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7/21/2019 Funcin+Exponencial+y+Logaritmica.pdf

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PROFESOR: Javier Trigos o T.

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Funcin exponencial

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenmenos que se rigen por leyes decrecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido ainters continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, tambin las

sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegracin paraproducir otros tipos de tomos y generar energa y radiaciones ionizantes.

Funcin logartmica

Como la exponencial, la funcin logartmica se utiliza con asiduidad en los clculos y

desarrollos de las matemticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otrosfines, se usa ampliamente para comprimir la escala de medida de magnitudes cuyocrecimiento, demasiado rpido, dificulta su representacin visual o la sistematizacin del

fenmeno que representa.

El ajedrez y los granos de trigo

Una conocida leyenda oriental ofrece unadescripcin muy exacta de una funcinexponencial. Cuentan que un rey quisopremiar las dotes adivinatorias del sumosacerdote que haba predicho unaextraordinaria victoria en una batalla.- Quieres una bolsa llena de oro?,Deseas un arca llena de joyas?, Pensasteen poseer un Palacio?, Aspiras a laadministracin de una provincia? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra est ligada a unapromesa.- Aprecio vuestra generosidad, Majestad, y como obediente sbdito me veo en la obligacinde escoger; pero no deseo joyas, ni tierras, ni palacios. Deseo que me recompenses congranos de trigo, los cuales debern ser colocados en el tablero, de la siguiente forma: un

grano por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuartay as duplicando sucesivamente hasta la ltima casilla.El rey, al or el extrao e nfimo pedido del joven, lanz una sonora carcajada y, trasburlarse de su modestia, orden que se le diera lo que haba solicitado. Al cabo de algunashoras los algebristas ms hbiles del reino le informaron al Soberano que se necesitaran:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo!!


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Intervencin del nmero e en un asesinato:

Una aplicacin del nmero e es poder determinaren un asesinato el momento de la muerte.Es necesario aplicar la ley de Newton sobre elenfriamiento que establece que la velocidad a la quese enfra un cuerpo es proporcional a la diferencia

entre la temperatura del objeto y la temperatura delentorno.Esto quiere decir que cuando un objeto est muchoms caliente que el aire exterior, su velocidad deenfriamiento es alta, de manera que se enfra muyrpidamente; cuando un cuerpo est un poco ms

caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfra lentamente.Una persona viva no se enfra continuamente. El metabolismo humano asegura elmantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36C (98,6 F). Pero una

persona muerta deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la leyde Newton que se aplica con la frmula matemtica siguiente:

ktaire0airet e).TT(TT

Dnde T es la temperatura, t es el tiempo en horas despus de medianoche y k es unaconstante.

Ahora aplicaremos esta frmula en el asesinato de una persona. Su temperatura a las docede la noche, despus de su muerte era de 85 F y la temperatura del aire era de 68 F.A partir de esto nos interesa determinar a que hora muri esta persona. Sabemos que latemperatura normal del cuerpo es de 98,6F, se puede calcular el momento de su muerteoperando as:

13,15207,0

9ln5lnt

9

5lnt5207,0

9

5e

e.176,30

e.6885686,98

t5207,0

t5207,0

t5207,0

t = -1,13 horas = -68 minutos


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3

Con esto sabemos, gracias a la ayuda del nmero e, que esta persona muri 68 minutosantes de las doce de la noche, es decir, a las 22:52 h.

Cmo se enfra la sopa?

Los objetos se enfran hasta llegar a la temperaturaambiente. Supongamos que un objeto caliente que tiene unatemperatura inicial T0(temperatura en el instante cero) secoloca en un medio donde la temperatura es Ta(temperatura ambiente). Cmo calcularamos latemperatura que tendr este objeto despus de un tiempot?Esta pregunta se la hizo Newton y le llev a plantear una

ecuacin diferencial cuya solucin es:kt

a0at e).TT(TT

Esta expresin es conocida como la ley de enfriamiento deNewton. Donde:Ttes la temperatura del objeto al cabo de un tiempo t, eesla base de los logaritmos neperianos y kes una constante de proporcionalidad.

