Integrales de Norma o de Henstock-Kurzweil

Fausto A. Contreras Rosales

Universidad Autnoma De Aguascalientes, Departamento de Matemti-cas y fsica, Av. Universidad 940, Fracc. Bosques.

E-mail address: facontre@correo.uaa.mx

Introduccin

El propsito de estas breves notas es presentar una nueva integral conocidacomo integral de norma1 o integral de Henstock-Kurzweil. Esta integral se denehaciendo una modicacin a la dencin clsica dada por Riemann que, aunqueesta variante es muy ligera, tiene profundas consecuencias tanto en que incluyetodas las funciones integrables segn Riemann (ms an, las funciones integrablessegn Lebesgue) as como en cuestiones de convergencia e integrales impropias.

A

@@@@@@

@ //B

C D

La denicin de esta integral se motiva mediante el Teorema Fundamental delClculo II (TFC II). Si f : [a; b] ! R es una funcin derivable con derivada f 0,entonces se desea que se cumpla la igualdadZ b

a

f 0 = f (b) f (a) :

Se conocen funciones que no satisfacen esta ecuacin, esto es, funciones que sonderivables en [a; b] pero su derivada no es integrable sobre el intervalo. Lo anteriornos dice que el TFC no se cumple con completa generalidad para la integral deRiemann. Esta versin del TFC requiere la hiptesis de la integrabilidad de f 0.

En este breve curso se cubre la denicin de la integral y se dan algunos ejem-plos que muestran como se maneja la denicin. Las integrales impropias que seestudian son las que se suelen llamar de segundo tipo, esto es, funciones no acotadasen intervalos cerrados y acotados. Las integrales sobre intervalos no acotados no seconsideran. Esto se hace en la primera seccin. En la segunda seccin se presentanlas propiedades de la integral como linealidad, monotona entre otras. Se dan tam-bin criterios de integrabilidad tanto de suciencia como necesidad y suciencia. Elresultado conocido como TFC I que habla sobre integrales indenidas se establecetambin en esta segunda seccin. La tercera y ltima seccin trata sobre la integraly los conjuntos nulos segn Lebesgue. Ah se ven versiones de los TFC cuando lashiptesis se debilitan en conjuntos nulos.

Los prerrequisitos para este curso son conocimientos de la Teora de Integracinde Riemann (o Darboux). Con el material en [S] es suciente. Los Teoremas deConvergencia no se desarrollan en este curso, pero se hace uso del concepto de

1Del vocablo en ingls gauge

3

4 INTRODUCCIN

Convergencia Uniforme y su relacin con la continuidad. El tema puede ser con-sultado en [R]. Lo relacionado con los conjuntos nulos, el Conjunto de Cantor y laFuncin de Cantor se presentan con mayor detalle en [G] y [H].

Finalmente, el autor de estas notas considera pertinente aclarar que este cursoest pensado en estudiantes de licenciatura de segundo o tercer ao. No obstante,los graduados que no hayan tenido contacto con esta integral podran encontrarlointeresante

Integrales de Norma o de Henstock-Kurzweil

Supngase que se tiene una funcin derivable f : [a; b] ! R y tratemos deconstruir una prueba del TFC. Sea P = fa = x0 < x1 < < xn = bg una particindel intervalo [a; b]. En cada subintervalo [xi1; xi] se busca un punto ti tal que eltrmino f 0 (ti) (xi xi1) d una buena aproximacin del valor f (xi) f (xi1).Si la eleccin de este punto es posible en cada subintervalo, entonces la suma deRiemann

Pni=1 f

0 (ti) (xi xi1) proporciona una buena aproximacin al valor deR baf 0 ya que

Pni=1 f (xi) f (xi1) = f (b) f (a). Luego, la primer pregunta que

debe hacerse es si tal eleccin de puntos es posible. El siguiente lema muestra que,en algn sentido, si es el caso.

Lema 1 (Lema de Estriccin). Sea f : [a; b] ! R derivable en z 2 [a; b].Entonces para cada " > 0 hay un > 0 tal que

jf (v) f (u) f 0 (z) (v u)j " (v u)siempre que u z v y [u; v] [a; b] \ (z ; z + ).

