cuaderno de trabajo de geometría y trigonometría 2 semestre preparatoria
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Este Trabajo esta dedicado a todos los estudiantes de Segundo Semestre de Preparatoria.TRANSCRIPT
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO
Geometría y Trigonometría
1 Ing. Edison Villacrés2013
Geometría y TrigonometríaCuaderno de Trabajo
Nombre: _________________________
El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se
llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante mundo de las matemáticas.
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Geometría y Trigonometría
Primer ParcialSecuencia 1 Actividad IPrueba de Diagnóstico
Nombre: ______________________________ Grupo: ___________
Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas. 1. Según tu propia percepción, escribe la definición de Geometría:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. ¿qué es un punto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. La recta, es una línea que tiene todos sus puntos en una misma dirección, cuando los puntos no siguen una misma dirección la línea puede ser: curva, quebrada o mixta, según tu percepción, clasifica las siguientes líneas: AB_______________ CD _______________ EF _______________ GH _______________
4. ¿Qué entiendes por superficie?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, ¿en qué nos basamos para afirmar esta aseveración?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Escribe el significado de hipótesis:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. ¿Cuáles son las rectas paralelas?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8. El teorema de Pitágoras de Sarrios enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. ¿Qué es un segmento?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú que influye el ángulo en el que el competidor lanza el objeto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Geometría y TrigonometríaCuaderno de Trabajo
Nombre: _________________________
El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se
llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante mundo de las matemáticas.
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Puntos y RectasPuntos
Un punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posición. Se nombran con letras mayúsculas.Rectas
Una recta tiene una dimensión, longitud; se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.
Dos rectas que se cortan determinan un punto.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda.Semirrectas
Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.
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Planos
Un plano posee dos dimensiones: longitud y anchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β (beta)... Dos planos que se cortan determinan una recta.Un plano viene determinado por: Tres puntos no alineados.
Dos Rectas que se Cortan.
Dos Rectas Paralelas.
Por un Punto y una Recta.
Semiplanos
Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.
Posiciones Relativas de Rectas en un Plano
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Rectas Paralelas.- Son las que estando en el mismo plano, no son secantes.
Rectas Secantes.-Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección.
Rectas Coincidentes.-Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen.Rectas Perpendiculares.- Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales.
SegmentosDefinición de Segmento.- Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.
Tipos de Segmentos Segmento Nulo .- Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden. Segmentos Concatenados .- Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo
en común .
Segmentos Consecutivos .- Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen a la misma recta.
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Mediatriz de un Segmento .- La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a él.
Operaciones con Segmentos Suma de Segmentos .- La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el
origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento
La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.
Resta de Segmentos .- La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor.
La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos. Producto de un Número por un Segmento .- El producto de un número con un segmento es
otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica
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La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial. División de un Segmento por un Número .- La división de un segmento por un número es
otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original
La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.
División de un Segmento en Partes .- Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.
1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
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Secuencia 1 Actividad II1. Observen la figura y respondan lo que se les pide:
a. Determina tres segmentos_______________________________b. Determina cinco puntos _________________________________c. Determina una figura plana_______________________________d. Determina dos Segmentos Paralelos ________________________e. Determina dos segmentos perpendiculares____________________f. Determina un ángulo ___________________________________.
2. Relaciona las definiciones de la derecha con el número correspondiente al enunciado de la izquierda.
a. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales.
b. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y solo una.
c. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo valen un ángulo recto.
d. Llámese así a toda proposición que puede ser demostrada mediante un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad.
e. Elemento geométrico elemental que no tiene partes, solo posición.
f. A un conjunto de puntos continuos, en una misma dirección le llamamos.
g. Límite que separa los cuerpos del espacio que los rodea y que tiene dos dimensiones (largo y ancho).
h. Fin y término del procedimiento deductivo, que establece absolutamente convincente una verdad.
i. Se le llama así al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos señalados en una recta.
j. ¿Nombre que reciben las rectas de un plano, cuando al prolongarse no tienen ningún punto en común?
k. Son dos rectas que se intersecan en un punto formando un ángulo de 90°.
l. Es un par de rectas que se cortan entre sí formando un par de ángulos más grandes que otro par.
m. Tienen su sentido definido de arriba hacia abajo o de abajo hacia arriba.
n. Es la línea imaginaria que se traza respecto al horizonte al atardecer.
o. Etimológicamente su nombre alude a las raíces griegas que significan "medir la Tierra".