Una aplicacin de la ley de enfriamiento de Newtonla veremos al resolver el siguienteproblema: Un tazn de sopa se enfra de 90C a 60C en 10 minutos, en una habitacindonde la temperatura es 20C. Cunto ms tardar la sopa en enfriarse hasta 35C?

Solucin: Como la sopa inicialmente tiene una temperatura de 90C, entonces T0= 90C. Luego de 10 minutos tiene una temperatura de 60C, entonces T10= 60C. La temperatura ambiente es de 20C, entonces Ta= 20C. Segn esto:

47e

e.7040

e.20902060

e.TTTT

k10

k10

k10

k10a0a10

Tomando logaritmo neperiano a ambosmiembros:

056,010

4ln7lnk

4ln7lnk10

4

7lneln k10

Tomando k = 0,056 y reemplazandola en la frmula de Newton obtenemos la funcin:

t056,0t e.7020T

Esta funcin nos permite conocer la temperatura de la sopa en cualquier instante t.para qu valor de t la sopa tendr una temperatura de 35C?


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4

14

3lnt056,0

70

15ee.702035 t056,0t056,0

5,27056,0 3ln14lnt

Descontando los 10 minutos, faltaran 17,5 minutos para que la sopa llegue a los 35C.

Crecimiento demogrfico

Las curvas de crecimiento vegetativo de una poblacin,establecido como la diferencia entre nacimientos ymuertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley

exponencial. Siendo P0la poblacin inicial e i el ndice decrecimiento anual en tanto por uno, y se considera unatasa de crecimiento continuo, la poblacin seguir la leyexponencial: P = P0.e

kt.

Donde:P: Nmero de individuos en el momento t.P0: nmero de individuos en el momento inicial.k: constante de crecimiento.t: Tiempo

Ejemplo 1:

La poblacin dela tierra crece aproximadamente al 2% anual (crecimineto continuo). Cuntotiempo tardar en duplicarse la poblacin?

Solucin:

Como la poblacin crece exponencialmente, entonces rt0e.P)t(P

Donde t representa el tiempo en aos y P(t) es la poblacin en el tiempo t. Como r = 2% = 0,02 y P(t) = 2.P0, entonces:

65,3402,0

693,0t

r

2lntrt2ln2ee.PP2 rtrt00

Entonces, tardar aproximadamente 35 aos.

Ejemplo 2:

Kenia tiene en la actualidad, aproximadamente 30 millones de habitantes y el tiempo deduplicacin es de 19 aos, qu poblacin habr dentro de 10 aos si la tasa de crecimientono cambia?

Solucin: Si P se mide en millones y t en aos, la funcin adecuada es: 19/t2.30)t(P ,


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para t = 10 ser: 2,434402,1.302.30)10(P2.30)10(P 526,019/10

43.2 millones de habitantes

Ejercicios:

01.En una colonia de insectos, cuyapoblacin es controlada cada ao, seobserva que en diez aos no ocurri ningnsuceso que alterase su ley de crecimiento.La poblacin existente cada ao fue los4/3 del ao anterior. Si el ao que empezel estudio haba 7 290 ejemplares,

cuntos haba al cabo de 6 aos?

02.Un piscicultor introduce en unestanque mil truchas jvenes. El dueoestima que tres meses despus sloquedan alrededor de 600. Encuentra unafrmula exponencial kt

0eN)t(N que

est de acuerdo con esta informacin ysala para estimar el nmero de truchasdespus de un ao.

03. En un estudio sobre la reproduccinde la trucha de ro, se estima que en undeterminado criadero hay 200 truchas.Transcurrido un ao, se contabilizan 360truchas en dicho criadero. Si suponemosque el crecimiento es exponencial, calculacuntas truchas habr cuando transcurrantres aos.

04. A comienzos de la dcada de los 90 la

poblacin de un pas fue de 324 000 000habitantes. Si su poblacin crecieraanualmente en forma exponencial,siguiendo la frmula

a6 01,1.10.324)a(P

a. Cul sera la tasa anual decrecimiento?b. Cul sera la poblacin de dicho pas amediados de la dcada de los 90?c. Cul sera la poblacin a fines de

1 992?

