geometria final

RECURSOS PARA LA FORMACIN INICIAL DE PROFESORES DE EDUCACIN BSICA

GeometraPARA FUTUROS PROFESORES DE EDUCACIN BSICA

Texto para el formador

Proyecto FONDEF CONICYT D09 I1023 (2011 2014)

Directora de Proyecto: Salom Martnez

Autores: Eugenio Chanda

Alejandro Lpez

Salom Martnez

Francisco Martnez

Daniela Rojas

Direccin editorial: Arlette Sandoval Espinoza

Correccin de estilo: Mara Paz Contreras Aguirre

Direccin de arte: Carmen Gloria Robles Seplveda

Coordinacin diseo: Katherine Gonzlez Fernndez

Diseo Portada: Jos Luis Jorquera Dlz

Diagramacin: Loreto Lpez Rodrguez

Produccin: Andrea Carrasco Zavala

Primera edicin: marzo 2014

Ediciones SM Chile S.A.

Coyancura 2283, oficina 2013,

Providencia. Santiago de Chile.

www.ediciones-sm.cl

Atencin al cliente: 600 381 13 12

Impreso en Chile/ Printed in Chile

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni su transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea digital, electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.


Geometra

AUTORES:

Eugenio Chanda,

Universidad de Chile

Alejandro Lpez,

Universidad Andrs Bello

Salom Martnez,


Francisco Martnez,


Daniela Rojas,


PARA FUTUROS PROFESORES DE EDUCACIN BSICA

RECURSOS PARA LA FORMACIN INICIAL DE PROFESORES DE EDUCACIN BSICA


Geometra - REFIP4

ReFIP Matemtica

Recursos Pedaggicos para la Implementacin de los Estndares de Formacin Inicial de Profesores de Enseanza Bsica en Matemticas. Proyecto FONDEF - CONICYT D09 I1023 (2011 - 2014).

Institucin ejecutora principal Centro de Modelamiento Matemtico (CMM), Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas, Universidad de Chile

Institucin ejecutora asociadaFacultad de Matemticas, Pontificia Universidad Catlica de Chile

Entidades asociadasEdiciones SM Chile, Ministerio de Educacin, Fundacin Luksic y Academia Chilena de Ciencias

5Texto para el formador

Directora Salom Martnez (Universidad de Chile, Centro de Modelamiento Matemtico)Director alterno Hctor Ramrez (Universidad de Chile, Centro de Modelamiento Matemtico)

Anita Araneda (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Eugenio Chanda (Universidad de Chile) Luis Dissett (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Macarena Larran (Universidad del Desarrollo) Renato Lewin (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Alejandro Lpez (Universidad Andrs Bello) Rubn Lpez (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Salom Martnez (Universidad de Chile) Andrs Ortiz (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Cristin Reyes (Universidad de Chile) Daniela Rojas (Universidad de Chile) Horacio Solar (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Mara Alejandra Sorto (Texas State University) Mara Leonor Varas (Universidad de Chile) Pierina Zanocco (Universidad Santo Toms)

Jos Luis Abreu (Universidad Nacional Autnoma de Mxico) Pablo Dartnell (Universidad de Chile) Joel Espinoza (Universidad Nacional Autnoma de Mxico) Mara Jos Garca (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Nancy Lacourly (Universidad de Chile) Francisco Martnez (Universidad de Chile) Mara Victoria Martnez (Universidad de Chile) Josefa Perdomo (Universidad de Chile) Elizabeth Suazo (Universidad de Concepcin) Rodrigo Ulloa (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Claudia Vsquez (Pontificia Universidad Catlica de Chile, sede Villarrica)

Mara Aravena (Universidad Catlica del Maule) Miguel Daz (Universidad de Via del Mar) Patricio Felmer (Universidad de Chile) Arturo Mena (Pontificia Universidad Catlica de Valparaso) Raimundo Olfos (Pontificia Universidad Catlica de Valparaso)

Patricio Felmer (Universidad de Chile) Carmen Montecinos (Pontificia Universidad Catlica de Valparaso) Jaime Snchez (Universidad de Concepcin)

Guido Del Pino (Pontificia Universidad Catlica de Chile)

Pedro Gmez (Universidad de Los Andes, Colombia)

Dinko Mitrovic (Universidad de Santiago de Chile) Elizabeth Montoya (Pontificia Universidad

Catlica de Valparaso)

Carlos Prez (Universidad de Concepcin) Francisco Rojas (Pontificia Universidad

Catlica de Chile)

Pierre Romagnoli (Universidad Andrs Bello) Marisol Valenzuela (EducaUC)

Equi

po d

e Au

tore

s y C

o-au

tore

sCo

labo

rado

res

Ases

ores

Eval

uado

res

Com

it

edito

rial

ndice


Introducin ....................................................................................................................................... 8

I. Presentacin de la coleccin de textos ReFIP .................................................................. 91. El conocimiento matemtico para ensear 102. Elaboracin de los textos 12

II. Investigacin realizada en el proyecto ReFIP .................................................................16Los aspectos socioafectivos de la educacin matemtica: Conociendo la ansiedad matemtica 16

III. Texto ReFIP: Geometra ....................................................................................................... 291. Estructura del texto 322. Contenidos del texto de Geometra 343. Bibliografa usada 354. Articulacin del texto con los estndares orientadores

para egresados de carreras de pedagoga en educacin bsica 38 5. Ejemplos de ejercicios o problemas del texto de Geometra

vinculados a los estndares orientadores para egresados de carreras de pedagoga en educacin bsica 44

6. Articulacin del texto con las bases curriculares de matemtica de 1 a 6 bsico 48

7. Vinculacin del texto ReFIP con el conocimiento del currculum escolar 53 8. Recursos multimedia complementarios al texto 59

Geometra - REFIP8

Introduccin

Este libro es un complemento de la coleccin ReFIP Matemtica Re-cursos para la Formacin Inicial de Profesores de Educacin Bsica en Matemtica, la cual es una serie de cuatro textos: Nmeros, Geometra, lgebra y Datos y Azar, enfocados en la matemtica para ensear que requieren los profesores de educacin bsica. Esta coleccin fue elabo-rada en el proyecto FONDEF-D09I1023, por un equipo de expertos dis-ciplinarios y pedaggicos de distintas universidades, liderados desde el Laboratorio de Educacin del Centro de Modelamiento Matemtico de la Universidad de Chile.

La coleccin de textos ReFIP est diseada teniendo como marco los Estndares Orientadores para Egresados de Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica y las Bases Curriculares para Educacin Bsica de 1 a 6 bsico. Es as, que esta coleccin es una herramienta de apoyo para implementar los estndares en las carreras de pedagoga.

El presente texto es un material de apoyo a la coleccin y est dirigido a los formadores de profesores con el propsito de entregar orientaciones que permitan vincular el contenido de la coleccin con los Estndares y herramientas para su implementacin en el aula universitaria.

En el captulo I se presenta el proyecto ReFIP, la motivacin para su realizacin y el contexto en el que se desarrolla. Se hace una breve resea del marco terico que sustenta la forma en que escribieron los textos: el Conocimiento Matemtico para Ensear1. Se describe adems el proceso de elaboracin de los textos, dando cuenta de la magnitud del proceso de pilotaje, tanto en cantidad de alumnos de pedagoga que usaron las versiones iniciales de los textos, como en la diversidad de universidades que participaron en el proyecto.

En el captulo II se presenta una investigacin realizada con datos obtenidos durante el proyecto, sobre la ansiedad matemtica. Se muestra cmo la ansiedad matemtica afecta el desarrollo del proceso de apren-dizaje, y cmo las creencias y expectativas de los profesores afectan a los nios y nias. Se muestra la relacin de la ansiedad matemtica de acuer-do con el gnero. Se presenta un test para medirla, y finalmente se ofrece una actividad para tratar este tema con estudiantes de pedagoga bsica.

En el captulo III se presenta el texto ReFIP, lgebra, explicando el for-mato en que aparece el material, as como los contenidos cubiertos. Se en-trega una lista de la bibliografa consultada, comentando los recursos ms relevantes usados en la elaboracin del texto. Se entregan, adems, tablas que relacionan el texto ReFIP con el eje lgebra de los estndares de forma-cin, y se dan ejemplos de esta cobertura. Se entregan tambin tablas sobre la vinculacin del currculum con el texto, y ejemplos de uso para cubrir la progresin de los contenidos presentes en el currculum.

1BALL, D. L., HILL, H. C., BASS H. (2005), Knowing Mathematics for Teaching. Who Knows Mathe-matics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? American Educator, 29(1), pp. 14-17, 20-22, 43, 46.

Texto para el formador 9

I. Presentacin de la coleccin de textos ReFIPEn la ltima dcada, el Ministerio de Educacin consciente de la ne-

cesidad de reforzar la calidad de la formacin inicial docente ha venido impulsando un conjunto de acciones estratgicas, entre las cuales destacan la definicin de Estndares Orientadores para egresados de las carreras de Pedagoga, la Evaluacin Diagnstica de los conocimientos de los egresados de carreras de Pedagoga (Prueba Inicia), la creacin de la Beca Vocacin de Profesor, la implementacin de convenios para mejorar el desempeo de las Facultades de Educacin de la universidades nacionales y la promocin de la Carrera Docente, entre otras.

El proyecto Fondef, ReFIP Matemtica se propuso producir una coleccin de textos para estudiantes de Pedagoga en Educacin Bsica, y material de apoyo para formadores de profesores, en lnea con los Estndares, buscando contribuir en la mejora de la preparacin para ensear matemtica de futuros profesores, a travs de la interpretacin de los Estndares. Asimismo, el proyecto busc aportar a la formacin de capacidades locales, en instituciones de educacin superior de todo el pas, para favorecer la implementacin de los mismos Estn-dares, en los distintos programas de Pedagoga en Educacin Bsica.

En lnea con los Estndares Orientadores para Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica, se elaboraron cuatro textos, en correspondencia con los cuatro ejes de matemtica: Nmeros, Geometra, lgebra y Datos y Azar. El contenido matemtico de los textos est centrado en el Conocimiento Ma-temtico para Ensear, concepto en el que profundizaremos ms adelante, abordando aspectos como razonamiento matemtico, lenguaje matemtico, representaciones, resolucin de problemas, uso de material concreto, errores y dificultades, entre otros.

