fundamentos financieros

Chang, M. y Cornejo, R. (2001). Apuntes de matemticas financieras Lima : ESAN . (017083)

Apuntes de olfatemdticas C5fincmcieras

co o U'l

~~lo

&

INTRODUCCIN Las matemticas financieras constituyen un conjunto de herramientas que permiten, principalmente, el adecuado clculo de equivalenclas entre :montos de dinero esperados o ejecutados en momentos distintos aplicando el concepto del valor del dinero en el tiempo.

Los problemas bsicos que son abordados con estas herramientas son el clculo de pagos de deudas, de intereses generados, programacin y reprogramacin de obligaciones y ahorro y el clculo del valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retomo (TlR).

Las matemticas financieras pueden agruparse en dos grandes campos de aplicacin:

Clculo comercial: En este caso se atiende a reglas de uso comn y las costumbres del mercado en el cual se aplican. No necesariamente los clculos son consistentes, y a menudo las modalidades de clculo tienen como resultado la aplicacin de condiciones distintas a las aparentes. Por ejemplo, si en un contrato de endeudamiento se conviene en un precio del dinero, p.e. del 12% al ao, esto debera significar que por mantener en uso una unidad monetaria, debera pagarse 0.12 urudades monetarias por ao. Sin embargo, esto podr ser distinto si aplica una modalidad de inters adelantado o vencido, y si es vencido depender de si se pacta capitalizaciones mensuales o anuales, y as sucesivamente. En este tipo de aplicaciones, nada es absolutamente correcto o incorrecto y un clculo deber considerarse correcto si las partes contratantes estn de acuerdo en las reglas de aplicacin.

Evaluacin fmanciera de decisiones: En este caso todos los clculos deben realizarse considerando el concepto de tasa de inters

compuesto, lo cual garantiza que la tasa de inters aplicada siempre es la misma, independientemente de los montos involucrados y los plazos de aplicacin. Los ejercicios que se desarrollarn durante el siguiente manual involucran nicamente clculos de inters compuesto.

En lo que sigue y para propsitos de clculo, se considera meses de 30 das y aos de 360 das, salvo indicacin de lo contrario.

A continuacin se presenta los conceptos bsicos de las matemticas financieras, acompaados de problemas prcticos resueltos que le ayudarn a obtener destreza en la aplicacin de las matemticas financieras.

Apuntes de Matemticas Financieras

Inters Compuesto 1 Definicin:

El capital aumenta continuamente a una tasa de crecimiento constante que es la tasa de inters. Los intereses se capitalizan y se incorporan al capital al final de cada periodo de tiempo, para que a su vez generen nuevos intereses.

" El dinero produce dinero y el dinero que el dinero produce, produce ms dinero" (Benjamn Franklin).

Clculo:

Donde: F p i t

(1)

= Valor Futuro = Valor Presente = Tasa de inters efectiva = Tiempo entre P y F

En el anexo se incluye un cuadro comparativo entre el inters simple y el inters compuesto.

R. Cornejo - M. Chanq. Pg.2

Ejemplo:

Se deposita US$1 00,000 en una cuenta que ofrece una tasa de inters efectiva del 20% anual en dlares; es decir que por cada US$1.00 colocado por un afio ininterrumpido se recibir al trmino del afio US$1.20. Cunto se recibe a los 5 aos?

Solucin: Prstamo: Tasa de inters: Plazo:

p

t

= US$100,000 = 20% anual = 5 aos

Reemplazando en la frmula (1): Fs = US$ 100,000(1+0.20i = US$ 248,832

Respuesta: Luego de 5 aos recibir US$248,832

En la aplicacin de esta frmula, siempre debe haber concordancia entre el plazo para el que est expresada la tasa de inters y las unidades utilizadas para expresar el tiempo entre P y F.

Ejemplos:

Si la tasa de inters. es trimestral, y el tiempo ei:J.tre P y F es 9 meses, se debe expresar el plazo en trimestres ( 9 meses = 3 trimestres ).


Si la tasa de inters es semestral , y el tiempo entre P y F es 32 meses, se debe expresar el plazo en semestres (32 meses = 32/6 semestres).

Si la tasa de inters es para 16 das, y el tiempo entre P y F es 87 das, se debe expresar el plazo en perodos de 16 das (87 das = 87116 perodos de 16 das).

En los ejemplos presentados se ha transformado las unidades para expresar el tiempo (t). Se puede tambin transformar la tasa de inters para expresarla en las unidades que se utilizan para el tiempo (t). Resulta aconsejable aplicar el primer procedimiento pues requiere menos clculos, y al utilizar una calculadora es ms fcil conservar los decimales de los clculos intermedios. El segundo procedimiento se muestra a continuacin.

1 Tasa de Inters Equivalente 1 Definicin: Son aquellas que pueden expresarse en diferentes unidades de tiempo, y que producen el mismo monto. Por ejemplo: Un prstamo de S/.1,000 a una tasa de inters anual del 20%, al cabo de un afio ser S/.1 ,200; si utilizamos la tasa de inters equivalente quincenal de 0.7626%, tambin tendremos, luego de 24 quincenas (1 afio), un valor futuro S/.1,200.

R. Cornejo - M. Chang. PgJ

Clculo: Para hallar tasas de inters equivalentes puede usarse la siguiente frmula prctica:

~. . : .. = . ... =:: :.:: .. ~:: Jx ._:: : : .. : .. (2) Donde: x e y, siempre deben estar expresados en las mismas unidades de tiempo (das, meses, semanas, aflos u otro) y expresar en estas unidades el plazo x e y. Si desea evitarse confusiones utilice siempre das por ser un comn divisor.

EH. Luis realiza un prstamo a su primo Juan, por el monto de S/.1,000 a una tasa de inters del 1 0% semestral, durante 15 meses. Cunto tendr que devolver Juan a Luis, luego de los 15 meses?. '

Solucin: Prstamo: P = 1,000 Tasa de inters: = 10% semestral Plazo: t = 15 meses Comprobar la concordancia entre i y t: i: semestral :t: t: mensual

Primer mtodo: Hallar una tasa de inters equivalente mensual (Frmula (3)):

it8o = 10% semestral ho = ( 1 + t8oi301180>- 1 ho = ( 1 + 0.1)- 1 = 1.601% mensual

Apuntes de Matemticas financieras

Segundo mtodo: Expresar el tiempo en semestres: t = 15 meses * lsem = 2.5 semestres

6 meses

Para hallar el valor futuro del prstamo, usamos la frmula (1) de inters compuesto:

F = P (1 + i)t

a. Utilizando la tasa de inters equivalente mensual: F = 1,000 * (1 +0.01601)15 = S/.1,269.06

b. Utilizando el tiempo en semestres: F = 1,000 * (1+0.1)2"5 = S/.1,269.06

Respuesta: Luego de 15 meses, Juan deber devolver a Luis la suma de S/.1,269.06

Ej2. Si Ud. invierte S/.28,000 a una tasa de inters del 5.5% trimestral. Cunto tendr al cabo de 16 semestres?

Solucin: F

"28,000

p i t

= 28,000 = 5.5% efectivo trimestral = 16 semestres

R. Cornejo - M. Chang. Pg.4

Primer mtodo: Hallar una tasa de inters equivalente semestral isem = (1 +0.055i180190) -1 = 11.3025% semestral

F = 28,000(1 +0.113025)16 = S/.155,323.35

Segundo mtodo: Hallar el tiempo en trimestres t = 16 semestres* (2 trim/1 sem) = 32 trimestres

F = 28,000(1 +0.055)32 = S/.155,323.35

Tercer mtodo: Hallar la tasa de inters efectiva del periodo (16 semestres)

I6sem = (1 +0.055)(2880190) -1 = 454.7262% por 16 semestres

F = 28,000(1 +4.547262383)1 = S/.155,323.35

Respuesta: Al cabo de 16 semestres tendr S/.155,332.35


Ej3. Se realiza una inversin de S/.35,00 a tina tasa de inters del 10% semestral. Cunto tendr al cabo de 6 meses?

Solucin:

p i t

35,000 = 35,000 = 10% efectivo semestral = 6 meses

F

Primer mtodo: Hallar una tasad~ inters equivalente mensual im = (1+0.10)301180 -1 = 1.6011867% mensual

F = 35,000(1 +0.016011867)6 = S/.38,500

Segundo mtodo: Hallar el tiempo en semestres t = 6 meses = 1 semestre

F = 35,000(1+0.10)1 = S/.38,500

Tercer mtodo: Hallar la tasa de inters efectiva del perodo (6 meses)

i6mes =(1+0.10)1801180 -1 = 10%por6meses

F = 35,000(1 +0.1 0)1 = S/.38,500

Respuesta: Al cabo de 6 meses tendr S/.38,500

R. Cornejo- M. Chang. Pg.S

Aplicaciones 1 A continuacin se presentan algunos ejercicios resueltos. Estos ejercicios pueden resolverse siguiendo distintos procedimientos; sin embargo, si son correctamente aplicados deben hallar la misma respuesta. Los procedimientos mostrados se presentan slo como ejemplos.

Ej4.A qu tasa de inters anual, los ahorros de Janeth por S/.1,000 se convertirn en S/.1,050 al cabo de 38 das?

Solucin: S/.1,050

i =?? r 38 dlas

S/.1,000

J8d = 1.050- 1.000 = 5% tasa de inters de 38 das 1,000

anual = (1 + Jsd)360138 - 1 = 58.76%

Respuesta: Para que los ahorros de Janeth se conviertan en S/.1,050 al cabo de 38 das, debe pedir una tasa de inters del 5%, lo que es equivalente a una tasa de inters anual del58.76%.


Ej5. Se ha tomdo un prstamo d US$iO,OOO a 135 rlas, a una tasa de inters del25% efectiva anual:

a. Calcule el monto que debe pagarse por el prstamo. b. Cunto de intereses se genera mensualmente en esta operacin? c. Si realiza un pago por US$4,000 el da 45. Con qu monto

cancelara el prstamo el da 135? d. Si realiza un pago de US$2,000 el da 45 y otro de US$2,000 el

da 90. Con qu monto cancelara el prstamo el da 135?

Solucin: a)

US$10,000

i = 25% efectiva anual

135 dlas

F

P = US$1 0,000 1 = 25% efectivo anual t = 135 das = 135/360 aos

F = 10,000 (1 + 0.25)1351360 US$10,872.80

Respuesta: El monto que debe pagarse por el prstamo es de US$1 0,872.80

b)


Hallar las tasas de inters: im = (1 + 0.25)301360 = 1.8769% mensual hs = (1 + 0.25)151360 = 0.934100537% quincenal

Clculo de los intereses: A continuacin se presenta un cuadro con el clculo de los intereses. Ntese que se ha calculado intereses de cada 30 das, excepto en el ltimo perodo que se ha calculado intereses por 15 das.

o 10,000.00

30 10,187.69 10,000 ... 1.8769% = 187.69 ~ 60 10,378,91 10,187.69 ... 1.8769% = 191.22 90 10,573,71 10,378.91 ... 1.8769% = 194.80" '

120 10,772,17 10,573.71 ... 1.8769% = 198.46 ~Intereses 135 10,872,80 10,772.17 ... 0.9341% = 100.62 por 15 das


e) US$10,000


o 45 135 dlas

US$4,00o--.-..__ ~Ftls

Si no hubiera pago a cuenta, debera pagarse en el da 135, la cantidad de US$1 0,872.80. La pregunta consiste en determinar en cunto se reduce este pago final con el pago a cuenta realizado en el dfa45.

