Integrantes:

Semestre:

Segundo “B” Electrónica

LA PARÁBOLA

Consepto:

Es el lugar geométrico de puntos que cumplen la siguiente condición:Los puntos de esta recta se mueven en un plano de tal manera que su distancia de una cuerda fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia en el punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

PUNTOS Y LÍNEAS BÁSICAS

{F} Foco (a, o)= Es el punto fijo de la cónica. Punto que no se mueve la cónica.

Directriz= Es la recta fija que se encuentra a 2a del foco.

Excentricidad= Es la relación constante, entre el punto genérico, foco y la directriz.

(a)= Es la recta que pasa por F y es perpendicular a L se llama eje de la parábola.

(A)= Es el punto de intersección entre el eje y la directriz.

(V)= Es el medio del segmento AF, está por definición, sobre la parábola este punto se llama vértice.

(BB’)= Es el segmento que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda.

(CC’)= Es una cuerda que pasa por el foco y se llama cuerda focal.

(RR’)= Es una cuerda perpendicular al eje y que pasa por el foco y se la denomina lado recto.

(PF)= Si P es un punto cualquiera de la parábola, la cuerda FP que une el F con el punto P se llama radio focal o radio vector.

ECUACION DE LA PARABOLA DEL VERTICE AL ORIGEN

PM=PF

( x+ p )=√ ( x−p )2+( y−0 )2( x+ p )=(√ (x−p )2+ ( y−0 )2 )2x2+2 px+ p2=x2−2 px+ p2+ y2

y2=4 px

x2=4 px

EJERCICIOS

1. Dada la ecuación y2+8 x=0 Hallara) Coordenadas del focob) Ecuación de la directrizc) Longitud del lado rectod) Valor de “a”e) Grafica

Ecuación de la parábola: y2=4 PXSi y2=−8x entonces p=−2Coordenadas del foco F ( p ,0 )F (2 ,0)Ecuación de la directriz

X=−p X=2Longitud del lado recto Lr=4 pLr=4(2)Lr=82. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco del punto (0 ,−3)

Datos:p=−3

X2=4 py

X2=4 (−3) y

X2=−12 y

Lr=4 p

Lr=12

y=−p

y=3

3. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y−5=0Datos: p=-5Coordenadas del foco F (0 ,−p) F (0 ,−5)

X2=−4 pyX2=−4 (5) yX2=−20 yLr=4 pLr=4(5)Lr=20

y=−py=5

4. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.P(−2,4 )y2=−4 px(4)2=−4 p (−2)16=8 pP=2y2=−4 pxy2=−4(2) x

y2=−8xF (−p ,0 )F (−2 ,0)Lr=4 pLr=4(2)Lr=85. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2=+8 y=0 que es la parábola a la recta 3 x 4 y−7=0x2=+8 y=0 3 x+4 y−7=0

x2=8 y y=74

x=73

x2=−4 pyx2=−4 (2 ) yp=2

d=√( x−0 )2+ ( y+2 )2

d=√x2+ y2+4 y+4d=√ 499 + 49

16+7+4

d=√ 2368+441144

d=√ 2809144

d=5312

6. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2=9x cuya ordenada es igual a 6

y2−9x=0 P(x , y)(6 )2−9 x=0 P(x ,6)−9 x=−36x=4y2=4 px(6 )2=4 p (4 )

p=3616

p= 94

d=√( x−p )2+( y−0 )2

d=√x2−2 px+ p2+ y2

d=√16−18+ 8116+36d=√ 544+8116

d=√ 62516d=25

47. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa

por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.P(−2,4 )p=− xy2=4 px(4 )2=4 p (−2 )16=−8 pp=−2F (p ,0)F (−2,0)Ecuación: y2=4 px¿y2=4 (−2 ) xy2=−8xLongitud:Lr=4 pEcuación de la directriz:x=−px=2

8. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es (0, -3/4) y su directriz: y – ¾ = 0. Hallar la longitud del lado rectoF (0, -3/4)

Directriz: y –34=0

x2=4 py

p=−34

x2=4 pyx2=4 (−3 /4) yx2=−3 yLado recto:Lr=4 pLr=3

9. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa

por el punto (-2,4). Hallar la ecuaci6n de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.y2=4 px(4 )2=4 p (−2 )p=−2F (−2,0)y2=4 pxy2=4 (−2 ) xy2=−8xLr=4 plr=8x=−px=2

10. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en el punto (3,0)F (3,0 )p=3y2=4 pxy2=4 (3 ) xy2=12 xLr=4 pLr=12x=−px=−3

LA HIPÉRBOLA

Concepto:

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva y menor que la distancia entre los focos.