( ) Geometría
( ) Axioma
( ) Vertical
( ) Corolario
( ) Superficie
( ) Paralelas
( ) Punto
( ) Teorema
( ) Demostración
( ) Perpendiculares
( ) Horizontal
( ) Segmento
( ) Oblicuas
( ) Línea recta
( ) Postulado
3. Completen los enunciados a las preguntas siguientes:a. Para que un segmento se transforme en una semirrecta, es necesario
que:__________________b. Para que un segmento se transforme en recta se necesita que:___________________________c. Si tuvieran dos rectas diferentes, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?___________________d. Si fueran paralelas, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_____________________________e. Si fueran perpendiculares ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_________________________
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f. ¿Qué ángulos se forman al cortarse dos rectas perpendicularmente? ______________________g. Si se sabe que no tiene dimensiones, sino sólo posición, se habla de:
_______________________h. Si se sabe que sólo tiene una dimensión, se habla de:__________________________________i. ¿Qué entienden por semiplano? _________________________________________________
4. De acuerdo a la posición que guardan las siguientes rectas escribe de cual se trata.
A con B _______________
F con C _______________
F con A _______________
E con B _______________
E con D _______________
D con B _______________
A con D _______________
A con E _______________
B con F _______________
D con F _______________
5. Con base en las figuras, escriban lo que se pide en cada caso:
a. Dos parejas de segmentos perpendiculares
b. Una pareja de segmentos paralelos
c. Una pareja de segmentos paralelos
d. Una pareja de segmentos perpendiculares
e. Dos parejas de segmentos
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paralelos
f. Tres puntos
g. Cuatro puntos
6. Tracen lo que se pide en cada caso:a. Dos rectas paralelas
b. Un punto P
c. Un plano
d. Dos rectas perpendiculares
e. Una semirrecta
f. Un segmento AB
g. Una recta m
h. Un segmento RS de 3 cm
i. Un sólido geométrico
j. Una recta horizontal
k. Es una parte del plano limitada por una recta
l. Es la porción de recta limitada por dos puntos
m. Es la recta perpendicular al horizonte
7. Resuelvan los problemas siguientes:a. Tracen un polígono que tenga cinco segmentos
b. Tracen un plano y en él tres puntos no colineales
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c. Representen la intersección de dos planos
d. Señalen dos puntos y tracen todas las rectas que los unan
8. Completen cada enunciadoa. Son dos rectas que al cortarse forman ángulos de 90°
b. son dos rectas que al prolongarse se cortan en un punto
9. Realicen lo que se pide en cada caso: a. Dibujen algo que esté formado por planos.
b. Dibujen algo que esté formado por rectas paralelas.
c. Dibujen algo que contenga al menos tres parejas de segmentos perpendiculares.
10.Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, ¿en qué nos basamos para hacer esta aseveración?
11.Escribe el significado de hipótesis
12.¿Cuáles son las rectas paralelas?
13.El Teorema de Pitágoras de Samos enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:
14.¿Qué es un segmento?
15.En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú que influye el ángulo en el que el competidor lanza dicho objeto?
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ÁngulosUn ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
Medición de ángulosPara medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°) Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
1o=60'=3600 ' '1'=60 ' '
Radián. - Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.
1 rad=57o17 '44.8 ' '
360o=2π rad
Operaciones con ángulosSuma de Ángulosa. Gráfica
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya ampl i tud es la suma de las ampl i tudes de los dos ángulos in ic ia les.
b. Numérica 1. Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos
debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
32024' 48' '
+ 43049'25 ' '
75073'73 ' '
2. Si los segundos suman más de 60 , se div ide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
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73' ' 60
13' ' 1'
75074' 13' '
3. Se hace lo mismo para los minutos.
74 ' 60
14 ' 1o
76014 '13' '
Resta de Ángulosa. Gráfica
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la d i ferencia entre la ampl i tud del ángulo mayor y la del ángulo menor.
b. Numérica 1. Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos
debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
52023'78' '
- 43049'25 ' '
2. Se restan los segundos . Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
52023'78' '
- 43049'25 ' '
❑❑❑❑53' '
3. Hacemos lo mismo con los minutos.
52023'78' '
- 43049'25 ' '
08o33' 53' '
Multiplicación de Ángulosa. Gráfica
La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.
b. Numérica 1. Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.
32023' 49' '
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* ❑❑❑❑5❑
160o115 '245' '
2. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
245' ' 60
5' ' 4 '
1600119' 5' '
3. Se hace lo mismo para los minutos.
119 ' ' 60
59' ' 1'
161059'5' '
División de ángulosa. Gráfica
La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.
/4 = b. Numérica
Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1. Se dividen los grados entre el número.
37o 5
2❑7o
2. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
37o 5
2❑7o
2∗60=120'
3. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
48+120'=168o
168o 5
18❑
333'
3∗60=180 ' '
4. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
25+180'=205o
205' ' 5
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5❑
041'
7o33' 41' '
Tipos de ángulosClasificación de ángulos según su medida
Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°
Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°
Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0º
Mayor de 360°
Tipos de Ángulos Según su Posicióna. Ángulos Consecutivos
Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.b. Ángulos Adyacentes
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Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.
Forman un Ángulo Llano.a. Ángulos Opuestos por el Vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Clases de Ángulos según su Sumaa. Ángulos Complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.b. Ángulos Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.Ángulos entre Paralelas y una Recta Transversala. Ángulos Correspondientes
Los ángulos 1 y 2 son iguales.b. Ángulos Alternos Internos
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Los ángulos 2 y 3 son iguales.c. Ángulos Alternos Externos
Los ángulos 1 y 4 son iguales.
Ángulos en la Circunferencia a. Ángulo Central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
b. Ángulo Inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.Mide la mitad del arco que abarca.
c. Ángulo Semiinscrito
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El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.Mide la mitad del arco que abarca.
d. Ángulo Interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
e. Ángulo Exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
f. Ángulos de un polígono regular
g. Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º
h. Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior =180° − Ángulo central. Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
i. Ángulo exterior de un polígono regular
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Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.
j. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
BisectrizDefinición de bisectrizLa bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.