Pago =4,000

El plazo entre el pago que se realiza en el da 45 y el pago final en el da 135 es de90 das (135 - 45 = 90 das), el cual expresado en afias ser: t = 90/360 das

F' F' F'

=P (1 + iY = 4,000 (1 + 0.25)901360 = 4,229.47

Por tanto el pago final descontando el pago a cuenta ser: F135 = 10,872.80-4,229.47 = US$6,643.33

Respuesta: El prstamo ser cancelado con US$6,643.33

R. Cornejo- M. Chang. Pg.?

d) US$10,000


o 45 90 135 dlas

US$2,000 US$2,000 FtJS

l __ l==:: Para determinar el valor con el cual el prstamo ser cancelado es necesario hallar los valores futuros de los pagos realizados a cuenta:

a. Pago = 2,000 a los 45 das

El plazo entre el pago que se realiza en el da 45 y el pago final en el da 135 es de 90 das (135 - 45 = 90 das), el cual expresado en aiios ser: t = 90/360 das

F' = 2,000 (1 + 0.25)901360 = US$2,114.74

b. Pago = 2,000 a los 90 das

El plazo entre el pago que se realiza en el da 90 y el pago final en el da 135 es de 45 das (135 - 90 = 45 das), el cual expresado en afias ser: t = 45/360 das

F" = 2000 (1 + 0.25)451360 = US$2,056.57


Por tanto, el pago final descontando los pagos a cuenta ser: F135 = 10,872.80-2,114.74-2,056.57 = US$6,701.49

Respuesta: El prstamo ser cancelado con US$6,701.49

Ej6. Un banco le ofrece un prstamo por S/.5,000, mediante un pagar a 120 das, a una tasa de inters efectiva del4% mensual. Segn las condiciones del crdito, el 20% del crdito debera ser depositado en una cuenta de ahorros que le pagara 2% efectivo mensual, y no podra retirarlos hasta la cancelacin de la deuda. Por otro lado, el abono del crdito estara sujeto a un cargo por gastos del 2% del prstamo. Cul es la tasa de inters efectiva mensual del prstamo?

Solucin:

S/.5,000

o S/.100

S/.1,000 S/.4,766.85

El desembolso neto del prstamo es: P=5,000- 1,000 100 S/.3,900

(retencin) (cargo)


El valor futuro del total del prstamo (sin considerar retenciones ni cargos) ser: Fo = 5,000 (1+0.04)4 =S/.5,849.29

El valor futuro del 20% del crdito depositado en la cuenta de ahorros (retencin) ser: F1 = 1,000 (1 +0.02)4 =8/.1,082.43

Por tanto, el pago neto para cancelar el prstamo ser: Fn = Fo- F1 = 5849.29- 1082.43 S/.4,766.85

La tasa de inters efectiva del prstamo es: iuo = 4,766.85/3,900- 1 = 22.23% por 120 das

La tasa de inters efectiva mensual del prstamo es:

im = (1 +0.2223)301120 - 1 = 5.15% mensual

Respuesta: La tasa de inters efectiva mensual del prstamo es 5.15%.

Ei7. Adriana realiza un prstamo por S/.15,000 y desea ganar un 1.40% quincenal sobre dichos fondos.

a. Cunto deber cobrar: al cabo de 4 aos, si le pagan a cuenta S/.2,500 al trmino de los aos 1 y 3?

b. Si la deuda es por 4 aos. Cunto deber ser el pago al trmino del segundo ao, si tiene comprometido un pago de S/.1 0,000 al trmino del cuarto ao?.


Solucin a. S/.15,000

i = 1.4% efectiva quincenal

o

S/.2,500 S/.2,500

La tasa efectiva anual es:

i = (1.014)360115 -1 = 39.61%

al'ios

F

Para determinar el valor futuro del prstamo es necesario descontar los pagos (de S/.2,500 cada uno) realizados a cuenta en el primer y tercer ao:

F = 15,000(1.3961t- 2,500(1.3961)3 - 2,500(1.3961) = S/.46,691.50 ~~~

valor futuro valor futuro del prstamo inicial pago realizado

en el primer ao

valor futuro del pago realizado en el tercer ao

Respuesta: Deber cobrar S/.46,691.50


b. S/.15,000 . --------

i = 1.4% efectiva

o 2 4 al'ios

X S/.10,000

Para determinar el valor de uno o ms de los componentes (flujos) de una determinada transaccin, se puede utilizar como punto de referencia cualquier momento dentro del plazo en que se realiza dicha transaccin e igualar los flujos de ingresos y egresos capitalizados o actualizados (segn corresponda) en dicho punto. En la solucin que se . presenta a continuacin se ha utili;zado como punto de referencia el ao 4, pero puede comprobar que obtendr el mismo resultado sj toma como punto como referencia el momento cero, el segundo ao, el tercer ao, el mes 25 o cualquier otro punto ubicado entre O y 4 aos.

La tasa efectiva anual es: i = (1.014)360115 -1 = 39.61%

Utilizando el cuarto ao como punto de referencia, el monto del pago al final del segundo ao es:

15,000(1.3961)4 '-----y--J valor futuro

prstamo inicial

X(1.3961i "-----y---'

valor futuro del pago que debe realizarse en el segundo ao

+ 10,000 "-----y---'

. valor del pago . realizado en el

cuarto ao


Resolviendo la ecuacin anterior hallamos el valor de "X": X= S/.24,105.84

Respuesta: El pago en el segundo afio deber ser de S/.24,105.84.

Ej8. Patricio est afrontando por una crisis fmanciera, por lo que acude a Ud., su buen y fiel amigo, para que le facilite un prstamo de S/.20,000 por 150 das. Dada su destreza comercial Patricio logr realizar un buen negocio y obtener el dinero suficiente para pagarle a los 100 das la suma de S/.23,000. Cul fue la tasa de inters efectiva mensual del prstamo?

Solucin S/.20,000

o lOOi

1

150 dfas

t S/.23,000 F

La tasa de inters efectiva de una transaccin realizada en un determinado plazo se puede determinar despejando de la frmula de inters compuesto:

(3)

R. Cornejo - M. Chang. Pq.l O

Ntese que en la frmula se est asumiendo que el tiempo (t) es igual a la unidad, por lo que el valor obtenido ser la tasa de inters efectiva expresada en unidades del plazo existente entre P y F.

En el ejercicio, la tasa de inters efectiva a los 100 das es (Frmula (3)):

. - 23,000-20,000 - 150/ 100 d' l100 - - ;ro por 1as 20,000

Por tanto, la tasa de inters efectiva mensual es: im = (1.15)301100 - 1 = 4.28% mensual

Respuesta: La tasa efectiva del prstamo fue de 4.28% mensual.

Ej9. Un amigo le presta S/.5,400 por un plazo de dos aos. Al cabo de los cuales, debe devolverle S/.8,950. Cunto le cost anualmente el prstamo?

Solucin

S/.5,400

t o 1 aftos

S/.8,950


La tasa de inters efectiva por los dos aos es (Frmula (3)):

2 = 8950 -1 = 65.74% 5400

Luego, la tasa de inters efectiva anual es: i = (1+0.6574)112 - 1 28.74%

Respuesta: el prstamo le cost 28.74% anual.

Tasas de Inters de Diferentes Monedas

Definicin: Cuando se quiere comparar tasas de inters de diferentes monedas es necesario determinar el valor equivalente de una de ellas en funcin de la otra, para lo cual se debe considerar la tasa de devaluacin esperada de una moneda respecto a la otra. A la moneda que se devala la llamaremos dbil y a la que se revala,fuerte.

Por ejemplo: Si nos ofrecen un prstamo en dlares al cual se aplica una tasa de inters en dlares (is) y otro en soles al cual se aplica una tasa de inters . en soles (iSJ); la nica forma de determinar cul de ellas es la ms conveniente, es hallando la tasa de inters equivalente de una moneda en la otra; es decir, convertir la is en una tasa de inters

R. Cornejo - M. Chang. Pg.ll

equivalente en soles o convertir ia ist. en una tasa de inters equivalente en dlares. En este caso, la moneda dbil es el Nuevo Sol (S/.) y la fuerte el Dlar americano (US$).

Clculo:

(4)

Donde: imd = Tasa de Inters de la moneda dbil imr =Tasa de Inters de la moneda fuerte dev = Tasa de devaluacin esperada del periodo, de la

moneda dbil respecto a la moneda fuerte TC = Tipo de cambio

Como en los anteriores casos debe existir consistencia en los periodos a los que estn referidas las variables, p.e. si deseamos hallar la tasa equivalente trimestral en nuevos soles de una tasa trimestral en dlares, debemos usar la devaluacin esperada trimestral. Para convertir devaluaciones expresadas para un periodo determinado a otro, se usa el mismo procedimiento que para las tasas de inters. .

Muy importante: Dado que la equivalencia entre tasas de inters es funcin de la devaluacin esperada; la equivalencia es tan fiable CO!DO la estimacin de la devaluacin. Si la devaluacin estimada no es fiable, tampoco lo ser la equivalencia.


EjlO Qu tasa anual en nuevos soles es equivalente a una tasa de inters anual en dlares de 20%, si la devaluacin anual esperada es del8%?

Solucin:

Aplicando la frmula (4): i51. = (1 + i$) (1 + dev)- 1

i51 = (1 + 0.20) (1 + 0.08)- 1 = 29.6% anual

Respuesta: La tasa de inters equivalente en nuevos soles es de 29.6%.

EHI. Qu tasa mensual en dlares es equivalente a una tasa de inters trimestral en nuevos soles de 6%, si la devaluacin semestral esperada es del5%?

Solucin:

Antes de aplicar la frmula, es Ilecesario estandarizar las unidades utilizadas: Para hallar la tasa de inters en dlares trimestral es necesario utilizar la devaluacin esperada trimestralmente y aplicar la frmula (4):

$ = [(1 + is.)/(1 + dev)] - 1 i$. = [(1 + 0.06)/(1 + 0.05)901180 ]- 1 = 3.4454% trimestral

La tasa de inters en dlares anual ser: h6o= (1+ 0.034454)360190 -1 = 14.51%

R. Cornejo- M. Chang. Pg.l2

Respuesta: La ta.Sa de inters equivalente anuai en dlares es de 14.51%.

EH2. Cul es el costo efectivo anual (en nuevos soles) de un prstamo de US$1 0,000 que deber ser cancelado en 160 das con un monto de S/.50,000?. Considere que el tipo de cambio actual es de S/.3.50 y la devaluacin anual prevista = 8%

Solucin: $10,000

i = ?? o

Los US$1 0,000 en nuevos soles sern: 10,000 * 3.50 = S/.35,000

160 dlas

S/.50,000

El costo efectivo en nuevos soles para los 160 das ser (Frmula (3)):

160 = 50.000 - 35.000 = 14.29% 35,000

El costo efectivo anual en nuevos soles ser: J6o = (1 + 0.1429)3601160 - 1 = 35.05%

Respuesta: El costo efectivo anual del prstamo es de 35.05%_en nuevos soles


Ejl3. Cul es el costo efectivo anual (en dlares) del ejemplo anterior?

