro los griegos era e l de la cuadratura del círculo o de cualquier figura en general, la cual se define así:

la cuadratura de uno figura plano es la construcción con regla y compás de un cuadrado con la mismo superficie que lo figura plana orig inal.

En esa época sólo se habían realizado las cuadraturas de diversas figuras planas de lados rectos, sin embargo Hipócrates fue el primero en cuadrar una figura con lados curvados conocidos como lúnulas.

Logró trazar una lúnula de área igual a l triángulo que es mitad de un cuadrado dado.

Área de la lúnula AEDF =Área del triángulo ADB


Defin iciones

l\!rímetro. Fs la suma ele los lados de un polígono.

Superficie o área. Fs la región del plano limitada por una figura en dos dimensiones.

Perímetro y área de una figura plana

Las siguientes fórmulas se emplean para determinar el perímetro y el área ele una figura.

Triángulos

Equilátero

' ' ' ' h¡ ' ' '

Escaleno

: ____________ \,_ _____ __::,.,_

b b b

l\lrímetro: p = 3b

Área· A= bil

Perímetro: P = 2a + b Perímetro: P = a + b + e

. 2 bil

Área: A= -2

Área de un triángulo en función de sus lados (fórmula ele Herón ele Alejandría).

A= -Js(s - a)(s - b)(s- c)

Con s = a+~+c ,donde:

Área· A= bil . 2

s = semiperímetro, a, b, e =lados del triángulo y 11 = altura

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--

s 1 • •• D:termina el área del triángulo cuya base y altura son 6 y 4 cm, respectivamente. a.. E Solución i!- Se sustituyen los valores en la fórmula y se obtiene:

A= bh = (6cm)(4cm) = 24cm2

= 12 cm2 2 2 2

R>r tanto, el área del triángulo es de 12 cm2

118

CAPÍTULO 9 ~rlmetros y superficies

2 • • · Determina el perímetro y el área de un triángulo isósceles, si los lados miden 3, 3 y 5 cm.

Solución

FJ perímetro se define como la suma de los lacios, entonces:

P=3+3+5=11cm

Para hallar el área se aplica la fórmula de Heróo de Alejandría:

A= Js(s-a)(s-b)(s-c)

Sis= a+b+c = 3 +3+ 5 = !..!,alsustituireolafórmula: 2 2 2

Por tanto, el área del triángulo es ¡ Jfí cm 2

Cuadriláteros

Cuadrado

a b

Peñmetro: p = 4 Q.

Área: A= a2 Peñmetro: P = 2 (a + b)

Área: A= ab

Rombo

Perímetro: P = 4a

Dd Área: A= 2

Donde:

d = Diagonal menor

D = Diagonal mayor

a= Lado del rombo

119

Trapecio

b

a

Paralelogramo

e

Perímetro: P = 2 (b + e) Área: A= he

Perímetro:

P=a+b+ c+d Área:

A= (a+b) h 2

Donde:

4 b, e, d = Lados del trapecio

a = Base mayor

b = Base menor

h =Altura


EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-4

a 1 • •• Determina el perímetro y el área de un rectángulo de lados 4 y 2 cm, respectivamente. D..

~ Solución Al sustituir los valores respectivos en las fórmulas del rectángulo, se obtiene:

Perímetro

P = 2a + 2b = 2(2 cm) + 2(4 cm)= 4 cm + 8 cm= 12 cm Área

A = ab = (2 cm) (4 cm)= 8 cm2

2 • • •Encuentra el área de un paralelogramo que mide 6 cm ele ba5e y 2.5 cm de altura.

Solución Se sustituyen los valores de c = 6 cm y h = 2.5 cm, entonces:

Área A= ch = (6 cm)(2.5 cm) = 15 cm2

3 • • •Encuentra el área ele un rombo cuyas diagonales mielen 12 y 8 cm.

Solución Al sustituir en el área de un rombo en término de sus diagonales se determina que:

A= Dd = (12)(8) = 96 = 48 cm2

2 2 2

En consecuencia, el área del rombo miele: 48 cm2

4 • •El perímetro ele un trapecio isósceles es ele 32 cm, si los lados iguales mielen 5 cm y la altura 3 cm, determina su {rea,

Solución

Sea a la ba5e mayor y b la menor, P el perímetro y c la longitud de los lados iguales del trapecio, entonces:

Al despejar a+ b, se tiene:

a+b=P -2c

Luego, el área de un trapecio se define como:

Al sustituir a + b = 22 y h = 3, resulta que:

P=a+b+2c

a + b = 32 - 2(5) = 32 - 10 = 22

A= (a+b)h 2

A= (22)(3) = 66 = 33 cm2 2 2

Por consiguiente, el área del trapecio es: 33 cm2

120


Polígonos regulares

Perímetro. FJ perímetro se define como el producto del número de lacios por la medida de cada lacio del polígono.

Área. & el semiproclucto del perímetro por la apotema.

Apotema. & la longitud del segmento que une el centro del polígono y el punto medio de uno de los lacios.

Peri me·tro: p = nb

• Pe Area:A = -2

Donde: n =Número de lacios del polígono

b = Lacio del polígono e =Apotema

b

e

b

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-

"'o 1 •••Determina el perímetro yel área de un pentágono regular de lado 4 cm y apotema 2.7 cm. Q.. E i!-

Solución

En UD pentágono el número de lacios es 5, entonces el perímetro es:

P = 5(4) = 20 cm

Para hallar el área se aplica la fórmula:

A= Pe = (20)(2.7) = 54 = 27 cm2

2 2 2

Por tanto, el perímetro yel área son: 20 cm y 27 cm2, respectivamente.

2 •••Determina el área de un octágono regular, si uno de sus lados mide 3 cm y el segmento que une UD vértice con el centro d:l octágono mide 4 cm.

Solución

La apotema ces el segmento perpendicular a uno de los lacios en su punto medio, esto genera UD triángulo rectángulo, en consecuencia:

(4)2 = (1.5)2 + c2 16=225+c2

Luego, el área del octágono regular es:

Por consiguiente, el área mide 44.4 cníl

e= J13.75 e= 3.7

A = 8(3)(3.7) = 88.8 = 44_4 cm2

2 2

121


Orcunferencia y circulo

Longitud de la circunferencia. & el perímetro de un círculo y se define como el doble producto de su radio por 1t o el producto del diámetro por 1t.

Cálculo del círculo. & el área o superficie limitada por la circunferencia y se denomina como el producto de 1t por d radio al cuadrado.

Perímetro

P =21tr = Drr.

Donde:

Área

1 A = 1tr2 = - 1tD2

4

r =Radio, D =Diámetro y 1t = 3.14159 ...

Sector y segmento circular

l\!rímetro de un sector circula& Se nombra así a la suma de los radios y el arco que subtienden.

Área de un sector circular. Se define como el producto del área del círculo por la fracción ~, donde n es el ángulo que forman los radios del sector circular. 360

Perímetro

P=a+2r

Donde:

r = Radio, n = Grados sexagesimales

a = Longitud de arco (1tnr ) 180°

Área

A= 1tr2n =~ 360° 2

a

l\!rímetro de un segmento circular. Se denomina así a la suma de la cuerda y el arco que subtienden los radios.

Área de un segmento circular. F.s igual a la diferencia del sector circular correspondiente, menos el área del triángulo <pe forman los radios y la cuerda que subtienden.

Perímetro

P=a+m

Donde:

r = Radio, n = Grados sexagesimales

m = Cuerda, h = Altura del triángulo

2nrn a= Arco= --

360º

122

Área

A= 1tr2n _ mh

360° 2

a

o


EJEMPLOS,-------------~ 1 • • •Determina la longitud de la circunferencia, cuyo diámetro mide 4 cm.

E Solución .L w l1l longitud se define como: P = 27t r= 7t D, sustituyendo D = 4 cm.se obtiene:

P=1t(4cm)=41tcm.

2 • • •Fncuentrael área del círculo de radio r= 12 cm.

Solución

FJ área de UD círculo está dada por: A = 7t r2, se sustituye r = 12 y se obtiene:

A = 7t r2 = (7t) (12cm)2=1447tcm2

Fste resultado está en términos de 'lt; sin embargo, se puede sustituir su valor y el resultado será equivalente:

A= 144(3.1415) cm2 = 45237 cm2

3 • • •Determina el área del sector circular que forman 2 radios si el ángulo que forman es de 60° y miden 4 cm.

Solución

En este caso n = 60° y r = 4 cm, al sustituir en la fórmula del sector circular resulta que:

A= 11:r2n = 11: (4)2

(60°) = 1611: = Str cm2

360° 360° 6 3

En consecuencia, el área del sector circular es 8; crrí2

4 • •Encuentra el área del segmento circular formado por el arco y la cuerda subtendidos por 2 radios con longitud de 1 cm, si la cuerda también mide 1 cm.

Solución

De acuerdo con la figura, se forma UD triángulo equilátero, esto significa que el ángulo formado por los radios mide 60°, luego, la altura del triángulo es:

Ahora el área del segmento circular resulta así:

,( 111 A= 11:(1)2 60º - Ej

360° 2

123


EJE~CICIO 31 Calcula el perimetro y la superfcie de las síguientes figuras:

l. Rectángulo 5. Pentágono regular

Dl.7m 2.5m

2. Triángulo equilátero 6. Triánguloescaleno

8.3m 32.5m

3. Trapecio isósceles 7. Cuadrado

llm

º''" 14m 9cm

4. Triángulo isósceles 8. Rombo

12.Sm

Determína las supe rflcies de:

9. Rectángulo de 1 O y 15 m.

10. Paralelogramo de base (x - 1) m y altura ~ - 2) m.

11. Triángulo de base 14 dm y altura 9 dm.

12. Trapecio ele bases 6 y 4 dm y altura de 3.5 dm.

13. Círculo de radio 30 cm.

14. Círculo de diámetro 18 cm.

124


Resuelve los síguientes problemas:

15. Encuentra el área de un cuadrado si el radio del círculo inscrito es de 1 O cm.

16. Por impermeabilizar el techo de una casa rectangular de 12.5 por 15 m se pagaron $500. ¿Cuál es el precio por metro cuadrado?

17. Se quiere pintar una habitación que mide 10 metros de frente por 7 de fondo y 2.5 de alto, dicha habitación tiene 4

'entanas de 1 m de alto por 1.8 m de largo. ¿Cuál será el importe si se pagan $5 por m2? Considera la pintura para el techo y una puerta de 1.5 m x 1.8 m.

18. Precisa la base y la altura del triángulo que tiene 486 m2 de área, si la base es los ~ de la altura. 4

19. Un trapecio tiene 400 m2 de área, los lados paralelos tienen 35 y 45 m.¿Cuál es el valor de la altura?

20. ¿Cuántos círculos enteros de 4 cm de radio se pueden cortar de una hoja de lata de 80 cm de largo por 65 cm de ancho y cuál es el área total de ellos?

21. Encuentra el área del triángulo que tiene como longitud de sus lados:

a) a=13,b=9,c=10 b) a=1,b=16,c= 11 c) a = 8 , b = 5 , c = 12

22. El área de un paralelogramo está dada por la expresión (x2 + 17) ní1, la base es igual a (x + 5) m, y su altura es igual a (x - 2) m. Determina el valor de x y el área de este cuadrilátero.

23. Encuentra el área del sector circular si:

a) el radio mide 4 cm y el ángulo central es de 45°

b) el radio mide 1 cm y el ángulo central es de 60°

c) el diámetro mide 6 cm y el ángulo central es de 90º

d) el diámetro mide 8 cm y el ángulo central es de 240°

24. Determina el área del segmento circular si:

a) el radio del círculo es 2 cm yel ángulo central es de 90º

b) el radio del círculo y la cuerda correspondiente al segmento circular miden 3 cm

c) el radio del círculo mide 8 cm y la cuerda correspondiente al segmento mide sJ2 cm

e Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlente • • • • • • • • • • • • • • • •

Área de figuras combinadas

Se obtienen las áreas por separado de cada una de las figuras, y se realizan las operaciones necesarias para hallar el irea que se pide.

~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-..

~ 1 ••·Se inscribe una circunferencia de radio r en un cuadrado, determina el área que existe entre las 2 figuras.

E Solución ~ FJ área sombreada se obtiene al restar al área del cuadrado el área del círculo, entonces:

A,= (2r)2-(itr2) = 4r2- itr2 = r2 (4-it)

Por tanto, el área sombreada es A,= r2 (4 - it)

125


2 • • • Fn cada una de las esquinas de un cuadrado de lacio 4 r, se tienen cuartos de circunferencia de radio r con centro en cada uno de

los vértices del cuadrado, detennina el área entre el cuadrado y los cuartos de circunferencia

Solución

FJ área sombreada (As) se obtiene mediante la resta del área del cuadrado (A 1), menos el área de los cuatro cuartos

ool círculo (A¡). por tanto:

Donde,

A1=(4rf=16r2 y A2 = 4(ir¡') =1tr2

R>r consiguiente, el área sombreada es:

A,= t6r2-1tr2 = r2 (16-1t)

J • •• O:termina el perímetro de la figura sombreada si el área del cuadrado ABCD es 1 cnr

Solución

Fl perímetro de la figura sombreada se define como:

P= AD+ AB + BD

~ 1 (AB) (¡) 1 - 1 (- ) 1 1 ~ro AB = - (21t) - =1t - = - 1tY BD = - (21t) AB = - it(I)= -1t 2 2 22 4 2 2

En consecuencia, el perímetro es: 1 1

P = 1 + - 1t + - 1t = (1 + it) cm 2 2

4 • •Calcula el área y perímetro de la región sombreada si ON = 6 cm, MN = 12 cm, Q es el punto medio de MN y Res el punto medio de MQ.

Solución

FJ área sombreada (A,) se obtiene de la siguiente manera:

A,= Rectángulo MNOP- Semicirc. en MN + Semicirc. en MQ-Semicirc. en RQ Siendo:

Semicircunferencia con diámetro en MN = .!. 1t(6)2 2

1 Semicircunferencia con diámetro en MQ = '2 1t(3)2

126

CAPÍTULO 9

Semicircunferencia con diámetro en RQ = ~ 1t ( ~ J Si se sustituye en A,, se tiene que:

~rlmetros y superficies

A =(12)(6)- - 1t(6)2+ - 1t(3)2- - 1t - =72-181t+ - 1t - - 1t= 72--n cm2 1 1 1 (3J 9 9 ( 117 ) I 2 2 22 2 8 8

Luego, el perímetro de la figura sombreada es:

P = MP + PO + ON + ÑiJ · + MQ + QR + RM

Si sustituyes los valores de los segmentos y de las semicircunferencia> resulta que:

P= 6+12+6+1t(6) + 1t(3) + 1t(%)+ 3 = (21+ ~In )cm.

( 117 ) ( 21 ) . Rlr tanto, el área y perímetro de la figura sombreada son: n-8 n cm2 y 27+-;¡n cm,respecnvamente.

EJERCICIO 32 . Resuelve los síguientes e_íercicios:

l. De la figura, A, B, C son los puntos medios de los lados del á RST.

Determina:

a) TS si AC = 12 cm, b) BC si RT = 26 cm

e) ÁreayperímetrodeláABCsi RT =42cm, RS =30cmy ST =16cm

2. Encuentra el área sombreada de la siguiente figura: los centros de

C1 y C2 son los puntos medios de los lados AC y BC respectivamente,

AB es diámetro de C3 y tiene una longitud de 25 cm, el lado AC = 24cm.

3. Se inscriben 2 circunferencias de radio ren un rectángulo, determina el

área sombreada.

4. Se tienen 2 círculos concéntricos, determina el área del anillo circular si el radio de uno de ellos es el doble del otro.

127

T

R

s


5. Si el á ABC es rectángulo y los á AEC, á BDA, á CFB son equiláteros, demuestra que:

6. Los triángulos ABD y BCD son equiláteros de lacio 10 cm; Q, R, S y T son los puntos medios de los lacios de los triángulos. Determina el área sombreada.

7. En un cuadrado ABCD de lado 10 cm se inscriben 2 semicircunferenc~. corno se muestra en la figura. Encuentra el área sombreada.

8. Se inscribe un cuadrado de lacio 20 dm en una circunferencia Determina el área sombreada que se muestra en la figura.

2 9. La figura ABCD es un cuadrado y r = 3 R. Determina

el área sombreada si R = 12 mm.

10. Calcula la cantidad de vitral opaco que se necesita en la siguiente ventana de tipo bizantino.

128

E

e

TXJ C D

11. Si la figuraABCD es un cuadrado y el áreaA'B'C'D'

tiene 392 crrí1, determina el área sombreada.

12. Precisa el área y el perímetro de la zona sombreada si OC= 24mm y los arcos AD,AB,BCyCDson

cuartos de circunferencia.

13. Encuentra el área sombreada si la figura ABCD es un cuadrado de lacio 16 mm, los puntos E, F, G, H son puntos medios del cuadrado ABCD, y los puntos /, J, K, Lson puntos medios del cuadrado HEFG.

14. Halla el área de la zona sombreada si la figura ABCD

es un cuadrado de lado 16 mm, y AB, BC, CD y DA

son semicircunferencias.

15. La figura ABCD es un cuadrado de lacio 32 cm, R y S - -son puntos medios de OC y OB respectivamente, y las figuras de las esquinas del cuadrado son cuartos de circunferencia Determina el área sombreada.

129


D

A c

B

9 CAPÍTULO

•

GroNmíA Y TlllGONONmÍA

16. Si el triángulo ABC es equilátero y OA = 16 dm:

a) Calcula el área del triángulo más pequeño.

ó) Calcula la suma de todas las superficies ele los triángulos si la figura se proyecta infinitamente.

17. Determina el área ele la zona sombreada en la siguiente figura si el diámetro del círculo mayor miele 18 cm.

18. Fncuentra el área de la rona sombreada si AC = Ji.cm y ABCD es un cuadrado.

19. Determina el área y perímetro ele la zona sombreada en la siguiente figura, si ABDC y DCFE son cuadrados ele lado 1 cm.

B

D e

B º .................... E

A C F

20. Precisa el área y perímetro de la zona sombreada en la siguiente figura, si A r-""""------rB ABCD es un cuadrado ele lado 4 cm y E es el punto medio de CD.

D e

e Ylriflca tus .. sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a-----------~

130

-CAPÍTULO 1 Q

CUERPOS GEOMÉTRICOS, ÁREAS Y VOLÚMENES

Arquímedes (287 - 212 a. C.)

"Dadme un pumo de apoyo ymoveréal mundo"

M atemático y geómetra griego, a quien se considera el ma-,or científico y ma· temático de la Antigüedad, entre sus le

gados destacan: el principio de Arquímedes, sus aportes a la cuadratura del círculo, el estudio de la polanca, el tornillo de Arquímedes, la espiral de Arquímedes y la relación aproximada que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, lo que dio origen al número 11: (pi) .

Con sus estudios sobre áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas se anticipó al descubrimiento del cálculo integral. Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

-

1 O CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Ángulo diedro

Es el espacio que limitan dos semiplanos (cara>) que tienen una recta en común (arista).

A AB: Arista

D CW, DAB: Caras

dosificación

Un diedro es agudo, recto, obtuso o llano, según la medida del ángulo rectilíneo correspondiente.

Diedro llano. Se forma por dos semiplanos opuestos.

i z 7 Diedro cóncavo. Fs aquel cuya medida es mayor que un diedro llano.

Diedro convexo. Su medida es menor que un diedro llano.

Diedros adyacentes. Son aquellos cuya suma es igual a un diedro llano.

Rectilíneo correspondiente a un diedro. Es el ángulo plano 8 formado por lacios perpendiculares a la arista sobre las caras y es igual al ángulo diedro.

Se traza un plano perpendicular a la arista del diedro y se obtiene en la intersección el rectilíneo correspondiente.

Ángulo triedro

B

B

Fs el espacio que comprenden tres planos, los cuales se cortan dos a dos y tienen un punto en comón.

A

e

132

B

V.· ~rtice AV, CVy BV: Arista AVC, AVB y BVC: Caras

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes

Clasificación

1Hedros escalenos. Si las caras son desiguales.

e

D

1Hedros isósceles. Si dos caras son igualei> y una desigual.

B

1iiedros equiláteros. Si las caras son iguales.

B

ABC=ACD °*ABD

e

A

ADB = BDC = CDA

A

'friedros trirrectángulos. Si sus diedros y caras son rectos.

E

D

e

ADB .L ADC, BDA .L BDC, BDC .L CDA

LADB = L BDC= L CDA =90º

A

B e

133


Ángulo pol iedro

Fs el ángulo que fonnan tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice del poliedro. De acuerdo con el número de caras, recibe el nombre de triedro, tetraedro, pentaedro, etcétera.

A

dosificación

A: Vértice del poliedro

AD, AC, AB y AE: Aristas

AED,ADC, ACB, ABE: Caras

Ángulo poliedro regular. Si todos los diedros y todas la; caras son iguales entre sf.

LBAC= L CAD = L DA E= L EAF= L FAB

A

D

Ángulo poliedro cóncavo. Si al cortar sus caras con un plano determina un polígono cóncavo.

En el cuadrilátero BEDC: L B, L E, L D y L C son menores que 180º A

Ángulo poliedro convexo. Si al cortar sus caras mediante un plano determina un polígono convexo.

En el polígono BCDEF: L E es mayor que 180°

A

D

134


Poliedro

Fs un cuerpo geométrico al que limitan polígonos.

Elementos

Cara. Cada uno de los polígonos que lo limitan.

El cuadrado ABCD es una cara del poliedro.

Arista. Las intersecciones de las caras del poliedro.

FJ segmento AE es una arista.

Wrtice. Los puntos donde concurren las aristas de un poliedro.

El punto D es un vértice.

Ángulo diedro. Se forman con las caras que tienen un arista en común.

Lo forman las caras ADHE y CDHG.

Ángulo poliedro. Se forman por tres o más caras que tienen un vértice en común.

Lo forman las caras AD HE, CDHG y ABCD.

Diagonal. Recta que une dos vértices que no pertenecen a una misma cara.

La recta BH es una diagonal del poliedro.

Superficie. Fs el conjunto de todas las caras y se le denomina área del poliedro, ésta se obtiene mediante la suma de las áreas de las caras.

Volumen. Fs la región de espacio que limita el área del poliedro.

Clasificación

Poliedros cóncavos. Si una recta cualquiera cruza en dos puntos a sus caras.

G y F son los puntos de cruce.

A

135


Poliedros convexos. Si existe una recta que cruce en más de dos puntos a sus caras.

K, L, M y N son los puntos de cruce.

A

Poliedros regulares

Son aquellos limitados por polígonos regulares iguales, sus ángulos poliedros son iguales y sus ángulos diedros iguales.

dosificación

Tutraedro. Sus caras son cuatro triángulos equiláteros. Dodecaedro. Sus caras son doce pentágonos regulares.

Hexaedro o cubo. Sus caras son seis cuadrados. Icosaedro. Sus caras son veinte triángulos equiláteros.

Octaedro. Sus ~ son ocho triángulos equiláteros.

136


Desarrollo

& la representación en un plano de los poliedros, en la cual se tienen sus caras unidas por las aristas.

Tutraedro Hexaedro o cubo

Octaedro Dodecaedro

Icosaedro

Área y volumen de un poliedro regular

'Thtraedro. & el poliedro que forman cuatro caras triangulares iguales.

e Ána total: cuatro veces el área de una de sus caras. e Volumen: un tercio del área de una de las caras por la altura del cuerpo.

L

137

Área total en función de L

Ar= J3L2

Volumen total en función de L

Donde,

Vr= ..fj,Vh= J2L, 12 12

L= Longitud de la cara h = Altura del cuerpo


Hexaedro o cubo. es el poliedro que forman seis caras cuadradas iguales.

e Área total: reís veces el área de una de sus caras. e Volumen: cubo de su arista (se le denomina arista a la longitud de uno de los lados de una de la> caras).

,

1 1 1 >---

/ /

/ ,

L

L

Área total

Ar=6L2

~lumen total

Vt= L3

Donde, L = Longitud de la cara

Octaedro. es el poliedro que forman ocho caras triangulares iguales.

e Área total: ocho veces el área de una de sus caras.

e Volumen: un tercio del cuadrado de la arista por la altura total del cuerpo.

1 h

l


Ar=2.f3L'

~lumen total en función de L 1, ,/2,

Vt= -Ch= -L 3 3 Donde,

L = Longitud de la cara

h = Altura total del cuerpo

Dodecaedro. es el poliedro que forman 12caras pentagonales iguales.

e Área total: d:>ce veces el área de una de las caras.


Ar= 3J25+10../5 · L2

~lumen total en función de L

Donde,

(15+ 1../5) Vt= /J

4


Icosaedro. es el poliedro que forman 20 caras triangulares iguales.

e Área total: 'l:inte veces el área de una de las caras.

138


Ar= 5../3· /3

~lumen total en función de L

(15+5../5) ' Vt= L 12 Donde,



~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

~ 1 ••· Determina el área total y el volumen ele un tetraedro con arista de 3 cm.

E Solución L!- Fn este caso L = 3 cm y al sustituir en las fórmulas ele área total y volumen se obtiene:

Área total= ../3!3 = ../3(3 cm )2 = 9../3 cm2

J2 J2 3 J2 ) 9J2 Volumen= -L'= -(3cm) = -(27cm' = --cm3

12 12 12 4

2 •••Si el volumen de un hexaedro es ele 128 cm', determina la arista y su área total.

Solución

El volumen ele un hexaedro se define como: V= L3, al sustituir Vy despejar L,se obtiene:

(128 cm') = L3 L= .J128cm' = 4Jí cm

Entonces, la arista del hexaedro es 4J2 cm y el área total es:

A =6L2 =6( 4J2 cm)2 =6(32 cm2)= 192cm2

Por tanto, el área total es 192 cm2.

3 ••· FJ área total ele un octaedro es 54 ../3 cm2. Determina su volumen.

Solución FJ área total de un octaedro se define como: A = 2../3 L2, al sustituir en A y despejar Lse tiene:

54 ../3 cm2 = 2 ../3 L2 54../3 cm2 ~ ~ r;; L = r;; = ,¡27 cm = .>V3 cm

2v3

luego, el volumen se define como: V= ~ L3, sustituyendo L= 3../3 cm ,se obtiene:

Por tanto, el volumen del octaedro es: 27../6 cm'.

4 •••Determina la altura de un tetraedro de arista J2 cm si su volumen es ~ cm3•

Solución ../3

El volumen ele un tetraedro en términos de la arista y la altura es: V= 1~ L2h, sustituyendo V y L, se despeja h, entonces:

h= 12V = 12Gcm') = 4cm' = 4J6 cm= 2J6 cm fj¡] ../3( J2 cm r J6 cm' 6 3

Por consiguiente, la altura del tetraedro es: 2 ~ cm.

139


EJE~CICIO 33 Determina el área total y el volumen de los siguientes poliedros regulares:

1. Tetraedro de arista 2 cm 6. Octaedro de arista ../3 cm

2. Tetraedro de arista J3 cm 1. Dodecaedro de arista 2 J5 cm

3. Hexaedro de arista 2../3 cm 8. Dodecaedro de arista 2 cm

4. Cubo de arista ~ dm 9. Icosaedro de arista ../3 cm

5. Octaedro de arista 6 cm 10. Icosaedro de arista 5 .J2 dm


11. Determina el área total ele un tetraedro, si su altura es .J6 cm y su volumen es ~Ji cm3

12. Determina el volumen de un tetraedro si su área total es 27 J3 cm2

13. Encuentra la altura de un tetraedro si su volumen es ! cm3

3 14. Encuentra el volumen de uncubosisuárea totales 12cm2

15. Si el volumen de un cubo es 2 m3, determina su arista y área total.

16. Determina la altura ye! área total de un octaedro de volumen 72 Ji cm3

17. La altura de un octaedro es de 2 cm ysu área total es 4J3 cm2,encuentra su volumen.

18. Si la altura de un octaedro es de 6 cm determina su volumen.

19. Si el área total de un icosaedro es 10 ../3 cm2,encuentra su volumen.

20. Determina el volumen de un icosaedro de lacio Len términos del área total.

e \flrlfk• tus nsultaclos •n 1.e sección de soluciones contisponclent• • •.•.•. .... ..••. •• • ••

Prisma

Fs un poliedro en que dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos; las caras restantes son

paralelogramos.

dosificación

Rectos. Si las caras laterales son perpendiculares alas bases.

Oblicuos. Si las caras laterales no son perpen-diculares alas bases.

~ acuerdo con sus bases, los prismas se clasifican también de acuerdo con el polígono que tienen como base.

Prisma triangular. Sus bases son triángulos. Prisma rectangular. Sus bases son rectángulos.

------...... --

1.40


Prisma cuadrangular. Sus ba5es son cuadrados. Prisma pentagonal. Sus bases son pentágonos.

/

Paralelepípedo

' : ' ' ' '

- ~'---- -- ---

Son prisma5 cuya ba5e es un paralelogramo y sus caras opuestas son para!~. también se les conoce como ortoeclros. A B :'....... ~ ·

º -~~~;; G

·""~ .. .-:........ .. ...... ,~.

E

Características principales l. Las cuatro diagonales de un paralelepípedo son iguales.

AF = BE =CH =DG

2. Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.

Oes el punto medio de AF,BE,CHyDG

3. El punto de intersección de las diagonales de un paralelepípedo es el centro del mismo.

O es el centro del paralelepípedo

4. La longitud de una diagonal es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las aristas que concu-rren en un vértice.

EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~_,..

S 1 • • •Determina la longitud de la diagonal de un paralelepípedo si su ancho o. [ mide 3 cm, el largo 4 cm y el alto 2 cm.

w

Solución

Sea d la diagonal del paralelepípedo, entonces:

,/

' ' ,;;L-------- - -- --

4cm

d= J 22 +32 +42 = ,/4 +9+16 = fi9cm

141


Área y volumen

e Área lateral de un prisma: producto del perímetro de la base y la altura. e Área total: suma del área lateral y el área de las dos ba.5es. e Volumen de un prisma: producto del área de la base y la altura del prisma.

Prisma rectangular Prisma triangular

a b

h

Área lateral

AL=2(a+b)h

Área total

Ar=2(a + b)h + 2ab

Volumen total

L

h

Área lateral

AL=Ph

Área total

Ar= Ph +2As

Volumen total

Vr= abh

Prisma cuadrangular (cubo)

Vr=Ash

Prisma cuya ba5e es un polígono den lados

L Área lateral L Área lateral /""------:: ... L

AL=4L2 AL=Ph

L Área total h Área total

. Ar=6L2 Ar= Ph +2As ....

Volumen total Volumen total ,.

Vr=L3 Vr= A,ji

EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-...

a 1 • •• ~termina el área lateral, área total y volumen de un prisma triangular de 2 cm de lado con altura de 4 cm. D. .i Solución

Fl área lateral de un prisma triangular se define: AL= Ph, se determina el perímetro de la base,

P = 3{2 cm) = 6 cm, entonces AL= (3)(2 cm)(4 cm) = 24 cm2

FJ área total de un prisma triangular se define: Ar= Ph + 2As• por lo que se obtiene el área de la base triangular meciante la fórmula de Herón de Alejandrfa:

As= Js(s-a)(s - b)(s - c) = J3(3-2)(3-2)(3-2) = J3 cm2

Luego el área total es: Ar= Ph +As= 24 cm2 + f3 cm2 = (24 + f3)cm2

El volumen del prisma triangular se define Vr= Ash, entonces:

Vr=Ash = ( ,J3 cm2 )(4 cm) = 4 ,J3 cm3

2 • • •Determina el volumen de un prisma cuya ba.5e es un triángulo rectángulo isósceles de área 25

cm2, si el área lateral del pismaes (80+4oJ2)cm2.

2

Solución

Fl área de la base es un triángulo rectángulo isósceles, entonces:

1 25 1 A= 1.bh ~ 2 cm2 = 2(x)(x) ~ x2 = 25 cm2 ~ x=5cm

1.42


luego, la hipotenusa (d) del triángulo es:

<fl=x2+x2

al sustituir x = 5 cm se obtiene:

d= J2x

d = 5.fi. cm

FJ área lateral de UD prisma se define como: AL= Ph, si P = 10 + 5 .fi., entonces:

A, 80+40.fi. 8(1o+s..fi.) h= p = I0+ 5.J2 = l0+ 5Ji =8cm

por tanto, el volumen del prisma es:

Vr=A8 h=(~cm2}8cm)= IOOcm'

X

X

3 •••~termina el área total y el volumen de UD prisma hexagonal de lacio 1 cm y altura 2 cm.

Solución

Se obtiene el área de la base que es el hexágono

lcm

Luego, 3.fj 2

= - cm 2

Área total

3./3 ( 3.fj) Ar=Ph+2A8 =(6)(1 cm)(2cm)+ T cm2= 12+2 cm2

Volumen

EJERCICIO 34 . Determina el área lateral, total y volumen de los síguientes cuerpos geométricos:

l. Prisma rectangular de dimensiones 2, 3 y 5 cm.

2. Prisma cuya ba.5e es UD triángulo equilátero de 4 cm de lacio y 6 cm de altura.

3. Prisma cuadrangular si el lacio de la ba.5e es 1 cm y su altura 4 cm.

4. Prisma de ba.5e un hexágono regular de lacio 2.5 cm y altura 6.5 cm.

5. Paralelepípedo de dimensiones .fi., 4 y 2../2 cm.

6. Cubo de lacio 2 cm.

7. Prisma cuadrangular si el área de la ba.5ees 12 cm2 y la altura es 8 cm.

8. Prisma cuya ba.5ees UD octágono regular de lacio 10 cm y apotema (5 + 5 .J2) cm si su altura es de 5 cm.

9. Prisma hexagonal regular si el perímetro de la base es de 60 cm y la altura es el doble que el lacio de la base.

143


Resuelve los siguíentes problemas:

10. Determina el área lateral de un prisma cuadrangular de volumen de 16 cm3, si la altura mide 4 cm.

1 t. Determina el volumen de un cubo cuya diagonal es W. 12. Encuentra el área lateral de un paralelepípedo si las dimensiones de la base son 8 y 4 cm y una de sus diagonales

mide 2 ..fii cm.

13. Determina el volumen de un prisma cuya base es un triángulo isósceles de lacios 2, 2 y 3 cm si la altura del prisma es el doble que la altura de la base.

14. Encuentra el área total de un prisma cuya base es un triángulo equilátero, si la altura excede en 1 cm al lado de la base y el área lateral es de 90 cm2.

15. Encuentra el volumen de un prisma cuya base es un hexágono regular de lado 3 cm y área lateral de 18 J3 cm2.

16. Determina el área lateral de un prisma cu yo vol u meo es de 8 cm3, si su base es un triángulo rectángulo isósceles con área de 2 cm2.

