formulario de integrales
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FORMULARIO COMPLETO DE INTEGRALES.TRANSCRIPT
Formulario de integrales
c©2001-2005 Salvador Blasco Llopis
Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licenciaCreative Commons Atribucion 2.1 Espana.
Septima revision: Febrero 2005Sexta revision: Julio 2003
Quinta revision: Mayo 2002Cuarta revision: Mayo 2001
Tercera revision: Marzo 2001
1. Integrales indefinidas
1.1. Funciones racionales e irracionales
1.1.1. Contienen ax+ b
(1)
∫(ax+ b)ndx =
1
a(n+ 1)(ax+ b)n+1 + C, n 6= 1
(2)
∫dx
ax+ b=
1
aln |ax+ b|+ C
(3)
∫dx
x(ax + b)=
1
aln
∣∣∣∣x
ax+ b
∣∣∣∣+ C
(4)
∫dx
(1 + εx)2= −1
ε· 1
1 + εx+ C
(5)
∫xdx
(1 + bx)3= − 1
2b· 2
(1 + bx)2− 1
2b· 1
1 + bx+ C
1.1.2. Contienen√ax+ b
(6)
∫x√a+ bxdx =
2(3bx− 2a)(a+ bx)3/2
15b2+ C
(7)
∫x√
a+ bxdx =
2(bx− 2a)√a+ bx
3b2+ C
1
(8)
∫dx
x√a+ bx
=
1√a
ln∣∣∣√a+bx−√a√a+bx+
√a
∣∣∣+ C, a > 0
2√−a arctan√
a+bx−a + C, a < 0
(9)
∫ √a+ bx
xdx = 2
√a+ bx+ a
∫dx
x√a+ bx
+ C
1.1.3. Contienen x2 ± a2
(10)
∫dx
a2 + x2=
1
aarctan
x
a+ C, a > 0
(11)
∫xdx
(x2 ± a2)3/2=
1√x2 ± a2
+ C
1.1.4. Contienen a2 − x2, x < a
(12)
∫(a2 − x2)3/2dx =
x
2
√a2 − x2 +
a2
2arc sen
x
a+ C, a > 0
(13)
∫dx
a2 − x2=
1
2aln
∣∣∣∣a+ x
a− x
∣∣∣∣+ C =1
aarctanh
x
a
(14)
∫dx
(a2 − x2)3/2=
x
a2√a2 − x2
+ C
1.1.5. Contienen√x2 ± a2
∫ √x2 ± a2dx =
1
2
(x√a2 ± x2 + a2 ln
∣∣∣x+√a2 ± x2
∣∣∣)
+ C =(15)
=
{12x√a2 + x2 + a2
2 arcsenhx+ C (+)12x√a2 − x2 + a2
2 arccoshx+ C (−)
(16)
∫x√x2 ± a2dx =
1
3(x2 ± a2)3/2 + C
(17)
∫x3√x2 + a2dx = (
1
5x2 − 2
5a2)(a2 + x2)3/2 + C
(18)
∫ √x2 − a2
xdx =
√x2 − a2 − a · arc cos
a
|x| + C
(19)
∫dx√x2 + a2
= a · arcsenhx
a+ C
(20)
∫dx√x2 − a2
= ln∣∣∣x+
√x2 − a2
∣∣∣+ C = arccoshx
a+ C, (a > 0)
(21)
∫dx
x√x2 − a2
=1
aarc cos
a
|x| + C, (a > 0)
2
(22)
∫dx
x2√x2 ± a2
= ∓√x2 ± a2
a2x+ C
(23)
∫xdx
x2 ± a2=√x2 ± a2 + C
(24)
∫ √x2 ± a2
x4dx = ∓ (a2 + x2)3/2
3a2x3+ C
(25)
∫x2
√x2 − a2
dx =x
2
√x2 − a2 − a2
2arccosh
x
a+ C
1.1.6. Contienen√a2 ± x2
(26)
∫ √a2 − x2dx =
1
2x√a2 − x2 − a2
2arc sen
x
a+ C, (a > 0)