Cada captulo de los textos de la coleccin ReFIP, est organizado de ma-nera que el futuro profesor aprenda y ejercite los conceptos matemticos im-portantes. Se comienza con el desarrollo del conocimiento matemtico para ensear, profundizando en aquellos aspectos que permiten argumentar pro-piedades, algoritmos, etc. En este desarrollo se espera motivar en los futuros profesores la necesidad de contar con nuevas herramientas, presentando lue-go los contenidos asociados, para suplir dicha necesidad. Cada vez que resulta necesario, el texto destaca en recuadros las principales ideas y conceptos que se han desarrollado hasta all. Adems, el desarrollo del contenido se va articulando con propuestas para la reflexin, ejemplos y ejercicios que buscan consolidar los aprendizajes de los futuros profesores. Se presentan adems recursos multimedia para estudiantes de pedagoga, producidos dentro del proyecto, para cada uno de los ejes del currculum.

Geometra - REFIP10

En su esencia, los textos persiguen:

Abordar las dimensiones de los Estndares que cruzan los ejes: saber la matemtica para ensear y saber ensear la matemtica.

Favorecer la integracin del conocimiento disciplinar y pedaggico.

Incorporar los contenidos acordes al currculum escolar vigente en el pas.

Poner el foco en el Conocimiento Matemtico para Ensear, que com-prende el conocimiento matemtico y el conocimiento pedaggico de la matemtica.

Abordar el conocimiento del currculum escolar, dificultades y erro-res, el uso de material concreto y distintos tipos de representaciones.

Incluir actividades de reflexin.

Abordar el razonamiento matemtico, el uso de lenguaje matemtico y la resolucin de problemas.

1. El conocimiento matemtico para ensear

Hoy existe evidencia de que la matemtica que se pone en juego en la sala de clase es un conocimiento disciplinar especializado para la tarea de ensear, distinto del conocimiento que se requiere, por ejemplo, para realizar operaciones matemticas cotidianas o para hacer clculos de ingeniera2 . Este conocimiento forma parte de lo que se ha denominado conocimiento matemtico para ensear o MKT (Mathematical Knowledge for Teaching), que incluye conocimientos disciplinares y conocimientos pedaggicos del contenido (ver recuadro). Se trata de un conocimiento disciplinar que es ex-clusivo del profesor y que en general no desarrolla ni requiere ningn otro profesional que haga uso de las matemticas en su trabajo.

En este sentido, el proyecto trabaj teniendo claro que la matemtica escolar no es una matemtica trivial, sino una matemtica profunda y espe-cializada; y que para lograr el dominio que requiere un profesor, se necesita tiempo y dedicacin.

A partir del concepto de conocimiento pedaggico del contenido3 in-troducido por Lee Shulman en la dcada de los 80, se produjo un gran mo-vimiento tendiente a identificar y describir conocimientos de los profesores que se encontraban en una regin intermedia entre los conocimientos peda-ggicos generales y los conocimientos disciplinares puros.

2 Ver cita anterior.


Ms recientemente, investigadores de la Universidad de Michigan, agrupados en el proyecto Learning Mathematics for Teaching, han aportado sustanti-vamente a precisar tanto estos conocimientos pedaggicos situados en los contenidos como - y principalmente- a caracterizar el conocimiento disci-plinar contextualizado en la enseanza. Hacia fines de la primera dcada de este siglo el modelo propuesto por este grupo considera un conjunto de seis componentes que integran el conocimiento matemtico para ensear4.

(*)El proyecto ReFIP se propuso que este tipo de conocimiento fuera el foco de los textos para formacin de profesores. El esfuerzo se orient a cubrir el conjunto de seis componentes que conforman el conocimiento matemtico para ensear.

Los componentes, como se observa en la figura, se organizan en dos grandes grupos: conocimiento del contenido y conocimiento pedaggico del contenido.

El conocimiento matemtico para ensear

Conocimiento del contenido

Conocimiento matemtico comn

Conocimiento de alumnos y matemtica

Conocimiento especializado del contenido matemtico

Conocimiento del currculo

Conocimiento de un horizonte matemtico

Conocimiento del contenido y la enseanza

Conocimiento peda-ggico del contenido

Para ilustrar las diferencias entre los distintos componentes de este co-nocimiento, el siguiente ejemplo muestra cmo en torno a una misma tarea matemtica (multiplicar) se despliegan distintos conocimientos vinculados a cada una de las componentes del modelo:

Conocimiento matemtico comn: Saber multiplicar nmeros de tres cifras

Conocimiento especializado del contenido matemtico: Reconocer la va-lidez de procedimientos alternativos al algoritmo de multiplicacin usual.

Conocimiento de un horizonte matemtico: reconocer el rol de la propie-dad distributiva en distintos contextos matemticos como la multiplicacin de expresiones algebraicas o la regla de los signos para multiplicar enteros.

3 Shulman, L. S.(1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher Feb. 1986: 4-14.(AERA Presidential Address).4 BALL, D. L., THAMES, M. H., PHELPS, G. (2008), Content Knowledge for Teaching. What Makes it Special? Journal of Teacher Education, 59(5), pp. 389-407.

Figura 1

Geometra - REFIP12

Conocimiento de alumnos y matemtica Conocer las dificultades y errores frecuentes de los nios en este mbito y saber diagnosticarlos.

Conocimiento del contenido y la enseanza Saber cmo enfrentar las dificultades de los estudiantes con la multiplicacin de modo de superarlas.

Conocimiento del currculum saber cmo secuenciar tareas de mul-tiplicacin de nmeros de diverso tipo de acuerdo a las exigencias del currculo nacional.

Los tres dominios destacados con letra negra en la figura (Conocimiento de un horizonte matemtico, Conocimiento del contenido y la enseanza, y Conocimiento del currculo) han sido evaluados masivamente en profesores de Estados Unidos, Noruega, Corea, Irlanda, Alemania, Indonesia, Ghana y Chile. En estudios longitudinales realizados en Estados Unidos5 y en Alema-nia6, que incluyeron evaluaciones a los estudiantes, se logr probar la relacin entre mayores ganancias de aprendizaje de los alumnos con mayor conoci-miento de su profesor. Es ms, este conocimiento es el que mejor explica el mayor aprendizaje de los nios, en comparacin con el impacto de otros factores, tales como el conocimiento disciplinar puro, la cantidad de asigna-turas de matemtica cursadas por los profesores, el conocimiento pedaggico general. Es decir, se trata de un conocimiento valioso.

2. Elaboracin de los textos

La elaboracin de los textos ReFIP fue una tarea que requiri de miradas di-versas y de la incorporacin de los usuarios finales del material que se elaborara, los estudiantes de carreras de pedagoga en enseanza bsica y sus profesores ( for-madores). Por eso desde un comienzo el equipo comprendi que para emprender una tarea de esta naturaleza era imprescindible llevar adelante un proceso par-ticipativo, que contara adems con mecanismos efectivos de retroalimentacin.

Teniendo presentes estos factores, el diseo del proyecto consider la temprana validacin de los textos en elaboracin, mediante un proceso am-plio de pilotaje (prueba en el aula) en asignaturas dentro de programas de formacin inicial de profesores. En cuanto a la elaboracin de los textos, la opcin fue convocar tambin a un trabajo colaborativo, para la redaccin de las versiones que seran utilizadas en el proceso de pilotaje. En una segunda etapa, la informacin recogida como resultado de los pilotajes y otras formas de evaluacin de los textos, fue usada por el equipo del proyecto para ajustar y editar la versin final de los textos.

5 HILL, H. C., ROWAN, B., BALL, D. L. (2005), Effects of Teachers Mathematical Knowledge for Teaching on Student Achievement. American Educational Research Journal, 42(2), pp. 371-406

6 BAUMERT, J., KUNTER, M., BLUM, W., BRUNNER, M., VOSS, T., JORDAN, A., KLUSMANN, U., KRAUSS, S., NEUBRAND, M., TSAI, Y.M. (2010). Teachers Mathematical Knowledge, Cognitive Activation in the Classroom, and Student Progress. American Education Research


2.1 Versiones iniciales

La elaboracin de las versiones iniciales de los textos, que se usaran en el proceso de pilotaje7, se llev adelante en un trabajo de grupos de autores en torno a cada uno de los textos. El esquema de trabajo conside-r que en esta etapa los textos fueran de autora colectiva, concordando aspectos fundamentales de ellos.aspectos fundamentales de ellos.aspectos fundamentales de ellos.

Estaba previsto que los temas se abordaran con un enfoque y un len-guaje comn, mostrando conexiones entre las distintas reas de la mate-mtica y homogeneidad en la redaccin. De este modo, si bien los autores trabajaron en grupos centrados en la elaboracin y redaccin de conteni-dos de cada uno de los textos, fue el equipo en su conjunto el que aport con sugerencias o crticas a los avances presentados en cada reunin. Los grupos de trabajo en torno a cada texto no fueron siempre estables, sino que algunos autores fueron rotando y otros se fueron incorporando en forma gradual, para dar respuesta a requerimientos especfi cos.

Las versiones iniciales de los textos se probaron en aula en un pi-lotaje amplio para as poder incorporar la visin de los usuarios acerca del material producido. Adems, mediante este proceso se recopil in-formacin sobre el uso de los textos, aprovechando esta instancia para promover la transferencia del proyecto a las universidades que imparten carreras de Pedagoga en Educacin Bsica.

5 El pilotaje de un texto corresponde a su uso en una seccin de alguna asignatura relacionada con matemtica dentro de un programa de Pedagoga en Educacin Bsica.

Geometra - REFIP14

El proceso de pilotaje permiti al Proyecto ReFIP Matemtica:

Retroalimentar a los autores, desde la perspectiva de los forma-dores y de los futuros profesores, en el proceso de elaboracin de los textos.

Recopilar material para la elaboracin del texto del formador.

Medir el impacto del uso de los textos, y a partir de ello iniciar di-versas investigaciones en el mbito de la formacin inicial docente.

El pilotaje se realiz en un conjunto de universidades distribuidas a lo largo del pas y que imparten la carrera de Pedagoga Bsica. Se consider una muestra de universidades que estuvieran interesadas en participar y que representaran la diversidad existente en el pas, en cuanto a localiza-cin geogrfica, tipo de universidad (pblica, privada, perteneciente o no al Consejo de Rectores de las Universidades Chilenas, CRUCH), exigencias de ingreso a los alumnos (Prueba de Seleccin Universitaria y puntajes de ingreso), entre otros factores.

En total, durante los dos semestres de 2012 y el primer semestre de 2013 participaron en el proceso de pilotaje 16 universidades, ubicadas en-tre Iquique y Punta Arenas, que imparten la carrera de Educacin Bsica:

En el primer semestre de 2012 se probaron dos de los textos en 13 uni-versidades (56 secciones), sumando 2.300 alumnos aproximadamente.

En el segundo semestre de 2012 se probaron los textos en 14 univer-sidades (75 secciones), sumando 2.700 alumnos aproximadamente.

En el primer semestre de 2013 se usaron los textos en 3 univer-sidades (7 secciones), sumando 200 alumnos aproximadamente.

Las universidades que participaron en los pilotos fueron las siguientes:

Regin Universidad

Tarapac Universidad Arturo Prat.

