cuaderno de trabajo de geometría y trigonometría

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y

TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO

Geometría y Trigonometría

1 Ing. Edison Villacrés

Geometría y Trigonometría Cuaderno de Trabajo

Nombre: _________________________

El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se

llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante mundo de las matemáticas.

2013





Primer Parcial

Secuencia 1 Actividad I

Prueba de Diagnóstico

Nombre: ______________________________ Grupo: ___________

Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas.

1. Según tu propia percepción, escribe la definición de Geometría:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

2. ¿qué es un punto?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

3. La recta, es una línea que tiene todos sus puntos en una misma dirección, cuando los puntos no siguen

una misma dirección la línea puede ser: curva, quebrada o mixta, según tu percepción, clasifica las

siguientes líneas:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ _______________

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ _______________

𝐸𝐹̅̅ ̅̅ _______________

𝐺𝐻̅̅ ̅̅ _______________

4. ¿Qué entiendes por superficie?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

5. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son

perpendiculares, ¿en qué nos basamos para afirmar esta aseveración?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

6. Escribe el significado de hipótesis:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

7. ¿Cuáles son las rectas paralelas?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

8. El teorema de Pitágoras de Sarrios enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un

triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

9. ¿Qué es un segmento?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

10. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú

que influye el ángulo en el que el competidor lanza el objeto?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________





Puntos y Rectas

Puntos

Un punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posición. Se nombran con letras mayúsculas.

Rectas

Una recta tiene una dimensión, longitud; se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra

minúscula. Dos puntos determinan una recta.

Dos rectas que se cortan determinan un punto.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha

o de derecha izquierda.

Semirrectas

Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.





Planos

Un plano posee dos dimensiones: longitud y anchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β

(beta)... Dos planos que se cortan determinan una recta.

Un plano viene determinado por:

Tres puntos no alineados.

Dos Rectas que se Cortan.

Dos Rectas Paralelas.

Por un Punto y una Recta.

Semiplanos

Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.





Posiciones Relativas de Rectas en un Plano

Rectas Paralelas.- Son las que estando en el mismo plano, no son secantes.

Rectas Secantes.-Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección.

Rectas Coincidentes.-Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen.

Rectas Perpendiculares.- Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales.

Segmentos

Definición de Segmento.- Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

Tipos de Segmentos

Segmento Nulo.- Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Segmentos Concatenados.- Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común .

Segmentos Consecutivos.- Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en

común pertenecen a la misma recta.





Mediatriz de un Segmento.- La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del

segmento y es perpendicular a él.

Operaciones con Segmentos

Suma de Segmentos.- La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del

primer segmento y como final el final del segundo segmento

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.

Resta de Segmentos.- La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del

segmento menor y por final el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos.

Producto de un Número por un Segmento.- El producto de un número con un segmento es otro

segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica





La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.

División de un Segmento por un Número.- La división de un segmento por un número es otro segmento

tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original

La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.

División de un Segmento en Partes.- Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir

de A.

Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con

la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3

partes iguales en que se divide.





Secuencia 1 Actividad II

1. Observen la figura y respondan lo que se les pide:

a. Determina tres segmentos_______________________________

b. Determina cinco puntos _________________________________

c. Determina una figura plana_______________________________

d. Determina dos Segmentos Paralelos ________________________

e. Determina dos segmentos perpendiculares____________________

f. Determina un ángulo ___________________________________.

2. Relaciona las definiciones de la derecha con el número correspondiente al enunciado de la izquierda.

a. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales,

los resultados son iguales.

b. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una

recta y solo una.

c. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo valen

un ángulo recto.

d. Llámese así a toda proposición que puede ser demostrada

mediante un conjunto de razonamientos que conducen a la

evidencia de la verdad.

e. Elemento geométrico elemental que no tiene partes, solo

posición.

f. A un conjunto de puntos continuos, en una misma dirección le

llamamos.

g. Límite que separa los cuerpos del espacio que los rodea y que

tiene dos dimensiones (largo y ancho).

h. Fin y término del procedimiento deductivo, que establece

absolutamente convincente una verdad.

i. Se le llama así al conjunto de puntos comprendidos entre dos

puntos señalados en una recta.

j. ¿Nombre que reciben las rectas de un plano, cuando al

prolongarse no tienen ningún punto en común?

k. Son dos rectas que se intersecan en un punto formando un

ángulo de 90°.

l. Es un par de rectas que se cortan entre sí formando un par de

ángulos más grandes que otro par.

m. Tienen su sentido definido de arriba hacia abajo o de abajo

hacia arriba.

n. Es la línea imaginaria que se traza respecto al horizonte al

atardecer.

o. Etimológicamente su nombre alude a las raíces griegas que

significan "medir la Tierra".

( ) Geometría

( ) Axioma

( ) Vertical

( ) Corolario

( ) Superficie

( ) Paralelas

( ) Punto

( ) Teorema

( ) Demostración

( ) Perpendiculares

( ) Horizontal

( ) Segmento

( ) Oblicuas

( ) Línea recta

( ) Postulado





3. Completen los enunciados a las preguntas siguientes:

a. Para que un segmento se transforme en una semirrecta, es necesario que:__________________

b. Para que un segmento se transforme en recta se necesita que:___________________________

c. Si tuvieran dos rectas diferentes, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?___________________

d. Si fueran paralelas, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_____________________________

e. Si fueran perpendiculares ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_________________________

f. ¿Qué ángulos se forman al cortarse dos rectas perpendicularmente? ______________________

g. Si se sabe que no tiene dimensiones, sino sólo posición, se habla de: _______________________

h. Si se sabe que sólo tiene una dimensión, se habla de:__________________________________

i. ¿Qué entienden por semiplano? _________________________________________________

4. De acuerdo a la posición que guardan las siguientes rectas escribe de cual se trata.

A con B _______________

F con C _______________

F con A _______________

E con B _______________

E con D _______________

D con B _______________

A con D _______________

A con E _______________

B con F _______________

D con F _______________

5. Con base en las figuras, escriban lo que se pide en cada caso:

a. Dos parejas de segmentos perpendiculares

b. Una pareja de segmentos paralelos

c. Una pareja de segmentos paralelos

d. Una pareja de segmentos perpendiculares





e. Dos parejas de segmentos paralelos

f. Tres puntos

g. Cuatro puntos

6. Tracen lo que se pide en cada caso:

a. Dos rectas paralelas

b. Un punto P

c. Un plano

d. Dos rectas perpendiculares

e. Una semirrecta

f. Un segmento AB

g. Una recta m

h. Un segmento RS de 3 cm

i. Un sólido geométrico





j. Una recta horizontal

k. Es una parte del plano limitada por una recta

l. Es la porción de recta limitada por dos puntos

m. Es la recta perpendicular al horizonte

7. Resuelvan los problemas siguientes:

a. Tracen un polígono que tenga cinco segmentos

b. Tracen un plano y en él tres puntos no colineales

c. Representen la intersección de dos planos

d. Señalen dos puntos y tracen todas las rectas que los unan

8. Completen cada enunciado

a. Son dos rectas que al cortarse forman ángulos de 90°

b. son dos rectas que al prolongarse se cortan en un punto

9. Realicen lo que se pide en cada caso:

a. Dibujen algo que esté formado por planos.

b. Dibujen algo que esté formado por rectas paralelas.

c. Dibujen algo que contenga al menos tres parejas de segmentos perpendiculares.





10. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son

perpendiculares, ¿en qué nos basamos para hacer esta aseveración?

11. Escribe el significado de hipótesis

12. ¿Cuáles son las rectas paralelas?

13. El Teorema de Pitágoras de Samos enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un

triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:

14. ¿Qué es un segmento?

15. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú

que influye el ángulo en el que el competidor lanza dicho objeto?





Ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se

las llama lados y al origen común vértice.

Medición de ángulos

Para medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (° )

Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

1𝑜 = 60′ = 3600′′

1′ = 60′′

Radián. - Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide

con la longitud de su radio.

1 𝑟𝑎𝑑 = 57𝑜 17′ 44.8′′

360𝑜 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

Operaciones con ángulos

Suma de Ángulos

a. Gráfica

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya ampl i tud es la suma de las ampl itudes de

los dos ángulos in ic ia les .

b. Numérica

1. Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados , los minutos debajo de los

minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman .

320 24′ 48′′

+ 430 49′ 25′′

750 73′ 73′′





2. Si los segundos suman más de 60 , se d iv ide dicho número entre 60 ; el resto serán los

segundos y el coc iente se añadirán a los minutos .

73′′ 60

13′′ 1′ 750 74′ 13′′

3. Se hace lo mismo para los minutos.

74′ 60

14′ 1𝑜 760 14′ 13′′

Resta de Ángulos

a. Gráfica

La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la d iferenc ia entre la ampl itud

del ángu lo mayor y la del ángu lo menor .

b. Numérica

1. Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados , los minutos debajo de los

minutos y los segundos debajo de los segundos .

520 23′ 78′′

- 430 49′ 25′′

2. Se restan los segundos . Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en

60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

52023′78′′

- 43049′25′′

53′′

3. Hacemos lo mismo con los minutos.

52023′78′′

- 43049′25′′

08𝑜33′53′′

Multiplicación de Ángulos

a. Gráfica

La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos

iguales al dado como indique el número.





b. Numérica

1. Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.

320 23′ 49′′

* 5

160𝑜 115′ 245′′

2. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y

el cociente se añadirán a los minutos.

245′′ 60

5′′ 4′ 1600 119′ 5′′

3. Se hace lo mismo para los minutos.

119′′ 60

59′′ 1′ 1610 59′ 5′′

División de ángulos

a. Gráfica

La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da

como resultado el ángu lo original.

/4 =

b. Numérica

Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1. Se dividen los grados entre el número.

37𝑜 5

2 7𝑜

2. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

37𝑜 5

2 7𝑜

2 ∗ 60 = 120′

3. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

48 + 120′ = 168𝑜 168𝑜 5

18 3

33′

3 ∗ 60 = 180′′





4. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

25 + 180′ = 205𝑜 205′′ 5

5 0

41′

7𝑜33′41′′

Tipos de ángulos

Clasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0º

Mayor de 360°

Tipos de Ángulos Según su Posición

a. Ángulos Consecutivos

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.





b. Ángulos Adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno

en prolongación del otro.

Forman un Ángulo Llano.

a. Ángulos Opuestos por el Vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los

ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.

Clases de Ángulos según su Suma

a. Ángulos Complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

b. Ángulos Suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Ángulos entre Paralelas y una Recta Transversal

a. Ángulos Correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.





b. Ángulos Alternos Internos


c. Ángulos Alternos Externos


Ángulos en la Circunferencia

a. Ángulo Central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

b. Ángulo Inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.





c. Ángulo Semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

d. Ángulo Interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de

las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

e. Ángulo Exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o

uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la

circunferencia.

f. Ángulos de un polígono regular

g. Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central =

360°: n Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º





h. Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior =180° − Ángulo central. Ángulo interior del

pentágono regular = 180° − 72º = 108º

i. Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores

son suplementarios, es decir, que suman 180º.

j. Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Bisectriz

Definición de bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.

Trazar la bisectriz

1. Se traza un arco correspondiente al ángulo

2. Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que

han de cortarse en un punto.

3. La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.

Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo

1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.

2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias

con el mismo radio.

3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la

bisectriz.

Incentro

El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo.

El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.





Secuencia 1 Actividad III

1. Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas:

Mide con un trasportador las siguientes figuras e indica con tres letras los ángulos: adyacentes,

consecutivos, opuestos por el vértice, rectos, agudos, y obtusos.

2. Contesta brevemente lo que se te pide.

a. ¿Cómo se designan (nombran) los ángulos?

b. ¿Qué tipos de ángulos conoces?

c. ¿Qué es un ángulo?

d. ¿Cuánto mide un Ángulo Recto?





