Los descubrimientos de principios del Siglo XX habían culminado con lasorprendente conclusión, por parte de Louis de Broglie, de que la materia secomporta a la vez como cuerpo y como onda, y esto es especialmente decisivocuando nos referimos a partículas subatómicas. Esta doble condición de laspartículas tenía que ser utilizada para profundizar en el estudio del mundo de lomuy pequeño.

FUNCIONES DE ONDA

PROPIEDADES FISICAS Interpretación de la función de onda

La función de onda Ψ (x,t) es inherentemente compleja y por lo

tanto no se puede medir con un instrumento real. Pero esta es

una característica deseable pues nos impide atribuir a la función de onda una existencia física

Las funciones de onda son soluciones a las ecuaciones de

Schrödinger, son entes abstractos. Ellas contienen toda la

información que el principio de

incertidumbre permite conocer acerca de la partícula

asociada.

A principios del siglo 20, los electrones demostraron

tener propiedades ondulatorias, y la dualidad onda-

partícula se convirtió en una parte de nuestra

comprensión de la naturaleza. Las matemáticas para

describir el comportamiento de estas ondas de

electrones, podría esperarse que fueran similares a las

que describen las ondas clásicas, tales como la onda en

una cuerda tensada

onda electromagnética plana.

La ecuación de onda desarrollada por Erwin

Schrodinger

Uno de los postulados de la mecánica cuántica, dice que para un

sistema físico consistente en una partícula, existe una función de

onda asociada. Esta función de onda determina todo lo que se

puede saber sobre el sistema

. La función de onda se supone aquí que es una función de posición

y tiempo de un solo valor, puesto que esto es suficiente para

garantizar un valor inequívoco, de la probabilidad de encontrar la

partícula en una posición y tiempo particular.

La función de onda puede ser una función compleja, ya que es su

producto con su conjugado complejo, que especifica la probabilidad

física real de encontrar la partícula en un estado particular.

Con el fin de representar un sistema observable de manera

física, la función de onda debe satisfacer ciertas restricciones:

1. Debe ser una solución de la ecuación de Schrodinger.

2. Debe ser normalizable. Esto implica que la función de onda

se aproxima a cero cuando x se aproxima a infinito.

3. Debe ser una función continua de x

4. La pendiente de la función en x, debe ser continua.

Específicamente debe ser continua

Función de onda para una partícula bidimensional encerradaen una caja. Las líneas de nivel sobre el plano inferior estánrelacionadas con la probabilidad de presencia.

Las funciones de onda son dispositivos operacionales que solo adquieren

sentido dentro del contexto de la teoría de Schrödinger.

Densidad de probabilidad

P( x, t) = Ψ * Ψ

El postulado de Born, principio de incertidumbre, se expresaría:

El problema de la mecánica cuántica es determinar

la función de onda Ψ para un sistema físico cuando

sus grados de libertad están limitados por la acción

de fuerzas externas.

La función de onda representa la amplitud de la probabilidad de encontrar una

partícula en un punto dado en el espacio, en un momento dado. La probabilidad real

de encontrar la partícula está dado por el producto de la función de onda con su

conjugado complejo (como el cuadrado de la amplitud de una función compleja).

Ecuación de onda clásica

Es la ecuación para una onda viajera. Esta es una

ecuación diferencial de segundo orden

cuya solución origina familia de funciones

· La perturbación puede ser de cualquier forma y no

solo sinusoidal.

· Igualmente valida para un pulso o un tren de

ondas o superposición de ondas.

Representa un tren de onda de amplitud constante y

monocromática (y es una función compleja)

De modo que se puede escribir

Esta es la solución general para una onda viajera.

Ecuación de Schrödinger

En mecánica cuántica se adopta una función de

onda que tiene propiedades similares.

De modo que asumimos una función del tipo

Entonces podemos escribir

También sabemos que

Entonces

Formulación original de Schrödinger-De Broglie

En 1923 De Broglie propuso la llamada hipótesis de De Broglie por la

que a cualquier partícula podía asignársele un paquete de ondas

materiales o superposición de ondas de frecuencia y longitud de onda

asociada con el momento lineal y la energía:

donde son el momento lineal y la energía cinética de la partícula, y

son el vector número de onda y la frecuencia angular. Cuando se

consideran partículas macroscópicas muy localizadas el paquete de

ondas se restringe casi por completo a la región del espacio ocupada

por la partícula y, en ese caso, la velocidad de movimiento de la

partícula no coincide con la velocidad de fase de la onda sino con la

velocidad de grupo del paquete: