proyecto final geometria

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – MARZO/2015

PROYECTO FINAL

I. PORTADAUNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL“PROYECTO ACADÉMICO DE FIN DE SEMESTRE”

Título: Resolución de Ejercicios de Ángulos, Triángulos y Congruencias.Carrera: Ingeniería Industrial en Procesos de Automatización.Área Académica: Ciencias Básicas y AplicadasLínea de Investigación: Línea de la CarreraCiclo Académico y Paralelo: Primero “A” IndustrialAlumnos participantes: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Módulo y Docente: Geometría Plana y Trigonometría Ing. Giovany Vega

II. INFORME DEL PROYECTO1. PP2. YY

2.1 Título

Resolución de Ejercicios de Ángulos, Triángulos y Congruencias.

2.2 Objetivos

Mediante el desarrollo de este proyecto se pretenden lograr los siguientes objetivos:

Resolver ejercicios propuestos de ángulos, triángulos y congruencias. Interactuar mediante videos el proceso de resolución de cada ejercicio. Identificar los procesos más claros y precisos que conllevan a la resolución

de los ejercicios.

2.3 Resumen

En este proyecto lo que se quiere demostrar es que por medio del conocimiento de los teoremas que encontramos en cada uno de los temas (ángulos, triángulos y congruencias) podremos aplicarlos en cada uno de los ejercicios que se proponen para así poder realizar correctamente la resolución no necesariamente aplicando los teoremas con respecto al tema, ya que es necesario a veces usar los teoremas de otros temas para solucionar problemas de temas diferentes.

2.4 Palabras clave: (Ángulo, Triángulo, Congruencia, Ecuaciones, Funciones, trigonométricas.)

2.5 Introducción

El proceso para poder realizar la resolución de los problemas tanto de ángulos, triángulos y congruencias; no tienen una sola manera de hacerlo ya que para ello se necesitas tener los conocimientos previos de todos y cada uno de los teoremas



que cada tema posee, ya que sin estos conocimientos no se podría llegar a dar solución.

No existen pasos fijos para considerar al momento de comenzar con la solución del ejercicios, debido a que los teoremas son muchos y si queremos y podemos, se aplicaran todos los teoremas, caso contrario se pueden suprimir pasos que no son necesarios para así llegar a la solución de manera rápida y precisa.

2.6 Materiales y Metodología

2.6.1 Marco Teórico

2.6.1.1 Ángulos: [1]

Es una figura geométrica formada por dos rayos con el mismo origen.

2.6.1.2 Ángulo Complementario:

Son dos ángulos cuyas sumas de medidas es igual a 90º.

2.6.1.3 Ángulo Suplementario:

Son dos ángulos cuyas sumas de medidas es igual a 180º

2.6.1.4 Ángulos formados en dos rectas cortadas por una transversal.

Internos: 3, 4, 5, 6.Externos: 1, 2, 8, 7.Alternos internos: 3 5, 4 6.Alterno Externo: 1 7, 2 8.



Correspondiente: 1 5, 2 6, 4 8, 3 7.Conjugados internos: 4 5, 3 6.Conjugados externos: 1 8, 2 7.

TEOREMAS:

Teorema 1:

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Teorema 2:

Alternos internos: 3 5, 4 6.Alterno Externo: 1 7, 2 8.Correspondientes: 1 5

Teorema 3:

Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares entre sí.

Teorema 4:



Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.

Teorema 5:

1 2 4

5 3

1=31+5=180

2.6.2 TRIÁNGULOS: [2]

Figura geométrica que consta de tres lados resultado de la unión de tres puntos colienales. Es el conjunto de espacio completo que se cortan entre dos en un mismo plano.

2.6.3 Clasificación:

2.6.3.1 Por sus lados:

Triángulo Equilátero: Sus tres lados son iguales.



Triángulo Isósceles:

Sus dos lados son iguales y el tercero diferente.

Triángulo Escaleno:

Sus tres lados son diferentes.

2.6.3.2 Por sus ángulos:

Acutángulo:

Sus tres ángulos son agudos (-90º)

Rectángulo:

Uno de sus ángulos es de 90º



Obtusángulo:

Es aquel que posee un ángulo mayor a 90º

2.6.3.3 Alturas:

Un lado puede ser llamado su base y se dirige a un solo vértice, la altura será desde la base a su vértice opuesto formando un ángulo de 90º; la intersección de las tres alturas forma el orto centro.