05.En el 2 002, la poblacin de ciertaciudad era de 25 000 habitantes. Si latasa de crecimiento anual era de 2%a. Detremina una frmula para estimar lapoblacin despus de t aos.b. Usa la frmula para estimar lapoblacin de la ciudad en el 2 030.

06. Si el crecimiento de una colonia deabejas est determinado por la ecuacin:

t37,0e5,561

230)t(P

con t en meses.

a. Cuntas abejas haba inicialmente?b. En cunto tiempo las abejas llegarn aser una poblacin de 150?

07.Segn un modelo logstico basado en el

supuesto de que la tierra no puedesoportar ms de 40 000 millones depersonas, la poblacin mundial (en miles demillones) t aos despus de 1 960 estdada por una funcin de la forma

ktCe1

40)t(P

, donde C y k son

constantes positivas. Halla la funcin deesta forma que concuerde con el hecho deque la poblacin mundial eraaproximadamente de 3 000 millones en 1

960 y de 4 000 millones en 1 975. Qupredice su modelo con respecto a culser la poblacin en el ao 2 000?

08.Una epidemia se propaga en unacomunidad de manera que t semanasdespus de su brote el nmero depersonas infectadas est dado por una

funcin de la formaktCe1

B)t(f

,

donde B es el nmero de residentes en lacomunidad que son propensos a contraer la


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enfermedad. Si 1/5 de los residentespropensos estaba infectado al principio y1/2 de ellos haba sido infectado al finalde la cuarta semana, qu fraccin de

residentes propensos a la enfermedadhabr sido infectada al final de la octavasemana?

Crecimiento no inhibido

La mitosis, o divisin celular, es un procesouniversal indispensable en el crecimiento delos organismos vivos como las amibas, plantas,clulas humanas y muchas otras. Con base enuna situacin ideal donde no mueren clulas ni

hay efectos colaterales, el nmero de clulaspresentes en un instante dado obedece a laley del crecimiento no inhibido. Sin embargo,en la realidad, despus de cierto tiempo elcrecimiento en forma exponencial cesadebido a la influencia de factores como la carencia de espacio, la disminucin de la fuentealimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja de manera exacta las

primeras etapas del proceso de la mitosis.El proceso de mitosis comienza con un cultivo de N0 clulas donde cada clula crecedurante cierto periodo y despus se divide en dos clulas idnticas. Suponemos que eltiempo necesario para que cada clula se divida en dos es constante y que no cambia al

aumentar el nmero de clulas. Despus, stas clulas crecen y se dividen en dos, y assucesivamente.Una frmula que proporciona el nmero N de clulas en el cultivo despus de transcurrir un

tiempo t (en las primeras etapas del crecimiento) es: kt0eN)t(N , en donde N0y K son

constantes positivas, denominadas cantidad inicial y constante de crecimiento.

Ejemplo 3:

Algunos tipos de bacterias tienen un crecimiento muy rpido de su poblacin. La bacteriaEscherichia colipuede duplicar su poblacin cada 15 minutos. Si se hace un cultivo en el que

inicialmente hay 5 000 bacterias de este tipo, cuntas habr al cabo de cuatro horas?

Solucin: Analizamos la evolucin que sigue la poblacin de bacterias:

Tiempo (min) N de bacterias

0 5 000

15= 1.15 21.5 000 = 10 000

30 = 2.15 22.5 000 = 20 000

x.15 2x.5 000


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7

Como cuatro horas equivalen a 16 perodos de 15 minutos, calculamos la poblacinde bacterias:

P16

= 216.5 000 P16

= 65 536.5 000 = 327 680 000 bacterias.

Ejemplo 4:

Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias en cierto cultivo hareunido los siguientes datos:

Tiempo (min) Cantidad de bacterias

0 6 000

20 9 000

Emplea estos datos para hallar una funcin exponencial de la forma kt0eQ)t(Q queexprese el nmero de bacterias Q del cultivo como una funcin del tiempo en minutos. Culser el nmero de bacterias despus de una hora?