Valparaso Universidad de Playa Ancha, Universidad de Via del Mar, Universidad de Las Amricas.

Metropolitana Pontificia Universidad Catlica de Chile, Universidad de las Amricas, Universidad Santo Toms, Universidad Diego Portales, Universidad del Desarrollo, Universidad Alberto Hurtado, Universidad San Sebastin, Universidad de Los Andes.

Bo Bo Universidad de las Amricas, Universidad San Sebastin, Universidad Catlica de la Santsima Concepcin, Universidad del Bo Bo, Univer-sidad de Concepcin.

La Araucana Pontificia Universidad Catlica de Chile, Universidad Catlica de Temuco.

Los Ros Universidad San Sebastin.

Los Lagos Universidad San Sebastin.

Magallanes Universidad de Magallanes.


Para el desarrollo de los pilotajes, se utilizaron versiones prelimi-nares de los cuatro textos, que fueron distribuidas a cada uno de los formadores y a todos los estudiantes de pedagoga bsica participantes en el proceso. Cada formador decidi la forma como utilizar el libro en apoyo a su curso, en una o varias unidades o mdulos, dependiendo de la estructura del programa de cada asignatura.

En la etapa de pilotaje (2012), los libros fueron utilizados como ma-terial de clase o de apoyo por aproximadamente 5000 estudiantes de 131 secciones. Adems se realizaron capacitaciones a los acadmicos que impartieron los cursos.

Texto Nmero de pilotos Nmero de alumnos

Nmeros 44 1.865

lgebra 29 937

Geometra 33 1.295

Datos y azar 25 858

Total 131 4.955

Para evaluar el uso y el impacto de los textos se aplicaron a lo largo del proceso de pilotaje una serie de instrumentos orientados tanto a los docentes como a los estudiantes: encuestas para alumnos (de satisfac-cin, y de creencias y actitudes8), pruebas de Conocimiento Matemtico para Ensear9 y encuestas de Expectativas Docentes y Ansiedad Mate-mtica.

Los textos en su versin inicial fueron tambin sometidos a eva-luacin por parte del Comit Asesor del proyecto y otros evaluadores externos. Adicionalmente, a travs de un taller de trabajo con un grupo de estos evaluadores, se logr obtener y socializar consensos en torno al valor de los textos como herramientas pedaggicas y la pertinencia de sus enfoques y contenidos. Tambin se recogi informacin relevante, complementaria a la obtenida a travs de las evaluaciones individuales de cada texto, sobre los ajustes o mejoras necesarias, del enfoque y los contenidos, para contribuir al proceso de elaboracin final.

8 Desarrollada por el proyecto Teacher Education and Development Study in Mathematics, TEDS-M, de la International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA.

9 Desarrolladas por el proyecto LMT, Learning Mathematics for Teaching, de la Universidad de Michigan.

Geometra - REFIP16

2.2 Versiones Finales

En la etapa final, el trabajo se concentr en la redaccin de las ver-siones definitivas de los textos, sobre la base de la acumulacin de apren-dizajes obtenidos en distintos momentos del proyecto: elaboracin de las versiones iniciales, opiniones de usuarios y evaluacin experta.

El trabajo de elaboracin de las versiones definitivas se centr en dar coherencia global a cada texto, introduciendo ajustes de contenido y for-ma. Para ello, cada libro qued a cargo de un grupo de autores responsable de producir el texto final.

Los textos finales, si bien se elaboraron a partir de las versiones ini-ciales, tienen caractersticas distintas a aquellas de los textos usados en los pilotajes, ya que buscan constituirse en un texto gua de un curso.

En esta ltima etapa se presentaron las versiones revisadas de los textos a los miembros del Comit Editorial. Ellos discutieron, en una reu-nin con miembros del equipo del proyecto, las proyecciones del material elaborado y el proyecto en general.

II. Investigacin realizada en el proyecto refipLos aspectos socioafectivos de la educacin matemtica: conociendo la ansiedad matemtica

Cuando los egresados de pedagoga comienzan su ejercicio profesional y toman contacto con el aula escolar, descubren rpidamente que ensear matemticas es ms que transmitir contenidos y desarrollar habilidades. Los nios desarrollan desde muy temprano actitudes hacia la asignatura que se-rn relevantes para su posterior trayectoria acadmica y profesional. Se espera que un profesor de matemticas efectivo sea capaz de formar estudiantes que se relacionan positivamente con las matemticas y que creen en sus propias capacidades para adquirir conocimiento matemtico. Sin embargo, la forma-cin inicial de profesores presenta generalmente pocas instancias para abor-dar estos aspectos socioafectivos de la educacin matemtica. En la presente seccin realizamos una sntesis de informacin relevante desde un fenmeno concreto que muchos acadmicos formadores de profesores observan en sus estudiantes: la ansiedad matemtica.


Qu es la ansiedad matemtica?

La ansiedad matemtica es un estado de tensin que se produce en algu-nas personas cuando realizan operaciones numricas o resuelven problemas matemticos en diferentes situaciones acadmicas y cotidianas (Richardson & Suinn, 1972). Resolver un ejercicio en la pizarra frente a compaeros de curso o calcular cmo dividir la cuenta en un restaurant son situaciones que pueden resultar amenazantes y difciles para las personas con alta ansiedad matemtica, desarrollando en una verdadera matemafobia que los lleva a evitar este tipo de situaciones. De acuerdo a una reciente investigacin, este malestar incluso puede observarse claramente en el cerebro: cuando las per-sonas que padecen este tipo de ansiedad anticipan que debern resolver un ejercicio de matemticas se registra una activacin de la nsula dorsal pos-terior, la zona del cerebro que normalmente se activa con el dolor fsico y el rechazo social (Lyons & Beilock, 2012).

La ansiedad matemtica no se hereda ni es intrnseca a algunas perso-nas, sino que se desarrolla tempranamente en los nios a partir de sus viven-cias relacionadas a las matemticas y la educacin matemtica. Este proceso puede entenderse como un ciclo negativo de evitacin que se repite en el tiempo (Mitchel, 1987; Robertson, 1991): en la primera etapa, un estudiante tiene una experiencia negativa con las matemtica; como respuesta, en la se-gunda etapa, el estudiante evita las situaciones que involucran matemticas, incluyendo aquellas situaciones que conducen a aumentar sus competencias en matemticas (por ejemplo, estudiar en el hogar); el estudiante finalmente tiene una mala preparacin en matemticas (etapa 3), que lo lleva a tener un mal rendimiento en matemticas (etapa 4) y nuevas experiencias negativas.

La sala de clases, un punto de partida para la ansiedad matemtica

El ciclo de evitacin de las matemticas es un modelo conceptual muy til para comprender la ansiedad matemtica y reconstruir analticamente sus orgenes. Se ha preguntado directamente a sujetos con alta ansiedad por las primeras experiencias negativas que los llevaron a desarrollar una aversin hacia las matemticas. En estos estudios (Freiberg, 2005; Perry, 2004) uno de los antecedentes mencionado ms frecuentemente es haber tenido malas experiencias con profesores durante la enseanza bsica. La escuela y la sala de clases juegan un rol clave en el desarrollo inicial de actitudes hacia las matemticas. Muchas veces se tiene poca conciencia de algunas situaciones de aula que pueden tener gran impacto en los nios, por ejemplo, cuando no pueden resolver un ejercicio en la pizarra frente a sus compaeros.

Los acadmicos formadores de profesores suelen conocer muchos estu-diantes que se ajustan a este perfil: jvenes con un largo historial de episodios de frustracin con la matemtica que parecen estar convencidos que las ma-temticas simplemente superan los lmites de sus capacidades.

Geometra - REFIP18

Cmo afecta la ansiedad matemtica a las personas?

A nivel cognitivo, la ansiedad matemtica afecta la capacidad de resol-ver problemas matemticos reduciendo la memoria de trabajo disponible (Ashcraft & Kirk, 2001). La memoria de trabajo es un recurso limitado para el procesamiento de informacin y las personas ansiosas utilizan una parte importante de ella preocupndose por la tarea que deben realizar. Conside-remos el caso de un estudiante con ansiedad matemtica que resuelve un problema en una prueba. Su memoria y atencin se dividen en 3 focos: retener las instrucciones que contextualizan el problema, aplicar los algoritmos ma-temticos que debe ocupar y, finalmente, la ansiedad que la situacin suscita. Comparado con un estudiante sin ansiedad matemtica, este alumno dispone de menos memoria de trabajo para responder la pregunta. Esto es un hallaz-go fundamental, ya que implica que los resultados en pruebas estandarizadas de los estudiantes que padecen ansiedad matemtica pueden ser un reflejo distorsionado de sus capacidades reales (Ashcraft & Moore, 2009).

A nivel personal, la ansiedad matemtica afecta el gusto por las mate-mticas, la educacin matemtica y las decisiones vocacionales (Hembree, 1990). Existe una alta correlacin negativa entre la ansiedad y el gusto por las matemticas y esto explica por qu los estudiantes con alta ansiedad mate-mtica evitan tomar cursos electivos que involucren esta materia. Cuando llega el momento de tomar decisiones vocacionales y seguir estudios supe-riores, los estudiantes excluyen de sus opciones las carreras que creen que son intensivas en matemticas (Scarpello, 2005). De hecho, muchos estudios han comprobado que los niveles de ansiedad matemtica no se distribuyen uniformemente entre estudiantes de distintas carreras universitarias. De manera paradigmtica, existe una gran prevalencia de ansiedad matemtica en estudiantes de pedagoga, especialmente entre estudiantes de pedagoga bsica (Baloglu & Koak, 2006; Bessant, 1995). La alta incidencia de la ansie-dad matemtica en la profesin docente resulta preocupante, especialmente cuando se considera que los profesores sern unos de los principales referen-tes con que las nuevas generaciones de nios establecern su relacin con las matemticas.


El gnero y la transmisin de la ansiedad matemtica

La relacin entre el gnero y la ansiedad matemtica es un tema de gran inters y ha sido investigado de manera extensa. Una pregunta central de la literatura ha sido las diferencias en niveles segn sexo: tienen mayor ansiedad matemtica los hombres o las mujeres? La evidencia al respecto es contradictoria. Existen estudios que han mostrado niveles ms altos en las mujeres que en los hombres (Wigfield y Meece, 1988; Yksel-ahin, 2008; Baloglu y Kocak, 2006; Woodart, 2004), otros han mostrado niveles ms altos en hombres que en mujeres (Abed & Alkhateeb, 2001; Reavis, 1989; Sandman, 1979) y un ltimo grupo de estudios que no encuentra diferencias significativas segn sexo (Newstead, 1998; Chiu y Henry, 1990; Chinn, 2009; Devine et al. 2012). Tambin existen estudios que evalan si las diferencias de gnero influyen en la relacin entre la ansiedad matemtica y el desempeo matemtico, produciendo nuevamente variados resultados (Betz, 1978; Miller y Bichsel, 2004; Birgin et al. 2010). Considerando toda la evidencia, una explicacin plausible es que es el contexto cultural el factor que determina realmente la magnitud y direccin de la relacin entre gnero y ansiedad matemtica, de la misma forma en que las diferencias de rendimiento en matemticas entre hombres y mujeres se deben principalmente a factores culturales y no biolgicos (Hanna, 1989).