(27)
∫x√a2 ± x2dx = ±1
3(a2 ± x2)3/2 + C
(28)
∫x2√a2 − x2dx =
x
8(2x2 − a2)
√a2 − x2 +
a2
8arc sen
x
a+ C, a > 0
(29)
∫ √a2 ± x2
xdx =
√a2 ± x2 − a ln
∣∣∣∣∣a+√a2 ± x2
x
∣∣∣∣∣+ C
(30)
∫dx
x2√a2 − x2
=−√a2 − x2
a2x+ C
(31)
∫dx√a2 − x2
= arc senx
a+ C, a > 0
(32)
∫dx
x√a2 − x2
= −1
aln
∣∣∣∣∣a+√a2 − x2
x
∣∣∣∣∣+ C
(33)
∫x√
a2 ± x2dx = ±
√a2 ± x2 + C
(34)
∫x2
√a2 ± x2
dx = ±x2
√a2 ± x2 ∓ a2
2arc sen
x
a+ C, a > 0
(35)
∫dx√a2 + x2
= ln(x+
√a2 + x2
)+ C = arcsenh
x
a+ C, a > 0
1.1.7. Contienen ax2 + bx+ c
(36)
∫dx
ax2 + bx+ c=
1√b2−4ac
ln∣∣∣2ax+b−
√b2−4ac
2ax+b+√b2−4ac
∣∣∣ =
= 2√b2−4ac
arctanh 2ax+b√b2−4ac
+ C, b2 > 4ac2√
4ac−b2 arctan 2ax+b√4ac−b2 + C, b2 < 4ac
− 22ax+b + C, b2 = 4ac
3
(37)
∫x
ax2 + bx+ cdx =
1
2aln∣∣ax2 + bx+ c
∣∣− b
2a
∫dx
ax2 + bx+ c+ C
(38)
∫x · dx
(ax2 + bx+ c)n=
bx+ 2c
(b2 − 4ac)(n− 1)(ax2 + bx+ c)n−1+
+b(2n− 3)
(b2 − 4ac)(n− 1)
∫dx
(ax2 + bx+ c)n−1, n 6= 0, 1, b2 < 4ac
(39)
∫dx
(ax2 + bx+ c)n=
2ax+ b
−(b2 − 4ac)(n− 1)(ax2 + bx+ c)n−1+
+2a(2n− 3)
−(b2 − 4ac)(n− 1)
∫dx
(ax2 + bx+ c)n−1, n 6= 0, 1, b2 < 4ac
1.1.8. Contienen√ax2 + bx+ c
(40)∫ √
ax2 + bx+ cdx =2ax+ b
4a
√ax2 + bx+ c+
4ac− b28a
∫dx√
ax2 + bx+ c
(41)
∫a0 + a1x+ . . .+ anx
n
√ax2 + bx+ c
dx Ver §3.5, pag. 11: metodo aleman
(42)
∫dx√
ax2 + bx+ c=
1√a
ln∣∣∣2ax+ b+
√a√ax2 + bx+ c
∣∣∣+ C =
1√a
arcsenh 2ax+b√4ac−b2 + C, ∆ < 0, a > 0;
1√a
ln |2ax+ b|+ C, ∆ = 0, a > 0;1
−√−a arc sen 2ax+b√b2−4ac
+ C, ∆ > 0, a < 0;
, ∆ = b2 − 4ac
(43)
∫x√
ax2 + bx+ cdx =
√ax2 + bx+ c
a− b
2a
∫dx√
ax2 + bx+ c
(44)
∫dx
x√ax2 + bx+ c
=
−1√c
ln∣∣∣ 2√c√ax2+bx+c+bx+2c
x
∣∣∣+ C, c > 0
1√−c arc sen bx+2c|x|√b2−4ac
+ C, c < 0
1.2. Funciones trigonometricas
1.2.1. Contienen sen ax
(45)
∫dx
sen ax=
1
aln∣∣∣tan
ax
2
∣∣∣+ C
(46)
∫sen2 axdx =
1
2· ax− cosax · sen ax
a+ C =
x
2− sen 2ax
4a+ C
4
(47)
∫senn axdx = − senn−1 ax · cosax
a · n +n− 1
n
∫senn−2 axdx, n 6= 0,−1;
(48)
∫sen ax sen bxdx = −1
2
cos(a+ b)x
a+ b− 1
2
cos(a− b)xa− b + C, a2 6= b2
(49)
∫xn senaxdx = −1
axn cosax+
n
a
∫xn−1 cosaxdx
(50)
∫sen ax
xdx =
∞∑
ν=0
(ax)2ν−1
(2ν − 1) · (2ν − 1)!
