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Onda periodicaSi una onda senoidal se propaga por una cuerda,
si tomamos una foto de la cuerda en un instante, la ondatendra la forma
longitud de onda
si miramos el movimiento del medio en algun punto duranteun intervalo de tiempo largo, la onda tendra la forma
perıodo
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Onda periodica
Una onda senoidal viajando a lo largo del eje X,
y(x, t) = ym sin(k x± ω t)
La amplitud, ym, es la magnitud del maximo desplazamientodesde su posicion de equilibrio.
La fase, k x− ω t, es el argumento de la funcion seno.
Numero de ondak =
2 πλ
Frecuencia angular
ω = 2 π f =2 πT
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Velocidad de onda
La velocidad de propagacion de la onda es la velocidad conque se mueve la onda.Esta relacionada con λ y f de la onda.
vonda = v =ω
k=λ
T= λ f
La velocidad de propagacion de una onda mecanicaesta determinada por el medio por el cual se propaga la onda(masa y propiedades elasticas).
vonda 6= vpartıcula
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Velocidad de onda en una cuerda estiradaConsideremos un pulso moviendose hacia la derecha por unacuerda con velocidad v.
F = 2 τ sin θ ≈ 2 τ θ = τ∆lR
La masa del elemento ∆l esta dadapor δm = µ∆l.
En el sistema de referencia que se mueve con el pulso,
τ∆lR
= (µ∆l) (v2
R) −→ v =
√τ
µ
Velocidad de cualquier onda sobre la misma cuerda bajo lamisma tension.
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Ejercicios1 La funcion que describe una onda en una cuerda (µ = 0,1
kg/m) es
Ψ(x, t) = 2 sin(
2 π3
t0,01
− x2
)Ψ se mide en centımetros, x en metros, y t en segundos.¿Cuanto valen la frecuencia, amplitud, longitud y velocidadde onda?. ¿Que valor tiene la tension de la cuerda?.
2 El desplazamiento de las partıculas de una cuerda, en x =9.60 cm, varıa con el tiempo, durante el paso de una ondasenoidal, segun la ecuacion
Y(t) = 5,12 sin (1,16− 4,08 t)
Si Y esta en centımetros y t en segundos, determinar lafrecuencia, longitud y velocidad de onda. Escribir la funcionde onda.
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Tarea para la casa
Un helicotero intenta rescatar a un explorador de 80 kg atrapadoen una tormenta. Para ello, el helicoptero se ubica encima delexplorador y baja un cable con una silla de 70 kg hasta el. Lamasa del cable es 8 kg y la longitud es 15 m. El explorador se ataa la silla y le envıa una senal al piloto tirando del cable. El pulsollega 0.25 s despues al piloto. ¿Cual es la aceleracion delhelicoptero?.
Rta.: 3 m/s2
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Principio de superposicion de ondasSi dos o mas ondas viajeras se mueven a traves de un medio,la funcion de onda resultante en cualquier punto es la sumade las funciones de onda de las ondas individuales.
Las ondas pasan, una a traves de la otra, sin alterarse mutuamente.FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 7 / 17
Reflexion y transmision de ondas en una cuerdaCuando una onda que viaja por una cuerda llega a unextremo de la misma, la onda se refleja sin cambiar deamplitud.
Si el extremo esta fijo, la onda se invierte.
Si el extremo es movil, la onda NO se invierte.FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 8 / 17
Reflexion y transmision de ondas en una cuerda
Cuando una onda que viaja por una cuerda llega a una unioncon otra cuerda, parte de la onda se refleja y parte setransmite.
Las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida son menoresque la amplitud de la onda original.
vA > vB
la onda reflejada se inviertevA < vB
la onda reflejada no se invierte
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Interferencia de ondas armonicasSupongamos que se mandan dos ondas senoidales a lo largo deuna cuerda y en la misma direccion; las ondas son de iguallongitud de onda y amplitud.
Al fenomeno de combinar ondas se le llama interferencia
interferencia constructiva y destructivaFIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 10 / 17
Ondas estacionarias
¿Que pasa si dos ondas senoidales de igual longitud de onday amplitud viajan por una cuerda en sentidos contrarios?
Nuevamente podemos usar el principio de superposicion
La interferencia entre las dos ondas viajando en sentidoscontrarios produce una onda estacionaria.
Se llama onda estacionaria porque el patron de onda no semueve; las posiciones de los maximos y los mınimos no cambianen el tiempo.
La caracterıstica principal de la onda resultante es que haylugares a lo largo de la cuerda que nunca se mueven (nodos).
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Ondas estacionarias
¿En que se diferencian una onda viajera y una onda estacionaria?
En una onda viajera, la amplitud de la onda es la misma paratodos los elementos de la cuerda.
En una onda estacionaria, la amplitud depende de la posicion.FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 12 / 17
Cuerda con los dos extremos fijos
Pensemos en una cuerda de guitarra y supongamos quegeneramos una onda senoidal de cierta frecuencia, digamos haciala derecha.
Poco tiempo despues, tendremos muchas ondas, algunasviajando a la derecha y otras a la izquierda, superponiendose einterfiriendo.
Para ciertas frecuencias, la interferencia produce un patronde onda estacionaria y se dice que el sistema esta enresonancia.
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Cuerda con los dos extremos fijosPara determinar las frecuencias de resonancia de la cuerda fijaen ambos extremos lo primero que debemos considerar es quecada extremo es un nodo. Ademas entre dos nodos siempre hayun antinodo.
La onda estacionaria mas simple es la que tienenodos en los extremos y un antinodo en el centro(modo fundamental o primer armonico).
El segundo patron simple que podemos imaginarserıa el que tiene tres nodos (extremos y centro) ydos antinodos (segundo armonico).
Ası, la onda original tiene que tener λ o figual a
λ =2 Ln
f =vλ
= nv
2 Ln = 1, 2, 3, ...
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ComentariosUn guitarista cambia L de la cuerda alpresionarla con sus dedos contra el cuellodel instrumento.
Cuerdas con distintas τ , µ y L permite aun piano producir variedad de sonidos.
Patrones de resonancia de unaguitarra
268 Hz 553 Hz
672 Hz 1010 Hz
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EjercicioUn cuerda esta unida a un oscilador senoidal en un extremo ypasa por un soporte Q para luego ser estirada por un bloque demasa m en el otro extremo. La separacion entre P y Q es 1.2 m,la densidad de masa lineal de la cuerda es 1.6 g/m y la frecuenciadel oscilador es 120 Hz. La amplitud del movimiento en P espequena tal que podemos considerarlo un nodo. Otro nodo existeen Q.
¿Que masa m permite que el oscilador establezca el cuartoarmonico en la cuerda?¿Que onda estacionaria se establece si m =1 kg?.
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Tarea para la casa
Una cuerda de 3 m de longitud y 0.0025 kg/m de densidad demasa lineal esta fija en ambos extremos. Una de sus frecuenciasde resonancia es 252 Hz. La proxima frecuencia de resonancia es336 Hz. ¿Que armonico es 252 Hz? ¿Cual es la frecuenciafundamental? ¿Cual es la tension en la cuerda?
Rta.: tercero, 84 Hz y 635 N.
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