Los S/.40,000 en US$ sern: TC16o = 3.50 * (1.08)1601360 = 3.6218 40,0001 TC16o = US$11,044

El costo efectivo en US$ para los 160 das ser (Frmula (3)): it60 = 40.000- 10.000 = 10.44%

10,000

El costo efectivo anual en US$ h6o = (1+ 0.1044)3601160 -1 = 25.04% en US$

Respuesta: El costo efectivo anual (en dlares) del prstamo es de 25.04%

Otro mtodo: Como ya se haba obtenido el costo efectivo en soles (en el ejemplo 1 0), se pudo haber aplicado la frmula ( 4) directamente:

Ist = (1 +i$) (1 + dev) - 1 i$ = [(1 +i81.) 1 (1 + dev)] - 1 i$ = [(1 +0.3505)/(1 +0.08)]-1 = 25.04% efectiva anual en US$

Ej 14. Se le presenta las siguientes opciones para optar por un prstamo de S/.18,500 por un plazo de 190 das:

a. Tasa de inters en dlares (i$) = 5% trimestral b. Tasa de inters en soles (ist) = 30% anual

R. Cornejo - M. Chang. Pg.l3

En que opcin pagara menos?. Considerar una devaluacin prevista del 5% semestral. Hallar la tasa de inters semestral en ambos casos. (Esto ltimo slo como ejercicio, pues como se ha visto, no es necesario)

Solucin SI. 18,500

o 190 dlas

F Observe que la forma ms simple consiste en verificar qu tasa es la ms alta, y para ello debe hallarse la tasa en soles equivalen,t~ a la tasa en dlares o viceversa, igualar perodos y comparar.

Primer Mtodo La tasa de inters equivalente anual en nuevos soles de la tasa de inters en dlares 5% trimestral es (Frmula (4)):

ist = (1 +i$) (1 + dev) - 1 ist = (1 +0.05)360190 (1 + 0.05)3601180 - 1 = 34.01%

Respuesta: Con el resultado obtenido se puede comparar las tasas de inters de ambas opciones, aon lo que se puede concluir que debera endeudarse con la segunda opcin (Tasa de inters en soles (ist) = 30% anual) por ser la menos costosa.


Segundo Mtodo Convertir la tasa de inters en dlares a tasa de inters semestral

en nuevos soles (Puede hacerse lo contrario y es tambin vlido): Dev = 5% semestral is = 5% trimestral -+ is = (1.05)180190 = 10.25% semestral ist. = (1.1025)(1.05)- 1 = 15.76% semestral en soles

t = 190 das = 190/180 semestres

F = 18,500(1.1576) 1901180 = SI. 21,590.92

Convertir la tasa de inters anual a tasa de inters semestral en soles: Dev ist. t ist.

F

= 5% semestral = 30% anual = 190 das = (1.30)180/360 -1

=

=

= 18,500(1.1402)1901180 =

190/180 semestres 14.02% semestral

SI. 21,247.53

Respuesta: La segunda opcin es la ms conveniente, ya que es una tasa de inters menor y por lo tanto, el monto a pagar por el prstamo tambin es menor que en la primera opcin.

Ej15. Un conocido grupo de cantantes ingleses RH's Brothers piensan realizar una presentacin en nuestro pas en los prximos meses. Luego de hacer las coordinaciones necesarias, se determin que la inversin inicial para la realizacin del evento es de S/.1

. milln y que aproximadamente tendr una maduracin de 8 meses. Se sabe adems que la devaluacin prevista es del 12% anual y se espera tener una rentabilidad del 15% efectivo anual

R. Cornejo- M. Chang. Pg.l4

en dlares. Cul debe ser ei precio eh nuevos soles de la entrada, si la capacidad del estadio donde se piensa realizar la presentacin es de 30,000 personas?. Considere TC = S/.3.50.

Solucin:

F=?

8

S/. 1 '000,000

P = SI. 1 '000,000 is = 15% efectivo anual t = 8 meses dev = 12% anual

a. La tasa de inters en Nuevos soles del perodo (8 meses) es: ist. = (1 + is) (1 + dev) - 1 ist. = (1 + 0.15) (1 + 0.12)- 1 ist. = (1 + 0.2880i401360 - 1

F = 1 '000,000 (1.183797)

= 28.8% anual = 18.3797% por 8 meses

= S/.1 '183,797.019

Para determinar el precio de la entrada, se divide el valor futuro de la inversin entre la capacidad del estadio:

Precio de la entrada: 1 '183,797.02 130,000 = S/.39.46

Respuesta: El precio de la entrada debe ser de S/.39.46.


Eil6. Lyan quiere depositar US$680 en un banco. Tiene dos alternativas:

a) Cuenta de Ahorros en moneda nacional (MN), con un inters del 1.6% mensual

b) Cuenta de Ahorros en moneda extranjera (ME), con un inters de 4.5% trimestral

Si piensa retirar su dinero al cabo de 6 aos, cul es la mejor alternativa (cul de ellas le ofrece mayor rendimiento)?. Considere que el tipo de cambio actual es de S/.3.50 y que la devaluacin prevista es del 7% anual.

Solucin:

Primer Mtodo La cuenta de ahorros en MN ofrece una tasa de inters equivalente trimestral en dlares de:

is = (1 + i8.)/ (1 + dev) - 1 is = (1 + 0.016)90130 /(1 + 0.07)901360 - 1 = 3.12% trimestral

Respuesta: Si se compara la tasa de inters del 4.5% trimestral de la cuenta en ME con la tasa de inters equivalente en dlares del3.12% de la cuenta en MN, se puede afirmar que es ms conveniente para Lyan depositar sus ahorros en la cuenta de moneda extranjera, ya que le brinda una mayor rentabilidad.

Segundo Mtodo a) Cuenta de ahorros en moneda nacional:

P = US$680 ist.. = 1.6% efectivo mensual t = 6 aos dev = 7% anual

R. Cornejo- M. Chang. Pg.lS

La tasa de inters anual en dlares es: is1. = (1 + is) (1 + dev) - 1 is = ((1.016)12 1 1 .07)- 1 = 13.06826% anual

El valor futuro de sus ahorros ser: F = 680 (1.1306826)6 = US$1,420.87

b) Cuenta de ahorros en moneda extranjera: P = US$680

= 4.5 % trimestral = 6 aos

dev = 7% anual

La tasa de inters anual en dlares es: is = (1.045)4 - 1 = 19.25% anual

El valor futuro de sus ahorros ser: F = 680 (1.1925)6 = US$1,955.59

Respuesta: La mejor alternativa es la cuenta de ahorros en dlares, ya que por su mayor rentabilidad, se obtendr un mayor valor futuro.


Flujos Constantes y Flujos Corrientes

Definicin:

Flujo corriente: Es aquel flujo representado en moneda circulante del momento en el que se expresa el flujo. La moneda corriente pierde valor en el tiempo si existe inflacin; es decir, que su poder adquisitivo se va reduciendo al ritmo de la inflacin, y gana valor si existe deflacin.

Flujo constante: Es aquel flujo expresado en una moneda referencial la cual es la moneda corriente de un perodo denominado base (que en realidad es un instante base) y que mantiene su poder adquisitivo en el tiempo. Se calcula a partir de un flujo corriente extrayendo el efecto de la inflacin o la deflacin. El caso ms comn es de inflacin.

(5)

Donde: t: tiempo entre el perodo base (momento base) y el momento en que

ocurre el flujo.


1,000 soles -+ moneda corriente

I Hoy 10 afl.os

1.000 soles constantes al momento "O" (1+infl)10

J Hoy 10 afl.os

Nota: En el perodo base (momento base):

Fcorriente Fconstante

Ej 17. Cul es el valor futuro en moneda corriente de un prstamo de S/.1,000 constantes al momento "0", que se cancelar en 10 afios?. Considere una inflacin del 5% anual.

Fcorriente = 1,000 (1 +0.05)10 = S/.1,628.89


Ejl8. Se tiene el siguiente flujo en moneda corriente: S/.10,000

S/.2,000

o 3 7 15 meses

S/.1,000

a) Hallar los flujos constantes, si:

La inflacin acumulada hasta el tercer mes (Infh) es del lO% La inflacin acumulada hasta el sptimo mes (Infh) es de112% La inflacin acumulada hasta el dcimo quinto mes (Inflrs) es del

16%

Solucin: 10,000/(1+0.16) = S/.8,620.69

2,000/(1 +0.12) = S/.1,785.71

o 3 7 15 meses

1;ooot(1+0.1o) =SI. 909.09

R. Corne j - M. Chanq. Pq.17

b) Cul es la inflacin prevista entre el 3er. y 1mo. Mes?

Para hallar la inflacin prevista en un determinado intervalo de tiempo, es necesario considerar que es posible desagregar la inflacin acumulada en un perodo en dos o ms intervalos de tiempo. En el problema, se puede plantear la siguiente relacin:

( 1 +inflo-7) \,.____....,yr----'1

Inflacin acumulada hasta el 7mo. mes

(1 +inflo-3) ~

Inflacin acumulada hasta el3er. mes

* (1 +infl3-7) ~

Inflacin acumulada entre el3er. y el 7mo. mes

De la ecuacin anterior; se despeja la inflacin acumulada entre el 3er. y 7mo. mes, se reemplaza los valores que se tienen como dato y se obtiene:

inf 1 = (1 + inf 10 _7 ) 1 = (1 + 0.12) 1 = l.S2%. 3-

7 (l+infl0_3 ) (1+0.10)

Respuesta: Entre el 3er. y 7mo. mes hay una inflacin prevista del 1.82%.


Tasas de Inters Reales y Corrientes

Definicin:

Tasa de inters corriente (o nominal 1): es aquella que se ve afectada por la inflacin. Las tasas de inters que se observan y aparecen publicadas son corrientes (nominales).

Tasa de ~ters real: Es aquella que resulta luego de deducir la inflacin y mide el incremento (decremento) en capacidad de consumo. Si no se explicita que una tasa de inters es en trminos reales, se sobreentiende que es una tasa de inters corriente (nominal)

Clculo:

(6)

Donde: = Tasa de inters real = Tasa de inters corriente

infl = Inflacin

1 Esta denominacin de nominal, no tiene nada que ver con la misma denominacin en el caso de inters simple; es slo una desafortunada coincidencia que, en ocasiones, puede confundirlo.


Nota: Siempre se debe tener cuidado de trabajar flujo corrientes con tasas corrientes y flujo constantes con tasas reales es decir cumplir con la siguiente relacin:

Fcorrlente icorrlente (nominal)

Fconstante ireal (constante)

Eil9. Los Bonos del Tesoro Americano {Treasury Bilis) tienen un rendimiento del 5.7% anual. Cul es la rentabilidad real anual de estos bonos, si la inflacin anual de Estados Un~dos es del 3%?

Solucin La rentabilidad real se calcula utilizando la frmula (6):

iR = (1 +0.057) -1 = 2.62% (1 + 0.03)

Respuesta: Si la inflacin es la prevista, se puede afirmar que una inversin durante un afio en Treasury Bilis, incrementar en 2.62% la capacidad de consumo.

Ei20. James realiz un depsito a plazo fijo de 4 afios a una tasa. de inters del 35% anual. Si la inflacin prevista es del 15% anual. Cul es la tasa de inters real?


Solucin:

i = (1 + 035) -1 = 17.3913% R (1 + 0.15)

Respuesta: La tasa de inters real es del 17.39% anual.

Ej21. Cul debe ser la rentabilidad mensual de una inversin de US$10,000, si se espera una rentabilidad real del 10% al cabo de 16 meses?. Considere que la inflacin prevista mensual es del 2%.

Solucin: Calculando la rentabilidad mensual con la frmula (6) se obtiene:

ico" = (1 + 0.10) * (1 + 0.02Y6 -1 = 51.006427% para 16 meses ico" = (1 + 0.51 006427Y 116 -1 = 2.6094157% mensual

Respuesta: Debera invertir a una tasa de inters del2.61% mensual.

De la frmula de tasa de inters real, se deduce que:

(l+i$) = (1+is 1J (1 + nf /$) (1 + inf / s 1

y por tanto: (1 + dev) = (1 + inf l s ,.)

(1+inf z~)


En la prctica, esta relacin no se cumple debido a imperfecciones en el mercado (costo transacciones, niveles de encaje, tipo de comercio, etc.)

Ei22. El rendimiento anual de una accin en los dos prximos aos es de 5.9%. Si el rendimiento del primer a.o es del5.7%.

a)

a) Cul es la rentabilidad prevista para el segundo a.o?. b) Cul es la inflacin prevista entre el primer y segqndo a.o, si

la tasa de inters real anual es del 2.62%?.

5.7% X

o 2 aflos

i = 5.9 % anual

Usando el mismo criterio utilizado en el ejercicio anterior para hallar la inflacin en un determinado intervalo de tiempo, se puede obtener la siguiente relacin:

2ano = (1.059)2 (1.057) * (1 +X) ~ "----y---J '----v:---' Rentabilidad Rentabilidad Rentabilidad

acumulada hasta acumulada hasta acumulada entre el2do.alio el1er. al'lo el 1 er. y 2do.al'\o


Luego, reemplazando y despejando en la ecuacin anterior obtenemos que la rentabilidad entre el1er. y 2do. ao es:

ldo.aflo = (1.059i - 1 1.057

= 6.1%

b) Una vez determinada la rentabilidad en el segundo ao y dado que se tiene informacin de la tasa de inters real, se puede hallar la inflacin acumulada entre el primer y segundo afio:

infl2do.aflo = Cl + 0.061) - 1 = 3.39% (1+ 0.0262)

Respuesta: La inflacin acumulada entre el primer y segundo ao es de 3.39%.

Ej23. Suponga que desea tomar un prstamo. De las siguientes tasas de inters, cul de ellas elegira?. Considere que la inflacin anual en el Per es de 9%, la inflacin anual en USA es de 3% y la tasa de devaluacin es de 7.8% anual.

a) Tasa de inters en dlares (is) del 20% anual b) Tasa de inters en dlares (is.) del27% anual

Solucin

Primer Mtodo: Hallar la tasa de inters anual equivalente en soles: is1.= (1 +is) (1 + dev) - 1 s,= (1+0.2) (1+ 0.078) -1 = 29.36%


Respuesta: Con los resultados obtenidos, se puede observar que la tasa de inters en nuevos soles es mejor que la tasa de inters en dlares. (27%


En este punto debe recalc~rse iue en este caso lS tras de inflacin y devaluacin son estimadas, y las conclusiones basadas en estos nmeros sern tan fiables como esas estimaciones.

Ej24. Ud. necesita un prstamo de 5,000 rupias por 120 das. Cul de las siguientes condiciones elegira para tomar el prstamo? (indique en cada caso la tasa de inters efectiva mensual)

a) Prstamo en US$ al2% mensual. La devaluacin esperada de la rupia respecto al dlar es de 1% mensual. El tipo de cambio es de 2 rupias por dlar.

b) Prstamo en Soles al 2,5% mensual. La devaluacin esperada de la rupia respecto al sol es 0.6% mensual. El tipo de cambio es de 1,5 rupias por Sol.

e) Prstamo en rupias al 2,8% mensual ms un cargo de 50 rupias al momento de cancelar el prstamo.

d) Prstamo en rupias constantes al 1,5% mensual. La inflacin en rupias es del1,6% mensual.

Solucin: En la solucin de este ejercicio se est asumiendo que la moneda dbil respecto al dlar y al nuevo sol es la rupia.

a) is = 2% mensual Devrup/$ = 1% mensual TC = 2 ru.pias/US$

La tasa de inters mensual equivalente en rupias es: . irup = (1.02)(1.01)- 1 = 3.02%


b) ist. = 2.5% mensual

e)

Devrup/S/. = 0.6% mensual TC = 1.5 rupias/SI.

La tasa de inters mensual equivalente en rupias es: irup (1.025)(1.006)- 1 = 3.115%

irup cargo adicional

= 2.8% mensual =50 rupias

El valor futuro de la deuda ser:

F = 5,000(1.028)4 + '------y--1 Valor Futuro

clel prstamo

50 "-y--J

Cargo

La tasa de inters efectiva de la deuda es: er = 5.633.96 - 1 = 12.6792423%

s;ouu

= 5633.96

La tasa de inters mensual equivalente es: rup = {1+0.126792423)301120 -1 = 3.0293546%

d) ir = 1.5% mensual Inflacin = 1.6% mensual

La tasa de inters mensual equivalente es: irup = (1.015)(1.016) = 3.124o/o

Respuesta: elegira la opcin a) puesto que representa una menor tasa de inters, respecto a las otras alternativas disponibles.


Una aplicacin comercial: Descuento por Pronto Pago

Defmicin:

En las transacciones comerciales, frecuentemente existen descuentos cuando se realiza la cancelacin de pagos antes de la fecha pactada inicialmente. Por ejemplo: Un comerciante que vende su mercadera con crdlito a 30 das, pero que da un descuento del 5% sobre el monto total de la deuda si se realiza el pago 10 das antes de la fecha de vencimiento.

Ej25. El jefe de produccin ha detectado que va a ser necesario realizar una compra adicional de insumo tipo A, para poder concluir con la produccin del mes. La compra se realiz con crdito a 43 das, por un monto de S/.8,321.40. Adicionalmente, el proveedor ha ofrecido conceder un descuento del 5% si se paga 30 das antes de lo pactado inicialmente. Cul es el costo efectivo anual del descuento ofrecido por el proveedor?

Solucin :

Compra de mercaderla

Descuento 5% por pagar 30 das antes

S/.8,321.40 * 0.95 S/.8,321.40

R. Carne jo - M. Chang. Pg22

El costo efectivo del descuento es: JOd = 8,321.40 - 7,905.33 = 5.26%

7,905.33

El costo efectivo anual ser: lanual = (1 + 0.0526)360130 - 1 = 85.06%

Respuesta: El costo efectivo anual del descuento ofrecido por el proveedor es de 85.06%. Cabe resaltar que la decisin de optar por este descuento va a depender de la disponibil idad que tenga ese dinero y de su costo de oportunidad.

Ei26. La empresa agropecuaria "La Lechera" S.A. requiere abastecerse de botellas plsticas para el envasado de su producto, realiza una compra de 40,000 botellas a S/. 0.35 cada una. Segn la poltica de compras de la empresa1 toda ~actura es cancelada a los 53 das de realizada la compra. El proveedor de botellas, enterado de esta situacin, le ofrece un descuento del 6% si cancela 30 das antes. Cul es el costo anual del descuento?

Solucin:

El valor total de la compra ser: 40,000 0.35 = S/.14,000 Compra

o 23 53

14,000. 0.94 14,000

.Apuntes de Matemticas Financier as

El costo efectivo del descuento ser (Frmula (3)): 130 = 14,000 - 13,160 6.3829%

13,160 El costo efectivo anual ser:

i = (1 +0.063829)360130 - 1 110.119%

Respuesta: El costo efectivo anual del descuento es del110.19%.

Anualidades 1 Definicin:

Las anualidades pueden ser definidas como una serie de flujos que tienen las siguientes caractersticas: Flujos de igual magnitud Se repiten peridicamente Tasa de inters constante durante el periodo en el cual ocurren los

flujos de igual magnitud.

R. Cornejo - M. Chanq. Pq.23

Clculo:

Valor Presente

Peq

A A A A A A

le>

Apuntes de Matemttcos Financieras

Valor F uturo

Feq

A A A A A u

lo to11 to2 lO+) to.. IO+s ......................... lo+.

(8)

Donde: Feq : Valor futuro equivalente a los n flujos peridicos capitalizados a

A 1

n

la tasa i. :Anualidad (Magnitud del flujo que se repite) : Tasa de inters efectiva del perodo : Nmero de flujos

Nota: El valor presente equivalente de las anualidades, siempre va a

estar un perodo antes del primer flujo. El valor futuro equivalente de las anualidades, siempre va a

estar en el perodo que se realiza el ltimo flujo. El nombre anualidad no implica que los pagos tengan que ser

anuales, es una forma general de denominar los pagos peridicos, independientemente si son trimestrales, mensuales, quincenales, etc.

R. Carne jo - M. Chang. Pg.24

Observacin: Antes de aplicar la frmula se debe comprobar la concordancia entre la tasa de inters, tiempo y periodicidad de las anualidades. Siempre se debe acomodar la informacin en base a la periodicidad de las anualidades.

C lasificacin : Anualidad Cierta: cuando se conocen las fechas de inicio y trmino

del plazo. Ej. Cuando compra un artefacto elctrico con un pago inicial y un nmero fijo y determinado de cuotas.

Anualidad Eventual: cuando su inicio o su trmino depende de un evento contingente. Ej. el pago de una pensin de jubilacin.

Anualidad Anticipada: los pagos se efectan a l inicio de cada perodo. Ej. el pago del alquiler de un auto.

Anualidad Ordinaria o Vencida: los pagos se realizan al fina l de cada perodo. Ej. el pago del consumo de agua potable.

Anualidad Inmediata: cuando e l primer pago se hace en el primer perodo, puede ser anticipada o vencida. Ej. cuando al adquirir una casa, se conviene en iniciar los pagos desde el momento que se firma el contrato.

Anualidad Diferida: cuando el primer pago se hace despus de un plazo determinado. Este plazo puede ser: perodo de gracia (dond~ slo se pagan los intereses) o perodo muerto (donde no se pagan ru amortizaciones ni intereses). Ej. se realiza una compra de un auto, pero se conviene que el primer pago lo va a efectuar despus del quinto mes de realizada la entrega.

Anualidad Perpetua: cuando tiene un nmero infinito de pagos. Se puede considerar como una anualidad infinita aquellas cuyo nmero de pagos es muy grande. Se utiliza frecuentemente para la evaluacin de proyectos de invers in.

Apuntes de Matemticos F inancieras

Clculo del valor presente de una anualidad perpetua:

(9)

En la solucin de los siguientes problemas, salvo que se especifique lo contrario, el primer flujo de la anualidad se ubicar al periodo siguiente al momento inicial.

Ej27. Una empresa constructora est vendiendo departamentos que pueden ser cancelados con una cuota inicial de US$800 y 18 mensualidades de US$650 a partir del primer mes de la entrega del departamento. Cul es el costo del departamento, si la tasa de inters es del 28% anual?

Solucin: p

J

i = 28% anual o 2 . ......................... A .. ;;$e})Q'""""'" '"" 17 1 ~ cuotas

$800 ,,

Dado que los flujos son mensuales, es necesario hallar una tasa de inters de mensual:

R. Corne jo- M. Chang. Pg.25

lm = (1 +0.28)(301360) -1 = 2.07847% mensual

Aplicando la frmula (7) se obtiene el valor actual de las 18 mensualidades:

p = 650[1 - {1 + 0.0207847t's] = US$9,677.92 0.0207847

Luego, el costo total del depa1.tamento ser:

9,677.92 '----y-------' Valor actual

de las mensualidades

+ 800 "---y----1

Cuota inicial

= US$10,477.92

Respuesta: El costo d~l departamento es de US$10,477.92

Ej28. Segn las clisposiciones de la empresa que trabaja Manuel, cada siete aos deber recibir un pago "especial" de reconocimiento por la labor realizada dentro de la empresa. Este pago asciende a S/.400 y lo va a recibir desde los 38 aos hasta los 66 aos. Calcular el valor actual de esos pagos si se sabe que actualmente Manuel tiene 27 afios y espera un rendimiento del 20% anual.