Solucin: Segn los datos de la tabla

0006Q0006eQ0006)0(Q 0)0(k

0

y

2

3ln

20

1k

2

3e0009e00060009)20(Q k20)20(k

Por lo tanto:t.

2

3ln

20

1

e0006)t(Q

Adems, el nmero de bacterias despus de una hora, resulta

25020e0006)60(Q60.

2

3ln

20

1

Ejemplo 5:

El nmero de bacterias en cierto cultivo crece de 5 000 a 15 000 en 10 horas. Suponiendoque la tasa o rapidez de crecimiento es proporcional al nmero de bacterias,I.

Calcula el nmero de bacterias al cabo de 20 horas.II. Cunto llegar a 50 000 el nmero de bacterias?

Solucin: Como la rapidez de crecimiento es proporcional al nmero de bacterias, entonces

kt0eN)t(N

Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la poblacin de las bacterias en eltiempo t.

Como N(0) = 5 000 es la poblacin inicial, entonces: kte0005)t(N

y como N(10) = 15 000, entonces:10

tkt )3(0005)t(N

10

3lnke000500015


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8

I. Al cabo de 20 horas habr bacterias00045)3(0005)20(N 2

II. Resolvemos la ecuacin:

96,203ln10ln10t)3(000500050 10

t

As la poblacin llegar a 50 000 bacterias en 20,96 horas.

Ejercicios:

09.Una colonia de bacterias crece deacuerdo a la ley del crecimiento noinhibido. Si la cantidad de bacterias seduplica en tres horas, cunto tiempo

tardar la colonia en triplicar su nmero?.

10. Si el tiempo que demora en duplicarseuna poblacin de bacterias, con una tasade crecimiento anual r, compuesto demanera continua, se expresa como:

r

2lnt

Cunto tardar en duplicarse unapoblacin cuya tendencia de crecimiento

se da con una tasa de crecimiento anualdel 3,5%?

11. El nmero de bacterias de ciertocultivo crece de 2 000 a 32 000 en 12horas. Suponiendo que la tasa de rapidezde crecimiento es proporcional al nmerode bacterias.a. Calcula el nmero de bacterias luegode 15 horas.

b. Cunto tiempo debe transcurrir paraque la poblacin se quintuplique?

12. El nmero de bacterias de cierto

cultivo se increment de 600 a 1 800 en 2horas. Suponiendo que el crecimiento esexponencial, t horas despus de las 7:00a.m., el nmero f(t) de bacterias est dada

por: 2/t3600)t(f . Calcula el nmero

de bacterias en el cultivo a las 8:00 a.m., alas 10:00 a. m. y a las 11:00 a.m.

13. Los bilogos han observado que lamayora de las bacterias, en condiciones

ideales, se reproducen mediante modelosde crecimiento exponencial. Si la poblacininicial de bacterias en cierto cultivo erade 800. Si la tasa relativa de crecimientoes de 30% por hora:a. Cul ser la poblacin estimada debacterias despus de un da?b. Cul ser la poblacin estimada debacterias despus de dos das?

Desintegracin Radioactiva

Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden adisminuir hasta agotarse completamente conformetranscurre el tiempo. Si t representa al tiempo(medido en aos, meses, das) y N(t) la cantidadmedida en gramos, miligramos, etc.) del elemento

radioactivo, entonceskt

0eN)t(N

representa la ley de decrecimiento exponencial delelemento radioactivo segn transcurre el tiempo, donde N0es la cantidad inicial, K es laconstante de decrecimiento.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/Radioactive.svg


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El elemento 88, ms conocido como radio, es radioactivo; es decir, los tomos de radio sedesintegran espontneamente, emitiendo una radiacin en forma de partculas alfa, beta orayos gamma. Cuando un tomo se desintegra de esta manera, su ncleo se transforma en el

ncleo de otro elemento.