3. Halla el Conjugado de los siguientes Ángulos

Ángulo Conjugado Gráfica

300º

20º

150º

359º

180º

4. En las siguientes figuras encuentra el valor de “X”





5. Calcula el valor de los siguientes ángulos.

ÁNGULOS SOLUCIÓN





6. En la siguiente figura = 110𝑜 𝑦 = 53𝑜 obtén los valores de los ángulos b, c, d y e, también

demostrar que b + d + e = 180𝑜

ÁNGULOS SOLUCIÓN

7. Realiza las conversiones de grados a radianes o radianes a grados, según lo que se pide

Grados a Radianes Radianes a Grados 78𝑂

5 𝑟𝑎𝑑

175𝑂

3𝜋

5 𝑟𝑎𝑑

64𝑂27′35′′

12 𝑟𝑎𝑑

143𝑂56′19′′

3.5 𝑟𝑎𝑑

245𝑂

𝜋

7 𝑟𝑎𝑑





8. Escribe el nombre correspondiente a los ángulos señalados, según su posición de sus lados

9. Identifica los ángulos y completen correctamente lo que sigue:

10. Complete cada enunciado:

a. Ángulo equivalente a dos rectas

b. Si mide 78𝑜, entonces es un Ángulo

c. Si el Angulo 𝛽 = 200𝑜 es un Ángulo

d. Si �̂� = 106𝑜 es un Ángulo

e. ¿Qué sucede si �̂� = 400𝑜?

11. Realice lo que se pide, para lo cual usen la figura.

a. Nombren tres ángulos rectos

b. Nombren cinco ángulos agudos

c. Nombren cuatro ángulos obtusos

d. Nombren tres ángulos llanos

e. Nombren dos ángulos convexos





12. Resuelvan los problemas siguientes:

a. Si se tiene un ángulo recto y se coloca un tercer lado para formar un triángulo, ¿qué clase de

ángulos serán los otros dos?

b. En un reloj de manecillas, si se toma a la aguja pequeña como lado inicial y a la aguja grande como

lado final, ¿qué ángulo se forma a las 10:30, 3:05, 12:00? Nombren tres horas diferentes donde

se formen ángulos rectos.

13. De Acuerdo con las figuras, determinar la medida de los ángulos:

∝=

𝛽 =

𝑃 = 4𝑋 + 5

𝑄 = 𝑋

𝑅 = 𝑋 − 5





𝐴 =

𝐵 =

𝐶 =

𝑎 = 55𝑜

𝑏

𝑐 = 53𝑜

𝑑 =

𝑎 + b =

∆𝐴𝐵𝐶 Es rectángulo

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐷̅̅ ̅̅

Α=

Β=

ϒ=

ϴ=

𝐶𝐷𝐵 =

a=

b=

c=

𝑎 + b + c =





𝐴𝐵𝐶 = 40𝑂

𝐵𝐶𝐴 =

𝐶𝐴𝐵 = 120𝑂

𝐷𝐴𝐶 =

1= 65𝑂

2 =

3 =

4 =

5 =

6 =

7 =

14. De acuerdo con la figura, completen correctamente y justifiquen:

a. ¿Cómo son entre sí los ángulos a y α?

b. ¿Cómo son entre sí los ángulos b y β?

c. 𝑎 + ϒ + b =

d. α + 𝑏 + ϒ =

e. α + β + ϒ = _______ y a + 𝑏 + ϒ = _______ ¿Qué puede concluir?





15. Calcule la medida de los ángulos indicados:

α=

β=

ϒ=

a =

𝑏 =

c=

d=

e=

f=

1 = 500

2=

3=

4=

16. Completar correctamente:

a. El Complemento de 65𝑂

b. El Complemento de 72𝑂

c. El Complemento 30𝑂30𝑂

d. El Suplemento de 130𝑂45′

e. El Suplemento de 89𝑂

f. El Suplemento de 45𝑂45𝑂





Polígonos

Definición.-Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

Elementos de un polígono

Lados.-Son los segmentos que lo limitan.

Vértices.-Son los puntos donde concurren dos lados.

Ángulos interiores de un polígono.- Son los determinados por dos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígono.-Si n es el número de lados de un polígono: La suma de los

ángulos de un polígono = (n − 2) · 180°

Diagonal.- Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos

Número de diagonales de un polígono.- Si n es el número de lados de un polígono: El Número de

diagonales = n · (n − 3) : 2

4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9

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Tipos de polígonos

Según sus lados

Triángulos

Tienen 3 lados

Cuadriláteros

Tienen 4 lados

Pentágonos

Tienen 5 lados

Hexágonos

Tienen 6 lados

Heptágonos

Tienen 7 lados

Octágonos

Tienen 8 lados

Eneágono

Tiene los 9 lados

Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 lados

Dodecágono

Tiene 12 lados

Tridecágono

Tienen 13 lados

Tetradecágono

Tiene 14 lados.





Pentadecágono

Tiene 15 lados

Hexadecágono

Tiene 16 lados

Heptadecágono

Tiene 17 lados

Octadecágono

Tiene 18 lado

Eneadecágono

Tienen 19 lados

Icoságono

Tiene 20 lados

Según sus ángulos

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos

Si un ángulo mide más de 180°.

Si una de sus diagonales es exterior.





Elementos de un Polígono Regular

Polígonos Regulares.- Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.

Elementos de un polígono regular

Centro.- Punto interior que equidista de cada vértice

Radio.- Es el segmento que va del centro a cada vértice.

Apotema.- Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un polígono regular

Clases de ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular.- Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n.

Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior=180° − Ángulo central, Ángulo interior del

pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son

suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono

regular = 72º





Clasificación de Polígonos Regulares

Triángulo Equilátero

Tiene los 3 lados y ángulos

iguales

Cuadrado

Tiene 4 lados y ángulos iguales

Pentágono Regular


Hexágono Regular


Heptágono Regular

Tienen 7 lados y ángulos iguales

Octágono Regular

Tiene 8 lados y ángulos iguales.

Eneágono Regular

Tiene los 9 lados y ángulos

iguales

Decágono regular


Endecágono Regular


Dodecágono regular


Tridecágono Regular


Tetradecágono Regular


Pentadecágono Regular


Hexadecágono Regular


Heptadecágono Regular






Octadecágono Regular


Eneadecágono Regular


Icoságono Regular


Polígono Inscrito

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.

Circunferencia Circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio

del polígono.

Circunferencia Inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radio

es la apotema del polígono.

