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UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ

Fundamentos teóricos para analizar circuitos

Susana Fernández de Ávila López Rafael Hidalgo García


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Susana Fernández de Ávila

Rafael Hidalgo García

ISBN: 978–84–9948–164–7Depósito legal: A–776–2010

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected] Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87C/. Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Prefacio Este libro recopila la colección de transparencias que hemos preparado y mejorado a lo largo de 7 años de experiencia impartiendo las asignaturas correspondientes a la materia troncal “Análisis de Circuitos y Sistemas Lineales” de primer curso de las Ingenierías Técnicas de Telecomunicación en la Universidad Miguel Hernández. Todos los temas tratados en este curso son básicos y esenciales para cualquier Ingeniero, técnico o no, de Telecomunicación, y cualquier otro Ingeniero, Físico, o simplemente interesado, en comprender los principios de la Electrónica práctica. La intemporalidad de los conocimientos aquí tratados asegura que este libro seguirá siendo fundamental en asignaturas equivalentes en los nuevos grados aprobados con motivo de la entrada de España en el nuevo Espacio Europeo de Educación Superior (EEES). La intención de esta publicación ha sido doble, por un lado recopilar en forma resumida, pero con claridad, los conceptos que el estudiante debe manejar para resolver problemas relacionados con el análisis de circuitos, y por otra, compartir este trabajo con otros profesores que impartan asignaturas equivalentes en otras universidades o centros, para que puedan reproducirlo en sus clases. Por esta razón el texto está redactado de forma abreviada y muy gráfica, ya que cada página del mismo puede ser utilizada directamente como una transparencia o proyección de la teoría que habitualmente se debe explicar en el aula. Desde nuestra experiencia particular, hemos comprobado que la utilización en clase de estas transparencias ha ayudado a nuestros alumnos a identificar los conceptos fundamentales, permitiéndonos así ganar tiempo en la asignatura para realizar problemas y ejercicios prácticos de los que posteriormente serán evaluados para superar la asignatura. La bibliografía referente al Análisis de Circuitos es obviamente muy extensa, y en muchos casos, el estudiante se encuentra perdido entre la gran variedad de libros recomendados y la extensión y profundidad con que se abordan los diferentes temas en cada uno. En nuestro caso, la recopilación de fundamentos teóricos básicos que hemos preparado y facilitado a nuestros alumnos, les ha ayudado en gran medida a centrarse en los objetivos y capacidades que deben adquirir para analizar circuitos electrónicos. El libro está dividido en 6 temas siguiendo el orden con que se vienen impartiendo en nuestras asignaturas en los últimos años. El Tema 1 es el tema fundamental, ya que en él se describen las técnicas básicas de análisis de circuitos que se utilizarán después en el resto de temas y, por supuesto, en todas la demás asignaturas relacionadas con la electrónica de dispositivos y circuitos electrónicos. Es muy importante remarcar al estudiante que el dominio de este tema es imprescindible para