Trazar la bisectriz1. Se traza un arco correspondiente al ángulo2. Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos
arcos que han de cortarse en un punto.3. La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.
Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos
circunferencias con el mismo radio.3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias
es la bisectriz.
Incentro
El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo.El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
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Secuencia 1 Actividad III1. Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas:
Mide con un trasportador las siguientes figuras e indica con tres letras los ángulos: adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, rectos, agudos, y obtusos.
2. Contesta brevemente lo que se te pide. a. ¿Cómo se designan (nombran) los ángulos?
b. ¿Qué tipos de ángulos conoces?
c. ¿Qué es un ángulo?
d. ¿Cuánto mide un Ángulo Recto?
3. Halla el Conjugado de los siguientes ÁngulosÁngul
oConjugado Gráfica
300º
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20º
150º
359º
180º
4. En las siguientes figuras encuentra el valor de “X”
5. Calcula el valor de los siguientes ángulos.ÁNGULOS SOLUCIÓN
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6. En la siguiente figura ¿110o y=53o obtén los valores de los ángulos b, c, d y e, también
demostrar que b+d+e=180o
ÁNGULOS SOLUCIÓN
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7. Realiza las conversiones de grados a radianes o radianes a grados, según lo que se pideGrados a Radianes Radianes a Grados
78O
5 rad
175O
3π5
rad
64O27'35' '
12 rad
143O56' 19' '
3.5 rad
245O π7
rad
8. Escribe el nombre correspondiente a los ángulos señalados, según su posición de sus lados
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9. Identifica los ángulos y completen correctamente lo que sigue:
10. Complete cada enunciado:
a. Ángulo equivalente a dos rectas
b. Si mide 78o, entonces es un Ángulo
c. Si el Angulo β=200o es un Ángulo
d. Si F̂=106o es un Ángulo
e. ¿Qué sucede si α̂=400o?
11. Realice lo que se pide, para lo cual usen la figura.
a. Nombren tres ángulos rectos
b. Nombren cinco ángulos agudos
c. Nombren cuatro ángulos obtusos
d. Nombren tres ángulos llanos
e. Nombren dos ángulos convexos
12. Resuelvan los problemas siguientes:a. Si se tiene un ángulo recto y se coloca un tercer lado para formar un triángulo, ¿qué clase
de ángulos serán los otros dos?
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b. En un reloj de manecillas, si se toma a la aguja pequeña como lado inicial y a la aguja grande como lado final, ¿qué ángulo se forma a las 10:30, 3:05, 12:00? Nombren tres horas diferentes donde se formen ángulos rectos.
13. De Acuerdo con las figuras, determinar la medida de los ángulos:
∝=¿
β=¿
P=4 X+5
Q=X
R=X−5
A=¿
B=¿
C=¿
a¿55o
b
c=53o
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Geometría y Trigonometría
d=¿
a+b=¿
∆ABC Es rectángulo
AB=BD
Α=
Β=
ϒ=
ϴ=
CDB=¿
a¿
b¿
c¿
a+b+c=¿
ABC=40O
BCA=¿
CAB=120O
DAC=¿
1¿65O
2=¿
3=¿
4=¿
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Geometría y Trigonometría
5=¿
6=¿
7=¿
14. De acuerdo con la figura, completen correctamente y justifiquen:
a. ¿Cómo son entre sí los ángulos a y α?
b. ¿Cómo son entre sí los ángulos b y β?
c. a+ϒ +b=¿d. α+b+ϒ=¿e. α+β+ϒ=¿ _______ y a+b+ϒ=¿ _______ ¿Qué puede concluir?
15. Calcule la medida de los ángulos indicados:α=β=ϒ=
a=¿b =
c=
d=
e=
f=
1=500
2=3=4=
16. Completar correctamente:
a. El Complemento de 65O
b. El Complemento de 72O
c. El Complemento 30O30O
d. El Suplemento de 130O45 '
e. El Suplemento de 89O
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f. El Suplemento de 45O45O
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Geometría y Trigonometría
PolígonosDefinición.-Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.Elementos de un polígono
Lados.-Son los segmentos que lo limitan.Vértices.-Son los puntos donde concurren dos lados.Ángulos interiores de un polígono.- Son los determinados por dos lados consecutivos.Suma de ángulos interiores de un polígono.-Si n es el número de lados de un polígono: La suma de los ángulos de un polígono = (n − 2) · 180° Diagona l .- Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivosNúmero de diagonales de un polígono.- Si n es el número de lados de un polígono: El Número de diagonales = n · (n − 3) : 2
4 · (4 − 3) : 2 = 2
5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9
Tipos de polígonosSegún sus lados
Triángulos Cuadriláteros Pentágonos
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Geometría y Trigonometría
Tienen 3 lados Tienen 4 lados Tienen 5 lados
Hexágonos
Tienen 6 lados
Heptágonos
Tienen 7 lados
Octágonos
Tienen 8 ladosEneágono
Tiene los 9 lados
Decágono
Tiene 10 lados.
