FÍSICA GENERAL

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

Vicerrectorado de Investigación

FÍSICA GENERAL

TINS Básicos

INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA,

INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA,

INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA NAVAL, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA ECONÓMICA,

INGENIERÍA MECÁNICA

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú

FÍSICA GENERAL

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© FÍSICA GENERAL Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : • Mg. Elías Catalán Sánchez

• Ing. Agustín Gutiérrez Páucar • Ing. Miguel Orellana Ambrosio

Diseño y Diagramación : • Julia Saldaña Balandra • Fiorella Espinoza Villafuerte Soporte académico : Instituto de Investigación Producción : Imprenta Grupo IDAT Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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“El presente material contiene una compilación de obras de Física para Ingeniería publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Artículo 43 inc. A, del Decreto Legislativo 882, Ley sobre Derechos de Autor”.

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PRESENTACION El presente texto elaborado en el marco de desarrollo de la Ingeniería, es un material de ayuda instruccional, en las carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industrial, Electrónica, Mecatrónica y Telecomunicaciones; para la Asignatura de Física General, en el primer ciclo de estudios. Plasma la preocupación institucional de innovación de la enseñanza – aprendizaje, educativo universitario, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. Esta edición apropiadamente recopilada, de diversas fuentes bibliográficas, de uso más frecuente en la enseñanza de la Física, está ordenada en función del sillabus de la Asignatura arriba mencionada, ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica de los Profesores: Mg. Elías Catalán S., Ing. Agustín Gutiérrez P., Ing. Miguel Orellana A. La recopilación aludida, de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de Ingeniería, comprende un ordenamiento orientado al abordaje de la Física de manera progresiva, y presenta los siguientes temas: El Análisis Dimensional, tiene como objetivo familiarizar al estudiante con las Magnitudes Fundamentales y Magnitudes Derivadas. El Análisis Vectorial, tiene como objetivo que el estudiante logre conocer apropiadamente las operaciones vectoriales, sus propiedades y su representación en el plano y en el espacio. En Cinemática, se describe el movimiento en una dimensión: Definición de variables (velocidad, desplazamiento, aceleración), Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). El Movimiento Parabólico, comprende el movimiento en dos dimensiones, conocido también como movimiento de proyectiles. El Movimiento Circular, presenta la definición de variables, fuerza para el movimiento circular, relación entre variables que definen los movimientos rectilíneo y circular.

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En Fuerza y Movimiento, se hace: una descripción de tipos de fuerza tanto en el campo de la Estática y la Dinámica. En las Leyes de Newton, se desarrolla las aplicaciones de las Leyes de Newton y problemas de Estática y Dinámica. El Trabajo – Energía – Potencia, trata de las condiciones que deben existir para que exista Trabajo. Manifestaciones de la Energía (Cinética, Potencial, Elástica, Mecánica, etc.). Se define la Potencia. En Fuerza Eléctrica – Campo Eléctrico – Potencial Eléctrico, el tema se inicia con la descripción de Carga Eléctrica, Conductor y Aislante. Se continua con la Ley de Coulomb, el Principio de Superposición, el Campo a partir del concepto de Michael Faraday, y el Generador de Van de Graaff. En Condensadores, (capacitores) se analizan diversos tipos y sus propiedades. En Electrodinámica, se trata de la Corriente Eléctrica y la Resistencia Eléctrica; así mismo las Leyes de Kirchhoff, la Ley de Ohm y la Ley de Paullet. El Magnetismo, la Ley de Gauss para el magnetismo, la Ley de Biot – Savart, la Ley de Ampere, etc. El Electromagnetismo, trata de las diferentes manifestaciones de la energía electromagnética en la Transmisión de la Energía Eléctrica, las Transmisiones Electromagnéticas, La Ley de Faraday, la Ley de Lenz, etc. En Introducción a la Física Moderna, el estudiante podrá comprender algunos temas como la Óptica Ondulatoria, la Mecánica Cuántica, la Física de partículas Elementales, etc. Cerrando estas líneas de presentación, el agradecimiento institucional a los ingenieros Agustín Gutiérrez P. y Miguel Orellana A. y al Mg. Elías Catalán S.; así mismop a los profesores que han contribuido al acopio de los temas y al comentario del presente texto. LUCIO HERACLIO HUAMÁN URETA Vicerrectorado de Investigación

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ÍNDICE

Magnitudes Físicas ........................................................................ 11 Análisis Dimensional...................................................................... 17 Magnitudes Vectoriales .................................................................. 29 Cinemática ..................................................................................... 73 Problemas Resueltos....................................................................... 101 Problemas Propuestos .................................................................... 115 Fuerza y Movimiento ..................................................................... 119 Problemas Propuestos de Equilibrio de Partícula ............................ 136 Trabajo, Energía y Potencia ............................................................ 139 Problemas Resueltos....................................................................... 147 Problemas Propuestos .................................................................... 160 Electricidad y Magnetismo.............................................................. 163 Problemas Resueltos....................................................................... 169 Problemas Resueltos....................................................................... 176 Potencial Eléctrico.......................................................................... 181 Problemas Resueltos....................................................................... 188 Condensadores............................................................................... 193 Corriente Eléctrica .......................................................................... 205 Problemas Resueltos....................................................................... 213 Problemas de Electricidad .............................................................. 216 Magnetismo.................................................................................... 241 Electromagnetismo ......................................................................... 261 Problemas Propuestos .................................................................... 267 Introducción a la Física Moderna.................................................... 271 Bibliografía..................................................................................... 299

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DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA CLASE N° TEMA SEMANA

1 Magnitudes físicas. Análisis Dimensional. Conversión de Unidades. Problemas Resueltos y Propuestos. 1

2 Vectores en el plano. Tipos. Notación Vectorial. Componentes Rectangulares. Análisis Vectorial Bidimensional.

2

3 Vectores en el espacio. Producto Escalar. Producto Vectorial. Propiedades. Vector Unitario. Aplicaciones 3

4 Cinemática. Movimiento en una Dimensión. Sistema de Coordenadas y Desplazamiento. Movimiento con Aceleración Constante.

4

5

Movimiento de Caída Libre. Movimiento en dos Dimensiones. Movimiento Parabólico. Tiempo de Vuelo. Altura Máxima. Alcance Horizontal. Alcance Horizontal Máximo. Ecuación de la Trayectoria. Aplicaciones.

5

6

Movimiento Circular. Rapidez Tangencial. Rapidez Angular. Movimiento Circular Uniforme. Transmisión del Movimiento de Rotación. Problemas Resueltos y Propuestos.

6

7

Fuerza y Movimiento. Tipos de Fuerza. Fuerza de movimiento. Fuerza de Campo. Fuerza de Gravitación universal. Fuerza Eléctrica. Fuerza Magnética. Fuerza Elástica.

7

8 Leyes de Newton. Leyes de Newton del Movimiento. Fricción. Equilibrio Elástico. Aplicación de las Leyes de Newton.

8

9 Trabajo, Energía y Potencia 9 10 EXAMEN PARCIAL 10

11

Carga Eléctrica y Ley de Coulomb Electromagnetismo Carga Eléctrica Cuantización de la Carga Eléctrica Ley de Coulomb Principio de Superposición

11

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10

CLASE N° TEMA SEMANA

12

Campo Eléctrico Campo Eléctrico de Cargas Puntuales Cascarón Esférico con Carga Uniforme Potencial Eléctrico:

• El acelerador • El generador de Van de Graff • Funcionamiento del Generador de Van de Graff • Potencial Eléctrico • Definición de Potencial Eléctrico • Potencial Generado por una Serie de Cargas

Puntuales • Energía Potencial Electrostática

12

13

Condensadores: Capacitancia Arreglos de Condensadores Asociación en Serie Asociación en Paralelo Dieléctricos Efecto Dieléctrico en un Condensador

13

14

Corriente Eléctrica: Definición Intensidad de la Corriente Eléctrica Fuerza Electromotriz Pilas o Baterías Cantidades Eléctricas

14

15 Ley de OHM Resistencia Códigos de los Colores de las Resistencias

15

16 Magnetismo 16 17 Electromagnetismo 17 18 Introducción a la Física Moderna 18 19 EXAMEN FINAL 19

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MAGNITUDES FÍSICAS Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

FÍSICA.- Es una ciencia experimental que estudia las interacciones de la

naturaleza usando el método científico.

FENÓMENO FÍSICO.- Es todo cambio y/o transformación que

experimentan ciertos cuerpos sin alterar su estructura atómica. Ejemplo:

1. El movimiento de un auto

2. La deformación parcial de un resorte

3. Los cambios de estado del agua

i) Ciencia Experimental

Teórico Experimental

* Isaac Newton

* J.C. Maxwell

* Albert Einstein (1879-1955)

* Cavendish

* T. Hertz

* E. Fermi (teórico-experimental)

ii) Ley de Gravitación Universal o Planetas o Sistemas Solares o Constelaciones

o Galaxias o Grupos o Cúmulos

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12

2r

MmGF

G=

Aristóteles

Galileo

T. Brahe J. Kepler

Isaac Newton Ley de Gravitación Universal

1ra. Ley de las Orbitas2da. Ley del barrido de áreas3ra. Ley de los Periodos

iii) Teoría Electromagnética o Maxwell (1865) } formuló 4 Ecuaciones llamadas ecuaciones de

Maxwell (ondas electromagnéticas OEM)

o Hertz (1888) } Produce en el Laboratorio las O.E.M.

+ O.E.M.

iv) Teoría de la Relatividad o 1905 (Teoría de la relatividad especial o restringida)

Efecto Browniano

Efecto fotoeléctrico (Premio Nobel) entregado a Albert

Einstein.

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c = Rapidez de la luz

Contracción de las longitudes

Dilatación del tiempo

o 1916 (Teoría General de la Relatividad)

o 1928 Experimento Astronómico Física Moderna

Nano Física

Cosmología

Origen del Universo.

v) Interacciones Tipos de interacciones:

1° Interacción Gravitacional (I.G.)

