FUNCIONES3º ESO

Índice de contenidos1.- Función y variables2.- Formas de expresar una función3.- Continuidad de funciones4.- Tasa de variación y crecimiento5.- Máximos y mínimos6.- Simetrías7.- Periodicidad

1.- Función y variablesFunción: Una función es una relación entre dos

magnitudes tal que, a cada valor de la primera, le corresponde, un único valor de la segunda.

Ejemplo 1: La relación entre los números y sus raíces cúbicas. (A cada número le corresponde una sola raíz cúbica)

x y=f(x)

1 1

8 2

-27 -3

1.- Función y variables

1.- Función y variables

FunciónFunción

x f(x)

x √x3

f(x) = √x3

Podemos ver la función como una “caja” en la que “entra” un número, que llamamos x, y “sale” transformado en otro que llamamos y o f(x)

8 2

Variable independiente: Se llama así a la primera de las magnitudes. Sus valores no dependen de nada (por eso se llama independiente). Se suele indicar como x, aunque no siempre. En la gráfica, se representa sobre el eje de abscisas (horizontal) El conjunto de valores que puede tomar se llama DOMINIO

En el ejemplo: Los números (nosotros “elegimos” de cuál vamos a calcular la raíz cúbica)

Variable dependiente: Se llama así a la segunda magnitud de las indicadas en la definición de función. Su valor depende del elegido para la primera. Por eso se llama dependiente. Se suele indicar como y o f(x). El conjunto de valores que puede tomar se llama RECORRIDO

En el ejemplo: La raíz cúbica de los números elegidos

1.- Función y variables

Para dar la información de una función podemos hacerlo de cuatro maneras:

a) Mediante una descripción textualEn el ejemplo: “A cada número le asignamos su raíz cúbica”

b) Mediante una gráfica sobre ejes cartesianos. En el eje horizontal se representa la variable independiente (x) y en el vertical la variable dependiente (y). Es importante elegir bien la escala en cada eje (pueden ser diferentes). Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes que se numeran como se indica en la imagen.

En el ejemplo: la gráfica de la imagen.

2.- Formas de expresar una función

c) Mediante una tabla de valores. En ella, se refleja el valor de la variable dependiente, calculado para cada valor de la variable independiente. En una tabla no se pueden reflejar todos los valores.

En el ejemplo:

d) Mediante una expresión algebraica. Es una “fórmula” que nos permite obtener los valores de y haciendo cálculos a partir de los de x. Por eso, una función también se expresa como y=f(x).Con ella podemos obtener la y que le corresponde a cualquier x.

En el ejemplo: y = √x

2.- Formas de expresar una función

2.- Formas de expresar una función

a) f(x) = x/2

b) f(x) = √x

c) f(x) = x2/2

d) f(x) = x3+5

3.- Continuidad de una funciónUna función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. No presenta saltos ni interrupciones. Los puntos en los que sí aparecen saltos se llaman puntos de discontinuidad

Ejemplos de funciones discontinuas:

Ejemplos de funciones continuas:

4.- Tasa de variación y crecimientoLa tasa de variación de una función f en un intervalo [a,b] es el cambio de la función cuando la variable x pasa de valer a a valer b.

Ejemplo:

x: tiempo (en años)f(x): nº de habitantes de Anento

x f(x)

1920

1930

1960

1980

2010

341

388

270

11

153

TV[a,b] = f(b) – f(a)

TV[1920,1930] =TV[1960,1980] =TV[1920,1930] = 388 – 341 = 47 habitantesTV[1960,1980] = 11 – 270 = -259 habitantes

4.- Tasa de variación y crecimientoFunción es creciente

= si aumenta x → aumenta f(x)

= TV[a,b] > 0

Función es decreciente=

si aumenta x → disminuye f(x)=

TV[a,b] <0

Estudiamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Creciente:

Decreciente:

[1920, 1930] , [1980, 2010]

[1900,1920], [1930,1980]

Estudiamos los máximos y mínimos

5.- Máximos y mínimosf(x) tiene un máximo relativo en x=a si antes de a f es creciente y después es decreciente. (Puede haber varios)

f(x) tiene un mínimo relativo en x=a si antes de a f es decreciente y después es creciente. (Puede haber varios)

El máximo absoluto de una función es el punto en el que toma el valor más grande de todo su dominio. (Sólo hay uno)

El mínimo absoluto de una función es el punto en el que toma el valor más pequeñode todo su dominio. (Sólo hay uno)

Máx. relativos: (1930, 388)

Mín. relativos:(1920, 341) y (1980, 11)

Máx. absoluto:(1930, 388)

Mín. absoluto:(1980, 11)

Ejemplos de funciones pares:

6.- Simetríasf(x) es simétrica respecto al eje OY o par si f(-x) = f(x), para cualquier valor x del dominio.

f(x) = x2 x f(x) f(-x)

-2 4 (2)2=4

-1 1 (1)2=1

0 0 (-0)2=0

1 1 (-1)2=1

2 4 (-2)2=4

Ejemplos de funciones impares:

6.- Simetríasf(x) es simétrica respecto al origen o impar si f(-x) = -f(x), para cualquier valor x del dominio.

f(x) = x x f(x) -f(x)

f(-x)

-2 -2 2 2

-1 -1 1 1

0 0 0 0

1 1 -1 -1

2 2 -2 -2

Ejemplos de funciones periódicas:

7.- Periodicidadf(x) es periódica si l,os valores que toma se repiten cada cierto intervalo de as x. A este intervalo se le llama período