17. El área lateral de un paralelepípedo si el largo de la base es el doble que el ancho, su altura es de 2 cm y su diagonal mide 7 cm.

18. Expresa el volumen de un cubo de arista xen términos de su área total y área lateral.

19. De acuerdo con la fórmula anterior encuentra el volumen de un cubo si su área total es de 27 cm2.

20. Expresa el área lateral de un paralelepípedo en términos de su volumen si sus dimensiones son L, 2L y ~L.

e Ylriflca tusr .. ultaclos en la -cl6n do soluc:lonH oon .. pondionte • • • • • • • • • • • • • • •

Pirámides

Fs el espacio entre un ángulo poliedro y un plano que corta a las aristas del mismo, que recibe el nombre de base, la superficie que lo limita se denomina superficie piramidal y son caras triangulares (caras laterales) terminadas en un '~rtice en común.

V V: Vértice O: Centro de la base

A V: Generatriz

ov: Altura

PV: Apotema

ABCDE: Base de la pirámide D

AVB, BVC, CVD, DVE y EVA: Caras laterales B e

Pirámide recta. & aquella cuyas caras son triángulos isósceles.

Fn la figura: AV=BV=CV=DV

144

V


Pirámide regular. es una pirámide recta cuya ba5e es un polígono regular.

Fn la ti gura: AB = BC =CD= DE= EF =FA

De acuerdo con el número de lacios de la ba5e, las pirámides se clasifican en:

1. Pirámide triangular, su base es un triángulo. 2. Pirámide cuadrangular, su ba5e es un cuadrado. 3. Pirámide pentagonal, su base es un pentágono.

Área y volumen

V

A

e Ána lateral: producto del perímetro ele la ba5e por la apotema ele la pirámide (apotema de una pirámide es la altura de los triángulos que forman sus caras).

e Área total: suma del área lateral y el área ele la base. e Volumen de la pirámide: tercera parte del área ele la base por la altura.

Pirámide regular

h a

Área lateral

A = Pa L 2

Área total

Ar=AL+As

~lumen

1 V7 = - A¡/I

3

EJEMPLOS,-------------~ 1 • • •Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular con arista ele la ba5e ele 3 cm, apotema ele 6 cm y

E al tura i ,/15 . . l. ""' Solución

E'J área total se define como A7 = AL+ As, entonces se determina el área lateral así como el área de la base:

Área lateral de la pirámide:

Área de la ba5e de la pirámide

As= L2 = (3 cm)2= 9 cm2

Por tanto, el área total es:

El volumen se define como: V 7 = ~ A¡¡li, sustituyendo As = 9 cm2 y h = i ,/15 cm, se obtiene:

1 1 (3 ) 9 = ' V7 = 3 A¡/l = 3(9cm2) 2E cm = 2"15 cm

145


2 ••• D:termina el área lateral, área total y volumen de una pirámide hexagonal regular, si el lacio de la base es de 4 cm y

la apotema de la pirámide mide 5 cm.

Solución

FJ área lateral se define como: AL= P;, siendo P = 6(4 cm)= 24 cm

AL= Pa = (24cm)(5cm) = 120cm2

=Wcm2 2 2 2

FJ área total se define como: Ar= ~ +As, y para determinarla se debe hallar el área de la base, entonces:

Px As= T, donde x: apotema del hexágono.

x= J(4)2 -(2)' = '116-4 = Jfi =2.J3cm

As= 6(4cm)(2.J3cm) =24.J3cmi 2

Por tanto, Ar=60cm2 + 24 ,/3 cm2 = (60+24.J3)cm2 2cm

El volumen se define como: V r = ~ As h, dela cual no se conoce la altura, pero la pirámide es regular, esto indica que

la altura coincide con el centro del polígono, generando un triángulo rectángulo con las aristas, tanto de la base como ele la pirámide, entonces:

por tanto, el volumen es:

Tronco de pirámide Es el poliedro que se obtiene al cortar una pirámide mediante una sección paralela a la base.

V

J Troncode pirámide

Características principales e Si la pirámide inicial es regular, el tronco de pirámide también será regular y se formarán trapecios iguales.

ABB'A' =BCC'B' = ... =EAA'E'

e Las aristas laterales, alturas, apotemas y otras rectas trazadas desde el vértice quedan divididas en segmentos proporcionales.

AV BV EV r:v=Fv = ... =Fv

1.46


e Las áreas de la base y la sección paralela son proporcionales a los cuadrados de sus distancias al vértice.

ÁreaABCDE _ (ov)' ÁreaA'B'C'D'E' - (o·v)'

•••Una pirámide cuadrangular con base de 4 cm por lacio y altura 8 cm,se corta mediante una sección paralela de lacio de 1 cm, determina el volumen del tronco de pirámide que se genera.

Solución

Se establece la proporcionalidad entre l~ ~ de los polígonos y su distancia al vértice, sea A' y A el área del cuadrado de lacio 1 cm y 4 cm respectivamente, entonces:

A' - 0.:f A - (h)2

al despejar h', se obtiene:

1 cm2 h"

16 cm2 = 64 cm2

(1 cm')(64 cm') h'= = J4cm2 =2cm

~ 16cm2

por tanto, el volumen del tronco es la diferencia de volómenes entre la pirámide mayor (V) y la menor (V'):

1( )'( ) 1( )'( ) 32 3 2 3 V7 =V-V'=34cm 8cm-3lcm 2cm=3cm-3cm

= 10 clti'

Cuerpos con superficies no planas

Fste tipo de cuerpos se clasifican en:

Superficie cilíndrica. La genera una línea recta que se mueve siempre paralela a sí misma sobre una directriz.

AB: Directriz

l : Generatriz

Superficie cónica. La genera una línea recta que se mueve sobre una directriz y ¡:asa por un punto fijo llamado vértice.

A: Vértice

BC: Directriz

l : Generatriz

B

A

e

147

A

1 h

1

B ,

/

--~ '

"~ ~~


Figurm de revolución. Las genera un plano al gimr sobre una recta que pertenece al mismo plano.

00': Eje de la superficie ABCD: Figura plana

Cilindro circular

Superficie cilíndrica cerrada que limitan dos círculos iguales y paralelos llamados bases.

Cilindro circular recto. Aquel cuyas generatrices son perpendiculares a las bases.

Cilindro circular oblicuo. Aquel cuyas generatrices oo son perpendiculares a las ba5es.

Área y volumen de un cilindro circular recto

Área lateral: producto del perímetro de la ba5e y la altura del cilindro.

Área total: la suma del área lateral y las áreas de la base y tapa.

Volumen: producto del área de la base y la altura.

Cono circular

Área lateral

AL =2trr h

h Área total

A,-= 2 tr r (h + r)

Volumen total --,-- Vr =tr r2h

Es la región del espacio que limita una superficie cónica cerrada y cuya ba5e es un círculo.

1 h

l

Cono circular recto. Si el segmento que une al vértice y al centro de la ba5e es perpendicular a la base.

Cono circular oblicuo. Si el segmento que une al vértice y al centro de la ba5e no es perpendicular a la base.

Área y volumen de un cono drcular recto e Área lateral: producto de tr, radio y la generatriz. e Área total: la suma del área lateral y el área de la base.

1.48


e Volumen: producto del área de la base y la tercera parte de la altura. La altura del cono es la recta que baja de su vértice al centro de la base.

Área lateral

AL= 1t r g

Área total

Ar= 1t r (g + r) \úlumen total

1 Vr=Jnr2h

• • •Calcula el área lateral, área total y el volumen de un cilindro con radio de la base de 3 cm y con altura de 6 cm.

Solución FJ área lateral de un cilindro se define como: AL= 2n r h, se sustituye r = 3 cm y h = 6 cm y se obtiene:

AL= 21t (3 cm)(6 cm)= 361t cnr

FJ área total de un cilindro está dada por la fórmula: A,= 2n r h + 2ni2

Ar= 2n(3 cm) (6 cm)+ 21t (3 cm) 2 = 361t cnr + 18ncm2 = 54ncnr

El volumen se define como: V r = n i2 h, entonces:

Vr= n (3 cm)2 (6 cm)= n(9 cm2) (6 cm)= 54n cm3

2 • • •Determina el área lateral, área total y el volumen de UD coDo recto cuyo radio mide 1 cm y la altura 2 cm.

Solución

Se calcula la medida de la generatriz, la cual forma un triángulo rectángulo con la altura y el radio de la base, entonces:

g2 = (2 cm)2 + (1 cm)2

g2 = 4 cnr + 1 cm2

g= ~5cm2

g=..f5cm

Se sustituyen en las fórmulas r = 1 cm, h = 2 cm y g = .J5 cm.

Área lateral

Área total

Ar= nr(g + r) = n(l cm)( JScm+l cm)= n ( .J5+1) cm2

Volumen

1 1 2 Vr= - nr2h= - n(l cm)2(2cm) = - ncm3

3 3 3

149


EJERCICIO 35 . Determina el área lateral, total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

1. Pirámide regular cuya ba5e cuadrangular de lado tiene 3 cm si su altura mide 4 cm.

2. Pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero ele lado 1 cm si su altura mide .j6 cm y la arista ele las caras

laterales mide 1 cm. 3

3. Pirámide regular cuya ba5e es un hexágono regular de lado 2 cm si su altura es 5 cm.

4. Pirámide regular cuya ba5ees un octágono regular de lado 4 cm, apotema4.8cm y altura de 6.4 cm.

5. Cilindro circular recto de radio 3 cm y altura 5 cm.

6. Cilindro circular recto de diámetro 8 cm y altura 4 cm.

7. Cono circular recto de radio 7 cm, altura 9 cm y generatriz .J150 cm.

8. Cono circular recto de radio 2 cm y altura 8 cm.

9. Cono circular recto de diámetro 5 cm y altura J3 cm.

10. Cono circular recto de radio 1 cm y generatriz 3 cm.


11. Encuentra el volumen de una pirámide cuya base es un trapecio isósceles de base menor 2 cm, base mayor 4 cm y

lados iguales JIO cm si la altura de la pirámide es de 4 cm.

12. Determina el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 2 J2 cm y altura

el: la pirámide 6 cm.

13. Encuentra el volumen de una pirámide cuadrangular de lado 6 cm, si sus cara\l laterales son triángulos isósceles cuyos lados iguales mielen 8 cm.

14. Una pirámide cuadrangular de base 8 cm por lado y altura 10 cm,se corta mediante una sección paralela ele lado 4

cm, determina el volumen del tronco de pirámide que se genera.

15. El área lateral de una pirámide es 60 cm2, si su base es un hexágono regular y la apotema de la pirámide mide 5 cm, cl:termina el área de la base.

16. Encuentra el volumen de un cilindro circular recto si su área total es 32ircm2 y su altura mide 6 cm.

17. El volumen de un cilindro circular recto es 175n: cm3, si el radio es dos unidades menos que su altura, determina su

á'ea lateral.

18. El área total de un cono circular recto es 24ir cm2, si la generatriz excede en dos unidades al radio de su ba5e, deter

mina su volumen.

19. El área lateral de un cono circular recto es 32n: cm2,si la medida del radio es la mitad de la generatriz, encuentra el

área total.

20. Expresa el área total ele un cono circular recto en términos de su volumen si su altura es el doble de su radio.

e 'lllriflca hit r .. ultadot •n la -cl6n do toluclonu --diento . ---- -------

150


Esfera

Fs un sólido geométrico al que limita una superficie esférica, cuyos puntos equidistan de un punto fijo que se conoce como centro de la esfera.

O: Centro ele la esfera

r: Radio de la esfera

AB: Wmetrode la esfera A

e,: Circunferencia mayor

Figuras esféricas y zonas esféricas

Resultan ele cortar la esfera y la superficie esférica.

Ca$quete esférico. Se obtiene al dividir la superficie esférica en dos partes, mediante un plano; si éste pasa por el centro de la esfura los casquetes son iguales.

Segmento esférico. Fs el espacio que limitan el casquete esférico y el círculo base.

Zona esférica. Fs aquella superficie esférica limitada por dos planos.

Rebanada esférica. & el espacio que limitan dos planos paralelos y la :zona esférica correspondiente.

Huso esférico. & la porción de superficie esférica que se obtiene con dos planos que concurren en un diámetro.

Cuña esférica. Fs la porción de espacio que limitan dos planos que concurren en un diámetro y el huso esférico correspondiente.

Sector esférico. Fs la porción de espacio limita do por un casquete esférico y la superficie cónica con vértice en el centro de la esfera cuya directriz es la base del casquete.

151

A f::===E::::::=::tB

o


Área de figuras esféricas y volumen de cuerpos esféricos

Área: es igual al área ele cuatro círculos máxúoos ele esa esfera.

A =4irr2

Volumen: es igual a cuatro tercios ele ir por el radio al cubo.

4 V = -irr3

3

Volumen de un sector esférico

Donde

r: Radio de la esfera

2 V= -ir r2h

3

h: Altura del casquete esférico

Área de un C$()uete esllrico y zona esférica

A ='br rh

Volumen de un segmento esférico

2 1 V= - irr2h - - irR2(r-h)

3 3

Volumen de una rebanada esférica: dferencia ele volúmenes de los segmentos estericos con radio r2 y r1 respectivamente.

Donde

r: Radio ele la esfera

r1 y r i Radios de las circunferencias que limitan la rebanada

h: Altura del casquete esférico o zona esférica

R: Radio de la base del casquete esférico

Área del huso esférico

Volumen de la cuña esférica

Donde

r: Radio ele la esfera

2 A= irr n

90º

3 V= irr n

270°

n: Ángulo que forman los planos de un buso

152

o


~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

~ 1 • • · Calcula el área y el volumen de una esfera de 6 cm de diámetro.

E i!-

Solución

FJ área de una ei>fera está dada por la fórmula: A = 4ir r2, si r = ~ entonces:

A= 4ir ( 6 ~m J = 4ir (9 cm2) = 36ircm2

El volumen de una esfura está dado por la fórmula: V= ~ir r3, se sustituye r = 3, obteniendo:

4 4 V= - ir(3 cm?= - ir (Tl cm3) = 36ir cm3

3 3

Por tanto, A = 36ir cm2 y V= 36ir cm3•

2 • •!Xtermina el área del huso esférico y el volumen de la cuña ei>férica que forman dos planos con un ángulo diedro de 45°, si el radio de la esfera es de 9 m.

Solución 2

FJ área del huso esférico está dada por la fórmula: A= ir.:o.n, sustituyendo r = 9 m y n = 4.5°, se obtiene:

A= ir(9 m)' .45• = ir(Sl m2) = Slir m2

90º 2 2 3

El volumen de una cuña se obtiene mediante la f6rmula: V= ;;0:. entonces:

V= ir ?n = ir{9 m)3

• 45º = ir· 729 m3 = 243ir m3

TTOº TTOº 6 2

Por tanto, el área del huso ei>férico y el volumen dela cuña son: Slir m2 y 243ir m3 rei>pectivamente. 2 2

3 ••·Determina el área del casquete ei>férico cuya ~e dista 2 cm del centro, si el radio de la ~eei> fiicm.

Solución

FJ área de un casquete ei>férico se obtiene mediante la siguiente fórmula:

A=2ir m

d! los cuales se desconocer y h, de la figura se tiene que:

r = ~(2cm)2 +( J2t cm)' = J4cm2 +21 cm2 = J25 cm2 = 5 cm

luego, la altura del casquete es:

h = r-2cm= 5 cm-2cm = 3 cm

al sustituir r = 5 cm y h = 3 cm en A = 2ir rh, se obtiene:

A= 2ir(5 cmX3 cm)= 30ir cm2

Por consiguiente, el área del casquete ei>férico es 30ir cm2•

153


4 • • •Una esfera de 1 O cm de radio se corta mediante dos planos paralelos a una distancia de un mismo lacio del centro de 2 cm y 6 cm respectivamente, determina el volumen del segmento e>férico.

Solución

Para determinar el segmento e>férico, primero se encuentran los volúmeoe> de los casquetes e>féricos, como lo mue>tra la figura:

V= \ólumen del segmemo esférico

. . • . • • . . . . . "R; ' ..•.. 'r=lOan ·

V1 = \blumendel primercasquete

Eola figura,R1 = Jl00-36

R 1=8cm

V2 = \blumen del segundo casquete

En 1a figura, R,= Jtoo-4 R2= J96

2 1 2 2 1 2 800 384 416 V1 = 3 irr2h-3 irR2<_r -h) = 3ir(to) (4)-3ir(8) (10-4) = 3ir-3ir= 3ir

V =!_ir r2h - .!. ir R'l(_r -h) =!.ir( to)' (8)-.!.ir(../96)2 (10-8) =

1600 ir-

192 ir=

1408 ir 2 3 3 3 3 3 3 3

1408 416 992 Por tanto, V= V2 -V1 = --ir cnil - - ir cm3 = - ir cnil

3 3 3

EJERCICIO 36 • Resuelve los siguíentes problemas:

l. Determina el área y volumen de una e>fera con radio de 4 cm.

2. Encuentra el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 6J5 cm.

3. El radio de una e>fera es de 3 cm, determina el volumen de un sector e>férico cuyo casquete e>férico tiene una altura

de 1 cm.

4. Determina el volumen de un sector esférico si la base de su casquete esférico se encuentra a 4 cm del centro de la e>fera cuyo radio es de 9 cm.

5. El radio de una estera mide IO cm, ¿cuál es el área del casquete esférico cuya base se encuentra a 7 cm del centro de la estera?

6. ¿Cuál es el área de un casquete e>férico cuya base dista del centro de una e>fera 2 cm y su radio mide 2 ../15 cm?

7. ¿Cuál e> el volumen de un segmento e>férico cuya base tiene una altura de 2 cm y el diámetro de la e>fera mide 6 cm?

8. Encuentra el volumen de un segmento e>férico si su base tiene un radio de 4 cm y el radio de la e>fera mide 5 cm.

9. Una e>fera con un radio de 12 cm se corta mediante dos planos paralelos a una distancia de un mismo lacio del centro de 4 cm y 7 cm respectivamente, determina el área de la zona esférica y el volumen de la rebanada esférica.

IO. Una esfera con un radio de 1 cm se corta mediante dos planos paralelos, uno a cada lado del centro a una distancia

de .!. cm y .!. cm respectivamente, determina el área de la zona e>férica y el volumen de la rebanada esférica. 2 3

154


11. Encuentra el área del huso esférico si el ángulo que forman sus planos es de ©' y el radio de la esfera miele 10 cm.

12. El área de un huso esférico es 16

n, si el radio de la esfera mide 2 cm, ¿qué ángulo forma el huso esférico? 3

13. Calcula el volumen de una cuña esférica si el ángulo que forman sus planos es de 30" si el área de la esfera es 36n cm2•

14. Dos planos que concurren en un diámetro forman una cuña esférica de volumen 2ncm3 y un buso esférico de área

3n cm2, encuentra el radio, área y volumen de la esfera. 2

e Verlft:a tu1 ,.ouftaclos en la Hccl6n de solucloaH comollpOndlente a ------------=----

155

-CAPÍTULO 11

FUNCIONES lRIGONOMÉlRICAS

Hiparco de Nicea (190-120 a. C.)

Hiparco de Nicea

Rama de las matemáticas que estudia las rela· óanes entre los ángulos y lados en cualquier lriángulo.

Desde hace más de 3000 años los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar los ángulos y las razones trigonométricas para efec· luar medidas en la agricultura, así como para la construcción de pirámides.

Astrónomo, matemático y geógrafo griego nacido en N icea. Uno de los principales desarrolladores de la trigonometría (plana y esférica), construyó tablas que relacionaban los ángulos centrales con las cuerdas delimitadas por su ángulo central correspondiente. Gracias a esta tabla, equiva lente a una tabla de senos actual, logró relacionar los lados y ángulos en cualquier triángulo plano.

Los triángulos esféñcos se forman en la superficie de una esfera y son objeto de estudio de la trigonometría esférica, la cual se aplica en la náutica y navegación.


Funciones tr igonométricas

A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se les llama funciones o razones trigonométricas.

Definiciones

Seno de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Tungente de un ángulo. Fs la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Cotangente de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto adyacente y el opuesto.

Secante de UD ángulo. Fs la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

Cosecante de UD ángulo. Fs la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Nota: los catetos se nombran según el ángulo agudo que se utilice.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 • •• Fn el siguiente triángulo determina los catetos opuesto y adyacente para cada uno de los ángulos agudos. a.. !

Solución

Para el ángulo a: cateto opuesto= a cateto adyacente = b

hipotenusa =e

a

b

Pam el ángulo {J: cateto opuesto = b cateto adyacente =a hipotenusa = e

FJ cateto que es opuesto para uno de los ángulos será el adyacente para el otro, siendo la hipotenusa el lado que no presenta variante.

2 • •• Obtén las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo:

a

158

CAPÍTULO 11 Funciones trigonométricos

Solución F.o el triángulo la hipotenusa es e y los catetos son a y b, entonces las funciones para los ángulos agudos a y p son:

Funciones de a: Funciones de {J:

a sen f3 b sena = - =-

e

~ e

b cos f3 a

cosa = - = -e e a b

[ rana= - ran{J = -

b

~ a

b a ctga = - erg f3 = -a b e

sec f3 e seca= - = -

b

~ a

e ese f3 e esca = - = -

a b

w funciones trigonométricas de un ángulo agudo guardan ciertas relaciones entre sí:

Función directa Función recíproca

seno (sen) '"(f------)"' cosecante (ese)

coseno (cos) <1(E------')• secante (sec)

tangente (tan) <1(E------')• cotangente (erg)

C.Ofunciones

Cualquier función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento.

F.o el triángulo rectángulo:

Por geometría: 90º+a+ P= tso• Donde: a+ P = 90°; P= 90º -a

J

por tanto, a y p son complementarios.

b

Entonce>, mediante las definiciones: sena=cos (90° -a) =cos P

cosa =sen (90° -a) =sen P

tan a =ctg (90° -a) =erg p ctg a= tan (90° -a) =tan p seca =ese (90° - a) =ese P

ese a =sec (90° - a) =sec P

159


Ejemplos

[8clas las funciones trigonométrica5, se determinan sus respectivas cofunciones:

sen 32° = eos (90° - 32°) = eos 58°

tan 25º = etg (90º - 25º) =erg 65º

1': (1': 1':) 1': see ¡ =ese 2-¡ =ese¡

Rango numérico

Dacio que la hipotenusa ele un triángulo rectángulo siempre es mayor que cualquiera de los dos catetos, los valores del seno y el coseno ele un ángulo agudo no pueden ser mayores que + 1, ni menores que -1, mientras que los valores de las funciones cosecante y secante, al ser recíprocas del seno y coseno, no pueden estar entre -1 y+ I; los catetos de un triángulo rectángulo pueden guardar entre sí cualquier proporción, por tanto, los valores de la tangente y la cotangente varían sobre todo el conjunto de números reales.

Valor

Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo se pueden determinar las demás funciones a partir de la construcción de un triángulo rectángulo y el empleo del teorema de Pitágoras como a continuación se ilustra.

EJEMPLOS 3 ..§ 1 • • •Si Bes agudo, y eos 8 = - . calcula los valores de las funciones trigonométrica5 para 8.

D. 4

! Solución

Se construye un triángulo rectángulo, donde 8 es uno de los ángulos agudos, la hipotenusa es 4 y el cateto adyacente es 3.

Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lacio restante:

(4)2 = (x)2 + (3)2

16=x2+9

16-9 =x2 7 =x2

J7 = x

R>r tanto, las funciones trigonométricas del ángulo agudo 8 son:

.J7 sen8= -4

.J7 tan8= -

3

3 3.fi etg8= "'J7 = -:¡-

4 see8= -

3

4 4.fi ese 8 = "'J7 = -

7-

160


2 •••Si Bes agudo y tan B =.!.,calcula los valores de seno y coseno del ángulo B. 2

Solución Se construye un triángulo rectángulo, donde Bes uno de los ángulos agudos, el cateto opuesto es 1 y el cateto adyarente es 2.

Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del la~ restante:

(.>')2= (1)2+ (2)2

x2=1+4

x2=5 x = .J5

n... • • B 1 .J5 B 2 2.JS cvr coos1gwente, sen = r. = - y cos = r. = --v5 5 -v5 5

2

EJERCICIO 37 . 1. Obtén el valor de ~ funciones trigonométricas de los ángulos agudos, en los siguientes triángulos:

a)

X

b) N d) N

7 2. Obtén el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos rectángulos:

a) Si B y a son los ángulos agudos y cos B = ~ d) Si By a son los ángulos agudos y sec B = 2 .J3

b) Si L A y LB son complementarios y tan B = ~ e) Si a+ f3 = 90º y erg a= Jí5 3 5

4 e) Si L M y L N son complementarios y t::fC N = 2 f) sen A = :¡;; y L Bes complemento de L A

e Verift:• tui resultados •n la secc&6n de soludoa•• COl'1'9spondient• . -----------

161


Signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Si un triángulo rectángulo se ubica en el plano cartesiano, de manera que uno de sus catetos coincida con el eje horizontal, m funciones trigonométriCa5 tendrán un signo dependiendo del cuadrante sobre el cual se encuentre dicho triángulo.

11

+

X

m N

bbla de signos

1 - -.. . . . . . . . . Seno + + -

Coseno + - -Tangente + - +

Cotangente + - +

Secante + - -Cosecante + + -

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-

~ 1 _.. • ••Sea el punto A(-3, 4), determina ~ funciones trigonométrica5 del ángulo agudo a= LX O A. Q. E i!-

Solución

R>r el teorema de Pitágoras:

( OA)' = (-3)2 + (4)2

(oA)'=9+16

OA = ..fil = 5

X

Por tanto, las funciones trigonométricas del ángulo a, son: 4 4

sena= - tona= --5 3

3 ctga= --

4

162

5 seca= - -

3

5 esca= ¡

y

• 1 -+

--+

-


2 •••Calcula las funciones trigonométricas para el ángulo {3, si se sabe que tan f3 = 4 y 180° s f3 s 270°.

Solución

FJ ángulo se define en el tercer cuadrante y la función tangente es positiva, por tanto, tan f3 = ~ = -4 , estos valores 1 -1

se ubican en el plano cartesiano. RJr el teorema de Pitágoras: y

(h)2 = (-4)2 + (-1)2

Jí2 = 16 + 1

h = .fi7

Entonces, las funciones trigonométricas del ángulo f3 son:

4 sen/3= - -

.fi7

1 cos /3 = -Ji? = .fi7

17

tan {3=4

1 erg {3= -

4

X

.fi7 csc{J= - -

4

sec f3 = -.fi7

3 ••· Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo agudo 8 que forman el punto P(2, -S) y el eje horizontal.

Solución

Por el teorema de Pitágoras:

0P2

=(2)2 +(-5)2

OP= ..J4+25

OP= Ji9 Las funciones trigonométricas son:

5 5 ..fi.9 5 ../29 sen 8=--=--- tan8 =-- sec8 = -

.fi9 29 2 2

2 2.fi.9 cos8=-=--

..fi.9 29 2

ctg8=--5

163

..fi.9 csc8=--5

X

P(2, -S)


EJ E~CICIO 38 1. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo a=< XOM que forman el punto M( 12, -5) y el eje hori

wntal.

2. Encuentra las funciones trigonométrica; del ángulo agudo a= YON que forman el punto N(- 4, -7) y el eje vertical.

3. Determina las funciones trigonométrica; del ángulo agudo f3 = XOA que forman el punto A(2, 3) y el eje horizontal.

4. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo (J) = XOB <pe forman el punto B(J2. , - J2. ) y el eje horizontal. 2 2

5. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo a, si se encuentra en el tercer cuadrante con ese a = -~

6. Determina las funciones trigonométricas del ángulo a, si se encuentra en el cuarto cuadrante con erg a= - }¡ 7. Fncuentra las funciones trigonométricas del ángulo p, si se sabe que eos P = - ;

3 y 90° s P s 180°

8. Obtén las funciones trigonométricas del ángulo w,si se sabe que erg w = - 8 y 3; s w s 2ir

9. Si ese ll = 1: si 90° s ll s 180º, calcula las funciones trigonométricas del ángulo ll

10. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo psi se sabe que cos p = - J3 y ir:!> f3 :!> 3ir

3 2 11. Si sen a > O, tan a < O y seca = -2, calcula las funciones trigonométricas del ángulo a

12. Si sec a >O, erg a< O y eos a= .!. , calcula las funciones trigonométricas del ángulo a 2

Funciones tr igonométricas para ángulos mayores que 90º

lbdo ángulo mayor que90º , se puede expresar en la forma (n ·900± a) o bienG · ~±a). donde nes un entero posi

tivo y aes un ángulo cualquiera, la función de dicho ángulo será equivalente a:

i) La misma función de a sin es un número par. ii) La cofunción correspondiente de a si n es un número impar.

&to con el fin de expresar la función trigonométrica de dicho ángulo en una expresión equivalente, pero con un ángulo agudo, conservando el signo correspondiente a la función dada, segón el cuadrante donde se encuentre el lado

terminal.

EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-

"'o l • • •F.xpresacomo función de un ángulo agudo tan 140°. D. E Solución

Fl ángulo se sitúa en el segundo cuadrante, donde la función tangente es negativa, entonces:

tan 140° =tan (2 · 90º -40°) =-tan 40°

Ahora bien, tan 140° se puede expresar también como tan (1 · 90º + 50°), n = !, por tanto se utiliza cotangente, la cual es cofunción de la tangente, entonces:

tan 140° =tan (I · 90º + 50°) =- erg 50°

164


2 • •• Expresa como función de un ángulo agudo sen !.! ir. 9

Solución

FJ ángulo está en el tercer cuadrante, donde la función seno es negativa, entonces:

sen !.!ir =sen(2.!:.+3.ir) =-sen 3.ir 9 2 9 9

sen !.!ir se puede representar también como sen(3· !:-~ir). n = 3 por tanto se utiliza la cofunción del seno, es 9 2 18

d:cir, se expresa en términos del coseno.

11 (ir5) 5 sen 9 ir =sen 3·2 -¡gir =-cos 18

ir

3 • • •Expresa como función de un ángulo agudo sec 350° 15' 28".

Solución

FJ ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde la función secante es positiva, entonoes:

sec 350° 15' 28" = sec ( 4 · 90° - 9° 44' 32") = sec 9º 44' 32"

O en términos de cosecante:

sec 350º 15' 28" = sec (3 · 90º + 80º 15' 28") = ese 80º 15' 28"

4 • • · Expresa como función de un ángulo agudo cos 1 000º.

Solución Cuando el ángulo es mayor que 360°, debe dividirse entre esta cantidad para obtener el número de giros o vueltas que

da el lado terminal y el residuo es el ángulo que debe expresaise en función de un ángulo agudo.

2 ¿--- giros o vueltas

360° 11 000º

280° ~ Ángulo equivalente

FJ ángulo equivalente a 1 000° es 280°, situado en el cuarto cuadrante donde la función coseno es positiva, entonces:

CQS 1 000º = CQS 280° = CQS (4 · 90° - 80º) = COS 80º

O bien, en términos de la función seno,

cos 1 000º = cos 280° = cos (3 · 90º + 10°) =sen 1 Oº

5 • • •Expresa como función de un ángulo agudo sen 6 290º.

Solución

Se obtiene el ángulo equivalente, que sea menor que 360°,

17

360º 16290°

170°

FJ ángulo equivalente es 170º, el cual se sit1Í11 en el segundo cuadrante donde la función seno es positiva, entonces,

sen 6 290º =sen 170º =sen (2 · 90º - 10º) = sen 10º

O bien, en términos de coseno,

sen 6 290º =sen 170° =sen (1 · 90º + 80°) = cos 80°

165


6 • • · Expresa como función de un ángulo agudo tan (-65°).

Solución Se traza el ángulo negativo, el cual girará en sentido horario y será equivalente a un ángulo de 295°, que se sitúa en el cuarto cuadrante, donde la función tangente es negativa.

Rlr consiguiente:

tan (-65°) =tan 295º =tan (4 · 90º -65º) =-tan 65°

O bien, en términos de cotangente:

tan (-65°) =tan 295º =tan (3 · 90º + 25°) = -ctg 25°

7 • • •Expresa como función de un ángulo agudo sen (- ~~ n) Solución

Se traza el ángulo negativo, el cual se encuentra en el tercer cuadrante donde la función seno es negativa.

Por tanto,

37 -n 36

sen (-35 n) =sen 37 TC =sen (1 · ~ + !:..) = -sen!:._

36 36 2 36 36

O bien, en términos de coseno:

sen (-35 n) =sen 37 n =sen(3·!E.-.!2.n) =-cos.!2.n 36 36 2 36 36

Funciones trigonométricas de óngulos negativos

Los ángulos negativos giran en sentido horario y las funciones trigonométricas de ángulos negativos, se expresan en términos de funciones trigonométricas de ángulos positivos.

166

Fn el triángulo !J. AOB, ubicado en el primer cuadrante:

AB sen8= = AB tan8= =

AO sec8= = AO BO BO

BO BO AO eos8= = ctg8= = ese8= =

AO AB AB

Fn el triángulo !J. AO B, ubicado en el cuarto cuadrante:

AB sen(- 8) = -

AO

eos(- 8) = ~ AO

AB tan(- 8)= -

BO

erg (- 8) = - .!.!! AB

Por consiguiente: sen (-8) = -sen 8 eos (-8) = cos 8

AO see(- 8)= -

BO

ese(-8)= -~ AB

tan (-8) = -tan 8 erg (-8) = -erg 8


y

o

see (-8) =see 8 ese (-8) =-ere 8

A

A

EJEMPLOS,------------~ 1 • • •Expresa sen (-30°) en términos de un ángulo positivo.

E Solución .l. w Al aplicar sen (-8) =-sen 8,se obtiene:

sen (-30º) =-sen 30º

2 • • •Expresa tan (-120°) en términos de un ángulo positivo y agudo.

Solución Se aplica tan (-8) = -tan 8 y se obtiene:

tan (-120º)= -tan 120º

y al reducir a un ángulo agudo,

tan (-120") =-tan 120º = -tan (2 · 90º -60°) =-(-tan 60°) =tan 60°

Valores numéricos de las funciones trigonométricas circulares

Los valores de las funciones trigonométricas guardan una estrecha relación con el círculo unitario y se pueden calcular por medio de la medición de algunos segmentos de éste, el uso de tablas matemáticas o con el empleo de

una calculadora.

y

M R X

167


Si se consideran las distancias OR = ON = OV = 1, entonces para calcular el valor ele las funciones trigonométricas del

ángulo a, se emplean las definiciones ele las mismas y representan la longitud de los segmentos:

careto opuesto MN MN -sen a= . = = = - = MN

hiporermsa ON 1

caretoadyacente OM OM -cosa= . = - = - = OM

luporenusa ON 1

careto opuesto SR SR -rana= ===-=SR

careto adyacente OR 1

c01eto adyacente VT VT -Clg a= COJetO opuesto = OV = - 1- = Vf

hiporeruisa OS OS -seca= - = = = - = OS

careto adyacente OR 1

hiporeruisa OT OT -ese a= - - = - = OT

carero opuesto ov 1

~EMPLOS--------------.