2° Interacción Electromagnética (I.E.M.)

3° Interacción Nuclear Fuerte (I.N.F.)

4° Interacción Nuclear Débil (I.N.D.)

I.E.M. • Interacción Eléctrica (I.E.)

(Maxwell 1865) • Interacción Magnética (I.M.)

I.E.D. • I.E.M. En 1965 se descubrió la

(Interacción Electrodébil) • I.N.D. interacción electrodébil

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14

Método Científico

I. Observación: Consiste en ver, mirar u observar la ocurrencia del

fenómeno

II. Hipótesis: Consiste en dar una explicación preliminar o previa de

la ocurrencia del fenómeno

III. Experimentación: Consiste en la medición de las variables

observadas, valiéndonos para ello de instrumentos de medida y

de las matemáticas.

IV. Ley Física: Es la expresión clara y concisa y general del fenómeno

físico analizado dando para ello una expresión matemática o

enunciado, indicando además sus limitaciones.

* Permite predecir resultados

Magnitudes físicas

Son todas aquellas que se pueden medir con cierto grado de precisión

utilizando para ello un instrumento y una unidad de medida patrón

convencionalmente establecido. Ejemplo:

1. Las dimensiones del aula pueden ser medidas con una regla

milimetrica usando como unidad el metro patrón.

2. La masa de los cuerpos se miden con una balanza usando como

unidad de medida el kilogramo patrón.

3. El tiempo transcurrido con un cronómetro usando como unidad

de medida el segundo, etc.

Las magnitudes físicas, se dividen en:

A) Según la Procedencia

i. Magnitudes físicas fundamentales: son el conjunto selecto

de magnitudes físicas que definen el sistema de unidades, y

en el caso del sistema internacional (S.I.) son 7:

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Tabla N° 1: Magnitudes fundamentales según S.I.

Magnitud física Símbolo dimensional Unidad de

medida

Física General

Símbolo de unidad de

medida

Longitud (L) Metro (m)

Masa (M) Kilogramo (kg)

Tiempo (T) Segundo (s)

Temperatura Termodinámica (θ) Kelvin (ºK)

Intensidad de Corriente Eléctrica (I) Ampere (A)

Intensidad Luminosa (J) Candela (cd)

Cantidad de Sustancia (N) Mol (mol)

Las magnitudes físicas fundamentales nos permiten definir

las magnitudes físicas restantes.

ii. Magnitudes físicas Derivadas: Son las magnitudes físicas

que proceden de las magnitudes físicas fundamentales.

Ejm.:

• Velocidad (m/s)

• Área (m2)

• Densidad (kg/m3)

B) Según sus Características

i. Magnitudes Físicas Escalares: Son aquellas magnitudes que

quedan perfectamente definidas por un número real y su

correspondiente unidad de medida. Ejm.:

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• Masa : 60 kg

• Volumen : 1000 m3

• Tiempo : 90 s

ii. Magnitudes Físicas Vectoriales: Son aquellas magnitudes

físicas que para ser definidas requieren:

• Módulo

• Dirección y

• Sentido

EJEMPLO:

Las magnitudes vectoriales, son representadas por flechas:

• V : Valor o módulo de la

magnitud física vectorial.

• θ: ángulo con la horizontal

(dirección)

• Sentido

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ANÁLISIS DIMENSIONAL

Estudia las relaciones entre las magnitudes físicas fundamentales y las

magnitudes físicas derivadas; para esto, se usan las ecuaciones

dimensionales que nos describen la forma dimensional de las magnitudes

físicas.

ECUACIÓN DIMENSIONAL: Son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y se usan para probar

fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. También, es

una igualdad de tipo algebraico que expresan las relaciones existentes entre

las magnitudes fundamentales y las derivadas.

Notación: [ A ] ………… se lee: ecuación dimensional de A

Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepciones

de la suma y la resta, en la determinación de las dimensiones de una

ecuación dimensional se utiliza el principio de Homogeneidad que dice

“Todos los términos de una ecuación deben tener las mismas unidades.

Ejemplo: Determinar la ecuación dimensional de la aceleración.

Aceleración: a = v / t

[a ] = LT-1 / T => [a ] = LT − 2

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

1. Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del Álgebra a

excepción de la suma y la resta.

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Ejemplo:

Sean A y B magnitudes físicas:

a) [A . B] = [A]. [B]

b) [ ][ ]BA

BA

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

c) [An] = [A]n

d) [ ] [ ] m/nm nm n AAA ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2. Las ecuaciones dimensionales de los números, ángulos y funciones

trigonométricas, logaritmos de los números son iguales a la unidad.

Estas son magnitudes adimensionales.

Ejemplo:

[2π × 10–6] = 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ π rad4

3 = 1

[sen 45° + cos 25° – π2 ] = 1

3. Principios de homogeneidad de la suma o resta, para sumar o restar 2

o más magnitudes físicas, estas deben ser homogéneas (de la misma

especie). El principio dice que: “En toda suma o resta correcta de

magnitudes físicas, cada uno de los términos debe tener la misma

ecuación dimensional al igual a la suma total o la diferencia”.

Ejemplo:

)Correcto(kg11kg6kg5MMM

+

)Incorrecto(??m6kg15LM

=+

4. Las constantes numéricas son adimensionales, pero las constantes

físicas si tienen dimensiones ya que tienen unidades físicas.

FÍSICA GENERAL

19

Ejemplo:

Constantes numéricas:

e=2,7182…

π=3,14159

Constante física:

Constante de gravitación universal G=6,67x10-11 2kg

2m.N

Aceleración de la gravedad g=9,8 2S

m

ALGUNAS ECUACIONES DIMENSIONALES BÁSICAS

i) [A] = L2 A=área ó superficie

ii) [V] = L3 V=volumen

iii) [v][ ] 1LT

TL

]t[e −=== v=velocidad lineal

iv) [a] [ ] 21

LTT

LT]t[v −− ==Δ= a=aceleración lineal

v) [ ] [ ][ ]3

3ML

LM

vm −≡==ρ ρ=densidad

vi) [ ] [ ] 1TT1

]t[−==

α=ω ω=velocidad angular

vii) [ ] [ ]( )2

1T

TT

T−

−==

ωΔ=α α=aceleración angular

viii) [F]=[m][a]=MLT-2 F=fuerza

ix) [W]=[F][d]=ML2T-2 W=trabajo ó calor ó energía

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PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA N°1.- La presión atmosférica es de 14,7 lb/pulg2 (PSI) en el

sistema inglés. Convertir a unidades métricas de kg/cm2.

Solución:

22

2

2cm/kg033,1

)cm54,2(lg)pu1(

lb1kg4536,0

lgpulb7,14P =××=

PROBLEMA N°2.- ¿Cuántos Angstrom ( A ) hay en 2,01 cm?

Solución:

1 A =10-8cm

A1001,2cm10

A1cm01,2 88

×=×−

PROBLEMA N°3.- La densidad del agua es 62,4 lb/pie3 en el sistema inglés,

convertirla a unidades métricas (gr/cm3 ó gr/ml)

Solución:

3

3

3

3

)cm54,2(lgpu1

lg)pu12(pie1

lb1g54,4

pies/lb4,62d ×××=

d=1 g/cm3

PROBLEMA N°4.- Convertir h

km900 a m/s?

Solución:

s/m250185

hkm

900s3600

h1km1

m1000hrkm

900 ≡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×

FÍSICA GENERAL

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PROBLEMA N°5.- Hallar “α” para que la ecuación sea dimensionalmente

correcta: αα=− cosAB.tgBA3 32

Solución:

Dentro de la raíz, se debe cumplir [A2]=[B3] (por principio de homogeneidad)

αα= cos3 3 AB.tgB

αα= cosABtgB

[ ] [ ][ ][ ]cos 3 2cos / 2B tg A B Bα + α= α =

2=3+2cosα

α=− cos21

α=120°

PROBLEMA N°6.- La fórmula para hallar la rigidez de una cuerda es:

2dbR

aQS ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ += , donde:

Q=Peso (Newtons), R=radio, d=diámetro, S=(Newtons); hallar las

ecuaciones dimensionales de las cantidades “a” y “b”; si dicha ecuación es

dimensionalmente correcta.

Solución:

22 bdRQadS +=

]b][d[RQd]a[]S[ 2

2+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

LMT-2=[a]L2MT-2=[b]L2

∴ [a]=L-1

[b]=L-1MT-2

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PROBLEMA N°7.- Determinar las dimensiones de “A” e “Y” para que la

expresión Y=APe(4mA/V) sea dimensionalmente correcta, siendo: P=presión,

m=masa, v=rapidez y e=base de los logaritmos neperianos.

Solución:

De la expresión Y=APe(4mA/v), el exponente de “e” tiene como ecuación

dimensional la unidad porque es un número:

1vmA4

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ , 1LT

]A[M1

=−

luego [A]=LT-1M-1

[Y]=(LM-1T-1)(L-1MT-2)(1) ∴ [Y]=T-3

PROBLEMA N°8.- La siguiente expresión es dimensionalmente correcta:

AghBx1

AghmvPCW 60sec °α

−=−−

hallar la fórmula dimensional de 1−

ααα ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= cBAQ donde:

W=trabajo, m=masa, v=rapidez, g=aceleración de la gravedad, h=altura,

x=distancia, P=potencia

Solución:

L2MT-2=M(LT-1)α=[A]LT-2L-[B]L2=L2MT-3[C]

LαMT-α=L2MT-2, α=2, [A]=M, [B]=MT-2

[C]=T ∴Q=M5/2T-2

PROBLEMA N°9.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta

r-yv-zF=nx, donde )tiempo)(longitud(

masan =

F=fuerza, r=radio, v=rapidez. Hallar: (x+y+z)

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23

Solución:

[F]=[n]x[r]y[v]z

LMT-2=(ML-1T-1)x(L)y(LT-1)z=L-x+y+z MxT-x-z

L = L-x + Ly L2 → -x + y + z = 1

M = Mx → x = 1

T-2 = T-x T –z → -x –z = z

Luego: (x+y+z)=3

PROBLEMA N°10.- De acuerdo con la Ley de Coulomb para la interacción

de dos cargas eléctricas en el vacío, se verifica lo siguiente:

221

0 d

qq

41

Fπε

= , donde F=Fuerza

q1 y q2=cargas eléctricas, y d=distancia. Se pide encontrar las dimensiones

de la permitividad eléctrica en el vacío (ε0)

Solución:

[ ] [ ]

[ ]221

0 d

qq141]F[

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ε⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

=

2

0

22

L][)IT)(1(LMT

ε=−

[ ] 24130 ITML −−=ε

PROBLEMA N°11.- El período de un planeta que gira en la órbita circular

depende del radio de la órbita [R], de la masa de la estrella [M] y la

constante de gravitación universal [G].

