antología geometría y trigonometría v5

7/13/2019 Antologa Geometra y Trigonometra V5

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TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD I. DEFINICIONES FUNDAMENTALES Y EL ESTUDIO DEL TRINGULO. 2

1.1 Definiciones fundamentales 2Puntos, lneas, planos y ngulos. 2ngulos 3

Algunas definiciones. 4Axiomas 4Posiciones relativas de dos rectas. 5

1.2 Clasificacin de ngulos. 71.2.1 Clasificacin de ngulos segn su medida o forma. 7

Clasificacin segn su medida 7Clasificacin de ngulos segn su forma. 7

1.2.2 Clasificacin por pares de ngulos. 81.2.3 ngulos formados por dos rectas paralelas y una transversal 12

1.3 Tringulos. 151.3.1 Desigualdad del tringulo. 15

1.3.2 Clasificacin de tringulos segn sus lados o ngulos. 18Algunos teoremas sobre tringulos. 19

1.3.3 Congruencia de tringulos. 22Correspondencias y tringulos congruentes. 22Definiciones de partes correspondientes de tringulos. 22Tringulos congruentes. 23Postulados de congruencia de tringulos. 25Partes correspondientes de tringulos congruentes. 30El tringulo issceles 31Cuadrilteros. 34

1.3.4 Construcciones con regla y comps. 38Construccin 1. Copiar un segmento dado. 38Construccin 2. Construir la mediatriz de un segmento de recta dado. 38

Construccin 3. Construir la bisectriz de un ngulo dado. 39Construccin 4. Construir una perpendicular a una recta dada a partir de algn punto dado sobre sta. 40Construccin 5. Construir una perpendicular a una recta dada desde un punto fuera de sta. 40Demostracin del paralelismo de rectas. 42Construccin 6. Construir un ngulo congruente a un ngulo dado. 43Construccin 7. Construir una recta paralela a otra que pasa por un punto dado. 43

1.3.5 Rectas y puntos notables del tringulo. 47Alturas. 47Mediatrices 47Bisectrices. 50Medianas. 52

1.3.6 Semejanza de tringulos. 55Razn y proporcin. 55Tringulos semejantes. 60Criterios de semejanza de tringulos. 61Teoremas derivados de los criterios de semejanza de tringulos. 65


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UNIDAD I. DEFINICIONES FUNDAMENTALES Y EL ESTUDIO DEL TRINGULO.

1.1 Definiciones fundamentales

Puntos, lneas, planos y ngulos.

La geometra de Eucl ides.

No pase nadie que no sepa geometra.

Palabras inscritas en la puerta de la Academia de Platn

Para los antiguos griegos, las matemticas eran sobre todo geometra una geometraespecialmente rgida en comparacin con la actual. Los griegos estudiaron las propiedades de lasfiguras de forma y tamao idnticos (figuras congruentes), as como de las que eran de formaidntica pero no necesariamente de tamao igual (figuras semejantes). Tomaron ideas sobre elrea y el volumen de los egipcios y de los babilonios, y establecieron frmulas generales. Losgriegos fueron los primeros en insistir en que los enunciados de la geometra deban tener una

prueba rigurosa.

El punto de vista de los griegos sobre la geometra (y otras ideas matemticas), se resume en losElementos, escrito por Euclides hacia el ao 300 a.C. La influencia de este libro ha sidoextraordinaria; hasta el da de hoy se ha estudiado virtualmente sin ningn cambio como texto degeometra y como el modelo de lgica deductiva.

Las ideas ms fundamentales de la geometra son punto, lnea y plano. En realidad no es posibledefinirlos con palabras. Euclides defini un punto como lo que no tiene partes. Pero estaexplicacin es tan vaga que carece de significado. Cree que podra concluir lo que es un punto a

partir de esta definicin? Pero lo que usted experimenta cuando dice este punto del tiempo ocuando afila un lpiz, se aproxima a lo que l trataba de decir. Aun cuando no intentemos definir

punto, estaremos de acuerdo, en forma intuitiva, de que un punto no tiene magnitud ni tamao.

Euclides defini una lnea como lo que no tiene largo ni ancho. De nuevo, esta concepcin esvaga. Sin embargo, con base en nuestra experiencia sabemos a qu se refera Euclides. Losdibujos que usamos para trazar lneas tienen la propiedad de carecer de espesor y de ancho, y seextienden en forma indefinida en dos direcciones.

Qu visualiza el lector al leer la definicin que da Euclides de un plano? Superficie que tiene laslneas rectas distribuidas uniformemente en l. Piensa en una superficie plana, como la cubierta

de una mesa o la pgina de un libro? Es lo que Euclides pretenda.La geometra de Euclides es un modelo de razonamiento deductivo. En este captulo se presentarla geometra desde un punto de vista inductivo, se usarn como modelos para su estudio objetos ysituaciones que se encuentran en el mundo que nos rodea.

Puntos, lneas y planos Hay ciertas convenciones y smbolos aceptados universalmente que se emplean para representarpuntos, lneas, planos y ngulos. Por lo general, una letra mayscula representa un punto. Una lnea se denota con dos letrasmaysculas de modo que representan los puntos que quedan sobre ella, o con una la letra (minscula, en general) como . Lossubndices a veces se utilizan para diferenciar una lnea de otra si se empleara una letra minscula. Por ejemplo, yrepresentaran dos lneas distintas. Un plano se denota con tres letras maysculas que representan puntos que se ubican sobrel, o con una letra griega del alfabeto, como (alfa), (beta) o (gama).

La figura 1 ilustra un plano representado ya sea como o como . En el plano est contenida la lnea (o, en formaequivalente, la lnea ), que tambin se denota con en la figura.

La seleccin de cualquier punto de una lnea la divide en tres partes: el punto en s mismo y dos mitades de lnea, una a cada ladodel punto. Por ejemplo, en la figura 2, el puntodivide la lnea en tres partes,mismo y dos medias lneas. El punto pertenecea cualquier mitad de lnea. Como lo sugiere la figura, cada mitad de lnea se extiende indefinidamente en direccin opuesta de laotra.

La inclusin de un punto inicial con una media lnea genera un rayo. Un rayo se denota con dos letras, una para el punto inicial yotra para el otro punto contenido en la media lnea. Por ejemplo, en la figura 3, el rayo tiene el punto inicial y se extiende enla direccin de . En cambio, el rayo tiene a como su punto inicial y se extiende en direccin de .


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Un segmento de lneaincluye ambos puntos extremos y se denota por medio de stos. En la figura 3 se muestra el segmento delnea, que tambin puede designarse como segmento .

La tabla siguiente ilustra estas figuras junto con los smbolos que se emplean para representarlas.

Nombre Figura Smbolo

Lneao lnea

Mitad de lnea

Rayo

Rayo

Segmentoo segmento

Para una lnea, el smbolo sobre las dos letras tiene dos puntas de flecha, lo que indica que se extiende indefinidamente en ambasdirecciones. Para mitades de lnea y rayos, slo se usa una punta de flecha, toda vez que se extiende en una sola direccin. Parauna mitad de lnea se emplea un crculo con fondo blanco que indica que el punto extremo no se incluye, en tanto que un crculocon fondo negro indica que s est incluido. Como un segmento de lnea incluye ambos puntos extremos y no se extiende encualquier direccin, se utilizan crculos con fondo negro que sealan sus puntos extremos.

Las definiciones geomtricas de paralelase interseccin, se aplican a dos o ms lneas o planos (figura 4). Las lneas paralelas

estn en el mismo plano y nunca se encuentran, no importa qu tan lejos se extiendan. Sin embargo las lneas que se intersecansse encuentran. Si dos lneas diferentes se intersecan lo hacen en un solo punto.

Se usa el smbolo para denotar paralelismo. Si y son lneas paralelas, como en la figura 4, entonces esto se indica como .

Los planos paralelos tampoco se encuentran nunca, no importa lo lejos que se extiendan. Si dos planos distintos se intersecanforman una lnea recta, la nica que tienen en comn. Las lneas desfasadasno estn en el mismo plano, y nunca se encuentran,no importa lo lejos que se extiendan.

ngulos Un nguloes la unin de dos rayos que tienen un punto extremo en comn, como se aprecia en lafigura 5. Es importante recordar que el ngulo est formado por puntos sobre los rayos mismos, y no por otros.En la figura 5, el punto no forma parte del ngulo (se dice que est en el interior del ngulo). Observe que enesta seccin, ngulo es el primer trmino fundamental que en realidad se define, por medio de trminos nodefinidos tales como rayo y punto extremo.

Los rayos que forman un ngulo son sus lados. El punto extremo en comn de los rayos es el vrticedel ngulo.Hay dos maneras estndar de denominar a los ngulos. Si no hay lugar para la confusin, un ngulo se denominacon la letra que marca su vrtice. Con este mtodo, los ngulos de la figura 5 se denominan, respectivamente,

ngulo , ngulo y ngulo . Los ngulos tambin se indican con tres letras: la primera denota un punto en unlado del ngulo; la letra del medio es para el vrtice; y la tercera es para un punto en el otro lado del ngulo. Eneste sistema, los ngulos de la figura se denotan como ngulo , ngulo y ngulo . El smbolo querepresenta un ngulo es. En lugar de escribir ngulo, se escribira .

Un ngulo se asocia con una cantidad de rotacin. Por ejemplo, en lafigura 6(a) se hace que coincida primero con como si setratara del mismo rayo. Despus se rota (el punto final permanecefijo) en contra del sentido del movimiento de las manecillas del reloj

para formar .

Los ngulos miden la cantidad de rotacin, por medio de un sistemaque se remonta a los babilonios de del siglo II a.C., aproximadamente.Los astrnomos babilonios eligieron el nmero 360 para representar la

rotacin de un rayo que regresa hacia s mismo. Si se emplea 360como la cantidad de rotacin de un rayo de vuelta sobre s mismo, ungrado, que se escribe 1, se define como de una rotacincompleta. La figura 6(b) muestra ngulos de varias medidas de grados.


