2

ÍNDICE

Tema Pag.

Geometría 3

Trigonometría 4

Números Complejos 4

Geometría Analítica del Espacio 5

Reglas Generales de Derivación 7

Tablas de Integrales 9

Vectores 13

Integrales Dobles 15

Transformada de Laplace 17

Fórmulas Misceláneas 18

Series de Fourier 19

3

Área de la superficie lateral

GEOMETRÍA

Volumen r h2

Área de la superficie lateral 2rh

r

h

Volumen 13

2r h

Área de la superficie lateral r r h r l2 2

h

r

l

Volumen 43

3r

Área de la Superficie 4 2 r

r

Volumen 1

32 2 h a ab b

a b h b a

a b l

2 2

h

a

b

l

4

TRIGONOMETRÍA

sen cos2 2 1A A sen cos2 12

12 2A A

sec tan2 2 1A A cos cos2 12

12 2A A

csc cot2 2 1A A sen sen cos2 2A A A

tansen

cosA

A

A cos cos sen2 2 2A A A

cotcos

senA

A

A sen sen cos cos senA B A B A B

sen cscA A1 cos cos cos sen senA B A B A B

cos secA A1 BA

BABA

tantan1

tantantan

tan cotA A1 sencosA A

2

1

2

sen sen A A cos

cosA A

2

1

2

cos cos A A sen sen cos cosA B A B A B 1

2

AA tantan sen cos sen senA B A B A B 1

2

cos cos cos cosA B A B A B 1

2

Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,

C.

Ley de los senos a

A

b

B

c

Csen sen sen

Ley de los cosenos

c a b ab C2 2 2 2 cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

BA

BA

ba

ba

21

21

tan

tan

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

A

B

C

a

c

b

NÚMEROS COMPLEJOS

Siendo p un número entero cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

r i r p i pp pcos sen cos sen

Sea n cualquier entero positivo, entonces

r i r in n kn

kncos sen cos sen

1 1 2 2

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las raíces n-ésimas distintas de un número

complejo haciendo 1,,2,1,0 nk

5

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

Considerando 1 1 1 1, ,P x y z y 2 2 2 2, ,P x y z

Vector que une P1 y P2 :

1 2 2 1 2 1 2 1, , , ,P P x x y y z z l m n

Distancia entre dos puntos:

d x x y y z z l m n 2 1

2

2 1

2

2 1

22 2 2

Recta que pasa por dos puntos:

- Forma Paramétrica: x x l t 1

y y mt 1 z z nt 1

-Forma Simétrica:

tx x

l

1 ty y

m

1 tz z

n

1

Cosenos Directores:

cos

x x

d

l

d

2 1 cos

y y

d

m

d

2 1 cos

z z

d

n

d

2 1

donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte

positiva de los ejes x, y, z respectivamente.

cos cos cos2 2 2 1 o l m n2 2 2 1

Ecuación del Plano:

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

1 2 3, , :

a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0

-Forma General: Ax By Cz D 0

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0

𝑑 =|𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷|

√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

6

Coordenadas esféricas:

x r

y r

z r

sen cos

sen sen

cos

r x y z

tany

x

z

x y z

2 2 2

1

12 2 2

cos

z

y

x

y

P (r,{

(x,y,z)

O

z

r

x

Ángulo entre dos rectas en el plano:

tan

m m

m m

2 1

1 21

Coordenadas cilíndricas:

x r

y r

z z

cos

sen

r x y

tan

z z

y

x

2 2

1

r

z

y

x

y

z

P(x,y,z)(r,z){

x

O

7

REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN

d

dxc( ) 0

d

dxcx c

d

dxcx ncxn n 1

d du dv

u vdx dx dx

d

dxcu c

du

dx

d

dxuv u

dv

dxv

du

dx

d

dx

u

v

v dudx u dv

dx

v

2

d

dxu nu

du

dxn n 1

dF

dx

dF

du

du

dx (Regla de la cadena)