Demostracin. Ya que f es derivable en z, hay un > 0 tal quef (x) f (z)x z f 0 (z) < "

para z 2 [a; b] con 0 < jx zj < . Si z = u o z = v, entonces el lema es inmediato,as que supngase que u < z < v. Entonces

jf (v) f (u) f 0 (z) (v u)j jf (v) f (z) f 0 (z) (v z)j jf (z) f (u) f 0 (z) (z u)j " (v z) + " (z u) = " (v u) :

El lema es falso si los puntos u y v no estrien a z; considrese f (t) = t2 cos (=t)para t 6= 0 y f (0) = 0 cerca de t = 0.

Si es posible dar una particin del intervalo [a; b] de tal modo que el punto ti 2[xi1; xi] y el subintervalo [xi1; xi] satisfagan la conclusin del lema 1, obtenemos

(1)

nPi=1

f 0 (ti) (xi xi1) [f (b) f (a)]

=

nPi=1

ff 0 (ti) (xi xi1) [f (xi) f (xi1)]g < " nP

i=1

(xi xi1)= " (b a)

as que la suma de RiemannPn

i=1 f0 (ti) (xi xi1) da una buena aproximacin

al valor deseado de la integral de f 0 sobre [a; b], a saber, f (b) f (a).5

6 INTEGRALES DE NORMA O DE HENSTOCK-KURZWEIL

Recurdese que una funcin g : [a; b] ! R es integrable segn Riemann sobre[a; b] si existe A 2 R tal que para cada " > 0 existe un > 0 con la propiedad deque si P = fa = x0 < x1 < < xn = bg es una particin del intervalo [a; b] con(2) max fxi xi1 : 1 i ng < ;entonces jPni=0 g (ti) (xi xi1)Aj < " para cualquier ti [xi1; xi]. El nmero Ase denomina integral de g sobre [a; b] y se denota como

R bag.

Ntese que el = (z) dado en el lema 1 depende del punto z e indudablementevariar cuando z vare en [a; b] dependiendo, adems, del comportamiento de lafuncin f . Esto indica que puede no existir una constante positiva que cumpla lacondicin del lema 1 para todos los puntos de [a; b]. Esta dicultad se puede evitarsi escribimos la condicin (2) en la siguiente forma

(3) ti < xi1 ti xi < ti + :Nuestra difucultad reside en el hecho de que no se puede garantizar la existencia

de la constante positiva que satisfaga (3) y la condicin del lema 1 para ti 2 [a; b]para todo i = 1; : : : ; n. Pero como para cada t 2 [a; b] s podemos encontrar un (t) > 0 satisface la condicin del lema 1, reemplacemos en (3) por (ti), esdecir, escribamos

(4) ti (ti) < xi ti xi+1 < ti + (ti) :Esto sugiere que en la nueva denicin se pida una funcin : [a; b]! (0;1).

La integral resultante se llama integral de norma o integral de Henstock-Kurzweil(tambin se denomina integral de Riemann generalizada). Procedemos a contin-uacin a establecer la denicin de esta integral.

Una particin etiquetada de un intervalo I = [a; b] es una coleccin nita depares ordenados D = f(ti; Ii) : 1 i ng donde fIi : 1 i ng es una particinde I en el sentido usual de la dencin de Riemann. El punto ti 2 Ii se llamaretiqueta asociada a Ii. Si f : I ! R, la suma de Riemann de f con respecto a Dse dene como

S (f;D) =nXi=0

f (ti) (xi xi1) :

Algunos autores llaman a la funcin : [a; b] ! (0;1) norma (gauge), peroaqu se llamar norma a la funcin denida en I como

(t) = (t (t) ; t+ (t)) ;es decir, (t) es un intervalo abierto centrado en t de radio (t). Si Ii = [xi1; xi],escribimos (4) como

(5) ti 2 Ii (ti) :Si D = f(ti; Ii) : 1 i ng es una particin etiquetada de I y es una norma

en I, decimos que D es -na si (5) se cumple para cada i = 1; : : : ; n; este hecholo denotaremos como D . Podemos dar ahora la generalizacin de la denicinde la integral de Riemann.

Definicin 1. Sea f : [a; b] ! R. Se dice que f es integrable en norma sobre[a; b] si existe A 2 R tal que para todo " > 0 existe una norma en [a; b] tal que

INTEGRALES DE NORMA O DE HENSTOCK-KURZWEIL 7

jS (f;D)Aj < " siempre que D sea una particin etiquetada de [a; b] con D .