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Para medir ngulos se emplea una herramienta llamada transportador. La figura 7muestra un transportador que mide un ngulo. Para usar el transportador se colocasu orificio (o punto) en el vrtice del ngulo, mientras que el otro lado debeextenderse hasta la medida en grados del ngulo. La figura indica un ngulo quemide 135. La medida de un ngulo se indica con el smbolo.

Algunas definiciones.

Puntos colinealesLos puntos colineales son puntos que estnen la misma recta. En la figura, y son puntos colineales.

Segmentos congruentesDos segmentos son congruentes sitienen la misma longitud.

ngulos congruentesDos ngulos son congruentes si tienenla misma medida.

Smbolo para indicar congruencia El smbolo empleadopara indicar que dos segmentos o dos ngulos son congruenteses.

Punto medio de un segmento El punto medio de un segmento de recta es el punto del segmento que lo divide en dossegmentos congruentes. Si es el punto medio de, entonces

Bisector (o bisectriz) de un segmento de recta Un bisector de un segmento de recta escualquier recta, rayo o segmento que pasa por el punto medio de . De esta forma, un bisectordivide a en dos segmentos congruentes.

Ejemplo Calcula la medida de si es el punto medio de.

Sabemos que es el punto medio de, y la figura nos proporciona las medidas algebraicas dey . A partir de estos datos se debe hallar la medida de .

Dado que es el punto medio, por definicin, . En otras palabras, ambos segmentosmiden lo mismo, es decir, . Usaremos esta ecuacin para hallar el valor de .

Definicin de punto medio

Sumando 5 en ambos miembros Restando en ambos lados

Dividiendo cada lado entre 2Ahora, sustituyendo 8 por en la expresin para , obtenemos:

Definicin de punto medio La medida de es 27

Bisectriz de un nguloLa bisectriz de un ngulo es la semirrecta que pasa por el vrtice del ngulo ylo divide en dos partes ngulos congruentes. Si es la bisectriz de , entonces

Axiomas

Axioma 1Dos puntos determinan una y slo una recta


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Axioma 2

Tres puntos no colineales determinan un plano.

Teorema 1

Si dos rectas se intersecan, lo hacen en un punto y slo en uno

Argumento de apoyo:

Sean y rectas diferentes y el punto conocido en el que se intersecan. Supngase que y tienen un segundo punto de interseccin . Entonces, y deberan ser la misma recta, puesto quede acuerdo con el axioma 1 no puede haber sino una recta que pase por ambos puntos y Loanterior contradice a la condicin dada de que y son rectas diferentes. Por consiguiente, lasrectas no se pueden intersecar en un segundo punto.

Posiciones relativas de dos rectas.Rectas paralelasDos rectas son paralelas si y slo si estn en el mismo plano1y nunca se intersecan. Para indicar que dos rectasson paralelas se usa el smbolo . Por ejemplo, se lee la recta es paralela a la recta

A partir de la definicin anterior se concluye que:

Partes (segmentos o rayos) de rectas paralelas son paralelas.

Al prolongar segmentos o rayos paralelos se obtienen rectas paralelas.

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si y slo si al intersecarse, forman cuatrongulos congruentes entre s. Para indicar esto se usa el smbolo Por ejemplo, se lee la recta es

perpendicular a la recta . Con frecuencia se coloca un pequeo cuadrado en la abertura de un nguloformado por dos rectas perpendiculares para indicar que las rectas son perpendiculares.

Rectas secantes u oblicuasSon rectas que se intersecan pero no son perpendiculares.

TAREA

1. Observa la figura, completa la tabla usando la notacin apropiada.

1Las rectas que estn sobre el mismo plano tambin reciben el nombre de rectas coplanares.

Elemento solicitado Notacin

Tres puntos

Tres rectas

Dos segmentos con extremo en

Cuatro segmentos con extremos en

Dos rectas que contengan al punto

Dos semirrectas con extremo en


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2. Observa la figura, completa la tabla usando la notacin apropiada.

3.

Decida si cada uno de los enunciados siguientes es verdadero o falso.Proposicin Verdadero o falso?

Un segmento de lnea tiene dos puntos extremos.

Un rayo tiene un extremo.

Siy son puntos diferentes de una lnea, entonces el rayo y el rayo representan al mismoconjunto de puntos.Si dos lneas son paralelas, se encuentran en el mismo plano.

Si dos lneas no se intersecan, deben ser paralelas.

El segmentoy el segmento representan al mismo conjunto de puntos

El origen del uso de los grados como unidad de medida de los ngulos se remonta a los egipcios.

4.

Los siguientes ejercicios mencionan partes de la lnea que se muestra. Para cadaejercicio, (a) proporcione el smbolo que represente la porcin de la lneamencionada, y (b) dibuje una figura que muestre slo la parte que se cita, y queincluya todos los puntos sealados.

Elemento Smbolo Dibujo Elemento Smbolo Dibujo

Segmento de lnea Rayo


Rayo Segmento de lnea


5.

Relacione el smbolo que aparece en la primera columna con el smbolo de lasegunda columna que haga referencia al mismo conjunto de puntos, con baseen la figura dada.

Ninguno de los anteriores

6.

En la figura, es el punto medio de. Calcula el valor de .

7.

Cul debe ser el valor de paraque sea el punto medio de ?

8.

Halla la medida de si es elpunto medio de

9. Use el siguiente diagrama para hallar la medida de cada ngulo.

Elemento solicitado Notacin

Un par de rectas perpendiculares

Un par de rectas secantes no perpendiculares

Un par de rectas paralelas

Un ngulo agudo

a) e)

b)

f)

c) g)

d) h)


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1.2 Clasificacin de ngulos.

1.2.1 Clasificacin de ngulos segn su medida o forma.

Clasificacin segn su medida

De acuerdo a su medida, los ngulos se clasifican en:

Nulo.Si un ngulo tiene 0, se llama ngulo nulo.

Recto.Un cuarto de vuelta es un giro de 90, tambin llamado ngulo recto.

Llano, extendido o colineal.Media vuelta completa (lo que significa pasar justo al lado opuesto)es un giro de 180. Este tipo de ngulo se llama ngulo llano.

Perigonal o completo.Si se realiza una vuelta completa, el ngulo mide 360. Este tipo de ngulo sellama ngulo perigonal.

Clasificacin de ngulos segn su forma.

De acuerdo a su medida, los ngulos se clasifican en:

I. ngulos cncavos.Los ngulos cncavos miden ms de 0 pero menos de 180.

ngulos agudos.Miden ms de 0 pero menos de 90

ngulos rectos.Miden 90

ngulos obtusos.Miden ms de 90 pero menos de 180

II. ngulos convexos.Los ngulos convexos miden ms de 180 pero menos de 360.

ngulos Entrantes.Miden ms de 180 pero menos de 360

Teorema 2

Si dos rectas son perpendiculares entonces al intersecarse forman ngulos rectos.

Demostracin

Hiptesis: que se intersecan en Tesis: es un ngulo recto

Razonamiento

1. que se intersecan en Por hiptesis2. Definicin de rectas perpendiculares3. Definicin de ngulos congruentes4.

es un ngulo llano y La medida de un ngulo llano es igual a180

5. Postulado ngulo-adicin6.

Sustitucin7.

Sustitucin

8. Propiedad de la igualdad9. es un ngulo recto

(Conclusin)Definicin de ngulo recto


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1.2.2 Clasificacin por pares de ngulos.

1. ngulos consecutivos.Los ngulos que tienen el vrtice y un lado comn son ngulos consecutivos.

2. ngulos complementarios.Cuando dos ngulos suman 90 se llaman complementariosEjemplo: Cul es la medida del complemento de un ngulo de 35?

3. ngulos Suplementarios.Cuando dos ngulos suman 180 se llaman ngulos suplementarios.Ejemplo: Cul es la medida del suplemento de un ngulo de 30?

4. ngulos Conjugados.Cuando dos ngulos suman 360 se llaman ngulos conjugados.Ejemplo: Cul es la medida del conjugado de un ngulo de 120?

5. ngulos adyacentes.Si dos ngulos tienen un vrtice y un lado comn y los otros lados forman una lnea recta, entonces son ngulosadyacentes. Dos ngulos adyacentesson suplementarios.

6. ngulos opuestos por el vrtice.Dos ngulos son opuestos por el vrtice si las prolongaciones de los lados de uno de ellos corresponden a los lados delotro.

Veamos que los ngulos opuestos por el vrtice tienen medidas iguales, es decir, que y .

Con una demostracin semejante se verifica que . Entonces se puede establecer el siguiente teorema:

Teorema 3

Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.

Razonamiento

1. ngulo llano2. ngulo llano3. Transitividad4.

(Conclusin)

Propiedad de la igualdad


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Ejemplo 1 Consulte la figura apropiada para resolver cada problema.

(a) Encuentre la medida de cada ngulo de los que se seala en la figura 8.Como los ngulos indicados son opuestos por el vrtice, tienen la misma medida. Se hace igual a y se resuelve.

6x pasa al primer miembro restando

19 pasa al segundo miembro restando

-2 pasa al segundo miembro dividiendo

Como , un ngulo mide . El otro tambin tiene la misma medida, puesto que tambin . Cada ngulo mide .

(b) Encuentre la medida de cada ngulo sealado en la figura 9.Las medidas de los ngulos que se indican deben sumar 180, ya que sonsuplementarios. La ecuacin por resolver es:

Simplificando trminos semejantes

30 pasa sumando al segundo miembro

7 pasa dividiendo al segundo miembro

Para encontrar las medidas de los ngulos, se reemplaza a por 30 en las dos expresiones.

Las dos medidas de los ngulos son 60 y 120 respectivamente.