II.6.3.4 Medianas:

Las medianas son segmentos que partiendo de los vértices de un triangulo llegan al punto medio del lado opuesto, estos segmentos se cortan en un punto interno llamado baricentro o punto de equilibrio.

II.6.3.5 Bisectriz:

Son líneas que dividen a cada ángulo interno en dos ángulos iguales, estas líneas también se cruzan en un punto en común interno llamado incentro.



TEOREMAS.

Teorema 1:

En todo triangulo se cumple que la suma de sus ángulos internos es igual a 180º.

Teorema 2:

El ángulo formado por las dos bisectrices internas de un ángulo es igual a 90º + en otro ángulo que no tiene bisectriz y dividido para dos.

Teorema 3:

El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triangulo es igual a 90º menos la mitad del tercer ángulo no bisecado.

Teorema 4:

El ángulo formado por una bisectriz interna y una externa es igual a la mitad del ángulo interno no considerado.



Teorema 5:

El ángulo formado por una altura y la bisectriz del mismo vértice es igual a la semidiferencia de los dos ángulos no considerados.

Subteoremas:

En todo triangulo la suma de las medidas de los ángulos externos considerado uno por vértice es 360º.

En todo triangulo al lado mayor se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.

En todo triangulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas.

2.6.4 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS. [3]

Son congruentes cuando al colocar uno sobre la otra sus vértices, ángulos y lados son coincidentes.

2.6.4.1 Lado ángula lado (LAL).

Es suficiente que coincidan dos lados iguales y un ángulo formado por estos lados también es igual.



2.6.4.2 Ángulo lado ángulo (ALA).

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente sus dos ángulos adyacentes iguales.

2.6.4.3 Lado lado lado (LLL). Si los tres lados de un triangulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.

TEOREMAS.

Teorema 1:

En un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.

Teorema 2:

Si de un punto cualquiera perteneciente a una perpendicular sus pies son iguales.



Teorema 3:

Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y la hipotenusa del uno son iguales al otro.

Teorema 4:

La suma de dos lados cualquiera de un triangulo es mayor que cualquier lado y la diferencia menor.

Teorema 5:

Si dos lados de un triangulo no son congruentes, los lados opuestos tampoco lo son y el ángulo de mayor medida se opone al opuesto.

Teorema 6:

En todo triangulo isósceles, la bisectriz del ángulo eterno que corresponde al vértice del triangulo e paralela al dado que se considera como base.

Teorema 7:

Si por un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo se traza una paralela a uno de los lados del ángulo, el triangulo formado será isósceles.

Teorema 8: Los segmentos comprendidos entre dos pares de paralelas son iguales.

Teorema 9:

Si los segmentos determinados en una transversal por tres o mas paralelas iguales también son iguales.



2.6.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Sen(x+y)= senx·cosy+cosx·senyCos(x+y)= cosx·cosy-senx·seny

2.6.6 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:

Sen2x= cos²x-sen²x



2.7 Resultados y Discusión



2.8 Conclusiones

Para poder llegar a la solución de cada uno de los problemas es necesario tener el conocimiento previo de cada uno de los teoremas que encontramos en los temas de cada ejercicio, ya que si no tenemos este conocimiento no podremos siquiera plantear las primeras relaciones que podemos encontrar para comenzar con la resolución de estos problemas.

No es necesarios aprenderse de memoria ya que en cada problema se presentan puntos diferentes los cuales necesitan ser razonados correctamente para poder aplicar los teoremas que en estos casos no son solo referentes al tema en si, sino que también nos valemos de teoremas de temas diferentes para así relacionar de la mejor manera posible para resolverlos.

2.9 Referencias bibliográficas

Bibliografía

[1] I. H. Abarca, «Ángulos,» de Apuntes de Clase, Quito, Lascano Editorial, 2005, pp. 29-45.

[2] I. H. Abarca, «Triángulos,» de Apuntes de Clase, Quito, Lascano Editorial, 2005, pp. 48-60.

[3] I. H. Abarca, «Congruencias,» de Apuntes de Clase, Quito, Lascano Editorial, 2005, pp. 72-86.

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