Ejemplo 6:

Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una funcin exponencial. La cantidadinicial es de 10 gramos, pero despus de 200 aos es de 2 gramos. Calcula la cantidad quehubo despus de 100 aos.

Solucin: Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 10 gramos, entonces:

kt

e.10)t(C

Adems C(200) = 2

200

5lnkk2005lne5e

5

1e.102 k200k200k200

Luego, reemplazando k obtenemos la frmula de desintegracin radioactiva:

t.200

5ln

e.10)t(C

Nos piden C(100)

5ln2

5ln100.200

5ln

e.10)100(Ce.10)100(Ce.10)100(C

525

10

e

10)100(C

5ln

Luego, la cantidad que hubo despus de 100 aos fue de 4,47 gramos proximadamente.

Ejemplo 7:

Supongamos que hay 20 g de radio disponibles inicialmente, Qu porcentaje de los 20 g sehabr desintegrado despus de 100 aos.

Solucin: Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 20 gramos, entonces:

kte.20)t(C , siendo k = 0,000418 Nos piden C(100)

1812,19)100(Ce.20)100(Ce.20)100(C 0418,0)10 0.(000418,0 g

El resto es: 20 19,1812 = 0,8188 g

El porcentaje es: 094,420

1008188,0

Se ha desintegrado aproximadamente el 4,1%


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Ejercicios:

14.

Una sustancia radiactiva se desintegrasiguiendo una funcin exponencial. Lacantidad inicial de masa es de 10 gramospero despus de 200 aos la masa sereduce a 2 gramos. Calcular la cantidad demasa despus de 100 aos

15.El poder radioactivo de una sustanciase va perdiendo a medida que transcurreel tiempo, segn la frmula

t05,0e5,1)t(P , siendo t el tiempo en

aos. Despes de cunto tiempo su poderradiactivo se reducir a la mitad?

16.La vida media de un elementoradioactivo se define por el tiempo que

tarda en desintegrarse la mitad de eseelemento para transformarse en un nuevoelemento. La vida media es la medida de laestabilidad del elemento, es decir, cuantoms corta sea la vida media, ms inestablees el elemento. El modelo matemtico parahallar la vida media de un elementoradioactivo est dado por

t.000418,00eC)t(C

Halla la vida media del radio.

17.La semivida del radio es de 1 600 aos.si la cantidad inicial es qo miligramos, y lacantidad q(t) restante despus de t aos

est dada por kt02q)t(q , halla k.

El inters Compuesto

En las inversiones, si los intereses simples producidos

durante un perodo de tiempo son aadidos al capital, demodo que el inters del siguiente perodo se calcula sobreeste nuevo capital, repitindose este proceso por dos oms perodos, el aumento total del capital original sellama inters compuesto. Los perodos sucesivos detiempo al final de los cuales se incorporan los intereses alcapital, se llaman perodos de capitalizacin y los msusados son: el ao, el semestre y el trimestre. Adems, latasa de inters es anual.El inters compuesto, generalmente se aplica en cuentasde ahorros y prstamos y sigue un modelo matemtico

representado por medio de la frmula:

nt

n

r1.CM

Donde:M es el monto despus de t aos.C es el capital.r es la tasa de inters anual.n es el nmero de veces que se calcula el inters al ao.

t es el tiempo en aos.


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Ejemplo 8:

Jos abre una cuenta con un depsito inicial de S/. 5 000 a un 6% de inters compuesto

anual, con una capitalizacin trimestral. Dos aos despus, si no se realizan depsitos niretiros adicionales, cunto gana o pierde si coloca la misma cantidad a un 5% de de interscompuesto anual, con una capitalizacin cuatrimestral?.

Solucin: Si el inters es del 6% compuesto trimestral, el monto final ser:

46,56324

06,015000M

2.4

6

Si el inters es del 5% compuesto cuatrimestral, el monto final ser:

30,55213

05,0

15000M

2.3

6

Como el segundo monto es menor que el primero,entonces Jos pierde: 5632,46 5521,30 = S/. 111, 16

Ejemplo 9:

La seora Martnez invierte 6.000 en un depsito financiero al 5% anual durante 3 aos.

