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ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -2-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -3-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -4-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -5-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -6-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -7-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -8-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -9-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -10-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -11-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -12-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -13-200 MILLAS
O
E
FQ
P
A B
N
M
T
L1
L2
C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -14-200 MILLAS
GEOMETRIA
1.- DEFINICIÓN: Es un conjunto infinitos de puntos de un plano, que equidista de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.
2.- CÍRCULO: es la reunión de una circunferencia y su región interior.
3.- ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
O T
L1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -15-200 MILLAS
1. Centro : “O”
2. Radio : OA
3. Diámetro : AB
4. Cuerda : PQ5. Arco : BC
6. Flecha o sagita : EF7. Recta tangente : L1
8. Recta secante : L2
9. Pto. de tangencia :”T”
10. Sector circular : BOC
11. Segmento circular : MN
3.1 RADIO: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
3.2 CUERDA: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
3.3 DIÁMETRO O CUERDA MÁXIMA: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
4.- PROPIEDADES:
4.1.- Si “T” es punto de tangencia, entonces:
OT ⊥ L1 .
O
B
A
P
O
MA B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -16-200 MILLAS
4.2.- Si: A y B son puntos de tangencia, entonces: PA = PB
También : si “O” es centro.
POes bisectriz A P̂B
4.3.- Si: OM ⊥ AB ; entonces:
AM = MB
A
C
D
B
A
C
B
D
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -17-200 MILLAS
4.4.- Tangentes Comunes Interiores:
AB = CD
4.5.- Tangentes Comunes Exteriores.
AB = CD
O x°
A
B
C x°
A
B
2x
B
A
2xx
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -18-200 MILLAS
5.- ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
5.1.- Ángulo Central:
5.2.- Ángulo Inscrito:
5.3.- Ángulo Semi-Inscrito:
x = mAB
2
A
B
C x°
2x
C
D
B
A
x°m° n°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -19-200 MILLAS
5.4.- Ángulo Ex - Inscrito:
5.5.- Ángulo Interior:
x = mAB
2
x = mAB
2
x° = m°+n°
2
x°
A
B
n° m°P
x°P
A
B
C
n°
m°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -20-200 MILLAS
5.6.- Ángulo Exterior:
a)
b)
x° = m°−n°
2
x° = m°−n°
2
P
B
CD
Am°n°
x° y°
B C
A D
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -21-200 MILLAS
c)
5.7.- De un Ángulo exterior
5.8.- Si AB = CD, entonces : AB CD
x° = m°−n°
2
x + y = 180
A Bo
C4
8
x°D
A Bo
C4
4
D
4
x°
4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -22-200 MILLAS
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Calcula “x” , si “O” es centro.
Resolución:
Trazamos radio perpendicular al punto de tangencia “C”.
40° x°
40° x°80°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -23-200 MILLAS
Se observa que en el triángulo rectángulo OCD el valor de x = 45°.
2.- Del gráfico calcula el valor de “x”.
Resolución:
Se observa que
x +80° = 180°
x = 180 - 80
60°80° x°
x 112
56°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -24-200 MILLAS
x = 100°
3.- Del gráfico calcula el valor de “x”
Resolución:
Se sabe que:
60° es un ángulo interior
60° =
80 °+ x2
120° = 80° + x
120° - 80° = x
40° = x
4.- Calcula el valor de “x”
60°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -25-200 MILLAS
Resolución:
Del gráfico se observa que:
x + 112 = 360°
x = 360° - 112
x = 248°
5.- Calcula el valor de
Resolución:
Se observa que:
= 2(60)
= 120°
Pero:
+ = 180°
+ 120° = 180°
= 60°
x° 80°60°
O
D
Cx°
6
4
BA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -26-200 MILLAS
6.- Calcula x:
Resolución:
Del gráfico se observa que x es un ángulo interior:
x = 60+802
x = 70°
CUESTIONARIO
1).- Calcula “x”, si “O” es centro.
O O’35° x°
x°
o
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -27-200 MILLAS
a) 53° b) 37° c) 45°
d) 30° e) 60°
2).- Calcula “x”, si O y O’ son centros.
a) 35° b) 45° c) 55°
d) 65° e) 40°
3).- Calcula “x” si “o” es centro.
100°ox°
x°
x
60°
2x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -28-200 MILLAS
a) 40° b) 45° c) 30°
d) 50° e) 60°
4).- Calcula “x” si “o” es centro.
a) 15° b) 30° c) 50°
d) 25° e) 10°
5).- Calcula “x”
x°
40°
A
C B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -29-200 MILLAS
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
6).- Calcula “x” si: AB = BC
a) 60° b) 30° c) 50°
d) 55° e) 40°
50°
x°
x°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -30-200 MILLAS
7).- Calcula “x”
a) 10° b) 20° c) 15°
d) 5° e) 12°
8).- Calcula “x”
a) 100° b) 80° c) 90°
d) 120° e) 150°
x° 120°80°
o2x x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -31-200 MILLAS
9).- Calcula “x”
a) 140° b) 90° c) 130°
d) 120° e) 110°
10).- Calcula “x”, si “O” es centro
2x°
x°o
x°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -32-200 MILLAS
a) 15° b) 40° c) 10°
d) 20° e) 30°
11).- Calcula “x” si “O” es centro.
a) 15° b) 18° c) 12°
d) 10° e) 20°
12).- Si: + - = 80°, calcula “x”
x°
y°
x°y°
z°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -33-200 MILLAS
a) 35 b) 55 c) 65
d) 40 e) 50
13).- Calcula (x + y)
a) 135 b) 120 c) 90
d) 105 e) 180
14).- Calcula (x + y + z)
y° z°
w°x°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -34-200 MILLAS
a) 90 b) 540 c) 360
d) 270 e) 180
15).- Calcula (w + x + y + z)
a) 150° b) 225° c) 270°
d) 90° e) 180°
x°
20°
o
R5
3
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -35-200 MILLAS
16).- Calcula “x” si “O” es centro.
a) 80° b) 40° c) 60°
d) 70° e) 50°
17).- En la figura, calcula “R”
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 2,5
A
B C
D
E
G
4
53
x
o
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -36-200 MILLAS
18).- Si ABCD es cuadrado, calcula el perímetro del triángulo EBG.
a) 8 b) 4 c) 6 d) 12 e) 16
19).- En la figura, calcula “x” si “O” es centro.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
x
xo
1
53°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -37-200 MILLAS
20).- Calcula “x” si “O” es centro
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
CLAVES
1) b 2) c 3) e 4) d
5) b 6) d 7) a 8) c
9) e 10) e 11) b 12) e
13) c 14) e 15) e 16) a
17) b 18) a 19) b 20) d
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -38-200 MILLAS
3° Secundaria Alumno(a) :...........................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
1° Unidad Temática N° 7; 8 2° Objetivo N° 7.1; 8.1 3° Tema N° VIII ; IX 4° Contenido N° 8.4; 8.5; 8.6; 9.1; 9.3
a
b
m
n
L1
L2
L3
a m
bn
1.- TEOREMA DE THALES:
Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
Si: L1 // L2 // L3
Si: L1 // L2 // L3
2.- CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO
Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
ab= m
n
ab= m
n
B
A
N
C
M
a
b
m
n
a b
x
m n
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -40-200 MILLAS
Si: MN // AC
3.- TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO:
En todo triángulo, la bisectriz ya sea interior o exterior determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz.
a).- BISECTRIZ INTERIOR:
ab= m
n
ab= m
n
a xb
B
A EC n
m
A
B
C
c a
b
I
D
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -41-200 MILLAS
b).- BISECTRIZ EXTERIOR:
4.- TEOREMA DEL INCENTRO:
En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.
5.- TEOREMA DE MENÉALO:
ab= m
n
c+ab= BI
ID
bx
a
y
zc
D
Q
R
akck
bkCA
B
c a
b
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -42-200 MILLAS
En todo triángulo al trazar una recta transversal o secante, se determina seis segmentos sobre los lados de dicho triángulo, donde el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos.
6.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
6.1).- DEFINICIÓN:
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos interiores de igual medida y las longitudes de sus lados son directamente proporcionales.
El ABC ~ PQR
12
93
4
1012
14
5 6
7
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -43-200 MILLAS
6.2).- CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
a.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
b.- Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo respectivamente congruente y las longitudes de los lados que forman a dicho ángulo respectivamente proporcionales.
c.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
PROBLEMAS RESUELTOS
A
B
C
P Q
6
x-3x-4
x-2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -44-200 MILLAS
1.- Del gráfico calcula el valor de “x”.
Si L1 // L2 // L3
Solución:
Aplicando el Teorema de Thales.
ABBC
= DEEF
820= x( x+6 )
4(x+6) = 10x
4x + 24 = 10x
24 = 6x
4 = x
2.- Calcula “x” si: PQ // AC
A
B
C
D
E
F
8 x
2 x+6
a
b
y
x
c
z
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -45-200 MILLAS
Solución:
Aplicando el teorema de Thales.
x−2x−4
= 6x−3
x2 – 5x + 6 = 6x – 24
x2 – 11x + 30 = 0
x –5
x – 6
(x-5)(x-6) = 0
C.S {5; 6}
3.- Calcula “x.y.z”, si: a.b.c = 24
Solución:
16 x
9x
A E
F
G
H
B
C
D
L1
L2
L3
L4
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -46-200 MILLAS
Aplicando el Teorema de Menelao
a.b.c = x.y.z
24 = x.y.z
4.- Del gráfico calcula “x”:
Solución:
Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:
16x= x
9
x2 = 16.9
x = 4.3 = 12
5.- Si L1 // L2 // L3 // L4 además AB= 3; CD = 4; EG= 6 y FH = 7
A
B
C
8 4
5xM
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -47-200 MILLAS
Solución:
Aplicando el Teorema de Thales:
Del gráfico se observa que:
ABCD
= EFGH
34= 6−x
7−x⇒ 21−3x=24
-4x
x = 3
6.- Calcula “x”
A D
E
F
B
C
L1
L2
L3
B
P Q
6x-2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -48-200 MILLAS
Solución:
Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:
ABAM
= BCMC
8x= 4
5
Simplificando x = 10
CUESTIONARIO
1).- Calcula DE . Si: AB = 4 ; DE = BC y EF = BC − 1 ; además L1 // L2 // L3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2,5 e) 3,5
2).- Calcula “x”, si PQ // AC
x
L1
L2
L34
12
8
3a 21
B
NM
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -49-200 MILLAS
a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3
3).- Calcula “x”: L1 // L2 // L3
a) 5 b) 6 c) 8
d) 12 e) 10
4).- En la figura calcula “x”, si MN // AC .
A
B
C
M
N
B
D
24 40
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -50-200 MILLAS
a) 8 b) 21 c) 17
d) 12 e) 14
5).- Calcula : MN , si AB= 12; AC = 9 ; BN = 4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6).- Calcula “x”
B
A C
6 8
n m7
E
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -51-200 MILLAS
a) 21,6 b) 12 c) 13,5
d) 15 e) 24
7).- Calcula “m - n”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
B
A C
6 m
n 47
E
B
C
P
A
30
50
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -52-200 MILLAS
8).- Calcula: “m + n”
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
9).- Calcula x.
a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 15
P
B
CA
x
E
A CB
D
x
2x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -53-200 MILLAS
10).- Calcula “x”, si AP= 8 y PB = 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
11).- Calcula “x”
P
B
Q
A Cx
x
4 9M N
E F
B
CA G
24
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -54-200 MILLAS
a) 1,5 b) 3,4 c) 2,45
d) 1,75 e) 2,75
12).- Calcula “x”
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
13).- Calcula EF sabiendo que EFGA: rombo
B
CA
F
E
4
2
x
8
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -55-200 MILLAS
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 9
14).- Calcula “x”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
15).- En un triángulo ABC, AB=10; BC =14 y AC =12, se traza BDbisectriz interior (“D” en AC ),
calcula AD .
B C
D
A E
8
5
16
B
A D
C4
9
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -56-200 MILLAS
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
16).- En la figura calcula AD .
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
17).- En la figura, calcula x.
7
C
E
A
B
6
D
A E L1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -57-200 MILLAS
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
18).- Calcula
DEBD
a)
67 b)
76 c)
25
d)
48 e)
1011
19).- En la figura: L1//L2//L3. AB=5; EF =x+2; BC =7 y FG=2x –2. Calcula “x”.
A E
B F
C G
L1
L2
L3
D H L4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -58-200 MILLAS
a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
20).- En la figura: L1 // L2 // L3 // L4. AB=5; CD =7; EG= 15 y FH = 19. Calcula “FG ”.
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -59-200 MILLAS
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
CLAVES
1) b 2) a 3) b 4) e
5) c 6) a 7) a 8) d
9) e 10) a 11) e 12) c
13) d 14) b 15) c 16) c
17) c 18) a 19) c 20) c
3° Secundaria Alumno(a) :...........................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -60-200 MILLAS
1° Unidad Temática N° 7; 8 2° Objetivo N° 7.1; 8.1 3° Tema N° VIII ; IX 4° Contenido N° 8.4; 8.5; 8.6; 9.1; 9.3
a
b
m
n
L1
L2
L3
a m
bn
1.- TEOREMA DE THALES:
Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
Si: L1 // L2 // L3
Si: L1 // L2 // L3
2.- CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO
Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
ab= m
n
ab= m
n
B
A
N
C
M
a
b
m
n
a b
x
m n
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -62-200 MILLAS
Si: MN // AC
3.- TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO:
En todo triángulo, la bisectriz ya sea interior o exterior determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz.
a).- BISECTRIZ INTERIOR:
ab= m
n
ab= m
n
a xb
B
A EC n
m
A
B
C
c a
b
I
D
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -63-200 MILLAS
b).- BISECTRIZ EXTERIOR:
4.- TEOREMA DEL INCENTRO:
En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.
