FUNCIONES

Carrera : Ingeniería Civil

Curso : Cálculo 1

Ciclo : 2013 - 1

Profesor : Elmer Marquina Ventura

Integrantes :

Frank Corzo Rivera Herman Diaz Alarcon Johan Cáceres Lescano Bryan Saavedra Waldir Ñañez Huaman

DEDICATORIA

El trabajo   de   investigación   monográfico   lo   dedicamos a nuestros padres; a   quienes   les 

debemos todo   lo   que tenemos   en esta   vida.   A   Dios,   ya   que   gracias   a   él   tenemos   esos 

padres maravillosos, los cuales nos apoyan en nuestras derrotas y celebran nuestros triunfos. 

A nuestros profesores quienes sonnuestros guías en el aprendizaje,   dándonos   los   últimos 

conocimientos para nuestro buen desenvolvimiento en la sociedad.

ÍNDICE Pág.

CARATULA DEDICATORIA……………………………………………………………………….. 01INDICE................................................................................................................... 02

CAPITULO 1

1.1.- INTRODUCCIÓN………………………………………………………………….031.2.- FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………… 06 1.3.- DEFINICIÓN DE OBJETIVOS……………………………………………… 061.3.1. Objetivo General……………………………………………..………………. 061.3.2.Objetivo Específico………………………………………………………….... 061.4.- JUSTIFICACIÓN……................................................................................... 071.5.- MARCO TEÓRICO………........................................................................... 07

CAPITULO 2

1.6.- ETAPAS Y/O ACTIVIDADES....................................................................... 111.7.- RESULTADOS............................................................................................. 151.8.- CONCLUSIONES........................................................................................ 16BIBLIOGRAFIA.................................................................................................... 16

CAPITULO 1

1.1 Introducción

El  crecimiento poblacional o  crecimiento demográfico es el cambio en la  población en un cierto 

plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población 

usando   "tiempo   por   unidad"   para   su  medición.   El   término   crecimiento   demográfico   puede 

referirse   técnicamente   a   cualquier   especie,   pero   refiere   casi   siempre   a   seres   humanos, 

específicamente al crecimiento de la población del mundo.

Este es un concepto simple de lo que es crecimiento demográfico, el cual es el tema que vamos 

hacer  uso  en  este   trabajo.   Trataremos  de  determinar   el   crecimiento  exponencial  de  nuestra 

población dentro de un determinado tiempo y nos basaremos en datos reales. Datos obtenidos 

del   instituto  nacional  de estadística  e  informática(INEI),  quien  es el  órgano rector  del  sistema 

estadístico  Nacional   del  Perú,   el   cual  norma,  planea,  dirige,   coordina,   evalúa   y   supervisa   las 

distintas actividades estadísticas oficiales del país. 

Como fuente principal y de carácter oficial queremos garantizar que los datos expuestos en este 

trabajo  son reales,  ya que son extraídos  de una fuente seria  y  de excelente  reputación.  Pero 

queremos   advertir   que   en   la   resolución   de   los   distintos   problemas   se   observarán   cuadros 

estadísticos extraídos de la misma fuente, pero con distintos datos. Esto se debe a que la toma de 

ellos se realizó en diferentes años y tiempos, sin embargo podemos observar una mínima y la vez 

despreciable   diferencia   entre   estos  mismos,   por   lo   que   no   tendremos   ningún   problema   al 

momento de comparar los datos. 

Nos basaremos en este cuadro estadístico proporcionado por el INEI. En este podemos observar la 

población total del Perú desde 1950 hasta la proyección dada hasta el 2050. 