Dato: G=M-1L3T-2

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Solución:

De acuerdo al enunciado tenemos:

T=KRxMyGz

[T]=[K][R]x[M]y[G]z

T=LxMyM-zL3zT-2z

T=My-zLx+3zT-2z

M°L°T1=My-zLx+3zT-2z

A igual base, exponentes iguales:

M°=My-z → 0=y-z → y=z

T1=T-2z → 1=-–2z →z=21−

L°=Lx+3z → 0=x+3z → x=–3z x=23

Luego:

T=KR3/2M-1/2G-1/2

2/12/1

2/3

GMKRT =

T=KRMGR

PROBLEMA N°12.- Determinar la fórmula que nos permite expresar el

volumen de H2O por unidad de tiempo [Q] que sale por un agujero,

sabiendo que depende de la densidad (d), del diámetro (D), presión (p) y K

constante adimensional.

Solución:

De acuerdo al enunciado tenemos:

Q=KdxDyPz

[Q]=[K][d]x[D]y[P]z

L3T-1=(1)(ML-3)x(L)y[ML-1T-2)z

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M°L3T-1=Mx+z. Ly-3x-zT-2z

Igualando exponentes de base igual:

M°=Mx+z → x+z=0→ x = -1/2

L3=Ly-3x-z → 3=y-3x-z → y = 2

T-1=T-2z → -1=-2z → z = 1/2

En (I): Q=Kd-1/2D2P1/2

Q=KD2dP

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA N°1.- Encontrar [K]y[C] si la ecuación es dimensionalmente

correcta )HK(m

MsenC22 +

θ= ; donde: M=momento de fuerza, m=masa y

H=altura.

Respuesta: [K]=L, [C]=T-2

PROBLEMA N°2.- Determinar las dimensiones que debe tener “Q” para

que la expresión “W” sea dimensionalmente correcta

W=0,5mvα+Agh+BP, donde W=trabajo, m=masa, v=rapidez,

g=aceleración de la gravedad, h=altura, P=potencia, α=potencia

desconocida.

Hallar: αα= BAQ

Respuesta: Q=M2 T

FÍSICA GENERAL

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PROBLEMA N°3.- Halle la ecuación dimensional de “C” en la expresión:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−= θ

−

1ePP Ec22mv

0 , donde: v=rapidez, m=masa, E=energía,

θ=temperatura, P≡P0=potencia

Respuesta: [C]= θ-1

PROBLEMA N°4.- En la ecuación dimensionalmente correcta hallar [B].

Donde: P=potencia y W=peso específico NlnyB

PWNseny

48=−

π

Respuesta: [B]=M2T-5

PROBLEMA N°5.- En la ecuación homogénea, halle [x], siendo “e”, base de

los logaritmos neperianos F.y.e.zsen4

)2P1P( xyz=απ

−x; donde: P1 y

P2=presiones, F=fuerza

Respuesta: [x]=L

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES Ejercicio 1:

En la figura se tiene un cuerpo sumergido en un líquido. La

expresión dimensional de su densidad está definida por la

siguiente ecuación:

D = X.m + Y.A + Z.h

Donde D = densidad, m = masa del cuerpo, A=área, h=altura del cuerpo

con respecto a la base del recipiente. Determinar las dimensiones de X, Y,

Z.

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Ejercicio 2:

Se tiene un ventilador (ver figura), la potencia de su hélice esta

determinada por la siguiente ecuación dimensional. Donde

P=potencia, w=velocidad angular. Determinar las dimensiones

de K y las unidades en el SI.

P = K.ω2.Tg θ Ejercicio 3:

En la figura se fisiona el núcleo de un átomo y se liberan las

partículas subatómicas. La energía que llevan está determinada

por la siguiente expresión dimensional. Donde: E=energía,

F=fuerza, V=velocidad, a=aceleración. Determine las

dimensiones de A, B, C.

E = A.F + B.v2 + C.a Ejercicio 4:

La velocidad del cuerpo de la figura sobre el eje

X está dada por la ecuación dimensional. Donde t

= tiempo. Determinar las dimensiones de K2

Ejercicio 5:

En la figura, la fuerza necesaria para subir el cuerpo está

definida por la siguiente ecuación dimensional. Determinar

las dimensiones de B y sus unidades en el SI. F = fuerza,

V=velocidad.

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Ejercicio 6:

En un tubo de rayos catódicos se liberan electrones.

(Ver figura) La distancia recorrida por dichos electrones

en un tiempo (t) está dada por la siguiente ecuación

dimensional. Identifica las dimensiones de X, Y, Z.

2.21. tZtYXd ++=

Ejercicio 7:

En la figura la presión que ejerce el cuerpo sobre el

líquido está definida por la ecuación dimensional. Donde

P = presión, W = peso, g = aceleración, h = altura del

objeto con respecto a la base. Determine las dimensiones

de A y B.

Ejercicio 8:

En la figura se deja caer un cuerpo del globo. Un

investigador asocia al evento la siguiente ecuación

dimensional. Donde P = peso del objeto que cae,

t=tiempo y m=masa. A través del análisis dimensional

identifica que magnitud física representa K.

FÍSICA GENERAL

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MAGNITUDES VECTORIALES

Una magnitud vectorial es aquella que tiene módulo, dirección y sentido y

puede representarse por un vector.

Ejemplo:

Velocidad, desplazamiento, aceleración.

VECTOR EN EL PLANO

Definición de vector

Es una magnitud que para ser determinada se requiere conocer su módulo,

su dirección y su sentido. Por ejemplo la velocidad, aceleración, fuerza, etc.

Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el

que actúa el vector.

Módulo (o Norma)

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el

origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del

vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Sentido

Origen

Módulo

A

| A |= Módulo del Vector A . θ = ángulo respecto al eje X, determina la dirección de A . θ o

FÍSICA GENERAL

30

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Esta

determinado por el ángulo que hace el vector con el eje X positivo.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,

indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

TIPOS DE VECTORES

Vectores Paralelos:

Tienen la misma dirección y sentido, pero no necesariamente el mismo

módulo.

Vectores Antiparalelos:

Tienen la misma dirección y sentidos opuestos, y no necesariamente el

mismo módulo.

Negativo de un Vector:

Es un Vector que tiene sentidos opuestos al vector original, conserva su

mismo módulo y la misma dirección.

A B

θ θ

A B

θ θ

FÍSICA GENERAL

31

Vectores Iguales:

Son Vectores que tienen igual módulo, la misma dirección y el mismo

sentido.

Leyes del álgebra vectorial

(1) ABBA +=+

(2) CBACBA ++=++ )()(

(3) mAAm =

(4) AmnAnm )()( =

(5) AnAmAnm +=+ )(

(6) BnAmBAm +=+ )(

Vector Unitario

Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de

cero, | A | ≠ 0, El vector AA

A =μ̂ es un vector unitario de la misma

dirección y sentido que A .

Como ejemplo de vectores unitarios, tenemos:

A B

θ θ

B = – A

A B

θ θ

A = B

FÍSICA GENERAL

32

( )kCosjCosiCoskAA

jAA

iAA

AA zyx

Aˆˆˆˆˆˆˆ γβαμ ++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++==

Multiplicación de un Vector por un Escalar

Sea A el Vector, y r = 2 el Escalar, luego: C = r A , donde C es un Vector.

El escalar r puede ser positivo o negativo. En éste último caso el vector

resultante tiene sentido opuesto al vector original.

Sistema de Referencia

El sistema de referencia espacial de los vectores, estará formado por un

origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la

posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema

de Coordenadas Cartesianas.

Componentes de un vector

Vectores unitarios elementales î : vector unitario paralelo al eje x ĵ : vector unitario paralelo al eje y k̂ : vector unitario paralelo al eje z

2A A

FÍSICA GENERAL

33

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres

vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Sea r el vector.

También puede representarse en función de los vectores unitarios elementales:

( )r x,y,z=

r xi yj zk= + +

OPERACIONES CON VECTORES

A) Suma de Vectores

(A.1) Métodos gráficos:

(A.1.1) Método del Paralelogramo.- Este método es válido para dos

vectores concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une

a los vectores por el origen y se forma el paralelogramo.

(A.1.2) Método del Triángulo.- Es válido para dos vectores. Se une

el extremo de uno de los vectores con el extremo del otro y se forma

el triángulo.

(A.1.3) Método del Polígono Se usa para más de dos vectores. Se

dibujan los vectores uno a continuación de otro y la resultante se

obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del

último vector.

yx 2r r r r= + +

y

x

z

r

FÍSICA GENERAL

34

(A.2) Método Analítico.

