INSTITUCION EDUCATIVA MUNICIPAL NACIONAL

PITALITO – HUILA

2020

GUIA SEGUNDO PERIODO

AREA: MATEMATICAS DECIMO

GRADO: DECIMO

TEMA: GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

* ANALISIS Y ELABORACION DE GRAFICAS

* FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

* VARIACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

OBJETIVO: Construir, interpretar y analizar las gráficas de las funciones trigonométricas directas e inversas y algunas

variaciones de las funciones seno y coseno.

PROFESOR: LUIS GRANJA

INSTITUCION EDUCATIVA MUNICIPAL NACIONAL

GUIA GRADO DECIMO TEMA: GRAFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PROF: Luis Granja

Se llama funciones trigonométricas a la aplicación de las relaciones trigonométricas en la función circular, mediante la

formación de un triángulo rectángulo con las componentes horizontal y vertical del punto trigonométrico. Además

sabemos que estas relaciones dependen del ángulo y no del tamaño del triángulo que se esté trabajando. Si dos

triángulos tienen ángulos iguales, son semejantes y sus lados son proporcionales.

El lenguaje gráfico es la mejor forma de comprender y entender las funciones, estas nos permiten analizar las

propiedades, continuidad y su comportamiento en la recta real, de igual manera nos permite interpretar el

comportamiento tendencial de las funciones trigonométricas.

GRAFICA DE LA FUNCION SENO

Para construir la gráfica de la función seno utilizaremos radianes para la variable independiente x (o argumento), y y

para la variable dependiente. Según lo anterior la función trigonométrica seno la podemos escribir como y = senx

Cada punto en esta grafica tendrá la forma (θ, senθ). El primer paso es construir una tabla de valores:

Tabla de valores para el intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, que también se representa como [a, b]

(en grados)

(en radianes)

0° 0 0

30°

45°

60°

90°

1

120°

135°

150°

180°

0

(en grados)

(en radianes)

180°

0

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

0

GUIA NO 1

0 24 cuadros 2𝛑

NOTA: Para facilitar la construcción en el cuaderno o papel milimetrado de las gráficas tomemos en el eje x 24

cuadros distribuyendo en forma proporcional los ángulos desde 0 a 2π. En el eje y tomemos la unidad de 4 cuadros

mostrando los valores en forma aproximada como se muestra en la anterior gráfica. Esta misma distribución se

deberá tener en cuenta para todas las demás gráficas de las funciones trigonométricas.

Unidad

4 cuadros

Podríamos seguir considerando y dibujando otros ángulos mayores de 2π (o 360o) y obtendríamos resultados

similares para seno. Lo mismo sucedería si tomáramos ángulos en sentido negativo.

EJEMPLO: Dibujar la gráfica en el intervalo [- 2π, 2π].

En este caso la gráfica se repite tanto a derecha como a izquierda conservando su forma.

En conclusión podemos observar que su grafica es una repetición del tramo que se ha dibujado en el intervalo de 0 a 2π,

en ambos sentidos. Este proceso se puede prolongar indefinidamente puesto que su dominio son los números reales.

TRABAJO: 1. A continuación se muestra un bosquejo de las demás gráficas de las funciones trigonométricas (coseno,

tangente, cotangente secante y cosecante). Construir la tabla de valores, dibujar la gráfica con la misma distribución

utilizada en la gráfica de la función seno y realizar el análisis de las características de cada una de ellas.

Función y = ctgx

* Para la construcción de las tablas de valores de las funciones

trigonométricas es de gran utilidad manejar correctamente

el círculo trigonométrico y tener en cuenta que las coordenadas

de cada ángulo tienen la forma (cosx, senx).

* aplicar las definiciones de las funciones trigonométricas y

efectuar las respectivas aproximaciones para facilitar la

ubicación de cada punto.

2. De la misma manera se muestra un bosquejo de las gráficas de las funciones trigonométricas inversas, consultar los

criterios que se deben tener en cuenta para su construcción (la distribución en el plano cartesiano es la misma que se

utilizó en las funciones trigonométricas directas).

BIBLIOGRAFIA:

Los caminos del saber. MATEMATICAS 10 SANTILLANA

(La gráfica de la función tangente en el texto está mal

trazada verificar con la tabla de valores y corregirla).

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GUIA GRADO DECIMO TEMA: ANALISIS DE GRAFICAS PROF: Luis Granja

Las funciones trigonométricas pueden presentar variaciones cuando a la variable independiente o la función, se suma

o se multiplica por algún número real. Estas variaciones se repercuten en sus gráficas produciendo traslaciones,

reflexiones, compresiones y alargamientos de las gráficas de las funciones trigonométricas originales.