No retira los intereses al finalizar cada ao, sino que se aaden al capital y se vuelven areinvertir. Cul ser el capital de la seora Martnez al finalizar el tercer ao?

Solucin: Al iniciar el depsito dispone de un capital inicial de 6.000 .

C0= 6.000

Al finalizar el primer ao recibir los intereses; por tanto, su capital ser:

6300100

516000M1

Al finalizar el segundo ao vuelve a recibir los intereses del capital que ha tenido en eseao, es decir:

6615100516300M2

As, repitiendo la operacin, al finalizar el tercer ao tendr:

75,6945100

516615M3

Al finalizar el tercer ao, la seora Martnez tendr 6 945,75


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12

Ejercicios:

18. Se depositan $ 500.00 en un banco a

una tasa de inters del 48% anualcapitalizable mensualmente. Cul serel monto acumulado en 2 aos?

19.Se obtiene un prstamo bancario de$ 15 000 a plazo de un ao y con intersdel 52% convertible trimestralmenteCul ser el monto a liquidar?

20. Se decide liquidar el prstamo delproblema anterior en forma anticipada

habiendo transcurrido 7 meses y 1/2.Cul es la cantidad que debe pagarse?

21.Si $10 000 se invierten al 9% anualcapitalizado semestralmente, cul ser eltiempo requerido para que el capitalexceda a $30 000?

22.Un fondo de ahorro paga inters arazn de 9% capitalizado diariamente.Cunto se debe invertir para tener$2 000 al final de 10 semanas?

23.Cuntos aos debe permanecer en unbanco un capital inicial de S/.80 000 a unatasa del 3% a inters anual compuestopara triplicar su valor?

24.Cuntos aos debern mantenerse

S/.20 000 en un banco al 9% anual, si sequiere ganar S/.600 de inters?

25.Una familia hace un plan de ahorrosdurante 4 aos ingresando, al principiode cada ao, 3.000 a un 5% anual de

inters compuesto. Cunto dineroobtendr al finalizar el plan?

26.Un padre de familia ha colocado en unbanco S/. 9 000 al 5% de inters

compuesto durante 28 meses. Teniendo encuenta que los intereses se capitalizan poraos, halla el inters producido.Considerando que: t

if 100

r1CC

Si depositas $3 000 a una tasa de intersanual del 9%. Calcula el monto en tu cuentaluego de 2 aos, si el inters es:a. Anualb. Semestralc. Trimestral

Datacin de vestigios arqueolgicos

En los materiales radiactivos, la masa disminuyeexponencialmente con el tiempo con una tasa que dependede la mayor o menor estabilidad del material radiactivo.Para medirla se emplea el concepto de vida media, que es

el tiempo que se requiere para que la masa del materialdisminuya a la mitad del valor original.

El dixido de carbono (CO2) del aire contiene el istoporadioactivo 14C, as como el istopo estable de carbono 12(12C). Las plantas vivas absorben dixido de carbono delaire, lo que implica que la razn de 14C a 12C en una planta

viva (o en un animal que se alimenta de plantas) es lamisma que en el aire. Cuando un animal o una planta mueren, la absorcin de dixido decarbono cesa.


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13

El 12C que est es la planta o en el animal permanece igual que en el momento de la muerte(permanece constante), mientras que el 14C decrece y la razn de 14C a 12C, querepresentaremos por R(t), decrece exponencialmente, esto es

kt

0eR)t(R

Donde R0es la razn de 14C a 12C encontrada en la atmsfera (constante), y k es unaconstante positiva. Al comparar R(t) con R0se puede estimar la edad de la muestra.

Ejemplo 10:

Todos los seres vivos, al morir tienen la misma proporcin de Carbono 14 en su cuerpo(debido a que lo absorben del medio mientras estn vivos). Si el fsil corresponde a unanimal que muri hace 10 000 aos, Qu proporcin conserva de la cantidad inicial deCarbono 14?