Para hallar la resultante por este método, sigue los siguientes pasos:

a) Se descomponen los vectores en sus componentes

rectangulares.

b) Se halla la resultante de las componentes en las direcciones x, y

e z

Ejemplo: Sumar y Restar los vectores P y Q

(A.3) Método Algebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores kAjAiAA zyx ˆˆˆ ++=

kBjBiBB zyx ˆˆˆ ++=

kCjCiCC zyx ˆˆˆ ++=

La expresión correspondiente al vector suma es: CBAS ++=

O también: kSjSiSS zyx ˆˆˆ ++=

Siendo por tanto: xxxx CBAS ++=

P

Q

R = P + Q

Q

P

R = P – Q

FÍSICA GENERAL

35

PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores A y B , llamado también producto

punto, representado por el símbolo A . B (se lee A multiplicado

escalarmente por B ), se define como la cantidad escalar obtenida hallando

el producto de la magnitudes de A y B con el coseno del ángulo entre los

vectores:

A . B = AB cos θ =⏐ A ⏐⏐ B ⏐ cos θ 00 ≥ θ ≥ 1800

PROPIEDADES:

1. A . B = B . A (Ley conmutativa para el producto escalar)

2. A . ( B + C ) = A . B + A . C (ley distributiva)

3. P ( A . B ) = (p A ). B = A . ( p B = ( A . B )p

4. î . î = ĵ . ĵ = k̂ . k̂ = 1; î . ĵ = ĵ . k̂ = k̂ . î = 0

5. Si A . B = 0. Si A y B no son nulos, entonces A y B son perpendiculares.

EJERCICIO: Encontrar el ángulo entre los vectores: A 2 2→

= + −i j k y

B 6 3 2→

= − +i j k

Solución.- Aplicando el producto escalar a los vectores →→

ByA tendremos:

x x y y z z

2 2 2 2 2 2x y z X Y Z

A B A B A BA.BA.B ABCos Cos

AB A A A B B B

→ →→ → + +

= θ → θ = =+ + + +

A

B θ

FÍSICA GENERAL

36

Reemplazando datos tendremos:

2 2 2 2 2 2

(2)(6) (2)( 3) ( 1)(2) 4Cos 0,1905

(3)(7)2 2 ( 1) 6 ( 3) 2

+ − + −θ = = = →

+ + − + − +

o79≅θ

.

1.1.1 Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores A y B , representado por el

símbolo A x B se lee A multiplicado vectorialmente por B), se

define como el vector perpendicular al plano determinado por A y

B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha

sido rotado de A hacia B .

La magnitud del producto vectorial A x B está dada por:

⏐ A x B ⏐=AB sen θ

Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A x B es la

siguiente: Colocar el pulgar, índice y el dedo mayor de la mano

derecha en la posición mostrada en la figura.

FÍSICA GENERAL

37

Propiedades:

1. A x B = - B x A (ley conmutativa para el producto

vectorial no se cumple)

2. A x ( B +C ) = A x B + A x C Ley distributiva

3. p ( A x B ) = (p A )x B = A x ( p B ) =( A x B )p , donde p es

un escalar

4. î x î = ĵ x ĵ = k̂ x k̂ = 0, î x ĵ = k̂ , ĵ x k̂ = î , k̂ x î

= ĵ

5. Si A = Ax î + Ay ĵ +Az k̂ y B = Bx î + B y ĵ + Bz k̂ ,

entonces

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zyx

zyx

BBBAAAkji

BxA

ˆˆˆ

6. ⏐ A x B ⏐ = área del paralelogramo con lados A y B.

7. Si 0=BxA , siendo A y B vectores no nulos, entonces A y B

son paralelos.

OPERACIONES CON VECTORES

• ADICIÓN DE VECTORES

Dado dos vectores ( )21

a,aa = y ( )21

b,bb = ; se define la suma

( )2211

ba,baba ++=+

FÍSICA GENERAL

38

Ejemplo: )4,3(a =

)2,1(b =

( )3,2c = )6,4(ba =+

( )36,24cba ++=++ ( )32,21cb ++=+ ( )34,23ca ++=+

Gráficamente:

• SUSTRACCIÓN DE VECTORES

Dado dos vectores ( )21

a,aa = y ( )21

b,bb = , se define la resta

( )2211

ba,baba −−=−

Ejemplo:

)4,3(a =

)2,1(b =

( )3,2c =

FÍSICA GENERAL

39

)2,2(ba =−

( )34,23ca −−=−

CALCULO DE LA RESULTANTE DE VECTORES

REGLA DEL PARALELOGRAMO

Nota: Para la suma o composición de vectores, se debe colocar

secuencialmente el conjunto de vectores uno tras de otro (no importando el

vector inicio), de tal forma, que el vector suma ó resultante se obtiene

uniendo el punto inicial con el punto final de la secuencia.

EJEMPLO: Hallar gráficamente la suma de los siguientes vectores:

B

A

D

C

(a) Disposición original

AD

B

C

R

R= A+ B+ C+D

(b) Arreglo final

FÍSICA GENERAL

40

CASO ESPECIAL: BAS +=

⎪⎩

⎪⎨⎧

δ

SS

21222

/

cosBABAS⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

θ++=

θ+

θ=δ

cosBA

senBtg

• MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR a POR UN ESCALAR

r: Dado un vector ( )21

a,aa = , se define la multiplicación ar , al

vector ar =r(a1,a2)=(ra1,ra2)

1) Si r>0

2) Si r

FÍSICA GENERAL

41

EJEMPLO

),(a 43=

ĵîa 43 +=

),(),(a 104013 +=

),(),(),(a 434003 =+=

ANGULO DE INCLINACIÓN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA

DE EJES COORDENADOS O CARTESIANOS

Dado un vector a , en su representación como

radio vector, es decir con su origen en el origen de

coordenadas. θ es el ángulo que hace el vector

con el eje X positivo, medido en el sentido

antihorario. El vector unitario en la dirección del

vector a se define como: a

û

a a

aˆ ˆu , u 1a

= = ,

Luego: a

ûaa = … (1)

El vector unitario )u,u(ûa 21

= tiene como modulo la unidad (1)

En la figura mostrada:

θ=→=θ senu)(

usen

22

1

θ=→=θ cosu)(

ucos

11

1

y

x0

a

u1

u2

ua u2

u1

FÍSICA GENERAL

42

Luego el vector unitario a

û :

a

û =(cosθ,senθ) … (2)

Reemplazando la ecuación (2) en (1):

)sen,(cosaa θθ=

Ésta es una nueva expresión para el vector a en función de su módulo y el

ángulo que hace con el eje positivo de las X.

EJEMPLO

( )ºsen,ºcosAA 5353=

( )24,1854,

5330A =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )ºsen,ºcosB 373720 −=

( ) ( )121653

54

20 ,,B −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

( ) ( )ºsen,ºcosC 4545220 −−= ( ) ( )2020

2

1

2

1220 −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= ,C

PRODUCTO ESCALAR

Dado dos vectores ( ) ( )2121

b,bbya,aa == ; se define el producto escalar

2211babab.a += , y usando las propiedades del producto escalar se

establece que θ= cosbab.a donde θ es el ángulo entre los vectores

bya .

y

x

AB

C

2030

20 2

53º37º

45º

FÍSICA GENERAL

43

De la expresión anterior despejamos

( )ba

b.acos =θ , luego

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=θ

ba

b.acosarc

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

i. Propiedad conmutativa a.bb.a =

ii. Factorización de un escalar ( ) ( ) ℜ∈∀= r,b.arb.ar iii. Propiedad distributiva ( ) c.ab.acb.a +=+ iv. Producto escalar de un vector

por sí mismo 02

221

2≥+== aaaa.a

v. 222

2 bb.aaba ++=+

vi. 222

2 bb.aaba +−=−

ORTOGONALIDAD DE VECTORES

Dos vectores bya son ortogonales, si éstos son perpendiculares. Es decir

si forman entre sí un ángulo de 90°.

Dos vectores bya son

ortogonales ⇔ (si y solo sí)

baba −=+

Las longitudes de sus diagonales

son iguales.

a

b

FÍSICA GENERAL

44

EL VECTOR ORTOGONAL ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊥a

Dado un vector ( )21

a,aa = , su ortogonal será ( )12

a,aa −=⊥

, ambos

vectores ⊥

aya tienen la misma longitud.

EJEMPLO

( )43,a =

( )3,4a −=⊥

( ) a)4,3(4,3)a( −=−=−−=⊥⊥

VECTORES EN UN SISTEMA DE COORDENADAS

CARTESIANAS TRIDIMENSIONALES

Dado un vector a representado en tres dimensiones, ( )321

a,a,aa = , su

representación en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional es

de la siguiente forma:

Punto P=(a1,a2,a3)

Punto O=(0,0,0)

OPOPa −==

( )321

a,a,aa =

FÍSICA GENERAL

45

MODULO O NORMA DE UN VECTOR a

Dado un vector ( )321

a.a,aa = ; se define modulo o norma al número

positivo 23

22

21

aaaa ++=

EJEMPLO

1316912431243 222 ==++== a,),,(a

39221221 222 ==++== b,),,(b

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1312

134

133

,,ûa

1169169

1312

134

133 222

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=a

û

VECTOR UNITARIO ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

aû

Un vector unitario es un vector cuyo modulo o cantidad es 1. Todo vector

0≠a , tiene un único vector unitario en la misma dirección que el vector

a , definido por a

aû

a= , donde

aû = vector unitario en la dirección de

a .

EJEMPLO

Dado el vector 131243 == a,),,(a

FÍSICA GENERAL

46

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

1312

134

133

131243

,,,,

a

aû

a

3221 == b,),,(b

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

32

32

31

3221

,,,,

a

bû

b

VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN 3D

),,(k̂,),,(ĵ,),,(î 100010001 ===

Los vectores unitarios k̂,ĵ,î son notables ya que

apuntan a la misma dirección positiva de los ejes OX,

OY y OZ respectivamente.