TRASLACION DE FUNCIONES. Si f(x) es una función, esta se puede trasladar de forma vertical, hacia arriba o hacia

abajo, o trasladar a la derecha o ala izquierda.

TRASACION VERTICAL: La gráfica de la función y = f(x) + k (donde k es un número real) se desplaza k unidades hacia

arriba de la gráfica de f(x). Mientras que la gráfica y = f(x) – k se desplaza k unidades hacia debajo de la gráfica de f

(x).

Por ejemplo:

TRASLACION VERTICAL: Si h es un número real positivo. La gráfica y = f(x + h) se desplaza h unidades a la izquierda de la

gráfica f (x). Mientras que la gráfica y = f(x – h ) se desplaza h unidades a la derecha de la gráfica f(x). Por ejemplo:

REFLEXION DE FUNCIONES:

GUIA NO 2

COMPRESION Y ALARGAMIENTO

AMPLITUD

PERIODO

BIBLIOGRAFIA: Los caminos del saber. MATEMATICAS 10 SANTILLANA

PERIODO

TRABAJO:

Con base en la guía y los enlaces de algunos videos adjuntos construir las siguientes gráficas relacionadas con

variaciones de las funciones trigonométricas seno y coseno, con la misma distribución en el plano que se utilizó para las

gráficas de la guía No 2. Construir una tabla de valores y realizar el análisis de cada una de ellas.

1. Traslación horizontal.

A. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 B. 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +𝜋

2) C. 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 −

𝜋

2) En un mismo plano

A. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 B. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 +𝜋

2) C. 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 −

𝜋

2) En un mismo plano

2. Traslación vertical. En un mismo plano construir las siguientes graficas:

A. 𝑓 (𝑥) = cos (𝑥) B. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 C. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 En un mismo plano

A. 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) B. 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 C. 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 En un mismo plano

3. Periodo.

A. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 B. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 C. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥

2 En un mismo plano

4. Amplitud.

A. 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 B. 𝑓 (𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 C. 𝑓 (𝑥) =1

2𝑠𝑒𝑛𝑥 En un mismo plano

5. Construir las siguientes graficas

A. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 B. 𝑓 (𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠 (3𝑥 +𝜋

2) En un mismo plano

A. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 B. 𝑓 (𝑥) = 4 cos(2𝑥 + 𝜋) + 2 En un mismo plano

BIBLIOGRAFIA: Los caminos del saber. MATEMATICAS 10 SANTILLANA

https://www.youtube.com/watch?v=CTRR0d56ePo

https://www.youtube.com/watch?v=C0u1ajYa6Ks&t=124s

https://www.youtube.com/watch?v=XKIWDDJAXog&t=798s

https://www.youtube.com/watch?v=4PDsxOGHwcU

https://www.youtube.com/watch?v=8tVsTo2vrYk&t=1019s

INSTITUCIÓN EDUCATIVA MUNICIPAL NACIONAL PITALITO - HUILA

JORNADA TARDE

AREA: ESTADISTICA.

GUIA No. 01. TEMA: TABLAS DE FRECUENCIAS CON DATOS AGRUPADOS.

GRADO: DECIMOS 1, 2 y 3.

TIEMPO: 2 HORAS.

OBJETIVO: Completar tablas de frecuencias, usando

datos agrupados e interpretar los resultados a la luz de situaciones cotidianos o intramatemáticas.

COMPETENCIA.

La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos

El razonamiento

La formulación, tratamiento y resolución de problemas

CONCEPTUALIZACION.

Tablas de frecuencias con datos agrupados

Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para así realizar un

mejor análisis e interpretación de ellos.

• Para construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, conociendo los intervalos, se debe determinar la

frecuencia absoluta (fi) correspondiente a cada intervalo, contando la cantidad de datos cuyo valor está entre los

extremos del intervalo. Luego se calculan las frecuencias relativas y acumuladas, si es pertinente.

1. Si no se conocen los intervalos, se pueden determinar de la siguiente manera: (recuerda que los intervalos

de clase se emplean si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua).

2. Se busca el valor máximo de la variable y el valor mínimo. Con estos datos se determina el rango.

3. Se divide el rango en la cantidad de intervalos que se desea tener,(por lo general se determinan 5 intervalos

de lo contrario es ideal que sea un numero impar por ejemplo 5, 7, 9) obteniéndose así la amplitud o

tamaño de cada intervalo.

- Comenzando por el mínimo valor de la variable, que será el extremo inferior del primer intervalo, se suma a este

valor la amplitud para obtener el extremo superior y así sucesivamente.