Solucin:Como h = 5 600 aos, se tiene que: 5600/t

21

0)t( ).(MM

As que: 0,2900.M)(M).(MM 01,7857

21

05600/10000

21

0)10000(

Luego, despus de 10 000 aos aun queda el 29 % del Carbono 14 original.De este modo se determina la edad de muchos fsiles.

Ejemplo 11:

Un arquelogo ha encontrado un fsil en el que la razn de

14

C a

12

C es 1/3 de la raznencontrada en la atmsfera. Qu edad tiene aproximadamente el fsil?

Solucin:

Por dato 0R3

1)t(R , entonces ktkt0

0 e3

1eR

3

R

Como la vida media del 14C es de 5 600 aos,

5600

2lnkeN

2

N k56000

0

Reemplazando, resulta

83513.90812ln

3

1

ln.5600te31 t.56002ln

Por lo tanto la edad aproximada del fsil es 9,081.83513 aos.

Ejercicios:

27.Cul es la antigedad de un hueso deun animal que ha perdido el 35% de su

C-14?

28.Cul es la edad de un fsil que soloha retenido la tercera parte de su

contenido de C-14?


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14

29. Cul es la edad del hueso de unanimal que ha perdido el 30% de sucarbono - 14?

30. Una momia descubierta en unapirmide en el Valle de los Reyes haba el46% de su carbono 14. Cul es suedad?

31. Una momia se encontr con 1/1000de la cantidad de C-14 que su organismocontena mientras vivi. Halla la edadaproximada de la momia.

32. Un fechado realizado en el ao2 000, revel una antigedad de 540 aospara la momia Juanita, encontrada en elnevado de Ampato. qu cantidad de C-14tenan sus restos cuando la encontraron?

33. El kriptn-81 se usa en estudios deventilacin pulmonar. Su vida media es de13 s. Cunto tiempo debe transcurrirpara que la actividad del istopo sereduzca a la cuarta parte de su valororiginal?

Escalas de intensidad ssmica

Las escalas de medida de la intensidad de losterremotos ms comnmente utilizadas son de tipologartmico. As, la escala de Richter utiliza unaescala logartmica de base 10, con lo que cadaaumento de grado en esta escala no se correspondecon un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sinoexponencial: un terremoto de grado seis es diez

veces menos intenso que uno de grado siete, y cienveces menos que uno de grado ocho.

Los sismlogos miden la intensidad de un sismo, encuestin de segundos mediante la frmula

P

AlogR

Donde:R es la intensidad del sismo.A es la amplitud en micrmetros.P es perodo que dura una oscilacin de la superficie terrestre, en segundos.

Ejemplo 12:

En nuestro pas hay una franja de la zona ssmica donde convergen la placa de Nazca y laplaca Continental. Para medir la magnitud de un sismo se realizan lecturas en un sismgrafoque deben ser representadas en una escala por ejemplo La Escala Richtercuya magnitud se

halla:

0I

IlogM , Donde I es la intensidad del terremoto e Io es la intensidad de un

terremoto estndar de referencia.El terremoto de Lima de 1 940 tuvo una magnitud de 8,2 Qu tan intenso fue el sismo de

Ica del 15 de Agosto de 2 007 de 7,9 comparado con el de 1 940?


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Solucin:

Por dato 2,8M1940 y 9,7M2007

1940

2007

19402007

0

1940

0

2007

19402007

I

Ilog3,0

IlogIlog2,89,7I

Ilog

I

IlogMM

501,010I

I 3,0

1940

2007

Luego el sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940

Ejercicios:

34.Calcula la la intensidad de un sismo enla escala de Richter, si la amplitud fue de15 000 micrmetros y su periodo de 0,2segundos.

35.En la escala de Richter, la intensidadM de un terremoto, se relaciona con suenerga E (en Ergios ) por medio de lafrmula: M5,14,11LogE .Si un

terremoto tiene 1000 veces ms energaque otro, cuntas veces mayor es sundice de Richter M?

36. Cul es la razn de la energa delterremoto de San Francisco, ocurrido en1 906 (M = 8.3), con la del Eureka de 1980 (M=7) ?