du

dx dxdu

1

dF

dx

dFdu

dxdu

8

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

d

dxu

e

u

du

dxa aa

aloglog

, 0 1

d

dxu

d

dxu

u

du

dxeln log

1

d

dxa a a

du

dx

u u ln

d

dxe e

du

dx

u u

d

dxu

d

dxe e

d

dxv u vu

du

dxu u

dv

dx

v v u v u v v ln ln ln ln1

Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

d

dxu u

du

dxsen cos

d

dxu u

du

dxcot csc 2

d

dxu u

du

dxcos sen

d

dxu u u

du

dxsec sec tan

d

dxu u

du

dxtan sec 2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cot

d

dxu

u

du

dxusen sen

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucos cos

1

2

11

10

d

dxu

u

du

dxutan tan

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucot cot

1

2

11

10

usi

usi

dx

du

uudx

du

uuu

dx

d1

2

2

1

22

1

sec

sec0

1

1

1

1sec

0csc

csc0

1

1

1

1csc

1

2

2

1

22

1

usi

usi

dx

du

uudx

du

uuu

dx

d

9

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d

dxu u

du

dxsenh cosh

d

dxu u

du

dxcoth csc h2

d

dxu u

du

dxcosh senh

d

dxu u u

du

dxsec sec tanhh h

d

dxu u

du

dxtanh sec h2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cothh h

d

dxu

u

du

dxsenh-1

1

12

d

dxu

u

du

dx

si u u

si u ucos

cosh ,

cosh ,h-1

1

1

0 1

0 12

1

1

d

dxu

u

du

dxutanh

1

2

1

11 1

d

dxu

u

du

dxu o ucoth

1

2

1

11 1

d

dxu

u u

du

dx

si u u

si u usec

sec ,

sec ,h

h

h

-1

1

1

0 0 1

0 0 12

1

1

d

dxu

u u

du

dx u u

du

dxsi u si ucsc ,h-1

1

1

1

10 0

2 2

TABLAS DE INTEGRALES

udv uv v du csc cot cscu udu u C

u dun

u C nn n

1

111 Cuduu seclntan

du

uu C ln

cot ln senudu u C

e du e Cu u Cuuduu tanseclnsec

a dua

aCu

u

ln

csc ln csc cotudu u u C

sen cosudu u C du

a u

u

aC

2 2

1

sen

Cuduu sencos

Ca

u

aua

du 1

22tan

1

Cuduu tansec2 du

u u a a

u

aC

2 2

11

sec

10

csc cot2 udu u C du

a u a

u a

u aC2 2

1

2

ln

Cuduuu sectansec

du

u a a

u a

u aC2 2

1

2

ln

a u

udu

ua u

u

aC

2 2

2

2 2 11

sen u a duu

u aa

u u a C2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln

u du

a u

ua u

a u

aC

2

2 2

2 2

2

1

2 2 sen u u a du

uu a u a

au u a2 2 2 2 2 2 2

4

2 2

82

8 ln C

du

u a u a

a a u

uC

2 2

2 21

ln

u a

udu u a a

a

uC

2 2

2 2 1

cos

du

u a u a ua u C

2 2 2 2

2 21

u a

udu

u a

uu u a C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u duu

u a a ua u

aC2 2

32 2 2 2 2

4

1

82 5

3

8 sen

du

u au u a C

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 23

2 2 2 2

Cauua

auu

au

duu 222

22

22

2

ln22

udu

a bu ba bu a a bu C

12 ln du

u u a

u a

a uC

2 2 2

2 2

2

u du

a bu ba bu a a bu a a bu C

2

3

2 21

24 2

ln

du

u a

u

a u aC

2 23

2 2 2 2

a u duu

a ua

u a u C2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln

du

u a u a

a u a

uC

2 2

2 21

ln

u a u duu

a u a ua

u a u C2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

82

8 ln du

u a u

a u

a uC

2 2 2

2 2

2

a u

udu a u a

a a u

uC

2 2

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 2 3 2 2 2 2

/

a u

udu

a u

uu a u C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u du2 2

a u duu

a ua u

aC2 2 2 2

2

1

2 2 sen

du

a uu a u C

2 2

2 2

ln u a u du

uu a a u

a u

aC2 2 2 2 2 2 2

4

1

82

8 sen

u du

a u

ua u

au a u C

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 ln

a u

udu a u a

a a u

uC

2 2

2 2

2 2

ln

11

du

u a bu a

u

a buC

1ln

u du

a bu ba b u abu a bu

2

3

2 2 22

158 3 4

du

u a bu au

b

a

a bu

uC2 2

1

ln

du

u a bu a

a bu a

a bu aC a

10ln , si