(51)
∫dx
1± sen ax=
1
atan
(ax2∓ π
4
)+ C
1.2.2. Contienen cosax
(52)
∫cos2 axdx =
1
2· ax+ cosax · senax
a+ C
(53)
∫dx
cosax=
1
aln∣∣∣tan
(ax2− π
4
)∣∣∣+ C
(54)
∫cosax
xdx = ln |ax|+
∞∑
ν=1
(−1)ν(ax)2ν
(2ν) · (2ν)!+ C
(55)
∫cosn axdx =
cosn−1 ax · sen ax
a · n +n− 1
n
∫cosn−2 axdx+C, n 6= 0,−1;
(56)
∫cosax cos bxdx = −1
2
sen(a− b)xa− b +
1
2
sen(a+ b)x
a+ b+ C, a2 6= b2
(57)
∫xn cosaxdx =
1
axn senax− n
a
∫xn−1 sen axdx+ C, n 6= −1
(58)
∫dx
1± cosax= ±1
atan
ax
2+ C
1.2.3. Contienen tan ax o cotax
(59)
∫tan axdx = −1
aln cosax+ C
(60)
∫tan2 xdx = tanx− x+ C
(61)
∫tann axdx =
tann−1 ax
a(n− 1)−∫
tann−2 axdx, n 6= 1, 0;
(62)
∫cot axdx =
1
aln sen ax+ C
(63)
∫cotn axdx = −cotn−1 ax
a(n− 1)−∫
cotn−2 axdx + C, n 6= 1, 0;
5
1.2.4. Contienen sec ax o csc ax
(64)
∫sec axdx =
1
a
[ln(
cosax
2+ sen
ax
2
)− ln
(cos
ax
2− sen
ax
2
)]+ C
(65)
∫sec2 axdx =
1
atan ax+ C
(66)
∫secn xdx =
1
a
tan ax · secn−2 ax
n− 1+
1
a
n− 2
n− 1
1
sec
n−2
ax · dx+ C, n 6= 1;
(67)
∫csc2 axdx = −1
acotax+ C
(68)
∫cscn axdx = −1
a
cotax · cscn−2
n− 1+
1
a· n− 2
n− 1
∫cscn−2 ax·dx+C, n 6= 1;
1.2.5. Varias funciones
(69)
∫secx · tan ax · dx = secx+ C
(70)
∫cscx · cotx · dx = − cscx+ C
(71)
∫cosm x · senn x ·dx =
{cosm−1x·senn+1 x
m+n + m−1m+n
∫cosm−2 x · senn x · dx
cosm+1x·senn−1 xm+n + n−1
m+n
∫cosm x · senn−2 x · dx
1.2.6. funciones trigonometricas inversas
(72)
∫arc sen
x
adx = x · arc sen
x
a+√a2 − x2 + C, a > 0;
(73)
∫arc cos
x
adx = x · arc cos
x
a−√a2 − x2 + C, a > 0;
(74)
∫arctan
x
adx = x · arctan
x
a− 1
aa ln
(1 +
x2
a2
)+ C, a > 0;
(75)
∫arccot
x
adx =
1
ax · arccot
x
a+a
2ln(a2 + x2) + C
(76)
∫x · arc cosxdx = x · arc cosx+ arc senx+ C
6
1.3. Funciones exponenciales y/o logarıtmicas
(77)
∫xneaxdx =
xneax
a− n
a
∫xn−1eaxdx
(78)
∫eax sen bx · dx =
eax(a sen bx− b cos bx)
a2 + b2+ C
(79)
∫eax cos bx · dx =