Endecágono
Tiene 11 ladosDodecágono
Tiene 12 lados
Tridecágono
Tienen 13 lados
Tetradecágono
Tiene 14 lados.Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono
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Geometría y Trigonometría
Tiene 15 lados Tiene 16 lados Tiene 17 ladosOctadecágono
Tiene 18 lado
Eneadecágono
Tienen 19 lados
Icoságono
Tiene 20 ladosSegún sus ángulosConvexos
Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores. Cóncavos
Si un ángulo mide más de 180°.Si una de sus diagonales es exterior.
Elementos de un Polígono RegularPolígonos Regulares.- Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.Elementos de un polígono regular
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Geometría y Trigonometría
Centro.- Punto interior que equidista de cada vérticeRadio.- Es el segmento que va del centro a cada vértice.Apotema.- Distancia del centro al punto medio de un lado.
Ángulos de un polígono regularClases de ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular.- Es el formado por dos radios consecutivos.Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n.Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72ºÁngulo interior de un polígono regularEs el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior=180° − Ángulo central, Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108ºÁngulo exterior de un polígono regularEs el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
Clasificación de Polígonos RegularesTriángulo Equilátero Cuadrado Pentágono Regular
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Geometría y Trigonometría
Tiene los 3 lados y ángulos iguales
Tiene 4 lados y ángulos iguales
Tiene 5 lados y ángulos iguales
Hexágono Regular
Tiene 6 lados y ángulos iguales
Heptágono Regular
Tienen 7 lados y ángulos iguales
Octágono Regular
Tiene 8 lados y ángulos iguales.
Eneágono Regular
Tiene los 9 lados y ángulos iguales
Decágono regular
Tiene 10 lados y ángulos iguales.
Endecágono Regular
Tiene 11 lados y ángulos iguales
Dodecágono regular
Tiene 12 lados y ángulos iguales.
Tridecágono Regular
Tienen 13 lados y ángulos iguales
Tetradecágono Regular
Tiene 14 lados y ángulos iguales.
Pentadecágono Regular
Tiene 15 lados y ángulos iguales.
Hexadecágono Regular
Tiene 16 lados y ángulos iguales
Heptadecágono Regular
Tiene 17 lados y ángulos iguales.
Octadecágono Regular Eneadecágono Regular Icoságono Regular
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Geometría y Trigonometría
Tiene 18 lados y ángulos iguales.
Tienen 19 lados y ángulos iguales
Tiene 20 lados y ángulos iguales
Polígono InscritoUn polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.Circunferencia Circunscrita
Es la que toca a cada vértice del polígono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio del polígono.Circunferencia Inscrita
Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radio es la apotema del polígono.
Tipos de triángulosUn triángulo es un polígono con tres lados.Propiedades de los triángulos1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Según sus Lados
Triángulo Equilátero
Tres lados iguales
Triángulo Isósceles
Dos lados iguales
Triángulo Escaleno
Tres lados desigualesSegún sus Ángulos
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Geometría y Trigonometría
Triángulo Acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo Rectángulo
Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados
menoresson los catetos
Triángulo Obtusángulo
Un ángulo obtuso.
Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un Triángulo
Alturas de un triánguloAltura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.Medianas de un TriánguloMediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianas
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GAMediatrices de un TriánguloMediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.Circuncentro
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Geometría y Trigonometría
Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.Bisectrices de un TriánguloBisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.Incentro
Es el punto de corte de las tres bisectrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.Recta de Euler
CuadriláterosLos cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. Clasificación de CuadriláterosParalelogramosCuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:
Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos
Rectángulo
Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos
Rombo
Tiene los cuatro lados iguales
Romboide
Tiene lados iguales dos a dos
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Geometría y Trigonometría
TrapeciosCuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:
Trapecio Rectángulo
Tiene un ángulo recto
Trapecio Isósceles
Tiene dos lados no paralelos iguales
Trapecio Escaleno
No tiene ningún lado igual ni ángulo recto
Trapezoides
Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo
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Geometría y Trigonometría
Circunferencia
Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.Centro de la Circunferencia.- Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.Radio de la Circunferencia.- Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.Elementos de la circunferencia
Cuerda
Segmento que uneñ. dos puntos de la circunferencia
Diámetro
Cuerda que pasa por el centro
Arco
Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita
Semicircunferencia
Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.
Círculo
Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia
Elementos de un círculoSegmento circular
Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente
Semicírculo
Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.
Zona circular
Porción de círculo limitada por dos cuerdas.
Sector circular Corona circular Trapecio circular
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Geometría y Trigonometría
Porción de círculo limitada por dos radios
Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.
Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.
Posiciones relativas de Circunferencias.- Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
Interior
Su distancia al centro es menor que el radio.
Punto sobre la circunferencia.
Punto exterior a la circunferencia
Su distancia al centro es mayor que el radio
Posiciones relativas de una recta y una circunferenciaRecta Secante
La recta corta a la circunferencia en dos puntos
Recta Tangente
La recta corta a la circunferencia en un punto
Recta Exterior
No tiene ningún punto de corte con la circunferencia
Posiciones relativas de dos circunferencias.- Ningún punto en comúnExteriores
La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.
Interiores
La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
Concéntricas
Los centros coinciden.