El nmero A se llama integral de norma de f sobre [a; b] y se denotar comoR baf o

RIf . Es necesario hacer ver que dada cualquier norma en [a; b] siempre

podremos encontrar una particin etiquetada D .Teorema 1. Sea una norma en I = [a; b]. Entonces existe una particin

etiquetada D de I con D .Demostracin. La prueba es en realidad la prueba del Teorema de Heine-

Borel sobre intervalos cerrados y acotados. Defnase un subconjunto E de I comoE = ft 2 I : hay una particin etiquetada -na de [a; t]g. Primeramente, E 6= ?,pues podemos encontrar un x 2 (a) con a < x < b. Luego, f(a; [a; x])g es unaparticin etiquetada -na de [a; x]. Es obvio que E es acotado superiormente; bes una cota superior. Sea pues y = supE. Se arma que y 2 E. Eljase x 2 E talque x 2 (y) y x < y. Entonces hay una particin etiquetada D de [a; x] -na. Elconjunto D [ fy; [x; y]g es una particin etiquetada de [a; y] que es -na, as quey 2 E.

A continuacin se establece que y = b. Si y < b, puede elegirse w 2 (y)\(y; b).Si D es una particin etiquetada de [a; y] -na, entonces D1 = D [ fy; [y; w]g esuna particin etiquetada de [a;w] que adems es na. Esto nos dice que w 2 E,lo que contradice que y = supE.

Como ocurre en la integral de Riemann, el nmero A es nico. Pero primerotenemos la proposicin siguiente.

Proposicin 1. Si 1 y 2 son normas en [a; b], entonces (t) = 1 (t)\2 (t)es una norma en [a; b]. Ms an, si D , entonces D 1 y D 2.

Demostracin. La primera parte de la proposicin es trivial. La segundatambin, pues es obvio que (t) i (t) para i = 1; 2 y todo t 2 [a:b].

Teorema 2. El nmero A en la denicin 1 de integral de norma es nico.

Demostracin. Sea " > 0. Supngase que A1 y A2 satisfacen las condicionesen la denicin 1 con respecto a las normas 1 y 2 para "=2. Sea ahora (t) =

1 (t) \ 2 (t). Ahora bien, si D , entonces D i para i = 1; 2. Luego

jA1 A2j jA1 S (f;D)j+ jS (f;D)A2j < ":Entonces A1 = A2.

De las consideraciones anteriores se sigue que si una funcin es integrable segnRiemann, entonces es integrable en norma, pues la constante > 0 dene la norma

(t) = (t ; t+ ).

Con todo lo anterior, ya se puede establecer el TFC II en completa generalidad.

Teorema 3 (Teorema Fundamental del Clculo Parte II). Si f : [a:b]! R esderivable en [a; b], entonces f 0 es integrable sobre [a; b] conZ b

a

f 0 = f (b) f (a) :

8 INTEGRALES DE NORMA O DE HENSTOCK-KURZWEIL

Demostracin. Sea " > 0. Para cada t 2 [a; b] sea (t) como en el lema deestriccin y sea la norma (t) = (t (t) ; t+ (t)). Si D = f(ti; Ii) : 1 i ng

entonces los clculos en (1) muestran que f 0 es integrable en norma sobre [a; b]con

R baf 0 = f (b) f (a).

Hasta ahora el punto importante es que cualquier derivada es integrable ennorma y adems se tiene la igualdad

R baf 0 = f (b) f (a). Este resultado no se

cumple en las integrales de Riemann y Lebesgue, pero los contraejemplos no sondel todo triviales. Tambin se observ que toda funcin que es integrable segnRiemann es integrable en norma. Lo mismo ocurre con la integral de Lebesgue; elconjunto de las funciones integrables segn Lebesgue sobre [a; b] est contenido enel conjunto de las funciones integrables en norma sobre [a; b].