EJEMPLO

),,(a 326= ( )332 −= ,,b Puede ser expresado k̂ĵîa 326 ++= k̂ĵîb 332 −+=

PRODUCTO ESCALAR

Dado dos vectores ( ) ( )321321

b,b,bbya,a,aa == , se define el

producto escalar 332211

bababab.a ++= . Y mediante las propiedades

del producto escalar se demuestra:

( )ba

b.acos,cosbab.a =θθ=

z

x

yO

i

j

k

FÍSICA GENERAL

47

( )ba

b.acosarc=θ

EJEMPLO: Hallar el ángulo que forman

los vectores a =(3,4,12) y b =(1,2,2)

a •b =(3)(1)+(4)(2)+12(2)=3+8+24

a •b =35

131691243 222 ==++=a

39221 222 ==++=b

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===θ

3935

31335

))((arccos

ba

b.aarccos

( ) °≅=θ 182689740 ,,arccos

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA CARTESIANO

TRIDIMENSIONAL

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

θ

θ

θ

z

y

x

directoresángulos

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

θ

θ

θ

z

y

x

cos

cos

cos

directoresenoscos

( )zyxa

cos,cos,cosû θθθ=

1222 =θ+θ+θ=zyxa

coscoscosû

1222 =θ+θ+θzyx

coscoscos

FÍSICA GENERAL

48

Sabemos:

( ) ( )zyxaa

cos,cos,cosaa,a,aûaaa

aû θθθ=→=→=

321

(a ,a ,a )=1 2 3 a cos x a cos a cosy z

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=θ→θ=

|a|

aarccoscosaa

xx1

1

a

acos

x1=θ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=θ→θ=

|a|

aarccoscosaa

yy2

2

a

acos

y2=θ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=θ→θ=

|a|

aarccoscosaa

zz3

3

a

acos

z3=θ

EJEMPLO

Hallar la dirección del vector 3221221 222 =++== a,),,(a

FÍSICA GENERAL

49

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=θ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=θ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=θ

323231

arccos

arccos

arccos

z

y

x

EJEMPLO

Hallar un vector ortogonal c a los vectores a y b

),,(by),,(a 121432 ==

El vector c ortogonal a a y b es bac ×=

( ) ( ) ( )2132

1142

1243

121432 k̂ĵîk̂ĵî

bac +−==×=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )344283 −+−−−=×= k̂ĵ)î(bac ( ) ( )( ) ( )( ) ( )125125 ,,k̂ĵ)î(bac −=+−−−=×= ( )125 ,,c −=

TEOREMA

Dos vectores a y b son ortogonales si y sólo sí a •b =0, es

decir su producto escalar es igual a cero.

Luego si c en el ejemplo es ortogonal a cyb ,

entonces a •b =0 → (2,3,4)•(-5,2,1)=-10+6+4=0

b •c =0→ (1,2,1)•(-5,2,1)=-5+4+1=0

Luego, se verifica que el producto escalar es igual a cero en ambos casos.

ab

FÍSICA GENERAL

50

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

i) Propiedad anticonmutativa abba ×−=×

ii) Factorización de un escalar ( ) ( )( ) ℜ∈×=× r,barbar iii) Propiedad distributiva ( ) cabacba ×+×=+× iv) Módulo del producto vectorial θ=× senbaba , donde

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×

=×

=×

ĵîk̂

îk̂ĵ

k̂ĵî

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=×

−=×

−=×

ĵk̂î

îĵk̂

k̂îĵ

ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y DE UN PARALELOGRAMO

b

hsen =θ

A=Area de un paralelogramo

AΔ=Area de un triángulo

FÍSICA GENERAL

51

θ= senbh ….. (1) A= ha ….. (2)

Reemplazando (1) en (2):

A= basenba ×=θ (propiedad iv)

Luego: A= ba ×

Luego el área del triángulo es: AΔ= ba ×21

EJEMPLO

Hallar el área del triángulo formado por los puntos A(0,0,0), B(2,2,6),

C(1,6,3)

),,(ACACa 361=−==

),,(ABABb 622=−==

( ) ( ) ( )2261

6231

6236

622361 k̂ĵîk̂ĵî

ba +−==×

( )[ ] ( )[ ] ( )( )12266636 −+−−−=× k̂ĵîba ( )( ) ( )( ) ( )( )10030 −+−=× k̂ĵîba

( )10030 −=× ,,ba

( ) ( )22 10030 −++=× ba

FÍSICA GENERAL

52

10101000100900 ==+=× ba

210521

ubaAA

=×=

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA N°1.- Las tres fuerzas de

la figura actúan sobre un cuerpo

materializado en el origen. Hallar la

resultante y su dirección.

Solución

F1x = 173.205 F1y = 10

F2x = -212.132 F2y = 212.13

F3x = -60.182 F3y = -79.86

--------------------------- ---------------------

----

FRx = -99.109 FRy = 232.26

( ) ( ) ĵ,î,FR

26823210999 +−=

53252,FR

= N

109,99268,232tg

−=θ

θ = 113,1079°

FÍSICA GENERAL

53

PROBLEMA N°2.- Las componentes X y Z de la fuerza F mostrada en la

figura son 150 kg y -50kg respectivamente. ¿Cuál es el valor de la fuerza

F y cuáles son sus cosenos directores?

Solución

F =(F1, F2, F3)

F1=|F |cosθx → cosθx=F

F1

F2=|F |cosθy → cosθy=F

F2

F3=|F |cosθz → cosθz=F

F3

θy=30°

cosθy=23

150=F cosθx → cosθx=F

150

-50=F cosθz → cosθz=F

50−

cos2θx+cos2θy+cos2θz=1

150

23150

22

2

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

FF

X

Z

Y30º

F

FÍSICA GENERAL

54

Luego:

cosθx= 4740228316

150.

.≅

cosθy= 867023

.≅

cosθz= 158022831650

..

≅−

PROBLEMA N°3.- En el gráfico mostrado

hallar (m+n)2, si el vector a es paralelo a

b . M es punto medio de AC y N es punto

medio de BD y bnamx +=

Solución

⎪⎭

⎪⎬⎫

=++=++

)(DNxAMa)(BNxCMb

21 sumando (1)+(2)

BNDNxCMbxAMa +=+++++

DNBNCMAMxba +=++++ 2 (3)

Sabemos: AMMACM −== (4)

BNNBDN −==

Reemplazando (4) en (3):

( ) ( )BNBNAMAMxba −+=−++++ 2 02 =++ xba

bax −−=2

bax21

21

−−

=

A

B C

D

b

M Nx

a

FÍSICA GENERAL

55

luego: 21−

=m 21−

=n

( ) 121

21 22 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=+ nm

PROBLEMA N°4.- En la figura mostrada, hallar el vector:

fedcba 268226 +++++

Solución

De la figura observamos que:

cba =+

0=++ ced

0=++ fda

Y piden: fedcbaE 268246 +++++=

Luego: ( ) ( ) ( ) debacedfdaE 44422 +++++++++=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+++= debaE

c

4

FÍSICA GENERAL

56

040

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++= decE

0=E

PROBLEMA N°5.- Se tiene los vectores ByA , si k̂ĵîB 51010 ++= , el

módulo de A es 8 y 60=B.A . Se pide hallar ?BA =×

Solución

Como k̂ĵîB 51010 ++=

( ) 15955101051010 222 ==++== B,,,B

°=θ→=θ=→θ=→θ= 6021

12060

81560 coscos))((cosABB.A

Se sabe: θ=× ABsenBA

Luego: 36036023

158 =×→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=× BA))((BA

PROBLEMA N°9.- La figura muestra 4 vectores, con indicación de sus

cantidades y orientación. Hallar dcba +++

Solución

Del gráfico se observa: 0=+++ dcba

a

b

cd 14

10

10

2

FÍSICA GENERAL

57

PROBLEMA N°6.- Dado los siguientes vectores. Hallar

el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si

f=9 y d=12; siendo dyf perpendiculares.

Solución

defabcR +++++=

Del gráfico vemos que: ( ) defabc =+−+++ fdffddR 22 +=+++=∴

( ) ( ) 30241822 2222 =+=+= fdR

30=R

PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES

PROBLEMA N°1.- Se muestra un cuadrado de 4m de lado dividido

uniformemente en 16 cuadraditos. Calcular:

a) el vector resultante

b) la cantidad de R

c) un vector unitario en la dirección de R

d) el sentido de R

e) la dirección de R

Respuesta: a) R =(3,6) b) 3 5 c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

552

55

,û

PROBLEMA N°2.- Dos vectores ByA de 10 y 15 unidades de longitud

forman un ángulo entre sí de (a)0°, (b)60°, (c)150°, (d) 180°. Encontrar

para cada caso:

a

e

b

c d

f

FÍSICA GENERAL

58

a) el vector resultante BAR +=

b) la cantidad de RR =

c) la dirección de R

d) el sentido de R

NOTA: Tomar como referencia el vector más pequeño, es decir el vector de

cantidad menor en la dirección del eje x.

PROBLEMA N°3.- Dos vectores ByA , tienen una resultante máxima de

16 y una mínima de 4. ¿Cuál será el módulo de la resultante de dichos

vectores cuando éstos formen 127° entre sí?

Respuesta: 8 unidades

PROBLEMA N°4.- Sobre un clavo ubicado

fijamente en el piso se especifican las acciones

de dos fuerzas cuyos módulos son de 1 N y 2

newton respectivamente. Determine:

a) el módulo de la fuerza resultante

b) el módulo de la diferencia de fuerzas

Respuesta: a) NFF 321

=+ b) NFF 721

=−

PROBLEMA N°5.- Hallar la resultante y su dirección del siguiente sistema

de vectores concurrentes y coplanares.

F1

F260º

120º

+

FÍSICA GENERAL

59

Respuesta: a) °=θ=+= 53504030 ,NR,ĵîR

PROBLEMA N°6.- Halle el vector resultante, su

cantidad y dirección en el siguiente diagrama.