eax(b sen bx+ a cos bx)
a2 + b2+ C
(80)
∫dx
a+ benx=x
a− ln(a+ benx)
an+ C
(81)
∫loga xdx = x loga x−
x
ln a+ C, ∀a > 0;
(82)
∫x lnxdx =
2x2 lnx− x2
4+ C
(83)
∫xn ln ax · dx = xn+1
[ln ax
n+ 1− 1
(n+ 1)2
]+ C
(84)∫xn(ln ax)mdx =
xn+1
n+ 1(ln ax)m− m
n+ 1
∫xn(ln ax)m−1dx, n,m 6= −1, x > 0;
(85)
∫ln axdx = x ln ax− x+ C, x > 0;
(86)
∫eax
xdx = ln |x|+
∞∑
i=1
(ax)i
i · i! + C
(87)
∫eax lnx · dx =
1
aeax ln |x| − 1
a
∫eax
xdx+ C
(88)
∫dx
lnx= ln | lnx|+
∞∑
i=1
lni x
i · i! + C, x > 0;
(89)
∫dx
x lnx= ln | lnx|+ C, x > 0;
(90)
∫lnn x
xdx =
1
x+ 1lnn+1 x, n 6= −1, x > 0;
7
1.4. Funciones hiperbolicas
(91)
∫senh axdx =
1
acoshax+ C
(92)
∫senh2 xdx =
1
4senh 2x− 1
2x+ C
(93)
∫coshaxdx =
1
asenhax+ C
(94)
∫cosh2 xdx =
1
4senh 2x+
1
2x+ C
(95)
∫tanh axdx =
1
aln | coshax|+ C
(96)
∫coth axdx =
1
aln | senh ax|+ C
(97)
∫sechxdx = arctan(senhx) + C
(98)
∫sech2xdx = tanhx+ C
(99)
∫cschxdx = ln
∣∣∣tanhx
2
∣∣∣ = −1
2ln
coshx+ 1
coshx− 1+ C
(100)
∫senhx · tanhx · dx = −sechx+ C
(101)
∫cschx · cothx · dx = −cschx+ C
1.4.1. funciones hiperbolicas inversas
(102)
∫arcsenh
x
adx = x arcsenh
x
a−√a2 + x2 + C, a > 0
(103)
∫arccosh
x
adx =
{x arccoshxa −
√x2 − a2 + C, arccoshxa > 0, a > 0;
x arccoshxa +√x2 − a2 + C, arccoshxa < 0, a > 0;
(104)
∫arctanh
x
adx = x arctanh
x
a+
1
2a ln(a2 − x2) + C
(105)
∫arccoth
x
adx = x arccoth
x
a+
1
2a ln(x2 − a2) + C
(106)
∫arcsenh
x
adx = x arcsech
x
a− a arc sen
√1− x2
a2+ C
(107)
∫arcsech
x
adx = x arccsch
x
a+ a arccosh
√1 +
x2
a2+ C
8
2. Integrales definidas
(108)
∫ ∞
0
xne−qxdx =n!
qn+1, n > −1, q > 0;
∫ ∞
0
xme−ax2
dx =Γ[(m+ 1)/2]
2a(m+1)/2, a > 0(109)
=n!
2an+1, Si m impar : m = 2n+ 1
=1 · 3 · . . . · (2n− 1)
2n+1
√π
a2n+1, Si m par : m = 2n
(110)
∫ ε
0
x2e−ax2
dx = − ε
2ae−aε
2
+1
4
√π
a3erf(ε√a)
(111)∫ ∞
t
xne−axdx =n!e−at
an+1
(1 + at+
a2t2
2!+ . . .+
antn
n!