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la superación de esta asignatura. Se añade también, como punto final de este tema, la teoría correspondiente al amplificador operacional ideal y su análisis en circuitos de aplicaciones lineales. La sencillez y sistematicidad de la resolución de este tipo de problemas enlaza muy bien como aplicación de todos los lemas de resolución de circuitos vistos en este primer tema. En el Tema 2 se estudia el análisis de circuitos en régimen transitorio, particularizando las respuestas natural y forzada (al escalón) para circuitos de primer orden y circuitos sencillos de 2.º orden (Circuitos RLC serie o paralelo). Aunque en el texto se muestra la resolución detallada de las ecuaciones diferenciales involucradas, atendiendo al escaso conocimiento de la resolución de este tipo de ecuaciones que suelen poseer los alumnos de primer curso, se les plantea una metodología de resolución sistemática para que el desconocimiento matemático no impida la resolución correcta de estos problemas. El análisis de los circuitos en régimen permanente sinusoidal se aborda en los Temas 3 y 4, al haber reunido la parte relacionada con el estudio de la potencia en estos circuitos en el Tema 4. Dada la necesidad de trabajar en estos temas con números complejos se añade al final del libro el Anexo I, en el que se resumen los conocimientos matemáticos mínimos (repre-sentaciones y operaciones con números complejos) que los alumnos deben dominar para resolver los problemas relacionados con este tema y los siguientes. El Tema 5 se dedica al análisis en frecuencia de los circuitos electrónicos y el estudio de los filtros. Se explica primero en profundidad cómo obtener el diagrama de Bode de una función de transferencia cualquiera, y a continuación se aborda el concepto de filtro y su clasificación, atendiendo especialmente a la amplitud. Se analizan en detalle los filtros de primer y segundo orden, y finalmente se aborda el diseño de filtros por el método de la aproximación. Nos centramos en el diseño de filtros de tipo Butterworth y Chebyshev, comparando sus características, para presentar finalmente el procedimiento para escalar filtros ya diseñados en frecuencia e impedancia. Por último, el Tema 6 está dedicado a los cuadripolos. Se estudian las familias de parámetros más características, sus circuitos equivalentes y las asociaciones entre ellos. Además del anexo dedicado a los números complejos, se ha añadido un Anexo II que recopila las fórmulas de cada tema que serán más útiles a la hora de resolver problemas de Análisis de circuitos. Puede ser una buena opción que los alumnos puedan utilizar este formulario en los exámenes, para que les permita avanzar más rápidamente en la resolución de ejercicios, permitiendo al profesor aumentar en cierto grado el nivel del examen atendiendo no tanto a la memoria del estudiante, como a su

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capacidad de razonamiento, y dando la seguridad al alumno de las fórmulas que necesita conocer o las que no a la hora de preparar el examen. Finalmente, el Anexo III resume las abreviaturas ordenadas alfabética-mente que se utilizan en el texto. Queremos destacar, antes de finalizar este prólogo, que se ha decidido no incluir una reseña bibliográfica de los libros que se han utilizado como referencia para elaborar este texto debido a la gran cantidad de libros ya “clásicos” consultados en algún momento para desarrollar y mejorar éste. Antes que olvidarnos de alguno, preferimos no presentar una lista donde iban a estar la gran mayoría de los libros habituales en la bibliografía de cualquier asignatura de Análisis de Circuitos. También nos gustaría mencionar aquí nuestro agradecimiento a otros profesores anteriores de la asignatura que aunque no han participado directamente en la elaboración de este texto, sin embargo aportaron su granito de arena con la preparación de los “apuntes” iniciales de la asignatura, en especial a la profesora M.ª del Mar Sánchez y el profesor Angel Luis Álvarez. Esperamos que este libro sea de utilidad a los futuros estudiantes y profesores, y si en algún tema el lector necesita mayor detalle, estamos seguros de que les será muy fácil encontrar multitud de textos donde consultar ampliaciones o ejemplos que le ayuden a mejorar la comprensión del mismo.

Elche, marzo de 2010

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Índice Tema 1. Análisis básico de circuitos lineales

1.1 Magnitudes eléctricas fundamentales. Componentes básicos. Linealidad ……………………………………... 1

1.2 Lemas de Kirchhoff ……………………………………. 9 1.3 Simplificación de circuitos con componentes básicos … 11

1.3.1 Asociación de resistencias en serie ………………. 11 1.3.2 Asociación de resistencias en paralelo …………... 13 1.3.3 Transformación Δ-Y ……………………………... 15 1.3.4 Asociación de condensadores en serie …………… 16 1.3.5 Asociación de condensadores en paralelo ……….. 18 1.3.6 Asociación de bobinas en serie/paralelo ………… 19 1.3.7 Asociación serie/paralelo de fuentes ……………. 19 1.3.8 Movilidad de fuentes …………………………….. 23 1.3.9 Transformación de fuentes ………………………. 26