Respuesta:

a) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=θ==23

1332 arctg,R,),(R

PROBLEMA N°7.- Hallar la siguiente

expresión vectorial PFR −= , en

términos de los vectores unitarios

k̂yĵ,î . 1020 == P,F

Respuesta: k̂ĵîR320

368

326

+−−=

PROBLEMA N°8.- En la figura, ABC es un

triángulo equilátero, R, S y M son puntos medios

de los lados ACyBC,AB respectivamente. Si

FGrSCnABmMB ++=

37º 45º

2 25

2

X

Z

Y

3

4

F

6

10

P

A R B

SM F

C

G

FÍSICA GENERAL

60

Hallar: P=r-2n-4m

Respuesta: P=0

PROBLEMA N°9.-

a) ¿Para qué valores de α son ortogonales los vectores

k̂ĵîbyk̂ĵîa 3243 −α−=+α+= ?

b) Hallar ab ×

Respuesta:

a) 2

23223

21−

=α=α

b) ( ) ( ) k̂ĵîab 21513223

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=×

( ) ( ) k̂ĵîab 215132

23−+−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=×

PROBLEMA N°10.- Hallar el área formada por los

siguientes puntos: P=(1,1); Q=(2,3); R=(4,2);

S=(6,1)

Respuesta: A=5

PROBLEMA N°11.- Se muestra en la figura dos vectores ByA de un

módulo 6 y 4 respectivamente. Hallar analíticamente:

a) BA +2

b) AB −2

c) el ángulo entre los vectores ByA

d) un vector ortogonal al vector ( )AB −

Y

X

P

QR

S

A

B

6

4

45º

60º

FÍSICA GENERAL

61

Respuesta:

a) ( ) ( ) ĵîBA 32262262 −+−=+ b) ( ) ( ) ĵîAB 23342342 −−+−−=− c) θ=165° ó 195°

d) ( ) ( )2322332 −−+=− ⊥ ,AB

PROBLEMA N°12.- En el gráfico mostrado, hallar

(m+n)2, si el vector a es paralelo a b , M es punto

medio de AC y N es punto medio de BD y

bnamx +=

Respuesta: (m+n)2=1

PROBLEMA N°13.- Hallar ba − , en

términos de los vectores unitarios

k̂,ĵ,î . 2064 == b,a

Respuesta:

( ) k̂ĵ.î.ba 2044798619 ++−=−

PROBLEMA N°14.- a) Los siguientes vectores: k̂ĵîa 23 −+= ,

k̂ĵîb 43 ++−= y k̂ĵîc 624 −−= , pueden formar los lados de un

triángulo? b) Determinar las longitudes de las medianas del triángulo.

Respuesta: a) si b) b.1) 2

114 b.2) 6 b.3)

2150

M Nx

B b C

Aa

D

Z

Y

3

b

4

12

a

X

FÍSICA GENERAL

62

PROBLEMA N°15.- Averiguar cuál de los siguientes vectores no es un

vector unitario:

a) ĵîF23

21

−=

b) ĵcosîsenQ θ−θ=

c) ĵîs54

53

+−

=

d) ĵîT25

43

+=

e) ĵîw3

1

3

2+=

Respuesta: d) y e)

PROBLEMA N° 16: La resultante de dos vectores varía entre su valor de 2 y 8 unidades. ¿Cuál será la resultante cuando los vectores formen un ángulo

de 60°?

Solución.- Sean →

A y →

B los vectores →→→

+= BAR

Cuando: 8máx

=+=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

BARRR …….. (1)

Cuando: 2mín

=−=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

BARRR …….. (2)

Resolviendo (1) y (2) para A y B obtenemos: A = 5; B=3 Si ahora θ = 60°, aplicando la ley de cosenos tendremos:

760352352 2222 =++=→++= oo CosxxRABCosBAR θ

∴ 7=R Rpta.

FÍSICA GENERAL

63

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Sean los vectores

a = 3i - 2j

b = -4i + j

calcular:

a) El vector suma y su módulo.

b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX.

c) El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.

2) Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5 N. y F2 = 7 N., que forman respectivamente los siguientes

ángulos con el eje OX: 60º y 30º.

Calcular:

a) La fuerza resultante.

b) Su módulo.

c) Ángulo que forma con el eje OX.

3) Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F1=6 N.; F2=3 N. y F3=4 N., que forman, respectivamente, los siguientes

ángulos con el eje OX: 45º, 30º y 60º. Las tres fuerzas están en el

mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del

ángulo que forman con el eje OX.

4) Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular:

a) Componentes del vector OP

b) Módulos y cosenos directores.

c) Un vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.

FÍSICA GENERAL

64

5) Dados los vectores a = (2, 4, 6) y b = (1, -2, 3). Calcular:

a) El vector suma ( a + b ), su módulo y cosenos directores.

b) El vector diferencia (a – b) y el vector unitario que define su dirección y sentido.

6) Dados los vectores: a = (1,-1,2) y b = (-1, 3, 4). Calcular:

a) El producto escalar de ambos vectores.

b) El ángulo que forman.

c) La proyección de b sobre a.

d) Dados dos vectores a (2, -1, 0), b (3, -2, 1) y c(0, -2, 1). Calcular:

e) (a + b) · c

f) (a -b) x c

g) (a x b) · c producto mixto

h) (a · b) · c

i) (a x b) x c doble producto vectorial.

7) Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i -6j + 2k y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.

8) Dados los vectores a = (1, 3, -2) y b = (1, -1, 0). Calcular:

a) Su producto vectorial.

b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.

c) Un vector c, de módulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b.

9) Se tienen dos vectores kjia ˆˆ2ˆ2 +−= y jib ˆ2ˆ −= . Calcula las

componentes del vector unitario ŝ perteneciente al plano determinado por los vectores a y b y perpendicular al vector

bav 2−= .

FÍSICA GENERAL

65

10) Si el producto vectorial de dos vectores es kjibxa ˆ2ˆ6ˆ3 +−= , siendo

4|| =a y 7|| =b , calcular su producto escalar ba. .

11) Halle el vector de módulo 3 que sea paralelo al producto vectorial

bxa , siendo kjia ˆˆ3ˆ2 +−= y kib ˆ3ˆ2 −= .

CENTRO DE GRAVEDAD (C.G)

Es el punto donde se asume que está concentrado el peso de un cuerpo.

Características de Gravedad (C.G.)

- El C.G. puede estar ubicado dentro o fuera del cuerpo

- Los C.G. siempre se ubican en la zona de mayor concentración de masa.

Ejemplo (4):

EQUILIBRIO DE CUERPOS SUSPENDIDOS

FÍSICA GENERAL

66

Calculo de las coordenadas del C.G.:

Utilizando el Teorema de Varignon

En x:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T 1 1 1 2 2 3 3 n nW x =W x +W x +W x ...+W x

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 n n

1 2 3 n

W x +W x +W x ...+W xx=

W +W +W +...+W

( )

n

n

W xx

w

=

=

=∑

∑

i ii i

ii i

T 1 2 3 nW =W +W +W +.....+W

FÍSICA GENERAL

67

También: ( )

=

=

=∑

∑

i ii i

i i

n

n

i

w yy

w

Observaciones:

1) Cuando los dos datos del ejercicio son las masas de los cuerpos participantes, se sustituye Wi por Mi.

2) Si los cuerpos que participan tienen la misma densidad, entonces en lugar de Wi se utilizan sus volúmenes (Vi).

3) En casos donde los cuerpos son placas del mismo material y del mismo espesor, se utilizarón las áreas de sus superficies en lugar de

los pesos.

4) En el caso de que los cuerpos sean varillas del mismo material y la misma sección recta, entonces en lugar de sus pesos se utilizan sus

longitudes.

Ejemplo: Determinar el C.G. de la varilla doblada.

1 1 2 2 3 31 2 3

x x xx

+ +=

+ +

Luego: ( )( )

+ +=

+ +x

20 200 400 cm

20 20 20 cm

l i(Cm) Xi Yi l i Xi l i Yi

l1 = 20

l 2 = 20

l 3 = 20

0

10

20

10

0

10

0cm2

200cm2

400cm2

200

0

200

FÍSICA GENERAL

68

( )( )

+ += = =

+ +

2200 0 200 cm 20y cm 6.6cm

20 20 20 cm 3

Hallar el C.G. de la figura sombreada:

( )

−=

−x x

x 1 1 2 11 2

A AA A

−

= =−

x108 54

3cm36 18

−

= =−

108 36y 4cm

36 18

Ai(cm2) xi yi Ai xi Ai yi

62 3 3 108 108

12

(6)(6) 3 13

(6) 54 36

TEOREMA DE GOULDIN PAPPUS

A) Para cuerpos lineales:

( )= πA 2 y L

2A6

6

Y

X

(Cuadrado)2A

Triángulo

FÍSICA GENERAL

69

B) Para placas

( )V 2 y A= π Ejemplos:

R=x Luego: ( ) ( ) 22 y R 4 Rπ π = π

2

2

4 Ry

2 Rπ

=π

2R

y =π

FÍSICA GENERAL

70

PARA UN CUARTO DE CÍRCULO

224 RA 2 R

2π

= = π

( ) 2RA 2 R2

π⎛ ⎞= π = π⎜ ⎟⎝ ⎠

x x

2 2Luego : R 2 R2R

π = π

=π

x

x

También: 2R

y =π

PARA UNA PLACA

( )

3

2

4V R

3R

V 22

= π

π⎛ ⎞= π ⎜ ⎟

⎝ ⎠x

Luego:

( )2

3R 42 R2 3

4R3

π⎛ ⎞π = π⎜ ⎟

⎝ ⎠

=π

x

x

PARA UN ARCO:

R Long. Cuerda ABOG

Long. arco AB=

También:

R senOG radianes

α= α →

α

FÍSICA GENERAL

71

PARA UNA PLACA:

2R senOG

3α

=α

PARA UN CONO:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1) Determina el C.G de la varilla doblada.

Respuestas:

15cm

45 3

y cm4

=

=

x

1)

FÍSICA GENERAL

72

2) Determina el C.G de la figura sombreada.

02a

=

=π

x

y

3) Determine el C.G. de la figura plana.

4) Determine el C.G.