Tipos de triángulos

Un triángulo es un polígono con tres lados.

Propiedades de los triángulos

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.






Según sus Lados


Tres lados iguales

Triángulo Isósceles

Dos lados iguales

Triángulo Escaleno

Tres lados desiguales

Según sus Ángulos

Triángulo Acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo Rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es

la hipotenusa. Los lados menores

son los catetos

Triángulo Obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un Triángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su

prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un Triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianas





El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice

mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GA

Mediatrices de un Triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un Triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisectrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Clasificación de Cuadriláteros

Paralelogramos

Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:





Cuadrado

Tiene los 4 lados iguales y los 4

ángulos rectos

Rectángulo

Tiene lados iguales dos a dos y los

4 ángulos rectos

Rombo

Tiene los cuatro lados iguales

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos

Trapecios

Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio Rectángulo

Tiene un ángulo recto

Trapecio Isósceles

Tiene dos lados no paralelos

iguales

Trapecio Escaleno

No tiene ningún lado igual ni

ángulo recto

Trapezoides

Cuadriláteros que no tiene ningún

lado igual ni paralelo






Circunferencia

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto

fijo llamado centro.

Centro de la Circunferencia.- Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la Circunferencia.- Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la

misma.

Elementos de la circunferencia

Cuerda

Segmento que uneñ. dos puntos

de la circunferencia

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro

Arco

Cada una de las partes en que una

cuerda divide a la circunferencia.

Se suele asociar a cada cuerda el

menor arco que delimita

Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que

abarca un diámetro.

Círculo

Es la figura plana comprendida en

el interior de una circunferencia

Elementos de un círculo

Segmento circular

Porción de círculo limitada por

una cuerda y el arco

correspondiente

Semicírculo

Porción del círculo limitada por un

diámetro y el arco correspondiente.

Equivale a la mitad del círculo.

Zona circular


dos cuerdas.





Sector circular


dos radios

Corona circular

Porción de círculo limitada por dos

círculos concéntricos.

Trapecio circular


dos radios y una corona

circular.

Posiciones relativas de Circunferencias.- Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

Interior

Su distancia al centro es

menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

Su distancia al centro es mayor que el

radio

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Recta Secante

La recta corta a la circunferencia

en dos puntos

Recta Tangente

La recta corta a la circunferencia

en un punto

Recta Exterior

No tiene ningún punto de corte

con la circunferencia

Posiciones relativas de dos circunferencias.- Ningún punto en común

Exteriores

La distancia entre los centros es

mayor que la suma de las radios.

Interiores


menor que la diferencia de los

radios.

Concéntricas

Los centros coinciden.





Un punto común

Tangentes Exteriores


igual a la suma de los radios.

Tangentes Interiores


igual a la diferencia de los radios.

Dos puntos en común

Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

Ángulos en la Circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice

en el centro de la circunferencia y

sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su

ángulo central correspondiente.

Ángulo Inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice

está en la circunferencia y sus

lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que

abarca.

Ángulo Semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito

está en la circunferencia, un lado

secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que

abarca.

Ángulo Interior

Ángulo Exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus

ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o

tangentes a ella:





Su vértice es interior a la

circunferencia y sus lados

secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las

medidas de los arcos que abarcan

sus lados y las prolongaciones de

sus lados.

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que

abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Áreas

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de

circunferencia

Área de un círculo

Área de un sector circular

Área de una corona circular

Es igual al área del círculo mayor

menos el área del círculo menor.

Área de un trapecio circular

Es igual al área del sector

circular mayor menos el área del

sector circular menor.






Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Lúnula de Hipócrates

Construcción de una lúnula de Hipócrates

Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.

Con centro en O se traza el arco AB.

Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco. La parte enmarcada por el

color verde se llama lúnula de Hipócrates.






Secuencia 1 Actividad IV

Circunferencia y círculo. Ejercicios

1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado

100 vueltas?

2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es

la longitud máxima en metros del arco correspondiente? 1 milla = 1 852 m

3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?





4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la

longitud de la circunferencia.

5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm

el radio de la circunferencia.

6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y

OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.





7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de

forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

8. la superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos

semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos

pequeños miden 2 cm.





10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de

circunferencia de centros B y D.

11. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga

Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una

cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.

12. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°.

Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el

máximo.





13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de

la circunferencia.

14. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.

15. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un

1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.





Triángulos

Definición de triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Propiedades de los triángulos

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Clasificación de triángulos

Según sus lados


Tres lados Iguales

Triángulo Isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo Escaleno

Tres lados desiguales

Según sus Ángulos

Triángulo Acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo Rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es

la hipotenusa. Los lados menores

son los catetos

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso

Elementos notables de un triángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su

prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas

Ortocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas





Medianas de un triángulo.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el

vértice opuesto.

Baricentro.-Es el punto de corte de las tres medianas

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice

mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo.- Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por

su punto medio.

Circuncentro.- Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia

circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un Triángulo.- Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos

iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler





El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir,

pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre

ella.

a hipotenusa

b y c catetos

m proyección del cateto b sobre la hipotenusa

n proyección del cateto c sobre la hipotenusa

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar

el otro cateto.

Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos

que dividen a ésta.

http://www.vitutor.com/di/p/a_3.html#mp





En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.

Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la

hipotenusa?

2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro

cateto?





3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los

dos menores.

Determinar si el triángulo es rectángulo.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Diagonal del cuadrado

Diagonal del rectángulo








Aplicaciones del teorema de Pitágoras I

Lado oblicuo del trapecio rectángulo

Altura del trapecio isósceles

Altura del triángulo equilátero







Aplicaciones del teorema de Pitágoras II

Apotema de un polígono regular

Apotema del Hexágono Inscrito








Aplicaciones del teorema de Pitágoras III

Lado de un triángulo equilátero inscrito

Lado de un Cuadrado Inscrito







Secuencia 1 Actividad V

Aplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios

1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m.

Calcular:

a. Los catetos.

b. La altura relativa a la hipotenusa.

c. El área del triángulo.

2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la

hipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo √24 cm.

3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la

pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?





4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de

lado. ¿Serán iguales sus áreas?

5. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro

círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.





8. El per ímetro de un trapec io isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente.

Calcular los lados no paralelos y el área.

9. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra.

Hallar el área de la corona circular así formada.

10. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

11. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente.

Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.








12. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento

c ircu lar comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco

correspondiente.

13. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la

circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

14. Calcular el área de la corona c ircu lar determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a

un cuadrado de 8 m de diagonal.

15. Si los lados no paralelos de un trapec io isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo

equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular

el área del trapecio.









16. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo

perímetro.

17. En una c ircunferenc ia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia

el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.








Trigonometría

Medida de ángulos.- Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las

semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en

caso contrario. Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

1. Grado sexagesimal (°).- Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central

correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60

minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

2. Radián (rad).- Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

2 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360°

𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°

Ejemplos

𝟑𝟎𝐨 → 𝒓𝒂𝒅 𝜋

𝜇=

180𝑜

30𝑜

𝜇 =𝜋∗30𝑜

180𝑜

𝜇 =𝜋

6 𝑟𝑎𝑑

𝝅

𝒓𝒂𝒅→ 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬

𝜋𝜋

3

=180𝑜

𝜇

𝜇 =180𝑜∗

𝜋

3

𝜋

𝜇 =180𝑜𝜋

3𝜋

𝜇 = 60𝑜

Razones Trigonométricas

Seno

Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sin 𝐵.

Coseno

Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos 𝐵.





Tangente

Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tan 𝐵

Cosecante

Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por 𝐜𝐬𝐜 𝑩.

Secante

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por 𝐬𝐞𝐜 𝑩.

Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por 𝐜𝐨𝐭 𝑩.

Razones Trigonométricas de Cualquier Ángulo

Se llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la

unidad. En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se

numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa. −1 ≤ sin ∝ ≤ 1 −1 ≤ cos ∝ ≤ 1

sin ∝ =𝑃𝑄

𝑂𝑃=

𝑃𝑄

𝑟= 𝑃𝑄 csc ∝ =

𝑂𝑃

𝑃𝑄=

𝑂𝑆′

𝑂𝑇′=

𝑂𝑆′

𝑟= 𝑂𝑆′

cos ∝ =𝑂𝑄

𝑂𝑃= 𝑂𝑄 sec ∝ =

𝑂𝑃

𝑂𝑄=

𝑂𝑆

𝑂𝑇=

𝑂𝑆

𝑟= 𝑂𝑆′

tan ∝ =𝑃𝑄

𝑂𝑄=

𝑆𝑇

𝑂𝑇=

𝑆𝑇

𝑟= 𝑆𝑇 cot ∝ =

𝑂𝑄

𝑃𝑄=

𝑆𝑇′

𝑂𝑇′=

𝑆𝑇′

𝑟= 𝑆𝑇′





Signo de las Razones Trigonométricas

∝ 𝟎𝑶 𝟗𝟎𝑶 𝟏𝟖𝟎𝑶 𝟐𝟕𝟎𝑶

𝐬𝐢𝐧 0 1 0 -1

𝐜𝐨𝐬 1 0 -1 0

𝐭𝐚𝐧 0 → ∞ 0 → −∞

Razones Trigonométricas de 𝟑𝟎𝒐, 𝟒𝟓𝒐𝟔𝟎𝒐

Seno, coseno y tangente de 30º y 60º

Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del

mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno.

Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

Seno, coseno y tangente de 30𝑜 y 60𝑜

ℎ = √𝑙2 − (𝑙

2)

2 = √𝑙2 −

𝑙2

4 = √

4𝑙2−𝑙2

4 = √

3𝑙2

4 =

√3

2𝑙

sin 30𝑜 =𝑙

2

𝑙=

𝑙

2 sin 60𝑜 =

√3

2 𝑙

1=

√3

2

cos 30𝑜 =√3

2 𝑙

𝑙=

√3

2 coss 60𝑜 =

𝑙

2

𝑙=

𝑙

2

tan 30𝑜 =1

2

√3

2

=1

√3=

√3

3 tan 60𝑜 =

√3

21

2

=2√3

2= √3

Seno, coseno y tangente de 45𝑜

= √𝑙2 + 𝑙2 = √2𝑙2 = 𝑙 √2

sin 45𝑜 =𝑙

𝑙√2=

𝑙

√2=

√2

2

cos 45𝑜 =𝑙

𝑙√2=

𝑙

√2=

√2

2

tan 45𝑜 =𝑙 √2

2

𝑙 √2

2

=𝑙 √2

𝑙 √2= 1





Razones Trigonométricas de Ángulos Notables

∝ 𝟎𝑶 𝟑𝟎𝑶 𝟒𝟓𝑶 𝟔𝟎𝑶 𝟗𝟎𝑶 𝟏𝟖𝟎𝑶 𝟐𝟕𝟎𝑶

𝐬𝐢𝐧 0 𝟏𝟐⁄ √2

2 √𝟑

𝟐⁄ 1 0 -1

𝐜𝐨𝐬 1 √𝟑𝟐

⁄ √2

2

𝟏𝟐⁄ 0 -1 0

𝐭𝐚𝐧 0 √𝟑𝟑

⁄ 1 √𝟑 → ∞ 0 → −∞

Identidades Trigonométricas Fundamentales

𝑐𝑜𝑠² 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛² 𝛼 = 1

𝑠𝑒𝑐² 𝛼 = 1 + 𝑡𝑔² 𝛼

𝑐𝑠𝑐² 𝛼 = 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔² 𝛼

csc ∝ =1

sin ∝

sec ∝ =1

cos ∝

cot ∝ =1

tan ∝=

cos ∝

sin ∝

Sabiendo que sin ∝ =3

5, y que 90𝑂 <∝ < 180𝑂. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

sin ∝ =3

5 cos ∝ =

5

3

cos ∝ = −√1 − (3

5)

2

= −√25 − 9

25= −√

16

25= −

4

5 sec ∝ = −

5

4

tan ∝ = −

3545

= −3

4 cot ∝ = −

4

3

Sabiendo que tan ∝ = 2, y que 180𝑂 < ∝ < 270𝑂. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo

𝛼.