Un punto comúnTangentes Exteriores Tangentes Interiores
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Geometría y Trigonometría
La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
Dos puntos en comúnSecantes
La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.Ángulos en la Circunferencia
Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo Inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo Semiinscrito
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo Interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados
secantes a ella.
Ángulo ExteriorSu vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
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Geometría y Trigonometría
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las
prolongaciones de sus lados.
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
ÁreasLongitud de una circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
Área de un círculo
Área de un sector circular Área de una corona circular
Es igual al área del círculo mayor menos el área del
círculo menor.
Área de un trapecio circular
Es igual al área del sector circular mayor menos el área
del sector circular menor.
Área de un segmento circular
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Geometría y Trigonometría
Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Lúnula de HipócratesConstrucción de una lúnula de Hipócrates
Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.
Con centro en O se traza el arco AB.
Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco. La parte enmarcada por el color verde se llama lúnula de Hipócrates.
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Geometría y Trigonometría
Secuencia 1 Actividad IVCircunferencia y círculo. Ejercicios 1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda
ha dado 100 vueltas?
2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente? 1 milla = 1 852 m
3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.
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Geometría y Trigonometría
5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.
6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
8. la superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.
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Geometría y Trigonometría
9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.
10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.
11. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.
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Geometría y Trigonometría
12. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.
14. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.
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Geometría y Trigonometría
15. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.
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Geometría y Trigonometría
TriángulosDefinición de triánguloUn triángulo es un polígono de tres lados.Propiedades de los triángulos
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Clasificación de triángulosSegún sus lados
Triángulo Equilátero
Tres lados Iguales
Triángulo Isósceles
Dos lados iguales.
Triángulo Escaleno
Tres lados desigualesSegún sus ÁngulosTriángulo Acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo Rectángulo
Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos
Triángulo obtusángulo
Un ángulo obtuso
Elementos notables de un triánguloAlturas de un triánguloAltura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturasOrtocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas
Medianas de un triángulo.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.Baricentro.-Es el punto de corte de las tres medianas
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Geometría y Trigonometría
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GAMediatrices de un triángulo.- Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.Circuncentro.- Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices de un Triángulo.- Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. Teorema del catetoEn todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
a hipotenusa
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Geometría y Trigonometría
b y c catetos
m proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n proyección del cateto c sobre la hipotenusa
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.
Teorema de la alturaEn un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
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Geometría y Trigonometría
Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?
3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectánguloPara que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.Determinar si el triángulo es rectángulo.
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Geometría y Trigonometría
Aplicaciones del teorema de PitágorasDiagonal del cuadrado
Diagonal del rectángulo
Aplicaciones del teorema de Pitágoras ILado oblicuo del trapecio rectángulo
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Geometría y Trigonometría
Altura del trapecio isósceles
Altura del triángulo equilátero
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Geometría y Trigonometría
Aplicaciones del teorema de Pitágoras IIApotema de un polígono regular
Apotema del Hexágono Inscrito
Aplicaciones del teorema de Pitágoras IIILado de un triángulo equilátero inscrito
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Geometría y Trigonometría
Lado de un Cuadrado Inscrito
Secuencia 1 Actividad VAplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre
ella 60 m. Calcular:
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Geometría y Trigonometría
a. Los catetos.b. La altura relativa a la hipotenusa.c. El área del triángulo.
2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos
sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo √24 cm.
3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
5. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.56 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
8. El per ímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
9. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
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Geometría y Trigonometría
10. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
11. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
12. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento c i rcular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
13. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
14. Calcular el área de la corona c ircular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
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Geometría y Trigonometría
15. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.
16. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
17. En una c ircunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
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Geometría y Trigonometría
Trigonometría Medida de ángulos.- Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario. Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:1. Grado sexagesimal (°) .- Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo
central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2. Radián (rad) .- Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
2π rad=360 ° π rad=180 °
Ejemplos
30o→rad
πμ=180
o
30o
μ= π∗30o
180o
μ= π6rad
πrad
→grados
ππ3
=180o
μ
μ=
180o∗π3π
μ=180o π
3π
μ=60o
Razones Trigonométricas
Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sin B.
CosenoCoseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cosB.
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Geometría y Trigonometría
TangenteTangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tanB
Cosecante Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por csc B.
SecanteSecante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
CotangenteCotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cot B.
Razones Trigonométricas de Cualquier ÁnguloSe llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS son triángulos semejantes′ .