1.4 Aplicaciones de circuitos resistivos simples …………. 27 1.5 Teorema de superposición …………………………… 29 1.6 Técnicas de análisis sistemático de circuitos: Análisis por

mallas y nodos ………………………………………… 31 1.6.1 Análisis por mallas ……………………………… 31 1.6.2 Análisis por nodos ………………………………. 33

1.7 Teoremas de Thévenin y Norton ……………………… 36 1.7.1 Teorema de Thevenin. Equivalente de Thevenin … 36 1.7.2 Teorema de Norton. Equivalente de Norton ……… 36 1.7.3 Máxima transferencia de potencia ………………. 37

1.8 Fuentes dependientes …………………………………. 40 1.8.1 Tipos de fuentes dependientes …………………… 40 1.8.2 Análisis de circuitos con fuentes dependientes …. 42

1.9 Amplificador operacional ideal: configuraciones básicas 45 1.9.1 Simbología y aplicaciones ……………………….. 45 1.9.2 Funcionamiento básico de un amplificador

operacional ideal ………………………………… 47 1.9.3 El amplificador operacional real. Desviaciones de la

idealidad …………………………………………… 48 1.9.4 Resolución de problemas con amplificadores

operacionales ideales ………………………………. 50

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Tema 2. Análisis de circuitos en régimen transitorio

2.1 Concepto de régimen transitorio ………………………. 53 2.2 Ecuación diferencial y condiciones iniciales ………….. 54 2.3 Respuesta de circuitos de 1er orden ……………………. 56

2.3.1 Respuesta natural de un circuito RL ……………… 56 2.3.2 Respuesta natural de un circuito RC ……………… 58 2.3.3 Respuesta al escalón de un circuito RL ………….. 60 2.3.4 Respuesta al escalón de un circuito RC ………….. 62 2.3.5 Fórmula general para circuitos de 1.er orden ……... 63

2.4 Respuesta de circuitos de 2.º orden. …………………….. 64 2.4.1 Respuesta natural de un circuito RLC paralelo ….. 64 2.4.2 Respuesta al escalón de un circuito RLC paralelo … 68 2.4.3 Respuesta natural de un circuito RLC serie ………. 70 2.4.4 Respuesta al escalón de un circuito RLC serie ……. 72 2.4.5 Resolución de circuitos de 2.º orden ……………….. 74

Tema 3. Análisis de circuitos en régimen permanente sinusoidal

3.1 Señales senoidales ………………………………………. 75 3.2 Concepto de fasor ………………………………………. 77 3.3 Concepto de impedancia y admitancia para

los componentes básicos ……………………………….. 78 3.4 Revisión de técnicas de simplificación y herramientas de

análisis ………………………………………………… 80 3.4.1 Lemas de Kirchhoff en régimen permanente

sinusoidal ………………………………………….. 80 3.4.2 Asociación de impedancias serie/paralelo ………... 81 3.4.3 Transformación triángulo-estrella ………………... 82 3.4.4 Divisor de tensión y de corriente …………………. 82 3.4.5 Transformación de fuentes (V ⇔ I) ……………... 84 3.4.6 Asociación y movilidad de fuentes ………………. 84 3.4.7 Análisis por mallas y nodos ………………….…... 84 3.4.8 Equivalente Thevenin y Norton ………………..… 84 3.4.9 Teorema de superposición ………………………… 85 3.4.10 Resolución de circuitos ……………………….…. 86

3.5 Frecuencia de resonancia de un circuito …………..…… 87 3.6 Función de transferencia de un circuito …………..……. 89

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Tema 4. Potencia en régimen permanente sinusoidal

4.1 Cálculos de potencia …………………………..……… 91 4.1.1 Potencia instantánea ………………………….….. 91 4.1.2 Potencia media o real …………………………..… 93 4.1.3 Potencia reactiva ……………………………….… 96

4.2 Potencia vectorial o compleja …………………………. 98 4.3 Teorema de máxima potencia transferida ……………. 99

Tema 5. Análisis en frecuencia: diseño de filtros analógicos

5.1 Diagramas de Bode a partir de la función de transferencia 101 5.1.1 Análisis en frecuencia de la función de transferencia.

