Función

Exponencial

Natural MATE 3171

La base natural e Si en la expresión exponencial

se sustituyen valores cada vez más

grandes para x, observamos lo siguiente

La constante e se conoce como el

exponente natural o la base natural

𝑒 ≈ 2.71828

La función de la base natural: e • Se define la función exponencial

natural por

f(x) = ex

para cada número real x .

𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → ∞, 𝒇 𝒙 → ∞

𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → −∞, 𝒇 𝒙 → 𝟎

x ex

-2 𝑒−2 =1

𝑒2 ≈

-1 𝑒−1 =1

𝑒≈

0 𝑒0 =

0.5 𝑒0.5 = 𝑒 ≈

1 𝑒1 =

1.5 𝑒1.5 =

2 𝑒2 =

0.14

0.37

1

1.65

2.72

4.48

7.39

x ex

-2

-1

0

0.5

1

1.5

2

La función f(x)=a(ebx) EJEMPLO: Trace la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝟎.𝟓𝒙

dominio: (-∞, ∞)

campo de valores 𝒚 > 𝟎

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞, 𝑓 𝑥 → ∞

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞, 𝑓 𝑥 → 0

f(x) es creciente en todo su dominio.

La función f(x)=a(ebx)

EJEMPLO: Trace la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒆−𝟑𝒙

dominio:

campo de valores:

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ , 𝑓 𝑥 → ?

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞, 𝑓 𝑥 → ?

f(x) es ___________ en todo su dominio.

x f(x)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

La función f(x)=a(ebx)

EJEMPLO: Trace la gráfica de 𝒇 𝒙 =𝟏

𝟒𝒆𝒙−𝟑 − 𝟐

x f(x)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

dominio:

campo de valores:

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ , 𝑓 𝑥 → ?

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞, 𝑓 𝑥 → ?

f(x) es ___________ en todo su dominio.

Interés Compuesto Continuamente

Cuando una inversión acumular intereses de forma contínua,

se conoce como interés compuesto continuamente y la

fórmula es

donde:

P = inversión incial

r = tasa de interés anual expresado como un decimal

t = número de años que P se invierte

A = suma total de dinero después de t años, cantidad

acumulada

𝐞 ≈ 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖

Ejemplo

• Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que paga

interés compuesto continuamente a una razón de 8% por

año. Determine el balance en la cuenta luego de 5 years.

• Solución Aplicamos la fórmula anterior con P = 20000,

r = 0.08 , y t = 5 :

A = Pert

Ley de crecimiento /Decaemiento

• La fórmula de interés compuesto contínuamente

es un caso específico de la ley de crecimiento y

decaemiento. (cuando una cantidad cambia a una

razón proporcional a su valor actual)

q(t) = q0ert

donde:

• q0: valor de una cantidad en tiempo t = 0 (esto es

que q0 es el valor inicial de q).

• r: razón de crecimiento de q(si r>o), razón de

decaemiento (r<0)

Ejemplo • La población de una ciudad en 1970 era

153,800. Asumiendo que la población crece

continuamente a una razón de 5% por año,

determine una buena predicción para la

población de la ciudad en el año 2000.

• Solución:

Aplicamos la fórmula de crecimiento con

q = q0ert con…

Ejemplo

• La población de una ciudad en 1970 era

153,800. Asumiendo que la población crece

continuamente a una razón de 5% por año,

determine en qué año la población de la

ciudad alcanza 1 millón primera vez .

• Solución:

Aplicamos la fórmula de crecimiento con

q = q0ert con…

Ejemplo (cont.)

opoblación inicial: q0 = 153,800 ,

o razón de crecimiento: r = 0.05 , and

Por lo tanto, la población será igual a 1 millón

cuando

153,800e(0.05t) = 1,000,000.

Resolvemos, por ahora, usando tanteo o el

método gráfico.

q = q0ert

Ejemplo (cont.) Usando la calculadora gráfica

153,800e(0.05t) = 1,000,000.