5.- TEOREMA DE MENÉALO:
ab= m
n
c+ab= BI
ID
bx
a
y
zc
D
Q
R
akck
bkCA
B
c a
b
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -64-200 MILLAS
En todo triángulo al trazar una recta transversal o secante, se determina seis segmentos sobre los lados de dicho triángulo, donde el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos.
6.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
6.1).- DEFINICIÓN:
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos interiores de igual medida y las longitudes de sus lados son directamente proporcionales.
El ABC ~ PQR
12
93
4
1012
14
5 6
7
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -65-200 MILLAS
6.2).- CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
a.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
b.- Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo respectivamente congruente y las longitudes de los lados que forman a dicho ángulo respectivamente proporcionales.
c.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
PROBLEMAS RESUELTOS
A
B
C
P Q
6
x-3x-4
x-2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -66-200 MILLAS
1.- Del gráfico calcula el valor de “x”.
Si L1 // L2 // L3
Solución:
Aplicando el Teorema de Thales.
ABBC
= DEEF
820= x( x+6 )
4(x+6) = 10x
4x + 24 = 10x
24 = 6x
4 = x
2.- Calcula “x” si: PQ // AC
A
B
C
D
E
F
8 x
2 x+6
a
b
y
x
c
z
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -67-200 MILLAS
Solución:
Aplicando el teorema de Thales.
x−2x−4
= 6x−3
x2 – 5x + 6 = 6x – 24
x2 – 11x + 30 = 0
x –5
x – 6
(x-5)(x-6) = 0
C.S {5; 6}
3.- Calcula “x.y.z”, si: a.b.c = 24
Solución:
16 x
9x
A E
F
G
H
B
C
D
L1
L2
L3
L4
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -68-200 MILLAS
Aplicando el Teorema de Menelao
a.b.c = x.y.z
24 = x.y.z
4.- Del gráfico calcula “x”:
Solución:
Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:
16x= x
9
x2 = 16.9
x = 4.3 = 12
5.- Si L1 // L2 // L3 // L4 además AB= 3; CD = 4; EG= 6 y FH = 7
A
B
C
8 4
5xM
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -69-200 MILLAS
Solución:
Aplicando el Teorema de Thales:
Del gráfico se observa que:
ABCD
= EFGH
34= 6−x
7−x⇒ 21−3x=24
-4x
x = 3
6.- Calcula “x”
A D
E
F
B
C
L1
L2
L3
B
P Q
6x-2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -70-200 MILLAS
Solución:
Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:
ABAM
= BCMC
8x= 4
5
Simplificando x = 10
CUESTIONARIO
1).- Calcula DE . Si: AB = 4 ; DE = BC y EF = BC − 1 ; además L1 // L2 // L3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2,5 e) 3,5
2).- Calcula “x”, si PQ // AC
x
L1
L2
L34
12
8
3a 21
B
NM
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -71-200 MILLAS
a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3
3).- Calcula “x”: L1 // L2 // L3
a) 5 b) 6 c) 8
d) 12 e) 10
4).- En la figura calcula “x”, si MN // AC .
A
B
C
M
N
B
D
24 40
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -72-200 MILLAS
a) 8 b) 21 c) 17
d) 12 e) 14
5).- Calcula : MN , si AB= 12; AC = 9 ; BN = 4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6).- Calcula “x”
B
A C
6 8
n m7
E
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -73-200 MILLAS
a) 21,6 b) 12 c) 13,5
d) 15 e) 24
7).- Calcula “m - n”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
B
A C
6 m
n 47
E
B
C
P
A
30
50
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -74-200 MILLAS
8).- Calcula: “m + n”
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
9).- Calcula x.
a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 15
P
B
CA
x
E
A CB
D
x
2x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -75-200 MILLAS
10).- Calcula “x”, si AP= 8 y PB = 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
11).- Calcula “x”
P
B
Q
A Cx
x
4 9M N
E F
B
CA G
24
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -76-200 MILLAS
a) 1,5 b) 3,4 c) 2,45
d) 1,75 e) 2,75
12).- Calcula “x”
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
13).- Calcula EF sabiendo que EFGA: rombo
B
CA
F
E
4
2
x
8
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -77-200 MILLAS
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 9
14).- Calcula “x”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
15).- En un triángulo ABC, AB=10; BC =14 y AC =12, se traza BDbisectriz interior (“D” en AC ),
calcula AD .
B C
D
A E
8
5
16
B
A D
C4
9
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -78-200 MILLAS
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
16).- En la figura calcula AD .
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
17).- En la figura, calcula x.
7
C
E
A
B
6
D
A E L1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -79-200 MILLAS
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
18).- Calcula
DEBD
a)
67 b)
76 c)
25
d)
48 e)
1011
19).- En la figura: L1//L2//L3. AB=5; EF =x+2; BC =7 y FG=2x –2. Calcula “x”.
A E
B F
C G
L1
L2
L3
D H L4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -80-200 MILLAS
a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
20).- En la figura: L1 // L2 // L3 // L4. AB=5; CD =7; EG= 15 y FH = 19. Calcula “FG ”.
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -81-200 MILLAS
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
CLAVES
1) b 2) a 3) b 4) e
5) c 6) a 7) a 8) d
9) e 10) a 11) e 12) c
13) d 14) b 15) c 16) c
17) c 18) a 19) c 20) c
3° Secundaria Alumno(a) :...........................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : RELACIONES MÉTRICAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -82-200 MILLAS
1° Unidad Temática N° 9 2° Objetivo N° 9 3° Tema N° X 4° Contenido N° 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6
A
B B
M N NAl
A
A’
ac
m nb
A
B
h
I. PROYECCIÓN ORTOGONAL Se llama proyección ortogonal de un punto, sobre una recta, al pie de la perpendicular desde el punto a la recta. Ejem :
A’ : Proyección de A, sobre l.
MN : Proyección deAB , sobre l.
AN : Proyección deAB , sobre l.
II.RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
C
ac
mb
CA
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -84-200 MILLAS
1) a2 = n . b
2) c2 = m . b
3) h2 = m . n
4) a . c = b . h
5) a2 + c2 = b2
III. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
1) TEOREMA DE EUCLIDES
a)
a2 = b2 + c2 - 2bm para < 90°
b)
a
bA
B
C
c
m
b ah
c
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -85-200 MILLAS
a2 = b2 + c2 + 2bm para > 90°
2) TEOREMA DE HERÓN
H =
2c√P (P−a )(P−b )(P−c )
Donde : P =
a+b+c2
3) TEOREMA DE LA MEDIANA
b ax
c
x
y
b
a
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -86-200 MILLAS
a2 + b2 = 2x2 +
c2
2
IV. RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
1) TEOREMA DE LAS CUERDAS
a.b = x.y
a
b
x
ab
y
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -87-200 MILLAS
2) TEOREMA DE LA TANGENTE
3) TEOREMA DE LAS SECANTES
x2 = a . b
ab = x .
8cm
12cm
3cmx
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -88-200 MILLAS
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Del gráfico halla el valor de “x”
Solución :
Aplicando el teorema de las cuerdas, se tiene que :
8 . 12 = 3 . x
8 . 123 = x
8 x 4 = x
x = 32 cm
x5
6
4 9
h
CA
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -89-200 MILLAS
2) Halla “x”
Solución :
Aplicando el teorema de la tangente :
62 = (x + 5) 5
36/5 = x + 5
7,2 = x + 5
x = 2,2
3) Halla “h”, si AC es diámetro.
4 9
h
CA
B
x
12
CA
B
9
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -90-200 MILLAS
Solución :
Del triángulo ABC se observa que :
h2 = 4 . 9
h = 36
h = 6
4) Halla “x”
x
12
3 9
5
4 6
x
CA
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -91-200 MILLAS
Solución :
Del gráfico se observa que :
x2 = 12 . 3
x2 = 36
x = 6
5) Halla “x”
x8
4 6
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -92-200 MILLAS
Solución :
Aplicando el Teorema de Euclides :
x2 = 102 + 52 – 2(10) (4)
x2 = 100 + 25 – 80
x2 = 45 x = 3√5
6) Halla “x”
Solución :
Aplicando el teorema de Euclides.
9 - x
18 - x
16 - x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -93-200 MILLAS
x2 = 62 + 82 + 2(6)(4)
x2 = 36 + 64 + 48
x2 = 148
x = 2√37
CUESTIONARIO
1).- Calcula “x” :
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
x
a (a+1)
42
6
x
4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -94-200 MILLAS
2).- Calcula “x”
a) 20 b) 15 c) 13
d) 12 e) 10
3).- Calcula “x” :
a) 1 b) 2 c) 4
x 6 12
x+1
6
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -95-200 MILLAS
d) 6 e) 8
4).- Calcula “x” :
a) √3 b) 2 c) 1
d) 2√3 e) 4√3
5).- Calcula “x” :
AB
CD
E
4
6
12
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -96-200 MILLAS
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
6).- Calcula “CD”, si : AB=8 ; BC = 4; DE =6
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 2,5
7).- Calcula “x” :
A
P
B
Q
CM
4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -97-200 MILLAS
a) 9 b) 20 c) 21
d) 22 e) 23
8).- Calcula : CQ, si : AM=MC; AP= 3; PB =BC =9
a) 4 b) 2 c) 3
d) 5 e) 1
9).- Calcula “x” , si O y O’ son centros.
4
x
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -98-200 MILLAS
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
10).- Calcula “x” :
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 2
11).- Calcula “x”, si “O” es centro :
x + 4
x-4 x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -99-200 MILLAS
a) 2 b) 4 c) 6
d) 3 e) 1
12).- Calcula “x” :
a) 20 b) 15 c) 14
d) 12 e) 16
13).- Calcula “R” :
6
2
R
10
OA
FH
B
L
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -100-200 MILLAS
a) 6 b) 4 c) 3
d) 8 e) 5
14).- Calcula “AL” si : BF=5; FH=4 y “O” es centro.
a) 4 b) 6 c) 8
4
1
x
o
BA
35
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -101-200 MILLAS
d) 5 e) 2
15).- Calcula “x” :
a) 6 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
16).- Calcula “AB” si “O” es centro :
a) 2 b) 6 c) 8
d) 10 e) 4
6
x
8
7 8
5x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -102-200 MILLAS
17).- Calcula “x” en la semicircunferencia mostrada.
a) 2 b) 1 c) 4
d) 3 e) 8
18).- En la figura, calcula “x” :
1710
21
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -103-200 MILLAS
a) 3,5 b) 1 c) 4
d) 3 e) 2
19).- Calcula “x” :
a) 7 b) 8 c) 5
d) 6 e) 4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -104-200 MILLAS
7
8
3x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -105-200 MILLAS
20).- Calcula “x” :
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -106-200 MILLAS
CLAVES
1)b 2)c 3)b
4)e 5)b 6)b
7)e 8)a 9)b
10)b 11)b 12)e
13)e 14)a 15)e
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -107-200 MILLAS
16)c 17)c 18)b
19)d 20)e
5° Preuniversitario
Alumno(a) :................................................................. Semanas :
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
A D C
B
A C E
B °
°
1)TEOREMA DE THALES
L1 // L2 // L3
2)TEOREMA DE LA BISECTRIZ
ABBC=DE
EF
ADDC= ABBC
AEEC= ABBC
A D C
B
I
B
EO
D
AF
C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -109-200 MILLAS
3)TEOREMA DEL INCENTRO
4)TEOREMA DE CEVA
I : Incentro
BIID= AB+BC
AC
AD . BE . CF = DB . EC . FA
z
ya
bx
A C°°
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -110-200 MILLAS
5)TEOREMA DE MENELAO
6)CASO GENERAL DE SEMEJANZA
a . b . c = x . y . z
° °
E
D F
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -111-200 MILLAS
AB y DE
BC y EF lados homólogos
AC y DF
“También Se pueden dividir cualquier par de elementos homólogos: Alturas, medianas, bisectrices, inradios, ...............”.
PROBLEMAS RESUELTOS
ABDE= BC
EF= AC
DF
L1
L2
L3
a
b 6a
3b 2
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -112-200 MILLAS
1) Si : L1 // L2 // L3 , calcula “x”
Solución :
Por el teorema de Thales :
*
3a=3b
6a⇒ a2
b2=1
2⇒ a
b=√2
2
*
x2=6a
3b⇒ x=4 a
b
x = 2√2
E
B
CD
A
E
B
CD
A12 x
6
9
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -113-200 MILLAS
2).- El gráfico ADes diámetro tal que AE = 9, EB=6 y AD=12.
Calcula : DC
Solución :
Por el teorema de Thales :
x12=6
9
x = 8
°
°ID
A C
B
°ID
B
7
b
a6
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -114-200 MILLAS
3).- En la figura I es incentro del triángulo ABC tal que BD =6, BC=7 y AC=8.
Calcula : AD
Solución :
Por el teorema del incentro:
ab=6+x+7
8
Por el teorema de Thales:
6x=ab
Reemplazando :
6x=13+x
8
B
F
°
P
A DC
°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -115-200 MILLAS
x2 + 13x – 48 = 0
x 16
x -3
x = 3
4).- Del gráfico AP=6, BP=9 y BF=10
Calcula :
ADDC
Solución :
Por el teorema de Ceva :
B
F
°
P
A DC
°9
6
10
z
yx
6
x
4
10
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -116-200 MILLAS
(6) (10) (y) = 9 (z) (x)
xy=20
3 z
Por el teorema de la bisectriz
xy=15
10+z
Reemplazando :
203 z=15
10+z z =8
xy=5
6
5).- En la figura, halla la longitud “x” :
6
x
4
10
DA
B
C
E
8
F
B
E x
x
a-x
a
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -117-200 MILLAS
Solución :
En el rectángulo ADE : AD=8
Luego :
ABC ADE
x6=14
8
x = 10,5
6).- Se tiene un ABC en el cual se traza la bisectriz interior AF por F se hace pasar una recta
paralela al lado AC que corta en E aAB . Calcula EF sabiendo que AB=a y AC=b.