), n = 0, 1, . . . , a > 0;
(112)
∫ ∞
0
xne−ax2
dx =n− 1
2a
∫ ∞
0
xn−2e−ax2
dx
(113)
∫ ∞
0
e−ax2
dx =1
2
√π
a
(114)
∫ ∞
0
xe−ax2
dx =1
2a
(115)
∫ x
0
dx
1− x = ln1
1− x
(116)
∫ x
0
dx
(1− x)2=
x
1− x
(117)
∫ x
0
dx
1 + εx=
1
εln(1 + εx)
(118)
∫ x
0
1 + εx
1− x dx = (1 + ε) ln1
1− x − εx
(119)
∫ x
0
1 + εx
(1− x)2dx =
(1− ε)x1− x − ε ln
1
1− x
(120)
∫ x
0
(1 + εx)2
(1− x)2dx = 2ε(1 + ε) ln(1− x) + ε2x+
(1 + ε)2x
1− x
(121)
∫ x
0
dx
(1− x)(ΘB − x)=
1
ΘB − 1ln
ΘB − xΘB(1− x)
, ΘB 6= 1
(122)
∫ x
0
dx
ax2 + bx+ c=
−2
2ax+ b+
2
b, b2 = 4ac
(123)
9
∫ x
0
dx
ax2 + bx+ c=
1
a(p− q) ln
(q
p· x− px− q
), b2 > 4ac; p, q son las raıces;
(124)
∫ x
0
a+ bx
c+ gxdx =
bx
g+ag − bcg2
ln(c+ gx)
3. Metodos de integracion
3.1. Integracion por partes:
∫u · dv = u · v −
∫v · du
3.2. Integracion por sustitucion:
si x = g(t) es un funcion que admite derivada contınua no nula y funcioninversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f(g(t))g′(t) se tiene que:
∫f(x)dx = F (h(x)) + C
3.3. Integracion de funciones racionales:
Queremos hallar∫ F (x)Q(x)dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes
reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la division para obtener∫ F (x)Q(x)dx =
∫C(x)dx +
∫ R(x)Q(x)dx. La primera integral es inmediata. Para la
segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:Q(x) = a0(x− a)p . . . (x− a)q [(x− c)2 + d2]r . . . [(x − e)2 + f2]s y es unica. Ental caso, el integrando del segundo termino se puede descomponer como sigue:R(x)Q(x) = A1
(x−a)p + A2
(x−a)p−1 + . . . +Apx−a + . . . + B1
(x−b)q + B2
(x−b)q−1 + . . . +Bqx−b +
M1x+N1
((x−c)2+d2)r−1 + . . . + Mrx+Nr(x−c)2+d2 + . . . + H1x+K1
((x−e)2+f2)s + . . . + Hsx+Ks(x−e)2+f2 . Todas
las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando seobtienen integrales del siguiente tipo:
1.∫
dxx−a = ln |x− a|+ C
2.∫
dx(x−a)p = 1
(1−p)(x−a)p−1 + C
3.∫
Mx+N(x−c)2+d2 dx = M
2 ln |(x− c)2 + d2|+ Mc+Nd arctan x−c
d + C
4. Mx+N[(x−c)2+d2]r dx ⇒ Llamemos Ir =
∫Mx+N
[(x−c)2+d2]r dx y Jr =∫
dx[(x−c)2+d2]r dx
operando se obtiene
Ir = M2(1−r) · 1
((x−c)2+d2)r−1 + (Mc+N) · JrJr = 1
d2 Jr−1 + x−cd22(1−r)((x−c)2+d2)r−1 − 1
d22(1−r)Jr − 1
10
3.4. Metodo de Hermite
Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n ·[(x − c)2 + d2
]. . .[(x− e)2 + f2
]entonces
∫R(x)
Q(x)dx =
U(x)
(x − a)m−1 . . . (x− b)n−1 . . . [(x− c)2 + d2]p−1
. . . [(x− e)2 + f2]q−1 +
K
∫dx
x− a + . . .+ L
∫dx
x− b +
∫Cx+D
(x− c)2 + d2dx+ . . .+
∫Ex+ F
(x − e)2 + f2dx
donde U(x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas lasconstantes se determinan derivando la expresion e identificando coeficientes.