Apuntes de Matemticos Financieras

Solucin:

[ l 400 400 400 400 400 1 1 1 1 1 27 JI 38 45 52 59 66 anos

Dado que los flujos son cada 7 aos, es necesario hallar una tasa de inters de 7 afos y calcular el nmero de flujos de 7 afos que se presentan en el perodo. La tasa de inters equivalente para un perodo de 7 aos ser:

h = (l +0.2)7 - 1 = 258.32%

Luego, se determina que el nmero de flujos de siete aos que hay entre los 38 y los 66 aos es cinco. Una vez estandarizados los datos, se aplica la frmula para obtener el valor presente de estos pagos (Frmula (7)):

[1- (1 + 2.5832rs] P.q = 400 = S/. 154.58 en el ao 31

2.5832

Ntese que el valor actual de estos flujos se ubica en el ao 31 (7 aos antes del primer pago), por lo que es necesario actualizarlo cuatro aos (Frmula (1)):

R. Cornejo- M. Cnang. Pg.26

p = peq - 154.58 -o ( .)4 - 4 -S/.74.55 1+ / (1+0.2}

Respuesta: El valor actual de los cinco pagos que va a recibir Manuel cada siete aos, es de S/.74.55.

Se preguntar: Cmo cinco pagos de S/.400 se convierten en S/.74.55?. La respuesta est en la tasa de descuento y en el plazo tan . largo en que se dan los pagos.

Ej29. Ailyn acaba de ganar el premio de la Cuenta Millonaria de Interbank que consiste en recibir durante toda su vida tm ingreso anual de US$1,000, los cuales van a ser depositados en una cuenta de ahorros que paga 10% anual. Cul ser el valor presente de este premio?.

Solucin:

1,000 1,000

o 2 3 4 5 6 7 ...

Se puede inferir, que bajo condiciones normales, el nmero de pagos va a ser muy grande por lo que se procede a resolver este .p~oblema


utilizando anualidades perpetuas. Con los datos proporcionados se reemplaza en la frmula (9):

P =A= l,OOO = US$10 000 eq i 0. 1 '

Respuesta: El valor actual del premio ser US$1 0,000.

Ej?O. Si Luisa invierte S/.25,000 a una tasa de inters del 3% mensual. Cunto podr retirar cada 15 das durante 9 meses?

Solucin: i = 3% mensual

A = ?

O l 2 ........................................ .......... ........... ........... 17 18 quincenas

SI. 25,000

Dado que los flujos son quincenales, es necesario obtener la tasa de inters quincenal:

lq = (1 +0.03)(15130) -1 = 1.4889% quincenal

Luego de la frmula (7), se despeja el valor de las anualidades y se reemplaza los datos:

A= 25000[ O.Ol4889 ] = S/.1 593.56 1- (1 + 0.014889f18 '

R. Cornejo- M. Chang. Pg.27

Respuesta: Si realiza esa inversin, Luisa podr retirar quincenalmente S/. 1,593.56

Ej3l. Jess decide vender su terreno de Chaclacayo y para agilizar su venta pubca un aviso clasificado en el diario. La misma tarde de la publicacin del aviso, recibe tres propuestas de compra:

a) El primer comprador le ofrece S/. 7,000 al contado b) El segtmdo le ofrece S/.3,500 al contado y 7 pagos

bimestrales de S/.550 e) El tercero le propone S/ .2,000 al contado y 12 pagos

mensuales de S/.420

Cul de las tres opciones le conviene ms, si sabe que el diriero le redita 15% anual?

Solucin:

Para resolver este problema es necesario hallar un valor en cada una de las propuestas que haga posible su comparacin. Lo ms prcrico y simple es hallar el valor actual de cada propuesta, no se recomienda hallar valores futmos pues Los flujos tienen diferentes horizontes de duracin y no sera posible llegar a una conclusin a partir de sus valores.

a) La primera opcin es recibir un pago de S/. 7,000 al contado.

b)

Por obvias razones, en esta opcin no es necesario hacer conversin algna.

SI. 3,500

1 i = 15% anual

A= S/.550 1

o 2 3 4 5 6 1 bimestres

Apuntes de Matemticos Finoncie:ras

En esta opcin es necesario hallar el valor actual de los 7 pagos bimestrales y adicionarle el desembolso iniciaL Como los flujos son bimestrales es necesario hallar la tasa de inters equivalente bimestral:

tb = (1 +0. 15) -1 = 2.35671% bimestral

Reemplazando en la frmula (7):

P = 550[t - (l+0.023567tr7

] =S/.3S t l.29 ~ 0.0235671 '

Luego, el valor actual de esta opcin ser:

e)

PT = 3,500 '--y---J

Desembolso inicial

SI. 2,000

t o

+ 3,511.29 '--y---J Valor actual de los pagos bimestrales

i = 15% anual

A= S/.420

= S/.7,011.29

2 ..... ...... .... .... .... .. . .................... .... ........ .............. ll 12 meses

En la tercera opcin, al igual que la anterior, es necesario determinar el valor actual de las 12 mensualidades y adicionarle e l desembolso inicial. Como los flujos son mensuales , se requiere la tasa equivalente mensual:

R. Cornejo - M. Chonq. Pg.28

im = ( l +0.15)(301360) -1 = 1.17149% mensual Reemplazando en la frmula (7):

P = 420[1- (1 + 0.017149t2] = S/.4 676.31 eq 0.0117149 '

El valor actual de esta opcin ser:

PT = 2,000 '--y---J

Desembolso inicial

+ 4,676.31 '--y---J Valor actual de los pagos mensuales

= S/.6,676.31

Respuesta: Luego de analizar Las tres opciones, se puede verificar que la segunda es la mejor opcin. (valor actual de S/. 7,0 11.29)

Ej32. Qu renta trimestral sustituye a los pagos quincenales de US$45 a una tasa del 6% semestral, rea lizados durante seis meses?

Solucin: Ammestral Ammestral

Aqulneenal Aquu1ccnol

2 3 4 S 6 7 8 9 lO ll 12

p


Primer mtodo: Las tasas de inters equivalentes son:

( O I~IW . = 1 + .06) - 1 = 0.48675% qumcenal ( O 6)90/180 . = 1 + .O - 1 = 2.95631% tnmestral

Como no se modifican e l horizonte de tiempo ni la tasa de inters definidos inicialmente, no es necesario determinar el valor actual de los pagos de pago y se puede simplemente reemplazar seis pagos quincenales por un solo pago trimestral (Atrim) Este pago trimestral coincidentemente est ubicado en el mismo instante en que se realiza el 6to. pago quincenal pudindose considerar como el valor futuro de estos 6 flujos quincenales.

Luego, con la frmula (7) de valor futuro se calcula Amm:

A . = 45[(1 + 0.0048675)6 -1] = S/.273.30 trl!n 0.0048675

Segundo mtodo: El valor presente de los pagos quincenales ser:

p = 45[ 1- (1 + 0.0048675f12

] = S/.523_30 eq 0.0048675

Luego, se debe hallar los dos pagos trimestrales (en seis meses hay dos trimestres) que se deben realizar para obtener un valor actual de S/.523.30:

p

o

R. Cornejo- M. Ch011q. Pq,29

. S/.273.31 A = 523 JO[ 0.0295631 ] = 1- c1 + o.o29563Ir2

Respuesta: La renta trimestral equivalente es de S/.273.30

Ej33. Desde hace tres aos y con pagos semestrales de S/.2,500 cada uno, Roberto comenz a pagar una hlpoleca que haba contrado por un departamento que adquiri por un plazo de 1 O aos. Luego de cancelar el sexto pago, decide cancelar el resto de su deuda con pagos trimestrales, sin variar la tasa ni el plazo definidos inicialmente. A cunto ascendern los nuevos pagos si la tasa de inters es del 6.5% semestral?

Solucin:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Asemcslnl 1~ Ammestral ,r

La tasa de inters equivalente trimestral es: = (1 +0.065)901180 - 1 = 3.19884%

.

15 16 17 18 l9 20 semestres

Al igual que e1 primer mtodo del ejercicio anterior, dado que no se modifican los horizontes de tiempo ni la tasa de inters definidos inicialmente, no es necesario determinar el valor actual d,e los pagos


pendientes de pago y se puede simplemente reemplazar un pago semestral por dos pagos trimestrales (Amm), para lo cual se puede utilizar la formula (7):

2500 =A . [ (1 + 00319884)2

-l] = S/.1 230.32 lnm 0.0319884 '

Respuesta: La renta trimestral equivalente es de S/.1 ,230.32

Ej34. Se compra una maquinaria cuyo costo es de US$35,400 con un anticipo del 30% de dicho costo y el resto en 24 pagos quincenales, con un atractivo adicional para el comprador que consiste en efectuar e l primer pago hasta el final de la cuarta quincena. Cul es el valor de los pagos si la tasa de inters es del 24% anual?

Solucin: i = 24% anual

A=?

o 1 2 4 .......................................................................... 27 quincenas

SI. 35,400*0.7

V P' La tasa de inters e~uivalente quincenal es: i = (1 +0.24)15136 - 1 = 0.90033% quincenal


Cuando existen pagos diferidos, como ya se mencion en la parte introductoria de anualidades, existen dos tipos de plazos. Periodo de gracia y periodo muerto. El ms utilizado de ellos es el periodo de gracia (slo se pagan intereses).

En el ejercicio no se especifica e l tipo de plazo basta la cuarta quincena, por lo que se ha considerado como un periodo de gracia. Para poder hallar los pagos quincenales requerimos que el valor del costo de la maquinaria se ubique en la tercera quincena (un periodo antes del primer pago):

P' = 24,780(1 +0.0090033)3 = US$25,455.35

Luego, reemplazando y despejando en la frmula (7) se tiene: A = 25 455.3J 00090033 ] = S/.1 184.10

' 11-(1 + 0.009033f24 '

R espuesta: Los pagos quincenales que deber realizar son de S/.1,184.10

Ej35. Una conocida cadena de supermercados decide contratar por un ao los servicios de limpieza de la empresa "Blancura S.A." y convienen en pagar de la siguiente forma:

5 abonos mensuales de US$750 los primeros cinco meses 6 pagos quincenales de US$600 los siguientes tres meses.

Apuntes de Motemt1cas Fmanc1eras

Cul es el desembolso total que deber hacer la empresa si decide pagar todo el servicio al contado?. Considere que el dinero redita un 8.5% semestral.

Solucin:

' P" ~----,, .............