Solución :
B
ED
x-1 1
5 x +3
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -118-200 MILLAS
EBF ABC
a−xa= xb
ab – xb = ax
ab = x(a+b)
x =
aba+b
CUESTIONARIO
1).- Si en el triángulo ABC de la figura: DE // AC , entonces el triángulo es :
B
CR
A
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -119-200 MILLAS
a) Escaleno b) Rectángulo
c) Isósceles d) equilátero
e) Isósceles rectángulo
2).- Halla “CR- AR”, si : AB=5, BC=7 y AC=6.
B
CA P
Q R
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -120-200 MILLAS
a) 1 b) 0,5 c) 2
d) 2,5 e)3
3).- Halla “CP”, si : AC=12 y AB=3BC.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 12
4).- Calcula “x” :
A
CB
D
x
4
2 10E
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -121-200 MILLAS
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
5).- En el triángulo ABC mostrado, halla “x” :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -122-200 MILLAS
a) 0,8 b) 1,5 c) 1
d) 2,5 e) 2
6).- Un triángulo tiene por lados 20,26 y 30 cm. ¿Cuáles son los lados de otro triángulo semejante de 114cm de perímetro?
a) 30, 39 y 46cm
b) 25, 35 y 46cm
c) 30, 39 y 45cm
d) 25, 35 y 46cm
e) N.A.
7).- En un trapecio ABCD (BC // AD ), “M” es el punto medio de CD . Si : mBAM = mCDA y BC = 7, AD = 25, calcula “AM”.
a) 32 b) 16 c) 20
d) 15 e) 18
8).- En un triángulo ABC se traza la ceviana APde modo que : mBAP =mBCA, BP=2 y PC=6, calcula “AB”.
a) 1 b) 2 c) 3
A
B
C
D S
R
N
ML1
L2
L3
L4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -123-200 MILLAS
d) 4 e) 5
9).- Las bases de un trapecio miden 12m y 6m y su altura 3m. Calcula la distancia del punto de intersección de la prolongación de los lados no paralelos a la base mayor.
a) 9m b) 8 c) 7
d) 6 e) N.A.
10).- En un triángulo ABC la distancia de “B” a MN // ACes 5/7 de la alturaBH . Si los lados del triángulo son : AB=7, AC=5 y BC=9, halla el perímetro del triángulo MBN.
a) 21 b) 147/5 c) 15
d) 14/5 e) N.A.
11).- En la figura : L⃗1 // { L⃗2 // { L⃗¿3 // { L⃗¿4¿
Si : BC.CD = 225 y NR. RS = 256.
Halla :
ABMN
B
A
C
DM
4
8
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -124-200 MILLAS
a) 16/15 b) 15/16 c) 15/8
d) 8/15 e) N.A.
12).- En la figura mostrada, halla “AM”.
a) 1 b) 2 c) 1,5
d) 2,5 e) N.A.
h
b
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -125-200 MILLAS
13).- Dado un paralelogramo ABCD tal que :
5AB = 4BC. En ACse ubica el punto “P”, calcula la distancia de “P” aAB , si la distancia a ADes 2.
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
14).- Halla el lado del cuadrado mostrado en la figura en función de la base “b” del triángulo sobre el cual descansa y de la altura “h” relativa a dicha base.
a)
2bhb+2h b)
2bh2b+h c)
bhb+h
d)
b+hbh e)
2bhb+2h
O B
A
D
C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -126-200 MILLAS
15).- Según el gráfico : BC // ODy OD=2AB, calcula “BC”, si : AD=4u.
a) 2√2u b) 3 c) 5
d) 2 e) 1
16).- Dado un trapecio de bases : BC=2 y AD=17. Se traza MN paralelo a las bases (“M” y “N” en
ABy CD respectivamente). Calcula “MN” , si 3MB = 2MA.
a) 15 b) 13 c) 12
d) 11 e) 8
A
B
rQ
R
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -127-200 MILLAS
17).- En una circunferencia de centro “O” se trazan las cuerdas AB y CD las cuales se cortan en
“E”. Si DB es diámetro , DE =2AE y AC = 7, determina el radio de la circunferencia.
a) 14 b) 10 c) 7
d) 8 e) 12
18).- Dadas dos circunferencias de radios 8 y 4, la circunferencia menor tiene su centro en la circunferencia mayor. Calcula la distancia entre el punto de intersección de la tangente común con la recta que une los centros y el centro de la circunferencia mayor.
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
19).- En la figura mostrada : R. r = 4, calcula : (AQ). (BQ)
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -128-200 MILLAS
a) 2 b) 8 c) 16
d) 4√2 e) 8√2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -129-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -130-200 MILLAS
CLAVES
1)c 2)a 3)d
4)c 5)e 6)c
7)c 8)d 9)d
10)c 11)b 12)b
13)d 14)c 15)d
16)e 17)c 18)d
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -131-200 MILLAS
19)b
5° Preuniversitario
Alumno(a) :..................................................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : RELACIONES METRICAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
C
A
B
Dp
D
B
C
A
p
1) EN LA CIRCUNFERENCIA
a. TEOREMA DE LAS CUERDAS
b. TEOREMA DE LAS SECANTES
AP.PB = CP. PD
PB.PA=PD.PC
CB
A
p
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -133-200 MILLAS
c. TEOREMA DE LA TANGENTE
Observación : Los Teoremas de Ptolomeo y Viette se aplica también para cuadriláteros inscriptibles.
2) EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
a) AB2 = AC.AH
b) BC2 = AC.HC
c) BH2 = AH.HC
d) AB.BC = AC.BH
e) AC2 = AB2 + BC2
PA2 =PC.PB
° °
°°
H CA
B
A H C
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -134-200 MILLAS
Relaciones Auxiliares:
* AB2 = AC.AH
* BH2 = AH.HC
(AC : Diámetro)
°
A H C
B
m b
E CA
B
xac
n
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -135-200 MILLAS
3) RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO:
1. TEOREMA DE EUCLIDES
2. TEOREMA DE STEWART
BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH
x2.b = a2m + c2.n -
b C H A
a c
B
mc a
CA
B
b M
B
a
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -136-200 MILLAS
3. TEOREMA DE HERÓN
Donde:
p =
a + b + c2
4. TEOREMA DE LA MEDIANA
a2 + c2 = 2m2 +
b2
2
Segundo teorema de la bisectriz.
h =
2b√ p( p−a )( p−b )( p−c )
A C m
E n
c
a
B
A
B
D
C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -137-200 MILLAS
BD2 = a.c - m.n
BE2 = m.n – a.c
4) RELACIONES MÉTRICAS EN CUADRILÁTERO
1. TEOREMA DE PTOLOMEO
A
B
D
C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -138-200 MILLAS
2. TEOREMA DE VIETTE
3. TEOREMA DE CHADU
AC.BD=AB.CD+BC.AD
ACBD= BC .CD+AB . AD
AB . BC+AD . DC
A
P
C
B
60°
60°
x
B
A D
C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -139-200 MILLAS
4. TEOREMA DE EULER
PC = AP + PB
AC2+BD2+4 x2=AB2+BC 2+CD2+AD2
Q
BA
C
Q
B
A
C
2+a
a
a+1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -140-200 MILLAS
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- AB, BC y AQ son valores enteros y consecutivos. Halla AQ.
Solución :
* Por el teorema de las tangentes:
(a + 2)2 = (2a + 1) (a)
a2 + 4a + 4 = 2a2 + a
a2 – 3a - 4 = 0
a -4
a 1
a = 4
Nos piden :
B C
DAH
B C
DAH
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -141-200 MILLAS
AQ = a + 2
AQ = 6
2).- Las diagonales del rectángulo mostrado mide 9, si HC=5, calcular el lado CD.
Solución :
B
A T C
B
A T C
75
2 46
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -142-200 MILLAS
* Por dato :
AC = 9 ; HC = 5
AH =4
* Por relaciones métricas en el trig. rect. :
x2 = 9 . 4
x2= 36 x = 6
3).- Halla : BT; si AB=5 ; BC=7 ; AC=6.
Solución :
* Por propiedad :
x
CB
D
A
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -143-200 MILLAS
AT = P – BC
AT = 2
TC = 4
* Por el teorema de Stewart:
(BT )2 (6) = (7)2(2) + (5)2(4) – (2)(4)(6)
6(BT )2 = 98 + 100 – 48
6(BT )2 = 150 (BT )2 = 25
BT = 5
4) Del gráfico, calcula “x” si :(BD )2 -(AC )2= 16
x
CB
D
A
R
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -144-200 MILLAS
Solución :
* Del gráfico :
BC2+CD2=BD2
AB2+AD2=BD2
Por el teorema de Euler :
AB2+BC2+CD2+AD2= BD2+AC2
+ 4x2
2 BD2=BD2+AC2+ 4x2
4x2 = BD2 - AC2 x = 2
5).- Según la figura AB = 3 y BC = 2, calcula CN (N es punto de tangencia).
A B C
N
F
A B C
N
F
3
3 2
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -145-200 MILLAS
Solución :
Por Pitágoras:
X2 +32 = 52
x = 4
A7 x
14
HC
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -146-200 MILLAS
6).- En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se traza la altura BH . Calcula HC, Si AH = 7 y
BH = 2√14 .
Solución :
Se sabe:
(2√14 )2 = x.7
56 = 7x
x = 8
CUESTIONARIO
1).- Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman una progresión aritmética de razón igual a uno. Calcula la altura relativa a la hipotenusa.
a) 1 b) 1,4 c) 1,6
d) 2,2 e) 2,4
2).- Se tienen dos circunferencias tangentes exteriores de radios iguales a 2 y 3. Calcula la medida del segmento tangente común exterior a ambas circunferencias.
A B
L
P
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -147-200 MILLAS
a) 2√6 b) 3√6 c) 4√6
d) √6 e) 2√3
3).- De la figura AP = 4; PB = 9. A qué distancia de “P”.
Se deberá encontrar un punto “Q” sobre “L” de modo que : mQAB = mPQB.
a) 1 b) 3 c) 6
d) 8 e) 16
4).- Se tiene un rectángulo cuyas dimensiones son 6 y 8. Calcula la medida de la proyección de una de las diagonales sobre la otra.
a) 3,6 b) 1,8 c) 4,6
d) 2,8 e) 2,4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -148-200 MILLAS
5).- Los tres lados de un triángulo miden 18, 16, 9. Calcula cuanto se le tiene que quitar a cada lado, para que el triángulo resulte rectángulo.
a) 1/2 b) 1 c) 3/2
d) 2 e) 5/2
6).- En un triángulo rectángulo ABC La hipotenusa ACmide 13 y la altura relativa a ella mide 6. Calcula la medida del menor segmento determinado por la altura.
a) 6 b) 5 c) 4
d) 4,5 e) 2,5
7).- En un triángulo rectángulo ABC, se traza BH perpendicular a AC . Calcula
AHCH , si : AB = 1 y BC
= 3.
a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9
d) 1/5 e) 1/4
8).- En un cuadrado ABCD de lado igual a 4 , se se traza un cuadrante de centro “A” y de radio AB .
Calcula el radio de la circunferencia que tienen su centro en CD y que es tangente al lado BC y al arco BD.
a) 2 b) c) 1
d) 2/3 e) √3
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -149-200 MILLAS
9).- En un cuadrado ABCD se toma en su interior el punto “P” y luego se traza PH perpendicular a BC ;
BH = 2 y HC = 8 , calcula PH sabiendo que el ángulo APD es recto.
a) 5 b) 6 c) 7
d) √6 e) √7
10).- En un cuadrado ABCD de lado igual a 8, con centros en “A” y “D” y con radio igual al cuadrado, se
trazan los arcos BD y AC . Calcula el radio de la circunferencia tangente a estos arcos y al lado AD .
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11).- Se tiene un triángulo acutángulo ABC en el cual se trazan las alturas AH y CF , de tal manera que se cumpla : AB.AF+BC.CH= 100m2.
Calcula AC .
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
12).- Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 2cm, se toma un punto en la región interior y se une con los vértices cumpliéndose que la suma de los cuadrados de dichas distancias es igual a 80cm2.
Calcula la distancia de dicho punto al centro del cuadrado.
A
B C
D
R
r
O
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -150-200 MILLAS
a) √2 b) 2√2 c) 3√2
d) 4 √2 e) 2
13).- Se tiene un rombo ABCD cuyo lado se desea conocer, sobre el lado BC se toma el punto medio “M” tal que AM = 13 y MD = 9.
a) 5 b) 10 c) 15
d) 9 e) 12
14).- En el gráfico mostrado AB = DC, calcula “r”.
a) 3R/2 b) 3R/4 c) 3R/8
d) 3R/16 e) N.A
Rr
O
O
r r r
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -151-200 MILLAS
15).- En el gráfico mostrado calcula “r” en función de “R”.
a) R√3 /2 b) R/4 c) R√3 /4
d) R/8 e) N.A
16).- En el gráfico mostrado calcula “r” en función de “R”.
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -152-200 MILLAS
a)
R
√5+1 b)
R
√5−1 c)
R √55
d)
R
√3+1 e) N.A
17).- En un cuadrilátero ABCD, la mB =90°, mABD + mDCB =90°; AD = 26, las diagonales son
perpendiculares, la distancia del punto medio de AC , BD mide 12.Calcula la distancia del punto
medio de BDa AC .
a) 9 b) 7 c) 5
d) 4 e) 3
18).- En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se traza la bisectriz AF y la altura BH que se
intersectan en “E”. Si : AF.EF=72, calcula BE .
a) 7 b) 5 c) 4
d) 6 e) 8
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -153-200 MILLAS
19).- En un triángulo ABC(obtuso en B) se prolonga ABhasta E y en AC se ubica el punto medio D tal
que DEBC , DE BC = {F} . DE = FE =
12 AD = 3. Calcula AB .
a) 4√3 b) 2√5 c) 3√7
d) 5 e) 18
20).- En un triángulo ABC se traza la mediana AM y luego BH perpendicular a AM (H en AM ).