Diagrama de Bode ……………………………….. 103 5.1.2 Representación de la amplitud y fase de términos

elementales de H(ω) ……………………...……… 106 5.1.2.1 Relación entre octava y década ………… 110

5.1.3 Composición gráfica de H(ω) ………………….. 110 5.1.4 Factorización de la función de transferencia …… 115 5.1.5 Polos y ceros cuadráticos ………………………. 119 5.1.6 Corrección del diagrama de Bode (módulo) …… 122

5.2 Función de atenuación. Ancho de banda y frecuencia de corte: Concepto de filtro ……………………………… 126 5.2.1 Clasificación de filtros según su respuesta en

Amplitud ………………………………………... 126 5.2.2 Parámetros característicos de un filtro …………. 129 5.2.3 Tipos de filtros según los componentes ……….. 129

5.3 Filtros elementales de 1.er orden. ……………………… 130 5.3.1 Filtro paso bajo …………………………………. 130 5.3.2 Filtro paso alto …………………………………. 134

5.4 Filtros elementales de 2.º orden. ………………………. 138 5.4.1 Relación entre la respuesta en ω y la respuesta en el

tiempo en los circuitos de 2.º orden ……………… 139 5.4.2 Filtro paso bajo …………………………………. 141 5.4.3 Filtro paso alto ………………………….………. 144 5.4.4 Filtro paso banda ………………………………… 146 5.4.5 Filtro rechaza banda ……………………………… 153

5.5 Diseño de filtros por el método de la aproximación …. 157 5.5.1 Especificación de las características de un filtro .. 158

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5.5.2 Filtro de Butterworth ……………………………. 162 5.5.3 Filtro de Chebyshev …………………………….. 164 5.5.4 Implementación de filtros de Butterworh y

Chebyshev ………………………………………. 168 5.5.5 Uso de tablas para el diseño de filtros paso bajo .. 170 5.5.6 Criterios de diseño para otros tipos de

especificaciones …………………………………. 172 5.5.7 Escalado en frecuencia e impedancia …………. 175

Tema 6. Circuitos de dos puertos: cuadripolos

6.1 Concepto de cuadripolo …………………………….. 179 6.2 Clasificación de cuadripolos ………………………… 180 6.3 Parámetros característicos y su determinación ……… 182

6.3.1 Parámetros Z (Impedancia) …………………….. 182 6.3.2 Parámetros Y (Admitancia) ……………………. 183 6.3.3 Parámetros h (híbridos) ………………………… 184 6.3.4 Parámetros g ……………………………………. 184 6.3.5 Parámetros de transmisión ……………………… 185

6.4 Relaciones entre familias de parámetros …………….. 185 6.5 Circuitos equivalentes del cuadripolo ……………….. 188 6.6 Asociación de cuadripolos …………………………… 189

6.6.1 Conexión en cascada …………………………… 191 6.6.2 Conexión en paralelo …………………………… 192 6.6.3 Conexión en serie ………………………………. 194 6.6.4 Conexión paralelo-serie …………………………. 195 6.6.5 Conexión serie-paralelo ……………………….. 196

6.7 Corriente de circulación. Condición de Brune ……… 196

Anexo I: Revisión de números complejos …………………… 201 Anexo II: Formulario ………………………………………… 205 Anexo III: Lista de abreviaturas …………………………….. 211

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TEMA 1: ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS LINEALES

1.1. Magnitudes eléctricas fundamentales. Componentes básicos. Linealidad

• Variables eléctricas fundamentales:

carga energía tiempo q (C) w (J) t (s)

Fenómenos eléctricos debidos a un flujo de carga corriente (i) • Magnitudes eléctricas fundamentales:

Corriente: dtdq=ti )( A=

sC=i][ (amperio)

Tensión: dqdW=tv )( V=

CJ=v][ (voltio)

Potencia: dt

dW=tp )( W=sJ=p][ (watio)

i(t): magnitud vectorial, definida por el módulo + dirección y sentido. Representa el movimiento de cargas positivas. Sin energía externa la corriente va de mayor a menor potencial.