TAREA

1. Llene los espacios en blanco con la respuesta correcta.a) La suma de las medidas de dos ngulos complementarios es _____ grados.

b) La suma de las medidas de dos ngulos suplementarios es ______ grados.c)

Las medidas de dos ngulos opuestos por el vrtice son __________ (iguales/diferentes)d) Las medidas de ______ ngulos rectos suman lo que mide un ngulo llano.

2. Diga cul es la medida del complemento de cada ngulo.

ngulo Complemento ngulo Complemento ngulo Complemento

28 89

32 45 3. Proporcione la medida del suplemento de cada ngulo.

ngulo Suplemento ngulo Suplemento ngulo Suplemento

132 26

105 90 4.

Observe la siguiente figura.(a) Mencione todos los pares de ngulos opuestos por el vrtice.

(b) Si , calcule la medida de los siguientes ngulos. ________________ ________________

5. Observe la siguiente figura.(a) Mencione todos los pares de ngulos opuestos por el vrtice.

(b) Si , calcule la medida de los siguientes ngulos.

________________

________________


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6. Calcule la medida de cada uno de los ngulos indicados.

a)

b)

c)

d)

e)

f)


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Ejemplo 2 El suplemento de un ngulo mide 10 ms que el triple de su complemento. Calcule la medida del ngulo.

Sea

Entonces

Y

Ahora se usan las palabras para escribir la ecuacin.

Propiedad distributiva Simplificando trminos semejantes 3x pasa sumando, 180 pasa restando

2 pasa dividiendo

El ngulo mide 50. Como su suplemento es mayor que el triple de su complemento (40), es decir, se cumple que , la respuesta coincide.

TAREA

1. Calcule la medida de cada uno de los ngulos que se indica.

2. ngulos complementarios y suplementarios. Resuelva cada problema de los incisos a) - d)a) El suplemento de un ngulo mide 25 ms que el doble de su complemento. Calcule la medida del ngulo.

b)

El complemento de un ngulo mide 10 menos que la quinta parte de su suplemento. Obtenga la medida del ngulo.

c) El suplemento de un ngulo de un ngulo sumado al complemento de ste da 210. Cul es la medida del ngulo?

d) La mitad del suplemento de un ngulo es 12 menos que el doble del complemento de este. Encuentre la medida delngulo.


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1.2.3 ngulos formados por dos rectas paralelas y una transversal

Las lneas paralelas son aquellas que estn en el mismo plano y no se intersecan. Si una lnea interseca dos lneas paralelas, adicha lnea se le denomina transversal. Las paralelas y la transversal forman ocho ngulos, de los cuales cuatro son internosporestar situados entre las paralelas, los otros cuatro son externosporque estn situados fuera de ese espacio.

Algunos pares de ngulos tienen especial importancia, entre ellos los siguientes: ngulos correspondientes, ngulos alternosinternos, ngulos alternos externosy ngulos colaterales.

ngulos correspondientes Son dos ngulos, uno interno y otro externo, que estn situados de un mismo lado de latransversal y en distinta paralela.

Son correspondientes los pares de ngulos: y ; y ; y ; y . Si consideramos dos ngulos correspondientescualesquiera, por ejemplo, y , se puede afirmar que coincide con al efectuar una traslacin rectilnea, tomando latransversal como directriz. As que . De donde: los ngulos correspondi entes tienen la misma medida, es decir , soncongruentes.

ngulos alternos internosSon dos ngulos internos situados auno y otro lado de la transversal y en distinta paralela.

Son alternos internos los pares de ngulos y ; y .

Teorema 4

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ngulos alternos internos son congruentes.

Demostracin.Hiptesis: Tesis:

ngulos alternos externosSon dos ngulos situados a uno y otrolado de la transversal y en distinta paralela.

Son alternos internos los pares de ngulos y ; y .

Razonamiento1. ngulos opuestos por el vrtice2. Correspondientes3. Transitiva

4.

(Conclusin)

Definicin de ngulos congruentes


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Teorema 5

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ngulos alternos externos son congruentes.


ngulos colaterales Son dos ngulos internos o dos ngulos externos, situados en un mismo lado de la transversal y endistinta paralela.

Cuando los dos ngulos son internos, se les llama colaterales internos; si son externos se les llama colaterales externos.

Son colaterales internoslos pares de ngulos y ; y . Son colaterales externoslos pares de ngulos y ; y.

Teorema 6

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ngulos colaterales son suplementarios.


Ejemplo 3Encuentre la medida de cada ngulo de los que se indica en la figura 11, dado que las lneas y son paralelas.

Los ngulos sealados son externos alternos, cuya medida es la misma. Esto da como resultado que:

5xpasa restando, 2pasa restando

Se despeja x

Un ngulo tiene una medida de , y el otro tiene una medida de

Razonamiento

1. ngulos opuestos por el vrtice

2.

Correspondientes3. Transitiva

4.

(Conclusin)

Definicin de ngulos congruentes

Razonamiento1. =180 ngulos llano2. Correspondientes3.

(Conclusin)Sustituyendo


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TAREA

1. En los incisos a)d) suponga que las lneas dibujadas son paralelas, y encuentre el valor de cada uno de los ngulos quese indica.

2. Utilice la figura para calcular la medida de cadangulo indicado por un nmero. Suponga que .

3. Encuentre los valores de y de la figura, dadoque

4. Use el siguiente diagrama para contestar las preguntas.a) y ________ son ngulos correspondientes.

b) y ________ son ngulos alternos internosc) y ________ son ngulos alternos externos

d)

y ________ son ngulos colateralese) y ________ son ngulos opuestos por el vrticef) y ________ son ngulos suplementariosg) y ________ son ngulos correspondientesh) y ________ son ngulos alternos internosi) y ________ son ngulos alternos externos

j) y ________ son ngulos colateralesk) Si , entonces l) Si , entonces m) Si , entonces n) Si , entonces o) Si , entonces

p) Si , entonces q)

Si , entonces r) Si , entonces s) Si , entonces t)

Si , entonces


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1.3 Tringulos.

Definicin: Se llama tringuloa una porcin cerrada del plano limitada por tres segmentos.

Otra definicin de tringulo podra ser: Dados tres puntos no colineales , y , se llama tringulo a la unin de los tressegmentos generados por los tres puntos.

Los segmentos , y se llaman lados del tringulo. Los puntos,y se denominan vrticesdel tringulo.

Los ngulos , y se llaman ngulos interiores deltringulo .Los suplementos de los ngulos interiores se denominanngulos exterioresdel tringulo.

En la figura anterior, los ngulos de medidas , y son interiores deltringulo . Los ngulos de medidas , y son los respectivosngulos exteriores del tringulo.

Se dice que:

El ngulo de medida est comprendidoentre los lados y y es opuestoal lado .

El ngulode medida est comprendidoentre los lados y y es opuestoal lado .

El ngulo de medida est comprendidoentre los lados y y es opuestoal lado .

Tambin se dice que:

Los ngulos y de medidasy son adyacentesal lado . Los ngulos y de medidasy son adyacentesal lado . Los ngulos y de medidasy son adyacentesal lado .

Las medidas de los lados , y normalmente se designan por las letras , y respectivamente.

1.3.1 Desigualdad del tringulo.

Cuando se pide construir una figura geomtrica con ciertas condiciones, a veces es posible hacerlo y a veces no. Por ejemplo,crees que sea posible trazar un tringulo cuyos lados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; por qu?

ActividadIntenta trazar los siguientes tringulos, utilizando las medidas proporcionadas en la tabla.

Medidas Es posible trazar el tringulo?

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

Bajo qu circunstancias es posible trazar el tringulo?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Desigualdad del tringulo.

Chuck Noland viaja entre Minneapolis, Waterloo y Milwaukee debido a su trabajo.El Sr. Noland vive en Minneapolis y necesita llegar a Milwaukee tan pronto comosea posible. Debera tomar un vuelo de Minneapolis a Milwaukee, o viajar deMinneapolis a Waterloo y despus a Milwaukee? Si cree que el Sr. Noland debera

volar directamente de Minneapolis a Milwaukee, probablemente pens que la rutadirecta sera ms corta. Con frecuencia se escuchan frases como la distancia mscorta entre dos puntos es un camino recto. Tales expresiones son una manera informal de describir una relacin importante quese establecer como postulado.Postulado de la desigualdad del tringulo.

La suma de las longitudes de dos lados de un tringulo es siempre mayor que la longitud deltercer lado. Es decir, si , y son las medidas de tres segmentos, podemos construir untringulo con ellos s y slo si se cumple lo siguiente:

Otra manera de enunciar la propiedad anterior es: La longitud de cada lado es mayor que la diferencia de los dos, de formasimblica:

| | | | | |

Ejemplo 1 La catapulta griega de la derecha fue usada para el asedio durante la poca de laantigua Grecia. Si las dos cuerdas miden 4 pies (ft), calcule , el rango de las posiblesdistancias entre las cuerdas.

Sea la medida del tercer lado.

Como es mayor que la diferencia de los otros dos lados, entonces:

Como es menor que la suma de los otros dos lados, entonces:

La medida del tercer lado es mayor a 0 pero menor a 8. Esto puede ser escrito como


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Aplicacin.

Una compaa de ferrocarriles va a construir una estacin central para dar servicio a cuatrociudades localizadas en los vrtices de un cuadriltero como se muestra en la figura.Dnde debe ubicarse la estacin para que la longitud y el costo de la construccin de la lneafrrea, sean mnimos?

Respuesta.Es el punto de interseccin de las diagonales de.

Supngase que es otro punto. Entonces por el postulado de la desigualdad del tringulo,

Por lo tanto,

TAREA

1. Decida si los conjuntos de nmeros dados podran ser las longitudes de un tringulo. Completa la tablaMedidas Es posible trazar el tringulo? Medidas Es posible trazar el tringulo?