8 1 a.. E i!-

• • • Calcula el valor ele las funciones trigonométricas del ángulo 32º 10'.

Solución

Si se emplea el círculo unitario para calcular las funciones, donde a= 32° 10', entonces:

y

X

Se consideran los segmentos OR = ON = OV = 1, entonces:

sen 32º 10' = MN = 0.5324

COS 32° 10' = OM = 0.8465

tan 32° 10' = SR = 0.6289

168

ese 32º 10' = OT = 1.8783

sec 32º 10' = OS = 1.1813

erg 32º 10' = VT = 1.5900


Si se emplean las tablas matemáticas (incluidas al final del texto) para calcular el valor de las funciones trigonométri

cas de 32° 10', entonces, se procede de la siguiente forma:

1 Grados Radianes Sen Ten ' " Cos 0'00' .0000 .0000 .0000 1.0000 1.5708 90' 00'

32' 00' .5585 .52QQ .6249 1.6003 .8480 1.0123 58' 00' 10' .5614 .!5324 .6289 1.5900 .8465 1.0094 50' 20' .5643 .Sl48 .6330 1.5798 .8450 1.0065 40' 30' .sen .5373 .6371 1.5697 .8434 1.0036 30' 40' .5701 .5398 .6412 1.5597 .8418 1.0007 20' 50' .5730 .5422 .6453 1.5497 .8403 .9977 10'

33' 00' .5760 .5446 .6494 1.5399 .9387 .9948 57' 00' r 45' 00' .7854 .7071 1.0000 1.0000 .7071 .7854 45' 00'

Cos Cta Ten Sen Radianes Grados

El renglón superior corresponde a la columna izquierda cuyos valores van desde 0° 00' a 45° 00' y el renglón inferior

va desde 45° 00' a 90º 00'. El valor des en 32° 10' se busca en la columna izquierda de arriba hacia abajo y además se observa que es el mismo

valor que el de cos 57º 50', buscado en la columna derecha de abajo hacia arriba, esto es porque son cofunciones.

Si se busca el valor de lm funciones trigonométricas empleando una calculadora, el procedimiento es el siguiente:

a) Verificar si la calculadora es de renglón simple o es más sofisticada y cuenta con doble renglón. Esto es porque

se teclea de forma diferente; en la explicación que a continuación se presenta se considera que el estudiante empleará una máquina de doble renglón.

b) Es necesario definir en qué medidas angulares se desea trabajar (grados o radianes).

e) Considerar que el idioma que regularmente emplean los fubricantes en los menús y teclados es el inglés, es por ello que el ejemplo así lo considera.

d) Para encontrar las funciones cosecante, secante y cotangente, es necesario encontrar primero sus respectivas

funciones recíprocas, ya que las calculadoras no cuentan con estas funciones de manera directa, y después dividir la unidad entre dicho resultado.

Si se emplea la medida en grados debes digitar la tecla ele IMooelyelegir la opciónl Deg L la cual indica que la medida angular está en grados sexagesimales.

Si se busca el sen 32° 10', entonces: Se digita ~después, el valor de los grados 32 a continuación la tecla ~enseguida 10 y por último la tecla

~ Para que el resultado aparezca en la pantalla es necesario digitar la tecla~ y el resultado desplegado en

la pantalla de la calculadora es 0.53238389. Si la función buscada es sec 32° 10', ésta no puede ser calculada de forma directa, por lo que es necesario encontrar

su función rec~ Además, ahora vamos a usar la medida angular en radianes, por tanto:

Se digita ~y se elige la opción 1 Rad I , la cual indica que la medida angular empleada está en radianes, 32° 10'=0.5614rad.

Se comienza digitando un paréntesis ITJ en seguida la función recíproca de la secante, la cual es el coseno

~de0.5614, después se cierra el paréntesis [I) y por último la tecla~ la cual es la función recíproca. Para que aparezca el resultado se teclea~ y se desplegará en la pantalla l. 1813.

169


EJERCICIO 39 . 1. Expre5a en función de un ángulo agudo las siguientes funciones:

a) sen 210•

b) tan 165°

e) eos 280°

d) ese 120•

e) see 358º

f) sen 240° 37'25"

g) erg 315°

h) tan 254• 46'24"

i) eos 95• 25'

¡) see 320°48'12"

k) ese 121•

l) erg (-48º)

m) eos (-38° 54')

n) sen (-28°35'24")

2. Expre5a en términos de un ángulo positivo las siguientes funciones:

a) sen (-160°) f) ese (-90º)

l>) erg (-140º) g) eos (-225º 15' 46")

e) see (-240º) h) erg (-176º 45' 23")

d) eos (-280°)

e) tan (-345°)

i) see (-tos• 32')

¡) sen (-228° 15')

3. Expresa en función de un ángulo agudo las siguientes funciones:

a) sen (-160°) g) sen (1 315°)

b) erg 1 240º h) tan 823º 25' 18"

e) eos (-2 800º) i) eos (-428° 45' 24")

d) tan 5 445º ¡) erg 920•

e) ese (-98º 32' 12") k) see (-220°)

f) see (-230º) l) ese 328º 33' 41"

4. Fncuentra el valor de las siguientes funciones trigonométricas (empleando tablas o calculadora):

a) sen ts• f) ese 79º

l>) erg 46º g) eos 22• 10'

e) see 25• h) erg 14º 40'

d) eos 83° i) see to• 30'

e) tan 37• J) sen 29• 50'

e Ylriflca tus .. sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a----------.....-=--=

170

-CAPÍTULO 12

FUNCIONES lRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS NOTABLES

Astrónomo, motemático y geógrafo egip· cio del siglo 11 de lo ero cristiano, nace en Tolemoido Hermio (en el A lto Egipto),

alrededor del año 100, y vive y trabajo en Alejandría .

Ptolomeo Ptolomeo calculó cuerdos inscribiendo polígonos (100 4 c. -170 d. C.) regulares de lodos 3, 4, 5 y 6 en un círculo, lo

cual le permitió calcular cuerdos subtendidos por ángulos de 36º, 72º, 60º, 90° y 120º. En su obro Almagesto, Ptolomeo p-oporcionó uno tablo de cuerdos de 0° o 180º con variaciones de 1 º, con uno exactitud de 1 /3 600 de uno unidad .

Los astrónomos de lo Indio habían desarrollado to mbién un sistema trigonométrico basado en lo función seno, en vez de cuerdos como los griegos. Esto función seno ero lo longitud del lodo opuesto o un ángulo en un lriángulo rectángulo de hipotenusa dado. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores poro ésto en sus tablas.

A f¡ no les del siglo vii los astrónomos árabes trabajaron con lo función seno y o fina les del siglo x yo habían completado lo función seno y los otros cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundomen· toles de lo trigonometría, tonto poro triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 (rodio de lo circunferencia) y esto dio lugar o los valores modernos de los funciones trigonométricos.

-


Valor de las funciones tr igonométricas de los ángulos de Oº, 90º, 180º , 270º y 360º

Las coordenadas del punto P sobre el eje X son (a, O) y la distancia al origen es igual a a, entonces las funciones de los ángulos de Oº y 360º son:

y

360° P(a, O)

d=a X

o sen o· = sen 360° = - = o

a

eOS 0° = eos 360° = ~ = 1 a

o tan o• = tan 360° = - =o

a

erg o• =erg 360º = ~ No existe o

see o• =S'1e 360º = ~ = 1 a

ese o• =ese 360º = ~ No existe o

Para el ángulo de 90°, las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje Y es P(O, b), la distancia al origen es b,

entonces:

y

P(O, b)

d=b

X

s,¡n 90º = ~ = 1 b

o eos90º = - =O

b

tan 90º = % No existe

o erg 90º = - =0

b

s,¡e 90º = ~ No existe o ese90º=~=1

b

Para el ángulo de 180° las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje -X son (-a, O), la distancia al origen es a.

o sen 180º= - =O

a

d=a P(- a, O) X

172

eos 180º = -a =-1 a

o tan 180° = - = O

-a

erg 180º = -; No existe

see 180º= ~=-1 -a

ese 180º = ~ No existe

CAPÍTULO 12 Funciones trigonométricos poro óngulos notobles

Para el ángulo de TTOº las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje - Y son P(O, -b), la distancia al origen es b.

Funciones

seno

coseno

tangente

cotangente

secante

cosecante

y

TTOº

X

P(O, - b)

b sen TTOº = - - = -1

b o

eos TTOº = - = o b -b

tan 270º = 0 No existe

o erg 270º = - = O

-b

see 270º = ~ No existe

ese 270º = .!... = -1 -b

Cuadro de valores de las ilncione1 trigonom6tricas

Oº 90° 100° 2700

o o -1

o -1 o o No exÍSte o No exÍSte

No exÍSte o No exÍSte o No exÍSte -1 No exÍSte

No exÍSte No exÍSte -1

3W'

o

o No exÍSte

No exÍSte

Valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º

Para las funciones trigonométri~ de los ángulos de(J()º y 30° se construye un triángulo equilátero de lacio igual a 2:

c

B A D

Se traza CA .l BD , CA es bisectriz del L C y mediatriz del lado BD. En el triángulo BAC, L B = (J()º, L ACB = 30° y BA = 1

c

B A

173


Rlra obtener el lado b = CA se usa el teorema de Pitágoras:

Las funciones trigonométricas del ángulo de 60° son:

sen 60° = J3 tan 60° = J3 = J3 2 1

eos 60º = .!. erg 60º = -1- = J3

2 J3 3

Las funciones trigonométricas del ángulo de 30º son:

1 1 J3 sen30º = l tan 30º = ../3 =3

eos 30º = ../3 erg 30º = J3 = J3 2 1

CA 2 = (2)2 -(1)2

CA2=3

CA= J3

2 sec60º= - =2

1

• 2 2../3 ese60 = -=-J3 3

2 2../3 sec 30º = J3 =3

2 ese 30º = -=2

1 Rlra calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 45° se construye un cuadrado de longitud por lado igual a la unidad y se traza su diagonal.

Rlra obtener el valor de la hipotenusa, se aplica el teorema de Pitágoras:

a2 =b2 + e2 donde: a2 = (1)2+ (1)2

a2=1+1

a2=2 ~ acuerdo con el resultado anterior, a= ..fi.

c

b=I

B Las funciones trigonométricas del ángulo de 45° son:

sen 45° = -1-= Ji ran45º = ! = 1

Ji 2 1

cos 45• = _l_ = Ji Ji 2

1 erg 45º = - = 1

1

174

.!l?C45º= Ji =Ji 1

ese 45 • = Ji = Ji 1


Aplicación de los valores trigonométricos de los ángulos notables

EJEMPLOS,------------~ 1 • • •Calcula el valor numérico de 2 sen 30° cos 60°.

E Solución .L w Se sustituyen los valores ele las funciones trigonométricas y se efectúa la operación:

2sen 30° · cos 60° = 2 · (fl{~)=~ 2 • •· Determina el valor numérico ele la expresión: taríl 60° + ctg2 45°.

Solución

Se sustituyen los valores ele las funciones trigonométricas y se determina que:

tarí1- 60º + ctg2 45º =(tan 60°)2 + (ctg 45°)2 = ( J3 )2 + (1)2 = 3 + 1 = 4

Por tanto, tan2 60º +ctg2 45º = 4

3 • •· Calcula el valor numérico de sen 7..11: + 3 sen !! 11: • 6 6

Solución

Los ángulos se expresan en función ele ángulos agudos para obtener los valores ele las funciones trigonométricas:

sen ~11: =sen (2·~+~) =-sen~=-~

sen ~11: =sen ( 4·%-~) =-sen~=-~ Entonces,

sen ~ 11: + 3 sen ~1 11: = -~ + 3 (-D = -~ -~ = -~ = -2

7 11 Por tanto, sen 611: + 3 sen -¡¡11: = -2

4 • •• Mediante ángulos notables demuestra la siguiente igualdad:

sen 30º - (cos 30º · ctg 60°)2 = cos2 60º

Solución

Primero se encuentran los valores ele las funciones trigonométricas:

1 J3 1 sen 30° = -· cos 30º = - ; ctg 60º = r;:; ;

2' 2 v3 1 cos 60º = -2

Después se sustituyen los valores ele las funciones y se demuestra que se cumple con la igualdad:

sen 30º - (cos 30º · ctg 60º)2 = cos2 60º

¡-(~·i-J =Gr ~-Gr=¡

1 1 1 - - - = -2 4 4

1 - = -

Con lo cual queda demostrada la igualdad propuesta. 4 4

175


5 • •• Demue$tra la siguiente igualdad, mediante el valor de los ángulos notables:

/sen2 ~11:+3see 211: =ese!:. V 2 6

Solución

Primero se encuentran los valores de las funciones trigonométricas:

Entonces:

R:>r tanto, la igualdad es verdadera.

sen ~11: =-1· sec 211: = l·, ese !:. =2 2 ' 6

J(-1)2 + 3(1) = 2 .J1+3 =2

Ji. =2

2=2

EJERCICIO 40 . Completa la síguiente tabla:

Ciil mi l!Jj] cm cm 1 l!7I!1!IJ 1 ~i' l• I ' 11{ ·.o

()" o D' .l!.

6

45º .l!. 4

«Y' ~ 9(J' Jt

2

120° ,. 3

135° Jt

4

150" .l!. 6

180° Jt

210" Zll 6

225° ~ 4

240" .h 3

'ZJO" J.l!. 2

D:l° á 3

315° 7Jt

4

330" 111t 6

360° 2Jt

176

G;¡,'!J 1

Encuentra el valor numérico de las siguíentes expresíones:

l. 2 sen 30° eos 30°

2. 2 sen 30° sen 60°

3. 3 tan!:. sen !:. 6 3

4. sec2 45º - 2 ran2 45º

6. [sen2 45ºeos'45ºj

7. 3 tan 60º erg 30º sen 45º ese 45º

8. 2 sen 60° sec 30° eos 45 • tan 45 •


9. 2sen¡ eos¡ (sen2 ~+eos2 ~) 10. 2sen30ºcos30º (1-2sen2 30º)

2 5 5 2 5 11. tan - 1r+4sen- ir-3erg - 1r 3 6 4

eos 120º + see 180º 12.

ese Z70 • + sen 330º

[(sen 120º)(tan 240º)J

13. tan 315° - eos 300°

14. J(ran 225º)(sen 180°)(eos 240º)

15. sen90º+(eos 210º +sen 300º)2 +see 240º

Utiliza ángulos notables para demostrar las siguientes igualdades:

16. sen 240º+sen120º·eos60º =tan210• sen 120º ·sen(-60º)

1r 2 1r 17. tan - ·sen - 1r =1+sen-3 3 6

18. sen 180º = 2sen 60º +sen 240º(sec45º)2

19. cos225º+3sen225º = -2sec45º

20. 60• sen30º ese =-

sen 150º ·sen 300º

e V.riflca tus ..... atados •n la sección de soludotlos con .. ponchnt• • -------------~

177

-CAPÍTULO 13

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE lAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Onda senoidal Se les considero como fundamento· les por diversos rozones: poseen propiedades matemáticos muy

interesantes (un ejemplo, con combino· cienes de señales senoidoles de d iferente amplitud y frecuencia se puede reconstruir

Ondasenoidalamortiguada cualquier formo de onda), lo señal que se obtiene de los tomos de corriente de

cualquier coso tiene esto formo, los señales de test producidos por los circuitos osciladores de un generador de señal también son senoido· les, lo mayoría de los fuentes de potencio en AC (corriente alterno) producen señales senoidoles.

Lo señal senoidol amortiguado es un coso especial de este tipo de ondas y se produce en fenómenos de oscilación, pero que no se mantienen en el tiempo.


Gráficas de las funciones tr igonométricas

Al establecer una regla de correspondencia entre dos conjuntos, por medio de las funciones trigonométricas, se establecen relaciones como:

y= sen x,jµ") = cos (-x), y= tan (x+~ir)

Para construir la gráfica de una función o raz.ón trigonométrica se dan valores al ángulo (Argumento), é$tos van sobre el ejex, los valores obtenidos se grafican sobre el eje y.

Los valores asignados para el argumento se expresan en grados sexagecimales o radianes.

Gráfica de y= sen x

Thbulación

1im . . u• I ~ o ~ ~

4 2 X

o 45• 90'

y o 0.7 1

Gráfica

y

• • ·.,. ' • ~ • 1 1 ... r. " . 1 n!'t. ... ... 1 3ir

1< Sir 3ir 7ir 21< -

4 4 2 4

135° 1800 225° 2700 315º 3/IY

0.7 o -0.7 -1 -0.7 o

Características

l. La función tiene periodo igual a 2ir rad.

2. La función es creciente en el primero y cuarto cuadrantes.

3. La función decrece en el segundo y tercer cuadrantes.

4. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes y negativa en el tercero y cuarto cuadrantes.

5. La función interseca al eje horimntal en múltiplos enteros de ir.

6. --<x<oo.

7. - lsysl.

180

Gráfica de y= cos x

Tubulación

Gráfica

y

- 1

X

y

1

o o 1

Gráfica de y= ton x

Tubulación

1

o 11:

X 6

O" 30"

y o 057

Gráfica

1 1-. 11: 11:

4 2 45° 90° 07 o

X

1 -11: 11: 211:

3 2 3 60" 90º 120°

1.7 No -1.7 existe

CAPÍTULO 13 Representoci6n gr6fioo de los funciones trigonométrioos

. . .. 1-. • 1 ,,,, . . • 1

3 11:

511: 311: 711: 211: ¡"' 4 2 4

135° 100° 225° 270" 315º 3W' -07 -1 -07 o 07 1

Características

• · ~,i ,,

511: 6

150°

--0.57

l. La función tiene periodo igual a 2ir rad.

2. La función decrece en el primero y segundo cuadrantes.

3. La función crece en el tercero y cuarto cuadrantes.

4. La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes, y negativa en el segundo y tercer cuadrantes.

5. La función interseca al eje horizontal en múltiplos impares de?:..

2 6. -oo <x < oo.

7. - t,;y,;I.

1 - 1 t'?:\... 1 . " o I ~" ,, . •

11: 711: 411: 311: 511: 1 lir 2T -¡; 3 2 3 6

180" 210" 240" 270" 300° 330" 3W'

o 057 1.7 No -1. 7 -0.57 o existe

Características

181

l. La función interseca al eje X en múltiplos de ir.

2. La función es positiva en el primero y tercer cuadrantes.

3. La función es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes.

4. La función tiene periodo igual a ir rad.

5. xes un número real tal que x ;t (2n + t) ~con ne Z (asíntotas verticales).

6. -oo<y<oo.


Gráfica de y= ctg x

Tubulación

1- -•••J"ll.•.•rc .r¡---.i.

Gráfiat

. y

o - 1

X

y

o 00

No exÍStE

" " 6 3 300 600

1.7 057

Gráfica de y= sec x

Tubulación

( "1': -~

X o " -4

y 1 14

Gráfica

y

o " " 3ir

2 2 -1 '(\' 1 1

1 1 1 1

1 .... F-4•'9•

" 21' 2 3

900 1200

o --0.57

~ir X 1 1 1 1 1 T

... 1 r••

" -2

No exÍSte

2ir X

- - - - -• r: · .... . 1

... l•J"ll.• 1 r: o r.r--ir.1..r ") 1 r: .,... or.r--ir.1..r") 1 St<

" 71' 41' 3'r 5" 111' 21'

6 6 3 2 3 6 1500 100° 210• 240• 2700 3000 330• 3600

-1.7 No

1.7 057 o -0.57 -1.7 No

exÍSte exÍSte

Características

l. La función interseca al eje X en múltiplos impares de ~.

2. Úl función es positiva en el primero y tercer cuadrante.

3. Úl función es negativa en el segundo y cuarto cuadrante.

4. Úl función tiene periodo igual a rr rad.

5. xes un número real tal quex ;f n irconn e Z (asíntotas

'erticales).

6. -- <y <oo.

" . 1 . ~ . 1 o: ,, · ·r: · • 1

3'r "

5" 31' 71' 21' -4

-1.4

-4 2 4

-1 -1.4 No exÍSte 1.4 1

Características

1. Úl función no interseca al eje X.

2. Úl función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes.

3. Úl función es negativa en el segundo y tercer cuadrantes.

4. Úl función tiene periodo igual a 2 ir rad.

5. x es un número real tal que x ,. (2n + 1) ~con n e Z

(asíntotas verticales).

6. y~l oy!> - 1.

182

Gráfica de y= ese x

Tubulación

X

y

Gráfica y

o

- l

Resumen

" 2

1 •. - 1 .... ,. .-~T" . o 1t 1t - -

4 2

1 1.4 No existe

" 31C 21' X 1 2 1 :n: 1 1 1 1


- - - -o r: • 1 I• • 1 ''º r 11 • 1 I:· •l'w.•.•r • r· 11 1

3n: -4

-1.4

1t 51t 31t 4 2

-1 -1.4 No existe

Características de la función cosecante

l. La función no interseca al eje X.

71t 21t -4

1.4 1

2. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes.

3. La función es negativa en el tercero y cuarto cuadrantes.

4. La función tiene periodo igual a 2tr rad.

5. El valor de x es un número real tal que x "# n1t ron n e Z (asíntotas verticales).

6. y ~lo y ~-1.

La siguiente tabla muestra el periodo, la amplitud, las asíntotas verticales, el dominio y el rango de cada una de las

funciones trigonométricas.

1 - - 1•"-" ~· . ... ·- - -

1 , .~.~.....-.T~r.11 ,#•T"-;T, ~ .. ····'l•ll·~ • ,___... "l.'l.l ·11· 1 •• + - ,, .•. -

y• senx 21' 1 No tiene {x e R) {ye R/- 1SyS1}

y• cosx 21' 1 No t iene {xe R) {ye Rl- 1SyS 1)

1t {x eR/x,o ~(2n+1)} y• tan X " l(2n+1), ne Z (ye R)

y• Ctg X " n;1f1 ne Z {x eR/x ,oM} {ye R)

y•secx 21' 1t 2 ( 2n +1),ne Z {xeR/x,o~(2n +1)} {ye RI ys - 1oy~1)

y• cscx 21' n1c.,ne Z {xe R/x,onir} {ye RI ys-1oy~1)

183


Amplitud, periodo y desplazamiento de fase

Si y =a sen bx, o bien y =a cos bx, para a, b e R, distintos de cero, entonces la gráfica tiene amplitud 1a 1. y

. d 2ir peno o lbf

~EMPLos~~~~~~~~~~~~--

~ l • • •Calcula la amplitud, el pericxlo y traza la gráfica de y= 4 sen 2x.

E i!- Solución

De y= 4 sen2xseobtienea= 4 y b= 2, los cuales al sustituir en las fórmulas se detenninan la amplitud y el pericxlo:

Amplitud: la l= 14 1=4 . 2ir 2ir

Penodo· - = - = ir . ~I 2

Luego, la gráfica tiene amplitud 4 y periodo ir.

Thbulación

X o 1t 1t 3 51t 31t 7 21t ¡ 2 ¡1f 1t - 1<

4 2 4

y o 4 o -4 o 4 o -4 o

Gráfica

Amplitud

R:riodo

184


2 • • •Calcula la amplitud, el periodo y traza la gráfica de y= 2 sen .!. x. 2

Solución

De y= 2 sen .!. x se obtiene a = 2 y b = .!., los cuales al sustituirlos en las fórmu~ se determinan la amplitud y el 2 2

3

periodo:

Amplitud: la l= l2 1=2

Entonces, la gráfica tiene amplitud 2 y periodo 4n:.

y

,. 1.41 2 ,. 2

:¡,. 1.41

2 ~ o SI<

-1.41 2

31< - 2 7,.

2 -1.41

4t< o

• • Determina la amplitud y el periodo de y= ~cos.!.x. 3 3

Solución

2 1 Fn este caso a = "3 y b = 3, por tanto,

Amplitud = l~I = ~

Entonces, la gráfica tiene amplitud ~ y periodo 6n:.

Desplazamiento de fase (desfosamiento)

2n: 2n: Periodo: lbf = .!_ = 4n:

2

. 2n: 2n: Penodo= - = - = 6n:

lbl .!. 3

e Caso L Siy =a sen (bx +e~ o bien y =acos (bx +e) con a ;t O y b ;t O

FJ desplazamiento de rase se calcula resolviendo las siguientes ecuaciones:

bx+c=O y bx + c=2n:

185

1 y= 2sen-x

2


Ejemplo

Calcula la amplitud, periodo y desplazamiento ele fase y traza la gráfica ele:

Solución

1r: y= 3 sen (2t+ - )

2

y = 3 sen (2t + ~ ~ tiene la fomia de y = a sen (bx + e) donde a = 3, b = 2 y e = ~. por consiguiente: 2 2

Amplitud= la l = l 3 I= 3 . 2tr: 2tr:

Penoclo= -=-=tr: lbl 2

Para determinar el desplazamiento de fase y el intervalo, se resuelven las siguientes ecuaciones:

2x+ ~ =0 2

Donde 1r: 3 . x = -¡ y x = ¡ rr: • respectJvamente.

X 5 3 1' 1'

- - 1' -n - - 1' 2 4 4 4

y o 3 o -3 o

y 2t+ ~ =2tr: 2

o 1' 1' 3 2

- 1' 4 4

3 o -3 o

5 3 1' - 1'

4 21'

3 o -3

7 - 1' 4

o

y

3 ____________ _Y= 3 sen( 2x+~)

X

- 3

e Caso 2. Si y =a tan (b:r + e) con a '# O y b '# O, entonces:

a) El periodo es ;1

Se pueden determinar las asíntotas verticales sucesivas en la gráfica resolvieoclo las ecuaciones:

b) El desplazamiento de rase es _E_ b

bx+c=-~ 2

186

y bx+c= ~ 2


Ejemplo

Calcula el periodo y traza la gráfica de y = ~ tan (x + ¡)

Solución 1 1t a= -,b = 1 y e= -,entonces, 2 4

a) El periodo es !:... = !:. = n lbl 1

b) Para determinar las asíntotas verticales sucesivas se resuelven las ecuaciones:

1t 1t 1t 1t x+ -= - -

4 2 y x+ -=-

4 2

Dondex = -¡n y x = ¡,respectivamente, esto significa que cada n rodse traza una asíntota.

e) En la función a= .! , la gráfica de la ecuación en el intervalo [-~ n, !:.] tiene la forma de y= .! tan x, debi-2 4 4 2

do a que e= .¡ y b = 1, el desplazamiento de fuse se define como -* = -¡,por consiguiente, la gráfica se

obtiene desplazando y= i tan X mcia la izquierda una distancia de ¡

Gráfica

Finalmente se traza la gráfica de la función y= i tan (x +¡)con los elatos ya obtenidos.

y

Gráficas de y= sen- 1 x, y= cos-1 x, y= tan-1 x

Seno inverso (y= sen-1 x)

Se representa como sen- 1 y se define como sigue:

y= sen-1 x si y sólo si

donde -1SxS1, -oo <y< oo

La expresión se puede escribir de las siguientes formas:

X

x =sen y

y= sen-1 x =are sen x o y= ang sen x

Las cuales se leen, respectivamente, arco seno de x o dnguk> seno de x.

187


Tabulación

o -1<

-1 1

- 21<

.J2 1 - - 1<

2 4 1 1 2

--1< 6

o o 1 1 2

- 1< 6

.J2 1 - 1<

2 4 1 21<

o 1<

Coseno inverso (y= cos-1 x)

La expresión coseno inverso se define como: y=co.r1x

donde -1:!>x<1, -oo <y< oo,

si y sólo si

La expresión se puede escribir de la siguiente forma:

x=cosy

y= cor' X= are cos X= ang cos X

Las cuales se leen, respectivamente, arco coseno de x o á11gulo coseno de x.

Tabulación

-1 " .fi 3 - 1' -2 4

1 2 -2 3"

o 1 2"

1 1 2 3" J2 1

-1' 2 4

1 o

188

Gráfica

y

X

Gráfica

y

X


Tangente inversa (y= tan-1 x)

La expresión tangente inversa se define como:

y= tan-1x si y sólo si x= tan y

1r donde _.,. < x < oo, 'Y' es un real tal que y>' (2n + 1) 2 con ne Z

La tangente inversa se puede escribir de la siguiente forma:

y= tan-1x =are tan x = ang tan x

y

----------- ------------

X

189


EJERCICIO 41 . Obtén la amplítud, el periodo y el desplazamiento de fase de las síguientes funcíones:

l. y=2cos (3x-~) 4. y= 5sen(¡x+~) 7. y= ~senGn-5x)

2. y=2sen4x 5. y= 4cos(x-.¡n) 8. 1 (1 n) y= -3cos ¡x+3

4 ( 2 3 ) 3 y= - sen - - x+-n . 3 3 2 6. y= -3 COS 2x 9. y= sen(~) Calcula el periodo, las asíntotas vertk:ales y el desplazamiento de ~se de las siguientes funciones:

10. y= 3 ran(2x)

13. y= -4ranGx-n) 15. y= tan (x -n)

Traza la gráfka de:

23. y =sec-1x

17. y=sen2x 24. y=angcscx

25. y=2+sen3x

19. y= sen(~) 26. y = cos(2x) - 3

20. y= tan 2x 27. y= 1+2.sen 4x

28. y = sen(3x - n)

22. y= are erg x

e Ylriflca tusr .. ultaclosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a-----------~

190

-CAPÍTULO 14

IDENTIDADES Y ECUACIONES lRIGONOMÉlRICAS

PITAGÓRICAS -8 .g ·.e: e "8 i.--1-~~..¡:.¡,.~~-1---.i

Definiciones de ángulos del libro

l.Qs elementos de Euclides

A sí se denomino o los identidades que resultan del teorema de Pitágoros y se obtienen del círculo unitaño

mediante un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y catetos con longitudes sen a y cosa.

Por definición del teorema de Pitágoras:

( 1 )2 = (sen a)2 + (cos a)2

1 = sen2 a + cos2 a

A la cuol se le denomino identidad fundo· mental.

14CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Identidades trigonométricas

Son igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas y es válida para cualquier valor angular.

Cbtención de las identidades trigonométricos básicas

Para determinar las identidades se hace uso ele las definiciones de las funciones trigonométricas.

Ene! triángulo las funciones del ángulo a se definen:

a a e sen a= - tan a = - ese a = - a

e b a

b b e cosa= - erg a= - sec a = -

e a b b

Al multiplicar una función directa por cada una ele sus recíprocas se obtiene:

(ª) (e) a · e (senaXcsca)= - · - = - =1 e a c·a

(b) (e) b · e (cosa )(sec a) = - · - = - = 1 C b C · b

(ª) (b) a · b (tan a Xctg a) = -. · - = - = 1 b a b · a

R>r tanto, se deducen las identidades recíprocas.

Identidades recíprocas

(sena)(csca) = 1 (cosa)(seca) = 1 (tan a) (erg a)= 1

Al realizar los respectivos despejes en las identidades anteriores, se obtienen las siguientes relaciones:

1 sen a= -

esca

1 cosa= -

seca

Identidades de cociente

1 tan a= -

erg a

1 crga=-

tana

1 esca= -

sen a

seca = -cosa

Si se reali7.a el cociente de la función seno (sen a) por la función coseno (cos a), se obtiene la función tan a:

u

sen a= ~ = a · e = ~ =rana cosa b b · e b

e ~ manera análoga se obtiene la función cotangente (ctg a),

Por tanto:

tan a

b cos a - b· e b --= J:. = -- = - = erg a sena a a · c a

sen a =--cosa

e

192

crga = cosa sen a

CAPÍTULO 14 Identidades y ecuociones trigonométricos

Identidades pitagóricas Fn el triángulo se aplica el teorema de Pitágoras:

a2 +b2 = c2 Se divide entre c2a ambos miembros.

a2 b' - + - = 1 Se aplica la ley de los exponentes. c2 c2

( ~ J + ( ~ J = 1 Los cocientes son equivalentes a las funciones sen a y cosa

(sen a )2 + (cos a)2 = 1, por consiguiente ser?- a + cos2 a = 1

En forma semejante se obtienen las demás identidades pitagóricas, entonces:

serí2 a+ coi2 a= 1 ; rarí2 a+ 1 = sec2 a y

De las identidades anteriores se reafuan despejes, con el fin de obtener otras identidades:

ran2 a + 1 = see2 a 1 + erg2 a = ese2 a

sen a = ± J(t-cos2 a) tan a = ± J(see2a - t) erg a = ± J(cse2 a - t)

eos a = ± J(t-sen'a) sec a = ± J(ran2a + t) ese a = ± J(etg2 a + t)

Demostración de identidades trigonométricas

Para realizar la demostración ele una identidad trigonométrica se aplican procesos algebraicos como la fuctorización, las operaciones entre fracciones asf como su simplificación, además de las identidades trigonométricas básicas.

La aplicación ele estos procesos depende de la identidad en sf; esto significa que no existe un orden o procedimiento específico, debido a esta situación sugerimos iniciar con el lado má.5 complejo o elaborado de la igualdad, con el fin ele llegar a demostrar el lado más sencillo, como a continuación se ejemplifica.

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--

"'o 1 De la . . 'ele 'dad CQS X _ • • • muestra s1gwente 1 nu : sen x = --~ ~X E Demostración i!- Se ba. del ndo hac' 1 . . mb . CQSX "- 1 . di tra Ja segu 18 e pnmer nne ro, se susutuye erg x = -- y rea..,.. e cooente correspon ente:

CQSX senx=-

crgx

Por tanto queda demostrada la identidad.

eosx senx=-eosx

senx

193

senx

senx = senx · cosx

CQSX

senx =senx

14CAPÍTULO GfoNmíA Y TOOONONf'TlllA

2 • • · Demuestra la siguiente identidad: stn fl + eos fl erg fl = ese fl

Demostroción

Pdra esta identidad se tmbaja con el primer miembro para obtener el segundo.

sen fl + cos fl ctg fl = ese fl

eos fl stn fl + cos fl · -- = ese fl

stn fl

cos2 fl stn fl+ -- =ese fl

Stn {J

stn1 fl + cos2 fl =ese fl

Stll {J

1 -- =ese fl stll fl

ese {:J • ese fl

Finalmente, queda demostrada la identidad.