• Otra forma de calcular la cantidad de intervalos es aplicando los siguientes metodos:

Método Sturges: k = 1 + 3,332 log n

donde: k= número de clases y n= tamaño muestral

EJEMPLIFICACIÓN.

Veamos como se resuelve el siguiente ejercicio del libro Santillana

En un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas que entraban entre las 12:00 h y 12:30 h. Los

resultados obtenidos fueron los siguientes:

- Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en ocho intervalos.

1°Para poder construir la tabla de frecuencias lo primero que debemos hacer es calcular el rango.

El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

El dato mayor y el menor lo hemos destacado con color rojo:

Dato mayor - dato menor = 73 - 1 = 72

Por lo tanto; Rango = 72

2° En el problema nos dicen que debemos agruparlo en 8 intervalos o clases, con este dato podemos calcular la

amplitud o tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean

obtener (en este caso son 8).

Amplitud: La amplitud de un intervalo es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior. La amplitud(A) de

los intervalos puede calcularse mediante la expresión:

72 / 8 = 9

Por lo tanto la amplitud de cada intervalo será de 9

- El valor de la amplitud se redondea al número inmediato superior de acuerdo a la cantidad de decimales que tienen

los datos o según la precisión con que se desea trabajar.

- Puede haber intervalos con distinta amplitud.

- Puede haber intervalos con amplitud indefinida (intervalos abiertos)

3° Ahora podemos comenzar a construir la tabla de frecuencias:

Hay distintas formas de construir los intervalos dependiendo del tipo de variable que estemos trabajando.

a) Variables cuantitativas discretas: solo pueden tomar un número finito de valores. Siendo por lo general estos

valores los números naturales 1, 2, 3...Un ejemplo son el número de hijos, el número de habitaciones de una

vivienda, el número de matrimonios de una persona. Cuando categorizamos variables discretas los límites de clase

son idénticos a los límites reales. Por ejemplo, el número de personas que viven en una familia podemos agruparlo,

De 1 hasta 2 (0 es imposible no hay ninguna familia sin ningún miembro) De 3 hasta 4, De 5 hasta 7.

b) Variables cuantitativas continuas: Las variables continuas, por el contrario, pueden, tomar un número infinito

de valores en cualquier intervalo dado. En este caso los valores se agrupan en intervalos cuyos límites inferior y

superior serían los siguientes:

Inferior : Lii

Superior: Lsi-1

Habitualmente, los intervalos se consideran cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha, es decir que el extremo

inferior está incluido en el intervalo, pero el extremo superior no.

Es importante mencionar que las clases o intervalos para las variables continuas pueden ser de tres tipos:

abiertas: clases abiertas tienen límites determinados (a,b), pero los valores que la contienen comprenden valores

muy cercanos a estos límites sin comprenderlos a ellos mismos, esto se representa con un intervalo definido entre

paréntesis (). Esto quiere decir que esta clase contiene valores desde a hasta b pero no contiene exactamente a ni b

solo valores muy cercanos.

cerradas: las clases cerradas, además de los valores que están entre a y b, los contiene a ellos, y se representa con

corchetes [a,b].

semiabiertas: pueden contener a o b más los valores que están entre ellos, y se puede representar con un corchete y

un paréntesis, por ejemplo, (a,b], en este caso no contiene el valor a y si los valores de b, además de los valores

que están entre estos.

C) Registro discreto de variables continuas: Cuando la variable considerada es continua pero ocurre que la

precisión del instrumento de medida se limita a un número finito de datos, existe la opción de construir los intervalos

de tal forma que ambos extremos estén incluidos en él.

Ej 50 a 52, 53 a 55, 56 a 58, 59 al 61 y 62 al 64

Estos serían los límites aparentes de los intervalos.

→ Con esta información construiremos la tabla en esta ocasión con el último método explicado.

- Marca clase o centro de la clase: es la semisuma de los límites de cada clase. Representa a todos los datos que

están contenidos en una clase.

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE.

Presentar en hojas tipo examen;

Completar una tabla de frecuenta con datos agrupados y realiza un grafico de sectores.

La siguiente información corresponde al peso en kilos que un grupo de pacientes de un gimnasio. Dada.

76 87 98 78 65 54 65 76 87 45

46 76 54 65 76 78 98 90 49 59

60 77 88 65 78 79 50 90 80 77

75 67 86 98 56 49 56 76 57 68

82 94 71 62 51 94 72 73 48 56

Bibliografía. Libro Santillana matemáticas 9 y 10 (Si alguien lo necesita en pdf, me escriben para compartirlo) Videos subidos a la página MATEMATICAS JT Otros videos del tema de pares académicos https://www.youtube.com/watch?v=5z-jDh0H-Ik https://www.youtube.com/watch?v=CuKr7Gz