Puntos y Líneas Básicas

FF’ = Se denominan focos.

l = Es la recta que pasa por los focos y recibe el nombre de Eje Focal.

El Eje Focal corta la hipérbola en dos puntos V y V’ llamados vértices.

VV’ = Este es el segmento comprendido entre dos vértices se denomina Eje Transverso.

C = Recta que pasa por el punto medio del Eje Transverso llamado Centro.

l’ = Recta que pasa por el punto C y es perpendicular al Eje Focal l llamado eje normal. El Eje Normal l’ no corta a la hipérbola.

AA’ = Esta recta está en el Eje Normal, que tiene a C como punto medio y se lo denomina Eje Conjugado.

BB’ = Es el segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda; estos puntos pueden ser ambos de la misma rama, como para la cuerda BB’; o uno de una rama y el otro de la otra como para el Eje Transverso VV’.

EE’ = Es una cuerda focal que pasa por el foco y se la denomina Cuerda Focal.

LL’ = Es una cuerda focal; al eje focal, es perpendicular y se llama Lado Recto, como la hipérbola tiene 2 focos evidentemente tiene 2 Lados Rectos.

DD’= Es una cuerda que pasa por el centro C y se la denomina Diámetro.

P = Es un punto cualesquiera de la hipérbola y los segmentos PF y PF’ que unen los focos con el punto P se llaman Radios Vectores de P.

b = Distancia comprendida entre C y A.

a = Distancia comprendida entre C y V.

c = Distancia comprendida entre C y F.

ECUACION DE LA HIPÉRBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN

|FP|−|F' P|=2a

√(x−c)2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=2a

√(x−c)2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=−2a

x2−2 xc+c2+ y2=4 a2+4 a+√(x+c )2+ y2+x2−2 xc+c2+ y2

−2 xc=4 a2+4 a√ (x+c )2+ y2+2 xc4 xc=4 a2+4 a√(x+c)2+ y2

−xc=a2+a√ ( x+c )2+ y2−a2−xc=a√(x+c)2+ y2

(a2+xc )2=(−a√(x+c )2+ y2)2

a4+2a2 xc+x2 c2=a2(x2+2cx+c2+ y2)

a4+2a2 xc+x2 c2=a2 x2+2a2cx+a2 c2+a2 y2

a4−2a2c2=a2 x2−x2 c2+a2 y2

x2 c2−a2 x2−a2 y2=a2 c2−a4

x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2 (c2−a2 )b2=c2−a2

b2 x2−a2 y2=a2b2 ÷ a2b2

x2

a2− y2

b2=1

LONGITUD DEL LADO RECTO

2b2

a

EXCENTRICIDAD

e= ca=√a2+b2

a

c2=a2+b2

EJERCICIOS:

1. De la siguiente ecuación 9 x2−4 y2=36 Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto.

9 x2−4 y2=36x2

a2− y2

b2=1

x2

4− y2

9=1

c2=a2+b2

c2=4+9c2=13c=√13Vertices V (a ,0) Eje transverso Eje Conjugado V 1(2 ,0) VV ´=2a AA ´=2bV 2(−2 ,0) VV ´=2(2) AA ´=2 (3)Focos F (c ,0 ) VV ´=4 AA ´=6F1 (√13 ,0 )F2 (−√13 ,0 )Excentricidad Lado recto

e= ca

Lr=2b2

a

e=√132

Lr=2(3)2

2Lr=9

2. Los vértices de una hipérbola so n los puntos v(2,0) v´(-2,0) y sus focos son los puntos F(3,0), F´(-3,0) hallar su ecuación y su excentricidadDatos: V (a ,0)F(c ,0)V (2,0)F(3,0)a=2c=3b2=c2−a2

b2=9−4b=√5

x2

a2− y2

b2=1

x2

(2)2− y2

(√5)2=1

x2

4− y2

5=1

e= ca=32

3. El centro de una hipérbola esta nen el origen, y su eje transverso esta sobre el eje y. Si un foco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3 hállese la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado. Datos:

F (0 , c) F (0,5)

e= ca

3=5a

a=53

b2=c2−a2

b2=25−259

b2=2009

b=√2003

y2

a2− x

2

b2=1

y2

259

− x2

2009

=1

( 9 y225 −9 x2

200=1)∗200

72 y2−9 x2=200

Lr=2b2

a=803

4. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad. Datos: A(0,3)A´(0,-3)

Lr=2b2

a

6=2 (3 )2

aa=3c2=a2+b2

c2=9+9c=√18

x2

a2− y2

b2=1

x2

9− y2

9=1

e= ca

e=√183

=√9∗23

e=3√23

=√2

5. Hallar las longitudes de los radios vectores del punto (6,5) de la hipérbola 5 x2−4 y2=80x2

a2− y2

b2=1

x2

16− y2

20=1

a2=16b2=20c2=a2+b2

c2=16+20c2=36c=6FocosF (6,0)F ´ (−6,0)d 1=|PF|d 1=√ (6−6 )2+(5−0 )2

d 1=√25d 1=5d 2=|PF ´|d 2=√ (6+6 )2+ (5−0 )2

d 2=√169d 2=13

6. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3,-2) y (7,6 tiene su centro en el

origen y el eje transverso coincide con el eje x. x2

a2− y2

b2=1

(3)2

a2−

(−2)2

b2=

(7 )2

a2−

(6)2

b2

9b2−4a2

a2b2=49b

2−36a2

a2b2

32a2=40b2

a2=54b2

954b2

− 4

b2=1

365

−4=b2

b2=165

a2=54 ( 165 )

a2= 4

x2

a2− y2

b2=1

( x2

4− y2

165

=1)∗164 x2−5 y2=16

7. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (2,0) ,V ´ (−2,0) y sus focos son los puntos F (3,0), F (−3,0). Hallar su ecuación y su excentricidad.Datos:V (2,0)a=2F (3,0)c=3

x2

a2− y2

b2=1

b2=c2−a2

b2=9−4b2=5x2

4− y2

5=1

e= ca

e=32

Lr=2b2

a

Lr=2(5)2

Lr=5

8. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso esta sobre el eje y. Si su foco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3. Datos: F (0,5 )c=5e=3e=c/ a

3=5a

a=53

b2=25−259

b2=2009

y2

25/9− x2

200/9=1

Lr=2b2

a

Lr=2( 200

9)

(5 /3)

Lr=803

9. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje x. Halla su ecuación sabiendo que su excentricidad es 1/2√6 y que la curva pasa por el punto (2,1)Datos:e=1/2√6P(2,1)

12√6= c

a

c2=a2+b2

( 12 √6)2

=(√a2+b2a )2

32=a

2+b2

a2

3a2=2 (a2+b2 )a2=2b2

x2

a2− y2

b2=1

4

a2− 1

b2=1

4

2b2− 1

b2=1

4−22b2

=1

2=2b2

b2=1a2=2b2

a2=2x2

a2− y2

b2=1

x2

2− y2

1=1

10. Hallar la ecuación de la hipérbola, que tiene centro en el origen, el eje focal coincide con el eje x y su excentricidad es 1/2√7 y su lado recto es 6. Datos:

e= ca

e=1/2√7

Lr=2b2

aLr=6

6=2b2

a

6a=2b2

12√7= c

a

( 12 √7)2

=(√a2+b2a )2

74=a

2+b2

a2

7a2=4 (a2+b2)

b2=34a2

6a=2b2

6a=2( 34 a2)a=46a=2b2

6 (4 )=2b2

b2=12c2=a2+b2

c2=16+12c2=28x2

a2− y2

b2=1

x2

16− y2

12=1