cos ∝ = −1

√5= −

√5

5 sec ∝ = −√1 + 4 = −√5

sin ∝ = 2 (−√5

5) = −

2√5

5 csc ∝ = −

√5

2

tan ∝ = 2 cot ∝ =1

2

Identidades Trigonométricas

Ángulos Complementarios.- Son aquéllos cuya suma es 90𝑜 ó𝜋

2 radianes.

sin (𝜋

2−∝) = cos ∝

cos (𝜋

2−∝) = sin ∝

tan (𝜋

2−∝) = cot ∝





sin 60𝑜 = sin(90𝑜 − 30𝑜) = cos 30𝑜 =√3

2

cos 60𝑜 = cos(90𝑜 − 30𝑜) = sen 30𝑜 =1

2

tan 60𝑜 = tan(90𝑜 − 30𝑜) = cot 30𝑜 = √3

Ángulos suplementarios.- Son aquéllos cuya suma es 180° ó 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠.

sin(𝜋−∝) = sin ∝

cos(𝜋−∝) = −cos ∝

tan(𝜋−∝) = −tan ∝

sin 150𝑜 = sin(180𝑜 − 30𝑜) = sin 30𝑜 =1

2

cos 150𝑜 = cos(180𝑜 − 30𝑜) = − cos 30𝑜 = −√3

2

tan 150𝑜 = tan(180𝑜 − 30𝑜) = − tan 30𝑜 = −√3

3

Ángulos que se diferencian en 𝟏𝟖𝟎𝐨.- Son aquéllos cuya resta es 180𝑜 ó 𝜋 radianes.

sin(𝜋+∝) = − sin ∝

cos(𝜋+∝) = −cos ∝

tan(𝜋+∝) = tan ∝





sin 210𝑜 = sin(180𝑜 + 30𝑜) = − sin 30𝑜 = −1

2

cos 210𝑜 = cos(180𝑜 + 30𝑜) = − cos 30𝑜 = −√3

2

tan 210𝑜 = tan(180𝑜 + 30𝑜) = tan 30𝑜 =√3

3

Ángulos Opuestos

Son aquéllos cuya suma es 𝟑𝟔𝟎𝒐 ó 𝟐𝝅 radianes.

sin(2𝜋−∝) = − sin ∝

cos(2𝜋−∝) = cos ∝

tan(2𝜋−∝) = − tan ∝

sin 330𝑜 = sin(360𝑜 − 30𝑜) = − sin 30𝑜 = −1

2

cos 330𝑜 = cos(360𝑜 − 30𝑜) = cos 30𝑜 =√3

2

tan 330𝑜 = tan(360𝑜 − 30𝑜) = −tan 30𝑜 = −√3

3

Ángulos Negativos.- El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

−𝛼 = 360° − 𝛼

sin(−∝) = − sin ∝

cos(−∝) = cos ∝

tan(−∝) = − tan ∝

sin(−30𝑜) = − sin 30𝑜 = −1

2

cos(−30𝑜) = cos 30𝑜 =√3

2

tan(−30𝑜) = − tan 30𝑜 = −√3

3

Mayores de 𝟑𝟔𝟎𝒐.- Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.

sin(∝ +2𝜋𝑘) = sin ∝

cos(∝ +2𝜋𝑘) = cos ∝

tan(∝ +2𝜋𝑘) = tan ∝





750𝑜

30𝑜=

360𝑜

2

sin 750𝑜 = sin(30𝑜 + 2(360𝑜)) = sin 30𝑜 =1

2

cos 750𝑜 = cos(30𝑜 + 2(360𝑜)) = cos 30𝑜 =√3

2

tan 750𝑜 = tan(30𝑜 + 2(360𝑜)) = tan 30𝑜 =√3

3

Razones Trigonométricas de otros Ángulos.- Ángulos que difieren en 90𝑜 ó𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

sin (𝜋

2+∝) = cos ∝

cos (𝜋

2+∝) = −sin ∝

tan (𝜋

2+∝) = −cot ∝

sin 120𝑜 = sin (180𝑜

2+ 30𝑜) = − cos 30𝑜 = −

√3

2

cos 120𝑜 = cos (180𝑜

2+ 30𝑜) = − sin 30𝑜 = −

1

2

tan 120𝑜 = 𝑡𝑎𝑛 (180𝑜

2+ 30𝑜) = − cot 30𝑜 = −√3

Ángulos que suman 270𝑜 ó3

2 𝜋 𝑟𝑎𝑑

sin (3𝜋

2−∝) = −cos ∝

cos (3𝜋

2−∝) = −sin ∝

tan (3𝜋

2−∝) = cot ∝

sin 240𝑜 = sin (3(180𝑜)

2− 30𝑜) = − cos 30𝑜 = −

√3

2

cos 240𝑜 = cos (3(180𝑜)

2− 30𝑜) = − sin 30𝑜 = −

1

2

tan 240𝑜 = 𝑡𝑎𝑛 (3(180𝑜)

2− 30𝑜) = cot 30𝑜 = √3





Ángulos que difieren en 270𝑜 ó3

2 𝜋 𝑟𝑎𝑑

sin (3𝜋

2+∝) = −cos ∝

cos (3𝜋

2+∝) = sin ∝

tan (3𝜋

2+∝) = − cot ∝

sin 240𝑜 = sin (3(180𝑜)

2+ 30𝑜) = − cos 30𝑜 = −

√3

2

cos 240𝑜 = cos (3(180𝑜)

2+ 30𝑜) = sin 30𝑜 =

1

2

tan 240𝑜 = 𝑡𝑎𝑛 (3(180𝑜)

2+ 30𝑜) = − cot 30𝑜 = −√3





Secuencia 2 Actividad 1

Trigonometría

1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

a. 3 𝜋 𝑟𝑎𝑑

b. 2𝜋

5𝑟𝑎𝑑.

c. 3𝜋

10𝑟𝑎𝑑.

2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:

a. 316°

b. 10°

c. 127°





3. Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ¼ , y que 270° < 𝛼 < 360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del

ángulo α.

4. Sabiendo que 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 2, y que 180° < α < 270° Calcular las restantes razones trigonométricas del

ángulo α.