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
−1≤sin∝≤1−1≤cos∝≤1
sin∝= PQOP
= PQr
=PQ csc∝=OPPQ
= OS 'OT '
=OS'r
=OS '
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Geometría y Trigonometría
cos∝=OQOP
=OQ sec∝= OPOQ
=OSOT
=OSr
=OS '
tan∝= PQOQ
= STOT
= STr
=ST cot∝=OQPQ
= ST 'OT '
=ST 'r
=ST '
Signo de las Razones Trigonométricas
∝ 0O 90O 180O 270O
sin❑ 0 1 0 -1
cos❑ 1 0 -1 0
tan❑ 0 →∞ 0 →−∞
Razones Trigonométricas de 30o ,45o60o
Seno, coseno y tangente de 30º y 60ºSi dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:Seno, coseno y tangente de 30oy 60o
h=√l2−( l2 )2
= √ l2−l2
4 = √ 4 l2−l2
4 = √ 3 l24 = √3
2l
sin 30o=
l2l=
l2
sin 60o=
√32
l
1=√32
cos30o=
√32
l
l=√32
coss 60o=
l2l=
l2
tan30o=
12
√32
=1
√3=√33
tan60o=
√3212
=2√32
=√3
Seno, coseno y tangente de 45o
¿√ l2+l2=√2 l2=l √2
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Geometría y Trigonometría
sin 45o= ll √2
= l√2
=√22
cos 45o= ll √2
= l√2
=√22
tan 45o=
l √22
l √22
=l √2l √2
=1
Razones Trigonométricas de Ángulos Notables
∝ 0O 30O 45O 60O 90O 180O 270O
sin❑ 012
√22
√32
1 0 -1
cos❑ 1 √32
√22
12
0 -1 0
tan❑ 0 √33
1 √3 →∞ 0 →−∞
Identidades Trigonométricas Fundamentalescos ²α+sen ²α=1sec ²α=1+ tg ²α
csc ²α=1+cotg ²α
csc∝= 1sin∝
sec∝= 1cos∝
cot∝= 1tan∝
= cos∝sin∝
Sabiendo que sin∝=35
, y que 90O<∝<180O. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
sin∝=35cos∝=5
3
cos∝=−√1−( 35 )2
=−√ 25−925=−√ 1625=−4
5sec∝=−5
4
tan∝=−3545
=−34cot∝=
−43
Sabiendo que tan∝=2, y que 180O<∝<270O. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α .
cos∝=−1√5
=−√55
sec∝=−√1+4=−√5
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Geometría y Trigonometría
sin∝=2(−√55 )=−2√5
5csc∝=−√5
2
tan∝=2cot∝=12
Identidades Trigonométricas
Ángulos Complementarios.- Son aquéllos cuya suma es 90oó
π2
radianes.
sin( π2−∝)=cos∝cos ( π2−∝)=sin∝tan( π2−∝)=cot∝
sin 60o=sin (90o−30o )=cos30o=√32
cos60o=cos (90o−30o )=sen30o=12
tan60o=tan (90o−30o )=cot 30o=√3
Ángulos suplementarios.- Son aquéllos cuya suma es 180 ° ó π radianes. sin ( π−∝ )=sin∝cos (π−∝ )=−cos∝tan (π−∝ )=−tan∝
64 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
sin 150o=¿ sin (180o−30o )=sin 30o=12¿
cos150o=¿cos (180o−30o )=−cos30o=−√32
¿
tan150o=¿ tan (180o−30o )=− tan 30o=−√33
¿
Ángulos que se diferencian en 180o.- Son aquéllos cuya resta es 180oó π radianes.
sin ( π+∝ )=−sin∝cos (π+∝ )=−cos∝tan (π+∝ )=tan∝
sin 210o=¿ sin (180o+30o )=−sin 30o=−12
¿
cos210o=¿cos (180o+30o )=−cos30o=−√32
¿
tan210o=¿ tan (180o+30o )=tan30o=√33
¿
Ángulos Opuestos
Son aquéllos cuya suma es 360oó 2π radianes.
sin (2π−∝ )=−sin∝cos (2 π−∝ )=cos∝tan (2 π−∝ )=−tan∝
65 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
sin 330o=¿ sin (360o−30o )=−sin 30o=−12
¿
cos330o=¿cos (360o−30o )=cos30o=√32
¿
tan330o=¿ tan (360o−30o )=− tan 30o=−√33
¿
Ángulos Negativos.- El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.−α=360 °−αsin (−∝ )=−sin∝cos (−∝ )=cos∝tan (−∝ )=−tan∝
sin (−30o )=−sin 30o=−12
cos (−30o )=cos30o=√32
tan (−30o )=−tan 30o=−√33
Mayores de 360o.- Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.
sin (∝+2πk )=sin∝cos (∝+2 πk )=cos∝tan (∝+2 πk )=tan∝
750o
30o =360o
2
sin 750o=sin (30o+2 (360o ))=sin 30o=12
cos750o=cos (30o+2 (360o ))=cos30o=√32
tan750o= tan (30o+2 (360o ))= tan 30o=√33
Razones Trigonométricas de otros Ángulos.- Ángulos que difieren en 90oó
π2
rad
sin( π2 +∝)=cos∝66 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
cos ( π2 +∝)=−sin∝
tan( π2 +∝)=−cot∝
sin 120o=¿ sin( 180o
2+30o)=−cos30o=−√3
2¿
cos120o=¿cos ( 180o
2+30o)=−sin 30o=−1
2¿
tan120o=¿ tan( 180o
2+30o)=−cot 30o=−√3¿
Ángulos que suman 270oó32π rad
sin( 3 π2
−∝)=−cos∝
cos ( 3π2 −∝)=−sin∝
tan( 3π2 −∝)=cot∝
sin 240o=¿ sin( 3 (180o )2
−30o)=−cos30o=−√32
¿
cos240o=¿cos ( 3 (180o )2
−30o)=−sin 30o=−12
¿
tan240o=¿ tan( 3 (180o )2
−30o)=cot 30o=√3¿
Ángulos que difieren en 270oó32π rad
sin( 3 π2
+∝)=−cos∝
cos ( 3π2 +∝)=sin∝tan( 3π2 +∝)=−cot∝
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Geometría y Trigonometría
sin 240o=¿ sin( 3 (180o )2
+30o)=−cos30o=−√32
¿
cos240o=¿cos ( 3 (180o )2
+30o)=sin 30o=12¿
tan240o=¿ tan( 3 (180o )2
+30o)=−cot30o=−√3¿
68 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
Secuencia 2 Actividad 1Trigonometría
1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:a. 3 π rad
b.2π5
rad.
c.3π10
rad.