2. Si dos lados de un tringulo tienen longitudes 2 y 5, entonces la longitud del tercer lado es mayor que _______ y menorque _____

3. Si las longitudes de dos lados de un tringulo son 7 y 9, Cules son las longitudes posibles del tercer lado?

4. Prubese que para cualquier cuadriltero .

5. Prubese que la longitud de una diagonal de un cuadriltero es menor que la mitad del permetro. Esto es:

6. Aves. Si en la bandada migratoria de gansos cambia, cul es el mayor y el menor valorque puede tomar ?

7. Prubese que la suma de las longitudes de los lados de un cuadriltero es mayor que la suma delas longitudes de las diagonales, esto es,


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8. Halla el error.Jameson y Anoki dibujaron con y .Cada uno eligi una posible medida para . Quin est en lo correcto?Explique.

9. Diseo. Algunos interioristas disean cocinas dibujando un tringulo y despusubicando los electrodomsticos en cada vrtice. Si la distancia entre el refrigerador y el

fregadero es de 6 pies (ft), y del fregadero a la estufa hay 5 pies, cules son las posiblesdistancias entre el refrigerador y la estufa?

10. Pensamiento crtico.En el trapezoide , Cul es elrango de posibles medidas para ? (Pista: Primero halle el rango de posibles medidas para

)

1.3.2 Clasificacin de tringulos segn sus lados o ngulos.

Clasificacin segn la medida de sus lados

Clasificacin detringulos de

acuerdo a la medidade sus lados.

Equiltero Issceles Escaleno

Todos sus lados son congruentes entre

s

Al menos dos lados son

congruentes

No tiene lados congruentes

Clasificacin segn la medida de sus ngulos.

Clasificacin detringulos deacuerdo a la medida

de sus ngulos.

Rectngulo Oblicungulo

El tringulo no tiene ningn ngulo recto

Acutngul o Obtusngul o

Tiene un ngulo recto(90). En un tringulorectngulo el lado de

mayor longitud,opuesto al ngulo

recto, recibe elnombre de

hipotenusa, y loslados de menor

longitud, catetos.

Sus ngulos internos son agudos.

Un tringulo acutngulo cuyos ngulos internosson congruentes entre s recibe el nombre de

tringulo equingul o.Uno de sus ngulos internos

es obtuso

Una propiedad importante de los tringulos, que los gemetras griegos demostraron primero, implica la suma de las medidas delos ngulos de cualquier tringulo.


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Algunos teoremas sobre tringulos.

Teorema 7

Lasumade las medidas de los ngulos interioresde cualquier tringulo es 180.

Demostracin.

Hiptesis:y son ngulos interiores de un tringulo

Tesis:

Un teorema que se deduce de manera directa de unteorema anterior, se conoce como corolario de dichoteorema. Los corolarios, al igual que los teoremas, sedeben comprobar antes de ser utilizados.

Corolario 7.1

La medida de cada ngulo de un tringulo equingulo es 60.

Corolario 7.2

Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo son complementarios

Teorema 7.1

Teorema del Tercer ngulo.Si dos ngulos de un tringulo son congruentes a dos ngulos de otro tringulo, entonces el par restante de ngulos tambin soncongruentes.

EjemploCalcule la medida de cada ngulo del tringulo de la figura adjunta.

De acuerdo con la relacin de la suma de ngulos, las medidas de los tres ngulos deben sumar 180.Escriba la ecuacin que indique lo anterior, y luego resulvala.

Simplificando trminos semejantes

Restar 230 Dividir entre -1

Un ngulo mide , otro mide , y el tercero mide . Como 50 + 70 + 60 = 180, la respuesta satisface la relacin de la sumade los ngulos.

En el tringulo que se aprecia en la figura, los ngulos 1, 2 y 3 se llaman ngulos interiores,mientras que los sealados con los nmeros 4, 5 y 6 se llaman ngulos exterioresdel tringulo.Ya que la suma de las medidas de los ngulos de cualquier tringulo es 180, y que un ngulointerno y su respectivo ngulo externo son suplementarios, se deduce el teorema siguiente.

Teorema 8La medida de un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de las medidas de los dos ngulos interiores no adyacentes.

As, por el teorema anterior, la medida del ngulo 6 es igual a la suma de las medidas de los ngulos 1 y 2.

RazonamientoAfirmaciones Razones

1. 1. Construccin2. 2. Forman ngulo llano3. y 3. Alternos internos4.

(Conclusin)4. Sustituyendo


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EjemploCalcule las medidas de los ngulos interiores , y del tringulo anexo y lamedida del ngulo exterior .

De acuerdo con el teorema de los ngulos exteriores, la suma de las medidas de los ngulosinterioresy debe ser igual a la medida del ngulo . Entonces,

Simplificar trminos semejantes

Restar 3x; restar 20 Dividir entre -1

Como el valor de es 60, entonces:

ngulo interior

ngulo interior

ngulo interior

ngulo exterior

TAREA

1. Clasifique cada tringulo como recto u oblicungulo. Asimismo clasifquelos como equiltero, issceles o escaleno.

2. Escriba una definicin de tringulo issceles recto._______________________________________________________________________________________________

3. Un tringulo, puede ser tanto recto como obtuso? Explique su respuesta.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. En la pelcula El mago de Oz, de 1939, una vez que obtiene un cerebro, el Espantapjaros dice lo siguiente: La suma delas races cuadradas de dos lados cualesquiera de un tringulo issceles es igual a la raz cuadrada del otro lado .Proporcione un ejemplo para demostrar que este enunciado es incorrecto.

5.

Calcule el valor de , y si es issceles.

6. Calcule el valor de , y si es un tringulo equiltero.


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7. Encuentra la medida de cada uno de los ngulos indicados.

8. Un poste de luz tiene est diseado de tal forma que y .Calcule

9. A lo largo de una costa recta, dos casas estn situadas en los puntos y .Las casas estn separadas una distancia de 5000 pies (ft). Una pequea isla es visibledesde ambas casas, con ngulos como se indica. Entonces

10.

Un avin se ha estabilizado (est volando horizontalmente) a un altitud de 12000 pies. El piloto puede observar dos pequeas ciudades en los puntos y con ngulos cuya medida se indica en la figura. Entonces

11. Un cuadriltero es un polgono de cuatro lados. Observa la figura y la lnea punteada. Lasuma de las medidas de los cuatro ngulos interiores de cualquier cuadriltero es igual a

_______


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1.3.3 Congruencia de tringulos.

Majestuoso! En la Plaza de la Estatua de Hong Kong, el Banco de China (laestructura que se muestra a la izquierda de la fotografa) se eleva 1209 metros porencima de la plaza. Diseado por I. M. Pei (que estudi en el Instituto Tecnolgico deMassachusetts y tambin se gradu de la Escuela de Postgrado de diseo deHarvard), el Banco de China muestra muchos tringulos de la misma forma y tamao.Tales tringulos, reciben el nombre de tringulos congruentes.

Correspondencias y tringulos congruentes.

En una cita triple, Steve, Bob y Charles acompaaron a Jane, Lisa y Kris. Para indicarla forma en la que cada hombre del conjunto de caballeros fue emparejado con cada mujer del conjunto de damas, podramos usarla siguiente notacin:

Tal emparejamiento de los miembros de un grupo con los miembros del otrogrupo recibe el nombre de correspondencia. Una correspondenciatambin puedeser establecida entre los vrtices de dos tringulos, como se muestra en la figura 1.

Esta correspondencia puede expresarse concisamente usando la notacin: El orden en el que se escriben los vrtices es importante para

poder identificar el emparejamiento de los vrtices:

La correspondencia anterior puede ser escrita de ms de una forma. Por ejemplo, define la mismacorrespondencia que , puesto que en cada caso el mismo par de vrtices son emparejados. Por otra parte, y definen dos correspondencias diferentes.

Una correspondencia especfica tambin sirve para definir un conjunto de ngulos correspondientes y un conjunto de ladoscorrespondientes. Si , las parejas de ngulos y , y , y son ngulos correspondientes. Los segmentoscuyos extremos son vrtices correspondientes determinan lados correspondientes:

Los lados correspondientes son y , y , y . Al dibujar los tringulos, podemos observar que a ladoscorrespondientes se oponen ngulos correspondientes y viceversa.

Definiciones de partes correspondientes de tringulos.

a) ngulos correspondientesLos ngulos correspondientes son parejas de nguloscuyos vrtices estn emparejados de acuerdo a una correspondencia dada en dos tringulos

b) Lados correspondientes Los lados correspondientes son parejas de segmentoscuyos extremos son emparejados de acuerdo a una correspondencia dada en dos tringulos.

Ejemplo 1Dada la correspondencia , nombre todas las parejas de ngulosy lados correspondientes.Solucin


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ngulos o lados incluidos.Con respecto a los ngulos y en la figura 3, el lado se dice que es un lado incluido; o es ellado incluidoo comprendido entre el ngulo y el ngulo . Ahora veamos los ngulos y , esel lado incluido o comprendido entre ellos. Cul es el lado incluido entre los ngulosy ?Dado que los lados y se intersecan en , el ngulo es el ngulo incluidoo comprendido entreellos. Observemos los lados y , el ngulo es el ngulo incluido o comprendido entre ellos.Cul es el ngulo comprendido entre los lados y?

Tringulos congruentes.Los segmentos de recta son congruentes si tienen la misma longitud, y los ngulos son congruentes si tienen la misma medida. Sinembargo, cuando se empieza a trabajar con figuras ms complicadas, se necesita una nueva definicin de congruencia. Noobstante, en el lenguaje comn se dice que dos figuras son congruentes si tienen el mismo tamao y la misma forma.Definicin de tringulos congruentesDos tringulos son congruentessi sus vrtices pueden ser emparejados de forma tal que se cumplen las siguientes condiciones:

1. Todas las parejas de ngulos correspondientes son congruentes.2. Todas las parejas de lados correspondientes son congruentes.