FÍSICA GENERAL

73

CINEMÁTICA

Es parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin tener

en cuenta las fuerzas que lo generan.

Un cuerpo está en movimiento si su posición medida desde un sistema de

referencia estático o inercial cambia durante un intervalo de tiempo.

Algunas veces el movimiento puede ser un asunto complicado, por ejemplo

hablamos del movimiento de una bolita que se lanza al piso o el de una

varilla que lanzamos al aire, en ambos casos los cuerpos avanzan rotando

como se muestra en la figura, es decir que ocurren a la vez dos

movimientos uno de traslación y otro de rotación. Por ésta razón es

conveniente iniciar el tema hablando del movimiento de una partícula –

cuerpo muy pequeño-, que por ser tan pequeño, su rotación prácticamente

no se toma en cuenta,

Pelotita lanzada sobre el piso y varilla lanzada al aire.

PARTÍCULA: Es todo cuerpo material que se considera sin dimensiones

para un análisis directo de su movimiento. Algunas veces se le llama punto

material.

FÍSICA GENERAL

74

TRAYECTORÍA DE UNA PARTÍCULA: Es la línea recta o curva que

describe el móvil. La trayectoria de una partícula es el camino seguido por

ésta durante su movimiento. Puesto que el movimiento es un estado

relativo, la forma de la trayectoria también es relativa. La forma de la

trayectoria depende del sistema de referencia.

VECTOR POSICIÓN: Es el vector que indica, en cada instante, la

posición de la partícula respecto a un origen que representa a un punto del

sistema de referencia. Este vector se denota como se indica en la figura,

VECTOR DESPLAZAMIENTO ( )rΔ : Es la diferencia de dos vectores posición de una partícula en movimiento entre los instantes t1 y t2 (t2

posterior a t1). Si los vectores posición en estos instantes son r y r1 2

respectivamente, el vector desplazamiento es 2 1Δ = −r r r como se indica en

la figura.

(X, Y, Z)

)(tr

Z

Y

X

FÍSICA GENERAL

75

RAPIDEZ MEDIA ( )m

V : Es una cantidad vectorial que se define como el

cociente del vector desplazamiento rΔ entre el intervalo de tiempo Δτ,

esto es:

mr rrV

t t t−Δ

= =Δ −

2 1

2 1

El vector de desplazamiento y el vector rapidez media son cantidades

diferentes pero con la misma dirección.

RAPIDEZ INSTANTANEA )v( : Es el límite de la rapidez media cuando

el intervalo de tiempo tΔ tiende a cero y se expresa así:

t

rv límtΔ →

Δ=

Δ0

sm

]v[ =

)(trΔ

Z

Y

X

)(2 tr )(1 tr

P2, t2

P1, t1

Δr = r2 – r1

Gráfico del Vector Desplazamiento

FÍSICA GENERAL

76

Cuando se desea hablar de la rapidez instantánea, sólo se dice rapidez, sin

el adjetivo de instantánea. En caso que se quiera hablar de la rapidez media

se tendrá que decirlo expresamente.

ACELERACIÓN MEDIA: Esta aceleración se define como el cambio en

la velocidad durante un intervalo de tiempo, dividido entre dicho intervalo,

esto es:

mvat

Δ=

Δ [am]=m/s2

Donde: ( )v v v y t t tΔ = − Δ = −2 1 2 1

Aceleración media en el intervalo t1, t2.

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( )a : Se define como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo ∆t tiende a cero.

t

va límtΔ →

Δ=

Δ0

La figura muestra la representación de la aceleración instantánea en el

punto P, ó lo que es lo mismo en el instante t. Note que apunta a la zona

cóncava.

V1(t) V

2(t) V

1

V2

ΔV Δt = t2 – t1

ΔV = r2 – r1

FÍSICA GENERAL

77

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Es aquel movimiento en el cual la trayectoria seguida por el móvil es a lo

largo de una línea recta y en donde el móvil recorre distancias iguales en

tiempos iguales; vale decir la rapidez del móvil permanece constante y no

sufre aceleración.

Se observa que el móvil recorre 10m cada 5s, por tanto su rapidez es:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===sm

sm

te

v 25

10 (constante en el tiempo)

Ecuación fundamental del MRU: e=v.t

Donde:

e=distancia

v=rapidez (m/s)

t=tiempo (s)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

(MRUV)

Es aquel movimiento en el cual la trayectoria seguida por el móvil es a lo

largo de una línea recta y en donde el móvil recorre distancias diferentes en

tiempos iguales, vale decir su aceleración permanece constante.

FÍSICA GENERAL

78

Si la rapidez del móvil aumenta, se dice que es un movimiento acelerado,

por tanto el signo de la aceleración es positivo.

Si la rapidez del móvil disminuye, se dice que es un movimiento

desacelerado, por lo tanto el signo de la aceleración es negativo.

5(40)(50)

25

(0)(10)t

vv

tΔv

a 2sm0f −==

−=

−==

La aceleración es constante en cada tramo 2sm2a =

Ecuaciones del MRUV

f 0v v - va= =t t

Δ ………. (1)

vf = vo + at

0 fm

v +ve=v .t= .t

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

………… (2)

Reemplazando la ecuación (1) en (2):

e = vo + 21

at2 ………… (3)

FÍSICA GENERAL

79

Despejando el tiempo de la ecuación (1) y reemplazando en la ecuación (3)

se obtiene:

vf2 = v02 + 2ae …………. (4)

Si el movimiento es acelerado a(+)

Si el movimiento es desacelerado a (-)

MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE Es aquel movimiento vertical que realizan los cuerpos en el espacio libre,

por acción de su propio peso (fuerza de atracción ejercida por la tierra

sobre los cuerpos que la rodean.). Se entiende por espacio libre el medio

ambiente que nos rodea sin tomar en cuenta la resistencia del aire ni la

presión del viento.

El movimiento de caída libre es un MRUV donde la aceleración de la

gravedad (g) permanece constante en el lugar donde se realiza la caída.

ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD (g): Es la aceleración con que caen los

cuerpos hacia tierra firme.

Se consideran altura pequeñas, comparada con el radio terrestre cuyo

valor promedio es 6,400 Km.

La aceleración de la gravedad varia inversamente proporcional con la

altura, de modo que a mayor altura,”g” es menor.

La aceleración en los polos es mayor que en el Ecuador, debido a que la

tierra no es perfectamente esférica .sino que posee superficies accidentadas

FÍSICA GENERAL

80

(su radio varía de acuerdo al lugar) así en los polos es mayor que en

Ecuador.

EXPERIENCIA EN EL “TUBO DE NEWTON”

Se puede observar que si una pluma y una piedra son dejados caer a cierta

altura en el aire, estas no caen juntas, la piedra cae mas rápido que la

pluma, pero si estos dos cuerpos son dejados caer dentro de un tubo de

vidrio al cual se le a extraído previamente todo el aire (es decir se ha

practicado el vacío )se observa que la piedra y la pluma caen juntas. Este

tubo empleado es el denominado “TUBO DE NEWTON”

OBSERVACIÓN: En los ejercicios donde no se especifique el valor de “g” usaremos

FÍSICA GENERAL

81

FORMULAS DE CAÍDA LIBRE: Las fórmulas son análogas a las del MRUV,

con la precisión de que a = g y e = h = altura

0fV V gt= +

20

12

h V t gt= +

2 20 2fV V gh= +

La aceleración será positiva (+)

cuando el cuerpo está

descendiendo, y negativa cuando el

cuerpo está subiendo.

ALTURA MAXIMA (hm): un objeto lanzado verticalmente hacia arriba

alcanza su altura máxima cuando su velocidad de ascenso se hace igual a

cero.

El cuerpo esta subiendo:

2 2

0

20 max

2

2fV V gh

O V gh

= −

= −

2

0max 2

Vh

g=

Se cumple para un mismo nivel

de referencia, que la velocidad

de subida ,es igual a la velocidad

de la bajada; además se cumple

que el tiempo de subida es igual

al tiempo de bajada.

FÍSICA GENERAL

82

1.- El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada

Ejemplo: si el cuerpo emplea 20 segundos en subir de “A” hasta “B”,

también emplea 20 segundos en regresar de “B” hacia “A” (tiempo

de subida=tiempo de bajada)

2.- El módulo de la velocidad inicial de lanzamiento es igual al modulo

de la velocidad de descenso en el mismo punto.

3.- El módulo de la velocidad de ascenso en el punto es igual al módulo

de la velocidad de descenso en el mismo punto.

VELOCIDAD LÍMITE (VL): La resistencia ó fricción del aire modifica el

movimiento de caída libre del cuerpo; inicialmente el movimiento es

uniformemente variado con a ≤ g ; pero poco a poco va disminuyendo su

aceleración, debido a la resistencia que ofrece el aire, hasta que se anula

por completo y que el movimiento se hace uniforme debido a la resistencia

que ofrece el aire, hasta que se anula por completo y el movimiento se hace

uniforme.

A la velocidad uniforme que alcanza el cuerpo, debido a la resistencia del

aire; se le llama “VELOCIDAD LÍMITE”

Ejm: Tenemos un caso de un paracaidista que se deja caer desde un

helicóptero, inicialmente el movimiento se puede considerar, como un

MRUV; pero cuando se abre el paracaídas, la resistencia del aire aumenta y

aumenta y el aire se transforma en uniforme, se dice entonces que en ese

instante alcanza su velocidad límite.

FÍSICA GENERAL

83

GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO

Para un mejor entendimiento de las gráficas del movimiento es que se va

ha asumir algunos datos numéricos.

Las variables del movimiento: velocidad, espacio, aceleración son funciones

del tiempo, es decir

V = f (t), e =f (t) , a = f (t)

Estas funciones se pueden graficar en los ejes coordenados, sustituyendo el

eje “x” por “t” y por “v”,”e” ó “a” el eje y

A) GRÁFICAS DEL MRU

A.1) Velocidad vs. Tiempo

Ejemplo numérico: v = 4 m/s =cte.