'

'

o 1 2 3 4 6 7 8 meses

A = 600 A = 750 mensual quincenal

Pr "--y--1

= P' + P"o '----y--J

Desembolso Total

"--y-1 Valor actual de los pagos mensuales

Valor actual de los pagos quincenales

a) El valor actual de las cinco cuotas de US$750 c/u es:

A = US$7 50 quincenales n = 5 cuotas

= (1 +0.085)301180 - 1 = 1.36895% mensual

p ' = 7so[l- (l +0.013689srs ] =US$3,600.78 0.0136895

R. Corne 10 - M. Chang. Pq.3 l

b) El valor actual de las seis cuotas de US$600 c/u es: A = US$600 quincenales n = 6 cuotas

i = ( 1 +0.085)151180 - 1 = 0.682 L 5% quincenal Como estos pagos se realizan a partir de la primera quincena del sexto mes, el valor actual equivalente de estos pagos se va a ubicar en el quinto mes (Frmula (7)):

P"= 60J 1- (1 + 0.0068215f6] = US$3 515.59 1 0.0068215 , Actualizando P" al momento "O" con la frmula (1):

P"o= 3515.59 = US$3 284.53 (1 + 0.0136895)5 '

Finalmente, el desembolso total del servicio debe ser: PT = 3,600.78 + 3,284.53 = US$6,885.31

Respuesta: El monto que tendr que desembolsar es de US$6,885.45

Ej36. Se toma un prstamo bancario de S/. 6500 por un plazo de 2 aos a una tasa de inters del 12% anual. Se conviene en pagar el prstamo en pagos trimestrales. Luego del. tercer pago, se logra un refinanciamiento del resto de la deuda por 6 pagos quincenales a una tasa de 6% semestral. Calcular el valor de Jos nuevos pagos quincenales.

Apuntes de Motemtcas Finoncier


Una aplicacin comercial: Amortizacin de un prstamo

La cancelacin de una deuda u obligacin puede realizarse de diversas formas, dependiendo de los tnninos transaccionales (nmero de pagos, tasa de inters, periodicidad de pagos, entre otros) en que esta ha sido pactada. El principio bsico para la amortizacin de un prstamo es que el valor actual de los pagos a la tasa de inters debe ser igual al valor inicial del prstamo.

A continuacin se da una breve explicacin de dos mtodos de amortizacin:

a) Pagos constantes b) Amortizaciones constantes

Los pagos son los desembolsos peridicos o irregulares que se realizan para amortizar una deuda. Tienen dos componentes: amortizacin (que es la reduccin de la deuda original) e intereses (que es generado a partir de los saldos de deuda y de la tasa de inters pactada). Los pagos constantes se comportan como una anualidad, por lo que su clculo puede ser fcilmente determinado utilizando la frmula (7).

Las amortizaciones constantes hacen referencia se calculan con la siguiente frmula:

Prstamo Amorlizacin == -------Nmero de Pagos

(10)


Ej38. Mercedes solicita un prstamo de S/.15,000 por tm plazo de 8 meses. El banco le propone dos formas de pago:

a) Pagos mensuales constantes b) Amortizaciones mensuales constantes.

Elaborar en ambos casos el cuadro de servicio a la deuda, considerando que la tasa de inters es del 1.4% mensual.

Solucin

a) Como los pagos son mensuales y constantes, pueden ser calculados con la frmula de anualidades (7):

A= 15,000[ 0014 8 ] ""S /.1955.04 1-0 + o.o14r

Luego el cuadro de servicio a la deuda ser:

f Saldo Deuda 15 000 13,2 15 11 405 9 570 7,708 5 821 3 908 1,967 o Amonizacin 1 785 1 810 1 835 1 861 1,867 1,9 14 1,940 1,967 Intereses 210 185 160 134 108 81 55 28 ~oWjj~~~ ]'i!ffl\~~ ;-:lf~$.'5:!' ~:;!)g'&)~!~ ,lllrul.55!"'" '~!Wi9'5s :~ 'l!ii!,..95s;' >!lil~'/)55~f, ,j'~!9'551';!; 'fi:W"s5lr

b) Se calculan las amortizaciones constantes dividiendo el monto del prstamo en ocho pagos constantes; utilizar la frmula (1 0):

A rt. ., 15,000 SI mo IZBC/On == == .1,875 8

Luego el cuadro de servicio a la deuda ser:

Apuntes de Matemtcas Fmanc1eras

Valor Actual Neto 1

Definicin: E l Valor Actual Neto (VAN) es considerado como una de las herramientas de evaluacin ms eficaces, representa el valor presente todos los ingresos y egresos futuros; haciendo posible tomar la decisin de realizar o no una inversin

E l VAN es tan bueno como la calidad y cantidad de informacin, asf como la razonabilidad de la tasa de descuento que se utiliza, y en ese sentido, sabemos que no puede ser considerado como un nmero mgico. Sin embargo, metodolgicamente ayuda mucho centrarse en el valor conceptual de este nmero.

a. El VAN depende de dos componentes: los flujos esperados y la tasa de descuento. Sobre la tasa de descuento lo nico que, por ahora, debe tenerse en mente, es que existe una y slo una tasa de descuento apropiada para cada proyecto.

b. Respecto a los flujos esperados debe tomarse en consideracin Jo siguiente:

R. Corne 10 - M. Chanq. Pq.34

c. Los flujos esperados, deben ser lo que su nombre indica: valores esperados; no se trata de valores mximos o mnimos y en ese sentido, la magnitud que se utiliza es el promedio ponderado de los valores posibles. La idea no es que el VAN sea pesimista u optimista, pues si este fuera el caso, el nmero que habramos calculado no sera un Valor Actual Neto, y ms bien sera un nmero de dificil anlis is.

d. Los flujos esperados deben reflejar, traducido a equivalentes monetarios, todos los efectos de aceptar la inversin en anlisis. Esto es ms fcil hacerlo que simplemente escribirlo; sin embargo, ese debe ser el empeo al momento de identificar la relevancia de los flujos y su magnitud. Una prueba final que debe realizarse es verificar que efectivamente, todos los efectos previsibls del proyecto estn reflejados en los flujos proyectados.

e. Al decidir sobre la relevancia de un flujo de caja (es deci ~. sobre si debe o no incluirse, se debe analizar si el flujo existe como efecto de la aceptacin del proyecto, en cuyo caso es relevante, de otro modo no debe incluirse).

f. La eleccin de la moneda, y si esta es a valores corrientes o constantes, no deben alterar los resultados, pues en ambos casos se trata nicamente de decidir unidades de medida. E l mismo razonamiento debe emplearse para el caso del horizonte de evaluacin. El VAN debe ser el mismo se evale a 5, 1 O 50 afias (por supuesto, siempre y cuando el proyecto tenga una vida de al menos 50 afos), pues si se trata de incluir todos los efectos del proyecto, si se evala a 5 aos, deber incluirse todos los efectos del proyecto ms all del afio 1 O, y as sucesivamente.


VAN - V ngresos- V Aegresos (11)

< 1 .. + .. r) ' (12) F t n I VAN

Simbologa:

Flujos de ingresos

Flujos de egresos

En la solucin de Jos siguientes ejercicios se va ha hacer uso de todas las frmulas revisadas anteriormente.

Ej39. Se tiene el siguiente flujo de caja:

S/.300

J o 6 8 aos


)

Cul de los dos flujos es el mayor?

Antes de leer estos Apuntes, probablemente su respuesta rpida sera: " Obviamente los S/.300". Con el conocimiento adquirido, lo ms probable es que su respuesta sea: "Depender de la tasa de descuento".

Recuerde que slo cuando los flujos estn en el mismo perodo, es posible compararlos.

Para poder comparar los S/.200 del ao 6 con los S/.300 del ao 8, existen varias posibilidades entre ellas:

a) Actualizar los S/.300 al ao 6 b) Capitalizar los S/.200 al ao 8 e) Actualizar los S/.300 y S/.200 al momento O

Para una tasa de descuento del 20% anual:

a) Actualizar los S/.300 al ao 6, utilizando la frmula (1): Ps = 300 = S/.288.33

( 1.2)2

Los S/.300 del ao 8, se convirtieron en S/.288.33 del ao 6. Ahora que ambos flujos se encuentran en el mismo perodo, es factible compararlos. Luego: S/.288.33 es mayor que S/.200.

b) Capitalizar los S/.200 al afio 8, utilizando la frmula (1): Ps = 200 (1 +0.20)2 = S/.288 Los S/.200 del ao 6 se convirtieran en S/.288 en el ao 8. Luego: S/.300 es mayor que S/.288.

Apuntes de Matemt icos financieras

e) Actualizar los S/.300 y S/.200 al momento O, utilizando la frmula (1):

Po =

Po =

200 = S/.66.98 (1.2)6

300 = S/.69.97 (1.2)8

Los S/.200 del ao 6 se convirtieron en S/.66.98 y los S/.300 del ru1o 8 se convirtieron en S/.69.97 del momento O.

Luego: S/.69.97 es mayor que S/66.98.

Se puede verificar que cualquiera de las tres opciones nos llevan a la misma respuesta. Note lo importante que es la tasa de descuento, pues si se evala con una tasa de descuento del 30%, la respuesta sera que el flujo de S/.200 en e1 ao 6 es mayor que el flujo de S/.300 en el ao 8. (la comprobacin de esta ltima afirmacin queda como un ejercicio encargado para su solaz y entretenimiento).

Ej40. Se tiene el siguiente flujo:

S/.200 S/.300

1 = 1 0% rumal

o 2 4 anual

..

S/.100 S/.350


Determinar el valor actual de las inversiones y de los ingresos proyectados.

Solucin:

a Clculo de ingresos:

p ~----------------"""""' ------.,... ______ _

S/.200 S/.300

= 10% anual

o 2 4 anual

S/.100 S/.350

Actualizando los S/.200 del segundo ao (Frmula (1)): P2 = 200 = S/.165.29

(I. l i

Actualizando el flujo de S/.300 del cuarto ao (Frmula ( 1 )): P 4 = 300 = S/.204.90

( 1.1 )4

El total de ingresos ser: P2 + P4 ~ Pr = 165.29 + 204.90 = S/.370.19


b. Clculo de inversiones:

S/.200 S/.300

= 10% anual

o 2 4 anual

S/.100

S/.350

Actualizando los S/.100 del primer ao (Frmula (1)): P1 = __lQQ_ = S/.90.91

(1.1)2

Actualizando los S/.350 del tercer ao (Frmula (1)): P3 = ~ = S/.262.96

(1.1 )2

El total de inversiones ser: p, + p3 + PT = 90.91 + 262.96 = S/.353.87

R espuesta: El valor actual de los ingresos es S/.370.19 y el valor actual de la inversin de S/.353.87.

R. Cornejo - M. Chang. PgJ 7

Ej41. Se tiene el siguiente flujo de caja:

S/.2540 s/.y5o

o 8 15 23 27 meses

r ,,

$435 $225 $970

Calcular el valor actual neto (VAN) del flujo en US$, considerando: is = 14% efectivo anual TC = SI. 3.50 dev = 0.3% mensual

Solucin:

Existen varias formas de resolver este flujo. Primer mtodo: Dado que se tiene flujos de distintas monedas, se puede trabajar por separado flujos en nuevos soles y los flujos en dlares, hallar su valor actual y luego convertir uno de ellos en funcin del otro; es decir, convertir el valor actual en nuevos soles a su equivalente en dlares o viceversa.

Segundo mtodo: Otra forma de resolver los flujos es haciendo la estandarizacin de todos los flujos a una sola moneda, para lo cual ser necesario hallar el tipo de cambio en los diversos momentos donde se realizan los flujos, y luego sumar el valor actual de todos los flujos.


Tercer mtodo: Hallar por separado el valor actual de los flujos de ingresos y el valor actual de los egresos. Determinar el VAN restando al valor actual de los ingresos el valor actual de los egresos.

A continuacin slo se resolver el primer mtodo propuesto, dejando como un ejercicio propuesto el segundo mtodo, pues por simple coincidencia de este ejercicio, el tercer mtodo es igual al primero.