Un aspecto en que el gnero y la ansiedad matemtica parecen tener una relacin ms clara es que las profesoras mujeres con altos niveles de ansiedad aumentan la ansiedad de sus alumnas mujeres. En un reciente estudio se realiz un seguimiento a profesoras mujeres de enseanza bsica y sus alumnos (Beilock et al. 2010). Tras un ao escolar, se observ que las alumnas mujeres de profesoras con alta ansiedad matemtica adhirieron ms a estereotipos de gnero (los hombres son mejores que las mujeres para las matemticas) y tuvieron peor rendimiento en matemticas que las alumnas mujeres de profesoras no ansiosas y los alumnos hombres de todos los grupos. Otras investigaciones han confirmado resultados similares (Antecol, 2012; Gunderson et al. 2012). En este sentido, si bien no es posible afirmar que las mujeres tengan mayores niveles de ansiedad matemtica que los hombres, hay fuerte evidencia de que las alumnas mujeres son especialmente susceptibles a repetir patrones de ansiedad matemtica cuando los observan en sus profesoras mujeres.

Geometra - REFIP20

Cmo afecta la ansiedad matemtica a los profesores?

Mltiples estudios han explorado como la ansiedad y las actitudes negati-vas hacia las matemticas se traducen en prcticas docentes poco adecuadas. Los profesores con actitudes negativas suelen utilizar estrategias pedaggicas donde los estudiantes tienen poca autonoma individual y desarrollan depen-dencia hacia la figura del profesor (Karp, 1991). Tambin se ha observado que los profesores con altos niveles de ansiedad matemtica dan menos espacio a preguntas durante la clase: los cursos de profesores sin ansiedad matem-tica pueden llegar a hacer el doble de preguntas en clase que el curso de un profesor ansioso (Bush, 1989). En general, la ansiedad matemtica individual acarrea una ansiedad para ensear matemticas en los profesores (Hadley & Dorward, 2011) que puede manifestarse de mltiples formas.

Existen tambin investigaciones y evidencia sobre los efectos de la ansie-dad matemtica en estudiantes de pedagoga, ya que son una poblacin ms accesible para los investigadores de este fenmeno. Para estos estudiantes, la ansiedad a las matemticas est relacionada de manera fuerte y negativa con convicciones de eficacia docente por las matemticas: mientras ms ansiedad sienten, menos seguros estn de poder ensear las matemticas (Bursal & Paznokas, 2006; Swars et al. 2006; Gresham, 2008). En una reciente investi-gacin realizada en Chile se descubri que la ansiedad matemtica puede influir el ejercicio docente de maneras significativas pero sutiles, por ejemplo, a travs de la formacin de expectativas y creencias sobre los estudiantes. Los estudiantes de pedagoga que tienen un nivel de ansiedad sobre la me-diana asignan peores expectativas de futuro acadmico a nios que tienen dificultades con las matemticas en el colegio, y tambin son ms proclives a recomendar que los nios con dificultades en la asignatura sean enviados a cursos de educacin especial (Martnez, Martnez y Mizala, 2014).

Analizando los resultados de una encuesta sobre ansiedad matemtica en 420 estudiantes chilenos de pedagoga general bsica provenientes de dis-tintas universidades, fue posible constatar que la relacin afectiva hacia las matemticas debe ser un eje relevante en la formacin inicial de profesores. Resulta especialmente llamativo que existen estudiantes con nivel alto de ansiedad matemtica incluso entre quienes toman la mencin especfica en matemticas ( figura 1). Adems, se observ una relacin significativa entre el grado de ansiedad y las creencias hacia las matemticas ( figura 2): los es-tudiantes ms ansiosos son ms cercanos a creer en mtodos de aprendizaje dirigido y ms cercanos tambin a la creencia que caractersticas fijas de las personas determinan su capacidad para aprender matemticas (por ejemplo, que los hombres son mejores que las mujeres, o que la habilidad matemtica no cambia a lo largo de la vida). En conjunto, estos resultados dibujan un desafo doble para la formacin inicial de profesores en Chile: los programas de pedagoga logran disminuir la ansiedad matemtica de los futuros profe-sores?, y por otra parte, se entregan herramientas para que ellos afronten la ansiedad matemtica de sus futuros alumnos?


Figura 1. Porcentaje de estudiantes con y sin mencin en matemticas, segn tramo de ansiedad matemtica

80%

60%

40%

20%

0%

10,40%

26,60%

73,20%

54,10%

16,40%19,40%

Sin mencinCon mencin

100%

Figura 2. Niveles de ansiedad matemtica segn creencias hacia las matemticas

80

60

40

20

0

55,16

66,73

87,95 84,7184,71 83,48

26,43 26,78

43,97 40,18

100

Ansiedad mate-mtica baja

Ansiedad mate-mtica alta

Matemtica como conjunto

de reglas y procedimientos

Matemtica como proceso de indagacin

Aprendizaje dirigido

Aprendizaje activo

Factores de aprendizaje

Nota: puntajes de 0 a 100%, donde mayor porcentaje indica mayor grado de acuerdo con el set de creencias.

Cmo enfrentamos la ansiedad matemtica en la formacin de profesores?

Segn la evidencia disponible, la ansiedad matemtica no es tratada sis-temticamente en la formacin inicial. De acuerdo a una revisin de mallas y programas de pedagoga de 11 universidades chilenas, ninguna inclua men-cin a la ansiedad matemtica en ninguno de sus cursos (Varas et al. 2008). Al analizar los resultados de la encuesta de ansiedad matemtica en estudiantes de pedagoga chilenos, es posible notar que los niveles de ansiedad son pa-rejos entre estudiantes que cursan distintos aos de la carrera ( figura 3). Es decir, tomar y aprobar los cursos de matemtica y pedagoga en matemticas de las carreras no mejora sustantivamente la actitud que los futuros profeso-res tienen hacia la disciplina.

Geometra - REFIP22

Figura 3. Niveles de ansiedad matemtica segn ao en la carrera de pedagoga

80

60

40

20

0

43,09

Ao de la carrera

40,03 42,71 42,3747,31

100

1 2 3 54

Nota: puntajes de 0 a 100%, donde mayor porcentaje indica mayor ansiedad matemtica

En parte, estos dficits para abordar el fenmeno pueden vincularse a la carencia de instrumentos diseados para medir y diagnosticar los niveles de ansiedad matemtica. Si bien la ansiedad matemtica ha sido estudiada por acadmicos norteamericanos desde la dcada de 1970, recin el ao 2013 se valid en espaol un cuestionario para medir ansiedad matemtica y se realizaron las primeras investigaciones sistemticas al respecto en muestras chilenas. La disponibilidad actual de estos instrumentos puede ser un factor clave para generar mayores evidencias y sensibilizar la comunidad educativa nacional sobre la relevancia de la ansiedad matemtica en la educacin esco-lar y la formacin de profesores.


Midiendo la ansiedad matemtica

La preocupacin acadmica por la ansiedad a las matemticas data de la dcada de 1950 en Estados Unidos. Sin embargo el tema comenz a discutirse ms profusamente con la aparicin del primer cuestionario que permiti medir la ansiedad matemtica de manera confiable y objetiva: la escala MARS (Mathematics Anxiety Rating Scale). La escala MARS se compone de 98 tems, cada tem presenta una breve descripcin de comportamientos en situaciones que involucran matemticas y los encuestados deben responder cunto se parece la situacin descrita a su propia realidad. Este instrumento psicomtrico tiene la desventaja de ser muy extenso y requerir considerable tiempo para su aplicacin.

Otros investigadores han desarrollado nuevos instrumentos que buscan mantener la confiabilidad de la medicin utilizando menos preguntas. Ejemplos de estos instrumentos abreviados son la encuesta MARS-R (Alexander & Martray, 1989) y AMAS ( Hopko et al. 2003). Un segundo aspecto a considerar en la medicin de este constructo es que investigaciones recientes postulan que la ansiedad matemtica es un concepto multidimensional: por ejemplo, Alexander & Martray (1989) proponen que la ansiedad matemtica se compone de tres ansiedades relacionadas: ansiedad las pruebas matemticas, a los ejercicios numricos y a las clases de matemticas (Alexander & Martray, 1989).

Por ltimo, los cuestionarios para medir la ansiedad matemtica tambin se diferencian segn la poblacin objetivo que contesta el instrumento. Existen grandes diferencias en las situaciones matemticas que vive un nio de enseanza bsica y las situaciones que enfrenta un estudiante universitario o un adulto. En este sentido, es recomendable escoger un instrumento cuyos tems presentan situaciones que sern verosmiles para los encuestados.

Para acceder a cuestionarios gratuitos en espaol para medir la ansiedad matemtica, se recomienda ingresar al sitio web: http://refip.cmm.uchile.cl/, administrado por el Laboratorio de Educacin del Centro de Modelamiento Matemtico de la Universidad de Chile.

No existe una receta nica para aliviar la ansiedad matemtica, ni una metodologa estndar para abordar la ansiedad matemtica dentro del cu-rrculo de formacin de profesores, pero un necesario primer paso es tomar conciencia del fenmeno y abrir la discusin. A continuacin proponemos una actividad que el acadmico formador de profesores puede utilizar para introducir el concepto de ansiedad matemtica en su curso y estimular una reflexin colectiva.

Geometra - REFIP24

Una actividad modelo para introducir el concepto de ansiedad matemtica en un curso de pedagoga

Objetivos de la actividad: Que los estudiantes conozcan el concepto de ansiedad matemtica y sus causas.

Facilitar en los estudiantes el desarrollo de un autoconcepto positivo en relacin a las matemticas.

Facilitar el intercambio de experiencias entre estudiantes en torno a la ansiedad matemtica

Contexto ideal: Una sesin de clase o taller de un curso de matemticas o didcticas de las matemticas.

Duracin: Entre 70 y 90 minutos de actividades presenciales.


Planificacin de la actividad

Tiempo Contenido ActividadMateriales utilizados

Resultado espe-rado

15 min. Explicacin concepto de ansiedad matemtica y modelo de ci-clo evitativo.

El profesor / relator presenta la historia de un nio que desarrolla ansiedad matemticas. La historia puede ser real o un caso ficticio, pero se debe procurar que incluya detalles y especifique qu experiencias negativas inician el ciclo de evitacin y cmo el ciclo se desarrolla.