Si BH = 5; HM = 6. Calcula CH .
a) 8 b) 10 c) 12
d) 13 e) 15
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -154-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -155-200 MILLAS
CLAVES
1) e 2) a 3) c
4) d 5) b 6) c
7) c 8) c 9) b
10)c 11)b 12)c
13)b 14)c 15)c
16)a 17)c 18)d
19)a 20)d
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
5° PRE-UNIVERSITARIO
Alumno(a) :...........................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : ÁREAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
h
b
B
CACA
B
b
h
A
B
C
h
b
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -156-200 MILLAS
I.- ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
1.- FÓRMULA GENERAL
1° Tema N° XII 2° Contenido N° 12.1 ; 12.2 Semana N° 16 y 17
SABC =
b .h2
A
B
C
l l
l
A
B
C
h
A C
B
a c
b
2.- TRIÁGULO EQUILÁTERO
En función de su lado:
En función de su altura:
3.- FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
SABC =
l2√34
SABC =
h2√33
SABC =
a .b2
Senθ
A C
B
a c
b
A C
B
a c
b
r
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -158-200 MILLAS
4.- FÓRMULA DE HERÓN
5.- EN FUNCIÓN DEL INRADIO
Semiperímetro : p
p =
a+b+c2
SABC = √ p ( p−a)( p−b)( p−c )
SABC = P.r
B
A CR
b
ca
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -159-200 MILLAS
6.- EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO
7.- EN FUNCIÓN DEL EXRADIO
SABC =
a .b.c4 R
Rc
a
bA
B
C
m
n
A
B
C
A
B
C
cr
A
B
R
C
r2r1 r
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -160-200 MILLAS
8.- DIVERSAS EXPRESIONES DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B
A C
hb
hcha
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -161-200 MILLAS
9.- EN FUNCIÓN DE SUS ALTURAS
SABC = √r1 . r2 . r . R
1r1
+ 1r 2
+ 1R= 1
r
H =
12 ( 1
ha
+1hb+
1hc )
a bCA
B
S1 S2
CA
B
S1 S2
a a
S
3S
M N
B
A C
SS
S SS
S
B
M
PA
N
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -162-200 MILLAS
10.- ALGUNAS RELACIONES DE ÁREAS
SABC =
14 [H (H− 1
ha+H− 1
hb
+H− 1hc )]−
12
S1
S2
= ab
mp
n
R2
PM
N
h2
r2
ac
b
R1
CA
B
h1
r1
S1 S2CA
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -163-200 MILLAS
11.-RELACIONES DE ÁREAS DE TRIÁNGULARES SEMEJANTES
Si 2 triángulos son semejantes, la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de los elementos homólogos.
12.- CASOS PARTICULARES
C
S ABC
SMNP
=a2
m2=b2
n2=
c2
p2=r
12
r2
2
=R
12
R22
=h
12
h22
√S ABC=√ S1+√S2
C
B
A
S1 S2
S3
d1
d2
B
A
C
D
A
B
Cb
D
h
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -164-200 MILLAS
II.- ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES:
1.- Diversas Expresiones del Área de un cuadrilátero.
√S ABC=√ S1+√S2+√S3
SABC =
d1 .d2
2.Senθ
SABCD =
b .h2
S1
S2S3
S4P
S
C
D
B
A
A
B C
Da
b
h
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -165-200 MILLAS
2.- Trapecio
S1.S4
S =
S ABCD
2
SABCD=( a+b2 )h
A
B C
D
n
h
S
C
DA
BS1
S2
S2S1
B
A
C
D
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -166-200 MILLAS
SABCD=n .h
S=S1+S2
S1=S2
S
S2
S1
S
A
B C
D
A
B C
D
a
b
h1
h2
A
B C
D
S
S
S
S
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -167-200 MILLAS
3.- Paralelogramo
√S ABC=√ S1+√S2
S=√S1 . S2
√S ABCD = √S1+√ S2
SABCD=b .h1
SABCD=a .h2
A
B C
D
h
b
A
B C
D
hS
A
B C
D
l
l
B C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -168-200 MILLAS
4.- Rectángulos
5.- Cuadrado
En función de su lado
En función de su diagonal
SABCD = b.h
S=
S ABCD
2
SABCD = l
A
B
C
D
d1
d2
A
B
C
D
a
b
c
d
r
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -169-200 MILLAS
6.- Rombo
7.- Cuadrilátero Circunscrito a una Circunferencia.
SABCD =
d2
2
SABCD = d1 .d2
2
S = p.r
A
B
C
D
ab
cd
R
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -170-200 MILLAS
8.- Cuadrilátero Inscrito en una Circunferencia
III.- ÁREA DE REGIONES CURVAS:
1.- Círculo
Donde: = 3,14
2.- Corona Circular
SABCD=√( p−a)( p−b )( p−c )( p−d )
S = r2
d
rR
R
R
A
B
R
R
A
B
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -171-200 MILLAS
3.- Sector Circular
4.- Segmento Circular
S =
πd2
4
S =
B
A
D
Cr
R
A
D B
C
R
S1
S2S
B
A C
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -172-200 MILLAS
5.- Trapecio Circular
6.- Zona o Faja Circular
LÚNULAS DE HIPÓCRATES
A
B
D
C
A B D C
B
A C
S1
S2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -173-200 MILLAS
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Del gráfico, calcula la razón entre el área del círculo y el área de la región triangular UNI.
U N
I
U N
I
r
r
r
S2
S1
r
r
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -174-200 MILLAS
Solución:
Para el círculo: S1 = x r2
Para el UNI : S2=
r×2 r2
S1
S2
M
N
E
A I
S1
S2
M
N
E
A I45° 45°
45°45°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -175-200 MILLAS
Nos piden:
S1
S2
= π
2.- En la figura , calcula S1 / S2 , Si : MA = MI = MN (M punto de tangencia)
Solución:
El ANI, es rectángulo e isósceles notable de 45° (recto en N).
S1
S2
O N
I
ER
G
O N
I
ER
G TS2/2
S2/2
S1 K
L
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -176-200 MILLAS
El MEN es rectángulo e isósceles notable de 45° (recto en E).
Ahora, en el trapecio rectángulo IMEN por propiedad se tiene:
S1 = S2
S1
S2 = 1
3.- En el gráfico, calcula S1 / S2, si: RE // GI // ON mON = 2 x mGR.
Solución:
S2
S1
6
S2
S1 h
6 - h
6 6
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -177-200 MILLAS
OLA GTA (A – L - A)
Es decir ( - - )
Entonces, se cumple:
S1 + K =
S2
2+ K ⇒ S1=
S2
2
S1
S2
= 12
4.- Del gráfico, calcula : S1 + S2.
Solución:
Sx
AB
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -178-200 MILLAS
Según el gráfico:
S1 =
6×h2
S2 =
(6−h )×62
5.- Calcula Sx en función de A y B.
S1 +S2 = 18
Sx
AB
r
K
r
r
r
45°45°
r
A
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -179-200 MILLAS
Solución:
Según el gráfico:
* Sx + K =
r2
2
* A + K + B =
r2
2
6.- En el gráfico, calcula el área de la región sombreada, si IC = 1 y CA = 3 (T, A son puntos de tangencia).
Sx = A +
A
T I
C Sx
3
1 53°37°
37°26,5°
2 3
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -180-200 MILLAS
Solución:
En el TIA (propiedad : semejanza)
P
O
T N
P
O
TN
R
Sx2
r
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -181-200 MILLAS
TI2 = 4 x 1 TI = 2
En el FIA Notable y aproximado de 37° y 53°. Se tiene : FI = 3
Nos piden:
Sx =
3×52×sen90 °
Sx = 7,5u2
7.- En el gráfico, ON = 2√2 . Siendo T punto de tangencia. Calcula el área de la corona circular.
Solución:
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -182-200 MILLAS
En el PON (propiedad : semejanza)
(2√2 )2 = (R + r)(R - r) R2 – r2 = 8
Nos piden:
Sx = (R2 - r2)
Sx = 8u2
CUESTIONARIO
1).- En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que la base menor BC mide 3cm. En la altura AB se ubica el punto F tal que el ángulo AFD es el doble del ángulo BCF y FD = 8cm. Calcula el área del triángulo CFD.
a) 6 b) 12 c) 20
d) 28 e) 30
2).- Se tiene el ángulo recto ABC, donde AB = BC, y una semicircunferencia de diámetro AB. En dicha semicircunferencia se ubican los puntos P y Q de modo que BP2 – BQ2 = 16m2. Calcula el área del cuadrilátero no convexo BPCQ.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -183-200 MILLAS
3).- Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC y una semicircunferencia de diámetro AB que no intercepta al triángulo. En la semicircunferencia se ubica el punto P de modo que AP = 3 y BP = 7. Calcula el área del triángulo APC.
a) 15 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
4).- Se tiene un cuadrado ABCD de lado 2√5 cm. El segmento que une B con el punto medio del lado CD intercepta a la diagonal AC en el punto P y al arco AC del cuadrante ADC, en el punto Q. Calcula el área del triángulo PQC.
a) ¾ b) 4/3 c) ½
d) 2 e) 5
5).- En un semicircunferencia de diámetro AB se tiene que O es el punto medio de AB y el radio OC es perpendicular a AB. La cuerda AQ intercepta a los segmentos OC y BC en los puntos P y T respectivamente, de modo que AP = m y TQ = n. Calcula el área del triángulo PTB.
a) mn b) m + n c)
mn2
d)
mn e) m2
6).- Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC y una semicircunferencia de diámetro AB que no intercepta al triángulo. En la semicircunferencia se ubica el punto T de modo que TB = 10. Calcula el área del triángulo TBC.
a) 10 b) 20 c) 30
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -184-200 MILLAS
d) 40 e) 50
7).- La circunferencia inscrita en un cuadrado ABCD es tangente a los lados AB, BC y CD en los puntos P; Q y T respectivamente. Si M es el punto medio del arco QT y N es la intersección de las prolongaciones de los segmentos AD y MT, de modo que PN = 4cm, calcula el área del triángulo PMN.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
8).- En un cuadrilátero ABCD se tiene que BD = CD, AD = 20cm y los ángulos BAD y BDC miden 37° . Calcula el área del triángulo ACD.
a) 90 b) 120 c) 100
d) 80 e) 60
9).- Se tiene un rectángulo ABCD de perímetro igual a 16cm. Sobre los lados AB y BC se construyen exteriormente dos cuadrados de centros P y Q. Calcula el área del triángulo PDQ.
a) 16 b) 20 c) 24
d) 21 e) 32
10).- En un rectángulo ABCD se tiene que AB = 4cm. La bisectriz del ángulo ABC intercepta al lado AD en el punto P. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los segmentos BD y PC; y un punto del lado BC.
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -185-200 MILLAS
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
11).- En un cuadrado ABCD se trazan los arcos AC y BD cuyos centros son los vértices D y A; los cuales se interceptan en el punto P. Los segmentos AP y BD se interceptan en el punto Q de modo que CQ = 4cm. Calcula el área del triángulo CQD.
a) 2(3+√3 ) b) 2(3−√3 )
c) 2√3 d) 2 e) N.A.
12).- Se tiene un cuadrado BCD de lado 2cm. Se construye interiormente el triángulo equilátero APD y exteriormente el triángulo equilátero CQD. Calcula el área del triángulo APQ.
a) 1+√3 b) √3−1 c) √3
d) √3+1 e) -√3
13).- Se tiene el rectángulo ABCD de área igual a 64cm2. Desde el incentro O del triángulo ADC, se trazan las perpendiculares OP y OQ hacia los lados BC y AB respectivamente. Calcula el área del rectángulo BPOQ.
a) 30 b) 32 c) 36
d) 40 e) 25
W
S
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -186-200 MILLAS
14).- Se tiene el rectángulo ABCD de área igual a 24cm2. desde el excentro O del triángulo BAD, relativo al lado BD, se trazan las perpendiculares OP y OQ hacia las prolongaciones de los lados DC y BC respectivamente. Calcula el área del rectángulo CPOQ.
a) 14 b) 16 c) 12
d) 18 e) 20
15).- Se tiene el rectángulo ABCD de área igual a 48cm2. Desde el excentro O del triángulo ADC, relativo al lado CD, se trazan las perpendiculares OP y OQ hacia la prolongación del lado BC y al lado AB respectivamente. Calcula al área del rectángulo BPOQ.
a) 16 b) 12 c) 24
d) 28 e) 30
16).- En la figura mostrada se pide S, sabiendo que W = 20cm2.
A
P
B C T
Q
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -187-200 MILLAS
a) 20 b) 40 c) 60
d) 80 e) 100
17).- En la figura mostrada se pide el área del rectángulo PBTQ, sabiendo que el área del triángulo ABC es igual a 12 cm2.
a) 12 b) 24 c) 48
d) 96 e) 100
r1
r2
B
C
DA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -188-200 MILLAS
18).- En la figura mostrada se pide el área del cuadrilátero ABCD, sabiendo que r1 = 3 y r2 =2.
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 21
19).- Se tiene un triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos suman 4cm, y el cuadrado ACDE que es exterior a dicho triángulo. Se trazan las perpendiculares EF y DG hacia el lado BC y a la prolongación del lado BA respectivamente. Calcula el área del cuadrilátero EGFD.
a) 8 b) 10 c) 4
d) 12 e) 20
20).- Se tiene un triángulo rectángulo ABC y el cuadrado ACDE de centro O que es exterior a dicho triángulo, de modo que BO = 6cm. Calcula el área del cuadrilátero ABCO.