La tasa de inters equivalente mensual en dlares es: 1s. = (1 +0.14)1112 - 1 = 1.098%

La tasa equivalente mensual en nuevos soles es: Ist. = (1+0.01098) *(1+0.003)- 1 = 1.401%

Clculo de los flujos en nuevos soles:

VA _ 1,850 + 2,540 (S/ .) - (1 + 0.0141}15 (1 + 0.0141}27

VAcsn = 1,501.50 + 1,744.51 =S /.3,246.01

Luego, se convierte el valor actual de S/.3,246 a su equivalente en dlares:

VA = 3,246.01 = 927.43 1($) 3.50


Clculo de los flujos en Dlares:

VA.z = 970 + 435 + 225 ($) (1+0.01098)8 (1+0.01098)23

VA.z = 970 + 398.61 + 175.03 = $1,543.65

El valor actual del flujo ser: VAN= 927.43 - 1,543.65 = US$ -616.21

R espuesta: el valor actual neto del flujo es de US$-616.21.

Ej42. En un proyecto de inversin que tiene una duracin de 6 aos, se realizan las siguientes inversiones: US$5,000 inicia).mente y US$1 ,000 al final del segundo ao. Los costos fijos trimestrales son de US$50 y se espera tener ingresos anuales consfantes de US$2,500 desde el primer ao y durante todo el proyecto. Calcular el valor actual neto de este proyecto, si el coslo de oportunidad es de 2% mensual.

Solucin:

A = US$2,500 anuales

o 1 J 4 ) t A = US$50 trimestrales

anos

US$1,000

US$5,000


Dado que el valor actual de los ingre~os se comporta como una anualidad, se puede utilizar la frmula (7) pata detetminar su valor: La tasa de inters e~uivalente anual es:

i = (1+0.02)3 130 - 1 = 26.82418%

P. = 250J 1-(1 + 0.2682418)-6] = US$7 080.19 1 1 0.268241 8 ,

Al igual que los ingresos, los egresos se comportan como una anualidad por lo que su valor actual se determina con la frmula (7): La tasa de inters e3uivalente trimestral es:

i = (1 +0.02)90 30 - 1 = 6.1208%

P = so[l- (l + o.o6t2osr24 J = US$620.57 2 0.061208

El valor actual de la inversin de S/.1 ,000 realizada al final del segundo ao ser:

La tasa de inters equivalente anual es: i = (1+0.02)360130 - 1 = 26.82418%

p - 1,000 3

- (1 + 0.2682418 )2 =US$621.72

PT= -5000 p3 + PI p2 '--y---1 ~ ~ ~ Inversin Inversin Valor actual Valor actual

inicial realizada en el de los de los segundo ao ingresos egresos


Itt = 7,080.19 - 5,000 - 620.57-621.72 =US$837.90

Respuesta: El valor actual neto de este proyecto es de US$837.90

Apuntes de Matemticas financieros

1 Ejercicios Propuestos 1 Inters Compuesto - Tasas de Inters Equivalentes l. Ud. realiza una inversin por S/.1 0,000 y desea ganar un 40% anual

sobre dichos fondos. Cunto obtendr al cabo de: a) 1 ao b) 2 aii.os e) 5 aos d) 10 aos e) 14 aos

R a) 14,000 b) 19,600 e) 53,782.40 d) 289,254.65 e) 1' 111,200.68

2. U d. quiere ganar S/.51,000, y desea tener una rentabilidad de 2.5% mensual sobre dicha inversin. Cunto deber invertir, si el proyecto dura: a) 2 aos b) 9 trimestres e) 5 semestres d) 15 meses e) 148 das

R. a) 28,196.64 b) 26,183.39 e) 24,313.88 d) 35,213.74 e) 45,150.83

3. Si la tasa efectiva anual es de 28% anual. Hallar la tasa equivalente: a) mensual b) trimestral e) semestral d) quincenal e) bimensual

R. Cornejo - M. Chong. Pg.40

R. a) 2.078% b) 6.366% e) 13.137% d) 1.034% e) 4.20%

4. Si la tasa efectiva mensual es de 1.5%. Hallar la tasa equivalente: a) trimestral b) semestral e) anual d) diaria e) quincenal

R. a) 4.568% b) 9.344% e) 19.562% d) 0.05% e) 0.747%

5. Con qu tasa de inters mensual un prstamo de S/.15,000 se convertir en S/.1 7,500, al cabo ele: a) 7 m eses b) 14 meses e) 6 trimestres d) 3 aos e) 16 quincenas

R. a) 2.227% b) 1.107% e) 0.860%, d) 0.429% e) 1.946%

6. Cul es el valor de una inversin realizada, cuyo valor de liquidacin es de S/.62,000 y que rindi 4% trimestral por un plazo de: a) 6 semestres b) 2 aos e) 13 meses d) 10 trimestres e) 20 quincenas


R. a) 38,725.02 b) 45,302.79 e) 52,309.50 d) 41,884.98 e) 54,401.88

7. Calcular el valor de la inversin realizada durante 14 meses, con un rendimiento anual del 12% y que gener: a) S/. 18,000 b) S/. 45,000 e) SI. 120,000 d) SI. 230,000 e) S/. 85,000

R. a) 15,770.72 b) 39,426.80 e) 105,138.12 d) 201,514.74 e) 74,472.84

8. Calcular el monto que se obtendr al cabo de 5 aos, si se espera tener una rentabilidad del 1,5% mensual y se invierte: a) S/. 12,000 b) S/. 28,000 e) S/. 75,000 d) SI. 135,000 e) SI. 320,000

R. a) 29,318.64 b) 68,410.15 e) 183,241.48 d) 329,834.67 e) 781,830.33

9. Si la tasa efectiva diaria es de 0.05%. Hallar la tasa equivalente: a) 174 das b) mensual e) anual d) 289 das e) quincenal

R. Cornejo - M. Chang. Pg.4l

R. a) 9.087% b) 1.511% e) 19.716% d) 15.542% e) 0.753%

10. Usted deposita US$10,000 en una cuenta de ahorros que paga 12% de inters efectivo anual. Si retira el total de sus fondos. A cunto ascender este monto si:

Los retira a los 5 meses? Los retira a los 268 das? Los retira a los 3 aos? Los retira a los 190 das?

a) Cules seran los montos si la tasa de inters efectiva fuera 1.2% mensual?

b) Si se realiza un nuevo depsito de US$ 10,000 al mes, Cules seran estos moritos?

R. 10,483.53 10,880.28 14,049.28 10,616.37 a) 10,614.57 11,124.47 15,363.79 10,784.75 b) 20,868.52 21,658.29 27,966.50 21,132.96

11 . Calcule la tasa efectiva mensual de las siguientes operac10nes (considere aos de 360 das y meses de 30 das). a) Luis se presta S/.500 y paga S/.700 a los 67 das b) Rosita presta 300 sacos de arroz y le devuelven, luego de 100

das, 400 sacos de azcar. El precio del azcar al momento del prstamo es de S/.2.00 y S/.1.65 respectivamente, y al momento del pago son de S/.2. 10 y S/.1.60 respectivamente. Desprecie los costos de transaccin.

R. a) 16.26% b) 17.193%

12. Un amigo le ofrece un certificado de depsito que pagar US$1 0,000 a su vencimiento, el cual ocurrir dentro de 217 das.


a) Si Usted espera ganar al menos 2.5% efectivo mensual, Cunto ofrecera por este certificado?

b) Si el precio del certificado es US$8,400, Cul ser el rendimiento de este instrumento?

e) Si el certificado pagara intereses por US$500 dentro de 64 das y desea ganar 2.5% efectivo mensual, Cunto ofrecera por este certificado?

R. a) 8,364.32 b) 2.44% e) 8,838.56

13. Ud. Recibe un prstamo por S/.1 0,000, el cual debe cancelar ntegramente a los seis meses. La tasa de inters es del 8% semestral. a) A cunto asciende el pago? b) Si le descuentan al momento del desembolso un 1% del monto

del prstamo; se encarece su prstamo? en cunto? e) Cul ser el costo efectivo de la deuda, si adicionalmente a lo

indicado en el punto b), la liquidacin al sexto mes incluye gastos administrativos y otros por un monto de S/.1 00?

d) Cul ser el costo efectivo, si adicionalmente a lo indicado en a), b) y e), las condiciones del prstamo implican que el 20% del prstamo no ser disponible y estar depositado en una libreta de ahorros ganando 12.5% anual?

R. a) 10,800 b) se encarece en 1.09% semestral e) 10.101% d) 11.123%

Tasas de Inters de Diferentes Monedas

14. Ud. est pensando en conceder un crdito y tiene que elegir entre las siguientes tasas de inters: a) Tasa de inters en dlares (i$) = 3.56% trimestral b) Tasa de inters en soles (ist.) = 19.4% anual

R. Cornejo- M. Chong. Pg.42

Determinar cul es su mejor alternativa, si la inll~ci n en dlares (ln:fls) es 0.165% quincenal, la inflacin en nuevos so les (lnflSI.) es 0.643% mensual y la devaluacin 1.134% bimestral. R. Tasa de inters en dlares.

15. Calcular la tasa efectiva semestral: a) Prstamo de S/. 18,950 y devolucin a los 200 das de S/.230

soles constantes del momento cero ms US$9,870. b) Prstamo de US$12,000 y devolucin a los 280 das de S/.61,000

soles constantes del momento cero ms US$500. Considere: Inflacin mensual esperada en nuevos soles (Infls.) = 1.24%, inflacin bimestral esperada en dlares (Infls) = 0.59%, devaluacin semestral esperada = 5.83%

R. a) 57.1204% b) 50.318%

16. Ud. necesita 10,000 rupias por 120 das. Cul de las siguientes condiciones elegira para tomar el prstamo? a) Prstamo en US$ al 6% trimestral. La devaluacin esperada de la

rupia respecto al dlar es de 1% mensual. El tipo de cambio es de 2 rupias por dlar.

b) Prstamo en Soles al 34% anual. La devaluacin esperada de la rupia respecto al sol es 0.6% mensual. El tipo de cambio es de 1,5 rupias por Sol.

e) Prstamo en rupias al 5.6% bimestral ms un cargo de 50 rupias al momento de cancelar el prstamo.

d) Prstamo en rupias constantes al 1,5% mensual. La inflacin en rupias es del 1 0% semestral.

R. elegira la opcin e)


Descuento por pronto pago

17. Una persona tiene una deuda que vence en 100 dias. Su acreedor, quien necesita que le adelanten el pago, le ofrece un descuento por el 10% del valor de la letra, si le paga el da 1 O. a) Debe tomar el descuento, si su costo de oportunidad es de 25%

anual? b) Es conveniente para el acreedor conceder este descuento,

considerando que su costo de financiamiento es de 30% anual?

R. a) No b) No

18. Cul es la tasa efectiva trimestral en dlares en un descuento por pronto pago del 8% sobre una deuda denominada en soles que venca originalmente en 125 das, pero que Ud. paga a los 75 das?.

R.12.95%

F lujos Corrien tes y Reales - Tasas de Inter s Corrientes y R eales

19. En todos los casos considerar una inflacin prevista del 4.5% trimestral. Asimismo considere meses de 30 dias y afios de 360 das. a) Cul es la tasa corriente anual correspondiente a una tasa real

quincenal del 0.46%? b) Cul es el monto de cada letra mensual para cancelar un crdito

por US$15,500, si la tasa semestral real es del 11.54%. Los pagos se niciaran al trmino del quinto mes y seran cuatro letras denominadas en US$?

e) Cul es la tasa real de cada 20 das, correspondiente a una transaccin que involucra un prstamo de US$2350.30, el cual es cancelado mediante un pago a los 170 das de US$2,900?