3 • •Demuestra la siguiente identidad:

Demostroción

cos fJ se utifua la identidad del oociente erg fJ = stn fJ

se efectúa el producto.

se realiza la suma fraccionaria.

se sustitu)e la identidad pitagórica sen2 fl +col {:J = 1

1 se aplica -- =ese fJ

stn fJ

_ ....:cs:..:ec...ac..__ - cos a tan a+ctg a

Se utiliza el primer miembro de la igualdad y se realizan loo siguientes cambioo:

1 ese a

cos a t<n a+ ctg a

Se realiza la suma del denominador,

Ypooteriormente la división,

Y finalmente se simplifica la fracción:

gna =cos a sen a cosa --+--cosa sen a

sena -cosa sen2a+cos2a -sena · cosa ·

sena · cosa ---------cosa sen a · ( stn2a +eos2a ) -

19.4

sena · cosa =cosa

sen a(I)

cosa= cosa


A • • •Demuestra la siguiente identidad:

Demostración

CQS X

1- senx l+senx

CQS X

Se utiliza el segundo miembro como ba5e para la demostración:

cos x _ l+senx 1- senx cosx

cos x 1 +senx 1- sen x 1- senx cosx 1- senx

Se multiplica por el conjugado del numerador.

CQS X 1- sen2 X --- =------

1- senx (cos x)(l - senx) se reemplaza 1 -sen2 x = col x.

CQS X

1- senx cos2x

(cos x)(l- sen x) se simplifica la fracción.

CQS X CQS X - se demuestra la identidad.

1- sen x 1- senx

5 • • •Demuestra la siguiente identidad:

2coi2 x-1=1-2sen2 x

Demostración

Fn este caso se utiliza el primer miembro para obtener el segundo.

2cos2 x-1=1-2serí2 x

2cos2 x- (sen2 x + coi2 x) = 1 - 2serí2 x

2cos2 x-serí2 x - coi2 x = 1 - 2serí2 x

coi2 x - serí2 x = 1 - 2serí2 x

1 -serí2 x -serí2 x = 1 - 2serí2 x

1 - 2serí2 x "' 1 - 2serí2 x

Por lo que la identidad queda demostrada.

195

Se utiliza la identidad 1 = sen2 x + coi2 x.

se simplifican términos semejantes.

se emplea cos2 x = 1 - sen2 x.


6 • •• Demue$tra la siguiente identidad:

col a - sen2 a =

1+2sen a · cosa 1- tan a l+tan a

Solución Se utiliza el lacio izquierdo para demostrar la ideo ti dad:

col a - sen2 a 1+2sena· cosa

= 1- rai a 1+ tai a

Se emplea la identidad sen2 a + col a = 1

cola - sen2 a 1- tana -~--------~ = se factoriz.a denominador y numerador sen2 a+2sena · cosa+cola l+raia

(cosa- sen a)(cos a +sen a)

(sen a+ cos a)2

1- tana

l+tan a

cosa - sen a 1- ran a sen a+cos a 1+ tan a

cosa- sena cosa

sena+ cosa cos a

1- tan a l+tan a

EJERCICIO 42 . Demuestra las siguientes identidades:

l. sen x (1 + cor x) = sen x + cos x

2. (1 + rail x)cos x = sec x

3· ( :::r +Cs~x r = 1

4. (sec x + sen2 x + cos2 x)(sec x - 1) = tail x

5. ese 8 (1 -cos2 8) =sen 8

6. erg ª = ese a cos a

1- sen2 .P .... 7. 2 = cos .,,

sec .P

8. ctg2 y-cos2 y= ctg2 ycos2 y

erg y+ un y 9. secy=

ese y

to. l+cos w = sen w sen w 1- cos w

11. sec f3 · sen f3 · erg f3 = 1

196

se simplifica la fracción

se divide entre cos a numerador y denominador.

1- tan a 1- tan a l+tan a l+tan a

2eos2 x - I 12. ergx-ranx= ----

senx · eos x

1 13. 2ese2 y = +---

1- eos y l+eos y

14. J ----- - ese a - erg a

ese a +erg a

15. 3sen2 x-9sen x ·erg x + 1eoi2 x-4eos x = (4cos x - 1)(cos x -3)

2 ton2 X 2 16. cos x+ ---+sen x=seex

l+seex

17. cos4 x + sen2 x + se1í1 x cos2 x = 1

18. 1 + cos J3 = 2csc J3 1- cos¡3

19. cos x (2sec x + tan x)(see x - 2tan x) = 2cos x - 3tan x

1 + sen x · erg 2 x 20. =ese x

!+sen x

21. 2(serf' x +col' x)-3(sen4 x + cos4 x) + J =O

22. sen x (1 + erg x) = coil x (1 + tan x) + seri' x (1 + ctg x)

23. (ese x-sen x)2 + (sec x -cos x)2 = ran2 x + etg2 x - 1

2- cse2 x 2 24. - ese x + 1 = erg x

tanx- 1

25. ton x+ctg x = seclx csex- senx

26.

27.

cosx - see x 2 -----=secx(sec x-l)senx senx- csc x

3 sec3 x - seex ran2 x see x =

(1- sen x)(l+sen x)

28. sen2 x+ ran2 x+ cos2 x= ~ CO:f X

29. see2 x + csc2 x = (ese x sec x)2

30. see2 x e sen x ese x + sen x (sen x sec2 x)

31. 2

ese x +erg x erg x - ese x senx

32. 1 -erg x = J¡ csc2x - 2crg x¡


e Este ejercido no tiene soluclotlu al final del Obro por ... clemos1raclotlu . ----------==

197


Obtención de los identidades trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de ángulos

Considerando que 08 .L 8C, OC .L DC, se realiza una proyección de OD con el eje X y OA .L AD, DE .L CE, donde AE = 8C , así como AB =CE

Para obtener sen (a + {3)

y

o

AD - - -sen(a+f3)= =pero AD=AE+ED; OD

D

entonces, AE+ED sen (a+ {3) = ~~

OD

AE ED sen(a+{J)= =+=

OD OD

Para obtener las funciones trigonométricas ele los ángulos a y {3

8C AE CE sen a= = = = = = ... (1)

OC OC CD

08 ED cosa= - = - ... (2)

OC CD

Si se reafua el producto de (1) y (4); (2) y (3) se tiene:

Al sumar (5) y (6):

AE OC AE (sen a)(cos {3) = - · - = - ... (5)

OC OD OD

CD ED ED (sen {J)(cos a) = - · - = - ... (6)

OD CD OD

(sen a)( cos {3) + (sen {3)( cosa)= AE + ED ; OD OD

Se obtiene sen (a+ {3), entonces:

Para obtener cos (a+ {3)

entonces,

sen (a+ {3) =(sen a)(cos {3) +(sen {J)(cos a)

OA cos(a + fJ) = - ; OD

cos(a+{J) = -º~8=-~ABOD

198

pero 0A=08-AB;

08 AB cos(a+{J) = = - =

OD OD

CD sen {3 = = ... (3) OD

oc cos /3 = - ... (4)

OD


Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:

OB OC OB (cos a)(cos {3) = = · = = = ... (7) OC OD OD

CE CD CE AB (sen axsen /J) = = . = = = = = ... (8) CD OD OD OD

Al restar (8) de (7):

OB AB (cos a)(cos PJ - (sen a)(sen {3) = = - =; OD OD

Se obtienecos (a+ {3)

c<>S (a + {3) = (c<>S a Xc<>S {3)- <ien a)<ien fJ)

Para obtener tan (a+ {3), se emplean identidades básicas:

sen (a+/3) tan(a+fJ)= ;

cos (a+/3) (

I>) (sen a)(cos f3)+(sen f3)(cos a) tan a+,., = ~~~-~~~~~ (cosa)( cos /3)-(sen a)( sen /3)

Si se divide entre (cos a)(cos {3) 7' O, entonces,

Finalmente se deduce que:

(sen a)( cos f3)+(sen /J)(cos a) (sen a)( cos /3) +(sen /3)( cosa)

tan(a+PJ = ..,..-_,...,.....(c_os..,.a,...)_.,(c,....os_/3~)"""'""__,.,.. _ (cosa)(cos/3) (cosa)(cos/3). (cosa)(cos/3)-(sena)(sen/3) - (cosa)(cos{J)_(sena)(sen/3) '

(cosa)(cos/3) (cosa)(cos/3) (cosa)(cos/3)

(sena) (sen/3) --+--

tan(a+PJ = (cosa) (cos/3) _ rana+tai1/3

1_ (sena) .(sen /3) - 1-tana·tan/3

(cosa) (cos/3)

tan (a+ /J) = tan a + tan{J 1- tana · tan/J

Para obtener las identidades trigonométricas de la diferencia se emplean las identidades de los ángulos negativos en función de ángulos positivos, es decir:

sen (-x) =-sen (.r) cos (- .r) = cos (.r) tan (-x) =- tan (x)

Por tanto:

Se cambia f3 por - f3 y se obtiene:

sen (a+ {3) =(sen a)(cos PJ +(sen fJ)(cos a)

sen (a-{3) =(sen aXcos(-(3)) +(sen (-{J))(cos a) sen (a - /J) =(sen a )(cos fJ) - (sen /J)(cos a)

De una manera semejante se reafua la diferencia para las demás funciones trigonométricas y se obtiene:

cos (a - /J) = (cos a )(cos /J) +(sen a)(sen /J)

tan ( fJ) tan a - tan fJ a - = l+tana· tan{J

199


Resumen de fórmulas

Identidades trigonométricas ele la suma de ángulos:

sen (a+ /3) = (sen a)(cos /3) +(sen fJ)(cos a)

cos (a+ /3) = (cos a )(cos /3) - (sen a )(sen /3)

tan (a+/!) = tan a+ tm fJ 1- tana · tm fJ

Identidades trigonométricas ele la diferencia de ángulos:

sen (a - /3) = (sen a )(cos /3) - (sen fJ)(cos a )

cos (a - /3) = (cos a)(cos /3) + (sen a)(sen /3)

tan (a - /J)= tana - tmfJ l+tana·tan/J

\álor de una función trigonométrica para la suma y la diferencia de ángulos

Los valores ele las funciones trigonométricas ele ángulos notables se emplean para obtener el valor ele una función cuyo ángulo se pueda descomponer en una suma o diferencia.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-4

~ 1 • • •Obténel valor de sen(.!:+.!:). o. 4 6 .i Solución "" Al aplicar la identidad para el seno de la suma ele ángulos, se determina que:

sen (¡+~) =sen¡ cos ~ +cos ¡sen~= ( ~)( ~)+( ~)(~) .J6 J2 =- +-4 4

.f6+J2 =

2 • • · Calcula el valor exacto de tan (90°-60°). 4

Solución

Se aplica la identidad de la tangente ele la diferencia ele ángulos y se obtiene:

tan (90º-60º) = ran 90°-ran600 1+tan90-tan 600

La tan 90º no está definida, por consiguiente, se multiplica la identidad ran(a - p) - rana -ran/3 por la unidad ctga l+ranaran/3

expresada como 1 = --erg a

ran(a-/3) =( rana-ran/3 I crga ) - ranacrga-ranf3crga l+ranaran/J crga c1ga+ranaranf3ctga

Por identidades rana erg a= 1, entonces: , /3) 1-ranfJcrga 1-ranf3crga ran,a - - = -----'----''--

crg a+ 1( ran f3) ctga+ran/3

Sustituyendo a= 90º, /3= 60º y posteriormente los valores ele erg 90º =O y ran600 = J3. se obtiene como resultado:

ran(900-600) = 1-tan60º ctg90º _ 1-( JJ)(O) _ 1-0 = _1 = 2-. J3 = J3 ctg90°+tan60" O+ J3 J3 J3 J3 J3 3

200


3 • • •Expresa en función dex la identidad eos(~n-x) Solución

Se aplica la identidad del coseno de la diferencia de ángulos:

cos( a - {J) = eos a cos fJ + sen a sen fJ Se obtiene:

eos(~n-x) = cos~n cos x+sen~ n sen x =(O) eos x + (- l)senx 2 2 2

=0-senx =-senx

Resulta que, eos( % n-x) = - sen x

EJERCICIO 43 .

2. cos(¡n-~) 6. cos(TlOº - 45º) 10. erg(2n-¡n)

'"t~·~l 3. sen(45º + 60°) 7.

4. ran(45º + 90º) 8. 1r 3tr) ese - +-4 2

Expresa en funeí6n del ángulo indicado las siguientes expresíones:

11. sen(8+~) 15. esc(~-a) 19. ran(3n- a)

12. eos(¡n -x) 16. erc(¡+P) 20. sen(¡n- 8)

13. sen(2n + {J) 17. eos(x-~n)

14. ran(~ -x) 18. sec(n+ 2ia)

<:) Verifica has Nsultados en Ja sección de soludorles cornspondlient• • -----------~

Aplicación de las funciones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos

Para determinar el valor de una función trigonométrica de determinados ángulos, éstos se descomponen como la suma

o la diferencia de dos ángulos notables.

201


~EMPLos~~~~~~~~~~~~~_.

S 1 • •• O:termina el cos 75º y expresa 75º como una suma de ángulos notables. a. E i!-

Solución

FJ ángulo de 75º, como la suma de ángulos notables, es 75º = 30º + 45º

Entonces, COS 75° = COS (30° + 45°)

Se emplea la identidad cos (a + {3) = cos a cos f3 - sen a sen f3 cos (75º) = cos (30º+ 45º) = (cos 30º)(cos 45°) - (sen 30º)(sen 45º)

Al sustituir el valor de cada función trigonométrica, se determina que:

cos75º= (~}( ~}(~}( ~)= ~ -~ = J6-fi.

Por tanto, cos 75° = ---4

2 • •· O:termina ton 15° y expresa 15° como una diferencia de ángulos notables.

Solución FJ ángulo de 15º se expresa como 60º - 45º, entonces:

ton (15º) =tan (60°-45º)

J6-fi. 4

Se emplea la identidad tan (a - {3) = ton a- ton pp en la que se sustituyen los valores de los ángulos a= 60° y {3= 45•• l+tona·ton

ton (15º) =ton (60°-45º) = ton 60º-ton 45º 1+tan60° ·ton 45°

Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables:

J3-1 J3-1 tan (15°) =ton (60°-45°) = ( ¡;;) = ¡;;----

1 + -v3 ( 1) -v3 + 1 Al racionalizar el denominador, se obtiene:

ton 15º = 2 - J3

3 • • •Calcula 1: funciones trigonométricas básicas de (a+ {3) si sabes que sen a= ~ para ~ :s; a :s; n y ton f3 = 1~ para

nS{JS - . 2

Solución Se obtienen las funciones de los ángulos a y {3, con el teorema de Pitágoras y se respetan los signos de las funciones

en los cuadrantes indicados.

Para sen a, el segundo cuadrante

y

- 4 X

Funciones del ángulo a: sena=~. cosa=-~ y ton a=-~ 5 5 4

Funciones del ángulo {3: sen f3 = - 1~ , cos f3 = - ~~ y tan f3 = 1~

202

Para tan {3, el tercer cuadrante y

-12 X

- 5


Por consiguiente, estos valores se sustituyen en las identidades de sumas de ángulos.

sen (a+ p) =(sen a)(cos P) +(sen P)(eos a)= ( ~ }(- :~ }(- :3 }(-~)

36 20 16 =-- + - =--

65 65 65

cos (a+ p) = (cos a)(cos P) - (sen a)(sen P) = (-~ }(- :~ }(~) (- 1~) 48 15 63

= - + - = -65 65 65

4 - - 6 ran(a+{J)= rana+ranfJ = 4 12 =__u_ =_!_

1-ran a·tan/3 1_ -~ . 2_ 63 63 4 12 48

Por tanto, los resultados son: 16 63 16

sen(a+P)=-- ,eos(a+P)= - yran(a+P)= - -65 65 63

4 • • •Demuestra la siguiente identidad: 2..fi r l

an; tan - -an:: erg ..;r = an; sen r:-; Solución r-1 ..;r+I

Sean 8 = an:: tan 2..fi y a= an:: erg Ji, entonces 8 -a= an:: sen ~ quees la identidad a demostrar donde r-1 r vr+l

2..;t r tan 8= - y erg a= ..;r

r-1 Se construyen los triángulos respectivamente,

Para el ángulo8 Por el teorema de Pitágoras

h2 = (2.Ji)2 + (1-1)2 h = .J4t+t2 -2t+1

h = .J12 +2t+l

h= J(t+l)' = I + 1

r-1

Para el ángulo a Por el teorema de Pitágoras

Ji

,,, = (Ji )2+ (1)2

/¡ = .¡¡:¡:¡

Se reafua la demostración aplicando seno a (8- a)

sen (8- a)= sen 8 cosa -sen a cos 8 2Ji 1-l Ji 1

Perosen8= - ,eos 8= - ,cosa= ~ y sena=~ ,entonces r+I t+l vt+l vr+l

sen(8 -a)=2..fi. Ji __ 1_ .r-I= 2r-r+1 = (r+l) ¡ r+I ..fi+í Ji+t r+l (t+l)Ji+t (r+l)Afl = Ji+t

1 1 sen (8 - a) = ..fi+í ~ 8 - a= an:: sen .¡¡:¡:¡

Donde,

Así queda demostrada la identidad.

203


EJERCICIO 44 . Determína los valores de las sígulentes funcíones trigonométricas y expresa los ángulos corno suma o díferencía:

l. tan 105°

2. cor 75•

3. ese 15°

4. sec 105°

5. tan 255°

6. cos 2&5° 7. tan 345• 9. esc255º 8. sec 165º 10. sen 165º

. 4 1C 2 1C 11. St cosa = - - con - 5 a5 n y tan fJ = - con O 5 /35 - , baila sen( a+ {J), cos(a + {J) y ran(a + {J).

5 2 3 2

12. Si tan a = 1 con n 5a 5 ~ n y sec fJ = 2 con in 5 fJ 5 2n, halla sen( a - {J), cos(a - {J) y tan( a - {J).

13. Si seca= -% con n 5 a 5 % n y erg fJ = J2 con O 5 fJ 5 % , halla las seis funciones trigonométricas ele (a+ {J)

y(a - {J).

Demuestra las sígulentes identidades:

14. [sen (n -x) +sen (% -x )] [senx - cosx]" 1 - 2cos2x

16. [ eos (%-x) - sen (n + x)] - [ cos(n + x) + cos(% + x )] "3senx+cosx

l7. sen(P -~) + cos(% -P) ,. sec fJ ese fJ

18. ran(n - a) ·sen( a+ 3; ) · sen(n - a) " 1 - cos2 a

19. [sena -senfJJ' - 2cos(a + /3) + (cosa+ cos/3]2

"2

sec( n - a>) sen( n + a>) 1 20. ( ) + " rana> -ese % + a> cos(n + a>)

21. cse(n - y) + cos(n + y) " sen y ran(n + y)

ran(n - x) -"------'- " sec x · (ese x + 1)

sen x

23. [sen(x + 2n) + cos(~ - x)T +

sen(a+fJ+r) + sen(a-fJ-r) 24

· eos (a+fJ+r) + cos(a-fJ-r)

4cos(x - 2n)

ese(~ - x)

•tan a

204

" 4


25. sen(B+w) · sen(8-w) "' (sen 8 + sen w) (sen 8 - s•m w)

26. ron(!:. + .s) + tan(!:. - .s) "' - 2 4 4 sen2 8 - cos2 8

27. 4 are tan ( - ~ ) + 1! "' 4arc tan ( - ~ )

29. cos -· ..!!.. - cos -1 ~ 13 65

-1 3 • - sen -5

J 12 + 1 30. see-• - ag_,t "' O, t> O

1 t2 -1 1 31. are sen r:;--:-are cos-2- •-are tan - , r > O

vt2 +1 t + 1 t

32. sen-• ~+sen_, ~ •sen-1(1 ), t>O 'l/!2 +1 vt2 +1

-·E; -1 1 -1!-l 33. sen --sen ~•sen -,t<!:l t+l vt+l t+I

t 34. are tan s - are sen --.=== J t2 +

s - t "' arcran ---,s > Oyt >O 1 + S1

e Verfflca tul resultados en la SIOC'6n de soh.ldones corresponcllinte • ----------~=

Funciones tr igonométricas del ángulo doble

Estas funciones se obtienen a partir de las identidades de la suma de ángulos, como se muestra a continuación:

Seno del ángulo doble sen (2a)

Para obtener el sen (2a) se emplea la identidad sen (a+ {3) donde {3 =a Entonces:

Coseno del ángulo doble cos (2a)

sen (a+ {3) =(sen a)(eos {3) +(sen {3)(cos a) sen (2a) =(sen a)(cos a) +(sen a)(eos a) sen (2a) = 2 (sen a)(cos a)

Para obtener eos (2a) se emplea la identidad cos (a + {3) donde f3 = a Entonces:

eos (a+ {3) = (eos aXcos {3)- (sen a)(sen {3) cos (2a) = (cos aXcos a) - (sen a)(sen a) cos (2a) = cos2 a -sen2 a (con el empleo de identidades trigonométricas básicas)

cos (2a) = 1- 2sen2 a cos (2a) = 2cos2 a - 1

205


bngente del ángulo doble Ion (2a)

Para obtener tan (2a)se emplea la identidad tan (a+ {3) donde f3 =a Entonces:

( ª) tan a+ran P rana+,,= 1-ran a ·tan P

tan (2a) = tan a+ tan a 1-rana·tana

tan. (2a) = 2ran a l-ran2 a

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~---.

~ 1 • • •Obtén las funcione$ trigonométricas de (2al), si se sabe que tan al= 3, para 1t $al$ 3

n

a. Sol"" 2 E ucion

.~ ~ w- En este caso el ángulo al se encuentra en el tercer cuadrante, entonces: tan al = --1

- Y Por el teorema de Pitágoras

- 1 r2 = (-1)2 + (-3)2

r2=1+9 X

r= JiO

-3

Se obtienen las funciones trigonométricas de al: 3 3Ji¡j 1 JiO -3

.sen al=-JiO = ----¡¡¡ , cos al= - .JiO = -to y tan al= _1

=3

sen2w=2(senal)(cosal)=2(-3Jiii)·(-Jiii)= ~ = ~ 10 10 100 5

Por tanto,

cos2w=cos2 al-seií1-al= (- JiOJ-(-3.[IOJ= l0-90 = -~ 10 10 100 5

ran2w= 2tanal = 2·(3) = ~ = -~ l -ran2 w 1-(3)2 -8 4 2 • • · Demuestra la siguiente identidad:

3 .sen6 x +col' x= 1 - - seií1- 2x 4 Demostración

3 (.seií1- x + cos2 x)(.sen4 x - .sen2 x·coi x + cos4 x) = 1 - - .seií1- 2x 3 4

(l)(.sen4 x - .seií1- x-cos2 x + cos4 x) = 1 - -seií1- 2x 4 3

.sen4 x - .seií1- x-cos2 x + cos4 x + 3.sen2 x·coi x - 3.sen2 x·cos2 x = 1 - - .sen2 2x 3 4

(.sen4 x + 2.seií1- x·cos2 x + cos4 x) - 3sen2 x·cos2 x = 1 - -seií1- 2x 3 4

(.seií1- x + cos2 x)2 - 3.seií1- x·cos2 x = 1 - -seií1- 2x 3 4

1 - 3.sen2 x·cos2 x = 1 - - .sen2 2x 4

(pero sen 2x = 2 sen x· cos x)

3 3 1 - - .sen2 2x"' 1 - - .seií1- 2x

4 4

206


3 • • •Demuestra la siguiente identidad:

Demo5troción

1+eos2x ,.,_ ----sen~

erg x

Se inicia con la sustitución ele las siguientes identidades:

1 = sen2 x+eos2 x, eos2x = eos2 x-sen2 x y erg x = eos x senx

Se realizan l!t> operaciones correspondientes y se simplifica:

1+cos2x = (sen2 x+eos2 x)+(cos2 x-sen2 x) = _2e_o_s_2 _x = 2eos2 x senx =2senxcos x erg x ctg X eos X eos X

senx Pero 2 sen x cos x =sen 2x, por co~iguiente se comprueba la igualdad:

1+eos2x 2 ---•sen x

ergx

Funciones tr igonométricas de la mitad de un ángulo

Seno de la mitad de un ángulo: sen( '~)

Para obtener el sen ( ~) , se emplea la identidad eos(2a) = 1 - 2 sen2 a, entonces se realiza el cambio a=~

cos (2·~ )= 1-2sen2(I) ~ eos w = 1-2sen2(I) . (ú)) ("') ~ Se despejasen 2 , resultando sen 2 = IJ-Z

Coseno de la mitad de un ángulo: cos( ~)

Para obtenercos(~) se emplea la identidad cos (2a) = 2 cos2 a - 1

Entonces se realiza el cambio a = ~ 2

eos (2-~ )=2eos2(~ )-1 . (ú) ) ("' ) f1+cOS{; Se despeja cos 2 , resultando cos Z = ~-Z

cosw= 2eos2(~ )-1

Tangente de la mitad de un ángulo: Ion(~)

Para obtener tan (~).se emplean identidades trigonométricas básicas:

(J) ¡1-eos (J) 1-eos (J) tan (~2 ) = sen -(J)2 _ ~ 2 = 2 = 1-cos (J)

- p+eos(J) l+CQS(J) l+eOS(J) cos 2 ~ 2 2

207


Al racionafuar el denominador:

("') (1-cos(J))·(l-cosro)

tan 2 = (l+cosro)·(l-cosro) (t-cosro)2 (l-cosro)2 1-cosro

= = = l -cos2 ro sen' ro sen ro

Por tanto:

tan (~) = Jl-cos"' = 1-cos"' 2 1 + cos "' sen "'

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--

.i 1 • • •Obtén las funciones trigonométric~ básicas ele (~) si se sabe que: sen "' = - J55 para 270° S:"' S: 360°. ~ 2 8 i Solución

¡¡¡ Se ubica el ángulo "'en el cuarto cuadrante:

y

x = 3

X

Por el teorema de Pitágoras

(8)2 = (x)2 + (- J55 )2

64 = x2 + 55

64-55 = x2

X = ..f9

x = 3

Se obtienen las funciones trigonométric~ del ángulo "':

J55 sen"'= --

8 3

CQS (J) = g J55 tan"'= --

3

O: acuerdo con el resultado anterior, las funciones trigonométric~ del ángulo ( ~) son:

(ro) _ ~-cosro _µ,u-i sen - - -2 2 2

("') -ff+cosro _ gu+ ¡ CQS - - -2 2 2

5 8 5 J55

= .,fil = - J55 = -11 8

208


2 • • •Obtén el valor de las funciones trigonométricas básicas del ángulo de 15º, haciendo 15º = 300

2 Solución

a) Para hallar el valor de .¡,in 15° se utifua la siguiente fórmula:

Entonces,

Por tanto:

((J))- ~-cos (J) .f'!n - -2 2

R 15º _ (30" )- p-cos 30° _ _ /2 -f3 _ f2::J3 sen - .¡,in 2 - 2 - - ~ - 4- - 2

.¡,in 15° = f2::J3 2

b) Para hallar el valor de cos 15° se utifua la siguiente fórmula:

((J)) ~ cos 2 =..¡~

Entonces,

15º _ (30º)- Jl+cos30º _ ~ _ J1+f3 _ h+f3 cos - cos - - - - -- - -'-----2 2 4 2

Por tanto,

cos 15º = ¡¡;J3 2

e) Para hallar el valor de tan 15° se utiliza la siguiente fórmula:

((J)) 1-cos (J)

tan - = ---2 .¡,in (J)

Entonces,

1 fj 2-!3 0 (30º) l-cos30" -2 - 2 - 2-!3

tan 15 =tan T = .¡,in30º = T = T = -1-

2 2

Por consiguiente,

tan 15º =2-f3

209


3 • •• Demue$tra la siguiente identidad:

Demostración

cosa - cos2a sen a + sen 2a

Se aplican las identidades del doble del ángulo

a cosa - cos 2a = sen2 sen a + sen2a a

CQS -2

a sen -" __ 2_

a cos -2

cosa-(cos2 a-sen2 a) sen a+2sen acosa

a sen-

=--2 a

cos2

cosa-cos2 a+sen2 a sen a+2sen acosa

a sen2 a cos-2

a cosa-cos2 a+l-cos2 a_ sen2

sena+2sena cosa cos~ 2

a 1+cosa-2cola = sen2

sen a+ 2sen acos a a cos2

Se realiza una factorización tanto en el numerador como en el denominador,

1+cosa-2cos2 a (l-cosa)(l+2cosa) l-cosa sen a+2sena cosa sen a(1+2cos a) sen a

Se aplican identidades básicas con el nuevo resultado,

l-cosa 1-ccsa sena Ji-col a

JI-cosa 1-ccsa _ Jt-cosa _ Ji

J(l+cos a)(l-cosa) Jt+cosa Jt+cosa Ji

cosa - cos2a sen a + sen 2a

210

a sen -" __ 2_

a cos -2


EJERCICIO 45 . l. Utiliz.a las identidades del ángulo mitad para obtener las funciones trigonométriea5 de los ángulos!:., ~ir, ~ ir y '!.. ir.

8 8 8 8

2. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y (~).si se sabe que ese a= 4 para ~ SaS ir.

3. Si se sabe que tan fJ = 1; , para ir s f3 s % ir, halla las funciones trigonométricas de (2{J) y ( *) . 4. Dada la función trigonométrica eos w = ~ donde ~ir S <o S 2ir, encuentra las funciones trigonométricas de

(2w)y (~). 5. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y (~)si se sabe que: Jl!C a= - J7 para !:.s as ir.

2 2 2

6. Sisen~= J3+J5 y !:.sasir,determinasena, cosayrana. 2 6 2

7. Si eos 2{J = 15 y ir s f3 s ~ir ,encuentra las funciones trigonométricas de fJ y f!..

17 2 2

8. Sisen .!.a= lO-J50+lOJ5 ,determinalasfuncionestrigonométricasdeasi Osas!:. 4 w 2

9. Si ese .!. /3 = J 6 17 y O s /3 s !:. , halla las funciones trigonométricas de fJ y f!. .

4 3-v6 2 2

10. Si erg ~ = - 3 y ~ir s <os 2ir, halla las funciones trigonométricas de"'• 2w y 4w. 2 2

Demuestra las siguientes identidades:

11. 2 2a

1 + eos a = sec 2 12. [cos2x-sen2x]2-1 =sen(-4x)

13. cos 8x + cos 4x = 2cos 2x-4sen2 3x · cos 2x

14. sen 4x + sen & = 2 (sen 5x · eos x)

15. (ir ) 1 + sen 2<o erg - - <o = 4 eos 2<o

16. 1

cosª/3 - sen1/3 = - eos 2/3 · (3 + cos 4/3) 4

17. J2 ( ir) 2 (sen a + cosa) sec a - - = 4 1 + sen 2a

18. cos 12• cos 24. cos 48° cos 96° = _ ..!_ 16

19. cos' x - sen 3 x sen 2x

cos 2x = COS X -

2 ( sen x + cosx ) + senx

211


20. 1 + sen rp

1 + ran2 ~

22. sen(x+2y)-sen x =2seny·cos(x+ y)

23. 4 csc2P · cos P = crg2 /!.. - ran2 /!.. 2 2

24. [ 3 cos ~ - sen ~] · [cos ~ + sen ~] = 2 cos 8 + sen 8 + 1

25. sen• x + cos• x = 1 - ~ sen2 2x 4

e:> ..-r111cuus ,.,..ftad0$ en la -cl6n de soluclonu -..spondlonte • ••••• ••••• •••••• ••••

Identidades tr igonométricas para transformar un producto en suma o resta

O: las identidades:

sen (x +y) =(sen x) (cos y) +(sen y) (cos x) se realiza la suma con

+ sen~ - y) =(sen x) (cos y) - (sen y) (cos x) sen (x +y)+ sen~ - y) = 2 (sen xXcos y)

Al despejar,

O: forma semejante se obtiene:

O: las identidades:

(sen x)(cos y)= ..!.[sen(x+ y)+sen(x-y)] 2

(cos x) (sen y)= ..!.[sen(x+y)-sen(x-y)] 2

cos (x +y)= (cos x) (cos y) -(sen x) (sen y)se realiza la suma con

+ cos ~-y)= (cos x) (cos y)+ (sen x) (sen y) cos (x +y)+ cos ~-y) = 2 (cos x)(cos y)

Al despejar,

O: la misma manera se obtiene:

(cos x) (cos y)= .!..[ cos (x+ y)+ cos(x-y)] 2

(senx) (sen y)= -~[cos(x+ y)-cos(x-y)]

212


EJEMPLOS,------------~ 1 •••Expresa el siguiente producto en forma ele suma o resta:

E -~-~ ;!- Solución

Se emplea la identidad (cosx) (eos y)= ![eos(x+y)+cos(x-y)] yse obtiene: 2

1 eos (8x) eos (2x) = -[eos(8x+2x)+eos(8x-2x)j 2

cos(8x) eos(2x) = ![cos(10x)+cos(6x)]

2 ....... ~ ,, ~·~ "'' ....... ""'"'"" -( ': ,:(.~ l Solución

Se emplea la identidad (sen x) (eos y)= ![sen (x+y)+sen(x-y)] 2

sen(3: }os(i~) = ¡(sen(3: + 1~}sen(3:- 1~]

sen(3: }os(1~) = Msen(9~;ir }sen(9~;ir )]

sen(3: }os(:i) = H sen(5; )+sen(2; )]

Al sustituir el valor ele las funciones trigonométricas ele ángulos notables:

sen(31r}os(.!!...) = .!.[!+ F3] = ![l+F3] = l+F3 4 12 2 2 2 2 2 4

EJE~CICIO 46 Convierte los siguientes productos en sumas o díferencías de funcíones trigonométrícas:

l. sen( a+ {3) cos(a-{3) 11. 4 sen(3a) sen( a) 2. eos(45') sen(60') 12. 5eos(2a) sen(6a)

3. sen(y + fJ) sen(y-{3) 13. cos(47')sen(43º)

4. cos(~; }os(¡) 14. cosGa) eos(%P)

5. sen(82º 30') eos(37°30') 15. 3sen(9a) eos(&a)

6. sen(37º 30') sen(7º 30') 16. sec( ~ }ec( ¡) 7. cos(:c + a) sen(K-a) 17. tan2actg a

8. cos(~;}os(~;) 18. sec(¡ir )ese(¡)

9. sen(187º30') cos(217º 30') 19. tan(x + a) tan(x-a)

JO. cos(7: )cos(1~) 20.

sen(2a+P) sec(2a-fJ)

e Verifica tusr .. ultado .. n la Moción de soludo<IH con .. pondlente , , • • • • • • • • , • • • • ,

213


Demostración de identidades

EJEMPLOS 1 ~ 1 • • •Demuestra la siguiente igualdad: sen ~ cos :i = ¡

! Demostración

Se aplica la identidad (sen x) (cos y) = ~[ sen(x+ y)+sen(x-y)]

Tr 1 l\:ro sen - = - y seno= O, entonces· 6 2 .