X Y
S
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -189-200 MILLAS
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 30
21).- En una circunferencia se inscribe un triángulo ABC, en el cual se traza la bisectriz interior BE, cuya prolongación intercepta a la circunferencia en el punto D. Desde el punto E se trazan las perpendiculares EF y EG hacia los lados AB y BC respectivamente. Calcula la relación de las áreas de las regiones ABC y FBGD.
a) 1 b) 2 c) ½
d) 1/3 e) N.A.
22).- En la figura mostrada se pide S, conociendo las áreas X e Y.
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -190-200 MILLAS
a) xy b) x+y c) x-y
d)
xy e) x2 + y2
23).- Se tiene un triángulo acutángulo ABC de circuncentro O, circunradio igual a 13cm. Se trazan las alturas AN y CM. Calcula el área del cuadrilátero MBNO sabiendo además que AC = 24cm.
a) 20 b) 40 c) 60
d) 80 e) 100
CLAVES
1) b 2) d 3) c 4) b
5) c 6) e 7) b 8) b
9) a 10) a 11) a 12) a
13) b 14) a 15) c 16) c
17) c 18) d 19) a 20) a
21) c 22) b 23) c
TRIGONOMETRIA
“Planificación Estratégica para una Educación
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -191-200 MILLAS
3° Secundaria
Alumno(a) :..................................................................................
TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
x
y
90°
(2)
0x
y(1)
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico esta en posición normal si su vértice esta en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje “x”.
Si el lado final esta en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ángulo del segundo cuadrante y análogamente para los otros cuadrantes.
Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante.
Ejm :
II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Si “” es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue :
I
II
90° a ningún cuadrante
no esta en
P(x, y)
Ojo :
r =√ x2+ y2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -193-200 MILLAS
Donde :
Sen =
yr= ordenadaradio vector
Cos =
xr= abscisaradio vector
tag =
yx=ordenada
abscisa
Csc =
ry=radio vector
ordenada
Sec =
rx= radio vector
abscisa
Cot =
xy= abscisaordenada
SIGNOS DE LAS R.T. EN CADA CUADRANTE
Como regla práctica se usa el siguiente esquema para el reconocimiento de los signos de las R.T solamente para valores positivos.
r
0x
todasSen Csc
Cos SecTg Ctg
90°
II
360°180°
270°
0°
I
III IV
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -194-200 MILLAS
ÁNGULO CUADRANTAL
Un ángulo en posición normal se llamará cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantales son : 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, que por “comodidad gráfica se escribirán extremos de los ejes.
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -195-200 MILLAS
PROPIEDAD
Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple :
Si I 0° < < 90°
Si II 90° < < 180°
Si III 180° < < 270°
Si IV 270° < < 360°
R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES
El siguiente cuadro muestra las R.T de los ángulos cuadrantales
0° 90° 180° 270° 360°
Sen 0 1 0 -1 0
Cos 1 0 -1 0 1
Tg 0 ND 0 ND 0
Cot ND 0 ND 0 ND
Sec 1 ND -1 ND 1
0
y
x
(x; 12)
13
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -196-200 MILLAS
Csc ND 1 ND -1 ND
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Halla “x”
Solución :
Aplicamos la formula : r = √ x2+ y2
que es lo mismo : r2 = x2 + y2
Reemplazamos “y” por 12 y “r” por 13 en la igualdad anterior.
x2 + 122 = 132
x2 + 144 = 69
x2 = 25
0
y
x
17
(-8; y)
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -197-200 MILLAS
x2 = 5
Como “x” esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo.
x = -5
2) Halla “y”
Solución :
Análogamente aplicamos : x2 + y2 = r2
Reemplazamos “x” por 8 “r” por 17 en la igualdad anterior.
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -198-200 MILLAS
(-8)2 + y2 = 172
64 + y2 = 289
y = 225
y = 15
Como “y” esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo.
3) ¿Qué signo tiene?
E =
Sen100 ° .Cos200 °Tan300 °
Solución :
100° II Sen100° es (+)
200° III Cos200° es (-)
300° IV Tan300° es (-)
Reemplazamos E =
(+)(−)(−)
E =
(−)(−)
E = (+)
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -199-200 MILLAS
4) Si II Cos2 = 2/3 ; halla Cos.
Solución :
Despejamos Cos de la igualdad.
Cos2 = 2/9
Cos =
√23
Como R entonces Cos es negativo, por tanto.
Rpta : Cos = -
√23
5) Si IV Tan2 =
425 . Halla Tan
Solución :
Despejamos Tan de la igualdad
Tan2 =
425
Tan =
25
Como IV entonces Tan es negativa por tanto :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -200-200 MILLAS
Rpta : Tg = −2
5
6) Calcula : E =
2Sen( π2 )−Cos πCot ( 3π2 )+Sec 2π
Solución :
Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos.
π2 = 90°
= 180°
3
π2 = 270°
2 = 360°
Reemplazamos :
E =
2Sen90 °−Cos180 °Cot 270 °+Sec 360 °
E =
2(1)−(−1 )0+1
0
(x; 4)
5
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -201-200 MILLAS
Rpta : E = 3
CUESTIONARIO
1).- Halla Cos :
a) 3/5 b) 4/5 c) –3/5
d) –4/5 e) 5/9
7
(2; y)
x
y
0
25
x
y
(-7; y)
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -202-200 MILLAS
2).- Halla “Tg”
a) -
3√52 b)
9√54 c)
3√57
d) 3/9 e) 5/4
3).- Halla Sen
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -203-200 MILLAS
a) −24
25 b) −10
20 c) −40
60
d)
1530 e)
1820
4).- Si IV Tan2 = 4/25. Halla Tg
a) 2/5 b) −2
5 c)
35
d) -
35 e)
28
5).- Si II. A que cuadrante pertenece?
α2 + 70°
a) I b) II c) III
d) IV e) II y III
0
7;6
y
x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -204-200 MILLAS
6).- Calcula el valor de E para x = 45°
E =
Sen2 x+Cos6 xTan4 x+Cos8 x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7).- Del gráfico mostrado, calcula :
E = Sec . Csc
x
y
5
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -205-200 MILLAS
a) 1 b)
13
√42 c)
√4213
d)
√1342 e)
√4213
8).- Del gráfico mostrado, calcula :
E =Sec + Tg
a) -√5 b) √5 c)
−√55
d)
√55 e) 1
(7; -24)
x
y
0
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -206-200 MILLAS
9).- Del gráfico, calcula :
E = Cot + Csc
a) 3/4 b) – 3/4 c) 1
d) 4/3 e) – 4/3
10).- Si (5; 12) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Halla el valor de :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -207-200 MILLAS
E =
1−SenθCosθ
a) 5 b) -5 c) 1/5
d) – 1/5 e) 10
11).- Si el lado final de un ángulo en posición normal pasa por el punto (-3; 2) halla el valor de :
E =
SecθCscθ
a) √13 b) –3/2 c) 3/2
d) –2/3 e) 2/3
12).- Si el punto (-8;-15) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal . Halla el valor de :
E = Sec + Tg
a) – ¼ b) ¼ c) 4
d) –4 e) -1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -208-200 MILLAS
13).- Dado el punto (1; -2) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal “”. Halla EL valor de :
E = Cot - Csc2
a) 9/4 b) – 9/4 c) – 7/4
d) ¾ e) – 3/4
14).- Si Tan > 0 Sec < 0, en que cuadrante se encuentra .
a) I b) II c) III
d) IV e) I y II
15).- Halla el signo de :
E = Tan125°.Cos2200°.Sen3310°.Cos180°
a) + b) - c) + v -
d) + - e) No tiene signo
16).- Si : Csc < 0 Sec > 0. en que cuadrante esta ?
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -209-200 MILLAS
a) I b) II c) III
d) IV e) Es cuadrantal
17).- Halla el signo de :
E = Cot432° . Tan2134°.Csc3214° . Sec4360°
a) + b) - c) + v -
d) + - e) No tiene signo
18).- Si : Cos= 2/5 IV. Halla Cot.
a)
2
√21 b)
−2
√21 c)
5
√21
d)
−5
√21 e)
−52
19).- Si Sen=1/3 II. Halla Tan.
a)
√24 b) -2√2 c)
−√22
d) 2√2 e)
−√24
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -210-200 MILLAS
20).- Si (3; 4) es el punto del lado final de un ángulo en posición normal . Halla el valor de :
E =
Senθ1−Cosθ
a) 1 b) 2 c) ½
d) 3 e) 1/3
21).- Si el lado final de un ángulo en posición normal pasa por el punto (-1; 2), halla el valor de:
E = Sec. Csc
a) – 5/2 b) 5/2 c) - 2/5
d) 2/5 e) 1
CLAVES
1) c 2) a 3) a 4) b 5) b
6) a 7) b 8) c 9) e 10)c
11)d 12)a 13)c 14)c 15)b
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -211-200 MILLAS
16)d 17)b 18)b 19)e 20)b
21)a
3° Secundaria Alumno(a) :...........................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : REDUCCIÓN AL I CUADRANTE
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
1° Unidad Temática N° VII 2° Objetivo N° VII.1 3° Tema N° VII 4° Contenido N° 7.1; 7.2
1.- ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA:
a).- EN GENERAL:
R.T. 180°
360°
= RT()
R.T.
2
= RT()
R.T. 90°
270°
= Rcomp.()
R.T.
π2
3π2
= Rcomp.()
1ra forma 2da forma
II180° -
-
90° +
/2 +
III180° +
+
270° -
3/2 -
IV360° -
2 -
270° +
3/2 +
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -213-200 MILLAS
b).- CASO PARTICULAR:
II C 180° -
III C 180° +
IV C 360° -
2.- ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA.
2.1.-PROCEDIMIENTO:
a).- Se divide el ángulo dado entre el ángulo de una vuelta.
b).- Se iguala la R.T. del ángulo dado con la R.T. del residuo.
c).- Si fuera necesario se reduce al primer cuadrante.
3.- ÁNGULOS NEGATIVOS:
a).- Sen(-x) = -Senx
b).- Cos(-x) = Cosx
c).- Tg(-x) = -Tgx
d).- Ctg(-x) = -Cotx
e).- Sec(-x) = Secx
f).- Csc(-x) = -Cscx
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -214-200 MILLAS
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Simplifica:
E =
CosxCos(180 °+ x )
+Sen(360 °− x )
Senx
Solución:
E =
Cosx−Cosx
+ −SenxSenx
E = -1 –1
E = -2
2.- Simplifica:
E =
Csc( π2 − x ).Cot ( π−x )
Sec ( π+x ) . Tg( π2 + x)
Solución:
Por reducción al I cuadrante
E =(Secx )(−Cotx )(−Secx )(−Cotx )
E = (-1)(1)
E = -1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -215-200 MILLAS
3.- Reduce al primer cuadrante Tan 870°.
Solución:
Tan(870°) = Tg[2(360°)+150]
Tan 870° = Tg150°
Reduciendo 150° al primer cuadrante
Tg150 = Tg(180-30°)
Tg150 = -Tg30°
Tg870° = -Tg30°
Tg870° = -
√33
4.- Reduce al primer cuadrante Sen 1215°
Solución:
Sen1215° = Sen[3(360°)+135°]
Sen1215° = Sen135°
Sen1215° = Sen(180-45)
Sen1215° = Sen45°
Sen1215 =
√22
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -216-200 MILLAS
5.- Calcula E = √Sen210 ° + Cos60 °
Solución:
Por reducción al I cuadrante
E = √Sen120 °+Cos60 °
E = √Sen (180°+ 30)+Cos60 °
E = √−Sen30°+Cos60 °
E = √−12+ 1
2
E = √0 E = 0
6.- Simplifica:
E =
Sen (90−x ) . Tg(270−x ) .Sen30°Cosx . Cotx . Cos60 °
Solución:
Por reducción al I cuadrante
E = cos x . cot x . sen30 °Cosx .Cotx .Cos60°
E = 1
CUESTIONARIO
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -217-200 MILLAS
1).- Calcula E = √Sen240 °+ Sen120°
a) 1 b) 0 c) √2
d) 4√3 e) 2
2).- Calcula E =
Sen300 °Tan315 °
a)
12 b)
−12 c)
√32
d) −√3
2 e)
−2
√3
3).- Calcula E = Sec135°.Csc150°
a) −2√2 b) 2√2 c) 2
d) –2 e) −√2
4).- Simplifica:
E =
Tan (270 °+ x )Cot (180 °+ x )
a) 0 b) –1 c) 1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -218-200 MILLAS
d) Tan2x e) Ctg2x
5).- Calcula E = Cos210°-Tg120°
a) 0 b) -
√32 c) 2√3
d) −2√3 e)
√32
6).- Calcula:
E =
Sen120 °Cot 240°
a) 2/3 b) –2/3 c) 3/2
d) –3/2 e) √3/3
7).- Calcula
E = Sen225°.Cos210°
a)
12 b)
34 c)
3√34
d)
√64 e)
√34
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -219-200 MILLAS
8).- Simplifica
E =
Sen(270°+ x )Cos(360°+ x )
a) 0 b) 1 c) -1
d) Tgx e) Cotx
9).- Si Cos10° = a ¿A qué es igual?
E = Sen100° . Cos190°
a) a2 b) –a2 c) 1
d) a4 e) –a4
10).- Si: Sen40° = k ¿A que es igual?
E = Sen140°.Cos130°
a) k b) k2 c) k-2
d) k4 e) k-4
11).- Reduce al primer cuadrante.