2

01

a

a bu

aC atan , si

a bu

udu

a bu

u

b du

u a bu

2 2

udu

a bu

a

b a bu ba bu C

2 2

1ln

u a bu du

b nu a bu na u a bu dun n n

2

2 3

32 1

du

u a bu a a bu a

a bu

uC

2 2

1 1ln

u du

a bu

u a bu

b n

na

b n

u du

a bu

n n n

2

2 1

2

2 1

1

Cbuaa

bua

abua

bbua

duuln2

1 2

32

2

du

u a bu

a bu

a n u

b n

a n

du

u a bun n n

1

2 3

2 11 1

u a budub

bu a a bu C 2

153 22

32

csc csc cot ln csc cot3 12

12udu u u u u C

udu

a bu bbu a a bu

2

322 sen sen cos senn

nn nudu u u

n

nudu

1 1 2

1

sen sen2 1

2

1

4 2udu u u C cos cos sen cosnn

n nudu u un

nudu

1 1 2

1

cos sen2 12

14 2udu u u C

duuu

nduu nnn 21 tantan

1

1tan

Cuuduu tantan 2 cot cot cotn n nudu

nu udu

1

11 2

Cuuduu cotcot2 sec sec secn n nudu

ntanu u

n

nudu

1

1

2

12 2

sen sen cos3 13

22udu u u C

cos cos sen3 13

22udu u u C csc cot csc cscn n nudun

u un

nudu

1

1

2

12 2

Cuuduu coslntantan 2

2

13

sen sen

sen senau bu du

a b u

a b

a b u

a bC

2 2

cot cot ln sen3 12

2udu u u C

cos cos

sen senau budu

a b u

a b

a b u

a bC

2 2

sec sec ln sec3 12

12u du u tanu u tanu C u udu u u n u udun n ncos sen sen 1

sen cos

cos cosau bu du

a b u

a b

a b u

a bC

2 2

12

u udu u u u Csen sen cos

u u du u u u Ccos cos sen

sen cosn mu udu

sen cos

sen cos

n m

n mu u

n m

n

n mu udu

1 1

21

sen cos

sen cos

n m

n mu u

n m

m

n mu udu

1 1

21

u udu u u n u udun n nsen cos cos 1

u u duu

uu u

Ccos cos

1

2

1

22 1

4

1

4

Cu

uu

duuu2

tan2

1tan 1

21

sen sen 1 1 21udu u u u C u udun

u uu du

unn n

n

sen sen ,

1 1 1

1

2

1

1 11

cos cos 1 1 21udu u u u C u udu

nu u

u du

unn n

n

cos cos ,

1 1 1

1

2

1

1 11

Cuuuduu 2

2

111 1lntantan

1,

1tan

1

1tan

2

1111 n

u

duuuu

nduuu

nnn

u u duu

uu u

Csen sen

1

2

1

22 1

4

1

4

ln lnudu u u u C

ue dua

au e Cau au 1

12

u u duu

nn u Cn

n

ln ln

1

21

1 1

u e dua

u en

au e dun au n au n au

11

1

u udu u C

lnln ln

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

sen sen cos

2 2 Cuduu

2

1tanlnsech

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen

2 2 Cuduu tanhsech2

senh coshudu u C Cuduuu sechtanhsech

cosh senhudu u C Cuduuu cschcothcsch

coth ln senhudu u C Cutanduu senhsech 1

22

22

2 2

2

1au u duu a

au ua a u

aC

cos

du

a u u

a u

aC

2 2

1

cos

u au u duu au a

au ua a u

aC2

2 3

62

22

2

2

3

1

cos

udu

au ua u u a

a u

aC

22

2

2 1

cos

22

2

2

2 1a u u

udu a u u a

a u

aC

cos

du

u a u u

a u u

a uC

2

2

2

2

2 2 22

2

2

1a u u

udu

a u u

u

a u

aC

cos

13

Ca

uaauau

au

uau

duu 12

2

2

2

cos2

32

2

3

2

VECTORES

Producto escalar:

0;cosBABA donde es el ángulo formado por A y B

1 1 2 2 . n nA B A B A B A B donde 1 2, , nA A AA y 1 2, , nB B BB

Producto vectorial:

321

321

kji

BBB

AAA

AxB donde

kji 321 AAAA y

kjiB 321 BBB

kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA

Magnitud del Producto Cruz senBAAxB

Operadores vectoriales:

El operador nabla se define así:

zyx

kji

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen

derivadas parciales.

Gradiente de U = grad U

kjikji

z

U

y

U

x

UU

zyxU

Divergencia de A = div A

kjikjiA 321 AAAzyx

A

x

A

y

A

z

1 2 3

14

Rotacional de A = rot A

kjixkjixA 321 AAAzyx

321

kji

AAA

zyx

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

3 2 1 3 2 1i j k

Laplaciano de U = 2

2

2

2

2

22

z

U

y

U

x

UUU

15

INTEGRALES DOBLES

F x y dydxy f x

f x

x a

b

,( )

1

2

F x y dy dx

y f x

f x

x a

b

,( )

1

2

F x y dxdyx g y

g y

y c

d

,( )