Tema 1: Análisis básico de circuitos lineales

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Concepto de señal eléctrica: magnitud eléctrica (tensión o corriente) variable en el tiempo y cuya misión es transportar información (energía). • Componentes básicos de un circuito eléctrico:

Resistencias (R). Condensadores (C). Bobinas (L). Fuentes de tensión. Fuentes de corriente.

• Clasificaciones posibles de los componentes:

1) Clasificación de los componentes en función de la

linealidad de la característica corriente-tensión (I-V): Componente lineal: su señal de salida es función lineal de la señal de entrada Propiedades que debe cumplir: − Homogeneidad: )()( xa·f=axf , con a = constante − Aditividad: )()()( yf+xf=y+xf

2) Clasificación de componentes en función de su papel

energético: − Si el total de la energía suministrada a un

componente es siempre mayor que 0 componen-te pasivo (R, C, L).

− Si el balance energético es negativo (el componente suministra energía) componente activo (fuentes de alimentación).


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• COMPONENTES BÁSICOS DE UN CIRCUITO:

Resistencias: Símbolo: Ω=R][ (ohmio)

11 −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω=R (mho) (conductancia G)

Criterio de polarización:

VA > VB i > 0

Ley de Ohm: i·R=V

Potencia consumida: V²·G=RV²=i²·R=V·i=P

R es un componente lineal:

Rv=vi )( )()( va·i=

Ra·v=avi Homogeneidad

)()()( 21

212121 vi+vi=

Rv+

Rv=

Rv+v=v+vi

Aditividad

R es un componente pasivo 0≥i²·R=P NOTA:

- Si R → ∞ 0=Rv=i [Circuito abierto]

R


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- Si R → 0 0=i·R=v [Cortocircuito] Condensadores: Es un dispositivo electrónico compuesto por dos placas conductoras separadas por un dieléctrico o aislante.

Símbolo: Relación i(t) – v(t) :

dt

tdvC=ti )()(

dt'tiC

+v=tv )'(1)( 0 ∫ → C es un componente lineal

Potencia consumida (instantánea):

dttdvtC·v=t·itv=p )()()()(

Es también un componente pasivo NOTA:

Si v(t) = constante → 0)(0)( =ti=dt

tdv→ (cto. abierto)


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Bobinas: Símbolo: L: inductancia [H] Puede almacenar energía magnética en función de la corriente que la atraviesa. Relación característica i(t) – v(t) :

dt'tvL

+i=tidtdiL=tv )'(1)0()()( ∫→

Es un componente lineal y pasivo. NOTA:

Si i(t) = constante → 0)(0)( =tv=dt

tdi→ (cortocircuito)

Fuentes de tensión: Fuente de tensión ideal Elemento de dos terminales que establece una tensión determinada entre ellos, independientemente de la corriente que la atraviesa. Símbolos circuitales:


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Característica corriente-tensión (I-V): Se puede medir aplicando la sonda del osciloscopio o multímetro a los terminales de la fuente. Es un componente activo. Si Vg = 0 V → en sus extremos hay un cortocircuito. Fuente de tensión real Es una fuente de tensión ideal con una resistencia en serie (Rg) supuestamente pequeña (Rg → 0):

Característica I-V:

V

I

Vg

VVg

I


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Fuentes de corriente: Fuente de corriente ideal Elemento de 2 terminales que proporciona una corriente determinada independientemente del valor o signo del voltaje que aparece entre sus terminales. Símbolo circuital: Característica I-V:

Se puede medir conectando una resistencia de carga RL entre sus terminales y midiendo: Lg ·RI=V Componente activo. Si Ig = 0A → circuito abierto.

