Derivadas de Funciones Trigonométricas

InversasElaborado por:

Camilo Andrés Ortiz Daza

Objetivo General

•Enseñar a encontrar derivadas de funciones trigonométricas inversas

Introducción

En este punto se puede suponer que las funciones seno, coseno y tangente de un ángulo particular ya son conocidas así como sus derivadas , pero

¿Qué hay más allá de ellas?

Imagine por un momento que tenemos la función , ahora queremos despejar la variable de la igualdad.

¿Cómo lo haríamos?

Para responder a esta pregunta debemos recurrir a los conceptos básicos sobre funciones inversas.

Función Inversa

𝑦= 𝑓 (𝑥 )→𝑥= 𝑓 − 1(𝑦 )

𝑓 −1 ( 𝑓 (𝑥 ) )=𝑥 𝑓 ( 𝑓 − 1(𝑥))=𝑥y

Ejemplo:Supongamos que tenemos la función , si quisiéramos despejar a x de la igualdad entonces podemos aplicar los conceptos de función inversa obteniendo así

Ya que la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado una cantidad determinada. De este modo al reemplazar por En la expresión resultante obtenemos que

Aplicando propiedades de los exponentes finalmente concluimos que

La primera propiedad se cumple!

Nuevamente , aplicando las propiedades de los exponentes la puede escribirse como sigue:

De este modo obtenemos el mismo resultado, es decir que

Razón por la cual la segunda propiedad también se cumple!

De esta manera sí 𝑦=sin (𝑥)

Entonces 𝑥=arcsin (𝑦 )

En términos generales podemos escribir a esta función en “x” como

𝑦=arcsin (𝑥 )Así por ejemplo

arcsin (sin (𝑥 ) )=𝑥 sin ( arcsin (𝑥 ) )=𝑥y

La función arco seno también puede escribirse como

arcsin (𝑥 )=sin− 1(𝑥 )

En conclusión las funciones trigonométricas inversas son:

𝑦=sin−1(𝑥)

𝑦=cos−1(𝑥)

𝑦=tan−1(𝑥 )

𝑦=csc−1(𝑥)

𝑦=sec−1(𝑥)

𝑦=cot−1(𝑥)

Teorema: Derivada de la Función InversaSuponga que entonces

De esta manera aplicando la regla de la cadena y derivando a ambos miembros de la igualdad obtenemos que

Ejemplo 1.Encontrar la derivada de

Ahora usando las propiedades de la función inversa para despejar x entonces sin ( 𝑦 )=𝑥

Aplicando la regla de la cadena y derivando a ambos miembro de la igualdadobtenemoscos (𝑦 ) ∙ 𝑦 ′=1

Despejando a obtenemos que

𝑦 ′= 1cos (𝑦 )

Como entonces

𝑦 ′= 1

√1−sin2(𝑦 )Como entonces

Solución:

𝑦 ′= 1√1−¿ ¿¿¿

𝒚 ′= 𝟏√𝟏−𝒙𝟐

Ejemplo 2.Encontrar la derivada de

Solución:Recuerde que el teorema “Derivada de la Función Inversa” es:𝑦 ′= 1

𝑓 ′(𝑦 )

𝑓 (𝑦 )= tan (𝑦)

De acuerdo con el ejercicio anterior 𝑓 ′ (𝑦 )=sec2(𝑦 )⇒

Al aplicar el teorema enunciado

𝑦 ′= 1sec2(𝑦 )

Aplicando las identidades trigonométricas

𝑦 ′= 11+ tan 2(𝑦 )

𝒚 ′= 𝟏𝟏+𝒙𝟐