3.5. Integracion de funciones irracionales algebraicas
Integrales del tipo
∫R
(x,
(ax+ b
cx+ d
)m1n1
, . . . ,
(ax+ b
cx+ d
)msns
)dx | a, b, c, d ∈ R;ni,mi ∈ Z;ni 6= 0
y c y d no se anulan simultaneamente. Se transforma en integral racionalmediante el cambio ax+b
cx+d = tm siendo m el mınimo comun multiplo de lasni.
Integrales del tipo∫R(x,√ax2 + bx+ c
)dx se consideran los siguientes
casos:
1. a > 0→√ax2 + bx+ c = ±√a · x+ t
2. c < 0→√ax2 + bx+ c = ±√c+ x · t
3. a, c < 0→√ax2 + bx+ c = t · (x− α) siendo α una de las raices del
polinomio.
Metodo Aleman:∫ P (x)√
ax2+bx+cdx = Q(x) ·
√ax2 + bx+ c+K
∫dx√
ax2+bx+c
Donde gradQ(x) = grad(P (x))− 1 y K es una constante. Los coeficientesse obtienen derivando la expresion e identificando terminos.
Series binomicas:∫xm(a + bxn)pdx | a, b ∈ R;m,n, p ∈ Q. Estas inte-
grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambiosindicados.
1. p ∈ Z→ x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.
2. m+1n ∈ Z→ a+ bxn = tq siendo q el denominador de p.
3. m+1n + p ∈ Z→ a+bxn
xn = tq siendo q el denominador de p.
En cualquier otro caso se puede expresar como funcion elemental.
3.6. Integracion de funciones trascendentes
Si R(u) es una funcion racional y u = f(x) es una funcion que admite funcioninversa con derivada racional, entonces la integral de R(f(x)) se reduce a unaintegral racional mediante el cambio f(x) = t′′.
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3.7. Integracion de funciones trigonometricas
Integracion de∫R(senx, cosx)dx: en general se hace el cambio tan x
2 = t
con lo que senx = 2dt1+t2 , cosx = 1−t2
1+t2 , dx = 2t1+t2 . En elgunos casos se
pueden intentar otros cambios:
1. Si R(senx, cosx) = −R(senx,− cosx) se hace el cambio senx = t
2. Si R(senx, cosx) = −R(− senx, cosx) se hace el cambio cosx = t
3. Si R(senx, cosx) = R(− senx,− cosx) se hace el cambio tanx = t
Integrales del tipo Im,n =∫
senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientesformas:
1. Im,n = senm+1 x·cosn−1 xm+1 + n−1
m+1Im+2,n−2, m 6= −1
2. Im,n = senm+1 x·cosn−1 xm+n + n−1
m+nIm,n−2, m+ n 6= 0
3. Im,n = − senm−1 x·cosn+1 xm+1 + m−1
n+1 Im+2,n+2, m 6= −1
4. Im,n = − senm−1 x·cosn+1 xm+n + m−1
m+nIm−2,n, m+ n 6= 0
5. Im,n = − senm+1 x·cosn+1 xn+1 + m+n−2
n+1 Im,n+2, n 6= −1
6. Im,n = senm+1 x·cosn+1 xm+1 + m+n−2
m+1 Im+2,n+2, m 6= −1
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales
y′ + p(x)y = q(x) =⇒ y = e−R
(x)dx
(∫q(x)e
Rp(x)dx + C
)
τy′ + y = p(t) =⇒ y = e−t/τ(
1
τ
)∫ t
0
p(t)et/τdt+ y0
5. Solucion numerica de ecuaciones diferenciales
5.1. Metodo de Runge-Kutta de cuarto orden
y′ = f(x, y)→ yi+1 = yi +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h
k1 = f(xi, yi) k2 = f(xi + h/2, yi + k1h/2)k3 = f(xi + h/2, yi + k2h/2) k4 = f(xi + h, yi + k3h)
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