1

2

F x y dx dyx g y

g y

y c

d

,( )

1

2

Longitud de curva en a t, :

s s t r t dta

t

( ) ( )

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario

t tr t

r t( )

( )

( )

t s r s( ) ( )

Vector normal principal

)()()( tttbtn

x

n sr s

r s( )

( )

( )

Vector binormal )(

)()(

trr

trrtb

x

x

b sr s r s

r s( )

( ) ( )

( )

x

Los vectores unitarios t n b, , guardan la relación x , x , xb t n n b t t n b

Recta tangente en t0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

r r t r t 0 0

x x

x

y y

y

z z

x

0

0

0

0

0

0

Plano osculador t n, en t0

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

0× 000 trtrtrr

x x y y z z

x y z

x y z

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y Torsión

23x

xx

trtr

trtrtrt

tr

trtrt

s r s

23

]))('(1[

)(''

2xf

xf

16

Plano Normal

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0

Plano Rectificante t b, en t0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t n t 0 0 0

x x y y z z

x y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración

aT a Ta

.

aN a N

x a

.

Propiedades de la Divergencia

I) div (

F +

G ) = div (

F ) +div (

G )

II) div (

F ) = div(

F ) + ( grad )

F

III) div (

F +

G ) = G rot (

F ) -

F rot (

G )

17

TRANSFORMADA DE LAPLACE

0

)()}({ dttfetf tsL

No f(t) F(s)

1 C (constante) s

C

2 tn 1

!ns

n, n = 0 y n N

3 tn 1

)1(

ns

n, n > -1

4 eat as

1

5 senhat 22 as

a

6 coshat 22 as

s

7 senkt 22 ks

k

8 coskt 22 ks

s

9 )(tfeat )( asF

10 )()( atUatf )(sFe as

11 )(tft n )()1( )( sF nn

12 t

tf )(

s

dppF )(

13 )()( tf n )0(...)0(')0()( )1(21 nnnn ffsfssFs

14 t

df0

)( s

sF )(

15

t

dtgfgf0

)()( )()( sGsF

16 )(tf . Función periódica de

periodo T

T

st

sTdtetf

e0

)(1

1

17 )(t 1

18 )( 0tt ste 0

18

FÓRMULAS MISCELÁNEAS

Área limitada por una curva 𝒓 = 𝒇(𝜽), 𝜽 ∈ [𝜶, 𝜷]

df )(

2

1 2

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt

ttax sen tay cos1

Trabajo W b

ardF

Longitud de arco de y f x en a b y dxa

b

, ( ) 1 2

R

dAyxm , R

x dAyxyM , R

y dAyxxM ,

Centro de gravedad de una región plana

b

a

b

a

dxxf

dxxxfx

)(

)(,

b

a

b

a

dxxf

dxxf

y)(

)(2

1 2

Longitud de arco en forma paramétrica

dt

dt

dy

dt

dxL

22

Momento de inercia de R respecto al origen R

o dAyxyxI ,22

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x

xdxfxFSb

a

2)(1)(2

Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

b

atdtftV )(2

Cálculo del volumen b

a

dxxfV2

Ecuación del resorte helicoidal r t t tt

( ) cos ,sen ,2

Derivada direccional D f x y z f x y zu

, , , , u (

u vector unitario)

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC

q E t 1

Fuerza ejercida por un fluído dyyLyFb

a)(

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20

19

SERIES DE FOURIER

Serie de Fourier para una función suave a tramos en [-L, L]

1

0 sincos2

)(n

nnL

xnb

L

xna

axf

Donde

L

L

dxxfL

a )(1

0

L

L

n dxL

xnxf

La

cos)(

1

L

L

n dxL

xnxf

Lb

sin)(

1

Serie de Fourier para una función par en [-L, L]

1

0 cos2

)(n

nL

xna

axf

Donde

L

dxxfL

a0

0 )(2

L

n dxL

xnxf

La

0

cos)(2

Serie de Fourier para una función impar en [-L, L]

1

sin)(n

nL

xnbxf

Donde

L

n dxL

xnxf

Lb

0

sin)(2

Serie de Fourier para una función definida en [0, L]

a) Serie de Cosenos

1

0 cos2

)(n

nL

xna

axf

Donde

L

dxxfL

a0

0 )(2

L

n dxL

xnxf

La

0

cos)(2

b) Serie de Senos

1

cos)(n

nL

xnbxf

Donde

L

n dxL

xnxf

Lb

0

sin)(2

Serie Compleja de Fourier en [-L, L]

L

xni

eCxf n

)(

Donde

dxexfC L

xni

n )(2

1