Por tanto queda demostrada la igualdad.

2 • •Demuestra la siguiente expresión:

senx cos y+ sen y cos x = sen(x +y)

Demostración

Se aplica la transformación de productos a sumas y se obtiene:

1 senxcosy= -[sen(x+y)+sen(x-y)] 2

1 sen y cos x = cos x sen y= 2[ sen(x+ y)-sen(x-y)]

Al sumar ambas expresiones:

1 1 senx cos y+ sen ycos x = 2[ sen(x+ y)+sen(x- y)]+ 2[ sen(x+ y )-sen(x-y)]

1 1 1 1 senx cos y+ sen y cos x = - sen(x+ y)+ - sen(x- y)+ - sen(x+ y)- - sen(x-y)

2 2 2 2

Se simplifican términos semejantes, entonces:

senx cos y+ sen y cos x = sen(x +y)

R:>r tanto, queda demostrada la igualdad.

214

EJERCICIO 47 . Demuestra las siguientes igualdades:

l.

2.

3 - -----= -see 30° ese 120° 4

sen 75° eos 45° = _ 2

_ .fj sen 225° eos 75°

J6 3.

eos 35° sen 100 + eos 100 sen 35°

cos 200eos100 - sen200 sen100 = -

3

'Ir 57r 'Ir 57r tan - tan - + tan - tan -

4. 6 12 12 12 = 2 + .fj 1- tan~tan !!...

6 12

1 5. sen x eos x + eos 3x sen x = 2 sen 4x

7. 3

= see x cos(27r- x)eor(21r- x }en2 (%-x)

8. eos x[eos 2x- 2sen1 x] = eos 3x

9. tan(x+~) tan (~-x) = 2eos2x+l 3 3 2eos2x - 1


10. sen(lOº + x) eos (20° - x) + eos(80°- x)sen(70º + x) = sen(2x- 10°)

12. sen(~-x) 2 senx

-..,.---..- =sen 3x ese 2x (37r 2x) ese 2 +

13. eos 2x + 2[sen X eos y + eos X sen y] sen(x - y) = eos 2y

14. sen(%- x) ·sen(~Tr -x) ·eos(Tr - x) = eos3 x

e Esto ojorcldo no tiene soNCiotlH ol flnol dol IJbro por .. , dom011rOC:iotlH • -----------~

215


Identidades para transformar sumas o restas de funciones tr igonométricas en un producto

Dados los ángulos x y y, tales que

x+y=a x - y =/3

Al resolver el sistema de ecuaciones para x y y se obtienen los siguientes resultados:

a+fJ x=--

2

a-fJ y= --

2

&tos valores angulares se sustituyen en la identidad:

Y el resultado es:

1 (senx) (cos y)= -[sen(x+ y)+sen(x-y)] 2

( a+fJ ) (ª-/3) 1 sen -2

- cos -2

- = 2[sena+senf3]

Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:

O: la misma manera se obtiene:

sen a + sen /j = 2 sen ( "' ~ /J) cos ( "'; /J)

sen a - sen /J = 2 cos("' ; /J) sen("' ; /J)

cos a + cos fJ = 2 cos("' ; /J) cos("' ; /J)

( "' + /J) ("' - !f\ cos a - cos /j = - 2sen -2

- sen -2

--}

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--.

S 1 • • · Efectúa lo siguiente: sen !!.. - sen !!.. a. 2 6 E i!- Solución

Al aplicar la transformación de diferencia de senos a productos, se obtiene:

-Í -•M¡; o 2 ro•[ i;~ ]-[ Í~~} ,;,.rn<"OO

216


2 • • •Calcula, sin hacer uso de las tablas trigonométricas:

senG; }sene;) Solución

Se emplea la identidad, sen a + sen ,B = 2 sen(ª; p} cos( ª; p)

Se simplifica,

Dacio que .!!... no es un ángulo notable, se puede emplear la identidad: 12

1! (x) ~+cosx cos - = ---2 ~ 2

Donde .!!... = .2., entonces, 12 2

Por tanto,

senC; }sen(~;)= 2[( 1 ){ ~] senC;}sen(~;)= h+J3

3 • • · Simplifica la siguiente expresión: cos(w+~ )-cos(w-~) Solución

Se emplea la identidad, cosa -cos ,B = -2[sen( a;p }sen( ª;P]

cos(w+~ }cos( w-~ }-2sen(w)-sen(~)

cos(w+% }cos(w-~ }-2sen(w){ ~) cos( w+% }cos(w-% }-J3 ·sen w

217


Solución

Al utilizar la identidad, sen a -sen ,8 = 2cos( a; P) sen(ª; P).se obtiene:

(X ir\_ (X lt) X lt sen 2+2 rsen 2-2 = 2cos2 sen 2

( X lt} (X lt) X sen - +- sen --- =2cos- (1) 2 2 2 2 2

EJE~CICIO 48 Convíerte en producto las síguíentes sumas y restas de funciones trigonométricas:

l. sen 165° +sen 75° 9. cos( 3:} cos(1~ ) 2. cos(1 /J)+ cos(-2/J) 10. cos~+~ }cos~-~)

3. sen(240º) + sen(l20") 11. sen(:f }sen(~)

4. cos( 58) - cos (3 8) 12. sen( a+~ }sen(~+ P)

5. cos (37° 29') +cos( 52º 31 ') 13. cos( a+¡ } cos(a-¡)

6. senG; }sene~) 14. sen~+¡ }sen~-¡)

7. cos(~: }cos(2;) 15. sen(~ir+a }sen(iir-a)

8. sen 35° -sen 25• 16. cos( a;p }cos( ª;P)

218


Demostración de identidades

~EMPLOs.~~~~~~~~~~~~~-

S sen 50º+sen 10° J3 -a.. 1 • • · Demuestra la siguiente igualdad: ------3 E cos 50º+ cos 10º

i!- Solución

Se aplica la suma de senos y cosenos

sen 50º+sen 10º 2 sen~(50º+lOº)cos~(50º-IOº) sen 30ºcos 20º

cos 50º+cos 10º = 2[ cosi(50º+10º)cosi(50º-10º) J = cos30ºcos 20º =tan 30º

Pero tan 30° = ,fj , por lo que la igualdad queda demostrada. 3

2 • • •Demuestra la siguiente igualdad:

sen x +sen 3x +sen 5x +sen 1x = 4 sen 4x cos 2x cos x

Solución

Se agrupan dos a dos los sumandos

sen x +sen 3x +sen 5x +sen 1x =(&in x +sen 3x) +(sen 5x +sen 1x)

Se aplica la transformación de suma de senos a productos

Entonces,

senx+sen3x= 2[seni(x+3x)cosi(x-3x)] = 2[sen2x cos(-x)]=2sen2xcosx

sen 5x +sen 1x = 2[seni(5x+ 1x)cosi(5x-1x)] = 2(sen 6x cos(-x)]= 2 sen 6xcos x

sen x +sen 3x + sen 5x + sen 1x = 2sen 2x cos x + 2sen fu- cos x = 2cos x (sen 2x + sen 6x)

En esta nueva expresión se aplica la transformación de sumas a productos,

2 cos x (sen 2x+ sen 6x) = 2 cos x · 2[sen~(2x+6x)cos~(2x-6x)] = 4 cos x [sen 4x cos(-2x)]

= 4 cos x sen 4xcos 2x Por tanto, queda demostrada la igualdad.

219


EJ E~CICIO 49 Demuestra las síguientes ígualdades:

2. sen 40º+sen 20° = .J3 et 10• sen 40°-sen 20• 3 8

3.

1t 51t sen- +sen-6 18 51t 1t sen--sen-18 6

21t tan -=~

1t tan-18

4. CQS (x-1t) + CQS (x + 1t) = -2 CQS X

5. sen 2x+ sen 4x-sen fu'= 4senxsen 2xsen 3x

X 5x 6. senx-sen 2x+ sen 3x-sen 4x = -4sen - cos - cos x

2 2

5x X 7. CQSX + cos2x+ CQS 3x+ CQS 4x = 4cos - CQS X CQS -

2 2 sen 5x-sen 3x

8. tan X= ----CQS 5x+cos3x

1-2sen2 x 1 9. = - cscx

sen 3x-sen x 2

cos(x+ y)-cos(x-y) 10. = -tanx

sen (x+y)-sen(x-y)

11. 1 3x X -------= - csc- secxsec

senx+sen2x+sen3x 4 2 2

12. .!..[cos(a+b+c)+cos(a+b-c)+cos(a-b+c)+cos(a-b-c)] =cosacos b cose 4

e Esta ejercicio no tiene sofuciotlH al ftial clol IJbro por,., clomOS1rac:io<IH • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una expresión que tiene como incógnita valores angulares bajo los signos ele funciones trigonométricas.

Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores que satisfacen dicha ecuación, esto es, que en una ecuación trigonométrica no siempre existe una solución 6nica, en ocasiones existen ~. las cuales se expresan como conjunto solución.

220


EJEMPLOS,------------~ 1 • • · Resuelve la siguiente ecuación para O ,; x,; 2:n: .

. i sen (x+ ¡) = 1 w Solución

Se despeja la incógnita x y la función seno se representa como are sen en el segundo miembro, luego el intervalo indica que se tomarán como solución aquella5 entre 0° y 360°

sen (x+¡) =1 ~ (x+¡) =arcsen(l)

E'J resultado puede expresarse en grados o en radianes.

2 • •Resuelve la siguiente ecuación para 8 si 0° ,; 8 ,; 360°.

:n: :n: x+ - = -

4 2

x= !: -!:=!:=45° 2 4 4

3 tan 8-4 =tan 8-2

Solución Se agrupan los términos que tienen a las incógni~ y se reducen:

3 tan 8 - 4 = tan 8 -2

De esta expresión se despeja el ángulo 8

tan 8 = 1

3 tan 8 -tan 8 = -2 + 4 2tan8=2

tan 8 = 1

8 =are tan (1)

8= !: =45° 4

Luego, la tangente es positiva en el primero y tercer cuadrantes, por consiguiente, el conjunto solución es !: y S:n: • 4 4

3 • • •Resuelve la siguiente ecuación para x si O sx,; 2:n:.

2 sen2 x-1 = -senx Solución Se agrupan los términos en el primer miembro:

2 sen2 x-1 = -senx

La expresión resultante se factoriza,

2sen2 x +sen x - 1 =O

(2sen x -!)(sen x + 1) =O

Por tanto, 2sen x - 1 = O y sen x + 1 = O, de las cuales se despeja la incógnita x, entonces,

2senx-1=0

1 senx= 2

x =are sen(&)

:n: 5:n: x= - -

6' 6

L 1 . 1 'ó :n: 5:n: 3:n: uego, e conjunto so UCI n es 6. 6 y 2.

221

senx+l=O

senx=-1

x=arc sen (- 1)

3:n: x= -

2


4 • • · Resuelve la siguiente ecuación para 9, si 0° ,; 9 ,; 360°. 4cos29-3=0

Solución Se despeja cos 9 de la ecuación:

4cos29-3=0 ~ 4cos2 9=3

Se obtienen dos ecuaciones

cos9= J3 Se despeja el ángulo 9 2

9 = aft' cos( ~) = 30º, 330º

Al final, el conjunto solución es 30°, 150°, 210° y 330°.

5 • •Resuelve la siguiente ecuación para 9 si o• ~ 9 ~ 360º.

y

cos29= ~ 4 J3

cos9=±-2

J3 cos9=--2

9=arc cos(-~)= 150º, 210º

2sen2 9= -sen9

Solución Se resuelve la ecuación:

2sen29 +sen 9=0

Se obtienen dos ecuaciones: sen 9 =O

Se despeja el ángulo 9, sen 9 =O

9 = are sen (O)

9 =o·. 180°, 360°

R>r tanto, el conjunto solución es 0°, 180°, 210°, 330° y 360°.

6 • •Resuelve la siguiente ecuación para x si o•~ x ~ 360º.

Solución

2 cos2 x= sen x- 1

Se despeja el ángulo x de ambas ecuaciones:

senx-1 =O

2cos2x = senx-1

x = a1t' sen (1)

x=90º

sen9(2sen9+ 1) =0

2sen9+1=0

2sen9+1=0

9 = aft' sen(-~) 9 = 210°, 330°

2(1 -sen2 x) = senx- 1

2-2sen2 x= sen x- 1

2-2sen2 x-senx+ 1 =O

-2sen2 x-senx+ 3 =O

2sen2 x+ senx-3 =O

(2sen x + 3)(sen x - 1) =O

2senx+3=0

(+-1)

sen x =-~(no existe solución) 2

Cabe mencionar que 2 sen x+ 3 =O no tiene solución porque -1 ,; sen xs 1, entonces el conjunto solución es 90º.

222

EJERCICIO 50 . Resuelve las síguientes ecuaciones, tales que O" s x s 360°.

l. senx =sen (~-x) 2. eos x + 2 sen x = 2

3. 2eos (¡-x) = 1

4. ese x = see x

5. 2eos x · tanx-1 = O

6. 4eos2x=3-4eosx

7. 3 cos2 x+ sen2 x = 3

8. 2sen2 x+ senx = O

9. eos x + 9 sen2 x = 1

10. csc2 x = 2eot2 x

11. senx · tanx + 1 = senx + tanx

12. 2cos2 x + 3sen x = O

13. senx-eosx= O

14. 3cos2 x-sen2 x = O

15. cos x-.J3 !Jl!nx = O

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Tl.

28.

29.

30.


2senx+cscx=3

senx ·etg x -senx = O

2eos3 x + eos2 x - 2cos x - 1 = O

4eos x - 2 = 2 tan x ·erg x -see x

tan5x-9tanx=0

- 1- +.J3ranx=O etg2 x

senx·seex+J2senx -J2 = sec x

(2-J3)senx+(2-J3)=2eos2 x

( 2+ .J5) - ( 1 + 2.J5) eos x = 2 sen2 x

see x(2sen x + 1) - 2(2sen x + 1) =O

J3ranx ----eosx=O seex

J2eos x -J2senx = -J3

5sen2 x + cos2 x = 2

5 ---5J3eos x = O ese x

eos2 x + eos x = sen2 x

e Verifica tul resultados en la Hoci6n de soluciones corni~nte • ------------~

223

-

Medición de tierras eo el antiguo

Egipto mediante los anucladol'e-s

CAPÍTULO 15 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Su origen se encuentro en la cultura egipcia, específicomente en la geometría egipcia.

los egipcios dominoban o la perfección los trión· gulos, yo que fueron la base paro la construcción de sus pirámides así como la medición de tierras. Se auxiliaban de los anudadores, hacían nudos igualmente espaciados para medir y se dieron cuenta que al ubicar cuerdas de diversas longitu·

des en forma de trióngulo obtenían ángulos rectos y, par tanto, trió ngulos rectángulos, lo cual significa que tenían conocimiento de la relación que existe entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

Sin embargo, Pitágoras fue el primero en demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque los egipcios y babilónicos lo utilizaban en sus cálculos y construcciones pero sin haberlo demostrado.


Solución de tr iángulos rectángulos

Dacios tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lacio, encontrar el valor de los datos restantes. Para los triángulos rectángulos basta conooer el valor de uno de los lacios y algún otro dato, el cual puede ser un

ángulo u otro lacio, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno ele los ángulos siempre será de 90º.

Cabe destacar que el teorema ele Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma importancia para la resolución de triángulos rectángulos.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 • •• Fn el triángulo ABC, a= 12 cm, b = 9 cm. Resuelve el triángulo. a. E Solución ~ B

a= 12an

A b=9cm e

Se proporcionan catetos; entonces, para encontrar la hipotenusa se utiliza el teorema de Pitágoras:

c= Ja2 +b2

c = J(12)2 +(9)2 = J144+ 81 = ..flli = 15

Por lo tanto c = 15 cm. Para encontrar los ángulos se utilizan funciones trigonométricas; en este caso, al tener los tres lados se puede

aplicar cualquier función. Por ejemplo, en el caso del ángulo A se aplica la función tangente, entonces:

Se despeja el ángulo A:

12 tanA= -

9

LA =are tan e:} 53° 7' 48"

Para encontrar el tercer ángulo, se tiene que LA+ LB+ L C = 180º, en particular LA+ LB= 90º ya que L C = 90º, por tanto:

53° 7' 48" + LB = 90º

LB= 90º -53° 7' 48"

LB = 36° 52' 12"

226

CAPÍTULO 15 Trióngulos rectóngulos

2 ••• Fn el triángulo MNP, m = 13.4 cm, L P= 40°. Resuelve el triángulo.

Solución Para hallar el L N, se aplica:

LN+ LP+ LM= 180°

Ya que L M = 90º, entonces,

L N + L P = 90º donde L N = 90º - L P

LN=90º-40º

LN=50º

Ladon Se elige uno de los ángulos agudos, en este caso L P y se establece la función trigonométrica de acuerdo al lado que se va a encontrar (n) y el lado conocido (m = 13.4), por lo que la función que se busca es el coseno de P, entonces:

Al despejar n:

cosP= !: m

donde cos 40° = __!!__ 13.4

n = (13.4) (cos 40º) = (13.4) (0.76604) = 10.265 cm

Para hallar el lado restante (p) se utiliza el teorema de Pitágoras:

p= Jm2 -n2 = J(B.4)2

-(10.26)2

= .Jl79.56-10S.27 = .J7429 =8.62cm

3 • •En el triánguloABC, a= 54 cm, A= 36° 20'. Resuelve el triángulo.

Solución Fn el triángulo ABC:

LB=90º -LA

LB= 90º -36° 20'

LB= 53° 40'

A b

Para hallar el lado b, se utili2a la función tangente de LA:

tan A=~ b

donde

Al despejar b: b = 54

= ~ = 73.42 cm tan36º20' 0.7354

B

a =S4cm

e

S4 tan 36º 20' = -

b

FJ valor de la hipotenusa se encuentra mediante el teorema de Pitágoras:

c= Ja2 +b2 = J(S4)2

+(73.42)2

=91.14cm

227


EJERCICIO 51 . Resuelve el siguíente triángulo rectángulo según los datos proporcionados:

e

a

A e B

1. a= 12, b= 17

2. LA =32°, b=4

3. LC=46º20'.a=5

4. a= 32.5, e= 41.3

5. LA =45°, a= 13

6. L C= 54°, b =22.6

7. b = 22.5, e= 18.7

8. LA = 48° 12', b = 34.5

9. L C= 34° 32', e= 56.9

10. a= 18.23, b = 19.86

11. LA= 32° 27', a= 12

12. b= Jl7,a=2

13. L C = 48° 23', b = 23

14. a= 7.5, e = 2.5

15. c=13,LA=25º49'

16. Calcula el valor ele los ángulos agudos si a = ~. 17. Determina el valor ele los ángulos agudos y el valor ele los lados si a = x, b = x + 8 y e = x + 7.

18. Calcula el valor ele los ángulos agudos y el valor ele los lados si a= x + 1, b = x + 2 y e= x.

19. Determina el valor ele los ángulos agudos si a= c.

20. Calcula el valor de los ángulos agudos si b = 3a.

e:> lllrlflca tus r .. ultados en la Mecl6n do soluclonu --diento • -----------=~

228



1 Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Siel ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46° 23', encuentra la altura del edificio.

Solución

Se representa el problema con un dibujo:

1 h

l ¡------ 20 m ----;

Para hallar la altura del edificio se utiliza la función tangente, ya que se tienen como datos un ángulo y el cateto adyacente a éste, y la altura representa el cateto opuesto al ángulo ciado:

h tan 46° 23' = -

20 Al de5pejar h:

h = (20) (tan 46° 23') = (20) ( 1.04949) m 21 m

De acuerdo con el dato anterior, la altura del edificio es de 21 m.

2 En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un

túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de 48 ° 30' de5de un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de 38º de5de el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?

Solución

p 1-- a

R Q b --f

La longitud del túnel e\ltá determinada por a+ b. Rlra obtener a, se utiliza el triángulo PRTy se aplica la función tangente de L P:

250 tan 48° 30' = -

a Al de5pejar a

250 250 a= = -- =221.19m

tan 48"30' 1.1302

Rlra obtenerb,se utili2a el triángulo QRTyse aplica la función tangente de L Q: 250

tan38º= -b

Al de5pejar b b=

250 = ~ =320.02m

tan380º 0.7812

Por tanto, la longitud del túnel es: 221.19 + 320.02 = 541.21 m.

229



1. En una torre de 40 m que está sobre un peiWco de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco se

encuentra el barco?

T 40m

2. A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un ángulo de 23°. Calcula la altura

001 árbol.

3. Una persona cuyos ojos están a 1.20 metros del suelo, observa una pintura que se encuentra a un metro del suelo y mide 1.50 metros. Dicha persona se encuentra a dos metros de distancia de la pintura.

a) ¿Cuál es el ángulo de visión? b) ¿A qué distancia se debe parar la persona para que el ángulo de visión sea de 45°?

T T 1.5m 1.5m

~ t t lm lm

¡.---2m~ l ¡.---

d ~ l

230


4. Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo ele 45° con respecto a la horizontal. Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros ele cuerda.

l h

5. Determina el ángulo ele elevación del Sol si un poste ele 2.56 metros proyecta una sombra ele 1.85 metros.

6. Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto A de 46° 10'. Calcula la altura a la que se encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, si la distancia de éste al punto A es ele 50 metros.

231


7. Desde lo alto ele una torre cuya altura es de 25 m, se observa un automóvil alejándose de la torre, con un ángulo ele d:presión de 32°; si un instante después el ángulo es ele 26°, ¿qué distancia se ha desplazado el automóvi I?

1 25m

1

8. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se muestra en la figura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero basta donde se encuentra el delincuente es ele 25° y el ángulo d: depresión hasta donde se encuentra el patrullero es ele 65°, y su distancia a éste es de 25 metros,

calcula:

La distancia entre el helicóptero y el delincuente. La distancia entre el patrullero y el delincuente.

La altura del helicóptero.

9. Un ingeniero civil desea conocer el ángulo ele elevación del topógrafo, así como la distancia a la que se encuentra ool asta bandera, si se sabe que el asta bandera miele la cuarta parte ele la altura del edificio que es de 16 metros, y la dstancia entre ambas es de 9 metros.

16m

232


10. Una araña que se encuentra en la base de una caja desea alcanzar una mosca ubicada en la esquina opuesta de la

caja, como se muestra en la figura. Las esquinas están conectadas por un cable tenso, determina cuál es el ángulo de elevación del cable y la distancia que recorrería la araña hasta llegar a la mosca por el cable.

11. Se tienen dos poi~ de radios R, r y la distancia entre sus ejes es 1, ¿cuál es la longitud de la cadena de transmisión?

12. Debido a un accidente en unos laboratorios químicos, se tuvieron que desalojar ~casas que estuvieran en un radio de 500 m de los laboratorios. Una familia vivía a 250 mal este y 195 mal sur de los laboratorios. Determina si la

filmilia desalojó su casa.

i==i i==i

D O DD

e Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlent• a -----------===-

233

-

Johann Müller Von Kiinigsberg

(regicmonJanu$) 1436 . 1476

CAPÍTULO 16 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

A strónomo y matemático alemán que realizó trotados sobre lo trigonometría y lo astronomía, inventor de diversos herramientas

p:iro lo observación y lo medido del tiempo.

Su obro se compone de cinco libros llamados: De tiangulis omnimodis, ¡publicado en Nuremberg 70 años después de haber sido escrito! Es interesante desde el punto de visto matemático, yo que en el primer libro se establecen los definiciones básicos de rodio, orcos, igualdad, círculos, cuer·

dos y lo función seno. En el segundo, lo ley de senos poro lo resolución de problemas con triángulos, y del tercero al quinto libros se expone lo trigonometría esférico.

-


Solución de triángulos oblicuángulos

Un triángulo es oblicuángulo cuando sus tres ángulos son oblicuos, es decir, no tiene un ángulo recto. &te tipo ele triángulos se resuelven mediante la ley ele senos, ele cosenos o ele tangentes.

ley de senos

La razón que existe entre un lado ele un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado e> proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.

e Ley ele senos:

a b e --=--=--sen A sen B sen C

A e B

La ley ele senos se utiliza cuando:

e Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno ele ellos.

e Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.

~EMPLOS~~~~~~~~~~~~-.

..¡ 1 ••·Fn el triánguloABC, b = 15 cm, LB= 42º y L C = 76º. Calcula la medida ele los lados y ángulos re>tantes.

E Solución i!- A

B

Para obtener LA, se aplica LA +LB+ L C = 180°, despejando,

LA= 180° -L C- LB= 180° -42° -76° = 62°

Se conoce el valor del lado b y el ángulo B, opuesto a dicho lado, también se proporciona el ángulo C, por tanto, se puede determinar la medida del lado e,

c b --=--sen C sen B

Al sustituir L C = 76º, LB = 42º y b = 15 cm, se determina que,

c 15 --=--sen 76° sen 42°

~ la expresión anterior se despeja e,

c = (15Xsen 76º) = (15)(0.9703) = 21.75 cm sen 42° 0.6691

Por último, se determina el valor del lado a con la siguiente relación:

a b --=--senA sen B

donde a 15 --=--

sen 62° sen 42°

Al despejar a:

a= (15)(sen 62°) _ (15)(0.8829) _ 19.8 cm sen 42° 0.6691

236

CAPÍTULO 16 Trióngulos obllcuóngulos

2 • ••Fn el triángulo MNP, L P= 76°, p = 12 cm y m = 8 cm. Resuelve el triángulo.

Solución

p

M p=l2cm N

Con los datos del problema, se calcula el valor de L M con la siguiente relación:

___!!!__ =_f!_ senM senP

Al despejar sen M y sustituir los valores, se obtiene:

Entonces:

Por otro lado,

sen M = msen P = (8)(sen 76°) p 12

(8)(0.97029) = o.6469 12

L M =are sen (0.6469)

LM=40º 18'

L N= 180° - L P-L M = 180° - 76° -40° 18' = 63° 42'

Se aplica la ley de senos para encontrar el valor del lado n:

Al despejar n,

Por consiguiente,

_ n_ =_ p_ senN senP

p sen N ( 12)(sen 63°42') (12)(0.8965) 0.

9703 = 11.09 cm n= --- =

sen P sen 76°

L M =40° 18', L N=63º 42' y n = 11.09 cm

237


3 ••·En el triángulo ABC, LA= 46°, LB= 59º y a= 12 cm. Determina los elementos restantes del triángulo.

Solución

A e

Fn el triángulo:

L C = 180"-LA -LB= 180"-46° -59° = 75°

Para hallar el valor del lado c se utiliza la relación:

c a --=--sen C sen A

donde c = asen e= (12)(sen75°) _ (12)(0.9659) _16

.11

cm sen A sen 46° 0.7193

Asimismo, para obtener el valor del lado b se utiliza la relación:

b a --=--sen B senA

donde b = asenB _ (12)(sen59") = (12)(0.8571) _ 14.3 cm sen A sen 46° 0.7193

Finalmente, los elementos restantes son:

L C= 75°, c = 16.11cmyb=14.3 cm

ley de cosenos

El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.

e

A

238

Ley de cosenos:

a2 = b2 + c2-2/x cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2= a2 + b2- 2ab cose

Al despejar La ley de cosenos se utiliza cuando:

e Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.

e Se tiene el valor de los 3 lados.

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--.

~ 1 •••Fn el triánguloABC, a= 15 cm, c = 18 cm, LB= 70". Resuelve el triángulo.

E Solución .~

e

A e= 18 cm

Para calcular el valor del lado b se utiliza la fórmula:

b2 = 01- + c2-2accos B

Donde,

b= j(l5)2 + (18)2 -2(15)(18)cos 70º = .J225 + 324-2(15)(18)(0.34202) = J364.3

b = 19.09 cm

Conocidos los 3 lados del triángulo se calcula el valor de L A:


s A= b2 +c2 -a2 _ (19.09)

2 +(18)

2 -(15)

2 _ '364.43+ 324-225 = 0.

6743 ce 2bc 2(19.09)(18) 687.24

Donde: LA= are CQS 0.6743 = 47° 36' Por último, se determina la medida de L C:

L C = 180"-LA-L B = 180º -47º 36' -70º = 62º 24'

Por tanto, los elementos restantes del triángulo ABC son:

b = l9.09cm, LA= 47° 36' y L C= 62° 24'

239


2 • •· Fn el triángulo ABC, a= 50, b = 45, e= 32. Resuelve el triángulo.

Solución e

Para obtener L A:

e A- b2 +c2 -a2 _(45)2 +(32)2 -(50)2 _2025+1024-2500_01906 os - 2bc - 2(45)(32) 2880 ·

Donde,

LA= are CQS 0.1906 = 79°

Para obtener LB:

CQS B = a2 +c2 -b2 = (50)2

+(32)2

-(45)2

_ 2500+1024-2025 _ 0.4684 2ac 2(50)(32) 3200

Donde,

LB= are cos 0.4684 = 62° 4'

Para calcular L C:

L C= 180° -LA-LB= 180° -79º -62° 4' = 38° 56'

R>r consiguiente, los ángulos del triángulo ABC son:

LA= 79º, LB =62° 4' y L C= 38° 56'

ley de tangentes

En todo triángulo oblicuángulo la razón entre la diferencia de 2 lacios y la suma de los mismos, es igual a la razón entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lacios, y la tangente ele la semisuma ele dichos ángulos.

Fórmulas:

(A-C) (B-C) (A-B) tan -- tan -- tan --a-e_ 2 b-c _ 2 a-b _ 2

a+c -~+C 'b+c -~+C Ya+b -~+B tan -- tan -- tan --2 2 2

240


•••Fn el triánguloABC, c = 10, A= 68º, C = 36º. Resuelve el triángulo.

Solución

e

e= 10

Se determina el L B:

LB= 180° - LA - LC= 180° -68°-36° = 76°

Se aplica la ley ele tangentes para encontrar el valor del lado a:

tan(A-C) a-c 2

a+c =tan( A;C)

Al sustituir los valores de e = 10, LA = 68º y L C = 36°, se obtiene:

68"-36° tan _a-_1_0 = -+---2_,_.. = tan 16° = 0.2867 =0.2240

68"+ 36° tan 52° 1.2799 a+10 tan 2

Entonces, de la expresión resultante:

Se despeja a: a - 10 = 0.2240a + 2.240

a-10 =0.2240 a+10

Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado b:

b-c b+c

tan(T)

tan( B;c)

a - 0.2240a = 2.240 + 10

0.776a = 12.240

12.240 a= --

0.776 a= 15.77 cm

Al sustituir los valores de e = 10, LB = 76° y L C = 36º, se determina que:

De la expresión resultante,

Se despeja b:

(76°-36°

b-10 tan 2

b+10= 76°+36º = tan 200 = 0.3639 = 02454

tan 56° 1.4826 tan 2

b-10 =0.2454 b+10

b - 10 = 0.2454b + 2.454 b -0.2454b = 10 + 2.454

0.7546b = 12.454

b= l6.5cm

Por tanto, los elementos restantes del triángulo son:

L B=16º, a= 15.77 cm y b= 16.5 cm

241


EJERCICIO 53 . Resuelve el siguíente triángulo oblicuángulo de acuerdo con los datos proporcionados.

A

1. LB= 57° 20', L C= 43° 39', b = 18

2. LA= 63° 24', L C= 37° 20', e= 32.4

3. LA=85º45', LB=26º31',c=43.6

4. LC=49°,LA=54º21',a=72

5. LB= 29°, L C = 84", b = 12.3

6. LA= 32°, LB =49", a= 12

7. a=5, LA=32°,b=8

8. c=13,b=10,LC=35º15'

9. LB=56º35', b= 12.7, a=9.8

10. a=9, e= ll.5,LC=67°21'

11. a= 15, b = 16, e= 26

12. a= 32.4, b = 48.9, e = fl:J.1

13. a= 100, b = 88.7, e= 125.5

14. a = 15, b = 12, e= 20

15. a = 12, b = 15, L e= 68"

16. a= 28, c=32, LB =16º

17. b = 45, e= 75, LA =35°

18. a= 12.6, b = 18.7, Le= 56º

Demuestra que para el triángulo se cumple:

a b e e -=--=-senA sen B sen C

e a2 = b2 + c2 - 2Jx cos A

e b2 =a2+c2 -2accosB

e c2 =a'+ b2 -2abcos e

e

e:) ""rifleª hls r.,ultados en la -cl6n do toluclonu con-o_.dlont• • -----------=~

2.42



1 Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un puntoP a lOOmetros del punto M; al medir los ángulos resulta que L M = 110" y L P= 40". ¿Cuáles la distancia entre los puntos M y Q?

Solución

Se realiza una figura que represente el problema:

De acuerdo con los datos se determina el valor de L Q:

L Q = 180º - 110° - 40° = 30°

Sea MQ = d, entonces, al aplicar la ley de senos se obtiene:

d 100

sen 40° sen 30º

De la cual se despejad:

d = (lOO)(sen 40") = (100)(0.6427) = 128

.54 ~n30º 0.5

En consecuencia, la distancia entre los puntos es de 128.54 metros.

2 Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edificios, 250 m y 380 m,respectivamente. Si el ángulo formado por los 2 edificios y el observador es 38" 20', precisa la distancia entre ambos edificios.

Solución

Sea d la distancia entre ambos edificios; entonces, por la ley de cosenos:

d = J(250)2 +(380)2-2(250)(380)cos 38º20' = ..}62500+ 144400-149038.98= 240.55

Finalmente, la distancia entre los edificios es de 240.55 m.

243


3 Se inscribe un octágono regular de lacio 1 cm en una circunferencia; determina el área del círculo.

Solución

Si se in.$cribe un polígono regular en una circunferencia, la distancia del centro al vértice es el radio, si se trazan 2

radios a 2 vértices se forma un triángulo isósceles yla medida del ángulo centrales ~· = 45°, como lo muestra la figura:

Sea x la medida de cada ángulo de la base en un triángulo isósceles, entonces:

2x + 45° = 180° 2x= 135°

Rir la ley de senos se tiene la igualdad:

t r --= sen 45° sen 67.5°

Al despejar r de la expresión anterior:

sen67.5 r= sen 450 =1.3cm

Luego, el área del círculo está dada por la expresión:

A=1tr2

Se sustituye r = 1.3 cm y se obtiene:

A= 1t (1.3 cm)2 = 1.691tcm2

X = l 35º = 67.5° 2


l. Rtra establecer la distancia desde un punto A en la orilla de un río a un punto Bdeéste, un agrimensor selecciona un punto P a 500 metros del punto A, las medidas de L BAP y L BPAsoo 38° y 47º 32'. Obtén la distancia entre Ay B.