2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:a. 316 °
b. 10 °
c. 127 °
69 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
3. Sabiendo que cos α=¼ , y que 270 °<α<360 °. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
4. Sabiendo que tanα=2, y que 180 °<α<270 ° Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
5. Sabiendo que sec α=2,0<α< π2
, calcular las restantes razones trigonométricas.
6. Calcula las razones de los siguientes ángulos:a. 225 °
b. 330 °
c. 2655 °
d. −840 °
70 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
7. Comprobar las identidades: a. tan∝+cot∝=sec∝csc∝
b. cot2acos2a+(cot acos a)2
c.1
sec2a=sin2acos2a+cos4a
d. cot a sec acsc a
e. sec2a csc2a= 1
sin2acos2a
71 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
8. Demostrar las siguientes identidades:
a) sin x cot x=cos x
b) cos x tan x=sin x
c) cot x sec x=csc x
d) sin x sec x=tan x
e) cos x csc x=cot x
72 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
f) cot x sec x sin x=1
g) (1−cos² x)csc ² x=1
h) (1−sin ² x)sec ² x=1
i) cot ² x (1−cos² x)=cos² x
j) (1−cos² x)sec ² x=tan ² x
73 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
k) csc x √1−sin ² x=cot x
l) (1+ tan ² x)cos² x=1
m) (sec ² x−1)cot ² x=1
n) (1−cos² x)(1+ tan ² x)=tan ² x
o) cos x csc x√se c2 x−1=1
p) sin ² x (1+cot ² x )=1
74 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
q) (csc ² x−1) tan ² x=1
r) (1−cos² x)(1+cot ² x)=1
s) sin x sec x√csc ² x−1=1
t) cos x √cot ² x+1=√csc ² x –1
u) sin ² x cot ² x+sin ² x=1
75 Ing. Edison Villacrés
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Geometría y Trigonometría
v) (1+ tan ² x)(1−sin ² x )=1
w) sin ² x sec ² x=sec ² x –1
x) csc ² x tan ² x−1=tan ² x
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Geometría y Trigonometría
Resolución de Triángulos RectángulosResolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
B: sinB=baB=sin−1 b
a
C=90o−B
C :{cosB=cac=acosB
c=√a2−b2
Resolver el triángulo conociendo:a=415m y b=280m
sin B=280415
=0.6747
B=sin−10.6747=42° 25 'C=90O−42O 42'=47O35 '
c=a sinBc=415∗0.7381c=306.31m
2. Se conocen los dos catetos
B: tan B=bcB=tan−1 b
c
C=90o−B
a :{sin B=baa=
bsin B
a=√b2+c2
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Geometría y Trigonometría
Resolver el triángulo conociendo:b=33m y c=21m
tanB=3321
=1.5714
B=57 ° 32'
C=90 °−57 ° 32'=32 °28 'a=b /sen Ba=33/0.8347=39.12m
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
C=90o−B
b :sin B=bab=a sinB
c :{cosB=cac=acosC
c=√a2−b2
Resolver el triángulo conociendo:a=45m y B=22° .C=90 °−22 °=68 °
b=a sin 22o
b=45∗0.3746b=16.85mc=acos22o
c=45∗0.9272
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Geometría y Trigonometría
c=41.72m4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
C=90o−B
a :sin B=baa= bsin B
c :{cotB=cbc=bcotC
c=√a2−b2
Resolver el triángulo conociendo:b=5.2m y B=37 ºC=90o−37 °=53 º
a= bsinB
a= 5.20.6018
a=8.64mc=b∗tanB
c=5.2∗1.3270c=6.9m
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Geometría y Trigonometría
Secuencia 2 Actividad 2
9. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=5m y B=41.7 ° . Resolver el triángulo
10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=3m y B=54.6 °. Resolver el triángulo.
11. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=6m yb=4m. Resolver el triángulo.
12. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=3m y c=5m. Resolver el triángulo.
13. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
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Geometría y Trigonometría
14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
15. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°
16. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
17. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
18. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
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Geometría y Trigonometría
Secuencia 2 Actividad 3Ejercicios de Trigonometría
19. Sabiendo que csc∝=3, calcular las restantes razones trigonométricas.
20. Calcula las razones de los siguientes ángulos: a. −150 °
b. 1740 °
21. Simplificar las fracciones:
a.1+ tan2 X1+cot2 X
b.sec2a−cos2a
tan2 x
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Geometría y Trigonometría
c.csc2a−sin2a
csc2a (2−cos2a )
22. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.
