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Integrantes:
Semestre:
Segundo “B” Electrónica
LA PARÁBOLA
Consepto:
Es el lugar geométrico de puntos que cumplen la siguiente condición:Los puntos de esta recta se mueven en un plano de tal manera que su distancia de una cuerda fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia en el punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
PUNTOS Y LÍNEAS BÁSICAS
{F} Foco (a, o)= Es el punto fijo de la cónica. Punto que no se mueve la cónica.
Directriz= Es la recta fija que se encuentra a 2a del foco.
Excentricidad= Es la relación constante, entre el punto genérico, foco y la directriz.
(a)= Es la recta que pasa por F y es perpendicular a L se llama eje de la parábola.
(A)= Es el punto de intersección entre el eje y la directriz.
(V)= Es el medio del segmento AF, está por definición, sobre la parábola este punto se llama vértice.
(BB’)= Es el segmento que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda.
(CC’)= Es una cuerda que pasa por el foco y se llama cuerda focal.
(RR’)= Es una cuerda perpendicular al eje y que pasa por el foco y se la denomina lado recto.
(PF)= Si P es un punto cualquiera de la parábola, la cuerda FP que une el F con el punto P se llama radio focal o radio vector.
ECUACION DE LA PARABOLA DEL VERTICE AL ORIGEN
PM=PF
( x+ p )=√ ( x−p )2+( y−0 )2( x+ p )=(√ (x−p )2+ ( y−0 )2 )2x2+2 px+ p2=x2−2 px+ p2+ y2
y2=4 px
x2=4 px
EJERCICIOS
1. Dada la ecuación y2+8 x=0 Hallara) Coordenadas del focob) Ecuación de la directrizc) Longitud del lado rectod) Valor de “a”e) Grafica
Ecuación de la parábola: y2=4 PXSi y2=−8x entonces p=−2Coordenadas del foco F ( p ,0 )F (2 ,0)Ecuación de la directriz
X=−p X=2Longitud del lado recto Lr=4 pLr=4(2)Lr=82. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco del punto (0 ,−3)
Datos:p=−3
X2=4 py
X2=4 (−3) y
X2=−12 y
Lr=4 p
Lr=12
y=−p
y=3
3. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y−5=0Datos: p=-5Coordenadas del foco F (0 ,−p) F (0 ,−5)
X2=−4 pyX2=−4 (5) yX2=−20 yLr=4 pLr=4(5)Lr=20
y=−py=5
4. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.P(−2,4 )y2=−4 px(4)2=−4 p (−2)16=8 pP=2y2=−4 pxy2=−4(2) x
y2=−8xF (−p ,0 )F (−2 ,0)Lr=4 pLr=4(2)Lr=85. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2=+8 y=0 que es la parábola a la recta 3 x 4 y−7=0x2=+8 y=0 3 x+4 y−7=0
x2=8 y y=74
x=73
x2=−4 pyx2=−4 (2 ) yp=2
d=√( x−0 )2+ ( y+2 )2
d=√x2+ y2+4 y+4d=√ 499 + 49
16+7+4
d=√ 2368+441144
d=√ 2809144
d=5312
6. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2=9x cuya ordenada es igual a 6
y2−9x=0 P(x , y)(6 )2−9 x=0 P(x ,6)−9 x=−36x=4y2=4 px(6 )2=4 p (4 )
p=3616
p= 94
d=√( x−p )2+( y−0 )2
d=√x2−2 px+ p2+ y2
d=√16−18+ 8116+36d=√ 544+8116
d=√ 62516d=25
47. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa
por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.P(−2,4 )p=− xy2=4 px(4 )2=4 p (−2 )16=−8 pp=−2F (p ,0)F (−2,0)Ecuación: y2=4 px¿y2=4 (−2 ) xy2=−8xLongitud:Lr=4 pEcuación de la directriz:x=−px=2
8. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es (0, -3/4) y su directriz: y – ¾ = 0. Hallar la longitud del lado rectoF (0, -3/4)
Directriz: y –34=0
x2=4 py
p=−34
x2=4 pyx2=4 (−3 /4) yx2=−3 yLado recto:Lr=4 pLr=3
9. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa
por el punto (-2,4). Hallar la ecuaci6n de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.y2=4 px(4 )2=4 p (−2 )p=−2F (−2,0)y2=4 pxy2=4 (−2 ) xy2=−8xLr=4 plr=8x=−px=2
10. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en el punto (3,0)F (3,0 )p=3y2=4 pxy2=4 (3 ) xy2=12 xLr=4 pLr=12x=−px=−3
LA HIPÉRBOLA
Concepto:
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva y menor que la distancia entre los focos.
