funciones trigonometrica inversas (12 pt)

Prof. Alejandro Hernndez Espino. Universidad Tecnolgica de Panam

FUNCIONES TRIGONOMETRICA INVERSAS, FUNCIONES HIPERBLICAS Y

FUNCIONES HIPERBLICAS INVERSAS

INTRODUCCION Una funcin es una regla de correspondencia que asigna a cada valor en su dominio un

nico valor en su contradominio (recorrido o imagen) . Esta regla no impide tener el mismo

nmero de asociado a dos valores distintos de , es decir, ( ) ( )

son funciones, pero:

( ) ( ) ( ) , es decir la imagen corresponde tanto al elemento

;

( ) ( ) , es decir, la imagen corresponde nicamente al elemento

y no ocurre para ningn otro elemento.

A las funciones como ( ) se les llama funciones inyectivas (uno a uno o biunvoca)

DEFINICION: Una Funcin es Inyectiva o Uno a Uno o Biunvoca si todo elemento de su

contradominio corresponde a exactamente un elemento de su dominio .

PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL: La interpretacin geomtrica de la definicin de

Funcin Inyectiva significa que una recta horizontal puede cortar la grfica de una Funcin

Inyectiva a lo sumo en un punto (es decir, nada mas la puede cortar en un punto); si la recta

horizontal corta la grafica de la funcin en mas de un punto entonces la funcin no es

Inyectiva.


TEOREMA: Si ( ) es montona en un intervalo, entonces ( ) es Uno a Uno en el intervalo.

DEFINICION: Si ( ) es una funcin uno a uno considerada como el conjunto de pares

ordenados ( ) entonces existe una funcin ( ) llamada inversa de ( ) que es el

conjunto de pares ordenados ( ) definida por:

( ) ( )

El dominio de es el contradominio de y el contradominio de es el dominio de .

TEOREMA:

a) Una funcin es una funcin tiene una funcin inversa si solo si es Inyectiva

b) Si es estrictamente montona en todo su dominio, entonces sta es Inyectiva y por lo tanto

tiene inversa

TEOREMA: Si es una funcin uno a uno y tiene a como su inversa, entonces es

una funcin uno a uno y tiene a como su inversa. Adems:

( ( ))

( ( ))


I. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Las Funciones Trigonomtricas, tal como las hemos definido (peridicas) no son Inyectivas o Uno

a Uno y por lo tanto no tienen Inversas. Por lo tanto necesitamos redefinir su dominio al cual

llamaremos dominio restringido de manera que sean Inyectivas y poder definir sus inversas.

1.1 DEFINICION, GRFICAS Y DERIVADAS

Funcin Seno Inverso:

Definicin:

Dominio: 1 1

Codominio:

Derivada:

2

Funcin Coseno Inverso:

Definicin:

Dominio: 1 1

Codominio: 0

Derivada:

2


Funcin Tangente Inversa:

Definicin:

Dominio: ( +)

Codominio:

Derivada:

2+

Funcin Cotangente Inversa:

Definicin:

Dominio: ( +)

Codominio: (0 )

Derivada:

2


Funcin Secante Inversa:

Definicin:

Dominio: ( 1 1 +)

Codominio:

Derivada:

2

Funcin Cosecante Inversa:

Definicin:

Dominio: ( 1 1 +)

Codominio:

0 0

Derivada:

2


Problemas de Prctica LARSON, Ron y EDWARDS, Bruce (2010). Clculo Vol I. Editorial Mc-Graw Hill. 9 Edicin.

Mxico. Pgina 379, Ejercicio 5.6, del 1 68.

LEITHOLD, Louis (1998). El Clculo. Editorial Oxford. 7 Edicin. Mxico. Pgina 482,

Ejercicio 5.7, del 1 42.

1.2 INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Las derivadas de las seis (6) funciones Trigonomtricas Inversas se agrupan en tres (3) pares. En cada par, la derivada de una es la negativa de la otra. Cuando hacemos una lista de las antiderivadas que corresponden a cada una de las funciones Trigonomtricas Inversas, es suficiente citar una de cada par:

+

+

1

+

1

+

Problemas de Prctica LARSON, R y EDWARDS, B (2010). Clculo Vol I. Editorial Mc-Graw Hill. 9 Edicin.

Mxico. Pgina 387, Ejercicio 5.7, del 1 54.

LEITHOLD, L (1998). El Clculo. Editorial Oxford. 7 Edicin. Mxico. Pgina 488, Ejercicio

5.8, del 1 28.

II. FUNCIONES HIPERBLICAS.

Ciertas combinaciones de los exponenciales aparecen con frecuencia en algunas

aplicaciones de matemticas, especialmente de Ingeniera y Fsica. Estas combinaciones se les

denominan: Funciones Hiperblicas. En muchos aspectos estas funciones son anlogas a las

funciones trigonomtricas.