R. a) 33.1378% b) 4,797.91 e) 41.5056%

20. Ud. requiere un prstamo de SI. 118,700, e l cual podra pagar en 5 cuotas trimestrales. Le presentan las siguientes opciones: a) Crdito en soles constantes al 16.9% efectivo anual b) Crdo en soles corrientes al29.75% efectivo anual La inflacin mensual prevista es del l %. Cul es la meJor alternativa?. Calcular el valor de las cuotas para cada caso.

R. a) 29,051.94 b) 28,739.01 e) crdito en soles corrientes

2 1. Cul es la tasa efectiva nominal de cada 40 das en las siguientes transacciones: a) Prstamo de S/. 20,500 soles corrientes y devolucin a los 65

das de S/. 18,950 soles constantes del momento cero ms S/. 1 ,260 soles corrientes.

b) Prstamo de S/. 71000 soles corrientes y devolucin a los 8 meses de S/. 75,540 soles constantes del momento cero ms S/. 500 soles corrientes.

La inflacin trimestral prevista es del 3.5%. R. a) 0.5595% b) 2.69809%

22. En todos los casos considerar tma inflacin prevista del 5.8% semestral. Asimismo considere meses de 30 das y aos de 360 das. a) Cul es el monto de cada letra quincenal para cancelar un

crdito por S/.38,200 soles corrientes, si la tasa mensual real es del 1.24%. El primer pago se har dentro de 80 dias y seran cinco letras del mismo monto denominadas en S/. corrientes ?

b) Cul es el valor de los pagos iguales (en soles corrientes) que van a cancelar una deuda de S/. 12,575. 10 soles corrientes, si se deben hacer dos pagos dentro de 150 y 350 das respectivamente y la tasa de inters real de cada 72 das es de 2.9%.

R. a) 8,272.37 b) 7,490.38


Anualidades

23. Ud. contrae un prstamo bancario de S/. 10,000 por un plazo de 3 aos a una tasa de inters del 8% semestral, el cual se compromete pagar con pagos mensuales. Inmediatamente luego de cancelar el octavo pago, solicita un refinanciamiento del resto de la deuda por 5 pagos trimestrales a una tasa del 2% mensual. Calcular el valor de los nuevos pagos trimestrales.

R. S/.1,943.20

24. El fin de semana, Rossel decide darse una vuelta por el Jockey Plaza y al entrar a Ripley se siente muy atrado por comprar una cmara fi lmadora, pero como no cuenta con los US$749, decide solicitar su trujeta Ripley y comprarla a plazos. Rossel se compromete a pagar la cmara en 20 cuotas mensuales. Si Ripley espera tener una rentabilidad del 30% anual Cul ser el valor de las cuotas?

R. US$46.74

25. Ud. recibe un prstamo de US$20,000 que debe cancelar con 6 pagos trimestrales e iniciar sus pagos en el quinto mes. Cul es el valor de las cuotas, si la tasa de inters es del20% anual?

R. US$4,018.29

26. Janeth decide adquirir un vehculo para lo cual ha logrado ahorrar US$8,000. El auto de su agrado lo encuentra en una concesionaria con un precio de US$21,000. Ante esta situacin, consigue un prstamo de su empleador por US$7,000 y logra conmover a sus padres para que le presten US$3,000. La concesionaria est dispuesta a concederle un plazo de 3 meses por los US$3,000 que le faltan, con una tasa de inters de 6,5% trimestral. Cul ser el valor presente del vehculo que adquiri, si su costo de

R. Cornejo- M. Chanq. Pg.44

oportunidad es del 2.5% mensual y los prstamos tienen las . siguientes condiciones: a. Con su empleador: plazo de 6 meses, cuotas mensuales iguales

al 2% mensual. b. Con sus padres: plazo de 18 meses, cuotas mensuales iguales al

5% mensual. R. US$21 ,533.89

27. Su empresa tiene pendientes de pago G pagars tri rn~strales pur US$1 00,000, los cuales cancelarn una deuda contratada al 18% de inters anual. El prximo pagar trimestral vence en 2 meses. Por otro lado, estn pendientes de pago 1 O cupones semestrales de una emisin de bonos que se redime con el ltimo cupn, el prximo de los cuales debe pagarse dentro de 50 das. El monto para redimir (cancelar) el bono al trmino del plazo de emisin es de US$1 '000,000 y el total para cancelar cada cupn es US$60,000. El rendimiento de los bonos es 6% semestral. Cul es el moto actual de la deuda que tiene su empresa?

R. US$1 '570,609.96

28. Para cancelar una deuda, Elizabeth debe hacer 6 pagos mensuales de US$250 durante los primeros 6 meses y 20 pagos quincenales de US$120 los siguientes 10 meses. Irunediatamente luego de cancelar su cuarta cuota mensual, Elizabeth decide cancelar e l saldo de la deuda con pagos trimestrales sin variar la tasa ni el p lazo definidos inicialmente. Cul ser el valor de los nuevos pagos trimestrales, si la tasa de inters es del 28% anual ?

R. US$743.81


Amortizacin de una Deuda

29. Establecer el cuadro de amortizacin del prstamo de 50 millones de soles amortizables en 6 aos con cuotas de amortizacin constantes a una tasa de inters del4% anuaL

R. El capital amortizado para el ao 1 y 2, ser 7.538.095 y 7.839.619; y la anualidad igual a 9.538.095.

30. Un prstamo de 100 u.m. ha de ser reembolsado, mediante 20 pagos trimestrales, incluyendo el principal y los intereses al inters anual de 6%. Determinar el pago trimestral.

R. 5,80586.

31. Un prstamo de 1.000.000 u.m. ha de ser amortizado en 8 aos, mediante anualidades constantes al inters de 7% anual. Determinar:

a) Anualidad. b) Cuota de reembolso del cuarto periodo. e) Cuota de inters del quinto perodo. d) Capital amortizado en el sexto ao.

R. a) 167467.76 b) 119402.2 e) 39707.4 d) 697215.24

Valor Actual Neto

32. Phillipe es el gerente de una cadena de libreras y est pensando en ofrecer al pblico un nuevo servicio de fotocopias. En el mercado encuentra dos mquinas que le serviran para realizar este servicio durante 6 aos. La primera mquina tiene un precio de US$9,000 y costos anuales de mantenimiento de US$600. La segunda opcin cuesta US$10,000 y tiene un costo anual de mantenimiento de

R. Carne jo - M. Chonq. Pq.45

US$400. Con un costo de oportunidad del 28% anual, detennine: Cul de las dos mquinas debera adquirir?

R. La primera mquina

33. Un amigo suyo le propone el siguiente negocio: "Van10s a invertir US$10,000 hoy, y obtendremos US$5;000 dentro de dos meses, US$5,000 dentro de tres meses y US$5,000 dentro de cuatro meses". Si el costo de oportunidad es de 5% mensual, debera o no aceptar el negocio?.

R. S debera aceptar el negocio. VAN= US$2,967.85

34. Considere los siguientes planes de inversin: a) Plan A: tiene un costo inicial de US$18,000 y requiere

inversiones adicionales de US$5,000 al final del tercer'mes y de US$8,000 al final de sptimo mes. Este plan tiene 14 meses de vida y produce US$6,000 mensuales de beneficios a partir del primer mes.

b) Plan B: tiene un costo inicial de US$30,000 y requjere inversin adicional de US$10,000 al final del octavo mes. Durante sus 14 meses de vida, este plan produce US$8,000 mensuales de ingresos y US$12,000 al trmino del proyecto.

Suponiendo un costo de oportunidad del 1 0% mensual, determinar: Cul de los dos planes es ms conveniente elegir?

R. E legir el plan B. VAN = U$27 ,428.40

35. Ud. est considerando instalar una farmacia, y luego de realizar algunos clculos, identifica que la inversin necesaria sera de US$6,000, y que durante el primer mes de operacin perdera


US$500, el segundo mes US$200, el tercer mes ganaria US$200, del cuarto al sexto mes ganara US$450 y a partir del sptimo mes podra obtener US$600 de beneficios en forma constante. En el tercer mes sera necesario adquirir una caja registradora, lo cual significara una inversin adicional de US$1,500. Considerando que su costo de oportunidad es del 5% mensual. Suponga un valor de liquidacin en el mes 24 de US$10,000. a) Realizara la inversin?. b) Cul es el valor de liquidacin para el cual sera indiferente

respecto a la inversin?

R a) S reaUza ra la inversin. b) US$4,799.63

36. Neptuno y Sirenas S.A. est considerando comprar un nuevo carguero por US$6 millones. Los ingresos previstos son de US$5 millones al ao y los costos operativos son de US$220 mil mensuales. Ser preciso adems realizar una importante reparacin, cuyo coste ser de US$3 millones de dlares, al fmal del quinto y del dcimo ao. Se espera que dentro de 10 aos el barco sea vendido para chatarra por US$450 mil. Si el costo de oportunidad es de 25% anual, Cul es el VAN del barco?

R. US$132,946

R. Cornejo - M. Chang. P6g.46

37. Calcular el VAN del siguiente flujo: (Considere un costo de oportunidad del 8% semestral)

S/.8,500 ~

S/.3,200 S/.1,500 S/.1;900 mensual S/.2,100 mensual mes mensual

n 2 R 9 tp 12 13 l7 1!1 19 2 800 mensuales

,, S/ .7,000 r S/.8,000

S/.15,000

R. S/.2,432.88


Capital

Intereses

Frmula

ANEXO

Diferencias entre Inters Simple y Compuesto

Inters Simple '::. Joters Compuesto Crecimiento Aritmtico: Crece

siempre en la misma magnitud

Constantes y no se acumulan al capital original.

Intereses no ganan intereses en los siguientes periodos a menos que se fuerce su capilalizoci6n, en cuyo caso se aplica como inters compuesto, pero slo para mltiplos enteros del plazo de capitalizacin. Para plazos distmtos ex1sten d1versas reglas.

El monto de mtereses entre dos momentos cualquiera (a menos que exista una capitalizacin intermedia, o una entrada o salida de caja) es 1gual a:

(t1-t1)*i

F P(l+l"t)

Crece geom~tricamente: El ritmo de crecimiento es constante, lo que implica magnitudes de incremento crecientes

En cuanto se generan se capitalizan.

Los intereses generados entre dos momentos cualquiera (a menos que exista una entrada o salida de caja intermedia) es 1gual a:

P*((l +1)'1 - (J+It J

F .. P(l+l)'

R. Cornejo- M. Chanq. Pg.47


lndlce

Pagina

Introduccin 1

Inters compuesto 2

Tasa de inters equivalente 3

Aplicaciones 5

Tasa de inters de diferentes monedas 11

Flujos constantes y flujos corrientes 16

Tasas de inters reales y corrientes 18

Una aplicacin comercial: descuento por pronto pago 22

Anualidades 23 Clasificacin 24 Calculo del valor presente de una evaluacin Perpetua 25

Una aplicacin comercial: amortizacin de un prstamo 33

Valor actual neto 34

R. Cornejo - M. Chonq. Pg.48

Ejercicios propuestos Inters Compuesto - tasas de inters equivalentes Tasas de Inters de Diferentes monedas Descuento por pronto pago Flujos corrientes y reales - tasa de inters Corrientes y reales

Anualidades Amortizacin de una deuda Valor actual neto

Anexos

40

40 42 43

43 44 45 45

47

fundamentos financieros

Documents