FUNCIONES INVERSAS

Función uno-a-uno

Cada valor de la

función en R

corresponde a

exactamente un

elemento en D .

Los valores del

campo de valores no

se comparten.

Prueba de la línea horizontal

• Esta prueba dice que una función f es uno-a-

uno si cada línea horizontal interseca la gráfica

de f en no más de un punto.

Aquí f NO

uno-a-uno.

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para

determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:

• Construir la gráfica de

f…

• Luego realizar la

prueba de la línea

horizontal.

• f es uno-a-uno …

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para

determinar si g(x) = x2 – 3 es uno-a-uno.

• Construir la gráfica de f…

• Luego realizar la prueba

de la línea horizontal.

• g NO es uno-a-uno, ya que

existe al menos una línea

horizontal que interseca la

gráfica de g en dos puntos.

Funciones crecientes/decrecientes

• Una función que es creciente en

todo su dominio es uno-a-uno;

• Una función que es decreciente en

todo su dominio es uno-a-uno;

Funciones Inversas• Si f es una función uno-a-uno, definida de D a R,

y = f(x), entonces

podemos definir una función g de R a Dmediante la regla x = g(y) .

• El diagrama muestra que g invierte la correspondencia definida por f :

• Llamaremos g la función inversa de f y escribimos 𝑔 = 𝑓−1(𝑥) .

Teorema sobre funciones inversas

• Sea f una función uno-a-uno con dominio D yrango R .

• Si g es una función con dominio R y rango D , entonces g es la función inversa de f si y solo sise cumple lo siguiente :

– g(f(x)) = x para todo x en D

– f(g(y)) = x para todo y en R

• A la función g que es la inversa de f, le designamos la notación f -1 (x).

Ejemplo• Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :

1. Verificar si f(x) es uno a uno.Esta es una función linear. Su pendiente es positiva.

Por lo tanto, f es creciente en todo su dominio y es una función uno-a-uno.

2. Invertimos variablesx = 3y - 5

3. Resolvemos la ecuación para y:x + 5 = 3y𝑥+5

3= 𝑦

𝑦 =𝑥+5

3o 𝑓−1(𝑥) =

𝑥+5

3

Ejemplo (cont)4. Verificaciones usando composición:

𝑓−1(𝑥) =𝑥 + 5

3f(x) = 3x - 5

Graficas de f -1

• Como una funcion y su inversa intercambian

su dominio y rango,

– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo

si…

– el punto (b, a) está en la gráfica de f -1 .

• Las gráficas de f(x) y f -1(x) son reflexiones

sobre la recta y = x.

Ejemplo: Trace las gráficas def(x) = 3x - 5 𝑓−1(𝑥) =

𝑥 + 5

3

x f-1 (x)x f(x)-3-2-10123

x f(x)-3 -14-2 -11-1 -80 -51 -22 13 4

x f-1 (x)-14 -3-11 -2-8 -1-5 0-2 11 24 3

Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe,

• D: [-3, ∞) ; R: [0, ∞)

• f(x) es creciente en todo sudominio, por lo tanto tieneinversa

𝑦 = 𝑥 + 3

x= 𝑦 + 3

x2 = y + 3

y = x2 – 3

f-1 (x) = x2 – 3; D: [0, ∞); R: [-3, ∞)

para f(x) = 𝑥 + 3

Ejemplo: Dado que f es una función uno-a-uno, hallar f -1 (x). Indicar su domino y campo de valores.

• Solución:𝒇−𝟏 𝒙 =

−𝟒𝒙 − 𝟓

𝟕𝒙 − 𝟐

Dom: 𝒇−𝟏 𝒙

𝑥 𝑥 ≠27

Rango:

𝑥 𝑥 ≠ −47

Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.

Dominio:

Rango:

Dominio:[-7,9]

Rango: [-1, 3]

X Y

-7

0

1

2

9

X Y

-7 3

0 2

1 1

2 0

9 -1

Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.

Dominio f-1(x):

Rango f-1(x):

X Y

-7

0

1

2

9

Dominio f-1(x): [-1, 3]

Rango f-1(x): [-7,9]

X Y

3 -7

2 0

1 1

0 2

-1 9

Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.

Dominio f-1(x): [9, -7]

Rango f-1(x): [-1,3]

X Y

3 -7

2 0

1 1

0 2

-1 9

Ejemplo: Determine, si f y g son inversas.

𝑓 𝑥 =2

𝑥3 + 1g 𝑥 =

3 2−𝑥

𝑥

𝑓 𝑔 𝑥 =2

3 2 − 𝑥𝑥

3

+ 1

𝑓 𝑔 𝑥 =2

2 − 𝑥𝑥 + 1

𝑓 𝑔 𝑥 =2

2 − 𝑥 + 𝑥𝑥

𝑓 𝑔 𝑥 =2

2𝑥

= 2𝑥

2= 𝑥

𝑔 𝑓 𝑥 =3 2 −

2𝑥3 + 12

𝑥3 + 1

𝑔 𝑓 𝑥 =32 𝑥3 + 1 − 2

𝑥3 + 12

𝑥3 + 1

𝑔 𝑓 𝑥 =32𝑥3 + 2 − 2𝑥3 + 12

𝑥3 + 1

𝑔 𝑓 𝑥 =3 2𝑥3

𝑥3 + 1∗𝑥3 + 1

2=

3𝑥3 = 𝑥

Si, son inversas.