Apoyo visual tipo proyec-tor (opcio-nal).

Los estudiantes conocen el con-cepto de ansiedad matemtica y el modelo de ciclo evitativo.

15 - 20 min. Visualizacin de experien-cias previas de partici-pantes.

El profesor entrega las instrucciones de un trabajo personal: los estudian-tes / participantes deben registrar experiencias previas negativas con las matemticas; qu sintieron al tener esa experiencia; qu sienten ahora al recordar la experiencia.

Papeles y lpiz (cada estudiantes / participante).

Los estudiantes historizan el desarrollo de su autoconcepto en relacin a las matemticas.

20 - 25 min. Discusin co-lectiva de las experiencias registradas.

El profesor dirige una discusin grupal e invita a los participantes a contar las experiencias que registraron. Se estimu-la la participacin de los estudiantes y es esperable que se presenten experien-cias similares entre estudiantes, pero que tuvieron reacciones emocionales diferentes. De manera opcional, el pro-fesor puede sugerir que los estudiantes se organicen en grupos que tuvieron experiencias similares.

(no requiere materiales)

Los estudiantes intercambian experiencias en torno a la ansie-dad matemtica.Los estudiantes pueden reconocer que otras personas han tenido expe-riencias similares y se contribuye al desarrollo de un autoconcepto ma-temtico positivo.

5 - 10 min. Visualizacin de situacin actual y metas de desarrollo personal en relacin a las matemticas.

El profesor entrega las instrucciones de un trabajo personal: los estudiantes deben reflexionar individualmente y escribir cul es su sentimiento actual hacia las matemticas y cmo les gustara desarrollarse en el futuro en relacin a las matemticas.

Papeles y lpiz (cada estudiantes / participante).

Los estudiantes plantean su autoconcepto y relacin con las matemticas como algo que se puede desarrollar y mejorar con el tiempo. Se facilita un autoconcepto matemtico positivo.

15 - 20 min. Discusin grupal de las situaciones individuales y propsitos.

El profesor entrega las instrucciones para un trabajo grupal: en cada grupo, los estudiantes comentan los resultados de la actividad previa y discuten distin-tas estrategias para lograr sus propsi-tos en relacin a las matemticas.

(no requiere materiales)

Los estudiantes intercambian expe-riencias y discuten estrategias para superar la ansiedad matemtica.

Geometra - REFIP26

Referencias

Abed ,A. & Alkhateeb, H. (2001) Mathematics anxiety among eighth-grade stu-dents of the United Arab Emirates [abstract]. Psychol Rep, 89:65.

Alexander & Martray (1989) The development of an abbreviated version of the Mathematics Anxiety Rating Scale. In Measurement and Evaluation in Counseling and Development. Volume 22, Issue 3, pp 143-150

Alexander, L., & Martray, C. R. (1989). The development of an abbreviated ver-sion of the Mathematics Anxiety Rating Scale. Measurement and Evaluation in counseling and development.

Antecol, H., Eren, O., & Ozbeklik, S. (2012). The effect of teacher gender on stu-dent achievement in primary school: evidence from a randomized experiment.

Ashcraft, M. H., & Kirk, E. P. (2001). The relationships among working memory, math anxiety, and performance. Journal of experimental psychology: General, 130(2), 224.

Ashcraft, M. H., & Krause, J. A. (2007). Working memory, math performance, and math anxiety. Psychonomic Bulletin & Review, 14(2), 243-248.

Ashcraft, M. H., & Moore, A. M. (2009). Mathematics anxiety and the affective drop in performance. Journal of Psychoeducational Assessment, 27(3), 197-205.

Baloglu, M., & Kocak, R. (2006). A multivariate investigation of the differences in mathematics anxiety. Personality and Individual Differences, 40(7), 1325-1335.

Beilock, S. L., Gunderson, E. A., Ramirez, G., & Levine, S. C. (2010). Female tea-chers math anxiety affects girls math achievement. Proceedings of the Natio-nal Academy of Sciences, 107(5), 1860-1863.

Bessant, K. C. (1995). Factors Associated with Types of Mathematics Anxiety in College Students. Journal for Research in Mathematics Education, 26(4), 327-45.

Betz, N. E. (1978). Prevalence, distribution, and correlates of math anxiety in college students. Journal of counseling psychology, 25(5), 441.

Birgin, O., Balolu, M., atlolu, H., & Grbz, R. (2010). An investigation of mathematics anxiety among sixth through eighth grade students in Turkey. Learning and Individual Differences, 20(6), 654-658.

Bursal, M., & Paznokas, L. (2006). Mathematics anxiety and preservice elemen-tary teachers' confidence to teach mathematics and science. School Science and Mathematics, 106(4), 173-180.

Bush, W. S. (1989). Mathematics anxiety in upper elementary school tea-chers. School Science and Mathematics, 89(6), 499-509. Chinn, S. (2009). Mathematics anxiety in secondary students in England. Dyslexia, 15(1), 61-68.


Chiu, L. H., & Henry, L. L. (1990). Development and validation of the Mathe-matics Anxiety Scale for Children. Measurement and evaluation in counseling and development

Devine, A., Fawcett, K., Szcs, D., & Dowker, A. (2012). Gender differences in mathematics anxiety and the relation to mathematics performance while controlling for test anxiety. Behavioral and Brain Functions, 8(33), 2-9.

Freiberg, M. (2005). Math-that four-letter word!. Academic Exchange Quarterly, 9(3), 7-11.

Gresham, G. (2008). Mathematics anxiety and mathematics teacher efficacy in elementary preservice teachers. Teaching Education, 19(3), 171-184.

Gunderson, E. A., Ramirez, G., Levine, S. C., & Beilock, S. L. (2012). The role of parents and teachers in the development of gender-related math attitudes. Sex Roles, 66(3-4), 153-166.

Hadley, K. M., & Dorward, J. (2011). The Relationship among Elementary Tea-chers' Mathematics Anxiety, Mathematics Instructional Practices, and Student Mathematics Achievement. Journal of Curriculum & Instruction, 5(2).

Hanna, G. (1989). Mathematics achievement of girls and boys in grade eight: Results from twenty countries. Educational Studies in Mathematics, 20(2), 225-232.

Hembree, R. (1990). The nature, effects, and relief of mathematics anxiety.Jour-nal for research in mathematics education.

Hopko, D. R., Mahadevan, R., Bare, R. L., & Hunt, M. K. (2003). The abbreviated math anxiety scale (AMAS) construction, validity, and reliability. Assessment, 10(2), 178-182.

Karp, K. S. (1991). Elementary school teachers' attitudes toward mathema-tics: The impact on students' autonomous learning skills. School science and mathematics, 91(6), 265-270.

Lyons, I. M., & Beilock, S. L. (2012). Mathematics anxiety: Separating the math from the anxiety. Cerebral Cortex, 22(9), 2102-2110.

Martnez, Martnez y Mizala (2014) Pre-service teachers' expectations about student performance: How their beliefs are affected by their mathe-matics anxiety and students gender (Enviado).

Miller, H., & Bichsel, J. (2004). Anxiety, working memory, gender, and math per-formance. Personality and Individual Differences, 37(3), 591-606.

Mitchell, C. (1987). Math anxiety: what it is and what to do about it. Action Press (AZ).

Newstead, K. (1998). Aspects of children's mathematics anxiety. Educational Studies in Mathematics, 36(1), 53-71.

Geometra - REFIP28

Perry, A. B. (2004). Decreasing Math Anxiety in College Students. College Stu-dent Journal, 38(2).

Reavis, P. (1989) Mathematics anxiety and the relationship between attitude, sex, ethnicity and achievement in mathematics in three high school curricu-lum tracks. University of Arizona, PhD thesis;

Richardson, F. C., & Suinn, R. M. (1972). The Mathematics Anxiety Rating Scale: Psychometric data. Journal of counseling Psychology, 19(6), 551.

Robertson, D. (1991). A program for the math anxious at the University of Minnesota. American Mathematical Association of Two Year Colleges, 13(1), 53-60.

Sandman RS (1979) Factors related to mathematics anxiety in the secondary school. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, San Francisco, California.

Scarpello, G. V. (2005). The effect of mathematics anxiety on the course and career choice of high school vocational-technical education students (Doctoral dissertation, Drexel University).

Swars, S. L., Daane, C. J., & Giesen, J. (2006). Mathematics anxiety and mathe-matics teacher efficacy: What is the relationship in elementary preservice tea-chers?. School Science and Mathematics, 106(7), 306-315.

Varas, Felmer, Glvez, Lewin, Martnez, Navarro, Ortiz & Schwarze (2008) Oportunidades de preparacin para ensear matemticas de futuros profe-sores de educacin general bsica en Chile. In Calidad en la Educacin, Issue 29, pp 63-88

Wigfield, A., & Meece, J. L. (1988). Math anxiety in elementary and secondary school students. Journal of Educational Psychology, 80(2), 210.

Woodard, T. (2004). The Effects of Math Anxiety on Post-Secondary Develop-mental Students as Related to Achievement, Gender, and Age. Inquiry,9(1), n1.

Yksel-ahin, F. (2008). Mathematics Anxiety Among 4th And 5th Grade Tur-kish Elementary School Students. International Electronic Journal of Mathe-matics Education, 3(3).

Woodard, T. (2004). The Effects of Math Anxiety on Post-Secondary Deve-lopmental Students as Related to Achievement, Gender, and Age. Inquiry 9(1), n1.

Geometra

Este texto es parte de la coleccin Re-FIP: Recursos para la Formacin Inicial de Profesores que se basa en los Estndares Orientadores para egresados de carreras de Pedagoga en Educacin Bsica. En este sentido los textos de esta coleccin recono-cen los contenidos disciplinares presentes en los estndares y se desarrollan con el ob-jeto de formar un profesor de Educacin B-sica competente en el rea de Matemtica.

Dado que los Estndares proponen cuatro ejes de conocimiento en el rea de matemtica, la coleccin de Textos ReFIP considera estos cuatro ejes y los desarrolla en cuatro Textos: Nmeros, Geometra, lgebra y Datos y Azar.

jeto de formar un profesor de Educacin B-sica competente en el rea de Matemtica.

Dado que los Estndares proponen cuatro

Geometra - REFIP32

1. Estructura del texto

Contenido organizado en Captulos y seccionesLos textos ReFIP estn divididos en captulos y estos en secciones. Algu-

nas secciones tienen subsecciones para analizar con mayor detalle los con-tenidos que se desprenden de ella.

Introduccin y presentacin del contenidoCada captulo aborda de manera sistemtica y profunda los contenidos

disciplinarios de cada eje. Para esto se introduce al lector en el tema mediante ejemplos o una discusin general de los contenidos que abordar el captulo.