23. Tres pueblos A ,B y C están unidos por carreteras. La distancia de AaC es6km y la deBaC9km. El ángulo que forman estas carreteras es 120o. ¿Cuánto distan A y B?
24. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja 100m se observa bajo un ángulo de 45o. Calcula la altura del acantilado. Solución
:150+50√3metros.
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Geometría y Trigonometría
25. Resuelve el triángulo conociendo B=60O y el cateto b = 25 cm. Solución: C=30O, la hipotenusa 50√33
cm y el otro cateto 25√33
cm
26. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º. Solución: Los lados iguales miden 20m, y el lado desigual, 20√3m
27. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300m de su pie se ve bajo un ángulo de 10o. Solución: h=52,89m
28. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí 80m, se ve bajo ángulos de 60o y 45o, respectivamente. Solución: x=197,37m
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Geometría y Trigonometría
Secuencia 2 Actividad 4
29. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 30o. En uno de ellos, a 1000m del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino.
30. Una carretera asciende 3m por cada 100m de recorrido. ¿Qué ángulo forma con la horizontal? Solución: 1o43 ’ 9’ ’
31. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura mide 10m y que el ángulo desigual es de 120o.
32. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de 3m de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de 38o30' y el extremo superior c
bajo un ángulo de 45o15o. Hallar la altura del montículo:
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Geometría y Trigonometría
33. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de
15o. Hallar a qué distancia está la embarcación del faro.
34. Desde F, el punto más alto de un faro situado a 200m sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con ángulo de depresión igual a 18o45 '. Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde F
bajo un ángulo de 15o15'. Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria CB es perpendicular a la PB, siendo P el pie del
35. La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamente Halla las medidas de sus ángulos.
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Geometría y Trigonometría
36. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.
37. Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B. ¿Qué anchura tiene el río?
38. Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7 centímetros de radio?
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Geometría y Trigonometría
Secuencia 2 Actividad 5
39. Resuelve estos triángulos.a. a=25m ,b=20m , A p=90o
b. a=6cm ,B p=45o ,C p=1050
c. a=10mm,c=7mm, B p=30o
40. El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.
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Geometría y Trigonometría
41. Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70_. Sus medidas son 7 y 8 centímetros.a) Calcula la longitud de la diagonal menor.b) Halla el área del paralelogramo.
42. Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio.
43. ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los
radios de las bases miden 10 y 20 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de 60o con el suelo?
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Geometría y Trigonometría
44. Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos.
45. Halla el volumen de estos cuerpos.
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Geometría y Trigonometría
46. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y la generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60_ con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita
47. Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos
48. Resuelve los triángulos sabiendo queC p es un ángulo recto.a) Ap=55o , a=18cm
b) c=10cm ,b=6cm
c) a=18cm ,b=15cm
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Geometría y Trigonometría
49. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.
50. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80_. ¿Cuál es la medida de la altura sobre este lado?
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Geometría y Trigonometría
Secuencia 3 Actividad 1
51. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6 centímetros. Halla la longitud de los lados.
52. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sobre ella, 4 centímetros. Resuelve el triángulo.
53. La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de 26 ¿Cuánto mide el lado del rombo?
54. Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo.
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Geometría y Trigonometría
55. Resuelve estos triángulos
56. Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso.a) A p=56 ,b=14 cm,c=8cm
b) a=38cm ,b=46cm ,c=22cm94 Ing. Edison Villacrés
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c) B p=45 ,C p=75 , a=25cm
d) Ap=42,C p=65 , b=14 cm
57. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?
58. Resuelve los siguientes triángulos.a) a=3cm ,c=2cm,C p=140o
b) a=19cm ,b=8cm ,B p=62o
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59. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo
60. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentágono regular de la figura
Secuencia 3 Actividad 2
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Geometría y Trigonometría
61. Longitudes y áreas de figuras planas Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 14,4 y 25,6 centímetros. Calcula el área del triángulo.
62. La diagonal de un rectángulo mide 28,84 decímetros y forma con la base un ángulo de 33o ,41o ,24o. Halla su perímetro y su área.
63. El lado de un octógono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del Octógono.
64. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetros y forman un ángulo de 70o.
65. Halla el área de este paralelogramo.
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66. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos
67. Calcula el volumen del cilindro
68. Halla el área total y el volumen del ortoedro.
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69. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida, ¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?
70. Responde a las siguientes preguntas.a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo?
b) ¿Y de un triángulo cualquiera?
c) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado.
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d) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado.
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Secuencia 3 Actividad 371. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu
respuesta.
72. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas.
73. Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazar una diagonal, dos triángulos.
74. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos?
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75. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes:
a=30cm ,b=42cm,c=23cm , Ap=58o ,Bp=35o yCp=87o
76. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos desconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos, ¿cuál es el más conveniente?
79. El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a dos puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntos determinados por las visuales?
80. Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de trasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas.
102 Ing. Edison Villacrés
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81. Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la imagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia. Calcula el ángulo a que mide la paralaje.
82. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto pesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún ángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triángulo que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario?
83. Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de modo que formen triángulos no solapados.
103 Ing. Edison Villacrés
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