244

2. El horario y el minutero de un reloj miden respectivamente 0.7 y 1.2 cm. Determina la distancia entre los extremos de dichas manecilla5 a las 13:30 horas.

3. Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a 10 km/h con dirección sur 30°20'0. Una segunda embarcación sale del mismo puerto a las 11:30 ha 12 km/h con dirección norte 45°0. ¿Qué distancia separa a ambos barcos a las 12:30 horas?

4. La distancia entre 2 puntos A y Bes de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos sonde 58° 20' y 67º 32'. ¿A qué altura del suelo se encuentra?

5. Una persona se encuentra a 3.7 m de un risco, sobre el cual se localiza una antena. La persona observa el pie de la antena con un ángulo de elevación de 30° y la parte superior de ésta con un ángulo de 70º. Determina la altura de la antena.

245



6. ¿Cuál es la longitud de los lados de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 centfme.tros de radio?

7. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ángulo de 74º 23'. Después de una hora, uno de ellos se encuentra a 225 km de la ciudad, mientras que el otro está a 300 km. ¿Cuál es la distancia entre ambos aviones?

8. En un plano inclinado se encuentra un poste vertical de 20 metros d: altura. Si el ángulo del plano con respecto a la horizontal es de 20°, calcula la longitud de un cable que llegaría de un punto a 300 metros cuesta abajo a la parte superior del poste.

9. Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con una velocidad de 70 km por hora. Al mismo tiempo, pero en dirección noreste, otro buque viaja a razón de 80 km por hora. ¿A qué distancia se encontrarán uno del otro después de media hora?

246

'1'2.~"" --- -------~

', , ' ( 300km

m~;;J ' , ,,.,.--., ' ' '

T 20m

/ ~ Jl =--= .:-::-:.ú.!>".. - - - - - - - -

N

+


10. La distancia que hay de un punto hacia los extremos de un lago

son 145 y 215 metros, mientras que el ángulo entre las 2 visuales es de 56° 10'. Calcula la distancia entre los extremos del lago.

11. En un paralelogramo que tiene un lado que mide 20.8 cm, su diagonal mide 46.3 cm. Determina la longitud del otro lado si se sabe que el ángulo entre la diagonal y el primer lado es de 28° 30'.

12. Si t. ABC triángulo cualquiera y DE es el diámetro de la circun

furencia, demuestra que:

- AB DE= -

sen e BC

sen A

13. Observa la siguiente figura:

CA

senB

R

a) Demuestra que dado un lado y 2 ángulos adyaoentes, el área del triángulo será:

A=?_Q_P=i-P-R=l-R-Q 2sen (Q+P) 2sen (P+R) 2sen (R+Q)

b) Demuestra que el área del triángulo está dada por cualquiera de las siguientes fórmulas:

1 e A = 2 r2 sen P sen Q ese R

e V.riflca tus ..... atados en la sección de soludonos con .. ponchnt• . ----------~=~

247

-CAPÍTULO 17

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

HISTÓRICA o IC

5t &

Abraham de Moivre (1667-1754)

Abraham de Moivre es conocido por lo fórmula de /l/tivre y por su trabajo en la distri· b.ición normal y probabilidad. Fue amigo

de Isaac Newton y Edmund Halley. En 1697 fue elegido miembro de Royal Sociely de Londres.

La fórmula de Moivre afirma que:

V'xeRAV'neZ(cos8 + i sen 8)•= (cos n 8+ i sen n 8)

Esta fórmula es importante porque conecta los nú· meros imaginarios con la trigonometría.


Forma trigonométrica o polar

Sea el número complejo z =a+ bi, r = lzl = Ja2 +b2 su valor absoluto y 6 =an: tan (!:)el argumento o módulo de z. entonces su forma trigonométrica o polar se define corno: a

z = r (cos 6 + i sen 6) = r cis 6 = r!fl con cos 6 + i sen 6 = cis 6

Demostración

Fn el triángulo a b

cos6 = - .sen 6= -Imaginario

r r

Al despejar a y b respectivamente

a= r cos 6, b = r sen 6

Si sustituyes en z =a + bi, obtienes:

z = r cos 6 + ir sen 6 = r(cos 6 + i sen 6) = r cis 6 = rl!l

EJEMPLOS--------------ª 1 • • •'Ilansforma el complejo z = 4 + 3í a su forma trigonométrica con 0° S: 6 S: 360°. a. E i!-

Solución Se obtiene6 y r, entonces:

6=an: tan (~)=arctan (¡) =36º 52'

r= J(4)2

+(3)2

=J16+9 =.fi5 =5

R>r tanto, la forma trigonométrica es:

z = 5(cos 36° 52' + i sen 36º 52')

z = 5 cis 36º 52' = 5136°52'

Imaginario

o

2 • •Transforma el complejo z = -1 + i a su forma trigonométrica con Oº S: 6 S:360º.

Solución

4

a

Se obtiene 6 y r, entonces: Imaginario

z= a+ bi P(a, b)

b

Real

z = 4 +3i z = 5 cis36º 52'

Real

6 = an; tan ( ~l) = 135º z = J2 cis 135º

r= J(-1)2

+(1)2

= Jl+l = J2

I\:>r tanto, la forma trigonométrica es:

z = J2 (cos 135º + i sen 135º)

z = J2 cis 135º = J21135°

250

1

Real

CAPÍTULO 17 Formo trigonométrico de los números complejos

Operaciones fundamentales

e M;ltip/icación

Sean los complejos z1 = r1 (cos 61 +isen61) y Zi = r2 (cos 62 + isen 62), entonces:

z1 • Zi = r1 • r2 [cos (61 +IJi) + i sen (61 + 62)) = r1 r2 cis (6 1 + 62)

EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 • • •Si z1= 2(cos 60º + isen 60º) y Zi = ..fi. (cos 45º + isen 45º), determina z1• Zi· Q..

E Solución &!:- Se aplica la definición del producto ele dos números complejos

z1 • Zi= (2)(..fi.) [cos(60°+ 45º) + isen (60º +45º)) = 2..fi. [cos 105º + isen 105º]

2 • • •Determina zt"Zisiz1 =4cis~ YZi=3cis 1~. Solución

Aplicando la definición del producto

z1 ·Zi =r1 r2 cis(61+62)=(4)(3)cis (~+~)=12 cis¡ = 12~

e División

Sean los complejos z1 = r1 (cos 61 + i sen 91) y Zi = r2 (cos 92 + i sen 82), entonces:

z, _ 'i (cos 81 +isen 81) _ 'i [ (" ,, ) . ( " ,, ) ]- r, · ( " ,, ) - 't 19. -R". - - . ) - - cos 0'1 -1t12 +1sen 0'1 -0'2 - - c1s 0'1 -0'2 - -~ z, r,(cos 82+1sen 82 r, '2 r2

EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 • ••Sean z1= S(cos 50° + i sen 50º) y Zi = 4(cos 15º + i sen 15º), determina ~. Q.. z, i_ Solución

¡¡¡ Se aplica la definición del cociente de dos números complejos

~ = ! [cos(50º-15º)+i sen(50º-15°)] Z2 4

~ = 2[cos 35º + i sen 35º) z,

2 • • •Encuentra z,. si z1 = 12(cos!!...+¡ sen!!...) y Zi = 3(cos!:.+; sen!:.) z, 15 15 3 3

Solución

Aplicando la definición del cociente: z, 3

[ (n n } . (n TC] Z = 12 cos 3- 15 1 sen 3-15

Simplificando, se obtiene:

z, = .!. [cos( 4n }¡ sen( 4n] z, 4 15 15

251


3 • S. ¡;;2 . 1! lng . 21! 2 . 1! 1 . 51! de . z. z, • • 1 z = . .¡;. CIS-, Z¡ = "" CIS-, ~ = CIS- y~= - CIS-, termma -- .

4 3 12 2 6 z, . z, Solución Se realizan las operaciones del numerador y del denominador por separado:

z · ~= ( J2cis¡ )( 2cis :i)= 2J2[cos( ¡+ ~ }isen( ¡+ ~]

= 2J2[cos( ~ }i sen(~]

z1 • ~ = ( JScis 2; )Gcis

5:) = ~[ cos(2; +

5: }¡ sen(2; +

5:]

RJr consiguiente la división se define como:

}\! 71! ·gua1 1 ángul . . 51! ro --¡¡ es 1 a o pos11Jvo -¡¡,entonces:

-- = 2 cos - 1sen -Z·Q [ (51!}· (51!] z,·z, 6 6

e Potencia (fórmula de Moivre)

Dado el complejo z = r(cos 8 + isen 8), entonces,

t' = I' (cos n8 + i sen n8)

EJEMPLOS------------_.,. a 1 • • •Sean z = 2(cos 15° + isen 15º), encuentraz2. a. E

L!-Solución Aplicando la definición de la potencia para ballar?:

¿. = 22(cos 2(15º) + i sen 2(15º)) = 4(cos 30" + i sen 30")

Fs importante mencionar que algunos de los resultados están expresados en términos de un ángulo notable y se pueden sustituir por sus valores respectivos.

252


2 • • · Sea z = ~ (cos 36º + i sen 36"), encuentra ~. Solución Se aplica la definición de potencia de un número complejo

~ = G)' (cos 5(36º) + isen 5(36º)) = 3~ (cos 180º+ isen 180") = ;1

(-1 + i(O)) =- 3~ Por tanto ~ = _ _!_

' 32

3 • • •Si z = ~(cos.!:..+; sen!:..) yz1 = fi(cos 3ir +i sen 3ir) determina i. '113 12 12 2 4 4 z,

Solución Se obtiene la potencia de z:

z2=(~(cos 1~ +i sen 1~)J 1( 2it . 2ir) 1( lt . ir) = - cos- +1sen- = - cos - +1sen-3 12 12 3 6 6

Se procede a realizar la división, entonces: , '¡

1 lt . lt'J

z2 = 3 cos6+1 sen6 = J'j(cos(!!.-.!:..}¡ sen(!!._.!!..)~ = J'j(cos.!!..+; sen.!!..)

z, 1 cos.!I.+; sen ir:) 3 6 12 6 12 ~ 3 12 12 73' 12 12

e Raíz Sea el complejo z = r(cos 8+ i sen 8), entonces su raíz enésima se define como:

·r; ··( 8+2irk . 8+2irk) ~z = vr cos---+1sen---n n

Donde k toma los valores O, 1, 2, 3,. . ., n - 1

~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

~ 1 • • •Determina la raíz cúbica ele z= 8 cis240".

E Solución .~

Las raíces se obtienen aplicando la definición y k adopta los valores ele O, 1 y 2, entonces:

Para k=O

( 240º+360º(0) 240º+360º(0)) lo= ?.f8 cos

3 +i sen

3 = 2(cos 80" + i sen 800)

Para k= 1

( 240°+360º(1) 2400+360º(1)) z1 = ?.ís cos

3+isen

3 =2(cos2000+isen2000)

Parak=2

•r.:( 240º+3600(2) 2400+360º(2)) ~ = "8 cos

3 + i sen

3 = 2(cos 3200 + i sen 3200)

253


2 •••Dacio el número z = 1, determina 'Ji. . Solución

El número complejo z = 1 en su forma trigonométrica es z =I (cos O"+ i sen O"), luego k adopta los valores de O, 1, 2 y 3, entonce> las rafees son:

( 0"+360º(0) 0º+360º(0)) Zo = ifi cos

4 +i sen

4 = 1 (coso• + i sen Oº) = 1

( 0º+360º(1) 0º+360°(1)) z1 = ifi cos

4 +i sen

4 = 1(cos90º + isen 90°) = i

( 0"+360º(2) 0º+360º(2)) Zz = lfl cos

4 +i sen

4 = 1 (cos 180º + i sen 180º) = -1

( 0º+360º(3) 0º+360º(3)) Zol = ifi cos

4 +i sen

4 = 1 (cos270º + isen 270º) = -i

Fn consecuencia, los valores de la raíz cuarta de z = 1 son los complejos Zo = 1, z1 = i, Zz = -1 y Zol = -i.

EJERCICIO 55 . Transforma a su forma trigonométrica los síguíentes números compleíOs:

l. z=4-i

2. z= .J3 + i

3. z= -2+2i

4. z=5

5. z= -3i

6 1 2.

. z= -+-1 2 3

8. z=-.fj+.!.; 2 2

Sean los compleíOs z1 = ..fi cis 45", '2 = ./13 cis~, '3 • 2 cls U:/' y z4 = J2 cis 3:, determína:

9. Z¡. Zz 12. Z¡' Zz'Zol 15. ~ z.

10. Zz. z, 13. z1• Zol' Z. 16. ~ z.

11. Z¡ • Zol 14. ~ 17. ~ z. z,

254

18. ~ z, ·z.

19. z,. z, z, ·z,

20. z.. z,. z,

z,


Resuelve lo que se te pide.

21. Si z = 3 cis 120", determina z2 22. Encuentra t' si z = 3(cos 25º + i sen 25º)

23. Determina z3 si z = 5 cis 15º

24. Encuentra .JZ si z = 16(cos; +i sen;)

25. Si z = 64 cis 120", determina Vi. 26. Encuentra Vi_ si z = -1

27 s· 4 . n 3 . 2n re . < )2 • 1 z = c1s9 y z1 = 2c1s9, termma z · z1

28. Si z = 2(cos 30º + i sen 30") y z1= 4(cos 60" + i sen 60"), determina "!Jz·z,

29. Encuentra el resultado de: [2(cos32"+ isen 32")j. 7(cos36º + i sen36º)

30. Determina el resultado de: [s(cos .!!..+¡sen.!:... '\J 12 12 ~

e V.riflca tus ..... atados en la sección de soludonos con .. ponchnt• . -----------~

255

CAPÍTUL0 2

E.uaao 1 l. 40.1708° S. 9.IS2Sº 9. 18º1S'18"

2. 61.70S8º 6. 98.3791º 10. 29°24' 39"

3. 1.03416° 7. 40°19' 12" 11. 19º S9' 24"

4. 73.6777º 8. 61°14' 24" 12. 44° ()()' 36"

E.uaao2

l. 7 Ó ir md = 3 .fi6S mds 8.

11 (;ir md = S .1S9 mds

2. s 3ir rad=S236 mds 9.

2 3 ir md = 2.094 mds

3. s ¡ir md=3.927 mds 10.

3 ¡ir md=2.3S6 mds

s 4.S23 4. 2 ir md = 7 .8S4 mds 11.

18000 ir rad=0.189 md

s. 2 Sir md = 1.2S6 mds 12. 1283 1800 ir md = 2.239 mds

6. s 9 ir rad = l.74S mds 13.

2711

3240 ir rad = 2.628 mds

7. 1

6ir rad=0.S23 md 14. 33601 14400

ir rad= 7.330 mds

E.uaao3 l. 120° s. 12611' 9. 90º 13. 360°

19. a)LCOB=30º,LBOA=60º

b) LAOB=4Sº,LBOC=30º,LCOD= ISº

e) LAOB= SOº, LDOB= 130°

d) LAOB=6Sº,LBOC=4Sº, LCOD =70º

e) LAOB=30º,LBOC=90º,LCOD=60º

f) LAOB = LCOD = 4Sº, LBOC =SSº, LDOE = 3Sº

g) LAOB(convexo)= 134°, LAOB(cóncavo)=226º

h) LAOB(convexo) =SOº, LAOB(cóncavo) = 310°

E.oiERaaO 6 l. l 3S"

2. llS".

s. 22°30'

6. llSº

3. 8=2Sº, <t=311' 7. 292°30'

4. 063º 18'S,S26º42'0 8. 12:30h

CAPÍTULO 3

E.oiERaaO 7 l. x = 60°, La.= 60°, Lb= 120º

9. 48 ir md

10. 3:40h

2. x = 46.Sº, La= Lb = Le= 46.Sº, Le= Ld = Lf= 133.Sº

3. x=40º, La =Lb= Le= 80°, Le=Ld= Lf= 100º

4. La= Le= 137º,Lb=43º

S. La= Le= Ld=Lg=41º, Lb= Le= Lf= 133°

6. x=2Sº

7. x=26º, La= 128°, Lb=S2º

8. LIO = L4= L1=10º,LI = L13=L16=110º

2. 330° 6. 211' 10. 2711' 14. 28°38' S2" 9. x= l ISº,y=6Sº

3. 13Sº 7. 468°

4. 240° 8. IS"

E.uaao4 l. SSº 46' SO" 6.

2. 40° 13' IS" 7.

3. 49°19' 33" 8.

4 . S9º 19' 45" 9.

s. 108°7' 48" 10.

E.uaao 5 l. Suplemeitarios

2. CQmplementarios

3. CQnjugados

4 . CQnjugados

S. CQnjugados

11. 10° 13. 811'

12. S7º 14. 311'

11. 9'38'34"

12. 64°10' 37"

7Sº44'22" 11. 4°33' 11"

246° 34' IS" 12. ISº41' 18"

87Sº 11 '40" 13. 3°21' 41"

383ºS1'21" 14. 13º1S' 18"

227°3' 18"

6. Complemeitarios

7. Suplementarios

8. Complemeitarios

9. Conjugados

10. Suplementarios

IS. 18º 17. 36°

16. 20° 18. 120°

10. x=40º,y= 110°

11. x=80º,y=60º

12. R = 120º

13. La= Le= Le= Lf= 126°, Lb= Ld=S4º

14. Ln= Lz=SOº, Lm =Ls =Ly= Lr= 130°

IS. Lx=Lq= Lp=Lk=3Sº, Ly= Lr= Ls= 14Sº

16. Lq=Lz=Ly=60º,Lr=Lw=Lp=120º

17. a),b),d)y/)

CAPÍTUL0 4

EJEROao a l. IOSº, 110° s. 118°, 38° y 24°; 68°, 711' y 42°

2. 10°, 80° 6. 8= S4º y /J= 72º

3. 80°, 80°, 20° 7. LA =3Sº,LB=9Sº,LC=S0º

4. SSº, 41 º 8. ABC=69º,BCA = 73°, BAC = 38°,

ACD = 107°, CDA = 3Sº, CAD= 38°

258

E.ERaao 9 l. Teoremall (LAL)x= 85ºy= l2

2. Teoremalll (ALA)x= 13y=19.8

3. Teoremal (UL)x= 32ºy=62º

E.ERaao 10

1 a 8. No se incluye la solución por ser demostraciones.

E.ERaao 11 l. a=36º,b = 8" 4, x=25,y= 14

2. x=15,y=45 5. a=l2º,b=25º

3. x= 15º,y= 20º

E.ERaao 12

l. x=3 2. x=12 3. x=:1:9

E.ERaao 13 l. a'=3,c'=S

2. a=30,b'=16

4. x=1,x=O 5. x= :1: 4J2 6. x=2

3. l...adosl2y22;x= ll, y=36

4. l...ados 8 y4;x= 7,y= 5

5. l...ados8 y 6; u=3, t= 10

6. l...ados !Oy9;x=5,y=3

E.ERaao 14

7.x=:1:6y 10.x=3 8. x=:1:5 9.x=:1:4

Soluc i6n o los ejercicios

E.uaao 17

l. 1oom m 6. J9i m

2. 2.fs m 7. 5 cm

3. 40 cm 8. 8.J3 cm

4. 5.{3 cm 9. 9J2 km

5. 4hm 10. 5J2 cm

11. 2J2 m 3m"3

12. 2J4m2

- n2

2J4n2

- m2

15 • 15 w y 2 5

CAPÍTULO 5

E.uaao 18 l. LA= LC= 140°, LB =40º

2. LDCA=40°, LCAD=60",LDW = LDCB= 100", LD= LB= 80° 3. LADC= LB= 110°,LA =LC=70º

4. x=30º,z= 120º, y=60º

5. x= 127º, y= 53º

6. x=l20º,y=SSº,z=12Sº

7. x=60º,y= 120º,z=60º

8. x= lSº,y=70º, z= 110º

E.uaao 19 1 a 6. No se incluye la solución por ser demostraciones.

l. x= 10 12

4. x=-5

7. x=4 10. X= 30 E.olEJlaOO 20

2. 9 x=-2

3. x=6

E.ERaao 15

l. 68m

2. 481.6 m

E.ERaao 16 l. c=25

2. c= J4i 3. c= 4JS 4. e= 1J2

5. b= 16

6. a= 2J7

7. c= 8

25 5. x= 3 6. x= 16

3. 160m

4. 15 m

27 8. x= 22

9. x= 10

5. a)28 m

b) 120m

8. b = 5J2 15. Acutángulo

9. c = 3,[s m 16. Rectángulo

10. b = 5 m 17. Rectángulo

11. c = .J,iij cm 18. Obtusángulo

12. a= 5J7 dm 19. Rectángulo

13. Obtusángulo 20. Acutángulo

14. RecW!gulo 21. Rectángulo

22. a)2.JIS, b)5./13, c)2JIO, d) 6./ii e) ~ ,

j) 91hü ) 169 ~ 218 • g 60

l. x= 4 cm

2. 4 y 8 u

3. 41 u

E.uaao 21

l. d= 8 2. Icoságono 3. d=1 4. Dodecágono 5. Nonágono

4. LNP0=24º

S. x=20º,y=68º

6. AB = 11 cm

CAPÍTUL0 6

7. MN=20u

8. AB =a, IJ = b

9. AE =5

6. a) 170,b)54, c)27, d)9,e)90,j)l4, g) 104,h) 135, 1) 44 7. He¡úgono 8. Hexadecágono 9. He¡:tadecágono

10. Nonadecágono 11. He¡úgono 12. Undecágono 13. Perrigono 14. Tridecágono 15. Dodecágono 16. ~ono 17. Icooágono

259

E.uaao22 1. a) 120°,b) 135°, e) 150°, d) 162º,e) 160°,j) 171°25'42"

2. a)540º,b) 1440°, c)2340°,d) 1 080°, e) l 980º,.f)6 300°

3. Nonágono (nueve lados)

4. Heptágono (siete lados)

5. Hexadeclgono (16 lados)

6. Undecágono (11 lados)

7. Hexágono (seis lados)

8. Hexadeclgono (16 lados)


10. Dodecágono (12 lados)

ll. ~ono (ocho lados)

12. Triángulo

13. Hexágono (seis lados)

14. Pentadecágono (15 lados)


16. Pertágono (cinco lados)

17. 54°, 129.6°, 129.6°, 108° y 118.8°

18. 110°, 100°, ll5º, 135ºy 80°

19. 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 210° y 240°

20. LA =70º, LB=65º, LC= 10º, LD = llOºy LE= 105°

21. LA=54º,LB=64º,LC=116º,LD=64º,

LE= 17ºy LF=45º

E.uaao23

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CAPÍTULO 7

2.

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268

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269

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CAPÍTULO 8

E.uaao28 1. LABC=30º,LAOC=60º, LBOC= 104°,AD = 116º 2. La=1Sº,Lb =SOº, Lc=SSº,L d= SSº, Le =SOº, Lf=1Sº 3. LABC=27.5º =27°30' 4. LABC = 8Sº, LDBA = 9Sº S. LA=JOSº,LB=9Sº,LC=1Sº,LD=8Sº 6. a) LA= 30°, b) LA = 40° 7. La=60º, Lb= ISº, Lc=2Sº,Ld= 30°, Le= SOº 8. a) LA= ISº, b) LA =40º, e) LA =30º,d)li'=3Sº

e)c = 120°,flé' -íl = 140°, g)a = 70°,h)ii'= 40° 9. Lu= 120°, Lx=60º,Ly=30º, Lw =60°, Lz=90º

JO. La= 90º, Lb = 90º, Le= 90º, Ld = 90º, Le= 2Sº, Lf = 2Sº,

Lg=6Sº,Lh =6Sº, Li=40º

E.uaao29

1. a) I0.8,b)7.8,c)9.4

E.uaao30

1. Exteriores

2. Tangentes exteriores

3. Inieriores

4. Secantes

S. Tangentes interiores

6. Tangentes exteriores

7. 3r

2. a) J0.09, b) 16.2,c) 17.29

8. 2u

9. 2./3 u

JO. S cm

- 7 - 1 11. c,c, =ISR, c,c, =(;R

12. r

13 . .JS R 2

CAPÍTUL0 9

E.uaao 31 1. P=8.4m,A=4.2Sm2 IS. A=400cm2

2. P =24.9 m,A =29.4 m2 16. $ 2.6fm2

3. P=38.6m,A=82.Sm' 17. $72S.5

4. P=S2.5m,A=ll8.12m2 18. Altura=36m,base=27m

S. P=40.0m,A=110m' 19. Altura=IOm

6. P=6S.4m,A=3131Sm2 20. SO círculos, 1280ttcm2

7. P=36cm,A=81 cm' 21. a)l2Ji4 u',b)2Jiii u2,

8. P=l0m,A=6m'

9. A= ISO m2

JO. A = {x'- 3x +2)m2

11. A=63dm'

12. A= 11.S mn2

13. A= 900tt cm'

14. A=81ttcm'

e) IS fiSu' 4

22. x=9,A=98 m2

1 23. a)2ttcm',b) 6 ttcm2,

e) 2 ttcm' d) ~ ttcm2

4 ' 3 24. a)(tt-2)cm2

b) ~ (tt- ~ .J3 )cm' 2 2

e) 16(tt-2)cm2

E.uaao32

l. a) TS =24cm,b)BC = 13 cm,c)P=44cm,A= 14ftl cm2

2. A =84cm'

3. A=2r'(4- tt)

4. A =3ttr2

6. A =2S(2J3 - 1r)mn2

7. A,=2S(4 - tt)cm2

8. A,= IOOtt dm'

9. A, =64{4 - tt} mm2

10. A,=4(10+tt)dm'

11. A,= 196(4 - tt}cm'

12. A,= 11S2(tt - 2)mm2

P=96ttmm

13. A,= 32(6- tt}mm2

14. A,= 128(tt - 2}mm2

IS. A,= 2S6(4- tt)cm2

16. a) A = 3./3 dm'

b)A= 2S6f3 dm'

17. A,= 36ttcm2

1 18. A,= B ttcm'

19. A,=2cm',

P = 2(1 + tt)cm

s 20. A,=2ttcm'

P = (6 + 4tt)cm

E.uaao33

CAPÍTULO , o

l. Ar= 4../3 cm'. Vr= ~J2 cm3

.¡¡, 2. Ar= 3J3 cm'. Vr = 4 cm3

3. Ar=12cmZ, Vr=24J3 cm3

4. Ar= ISO cm', Vr= 12S cm3

s. Ar=nf3 cm', Vr=12 Ji. cm'

270

6. A,.=6 J3 cm', V,= .J6 cm'

7. A,.= ( roJ2s + 10JS) cm', v, =(3SO + ISO JS )cm'

8. A,.= ( 12,bs +10Fs) cm', v,=(30 + 14 JS )cm'

9. A,.=1SJ3cm'. V,= ( 1sJ3:sJii)cm'

e ( 187 s.fi + 62s[IO) 10. A,.=2SOv~ dm', V,= 6

dm'

11. A,.=9J3cm2

V,= 27.J6 an' 12. 4

4 J3 13. h= - an

3

14. v,= 2fi. cm'

IS. L= 3fi. m,A,.= 6~ m2

16. h = 6fi. cm,A,.=72 J3 cm2

4 17. v,= - an'

3

18. v,=36cm3

1sfi. + sJiO , 19. v,=

6 an

(3+JS).ef7SR 20• v,= 180

E.naao 34

l. AL =SOcm'.A,.=62 an2, v,=30cm'

2. AL=72cm'. A,=(72+8"3)cm2,VT=24"3cm'

3. AL= 16 cm2, A,= 18 anZ, V,= 4 cm'

19S + 7S"3 2 97S c 4. AL=91.Scm2,A,.= 2 an, V,= -gv3 cm'

s. AL= (16fi. +8} cm2,A,.=(24J2 +8} cm2, v,= 16 an'

6. AL=16cm2.A,.=24anZ,V,=8cm'

7. AL =64 J3 cm2,A,= (64J3 +24)cm2, v,=96 cm'

8. AL =400 cm2,A,.= 400(2+ fi.}an'. v,= 1000( 1 + .J2} cm'

9. AL= 1200 cm2,A,.=300(4+ JS} cm2, V,=3000 J3 cm'

10. AL= 16 J3 cm'

11. v,=27u3

12. AL =48 cm2

21 ' 13. v,= -¡cm

14. A,.= 180 +22sJ3 cm'

81 IS. V,= 2 cm3

16. AL= 16(1+ fi.}cm2

J6A.' 17. V,=~

R 18. V,= -8

-

27fi. 19. V,= --cm'

4

20. AL= 33R

E.oaao35


1. AL:3./iicm2,A¡.= (9+3.fii)cm2, V,:12cm'

3,fj ¡;; ..fi. 2. AL= --¡- cm2,A,.= v3 cm', V,= l2 cm'

3. AL=12"7cm2,A,=(12J1+1J3)an2,

3sJ3 ' v,= -3- cm

4. AL=38.4cm2,A,=64cm2, V,=81.92 cm3

S. AL= 30J< cm2,A,= 48Jr an2, V,= 4SJ< an3

6. AL =32J<cm'.A,. =64J<cm2, v,=64J<cm'

7. AL= 1.JISO l<cm2,A,= (1Fo+49) l<cm2,

V,= 147l<cm'

8. AL=4Ji1,.an2.A,.= (4+4Ji7},.cm2,

32 Vr= - 1Ccm3

3

1s,,5 s ( e) 9. AL= -4-J<cm2,A,.= ¡ S+3v3 J<cm2

2SJ3 v,= -6

- J<cm'

2fi. 10. AL=3J<cm2,A,.=4J<cm2, V,= -

3- J<cm3

11. V,= 12 cm'

12. V,= 8 an3

13. V,= 12 J.i6 cm3

14. V,= S~O an3

IS. A8

=24J3 cm2

16. v,=24J<cm3

271

17. AL =101<cm2

18. VT= 121<cm3

19. ~=481<cm2 ------

20. ~= &' 18(1 +E)' ,,v/

EJERaao 36 2S6

l. A =641<cm2, V= -1<cm'

2. V=1 80 JS 1<an3

3. V=61<an3

4. V=2101<cm'

S. A =601<cm2

6. A=961<cm2

7. V= ~ 1<cm3

S2 8. V= - tccm3

3

9. V= 3391< cm',

A=721<cm2

10. V= ~1<cm' 216

200 11. A= - 1<cm2

3

12. n=120º

3

13. V=72 J3 1<cm'

9 14. r= - cm,A =9Kcm2

2

V= ~1<cm' 2

EJERaao 37

Inciso 1)

a) .-A= 2J\4

9

ctgA= sJ\4 28

s "'nB= -

9

ctgB= 2J\4 s

CAPÍTULO 11

wsA= ~ 9

"'cA= 2 s

2J14 ws B= --

9

9Jl4 "'cB= --

28

2Jl4 tanA= --s

9Jl4 cscA= --

28

sJ\4 tanB= --

28

csc B = 2 s

b) M- 10.Ji49 cos M= 7Jl49 tanM= IO sen - 149 149 7

7 Jl49 Jl49 ctgM= - sec M= -- csc M= --

10 7 10

senN= 7Jl49 149

N- 10.Ji49 cos - 149 tanN= !__

10

10 J149 J149 ctgN= - secN= -- cscN= --

7 10 7

e)

sen A=~ JS 2JS cosA= - tanA= -

3 3 s

JS 3JS 3 ctgA= - secA= - ese A= -

2 s 2

JS cos B= ~ JS

sen B= - tanB= -3 3 2

2JS 3 3JS ctg B= - secB = - csc B= -s 2 s

d) J2 J2

senM= - cos M= - tan M= 1 2 2

ctg M= 1 secM= J2 csc M= J2 J2 J2

tanN= 1 senN= - cosN= -2 2

ctg N= 1 secN= J2 cscN= J2 Inciso 2)

a)

2,J6 1 tan 11= 2.J6 senil= - cos ll= -s s

.J6 sec 6=5

s.J6 ctgll=- cscll= -

12 12

l 2../6 .J6 sen a= S cosa= s tan a= 12

ctg a= 2.J6 s.J6

seca= -12

csca=S

b)

3.fl3 2.J13 3 senA= l3 cosA= -- tanA=-

13 2

2 .Jl3 .Jl3 ctg A= - secA= - cscA= -

3 2 3

2.Jl3 3.Jl3 tanB= ~ senB= -- cos B= --

13 13 3

3 .Jl3 .Jl3 ctg B= - secB= - csc B= -

2 3 2

272


e) E.uaao38

senN= .!. .J3 .J3 l. cosN= - rin N= -2 2 3

2.J3 s 12 s

agN= .J3 sena= -- cosa= - tan a= -

12 secN= - ese N=2 13 13 3

.J3 cosM= .!. rin M= .J3

12 13 13 aga= -s seca= - esca= --senM= - 12 s 2 2

.J3 2.J3 2. agM= - secM=2 esc M= -

3 3 4J(;S 1$5 4 d) sena= -65 cosa= -""'6S' tan a= 7

.m .J3 tan IJ= Jli senlJ= - cos IJ= - J6S J6S 6 6 7

aga= ¡ seca= -- esca= --

Jli 2Jii 7 4

aglJ= - sec IJ= 2.J3 csclJ= --3. 11 11

.J3 .m Jli 3Ji3 ros P =

2Jí3 3 sena= - rosa= - tan a= - sen/3= -- tan/3= -

6 6 11 13 13 2

ag a= Jli 2./33 ese a= 2.J3 Jí3 Ji3 seca= -- 2 11 agf3= - sec/3= - csc/3= -

3 2 3 e)

J6 .JIO Jl5 4.

sen/3= - ros/3= - tan/3= - J1. J1. 4 4 s sen<t>= - - roslll= T tanlll=-1

.JIS 2.JIO 2J6 2

agf3=- sec/3= -- csc/3= -3 s 3

sec lll= J1. csclll= - J1. aglll=- 1 JW J6 Jl5 sena= - cosa=-¡- tana= 3 4 s . .JIS 2J6 2.JIO 2 Js 2./5

aga=s seca= - esca= -5- sena= - - rosa= - - tona= -

3 3 3 s j) Js 3Js 3

sen A= 4 .fi.9 ros A = .fiii rin A= 4

Ji3 aga= T seca= -- ese a= - 2 s

29 29 13 6.