Reflexin sobre las dificultades y errores que surgen al abordar el contenido.

Una de las tareas profesionales que cada profesor tiene al ensear un conteni-do es reflexionar sobre los posibles errores y dificultades que un estudiante podra presentar al abordarlo. Por esta razn los textos ReFIP presentan al lector, en cada uno de los captulos, algunos errores aso-ciados al contenido que se trata en ste.

En resumen

Los textos ReFIP presentan un cuadro que resume los contenidos abordados en cada una de las secciones o subsecciones.

Ejercicios y problemas en cada seccin

Para practicar y consolidar el conoci-miento, al finalizar cada seccin, los textos ReFIP presentan un listado de ejercicios y problemas.

Ejemplos

Para una mayor comprensin de los contenidos, los textos muestran ejemplos de actividades o tareas que se desprenden de los ya tratados.

Para pensar

Para generar discusiones o reflexionar sobre los contenidos ya tratados, o los que vienen, los textos ReFIP proponen activi-dades Para pensar.

Para pensar

En la enseanza bsica se trabajan dos tipos de tareas matemticas: comparar longitudes y medir longitudes. Qu tarea estudiara primero con los nios y nias del primer ciclo bsico? Justifique.

Geometra - REFIP34

2. Contenidos del texto de GeometraEste libro est dividido en dos partes, la primera llamada Geometra

Intuitiva, y la segunda Geometra Deductiva.

La primera parte del libro se organiza en cinco captulos. El primero de ellos aborda el tema de medicin. Si bien este no es un tema propio de la geometra, tal cual la conocemos hoy, introduce ideas importantes como unidades no estandarizadas y estandarizadas de longitud, rea y volumen. El segundo captulo, llamado Nociones geomtricas bsicas, introduce los conceptos bsicos de geometra, como son punto, recta, plano, superficie, ngulo, polgonos, en particular tringulos y cuadrilteros, crculo y circun-ferencia. Las isometras y construcciones se abordan en el captulo tercero; en l se introducen las traslaciones, reflexiones y rotaciones, se reflexiona respecto de las diferentes representaciones de ellas, hay una seccin completa dedicada a visualizacin en dos dimensiones y se introducen las herramientas propias de la geometra, como son: el comps, la regla y la escuadra. En este captulo se hacen las primeras construcciones con regla y comps, aunque la justificacin de por qu estas son correctas se estudia en la segunda parte del libro. El cuarto captulo, dedicado al rea y Permetro de figuras planas, no hace un estudio axiomtico del asunto, sino que intenta mostrar por qu es razonable pensar que el rea del rectngulo es el producto de la medida de sus dimensiones lineales, para luego mostrar cmo a partir de esto se pueden deducir el rea de otras figuras. Un caso particularmente importante es el estudio del permetro de la circunferencia y el rea del crculo, lo cual se hace en forma aproximada, sin llegar a usar nociones de lmite. El ltimo captulo de esta primera parte se refiere al estudio de cuerpos en tres dimensiones, se introducen las primeras definiciones e ideas, una seccin completa est dedicada a la visualizacin y representacin plana de cuerpos. Al final de ese captulo se calculan el volumen y el rea de algunos cuerpos geomtricos.

La segunda parte del libro presenta la geometra desde un punto de vista deductivo. Esta parte del libro est ordenada en cuatro captulos. El captulo seis, Razonamiento en Geometra, introduce el pensamiento deductivo en contraposicin con el pensamiento inductivo. Se presenta la idea de demos-tracin en matemtica, sin adentrarse en lgica formal y se dan las primeras ideas de la construccin formal de la geometra. El captulo siete, est dedi-cado a congruencia de tringulos principalmente; en este captulo se hacen las primeras demostraciones basadas en axiomas, conceptos primitivos y definiciones. En el captulo ocho, Paralelismo y cuadrilteros, se hace una muy breve discusin acerca del postulado de las paralelas, o quinto postulado de Euclides, para luego pasar a estudiar sus consecuencias, como son, que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180 y propiedades de para-lelogramos. Para finalizar, en el ltimo captulo del libro, el noveno, llamado Proporcionalidad en Geometra, se estudian dos importantes teoremas: el de Pitgoras y el de Tales. Se introduce la idea de tringulos semejantes, y se aplican estos resultados al clculo de volmenes de cuerpos, y a la verificacin


que las traslaciones, rotaciones y reflexiones efectivamente preservan dis-tancias y ngulos. Adems se obtienen resultados de proporcionalidad entre elementos de la circunferencia.

3. Bibliografa usadaPara elaborar el texto consultamos distintos libros y documentos. Las referencias utilizadas son

las siguientes:

Beckmann, S. Mathematics for elementary teachers. 2a edicin. Editorial Pearson Education. USA. 2008.

Chamorro, M. Didcticas de las matemticas. Editorial Prentice Hall. Espaa. 2003.

Clemens, S. ODaffer, P. Cooney,T. Geometra. Addison Wesley Longman. Mxico D.F. Mxico. 1999.

Cross, C., Woods, T,.Schweingruber (Eds.). Mathematics learning in early chilhood. Paths towards excellence and equity. Commitee on early childhood mathematics, Center for Educa-tion, Division of Behavioral and Social Sciences and Education. National Research Council of National Academies. Washington D.C. USA. 2009.

Euclides. Elementos de geometra de Euclides. Universidad Autnoma de Mxico. Mxico. 1944. Lewin, R., Lpez, A., Martnez, S., Rojas, D., Zanocco, R. Nmeros. Coleccin ReFIP: Recursos para la formacin de profesores de educacin bsica. Ediciones SM Chile. Santiago, Chile. 2014.

Ma, L. Conocimiento y enseanza de las matemticas elementales la comprensin de las ma-temticas fundamentales que tienen los profesores en China y los EE.UU. Academia Chilena de Ciencias. Santiago, Chile. 2010

Martnez, S., Varas, M., lgebra. Coleccin ReFIP: Recursos para la formacin de profesores de educacin bsica. Ediciones SM Chile. Santiago, Chile. 2014.

Ministerio de Educacin. Gobierno de Chile. Estndares orientadores para egresados de carre-ras de Pedagoga en Educacin Bsica. 2011. Disponible en: http://www.mineduc.cl/usuarios/ cpeip/File/2012/librobasicaokdos.pdf

Ministerio de Educacin. Gobierno de Chile. Bases Curriculares de 1o a 6o Bsico. 2013. Dis-ponible en: http://www.mineduc.cl/index5_int.php?id_portal=47&id_contenido=17116&id_ seccion=3264&c=1

Musser, G. Burger, W., Peterson, B. Mathematics for Elementary Teachers. A contemporary Approach. Sixth Edition. John Wiley & Son.USA. 2003.

Parker, P., y Baldridge, S. Elementary geometry for teachers. Editorial Sefton-Ash Publishing. USA. 2008.

Sowder, J., Sowder, L. y Nickerson S. Reconceptualizing mathematics for elementary school teachers: Instructors Edition. Editorial W. H. Freeman and Company. New York. USA. 2009.

Van de Walle, J. Elementary & Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. 6ta Edicin. Editorial Pearson / Allyn and Bacon. USA. 2007.

Yee, L.-P., Lee, N.-H. (Eds.). Teaching primary school mathematics. A resource book. 2a Edicin. Editorial Mc Graw Hill Education. Asia. 2009.

Geometra - REFIP36

A continuacin describimos el aporte de algunos de ellos.

El libro Mathematics Learning in Early Chilhood. Paths Towards Ex-cellence and Equity, en su seccin 6 titulada The teaching-Learning Paths for geometry, Spatial Thinking and Measurement, muestra el resultado de una amplia revisin bibliogrfica actualizada (el libro es del ao 2009), dedicada a la geometra, pensamiento espacial y medicin, en nios de 2 a 6 aos. Algu-nos de los resultados presentados fueron incluidos en el Captulo I, en el Ca-ptulo III y en el Captulo V, en la seccin que trata la visualizacin. Este libro es una buena referencia, pues compendia mucha investigacin relacionada con el aprendizaje de la matemtica en la primera infancia. No es un libro que presente ejemplos, ni tampoco sugerencias didcticas, sino que corresponde a un libro de consulta para investigadores y acadmicos.

El libro de Mara del Carmen Chamorro fue consultado en sus Captulos 8 y 9, aquellos dedicados a Medicin. Es un libro que tiene una carga terica importante y sigue una escuela didctica claramente expuesta en todos sus captulos. En particular para nuestro libro, hemos destacado el anlisis que se hace de los obstculos, dificultades y errores en el tema de medicin. Algu-nos de los obstculos declarados en el libro de la profesora Chamorro, fueron tomados en cuenta en la escritura de nuestro Captulo I.

El texto de Parker y Baldridge es un muy buen libro para la formacin inicial en geometra de profesores de Educacin Bsica, dedicado al cono-cimiento disciplinar. No aborda mtodos de enseanza, sin embargo, los objetos geomtricos son analizados desde la perspectiva de un profesor de enseanza bsica. Es un libro diseado para ser usado en comunin con las versiones norteamericanas de los libros usados en las escuelas primarias de Singapur, por lo tanto, la mayora de los ejemplos son extrados de aquellos textos. Este libro fue consultado para casi todos los captulos de nuestro texto ReFIP, muy particularmente en la seccin 4 del Captulo V dedicada al volu-men de cuerpos geomtricos.

Al igual que el libro de Parker y Baldridge, el libro de Sybilla Beckmann, es un libro totalmente dedicado a la formacin inicial en matemtica de profesores de Educacin Bsica. En su libro hay cuatro captulos dedicados a geometra y medicin. El Captulo 4, est dedicado a definiciones y propie-dades de objetos geomtricos en dos y tres dimensiones, adems de cons-trucciones con regla y comps. Este captulo fue considerado para escribir nuestros Captulo II, Captulo III y Captulo V. El captulo 9 del libro de la profe-sora Beckmann se dedica a isometras, congruencia y semejanza, e influy en nuestro Captulo III y Captulo IX. El dcimo captulo del libro de Beckmann est dedicado a medicin, algunas de sus presentaciones fueron consideradas en nuestro Captulo I. Finalmente el captulo 11 profundiza en la medicin


de rea y volumen, particularmente el principio de Cavalieri es un tema muy bien tratado en su libro, este captulo tuvo influencia en los captulos IV y V de nuestro texto.