Ejemplo 1. Un ejemplo conocido que es integrable segn Lebesgue pero no esintegrable segn Riemann es la funcin de Dirichlet. Esta funcin est denida enel intervalo [0; 1] y est dada por f (t) = 1 si t 2 Q y f (t) = 0 si t =2 Q. Estafuncin se generaliza a la funcin

f (t) =

c1 t 2 [a; b] \ Ec2 t 2 [a; b] \ Ec

donde E es un conjunto numerable (numerable signica que es nito o equipotentea los enteros). Sea E = fzk : k = 1; 2; : : :g. Esta funcin es integrable en norma conR baf = c2 (b a). Para establecerlo sea " > 0. Si D = f(ti; Ii) : 1 i ng es una

particin etiquetada de [a; b], considrese

(6) jS (f;D) c2 (b a)j =nXi=1

ff (ti) c2g (xi xi1) :

Si ti 2 Ec, entonces ff (ti) c2g (xi xi1) = 0, y as se puede denir (t) =(t 1; t+ 1) si t 2 Ec. A continuacin se debe encontrar una manera de denir

(t) para t 2 E. Si t 2 E, jf (t) c2j > 0. Ahora bien, como se tendr que D ,se cumplir que (xi xi1) < 2 (ti), lo que sugiere que para t 2 E se dena (t) = "=

2k+2 jf (t) c2j

donde t = zk para algn k 2 N. Con esto se tiene que

jf (t) c2j (xi xi1) < jf (t) c2j 2 (t) = "2k+1

:

Como en (6) se tiene una suma nita, se concluye que

jS (f;D) c2 (b a)j = nPk=1

ff (tk) c2g (xk xk1)

< 2nPk=1

"2k+1

< 21Pk=1

"2k+1

= ":

donde el factor 2 obedece a que cada zk pudiera ser etiqueta de dos intervalos con-tiguos en D.

Ejemplo 2. Si la funcin a integrar tiene una singularidad en un punto de[a; b] (y por ende no es acotada en [a; b]), entonces es conveniente dar una norma

en [a; b] que obligue a que si una particin etiquetada ha de ser -na, entoncesel punto de la singularidad sea etiqueta del subintervalo al que pertenece (quiz

INTEGRALES DE NORMA O DE HENSTOCK-KURZWEIL 9

de dos subintervalos). Considrese la funcin f : [0; 1] ! R dada por f (x) =1=px para x 6= 0 y f (0) = 0. De la teora clsica de Riemann sobre integrales

impropias sabemos queR 10f = 2. En las integrales de norma las integrales impropias

"no existen.en el sentido de que no es necesario hablar de los lmites lmc!a+

R bcf y

lmc!b

R caf , sino que bastar con dar la norma que satisfaga la denicin 1.

Volviendo al ejemplo, sea " > 0. De clculo elemental se sabe que el rea bajo lacurva sobre [0; x] es 2

px. Si construimos una norma tal que si D , entonces

0 sea una etiqueta del subintervalo [0; x1], entonces podemos ontrolar"la singu-laridad. Tenemos que

f (0) (x1 0) 2px1 = 2px1 < 2p (0) donde (0) =( (0) ; (0)). Luego, conviene elegir (0) = "2=16. Con ello

jf (0) (x1 0) 2px1j < 2r"2

16="

2

siempre que [0; x1] (0). Ahora bien, si 0 < u < v < 1, el rea bajo la curvasobre [u; v] es 2 (

pv pu), luego, si u z v, tenemos la siguiente estimacin

jf (z) (v u) [2pv 2pu]j = (v u) 1pz 2pv+pu

= vuz

pz(pv+pu)2zpv+pu vu

z

pz(pv+pu)2zpz = vu

zjpv +pu 2pzj

vuz(jpv pzj+ jpupzj)

= vuz

vzpv+pz+ zup

z+pu

vu

z

vzpz+ zup

z

= (vu)

2

z3=2:

Esto sugiere deinir (z) = "z2=3=4 y hacer (z) = (z (z) ; z + (z))\(0; 2) paraz > 0. Ntese que si se aplica esta frmula a 0 < t1 < x1, se tendra (t1) < x1para 0 < " < 1, entonces no se cumplira [0; x1] (t1). Por ello debe ser t1 = 0.Ahora supngase que D = f(ti; Ii) : 1 i ng con Ii = [xi1; xi] y 0 = x0 0. Para i = 1; 2 existen normas i tales queS (fi;D) ZI

fi

< "=2siempre que D i. Ya se hizo ver que = 1 \ 2 es una norma tal quesi D , entonces D i, as queS (f1 + f2;D) RI f1 + RI f2 S (f1;D) RI f1

+S (f2;D) RI f2

< "

2. Es un ejercicio.3. Sea " > 0. Hay una norma tal que si D , entonces S (f;D) R

If 0 dado. Eljase N tal que 1=N < "=2 y jS (f;DN )Aj < "=2. SeaD N cualquiera. Entonces

jS (f;D)Aj jS (f;D) S (f;DN )j+ jS (f;DN )Aj< 1=N + 1=N < ".