37.Cul es la magnitud de un terremoto

cuya lectura sismogrfica es de 0.1milmetros a una distancia de 100kilmetros del epicentro?

38. Cuntas veces es mayor la potenciade un terremoto de grado 7 que otro degrado 5?

39. El devastador terremoto de SanFrancisco en 1 906 midi 8.9 en la escalade Richter. Cmo se compara este

terremoto con el de Papa, Nueva Guinea,en 1988, que midi 6.7 en la escala deRichter?

40.El gelogo C. F. Richter defini lamagnitud de un sismo (o terremoto) como

S

IlogR donde I es la intensidad del

terremoto (medida por la amplitud deoscilacin de la aguja de un sismgrafosituado a 100 km del sismo) y S es laintensidad de un movimiento ssmicomnimo donde la amplitud es 1 micra =

104cm . El terremoto de San Franciscode 1 989 tuvo una magnitud de 6, 9 en laescala de Richter. El terremoto de 1 906en la misma ciudad tuvo una intensidad 25veces mayor. Cul fue su magnitud en laescala de Richter?

41.El 31 de Mayo de 1 970, un terremotoasol el callejn de Huaylas durante 45segundos, causando la destruccin de la

ciudad de Yungay y ocasionandoaproximadamente 67 000 vctimas. Si a100 km del epicentro hubiera estadoubicado un sismgrafo, ste habraregistrado una lectura de 31 622,77 mm.Determina la magnitud de dicho sismo.

42. En la escala de Richter la magnitudde un terremoto de intensidad I est

dada por:

0I

IlR

a. Halla la intensidad del terremoto desan francisco, ocurrido en 1 906, cuya


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magnitud fue de 8,3 en la escala deRichter.b. Qu tan intenso fue ese terremoto

con relacin al de Bay Area World series

c. de 1 989, cuya magnitud fue de 6,9 enla escala de Richter?

Alcohol y conduccin de vehculos

Es posible medir la concentracin de alcohol en la sangre deuna persona. Investigaciones mdicas recientes sugieren queel riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidenteautomovilstico puede ser modelado mediante la ecuacin:

kxe6R

Dondex: es la concentracin de alcohol en la sangrek una constante.

Ejercicios:

43.Al suponer una concentracin de 0,04de alcohol en la sangre produce un riesgodel 10% (R = 10) de sufrir un accidente,cul es el valor de la constante?.

a. Utilice el valor de k e indique cul es elriesgo para diferentes concentraciones dealcohol (0.17, 0.19, ...).b. Con el mismo valor de k indique laconcentracin de alcohol correspondientea un riesgo del 100%.c. Si la ley establece que las personas conun riesgo del 20% o mayor de sufrir unaccidente no deben conducir vehculoscon cul concentracin de alcohol en la

sangre debe un conductor ser arrestado ymultado?.

44.El ser humano elimina, a travs de la

orina, cierto medicamento que ingiere y lacantidad (en mg) que queda en su cuerpo thoras despus est dada por la funcin

t8,0.15)t(Q

Cul es la dosis inicial?Al cabo de 12 horas, cunta medicinaqueda en su organismo?Cunta medicina se ha eliminado luego de12 horas?

La intensidad sonoraLas unidades utilizadas comnmente para medir los niveles de intensidad de un sonido,llamadas belio y decibelio, son en realidad relativa y de naturaleza logartmica. As, undecibelio se define en acstica como la dcima parte del logaritmo decimal del cocienteentre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia.

45.La intensidad del sonido que percibe elodo humano tiene diferentes niveles.Una frmula para hallar el nivel deintensidad que corresponde a intensidad

del sonido I es:

010 IIlog10a

decibeles, con I0valor especial de

correspondiente al sonido ms dbil quepuede ser detectado por el odo humano.Determina en los siguientes casos:

es 1000 veces ms grande que I0

es 10 000 veces ms grande que I0(Este ltimo corresponde al nivel deintensidad promedio de la voz humana).


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función+exponencial+y+logaritmica.pdf

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