El libro de Van de Walle es un libro tambin dedicado a la enseanza y aprendizaje de la matemtica, al igual que los dos anteriores, es muy utiliza-do en EE.UU para la formacin inicial de profesores de Educacin Bsica. Se diferencia de los anteriores en que est ms dedicado a la enseanza. Posee variados ejemplos de enseanza, entrega recomendaciones prcticas, anali-za actividades de aula y discute acerca de cmo los nios y nias resuelven problemas o se enfrentan a la matemtica en general. Los captulos 19 y 20 de su libro estn dedicados a medicin y geometra, respectivamente. En su Captulo 20 Van de Walle hace un anlisis de las etapas de Van Hiele y sus implicaciones en la enseanza, lo cual puede ser interesante analizar en un curso de didctica de la geometra. El libro de Van de Walle fue consultado para escribir toda la primera parte de nuestro texto.

El libro Elementos de Geometra de Euclides es una referencia obli-gada para quien se proponga escribir un libro de geometra euclidiana. En muchos casos sus definiciones no son las que usamos hoy, pero es interesante conocer las pretensiones de Euclides al escribir sus Elementos. Por ejemplo, la nocin de ngulo est dada para rectas, y dice que el ngulo entre dos rectas es la inclinacin de dos rectas. Si bien no es fcil trabajar matemticamente con esa definicin, da una idea de ngulo que es muy iluminadora a la hora de entender lo que quera estudiar Euclides del ngulo entre rectas. Pareciera ser que Euclides escribe su libro para justificar construcciones con regla y comps, sus demostraciones son muy interesantes y muy elegantes, pero a veces ridas, es por ello que no hemos dado las demostraciones de Euclides en nuestro libro, sino que otras ms simples. Este libro, fue referencia para escribir toda la segunda parte de nuestro libro.

Finalmente el libro clsico de Clemens, ODaffer y Cooney nos sirvi para organizar la segunda parte de nuestro Texto. Es un libro de geometra pura, que no est pensado para la formacin de profesores de ningn nivel. Tiene una forma de presentar las demostraciones que fue muy popular en el siglo pasado, que es las demostraciones a doble columna. Hemos decidido no re-petir ese formato, pues creemos que se puede volver algo mecanizado. A cam-bio, hemos decidido comentar las demostraciones, mostrando las principales ideas y estrategias de demostracin en cada caso. Este libro nos sirvi para ordenar toda la segunda parte de nuestro libro.

Geometra - REFIP38

Los documentos que usamos como marco para decidir los contenidos que se incluiran en nuestro texto fueron:

Ministerio de Educacin. Gobierno de Chile. Estndares orientadores para egresados de carreras de Pedagoga en Educacin Bsica. 2011. Disponible en:

http://www.mineduc.cl/usuarios/cpeip/File/2012/librobasicaokdos.pdf

Ministerio de Educacin. Gobierno de Chile. Bases Curriculares de 1 a 6 Bsico. 2013.

Disponible en:

http://www.mineduc.cl

Adems de estos textos y documentos usamos algunos otros recursos

1) Los estudios de TIMSS realizados para Chile y publicados por el MINEDUC. Los cuales cuentan con anlisis de datos, de encuestas de profesores y tambin de tems liberados. Los cuales estn disponibles en:

http://www.agenciaeducacion.cl/estudios-e-investigaciones/estudios-internacionales/timss-estudio-internacional-de-tendencias-en-matematica-y-ciencias/

2) Tambin revisamos los documentos relativos a la prueba PISA, tanto nacio-nales como internacionales. En ellos tambin se encuentran tems libera-dos, pero adems se muestran las categoras de competencias de la prueba. Los documentos estn disponibles en:

http://www.agenciaeducacion.cl/estudios-e-investigaciones/estudios-internacionales/pisa-programme-for-international-student-assessment/

4. Articulacin del texto con los Estndares Orientadores Para Egresados de Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica

Durante la escritura de las versiones preliminares de los textos de esta coleccin, y en las sucesivas correcciones, se tuvieron en consideracin los Es-tndares Orientadores para Egresados de Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica de Matemtica. Los indicadores del tipo disciplinar (de la dimensin Conocimiento especializado del contenido matemtico) estn cubiertos casi en su totalidad, salvo algunas omisiones correspondientes a temas que exce-den el currculum escolar.

Por otra parte, solo fueron abordados manera tangencial en los textos ReFIP los indicadores de carcter pedaggico, por ejemplo, aquellos relacio-nados con anlisis y diseo de evaluaciones, conocimiento del currculum, psicologa del aprendizaje, anlisis y elaboracin de actividades, historia de la matemtica, uso de software, uso de textos escolares, entre otros.


A continuacin se presentan dos tipos de tabla: en la primera se presenta la lista de estndares e indicadores, y se indica si est cubierto en los textos ReFIP y donde. En la segunda, para cada captulo y seccin del texto se indica el o los estndares que se abordan.

Estndar e indicador ReFIP (G= texto de Geometra)

Estndar 7: Es capaz de conducir el aprendizaje de las formas geomtricas.

1. Visualiza proyecciones, cortes transversales y descomposiciones de objetos comunes de dos y de tres dimensiones.

GV.3

2. Representa figuras de tres dimensiones en dos dimensiones y visualiza ob-jetos de tres dimensiones a partir de representaciones en dos dimensiones.

GV.3

3. Reconoce y elabora redes para construir slidos geomtricos que son mate-ria de estudio en el currculo escolar.

GV.3

4. Resuelve problemas que involucran la visualizacin de cuerpos y figuras geomtricas.

GV.3

5. Identifica elementos del currculo escolar vigente en relacin a visualizar figuras y cuerpos.

6. Planifica actividades orientadas a la representacin, en dos dimensiones, de cuerpos geomtricos.

7. Reconoce las posibles dificultades que tienen los alumnos y alumnas en la visualizacin de cuerpos geomtricos.

GV.6

8. Propone actividades que favorecen el aprendizaje de alumnos de los primeros aos, en relacin al reconocimiento de formas geomtricas de su entorno y su descripcin mediante lenguaje geomtrico bsico.

9. Usa materiales didcticos, tales como: textos, fichas y guas de ejercicios con sentido crtico. Es capaz de explicitar los objetivos matemticos de las actividades propuestas en estos materiales, detectar errores, defectos e imprecisiones en el material, corrigindolos para poder utilizarlos de manera provechosa.

10. Incorpora TIC como medio de apoyo para desarrollar en los estudiantes la capacidad de visualizar.

11. Disea actividades de evaluacin que permiten determinar la capacidad de los estudiantes para visualizar cuerpos y figuras geomtricas.

12. Disea formas de evaluar procedimientos y estrategias basadas en la visualizacin, utilizados por alumnos y alumnas para predecir o estimar.

Estndar 8: Es capaz de conducir el aprendizaje de las figuras planas.

1. Resuelve problemas que involucran el conocimiento de propiedades de figuras planas.

GII.3

2. Conoce y utiliza propiedades bsicas acerca de ngulos. GII.2, GVI.4

3. Sabe realizar construcciones bsicas con regla no graduada y comps, explicando la validez del procedimiento.

GVI.3

4. Utiliza procedimientos bsicos de construcciones con regla no graduada y comps para obtener elementos ms complejos.

GVI.3, GVII.4

5. Comprende el rol que juegan las definiciones precisas y sintticas y las utiliza apropiadamente.

GVI.1

Geometra - REFIP40

6. Dispone de algn marco terico que le permita reconocer las distintas etapas en el pensamiento geomtrico de los nios y nias y las dificultades que se presentan en ellos.

7. Reconoce la importancia de las construcciones con regla no graduada y comps, y sus ventajas frente a construcciones con regla graduada y el transportador. Conoce las limitaciones tcnicas que supone esta ltima.

8. Identifica elementos del currculo escolar relacionados con figuras geom-tricas bsicas, sus elementos principales y las relaciones existentes entre ellas.

9. Planifica actividades orientadas a la adquisicin de los conceptos de pol-gono y sus elementos principales.

10. Comprende las dificultades que tienen los nios y nias con las definicio-nes en geometra, sabe como introducirlas y evaluar su comprensin.

11. Reconoce concepciones errneas que adquieren los nios y nias de primer ciclo bsico, que no les permiten distinguir las caractersticas esen-ciales de las figuras geomtricas bsicas, incluyendo la orientacin y otros atributos que limitan los conceptos.

GII.3.

12. Conoce las dificultades de los nios y las nias para adquirir y emplear el concepto de ngulo y cuenta con estrategias para superarlas.

GII.3

13. Disea actividades de indagacin que lleven a sus alumnos a realizar con-jeturas y demostraciones basadas en contraejemplos, acerca de teoremas y propiedades geomtricas de las figuras bsicas.

14. Planifica actividades con materiales concretos, que permitan a los estu-diantes conjeturar propiedades geomtricas

15. Planifica actividades que involucren el uso de regla graduada, comps, escuadra y transportador para la construccin de figuras planas.

16. Utiliza materiales concretos para organizar actividades de aprendizaje para el tema de figuras planas.

17. Prepara evaluaciones de aprendizaje que le permiten reconocer el grado de logro de los objetivos fundamentales referidos a propiedades de figuras planas.

Estndar 9: Est preparado para conducir el aprendizaje de conceptos y aplicaciones de la medicin.

1. Entiende que las mediciones son aproximaciones y que la utilizacin de di-ferentes instrumentos de medicin puede afectar la precisin. Sabe estimar los errores de medicin.

GI.1, G1.2

2. Sabe utilizar el Sistema Mtrico Decimal (metro, segundo, kilogramo, grado Kelvin).

GI.3

3. Tiene familiaridad con unidades de medicin de uso corriente distintas a las del Sistema Mtrico Decimal y establece equivalencias con ste.

GI.3

4. Entiende de qu manera un error en una medicin lineal afecta el clculo de superficies y volmenes.

GI.3

5. Reconoce la independencia entre peso, masa y volumen y los reconoce como atributos invariantes bajo condiciones normales. Conoce la progre-sin del tema de medicin en el currculum escolar vigente.

GI.3

6. Propicia la articulacin entre la Matemtica y las Ciencias Naturales en relacin al tema de la medicin.


7. Planifica y disea actividades para que sus alumnos conozcan las unidades de medida de uso cotidiano y aprendan a usar los instrumentos de medi-cin apropiados.

8. Reconoce la secuencia en la que los alumnos adquieren la nocin de invariabilidad del peso, masa y volumen de un objeto dctil al cambiar su forma y, adems, es capaz de disear actividades adecuadas para obtener este logro.

9. Reconoce errores frecuentes cometidos por los alumnos al realizar medi-ciones y disea actividades para remediarlos.

10. Disea actividades de indagacin que permitan estimar el volumen de objetos que no pueden ser medidos directamente.

11. Disea actividades que lleven a sus estudiantes a medir, comparar y estimar, utilizando unidades no estndar. Formula preguntas que permitan que sus alumnos y alumnas comprendan la necesidad de usar unidades estandarizadas.