Jl3 .fiii .fi.9 fii 2Jli .J7 agA= 4 secA= -- escA= -13 4 sena= -- cosa= -- tan a= --

11 11 2

sen B= .fiii cos B = 4.fi.9 Jl3

2.J7 Jli fii rinB= -29 29 4 aga= --:¡ seca= - esca= - -:¡

2

agB= 4m .m ese B = .fiii secB= -

13 4 13

273

GroMmíA y lRIGONONmÍA

7. e) cos 80º =sen 10°

2.fi.2 9 2.fi.2 ti) ese 60° = sec 30° senP= -- rosP= -- tanP= ---

13 13 9 e) sec2º =csc88º

9.fi.2 13 ese P = !3./22 f) -sen60º 37' 2S" = -ros29º22' 3S" ag P= - -- secP= - -

44 9 44 g) -ctg 4Sº =-tan 4Sº

8. h) tan14º 46' 24" = ctg ISº 13' 36"

J6S 8J6S 1 í) -ros 84º3S' = ..... enSº2S' sen et>= -- CQS(t)= -- tan(J)= --6S 6S 8

j) sec 39º 11' 48" =ese so• 48' 12"

agro=- 8 J6S

ese ro= -../65 k) cscS3º=sec31º sec(I)= -

8 1) -ctg 48° =-tan 42º

9. m) cos38ºS4' =senSlº6'

s 12 s n) -sen 28º3S' 24" = -CtJs61°24' 36" sen o= - CQS O= - - tan o= - -13 13 12

Inciso 2) 12 13 13

a) -sen 160° j) -csc90º aco= -- seco= - - ese o= -s 12 s

10. b) -ctg 140° g) CtJs22Sº IS' 46"

J6 .J3 e) sec240º h) -ctgl76º4S'23"

senP= -- CtJs P= -- tan P= J2 ti) cos280º 1) secl08º 32' 3 3

J2 J6 e) -tan34Sº ¡) ..... en228º1S' ac P= - secP= - ./3 cscP=- -

2 2 Inciso 3)

11. a) -sen20º g) ..... enss•

.J3 1 tan a= - ./3

b) -ctg20º h) -tan 76° 34' 42" sena= - CtJsa= - 2 2 e) cos 80º 1) CtJs68º 4S' 24"

.J3 seca= -2

2./3 ti) tan4Sº ¡) ag20º aga= - 3 esca= 3 e) -csc81 º27' 48" k) ..... ec40º

12. f) -secSOº l) -csc31º26' 19"

.J3 1 tan a= - ./3 Inciso 4) sena= - - CtJsa= -

2 2

.J3 2./3 a) 03090 j) 1.0187

aga= - 3 sec a=2 esca= - 3 b) 0.96S1 g) 0.9261

e) 1.1034 h) 3.8208

E.oaao39 ti) 0.1219 1) 1.0170

Inciso 1) e) 0.7S36 ¡) 0.491S a) - .ll!n 30° = -CQS 60°

b) -tan ISº= -ctg1Sº

274


CAPÍTULO 12

E.naao40

o• o o o No existe No existe

30" 1< 1 .J3 J3 2 2J3 J3

6 2 2 3 3

45° 1< .Ji .Ji .Ji ../2 4 2 2

60º 1< .J3 1

J3 2J3 2 .J3

3 2 2 3 3

90º 1<

2 o No existe No existe o

120' 21< .J3 1 _ .J3 2./3 -2 .J3 3 2 2 3 3

135° 31< .Ji .Ji -1 ../2 -../2 -1 4 2 2

ISO' 51< 1 J3 J3 2 2J3 _J3 6 2 2 3 3

180' " o -1 o No existe - l No existe

210' 11< 1 .J3 .J3 -2 2./3

J3 6 2 2 3 3

225° 51< ../2 ../2 - .Ji _.Ji 4 2 2

240' 41< J3 1 .J3 2./3 -2 J3 3 2 2 3 3

270' 31<

-l o No existe -l Noexisie o 2

300' 51< .J3 t

_J3 2./3 2 .J3 3 2 2 3 3

315° 11< ../2 J2 -l -Ji. Ji. -1 4 2 2

330' 111< 1 .J3 .J3 -2 2./3 _ .J3 6 2 2 3 3

360' 2tt o o No existe No existe

275

1. J3 s.~ 9. 1 13. -1 2 16

2. J3 6 ~ 10.

J3 14. o

2 . 8 4

3 7. 9 11. 2 IS. 2 3.

2

4. o 8. J2 12. 1


CAPÍTULO 13

EJEROClO 41

l. Amplitud: 2, Periodo: ~"' 3

Desplazamiento de fase: ~, ~"'

2. Amplitud: 2, Periodo: ~"'

1 Desplazamiento de fase: O, 2 n:

3. Amplitud: ~ , Periodo: 3n: 3

3 9 Desplazamiento de fase: - ¡-=, ¡"'

4. Amplitud: S, Periodo: 8n:

Desplazamiento de fase: - 2n:, 6n:

S. Amplitud: 4

Periodo: 2n:

. 3n: 11 Desplazamiento de fase: 4 , 4 n:

6. Amplitud: 3

Periodo: n:

Desplazamiento de fase: O, n:

7. Amplitud: %

Periodo: ~ n: 3"' "'

Desplazamiento de fase: - - -1 10' 10

8. Amplitud: 3 Periodo: 8n:

. 4n: 20n: Desplazamiento de fase: -3, 3

9. Amplitud: 1

Periodo: 6n:

Desplazamiento de fase: O, 6n:

10. Pe~odo: ~ . "' "'

Asíntotas verticales: ... , - ¡, ¡ , ... Desplazamiento de fase: no existe

11. Periodo: n:

• 'cal 3 "' Asutotas vem es: ... , -¡1C, ¡ , ...

~plazan;:'nto de fase: - ¡ a la izq.

12. Penodo: 3' • . cal "' Sn: As1motasvem es: ... , - 18 '!8 , ...

Desplazamiento de fase: ~ a la der.

13. Periodo: 2n:

Así motas venicales: .. ., n:, 3n:, .. .

Desplazamiento de fase: 2n: a la der.

14. Periodo: 4n:

Asíttotas verticales: . .. ,O, 4n:, ...

Desplazamiento de fase: 2n: a la der.

IS. Periodo: n: l 3

Asíntotas verticales: ... , 21C , 21C , ... Desplazamiento de fase: n:a la der.

16. y

_,

17. y

276

X

18. 22. y

X

19. y

X

23.

20.

21.

y

24.

277


2" · -- ----- -- ---- -- --- - ---- ---------- ------

·----- -- -- ------- -- - -- ---- ------- ---- --... y

"' ~--

~- - - -

--- -------- ---- ----- -2

. 2

X . --- ---------------- ------------------- -, -·

-2"

--------------------- --------------------

y

2S. y

. -¡

26. . - "'!

Tl.

y

28.

E.uaao42

y

. 6

. ?

. l"

s. 6

CAPÍTULO 14

,. 6


E.uaao43

l. J3 6. J2

2 2

2. J6- J2

7. - J3 4

3. J6 + ,fi

8. - J2 4

4. - 1 9. 1

s. - J2 10. 1

X

X

11. ~(Jiren8+ccs 8) 16. 1-tan fJ 1 +tan fJ

12. ~(sen x- ccsx) 17. i(Jirenx -cosx)

13. sen fJ 18. -sec2a>

14. l

19. -tan a -=cotx tan x

IS. 2 J2

F'3oos a - sen a 20. 2 (sen8 +ccs 8)

E.uaao44

l. - (2 + J3) 6. J6 - J2

4

2. 2 - J3 7. J3 - 2

3. J2(1+ J3) 8. - (16 - J2)

4. - J2(1+ J3) 9. J2 - J6

s. 2 + J3 10. h -J3

2

Ji3 18& 11. sen(a+/J)=6S,ccs(a+/J)= -65 ,

1 tan(a+ /J!= - -18

12. sen (a -/J)= - J2 + J6, ccs(a -/J)= J6 - J2, 4 4

ton (a- fJ¡ = - (2 + J3) 13. Funciones del ángulo (a + /J)

sen(a+fJ)=- :(2+Jfii),cos(a+fJ)= :(JS-2.J2)

tan ( a+ /J) = 3./2 +2JS,ctg( a+ /J) = 2JS- 3.J2 2

J1ec(a +{J) = -( M +2J6),csc(a+ /J) = J3-!..f30 2

Funciones del ángulo (a- fJ¡

sen(a - /J)= ~(2- Jiii),ccs(a- /J)= - ~( JS+2fi)

tan(a -fJ)=2.fs - 3J2 ,ctg(a-fJ)= 2JS + 3fi 2

sec(a - /J) = ./15- 216 ,ese( a - /J)= - J3 - !.Jij 2


278

E.ERaao45 l.

2.

Funciones trigonométricas del ángulo ! 8

" h - J2 etg ! = J3 + 2J2 sen - = ---

8 2 8

" J2 + J2 see ! = J4 - 2fi. eos 8 = --2 -

8

tan ! = JJ - 2fi. 8

ese ! = J4 +2fi. 8

Funciones trigonométricas del ángulo ~ tr 8

3 h +fi. sen -1C = ---

8 2 etg ~" = JJ - 2J2

8

3 J2 - J2 CQS - 'IC = ---

8 2 see ~" = J4 +2fi.

8

tan itr = h +2fi. ese~" = J4-2fi. 8

Funciones trigonométricas del ángulo~ tr 8

s h + fi. sen - 1C = ---

8 2 etg ~" =-h - 2fi.

8

s h - fi. see ~" = -J4+2J2 CQS -'IC =----

8 2 8

tan~" =-b+2J2 8

ese ~" = J4-2J2 8

Funciones trigonométricas del ángulo ?.." 8

7 h - J2 etg ?.." =-J3+ 2fi. sen -1C = ---

8 2 8

7 h + J2 CQS -'IC =----

8 2 see ?.." = - J4-2fi.

8

tan ?..tr= -h- 2fi. 8

ese?.." = J4+2fi. 8

Funciones trigonométricas del ángulo ~ 2

sen ~ = .¡¡::;:¡ts etg ~ = JJ1 -8 JiS 2 4 2

a~ eos 2 = 4 see ~ = 2J8 +2.Jii

ese ~ = 2../8 - 2.Jii 2

3.

4.

279


Funciones trigonométricas del ángulo 2a

JIS 1.Jii sen2a= - - ctg2a= - --

8 IS

eos2a= 2 8

Jii tan2a= --

7

see2a= ~ 7

sJii ese2a= --

IS

Funciones trigonométricas del ángulo f!. 2

{J 3../13 sen - = --2 13

{J 2../13 CQS - :;::; ---

2 13

{J 3 tan-= - -

2 2

{J 2 ctg 2 = -3

{J ../13 sec - = --

2 2

{J J13 csc-= -

2 3

Funciones trigonométricas del ángulo 2/J

120 sen2{J= -

169

eos2{J= _.!.!2. 169

120 1an2{J= --

119

ctg 2/J= _ 119 120

see 2{J = - 169

119

169 ese2{J= -

120

Funciones trigonométricas del ángulo ~ 2

<l) .J3 <l) .J39 sen - = - ctg 2 = --2 4 3

<l) J13 <l) ift3 eos 2 = - - sec - = - --

4 2 13

<l) ../39 <l) 4.J3 tan - = - - ese - = -

2 13 2 3

Funciones trigonométricas del ángulo 2a>

s../39 sen2a>= - --

32

cos2a>= _]_ 32

s../39 tan2a>= --

7

1../39 ag2a>= --

19S

sec2a>= -32 7

32../39 ese2a>= ---

19S

5.

6.

7.

Funciones trigonométricas del ángulo !:. 2

a J98 +28../7 a J'J3 -12J7 sen - ag 2 = = 2 14 3

a J98-28J7 a J~+12J7 cos 2 = sec - =

14 2 3

a J33 +12J7 tan - =

a J~-12fi ese - =

2 3 2 3

Funciones trigonométricas del ángulo 2a

4J3 J3 sen2a= - - ag2a= - -

7 12

cos2a= .!. 7

tan2a= -4J3

see2a= 7

1J3 ese2a= - -

12

Funciones trigonométricas del ángulo a

2 sena= -3

2.fs tan a= - -

5

Funciones trigonométricas del ángulo !!. 2

p J.578 +t36.Jl7 sen-= 2 34

ctg !!. = - J'J3 -8 .[t7 2

JS78-136.Jl7 p ~-= -'------'--- sec - = -J34 + 8 .Jl7

34 2

tan!!. = - J33 +8.fl7 2

ese /!. = J~ -8M 2

Funciones trigonométricas del ángulo p

.Jl7 senP= -- ag P=4

17

4.fl7 cos P= - --

11

1 tan P= -

4

.Jl7 secP= - -

4

cse P= - Jl7

8.

9.

Funciones trigonomaricas del ángulo a

2.fs sen a= - tan a= 2

5

.[s cosa= -

5

1 erg a= 2

funciones trigonométricas del ángulo /!. 2

p J3 sen - = -2 3

p J6 cos-=-2 3

p Ji tan - = -

2 2

ctg /!_ = ..fí. 2

funciones trigonométricas del ángulo p

2J2 senP= -

3

1 CtJS P= -

3

10.

tan P= 2J2

..fí. ctg/J= -

4

Funciones trigonomaricas del ángulo cu

3 sen (I)= - -5

4 cos cu= S

3 tan et>= --4

5 sec lt>= -4

5 ese cu= --

3

Funciones trigonomaricas del ángulo 2cu

sen 2cu= -24

25

7 eos2cu= -

2S

tan2cu= -24

7

ctg 2CU= _]_ 24

25 sec2cu= -

7

2S cse2cu= --

24

Funciones trigonomaricas del ángulo 4cu

336 sen4cu= --

625

527 cos 4cu= - -

625

tan4cu= 336

527

Sl.1 ag4cu= -

336

625 sec 4cu= - -

527

ese 4cu = - 625 336

seca= .Js

.[s esca= -

2

p J6 sec - = -2 2

ese /!_ = J3 2

sec P= 3

3..fí. csc P= -

4

11a25. No se incluye la solución por ser demostraciones.

280

E.ERaao46

J. Msen(2a)+sen(2P)]

2. 4[sen(10s•)+sen(1s•)]

3. -4[ cos(2y) - cos(2P)]

4. H cosGn )+cos( ~n )] s. Hsen(120°)+sen(4Sº)]

6. -4( cos(4Sº)- cos(30º)]

7. &[-(2x) -sen(2a)]

8. &[ cos(n)+cos( ~n )]

9. &[ sen(4Sº) - sen(30º)]

10. 4[ cos( ~1n J+cos(~n )] 11. -2[ cos(4a) -cos(2a)]

12. ~[ sen(8a) +sen( 4a)]

13. &[sen(900)- sen(4º)]

14. 4[ cos~(2a+SP)+cos~(2a-SP)]

16. 2

17. sen3a+ sena sen3a- sena

18. 2 n

senn - sen2

19. ms2a- cos2x ms2a+cos2x

20. Hsen(4a)+sen(2P)]


E.uaao47 1a14. No se incluye la solución por ser demostraciones.

E.uaao48

l. 2[J1tn(120º)·cos(4Sº)]

3. 2[ Jl'n(t80º)cos(60º)]

4. -2[ Jm(411)sen(11)]

s. 2[ cos(4Sº)cos(7"31 ')]

6. 2[ cos( ~ n }en( ¡n )]

7. 2[ cos( ¡ n }vs( ~ n )]

8. 2[ cos(300)sen(s•)]

9. -2[ -L~ ")=( ~ "J] 10. 2[ cos(P)cos( ~n )]

11. 2[ sen(~ n }vs(d4 n )]

12. 2[-(¡(a+P)}vs(¡(a- P))]

13. -2[ sen( a) sen(¡)]

14. 2[sen(P)cos( ¡ )]

IS. 2[J1tn(¡n }vs( a - ¡)]

16. -2[ sen(~ }•n( ~ )]

281

E.uaao49 la 12. No se incluye la solución por ser demostraciones.

E.uaao 50

" 5 !. ¡·¡"

2 ! 36° 52' 11" . 2.

7 23 3· 12"' 12"

l 5 4. ¡" ' ¡"

1 5 5. -1< -1<

6 ' 6

1 5 6. _,, -1< 3 '3

7. o, 1f, 21<

9. o, 21<, 152° 44', 207° 15'

1 7 3 5 10.-1< -1< -1< -1<

4 ' 4 ' 4 ' 4

11. .!.,, .!.,, ~" 2 '4 '4

7 11 12. 6". 6"

1 5 13. ¡"' ¡"

l 7 15. 6"' 6"

1 5 17. ¡" ' ¡"

2 4 18. o, 1f, 21<, 3"' 3"

1 5 19. 3"' 3"

2 5 21. º· 3"· 3"·"'2"

22. l 3 5 21C' ¡1C ' ¡1C

23. 3 1 2 21C ' 3"' 3x

24. l 5 3"' 3"

25. 7 11 1 5 61r' 6x' 31f' 3n

26. 7 1 6"' 6"

27. 7 11

- 1C - 1C 12 ' 12

28. 7 11 l 5 61C, 6"'' 61C, 61C

29. l 4 31r' 31C

30. 1 5 3"·"' 3"

CAPÍTULO 15

E.uaao 51

l. c=Ji45,A =44º54',LC=45°6'

2. a=2.ll,c=339,L C=58º

3. c=5.23,b =7.24,LA =43º 40'

4. b = 52.55, LA= 38° 11' 40", L C = 51° 48'20"

5. c= l3, b=l3.fi., LC=45º

6. a= 13.28, e= 18.28, LA = 36°

7. a= 12.51, LA=33º46'46.,L C=56º 13' 14"

8. a=25.71,c=22.9,LC=41º48'

9. a =82.68, b = 10036, LA =55°28'

10. e =7.87, LA =66°39' 17", L C=23º20' 43•

11. b=2236,c=l8.86,L C=57º33'

12. e = Ji3 ,LA =29º I' 1•, L C=60º 58' 59•

13. a= 15.27, c=l7.l9,LA=41º37'

14. b =1.9, LA =71°33' 54•, LC= 18°26'5•

15. a =6.28,b = 14.44, L C=64º 1 I'

16. LA=26º33'54., LC=63º26'6•

282

17. a= S,b = 13,c= 12, LA =22°37' l t•, L C=67º22' 4g•

18. a =4,b = S,c =3, LA =S3º 7' 49", L C=36º S2' 11•

19. LA=LC=4Sº

20. LA =19°28' 16",L C=70º31'44"

E.EROao 52 l. 288.4 m

2. 4.2 m

3. 38° 44' 4•, l.6Sm

4. (10J2+1)m

s. S4º g•

6. S2.07 m

7. l l.2S m

8. a)S3.6m,b)S9.lm,c)22.6m

9. S3º7',3m

10. 21°47', l4dm

11. L= : [1so-oos-1( R~')]+ ;;;oos-1( R~')+2Jr -(R- r}'

12. sí

CAPÍTULO 16

E.EROao 53

l. a=20.9,c=l4.7,LA=79ºl'

2. b=S2.4, a=47.7, LB=79º 16'

3. b=21.03,a=46.9,L C=67º44'

4. b=86.21,c=66.87,LB=76º39'

S. a=23.3S,c=2S.23,LA=67º

6. b= l7.09,c=223, LC=99º

7. c=9.43,L B=S7ºS8'Sl",LC=90º1' 8"

8. a= 19.8, LA= 118°23' 3S", LB =26º21' 24"

9. c=IS.11, LA=40ºS'SO", LC=83º19'9"

10. b= 11.4, LA =46º 14' 2S", L 8=66°24' 34"

11. LA =31°48' 52", L 8:34° 12' SS",L C= 113° SS' 10"

12. LA =27º2S' 16", LB =44º 1' S4", L C= 108°32' SO"

13. LA =S2º 17' 24", L 8:44°33' SS", L C= 83° 8' 41"

14. LA =48°20' SS", LB =36°42' 37",L C=94º S6' 23"

15. e= IS3,LA =46º39' 8", LB =6Sº20' S2"

16. b=37.07,L A =47°7' 45", L C=S6º S2' IS"


17. a=46.0S, LB= 34° s· 24", L C= 110° S4' 36"

18. e= IS.6S, LA =41° S2' 18", LB= 82°7' 42"

E.uaao 54

l. AB = 369.9S m

2. l.76 cm

3. 3034km

4. 19.4km

S. 8.03m

6. 4.7 cm

7. 322.92km

8. 307.4 m

9. 29.07 km

10. 18037 m

11. 29.7 cm


CAPÍTULO , 7

E.uaao 55

l. z= Jüas34Sº37'49"

2. z= 2cis30º

3. z = 2J2 cis 13Sº

4. t= Seis Oº

s. z= 3cis270º

6. z= ~cisS3º7' 48" 6

7. z= cis31Sº

8. z= cislSOº

9. z1 • z, = .fij, cis7Sº

IO. z, · z4 = .fii, cis 16Sº

11. z1 • z, = 2J2 cis !OSº

12. z1 • z, · z, = 2.fi.6 cisl3Sº

13. z , · z, · z. = 4cis 240º

14. !!.. = cis270º z.

IS. :i_ = J'jj, cis 2SSº z. 2

16. z, .fi. . 34Sº - = -Cl$ z, 2

17. z, . z, .fi6 . lSº --=- a• z, 2

18. _:i__ = Jii cis210º z,. z. 2

283

19. lo ·z, = Jii cis270º z, ·z.

20. Z1 · Z, · Z3 =2.Ji3 cisO' z,

21. i'- = 9cis 240º

22. z'= 81cis100º

23. ~= 12Scis4Sº

24. z1 = 4cis30º, z, = 4cis2 I Oº

2S. z 1 = 2cis20º,z, = 2cis 80º, z, = 2cis 140º,z, = 2cis200º

z5 = 2cis260º, z,¡ =2cis320º

26. z1 = cis60º, Zz =cis 180º,Z] = cis300º

27. (z·z,>2=36cis120º

28. z 1 =2cis30º,z, = 2cis ISOº,z3 = 2cis270º

29. 28cis100º

30. z 1 = 4cisl0º,z, = 4cis 130º,z3 = 4cis2SOº

284

Anexo: Ejercicios preliminares

Operaciones con números enteros:

l. 6 - 4 17. - 12

3

2. - 8 +6 18. 15 - 5

3. 3+7 19. - 28 - 14

4. - 5 - 7 20. - ( - 3)+(5) - 2( - 1)+( -4) +7

5. - 2 - 5+6+4 21. ( - 2)+( +5)

6. - 3 - 6 - 8+5+4+7 22. -4-( 6 +8-2)

7. 8+6+3 - 5- 9 - 2 23. 7 - ( 5+3 )- ( -1-9+4 )+( -8)

8. 4+5 - 1 +2 - 7 - 3 24. 5- ( -4-3 ) - (1+2- 1)

9. - 2+6 - 8 - 12+10 - 3 - 7 25. 6 - 2(1 - 3 - 4) + (5 - 2 + 7)

10. 1- 5+9 - 3+16 - 8+13 26. 13+ 15

7

11. 3(- 2) 27. - 3 - 12- 5

10

12. (- 5X-4) 28. 30 +6 9 +3

13. - 6(5) 29. 14-2 2+4

14. (4X3X5) 30. 8+5+7 6 - 3 - 7

15. 2HX- 3l 31. 2(5 - 7) +20

5+ 3

16. 3- ( -4) 32. (4-3) +3(2+4-J)

5(4) - 6(3)

Descompón en factores primos los siguientes números'

33. 6 40. 460

34. 8 41. 325

35. 2Xl 42. 576

36. so 43. 980

37. 72 44. 1000

38. 120 45. 1120

39. 225 46. 1800

O.termina el MCO de los siguiente• números:

47. 24,36y42 50. 18,24, 72 y 144

48. 20, 35 y 70 51. 12, 28,44 y 120

49. 32,28y72

O.termina el mcrn de los siguientes números'

52. 3, 10, 12 55. 8, 12, 16 y 24

53. 8,9, 12 y 18 56. 4,6, 15 y 18

54. 2,3,6 y 12

286

Efectúa las siguientes operaciones con fracciones: 3 7

57. - +-2 2

4 8 SS. - + -

5 5

59. ~+~+ .!. 7 7 7

OO. 2. +~+ l 4 4 4

61. 1-+~+15+.! 11 11 11 11

62 22.+5~+~ . 3 3 3

17 9 63

' 5 5

13 7 64' 6 6

65 2.!. _ l . 4 4

()6, 1~-3!+22 8 8 8

@. !+~ 6 2

7 1 70. -+-

4 8

7 5 71. - +-

12 3

2 72. l+ -

3

73 2+ ~+ .!. . 3 6

74 . .!. + .!. + .!. 2 6 3

75. !+_!_+_!_ 6 15 30

76. ~+±+_!_ 2 3 24

8 4 2 77. -+---

5 15 9

287

1 3 1 78. 1- + - - -

2 4 8

79 1~ +2~ +32. . 4 6 2

82. 2 -1!-~ 3 12

83 42._~ . 4 6

1 9 85. -x-

4 7

7 5 86. - x -

6 8

in. ix~ 3 8

88. !x~ 6 3

89 2~x2. . 5 8

90 ~x3! . 5 4

91 1.!.x2~ . 3 8

1 13 JO 92. -x-x-

3 6 78

4 1 2 93. - x- x-

3 6 8

94 ix_!_x1-x15 . 3 20 16

95. !+2 5 15

96. ~+2. 4 2

97. ~+± 6 3

4 1 98. -+-15 6

Arrexo: Ejercicios preliminores

1 9 99. 2- + -

4 8

100 ! +2! . 6 4

Efectúa las siguientes o¡M1racionu:

103.&

104.43

IOS. (-2)'

106. (-3)3

101. - s2

108. (-~r

109. -(~)'

110. J4

111. .fii

112 . .J8i

113. J64

114. ~8

Racionaliza las siguientes expresiones: l

126. ..fj

1 127. fi

2 128. T2

4 129. 76

6 130. Ts

3 131. -;::

2v3

1 132. ---¡;:

3v2

288

102 4+.!.! . s

11S. 'ef-i7

116. efü,

117. fu

118. ~

119 fl8 · v2 120 fiS . ~3

121 180 . ~s [91 122. v9

~ 123. fiS

/36496 124. v'49

12S. ~

6 133. ---¡;:

4 v3

2 134. ---,:

SvS

13S . ....!..±._ 2fi

136. s-j-': 1

137. ~ \13 - 1

2 138. ---¡;:

1+ v3

6 139. 3- J'i

140.

141.

1- J3

J;"J3 3 - ./2

~

142.

143.

Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enundados:

144. Un n6mero aumentado en 6.

145. El triple de un número

146. El doble de un número disminuido en S.

147. El producto de dos números.

148. Un número excedido en 8.

149. Lastrescuartaspartesdeun número.

ISO. La diferencia de dos caliidades.

ISI. El cocieme de dos n6meros.

1S2. Dosnúmeroscuyasumaes4S.

ts3. Elcuadradodeunacaltidad.

1S4. La diferencia de los cuadrados de dos números.

!SS. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

1S6. La mitad de la suma de dos números.

157. Las dos terceras partes de la diferencia de dos números.

1S8. La raíz cuadrada de la suma de dos caltidades.

IS9. Dos números emeros consecutivos.

160. Dos números emeros pares consecutivos.

161. El quíntuple de un número aumemado en 3 unidades equivale a 18.

J3 - ./2

13+J2 2.fs + 3./2

2Ts- Ji

162. Las dos terceras panes de un número disminuidas en 4 equivalen a 6 .

Arrexo: Ejercicios preliminares

Encuentra el valor num6rico de las siguientes elCpl'8siones, si x • 3, y• - 2, :r • 1, w • - 4

163. 4x-2

164. 6y + 8

16S. 4z-3w

166. 3x-2y

167. y+3z

168. 2x+3y-z

169. 4x+ y +2w

170. Sx-3y+ 2w

171. 2(x-y)

172. Sx- 3(2z- w)

173. 4(x-y)-3(z-w)

289

174. l-3(x-y)+2(3w-z)

17S. x2 + 3xz-w2

176. x.2 + z y - w

177. =-.!..+.!. y "' 6

178. (x + y)' - (3z + w)'

3 3 3

179 =-.+l...+ •3 -~ . 3 4 - 4

180. \IX2 + w2

181. y' - w'

2'yz 182.

"' 3x - y +2z

183. w -1

Reduce las siguientes expnsionu:

184. 4x-7x+2x

185. 9y + 3y- y

186. Sab2 + 1a1J•-16a1J2

188. Sx-3y+2t-1x+ 8y-St

189. 14a- 8b + 9a + 2b-6a + b

190. 7m2 - IOni' + 8m2 - m2

Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

Wl. (sx - 7y - 2t)+ (x - y +7t)

W2. (3x2 +2.l)l- sy2)+(-2i + 3.l)l- l)

W3. (x2

+2x -1}+(3x.2

- 2x +3)

W4. (x' - 3x -4) +(x2

+ 2x+ 3)

WS. (3x3+2x

2- Sx +6}+(- 2x

3- x

2+ 7x+ l}

206. (x2

+6xy+4/)+ (sx2

- 3.l)l -4/)

W1. (x.3 +x2 y +Sx/ - 2l)+ (- 3x2y - 6xy2 +8/)

193. dJ2 + 2bc2 +3ab2 - 2bc2 - 4ab2

194. Sx2/ + 2xy2 - 3y' + 4xy2 - 2x2

/ - 2x/

195. -m2 + 7n3-9ni'- 13n3 + Sni'- n'

196. 8a2 - ISab + 12b2 + 2a2 + 6ab - 14b2 +So'+ 8ab + 17b2

197 . .¡ab'c' - ¡ab3c' - ab'c'

2 s 1 1 s 198. 3x - 6y- t - 2x+ 3Y+ 9t

x2 4.l)I y2 i 2.l)I 6/ ::DO. -+-------+-8 9 s 4 3 s

216. (3xy)(- 5.l)I)

218. (a'c2)(4a'bc

6)

219. (3xV)(- 2x'l)

220. -{i.l)l3(4x

2y}

221. (2a3b 'e )(-Sa2bc')

222. ( 2 2 )( 15 ') 5x Yt -4Yt

224.

210. - x - - r + l + - x +- x - - + - x +3x - 2x - - x - S ( 1 ' s 3 ) ( 1 2 3 3) (2 ' 3 2 1 ) 42 7243 s 225.

( ~a3b2c )( ~a'bc2 )(&oc)( ~a4b2 )

(¡a2b'c )(-~a'c2 )

211. (2x -8y - St) - (x - 6y-4t) 226. (3m3nXSni'-9mn)

212. (6x2 +x - s) - (3x2 - x - s) 227. (4a2b')(-3ab2 + 2a.3b")

213. (4x3 - Sx2 +6x+7} - (2x' - 6x2 +4x+4}

229. (-aX7a' - a3 +1a- S)

230. - 3a'b'(a' +4a2b - ab2 - Sb'}

290

Arrexo: Ejercicios preliminares

231. (4xyX5x'-6x2-7x)

232. (- 5a2bXa2 - 3ab + 91>2)

240. (7x3 - 4x2y+ xy2)(2x2y - 4xy1 +4y3)

6a•b1 241. --

2a2b5

233. (4r'y'X6'3f - 7.t2y3 + 4xyl)

234. (3x- 5~+7)

235. (a +6Xa- 9)

236. (-2x + 7X4 - 3x)

237. Gm-4)(11n+~)

238. (y-4x)Gx2 -4l+~xy)

239. (x'-6x- 8X3x2 - 8x+I )

D•.......ila los aiguillntH binomioa al cuadra do:

249. (x + 3f

250. (a- 4)2

251. (2m - 5)2

252. (3x +4)2

253. (3 - 2xf

242 !8x6y3 . s 3

- 3x y

18 3 2 • 243 ~

· 121Jb2c3

2 3 3 2 244. - - x y + - - x y

5 5

2

245.~ 2x

9a2b - 6a3

246. 2 2a

x3 - 2x2 + 5x 247. ---

X

254. (5x + 4y3)2

255. (9x'-x2y)2

257. (~-3y2J

Obt*I •I NIUltado del producto de binomioa conjugacloa:

259. (x + 5Xx- 5) 264. (3xy- 2zX3xy + 2z)

260. (m - 3Xm + 3) 265. (m - SnXm+ 5n)

261. (7 -xX7 +x) 266. (3p + 5q)(3p - 5q)

262. (3x + 5y)(3x- 5y) 267. (~x-~y )(~x+~y)

263. (a- 4b)(a +4b)

Factoriza laa aiguillntH expreaionea empleando e l factor común:

269. 3r-6x 274. 6á'b - 3ab

270. y3 + Y' 275. 12x2y-1&.ty2

271. m'+m•- m2 276. 4.t2y3-Sx'y'+Sx'Y

272. !U3 - 24x2+16x 277. 1 Ba'b - 9a'b2 - 6a2b' + 121Jb'

273. !Sa2 + 2Sa3- 35a' 278. 33x2y'z' +66x2y3 z'-22x2y'z2

291

Factoriza las siguientes d'rferencias de cuadrados:

279. x2-16

280. 4x2 - 2S

281. 16x2 - 9

282. 81 - 4/

283. IOO - x2

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados ~mctos:

289. á'-lfu+2S

290. á'-2ab + ¡;>

291. y'+ 12y+36

292. ~ + 'lmn2 + n'

293. t6x2+8x+l

Factoriza los trinomios de la forma x2 + bx + e

299. x2+9x+20

300. x2- t4x+24

301. ~ + 7m + 12

302.x2- 9x+18

303. if+ 4a- 12

304.y'+y- 20

Factoriza los trinomios ax2 + bx + e

311. 3x2-14x+8

312. 6'>2+1a +2

313. 4x2 - 13x+3

314. s.2-1x+ 2

315. 2x2-Sx-12

316. 6m2 + llm+3

R111Uelw las siguientes ecuacionH de primer grado:

323. x+6 =4

324. y-2=0

325. 3x= IS

326. 4x. - S =3

327. 2x +S =6x

328. 6x - 2=2x- 12

329. 4 +9x- l lx= 6x+ 8

292

284. 2Sm' - 81n2

285. 9x'- t 286 . .!.z• - .1.,.•

4 25

287 2 36 6 . Y -25z

x2 16 288

' 9 -25/

294. 9y2-24y+ 16

x2 295. -+4x+l6

4

m2 2m 9 296. ---+-

9 n n2

2 1 297. X - x+ ¡

298. 144x2 +120xy+2S/

305. n2-1n-63

306. ?-18- 1z

307. x2-8x-48

308. x2 + x- 132

309. á'-'Zab-35/Í'

310. y+ 2y- 168

317. 6b2 +Sb- 2S

318. 2x2-3x-2

319. Sy'- 12y+ 4

320. 4x2- llx+ 6

321. 7y'+ 16y- 1S

322. 20x2-x- 1

330. 8x= - 3+Sx

331. 9 - !0x.=7x+8x

332. 3(x- S) + 3 = 10

333. S + 2 (4x-1) =O

:Il4. 6(1 -x)-2(x - 2)= 10

335. 3(9 + 4x) - 9 = 18

336. 3(4x+9)=6+5(2 -x)

337. ~=~x. - 1 s s

338. -=--== ! _= 12 3 3 4

339. ! _ 7x. =3 -~ 4 8 4

1 2x. 1 3x. 340. ---=----

4 7 s 8

Resuei... las siguientes ecuaciones de Mgundo grado:

345. i' +7x.+ 12 =0

346. i'- 14x.+24=0

347. x2 +9x+20 =0

348. i' +4x- 12 =0

349. x'- - 9x.+ 18 =0

350. i'- 2x. - 63 =0

Resuei... los siguiente• sistemas:

357. {x.+ y=4 x. - y=2

358. {x.+2y=S x.+ y=4

359 {3x- y=4 · x+3y= - 2

360. {3x. - 2y=4 x+6y= -2

361 {4x- 26= y . 3x+Sy- 31=0

293

Arrexo: Ejercicios preliminores

341. _ 13 _ 17x =x. - I~ 3 12 3

342. ~(2x- t) -~{x +2)=¡(x+ l)

2x. - 3 X 344. --+ - =2

6 4

3Sl.y2+y- 20=0

352. á' + 2o.=48

353. si' - 7x.+2=0

354. 2i' - Sx. - 12 =0

3SS. 7x'- + 16x= IS

356. 6"+ 7x= - 2

362. {2x. =y x=y+2

363. {X + y=7 x - y=3

364 {4x+Sy=2 . Sx+3y=21

365. {6x+2y= - 3 Sx- 3y= - 6

366 {Sx+8y= - 1 · 6y - x=4y- 7

SOLUCIONES A EJERCICIOS PRELIMINARES

Operaciones con números enteros:

l. 2 12. 20 23. - 3 2. - 2 13. - 30 24. 4 3. 10 14. 60 25. U 4. - 12 IS. 24 26. 4 s. 3 16. 7 27. - 2 6. - 1 17. -4 U.3 7. 1 18. - 3 29. 2 8. o 19. 2 30. -s 9. - 16 20. 13 31 . 2

10.23 21. 3 32. 8 11 . -6 22. - 16

Descomp6n en factores primos los siguientes números' 33. 2x 3 38. 2' x3xS 43. 22 xSx?2 34. 2• 39. 32 xS2 44. 23x s' 3S. 2'xS 40. 2'xSx23 45. 2• xsx7 36. 2x s' 41. S2 x 13 46. 2• x "5'-x 9 37. 2' x32 42. 26x32

O.ternma el MCD ele los siguientes números:

47. 2x3=6 4$.S

49. 22 = 4 S0. 2x3=6

O.tennina el mcrn ele los siguientes números: S2. 22 x3 xS = 60 S3. 2' x32 = 72

S4. 22 x3 = 12 SS. 2 4 x3 = 4$

S6. 22 x -J'xs = 180

Efemía las siguientes operaciones con fraccionH: S7. S

S8. !!. 2! s s

S9. 6 7

60. ~-4~ 4 4

61. 34 . 3.!. 11 11

62. 29 . 9! 3 3

63. ~- 1~ s s

64.