La definicin establece que, para que dos tringulos sean congruentes, seis pares de partes deben ser congruentes: tres pares dengulos y tres pares lados. Una definicin similar puede utilizarse para polgonos congruentes de cualquier nmero de lados. Elsmbolo empleado es .Ejemplo 2Son congruentes los siguientes tringulos? Si es as, escriba la correspondencia entre los tringulos que establece la

congruencia.Solucin.Si,

Ejemplo 3Para dos tringulos congruentes, la correspondencia de los vrtices est dada por , , y . Completelos siguientes enunciados:a) b)

SolucinPrestando la debida atencin al orden de los vrtices correspondientes, obtenemosa) b)

Ejemplo 4En la figura 4 se conservan las siguientes congruencias:

Entonces, por definicin, , las correspondencias son las siguientes:

Las siguientes propiedades que satisfacen los tringulos congruentes sern tiles en demostraciones posteriores y enexplicaciones.

1. (Propiedad reflexiva de la congruencia)2. Si , entonces (Propiedad simtrica de la congruencia)3. Si y , entonces (Propiedad transitiva de la congruencia)

Como la congruencia de tringulos satisface las propiedades anteriores, entonces es una relacin de equivalencia.Podra ser complicado establecer la congruencia entre dos tringulos, debido a que deberamos comprobar que seis pares de partessean congruentes. Sin embargo, no es necesario demostrar que los seis elementos son respectivamente congruentes para verificarla congruencia de dos tringulos. Basta con probar que tres de ellos son respectivamente iguales (al menos uno debe ser un lado).


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TAREA

1. Para cada pareja de tringulos congruentes, identifique los lados y ngulos que son congruentes. Dibuje los guiones yarcos paras indicar las congruencias.

Correspondencia: Correspondencia:

Parejas de ngulos correspondientes: Parejas de ngulos correspondientes:

Parejas de lados correspondientes: Parejas de lados correspondientes:

2. Completa cada enunciado de congruencia.

3. Si cul es el valor de x?

4. Determine si cada proposicin es verdadera o falsa. Si es falsa, muestre un contraejemplo.Proposicin Respuesta

a) Si dos tringulos son congruentes,entonces tienen el mismo permetro

Valor de verdad:__________Explicacin:

b) Si dos tringulos tienen el mismopermetro, entonces son congruentes

Valor de verdad:__________Explicacin:


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Postulados de congruencia de tringulos.

Postulado 1Si los tres lados de un tringulo son congruentes con los tres lados de un segundo tringulo, entonces los tringulosson congruentes (Criterio LLL).

Observa los siguientes tringulos para ver el postulado en accin:

A continuacin aplicaremos el criterio LLL para argumentar que dos tringulos son congruentes.Ejemplo 5Ver figura 5.Dado: y el punto medio de Demuestre que: PLAN:

1. Se cumple que (por hiptesis) y (como es el punto medio de , lodivide en dos segmentos congruentes), entonces se dibuja la misma marca en las parejas de

lados congruentes. Tambin se cumple que (Propiedad reflexiva de lacongruencia), esto lo indicamos dibujando una x en dicho lado.

2. Despus de identificar que hay tres pares de lados congruentes, podemos escribir lademostracin y argumentar la congruencia de tringulos aplicando el criterio LLL.

Ejemplo 6Ver figura 6.Dado: es el punto medio dey de ; Demuestre que:

Postulado 2 Si dos lados y el ngulo incluido de un tringulo son respectivamente congruentes con dos lados y el nguloincluido de otro tringulo, entonces los dos tringulos son congruentes (Criterio LAL).

Mira estos tringulos para ver el postulado en accin:

El orden de las letras LAL en el postulado anterior nos ayuda a recordar que los lados que se nombran tienen el ngulo entreellos.

DemostracinAfirmaciones Razones

1. Por hiptesis

2. Como es el punto medio de , lo divide en dossegmentos congruentes

3. Propiedad reflexiva de la congruencia4.

(Conclusin)Criterio LLL


1. y el punto medio dey de 2. Por hiptesis3.

(Conclusin)Criterio LLL


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Ejemplo 7 Ver figura 7Dado: y Demuestre que: PLAN:

1. Se cumple que (por hiptesis) as que se dibuja la misma marca dichos ladoscongruentes. Adems (propiedad reflexiva de la congruencia), lo cual sealamos conuna x.

2. Como y es la transversal, entonces (porque los ngulos alternos internosson congruentes), as que se dibuja la misma marca en dicha pareja de ngulos congruentes

3.

La congruencia de ambos tringulos se justifica con el criterio LAL

En el ejemplo que se presenta a continuacin los dos tringulos cuya congruencia se va a demostrar comparten un lado en comn,

por ello se formula la siguiente definicin.

Definicin En este contexto identidades la razn que se cita cuando se comprueba que un segmento de recta (o un ngulo) escongruente consigo mismo; tambin se la conoce como propiedad reflexiva de la congruencia.

Ejemplo 8 Ver figura 8Dado: y Demuestre que:

Postulado 3 Si dos ngulos y el lado comprendido entre ellos de un tringulo son respectivamente congruentes con dos ngulosy el lado comprendido entre ellos de otro tringulo, entonces los dos tringulos son congruentes. (Criterio ALA).

He aqu la forma en cmo se aplica el postulado.

Aunque este mtodo se escribe en forma compacta como ALA, debe tener cuidado cuando escriba estas abreviaturas! Porejemplo, ALA se refiere a dos ngulos y el lado comprendido, mientras LAL se refiere a dos lados y el ngulo comprendido. Parautilizar cualquier postulado deben cumplirse las condiciones especficas descritas en el mismo.


1. Por hiptesis2. Como , entonces sus ngulos alternos

internos son congruentes.

3. Identidad4.

(Conclusin)Criterio LAL


1. Por hiptesis

2. Identidad

3.

Como , entonces al cortarse forman nguloscongruentes (definicin de rectas perpendiculares).

4. (Conclusin)

Criterio LAL


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Ejemplo 9Ver figura 9.Dado: es el punto medio de y Demuestre que: PLAN:

1. Marque el dibujo

2. Decida el criterio que se aplicar. En este ejemplo, ALA es apropiado

3. Escriba la prueba formal.

En el ejemplo 10 los tringulos cuya congruencia se va a demostrar se traslapan (vea la figura 10)Para aclarar las relaciones se han dibujado por separado los tringulos en la figura 10.1 Observe quelas partes sealadas como congruentes, se establecen como congruentes en la demostracin.

Ejemplo 10 Ver figura 10

Dado: y (ver figura 10)Demuestre que:

Demostracin

Afirmaciones Razones

1. Por hiptesis

2. Por hiptesis

3. Identidad

4. (Conclusin)

Criterio LLL

Ahora demostraremos un teorema (que se demuestra con el criterio ALA), el cual es conveniente como razn en muchascomprobaciones.

TEOREMA AAL(Mtodo para demostrar la congruencia de tringulos) Si dos ngulos y un lado no incluido son congruentescon dos ngulos y un lado no incluido de un segundo tringulo, entonces los tringulos son congruentes.

Dado: (Ver figura 11)Demuestre que:

Demostracin


1. Por hiptesis

2. Si dos ngulos de un tringulo son congruentes con dos ngulos de otro tringulo,entonces los ngulos restantes son congruentes entre s

3. Identidad

4. (Conclusin)

Criterio ALA


1.

Por hiptesis2. es el punto medio de 3. Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes4.

(Conclusin)Criterio ALA


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TAREA

1. En las siguientes figuras, las partes congruentes ests indicadas por guiones (lados) o arcos (ngulos). Establezca qucriterio se podra utilizar para demostrar la congruencia de dos tringulos.

Criterio: Criterio:

Criterio:Criterio:

2. Nombre los pares de partes adicionales que deben ser congruentes para que los tringulos sean congruentes por elpostulado mencionado.

a) ALA b) AAL

c) AAL d)

3. Complete la demostracin.Dado: y Demuestre que:


1.

y 1.

2. 2. Por hiptesis3.

(Conclusin)3.

4. Complete la demostracin.Dado: y Demuestre que:


1. 1.2. 2.3. 3. Por hiptesis

4.4.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los,ngulos alternos internos son congruentes.

5. 5.6. 6.


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5. La figura muestra cmo el matemtico griego Tales (624 A.C- 547 A.C) determin la distancia entre la costa y las navesenemigas durante una guerra. Avist un barco en el punto y duplic la medida de . Los ngulos en el punto son ngulos rectos. Explique por qu representa la distancia entre la costa y la embarcacin.

6. Dado: y Demuestre:




8. Dado: y Demuestre: y



Demostracin



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Partes correspondientes de tringulos congruentes.

Recuerde que la definicin de tringulos congruentes establece que todaslas seis partes(tres lados y tres ngulos) de un tringulo son congruentes respecto a las seis partescorrespondientes del segundo tringulo. Si se ha comprobado que

por LAL (las partes congruentes estn marcadas en la figura 1, entonces se llega aconclusiones tales como y . La siguiente razn (PCTCC2) se utilizacon frecuencia para deducir tales conclusiones y estn basadas en la definicin detringulos congruentes.

Estrategia para una demostracinUso de PCTCC.Regla general: En una demostracin se debe demostrar que dos tringulos son congruentes antes de demostrar que las PCTCC sepueden utilizar para comprobar que otro par de ngulos o lados de dichos tringulos tambin son congruentes.

Ilustracin:En la prueba del ejemplo 1, se debe establecer la afirmacin 5 (tringulos congruentes) antes de concluir que por PCTCC.

Ejemplo 1 Ver figura 2

Dado: es la bisectriz de y Demuestre que:


1.

Por hiptesis2. La bisectriz de un ngulo lo divide en dos ngulos

congruentes.