CUADRO Nº 13PERÚ: ESTIMACIONES Y PROYECCIONES DE LA POBLACIÓN TOTAL, POR SEXO

Y AÑOS CALENDARIO, 1950-2050

AñosPoblación al 30 de Junio

Tasa de Crecimiento Medio de la Población Total

(Por cien)

Total Hombres Mujeres Periodo quinquenal

Periodoanual

1950 7,632,460 3,842,187 3,790,2731951 7,826,262 3,940,351 3,885,911 2.541952 8,025,721 4,041,310 3,984,411 2.59 2.551953 8,232,177 4,145,752 4,086,425 2.571954 8,446,997 4,254,373 4,192,624 2.611955 8,671,541 4,367,863 4,303,678 2.661956 8,904,891 4,485,763 4,419,128 2.691957 9,146,156 4,607,609 4,538,547 2.75 2.711958 9,396,690 4,734,097 4,662,593 2.741959 9,657,833 4,865,915 4,791,918 2.781960 9,930,965 5,003,765 4,927,200 2.831961 10,217,475 5,148,347 5,069,128 2.891962 10,516,454 5,299,199 5,217,255 2.92 2.931963 10,825,811 5,455,260 5,370,551 2.941964 11,143,427 5,615,473 5,527,954 2.931965 11,467,225 5,778,776 5,688,449 2.911966 11,796,313 5,944,738 5,851,575 2.871967 12,132,121 6,114,076 6,018,045 2.84 2.851968 12,475,921 6,287,418 6,188,503 2.831969 12,829,004 6,465,412 6,363,592 2.831970 13,192,677 6,648,691 6,543,986 2.831971 13,567,714 6,837,767 6,729,947 2.841972 13,953,235 7,032,210 6,921,025 2.82 2.841973 14,348,084 7,231,251 7,116,833 2.831974 14,751,106 7,434,140 7,316,966 2.811975 15,161,146 7,640,117 7,521,029 2.781976 15,580,807 7,850,459 7,730,348 2.771977 16,010,843 8,065,672 7,945,171 2.70 2.761978 16,447,370 8,283,842 8,163,528 2.731979 16,886,456 8,503,023 8,383,433 2.671980 17,324,179 8,721,300 8,602,879 2.591981 17,760,219 8,938,433 8,821,786 2.521982 18,197,198 9,155,724 9,041,474 2.41 2.461983 18,635,588 9,373,506 9,262,082 2.411984 19,075,874 9,592,112 9,483,762 2.361985 19,518,555 9,811,902 9,706,653 2.321986 19,965,797 10,033,720 9,932,077 2.291987 20,417,262 10,257,333 10,159,929 2.20 2.261988 20,869,717 10,481,468 10,388,249 2.221989 21,319,883 10,704,859 10,615,024 2.161990 21,764,515 10,926,218 10,838,297 2.091991 22,203,931 11,145,981 11,057,950 2.021992 22,640,305 11,365,008 11,275,297 1.91 1.971993 23,073,150 11,582,635 11,490,515 1.911994 23,501,974 11,798,220 11,703,754 1.861995 23,926,300 12,011,116 11,915,184 1.811996 24,348,132 12,222,325 12,125,807 1.761997 24,767,794 12,432,273 12,335,521 1.66 1.72

1998 25,182,269 12,639,465 12,542,804 1.671999 25,588,546 12,842,387 12,746,159 1.61