El espacio que recorre el móvil:

m/s V x t = (4) (5) = A = 20

Características:

1.- La gráfica V vs. t es siempre una línea recta paralela al

eje del tiempo

FÍSICA GENERAL

84

2.- El área bajo la gráfica equivale al desplazamiento, que

será positivo cuando el móvil se aleja del punto de

partida negativo si sé acerca al punto de partida.

3.- El valor absoluto del área es numéricamente igual al

espacio recorrido por el móvil.

A.2) Espacio vs. Tiempo

Ejemplo numérico: v = 4 m/s = constante

Pendiente de la recta = 4 8 12

41 12 3

tg velocidadθ = = =

Características:

1.- El valor de la velocidad es numéricamente igual a la pendiente de la recta.

2.- La gráfica espacio-tiempo es siempre una línea recta

B) Gráficos del MRUV

B.1) Gráfica velocidad vs. el Tiempo

Ejemplo numérico: a = 2 m/s , v. = 0

0fV v at= +

FÍSICA GENERAL

85

Reemplazando los datos numéricos: 2fV t=

2 4 6 82

1 2 3 4tg a cteθ = = = = = = =

Tgθ = a

Características:

1.- La gráfica velocidad vs. tiempo es una línea recta que no es paralela a ninguno de los ejes.

2.- La pendiente de la recta nos da la aceleración en valor y signo

3.- El área bajo la grafica es numéricamente igual al espacio recorrido por el móvil

FÍSICA GENERAL

86

B.2) GRÁFICA ESPACIO vs. TIEMPO: Ejemplo Numérico: Para esto utilizamos la tabla anterior del MRUV.

Características: 1.- La grafica espacio vs. tiempo es una parábola 2.- Si la parábola es cóncava hacia arriba el movimiento es

acelerado, pero si la parábola es cóncava hacia abajo el movimiento es retardado.

B.3) ACELERACIÓN vs. TIEMPO:

En el MRVU la aceleración es constante por lo tanto la gráfica es una línea recta paralela al eje del tiempo.

FÍSICA GENERAL

87

Ejemplos: 1) En el grafico, hallar la posición del móvil en el instante

t=2 S se para T= 4 S esta a 4 m del origen (x)

Solución: El signo Negativo ( -20) de la velocidad indica que el cuerpo se mueve hacia la Izquierda

FÍSICA GENERAL

88

La posición para t = 2s es 4 + (X2 - X1 ) …… (*1) Si t =4 s (Movimiento retardado), a =t g =s Entre t =0 y t =4s

2) La gráfica V = F (T) nos muestra el movimiento de dos

móviles (M) y (N)

Si “M” parte tres segundos después que (N) ¿ Al cabo de que

tiempo ambos móviles alcanzan igual velocidad Si “M”

acelera a 23 m/s2 y “N” inicia su movimiento a m/s ?

FÍSICA GENERAL

89

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Es el movimiento típico de los proyectiles, de una bala, de una jabalina que

es arrojada al aire. En este caso la aceleración no tiene la misma dirección

de la rapidez, por tanto la trayectoria deja de ser rectilínea. El movimiento

ocurre en un plano, es decir el movimiento será en dos dimensiones.

Consideremos un movimiento bidimensional en el que la aceleración

permanece constante, es decir su cantidad y dirección no varían durante el

movimiento.

Trayectoria en dos dimensiones del movimiento de una partícula

El movimiento de una partícula se describe con su vector posición r ,

rapidez v y aceleración a . El vector posición de una partícula moviéndose

en el plano x-y es: jyixr ˆˆ += . El vector de la partícula es

jvivvyxˆˆ += ; tanto x, y, vx, vy; componentes de r y v varían con el

tiempo cuando se mueve la partícula, luego, el movimiento es con

aceleración constante jaiaayxˆˆ += entonces ax y ay, componentes de la

aceleración son constantes en el tiempo.

FÍSICA GENERAL

90

Si la partícula inicia su movimiento con rapidez inicial 0

v , esta es

jvivvoyox0

ˆˆ += . Aplicando las ecuaciones cinemáticas a las

componentes de la rapidez v para cualquier instante t:

tavvxoxx

+= tavvyoyy

+=

Luego: ( ) ( ) jtavitavvyoyx0x

ˆˆ +++=

tavv0

+=

Por tanto la rapidez de la partícula en un instante “t” es igual a la suma del

vector rapidez inicial 0

v y la rapidez adicional ta , que adquiere en el

tiempo t como resultado de su aceleración constante.

Finalmente, las posiciones o coordenadas x, y de una partícula que se

mueve con aceleración constante son:

2xox0

ta21

tvxx ++=

2yoy0ta

21

tvyy ++=

Luego: jyixr ˆˆ +=

jta21

tvyita21

tvxr 2y0y0

2x0x0

ˆˆ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=

( ) ( ) ( ) 2yxoyox00

tjaia21

jvivjyixr ˆˆˆˆˆˆ +++++=

200 ta21tvrr ++=

FÍSICA GENERAL

91

Esta ecuación indica que el vector posición r en cualquier instante t es la

suma del vector posición inicial, el vector desplazamiento tv0 , que se

obtiene de la rapidez inicial de la partícula, y el desplazamiento 2ta21

resultado de la aceleración constante de la partícula.

MOVIMIENTO COMPUESTO

Es el movimiento típico de una bomba que es soltada desde un avión que

vuela horizontalmente con rapidez constante v . En este tipo de movimiento

se superponen dos movimientos simples: un MRU en el eje horizontal y un

MRUV en el eje vertical.

2

21

gth =

R=X=vxt

v =rapidez del avión

h=altura

R=X=alcance horizontal

t=tiempo que la bomba

está en el aire

g=aceleración de la

gravedad (9,8m/s2)

MOVIMIENTO PARABÓLICO

Es aquel movimiento que resulta de la composición de un movimiento

horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y de un movimiento de caída libre

(MRUV).

FÍSICA GENERAL

92

Donde:

v0=rapidez inicial de disparo ó de lanzamiento

α=ángulo de inclinación ó ángulo de disparo

R=alcance o desplazamiento horizontal

hmáx=altura máxima

Restricciones

1. Se ignora la resistencia del aire u otro medio.

2. Es aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera constante

a “g”

3. Los alcances horizontales serán pequeños para despreciar la redondez

de la tierra

4. Las rapidezes de disparo no deben ser muy grandes porque el móvil

podría adquirir trayectoria elíptica y rotar alrededor de la tierra

Características

1. Las variables del movimiento horizontal se calculan utilizando las

fórmulas del MRU y las del movimiento (MRUV) con las fórmulas de

caída libre

2. El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. (El movimiento

vertical es de caída libre)

tOB=tBA tOA=tv=tiempo de vuelo

FÍSICA GENERAL

93

(MRUV)

h

R=X

y

voyvo

0 vox

y

x

vxvy

v

mgmg

máx

B

vx vvy

A

(MRU)x

α = ángulo de tiro

vo = rapidez inicial del proyectil

componentes de v0⎪⎩

⎪⎨⎧

α=

α=

senvv

cosvv

oy

ox

0

0

hmáx=altura máxima alcanzada

R=X=alcance horizontal

v = vector rapidez del proyectil

( )yxyx

v,vĵvîvv =+=

22yx

vvv +=

FÍSICA GENERAL

94

Ecuaciones que gobiernan el movimiento:

Eje X Eje Y

ax=0 (MRU)

( )⎪⎩⎪⎨⎧

α==

α==

tcosvtvx

.)cte(cosvvv

x

ooxx

0

ay=-g(MRUV)

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−α=

−α=

2

21

gttsenvy

gtsenvv

o

oy

CALCULO DEL TIEMPO DE VUELO (tv):

Hallamos el tiempo para el cual las alturas son cero:

( ) 0gt21tsenvy 2

0=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −α=

( )( )

)"O"punto(t

"A"puntoseng

vt

gtsenvt 0020

021 =→

α=→

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −α

Luego, el tiempo de vuelo es: α= seng

vtv

02

CALCULO DE LA ALTURA MÁXIMA (hmáx)

Hallamos el tiempo para el cual el proyectil alcanza la altura máxima hmáx,

dicho tiempo es α=== seng

vtvtt OAOB

022

Luego: ( ) 20 2

1gttsenvy −α=

( )máxOBOB

hgttsenvy =−α= 20 2

1

( )2

000 2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα= sen

g

vgsen

g

vsenvh

máx

FÍSICA GENERAL

95

α=α−α= 22

022

022

022

seng

vsen

g

vsen

g

vh

máx

α= 22

02

seng

vh

máx

ALCANCE HORIZONTAL (R=X)

El alcance para cualquier tiempo está dado por X=(v0cosα)t, entonces

x=R=(v0cosα)tv

( ) ( ) ( )α=αα=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ αα== 22

2 20

200

0sen

g

vcossen

g

v

g

senvcosvRX

Luego: ( ) α=αα= 222

02

0 seng

vcossen

g

vR

ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO (Rmáx)

El alcance horizontal será máximo si R es máximo luego: sen 2α tiene que

ser máximo, es decir sen2α=1 2α=90º → α=45º

g

vR

máx

20=

ECUACIÓN DE LA TRAYECTORÍA O ECUACIÓN DE LA

PARÁBOLA

En algunos problemas de movimiento parabólico donde se requiera

determinar la posición del cuerpo luego de cierto tiempo, es muy útil

emplear la ecuación de la parábola, que a continuación se deduce:

FÍSICA GENERAL

96

Horizontalmente: x=(v0cosα)t → ( )α= cosvx

t0

…………. (1)

Verticalmente: y=(v0senα)t- 221

gt …………. (2)

Reemplazando (1) en (2):

( )2

000 2

1⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

αα=

cosvx

gcosvx

senvy

y=(tgα)x- ( )α× 220

2

21

cosv

xg

como: α+=αα=α

22 11 tgsecyseccos