5. Sabiendo que 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 2, 0 < 𝛼 <𝜋

2, calcular las restantes razones trigonométricas.

6. Calcula las razones de los siguientes ángulos:

a. 225°

b. 330°

c. 2655°

d. −840°





7. Comprobar las identidades:

a. tan ∝ + cot ∝ = sec ∝ csc ∝

b. cot2 𝑎 cos2 𝑎 + (𝑐𝑜𝑡 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑎 )2

c. 1

sec2 𝑎= sin2 𝑎 cos2 𝑎 + cos4 𝑎

d. cot 𝑎 sec 𝑎 csc 𝑎

e. sec2 𝑎 csc2 𝑎 =1

sin2 𝑎 cos2 𝑎





8. Demostrar las siguientes identidades:

a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

b) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

c) 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 𝑥

d) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

e) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥





f) 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1

g) (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥) 𝑐𝑠𝑐² 𝑥 = 1

h) (1 − 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 = 1

i) 𝑐𝑜𝑡² 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠² 𝑥

j) (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥) 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛² 𝑥





k) 𝑐𝑠𝑐 𝑥 √1 − 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥

l) (1 + 𝑡𝑎𝑛² 𝑥) 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 = 1

m) (𝑠𝑒𝑐² 𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑡² 𝑥 = 1

n) (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥)(1 + 𝑡𝑎𝑛² 𝑥) = 𝑡𝑎𝑛² 𝑥

o) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 √𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 = 1





p) 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 (1 + 𝑐𝑜𝑡² 𝑥) = 1

q) (𝑐𝑠𝑐² 𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛² 𝑥 = 1

r) (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑡² 𝑥) = 1

s) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 √𝑐𝑠𝑐² 𝑥 − 1 = 1

t) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 √𝑐𝑜𝑡² 𝑥 + 1 = √𝑐𝑠𝑐² 𝑥 – 1





u) 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑐𝑜𝑡² 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 = 1

v) (1 + 𝑡𝑎𝑛² 𝑥)(1 − 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) = 1

w) 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 – 1

x) 𝑐𝑠𝑐² 𝑥 𝑡𝑎𝑛² 𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛² 𝑥





Resolución de Triángulos Rectángulos

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un

lado y un ángulo distinto del recto.

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

𝐵: sin 𝐵 =𝑏

𝑎 𝐵 = sin−1

𝑏

𝑎

𝐶 = 90𝑜 − 𝐵

𝐶: {cos 𝐵 =

𝑐

𝑎 𝑐 = 𝑎 cos 𝐵

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2

Resolver el triángulo conociendo:

𝑎 = 415 𝑚 𝑦 𝑏 = 280 𝑚

sin 𝐵 =280

415 = 0.6747

𝐵 = sin−1 0.6747 = 42° 25′

𝐶 = 90𝑂 − 42𝑂42′ = 47𝑂35′

𝑐 = 𝑎 sin 𝐵

𝑐 = 415 ∗ 0.7381

𝒄 = 306. 31 𝑚

2. Se conocen los dos catetos

𝐵: tan 𝐵 =𝑏

𝑐 𝐵 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝑏

𝑐

𝐶 = 90𝑜 − 𝐵

𝑎: {sin 𝐵 =

𝑏

𝑎 𝑎 =

𝑏

sin 𝐵

𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2






𝑏 = 33 𝑚 𝑦 𝑐 = 21 𝑚

tan 𝐵 =33

21= 1.5714

𝐵 = 57° 32′

𝐶 = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

𝑎 = 𝑏/𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑎 = 33/0.8347 = 39.12 𝑚

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

𝐶 = 90𝑜 − 𝐵

𝑏: sin 𝐵 =𝑏

𝑎 𝑏 = 𝑎 sin 𝐵

𝑐: {cos 𝐵 =

𝑐

𝑎 𝑐 = 𝑎 cos 𝐶

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2


𝑎 = 45 𝑚 𝑦 𝐵 = 22°.

𝐶 = 90° − 22° = 68°

𝑏 = 𝑎 sin 22𝑜

𝑏 = 45 ∗ 0.3746

𝒃 = 16.85 𝑚

𝑐 = 𝑎 cos 22𝑜

𝑐 = 45 ∗ 0.9272

𝒄 = 41.72 𝑚

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

𝐶 = 90𝑜 − 𝐵

𝑎: sin 𝐵 =𝑏

𝑎 𝑎 =

𝑏

sin 𝐵

𝑐: {cot 𝐵 =

𝑐

𝑏 𝑐 = 𝑏 cot 𝐶

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2






𝑏 = 5.2 𝑚 𝑦 𝐵 = 37º

𝐶 = 90𝑜 − 37° = 53º

𝑎 =𝑏

sin 𝐵

𝑎 =5.2

0.6018

𝐚 = 8.64 𝑚

𝑐 = 𝑏 ∗ tan 𝐵

𝑐 = 5.2 ∗ 1.3270

𝒄 = 6. 9 𝑚






9. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen 𝑎 = 5 𝑚 𝑦 𝐵 = 41.7°. Resolver el triángulo

10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen 𝑏 = 3 𝑚 𝑦 𝐵 = 54.6°. Resolver el triángulo.

11. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen 𝑎 = 6 𝑚 𝑦 𝑏 = 4 𝑚. Resolver el triángulo.

12. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen 𝑏 = 3 𝑚 𝑦 𝑐 = 5 𝑚. Resolver el triángulo.

13. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol

en ese momento.





14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.

¿A qué distancia del pueblo se halla?

15. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente

uno de 70°

16. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman

entre ellos un ángulo de 70°.

17. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo

de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

18. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y

circunscrita.






Ejercicios de Trigonometría

19. Sabiendo que csc ∝ = 3, calcular las restantes razones trigonométricas.

20. Calcula las razones de los siguientes ángulos:

a. −150°

b. 1740°

21. Simplificar las fracciones:

a. 1+tan2

𝑋

1+cot2𝑋

b. sec2 𝑎−cos2 𝑎

tan2𝑥





c. csc2 𝑎 −sin2

𝑎

csc2 𝑎 (2−cos2 𝑎)

22. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49

centímetros de radio.

23. Tres pueblos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 están unidos por carreteras. La distancia de 𝐴 𝑎 𝐶 𝑒𝑠 6 𝑘𝑚 y la de 𝐵 𝑎 𝐶 9 𝑘𝑚. El

ángulo que forman estas carreteras es 120𝑜. ¿Cuánto distan 𝐴 𝑦 𝐵?

24. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se

aleja 100𝑚 se observa bajo un ángulo de 45𝑜. Calcula la altura del acantilado. Solución: 150 +

50√3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.





25. Resuelve el triángulo conociendo 𝐵 = 60𝑂 y el cateto b = 25 cm. Solución: 𝐶 = 30𝑂, la hipotenusa 50√3

3𝑐𝑚 y el otro cateto

25√3

3𝑐𝑚

26. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual

es de 120º. Solución: Los lados iguales miden 20 𝑚, y el lado desigual, 20√3𝑚 27. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300𝑚 de su pie se ve bajo un ángulo de 10𝑜. Solución: ℎ =

52,89 𝑚 28. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí

80m, se ve bajo ángulos de 60𝑜 𝑦 45𝑜, respectivamente. Solución: 𝑥 = 197,37𝑚






29. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 30𝑜. En uno de ellos, a 1000𝑚 del cruce, hay una

gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino. 30. Una carretera asciende 3m por cada 100𝑚 de recorrido. ¿Qué ángulo forma con la horizontal? Solución:

1𝑜 43’ 9’’

31. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura mide 10𝑚 y que el ángulo desigual es de 120𝑜.

32. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de 3𝑚 de altura. Desde un punto

A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de 38𝑜30′ y el extremo superior c

bajo un ángulo de 45𝑜15𝑜. Hallar la altura del montículo:





33. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de

15𝑜. Hallar a qué distancia está la embarcación del faro.

34. Desde F, el punto más alto de un faro situado a 200𝑚 sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con

ángulo de depresión igual a 18𝑜45′. Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde F

bajo un ángulo de 15𝑜15′. Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria 𝐶𝐵 es perpendicular

a la 𝑃𝐵, siendo P el pie del

35. La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamente

Halla las medidas de sus ángulos.





36. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la

hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.

37. Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B. ¿Qué anchura tiene el

río?

38. Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7

centímetros de radio?






39. Resuelve estos triángulos.

a. 𝑎 = 25𝑚, 𝑏 = 20𝑚, 𝐴𝑝 = 90𝑜

b. 𝑎 = 6𝑐𝑚, 𝐵𝑝 = 45𝑜, 𝐶𝑝 = 1050

c. 𝑎 = 10𝑚𝑚, 𝑐 = 7 𝑚𝑚, 𝐵𝑝 = 30𝑜

40. El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias

inscrita y circunscrita.





41. Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70_. Sus medidas son 7 y 8 centímetros.

a) Calcula la longitud de la diagonal menor.

b) Halla el área del paralelogramo.

42. Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio.

43. ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los

radios de las bases miden 10 y 20 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de 60𝑜 con el suelo?





44. Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos.

45. Halla el volumen de estos cuerpos.





46. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y la

generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60_ con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita

47. Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos

48. Resuelve los triángulos sabiendo que 𝐶𝑝 es un ángulo recto.

a) 𝐴𝑝 = 55𝑜, 𝑎 = 18 𝑐𝑚

b) 𝑐 = 10 𝑐𝑚, 𝑏 = 6 𝑐𝑚

c) 𝑎 = 18 𝑐𝑚, 𝑏 = 15 𝑐𝑚





49. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.

50. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80_. ¿Cuál es la medida de

la altura sobre este lado?






51. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6

centímetros. Halla la longitud de los lados.

52. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sobre

ella, 4 centímetros. Resuelve el triángulo.

53. La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de 26

¿Cuánto mide el lado del rombo?

54. Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo.





55. Resuelve estos triángulos

56. Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso.

a) 𝐴𝑝 = 56, 𝑏 = 14 𝑐𝑚, 𝑐 = 8𝑐𝑚





b) 𝑎 = 38𝑐𝑚, 𝑏 = 46𝑐𝑚, 𝑐 = 22𝑐𝑚

c) 𝐵𝑝 = 45, 𝐶𝑝 = 75, 𝑎 = 25𝑐𝑚

d) 𝐴𝑝 = 42, 𝐶𝑝 = 65, 𝑏 = 14 𝑐𝑚

57. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?

58. Resuelve los siguientes triángulos.

a) 𝑎 = 3 𝑐𝑚, 𝑐 = 2𝑐𝑚, 𝐶𝑝 = 140𝑜





b) 𝑎 = 19 𝑐𝑚, 𝑏 = 8𝑐𝑚, 𝐵𝑝 = 62𝑜

59. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo

60. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentágono regular de la figura






61. Longitudes y áreas de figuras planas Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo

rectángulo miden 14,4 y 25,6 centímetros. Calcula el área del triángulo.

62. La diagonal de un rectángulo mide 28,84 decímetros y forma con la base un ángulo de 33𝑜, 41𝑜, 24𝑜.

Halla su perímetro y su área.

63. El lado de un octógono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del

Octógono.

64. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetros y

forman un ángulo de 70𝑜.





65. Halla el área de este paralelogramo.

66. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos

67. Calcula el volumen del cilindro





68. Halla el área total y el volumen del ortoedro.

69. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida,

¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?

70. Responde a las siguientes preguntas.

a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo?

b) ¿Y de un triángulo cualquiera?





c) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado.

d) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado.






71. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu

respuesta.

72. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas.

73. Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazar

una diagonal, dos triángulos.

74. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos?





75. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes: a = 30 cm, b = 42 cm, c = 23 cm, Ap =

58o, Bp = 35o y Cp = 87o

76. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos

desconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos,

¿cuál es el más conveniente?

79. El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a

dos puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntos

determinados por las visuales?

80. Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de

trasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas.





81. Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la

imagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia.

Calcula el ángulo a que mide la paralaje.

82. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto

pesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún

ángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triángulo

que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario?

83. Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de

modo que formen triángulos no solapados.

cuaderno de trabajo de geometría y trigonometría

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