Analis de circuitos ii

FUNCIÓN DE RED

Paola LemaXimena Quillupangui

Santiago Haro

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FUNCIÓN DE RED Es una función racional que relaciona dos

variables: Respuesta y fuente.

Existen cuatro posibles funciones de redTransferencia de tensiónTransferencia de corrienteTransferencia de impedanciaTransferencia de admitancia

En el dominio del tiempo esta relación está dada por ecuaciones diferenciales; pero trabajando con la transformada de Laplace se convierte en una relación algebraica.

La función de transferencia H(s) de un circuito es la relación entre la función de salida Y(s) (una tensión o corriente de salida) y la función de entrada X(s) (una tensión o corriente de la fuente).

Tabla de funciones de red

Ejemplo

Son frecuencias críticas a cuyos valores la función de red tiende a ceros (Ceros) o tiende a infinito (Polos).

POLOS Y CEROS

• N(s) y D(s) son polinomios reales.• K es el factor de escala (cuando los

polinomios están normalizados)

Para representar los polos y los ceros se utiliza la representación en el plano S.

Luego en el plano s lo ceros se representan por un círculo (o)

Los polos se representan con el signo (x), y en el caso de multiplicidad se indica esta a modo de exponente ( ). Por ejemplo: Representar los ceros y polos de la función.

Ejemplo

En los sistemas de comunicación , la ganancia se mide en bels, el bel se usa para medir la relación entre dos niveles de potencia o la ganancia de potencia G; así

El decibel (dB) proporciona una unidad menor en magnitud. Corresponde a 1/10 de un bel y está dado por

Cuando P1 = P2, no hay cambio en la potencia y la ganancia es 0 db. Si P2 = 2P1, la ganancia corresponde a

Y cuando la P2 =0.5P1, la ganancia es

Escala de decibeles

Una función red de una variable real se puede representar fácilmente sobre un conjunto único de ejes de coordenadas. Por ejemplo, la función real f(x), siendo X real, se puede representar fácilmente en coordenadas rectangulares con X como la abcisa y f(x) como la coordenada. Una función compleja de una variable compleja tal como la función de red T(s) con , no se puede representar sobre un conjunto único de coordenadas.

La variable compleja depende de dos cantidades independientes que son las partes real e imaginaria de S. luego no se puede representar por medio de una línea.

Como la función compleja T(s) también tiene las partes real e imaginaria, no se puede representar sobre una sola dimensión.

Diagrama de Función de Red

En general, para representar a T(s) con se requieren dos gráficos bidimensionales.

La primera es un gráfico vs que se denomina plano S, con el mismo conjunto de coordenadas usadas para representar los polos y ceros. La segunda es parte imaginaria vs parte real de T(s) que se denomina plano T(s).

Como: Podemos hacer representaciones independientes

de:a) Parte real y parte imaginaria.b) Módulo y argumento.

Los diagramas de Bode son gráficas semi logarítmicas de la magnitud (en decibeles) y de la fase (en grados) de una función de red en función de la frecuencia.

Es posible escribir la función de red como

DIAGRAMAS DE BODE

La parte real de ln H es una función de la magnitud, mientras que la parte imaginaria es la fase.

En un diagrama de Bode, la ganancia está dada por la ecuación:

Es posible escribir una función de transferencia de la forma en términos de los factores que tienen partes real e imaginaria.

En este caso en particular, H(ω) puede incluir siete factores diferentes que pueden aparecer en diversas combinaciones en una función de transferencia.

Estos son: Una ganancia K. Un polo (jω)-1 o cero (jω) en el origen. Un polo simple 1/(1+jω/p1) o cero (1+jω/z1). Un polo cuadrático 1/[1+j2ζ2ω/ωn+(jω/ ωn)2] o cero

[1+j2ζ1ω/ωk+(jω/ ωk)2] Al elaborar un diagrama de Bode, se grafica cada

factor por separado y luego se combinan gráficamente. Es posible considerar los factores de uno en uno y luego combinarlos aditivamente.

Para la ganancia K, la magnitud es de y la fase es de 0º. Si K es negativa, la magnitud sigue siendo , pero la fase corresponde a ± 180º.

Diagrama de Bode para la ganancia K

Diagrama de magnitud Diagrama de Fase

TÉRMINO CONSTANTE

La magnitud es de y la fase corresponde a 90º. Ambas se grafican en la figura donde se observa que la pendiente del diagrama de magnitud es de 20 dB/década, en tanto que la fase es constante con la frecuencia.