2000 25,983,588 13,039,529 12,944,059 1.542001 26,366,533 13,230,410 13,136,123 1.472002 26,739,379 13,416,024 13,323,355 1.37 1.412003 27,103,457 13,597,121 13,506,336 1.362004 27,460,073 13,774,414 13,685,659 1.322005 27,810,540 13,948,639 13,861,901 1.282006 28,151,443 14,118,112 14,033,331 1.232007 28,481,901 14,282,346 14,199,555 1.16 1.172008 28,807,034 14,443,858 14,363,176 1.142009 29,132,013 14,605,206 14,526,807 1.132010 29,461,933 14,768,901 14,693,032 1.132011 29,797,694 14,935,396 14,862,298 1.142012 30,135,875 15,103,003 15,032,872 1.12 1.132013 30,475,144 15,271,062 15,204,082 1.132014 30,814,175 15,438,887 15,375,288 1.112015 31,151,643 15,605,814 15,545,829 1.102016 31,488,625 15,772,385 15,716,240 1.082017 31,826,018 15,939,059 15,886,959 1.05 1.072018 32,162,184 16,105,008 16,057,176 1.062019 32,495,510 16,269,416 16,226,094 1.042020 32,824,358 16,431,465 16,392,893 1.012021 33,149,016 16,591,315 16,557,701 0.992022 33,470,569 16,749,517 16,721,052 0.95 0.972023 33,788,589 16,905,832 16,882,757 0.952024 34,102,668 17,060,003 17,042,665 0.932025 34,412,393 17,211,808 17,200,585 0.912026 34,718,378 17,361,555 17,356,823 0.892027 35,020,909 17,509,419 17,511,490 0.85 0.872028 35,319,039 17,654,900 17,664,139 0.852029 35,611,848 17,797,523 17,814,325 0.832030 35,898,422 17,936,806 17,961,616 0.802031 36,179,425 18,073,072 18,106,353 0.782032 36,455,488 18,206,650 18,248,838 0.74 0.762033 36,725,576 18,337,037 18,388,539 0.742034 36,988,666 18,463,754 18,524,912 0.722035 37,243,725 18,586,288 18,657,437 0.692036 37,491,075 18,704,797 18,786,278 0.662037 37,731,399 18,819,602 18,911,797 0.62 0.642038 37,964,224 18,930,491 19,033,733 0.622039 38,189,086 19,037,259 19,151,827 0.592040 38,405,474 19,139,674 19,265,800 0.572041 38,613,529 19,237,788 19,375,741 0.542042 38,813,569 19,331,749 19,481,820 0.49 0.522043 39,005,416 19,421,483 19,583,933 0.492044 39,188,891 19,506,927 19,681,964 0.472045 39,363,812 19,588,014 19,775,798 0.452046 39,530,305 19,664,786 19,865,519 0.422047 39,688,488 19,737,293 19,951,195 0.38 0.402048 39,838,182 19,805,466 20,032,716 0.382049 39,979,209 19,869,231 20,109,978 0.352050 40,111,393 19,928,528 20,182,865 0.33

1.2. Formulación del Problema

Cada año la población en cada país aumenta, pero la cual nosotros no sabemos en cuanto puede 

aumentar. Nuestra problemática es:

¿Cómo   podemos   determinar   el   crecimiento   de   la   población   desde   el   presente   hasta   un 

determinado período de años o tiempo?

1.3. Definición de Objetivos

Objetivo General

Determinar   el   crecimiento   exponencial   de   la   población   peruana   en   un   determinado 

período de tiempo, haciendo uso de la función exponencial. Finalmente comparar estos 

resultados con los datos reales de las proyecciones realizadas por el INEI,  para de esta 

forma validarlos y garantizar el correcto análisis, elaboración y resolución del problema. 

Objetivos Específicos

Entender el concepto de función a través de representaciones mediante tablas, gráficas y 

fórmulas. 

Determinar el dominio y rango de una función. 

Mediante ejemplos, construir la función lineal y la exponencial, y estudiar sus principales 

propiedades. 

1.4. JustificaciónLa realización de este trabajo se hizo debido a que hay personas que no tienen conocimiento de 

cuanto  aumenta  o  crece   la  población  de  año en  año  y  al   término  de este   trabajo   la  podrán 

entender o  tener conocimiento alguno. 

1.5. Marco TeóricoA   Continuación   daremos   una   breve   introducción   y   explicación   de   los   temas   y   puntos   que 

aplicaremos   y   se   observarán   en   la   resolución   de   nuestro   problema.   Como   tema   principal 

hablaremos   de   la   función   exponencial,   la   cual   hemos   elegido,   para   poder   aplicarla   en   el 

crecimiento   poblacional   de   nuestro   país.   Seguidamente   daremos   un   concepto   de   lo   que   es 

crecimiento poblacional o demográfico, detallando también algunos subtemas de interés que nos 

ayudarán a lograr nuestro objetivo.