12. Selecciona y utiliza recursos didcticos adecuados para el aprendizaje de conceptos referidos a medicin.

13. Disea actividades de evaluacin del aprendizaje de los estudiantes en el uso de unidades de medidas estandarizadas y no estandarizadas, de estimacin e invariabilidad de atributos fsicos.

Estndar 10: Est preparado para conducir el aprendizaje de los conceptos de permetro, rea y volumen.

1. Resuelve problemas que involucran el clculo de reas y permetros de figuras planas.

GIV.1, GIV.2

2. Resuelve problemas que involucran el clculo de volmenes. GV.4

3. Resuelve problemas que involucran la estimacin de reas de figuras no poligonales.

GIV.1

4. Calcula permetros y reas de figuras mediante frmulas, descomposicin en figuras ms simples (cuadrados, rectngulos y tringulos rectngulos) o transformndolas mediante movimientos rgidos en otras figuras simples.

GIV.2

5. Calcula volmenes y reas de cuerpos mediante frmulas y descomposi-cin en cuerpos ms simples.

GV.4

6. Analiza el efecto de la variacin de las medidas lineales en el rea y el volu-men de un cuerpo.

7. Comprende y sabe justificar la validez de las frmulas de rea de figuras planas bsicas: tringulo, paralelogramo, trapecio y crculo.

GIV.1

8. Relaciona contenidos de geometra del Currculo Escolar correspondientes a enseanza bsica con contenidos de enseanza media. Identifica elemen-tos del currculo de geometra de estos niveles que son importantes para los subsectores de Ciencias Naturales y de Historia, Geografa y Ciencias Sociales.

9. Planifica actividades orientadas a la comprensin, por parte de los nios y las nias, de los conceptos de rea, permetro y volumen.

10. Reconoce las dificultades inherentes y los errores frecuentes que cometen los estudiantes al tratar de calcular el permetro y rea de figuras planas.

Geometra - REFIP42

11. Plantea problemas que estimulan a los alumnos y alumnas a formular, comprobar o refutar conjeturas acerca de reas y permetros de figuras planas.

12. Dispone de estrategias para ensear a calcular reas de figuras mediante frmulas o descomposicin en figuras ms simples (cuadrados, rectngulos y tringulos rectngulos).

13. Utiliza TIC para conducir actividades de indagacin en el tema de reas y permetros.

14. Es capaz de utilizar el texto escolar en forma efectiva y con sentido crtico.

15. Prepara evaluaciones que le permiten reconocer en sus estudiantes el grado de logro de los objetivos fundamentales relativos al clculo de per-metros de figuras planas.

Estndar 11: Demuestra competencia disciplinaria en el eje de geometra.

1. Conoce y utiliza las transformaciones isomtricas para resolver problemas. GIII.1

2. Utiliza teoremas clsicos de geometra en diversas aplicaciones y en la resolucin de problemas.

3. Desarrolla estrategias para resolver problemas desafiantes relativos a la determinacin de volmenes y reas de cuerpos y figuras geomtricas, justificando su validez.

4. Analiza el efecto de variaciones o errores de medicin de longitudes, reas y volmenes.

5. Utiliza regla no graduada y comps para realizar transformaciones isom-tricas y homotecias de figuras planas.

GIII.3

6. Conoce el Teorema de Thales y lo utiliza para justificar propiedades en tringulos.

GIX.2

7. Conoce las definiciones de circunferencia y crculo como lugares geom-tricos. Conoce tambin las definiciones de algunos elementos tales como: radio, dimetro, arco, cuerda, secante y tangente.

8. Conoce las relaciones entre los ngulos formados por una secante a rectas paralelas y las utiliza para justificar propiedades en tringulos y paralelo-gramos.

GII.2

9. Conoce el Teorema de Pitgoras y su recproco, es capaz de fundamentarlos y utilizarlos en problemas.

G.IX.1

10. El futuro profesor conoce el origen histrico de la geometra euclidiana, sus objetivos originales y sus aplicaciones.

11. Valora la contribucin de la geometra euclidiana al desarrollo de las personas y de la vida diaria.

12. Conoce estrategias de trabajo colaborativo que le permiten profundizar sus conocimientos de Matemticas y mejorar su prctica de aula.

13. Posee elementos de metodologa de la enseanza de la matemtica que tienen asidero en evidencias empricas y/o tericas.


ESTNDAR

Captulo I. Medicin en educacin bsica

1. Significado y proceso de medir E9-I1-2-3

2. Conceptos y habilidades de medicin

3. Medicin de distintas magnitudes E9-I3-4-5

Captulo II. Nociones geomtricas bsicas

1. Nociones primitivas

2. Primeras definiciones E8-I2, E11-I2

3. Figuras planas E8-I1-11-12,E11-I1-5

Captulo III. Isometras y construcciones

1. Isometras E11-I1

2. Visualizacin

3. Construcciones geomtricas E11-I3

Captulo IV. rea y permetro

1. rea de figuras planas E10-I1-3-7

2. Permetro E10-I2-4

3. Permetro de la circunferencia y rea del crculo

Captulo V. Cuerpos geomtricos

1. Posicin relativa de elementos en el espacio

2. Cuerpos slidos

3. Visualizacin E7-I1-2-3-4

4. Volumen de cuerpos geomtricos E10-I2-5

5. rea superficial de cuerpos

6. Dificultades asociadas a la enseanza de cuerpos geomtricos E7-I7

Captulo VI. Razonamiento en geometra

1. Razonamiento matemtico E8-I5

2. Primeros conceptos primitivos, axiomas y definiciones

3. Construcciones con regla y comps E8-I4

4. Separacin del plano, ngulos y perpendicularidad E8-I2

Captulo VII. Tringulos

1. Definiciones

2. Concepto de congruencia. Criterios de congruencia de tringulos

3. Propiedades bsicas de los tringulos: el tringulo issceles

4. Algunas construcciones geomtricas E8-I4

5. Desigualdades en el tringulo

Captulo VIII. Paralelismo y cuadrilteros

1. Demostraciones por contradiccin

2. Rectas intersecadas por una transversal

3. Consecuencias del postulado de las paralelas

4. Paralelogramos

5. Teoremas de concurrencia en tringulos

Geometra - REFIP44

Captulo IX. Proporcionalidad en geometra

1. El Teorema de Pitgoras y su recproco E11-I9

2. Teorema de Tales y semejanza de tringulos E11-I6

3. Semejanza de tringulos

4. Aplicaciones del Teorema de Pitgoras y del Teorema de Tales

5. Ejemplos de ejercicios o problemas del texto de lgebra vinculados a los estndares orientadores para egresados de carreras de pedagoga en educacin bsica

Los Estndares Orientadores para Egresados de Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica son un instrumento eficaz en la planificacin y evalua-cin de los cursos de matemtica en la formacin de los futuros profesores de Educacin Bsica. En particular, la evaluacin de aprendizajes se puede realizar en trminos formativos, durante el proceso de estudio de un conte-nido matemtico; y en trminos sumativos, al final del proceso, para medir el logro alcanzado por los estudiantes. Para ambos propsitos, los indicadores que especifican lo que se pretende lograr en cada estndar orientan la cons-truccin de instrumentos o actividades de evaluacin.

Los textos ReFIP proporcionan oportunidades para vincular los Estndares a la formacin inicial docente, a travs de ejercicios, ejemplos e incluso a travs de los Para pensar. Estas instancias permiten monitorear los logros de aprendizaje de los estudiantes de pedagoga, respondiendo a las exigencias de los Estndares.

A continuacin veremos algunos ejemplos extrados del texto para cada Estndar del eje lgebra, sealando adems el indicador asociado


Estndar 7: Es capaz de conducir el aprendizaje de las formas geom-tricas.

Indicador 1: Visualiza proyecciones, cortes transversales, y descom-posiciones de objetos comunes de dos y de tres dimensiones.

Ejemplo 1

Extrado del Captulo V, seccin 4.

Pg. 188

Estndar 8: Es capaz de conducir el aprendizaje de las figuras planas.

Indicador 1: Resuelve problemas que involucran el conocimiento de propiedades de figuras planas.

Ejemplo 1

Extrado del Captulo VII, seccin 3.

Pg. 322

Geometra - REFIP46

Indicador 5: Comprende el rol que juegan las definiciones precisas y sintticas y las utiliza apropiadamente.

Ejemplo 1

Extrado del Captulo VII, seccin 3.

Pg. 287

Estndar 9: Est preparado para conducir el aprendizaje de conceptos y aplicaciones de la medicin.

Indicador 1: Entiende que las mediciones son aproximaciones y que la utilizacin de diferentes instrumentos de medicin puede afectar la precisin. Sabe estimar los errores de medicin.

Ejemplo 1

Indicador 2: Sabe utilizar el Sistema Mtrico Decimal (metro, segun-do, kilogramo, grado Kelvin).

Ejemplo 1

Extrado del Captulo I, seccin 3.

Pg. 32

Extrado del Captulo I, seccin 3.

Pg. 46


Estndar 10: Est preparado para conducir el aprendizaje de los con-ceptos de permetro, rea y volumen.

Indicador 3: Resuelve problemas que involucran la estimacin de reas de figuras no poligonales.

Ejemplo 1

Indicador 4: Calcula permetros y reas de figuras mediante frmulas, descomposicin en figuras ms simples (cuadrados, rectngulos y tringulos rectngulos) o transformndolas mediante movimientos rgidos en otras figuras simples.

.

Ejemplo 1

Extrado del Captulo IV.

Pg.: 167

Extrado del Captulo IV, seccin 1.

Pg. 149

Geometra - REFIP48

Estndar 11: Demuestra competencia disciplinaria en el eje de geometra.

Indicador 2: Utiliza teoremas clsicos de geometra en diversas aplica-ciones y en la resolucin de problemas.

Ejemplo 1

Indicador 5: Utiliza regla no graduada y comps para realizar transfor-maciones isomtricas y homotecias de figuras planas.

Ejemplo 1

Extrado del Captulo IX, seccin 2.

Pg. 404

Extrado del Captulo III.

Pg. 130

6. Articulacin del texto con las bases curriculares de matemtica de 1 a 6 bsico

Desde la elaboracin de las primeras versiones de los textos se tuvo en consi-deracin el Currculum escolar. Los Objetivos de Aprendizaje estn cubiertos casi en su totalidad, llegando ms all de los contenidos que segn estos objetivos se deben abordar en la Educacin Bsica. Asimismo, a travs de los diferentes ejerci-cios, problemas y actividades propuestas en el texto se potencia el desarrollo de las cuatro habilidades establecidas en el Currculum: Resolver problemas, Argumentar y Razonar, Representar y Modelar.

Por otra parte, en cada captulo del texto se potencia el uso de diferentes tipos


de representacin, pictricas y simblicas; y en los temas en que es pertinente, se describe el uso de material concreto al estudiar el contenido m

geometria final

Documents