V

Ig

I


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Fuente de corriente real Fuente de corriente ideal con una resistencia interna Rg supuestamente grande en paralelo( )∞→gR :

Característica I-V:

Circuito: Es una interconexión de componentes (o dispositivos) electrónicos con el fin de procesar (o generar) una señal. Si los componentes son lineales, el circuito será lineal. Resolver circuitos lineales ≡ conocer V, I en cualquier punto del circuito. • Simplificaciones básicas en teoría de circuitos:

Para analizar los circuitos asumiremos como válidas las siguientes aproximaciones:

1) La carga neta de un componente es nula. 2) No hay acoplamiento magnético entre los distintos

componentes (no se considera efecto magnético) salvo en los dispositivos diseñados expresamente para ello (transformadores).

3) No se consideran fenómenos asociados al carácter ondulatorio de las partículas portadoras de carga (λ señales >> dimensiones del circuito).

Ig V

I


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1.2 Lemas de Kirchhoff Coordinan las relaciones entre corriente y tensión en todos los componentes del circuito. Definimos: Nodo: Punto del circuito en el cual se conectan dos o más componentes. Malla: Sucesión de componentes que forman un camino cerrado. Se llama malla elemental a aquella que no alberga ninguna otra malla en su interior.

MALLA ELEMENTAL Las leyes de Kirchhoff son dos: 1.ª) Ley de Kirchhoff para las corrientes (KCL) (Kirchhoff's Current Law) “La suma algebraica (teniendo en cuenta su sentido) de las corrientes que llegan a un nodo en cualquier instante es cero” ∑∑ salenentran I=I


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321 I+I=I La KCL es una consecuencia de la no acumulación de carga en el circuito, el flujo total de carga en cualquier nodo es cero. 2.ª) Ley de Kirchhoff para las tensiones (KVL) (Kirchhoff's Voltage Law) “La suma algebraica de las tensiones en una malla es cero en todo instante de tiempo” Criterio de polarización de los componentes: Aplicación de KVL: Establecemos en cada malla un sentido único de recorrido y sumamos algebraicamente las tensiones en ese recorrido siguiendo el criterio de polarización.

V

+

-

I


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Ejemplo: 1ª malla elemental.

0=VVV R2R1g ++−

1.3 Simplificación de circuitos con componentes básicos Se trata de ir reduciendo un circuito a otro más simple y equivalente. Para ello aplicaremos los lemas de Kirchhoff. 1.3.1 Asociación de resistencias en serie Dos componentes están conectados en serie cuando com-parten un nodo al que no llega ningún otro componente del circuito.

R1, R2, R3 y Vg están en serie en este circuito.


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Este circuito es equivalente a este otro:

Donde: 321 R+R+R=Req

Demostración: - Aplicamos KCL a los nodos: (a) 1i=ig (b) 21 i=i (c) 32 i=i (d) gi=i3 Por tanto: 321 i=i=i=ig [1] - Aplicamos KVL a la malla (en sentido horario): 0321 =VVVVg +++− [2] - Aplicamos la ley de Ohm a cada resistencia: 111 iR=V 222 iR=V 333 iR=V [3] Entonces de [2], aplicando [1] y [3] obtenemos:

321 V+V+V=Vg 332211 iR+iR+iR=Vg

gggg iR+iR+iR=V 321 geqgg iRiR+R+R=V =)( 321


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de donde deducimos: Conclusión: Las resistencias en serie se suman:

1.3.2 Asociación de resistencias en paralelo Dos componentes están conectados en paralelo cuando los nodos a que se conectan sus terminales coinciden. La tensión entre los terminales de componentes es la misma (KVL). Ejemplo: Asociación de resistencias en paralelo:

Donde: 321

1 111R

+R

+R

=Req−

Conclusión: Las conductancias en paralelo se suman: ∑

=

n

jjparalelo G=G

1

321 R+R+R=Req

∑=

n

jjserie R=R

1

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