Esto prueba que f es integrable sobre I conRIf = A. El Criterio de Cauchy

para integrales permiti construir una sucesin en R de Cauchy consistente en lassumas de Riemann que converge al valor de la integral.

Ahora se puede establecer el recproco del Teorema 5.

Teorema 7. Sea f : I ! R integrable en norma sobre I. Entonces f esintegrable sobre cualquier subintervalo cerrado J de I.

Demostracin. Como no tenemos candidato para el valor deRJf , se usar el

criterio de Cauchy. Sea " > 0. Entonces hay una norma en I tal que si D; E ,entonces jS (f;D) S (f; E)j < ".

Considrese a < c < d < b y J = [c; d]; si a = c o d = b, las modicaciones a laprueba son mnimas. Sea la restriccin de a J y sea 1(resp. 2) la resticcinde a [a; c] (resp. a [d; b]). Sea ahora D1(resp. D2) una particin etiquetada de[a; c] (resp. de [d; b]) con D1 1 (resp. D2 2). Finalmente tmense particionesetiquetadas D y E de J con D; E . Entonces D 0 = D1[D[D2 y E 0 = D1[E[D2son ambas particiones de [a; b] y adems son -nas, as que

jS (f;D 0) S (f; E 0)j = jS (f;D) S (f; E)j < "ya que los trminos que surgen de los subintervalos [a; c] y [d; b] se anulan entreellos. En virtud del Criterio de Cauhcy se concluye que f es integrable sobre J .

Aplicando el Teorema 5 un nmero nito de veces se deduce para la integral denorma el resultado que en la integral de Riemann clsica se denomina aditividadpor intervalos.

En la primer seccin se prob el TFC II. A continuacin se enuncia y pruebael TFC I.

Teorema 8 (TFC Parte I). Sea f : I ! R integrable en norma sobre I y seaF (x) =

R xaf para a x b. Si f es continua en c 2 [a; b], entonces F es derivable

en c con F 0 (c) = f (c).

Demostracin. Sea " > 0. Por la continuidad de f en c podemos encontrarun > 0 tal que jf (x) f (c)j < " siempre que x 2 [a; b] y jx cj < . Supngaseque jy cj < y c < y. Entonces

f (c) " < f (t) < f (c) + "para c t y. Aplicando los Teoremas 4 y 7, la integracin sobre [c; y] nos da

(f (c) ") (y c) Z yc

f (t) dt (f (c) + ") (y c)o

f (c) " F (y) F (c)y c f (c) + ":

14 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORMA

Una desigualdad similar se cumple para y < c. Entonces tenemos as el resultadopuesto que se tiene la denicin de la derivada como lmite.

Se sabe que si f es continua en [a; b], entonces es integrable segn Riemannsobre [a; b]. De ello se sigue que f tambin ser integrable en norma sobre [a; b]siempre que sea continua en el intervalo.

Consideraremos ahora una propiedad de la integral de norma que no se cumplepara las integrales de Riemann y Lebesgue. En la integral de Riemann se tiene quesi f es integrable sobre I, entonces jf j tambin lo es. El recproco es falso, como lomuestra la funcin f : [0; 1] ! R dada por f (t) = 1 si t es racional y f (t) = 1si t es irracional. En la teora de Lebesgue la integrabilidad sobre I de f y jf j sonequivalentes. Es por ello que se dice que las integrales de Riemann y Lebesgue sonabsolutas.

Definicin 2. Se dice que f es absolutamente integrable en norma sobre I sif y jf j son integrables en norma sobre I. Si f es integrable en norma sobre I perojf j no lo es, decimos que f es condicionalmente integrable en norma sobre I.

Corolario 2 (Desigualdad del Tringulo para Integrales). Si f es absoluta-mente integrable en norma sobre I, entonces

RIf R

Ijf j.

Demostracin. La prueba es exactamente la misma que la integral de Rie-mann clsica.

El siguiente ejemplo muestra que la integral de norma es una integral condi-cional.