Función Exponencial

La función exponencial es de la forma y=ax, siendo a un número real positivo.En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x.

Gráfica de la función exponencial

• El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.• Es continua.• Si a>1 la función es  creciente y si 0<a<1 es decreciente.• Corta al eje OY en (0,1).• El eje OX es asíntota.• La función es  inyectiva, esto es si am=an entonces m=n.

X -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5

Y 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 -2

En los gráficos inferiores se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a. Observa que las gráficas 

de y=ax y de y=(1/a)x= a−x son simétricas respecto del eje OY.

En las gráficas inferiores se puede ver como al multiplicar por una constante  y=k.ax El punto de 

corte con el eje OY es (0,k).  Al sumar (o restar) una constante b la gráfica se desplaza hacia arriba 

(o hacia abajo) b unidades y la asíntota horizontal pasa a ser y=b. 

Crecimiento Exponencial

La función exponencial  se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal,  vegetal, 

económico, etc. En todos ellos la variable es el  tiempo.

En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una 

cantidad constante a.

Donde  k es el valor inicial (para t=0),  t es el tiempo transcurrido y  a es el factor por el que se 

multiplica en cada unidad de tiempo.

Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial.

En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por 2 cada día, ¿cuál es su crecimiento si el peso inicial es 3 gr?

Peso inicial: 3 grCrecimiento: por 2x f(x)

X F(x)

0 3.1=3

1 3.2=6

2 3.4=12

3 3.8=24

4 3.16=32

Ejemplo1

Aplicaciones del Crecimiento Exponencial

La función exponencial  sirve para describir cualquier   proceso que evolucione de modo que el 

aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea  proporcional a lo que había al 

comienzo del mismo.

CRECIMIENTO DE POBLACIONES

El  crecimiento vegetativo de una población viene   dado por  la  diferencia  entre nacimientos  y 

defunciones.

Si inicialmente partimos de una población P0, que  tiene un índice de crecimiento i (considerado 

en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en: 

Tasa de Crecimiento Demográfico

En demografía, geografía de la población y ecología, la tasa de crecimiento poblacional o tasa de 

crecimiento   demográfica,   es   aquella     tasa   que   indica   el   crecimiento   o   decrecimiento   de   la 

población.   Específicamente,   la   tasa   de   crecimiento   demográfico   se   refiere  ordinariamente   al 

cambio en la población durante un período expresado a menudo como un porcentaje del número 

de individuos existentes en un país o lugar a fines de un año sobre la población inicial en el mismo 

año. También puede referirse a la diferencia entre la tasa de natalidad de un país menos la tasa de 

mortalidad,  datos obtenidos anualmente en cada país a través de la  información obtenida del 

número anual de nacimientos y de defunciones obtenida del  Registro civil  de cada país. Puede 

expresarse bajo la fórmula:

P=P0 .(1+i)t

La manera  más común de expresar el  crecimiento  demográfico es mostrarlo  como una  razón 

aritmética, y no como  porcentaje. El  cambio en la  población  durante un período de unidad se 

expresa como porcentaje de la población al principio del período. Eso es:

CAPITULO 2

1.6. Etapas y/o Actividades En  esta   parte   del   trabajo   comenzaremos   con   la   resolución  de  nuestro  problema,   que   como 

mencionamos desde el inicio es  determinar el crecimiento de la población desde la actualidad en 

un período determinado de tiempo haciendo uso de los temas, puntos y fórmulas vistos en el 

marco teórico. 

1. Primer Paso Basándonos en el cuadro estadístico,   el cual fue extraído del sitio web del Instituto Nacional de 

Estadística e Informática (INEI) trataremos de determinar la tasa de crecimiento demográfico de la 

población peruana desde el período de 1950 hasta el 2050. En esta primera parte podríamos usar 

la fórmula general de la tasa de crecimiento demográfico vista en la anterior página.

Ejemplo:

Tenemos los siguientes datos:Población inicial: 600Población luego de 8 años: 760

Entonces: i= 760−600600 x 8

 

Tenemos los siguientes datos:Población inicial: 600Población luego de 8 años: 760

Entonces: i= 760−600600 x 8

O también podríamos despejar la tasa de crecimiento reemplazando los datos obtenidos en la 

función de crecimiento de poblaciones, también vista anteriormente.

Ejemplo:

Al determinar la tasa de crecimiento demográfico en todos los períodos establecidos en el cuadro 

estadístico, compararemos los resultados con los datos que ya están plasmados de la fuente del 

INEI. Para de este modo ver la similitud de datos y resultados y de esta manera validar nuestro 

procedimiento.

Tomando los datos anteriores tenemos:

760=600.(1+ i)8

i= 8√ 760600−1i=0.03

Años Población Total

TasaCrecimiento

(anual)

1965 11 467 225 2.91

1970 13 192 677 2.83

1975 15 161 146 2.78

2010 29 461 933 1.13

2015 31,151,643 1.10

2020 32,824,358 1.01

2025 34,412,393 0.91

2030 35,898,422 0.80

Resolución

A continuación operaremos para de estar forma ver si acertamos o por lo menos aproximamos a 

los verdaderos datos de tasa de crecimiento.

1965:

i=5√ 114672259930965−¿1

i=0.02918*100

Tasa de crecimiento: 2.92%

1975:

i= 5√ 1516114613192677−¿1

i=0.02843*100

Tasa de crecimiento: 2.84%

1970:

i=5√ 1319267711467225−1

i=0.02843*100

Tasa de crecimiento: 2.84%

2015:

i=5√ 3115164329461933−¿1

i=0 .01121*100

Tasa de crecimiento: 1.12%

1.7. Resultados

Estos   son   los   datos   que  obtuvimos   al   operar   para 

determinar la similitud de la  tasa   de   crecimiento   real, 

con   las   que   estamos  comprobando.

2010:

i= 5√ 2946193327,810,540−¿1

i=0.0116*100

Tasa de crecimiento: 1.16%

2025:

i= 5√ 3441239332,824 ,358

−¿1

i=0 .009497*100

Tasa de crecimiento: 0.94%

2020:

i=5√ 3282435831151643−¿1

i=0 .01051*100

Tasa de crecimiento: 1.05%Años Población

TotalTasa

Crecimiento (anual)

1965 11 467 225 2.92

1970 13 192 677 2.84

1975 15 161 146 2.82

2010 29 461 933 1.16

2015 31,151,643 1.12

2020 32,824,358 1.05

2025 34,412,393 0.94

2030 35,898,422 0.84

Terminada   las   operaciones   comprobaremos   los   resultados   de   nuestras   proyecciones 

experimentales con las proyecciones reales proporcionadas por INEI y de esta forma estaremos 

comprobando la similitud y/o aproximación de resultados. 

Final   y   satisfactoriamente   daremos   por   solucionado   nuestro   problema   y   cumplido   nuestro 

objetivo.    Determinar  el  crecimiento  de  la  población  a  futuro,  comprobando  las  proyecciones 

experimentales con las reales. 

1.8. ConclusionesSe ha determinado el crecimiento de la población peruana usando la función exponencial,  y al 

comparar los resultados con los datos realizados por la INE  nos aproximamos a los verdaderos 

datos de tasa de crecimiento.

Final y satisfactoriamente daremos por solucionado nuestro problema y cumplido nuestro objetivo 

y con esto algunas personas podrán saber cómo es la manera de hallar el aumento poblacional. 

Bibliografía

1. http://www.inei.gob.pe/biblioineipub/bancopub/Est/Lib0845/index.htm   

2. http://www.inei.gob.pe/biblioineipub/bancopub/Est/Lib0337/cap03.htm   

3. http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_poblacional   

4. http://www.inei.gob.pe/biblioineipub/bancopub/Est/Lib0466/Libro.pdf