A las funciones trigonomtricas se les denomina funciones circulares ya que estn relacionadas

con el crculo unitario y las funciones hiperblicas reciben su nombre porque se relacionan con

una Hiprbola Equiltera Unitaria. Este nombre proviene de la comparacin entre el rea de una

regin:

Si es cualquier nmero real, el punto ( ), queda en el crculo unitario + 1,

sustentado en la identidad pitagrica + 1. De hecho podemos interpretar que

es la medida en radianes del ngulo de la figura. Por este motivo a las funciones

trigonomtricas en ocasiones se les denomina funciones circulares.

De igual manera, si es cualquier nmero real, el punto ( ), permanece en la

rama derecha de la hiprbola unitaria 1, pues, la identidad 1, con el

1. En esta ocasin no representa la medida de un ngulo, sin embargo, denota el

doble del rea sombreada del sector hiperblico, exactamente como el caso trigonomtrico

representa el doble del rea sombreada del sector circular.


2.1. DEFINICION, GRFICAS Y DERIVADAS

Funcin Seno Hiperblico:

Definicin:

Dominio: ( +)

Codominio: ( +)

Derivada:

Funcin Coseno Hiperblico:

Definicin: +

Dominio: ( +)

Codominio: 1 +)

Derivada:

Funcin Tangente Hiperblica:

Definicin:

+

Dominio: ( +)

Codominio: ( 1 1)Derivada:


Funcin Secante Hiperblica:

Definicin:

+

Dominio: ( +)

Codominio: (0 1

Derivada:

Funcin Cosecante Hiperblica:

Definicin:

Dominio: ( 0) (0 +)

Codominio: ( 0) (0 +)

Derivada:

Funcin Cotangente Hiperblica:

Definicin:

+

Dominio: ( 0) (0 +)


Derivada:


2.2. IDENTIDADES HIPERBLICAS Las identidades que son satisfechas por las funciones hiperblicas son semejantes a las de las funciones trigonomtricas. 1 + 1 1

1

1

1

1

1 +

1 +

+ ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) Problemas de Prctica LARSON, R. y EDWARDS, B (2010). Clculo. Editorial Mc-Graw Hill. 9 Edicin. Mxico.

Pgina 398, Ejercicio 5.8, del 1 30.


5.9, del 1 16.

2.3. INTEGRALES DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS

+ +

+ +

+ +


Problemas de Prctica LARSON, R. y EDWARDS, B (2010). Clculo. Editorial Mc-Graw Hill. 9 Edicin. Mxico.

Pgina 398, Ejercicio 5.8, del 45-64.


5.9, del 19 24; 27-32.

III. FUNCIONES HIPERBLICAS INVERSAS.

A diferencia de las funciones trigonomtricas, las funciones hiperblicas no son peridicas y

podemos ver que cuatro (4) de las seis (6) funciones hiperblicas son inyectivas: seno hiperblico,

tangente hiperblica, cosecante hiperblica y cotangente hiperblica lo cual indica que tienen

inversas. El coseno hiperblico y la tangente hiperblica no son inyectivas y por tanto hay que

restringir su dominio para definir sus funciones inversas.

Debido al hecho de que las funciones hiperblicas se definen en trminos de funciones exponenciales

no es de extraar que las funciones hiperblicas inversas se expresan en trminos de la funcin

logaritmo natural.

3.1. DEFINICION, GRFICAS Y DERIVADAS

Funcin Seno Hiperblico Inverso:

Definicin: ( + + 1 )

Dominio: ( +)

Codominio: ( +)

Derivada:

2+


Funcin Coseno Hiperblico Inverso:

Definicin: ( + 1 )

1

Dominio: 1 +)

Codominio: 0 +)

Derivada:

2 > 1

Funcin Tangente Hiperblica Inversa:

Definicin:

+

< 1

Dominio:( 1 1)

Codominio:( +)

Derivada:

2 < 1


Funcin Secante Hiperblica Inversa:

Definicin: + 2

Dominio: (0 1

Codominio: 0 +)

Derivada:

2 0 < < 1

Funcin Cosecante Hiperblica Inversa:

Definicin:

+

2

Dominio: ( 0) (0 +)


Derivada:

+2 0





5.9, del 40 48.

3.2. INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONES HIPERBLICAS INVERSAS

+ ( + + ) +

+

( + ) +

+

1

+

+

1

+

1

+

+

1

+

Funcin Cotangente Hiperblica Inversa:

Definicin:

+

> 1

Dominio:( 1) (1 +)

Codominio:( 0) (0 +)

Derivada:

2 > 1


+

1

(

+ +

) +

1

+

1

(

+

) +

1

+




5.9, del 49 60.

funciones trigonometrica inversas (12 pt)

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