Puntos y Líneas Básicas
FF’ = Se denominan focos.
l = Es la recta que pasa por los focos y recibe el nombre de Eje Focal.
El Eje Focal corta la hipérbola en dos puntos V y V’ llamados vértices.
VV’ = Este es el segmento comprendido entre dos vértices se denomina Eje Transverso.
C = Recta que pasa por el punto medio del Eje Transverso llamado Centro.
l’ = Recta que pasa por el punto C y es perpendicular al Eje Focal l llamado eje normal. El Eje Normal l’ no corta a la hipérbola.
AA’ = Esta recta está en el Eje Normal, que tiene a C como punto medio y se lo denomina Eje Conjugado.
BB’ = Es el segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda; estos puntos pueden ser ambos de la misma rama, como para la cuerda BB’; o uno de una rama y el otro de la otra como para el Eje Transverso VV’.
EE’ = Es una cuerda focal que pasa por el foco y se la denomina Cuerda Focal.
LL’ = Es una cuerda focal; al eje focal, es perpendicular y se llama Lado Recto, como la hipérbola tiene 2 focos evidentemente tiene 2 Lados Rectos.
DD’= Es una cuerda que pasa por el centro C y se la denomina Diámetro.
P = Es un punto cualesquiera de la hipérbola y los segmentos PF y PF’ que unen los focos con el punto P se llaman Radios Vectores de P.
b = Distancia comprendida entre C y A.
a = Distancia comprendida entre C y V.
c = Distancia comprendida entre C y F.
ECUACION DE LA HIPÉRBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN
|FP|−|F' P|=2a
√(x−c)2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=2a
√(x−c)2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=−2a
x2−2 xc+c2+ y2=4 a2+4 a+√(x+c )2+ y2+x2−2 xc+c2+ y2
−2 xc=4 a2+4 a√ (x+c )2+ y2+2 xc4 xc=4 a2+4 a√(x+c)2+ y2
−xc=a2+a√ ( x+c )2+ y2−a2−xc=a√(x+c)2+ y2
(a2+xc )2=(−a√(x+c )2+ y2)2
a4+2a2 xc+x2 c2=a2(x2+2cx+c2+ y2)
a4+2a2 xc+x2 c2=a2 x2+2a2cx+a2 c2+a2 y2
a4−2a2c2=a2 x2−x2 c2+a2 y2
x2 c2−a2 x2−a2 y2=a2 c2−a4
x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2 (c2−a2 )b2=c2−a2
b2 x2−a2 y2=a2b2 ÷ a2b2
x2
a2− y2
b2=1
LONGITUD DEL LADO RECTO
2b2
a
EXCENTRICIDAD
e= ca=√a2+b2
a
c2=a2+b2
EJERCICIOS:
1. De la siguiente ecuación 9 x2−4 y2=36 Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto.
9 x2−4 y2=36x2
a2− y2
b2=1
x2
4− y2
9=1
c2=a2+b2
c2=4+9c2=13c=√13Vertices V (a ,0) Eje transverso Eje Conjugado V 1(2 ,0) VV ´=2a AA ´=2bV 2(−2 ,0) VV ´=2(2) AA ´=2 (3)Focos F (c ,0 ) VV ´=4 AA ´=6F1 (√13 ,0 )F2 (−√13 ,0 )Excentricidad Lado recto
e= ca
Lr=2b2
a
e=√132
Lr=2(3)2
2Lr=9
2. Los vértices de una hipérbola so n los puntos v(2,0) v´(-2,0) y sus focos son los puntos F(3,0), F´(-3,0) hallar su ecuación y su excentricidadDatos: V (a ,0)F(c ,0)V (2,0)F(3,0)a=2c=3b2=c2−a2
b2=9−4b=√5
x2
a2− y2
b2=1
x2
(2)2− y2
(√5)2=1
x2
4− y2
5=1
e= ca=32
3. El centro de una hipérbola esta nen el origen, y su eje transverso esta sobre el eje y. Si un foco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3 hállese la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado. Datos:
F (0 , c) F (0,5)
e= ca
3=5a
a=53
b2=c2−a2
b2=25−259
b2=2009
b=√2003
y2
a2− x
2
b2=1
y2
259
− x2
2009
=1
( 9 y225 −9 x2
200=1)∗200
72 y2−9 x2=200
Lr=2b2
a=803
4. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad. Datos: A(0,3)A´(0,-3)
Lr=2b2
a
6=2 (3 )2
aa=3c2=a2+b2
c2=9+9c=√18
x2
a2− y2
b2=1
x2
9− y2
9=1
e= ca
e=√183
=√9∗23
e=3√23
=√2
5. Hallar las longitudes de los radios vectores del punto (6,5) de la hipérbola 5 x2−4 y2=80x2
a2− y2
b2=1
x2
16− y2
20=1
a2=16b2=20c2=a2+b2
c2=16+20c2=36c=6FocosF (6,0)F ´ (−6,0)d 1=|PF|d 1=√ (6−6 )2+(5−0 )2
d 1=√25d 1=5d 2=|PF ´|d 2=√ (6+6 )2+ (5−0 )2
d 2=√169d 2=13
6. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3,-2) y (7,6 tiene su centro en el
origen y el eje transverso coincide con el eje x. x2
a2− y2
b2=1
(3)2
a2−
(−2)2
b2=
(7 )2
a2−
(6)2
b2
9b2−4a2
a2b2=49b
2−36a2
a2b2
32a2=40b2
a2=54b2
954b2
− 4
b2=1
365
−4=b2
b2=165
a2=54 ( 165 )
a2= 4
x2
a2− y2
b2=1
( x2
4− y2
165
=1)∗164 x2−5 y2=16
7. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (2,0) ,V ´ (−2,0) y sus focos son los puntos F (3,0), F (−3,0). Hallar su ecuación y su excentricidad.Datos:V (2,0)a=2F (3,0)c=3
x2
a2− y2
b2=1
b2=c2−a2
b2=9−4b2=5x2
4− y2
5=1
e= ca
e=32
Lr=2b2
a
Lr=2(5)2
Lr=5
8. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso esta sobre el eje y. Si su foco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3. Datos: F (0,5 )c=5e=3e=c/ a
3=5a
a=53
b2=25−259
b2=2009
y2
25/9− x2
200/9=1
Lr=2b2
a
Lr=2( 200
9)
(5 /3)
Lr=803
9. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje x. Halla su ecuación sabiendo que su excentricidad es 1/2√6 y que la curva pasa por el punto (2,1)Datos:e=1/2√6P(2,1)
12√6= c
a
c2=a2+b2
( 12 √6)2
=(√a2+b2a )2
32=a
2+b2
a2
3a2=2 (a2+b2 )a2=2b2
x2
a2− y2
b2=1
4
a2− 1
b2=1
4
2b2− 1
b2=1
4−22b2
=1
2=2b2
b2=1a2=2b2
a2=2x2
a2− y2
b2=1
x2
2− y2
1=1
10. Hallar la ecuación de la hipérbola, que tiene centro en el origen, el eje focal coincide con el eje x y su excentricidad es 1/2√7 y su lado recto es 6. Datos:
e= ca
e=1/2√7
Lr=2b2
aLr=6
6=2b2
a
6a=2b2
12√7= c
a
( 12 √7)2
=(√a2+b2a )2
74=a
2+b2
a2
7a2=4 (a2+b2)
b2=34a2
6a=2b2
6a=2( 34 a2)a=46a=2b2
6 (4 )=2b2
b2=12c2=a2+b2
c2=16+12c2=28x2
a2− y2
b2=1
x2
16− y2
12=1