Tan10000°
a) Tan80° b) –Tan80°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -220-200 MILLAS
c) Tan70° d) –Tan70°
e) –Tan10°
12).- Reduce al primer cuadrante Sen8230°
a) Sen10° b) Sen22°
c) –Sen50° d) Sen50°
e) –Sen10°
13).- Simplifica:
E =
Sen(180 °+ x )Sen (360 °−x )
+Tan(270 °−x )Cot (180°−x )
a) 0 b) 3 c) -3
d) –1 e) 1
14).- Simplifica:
E =
CosxCos(180°+ x )
+Sen(360 °−x )
Senx
a) 0 b) 2 c) -2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -221-200 MILLAS
d) –1 e) 1
15).- Calcula:
E =
Sen750 °−Cos1500 °Sen1430 °+Cos1510 °
a) 0 b) 1 c) -1
d) 3 e) -3
16).- Simplifica:
E =
Sen1490 °−Cos1120°Tan765 °−Tan1860 °
a) 1 b) √3 c) 0
d) -√3 e)
√33
17).- Calcula:
E = (b - 1)Sen450° - (b + 1)Cos900°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -222-200 MILLAS
a) 0 b) 2 c) -2
d) 26 e) -26
18).- Simplifica:
E = (a + 1)Cos540° - (a - 1)Sen630°
a) 2 b) –2 c) 2a
d) –2a e) 0
19).- Calcula:
E =
Csc(−240 °)Cot (−315 °)
a) 2 b)
2
√3 c)
−2
√3
d) –2 e) 1
20).- Calcula
E =
Sen (−120 °)Tan(−135 °)
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -223-200 MILLAS
a)
12 b)
−12 c)
√32
d) −√3
2 e)
−2
√3
CLAVES
1) b 2) c 3) a 4) b
5) e 6) c 7) d 8) c
9) b 10) b 11) b 12) c
13) a 14) d 15) a 16) c
17) d 18) b 19) b 20) d
5° Preuniversitario
Alumno(a) :...................................................................Semana :
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -224-200 MILLAS
I. DEFINICIÓN
Reducir al primer cuadrante significa expresar la razón trigonométrica de un ángulo agudo.
En este capítulo estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para los siguientes casos.
II.ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA
1ra Forma 2da Forma
II180° -
-
90° +
/2 +
III180 +
+
270° -
3/2-
IV360 -
2 -
270° +
3/2 +
EN GENERAL
R.T. (360°180° ± α )=± R .T .(α )
R.T. (2 ππ ± α )=± R .T .( α )
R.T. (270°
90 ° ± α )=± R .Comp .(α )
R.T. (3 π /2π /2 ± α )=± R .Comp .( α )
CASO PARTICULAR
22 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
II C 180° -
III C - 180°
IV C 360° -
III. ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA
Procedimientos
A) Se divide él ángulo dado entre el ángulo equilátero a una vuelta en su respectivo sistema (360°, 2).
B) En este capítulo estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para los siguientes casos.
C) Si fuera necesarios se reduce al primer cuadrante utilizando el 1er caso.
IV. ÁNGULOS NEGATIVOS
En general:
1) Sen(-x) = -Senx2) Cos(-x) = Cosx3) Tan(x) = -Tanx4) Cot(-x) = -Cotx5) Sec(-x) = Secx6) Csc(-x) = -Cscx
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Simplifica :
E =
Sen140°−Sen220°−Sen320°Sen130°+Sen230°−Sen310°
22 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Solución :
E =
( Sen40 °)−(−Sen40 ° )−(−Sen40 °)Sen50+(−Sen50 )−(−Sen50 )
E =
3Sen40 °Cos40 °
E = 3Tan40°
2).- Siendo y ángulos trigonométricos.
Calcula :
Sen(α−θ
2 )+Cos (α−θ2 )+Sen(α−θ )
22
-
z
y
(1, 2)
Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Solución :
En la figura : - = 270°
Entonces :
E = Sen135° + Cos135° + Sen270°
E = Sen45° + ( -Cos45°) + (-1)
E = -1
3).- El grafico, calcula : E= √5Cscθ−Cot θ
22
(1, 2)
270°- 1
-2
y
x
5
Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Solución :
En la figura :
Tan (270°-) = -2
Cot = -2
Entonces :
E = √5Csc - Cot
E = √5 (√5 ) – (-2)
E = 7
4).- Reduce el tercer cuadrante Tg480°
Solución :
Tan2480° = Tan(360 x 6 + 320)
23
40°
180°
Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Tan2480° = Tan320°
Tan2480° = -Tan40°
Pero piden reducir al III C, entonces :
Entonces :
Tan 2480° = -Tan 220°
5) Calcula :
E = Cos1° + Cos2° + Cos3° + . . . +Cos180°
Solución :
E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . +Cos177° + Cos178° + Cos179° + (-1)
E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . . + (-Cos3°)+(-Cos2°) + (-Cos1°) –1
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Quedando el término central :
E = Cos90° - 1 = 0 - 1
E = 1
6) Si : y son coterminales , reduce :
SenαCsc β+Cos α Sec βCos(α−β )+Tan (α−β )
Solución :
Si y son coterminales.
Entonces :
Sen = Sen ; Cos = Cos
Además : - = 2k
Luego : Cos( - ) = 1; Tan( - ) = 0
Reemplazando :
Sen β Csc β + Cos β Sec β1+0
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Rpta : 2
C U E S T I O N A R I O
I. ESCRIBE “V” O “F” SEGÚN CORRESPONDA :
1) Sen(270°+x) = -Sen(x) ( )
2) Cos (2-x) = Cosx ( )
3) Tan (90°+x) = Cotx ( )
4) Csc(-x) = Cscx ( )
5) Cos (180°+x) = -Senx ( )
6) Sec(/2 + x) = -Cscx ( )
6) Cot(
3π2 -x) = Tanx ( )
7) 2 -x IC ( )
8) Csc (90°-x) = Secx ( )
9) Sen (360°-x) = -Cosx ( )
II. RELACIONA :
1) Tan 200° Sec60°
2) Sen(+x) -Cot40°
F
V
F
V
V
F
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
3) Cos(180°-x) -Senx
4) Sec 300° Tan 20°
5)Cot140° -Sen70°
6) Sec(270°+x) Cscx
7) Sen250° -Cos
III. SUBRAYA LA ALTERNATIVA CORRECTA
Si : 0< x < 90°
1).- En que cuadrante se encuentra “ + x”
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC
2).- En que cuadrante(s) se encuentra : “
3π2 +x”
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC
3).- En que cuadrante se encuentra “360°+x”
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4).- En que cuadrante se encuentra : “180-x”
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC
5).- Reduce al IC:
a) Sen (+x) b) Cos (2-x)
c) Tg (180°-x) d) Csc (-x)
6).- Reduce al IC:
a) Sen (270°+x) B) Ctg (90°+x)
c) Sec (
3π2 -x) D) Csc (
3π2 +x)
7).- Reduce al IC:
a) Sen 330° b) Cos 25° c) Tg 150°
d) Sec 120° e) Ctg 240°
8).- Indica verdadero (V) o falso (F):
a) Sen(3
π2 -) = -Sen ( ___ )
b) Tg (
π2 -) = -Ctg ( ___ )
F
F
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
c) Sec (
π2 + ) = Csc ( ___ )
9).- Simplifica :
Q=2Cos(-120°)+3Sen(-150°)+Tg135°-Tg45°
a) 7/2 b) –9/2 c) 5/2
d) –3/2 e) N.A.
10).- Si:
a = Sen(180°-)+Cos(180°-)
b = Sen(180°+)+Cos(180°+)
Calcula: a-b
a) 2Sen b) 2Cos c) –2Sen
d) –2Cos e) 0
11).- Simplifica :
E=
Cos(−1290° )Tg 5715 °
a)
√32 b) 1/2 c) -
√32
d) –1/2 e) N.A.
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
12).- Simplifica :
E=Sec
14 π33
+Csc15 π32
+Sec19 π33
−Csc17 π32
a) 1 b) 2 c) –1
d) 0 e) N.A.
13).- Siendo “” y “” ángulos complementarios, reducir:
Sec (α+2θ )Tg(2α+3θ)Cos(2α+θ )Tg (4 α+3θ )
a) 1 b) 2 c) 3
d) Sen e) Sen2
14).- Si : Tg2220°=
k2
1−k 2
Calcula : P= Sen140 ° Cos130° Tg230 °
Ctg220 ° Sec 410 °Csc 320°
a) k b) –k c) k4 d) –k4 e) –k3
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
15).- Si: Cos( 3π7 +α )=3
4
Calcula : 3Sec ( 4π
7−α)
+1
a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5
16).- Si: Cos = Sen 2615°
Calcula : “”
a) 95° b) 85° c) 5°
d) 15° e) N.A.
17).- Si: - = k kZ
Simplifica :
Sen (x+α) Sen( y+θ )Sen (x+θ )Sen( y+α )
a) 1 b) (-1)k c) 2(-1)k d) –1 e) 0
18).- Al reducir la expresión:
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
W=Tg (90°+x) Tg (360°+x) +1
se obtiene:
a) 0 b) 1 c) 2 d) Sec2x e) N.A.
19).- Calcula el valor de la siguiente expresión:
a) b) c)
d) e) N.A.
20).- Si III C y
Calcula el valor de:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) -3
21).- Si: KZ, a qué es igual: Sen (k +)
a) Sen b) -Sen
c) (-1)k Sen d) (-1)k Cos
23 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
e) - (-1)k Sen
CLAVES
1) c 2) d 3) a 4) b 5) --
6) -- 7) -- 8) -- 9) b 10)a
11)a 12)d 13)a 14)c 15)c
16)c 17)b 18)a 19)c 20)e
21)c
COL2004/TRIG-07 25/08/
V.DEFINICIÓN
5° Preuniversitario
Alumno(a) :...................................................................Semana :
TEMA : IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
24 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad.
VI. CLASIFICACIÓN
a. IDENTIDADES RECÍPROCAS
Senx.Cscx=1; n , n Z Cscx=
1Senx
Cosx.Secx=1;x(2n+1)
π2 ,nZ Secx=
1Cosx
Tanx.Cotx = 1; xn
π2 , nZ Cotx=
1Tanx
b. IDENTIDADES T. POR DIVISIÓN
Tanx =
SenxCosx ; x(2n+1)
π2 ; nZ
Cotx =
CosxSenx ; x n; nZ
c. IDENTIDADES T. PITAGÓRICAS
Sen2x = 1-Cos2x
Sen2x + Cos2x = 1; x R
Cos2x =1-Sen2x
Sec2x-Tan2x=1
Tan2x+1 = Sec2x; x(2n+1)
π2 , n R
Tan2x = Sec2 x - 1
24 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Csc2x-Cot2 x = 1
Cot2x+1 =Csc2x; x n, nR
Cot2x = Csc2x-1
Los problemas que se presenten , son de tipo demostración; simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema.
Observación :
Verso de x : Ver x = 1- Cosx
Coverso de x : Cov x = 1- Senx
Exsecante de x : Ex secx = Secx-1
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Demuestra que : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx
Solución :
En este problema, la idea es reducir el miembro dela igualdad más complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:
Cscx =
1Senx ; Secx =
1Cosx
Tanx=
SenxCosx ; Cotx=
1Cosx
En el problema :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -243-200 MILLAS
Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :
Tan2 =
sen2 xcos2 x
sen2 xcos2 x . Cosx .
1senx = tanx
Reduciendo :
senxcos x⏟
tan x = tanx tanx = tanx
2) Simplifica :
L = tanx . cos2x - cotx . sen2x
Solución :
Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -244-200 MILLAS
L = tanx . cos2x – cotx . sen2x
L =
senxcos x
. cos2 x−cos xsenx
. sen2 x
Reduciendo :
L = senx . cosx – cosx . senx
L = 0
3) Reduce:
L = (secx - cosx) (cscx – senx)
Solución :
Pasando a senos y cosenos:
L = ( 1cos x
−cos x )( 1senx
−senx)
operando :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -245-200 MILLAS
L = ( 1−cos2 xcos x )( 1−sen2 x
senx );
pero : 1- cos2x = sen2x
1- sen2x = cos2x
reemplazando :
L =
sen2 xcos x
.cos2 xsenx L = senx.cosx
4) Simplifica :
L = (sec x+senxcsc x+cos x )cot x
Solución :
Vamos a colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así :
L =
(sec x+senxcsc x +cos x )cot x=(
1cos x
+senx
1senx
+cos x ) .cos xsenx
Operando y ordenando :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -246-200 MILLAS
L = (
1+senx .cos xcos x1+cos x . senx
senx) . cos x
senx
Reduciendo :
L = (
1cos x
1senx
) . cos xsen x
L =
senxcos x
.cos xsenx
L = 1
5) Reduce :
L = (secx + tanx –1) (secx – tanx+1)
Solución :
Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino también al manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo :
L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1)
operando :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -247-200 MILLAS
L = sec2x – secx . tanx + secx + tanx . secx
– tan2x + tanx – secx + tanx – 1
2tanx
reduciendo :
L = sec2x - tan2x + 2tanx – 1 = 1 + 2tanx – 1
1
L = 2tanx
6) Reduce :
L =
Sen 4 x−Cos4 xSenx−Cosx
−Cosx
Solución :
En muchos problemas; el uso de los productos notables es necesario para simplificar expresiones; siendo estos casos, importante, la adaptación de las propiedades algebraicas a la expresión trigonométrica a analizar. En el problema, tenemos :
L =
sen4 x−cos4 xsenx−cos x - cos x ; nota que :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -248-200 MILLAS
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
En la expresión :
L =
(sen2 x )2−(cos2 x )2
senx−cos x−cos x
L =
(sen2 x+cos2 x ) ( sen2 x−cos2 x )senx−cos x
−cos x
Pero : sen2x + cos2x = 1
Luego :
L =
sen2 x−cos2 xsenx−cos x - cosx
Note :
sen2x-cos2x = (senx + cosx)(senx-cosx)
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -249-200 MILLAS
L =
( senx+cos x )( senx−cos x )senx−cos x
−cos x
Reduciendo .