3. Por hiptesis4. Identidad5.

LAL6. PCTCC

En el ejemplo 1 se podra haber utilizado fcilmente PCTCC para comprobar que dos ngulos son congruentes. Si se hubierapedido que demostrara que , entonces el enunciado final podra leerse

6. PCTCCSe puede tomar la demostracin del ejemplo 1 un paso ms adelante para demostrar la congruencia de tringulos y despus utilizarPCTCC para tener otra conclusin, tal como en las rectas paralelas o perpendiculares. En el ejemplo 1 suponga que se le ha pedidocomprobar que biseca . Entonces los pasos 16 se mantendran tal como estn y un sptimo paso se leera

7. biseca Si un segmento de recta se divide en dos partescongruentes, entonces se ha bisecado

Estrategia para una demostracinPruebas que implican tringulos congruentes

En este estudio de tringulos se establecern tres tipos de conclusiones:

1.Demostracin de congruencia de tringulos, tales como

2.Demostracin de partes correspondientes de tringulos congruentescomo (Observe que se tiene que demostrar quelos dos tringulos son congruentes antes de que se pueda utilizar PCTCC.

3. Establecer una relacin ms como biseca (Observe que se debe establecer que dos tringulos son congruentes ytambin aplicar PCTCC antes de que se pueda llegar a esta conclusin.)

Cada estudiante de geometra debe tener un plan antes de escribir una demostracin. Aunque generalmente no se escribe el plan,la tcnica se muestra en el ejemplo 2.

Ejemplo 2

Dado: y . Ver figura 3(a)Demuestre que: PLAN.

En la figura 3(a) tenemos el cuadriltero , en el cual secumple que y (por hiptesis), al trazar seforman dos tringulos: y , los cuales se puedenapreciar en la figura 3 (b). Los ngulos y son partescorrespondientes de los tringulos y , respectivamente.Despus de verificar la congruencia entre estos dos tringulos

2PCTCC: Las partes correspondientes de tringulos congruentes son congruentes.


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podemos concluir que el par de ngulos deseados son congruentes. En la figura 3 (c) se marcan las partes congruentes, estosugiere que se debe demostrar la congruencia de los tringulos aplicando el criterio LLL.


1. y Por hiptesis2. Identidad3. LLL4.

(Conclusin)

PCTCC

Estrategia para una demostracinTrazos utilizados para demostrar tringulos congruentes.

Sugerencias para una demostracin que implican tringulos congruentes.

1. Marque las figuras de forma sistemtica, utilizando:

a) Un cuadrado en la abertura de cada ngulo recto.b) El mismo nmero de guiones en los lados congruentesc) El mismo nmero de arcos en los ngulos congruentes.d) Con una x marque los lados comunes.

2. Trace los tringulos cuya congruencia va a demostrarse en colores distintos

3. Si se traslapan los tringulos, dibjelos por separado.

El tringulo issceles

Un tringulo issceles tiene dos lados congruentes, el ngulo formado por estos se llamangulo del vrtice. El otro lado se llama base y los ngulos de la base se llaman ngulos

basales. Los siguientes teoremas referentes a tringulos issceles se demostrarn aplicandolos criterios de congruencia de tringulos.

Teorema de los ngulos basales

En todo tringulo issceles los ngulos basales son congruentes.

La prueba es ms fcil si primero trazamos un segmento auxiliar.

Demostracin.Hiptesis: (es issceles)Tesis: Construccin auxiliar: Se traza , la bisectriz de , es el punto donde se interseca la bisectriz con .


1. Por hiptesis2. es la bisectriz de , definicin

de bisectriz

3. Identidad4.

LAL5.

(Conclusin)PCTCC


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Ejemplo 1 Calculando la medida de los ngulos basales

La medida del ngulo del vrtice de un tringulo issceles es tres veces mayor que la medida deun ngulo basal. Calcula la medida de los ngulos basales.Solucin.

Cmo se puede probar que un tringulo es issceles? El inverso del teorema de los ngulos basales es muy til en este caso.

Inverso del Teorema de los ngulos basales Si dos ngulos de un tringulo son congruentes, entonces los ladosopuestos son congruentes (el tringulo es issceles)

Demostracin.Hiptesis: Tesis: ( es issceles)Construccin auxiliar: Se traza , la bisectriz de , es el punto donde se interseca la bisectriz con

.

Por lo tanto, Un tringulo es issceles si y slo si tiene dos ngulos congruentes.

Ejemplo 2 Comprobando que un tringulo es issceles.

Dado: es la bisectriz de

Demuestre que: es isscelesPLAN:

Demostrar que los ngulos de la base son congruentes entre s mostrando primero que cada uno deellos es congruente con los ngulos formados por la bisectriz de . De esta forma, aplicando la

propiedad transitiva de la congruencia se verificara la congruencia entre los ngulos de la base, locual, por el teorema anterior implicara que se trata de un tringulo issceles.


1. Por hiptesis2. es la bisectriz de , definicin

de bisectriz3. Identidad4. LAL5.

(Conclusin)PCTCC


1. es la bisectriz de , definicin de bisectriz2. Por hiptesis

3.

Si dos rectas son paralelas, entonces los ngulos correspondiente son congruentes4. Si dos rectas son paralelas, entonces los ngulos alternos internos son congruentes5. Propiedad transitiva de la congruencia6. es issceles Un tringulo que tiene dos ngulos congruentes es issceles.


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TAREA

1. Encuentre el valor de cada uno de los ngulos que se indica.

2. El se encuentra en el sistema de soporte estructural de la rueda de lafortuna. Si

y

pies, entonces:

3.

En el tringulo issceles Tambin, Si y , encuentre el permetrode los tringulos indicados.


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Cuadrilteros.

Llamaremos cuadriltero a una figuraplana, cerrada y limitada por cuatrosegmentos. Los segmentos se llamanlados del cuadriltero, y susintersecciones son los vrtices. Cadacuadriltero tiene dos diagonales, queson segmentos que unen dos vrticesno consecutivos. A continuacin semuestra la clasificacin de loscuadrilteros.

Propiedades de los paralelogramos.

Definicin

Un paralelogramo es un cuadriltero en el que los dos pares de lados opuestos son paralelos.

Teorema 9

Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes

Demostracin.Hiptesis: Tesis: y Construccin auxiliar: Se traza , una diagonal de


1. diagonal Por construccin2. y ngulos alternos internos entre paralelas3. Identidad4. ALA5. y

(Conclusin)PCTCC


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Corolario 9.1

En un paralelogramo los ngulos opuestos son congruentes

Corolario 9.2

Los ngulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios

Teorema 10

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio

Demostracin.Hiptesis:y son las diagonales de y se intersecan en el punto Tesis: y

Definicin

Un rectngulo es un paralelogramo que tiene un ngulo recto

A partir de la definicin y del corolario que indica que los ngulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios, sededuce el siguiente:

Corolario

Todos los ngulos de un rectngulo son ngulos rectos y los lados opuestos son congruentes


1. Por hiptesis2. Lados opuestos de un paralelogramo3. ngulos alternos internos entre paralelas4. Lados opuestos de un paralelogramo

5.

ngulos alternos internos entre paralelas6.

ALA7. y

(Conclusin)PCTCC


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Teorema 11

Las diagonales de un rectngulo son congruentes

Demostracin.Hiptesis: con diagonales y Tesis:

TAREA

1. Indique si el cuadriltero es un paralelogramo. Argumente su respuesta.

Es paralelogramo?

.

.

Es paralelogramo?

Es paralelogramo? Es paralelogramo?

2. Calcula las medidas que se indican.

3. Demuestre que al trazar la diagonal de cualquier rectngulo, se forman dos tringulos rectngulos congruentes.

Demostracin.Hiptesis:_______________________________________________Tesis: ____________________________________


1.

Por hiptesis2. Lados opuestos de un rectngulo

3. Identidad4. Todos los ngulos de un rectngulo son rectos.5.

LAL6.

(Conclusin)PCTCC



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4. Dado: con el punto medio de Demuestre que: es issceles.

5. Dado: , biseca a y biseca a

Demuestre que:es un paralelogramo

6. Los siguientes cuadrilteros son paralelogramos. Calcula las longitudes que se piden.




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1.3.4 Construcciones con regla y comps.

Los griegos no estudiaron lgebra en la forma en que lo hacemos nosotros. Para ellos, la geometra era la expresin ms elevadade la ciencia matemtica; su geometra era una materia abstracta. Cualquier aplicacin prctica que resultara de su trabajo eraagradable pero no se le conceda mayor importancia. Para los griegos, una construccin geomtrica tambin necesitaba poseer

belleza abstracta. Una construccin no poda contaminarse con instrumentos prcticos tales como las reglas. Los griegos permitansolo dos herramientas en la construccin geomtrica: comps para dibujar crculos y arcos de crculo, y un objeto derecho paratrazar segmentos rectilneos. El objeto recto, a diferencia de una regla, no poda tener marcas. No estaba permitido alinear puntoscon la vista. A continuacin se presentan construcciones bsicas. Sus justificaciones se basan en las propiedades de congruenciade tringulos.

Construccin 1. Copiar un segmento dado.

Construccin 2. Construir la mediatriz de un segmento de recta dado.


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A continuacin se justificar la construccin anterior.

Demostracin.Hiptesis:con (por construccin)Tesis: y

La afirmacin 8 muestra que es el punto medio de y la afirmacin 12 indica que es perpendicular a . As que, pordefinicin, es la mediatriz de .

Construccin 3. Construir la bisectriz de un ngulo dado.

La demostracin de esta construccin se deja como tarea.


1. y Por construccin

2.

Identidad

3. LLL4. PCTCC5. Por construccin

6. Identidad7.

Afirmaciones 46, LAL8.

(Conclusin 1)

PCTCC

9. PCTCC10. y ngulos opuestos por el vrtice11. Afirmaciones 9 y 10, propiedad transitiva

de la congruencia

12.

(Conclusin 2)

Si dos rectas se cortan formando 4 nguloscongruentes, entonces son perpendiculares.


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40

Construccin 4. Construir una perpendicular a una recta dada a partir de algn punto dadosobre sta.


Construccin 5. Construir una perpendicular a una recta dada desde un punto fuera de sta.

A continuacin se justificar la construccin anterior.Demostracin.