Ejemplo 3. Para 0 < t 1 sea f (t) = t2 cos =t2 y f (0) = 0. Entonces f esderivable en [0; 1] con f 0 (t) = 2t cos

=t2

+(2=t) sin

=t2

si t 6= 0 y f 0 (0) = 0.

Por el TFC, f 0 es integrable sobre [0; 1] conR 10f 0 = 1. Sin embargo, jf 0j no es

integrable sobre [0; 1]. Para ver esto, sean k =p2= (4k + 1) y k = 1=

p2k. Los

intervalos f[k; k]g son ajenos dos a dos y jf 0j es continua en cada [k; k], porlo que es integrable sobre cada [k; k]. Por el TFC y la Desigualdad del Tringulopara Integrales Z k

k

jf 0j Z kk

f 0 = 12k :

Si jf 0j fuese integrable sobre [0; 1], tendramos, de acuerdo a la aditividad porintervalos, que para cada n 2 NZ 1

0

jf 0j nXk=1

Z kk

jf 0j nXk=1

1

2k

lo cual es imposible. Luego, jf 0j no puede ser integrable en norma sobre [0; 1]. As,f 0 es condicionalmente integrable sobre [0; 1].

Se da a continuacin un criterio de integrabilidad en norma.

Teorema 9. Sea f : I ! R. Entonces f es integrable en norma sobre [a; b] ssipara cada " > 0 existen funciones g y h integrables en norma sobre [a; b] tales queg f h en [a; b] y Z b

a

(h g) < ":

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORMA 15

Demostracin. Si f es integrable en norma sobre [a; b], tmense g = h = f .Recprocamente, si g f h en [a; b] y satisfacen que

(7)Z ba

(h g) < "3;

entonces para cualquier particin etiquetada D de [a; b] se tiene que(8) S (g;D) S (f;D) S (h;D) :

Sea " > 0. Existen normas 1 y 2 en [a; b] tales que si D 1 y E 2,entonces

(9)

S (g;D)Z ba

g

< "=3y

(10)

S (h; E)Z ba

h

< "=3Sea ahora la norma en trminos de 1 y 2 que satisface i para i =

1; 2 (se escoge = mn f1; 2g). Luego, si D; E entonces D 1 y E

2, y, en cosecuencia se verican (9) y (10) pero ahora ambas desigualdades conambas particiones etiquetadas. Combinndolas con (8) para D y E se obtienen lasdesigualdades Z b

a

g "3< S (f;D) 0 existe una funcin escalonada ' tal que

(11) jf (t) ' (t)j < "para todo t 2 [a; b].

Proposicin 2. La funcin f : [a; b] ! R es regulada en [a; b] ssi existe unasucesin f'ng1n=1 de funciones escalonadas que converge uniformemente a f en[a; b].

Demostracin. El resultado se sigue inmediatamente tomando " = 1=n. Este concepto nos da una condicin suciente para que f sea integrable en

norma sobre [a; b].

16 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORMA

Teorema 10. Si f : [a; b] ! R es regulada en [a; b], entonces f es integrableen norma sobre [a; b].

Demostracin. Dado " > 0, sea ' : [a; b] ! R la funcin escalonada talque (11) se cumple para "=2 (b a). Entonces tenemos que ' "=2 (b a) < f 0, sea ' : [a; b] ! R una funcin escalonada que satisface

j (t) ' (t)j < "=2A para todo t 2 [a; b], o lo que es lo mismo' (t) "=2A < (t) < ' (t) + "=2A:

Si denimos ahora g (t) = f (t) (' (t) "=2A) y h (t) = f (t) (' (t) + "=2A) parat 2 [a; b], entonces el Teorema 4 nos dice que g y h son integrables en norma sobre[a; b] y se sigue que

g f hen [a; b] y adems Z b

a

(h g) = "=AZ ba

f < ":

Ahora el Teorema 9 nos dice que f es integrable en norma sobre [a; b].

La Integral de Norma y Conjuntos Nulos

En esta seccin estudiaremos las relaciones entre la integral de norma y los con-juntos nulos o conjuntos de medida de Lebesgue cero. si I es un intervalo (cerrado,aberto o semiabierto) en R, denotaremos su longitud como ` (I). Primero denimoslos conjuntos nulos.

Definicin 4. Un subconjunto E [a; b] es nulo (segn Lebesgue) si para cada" > 0 existe una familia numerable de intervalos abiertos fIjgj2N tal que E

1Sj=1

Ij

yP1

j=1 ` (Ij) < ".