L = senx + cosx – cosx
L = senx
C U E S T I O N A R I O
1).- Reduce : 0°<0<90°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -250-200 MILLAS
a) Sen Cos b) Sec Csc
c) Tg d) Ctg
e) 1
2).- Si: 0°<<90°
Reduce :
a) Sen b) Cos c) Cos2
d) Sec e) Csc
3).- Simplifica :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -251-200 MILLAS
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
4).- Reduce :
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
5).- Si: . Calcula :
a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
6).- Si: Sec Csc=n. Calcula :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -252-200 MILLAS
a) n (n+1) b) n (n-1) c) n (1-n)
d) 2n (n+1) e) 2n (n-1)
7).- Si: . Calcula :
a) 4 b) 16 c) 1/2
d) 1/4 e) 1/16
8).- El equivalente de:
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -253-200 MILLAS
es:
a) Sec+Tg b) Csc+Ctg
c) Csc-Ctg d) Sec-Tg
e) Csc-Sec
9).- Simplifica la siguiente expresión:
a) 0 b) 1 c) d) 2 e) 4
10).- Si : Ctg - Cos = 4
Calcula el valor de:
E=4Tg+Sen
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -254-200 MILLAS
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8
11).- Reduce :
E= 1+Senα+Tgα+Sec α1+Cosα+Ctgα+Cscα
a) 1 b) Tg c) Ctg
d) Sec e) Csc
12).- Si :
1+Tgx=USecx
1-Tgx=Vsecx
Hallar: U2+V2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -255-200 MILLAS
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 1/4
13).- Si :
Calcula :
a) 1 b) c) 3/4 d) 4/3 e)
14).- Determina el valor de “n” tal que la siguiente relación sea una identidad.
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -256-200 MILLAS
15).- Calcula “Tgx” si:
aSenx+bCosx=a
aCosx-bSenx=b
a) b)
c) d)
e)
16).- Si
Calcular:
a) b) 4 c) 7 d) e) 11
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -257-200 MILLAS
17).- Se tienen las siguientes relaciones:
Calcula : “Cosx”
a) a/b b) b/a c)
d) e)
18).- En el gráfico mostrado calcula :
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -258-200 MILLAS
e) 8
19).- Elimina : ““ de:
a) a+b=0 b) a+b=1 c) a+b=-1
d) ab=0 e) a-b=0
20).- Elimina : de:
Tg+Ctg=x
Sec+Csc=y
a) x2-2x=y2 b) x2-x=y2
c) x2+2x=y2 d) x2+x=y2
e) x+y=xy
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -259-200 MILLAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -260-200 MILLAS
CLAVES
1)a 2)a 3)c 4)c 5)e
6)a 7)e 8)b 9)b 10)b
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -261-200 MILLAS
11)b 12)b 13)a 14)d 15)d
16)d 17)d 18)a 19)a 20)c
5° PRE-
UNIVERSITARIO Alumno(a) :...........................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE, MITAD Y TRIPLE
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
SEMANA N° 13 y 14
I.- R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
1).- Sen2x = 2SenxCosx
2).- Cos2x = Cos2x – Sen2x
* Cos2x = 1 – 2Sen2x
* Cos2x = 2Cos2x - 1
3).- Tan 2x =
2 tan x
1−tan2 x
Además:
*Sen2x =
2 tan x
1+ tan2 x
*Cos2x =
1− tan2 x1+tan2 x
II.- R.T. DEL ÁNGULO MITAD
En general las principales ecuaciones que nos permiten calcular las R.T del ángulo mitad son :
1) Sen ( x2 )=±√ 1−Cosx
2
2) Cos ( x2 )=±√ 1+Cosx
2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -263-200 MILLAS
3) Tan ( x2 )=±√ 1−Cosx
2
NOTA : El signo () depende del cuadrante en el cual se encuentra el ángulo mitad y de la R.T que la está afectando.
2.1.- EQUIVALENCIAS IMPORTANTES
a) Tan ( x2 ) = Cscx - Cotx
b) Cot ( x2 ) = Cscx + Cotx
III.- R.T. DEL ÁNGULO TRIPLE
3.1.- EN GENERAL LAS PRINCIPALES ECUACIONES SON :
a) Sen3x = 3Senx – 4Sen3x
b) Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -264-200 MILLAS
c) Tan3x =
3Tanx -Tan3 x1 -3Tan2 x
3.2.- OTRA FORMA DE EXPRESAR :
a) Sen3x = Sen2x (2Cos2x + 1)
b) Cos3x = Cosx(2Cos2x – 1)
c) Tan3x =Tanx ( 2Cos2x+1
2Cos2 x−1 )
3.3.- EQUIVALENCIAS IMPORTANTES
a) 4Senx Sen(60 – x) Sen(60+x) = Sen3x
b) 4CosxCos(60-x)Cos(60+x) = Cos3x
c) TanxTan(60° - x) Tan(60°+x)=Tan3x
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Calcula :
E = (Cot22,5°-1) (Cot15° - 2)
Solución :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -265-200 MILLAS
Por las equivalencias:
E = (Csc45°+Cot45°-1) (csc30° +Cot30°-2)
E = (√2 + 1 – 1) (2 + √3 - 2)
E = √6
2) Reduce :
Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x
Solución :
Por propiedad :
Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x
Cot2x
Q = Cscx + Csc2x + Cot2x
Cotx
Q = Cscx + Cotx
Q = Cot x/2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -266-200 MILLAS
3) Si : Cscx + Cotx = Cos
Halla :
Csc2x
2+ Sen2θ
Tanx
2−Secθ+2
Solución:
En el dato :
Cot x/2 = Cos Tan x/2 = Sec
Reemplazando :
1+Cot2 x /2 +Sen2 θSecθ−Secθ+2
=1+Cos2 θ+Sen2 θ2
Csc2 x /2 +Sen2θTan x /2 −Secθ+2 = 1
4) Simplifica :
E =
Sen3 x+Sen3 xCos3 x−Co3 x
Solución :
E =
3 Senx−4 Sen3 x+Sen3 xCos3 x−(4 Cos3 x−3Cosx )
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -267-200 MILLAS
E =
3Senx (1−Sen2 x )3Cosx (1−Cos2 x )
E =
Senx Cos2 xCosx Sen2 x
=CosxSenx
E = Cotx
5) Calcula :
K = Sen10°Sen50°Sen70°
Solución :
Multiplicando por 4
4k = 4Sen10°Sen50°Sen70°
4k = Sen30° = ½ k = 1/8
6) Halla “n” para que la expresión sea una identidad.
Sen3 xSenx
=Cos3 xCosx
+n
Solución :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -268-200 MILLAS
Sen3 xSenx
−Cos3 xCosx
=n
Senx (3−4 Sen2 x )Senx
−cos x ( 4Cos2 x−3 )
Cosx=n
6 – 4 (Sen2x + Cos2x) = n
(1)
n = 2
CUESTIONARIO
1).- Simplifica:
E = (secx - cosx)(cscx - senx)
a)
12
cos2 xb)
14
cos 4 x
c) cos2x d)
12sen 2x
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -269-200 MILLAS
e)
12sen
x2
2).- Reduce:
E = (secx + cscx).cos (x+ π4 )
a) √2. tg 2x b) √2.ctg 2x
c) √2. sec 2x d) √3 .ctg 2 x
e) √2.ctg 3 x
3).- Si:
tg2x – tgx – 1 = 0
Calcula:
E = tg22x – tg2x - 1
a) 7 b) 5 c) 9 d) 6 e) 4
4).- Si:
senx = cosx + sec
Calcula:
E = sen2x + tg2
a) 1 b) –1 c) 0
d) 2 e) -2
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -270-200 MILLAS
5).- Si: tg = 3tg
Además:
sen2θ = m . sen2αn+ pcos 2α
Determina:
E = √m+n+ p
a) 2 b) 3 c) 4
d) 2√3 e) 3√2
6).- Reduce:
E = sen3x.sen3x + cos3x.cos3x
a) cosx b) cos32x c) cos33x
d) cos22x e) cos3x
7).- Si: senx =
−2√65
; π < x < 3π2
Calcula: “tg
x2 ”
a)
√62 b)
−√62 c)
√52
d) −√5
2 e) 1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -271-200 MILLAS
8).- Reduce:
E =
tgx . tgx / 2+1tgx .cot gx / 2−1
a) 1 b) –1 c) 2
d) csc
x2 e)
−cscx2
9).- Si: cscx + cscy + cscz = ctgx + ctgy + ctgz
Calcula:
E=tg3 x /2 + tg3 x /2 + tg3 z /2tgx /2 . tgy /2 . tgz /2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
10).- Reduce:
E = csc2 + csc4 + csc8 + csc16 + csc32
a) ctg - csc32 b) ctg - ctg2
c) ctg - ctg64 d) ctg32
e) cot - cot32
11).- Simplifica:
E=√ 12−1
2 √ 12+1
2 √ 12+1
2cos8θ
3
5
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -272-200 MILLAS
a) cos8 b) sen4 c) cos2
d) sen e) 1
12).- Del gráfico siguiente calcula “cos2”
a)
18 b)
15 c)
19
d)
13 e)
√53
13).- Si: sen 2x =
13
Determina:
E =
sen3 x . cos3 x+(senx+cos x )6
sen4 x . cos4 x+( senx−cos x )8
a)
302013 b)
3078257 c)
3078157
d)
3021257 e)
3041257
14).- Reduce:
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -273-200 MILLAS
E = (sec
α2+ tg α
2 ) tg( π−α4 )
a) –1 b) 1 c)
12
d) −1
2 e)
13
15).- Reduce la expresión:
M = sen3 x+sen3 xcos3 x−cos3 x
a) tgx b) ctgx c) tg3x
d) ctg3x e) 1
16).- Calcula el valor de:
K = 8cos340° - 6cos40°
a) –1 b) –1/2 c) 0
d) ½ e) 1
17).- Calcula el valor de:
W= sen310 °+cos320 °sen10 °+cos20 °
a) ¼ b) ½ c) ¾
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -274-200 MILLAS
d) 1 e) 4/3
18).- A qué es igual la expresión:
E =
4 cos10 °−3sec10 °4cos 80 °−3sec80 °
a) −√3 tg10 ° b) –tg10°
c) –tg210° d) −√3 tg210 °
e) N.A.
19).- Simplifica la expresión:
M = tgx(2cosx+cos3x)
a) sen3x b) cos3x c) 3senx
d) 3cosx e) 3tgx
20).- Calcula el valor de:
W =
3√1+6 cos20 °cos20 °
a) 1/3 b) ½ c) 2
d) 3 e) 6
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -275-200 MILLAS
CLAVES
1) d 2) b 3) b 4) c
5) a 6) b 7) b 8) a
9) c 10) e 11) d 12) e
13) c 14) b 15) b 16) a
17) c 18) d 19) a 20) c
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
5° PreuniversitariAlumno(a) :...........................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO COMPUESTO
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
I.DEFINICIÓN
Es aquel ángulo conformado ya se por la suma ó la diferencia de dos ó más ángulos.
Ejemplos :
x = + + y = 45° - 20°
Observación :
Sen(x+y) Senx + Seny Tan - Tan Tan(-)
II. FÓRMULAS BÁSICAS
Para la suma ó la diferencia de dos ángulos (x y)
1) Sen(x y) = Senx Cosy Seny Cosx
2) Cos(x y) = Cosx Cosy Senx Seny
3) Tan(x y) =
Tanx±Tany1∓TanxTany
III. PROPIEDADES
1) Tgx+Tgy+Tgx Tgy Tg(x+y)=Tg(x + y)
2) Sen(x+y)Sen(x-y)=Sen2x-Sen2y
3)
Cos( x± y )Cosx Cosy =Tgx Tgy
4)
Cos( x± y )Senx Seny =Cotx Coty-1
Además :
Si : + + = n ó 180n (nZ)
Tg +Tg+Tg=TgTgTg
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -277-200 MILLAS
CotCot+CotCot+CotCot=1
Si : ++=(2n+1)/2 ó (2n+1)90°
TgTg+TgTg+TgTg =1
Cot+Cot+Cot=CotCotCot
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Simplifica :
L =
Sen (60°+ x )+Sen(60 °−x )Cosx
Solución :
En la expresión; desarrollando cada término del numerador :
L =
Sen (60+x )+Sen (60 °−x )Cosx
L =Sen60 ° .Cosx+Senx .Cos60 °+ Sen60 ° .Cosx−Senx .Cos60°
Cosx
Simplificando:
L =
2Sen60 ° .CosxCosx
L = 2Sen60°=2(√3
2 )
L = √3
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -278-200 MILLAS
2) Determina el valor de :
L =
Sen3 x .Cos2x+Sen2x .Cos3 xSen4 x .Cosx+Senx .Cos4 x
Solución :
Recuerda que :
Sen.Cos+Sen.Cos=Sen(+)
Luego; si : =3x =2x
Sen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x)
= Sen5x
En la expresión :
L =
Sen3 x .Cos2x+Sen2x .Cos3 xSen4 x .Cosx+Senx .Cos4 x
L =
Sen5 xSen5 x L=1
3) Calcula el valor de “Sen75°”
Solución :
En este caso, descomponemos “75°” como la suma de dos ángulos conocidos, por ejemplo :
Sen75° = Sen(45°+30°)
15°
4
26
26
75°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -279-200 MILLAS
desarrollando :
Sen75° = Sen45°.Cos30°+Sen30°.Cos45°
Reemplazando valores notables:
Sen75°=
√22
. √32+ 1
2. √2
2
Sen75° =
√6+√24
Sugerencia, no olvides el siguiente triángulo :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -280-200 MILLAS
4) Reduce :
L =
Sen (α+x )−Sen α .CosxCos(α+ x )+Sen α .Senx
Solución :
Vamos a desarrollar los términos conocidos; así :
L =
Sen (α+x )−Sen α .CosxCos(α+ x )+Sen α .Senx
L =
Senα .Cosx+Senx .Cos α−Senα .CosxCosα .Cosx−Senα .Senx+Senα .Senx
Reduciendo :
L =
Senx . CosαCosα . Cosx
= SenxCosx L = Tanx
5) Calcula el valor de “Cos8°”
Solución :
Descomponemos 8° usando dos ángulos conocidos :
8° = 45° - 37°
Esto es : Cos8° = Cos(45°-37°)
Cos8° = Cos45°.Cos37°+Sen45°.Sen37°
8°
2
7
82°
1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -281-200 MILLAS
Reemplazando valores conocidos :
Cos8° =
√22
,45+ √2
2,35
Cos8° =
7√210
como sugerencia; no olvides este triángulo :
6) Simplifica : L =
Sen (α+β )Cosα . Cos β - Tan
Solución :
En estos casos; lo ideal es desarrollar la fórmula :
L =
Senα .Cos β+Sen β .CosαCosα .Cos β - Tan
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -282-200 MILLAS
Luego, la fracción desdoblar en homogéneas así :
L =
Senα .Cos βCosα .Cos β
+ Senβ .Cos αCosα .Cos β -Tan
Reduciendo :
L =
SenαCosα
+ Sen βCos β - Tan
L = Tan + Tan - Tan
L = Tan
CUESTIONARIO
1).- Expresa como monomio :
Cos7x + Sen5x Sen2x
a) Cos5xCos2x b) Sen5xCos2x
c) Cos5xSen2x d) Sen3xCosx
e) N.A.