Diagrama de Bode para un cero

Diagrama de magnitud Diagrama de fase

POLO/ CERO EN EL ORIGEN (jω)

Los diagramas de Bode para el polo (jω)-1 son similares, salvo que la pendiente del diagrama de magnitud sea de -20 dB/década, mientras que la fase es -900 . en general, para (jω)N, donde N es un entero, el diagrama de magnitud tendrá una pendiente de 20N dB/década, mientras que la fase es de 90N grados.

POLO/CERO SIMPLE(1+jω/z1)

Magnitud: 20 log10|1+jω/z1|

Fase: tan-1 ω/z1.

Diagrama de Bode de cero 1+jω/z1, diagrama de magnitud

La fase tan-1 ω/z1 se puede expresar como:

Diagrama de Bode de cero 1+jω/z1, diagrama de fase

Magnitud: -20 log10|1+j2ζ2ω/ωn+(jω/ ωn)2|

Fase: – tan-1(2ζ2ω/ωn)/(1- ω2/ωn2)

POLO CUADRÁTICO/CERO 1/[1+j2ζ2ω/ωn+(jω/ ωn)2]

Diagrama de Bode del polo cuadrático

Diagrama de magnitud

Diagrama de fase.

DIAGRAMA DE NYQUIST

La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). La función transferencia de lazo cerrado es:

La ecuación característica del sistema que se ve en la figura es:

F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0

1 + G(S)H(S) = 0 Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la

ecuación característica estén en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto G(jω) H(jω) a la cantidad de ceros y polos de 1 + G(s) H(s) que hay en el semiplano derecho s.

Teorema de la representación Sea F(s) la relación entre dos polinomios en s. Sea P

el número de polos y Z el número de ceros de F(s) que quedan dentro de un contorno determinado del plano s, considerando inclusive la multiplicidad de polos y ceros. Sea este contorno tal que no pasa por ningún polo ni cero de F(s).

Aplicación del teorema de la representación al análisis de estabilidad

de sistemas de lazo cerrado

Se hace que el contorno cerrado del plano s abarque todo el semiplano derecho s.

Debido a la condición supuesta de que:lim [1 + G(s)H(s)] =∞

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST Basado en el análisis previo, analizando los rodeos

del punto - 1 + j0 por el lugar de G(jω)H(jω): Criterio de estabilidad de Nyquist para un caso especial en que G(s)H(s) no tiene ni polos ni ceros sobre el eje jω si la función transferencia de lazo abierto G(s)H(s) tiene k polos en el semiplano s positivo y

Para que el lugar G(jω)H(jω) tenga estabilidad, a variar ω desde -∞ a ∞, debe rodearse k veces el punto - 1 + j0 en sentido anti horario.

Observaciones sobre el criterio de estabilidad de Nyquist

1. Se puede expresar este criterio como: Z = N + P

DondeZ = cantidad de ceros de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de s N = cantidad de circunscripciones del punto - 1 + j0 en sentido horario P = cantidad de polos de G(s)H(s), en el semiplano

derecho de s Si P no es cero, para un sistema de control estable se

debe tener Z=0, o N=-P lo que significa que hay que tener P rodeos anti horarios del punto - 1 + j0.

Si G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho de s, Z = N.

Caso especial en que G(s) H(s) involucra polos y/o ceros sobre el eje jω

Como el recorrido de Nyquist no debe pasar por polos o ceros de G(s) H(s), si la función G(s) H(s) tiene polos o ceros en el origen (o en puntos del eje, jω distintos al origen), hay que modificar el contorno en el plano s.

Contornos cerrados que evitan polos y ceros en el origen, en el plano s.

Sea, por ejemplo, un sistema de lazo cerrado cuya función transferencia de lazo abierto esta dada por

G(S) H(s) =

Los puntos correspondientes a s = j0+, y s = j0- en el lugar de G(s)H(s) tienen en el plano G(s)H(s), -j∞ y j∞, respectivamente. En la porción semicircular de radio є (donde є << 1), se puede escribir la variable compleja s

S = єejθ

Donde θ varía de - 90' a +90. Entonces G(s)H(s) es :

G(єejθ)H(єejθ) = K/(єejθ) = K/(єejθ) =

G(S) H(s) =

Entonces:  G(s)H(s) = K/(є2e2jθ) =