Hiptesis: no est sobre con y (por construccin)Tesis:


1. no est sobre Por hiptesis2. y Por construccin

3. Identidad4. LLL5. PCTCC6. Identidad7. Afirmaciones 2, 5 y 6; LAL

8.

PCTCC9.

Conclusin

Si dos rectas coinciden para formar ngulos adyacentescongruentes, dichas rectas son perpendiculares.


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TAREA

1. Realice las construcciones requeridas usando regla y comps e indique las relaciones entre las construcciones utilizandola notacin apropiada.

Dado el segmento , construya un segmento sobre larecta congruente a.

Construya la mediatriz de cada uno de los siguientessegmentos.

Construya la mediatriz de los siguientes ngulos Construya la recta perpendicular a la recta dada que pasa por elpunto

Construya la recta perpendicular a la recta dad que pasa por elpunto exterior

Construya la bisectriz del ngulo dado

Construya la recta perpendicular a que pasa por el puntoexterior .

Constuya un tringulo equiltero cuyos lados seancongruentes con


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2. Justifique el mtodo para construir la bisectriz de un ngulo. Proporcione las razones que faltan en la demostracin.

Demostracin.Hiptesis: (por construccin)Tesis: biseca al

3. Justifique el mtodo para construir la recta perpendicular a una recta dada en un punto de dicha recta.

Demostracin.Hiptesis: _____________________________________________________________Tesis: _________________________________________________________________

4. Un carpintero ha colocado una escuadra sobre un ngulo de tal manera que y (vea la figura). Qu puede concluir acerca de la ubicacin del punto ?

Demostracin del paralelismo de rectas.

Alguna vez ha observado un estacionamiento desde un edificio alto? El estacionamiento est llenode segmentos de lnea que aparentan ser paralelos. Los trabajadores que los pintaron deben tener lacerteza de que son paralelos.

Cuando las lneas que delimitan un espacio de estacionamiento se intersecan con la franja central, losngulos que se forman son correspondientes. Si las lneas son paralelas, sabemos que los nguloscorrespondientes son congruentes. Inversamente, si los ngulos correspondientes son congruentes,entonces las lneas deben ser paralelas.

Postulado

Si dos rectas en un plano son cortadas por una transversal y los ngulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas sonparalelas.

Es decir, si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

a) b) c) d)

Entonces, por el postulado anterior se concluye que .El postulado anterior justifica la construccin de lneas paralelas.


1. 2. 3. 4. 5. 6. biseca al

Conclusin

Razonamiento



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Construccin 6. Construir un ngulo congruente a un ngulo dado.


Construccin 7. Construir una recta paralela a otra que pasa por un punto dado.

La construccin anterior sugiere que existe al menos una recta que pasa por y que es paralela a . En 1795, el fsico escocsJohn Playfair proporcion la versin moderna del Postulado de las paralelas de Euclides, el cual establece que existe exactamenteuna recta paralela a otra que pasa por un punto exterior dado.


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Postulado de las paralelasDada una recta y un punto que no pertenece a ella, por dicho punto se puede trazar exactamente una recta paralela a la recta dada.

Cuando dos lneas paralelas son cortadas por una transversal se forman muchos pares de ngulos congruentes. Inversamente, lasparejas de ngulos congruentes pueden determinar si un par de lneas son paralelas,

Teoremas para demostrar que dos rectas son paralelasTeorema Ejemplo Modelos

Si dos rectas son cortadas por una transversal de forma tal que los ngulosalternos internos son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas

Si o , entonces .

Si dos rectas son cortadas por una transversal de forma tal que los ngulosalternos externos son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas Si o , entonces .

Si dos rectas son cortadas por una transversal de forma tal que los ngulosconsecutivos son suplementarios, entonces las rectas son paralelas

Si o , entonces .

Si dos rectas son perpendiculares a la misma lnea, entonces dichas rectasson paralelas.

Si y , entonces .

Distancia de un punto a una recta.

Al instalar repisas es importante que los soportes verticales sean paralelos entre s para poderalinearlas. Una tcnica para hacerlo consiste en instalar el primer soporte y despus usar unaescuadra de carpintero para medir y marcar dos o ms puntos a la misma distancia del primersoporte. Despus se alinea el segundo soporte con esas marcas.

Observemos que el ltimo teorema establece que si dos rectas son perpendiculares a la mismarecta, entonces son paralelas entre s. La escuadra de carpintero se usa para construir lneas

perpendiculales a cada soporte, el espacio entre estos se mide a lo largo del segmento perpendicular. De esta forma se garantizaque los soportes sean paralelos. Hemos visto un ejemplo en el que se usan lneas y segmentos perpendiculares para determinardistancias. El segmento ms corto que de un punto a una recta es el segmento perpendicular que los une.

Ejemplo 1 Identificando rectas paralelas.

En la figura, biseca a . Determine qu lneas, si las hay, son paralelas. La suma de los ngulos internos de un tringulo debe ser igual a 180, as que

Como y tienen la misma medida, entonces son congruentes. Como los ngulos correspondientes son congruentes, entonces

, porque biseca a . As que y son ngulos alternos internos pero tienen diferentes medidas, as que no son congruentes, entonces

no es paralela a o .Ejemplo 2 Calcule el valor de que yde forma tal que se cumpla que .Para que se cumpla que , los ngulos correspondientes deben ser congruentes, esdecir, deben medir lo mismo, razn por la cual se puede plantear la siguiente ecuacin: ngulos correspondientes Sustituyendo Restando en ambos miembros Sumando 11 en ambos ladosPor lo tanto, si , entonces Ejemplo 3 Distancia de un punto a una recta.Dibuje el segmento que representa la distancia de a .Ya que la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que los une, se

prolongay se traza de forma que


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TAREA

1. Realice las construcciones requeridas usando regla y comps e indique las relaciones entre las construcciones utilizandola notacin apropiada.

Se proporciona un ngulo y un rayo. Copia el ngulo de talforma que el rayo sea uno de los lados del ngulo copiado

Dado y rayo , construya congruente con

Construya una recta que pase por y sea paralela a la rectadada

Construya una recta que pase por paralela a

2. Halle de forma tal que .


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3. Justifique el mtodo para construir un ngulo congruente con un ngulo dado.Demostracin.Hiptesis: y (por construccin)Tesis:

4. Complete la siguiente demostracin.Dado: y son suplementariosDemuestre:es un paralelogramo

5. Dibuje el segmento que representa la distancia indicada.

Dibuje el segmento que representa la distancia de a Dibuje el segmento que representa la distancia de a

6. Servicios pblicosA menudo los constructores de viviendas suelen ubicar la caera principal de forma tal que seocupe la cantidad mnima de tubo para conectar la toma de agua con el suministro. Dibuja una posible ubicacin para lacaera principal en el diagrama.


1. 2.

3.

4. 5.

Conclusin


1. 2. Por hiptesis3.

Si dos rectas se cortan por una transversal de manera que losngulos alternos internos son congruentes, dichas rectas son

paralelas4.

ConclusinSi los lados opuestos de un cuadriltero son paralelos, entonces elcuadriltero es un paralelogramo.


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1.3.5 Rectas y puntos notables del tringulo.

Alturas.

Se llama altura a cada uno de los segmentos perpendiculares trazados desde un vrtice al ladoopuesto o a una prolongacin de este.

La altura de un tringulo no siempre queda en el interior del tringulo.

Todo tringulo tiene tres alturas, las cuales se intersecan en un punto llamado ortocentro. Cuando treso ms rectas se cortan en un punto se llaman rectas concurrentes.

Mediatrices.

Se llama mediatrizal segmento, rayo o recta perpendicular a cada lado y que pasa por el puntomedio.

Todo tringulo tiene 3 mediatrices. El punto de concurrencia de las mediatrices se llama circuncentro.


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Como el circuncentro equidista de los tres vrtices, entonces es posible trazar una circunferencia que pase por los tres vrtices deltringulo.

Ejemplo 1Para cada tringulo, indique el nombre del segmento o recta en color rojo.

Como y es el punto medio

de , entonces, es la mediatriz deen

Como pero no es el punto

medio de , entonces, es la alturatrazada desde hasta en

Como y es el puntomedio de , entonces, es lamediatriz deen

Como entonces es laaltura trazada desde hasta en. Tambin se sabe que es el

punto medio de , por lo tanto, es una mediatriz (pasa por el

punto medio y es perpendicular auno de los lados) de .


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TAREA

1. Para cada tringulo, indique si el segmento o lnea roja es una altura, una mediatriz, ambas, o ninguna.

2.

Halle y si es una altura de y

3. Halle si es una altura de

4. Arquitectura. Un arquitecto est diseando un edificio escolar. Describe cmo ubicar la oficina central para que seaequidistante a cada uno de los tres accesos a la escuela y haciendo uso del diagrama seala su posicin.

5. Traza un tringulo y localiza su ortocentro.6. Traza un tringulo, localiza el circuncentro y traza la circunferencia circunscrita.


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Bisectrices.

Se llama bisectriza cada una de las rectas, rayos o segmentos que dividen los ngulos interiores deun tringulo en dos ngulos congruentes.

Todo tringulo tiene tres bisectrices, las cuales se intersecan en un punto llamado incentro. A partir del teorema anterior se puededemostrar el siguiente resultado.

Como el incentro es equidistante a cada lado, entonces es posible trazar una circunferencia que quede en el interior del tringulo.Dicho de otra forma, el incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo. Ntese que el radio de dichacircunferencia es precisamente la distancia del incentro a cualquiera de los lados.


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Ejemplo 2 En ,es la bisectriz de . Calcule Definicin de bisectriz Sustitucin Restando en ambos lados Dividiendo entre 3 en ambos lados As que,

TAREA

1. En yson bisectricesa) Si , entonces ________

b) Si , entonces _________c) Si , entonces _________d) Si , entonces __________

2. En y son bisectrices.a) Si , entonces ________

b) Si , entonces _________

c)

Si , entonces _________d) Si , entonces __________e) Si es recto, entonces _________

3. En es una bisectriz. Si y , calcula .

4.

En la figura se muestra un puente atirantado. Observeque las torres son bisectrices de cada tringuloformado por los tirantes y la carretera.a) Si , entonces ________

b) Si , entonces _________

5. Demuestra el siguiente teorema: Cualquier punto sobre la bisectriz es equidistante alos lados del ngulo.

Demostracin.Hiptesis: _____________________________________________________________

Tesis: _________________________________________________________________Razonamiento



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6. Halla el incentro y dibuja la circunferencia inscrita en el siguiente tringulo.

Medianas.

Se llama medianaal segmento que une un vrtice con el puntomedio del lado opuesto.

Todo tringulo tiene tres medianas. El punto de concurrencia de las medianas se llama centroideobaricentro, el cual es el punto de equilibrio de cualquier tringulo.

Ejemplo 3 Medidas desegmentos.

Los puntos y son los puntos medios de y respectivamente. Halle y a) Hallar .

Sustitucin Simplificando

Teorema del centroide

Pues Multiplicando cada lado por 3 y simplificando

Restando 2 a cada lado Dividiendo cada lado entre 4

b) Hallar

Teorema del Centroide

Pues Multiplicando cado lado por 3 y simplificando.

Restando a cada ladoc) Hallar

Teorema del Centroide

Pues Multiplicando cada lado por 3 y simplificando

Restando 9.2 en ambos lados Dividiendo cada lado entre 8

Ejemplo 4 En , y son medianas. Si y halle


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Dado que y son medianas, entonces y son los puntos medios. Primero se calcula el valor de , utilizando los valoresdados de y .

Definicin de punto medio Sustituyendo

Sumando 1 a ambos lados Restando en ambos lados

A continuacin se usa el valor de y de para hallar Definicin de mediana

Sustitucin

Pues

Simplificando.

TAREA

1. En y son medianas.a) Si , entonces ________

b) Si , entonces _________c) Si , entonces _________

2. En y son medianas.a) Si , entonces ________

b)

Si , entonces _________c)

Si , entonces _________

3. En y son medianas. Si y . Cul es el valorde ?

4. y son las medianas de . Cul es la medida de si y ?


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5.

En el mapa, los puntos representan las ciudades de Sandersville, Waynesboro y Anderson, las cuales forman untringulo. El punto que representa a Thomson es el centroide del tringulo. Supongamos que Washington est a mediocamino entre Anderson y Sandersville, Louisville est a medio camino entre Sandersville y Waynesboro, y la distancia deAnderson a Thomson es de 75 millas. Cul es la distancia de Tomson a Louisville?

6. En y son medianas. Halla si

7. Halla y las medidas indicadas si es una mediana de .

8. Localice el centroide del siguiente tringulo.


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1.3.6 Semejanza de tringulos.

Razn y proporcin.

Razones.Alan tiene 30 aos de edad y Bob tiene 10 aos. Cmo podramos comparar sus edades? Es obvio que Alan es 20 aos mayorque Bob. Sin embargo, en algunas ocasiones es deseable comparar dos nmeros determinando cuntas veces es mayor (o menor)un nmero que es comparado con un segundo nmero. Esto se puede averiguar si dividimos el primer nmero entre el segundonmero:

Alan es 3 veces mayor que Bob. El resultado de dividir dos nmeros se llama razn.

Definicin

Una raznes la comparacin de dos cantidades por medio de la divisin

La razn de dos nmeros, y ( ), puede ser escrita de diferentes formas. Por ejemplo,

Generalmente para representar una razn se utilizan la primera y la ltima de las formas anteriores.

Al escribir la razn de dos nmeros, resulta til expresar la razn (fraccin) en forma simple. Por ejemplo, la razn de 50 a 100 sepodra representar as:

Al calcular razones, cada nmero puede ser expresando en diferentes unidades de medida. Por ejemplo, si un automvil recorre120 millas en 3 horas, entonces la razn de la distancia recorrida respecto al tiempo es:

El valor de es la rapidez promedio del automvil.

Sin embargo, una razn se forma para determinar cuntas veces es mayor una cantidad en relacin con otra, as que ambascantidades deben expresarse en la misma unidad de medida. Por ejemplo, si la longitud de es de 2 pies y la longitud de esde 16 pulgadas, entonces, para averiguar cuntas veces es mayor con respecto a , es necesario utilizar una unidad demedida. En este ejemplo es conveniente expresar los pies en trminos de pulgadas. Como 2 pies son equivalentes a 24 pulgadas,se puede escribir:

La razn de la longitud decon respecto aes . Como la representacin decimal de es se puede decir que es

1.5 veces la longitud de .Ejemplo 1 Escribiendo una razn.

La Oficina del Censo de los Estados Unidos encuest a 9490 escuelas preparatorias a nivel nacional sobre sus programas de ftbolfemenino. Se descubri que 309,032 chicas participaron en los programas de ftbol durante el ciclo escolar 2003-2004. Calcule larazn de chicas que juegan ftbol por escuela.

Se divide el nmero de chicas que juegan ftbol entre el total de escuelas.

Es decir, 33 chicas juegan ftbol por escuela.

Proporciones.


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La razn

puede ser simplificada como

, es decir:

Una igualdad entre dos razones se llama proporcin. La proporcin anterior tambin puede escribirse en la forma

Definicin

Una proporcines una igualdad entre dos razones. Las razones

y

son proporcionales si y slo si:

La propiedad siguiente es muy conveniente para resolver proporciones.

Propiedad Fundamental de las ProporcionesEn toda proporcin, los productos cruzados son iguales, es decir:

Si

entonces

Antes de poder establecer una proporcin, debemos verificar que los productos cruzados sean iguales. Por ejemplo, no se puede

establecer la proporcin

pues , es decir, los productos cruzados no son iguales.

Ejemplo 2 Utilice la Propiedad Fundamental de las Proporciones para calcular el valor de en las siguientes proporciones.


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En problemas prcticos que implican proporciones es necesario ordenar las cantidades relacionadas en cada razn. En el primerpaso en la solucin del siguiente ejemplo ilustra el cuidado que se debe tener al formar la proporcin para una aplicacin.

Ejemplo 3 Si un automvil puede viajar 90 millas con 4 galones de gasolina, qu tan lejos puede viajar con 6 galones degasolina?

Solucin La proporcin tiene la forma

Sean las millas recorridas en el segundo viaje, se tiene:

Por lo tanto, el automvil puede viajar 135 millas con 6 galones.

En la proporcin

donde el segundo y tercer trminos de la proporcin son idnticos, se denomina media proporcionalde

y . Por ejemplo, 6 y -6 son las medias proporcionales de 4 y 9 debido a que

y

. Puesto que por lo general en las

aplicaciones de geometra se requieren soluciones positivas es usual buscar slo la media proporcional positiva de y .Ejemplo 4 En la figura 1,es la media proporcional de y . Si y ,determine

Solucin Comoes la media proporcional de y , entonces se puede establecer que

. Debido a que , se sabe que Por tanto,

en donde es la longitud de. Aplicando la Propiedad Fundamental de las Proporciones setiene:

Para tener una longitud apropiada para, la media proporcional es la solucin positiva. Por tanto .

Una relacin proporcional extendidacompara ms de dos cantidades y se debe expresar como o . Si se sabe quelos ngulos de un tringulo son 90, 60 y 30, entonces la relacin que compara estas medidas es o (ya que90, 60 y 30 tienen a 30 como el mayor factor comn.

Propiedad de las relaciones proporcionales

Las cantidades desconocidas en la relacin se deben representar por y

Ejemplo 5 Suponga que el permetro de un cuadriltero es 70 y las longitudes de los lados estn en la relacin .Encuentre la medida de cada lado.

SolucinSe representan las longitudes de los lados como y . Entonces:


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Puesto que y , las longitudes de los lados son .

Es posible resolver ciertos problemas en ms de una forma, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Sin embargo, la solucin esnica y no se modifica por el mtodo elegido.

Ejemplo 6 Las medidas de dos ngulos complementarios estn en la relacin proporcional 2 a 3. Encuentre la medida de cadangulo.

SolucinSi el primero de los ngulos complementarios tiene una medida , entonces el segundo mide . Por lo tanto se

tiene que:

Utilizando la Propiedad Fundamental de las Proporciones se tiene

Los ngulos miden 36 y 54 respectivamente.

Solucin alternaPuesto que las medidas de los ngulos estn en la relacin 2:3, sean sus medidasy . Ya que los ngulosson complementarios,

Ahora, y , por lo que las medidas de los ngulos son 36 y 54 respectivamente.

As como existen relaciones proporcionales extendidas, tambin hay proporciones extendidas, como

Como se sugiere por distintos nmeros de porciones de una receta particular, el enunciado siguiente es una proporcin extendidaque compara el nmero de huevos con el nmero de tazas de leche:

Ejemplo 7 En los tringulos que se muestran en la figura 2,

Encuentre las longitudes de y

SolucinSustituyendo en la proporcin

se tiene

De la ecuacin

Se deduce que y que . Utilizando la ecuacin


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Se encuentra que por tanto,

TAREA

1. Escribe cada razn en su forma simple.

2. Encuentre el valor de en cada proporcin.

3. Sara corri los con obstculos en segundos. En metros por segundo, encuentre la rapidez con la que corriSara. Proporcione la respuesta hasta la dcima ms cercana

4. Una receta requiere 4 huevos y 3 tazas de leche. Con el fin de preparar para un nmero mayos de invitados, un cocineroutiliza 14 huevos, cuntas tazas de leche se necesitan?

5. Un electricista instala 20 tomacorrientes en una casa nueva de seis habitaciones. Si se supone proporcionalidad, cuntoscontactos elctricos se deben instalar en una construccin nueva con siete habitaciones? (Redondee a un nmero entero).


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6. Un cereal para el desayuno contiene trigo, arroz y avena en la proporci

antología geometría y trigonometría v5

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