Observacin 1. La denicin de conjunto nulo tambin puede hacerse pidi-endo intervalos cerrados. Si los intervalos son abiertos, considrense nicamentelas cerraduras de stos. Recprocamente, si los intervalos son cerrados, para cadaIj = [aj ; bj ] donde

P1j=1 ` (Ij) < "=2, defnase Jj =

aj "=2j+2 ; bj + "=2j+2

.

Entonces ` (Jj) = ` (Ij) + "=2j+1, y con ello se tiene que los Jj cubren a E yP1j=1 ` (Jj) < "=2 + "=2 = ".

Proposicin 3. Los conjuntos nulos tienen las siguientes propiedades.

1. Si E F y F es nulo, entonces E es nulo.2. Si fEk : k 2 Ng es una sucesin de conjuntos nulos, entonces E =

1Sk=1

Ek

es un conjunto nulo.3. Cualquier conjunto numerable es un conjunto nulo.

Demostracin. La primera parte es inmediata. Para la segunda, sea fIj kgla sucesin de intervalos abiertos que cubren a Ek con

P1j=1 ` (Ij k) < "=2

k. Latercer armacin se deja como ejercicio.

Si una propiedad P se cumple para cada punto de un subconjuto A exceptoen un conjunto nulo, diremos que P se cumple casi donde quiera y lo abreviaremoscdq. Entonces P se cumple cdq en A si fx 2 A : :Pg es un conjunto nulo.

El siguiente ejemplo generaliza de alguna manera el ejemplo 1.

Ejemplo 4. Supngase que f : [a; b] ! R es tal que f = 0 cdq en [a; b].Entonces f es integrable en norma sobre [a; b] con

R baf = 0. Sean " > 0 y E =

ft 2 [a; b] : f (t) 6= 0g. Entonces E es un conjunto nulo. Para k 2 N, hgase Ek =ft 2 E : k 1 < jf (t)j kg. Entonces E =

1Sk=1

Ek y Ek es un conjunto nulo.

Para cada k sea fIj kg la sucesin de intervalos abiertos que cubren a Ek conP1j=1 ` (Ij k) < "=k2

k. Defnase una norma en [a; b] como (t) = R si t 62 Ey (t) = Ij k si t 2 Ek donde j es el mnimo entero positivo tal que t 2 Ij k.

17

18 LA INTEGRAL DE NORMA Y CONJUNTOS NULOS

Supngase ahora que D = f(ti; Ii) : 1 i mg y sean Dk = f(ti; Ii) : ti 2 Ekgpara k 2 N y D0 = f(ti; Ii) : ti 62 Eg. Entonces S (f;D0) = 0 y, dado que si ti 2 Ek,entonces f (t) k, tambin se verica que

jS (f;Dk)j 0 dado, sea N tal que(2=3)

N< ". Dado que C CN , entonces C est contenido en una unin nita de

intervalos cerrados cuyas lognitudes tienen una suma arbitrariamente pequea. Enconsecuencia, de acuerdo con la Observacin 1, C es un conjunto nulo.

Para establecer que C no es numerable usaremos los siguientes hechos conocidossin probarlos:

1. Los puntos x 2 C tienen una expansin decimal de la forma x =P1i=1 ai=3idonde ai = 0; 2.

2. El conjunto S0 de sucesiones faig donde ai = 0; 1 es un conjunto nonumerable

LA INTEGRAL DE NORMA Y CONJUNTOS NULOS 19

Entonces hay un acorrespondencia sobreyectiva de C al conjunto S0. Luego,C tiene cardinalidad mayor o igual que la de S0, por lo que C es un conjunto nonumerable.

Este conjunto nos permite construir una funcin : [0; 1] ! R llamada lafuncin de Cantor que ser muy til para dar ejemplos y contraejemplos.