2).- Reduce :
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -283-200 MILLAS
Cos(60°+x)(Cos(30°-x)-Sen(60°+x)Sen(30°-x)
a) 0 b) ½ c) 3/2
d) Cosx e) Senx
3).- Si : x + y = /6
Calcula : (Senx+Cosy)2+(Cosx+Seny)2
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 1,5
4).- Si : x + y = , simplifica:
(Ctg+Tgx)CosxSecy
a) Secx b) SecxCsc
c) Csc d) 1
e) Ctg
5).- Calcula “Tg8°”
a) 7/24 b) 5/24 c) 3/14
d) 1/7 e) 1/14
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -284-200 MILLAS
6).- Si : 12 =
Calcula : Tg +Tg3 + Tg5
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
7).- Reduce : M =
Sen (x− y )Cosx Cosy + Tgy
a) 0 b) Tgx c) Tgy
d) Tgx + Tgy e) 2Tgx
8).- Reduce :
Sen( x+ y )+Cos( x− y )( Senx+Cosx )(Seny+Cosy )
a) 1 b) 2 c) Senx
d) Cosx e) Sen2x
9).- Si : Tg10° = a, calcula :Tg50° - Tg40°
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -285-200 MILLAS
a) 0,5a b) a c) 1,5a
d) 2a e) 2,5a
10).- Si : Tg21° = a,
calcula : Tg55°30’-Tg34°30’
a) a b) 0,5a c) 2a
d) 1,5a e) 2,5a
11).- Reduce : M=Sen70° - Sen50°
a) Cos10° b) Sen10°
c) Cos20° d) 1
e) Sen20°
12).- Reduce :
Q = (Cos43°+Sen73°) Sec13°+√3
a) 2 b) 3√3 c) 2√3
d) 4 e) 5
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -286-200 MILLAS
13).- Si : Tg(10°+x)=4,
calcula : Tg(55° + x)
a) –1/3 b) –1 c) –5/3
d) –5 e) 5/3
14).- Si : a + b + c = /2
Halla : Cos
b2 (Tg b2+1) .Sec ( a+c2 )
a) 1 b) 0 c) -1
d) √2 e)
√22
15).- Si: Tg y Tg son las raíces de la ecuación : x2 + 5x – 4 = 0
Halla el valor de “” +””
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 75° e) 37°
3 2 1
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -287-200 MILLAS
16).- Del gráfico, calcula “Tg”
a) 1
b) ½
c) 1/3
d) 1/4
e) 1/6
17).- Simplifica : Tg+Tg3+Tg4.Tg.Tg3
a) Tg b) Tg3 c) Tg4
d) Tg5 e) Tg6
18).- Reduce :
2(Tgx+Tg2x) + Tgx Tg2x Tg3x
Siendo : Tgx+Tg2x+Tg3x=k
a) k b) 3k c) 2k
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -288-200 MILLAS
d) k/3 e) k/2
19).- Calcula : (√3+Tg10°) (√3+Tg20°)
a) 4 b) 3 c) 3/4
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -289-200 MILLAS
d) 4/3 e) √3
20).- Simplifica :
Sen2 A+Sen2 ( A+B )−Sen2B
Cos2 A+Sen2 ( A+B )−Cos2B
a) TgA b) CtgB
c) TgACtg d) TgACtgB
e) CtgATgB
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -290-200 MILLAS
CLAVES
1)a 2)a 3)d
4)c 5)d 6)d
7)b 8)a 9)d
10)c 11)b 12)c
13)c 14)d 15)b
16)b 17)c 18)a
19)a 20)c
5° Preuniversitario Alumno(a) :.......................................................................
“Planificación Estratégica para una Educación
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -291-200 MILLAS
TEMA : TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Semana N° : 6 Tema N° : XIV Contenido N° : 14.1 – 14.2
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
I. INTRODUCCIÓNEs este capítulo vamos a realizar operaciones de funciones trigonométricas realizando la adición y multiplicación con sus respectivas propiedades, para lo cual tenemos que aplicar lo estudiado anteriormente.
A continuación veamos como se realiza las siguientes propiedades.
II. PROPIEDADES :
1. TRANSFORMACIONES A PRODUCTO
a) SenA+SenB = 2Sen( A+B2 )
Cos( A−B
2 )
b) SenA–SenB = 2Sen( A−B
2 )Cos( A+B2 )
c) CosA+CosB = 2Cos( A+B2 )
Cos( A−B
2 )
d) CosB–CosA = 2Sen( A+B2 )
Sen( A−B
2 )
2. TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO
a) 2Senx Cosy = Sen(x+y)+Sen(x – y); x>y
b) 2Senx Cosy=Sen(x+y) – Sen(y – x); x<y
c) 2Cosx Cosy = Cos(x+y)+Cos(x – y)
d) 2Senx Seny = Cos(x – y) – Cos(x+y)
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Simplifica :
J =
2 sen2 x . cos3 x+senx2 sen4 x . cos x−sen3 x
Solución :
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Tenemos :
J =
2 sen2 x . cos3 x+senx2 sen4 x . cos x−sen3 x
Transformando :
J =
sen (2x+3 x )+sen(2 x−3 x )+senxsen(4 x+x )+sen (4 x−x )−sen 3x
J =
sen5 x+sen(−x )+senxsen5 x+sen 3x−sen3 x
sen(-x) = -senx
J =
sen5 x−senx+senxsen5 x+sen 3x−sen3 x
Reduciendo :
J =
sen5 xsen5 x
J = 1
2) Reduce :
J =
2 sen 4 x . cos x−sen5 x2cos 5x . cos2x−cos7 x
Solución :
En la expresión :
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
J =
2 sen 4 x . cos x−sen5 x2cos 5x . cos2 x−cos7 x
Transformando :
J =
sen( 4 x+x )+sen (4 x−x )−sen5xcos (5x+2 x )+cos (5 x−2x )−cos7 x
Operando :
J =
sen5 x+sen 3x−sen5 xcos7 x+cos3 x−cos7 x
= sen3 xcos3 x
J = tan3x
3) Reduce :
J =
sen5 x . senx+cos7 x . cos xcos6 x
Solución :
En la expresión :
J =
sen5 x . senx+cos7 x . cos xcos6 x
Multiplicamos x 2 :
2J =
2 sen5 x . senx+2cos7 x . cos xcos6 x
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
transformando :
2J =cos x (5 x−x )−cos x (5x+x )+cos (7 x+x )+cos (7 x−x )cos6 x
2J =
cos 4 x−cos 6 x+cos8 x+cos6 xcos6 x
reduciendo :
2J=
cos 8x+cos 4 xcos6 x
transformando a producto :
cos8x+cos4x=2cos( 8 x+4 x
2 )cos( 8 x+4 x
2 )
2J =
2cos 6 x . cos2 xcos6 x
simplificando :
J = cos2x
4) Simplifica :
J = sen3x . cos2x + sen3x.cos4x + senx.cos6x
Solución :
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
En la expresión :
J = sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+senx.cos6x
Multiplicamos x 2 :
2J=
2 sen3x . cos2x⏟+2 sen3 x . cos4 x⏟+2 senx . cos 6x⏟
transformando :
2J=sen5x+senx+sen7x-senx + sen7x-sen5x
reduciendo :
2J = 2sen7x
J = sen7x
5) Reduce :
J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx
Solución :
En la expresión :
J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx
Multiplicamos x 2 :
2J=2cos5x.cos2x+2sen6x.senx-2cos4x.cosx
transformando :
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
2J=cos7x+cos3x+cos5x–cos7x–(cos5x+ cos3x)
2J=cos7x+cos3x+cos5x–cos7x–cos5x– cos3x
reduciendo :
2J = 0 J = 0
6) Transforma a suma ó diferencia de senos o cosenos :
J = 4senx . cos2x . cos4x
Solución :
En la expresión :
J = 4senx . cos2x . cos4x
Agrupamos y transformamos :
J = 2(2senx. Cos2x) cos4x
J = 2(sen3x-senx)cos4x
Desarrollando :
J = 2sen3x . Cos4x - 2senx.cos4x
Transformando nuevamente :
J = sen7x-senx-(sen5x - sen3x)
J = sen7x-senx-sen5x+sen3x
Ordenando :
J = sen7x –sen5x + sen3x – senx
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
CUESTIONARIO
1).- Reduce :
E=Sen5 xCosx+Sen2xCos 8xCos3 x
a) Senx b) Sen3x
c) Sen5x d) Sen7x
e) N.A.
2).- Reduce :
M=Sen20 º Cos80 º+Sen50 º Cos10 ºSen70 º
a) 1 b) 1/2 c)
d) 1/4 e)
3).- Simplifica :
F=Cos3 x Cos5x−Senx Sen3 xCos2x Cos6 x
a) Tg2x b) Tg6x c) 2
d) 1/2 e) 1
4).- Reduce la expresión:
29 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
E= Senx+Sen3 x+Sen5 xCosx+Cos3 x+Cos5 x
a) Tgx b) Ctx c) Tg2x
d) Ctg2x e) Tg3x
5).- Reduce la expresión:
E= Sen2x+Sen5 x−SenxCos2 x+Cos5 x+Cosx
a) Tgx b) Ctgx c) Tg2x
d) Ctg2x e) Tg3x
6).- Al factorizar la expresión :
K=√3+2Cos10 º
uno de sus factores es:
a) Cos8º b) Cos12º
c) Cos16º d) Cos20º
e) Cos24º
7).- Dado que :
Sen2x Sen5x+Cosx Cos6x=Senx Cos4x
Calcula: “Ctgx”
a) 1 b) 1/2 c) 2
d) 1/4 e) 4
30 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
8).- Calcula el valor de:
Q= Csc 10º - 4Sen70º
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
9).- Calcula: Sen (a+b) . Sen (a - b)
Si: Cos a= 1/4 y cos b=1/3
a) 7/12 b) 7/144
c) 5/12 d) 25/144 e) 45/144
10).- Reduce
E = Cos10º + Cos30º + Cos50º + Cos70º
a) 2 b) ½ cot10° c) 2Tg 10º
d) 2Ctg 10º e) N.A.
11).- Calcula el valor de:
N=√3 Sen π9
. Sen 2π9
. Sen 4 π9
a) 1/2 b) 3/2 c) 3/4
d) 4/9 e) 3/8
12).- Calcula el valor de:
30 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
W= Sen2 10º + Sen2 50º + Sen2 70º
a) 3/4 b) 1 c) 5/4
d) 3/2 e) 7/4
13).- Si: 19x=π , calcula el valor de la expresión:
W= Sen16x+Sen4 xSen23 x−Sen3 x
a) -2 b) -1 c) 1
d) 2 e) N.A.
14).- Si : a + b = 45º y a – b = 60º
Calcula el valor de:
K = Sen2a - Sen2b
a)
√22 b)
√63 c)
√64
d)
√66 e) N.A.
15).- Calcula el valor máximo de la expresión:
W = Sen(65º + x) + Sen(25º - x)
30 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
a) 1 b) √2 c) √3
d) 2 e) 2√2
16).- Simplifica:
B=√ Sen7θ⋅Sen3θ+Sen22θ
a) Sen b) Sen3
c) Sen5 d) Cos5 e) 1
17).- Calcula la medida de “ ” que maximice el valor de “Y” en :
Y = 1 - Cos Cos (+40)
a) 20º b) 30º c) 50º
d) 70º e) 90º
18).- Calcula el valor de:
P=32 Sen36º. Sen72º . Sen108º . Sen144º
a) 1 b) 2 c) 5
d) 10 e) 20
19).- En un triángulo ABC, Reduce
E=Sen2 A2+Sen2 B
2+Sen2 C
2−1
a) −4Sen
A2Sen
B2Sen
C2
30 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
b) −2Sen
A2Sen
B2Sen
C2
c) 2Sen
A2Sen
B2Sen
C2
d) 4 Sen
A2Sen
B2Sen
C2
e) N.A.
20).- Si en un triángulo ABC, se cumple que:
SenA+SenB+SenC=4 Sen
A2Cos
B2Cos
C2
luego, el triángulo, es
a) Escaleno b) Isósceles
c) Equilátero d) Rectángulo
e) Rectángulo e Isósceles
CLAVES
1) d 2) c 3) e 4) e 5) c
6) d 7) a 8) d 9) b 10)b
11)e 12)d 13)b 14)c 15)b
16)c 17)d 18)e 19)b 20)e