65. 2 1 -·-4 2

66. ~- 1! 8 8

67. - 1

68. ~-~- 1! 4 2 2

69. ~- ~- 1! 6 3 3

70. !.?. . 1I 8 8

72. ~-1~ 3 3

73. !1. 2~ 6 6

74. 1

7S . .!.~ 30 IS

16. ~. 3I 8 8

n. ~-1~ 45 45

79. ?.! . 12 12 12

so. ~-6g 21 21

81. E • .! 60 IS

82 . .!. 4

83. ~- 2.!. 12 12

84. - 44._!! __ 33: 94. s

12 3 3 16

8S. 9 u 9S. ~ - 1.!.

2 2 86. 3S

4$ 96. 1.2!

1 2 2 87.

2 97. 1

1 8 88.

9 98. !. 1 ~

u1 . 2E s s

89. .., .., 99.2

90. ~- 1~ 100. 2. 20 20 27

91. ~. 3.!. 6 6 101. ~

IS

92. s

102. ~-~-~- 1! S4 12 6 3 s

93. 18

Efemía las siguientes operacionH: 103. 36 111. s 121. 4 104. 64 112. 9

122 . .!. IOS. 16 113. 8 3 106. - 27 114. 2 107. - 25 llS. 3 123. !

81 116. 2 s 108.

16 117. 2 124. ~

109. 81 118. 3 7

16 119. 3 125. 2..

110. 2 120. s 11

Racionaliza las siguientes expresiones:

126. .J3 3

132. f2 6

139. 9+3J1

140 . .J3- 2 J7 133.

.Jj 127. 141. - 1- 2./1. 7 2

128. f2 134. 2,/5 142. s - 2,/6 25

129. 2,/6

13S. J7 143. 13 +4"10

3 9

6..fs 136. JS- 1

130. s 137. l3+1

.J3 2

131. .J3- 1 2 138.

294

Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enundados:

144. x+ 6 152. x, 4.5 - x 158. Ju y

14.5. 3x 153. i' 159. x,x+ 1 146. 2x- 5 147. ")'

154. x'-,,' 160. 2x, 2x+ 2

148. x+ 8 155. (x-y)2

161. S.+ 3 = 18

149. 3x 4

150. x - y

156. x+ Y 2

162. ~x-4•6 3

151. ~ y

157. 2(x-y) 3

Encuentra el valor num6rico de las siguientes expresionH, si

x • 3, y • -2, r • 1, w • -4

163. 10 171. 10 178. 0 164. -4 172. - 3 179. 24 165. 16 173. 5 180. 5 166. 13 174. -40 181. -4 167. 1 175. 2 182. 3 168. - 1 176. 5 13 169. 2 m. -~

183. 5

170. 13 12

Reduce las siguientes expresiones: 184. -X 195. - 5m2- 7,¡i 185. lly 186. -4ail 187. 5>4yz3 188. - 2x + 5y- 3z 189. 17o- 5b 190. 4,,;

191. i' - .,. +~ 192. ti'+ 211 + t2 193. o 194. 3i'y' + ~ - 3y'

196. 15•'- •h+l5/I

197. -~o/Je' 2

198. !,._!.,,_~, 6 2 9

199. -~•2b+ :?..i,2

12 6

200. - x' - z.,. +y' 8 9

Realiza las siguiente• operacionH con polinomios:

201. 6x-8y+Sz

202. x2+5")'-6y'

203. 4:r1 +2

204. x' +x' -x-1

205. x' +x' + 2x+7

206. 6x' + 3")'

207. x'-2x'y-xy' +6y'

208 . .?.,.2 +!.-_.?. 4 6 2

209. -!x>+!x'+!x-~ 6 6 2 8

212. 3x2 + 2x

213 . .2x'+x2+2x+3

214. ~ ... _ :?_ ... +x _! 4 8 5

216. -15x2y'

217. -IS..7 y z'

218. 4tí'bc'

219. -óx1y 1

210 . .!.!.-• +!x'-~x' +~x-~ 221. -10.'b'c' 12 2 7 10 4

211. x-2y-z 222. -~x'lz' 2

Soluciones o ejercicios preliminares

224 . ..!..aªb' e' 10

225. _!.1JJc' 4

230. -34711'-12.!b' +31lfi +15a'b'

231. lllx4y-24x'y-28x2y

232. -Sa'b+ 15a3h2 -45a2b3

233. 24x'y' -28x1y' +16x6y7

234. 3x'+ 16x-3S

235. o' -Jo-54

228. IOa'b-14't'b2 +óa'JJ

229. -7o' +a' -7o' +5a

236. óx2 -29x+ 28

237. !m• - ~m-10 3 6

238. _!..., +.!.!,,,.'_!y' 6 12 2

239. 3x4 -26x'+25x2 +58x-8

240. 14.'y-36x4y2 +46x'y'-20x2y4 +4.,,'

241. Jo'b' 2AS. !,..3

242. - 6x

243. ~ ... 2

244. ~ .. 3

3

246. ~b-34 2

247. x' -2x+5

248. !a2b1 -.!.h' -~b3 9 6 3

Oesarrola los siguientes binomios al cuadrado:

249. x' +6x+9 255. 81x'-18x' y+x4 y'

250. o'-8.+16 256. ~ .... ~ ... ,,.~,,. 251. 4m2 -20m+2S 9 3 25

252. 9x' +24x+l6 x' Jxy' 4 257. -- +9y 4

253. 9-12x+ 4.-' 4 4b2 b4

258. ---+-254. 25x' +40,,,.' +16/ a2 Ja 9

Obt4n el resultado del producto de binomios conjugados:

259. i'-25

260. m2 -9

261. 49-x'

262. 9x' -25y'

263. o' -lóh1

264. 9x' 1 -4i'

265. m' -2Sn'

266. 9p2 - 2Stf

'167. ~x'-~y' 9 25

m2 n' 'li>8. ---

4 9

Factoriza las siguientH expresiones empleando el factor

común:

269. 3x(x-2) 274. 3ob(2a-1)

270. y'(y-1) 275. 6.,.(2x-3y)

271. m 2 {nr' + m' -1) 216. x'y' ( 4-S.,. + 5x' y')

272. 8x(x-2)(u1) 2n. 3ob(6o' -3o2b-2ob2 +4b')

273. 5a'(3+5a-7a') 278. lla2y'z2{3z2 +6z-2)

295

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: Atsuelw las siguientes ecuaciones de primer grado:

279. (x-4)(x+4) 285. (3.' -y')(3>' + 1) uo. {2x-5)(2u5) (1 • 3 •1. . 3 • J 281. (4x-3)(4x+ 3)

286. 2z - 5w 2z + 5w

282. (9-2y)(9+2y) 287. (r~r' Xy+ ~r') 283. (to- x)(to+ x)

(X 4 lx 4) 284. (5m'-9n)(5m2 +9n)

28$. 3- 5y 3+ 5y

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

323. x= - 2 332. x•~ 340. x•-126

324. y= 2 3 25

32S.x=5 333. x•-~ 341. X•-~

326. x= 2 8 29 5 334. x= O

327. x• - 335. x= O 342. n 4 x•-

11 29

328. 5 336. %•--x•-- 17 343. X• -16 2

1 337. 7 30 329. x•- - X• - 344. 2 3 x•-

330. x= -1 338. No hay solución 7

289. (•-5)2

293. (4x+l)2

297. ~-H 331. 9 339. x•- 22 x• -

25 5

290. (•-b)' 294. (3y-4)' 298. (t2x+ 5y)' Atsuelw las siguientes ecuaciones de segundo grado:

291. (y+6)2

295. (~+ 4J

292. (m+n2t 296. (~-;J

345. x•-4,x•-3 353. x•~,x•l 346. x•1Zx•2

5

347. x•-5,x•-4 354. x•-~.x•4 2

348. :r•-6,x•2

Factoriza los trinomios de la forma i<- + bx + e 349. x•6,x•3 355. X•~ X•-J 350. X•9,x•-7

7'

299. (x+ 5)(u4) :m. (•+6)(•-2) '!IJ7. (x-12){u4)

300. (x-12)(x-2) '!IJ4. (y+5)(y-4) '!IJS. (x+12)(x-11)

301. (m+4)(m+3) '!IJ5. (•-9)(•+ 7) m . (a-7b)(a+Sb)

351. y•-5,y•4 356. 2 1

352. a•...S,a•6 -3· 2

Atsuelw los siguientes sistemas:

302. (x-6)(x-3) '!IJ6. (z-9)(z+ 2) 310. (y+l4)(y-12)

Factoriza los trinomios ax" + bx + e

357. :r•3,y•l 363. x•5,y•2

358. X•3,y•I 99 74 359. :r•l,y•-1

364. :r•13,y•-13

311. (3x-2)(x-4) 315. (x-4)(2u3) 319. (r2)(5y-2) 360. x•ly•-! 365. x•-~.y•~ • 2

4 4

312. (3a+2)(2a+l) 316. {2m+3)(3m+l) 320. (x-2)(4x-3) 361. x•1,y•2 366. :r•J,y•-2

313. (x-3)(4ul) 317 (2b+5)(3b-5) 321. (y+3){7y-5) 362. :r•-Zy•-4

314. (x-1){5x-2) 318. (x-2)(2x+ t) 322. (4x-1){5x+l)

296

labios

Tabla de valores de las funciones trigonométricas

Grados Radianes Sen ""' Ctg Cos

o• OO' .0000 .0000 .0000 1.0000 1.5708 90• oo· 10' .0029 .0029 .0029 343.77 1.0000 1.5879 50' 20' .0058 .0058 .0058 171.89 1.0000 1.5850 40' 30' .0007 .0087 .0087 114.59 1.0000 1.5821 30'

40' .0116 .01 16 .01 16 85.940 .9999 1.5592 20' 50' .0145 .0145 .0145 68.750 .9999 1.5563 10'

1• 00' .0175 .0175 .0175 57.290 .9998 1.5533 59• 00' 10' .0204 .0204 .0204 49.104 .9998 1.5504 50' 20' .0233 .0233 .0233 42.964 .9997 1.5475 40' 30' .0262 .0262 .0262 38.188 .9997 1.5446 30'

40' .0291 .0291 .0291 34.368 .9996 1.5417 20' 50' .0320 .0320 .0320 31.242 .9995 1.5388 10'

2• 00' .0349 .0349 .0349 28.636 .9994 1.5359 as• oo· 10' .0378 .0378 .0378 26.432 .9993 1.5330 50' 20' .0407 .0407 .0407 24.542 .9992 1.5301 40' 30' .0436 .0436 .0437 22.904 .9990 1.5272 30'

40' .0465 .0465 .0466 21 .470 .9989 1.5243 20' 50' .0495 .0494 .0495 20.206 .9988 1.5213 10'

3• 00' .0524 .0523 .0524 19 .081 .9986 1.5184 87"00' 10' .0553 .0552 .0553 18.075 .9985 1.5155 50' 20' .0582 .0581 .0582 17.169 .9983 1.5126 40' 30' .061 1 .0610 .0612 16 .350 .9981 1.5097 30'

40' .0640 .0640 .0641 15.605 .9980 1.5068 20' 50' .0689 .0669 .0670 14 .924 .9978 1.5039 10'

4• 00' .0698 .0698 .0699 14 .301 .9976 1.501 85• 00' 10· .0727 .0727 .0729 13.727 .9974 1.4981 50' 20' .0756 .0758 .0758 13 .197 .9971 1.4952 40' 30' .Q785 .Q785 .0787 12.706 .9969 1.4923 30' 20' .0814 .0814 .0816 12.251 .9967 1.4893 20' 50' .0844 .0843 .0846 11.826 .9964 1.4864 10'

5• 00' .0873 .0872 .0875 11.430 .9962 1.4835 85· oo· 10· .0902 .0901 .0904 11.059 .9959 1.4806 so· 20' .0931 .0929 .0934 10 .712 .9957 1.4777 40' 30' .0960 .0958 .0963 10 .385 .9954 1.4748 30'

40' .0989 .0987 .0992 10.078 .9951 1.4719 20'

50' .1018 .1016 .1022 9.7882 .9948 1.4690 10'

5• OD' .1047 .1045 .1051 9.5144 .9945 1.4661 84• 00' 10· .1076 .1074 .1080 9.2553 .9942 1.4632 so· 20' .1105 .1103 .1110 9.0098 .9939 1.4603 40' 30' .1134 .1132 .1 13.g 8.7769 .9936 1.4573 30'

40' .1164 .1 161 .1 169 8.5555 .9932 1.4544 20'

50' .1193 .1190 .1198 8.3450 .9929 1.4515 10'

7• 00' . 1222 .1219 .1228 8.1443 .9925 1.4486 83º 00' 10· .1251 .1248 .1257 7.9530 .9922 1.4457 50' 20' .1280 .1276 .1287 7.7704 .9918 1.4428 40' 30' .1309 .1305 .1317 7.5958 .9914 1.4399 30'

40' .1338 .1334 .1346 7.4287 .9911 1.4370 20'

50' .1367 .136'.l .1376 7.2687 .9907 1.4341 10'

8' OD' .1396 .1392 .1405 7.1 154 .9903 1.4312 82' 00' 10· .1425 .1421 .1435 6.9682 .9899 1.4283 50' 20' 1454 .1449 .1465 6.8269 .9894 1.4254 40' 30' . 1484 .1478 .1495 6.6912 .9890 1.4224 30'

40' .1513 .1507 .1524 6.5606 .9886 1.4195 20'

50' .1542 .1536 .1554 6.4348 .9881 1.4166 10'

9• 00' .1571 .1584 .1584 6.3138 .9877 1.4137 81· 00·

Cos Ctg ""' Sen Radianes Gtados

297

Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont .. . )

Grados Radianes Sen tan Ctg Cos

9•00· .1571 .1564 .1584 6 .3138 .9877 1.4137 51• oo· 10' .1600 .1593 .1614 6 .1970 .9872 1.4108 51Y 20' .1629 .1622 .1644 6 .0844 .9868 1.4079 40'

30' .1658 .1650 .1673 5 .9758 .9863 1.4050 31Y 40' .1687 .1679 .1 703 5 .8708 .9858 1.4021 2IY 50' .1716 .1708 .1733 5 .7694 .9853 1.3992 10'

10· 00' .1745 .1736 .1763 5 .6713 .9848 1.3963 so• OIY 11Y .1774 .1765 .1793 5.5764 .9843 1.3934 51Y 20' .1804 .1794 .1823 5 .4845 .9838 1.3904 40' 30' .1833 .1822 .1853 5 .3955 .9833 1.3875 30' 40' .1862 .1851 .1883 5 .3093 .9827 1.3846 2IY 50' .1891 .1880 .1914 5 .2257 .9822 1.3817 10'

11• 00' .1920 .1908 .1944 5 .1446 .9816 1.3788 79• 00' 10' .1949 .1937 .1974 5.0658 .9811 1.3759 51Y 20' .1978 .1965 .2004 4 .9894 .9805 1.3730 41Y 30' .2007 .1994 .2035 4 .9152 .9799 1.3701 31Y 40' .2036 .2022 .2065 4 .8430 .9793 1.3672 2IY 50' .2065 .2051 .2095 4 .7729 .9787 1.3643 10'

12' 00' .2094 .2079 .2126 4 .7046 .9781 1.3614 78• OIY 11Y .2123 .2108 .2156 4 .6382 .9775 1.3584 51Y 20' .2153 .2136 .2186 4 .5736 .9769 1.3555 40' 30' .2182 .2164 .2217 4 .5107 .9763 1.3526 30' 40' .2211 .2193 .2247 4 .4494 .9757 1.3497 2IY 50' .2240 .2221 .2278 4 .3897 .9750 1.3468 10'

13• 00' .2269 .2250 .2309 4 .3315 .9744 1.3439 77• 00' 10' .2298 .2278 .2339 4 .2747 .9737 1.3410 51Y 20' .2327 .2306 .2370 4 .2193 .9730 1.3381 41Y 30' .2356 .2334 .2401 4 .1653 .9724 1.3352 31Y 40' .2385 .2363 .2432 4 .1126 .9717 1.3323 2IY 50' .2414 .2391 .2462 4 .0611 .9710 1.3294 10'

14• 00' .2443 .2419 .2493 4 .0108 .9703 1.3265 75• OIY 11Y .24 73 .2447 .2424 3 .9617 .9696 1.3235 51Y 20' .2502 .2476 .2555 3 .9136 .9689 1.3206 40' 30' .2531 .2504 .2586 3 .8667 .9681 1.3177 30' 40' .2560 .2532 .2617 3 .8208 .9674 1.3148 2IY 50' .2589 .2560 .2648 3 .7760 .9667 1.3119 10'

15• oo· .2618 .2588 .2679 3 .7321 .9659 1.3090 75• 00' 10' .2647 .2616 .2711 3 .6891 .9652 1.3061 51Y 20' .2676 .2644 .2742 3 .6470 .9644 1.3032 41Y 30' .2705 .2672 .2773 3 .6059 .9636 1.3003 31Y 40' .2734 .2700 .2805 3 .5656 .9628 1.2974 2IY 50' .2763 .2728 .2836 3 .5261 .9621 1.2945 10'

16·00· .2793 .2756 .2867 3 .4874 .9613 1.2915 74• OIY 10' .2822 .2784 .2899 3 .4495 .9605 1.2886 51Y 20' .2851 .2812 .2931 3.4124 .9596 1.2857 40' 30' .2880 .2840 .2962 3 .3759 .9588 1.2828 31Y 40' .2909 .2868 .2994 3 .3402 .9580 1.2799 2IY 50' .2938 .2896 .3026 3 .3052 .9572 1.2770 10'

17• 00' .2967 .2924 .3057 3 .2709 .9563 1.2741 73• 00' 10' .2996 .2952 .3089 3 .2371 .9555 1.2712 51Y 20' .3025 .2979 .3121 3 .2041 .9546 1.2683 41Y 30' .3054 .3007 .3153 3 .1716 .9537 1.2654 31Y 40' .3083 .3035 .3185 3 .1397 .9528 1.2625 2IY 50' .3113 .3062 .3217 3 .1084 .9520 1.2595 10'

15•00· .3142 .3090 .3249 3 .0777 .9511 1.2566 12• OIY

Cos Ctg ian Sen Radianes Grados

298

labios

Tablo de valores de los funciones trigonométricos (cont .. . )


18' oo· .3142 .3090 .3249 3.0777 .9511 1.2566 72 ' 00 10' .3171 .3118 .3281 3.0475 .9S02 1.2537 so· 20' .3200 .3145 .3314 3.0178 .9492 1.2508 40'

30' .3229 .3173 .3346 2.9887 .9483 1.2479 30' 40" .3258 .3201 .3378 2.9600 .9474 1.2450 20' 50' .3287 .3228 .3411 2.9319 .9465 1.2421 10'

19• 00' .3316 .3256 .3443 2.9042 .9455 1.2392 11• 00'

10' .3345 .3283 .3476 2.8770 .9446 1.2363 so· 20' .3374 .3311 .3S08 2.8502 .9436 1.2334 40' 30' .3403 .3338 .3541 2.8239 .9426 1.2305 30' 40' .3432 .3365 .3574 2.7980 .9417 1.2275 20' 50' .3462 .3393 .3607 2.7725 .9407 1.2246 10'

20' 00' .3491 .3420 .3640 2.7475 .9397 1.2217 70' 00 10' .3520 .3448 .3673 2.7228 .9387 1.2188 SO' 20' .3549 .3475 .3706 2.6985 .9377 1.2159 40' 30' .3578 .3502 .3739 2.6746 .9367 1.2130 30' 40' .3607 .3529 .3772 2.6511 .9356 1.2101 20'

50' .3636 .3557 .3805 2.6279 .9346 1.2072 10'

21' 00' .3665 .3584 .3839 2.6051 .9336 1.2043 69' 00' 10' .3694 .3611 .3872 2.5826 .9325 1.2014 so· 20' .3723 .3638 .3906 2.5605 .9315 1.1985 40' 30' .3752 .3665 .3939 2.5386 .9304 1.1956 30' 40' .3782 .3692 .3973 2.5172 .92113 1.1926 20' 50' .3811 .3719 .4006 2.4960 .9283 1.1897 10'

22• 00' .3840 .3746 .4040 2.4751 .9272 1.1868 68. 00' 10' .3869 .3773 .4074 2.4545 .926 1 1.1839 SO' 20' .3898 .3800 .4108 2.4342 .9250 1.1810 40' 30' .3927 .3827 .4142 2.4142 .9239 1.1781 30' 40' .3956 .3854 .4176 2.3945 .9228 1.1752 20' 50' .3985 .3881 .4210 2.37SO .9216 1.1723 10'

23' 00' .4014 .3907 .4245 2.3559 .9205 1.1694 67' 00' 10' .4043 .3934 .4279 2.3369 .9194 1.1665 50' 20' .4072 .3961 .4314 2.3183 .9182 1.1636 40' 30' .4102 .3987 .4348 2.2998 .9171 1.1606 30' 40' .4131 .4014 .4383 2.2817 .9159 1.1577 20'

50' .4160 .4041 .44 17 2.2637 .9147 1.1 548 10'

24' 00' ,4189 .4067 ,4452 2,2460 ,9135 1.1519 66' oo· 10' .4218 .4094 .4487 2.2286 .9124 1.149 so· 20' .4247 .4120 .4522 2.2113 .9112 1.1461 40' 30' .4276 .4147 .4557 2.1943 .9100 1.1432 30' 40' .4305 .4173 .4592 2.1775 .9088 1.1403 20' 50' .4334 .4200 .4628 2.1609 .9075 1.1374 10'

25' 00' .4363 .4226 .4663 2.1445 .9063 1.1 345 65° 00' 10' .4392 .4253 .4699 2.1283 .9051 1.1316 50' 20' .4422 .4279 .4734 2.1123 .9038 1.1286 40' 30' .4451 .4305 .4770 2.0965 .9026 1.1257 30' 40' .4480 .4331 .4806 2.0809 .9013 1.1228 20' so· .4S09 .4358 .4841 2.0655 .9001 1.1199 10'

26' 00' .4538 .4384 .4877 2.0503 .8988 1.117 64' 00' 10' .4567 .4410 .4913 2.0353 .8975 1.1141 SO' 20' .4596 .4436 .49SO 2.0204 .8962 1.1112 40' 30' .4625 .4462 .4986 2.0057 .8949 1.1083 30'

40' .4654 .4488 .5022 1.9912 .8936 1.1054 20'

50' .4583 .4514 .5059 1.9768 .8923 1.1025 10'

27' 00' .4712 .4540 .5095 1.9626 .8910 1.0996 63º oo· C-0$ Clg tlln Sen Radianes Grados

299

Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont .. . )


21· 00' .4712 .4540 .S095 1.9626 .8910 1.0996 63º 00' 10' .4741 .4566 .5132 1.9486 .8897 1.0966 50' 20' 4771 .4592 .5169 1.9347 .8884 1.0937 40'

30' .4800 .4617 .5206 1.9210 .8870 1.0908 30' 40' .4829 .4643 .5243 1.9074 .8857 1.0879 20'

50' .4858 .4669 .5280 1.8940 .8843 1.08SO 10'

28° 00' .4887 .4695 .5317 1.8807 .8829 1.0821 6Z- OO' 10' .4916 .4720 .5354 1.8676 .8816 1.0792 50' 20' .4945 .4746 .5392 1.8546 .8802 1.0763 •o· 30' .4974 .4772 .5430 1.8418 .8788 1.0734 30' 40' .S003 .4797 .5467 1.8291 .8774 1.0705 20' so· .S032 .4823 .5505 1.8165 .8760 1.0676 10'

29º 00' .S061 .4848 .5543 1.8040 .8746 1.0647 61º00' 10' .S091 .4874 .5581 1. 7917 .8732 1.0617 50' 20' .5120 .4899 .5619 1.7796 .8718 1.0588 40' 30' .5149 .4924 .5658 1.7675 .8 704 1.0559 30' 40' .5178 .4950 .5696 1.7556 .8689 1.0530 20' so· .5207 .4975 .5735 1.7437 .8675 1.0501 10'

30º 00' .5236 .sooo .5774 1.7321 .8660 1.0472 so· oo· 10' .5265 .S025 .5812 1.7205 .8646 1.0443 50'

20' .5294 .5050 .5851 1.7090 .8631 1.0414 40' 30' .5323 .5075 .5890 1.6977 .8616 1.0385 30' 40' .5352 .5100 .5930 1.6864 .8601 1.0356 20' 50' .5381 .5125 .5969 1.6753 .8587 1.0327 10'

31° OCY .5411 .5150 .6009 1.6643 .8572 1.0297 59• 00' 10' .5440 .5175 .6048 1.6534 .8557 1.0268 50' 20' .5469 .5200 .6088 1.6426 .8542 1.0239 40' 30' .5498 .5225 .6128 1.6319 .8526 1.0210 30'

40' .5527 .5250 .6168 1.6212 .8511 1.0181 20' so· .5556 .5275 .6208 1.6107 .8496 1.0152 10'

32• 00' .5585 .5299 .6249 1.6003 .8480 1.0123 58º oo· 10' .5614 .5324 .6289 1.5900 .8465 1.0094 50' 20' .5643 .5348 .6330 1.5798 .8450 1.0065 40' 30' .5672 .5373 .6371 1.5697 .8434 1.0036 30' 40' .5701 .5398 .6412 1.5597 .8418 1.0007 20' 50' .5730 .5422 .6453 1.5497 .8403 .9977 10'

33• oo· ,5760 ,5446 ,6494 1,5399 ,8387 ,9948 57• 00' 10' .5789 .5471 .6536 1.5301 .8371 .9919 50' 20' .5818 .5459 .6577 1.5204 .8355 .9890 40' 30' .5847 .5519 .6619 1.5108 .8339 .9861 30' 40' .5876 .5544 .6661 1.5013 .8323 .9832 20' 50' .5905 .5568 .6703 1.4919 .8307 .9803 10'

34° 00' .5934 .5592 .6745 1.4826 .8290 .9774 55• 00' 10' .5963 .56 16 .6787 1.4733 .8274 .9745 50' 20' .5992 .5640 .6830 1.4641 .8258 .9716 40' 30' .6021 .5664 .6873 1.4550 .8241 .9687 30'

40' .6050 .5688 .6916 1.4460 .8225 .9657 20' so· .6080 .5712 .6959 1.4370 .8208 .9628 10'

35• 00' .6109 .5736 .7002 1.4281 .8192 .9599 55• 00· 10' .6138 .5760 .7046 1.4193 .8175 .9570 so· 20' .6167 .5783 .7089 1.4106 .8158 .9541 40' 30' .6196 .5807 .7133 1.4019 .8141 .9512 30'

40' .6225 .5831 .7177 1.3934 .8124 .9483 20'

50' .6254 .5854 .7221 1.3848 .8107 .9454 10'

36° 00' .6283 .5878 .7265 1.3764 .8090 .9425 54• oo· Cos Ct9 tan Sen Radianes Grados

300

labios

Tablo de valores de los funciones trigonométricos (cont .. . )


36' oo· .6283 .5378 .7265 1.3764 .8090 .9425 54' 00' 10' .6312 .5901 .7310 1.3680 .8073 .9396 so· 20' .6341 .5925 .7355 1.3597 .8056 .9367 40'

30' .6370 .5948 .7400 1.3514 .8039 .9338 30' 40" .6400 .5972 .7445 1.3432 .802 1 .9308 20' 50' .6429 .5995 .7490 1.3351 .8004 .9279 10'

37• 00' .6458 .6018 .7536 1.3270 .7986 .9250 53° 00' 10' .6487 .6041 .7581 1.3190 .7969 .9221 50' 20' .6516 .6065 .7627 1.3111 .7951 .9192 40' 30' .6545 .6088 .7673 1.3032 .7934 .9163 30' 40" .6574 .61 11 .7720 1.2954 .7916 .9134 20' 50' .6603 .6134 .7766 1.2876 .7898 .9105 10'

38'00' .6632 .6157 .7813 1.2799 .7880 .9076 52' 00' 10' .6661 .6180 .7860 1.2723 .7862 .9047 50' 20' .6690 .6202 .7907 1.2647 .7844 .9018 40' 30' .6720 .6225 .7954 1.2572 .7826 .8988 30' 40' .6749 .6248 .8002 1.2497 .7808 .8959 20'

50' .6778 .6271 .8050 1.2423 .7790 .8930 10'

39' 00' .6807 .6293 .8098 1.2349 .7771 .8901 51' 00' 10' .6836 .6316 .8146 1.2276 .7753 .8872 50'

20' .6865 .6338 .8195 1.2203 .7735 .8843 40' 30' .6894 .6361 .8243 1.2131 .7716 .8814 30' 40' .6923 .6383 .8292 1.2059 .7698 .8785 20' so· .6952 .6406 .8342 1.1988 .7679 .8756 10'

40° 00' .6981 .6428 .8391 1.1918 .7660 .8727 50° 00' 10' .7010 .6450 .8441 1.1847 .7642 .8698 50' 20' .7039 .6472 .8491 1.1778 .7623 .8668 40' 30' .7069 .6494 .8541 1.1708 .7604 .8639 30' 40' .7098 .6517 .8591 1.1640 .7585 .8610 20' 50' .71 27 .6539 .8642 1.1571 .7566 .8581 10'

41' 00' .7156 .6561 .8693 1.1504 .7547 .8552 49' 00' 10' .7185 .6583 .8744 1.1436 .7528 .8523 50' 20' .7214 .6604 .8796 1.1369 .7509 .8494 40' 30' .7243 .6626 .8847 1.1303 .7490 .8465 30' 40' .7272 .6648 .8899 1.1237 .7470 .8436 20'

50' .730 1 .6670 .8952 1.1171 .745 1 .8407 10'

42' 00' ,7330 ,6691 ,9004 1,1106 ,7431 ,8378 48 ' oo· 10' .7359 .6713 .9057 1.1041 .7412 .8348 so· 20' .7289 .6734 .9110 1.0977 .7392 .8319 40' 30' .74 18 .6756 .9163 1.0913 .7373 .8290 30' 40' .7447 .6777 .9217 1.0850 .7353 .826 1 20' 50' .7476 .6799 .9271 1.0786 .7333 .8232 10'

43' 00' .7505 .6820 .9325 1.0724 .7314 .8203 47° 00' 10' .7534 .6841 .9380 1.0661 .7294 .8174 50' 20' .7536 .6862 .9435 1.0599 .7274 .8145 40' 30' .7592 .6884 .9490 1.0538 .7254 .8116 30' 40' .7621 .6905 .9545 1.0477 .7234 .8087 20' 50' .7650 .6926 .9601 1.0416 .7214 .8058 10'

44'00' .7679 .6947 .9657 1.0355 .7193 .8029 46' 00' 10' .7709 .6967 .9713 1.0295 .7173 .7999 50' 20' .7738 .6988 .9770 1.0235 .7153 .7970 40' 30' .7767 .7000 .9827 1.0176 .7133 .7941 30'

40' .7796 .7030 .9884 1.0117 .7112 .7912 20' 50' .7825 .7050 .9942 1.0058 .7092 .7883 10'

45' 00' .7854 .7071 1.0000 1.0000 .7071 .7854 45° 00'

C-0$ Clg tlln Sen Radianes Grados

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geometría trigonometría · / datos de catnlogación bibliográfica geometría y trigonometría...

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