Primeramente sea 1 : [0; 1]! R la funcin denida como 1 (0) = 0, 1 (1) =1 y 1 (x) = 1=2 si x 2

13 ;

23

. Para x 2 0; 13, 1 se dene como la recta que une

los puntos (0; 0) y13 ;

12

; del mismo modo para x 2 23 ; 1 la funcin 1 ser la

recta que une los puntos23 ;

12

y (1; 1). Este tipo de funcin se denominar lineal

por pedazos y slo se indicarn los valores donde sea constante. Con esto, se dene2 como la funcin lineal por pedazos tomando los valores de 1=4 en

19 ;

29

, de 1=2

en13 ;

23

y de 3=4 en

79 ;

89

; por supuesto en donde no se indican los valores de

2 se trata de una recta. En general, se dene n como n (0) = 0, n (1) = 1,tomando los valores de 1=2n; 2=2n; 3=2n; : : : ; (2n 1) =2n en los intervalos quefueron removidos (tomando su cerrdadura) [0; 1] para construir Cn y segmentos derecta en los intervalos restantes de tal manera que n sea continua en [0; 1]. Porconstrucin, cada n es una funcin continua y no decreciente en [0; 1].

Teorema 12. La sucesin de funciones fng converge uniformemente en [0; 1]a una funcin continua y no decreciente.

Demostracin. Como los valores de n y n+1 son iguales o satisfacenjn (x) n+1 (x)j 1=2n para todo n 2 N, se tiene que si n < m, entonces

jn (x) m (x)j mXk=n

jk (x) k+1 (x)j mXk=n

1

2k 12n1

:

Esto implica que el lmite

lmn!1n (x) = (x)

existe y que jn (x) (x)j 1=2n1 para todo x 2 [0; 1]. As que la sucesinconverge uniformemente en [0; 1] a . Dado que cada n es continua, se sigueque es continua en [0; 1]. Asimismo, debido a que cada n es no decreciente, seconcluye que es no decreciente en [0; 1].

La funcin se denomina funcin de Cantor. Si x 2 [0; 1]rC, entonces hay unintervalo abierto que contiene a x y en el que n es constante para n sucientementegrande. Por lo tanto, es constante en tal intervalo y por ende 0 (x) = 0. Si x 2 C, no es derivable.

Tenemos una funcin denida en un intervalo [a; b] que es derivable cdq en[a; b] y que adems el conjunto nulo donde no se tiene la derivabilidad es no numer-able. Estos hechos sern importantes en los siguientes ejemplos. Tenemos antes lassiguientes deniciones.

Definicin 5. Sean I : [a; b] y F; f : I ! R.1. Se dice que F es una antiderivada (o primitiva) de f si F es derivableen I y F 0 (x) = f (x) para todo x 2 I.

2. Si F es continua en I y la igualdad F 0 (x) = f (x) se cumple cdq en I; sedice que F es una cdq-antiderivada de f .

20 LA INTEGRAL DE NORMA Y CONJUNTOS NULOS

3. Si F es continua en I y la igualdad F 0 (x) = f (x) se cumple en I exceptoen un conjunto numerable de puntos, se dice que F es una c-antiderivadade f .

4. Si f es integrable en norma sobre I, entonces la funcin F (x) =R xf (t) dt

se llama integral indenida de f con base en el punto .

Obsrvese que si f es continua, entonces de acuerdo con el TFC II, su integralindenida es una antiderivada y que sta siempre es una c-antiderivada que a suvez siempre es una cdq-antiderivada.

En el TFC II la hiptesis de derivabilidad de la funcin se puede debilitar aque sea derivable excepto en un conjunto numerable (ver el Ejemplo 1).

Teorema 13. Si F es una c-antiderivada de f en [a; b], entonces f es integrableen norma sobre [a; b] y

R baf = F (b) F (a) :

Demostracin. Sea E = fzk : k 2 Ng el conjunto donde la ecuacin F 0 (x) =f (x) no se cumple. Si t 2 [a; b] nE, defnase (t) como en el lema 1. Se puede asumirque f (t) = 0 para t 2 E. Si t = zk para algn k, de la continuidad de F en zk se eligeun (zk) > 0 tal que jF (x) F (zk)j < "=2k+3 siempre que x 2 [a; b] y jx zkj < (zk). Tenemos una norma denida en [a; b] como (t) = (t (t) ; t+ (t)).

Sea ahora D = f(ti; Ii) : 1 i ng . Si ti 62 E para todo i = 1; : : : ; n, elTFC I no cambia en absoluto. Si ti0 2 E para algn i0, entoncesF (xi0) F xi01 f (ti0) (xi0 xi01) jF (xi0) F (ti0)j+

F (ti0) F xi01+ jf (ti0) (xi0 xi01)j